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Capıtulo 31 - Corrente Alternada

RODRIGO ALVES DIAS

Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJFLivro texto: Fısica 3 - EletromagnetismoAutores: Sears e Zemansky - Edicao: 12a

Editora: Pearson - Addisson and Wesley

25 de julho de 2011


Objetivos de Aprendizagem

Ao estudar este capıtulo voce aprendera:

I Como os fasores facilitam a descricao senoidal das grandezas variantes.

I Como usar a reatancia para descrever a voltagem atraves de um elemento decircuito que transporta uma corrente alternada.

I Como analisar um circuito R-L-C em serie com uma fem senoidal.

I O que determina a quantidade de potencia que entra ou sai de um circuito decorrente alternada.

I Como um circuito R-L-C em serie responde a fems senoidais de frequenciasdiferentes.

I Por que os transformadores sao uteis e como eles funcionam.


Introducao

Introducao.


Introducao

Numeros complexos e fasores.


Circuitos de Corrente Alternada(AC)

Fonte AC e Resistor.

I Seja uma fonte fem alternada,

ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε(t))

ε(t) = εe iωt , ε = ε0







0 = ε(t)− vR(t)







0 = ε(t)− vR(t)

vR(t) = ε(t) = R I(t)







0 = ε(t)− vR(t)

vR(t) = ε(t) = R I(t)

I(t) =ε(t)

R=ε0

Re iωt







0 = ε(t)− vR(t)

vR(t) = ε(t) = R I(t)

I(t) =ε(t)

R=ε0

Re iωt

I(t) = Ie iωt







0 = ε(t)− vR(t)

vR(t) = ε(t) = R I(t)

I(t) =ε(t)

R=ε0

Re iωt

I(t) = Ie iωt

I =ε0

R= I0e

iφ







0 = ε(t)− vR(t)

vR(t) = ε(t) = R I(t)

I(t) =ε(t)

R=ε0

Re iωt

I(t) = Ie iωt

I =ε0

R= I0e

iφ

XR = R ; φ = 0 ; ε0 = XRI0

I(t) = Re(I(t)) =ε0

Rcos(ωt)







0 = ε(t)− vR(t)

vR(t) = ε(t) = R I(t)

I(t) =ε(t)

R=ε0

Re iωt

I(t) = Ie iωt

I =ε0

R= I0e

iφ

XR = R ; φ = 0 ; ε0 = XRI0

I(t) = Re(I(t)) =ε0

Rcos(ωt)

I A voltagem AC e a corrente AC em umresistor estao em fase.

I XR e chamada de reatancia resistiva.



Fonte AC e Indutor.






Fonte AC e Indutor.




0 = ε(t)− vL(t)



Fonte AC e Indutor.




0 = ε(t)− vL(t)

vL(t) = ε(t) = Ld I(t)

dt= ε0e

iωt



Fonte AC e Indutor.



0 = ε(t)− vL(t)


dt= ε0e

iωt∫d I(t) =

ε0

L

∫e iωtdt =

ε0

iωLe iωt



Fonte AC e Indutor.



0 = ε(t)− vL(t)


dt= ε0e

iωt∫d I(t) =

ε0

L

∫e iωtdt =

ε0

iωLe iωt

I(t) = Ie iωt



Fonte AC e Indutor.



0 = ε(t)− vL(t)


dt= ε0e

iωt∫d I(t) =

ε0

L

∫e iωtdt =

ε0

iωLe iωt

I(t) = Ie iωt

I =ε0

iωL=

ε0

XLe−i π

2 = I0eiφ



Fonte AC e Indutor.



0 = ε(t)− vL(t)


dt= ε0e

iωt∫d I(t) =

ε0

L

∫e iωtdt =

ε0

iωLe iωt

I(t) = Ie iωt

I =ε0

iωL=

ε0

XLe−i π

2 = I0eiφ

XL = ωL ; φ = −π

2; ε0 = XLI0

I(t) = Re(I(t)) =ε0

XLcos(ωt −

π

2)



Fonte AC e Indutor.



0 = ε(t)− vL(t)


dt= ε0e

iωt∫d I(t) =

ε0

L

∫e iωtdt =

ε0

iωLe iωt

I(t) = Ie iωt

I =ε0

iωL=

ε0

XLe−i π

2 = I0eiφ

XL = ωL ; φ = −π

2; ε0 = XLI0

I(t) = Re(I(t)) =ε0

XLcos(ωt −

π

2)

I A corrente AC em um indutor esta comatraso de fase de π

2em relacao a

voltagem AC.I XL e chamada de reatancia indutiva.



Fonte AC e Capacitor.










0 = ε(t)− vc (t)







0 = ε(t)− vc (t)

vc (t) = ε(t) =q(t)

C

d ε(t)

dt=

1

C

dq(t)

dt=

I(t)

C






0 = ε(t)− vc (t)

vc (t) = ε(t) =q(t)

C

d ε(t)

dt=

1

C

dq(t)

dt=

I(t)

C

I(t) = ε0iωCeiωt = Ie iωt






0 = ε(t)− vc (t)

vc (t) = ε(t) =q(t)

C

d ε(t)

dt=

1

C

dq(t)

dt=

I(t)

C


I =ε0

Xce i

π2 = I0e

iφ






0 = ε(t)− vc (t)

vc (t) = ε(t) =q(t)

C

d ε(t)

dt=

1

C

dq(t)

dt=

I(t)

C


I =ε0

Xce i

π2 = I0e

iφ

Xc =1

ωC; φ =

π

2; ε0 = XcI0

I(t) = Re(I(t)) =ε0

Xccos(ωt +

π

2)






0 = ε(t)− vc (t)

vc (t) = ε(t) =q(t)

C

d ε(t)

dt=

1

C

dq(t)

dt=

I(t)

C


I =ε0

Xce i

π2 = I0e

iφ

Xc =1

ωC; φ =

π

2; ε0 = XcI0

I(t) = Re(I(t)) =ε0

Xccos(ωt +

π

2)

I A corrente AC em um capacitor estacom avanco de fase de π

2em relacao a

voltagem AC.

I Xc e chamada de reatancia capacitiva.



Reatancia capacitiva, Indutiva e Resistiva.

I Vimos que,

I XR = R.

I Xc = 1ωC

.

I XL = ωL.



Reatancia capacitiva, Indutiva e Resistiva.

I Vimos que,

I XR = R.

I Xc = 1ωC

.

I XL = ωL.

I Se, ω → 0(Corrente Continua),

I XR = R

I Xc =→∞

I XL =→ 0

I Se, ω →∞,

I XR = R

I Xc =→ 0

I XL =→∞


Impedancia

Fonte AC e circuito R-L.


Impedancia

Fonte AC e circuito R-C.


Impedancia

Fonte AC e circuito R-L-C.


Impedancia

Ressonancia.


Transformadores

Transformadores

I R2 e a resistencia do fio do secundario+ resistencia extra.

I Teremos duas malhas dadas por,


Transformadores

Transformadores



ε(t) = L11d I1(t)

dt+ L12

d I2(t)

dt

− R2I2(t) = L21d I1(t)

dt+ L22

d I2(t)

dt


Transformadores

Transformadores



ε(t) = L11d I1(t)

dt+ L12

d I2(t)

dt

− R2I2(t) = L21d I1(t)

dt+ L22

d I2(t)

dt

ε(t) = ε0eiωt

I1(t) = I1eiωt ; I2(t) = I2e

iωt


Transformadores

Transformadores

ε(t) = L11d I1(t)

dt+ L12

d I2(t)

dt

− R2I2(t) = L21d I1(t)

dt+ L22

d I2(t)

dt

ε(t) = ε0eiωt

I1(t) = I1eiωt ; I2(t) = I2e

iωt

ε0eiωt = iω(L11I1 + L12I2)e iωt

− V2 = −R2I2eiωt = iω(L21I1 + L22I2)e iωt


Transformadores

Transformadores

ε(t) = L11d I1(t)

dt+ L12

d I2(t)

dt

− R2I2(t) = L21d I1(t)

dt+ L22

d I2(t)

dt

ε(t) = ε0eiωt

I1(t) = I1eiωt ; I2(t) = I2e

iωt

ε0eiωt = iω(L11I1 + L12I2)e iωt

− V2 = −R2I2eiωt = iω(L21I1 + L22I2)e iωt

V2

ε0= −

(L11I1 + L12I2)

(L21I1 + L22I2)

L12 = L12 = k√

L11L22


Transformadores

Transformadores

L12 = L12 = k√

L11L22

V2

ε0= −

√L22

L11

(k√L11 I1 +

√L22 I2√

L11 I1 + k√L22 I2

)


Transformadores

Transformadores

L12 = L12 = k√

L11L22

V2

ε0= −

√L22

L11

(k√L11 I1 +

√L22 I2√

L11 I1 + k√L22 I2

)Se, k = 1

V2

ε0= −

√L22

L11= −

N2

N1


Materiais Magneticos

O magneton de Bohr

I =e

T



O magneton de Bohr

I =e

T

T =2πr

v



O magneton de Bohr

I =e

T

T =2πr

v

I =ev

2πr



O magneton de Bohr

I =e

T

T =2πr

v

I =ev

2πrµ = IA

µ =ev

2πr(πr2) =

evr

2



O magneton de Bohr

I =e

T

T =2πr

v

I =ev

2πrµ = IA

µ =ev

2πr(πr2) =

evr

2

L = mvr =h

2π

h = 6, 626× 10−34Js



O magneton de Bohr

I =e

T

T =2πr

v

I =ev

2πrµ = IA

µ =ev

2πr(πr2) =

evr

2

L = mvr =h

2π

h = 6, 626× 10−34Js

µ =e

2mL =

eh

4πm

µ = 9, 274× 10−24Am2

µ = 9, 274× 10−24J/T



Magnetismo Microscopico

I Vimos que efeitos magneticos sao gerados por correntes eletricas.

I Ampere propos que a magnetizacao espontanea dos meios magneticos deveriamser geradas por correntes microscopicas.

I A magnetizacao sera definida pela soma dos momentos magneticos porunidade de volume: ~M = 1

V

∑i ~µi

I Da lei de Ampere temos,







V

∑i ~µi

I Da lei de Ampere temos,∮~B · d~l = µ0Iliq = µ0(Ic + Im)







V

∑i ~µi

I Da lei de Ampere temos,∮~B · d~l = µ0Iliq = µ0(Ic + Im)∮~B · d~l − µ0Im = µ0Ic







V

∑i ~µi

I Da lei de Ampere temos,∮~B · d~l = µ0Iliq = µ0(Ic + Im)∮~B · d~l − µ0Im = µ0Ic∮

~B · d~l − µ0

∫~Jm · d~A = µ0Ic







V

∑i ~µi


~B · d~l − µ0

∫~Jm · d~A = µ0Ic∮

~B · d~l − µ0

∫(∇× ~M) · d~A = µ0Ic

∮~B · d~l − µ0

∫(∇× ~M) · d~A = µ0Ic







V

∑i ~µi


~B · d~l − µ0

∫~Jm · d~A = µ0Ic∮

~B · d~l − µ0

∫(∇× ~M) · d~A = µ0Ic

∮~B · d~l − µ0

∫(∇× ~M) · d~A = µ0Ic∮

~B · d~l − µ0

∮~M · d~l = µ0Ic







V

∑i ~µi


~B · d~l − µ0

∫~Jm · d~A = µ0Ic∮

~B · d~l − µ0

∫(∇× ~M) · d~A = µ0Ic

∮~B · d~l − µ0

∫(∇× ~M) · d~A = µ0Ic∮

~B · d~l − µ0

∮~M · d~l = µ0Ic∮

(~B − µ0~M) · d~l = µ0Ic∮

(µ0~H) · d~l = µ0Ic




I Vimos que efeitos magneticos sao gerados por correntes eletricas.I Ampere propos que a magnetizacao espontanea dos meios magneticos deveriam

ser geradas por correntes microscopicas.I A magnetizacao sera definida pela soma dos momentos magneticos por

unidade de volume: ~M = 1V

∑i ~µi


~B · d~l − µ0

∫~Jm · d~A = µ0Ic∮

~B · d~l − µ0

∫(∇× ~M) · d~A = µ0Ic

∮~B · d~l − µ0

∫(∇× ~M) · d~A = µ0Ic∮

~B · d~l − µ0

∮~M · d~l = µ0Ic∮

(~B − µ0~M) · d~l = µ0Ic∮

(µ0~H) · d~l = µ0Ic

~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =~B

µ0− ~M



Magnetismo Microscopico∮~B · d~l = µ0Iliq = µ0(Ic + Im)∮~B · d~l − µ0Im = µ0Ic∮

~B · d~l − µ0

∫~Jm · d~A = µ0Ic∮

~B · d~l − µ0

∫(∇× ~M) · d~A = µ0Ic

∮~B · d~l − µ0

∫(∇× ~M) · d~A = µ0Ic∮

~B · d~l − µ0

∮~M · d~l = µ0Ic∮

(~B − µ0~M) · d~l = µ0Ic∮

(µ0~H) · d~l = µ0Ic

I O campo ~H e o campo gerado por correntesde conducao ou um campos externo.

I O campo ~B e o campo efetivo incluindo oscampos gerados pelo proprio materialmagnetico.

I De forma geral temos que, ~M = ~M(~H), ouseja a magnetizacao e uma funcao docampo externo. ~M = 1

V

∑i ~µi

I Quando o um material magnetico for linear,homogeneo e isotropico teremos:~M = χm

~H.

I χm e chamado de susceptibilidademagnetica.

I Km = (1 + χm) e chamado de

pemeabilidade magnetica.

~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =~B

µ0− ~M







V

∑i ~µi


~H.




~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =~B

µ0− ~M







V

∑i ~µi


~H.




~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =~B

µ0− ~M

~B = µ0(1 + χm)~H = µ~H







V

∑i ~µi


~H.




~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =~B

µ0− ~M

~B = µ0(1 + χm)~H = µ~H

µ = µ0(1 + χm) = µ0Km



Magnetismo MicroscopicoI O campo ~H e o campo gerado por correntes

de conducao ou um campos externo.



V

∑i ~µi


~H.




~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =~B

µ0− ~M

~B = µ0(1 + χm)~H = µ~H

µ = µ0(1 + χm) = µ0Km



Paramagnetismo

~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =~B

µ0− ~M

~B = µ0(1 + χm)~H = µ~H

µ = µ0(1 + χm) = µ0Km

I 0 < χm < 10+2



Diamagnetismo

~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =~B

µ0− ~M

~B = µ0(1 + χm)~H = µ~H

µ = µ0(1 + χm) = µ0Km

I −10+2 < χm < 0



Ferromagnetismo

~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =~B

µ0− ~M

~B = µ0(1 + χm)~H = µ~H

µ = µ0(1 + χm) = µ0Km

I χm > 10+3


Transformadores1

Transformadores

I R1 e a resistencia do fio do primario.




Transformadores1

Transformadores




R1I1(t) = ε(t)− L11d I1(t)

dt− L12

d I2(t)

dt

R2I2(t) = 0− L21d I1(t)

dt− L22

d I2(t)

dt


Transformadores1

Transformadores




R1I1(t) = ε(t)− L11d I1(t)

dt− L12

d I2(t)

dt

R2I2(t) = 0− L21d I1(t)

dt− L22

d I2(t)

dt

ε(t) = ε0eiωt

I1(t) = I1eiωt ; I2(t) = I2e

iωt


Transformadores1

Transformadores

R1I1(t) = ε(t)− L11d I1(t)

dt− L12

d I2(t)

dt

R2I2(t) = 0− L21d I1(t)

dt− L22

d I2(t)

dt

ε(t) = ε0eiωt

I1(t) = I1eiωt ; I2(t) = I2e

iωt

R1I1eiωt = ε0e

iωt − iω(L11I1 + L12I2)e iωt

R2I2eiωt = 0− iω(L21I1 − L22I2)e iωt


Transformadores1

Transformadores

R1I1(t) = ε(t)− L11d I1(t)

dt− L12

d I2(t)

dt

R2I2(t) = 0− L21d I1(t)

dt− L22

d I2(t)

dt

ε(t) = ε0eiωt

I1(t) = I1eiωt ; I2(t) = I2e

iωt

R1I1eiωt = ε0e



ε0 = (R1 + iωL11)I1 + iωL12I2

0 = iωL21I1 + (R2 + iωL22)I2


Transformadores1

Transformadores

R1I1(t) = ε(t)− L11d I1(t)

dt− L12

d I2(t)

dt

R2I2(t) = 0− L21d I1(t)

dt− L22

d I2(t)

dt

ε(t) = ε0eiωt

I1(t) = I1eiωt ; I2(t) = I2e

iωt

R1I1eiωt = ε0e



ε0 = (R1 + iωL11)I1 + iωL12I2

0 = iωL21I1 + (R2 + iωL22)I2(ε0

0

)=

[R1 + iωL11 iωL12

iωL21 R2 + iωL22

](I1

I2

)


Transformadores1

Transformadores

R1I1(t) = ε(t)− L11d I1(t)

dt− L12

d I2(t)

dt

R2I2(t) = 0− L21d I1(t)

dt− L22

d I2(t)

dt

ε(t) = ε0eiωt

I1(t) = I1eiωt ; I2(t) = I2e

iωt

R1I1eiωt = ε0e



ε0 = (R1 + iωL11)I1 + iωL12I2

0 = iωL21I1 + (R2 + iωL22)I2(ε0

0

)=

[R1 + iωL11 iωL12

iωL21 R2 + iωL22

](I1

I2

)I1 =

ε0(R2 + iωL22)

(R1 + iωL11)(R2 + iωL22) + ω2L12L21

I2 = −ε0iωL21

(R1 + iωL11)(R2 + iωL22) + ω2L12L21

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