cap¶‡tulo 1 introdu»c~ao - departamento de engenharia

Capıtulo 1

Introducao

O Metodo dos Elementos Finitos (MEF) e hoje em dia a tecnica numerica mais popularpara a resolucao de problemas de Mecanica Estrutural. Muito dessa popularidade eutilizacao generalizada se deve a sua simplicidade, robustez e elegancia conceptual.

O MEF e uma tecnica numerica bastante versatil e facil de adaptar a diferentes tiposde elementos estruturais e variados regimes de comportamento. Permite modelar comsimplicidade estruturas com geometria, condicoes de apoio e carregamentos perfeita-mente gerais.

No entanto, a utilizacao do MEF esta associada a obtencao de solucoes aproximadasonde nao vem verificadas de forma local as condicoes de equilıbrio, tanto no domınio,quanto na fronteira. Pode desta forma dizer-se que o MEF conduz a solucoes queestao contra a seguranca. Desta forma, esta ferramenta deve ser utilizada sempre combastante cuidado e deve ser sempre efectuada uma analise crıtica cuidada dos resultadosobtidos.

Neste documento e discutida a aplicacao do MEF na resolucao de problemas de porticosplanos. Esta completamente fora do ambito deste texto efectuar uma apresentacaodetalhada e formalmente completa do Metodo dos Elementos Finitos. O principalobjectivo deste documento corresponde a mostrar como a aplicacao dos procedimentosgerais discutidos anteriormente na analise de outro tipo de elemento estrutural (pecaslineares sujeitas apenas a carregamento axial) conduz a formulacao de elementos finitospara a analise de porticos planos. Pretende-se ainda sublinhar o significado fısico detodos os procedimentos e calculos e alertar para a necessidade de se efectuar umaanalise crıtica cuidada das solucoes obtidas.

Esta apresentacao nao dispensa a consulta de livros de texto onde esta materia eapresentada de forma mais completa e geral. Existem disponıveis excelentes livrospara a iniciacao ao estudo do MEF, dos quais sao exemplo os que se apresentam nasreferencias [2, 3, 4, 5].

Este documento encontra-se organizado em oito capıtulos. Depois deste capıtulo de

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2 CAPITULO 1. INTRODUCAO

introducao, as grandezas - deslocamentos, deformacoes, esforcos e cargas - envolvidasna caracterizacao do comportamento de elementos de viga e as equacoes que as per-mitem relacionar - condicoes de compatibilidade, relacoes constitutivas e condicoes deequilıbrio sao apresentadas e discutidas de forma detalhada. Neste capıtulo apenasse consideram carregamentos constituıdos por cargas perpendiculares ao eixo da pecalinear. Apresenta-se primeiro a teoria de vigas que permite ter em consideracao a de-formacao por corte, a qual passara a ser designada por teoria de vigas de Timoshenko.Depois e apresentada e discutida a formulacao que nao considera a deformacao porcorte, designada doravante por teoria de vigas de Euler Bernoulli. Esta e a teoria usu-almente considerada na analise de pecas lineares correntes em Engenharia Civil, umavez que a deformacao por corte so e relevante quando a relacao vao/altura da seccaotransversal e muito pequena.

No terceiro capıtulo e apresentada a formulacao de Elementos Finitos que permitedeterminar a solucao aproximada para problemas de vigas de Euler-Bernoulli. Numaprimeira fase e discutida a definicao da aproximacao para o campo de deslocamentosem cada um dos elementos em que se considera discretizada a estrutura em estudo.Calcula-se de seguida a matriz de rigidez elementar e e identificado o significado fısico decada uma das suas componentes. E analisada depois a construcao do vector das forcasnodais equivalentes elementares e discutido o significado fısico de cada uma das parcelasdeterminadas. Um conjunto de exemplos de aplicacao permite ilustrar a aplicacao doMEF na analise de problemas de vigas sem deformacao por corte e caracterizar o tipode solucao que se consegue obter com recurso a esta tecnica numerica. Sao recordadasnesta fase as caracterısticas gerais das solucoes aproximadas obtidas com recurso aometodo dos elementos finitos.

No quarto capıtulo e apresentada a formulacao que permite aplicar o metodo doselementos finitos na resolucao de porticos planos. Numa primeira seccao salienta-seque o conjunto de grandezas e equacoes com que e necessario trabalhar corresponde areuniao das grandezas e equacoes que foram tratadas no caso das pecas lineares comcarregamento axial (designadas por barras) e no caso das vigas de Euler-Bernoulli.Considera-se de novo neste capıtulo que a deformacao por corte e desprezada na analisedeste tipo de estruturas. Depois de se definirem as aproximacoes para os campos dedeslocamentos e as expressoes para as matrizes de rigidez elementares e para o vectordas forcas nodais equivalentes, e definida a mudanca de referencial que permite passar aser considerado o referencial global da estrutura em vez do referencial local associado acada um dos elementos finitos existentes na discretizacao. Esta mudanca de referenciale essencial quando se pretende analisar estruturas constituıdas por pecas lineares comorientacoes diferentes. Um exemplo de aplicacao e apresentado e discutido no finaldeste capıtulo.

No capıtulo cinco e apresentada a formulacao de elementos finitos para a analise devigas de Timoshenko. A importancia da informacao apresentada neste capıtulo estaassociada aos seguintes dois aspectos. Por uma lado, sempre que a viga em analise forespessa, ou seja, sempre que a relacao vao/altura da seccao transversal seja pequena,a deformacao por corte pode ser importante na caracterizacao do comportamento do

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elemento estrutural e deve ser utilizada a teoria de vigas de Timoshenko na analisedo problema. Por outro lado, a consideracao da deformacao por corte vem facilitarde forma bem visıvel a construcao da aproximacao para os campos de deslocamentosem cada um dos elementos finitos. Este aspecto sera de grande importancia quandose formular o metodo dos elementos finitos para a analise de lajes. A consideracaoda deformacao por corte vai permitir definir aproximacoes muito mais simples para oscampos de deslocamentos do que as que teriam de ser consideradas caso se considere ateoria de lajes sem deformacao por corte.

O capıtulo cinco comeca com a definicao da aproximacao para os campos de deslo-camentos em cada um dos elementos da malha. Discute-se depois a construcao damatriz de rigidez elementar e do vector das forcas nodais equivalentes elementares. Osignificado fısico de cada um destes operadores e discutido com detalhe. A analisede uma estrutura simples vai permitir ilustrar a aplicacao do metodo dos elementosfinitos na analise de vigas de Timoshenko. A analise crıtica dos resultados obtidosvai permitir identificar de novo as caracterısticas de uma solucao aproximada obtidacom esta tecnica numerica. O mesmo exemplo vai ser ainda utilizado para estudar aconvergencia das solucoes aproximadas obtidas.

O capıtulo dedicado ao estudo das vigas de Timoshenko termina com a discussao de umfenomeno que pode surgir quando se analisam pecas lineares com seccoes rectangularesde altura reduzida. Este fenomeno, conhecido por ”shear locking ou por travamentopor corte, e responsavel, quando surge, pela obtencao de solucoes aproximadas comple-tamente erradas. Felizmente, a adopcao de um procedimento simples permite evitaro aparecimento de tal fenomeno. Antes de se apresentar e discutir este remedio, enecessario entender a razao pela qual este fenomeno pode surgir.

No capıtulo seis, o metodo dos elementos finitos e utilizado na resolucao de proble-mas de vigas de Euler-Bernoulli em fundacao elastica. Este tipo de problemas ocorrecom alguma frequencia em Engenharia Civil; basta recordar por exemplo as vigas defundacao ou o caso dos carris dos caminhos de ferro.

As grandezas envolvidas na caracterizacao do comportamento destes elementos estru-turais sao em tudo semelhantes as que estamos habituados a lidar no caso dos elementosde viga de porticos planos. No entanto, na equacao diferencial que rege o comporta-mento deste tipo de estruturas surge um termo adicional que esta associado a reaccaovertical exercida pela fundacao sobre a viga.

Esta alteracao que a primeira vista parece pouco significativa, vai implicar uma al-teracao substancial no modo de funcionamento deste tipo de estruturas. Como se veranuma primeira fase, a resolucao analıtica deste tipo de problemas e bem mais compli-cada e pesada que a que usualmente se aplica na solucao de problemas correntes devigas, mesmo que se considerem condicoes de apoio e carregamento bem simples.

Depois de apresentadas as equacoes que regem o comportamento deste tipo de estru-tura, e descrita a forma atraves da qual se pode determinar a solucao analıtica exacta.Rapidamente se concluira que esta forma de efectuar os calculos e muito trabalhosa e

4 CAPITULO 1. INTRODUCAO

por vezes bem difıcil de um ponto de vista de tratamento matematico das equacoes. Edepois apresentada a formulacao de elementos finitos que permite determinar solucoesaproximadas na analise destes problemas. A grande diferenca corresponde ao termoadicional que se torna necessario incluir na definicao da matriz de rigidez elementar.Um conjunto de exemplos vai permitir ilustrar a aplicacao do metodo dos elementosfinitos na analise deste tipo de elementos estruturais.

A determinacao de frequencias proprias e modos de vibracao de vigas de Euler-Bernoullie discutida no capıtulo sete. As equacoes que regem o comportamento destes elementosestrutuais sao reescritas por forma a ter em conta a influencia das forcas de inercia.Depois de apresentadas estas equacoes, discute-se a forma atraves da qual o MEFpode conduzir a definicao de um problema de valores e vectores proprios que conduz adeterminacao dos modos de vibracao e respectivas frequencias. Para alem da matriz derigidez elementar com a constitucao ja conhecida anterioremnte, vai surgir a definicaode uma matriz de massas elementar, a qual vai assumir um papel importante noscalculos a efectuar. Este capıtulo termina com a apresentacao e discussao de umconjunto de exemplos de aplicacao, onde mais uma vez ressalta o caracter aproximadodesta tecnica numerica.

No capıtulo oito e discutida a aplicacao do MEF no desenvolvimento de analises linearesde estabilidade de vigas de Euler-Bernoulli. Pretende determinar-se cargas crıticas emodos de instabilidade com base na consideracao de efeitos geometricamente nao-lineares. Sao numa primeira fase apresentadas as equacoes que permitem efectuar estetipo de analise e depois e desenvolvida a formulacao de elementos finitos que permitedeterminar solucoes aproximadas para as grandezas que se pretende obter. Para aconstrucao do problema de valores e vectores proprios que conduz a determinacaode modos de encurvadura e respectivas cargas crıticas, vai ser necessario definir umamatriz de rigidez geometrica, para alem da matriz de rigidez habitual em elementosfinitos.

Capıtulo 2

Analise de vigas - Formulacao doproblema

2.1 Introducao

Neste capıtulo apresenta-se o conjunto de grandezas e de equacoes que permite carac-terizar o comportamento de vigas. Considera-se como viga uma peca linear rectilıneasujeita apenas a flexao. As forcas exteriores actuam perpendicularmente ao eixo dapeca linear, nao sendo consideradas quaisquer forcas actuantes com componentes naonulas segundo a direccao desse eixo.

Ao longo de todo este trabalho consideram-se as seguintes hipoteses:

• Linearidade fısica

• Linearidade geometrica

• Homogeneidade e isotropia do material estrutural

A hipotese da linearidade fısica corresponde a assumir para o material um compor-tamento elastico linear. Este facto simplifica as relacoes constitutivas, permitindo oestabelecimento de uma relacao linear entre esforcos e deformacoes.

A linearidade geometrica inclui a hipotese dos pequenos deslocamentos e das pequenasdeformacoes. E a hipotese que permite que as condicoes de equilıbrio possam serestabelecidas com base na configuracao indeformada da estrutura.

Numa primeira seccao e a apresentada a teoria de vigas de Timoshenko, a qual permiteter em consideracao o efeito da deformabilidade por corte. Depois de apresentados oscampos de deslocamentos, de deformacoes e de esforcos que sao necessarios para a ca-racterizacao do comportamento destes elementos estruturais, sao discutidas as equacoes

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6 CAPITULO 2. ANALISE DE VIGAS - FORMULACAO DO PROBLEMA

que as permitem relacionar: equacoes de compatibilidade, equilıbrio e elasticidade. Paranao tornar esta discussao demasiadamente extensa, a apresentacao sera efectuada deforma sucinta, havendo no entanto sempre o cuidado de salientar o significado fısidode cada uma das grandezas e operadores intervenientes.

Na segunda seccao e apresentada a teoria de vigas de Euler-Bernoulli, na qual sedespreza a deformabilidade por corte. Esta e a formulacao que e normalmente conside-rada quando se pretendem analisar estruturas correntes na area da Engenharia Civil. Aadopcao da formulacao de vigas de Timoshenko so se justifica quando a relacao vao dapeca/altura da seccao transversal e muito pequena ou quando se pretende simplificara formulacao de elementos finitos para a analise deste tipo de estruturas. Este ultimoaspecto apenas ficara claro depois da leitura do capıtulo 5.

E possıvel verificar que a teoria de vigas de Euler-Bernoulli pode ser considerada comoum caso limite da teoria de Timoshenko. As duas teorias tendem a fornecer uma mesmasolucao quando a relacao vao/altura da peca aumenta. Nestas situacoes, a deformacaopor corte passa a ser desprezavel e os resultados obtidos com recurso a estas duasformulacoes distintas tendem a coincidir.

A consulta dos elementos de estudo da disciplina de Resistencia de Materiais permiteaprofundar os topicos discutidos neste capıtulo.

2.2 Vigas de Timoshenko

Na teoria de vigas de Timoshenko, admite-se que:

H1 Seccoes planas inicialmente perpendiculares ao eixo da peca permanecem planasapos a deformacao do elemento estrutural, mas nao necessariamente perpendiculares aesse eixo.

Esta hipotese encontra-se ilustrada na figura 2.1. E a variacao do angulo formado entrea seccao transversal e o eixo da peca que permite o aparecimento de deformacoes decorte, aqui designadas por γ. Admite-se que todos os pontos pertencentes a uma mesmaseccao transversal plana apresentam o mesmo valor para o deslocamento na direccao z,o qual e designado por deslocamento transversal, w(x). A rotacao da seccao transversalplana em torno do eixo y e denotada por θ(x).

2.2.1 Campos de deslocamentos

O campo de deslocamentos numa seccao da viga e definido de forma unica se se conhe-cer o valor do deslocamento transversal, w(x), e o valor da rotacao θ(x). Como foi atrasreferido, estes deslocamentos correspondem aos dois movimentos da seccao transversalidentificados na figura 2.1

2.2. VIGAS DE TIMOSHENKO 7

Figura 2.1: Ilustracao da hipotese de Timoshenko

A analise da figura 2.1 permite ainda concluir que, dada a existencia da deformacaopor corte, γ, o valor da rotacao θ(x) nao pode ser determinada directamente a partir doconhecimento da inclinacao do eixo da peca, definida pela grandeza d w

d x. Para caracte-

rizar o campo de deslocamentos numa viga de Timoshenko e necessario considerar duasgrandezas independentes, as quais correspondem ao campo de deslocamentos, w(x), eao campo de rotacoes, θ(x).

De acordo com a figura 2.2, o valor das translaccoes ux(x, y, z) e uz(x, y, z) num pontoqualquer da seccao transversal de coordenada x e determinado atraves das igualdades:

ux(x, y, z) = z θ(x) (2.1)

uz(x, y, z) = w(x) (2.2)

2.2.2 Campos de deformacoes

Para caracterizar a mudanca de geometria que pode ocorrer num elemento de viga,sao necessarios dois campos de deformacao independentes: um para caracterizar adeformacao por flexao, o outro para caracterizar a deformacao por corte.

Para existir deformacao por flexao, e necessario que as fibras longitudinais (fibras coma direccao do eixo da peca) sofram extensoes axiais. E possıvel definir as extensoesaxiais em funcao dos deslocamentos. Tem-se desta forma:

εxx =∂ux(x, y, z)

∂x= z

d θ(x)

d x(2.3)


Figura 2.2: Campos de deslocamentos numa viga de Timoshenko

A equacao 2.3 permite verificar que a existencia de valores nao nulos para o campo deextensoes εxx, e por consequencia a existencia de deformacoes por flexao, obriga a quea derivada do campo de rotacoes ao longo do eixo da peca varie. Caso o campo derotacoes seja nulo ou constante, nao ha qualquer deformacao por flexao. A equacao 2.3permite ainda verificar que quanto maior for o valor de d θ(x)

d xmaior sera a deformacao

por flexao.

A grandeza que caracteriza o comportamento da peca a flexao e usual chamar curvatura,a qual e definida pela igualdade:

χ(x) =d θ(x)

d x(2.4)

Para caracterizar a deformacao por corte, e necessario determinar a variacao angularde duas fibras inicialmente perpendiculares e dispostas segundo as direccoes x e z,respectivamente. A deformacao correspondente, que aqui vai ser considerada como adeformacao por corte pretendida, γ(x), e dada pela igualdade:

γ(x) = γxz =∂ux(x, y, z)

∂z+

∂uz(x, y, z)

∂x(2.5)

= θ(x) +dw(x)

d x(2.6)

2.2.3 Campos de esforcos

Na figura 2.3 representam-se os esforcos que intervem na caracterizacao do comporta-mento da seccao transversal de uma viga.


Figura 2.3: Campos de esforcos numa viga

Os campos de esforcos correspondem a resultantes das componentes do tensor dastensoes definidas ao longo da seccao transversal. O momento flector M(x) correspondea resultante dos momentos provocados pela componente σxx(x, y, z):

M(x) =∫

Ωz σxx(x, y, z) dΩ (2.7)

A integracao na seccao transversal da componente σxz(x, y, z) da origem ao esforcotransverso V (x):

V (x) =∫

Ωσxz(x, y, z) dΩ (2.8)

2.2.4 Condicoes de compatibilidade

As condicoes de compatibilidade no domınio permitem relacionar os campos de de-formacoes com os campos de deslocamentos. Tendo em conta as equacoes (2.4) e (2.6),e possıvel escrever:

χ(x) =d θ(x)

d x(2.9)

γ(x) = θ(x) +dw(x)

d x(2.10)

As condicoes de compatibilidade podem ser escritas no seguinte formato matricial:

[χ(x)γ(x)

]=

d

d x0

1d

d x

[θ(x)w(x)

](2.11)

A equacao (2.11) permite identificar de imediato o operador diferencial de compatibi-lidade, [A], que desempenha um papel importante no desenvolvimento da formulacaode elementos finitos. Tem-se para o caso das vigas de Timoshenko:

[A] =

d

d x0

1d

d x

(2.12)


2.2.5 Relacoes de elasticidade

As relacoes de elasticidade permitem estabelecer a relacao existente entre os camposde esforcos e os campos de deformacoes instalados na viga.

O desenvolvimento da equacao (2.7) conduz a:

M(x) =∫

Ωz σxx(x, y, z) dΩ (2.13)

=∫

Ωz E εxx(x, y, z) dΩ (2.14)

Substituindo na igualdade anterior a definicao (2.3) obtem-se:

M(x) =∫

Ωz2 E χ(x) dΩ (2.15)

= E∫

Ωz2 dΩ χ(x) (2.16)

M(x) = EI χ(x) (2.17)

onde E corresponde ao modulo de elasticidade do material e I denota o momento deinercia da seccao transversal.

A definicao apresentada na equacao (2.8) para o esforco transverso permite escrever:

V (x) =∫

Ωσxz(x, y, z) dΩ (2.18)

=∫

ΩGγxz(x, y, z) dΩ (2.19)

=∫

ΩGγ(x) dΩ (2.20)

V (x) = GA γ(x) (2.21)

Nas equacoes anteriores, G correponde ao modulo de distorcao, o qual e definido por:

G =E

2 (1 + ν)(2.22)

onde ν corresponde ao coeficiente de Poisson do material estrutural.

Na obtencao da equacao (2.21) considerou-se de forma incorrecta que existe uma distri-buicao uniforme de tensoes tangenciais σxz ao longo da seccao transversal. E possıvelverificar que tal nao e possıvel, tendo em conta as equacoes de equilıbrio da elasticidadetridimensional. Assim sendo, e necessario introduzir na relacao constitutiva (2.21) umfactor correctivo que visa ter em conta a nao-uniformidade da distribuicao daquelastensoes tangenciais. E por essa razao que a area da seccao transversal, A, e substituıdapela area reduzida de corte, Ac, a qual pode ser definida atraves de:

Ac = κA (2.23)


A relacao constitutiva (2.21) transforma-se entao em:

V (x) = GAc γ(x) (2.24)

Para seccoes rectangulares, e usual utilizar o valor de 5/6 para o factor de forma κ.

As relacoes constitutivas podem ser escritas num formato matricial. Tendo em contaas equacoes (2.17) e (2.24), tem-se:

[M(x)V (x)

]=

EI 0

0 GAc

[χ(x)γ(x)

](2.25)

A equacao (2.25) permite identificar o operador elastico, [D], o qual sera utilizado nodesenvolvimento da formulacao de elementos finitos. Tem-se para o caso das vigas deTimoshenko:

[D] =

EI 0

0 GAc

(2.26)

2.2.6 Equacoes de equilıbrio

As condicoes de equilıbrio no domınio estabelecem as relacoes que devem existir entreos campos de esforcos e os carregamentos de vao aplicados. Para se estabelecerem ascondicoes de equilıbrio, considere-se o diagrama de corpo livre de um troco infinitesimalde viga, tal como se encontra ilustrado na figura 2.4. Como carregamentos consideram-se cargas transversais e momentos distribuıdos aplicados. Como o troco considerado einfinitesimal, e possıvel considerar que as cargas sao constantes no intervalo conside-rado.

Figura 2.4: Diagram de corpo livre de um troco infinitesimal de viga

O estabelecimento da condicao de equilıbrio na direccao vertical permite obter:

∑Fv = 0 ⇒ V − (V +

d V

d xdx)− p dx = 0 (2.27)

Simplificando a equacao anterior, obtem-se a primeira das condicoes de equilıbrio:

d V (x)

d x+ p(x) = 0 (2.28)


Impondo que o momento resultante calculado em relacao ao extremo inicial do trocoinfinitesimal se deve anular, e possıvel escrever:

∑M = 0 ⇒ M +

dM

dxd x−M + mdx− V dx− d V

d xdx dx− p dx

dx

2= 0 (2.29)

Desprezando infinitesimos de ordem superior, a segunda das condicoes de equilıbriopode ser escrita no formato:

dM(x)

d x+ m(x)− V (x) = 0 (2.30)

As condicoes de equilıbrio podem ser escritas matricialmente na forma:

d

d x−1

0d

d x

[M(x)V (x)

]+

[m(x)p(x)

]=

[00

](2.31)

2.2.7 Equacao da viga e condicoes de fronteira

A solucao exacta para uma viga de Timoshenko deve satisfazer em simultaneo ascondicoes de equilıbrio, elasticidade e equilıbrio no domınio. Deve tambem satisfa-zer todas as condicoes de fronteira.

As condicoes de fronteira podem ser de dois tipos: as condicoes de fronteira cinematica,nas quais se especifica qual o valor dos deslocamentos numa determinada fronteira, eas condicoes de fronteira estatica, as quais passam pela imposicao de um determinadovalor para as cargas directamente aplicadas nessa fronteira.

Considera-se que as extremidades da viga se podem encontrar encastradas, apoiadasou livres.

Figura 2.5: Tipos de apoio a considerar

Numa extremidade encastrada ha duas condicoes de fronteira cinematica a verificar.O deslocamento transversal e a rotacao devem ser nulos. Se esse apoio se verificar no

2.3. VIGAS DE EULER-BERNOULLI 13

no inicial, e possıvel escrever:

w(x = 0) = 0 , θ(x = 0) = 0 (2.32)

Numa extremidade apoiada, o deslocamento transversal deve ser nulo e o momentoflector deve ser igual ao momento concentrado que eventualmente aı esteja aplicado.Particularizando de novo para o no inicial e possıvel escrever:

w(x = 0) = 0 , M(x = 0) = m (2.33)

Finalmente, numa extremidade livre especificam-se duas condicoes de fronteira estatica.O momento flector e o esforco transverso devem ser iguais as cargas concentradas quenessa seccao possam estar aplicadas. Escreve-se:

V (x = 0) = f , M(x = 0) = m (2.34)

Problema 2.1 Estabeleca as condicoes de fronteira a considerar caso se considere umencastramento deslizante.

2.3 Vigas de Euler-Bernoulli

Na teoria de vigas de Euler-Bernoulli, e usual admitir que:

H2 Seccoes planas inicialmente perpendiculares ao eixo da peca permanecem planas eainda perpendiculares a esse eixo apos a deformacao do elemento estrutural.

Esta hipotese encontra-se ilustrada na figura 2.6, onde tambem se identifica o des-locamento transversal w(x) e a rotacao da seccao transversal, θ(x). Como a seccaotransversal permanece perpendicular ao eixo da peca apos deformacao, o valor da dis-torcao γxz e nula, sendo nula por consequencia a deformacao por corte.

2.3.1 Campos de deslocamentos

O campo de deslocamentos numa seccao da viga de Euler-Bernoulli e definido de formaunica se se conhecer o valor do deslocamento transversal, w(x), e da rotacao θ(x). Estesdeslocamentos encontram-se representados na figura 2.6.

Tendo em conta que nao ha deformacao por corte, ou seja, a seccao transversal planapermanece perpendicular ao eixo da peca, e possıvel verificar que o valor da rotacaoθ(x) e em valor absoluto igual ao valor da inclinacao do eixo da peca, definido peladerivada do campo de deslocamentos transversais, d w

d x.


Figura 2.6: Hipoteses de Bernoulli

Esta relacao pode ser obtida se na equacao (2.6) se considerar como nula a deformacaopor corte. Tem-se, nesse caso:

γ(x) = 0 ⇒ 0 = θ(x) +dw(x)

d x(2.35)

Obtem-se desta forma:

θ(x) = −dw(x)

dx(2.36)

A equacao (2.36) permite verificar que na caracterizacao do comportamento de umaviga de Euler-Bernoulli apenas e necessario definir um campo de deslocamentos inde-pendente, o campo de deslocamentos transversais w(x). A equacao para o campo derotacoes θ(x) e determinada pela aplicacao directa de (2.36).

2.3.2 Campos de deformacoes e de esforcos

Nas vigas de Euler-Bernoulli os campos de deformacoes e de esforcos que e necessarioconsiderar sao em tudo semelhantes aos que foram considerados no caso das vigas deTimoshenko. Exceptua-se como e claro o caso da deformacao por corte, γ(x), que nateoria de Euler-Bernoulli nao e considerada.


A relacao entre o campo de curvaturas e o campo de deslocamentos na viga de Euler-Bernoulli pode ser expressa, tal como no caso das vigas de Timoshenko, atraves da

2.3. VIGAS DE EULER-BERNOULLI 15

equacao (2.4). No entanto, e tendo em conta a equacao (2.36), e possıvel escrever umaequacao que relaciona directamente o campo de curvaturas com o campo de desloca-mentos transversais. Essa equacao e definida por:

χ(x) =d θ(x)

d x= −d2 w(x)

d x2(2.37)

As condicoes de compatibilidade podem ser escritas matricialmente no formato:

[χ(x)

]=

[− d2

d x2

] [w(x)

](2.38)

E entao possıvel verificar que no caso da teoria de vigas de Euler-Bernoulli o operadordiferencial de compatibilidade e dado por:

[A] =[− d2

d x2

](2.39)


A relacao entre os campos de momentos flectores, M(x), e os campos de curvaturas,χ(x), e em tudo semelhante a que se obteve para o caso das vigas de Timoshenko.Recorde-se que:

M(x) = EI χ(x) (2.40)

Dado que neste tipo de formulacao nao se considera a deformacao por corte, a deter-minacao do campo de esforcos transversos, V (x) nao pode ser efectuada directamenteatraves da aplicacao das relacoes de elasticidade. Nas vigas de Euler-Bernoulli, a de-terminacao do campo de esforcos transversos passa necessariamente pela utilizacao dacondicao de equilıbrio (2.30)1.

As relacoes constitutivas no caso das vigas de Euler-Bernoulli podem vir expressasmatricialmente na forma:

[M(x)

]=

[EI

] [χ(x)

](2.41)

O operador elastico e dado no caso da teoria das vigas de Euler-Bernoulli por:

[D] =[

EI]

(2.42)

1Este tipo de situacao e semelhante ao que se passa no caso das barras axialmente indeformaveis.Recorde-se que na analise de uma barra com estas caracterısticas, a obtencao do correspondente valorpara o esforco normal passa necessariamente pela utilizacao de equacoes de equilıbrio


2.3.5 Condicoes de equilıbrio

As condicoes de equilıbrio relacionam os campos de esforcos na viga, M(x) e V (x),com as cargas aplicadas, p(x).

d M(x)

dx= V (x) (2.43)

d V (x)

dx+ p(x) = 0 (2.44)

Frequentes vezes, as duas condicoes de equilıbrio acima indicadas sao transformadasnuma equacao apenas:

d2 M(x)

dx2+ p(x) = 0 (2.45)

E possıvel escrever matricialmente a equacao (2.45). Tem-se, nesse caso:

[d2

d x2

] [M(x)

]+

[p(x)

]=

[0

](2.46)

2.3.6 Equacao da viga e condicoes de fronteira

E possıvel efectuar a juncao das condicoes de equilıbrio, compatibilidade e elasticidadena obtencao de uma unica equacao. Obtem-se:

d4 w(x)

d x4=

p(x)

EI(2.47)

Esta e a equacao diferencial que rege o comportamento da viga quando se assumem ashipoteses de Euler-Bernoulli.

A consideracao da equacao diferencial no domınio nao permite, por si so, que se con-siga determinar a solucao da viga. Para que a analise se possa efectuar, torna-seindispensavel que se especifiquem as condicoes de fronteira.

O conjunto de condicoes de fronteira a considerar no caso da teoria de vigas de Euler-Bernoulli e em tudo semelhante ao que foi apresentado na seccao 2.2.7.

Capıtulo 3

Analise de vigas de Euler-Bernoulli

Neste capıtulo e discutida a aplicacao do metodo dos elementos finitos (MEF) naresolucao de problemas de vigas de Euler-Bernoulli.

Na primeira seccao e apresentada a formulacao para o elemento finito de viga. Discute-se de inıcio a definicao da aproximacao para o campo de deslocamentos transversaisem cada elemento finito. Depois de definidas as funcoes de aproximacao a utilizar, edeterminada a matriz de rigidez elementar e e salientado o significado fısico de cada umdos seus termos. Esta seccao termina com a discussao dos procedimentos que permitema determinacao do vector das forcas nodais equivalentes.

Na seccao seguinte e apresentado e discutido de forma detalhada um exemplo deaplicacao no qual se aplica o MEF na analise de uma viga contınua. Neste primeiroexemplo de aplicacao apenas se consideram cargas aplicadas nos nos da estrutura.Este exemplo vai servir para apresentar de forma detalhada todas as etapas de calculoenvolvidas na aplicacao do metodo dos elementos finitos.

Na terceira seccao e efectuada a analise de uma viga simplesmente apoiada sujeita aaccao de uma carga uniformemente distribuıda. Este exemplo vai permitir ilustrar amelhoria que se consegue obter na solucao aproximada quando se aumenta o numerode elementos finitos considerados na discretizacao da estrutura.

Por fim, e apresentado um terceiro exemplo de aplicacao, o qual corresponde a analisede uma segunda viga contınua. Neste caso existem cargas distribuıdas e cargas con-centradas aplicadas.

3.1 Formulacao do elemento finito de viga

A aplicacao do Metodo dos Elementos Finitos requer que a estrutura seja discretizada.Quer isto dizer que se deve dividir a estrutura em analise num conjunto de elemen-

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18 CAPITULO 3. ANALISE DE VIGAS DE EULER-BERNOULLI

tos de geometria simples e nos quais se define uma aproximacao para o campo dedeslocamentos transversais.

Discute-se nesta seccao a definicao da aproximacao para o campo de deslocamentostransversais em cada elemento finito. Recorde-se que desde que se conheca a apro-ximacao para o campo de deslocamentos transversais, w(x), a utilizacao das equacoesde compatibilidade permite definir a aproximacao para o campo de curvaturas χ(x) eas relacoes constitutivas permitem definir a aproximacao para o campo de momentosflectores, M(x).

3.1.1 Definicao da aproximacao do campo de deslocamentos

Sera que a utilizacao de um procedimento semelhante ao que foi seguido no caso dasbarras (pecas lineares submetidas apenas a carregamento axial) permite definir umaaproximacao adequada para o campo de deslocamentos transversais nos elementos deviga?

A utilizacao de tal raciocınio levaria a definir uma aproximacao linear para o campo dedeslocamentos envolvendo o valor dos deslocamentos transversais dos nos do elemento,representados na figura 3.1. Essa aproximacao seria escrita na forma:

w(x) = Ψ1(x) w1 + Ψ2(x) w2 (3.1)

= (1− x

L) w1 + (

x

L) w2 (3.2)

Figura 3.1: Definicao da aproximacao do campo de deslocamentos transversais: tenta-tiva 1

Sera que a aproximacao para o campo de deslocamentos transversais definida pelaequacao (3.2) permite garantir a verificacao de todas as condicoes de compatibilidade?A resposta e desde ja negativa. Antes de se avancar uma explicacao formalmente maiscorrecta, discuta-se a aproximacao que se construiria para o campo de deslocamentostransversais numa viga simplesmente apoiada sujeita a uma carga uniformemente dis-tribuıda se se considerasse uma discretizacao com dois elementos finitos. Tendo em

3.1. FORMULACAO DO ELEMENTO FINITO DE VIGA 19

conta que em cada um dos elementos de barra a aproximacao para o campo w e linear,obter-se-ia a deformada representada na figura 3.2. Tendo em conta que entre duasbarras nao podem existir rotacoes relativas a menos que exista uma libertacao internaque permita este tipo de movimento (o que nao e o caso nesta estrutura), e possıvelconcluir que a deformada apresentada nao e possıvel.

Figura 3.2: Problemas associados a definicao de uma aproximacao linear para o campode deslocamentos transversais

De um ponto de vista mais formal, como concluir que pode a deformada apresentadana figura 3.3 nao e compatıvel? Para que o fosse seria necessario poder calcular o valorda curvatura para qualquer uma das seccoes transversais da peca. Como o calculodas curvaturas exige a determinacao da segunda derivada do campo de deslocamentostransversais em todos os pontos do domınio, e necessario impor que o campo de des-locamentos e a sua primeira derivada (ou seja o campo de rotacoes) sejam contınuosem todo o domınio da estrutura. Ora e facil verificar que no exemplo apresentado ocampo de rotacoes e descontınuo entre os dois elementos finitos considerados na malha,o que impossibilita a definicao do valor da curvatura nessa seccao da estrutura. Estefacto implica que a solucao fornecida para o campo de deslocamentos nao satisfaz asnecessarias condicoes de compatibilidade.

Sempre que no operador diferencial de compatibilidade definido para um determinadotipo de elemento estrutural existam segundas derivadas, a verificacao das condicoesde compatibilidade obriga a que a aproximacao garanta a continuidade dos campos dedeslocamentos e das duas primeiras derivadas, tanto no domınio de cada elemento finitocomo ao longo de todas as fronteiras entre elementos. Este facto dificulta a definicaodas funcoes de aproximacao, sobretudo quando se comecam a considerar domıniosbidimensionais. Dizem-se de classe C1(x) as funcoes contınuas com primeiras derivadacontınuas.

Para garantir a verificacao das condicoes de continuidade do campo de deslocamentos edas suas derivadas, tanto no domınio como nas fronteiras entre elementos adjacentes, enecessario envolver na definicao do campo de deslocamentos transversais, w(x), o valordos deslocamentos transversais nos nos de extremidade do elemento finito e o valor


das rotacoes nesses mesmos nos. O conjunto de deslocamentos nodais elementares emfuncao dos quais se escreve a aproximacao para o campo de deslocamentos transversaisnum elemento de viga de Euler-Bernoulli e o que se apresenta na figura 3.3.

Figura 3.3: Elemento finito de viga

A aproximacao para o campo de deslocamentos transversais e expressa no seguinteformato geral:

we(xe) = ψ1(xe)q1 + ψ2(xe)q2 + ψ3(xe)q3 + ψ4(xe)q4 (3.3)

Cada uma das funcoes de aproximacao utilizadas em (3.3) tem um significado fısico

Figura 3.4: Funcoes de aproximacao para o elemento de viga de Euler-Bernoulli

claro: a funcao ψj(xe) corresponde ao campo de deslocamentos transversais w(x) quese desenvolve no elemento finito de viga quando se impoe o deslocamento nodal in-dependente j com valor unitario, qj = 1, e se garante que os restantes sao nulos, ou


seja, qk = 0, com k 6= j (e na ausencia de quaisquer cargas de vao). Estas funcoes deaproximacao encontram-se representadas na figura 3.4. Nos calculos que se efectuamde seguida considera-se sempre o referencial local associado a cada elemento finito. Aorigem desse referencial local corresponde sempre ao no inicial do elemento, podendoescrever-se que 0 ≤ xe ≤ L. Por simplicidade, e sempre que tal nao possa originarqualquer duvida, omite-se o ındice e na identificacao do referencial local do elementofinito.

Como definir cada uma das funcoes de aproximacao? O primeiro passo para a suadeterminacao corresponde a identificacao do grau dessas funcoes. Tendo em conta quese especifica para cada uma delas um conjunto de quatro condicoes (o valor que a funcaoe a sua primeira derivada tomam em cada uma das duas extremidades do elemento deviga), cada funcao de aproximacao corresponde a um polinomio do terceiro grau. Podeescrever-se de forma generica:

ψj(xe) = a + b xe + c x2e + d x3

e (3.4)

As constantes a, b, c e d sao determinadas tendo em conta o conjunto de restricoes,ou seja, de deslocamentos que sao impostos na definicao de cada uma das funcoes deaproximacao, ψj(x).

Para se determinar a funcao de aproximacao ψ1(x), recorde-se que este e o valor docampo de deslocamentos que surge no elemento de viga quando se impoe a rotacaono no inicial com valor unitario e se garante que os restantes deslocamentos nodaiselementares sao nulos. Pode escrever-se:

w(x) = ψ1(x) = a + b x + c x2 + d x3 (3.5)

θ(x) = −dψ1(x)

d x= −b− 2 c x− 3 d x2 (3.6)

As condicoes a considerar para a determinacao das constantes sao as seguintes:

w(0) = 0 ; w(L) = 0 ; θ(0) = 1.0 ; θ(L) = 0 (3.7)

Tendo em conta as equacoes (3.5) e (3.6) e possıvel escrever:

w(0) = 0 ⇒ a + b 0 + c 02 + d 03 = 0 (3.8)

w(L) = 0 ⇒ a + b L + c L2 + dL3 = 0 (3.9)

θ(0) = 1 ⇒ −b− 2 c 0− 3 d 02 = 1.0 (3.10)

θ(L) = 0 ⇒ −b− 2 c L− 3 dL2 = 0 (3.11)

(3.12)

A resolucao do sistema de equacoes anterior permite determinar

d → −L−2, c → 2

L, a → 0, b → −1 (3.13)


Finalmente, a funcao de aproximacao ψ1(x) e dada pela igualdade:

ψ1(x) = −x +2 x2

L− x3

L2(3.14)

Um raciocınio semelhante permite obter as restantes funcoes de aproximacao. Tem-se:

ψ1(x) = −x +2 x2

L− x3

L2(3.15)

ψ2(x) =x2

L− x3

L2(3.16)

ψ3(x) = −1 +3 x2

L2− 2 x3

L3(3.17)

ψ4(x) =−3 x2

L2+

2 x3

L3(3.18)

Problema 3.1: Deduza as funcoes de aproximacao ψ2(x), ψ3(x) e ψ4(x).

A definicao (3.3) para o campo de deslocamentos transversais no elemento de vigaapenas permite determinar a solucao exacta quando nao estao aplicadas quaisquercargas de vao. No entanto, e importante desde ja referir que no caso dos elementosde viga e possıvel redefinir a aproximacao dada por forma a ser possıvel recuperar asolucao exacta para o problema, mesmo considerando carregamentos de vao [6]. Adiscussao deste assunto sera retomada na seccao 3.3.

A aproximacao (3.3) pode ser apresentada matricialmente na forma:

w(x) = Ψq =[

ψ1(x) ψ2(x) ψ3(x) ψ4(x)]

q1

q2

q3

q4

(3.19)

Mais uma vez fica claro que para se conseguir a definicao da aproximacao em cadaelemento, e apenas necessario conhecer o valor dos deslocamentos nodais elementares,qi. A matriz das funcoes de aproximacao pode ser expressa no seguinte formato:

Ψ =[−x +

2 x2

L− x3

L2

x2

L− x3

L2−1 +

3 x2

L2− 2 x3

L3

−3 x2

L2+

2 x3

L3

](3.20)

A aproximacao para o campo de curvaturas pode ser escrita matricialmente na forma:

χ(x) = Bq =[−d2 ψ1(x)

d x2−d2 ψ2(x)

d x2−d2 ψ3(x)

d x2−d2 ψ4(x)

d x2

]

q1

q2

q3

q4

(3.21)


Para o elemento de viga de Euler-Bernoulli, a matriz B tem uma linha (porque nestetipo de elemento estrutural apenas se considera um campo de deformacoes) e quatrocolunas (porque existem quatro deslocamentos nodais elementares). Tendo em contaas funcoes de aproximacao determinadas anteriormente, e possıvel verificar que:

B =[ −4

L+

6 x

L2

−2

L+

6 x

L2

−6

L2+

12 x

L3

6

L2− 12 x

L3

](3.22)

Cada uma das colunas da matriz B tem um significado fısico bem preciso. Assim,a coluna j da matriz B contem o campo de curvaturas que surge na viga quando seimpoe qj = 1 e se garante que todos os restantes deslocamentos independentes saonulos, qk = 0 com k 6= j (de novo, na ausencia de quaisquer cargas de vao).

Em cada um dos elementos da malha de elementos finitos ter-se-a:

χ(x) = (−4

L+

6 x

L2) q1 + (

−2

L+

6 x

L2) q2 + (

−6

L2+

12 x

L3) q3 + (

6

L2− 12 x

L3) q4 (3.23)

A aproximacao para o campo de momentos flectores pode ser obtida atraves da consi-deracao das relacoes de elasticidade. Tendo em conta que

M(x) = DBq

e possıvel escrever:

M(x) = [EI][−d2 ψ1(x)

d x2−d2 ψ2(x)

d x2−d2 ψ3(x)

d x2−d2 ψ4(x)

d x2

]

q1

q2

q3

q4

(3.24)

Na equacao anterior, a matriz D e constituıda pela rigidez a flexao do elemento deviga. De uma forma mais geral , pode dizer-se que a matriz D contem as proprieda-des mecanicas do elemento finito que permitem caracterizar o comportamento elasticolinear do material estrutural e relacionar os campos de esforcos com os campos dedeformacoes.

A aproximacao para o campo de momentos flectores em cada um dos elementos damalha de elementos finitos e dada pela igualdade:

M(x) = EI (−4

L+

6 x

L2) q1 +EI (

−2

L+

6 x

L2) q2 +EI (

−6

L2+

12 x

L3) q3 +EI (

6

L2− 12 x

L3) q4

(3.25)

3.1.2 Definicao da matriz de rigidez elementar

Na figura 3.5 encontram-se identificadas as forcas nodais equivalentes associadas a cadaum dos deslocamentos nodais elementares.


A matriz de rigidez elementar permite relacionar os deslocamentos nodais elementares,qi, com as correspondentes forcas nodais, Fi, pelo que no elemento de viga de Euler-Bernoulli este operador tem quatro linhas e quatro colunas.

Figura 3.5: Deslocamentos e forcas nodais elementares

A matriz de rigidez elementar depende das caracterısticas geometricas e mecanicas doelemento finito considerado. O seu calculo passa pela aplicacao da equacao geral [2, 5]:

k(e) =∫ L

0Bt DB dx (3.26)

Substituindo na equacao (3.26) as matrizes B e D anteriormente definidas obtem-se:

k(e) =∫ L

0

−4

L+

6 x

L2

−2

L+

6 x

L2

−6

L2+

12 x

L3

6

L2− 12 x

L3

[EI

] [ −4

L+

6 x

L2

−2

L+

6 x

L2

−6

L2+

12 x

L3

6

L2− 12 x

L3

]dx

(3.27)Efectuando as integracoes definidas na equacao (3.27) e possıvel obter:

k(e) = EI

4

L

2

L

6

L2

−6

L2

2

L

4

L

6

L2

−6

L2

6

L2

6

L2

12

L3

−12

L3

−6

L2

−6

L2

−12

L3

12

L3

(3.28)


Na coluna j da matriz k(e) encontram-se listadas as forcas nodais equivalentes quesurgem quando se impoe qj = 1 e se garante que todos os restantes deslocamentosnodais elementares sao nulos, qk = 0 com k 6= j. A identificacao do significado fısico decada uma das colunas da matriz de rigidez elementar pode ser encontrada na figura 3.6.

Figura 3.6: Significado fısico dos elementos da matriz de rigidez elementar

Problema 3.2 Determine o termo K11 da matriz de rigidez elementar para um ele-mento de viga para o qual a altura da seccao rectangular transversal varia ao longo doeixo da peca segundo a equacao h(x) = ho + (h1 − h0)x/L.

Problema 3.3 A matriz de rigidez elementar definida na equacao (3.28) contem ainformacao disponibilizada nas tabelas da solucao complementar para barras biencas-tradas utilizadas na resolucao de porticos planos com recurso ao metodo dos desloca-mentos. Determine agora a matriz de rigidez elementar quando se considera que noelemento de viga existe uma libertacao de momento flector na seccao final. Esta ma-triz de rigidez deve permitir recuperar a informacao existente nas tabelas da solucaocomplementar das vigas encastradas-apoiadas.

3.1.3 Vector das forcas nodais elementares

Na formulacao do elemento finito de viga e necessario substituir as cargas aplicadas novao de cada uma das barras por um conjunto de forcas nodais equivalentes elementares.Este conjunto de forcas nodais deve ser estaticamente equivalente ao carregamento de


vao aplicado. Para assegurar esta equivalencia estatica, as forcas nodais equivalentessao determinadas de forma a garantir que realizam, qualquer que seja a deformadaconsiderada, o mesmo trabalho que as cargas distribuıdas que substituem. O significadofısico dos elementos deste vector encontra-se representado na figura 3.7.

Esta equivalencia estatica conduz a seguinte definicao generica para o vector das forcasnodais equivalentes [2, 5]:

F =∫ L

0Ψt p dx , (3.29)

onde no vector p se lista a carga de vao aplicada no domınio do elemento.

Figura 3.7: Significado fısico das forcas nodais equivalentes elementares

Desenvolvendo a equacao (3.29) e possıvel escrever:

F =∫ L

0

ψ1(x)

ψ2(x)

ψ3(x)

ψ4(x)

[p(x)] dx =∫ L

0

−x +2 x2

L− x3

L2

x2

L− x3

L2

−1 +3 x2

L2− 2 x3

L3

−3 x2

L2+

2 x3

L3

[p(x)] dx (3.30)

Se se considerar uma carga trapezoidal expressa na forma,

p(x) = p1 + (p2 − p1) x/L

o vector das forcas nodais equivalentes sera dado por:

F(e) =

−L2

60(3 p1 + 2 p2)

L2

60(2 p1 + 3 p2)

− L

20(7 p1 + 3 p2)

− L

20(3 p1 + 7 p2)

(3.31)

3.2. ANALISE DE UMA VIGA CONTINUA (EXEMPLO 1) 27

Se a carga aplicada for uniformemente distribuıda, p(x) = p, o vector das forcas nodaisequivalentes e dado por:

F(e) =

−L2 p

12

L2 p

12

Lp

2

−Lp

2

(3.32)

Problema 3.4 Obtenha o vector das forcas nodais equivalentes para uma carga uni-formemente distribuıda parcelar, caracterizada por p(x) = p, quando 0 ≤ x ≤ L/2 ep(x) = 0 quando L/2 < x ≤ L.

Problema 3.5 Obtenha o vector das forcas nodais equivalentes quando se consideraa existencia de uma variacao linear de temperatura, θL, ao longo da seccao transversalda viga de Euler-Bernoulli.

Problema 3.6 Determine o vector das forcas nodais equivalentes associado a umacarga uniformemente distribuıda aplicada numa viga de Euler-Bernoulli quando seconsidera a existencia uma libertacao de momento flector (rotula) na seccao final doelemento de barra.

Problema 3.7 Determine o vector das forcas nodais equivalentes elementares associadoa um momento uniformemente distribuıdo aplicado a uma viga de Euler-Bernoulli.

3.2 Analise de uma viga contınua (exemplo 1)

Considere-se a estrutura representada na figura 3.8. Pretende-se determinar umasolucao aproximada para esta estrutura utilizando o metodo dos elementos finitos.

Figura 3.8: Analise de uma viga contınua - exemplo 1

Este exemplo vai servir para recordar de forma detalhada quais os passos envolvidosna resolucao de uma estrutura com recurso ao Metodo dos Elementos Finitos.


As diferentes etapas sao apresentadas com algum detalhe, sendo dedicada especialatencao a discussao do significado fısico de cada uma das operacoes efectuadas.

3.2.1 Discretizacao da estrutura

Na figura 3.9 apresenta-se a discretizacao considerada na analise desta estrutura, aqual envolve a utilizacao de uma malha com dois elementos finitos. Tendo em contaque nao existem cargas de vao em qualquer uma das barras da estrutura, pode desdeja afirmar-se que a solucao exacta para o campo de deslocamentos transversais e doterceiro grau. Uma vez que na definicao da aproximacao do campo de deslocamentosem cada um dos elementos da malha se utilizam funcoes de aproximacao polinomiais degrau tres, e possıvel desde ja antever que a solucao obtida com recurso ao metodo doselementos finitos vai permitir neste caso recuperar a solucao exacta para a estrutura.

Na figura 3.9 identificam-se tambem os referenciais locais em funcao dos quais se vaidefinir a aproximacao para o campo de deslocamentos transversais em cada um doselementos da malha. A menos que algo seja expressamente referido, todas as grandezase equacoes que vao surgir na resolucao desta estrutura vao estar referidas a essesreferenciais locais.

Figura 3.9: Discretizacao da viga contınua - exemplo 1

3.2.2 Identificacao dos deslocamentos independentes

Na figura 3.10 identificam-se os deslocamentos independentes a considerar na analise daestrutura. Estes deslocamentos correspondem aos deslocamentos nodais que se tornanecessario restringir para que todos os nos da discretizacao passem a estar impossibi-litados de se movimentarem.

Existindo dois deslocamentos independentes, e desde ja possıvel verificar que o sistemade equacoes global corresponde a um sistema de duas equacoes a duas incognitas.


Figura 3.10: Identificacao dos deslocamentos independentes

3.2.3 Definicao da aproximacao

Para a definicao da aproximacao para o campo de deslocamentos transversais em cadaelemento e necessario ter em conta a tabela de incidencias, apresentada no quadro 3.1.

Elemento q1 q2 q3 q4

1 − d1 − −2 d1 − − d2

Tabela 3.1: Tabela de incidencias

Tendo em conta o conteudo da tabela de incidencias e a aproximacao generica definidana equacao (3.3) e possıvel escrever para cada um dos elementos da discretizacao:

w(x1) = ψ1(x1) q1 + ψ2(x1) q2 + ψ3(x1) q3 + ψ4(x1) q4 (3.33)

w(x1) = ψ2(x1) d1 (3.34)

w(x1) =

(x2

1

4− x3

1

16

)d1 (3.35)

w(x2) = ψ1(x2) q1 + ψ2(x2) q2 + ψ3(x2) q3 + ψ4(x2) q4 (3.36)

w(x2) = ψ1(x2) d1 + ψ4(x2) d2 (3.37)

w(x2) =

(−x2 + x2

2 −x3

2

4

)d1 +

(−3

x22

4+ 2

x32

8

)d2 (3.38)


3.2.4 Definicao das equacoes elementares

Tendo em conta a definicao (3.28) e a dimensao de cada um dos elementos de vigaexistente na discretizacao considerada, as matrizes de rigidez elementares sao definidaspor:

K(1) = EI

11

2

3

8

−3

8

1

21

3

8

−3

8

3

8

3

8

3

16

−3

16

−3

8

−3

8

−3

16

3

16

(3.39)

K(2) = EI

2 13

2

−3

2

1 23

2

−3

2

3

2

3

2

3

2

−3

2

−3

2

−3

2

−3

2

3

2

(3.40)

Como nao existem quaisquer cargas de vao aplicadas, o vector das forcas nodais equi-valente e nulo em qualquer um dos elementos. Tem-se entao:

F(1) = F(2) =

0

0

0

0

(3.41)

3.2.5 Reuniao das equacoes elementares

Para obter as equacoes de equilıbrio global e agora necessario identificar a contribuicaode cada um dos elementos da malha para a matriz de rigidez da estrutura e para ovector das forcas nodais equivalentes globais.

Para este calculo utiliza-se a informacao disponibilizada na tabela de incidencias (3.1).


Aplicando o processo de reuniao habitual, e possıvel estabelecer que:

k11 = k(1)22 + k

(2)11 k12 = k

(2)14

k21 = k(2)41 k22 = k

(2)44

(3.42)

A definicao dos termos da matriz de rigidez global em funcao dos termos das matrizesde rigidez elementares foi efectuada com base na manipulacao da informacao existenteem cada uma das linhas da tabela de incidencias.

Para se identificar a contribuicao de um determinado elemento para a matriz de rigi-dez da estrutura, e necessario varrer a linha correspondente da tabela de incidenciase identificar todos os deslocamentos independentes globais aı definidos. Pode dizer-seque o elemento em causa vai contribuir para todos os termos da matriz de rigidez daestrutura que tenham ındices que correspondam a todas as combinacoes dos ındiceslistados na linha correspondente da tabela de incidencias. Para se encontrar a contri-buicao desse elemento para cada uma das entradas da matriz de rigidez global assimidentificadas, basta ter em conta a relacao definida entre a numeracao para os deslo-camentos independentes da estrutura e a numeracao adoptada para os deslocamentosnodais elementares.

Figura 3.11: Significado fısico da primeira coluna da matriz de rigidez da estrutura

O mesmo resultado seria obtido se se utilizasse um procedimento mais parecido com oque e seguido na aplicacao do metodo dos deslocamentos para a resolucao de problemasde porticos. Este tipo de raciocınio e agora aplicado na identificacao directa de cada


uma das colunas da matriz de rigidez da estrutura tendo em conta o seu significadofısico.

A primeira coluna da matriz de rigidez da estrutura vai listar as forcas globais F1 e F2

que surgem quando se impoe o deslocamento independente global d1 com valor unitarioe se garante que os restantes se anulam.

A deformada correspondente encontra-se representada na figura 3.11. Ao ser impostauma rotacao unitaria no no B, todos os elementos que partilham esse no vao deformar-se. Obervando a figura 3.11, conclui-se que a deformada no elemento 1 corresponde aque se obtem quando se impoe q

(1)2 = 1 e q

(1)j = 0, com j 6= 2. Ja no caso do elemento

2, e possıvel observar que a deformada que se desenvolve e a que esta associada aimposicao de q

(2)1 = 1 e q

(2)j = 0, com j 6= 1. E importante verificar que se poderia

ter chegado a mesma conclusao sem sequer olhar para as deformadas representadas nafigura 3.11 . Bastaria ter em conta a informacao transmitida pela tabela de incidencias3.1, a qual permite verificar que o deslocamento independente global d1 correspondeao deslocamento q2 do elemento 1 e ao deslocamento q1 do elemento 2.

Identificados os deslocamentos nodais elementares que estao a ser prescritos em cadaum dos elementos de viga quando de impoe o deslocamento independente d1 com valorunitario, e possıvel identificar as forcas nodais equivalentes que se desenvolvem em cadaum desses mesmos elementos. Tendo em conta o significado fısico de cada uma dascolunas da matriz de rigidez elementar, e possıvel concluir que no elemento 1 as forcasque surgem correspondem a segunda coluna da matriz de rigidez elementar, enquantoque no elemento 2 as forcas nodais equivalentes correspondem a primeira coluna damatriz de rigidez elementar. Esta informacao encontra-se representada na figura 3.11.

E agora possıvel identificar os termos da primeira coluna da matriz de rigidez daestrutura, calculando a resultante dos momentos alicados nas seccoes adjacentes ao noB e determinando a resultante das forcas verticais aplicadas nas seccoes adjacentes aono C. Recuperam-se as equacoes ja anterioremente determinadas unicamente atravesda manipulacao da informacao disponibilizada na tabela de incidencias.

Para se determinar a segunda coluna da matriz de rigidez da estrutura pode ser de-senvolvido um procedimento em tudo semelhante ao que acaba de ser exposto. Paracomecar, e necessario tracar a deformada que surge na estrutura quando se impoe osegundo dos deslocamentos independentes com valor unitario e se garante que os res-tantes sao nulos. A deformada correspondente encontra-se representada na figura 3.12.Como o no onde se impoe o deslocamento pertence apenas ao segundo elemento deviga, apenas vao surgir deformacoes e esforcos nesse mesmo elemento finito. Daquiser possıvel concluir que o elemento de viga 1 em nada contribui para os termos dasegunda coluna da matriz de rigidez da estrutura. A deformada que surge neste casono elemento 2 e a que corresponde a imposicao de q

(2)4 = 1 e q

(2)j = 0, com j 6= 4. As

forcas nodais equivalentes a considerar neste caso sao as que se encontram listadas nacoluna 4 da matriz de rigidez elementar, tal como se encontra ilustrado na figura 3.12.Tendo em conta a informacao representada nesta figura, e agora possıvel determinar os


Figura 3.12: Significado fısico da segunda coluna da matriz de rigidez da estrutura

termos da segunda coluna da matriz de rigidez da estrutura e recuperar as definicoesja apresentadas na equacao (3.42).

Substituindo em (3.42) os termos das matrizes de rigidez elementares, e possıvel obter:

k11 =4EI

4+

4EI

2k12 = −3EI

2

k21 = −3EI

2k22 =

3EI

2

(3.43)

Simplificando as equacoes anteriores, e possıvel obter para a seguinte matriz de rigidezda estrutura:

K∗ = EI

3 −3/2

−3/2 3/2

(3.44)

Existe ainda um outro procedimento que permite efectuar a determinacao da matrizde rigidez global atraves da reuniao das contribuicoes elementares. Esta alternativae formalmente correcta, mas menos pratica que a utilizacao directa da informacaodisponibilizada nas tabelas de incidencias. Desta forma, embora seja aqui apresentadacom o intuito de tornar mais completa esta discussao, esta via alternativa nao vai serseguida nos restantes exemplos apresentados neste documento.

A identificacao da contribuicao de cada elemento para a matriz de rigidez da estruturapode passar pela definicao de uma matriz de incidencias elementar. Essa matriz deincidencias, aqui denotada por J(e), relaciona os deslocamentos nodais elementares comos deslocamentos independentes da estrutura. A matriz de incidencias elementar vaiter um numero de linhas igual ao numero de deslocamentos nodais elementares (quatro,no caso dos elementos de viga de Euler-Bernoulli) e um numero de colunas igual ao


numero de deslocamentos independentes da estrutura (dois, no exemplo que esta a seranalisado).

Para cada elemento da malha, a matriz de incidencias permite definir:

q(e) = J(e) d, (3.45)

onde nos vectores q(e) e d se listam os deslocamentos nodais elementares e os desloca-mentos independentes da estrutura, respectivamente.

No caso da estrutura em analise, as matrizes de incidencia sao definidas por:

J(1) =

0 0

1 0

0 0

0 0

, J(2) =

1 0

0 0

0 0

0 1

(3.46)

Estas matrizes de incidencia permitem estabelecer:

q1

q2

q3

q4

(1)

=

0 0

1 0

0 0

0 0

[d1

d2

],

q1

q2

q3

q4

(2)

=

1 0

0 0

0 0

0 1

[d1

d2

](3.47)

Nao e agora difıcil verificar que a informacao contida nas matrizes de incidencia e emtudo identica a que e fornecida pela habitual tabela de incidencias.

Uma vez definida a matriz de incidencia elementar, a contribuicao do elemento finitoem causa para a matriz de rigidez da estrutura e dada por:

K(e)∗ =

(J(e)

)tK(e) J(e) (3.48)

Na equacao (3.48), a matriz K(e)∗ contem a contribuicao do elemento e para a matriz

de rigidez da estrutura. Tendo em conta as dimensoes da matriz de incidencias J(e), efacil verificar que K(e)

∗ e uma matriz quadrada com uma dimensao identica a da matrizde rigidez global.

Calculada a contribuicao de cada elemento atraves da aplicacao da equacao (3.48), epossıvel determinar a matriz de rigidez da estrutura atraves da seguinte equacao:

K∗ =nel∑

e=1

K(e)∗ =

nel∑

e=1

(J(e)

)tK(e) J(e) (3.49)

Na equacao anterior, nel corresponde ao numero de elementos finitos existentes nadiscretizacao adoptada.


No problema em analise, a aplicacao das equacoes anteriores permite obter:

K(1)∗ =

0 0

1 0

0 0

0 0

t

k(1)11 k

(1)12 k

(1)13 k

(1)14

k(1)21 k

(1)22 k

(1)23 k

(1)24

k(1)31 k

(1)32 k

(1)33 k

(1)34

k(1)41 k

(1)42 k

(1)43 k

(1)44

0 0

1 0

0 0

0 0

=

k(1)22 0

0 0

(3.50)

K(2)∗ =

1 0

0 0

0 0

0 1

t

k(2)11 k

(2)12 k

(2)13 k

(2)14

k(2)21 k

(2)22 k

(2)23 k

(2)24

k(2)31 k

(2)32 k

(2)33 k

(2)34

k(2)41 k

(2)42 k

(2)43 k

(2)44

1 0

0 0

0 0

0 1

=

k(2)11 k

(2)14

k(2)41 k

(2)44

(3.51)

A matriz de rigidez da estrutura e dada entao por:

K∗ =

k(1)22 0

0 0

+

k(2)11 k

(2)14

k(2)41 k

(2)44

=

k(1)22 + k

(2)11 k

(2)14

k(2)41 k

(2)44

(3.52)

Para se concluir a determinacao do sistema de equilıbrio global, e agora necessariodeterminar o vector das forcas nodais equivalentes. Este vector tem em conta as forcasnodais directamente aplicadas a estrutura e a contribuicao dos vectores de forcas nodaisequivalentes associados a cada elemento da malha.

Tal como no caso da matriz de rigidez da estrutura, a identificacao da contribuicaode cada elemento finito para o vector de forcas nodais equivalentes global pode serefectuado com recurso directo a informacao contida na tabela de incidencias, ou atravesda consideracao das matrizes de incidencia elementares anteriormente definidas. Etambem possıvel obter a mesma informacao atraves da utilizacao de um raciocıniosemelhante ao que e aplicado no tratamento da solucao particular do metodo dosdeslocamentos quando aplicado a resolucao de problemas de porticos planos.

Se se utilizar a tabela de incidencias, cada elemento finito vai contribuir para as forcasnodais globais cujos ındices estejam listados na linha correspondente. Para encontrara contribuicao correspondente, e necessario ter em conta a relacao existente entre anumeracao elementar e a numeracao global para os graus de liberdade (deslocamentosindependentes) considerados na analise.

A aplicacao deste procedimento permite escrever para o problema em estudo:

F1 = F nodal1 + F

(1)2 + F

(2)1

F2 = F nodal2 + F

(2)4

(3.53)


onde F nodalj corresponde a carga nodal aplicada segundo a direccao do deslocamento

independente j.

No exemplo em estudo, e tendo em atencao que nao existe qualquer carregamento devao, e possıvel verificar que:

[F1

F2

]=

F nodal

1

F nodal2

=

10

−5

(3.54)

O calculo da contribuicao de cada elemento finito pode ser efectuado tambem combase na consideracao das matrizes de incidencia. A contribuicao do elemento e podeser estabelecida a partir de:

F(∗e) =

(J(e)

)tF(e) (3.55)

Tendo em conta as dimensoes da matriz de incidencias elementar, J(e), e possıvel verifi-car que o vector F(

∗e) tem um numero de coeficientes igual ao numero de deslocamentosindependentes da estrutura, ou seja, tem uma dimensao igual ao do vector das forcasnodais equivalentes globais. Somando a contribuicao de cada elemento, obtem-se:

F =nel∑

e=1

F(e)∗ + F(nodal) =

nel∑

e=1

(J(e)

)tF(e) + F(nodal) (3.56)

Aplicando a equacao (3.55) a cada um dos elementos da malha em estudo vem:

F(1)∗ =

0 0

1 0

0 0

0 0

t

F(1)1

F(1)2

F(1)3

F(1)4

=

F(1)2

0

(3.57)

F(2)∗ =

1 0

0 0

0 0

0 1

t

F(2)1

F(2)2

F(2)3

F(2)4

=

F(2)1

F(2)4

(3.58)

Tendo em conta a equacao (3.56), obtem-se finalmente:

[F1

F2

]= F(1)

∗ + F(1)∗ + F(nodal) =

F(1)2

0

+

F(2)1

F(2)4

+

F(nodal)1

F(nodal)2

=

10

−5

(3.59)

Problema 3.8 Com base no raciocınio habitualmente utilizado no tratamento dasolucao particular associada a aplicacao do metodo dos deslocamentos na resolucao deporticos planos, recupere a expressao para o vector das forcas nodais globais.


3.2.6 Resolucao das equacoes de equilıbrio globais

A equacao do metodo dos elementos finitos (equacao de equilıbrio de forcas nodais) eescrita no formato geral:

K∗ d = F (3.60)

Tendo em conta os operadores calculados na seccao anterior, e possıvel escrever nestecaso:

EI

3 −3/2

−3/2 3/2

[d1

d2

]=

10

−5

(3.61)

A resolucao deste sistema de equacoes conduz a determinacao dos valores para osdeslocamentos independentes. Obtem-se:

[d1

d2

]=

1

EI

[10/3

0

](3.62)

3.2.7 Definicao da solucao aproximada

Substituindo os valores dos deslocamentos independentes nas aproximacoes definidasna seccao 3.2.3 obtem-se a solucao aproximada para o campo de deslocamentos emcada um dos elementos de barra. Tem-se desta forma:

w(x1) =−5

24EI(x1 − 4) x2

1 (3.63)

w(x2) =−5

6EI(x2 − 2)2 x2 (3.64)

A aproximacao para o campo de deslocamentos transversais em cada elemento finito eexpresso nos respectivos referenciais locais, xi, os quais tem como origem o no inicialdo elemento. Tambem seria possıvel escrever estas aproximacoes no referencial gobalda estrutura. Assumindo que este referencial coincide com o eixo das barras e temcomo origem o no A, e possıvel estabelecer as seguintes relacoes entre os referenciaislocais e o referencial global:

x1 = xg ; x2 = xg − 4 (3.65)

A substituicao destas igualdades nas expressoes acima apresentadas para os camposde deslocamentos transversais permite exprimir esses campos em funcao do referencialglobal da estrutura.

Na figura 3.13 apresenta-se o tracado da deformada obtida atraves da analise porelementos finitos.


Figura 3.13: Deformada obtida para a viga continua [m]

A determinacao dos campos de curvaturas em cada elemento finito passa pela utilizacaodas condicoes de compatibilidade no domınio. Aplicando a equacao (2.39) e possıveldeterminar:

χ(x1) =1

EI

(−5

3+

5 x1

4

)(3.66)

χ(x2) =1

EI

(−20

3+ 5 x2

)(3.67)

O calculo do campo de momentos flectores passa pela aplicacao da relacao de elastici-dade (2.40). Otem-se:

M(x1) = −5

3+

5 x1

4(3.68)

M(x2) = −20

3+ 5 x2 (3.69)

Na figura 3.14 apresenta-se o tracado do diagrama de momentos flectores obtido atravesda analise por elementos finitos.

Figura 3.14: Diagrama de momentos flectores na viga continua [kNm]

A equacao de equilıbrio (2.30) permite agora determinar o valor dos esforcos transversosem cada um dos elementos de viga. Variando linearmente os campos de momentos nodomınio de cada elemento, o esforco transverso assume um valor constante em cadauma das barras da discretizacao. E possıvel obter:

V (x1) =5

4(3.70)

V (x2) = 5 (3.71)


Na figura 3.15 apresenta-se o tracado do diagrama de esforcos transversos.

Figura 3.15: Diagrama de esforcos transversos na viga continua [kN ]

Problema 3.9 Escreva as equacoes para os campos de deslocamentos, campos dedeformacao e campos de esforcos no referencial global da estrutura.

Problema 3.10 Com base nos resultados obtidos, determine o valor das reaccoes deapoio na viga contınua em analise.

3.2.8 Verificacao das condicoes de equilıbrio

Sera que a solucao aproximada obtida corresponde a solucao exacta? Para que o possaser, e tendo em conta que todas as condicoes de compatibilidade sao satisfeitas a prioriquando se definem as aproximacoes para os campos de deslocamentos, e necessarioque os campos de esforcos satisfacam localmente todas as condicoes de equilıbrio. Saotres os conjuntos de condicoes de equilıbrio a verificar: as condicoes de equilıbrio nodomınio, as condicoes de equilıbrio na fronteria estatica e as condicoes de equilıbrionas fronteiras entre elementos finitos adjacentes.

Verificacao das condicoes de equilıbrio no domınio

Para que as condicoes de equilıbrio no domınio sejam satisfeitas, e necessario que ocampo de momentos flectores e a carga aplicada no domınio do elemento satisfacam acondicao expressa na condicao (2.45).

Tendo em conta que nao existe qualquer carga de vao aplicada no elemento finito 1 epossıvel verificar que:

d2 M(x1)

dx21

+ p(x1) = 0 + 0 = 0 (3.72)

No elemento finito 2 tem-se tambem que:

d2 M(x2)

dx22

+ p(x2) = 0 + 0 = 0 (3.73)

As equacoes anteriores permitem verificar as condicoes de equilıbrio no domınio. Tendoem conta que os diagramas de momentos flectores variam linearmente, as respectivassegundas derivadas sao nulas. Para haver equilıbrio e entao necessario que sejam nu-las as cargas distribuıdas em cada um dos domınios, o que corresponde de facto aocarregamento que esta a ser considerado.


Verificacao das condicoes de fronteira estatica

Para se verificarem as condicoes de fronteira estatica e necessario primeiro identificarquais os nos pertencentes a fronteira exterior da estrutura onde o valor dos desloca-mentos nao esta prescrito. E possıvel concluir que na estrutura em analise as condicoesde fronteira estatica (ou condicoes de equilıbrio na fronteira) correspondem a verificarque o esforco transverso na seccao adjacente ao no C deve ser igual a carga transversalconcentrada aı aplicada. Essa condicao corresponde a impor:

V (x2 = 2) = 5kN (3.74)

E imediato verificar que esta condicao esta satisfeita se se tiver em consideracao o valorpara o esforco transverso calculado no elemento de viga 2. Na figura 3.16 esta tracadoo diagrama de corpo livre do no C. Analisando a informacao contida nesse diagrama,e facil verificar a condicao de equilıbrio na direccao transversal.

Figura 3.16: Diagrama de corpo livre do no C

Verificacao das condicoes de equilıbrio na fronteira entre elementos

No problema em analise, a fronteira entre os elementos finitos 1 e 2 corresponde ao no B.A verificacao das condicoes de equilıbrio na fronteira entre esses elementos correspondeneste caso a verificacao das condicoes de equilıbrio nesse mesmo no B. Na figura 3.17representa-se o diagrama de corpo livre do no B. A condicao de equilıbrio a verificarcorresponde neste caso ao equilıbrio global de momentos aplicados ao no em causa. Oequilıbrio de forcas na direccao transversal resulta sempre satisfeito devido a existenciade uma reaccao vertical nesse no B.

Figura 3.17: Diagrama de corpo livre do no B

3.3. ANALISE DE UMA VIGA SIMPLESMENTE APOIADA 41

Analisando os momentos aplicados no no B (ha um momento directamente aplicadonesse no e um par de momentos que traduz a accao de cada uma das barras sobre ono em estudo), facilmente se verifica que a resultante e nula. Esta assim assegurada averificacao das condicoes de fronteira entre elementos.

Como estao satisfeitas todas as condicoes de equilıbrio, pode afirmar-se que a solucaoobtida corresponde a solucao exacta para o problema. Conforme referido inicialmente,este era ja um resultado esperado tendo em conta que o grau das aproximacoes efectu-adas para os campos de deslocamentos transversais em cada elemento e igual ao grauda solucao exacta.

Problema 3.11 Determine a solucao aproximada obtida para a estrutura represen-tada na figura 3.8 quando se considera como carregamento aplicado um assentamentovertical de apoio no no A, com valor dado por δy = −∆. Considere nesta analise amalha de elementos finitos representada na figura 3.9. Discuta se a solucao obtidacorresponde ou nao a solucao exacta.

Problema 3.12 Determine a solucao aproximada para a estrutura representada nafigura 3.8 quando se considera como carregamento uma variacao linear de temperaturade θL = 5. Utilize de novo a malha representada na figura 3.9 e discuta se a solucaoobtida e exacta.

3.3 Analise de uma viga simplesmente apoiada

Ilustra-se agora a aplicacao do metodo dos elementos finitos na analise de uma vigasimplesmente apoiada sujeita a accao de uma carga uniformemente distribuıda. Comeste carregamento, o grau das funcoes de aproximacao e inferior ao grau da solucaoexacta, pelo que sera de esperar apenas a obtencao de uma solucao aproximada.

Figura 3.18: Viga simplesmente apoiada com carga uniformemente distribuıda


3.3.1 Discretizacao com 1 elemento finito

Discretizacao da estrutura

Para a analise da viga simplesmente apoiada considera-se a discretizacao apresentadana figura 3.19, na qual se define apenas um elemento finito.

Figura 3.19: Discretizacao da viga (malha com 1 elemento)

Identificacao dos deslocamentos independentes

Os deslocamentos independentes a considerar quando se utiliza a malha constituıdaapenas por um elemento finito encontram-se representados na figura 3.20. Esses desl-camentos correspondem as rotacoes nos nos de extremidade da estrutura em analise.

Figura 3.20: Deslocamentos independentes (malha com 1 elemento)

Definicao da aproximacao

Antes de definir a aproximacao para o campo de deslocamentos transversais ao longodo elemento 1, e importante construir a tabela de incidencias.



1 d1 d2 − −

Tabela 3.2: Tabela de incidencias para a viga simplesmente apoiada (1 elemento)

Tendo em conta a informacao contida na tabela 3.2 e a definicao geral para a apro-ximacao do campo de deslocamentos transversais num elemento de viga de Euler-Bernoulli (ver equacao (3.3)) e possıvel escrever:

w(x1) = ψ1(x1) q1 + ψ2(x1) q2 + ψ3(x1) q3 + ψ4(x1) q4 (3.75)

w(x1) = ψ1(x1) d1 + ψ2(x1) d2 (3.76)

w(x1) =

(−x +

2 x2

4− x3

42

)d1 +

(x2

1

4− x3

1

42

)d2 (3.77)

Equacoes elementares

De acordo com (3.28), a matriz de rigidez elementar para a viga 1 e dada por:

k(1) = EI

4

4

2

4

6

42

−6

42

2

4

4

4

6

42

−6

42

6

42

6

42

12

43

−12

43

−6

42

−6

42

−12

43

12

43

(3.78)

Como existe uma carga de vao uniformemente distribuıda, a aplicacao da definicao(3.32) permite determinar o vector das forcas nodais equivalentes elementares. Obtem-se:

F(1) =

−42

12

42

12

4

2

−4

2

(3.79)


Reuniao das equacoes elementares

Tendo em conta a informacao contida na tabela de incidencias 3.2, e possıvel determinara contribuicao do elemento 1 para a matriz de rigidez da estrutura. Obtem-se:

k11 = k(1)11 k12 = k

(1)12

k21 = k(1)21 k22 = k

(1)22

(3.80)

Tendo em conta a matriz de rigidez elementar atras apresentada, pode escrever-se:

K∗ = EI

1.0000 0.5000

0.5000 1.0000

(3.81)

A informacao contida na tabela de incidencias 3.2 vai permitir identificar as expressoesque conduzem a obtencao dos termos do vector das forcas nodais equivalentes globais.E possıvel verificar que:

F1 = F(nodal)1 + F

(1)1 (3.82)

F2 = F(nodal)2 + F

(1)2 (3.83)

Substituindo valores, obtem-se:

F =

−4/3

4/3

(3.84)

Resolucao da equacao do MEF

A resolucao da equacao de equilıbrio global,

EI

1.0000 0.5000

0.5000 1.0000

d1

d2

=

−4/3

4/3

(3.85)

permite determinar os seguintes valores para os deslocamentos independentes:

d =1

EI

−8/3

8/3

(3.86)

Analise da solucao obtida

Substituindo os valores dos deslocamentos independentes d1 e d2 na aproximacao defi-nida para o campo de deslocamentos transversais (3.77), obtem-se:

w(x1) =−2

3EI(x1 − 4) x1 (3.87)


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Solução aproximada

Solução exacta

Figura 3.21: Campo de deslocamentos transversais [m] (1 elemento)

O campo de deslocamentos obtido encontra-se representado na figura 3.21, onde tambemse traca o andamento exacto para o campo de deslocamentos transversais. Verifica-secom facilidade que a solucao obtida para o campo de deslocamentos nao e a exacta.

Como referido inicialmente, este e um resultado esperado, porque o grau da solucaoexacta (quarto grau neste caso) e superior ao grau das funcoes de aproximacao utiliza-das na modelacao por elementos finitos.

E possıvel verificar no entanto que os valores dos deslocamentos nodais globais cor-respondem aos valores exactos. Esta coincidencia surge apenas quando o modelo deelementos finitos consegue, para o tipo de elemento estrutural em analise, determinara solucao exacta para o problema quando se consideram carregamentos constituıdosapenas por cargas aplicadas nos nos.

A aplicacao das condicoes de compatibilidade no domınio permite obter a aproximacaopara o campo de curvaturas ao longo da barra.

χ(x1) =4

3EI(3.88)

A utilizacao das relacoes de elasticidade permite a determinacao da solucao aproximadapara o campo de momentos flectores.

M(x1) =4

3(3.89)

O calculo da aproximacao para o campo de esforcos transversos passa pela utilizacaoda condicoes de equilıbrio que permite relacionar este campo com a derivada do campode momentos flectores ao longo do eixo da peca. Obtem-se:

V (x1) = 0 (3.90)

Os diagramas de momentos flectores e de esforcos transversos encontram-se apresen-tados nas figuras 3.22 e 3.23, respectivamente. Os diagramas que resultam do calculo


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Solução exacta


Figura 3.22: Diagrama de momentos flectores [kNm]

aproximado efectuado sao comparados com os diagramas exactos. Mais uma vez e claroque a solucao obtida nao e a exacta. E tambem possıvel verificar que a consideracaode apenas um elemento finito conduz a uma aproximacao grosseira, a qual se encontraainda longe de recuperar a solucao exacta para o problema.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2


Solução exacta

Figura 3.23: Diagrama de esforcos transversos [kN ]

Verificacao das condicoes de equilıbrio

A comparacao dos diagramas de esforcos e do campo de deslocamentos obtidos como MEF com os correspondentes valores exactos, permite verificar de imediato que asolucao obtida e apenas aproximada.

No entanto, como se poderia chegar a essa mesma conclusao mesmo sem serem co-nhecidos os valores exactos para esses campos? Mais uma vez e necessario verificar as


condicoes de equilıbrio no domınio e na fronteira estatica (neste caso nao faz sentidofalar em fronteiras entre elementos porque se considera apenas um elemento na malha).Se todas as condicoes de equilıbrio estiverem satisfeitas, pode dizer-se que a solucaoe exacta. Basta existir uma condicao de equilıbrio que nao e verificada para se poderafirmar que a solucao construıda e apenas aproximada.

A condicao de equilıbrio no domınio e dada pela equacao (2.45). Efectuando a veri-ficacao correspondente verifica-se que:

d2 M(x1)

dx21

+ p(x1) = 0 + 1.0 6= 0 , (3.91)

pelo que se pode concluir que nao e verificado o equilıbrio no domınio do elemento finito.Tal bastaria para afirmar que a solucao obtida e apenas aproximada. No entanto, epara ilustrar o tratamento das condicoes de equilıbrio na fronteira estatica, efectua-sea verificacao correspondente.

Dado que nos nos de extremidade da viga simplesmente apoiada existem apoios fixosque impedem apenas o deslocamento transversal, e tendo em conta que nao existe qual-quer momento concentrado aplicado nesses nos, as condicoes de equilıbrio na fronteirada estrutura podem ser expressas na seguinte forma:

M(x1 = 0) = 0kNm ; M(x1 = 4) = 0kNm (3.92)

Ora na solucao aproximada obtida tem-se:

M(x1 = 0) = M(x1 = 4) = 4/3 6= 0 , (3.93)

o que permite desde logo verificar que nenhuma das condicoes de equilıbrio na fronteirae verificada.

Recuperacao da solucao exacta

O metodo dos deslocamentos pode ser encarado como correspondendo a aplicacao doMetodo dos Elementos Finitos na analise de estruturas constituıdas por pecas linea-res. Desta forma, pode ser surpreendente o facto do MEF so conseguir determinara solucao exacta quando o carregamento aplicado e constituıdo exclusivamente porcargas aplicadas nos nos da discretizacao.

O que existe de diferente no caso do metodo dos deslocamentos que permite a obtencaoda solucao exacta para o problema, independentemente do carregamento aplicado?

Para responder a esta pergunta, veja-se que na definicao da solucao para o campo dedeslocamentos transversais em cada um dos elementos finitos se escreve:

w(xi) = ψ1(xi) q1 + ψ2(xi) q2 + ψ3(xi) q3 + ψ4(xi) q4 (3.94)


ou, para o caso da estrutura em estudo discretizada apenas com um elemento finito:

w(x1) = ψ1(x1) d1 + ψ2(x1) d2 (3.95)

A aproximacao para o campo de deslocamentos e construıda atraves da definicao deum somatorio de parcelas, onde em cada uma delas se multiplica uma dada funcaode aproximacao pelo valor do deslocamento nodal elementar correspondente. Ora emterminologia do metodo dos deslocamentos, este somatorio corresponde a definicao dasolucao complementar para o campo de deslocamentos.

Quando se aplica o metodo dos deslocamentos, para alem da parcela referente a solucaocomplementar (a que corresponde directamente a aproximacao que e efectuada na for-mulacao por elementos finitos), e necessario adicionar uma parcela associada a chamadasolucao particular.

Essa parcela particular contem a equacao para o campo de deslocamentos que surgequando na viga se bloqueiam os deslocamentos nodais elementares e se aplicam todasas cargas de vao. A solucao particular para o campo de deslocamentos, w0(xi), corres-ponde fisicamente ao campo de deslocamentos que surge numa viga de Euler-Bernoulliencastrada nas duas extremidades e sujeita a accao do conjunto de cargas de vao queestiverem a ser consideradas. A aproximacao completa fica definida entao por:

w(xi) = ψ1(xi) q1 + ψ2(xi) q2 + ψ3(xi) q3 + ψ4(xi) q4 + w0(xi) (3.96)

Tendo em conta que numa viga bi-encastrada sujeita a uma carga uniformemente dis-tribuıda p, o campo de deslocamentos e dado por:

w0(xi) =p

24EI(L− xi)

2x2i (3.97)

e possıvel escrever para o elemento 1 a seguinte expressao para o campo de desloca-mentos transversais:

w(x1) = ψ1(x1) d1 + ψ2(x1) d2 +p

24EI(L− xi)

2x2i (3.98)

Tendo incluıdo na aproximacao a solucao particular, e possıvel verificar que a expressaoresultante permite recuperar a solucao exacta para o campo de deslocamentos trans-versais. Substituindo na igualdade anterior o valor dos deslocamentos independentesd1 e d2 e tendo em conta a definicao das funcoes de aproximacao, e possıvel obter:

w(x1) =1

24EIx1(64− 8x2

1 + x3) (3.99)

A consideracao das condicoes de compatibilidade e equilıbrio permite recuperar a se-guinte equacao para o campo de momentos flectores:

M(x1) =1

2x1(4− x1) (3.100)

O campo de esforcos transversos e definido por:

V (x1) = 2− x1 (3.101)


Conclui-se com facilidade que os campos de momentos flectores e esforcos transver-sos obtidos a partir da solucao exacta para o campo de deslocamentos transversaiscorespondem aos campos de esforcos exactos para o carregamento aplicado.

Verifica-se desta forma que no caso das vigas de Euler-Bernoulli e possıvel recupe-rar a solucao exacta para um problema com cargas de vao. Esse calculo obriga aconsideracao de um termo adicional na definicao da aproximacao do campo de deslo-camentos. Esse termo adicional, aqui designado por solucao particular. correspondeao campo de deslocamentos que se desenvolve no elemento finito quando se impedemtodos os deslocamentos nodais elementares e quando se aplica o carregamento de vao.

Porque nao incluir entao sempre esta parcela nos modelos de elementos finitos? Acon-tece que a definicao desta solucao particular apenas e possıvel para elementos estrutu-rais simples, para os quais a utilizacao de tecnicas de calculo analıticas permitem regrageral obter a solucao pretendida sem haver a necessidade de se utilizar uma tecnica decalculo numerico aproximado.

Para elementos estruturais com comportamento mais complexo, a definicao de tal termocorrectivo deixa de ser possıvel, razao pela qual a definicao da aproximacao dos camposde deslocamentos nas formulacoes classicas de elementos finitos e sempre efectuada daforma que tem vindo a ser apresentada.

A possibilidade que existe no caso da analise de vigas de Euler-Bernoulli para efe-cuar a recuperacao do campo de deslocamentos exacto quando se consideram analiseem regimes fisica e geometricamente lineares permite ainda entender de forma maissimples a razao pela qual nestes casos se consegue obter o valor exacto para os desloca-mentos nodais independentes. Recorde-se que a solucao exacta e recuperada somandoa aproximacao definida a elementos finitos com a solucao particular. Recorde-se queesta corresponde ao campo de deslocamentos numa viga bi-encastrada sujeita as cargasde vao consideradas. Ora nas extremidades da barra, a solucao particular e sempreigual a zero (os nos, estando encastrados, nao tem nem deslocamentos transversaisnem rotacoes). Ora como a solucao exacta e recuperada somando as duas parcelase como a parcela particular e nula nos nos de extremidade do elemento, conclui-seque a solucao obtida nos nos apenas com a aproximacao definida pela modelacao comelementos finitos e ja a exacta.

3.3.2 Discretizacao com 2 elementos finitos

Considere-se de novo a viga simplemente apoiada representada na figura 3.18. Determina-se agora uma nova solucao aproximada considerando uma malha com dois elementosfinitos de igual dimensao.



Para a analise da viga simplesmente apoiada considere-se a discretizacao consideradana figura 3.24, a qual considera a utilizacao de dois elementos finitos.

Figura 3.24: Discretizacao da viga (malha com 2 elementos)


Os deslocamentos independentes a considerar encontram-se representados na figura3.25.

Figura 3.25: Deslocamentos independentes (malha com 2 elementos)

Definicao da aproximacao

Tendo em conta a informacao contida na tabela de incidencias 3.3 e a definicao geralpara a aproximacao do campo de deslocamentos transversais num elemento de viga deEuler-Bernoulli (ver equacao (3.3)) e possıvel escrever para cada um dos elementos damalha

w(x1) = ψ1(x1) q1 + ψ2(x1) q2 + ψ3(x1) q3 + ψ4(x1) q4 (3.102)



1 d1 d2 − d3

2 d2 d4 d3 −

Tabela 3.3: Tabela de incidencias para a viga simplesmente apoiada (2 elementos)

w(x1) = ψ1(x1) d1 + ψ2(x1) d2 + ψ4(x1) d3 (3.103)

w(x1) = (−x1 +2 x2

1

2− x3

1

22)d1 + (

x21

2− x3

1

22)d2 + (

−3 x21

22+

2 x31

23)d3 (3.104)

w(x2) = ψ1(x2) q1 + ψ2(x2) q2 + ψ3(x2) q3 + ψ4(x2) q4 (3.105)

w(x2) = ψ1(x2) d2 + ψ2(x2) d4 + ψ3(x2) d3 (3.106)

w(x2) = (−x2 +2 x2

2

2− x3

2

22)d2 + (

x22

2− x3

2

22)d4 + (−1 +

3 x22

22− 2 x3

2

23)d3 (3.107)

Equacoes elementares

Tendo em conta que as propriedades geometricas e mecanicas das duas barras saosemelhantes, as respectivas matrizes de rigidez elementares sao iguais. De acordo com(3.28), e possıvel verificar que:

k(1) = k(2) = EI

4

2

2

2

6

22

−6

22

2

2

4

2

6

22

−6

22

6

22

6

22

12

23

−12

23

−6

22

−6

22

−12

23

12

23

(3.108)

Existindo carga de vao uniformemente distribuıdas em cada um dos elementos de viga, aaplicacao da definicao (3.32) permite determinar o vector das forcas nodais equivalentes


elementares. Obtem-se:

F(1) = F(2)

−22

12

22

12

−2

2

−2

2

(3.109)


Tendo em conta a informacao contida na tabela de incidencias 3.3, e possıvel determinara contribuicao de cada elemento para a matriz de rigidez da estrutura. Obtem-se:

k11 = k(1)11 k12 = k

(1)12 k13 = k

(1)14 k14 = 0

k21 = k(1)21 k22 = k

(1)22 + k

(2)11 k23 = k

(1)24 + k

(2)13 k24 = k

(2)12

k31 = k(1)41 k32 = k

(1)42 + k

(2)31 k33 = k

(1)44 + k

(2)33 k34 = k

(2)32

k41 = 0 k42 = k(2)21 k43 = k

(2)23 k44 = k

(2)22

(3.110)

Tendo em conta as matrizes de rigidez elementares atras apresentadas, pode escrever-se:

K∗ = EI

2.0000 1.0000 −1.5000 0

1.0000 4.0000 0 1.0000

−1.5000 0 3.0000 1.5000

0 1.0000 1.5000 2.0000

(3.111)

A informacao contida na tabela de incidencias 3.3 vai permitir identificar as expressoesque conduzem a obtencao dos termos do vector das forcas nodais equivalentes globais.E possıvel verificar que:

F1 = F(nodal)1 + F

(1)1 (3.112)

F2 = F(nodal)2 + F

(1)2 + F

(2)1 (3.113)

F3 = F(nodal)3 + F

(1)4 + F

(2)3 (3.114)

F4 = F(nodal)4 + F

(2)2 (3.115)



F =

−1/3

0

−2.0

1/3

(3.116)


A resolucao da equacao de equilıbrio global,

EI

2.0000 1.0000 −1.5000 0

1.0000 4.0000 0 1.0000

−1.5000 0 3.0000 1.5000

0 1.0000 1.5000 2.0000

d1

d2

d3

d4

=

−1/3

0

−2.0

1/3

(3.117)

permite determinar os seguintes valores para os deslocamentos independentes:

d =1

EI

−8/3

0.0000

−10/3

8/3

(3.118)


Substituindo os valores dos deslocamentos independentes nas aproximacoes definidaspara o campo de deslocamentos transversais em cada um dos elementos da malhaobtem-se:

w(x1) = − 1

6EIx1

(−16 + x1 + x2

1

)(3.119)

w(x2) =1

6EI(20− 7 x2

2 + x32) (3.120)

O campo de deslocamentos transversais aproximado que se obtem encontra-se repre-sentado na figura 3.26. E possıvel verificar que a solucao aproximada obtida para osdeslocamentos e neste caso muito proxima da solucao exacta para o problema.

A aplicacao das equacoes de compatibilidade no domınio permite determinar a apro-ximacao para o campo de curvaturas em cada um dos elementos finitos. Tem-se:

χ(x1) =1

EI(1/3 + x1) (3.121)


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5


Solução exacta

Figura 3.26: Campo de deslocamentos transversais [m]

χ(x2) =1

EI(7/3− x2) (3.122)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Solução exacta


Figura 3.27: Diagrama de momentos flectores [kNm]

A aproximacao para os campos de momentos flectores e definida com base na consi-deracao das relacoes de elasticidade. E possıvel escrever:

M(x1) = 1/3 + x1 (3.123)

M(x2) = 7/3− x2 (3.124)

A aproximacao para os campos de esforcos transversos e agora dada pelas igualdades:

V (x1) = 1 (3.125)

V (x2) = −1 (3.126)


Os diagramas de esforcos obtidos com a malha com dois elementos finitos encontram-serepresentados nas figuras 3.27 e 3.28. Nessas figuras estao tambem representados osdiagramas de esforcos exactos. Embora as aproximacoes conseguidas sejam melhoresque as que tinham sido obtidas com a malha com apenas um elemento finito, e visıvelque as solucoes aproximadas para os esforcos ainda se encontram bastante afastadasdas respectivas solucoes exactas.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2


Solução exacta

Figura 3.28: Diagrama de momentos flectores [kN ]

E importante verificar tambem que a convergencia para a solucao exacta e mais rapidano caso das grandezas que sao directamente aproximadas, os campos de deslocamentostransversais. A malha com dois elementos finitos permite obter uma solucao que seaproxima bastante da solucao exacta. Ja a mesma malha conduz a obtencao de apro-ximacoes para os campos de esforcos que ainda diferem significativamente da solucaoexacta, em especial se se considerar o caso do diagrama de esforco transverso.

Pode dizer-se de forma simplista que a qualidade que e obtida na aproximacao de umadeterminada grandeza fısica vai-se degradando a medida que se calculam derivadas parapassar do conhecimento de uma grandeza para outra que se pretenda determinar. Queristo dizer que a precisao conseguida para a aproximacao do campo de deslocamentostransversais e maior do que a precisao obtida para o campo de momentos flectores(recorde-se que para passar de deslocamentos a esforcos e necessario determinar asdeformacoes, o que implica o calculo de segundas derivadas). Por sua vez, a precisaoconseguida para a aproximacao do campo de momentos flectores e superior a quee conseguida para o campo de esforcos transversos (os segundos sao determinadosatraves do calculo da primeira derivada dos campos de momentos). Estas observacoessao confirmadas qualitativamente pela analise das figuras 3.26, 3.27 e 3.28.


3.3.3 Analise de convergencia

Na figura 3.29 apresentam-se os diagramas de momentos flectores (coluna da esquerda)e os diagramas de esforcos transversos (coluna da direita) que se obtem quando seconsideram discretizacoes envolvendo malhas com 4, 8 , 16 e 64 elementos de iguaisdimensoes. A analise desta figura permite verificar que a convergencia para a solucaoexacta e mais rapida no caso dos diagramas de momentos flectores. Para uma malhacom oito elementos e ja difıcil distinguir a solucao exacta da solucao aproximada,embora esta seja constituıda apenas por trocos rectos em cada um dos elementos damalha considerada.

Ja no caso do diagrama de esforcos transversos, a obtencao de uma solucao proxima dasolucao exacta requer a consideracao de malhas com um numero maior de elementosfinitos.

3.4 Analise de uma viga contınua (exemplo 2)

Considere-se agora a analise da estrutura representada na figura 3.30. Em relacao aosexemplos anteriores, surge neste caso uma novidade que corresponde a existencia deuma carga concentrada aplicada a meio-vao da barra BC.


A existencia de uma carga concentrada introduz uma descontinuidade no diagrama deesforcos transversos na seccao de meio-vao da barra BC.

Em cada elemento finito e definida uma aproximacao polinomial do terceiro grau parao campo de deslocamentos transversais. Essa aproximacao e contınua e com derivadascontınuas no domınio desse elemento. Desta forma, a aproximacao para o campode curvaturas e para o campo de momentos flectores sao tambem contınuas. Poreste motivo, a unica hipotese de se conseguir modelar a descontinuidade existente nodiagrama de esforco transverso corresponde a considerar um no da discretizacao naseccao de aplicacao da carga concentrada.

Esta e uma situacao geral em modelacoes com recurso ao metodo dos elementos finitos.Sempre que existam cargas concentradas, e sempre conveniente considerar malhas quecontenham nos nos pontos de aplicacao dessas cargas.

Na figura 3.31 apresenta-se a discretizacao considerada na analise da estrutura. A ma-lha considera tres elementos. No domınio do elemento 1 ha uma carga uniformementedistribuıda. Por este motivo, a solucao exacta para o campo de deslocamentos trans-versais devera ser do quarto grau, pelo que a discretizacao efectuada permite apenas aobtencao de uma solucao aproximada. Para se poder obter uma solucao mais proxima


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

0.5

1

1.5

2

4 elementos

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

4 elementos

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

0.5

1

1.5

2

8 elementos

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

8 elementos

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

0.5

1

1.5

2

16 elementos

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

16 elementos

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

0.5

1

1.5

2

64 elementos

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

64 elementos

Figura 3.29: Diagramas de momentos flectores [kNm] e diagramas de esforcos trans-versos [kN ]


Figura 3.30: Analise de uma viga contınua - exemplo 2

da solucao exacta seria necessario considerar uma malha com uma maior numero deelementos no troco AB da estrutura em analise.

Figura 3.31: Discretizacao da viga contınua - exemplo 2


Na figura 3.32 identificam-se os deslocamentos independentes a considerar na analiseda estrutura.




A aproximacao para o campo de deslocamentos em cada um dos elementos da malhae efectuada tendo em conta as equacoes (3.3). Para definir a aproximacao em funcaodos deslocamentos independentes da estrutura, e necessario ter em conta o conteudoda tabela de incidencias.


1 d1 d2 − −2 d2 d3 − d4

3 d3 − d4 −

Tabela 3.4: Tabela de incidencias para a malha com 3 elementos

A aproximacao para o campo de deslocamentos em cada um dos elementos da malhapode ser expressa na seguinte forma (no referencial local de cada elemento finito):

w(x1) = ψ1(x1) d1 + ψ2(x1) d2 (3.127)

w(x2) = ψ1(x2) d2 + ψ2(x2) d3 + ψ4(x2) d4 (3.128)

w(x3) = ψ1(x3) d3 + ψ3(x3) d4 (3.129)


E primeiro necessario determinar a matriz de rigidez para cada um dos elementos damalha de elementos finitos. Tendo em conta a equacao (3.28) e o comprimento de cadaum dos elementos, e possıvel concluir que:

K(1) = EI

4

4

2

4

6

42

−6

42

2

4

4

4

6

42

−6

42

6

42

6

42

12

43

−12

43

−6

42

−6

42

−12

43

12

43

(3.130)


K(2) = K(3) = EI

4

2

2

2

6

22

−6

22

2

2

4

2

6

22

−6

22

6

22

6

22

12

23

−12

23

−6

22

−6

22

−12

23

12

23

(3.131)

Tendo em conta as cargas de vao aplicadas em cada um dos elementos da discretizacao,os vectores das forcas nodais equivalentes elementares sao dados pelas seguintes igual-dades:

F(1) = EI

−5× 42

12

5× 42

12

−5× 4

2

−5× 4

2

(3.132)

F(2) = F(3) = EI

0

0

0

0

(3.133)


Utilizando a informacao apresentada na tabela de incidencias, e possıvel escrever asseguintes definicoes:

k11 = k(1)11 k12 = k

(1)12 k13 = 0 k14 = 0

k21 = k(1)21 k22 = k

(1)22 + k

(2)11 k23 = k

(2)12 k24 = k

(2)14

k31 = 0 k32 = k(2)21 k33 = k

(2)22 + k

(3)11 k34 = k

(2)24 + k

(3)13

k41 = 0 k42 = k(2)21 k43 = k

(2)42 + k

(3)31 k44 = k

(2)44 + k

(3)33

(3.134)

Substituindo nas igualdades anteriores as definicoes de cada uma das matrizes de rigidezelementares e possıvel obter:


K∗ = EI

4/4 2/4 0 0

2/4 4/4 + 4/2 2/2 −6/22

0 2/2 4/2 + 4/2 −6/22 + 6/22

0 −6/22 −6/22 + 6/22 12/23 + 12/23

(3.135)

K∗ = EI

1 1/2 0 0

1/2 3 1 −3/2

0 1 4 0

0 −3/2 0 3

(3.136)

O vector das forcas nodais equivalentes e determinado atraves das igualdades:

F =

F1 = F nodal1 + F

(1)1

F2 = F nodal2 + F

(1)2 + F

(2)1

F3 = F nodal3 + F

(2)2 + F

(3)1

F4 = F nodal4 + F

(2)4 + F

(3)3

(3.137)

Substituindo valores obtem-se:

F =

F1

F2

F3

F4

=

0 + (−5× 42/12)

0 + 5× 42/12) + 0

0 + 0 + 0

(−10) + 0 + 0

=

−20/3

20/3

0

−10

(3.138)

3.4.6 Resolucao da equacao do metodo dos elementos finitos

A resolucao da equacao do metodo dos elementos finitos conduz aos seguintes valorespara os deslocamentos independentes:

d =

d1

d2

d3

d4

=1

EI

−170

21

20

7

−5

7

−40

21

(3.139)


3.4.7 Analise da solucao aproximada obtida

Tendo em conta a aproximacao definida para o campo de deslocamentos transversaisno elemento 1 e os valores dos deslocamentos independentes da estrutura, e possıveldeterminar:

w(x1) =5

168 EIx1

(272− 112 x1 + 11 x2

1

)(3.140)

A aproximacao para o campo de curvaturas e definida tendo em conta as condicoes decompatibilidade no domınio.

χ(x1) = −d2w(x1)

dx21

=1

EI

(20

3− 55 x1

28

)(3.141)

A aplicacao das relacoes constitutivas permite determinar a seguinte expressao para ocampo de momentos flectores no elemento 1:

M(x1) = EI χ(x1) =20

3− 55 x1

28(3.142)

A aproximacao obtida para o campo de esforcos transversos e a seguinte:

V (x1) =dM(x1)

dx1

= −55

28(3.143)

Repetindo o mesmo tipo de raciocınio e possıvel obter para o elemento 2 as seguintesigualdades:

w(x2) =−5

84 EIx2

(48− 66 x2 + 17 x2

2

)(3.144)

χ(x2) = −d2w(x2)

dx22

=5

14 EI(−22 + 17 x2) (3.145)

M(x2) = EI χ(x2) =5

14(−22 + 17 x2) (3.146)

V (x2) =dM(x2)

dx2

=5× 17

14=

85

14(3.147)

Para o elemento 3 obtem-se:


w(x3) =5

84 EI(−2 + x3)

2 (8 + 11 x3) (3.148)

χ(x3) = −d2w(x3)

dx23

=1

EI

(30

7− 55 x3

14

)(3.149)

M(x3) = EI χ(x3) =30

7− 55 x3

14(3.150)

V (x3) =dM(x3)

dx3

= −55

14(3.151)

Com base na utilizacao das equacoes anteriores, e possıvel calcular o valor aproximadode todas as grandezas que caracterizam o comportamento desta viga contınua paraqualquer seccao que se pretenda estudar. Basta para tal identificar a que elementopertence essa seccao, determinar as coordenadas dessa seccao no referencial local eutilizar a equacao correspondente.

Na figura 3.33 apresenta-se a deformada obtida com a discretizacao considerada. Ocampo de deslocamentos flectores e o campo de esforcos transversos apresentam-se nasfiguras 3.34 e 3.35, respectivamente. Estes diagramas podem ser obtidos, para cadaum dos elementos da malha, atraves da utilizacao directa das equacoes apresentadasnesta subseccao.

Figura 3.33: Campo de deslocamentos transversais obtido considerando a malha com 3elementos

Figura 3.34: Campo de momentos flectores [kNm] obtido considerando a malha com 3elementos

Figura 3.35: Campo de esforcos transversos [kN] obtido considerando a malha com 3elementos


Poder-se-a perguntar agora se a solucao aproximada obtida corresponde a solucaoexacta para o problema. Tendo em conta que na barra AB existe aplicada uma cargauniformemente distribuıda, e possıvel afirmar desde logo que a solucao exacta para ocampo de deslocamentos transversais tera de corresponder a um polinomio do quartograu. Como a aproximacao definida para o campo de deslocamentos e de grau inferior,e de esperar que a solucao obtida seja apenas aproximada.

Para demonstrar que de facto assim e, pode efectuar-se a verificacao local de todas ascondicoes de equilıbrio. Estas incluem a verificacao do equilıbrio no domınio, na fron-teira estatica e na fronteira entre elementos. Se se atender a que no no A a verificacaoda condicao de equilıbrio na fronteira impoe que M(x1 = 0) = 0kNm e tendo emconta que na solucao aproximada obtida se tem M(x1 = 0) = 6.7kNm 6= 0, e imediatoconcluir que a soplucao obtida nao exacta.

Nas figuras 3.36, 3.37 e 3.38 apresenta-se a deformada e os campos de esforcos exactospara a estrutura em analise. E facil verificar que a solucao aproximada obtida comrecurso a malha com tres elementos ainda se encontra longe da solucao exacta, emespecial para o caso dos campos de esforcos no troco AB. Para recuperar a solucaoexacta, poderia ser somada uma solucao particular a aproximacao definida para ocampo de deslocamentos no elemento de viga que esta sujeito a accao da carga de vao.Esta correccao encontra-se discutida de forma detalhada na seccao 3.3.

Figura 3.36: Campo de deslocamentos transversais [m] exacto

Figura 3.37: Campo de momentos flectores [kNm] exacto

Figura 3.38: Campo de esforcos transversos [kN] exacto

Para melhorar a qualidade da solucao obtida torna-se necessario considerar uma discre-tizacao mais fina no troco AB da estrutura. Nas figuras 3.39, 3.40 e 3.41 apresenta-sea solucao aproximada obtida considerando uma malha com 10 elementos finitos (8elementos de igual dimensao sao utilizados na discretizacao do troco AB).

A diferenca entre os diagramas de momentos flectores exacto e aproximado sao japouco perceptıveis, mesmo tendo em conta que na solucao aproximada este campo de


esforcos varia lineramente em cada um dos elementos. No entanto, a diferenca e maisnotoria no caso do diagrama dos esforcos transversos, tendo em conta que neste caso aaproximacao corresponde a definicao de um valor constante em cada um dos elementosda malha.

Figura 3.39: Campo de deslocamentos transversais obtido considerando a malha com11 elementos

Figura 3.40: Campo de momentos flectores [kNm] obtido considerando a malha com 11elementos

Figura 3.41: Campo de esforcos transversos [kN] obtido considerando a malha com 11elementos

Capıtulo 4

Analise de porticos planos

Neste capıtulo e generalizada a formulacao de elementos finitos por forma a ser possıvela analise de porticos planos. Considera-se que cada barra pode estar sujeita a cargasactuando segundo qualquer direccao, desde que pertencente ao plano da estrutura.Desta forma, as grandezas que se torna necessario conhecer para caracterizar o com-portamento deste tipo de elemento estrutural correspondem a reuniao das grandezasfısicas que foram consideradas no caso dos elementos de barra e dos elementos de viga.Continua a desprezar-se a deformacao por corte.

Na primeira seccao deste capıtulo recapitulam-se de forma sucinta as grandezas e asequacoes que sao utilizadas para caracterizar o comportamento de porticos planos. Deseguida e apresentada a formulacao de elementos finitos. Como de costume, define-se a aproximacao para os campos de deslocamentos e apresentam-se as equacoes quepermitem a determinacao das matrizes de rigidez elementares e dos vectores das forcasnodais equivalentes.

Como num portico plano as barras podem ter uma orientacao generica, a construcaoda equacao de equilıbrio global requer que as equacoes elementares venham expressasno referencial global da estrutura e nao nos referenciais locais associados a cada umdos elementos de barra considerados na discretizacao. Na terceira seccao deste capıtulodiscute-se o procedimento que permite efectuar esta mudanca de referencial. Primeirodefine-se a aproximacao para os campos de deslocamentos em funcao dos deslocamentosnodais elementares expressos no referencial global e de seguida escrevem-se as equacoeselementares nesse mesmo referencial.

O capıtulo termina com a apresentacao e discussao de um exemplo de aplicacao.

67

68 CAPITULO 4. ANALISE DE PORTICOS PLANOS

4.1 Formulacao do problema

4.1.1 Definicao das grandezas fısicas

Nesta seccao definem-se as grandezas fısicas que e necessario conhecer para caracterizaro comportamento de um elemento de portico plano. Para caracterizar os campos dedeslocamentos e necessario determinar o campo de deslocamentos transversais, w(x),e o campo de deslocamentos longitudinais, u(x). Sendo desprezada a deformacao porcorte, o campo de rotacoes nao e independente do campo de deslocamentos transversais,podendo ser calculado directamente a partir da aplicacao da equacao (2.36). O vectorque lista os campos de deslocamentos neste tipo de elemento estrutural pode ser escritona forma:

u =

w(x)

u(x)

(4.1)

Para caracterizar a alteracao da forma de cada peca sao utilizados dois campos dedeformacoes independentes, o campo de curvaturas, χ(x), e o campo de extensoesaxiais, ε(x). O vector que lista as componentes de deformacao assume neste caso aseguinte constituicao:

e =

χ(x)

ε(x)

(4.2)

Num elemento de portico plano definem-se tres campos de esforcos: momento flector,M(x), esforco transverso, V (x) e esforco normal, N(x). O vector que reune os camposde esforcos pode ser apresentado no seguinte formato:

s =

M(x)

V (x)

N(x)

(4.3)

Considera-se por fim que no domınio de cada elemento podem estar aplicadas cargasdistribuıdas segundo a direccao transversal, p(x) e segundo a direccao longitudinal,q(x). O vector que lista as componentes independentes do carregamento de vao aplicadovem expresso na seguinte forma:

p =

p(x)

q(x)

(4.4)


As equacoes de compatibilidade no domınio definem a relacao entre os campos dedeformacao e os campos de deslocamentos. Tendo em conta as equacoes definidas para

4.1. FORMULACAO DO PROBLEMA 69

o caso dos elementos de barra e para o caso dos elementos de viga de Euler-Bernoulli,e possıvel escrever:

χ(x)

ε(x)

=

− d2

d x20

0d

d x

w(x)

u(x)

(4.5)

A equacao (4.5) permite verificar que o operador diferencial de compatibilidade a consi-derar para a formulacao do elemento finito de portico plano tem a seguinte constituicao:

A =

− d2

d x20

0d

d x

(4.6)


As relacoes constitutivas permitem relacionar os campos de esforcos com os campos dedeformacoes. Assumindo para o material estrutural um comportamento elastico linear,e possıvel escrever:

M(x)

N(x)

=

EI 0

0 EA

χ(x)

ε(x)

(4.7)

Esta equacao permite verificar que o operador de elasticidade assume a seguinte formapara o caso dos elementos de portico plano:

D =

EI 0

0 EA

(4.8)

4.1.4 Condicoes de equilıbrio

As condicoes de equilıbrio no domınio permitem relacionar os campos de esforcos comos carregamentos aplicados. No caso de uma barra pertencente a um portico plano epossıvel escrever:

d2

d x20

0d

d x

M(x)

N(x)

+

p(x)

q(x)

=

0

0

(4.9)

Para a determinacao do campo de esforcos transversos deve ser aplicada a condicao deequilıbrio apresentada na equacao (2.43).


4.1.5 Equacoes para a barra e condicoes de fronteira

Para se obter o conjunto de equacoes diferenciais que rege o comportamento das barraspertencentes a porticos planos e possıvel efectuar a reuniao das condicoes de equilıbrio,compatibilidade e elasticidade. Obtem-se:

d4 w(x)

d x4=

p(x)

EI(4.10)

d2 u(x)

d x2= −q(x)

EA(4.11)

A consideracao das equacoes diferenciais no domınio nao permite, por si so, que seconsiga determinar a solucao para o problema que se coloca. Para que a analise sepossa efectuar, torna-se indispensavel que se especifiquem as condicoes de fronteirapara o problema.

As condicoes de fronteira podem ser de dois tipos: as condicoes de fronteira cinematica,nas quais se especifica qual o valor dos deslocamentos numa determinada fronteira, eas condicoes de fronteira estatica, que passam pela imposicao de um determinado valorpara as cargas directamente aplicadas nessa fronteira.

Na figura 4.1 listam-se os tipos de apoio que podem ser considerados na analise de umportico plano.

Figura 4.1: Tipos de apoio a considerar

Numa extremidade encastrada, ha tres condicoes de fronteira cinematica a verificar. Odeslocamento transversal, o deslocamento longitudinal e a rotacao devem ser nulos. Se

4.2. FORMULACAO DO ELEMENTO FINITO DE PORTICO PLANO 71

esse apoio estiver a restringir o no no inicial da barra, e possıvel escrever:

w(x = 0) = 0 , u(x = 0) = 0 , θ(x = 0) = 0 (4.12)

Num no com um apoio fixo, os deslocamentos transversal e longitudinal devem sernulos e o momento flector deve ser igual ao momento concentrado que eventualmenteaı esteja aplicado. Particularizando de novo para o no inicial e possıvel escrever:

w(x = 0) = 0 , u(x = 0) = 0 , M(x = 0) = m (4.13)

Num no com um apoio movel, o deslocamento transversal e nulo. O momento flector eo esforco normal devem ser iguais ao momento concentrado e a forca longitudinal queeventualmente aı estejam aplicados. Particularizando de novo para o no inicial:

w(x = 0) = 0 , M(x = 0) = m , N(x = 0) = g (4.14)

Num no onde exista um encastramento deslizante, devem ser nulos o deslocamentolongitudinal e a rotacao nessa seccao. O esforco transverso deve ser igual ao valor daforca transversal que aı esteja aplicada. Particularizando para o no inicial e possıvelescrever:

u(x = 0) = 0 , θ(x = 0) = 0 , V (x = 0) = f (4.15)

Finalmente, numa extremidade livre especificam-se tres condicoes de fronteira estatica.O momento flector, o esforco transverso e o esforco normal devem ser iguais as cargasconcentradas que nessa seccao estejam aplicadas. Escreve-se:

V (x = 0) = f , M(x = 0) = m , N(x = 0) = g (4.16)

Problema 4.1 Estabeleca as condicoes de fronteira associadas a existencia de um apoiomovel que restrige a translaccao numa direccao que faz um angulo α com a direccaovertical.

4.2 Formulacao do elemento finito de portico plano


No caso do elemento de barra pertencente a um portico plano, e necessario definirduas aproximacao independentes, uma para o campo de deslocamentos transversais,w(x), e uma segunda para o campo de deslocamentos longitudinais, u(x). Na definicaodestas duas aproximacoes utilizam-se as funcoes definidas no estudo dos elementos deviga e de barra e consideram-se os deslocamentos nodais elementares representados nafigura 4.2.


Figura 4.2: Identificacao dos deslocamentos nodais elementares

A aproximacao para os campos de deslocamentos e definida por:

[w(x)u(x)

]=

ψ1(x) ψ2(x) ψ3(x) ψ4(x) 0 0

0 0 0 0 ψ5(x) ψ6(x)

q1

q2

q3

q4

q5

q6

(4.17)

Se se definirem as funcoes de aproximacao no referencial local, a matriz das funcoes deaproximacao vem dada por:

Ψ =

−x + 2 x2

L− x3

L2x2

L− x3

L2 −1 + 3 x2

L2 − 2 x3

L3−3 x2

L2 + 2 x3

L3 0 0

0 0 0 0 1− xL

xL

(4.18)

Por simplicidade, na equacao anterior denotou-se apenas por x o sistema de eixos local,em vez de se utilizar a notacao antes utilizada, xe.

Para o elemento de portico plano, a matriz B tem duas linhas (porque neste tipo deelemento estrutural se consideram dois campos de deformacoes) e seis colunas (por-que existem seis deslocamentos nodais elementares). Tendo em conta as funcoes deaproximacao determinadas anteriormente, e possıvel verificar que:

B = AΨ =

− d2

d x2 0

0 dd x

ψ1(x) ψ2(x) ψ3(x) ψ4(x) 0 0

0 0 0 0 ψ5(x) ψ6(x)

(4.19)

Desenvolvendo, obtem-se:

B =

−d2ψ1(x)

d x2−d2ψ2(x)

d x2−d2ψ3(x)

d x2−d2ψ4(x)

d x20 0

0 0 0 0dψ5(x)

d x

dψ6(x)

d x

(4.20)

Substituindo na igualdade anterior a definicao das funcoes de aproximacao e simplifi-

4.2. FORMULACAO DO ELEMENTO FINITO DE PORTICO PLANO 73

cando as expressoes resultantes e possıvel obter:

B =

−4

L+

6 x

L2

−2

L+

6 x

L2

−6

L2+

12 x

L3

6

L2− 12 x

L30 0

0 0 0 0 − 1

L

1

L

(4.21)

Cada uma das colunas da matriz B tem de novo um significado fısico bem preciso. As-sim, a coluna j da matriz B contem os campos de deformacoes (curvaturas na primeiralinha e extensoes axiais na segunda) que surgem no elemento de portico plano quandose impoe qj = 1 e se garante que todos os restantes deslocamentos independentes saonulos, qk = 0 com k 6= j.

4.2.2 Definicao da matriz de rigidez elementar

A matriz de rigidez elementar permite relacionar os deslocamentos nodais elementares,qi, com as correspondentes forcas nodais, Fi, pelo que no elemento de portico planotem seis linhas e seis colunas.

O seu calculo passa pela aplicacao da equacao geral (3.26). Tendo em conta as matrizesB e D definidas respectivamente por (4.21) e (4.8), obtem-se:

K(el) =

4 EIL

2 EIL

6 EIL2

−6 EIL2 0 0

2 EIL

4 EIL

6 EIL2

−6 EIL2 0 0

6 EIL2

6 EIL2

12 EIL3

−12 EIL3 0 0

−6 EIL2

−6 EIL2

−12 EIL3

12 EIL3 0 0

0 0 0 0 EAL

−EAL

0 0 0 0 −EAL

EAL

(4.22)

A coluna i da rigidez elementar possui o significado fısico habitual: colige o valor dasforcas nodais que estao associadas a imposicao da deformada caracterizada por qi = 1.0e qm = 0.0, com m 6= i.

Na matriz de rigidez elementar apresentada em (4.22) reconhecem-se com facilidadedois blocos com a constituicao das matrizes de rigidez elementar definidas para o casodos elementos de viga de Euler-Bernoulli e para o caso dos elementos de barra comdefinicao de uma aproximacao linear para o campo de deslocamentos longitudinal.


4.2.3 Forcas nodais equivalentes

Considere-se agora que no domınio do elemento estao aplicadas duas cargas distribuıdastrapezoidais, uma na direccao transversal, p(x), e a segunda na direccao longitudinal,qx, com as seguintes definicoes:

p(x) = p1 +x

L(p2 − p1) (4.23)

q(x) = q1 +x

L(q2 − q1) (4.24)

Para a determinacao do vector das forcas nodais equivalentes, deve ser aplicada aequacao generica (3.29). Tendo em conta a matriz das funcoes de aproximacao definidapara o caso dos porticos planos obtem-se:

F(el) =∫ L

0

ψ1(x) 0ψ2(x) 0ψ3(x) 0ψ4(x) 0

0 ψ5(x)0 ψ6(x)

[p(x)q(x)

]dx =

∫ L

0

ψ1(x) p(x)ψ2(x) p(x)ψ3(x) p(x)ψ4(x) p(x)ψ5(x) q(x)ψ6(x) q(x)

dx (4.25)

Tendo em conta as expressoes definidas para as funcoes de aproximacao e para oscarregamentos longitudinal e transversal vem:

F(el) =

− (L2 (3 p1 + 2 p2))

60

L2 (2 p1 + 3 p2)

60

− (L (7 p1 + 3 p2))

20

− (L (3 p1 + 7 p2))

20

(2 f1 + f2) L

6

(f1 + 2 f2) L

6

(4.26)

Caso estejam aplicadas no domınio do elemento carregamentos longitudinais e trans-versais uniformemente distribuıdos, o vector das forcas nodais equivalentes passa a ser

4.3. DEFINICAO DA MUDANCA DE REFERENCIAL 75

definido por:

F(el) =

−L2 p

12

L2 p

12

−Lp

2

−Lp

2

L q

2

L q

2

(4.27)

4.3 Definicao da mudanca de referencial

Quando se analisam porticos planos, e necessario tratar barras com inclinacao generica.Para construir a equacao de equilıbrio global com base na reuniao da contribuicao decada um dos elementos, e conveniente que os operadores elementares (matrizes derigidez e vector das forcas nodais equivalentes) venham expressos no referencial globalda estrutura. Para que tal seja possıvel, e necessario proceder a uma mudanca dereferencial.

Figura 4.3: Definicao da mudanca de referencial

Para definir esta mudanca de referencial, e necessario determinar a relacao existenteentre os deslocamentos nodais elementares expressos no referencial local do elemento


finito e os deslocamentos nodais elementares expressos no referencial global. A relacaoentre estes conjuntos de deslocamentos, os quais se encontram representados na figura4.3, e estabelecida atraves da definicao de uma matriz de transformacao.

Uma vez construıda essa matriz de transformacao, e possıvel redefinir a aproximacaopara os campos de deslocamentos em cada elemento finito para tornar possıvel a ob-tencao da equacoes para os campos de deslocamentos transversais e longitudinais, w(x)e u(x), em funcao dos deslocamento nodais elementares expressos no referencial global.

A mesma matriz de transformacao vai depois permitir a obtencao dos operadores ele-mentares, matrizes de rigidez e vector das forcas nodais equivalentes, quando se consi-deram forcas e deslocamentos elementares expressos no referencial da estrutura.

4.3.1 Definicao da matriz de transformacao

A matriz de transformacao, T, vai permitir relacionar os deslocamentos nodais elemen-tares expressos no referencial local de cada elemento finito, q, e no referencial globalda estrutura, u. Esta relacao pode ser expressa no formato:

q = Tu (4.28)

Figura 4.4: Definicao das colunas 4 e 6 da matriz de transformacao

A matriz de transformacao tem um numero de linhas igual ao numero de deslocamentosnodais no referencial local (seis) e um numero de colunas determinado pelo numero dedeslocamentos nodais no referencial global (seis). Cada uma das colunas dessa matrizde transformacao tem o seguinte significado fısico: a coluna j de T lista o valor decada um dos deslocamentos nodais elementares expressos no referencial local que surge

4.3. DEFINICAO DA MUDANCA DE REFERENCIAL 77

quando se impoe o deslocamento nodal elementar global uj com valor unitario e segarante que os restantes sao nulos, ou seja, quando uj = 1 e uk = 0 quando k 6= j.

A figura 4.4 ilustra a construcao das colunas 4 e 6 da matriz de transformacao. Nestafigura, c = cos(θ) e s = sen(θ), onde θ e o angulo formado pelo eixo da barra ea direccao global x. Desenvolvendo um raciocınio semelhante para cada uma dasrestantes quatro possıveis deformadas, e possıvel identificar a constituicao de cadauma das restantes colunas da matriz de transformacao, T. E possıvel verificar que:

T =

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 c 0 −s 00 0 0 c 0 −s0 0 s 0 c 00 0 0 s 0 c

(4.29)

A relacao entre os deslocamentos nodais elementares expressos nos dois referenciaisvem desta forma dada pela igualdade:

q1

q2

q3

q4

q5

q6

=

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 c 0 −s 00 0 0 c 0 −s0 0 s 0 c 00 0 0 s 0 c

u1

u2

u3

u4

u5

u6

=

u1

u2

c u3 − s u5

c u4 − s u6

s u3 + c u5

s u4 + c u6

(4.30)


Os campos de deslocamentos longitudinais e transversais podem ser definidos em funcaodos deslocamentos nodais elementares expressos no referencial global. Tendo em conta(4.30) e a definicao para a aproximacao (4.17) e possıvel escrever:

[w(x)u(x)

]=

ψ1(x) ψ2(x) ψ3(x) ψ4(x) 0 0

0 0 0 0 ψ5(x) ψ6(x)

u1

u2

c u3 − s u5

c u4 − s u6

s u3 + c u5

s u4 + c u6

(4.31)


4.3.3 Matriz de rigidez elementar

Para se definir a matriz de rigidez elementar quando se considera o referencial globalda estrutura e necessario ter em conta a definicao geral [7]:

K(el)g = Tt K(el) T (4.32)

Tendo em conta (4.22) e (4.29) obtem-se a seguinte constituicao para a matriz K(el)g :

4 EIL

2 EIL

6 c EIL2

−6 c EIL2

−6 EI sL2

6 EI sL2

2 EIL

4 EIL

6 c EIL2

−6 c EIL2

−6 EI sL2

6 EI sL2

6 c EIL2

6 c EIL2

12 c2 EIL3 + EA s2

L−12 c2 EI

L3 − EA s2

L−12 c EI s

L3 + c EA sL

12 c EI sL3 − c EA s

L

−6 c EIL2

−6 c EIL2

−12 c2 EIL3 − EA s2

L12 c2 EI

L3 + EA s2

L12 c EI s

L3 − c EA sL

−12 c EI sL3 + c EA s

L

−6 EI sL2

−6 EI sL2

−12 c EI sL3 + c EA s

L12 c EI s

L3 − c EA sL

c2 EAL + 12 EI s2

L3 − c2 EAL − 12 EI s2

L3

6 EI sL2

6 EI sL2

12 c EI sL3 − c EA s

L−12 c EI s

L3 + c EA sL − c2 EA

L − 12 EI s2

L3c2 EA

L + 12 EI s2

L3

(4.33)

A coluna i da rigidez elementar K(el)g possui o significado fısico habitual: lista o valor das

forcas nodais (agora expressas no referencial global da estrutura) que estao associadasa imposicao da deformada caracterizada por ui = 1.0 e um = 0.0, com m 6= i.

4.3.4 Vector das forcas nodais equivalentes

Para definir o vector das forcas nodais equivalentes no referencial global da estruturae necessario ter em conta a equacao [7]:

F(el)g = Tt F(el) (4.34)

Quando se consideram cargas distribuıdas trapezoidais, a consideracao de (4.29) e(4.26) permite determinar:

F(el)g =

−(L2 (3 p1+2 p2))60

L2 (2 p1+3 p2)60

−(c L (7 p1+3 p2))20

+ (2 f1+f2) L s6

−(c L (3 p1+7 p2))20

+ (f1+2 f2) L s6

c (2 f1+f2) L6

+ L (7 p1+3 p2) s20

c (f1+2 f2) L6

+ L (3 p1+7 p2) s20

(4.35)

4.4. ANALISE DE UM PORTICO PLANO 79

Caso se considerem cargas uniformemente distribuıdas, e tendo em conta a definicao(4.27), e possıvel obter:

F(el)g ==

−(L2 p)12

L2 p12

−(c L p)2

+ L q s2

−(c L p)2

+ L q s2

c L q2

+ L p s2

c L q2

+ L p s2

(4.36)

4.4 Analise de um portico plano

A aplicacao do metodo dos elementos finitos na analise de porticos planos e agorailustrada atraves da resolucao da estrutura representada na figura 4.5.

Figura 4.5: Analise de um portico plano


Na figura 4.6 apresenta-se a discretizacao utilizada na analise da estrutura. A malhaconsidera tres elementos finitos. Como na barra BC existe uma carga uniformementedistribuıda, o campo de deslocamentos transversais exacto corresponde a um polinomiode quarto grau. Como na aproximacao desse campo de deslocamentos apenas se uti-lizam polinomios de terceiro grau, a solucao que se ira obter e apenas aproximada.


Figura 4.6: Discretizacao do portico plano


Na figura 4.7 identificam-se os deslocamentos independentes a considerar na analise daestrutura.



Na figura 4.8 identificam-se os deslocamentos nodais elementares que vao ser utilizadosna definicao da aproximacao para os campos de deslocamentos transversais e longitu-dinais em cada um dos elementos de viga. Estes deslocamentos nodais encontram-seexpressos no referencial global da estrutura. De acordo com a definicao da aproximacaopara os campos de deslocamentos em cada elemento apresentada em (4.31) e tendo emconta a inclinacao de cada elemento de barra (angulo entre o eixo da barra e a direccao


Figura 4.8: Identificacao dos deslocamentos elementares expressos no referencial global

x do referencial global da estrutura) pode escrever-se:

[w(x1)u(x1)

]=

ψ1(x1) ψ2(x1) ψ3(x1) ψ4(x1) 0 0

0 0 0 0 ψ5(x1) ψ6(x1)

u1

u2

−u5

−u6

u3

u4

(4.37)

[w(x2)u(x2)

]=

ψ1(x2) ψ2(x2) ψ3(x2) ψ4(x2) 0 0

0 0 0 0 ψ5(x2) ψ6(x2)

u1

u2

u3

u4

u5

u6

(4.38)

[w(x3)u(x3)

]=

ψ1(x3) ψ2(x3) ψ3(x3) ψ4(x3) 0 0

0 0 0 0 ψ5(x3) ψ6(x3)

u1

u2

u3√2

+ u5√2

u4√2

+ u6√2

− u3√2

+ u5√2

− u4√2

+ u6√2

(4.39)


Para definir a aproximacao em funcao dos deslocamentos independentes da estrutura,e necessario ter em conta o conteudo da tabela de incidencias 4.1.

Elemento u1 u2 u3 u4 u5 u6

1 − d1 − − − −2 d1 d2 − d3 − d4

3 d2 − d3 − d4 −

Tabela 4.1: Tabela de incidencias para a malha de elementos finitos

Tendo em conta a informacao disponibilizada na tabela 4.1, e possıvel escrever asaproximacoes (4.37), (4.38) e(4.39) em funcao dos deslocamentos independentes daestrutura.

[w(x1)u(x1)

]=

ψ1(x1) ψ2(x1) ψ3(x1) ψ4(x1) 0 0

0 0 0 0 ψ5(x1) ψ6(x1)

0d1

0000

(4.40)

[w(x2)u(x2)

]=

ψ1(x2) ψ2(x2) ψ3(x2) ψ4(x2) 0 0

0 0 0 0 ψ5(x2) ψ6(x2)

d1

d2

0d3

0d4

(4.41)

[w(x3)u(x3)

]=

ψ1(x3) ψ2(x3) ψ3(x3) ψ4(x3) 0 0

0 0 0 0 ψ5(x3) ψ6(x3)

d2

0

d3√2

+ d4√2

0√2

+ 0√2

− d3√2

+ d4√2

− 0√2

+ 0√2

(4.42)



Tendo em conta a definicao (4.33) e a inclinacao de cada uma das barras, e possıvelobter as seguintes matrizes de rigidez elementares:

K(1)g =

EI EI2

0 0 −3 EI8

3 EI8

EI2

EI 0 0 −3 EI8

3 EI8

0 0 EA4

−EA4

0 0

0 0 −EA4

EA4

0 0

−3 EI8

−3 EI8

0 0 3 EI16

−3 EI16

3 EI8

3 EI8

0 0 −3 EI16

3 EI16

(4.43)

K(2)g =

EI EI2

3 EI8

−3 EI8

0 0

EI2

EI 3 EI8

−3 EI8

0 0

3 EI8

3 EI8

3 EI16

−3 EI16

0 0

−3 EI8

−3 EI8

−3 EI16

3 EI16

0 0

0 0 0 0 EA4

−EA4

0 0 0 0 −EA4

EA4

(4.44)

K(3) =

EI√2

EI2√

23 EI16√

2−3 EI16√

23 EI16√

2−3 EI16√

2

EI2√

2EI√

23 EI16√

2−3 EI16√

23 EI16√

2−3 EI16√

2

3 EI16√

23 EI16√

2EA8√

2+ 3 EI

64√

2−EA8√

2− 3 EI

64√

2−EA8√

2+ 3 EI

64√

2EA8√

2− 3 EI

64√

2

−3 EI16√

2−3 EI16√

2−EA8√

2− 3 EI

64√

2EA8√

2+ 3 EI

64√

2EA8√

2− 3 EI

64√

2−EA8√

2+ 3 EI

64√

2

3 EI16√

23 EI16√

2−EA8√

2+ 3 EI

64√

2EA8√

2− 3 EI

64√

2EA8√

2+ 3 EI

64√

2−EA8√

2− 3 EI

64√

2

−3 EI16√

2−3 EI16√

2EA8√

2− 3 EI

64√

2−EA8√

2+ 3 EI

64√

2−EA8√

2− 3 EI

64√

2EA8√

2+ 3 EI

64√

2

(4.45)

Os vectores das forcas nodais equivalentes nos elementos finitos 1 e 3 sao constituıdospor termos todos nulos, uma vez que nao existem quaisquer cargas de vao aplicadasnas barras AB e CD. Ja no elemento finito 2, tendo em conta a carga transversal


uniformemente distribuıda aplicada e usando a equacao (4.36) obtem-se:

F(2)g =

−20/320/3−10−1000

(4.46)


Utilizando a informacao apresentada na tabela de incidencias 4.1, e possıvel escreveras seguintes definicoes para cada um dos termos da matriz de rigidez global.

k11 = k(1)22 + k

(2)11 k12 = k

(2)12 k13 = k

(2)14 k14 = k

(2)16

k21 = k(2)21 k22 = k

(2)22 + k

(3)11 k23 = k

(2)24 + k

(3)13 k24 = k

(2)26 + k

(3)15

k31 = k(2)41 k32 = k

(2)42 + k

(3)31 k33 = k

(2)44 + k

(3)33 k34 = k

(2)46 + k

(3)35

k41 = k(2)61 k42 = k

(2)62 + k

(3)51 k43 = k

(2)64 + k

(3)53 k44 = k

(2)66 + k

(3)55

(4.47)

Substituindo nas igualdades anteriores as definicoes de cada uma das matrizes de rigidezelementares e possıvel obter:

K∗ =

2 EI EI2

−3 EI8

0

EI2

EI + EI√2

−3 EI8

+ 3 EI16√

23 EI16√

2

−3 EI8

−3 EI8

+ 3 EI16√

2EA8√

2+ 3 EI

16+ 3 EI

64√

2−EA8√

2+ 3 EI

64√

2

0 3 EI16√

2−EA8√

2+ 3 EI

64√

2EA4

+ EA8√

2+ 3 EI

64√

2

(4.48)

Tendo de novo em conta a tabela de incidencias, o vector das forcas nodais equivalentese construıdo atraves das igualdades:

F1 = F nodal1 + F

(1)2 + F

(2)1

F2 = F nodal2 + F

(2)2 + F

(3)1

F3 = F nodal3 + F

(2)4 + F

(3)3

F4 = F nodal4 + F

(2)6 + F

(3)5

(4.49)

Tendo em conta o vector das forcas nodais equivalentes elementares determinados na


seccao anterior obtem-se:

F =

−20

320

3−10

0

(4.50)

4.4.6 Resolucao da equacao de equilıbrio global

Considera-se que todas as barras da estrutura tem uma seccao transversal quadran-gular com dimensoes b = 0.3 m e h = 0.3 m. A resolucao da equacao de equilıbrioglobal permite a determinacao dos seguintes valores para cada um dos deslocamentosindependentes da estrutura:

F =1

E

−7191.02

7676.85

−1778.85

−485.538

(4.51)

4.4.7 Analise da solucao obtida

A substituicao dos valores obtidos para os deslocamentos independentes nas equacoes(4.40), (4.41) e (4.42) permite obter as seguintes aproximacoes para os campos dedeslocamentos transversais, w(x)

w(x1) =1

E

(x2

1 (−1797.75 + 449.439 x1))

(4.52)

w(x2) =1

E(−85.9536 (−4.21703 + x2) x2 (19.839 + x2)) (4.53)

w(x3) =1

E

(−222.211 (−0.225175 + x3)

(32.− 11.3137 x3 + x2

3

))(4.54)

e para os campos de deslocamentos longitudinais, u(x).

u(x1) = 0 (4.55)

u(x2) =1

E(−121.385x2) (4.56)

u(x3) =1

E(914.511− 161.664x3) (4.57)


Figura 4.9: Deformada obtida considerando a malha com 3 elementos

A deformada obtida para o portico encontra-se representada na figura 4.9.

A consideracao das condicoes de compatibilidade no domınio, expressas na equacao(4.4), permite a determinacao das aproximacoes para os campos de curvaturas, χ(x) epara os campos de extensoes axiais, ε(x), para cada um dos elementos da discretizacao.Obtem-se

χ(x1) =1

E(3595.51− 2696.63x1) (4.58)

χ(x2) =1

E(2685.52 + 515.721x2) (4.59)

χ(x3) =1

E(−5128.13 + 1333.27x3) (4.60)

e

ε(x1) = 0 (4.61)

ε(x2) =1

E(−121.385) (4.62)

ε(x3) =1

E(−161.664) (4.63)

A utilizacao das relacoes de elasticidade (4.7) permite agora calcular a aproximacaopara os campos de momentos flectores e para os campos de esforcos normais em cadauma das barras. Obtem-se:

M(x1) = 0.000675(3595.51− 2696.63x1) (kNm) (4.64)

M(x2) = 0.000675(2685.52 + 515.721x2) (kNm) (4.65)

M(x3) = 0.000675(−5128.13 + 1333.27x3) (kNm) (4.66)

e

N(x1) = 0 (kN) (4.67)


N(x2) = −10.9246 (kN) (4.68)

N(x3) = −14.5498 (kN) (4.69)

Nas figuras 4.10 e 4.11 tracam-se os diagramas de momentos flectores e os diagramasde esforcos normais obtidos com a malha com tres elementos finitos.

Figura 4.10: Diagrama de momentos flectores considerando a malha com 3 elementos[kNm]

Figura 4.11: Diagrama de esforcos normais considerando a malha com 3 elementos[kN ]

A solucao para o campo de esforcos transversos e determinada a partir da aplicacao dacondicao de equilıbrio (2.43), a qual permite obter:

V (x1) = −1.8202 (kN) (4.70)

V (x2) = 0.3481 (kN) (4.71)

V (x3) = 0.8999 (kN) (4.72)

Os diagramas de esforcos transversos associados a esta solucao encontram-se represen-tados na figura 4.12.


Figura 4.12: Diagrama de esforcos transversos considerando a malha com 3 elementos[kN ]

Problema 4.2 Estabeleca quais as condicoes de equilıbrio a verificar para que a solucaoaproximada obtida corresponda a solucao exacta para a estrutura analisada.

Problema 4.3 Verifique as condicoes de equilıbrio no domınio e discuta se a solucaoobtida pode ser considerada como a solucao exacta.

Como nao sao verificadas localmente as condicoes de equilıbrio, a solucao obtida e ape-nas aproximada. Para se conseguir uma melhor aproximacao, e necessario consideraruma malha envolvendo a consideracao de mais elementos finitos na discretizacao dotroco BC do portico plano em analise. Na figura 4.13 representa-se a deformada exactapara a estrutura analisada e nas figuras 4.14, 4.15 e 4.16 apresentam-se os diagramasexactos para os campos de momentos flectores, esforcos normais e esforcos transversos.

Figura 4.13: Deformada exacta [m]

Problema 4.4 Recupere a solucao exacta adicionando uma solucao particular, talcomo efectuado na seccao 3.3.1.

Problema 4.5 Considere que o apoio existente no no A e substituıdo por um encas-tramento deslizante no qual a translaccao permitida faz um angulo α com a direccaox do referencial global. Sem efectuar os calculos numericos, escreva para este caso asequacoes que permitem definir a matriz de rigidez da estrutua em funcao das matrizesde rigidez elementares.


Figura 4.14: Solucao exacta para o diagrama de momentos flectores [kNm]

Figura 4.15: Solucao exacta para o diagrama de esforcos normais [kN ]

Figura 4.16: Solucao exacta para o diagrama de esforcos transversos [kN ]

Capıtulo 5

Analise de vigas de Timoshenko

5.1 Consideracoes iniciais

Neste capıtulo e efectuada a analise de vigas de Timoshenko com recurso ao metododos elemento finitos. Recorde-se que nesta teoria para pecas lineares se considera oefeito da deformacao por corte.

Na primeira seccao e formulado o elemento finito que permite a obtencao de solucoesaproximadas para este tipo de elemento estrutural. Depois de definidas as aproximacoespara os campos de deslocamentos na barra, torna-se possıvel a obtencao da matrizde rigidez elementar e do vector das forcas nodais equivalentes elementares atravesda aplicacao directa dos procedimentos gerais definidos para o metodo dos elementosfinitos.

Na segunda seccao deste capıtulo e efectuada a analise de uma barra em consola sujeitaa accao de uma carga transversal concentrada aplicada no no livre. Obtem-se primeiroa solucao exacta, tarefa facilitada neste caso porque a estrutura e isostatica, o quepermite a determinacao dos diagramas de esforcos atraves da consideracao das equacoesde equilıbrio. E depois obtida uma solucao considerando uma discretizacao envolvendoapenas um elemento finito. Embora nesta estrutura nao existam quaisquer cargas devao, e possıvel verificar com facilidade que a solucao obtida com aquela malha naovai corresponder a solucao exacta. Depois de efectuada a comparacao entre a solucaoexacta e a solucao aproximada obtida com a malha com um elemento finito, discute-se de seguida a melhoria que se consegue obter na modelacao quando se considerammalhas com um numero crescente de elementos finitos.

O capıtulo termina com a discussao de um fenomeno que pode surgir e afectar de formasignificativa a qualidade da solucao aproximada obtida. Esse fenomeno e conhecidocomo shear locking. E primeiro ilustrado o aparecimento deste tipo de fenomeno.E discutida depois a razao pela qual tal situacao ocorre e quais sao as tecnicas quepodem ser utilizadas para evitar o seu aparecimento e tornar possıvel a utilizacao

91

92 CAPITULO 5. ANALISE DE VIGAS DE TIMOSHENKO

de elementos finitos baseados na consideracao da teoria de vigas de Timoshenko emqualquer situacao.

5.2 Formulacao do elemento finito

Para formular o elemento finito e necessario numa primeira fase definir a aproximacaopara os campos de deslocamentos. Para este tipo de elemento estrutural devem definir-se duas aproximacoes independentes, uma para o campo de deslocamentos transversais,w(x), outra para o campo de rotacoes, θ(x). Recorde-se que estes dois campos dedeslocamentos sao independentes quando se considera a deformacao por corte.

Uma vez definida a aproximacao para os campos de deslocamentos, e possıvel determi-nar a matriz de rigidez elementar e o vector das forcas nodais equivalentes aplicandoos procedimentos gerais ja considerados nos capıtulos anteriores.


Como nas equacoes de compatibilidade surgem apenas primeiras derivadas, para asse-gurar que na solucao aproximada todas as condicoes de compatibilidade sao verificadaslocalmente e necessario apenas garantir a continuidade dos campos que sao directa-mente aproximados. Tal nao sucede no caso das vigas de Euler-Bernoulli, para asquais e necessario garantir a continuidade do campo directamente aproximado (campode deslocamentos transversais, w(x)) e das suas primeiras derivadas.

Desta forma, a definicao das aproximacao resulta bastante simplificada no caso de seadoptar a teoria de vigas de Timoshenko. Como e necessario apenas garantir a conti-nuidade dos campos aproximados, e possıvel utilizar o mesmo tipo de procedimento quefoi utilizado na definicao da aproximacao para o campo de deslocamentos longitudinaisna formulacao de elementos finitos para a analise de pecas lineares sujeitas apenas acarregamentos axiais.

Para definir a aproximacao para o campo de rotacoes, apenas e necessario conhecer ovalor dessa grandeza num determinado numero de pontos de passagem, ou seja, numdeterminado numero de nos. Para se definir uma aproximacao linear, e necessarioconhecer o valor do campo de rotacoes nos dois nos de extremidade do elemento finito.Define-se desta forma:

θ(xe) = Ψ1(xe) q1 + Ψ2(xe) q2 = (1− xe

L) q1 + (

xe

L) q2 (5.1)

A definicao da aproximacao para o campo de deslocamentos transversais e baseadaexclusivamente no conhecimento do valor que essa grandeza fısica toma num determi-nado numero de nos definidos no elemento finito. Para se construir uma aproximacao

5.2. FORMULACAO DO ELEMENTO FINITO 93

linear para w(x), e necessario conhecer o valor dos deslocamentos transversais nos nosde extremidade do elemento finito. Pode escrever-se:

w(xe) = −Ψ1(xe) q1 −Ψ2(xe) q3 = (−1 +x

L) q1 − (

x

L) q3 (5.2)

Na figura 5.1 sao identificados os deslocamentos nodais elementares em funcao dosquais se escrevem as aproximacos para os campos de deslocamentos

Figura 5.1: Deslocamentos nodais elementares para a viga de Timoshenko

O sinal negativo que afecta cada uma das duas funcoes de aproximacao em (5.2) surgeporque os deslocamemtos nodais elementares q3 e q4 correspondem a deslocamentostransversais com sinal negativo, de acordo com o sentido considerado como positivopara esta grandeza fısica.

As aproximacoes para os campos de deslocamentos numa viga de Timoshenko podemser escritas no formato matricial:

[θ(x)w(x)

]=

1− x

L

x

L0 0

0 0 −1 +x

L−x

L

q1

q2

q3

q4

(5.3)

A matriz das funcoes de aproximacao, Ψ, tem neste caso duas linhas (porque saodefinidas aproximacoes independentes para dois campos de deslocamentos) e quatrocolunas (por que existem quatro deslocamentos nodais elementares). Este operador edefinido por:

Ψ =

1− x

L

x

L0 0

0 0 −1 +x

L−x

L

(5.4)

Cada uma das colunas da matriz Ψ tem o significado fısico habitual. A coluna jda matriz das funcoes de aproximacao lista os campos de deslocamentos (rotacoesna primeira linhas, deslocamentos transversais na segunda) que surgem na viga deTimoshenko quando se impoe o deslocamento nodal elementar com valor unitario ese garante que os restantes sao nulos, ou seja, quando qj = 1 e qk = 0, para k 6= j.A deformada que surge no elemento de viga quando se considera uma aproximacao


Figura 5.2: Definicao da aproximacao dos campos de deslocamentos

linear para os campos de deslocamentos e quando se aplica cada um dos deslocamentosnodais elementares com valor unitario encontra-se representada na figura 5.2.

Para o elemento de viga de Timoshenko, a matriz B tem duas linhas (porque neste tipode elemento estrutural existem dois campos de deformacoes) e quatro colunas (porqueexistem quatro deslocamentos nodais elementares). Tendo em conta as funcoes deaproximacao determinadas anteriormente, e possıvel verificar que:

B = AΨ (5.5)

=

d

dx0

1d

dx

1− x

L

x

L0 0

0 0 −1 +x

L−x

L

(5.6)

B =

− 1

L

1

L0 0

1− x

L

x

L

1

L− 1

L

(5.7)

Cada uma das colunas da matriz B tem significado fısico bem preciso. Na coluna kde B listam-se os campos de deformacao (curvaturas na primeira linha, deformacoespor corte na segunda) que se desenvolvem no elemento de viga quando se impoe odeslocamento nodal qk com valor unitario e se garante que os restantes sao nulos.

Para que exista um campo de curvaturas nao nulo, e necessario que o campo de rotacoesao longo da barra varie. Isto acontece apenas quando se consideram aplicados os deslo-camentos nodais elementares q1 e q2. Quando se impoem os deslocamentos transversaiselementares q3 e q4, apenas varia o campo de deslocamentos transversais (neste caso ocampo de rotacoes e nulo). As deformadas correspondentes estao associadas a camposde curvaturas nulas.


Para que exista um campo de deformacoes por corte, basta que seja diferente de zeroo campo de rotacoes ou que seja variavel o campo de deslocamentos transversais. Estefacto faz com que sejam nao-nulos os campos de deformacoes por corte associados atodas as deformadas reprentadas na figura 5.2.

A aproximacao para os campos de deformacoes pode ser expresso matricialmente naforma:

[χ(x)γ(x)

]=

− 1

L

1

L0 0

1− x

L

x

L

1

L− 1

L

q1

q2

q3

q4

(5.8)

A aplicacao das relacoes de elasticidade apresentadas na equacao (2.25) permite agoradefinir a aproximacao para os campos de esforcos em cada um dos elementos de vigade Timoshenko. Sublinhe-se que o calculo dos esforcos transversos passa agora pelautilizacao da relacao constitutiva correspondente.

[M(x)V (x)

]=

EI 0

0 GAc

− 1

L

1

L0 0

1− x

L

x

L

1

L− 1

L

q1

q2

q3

q4

(5.9)

Problema 5.1 Construa um elemento de viga de Timoshenko que permita definir umaaproximacao quadratica para o campo de rotacoes e para o campo de deslocamentostransversais.

Problema 5.2 Construa um elemento de viga de Timoshenko que permita definir umaaproximacao linear para o campo de rotacoes e uma aproximacao quadratica para ocampo de deslocamentos transversais.

5.2.2 Matriz de rigidez elementar

A aplicacao da definicao (3.26) permite definir a matriz de rigidez elementar para asvigas de Timoshenko. Tendo em conta a matriz B definida em (5.7) e o operador deelasticidade apresentado em (2.26) obtem-se:

K(e) =∫ L

0

− 1

L1− x

L1

L

x

L

01

L

0 − 1

L

EI 0

0 GAc

− 1

L

1

L0 0

1− x

L

x

L

1

L− 1

L

dx (5.10)


O desenvolvimento da equacao anterior permite determinar a seguinte expressao paraa matriz de rigidez elementar

K(e) =

EI

L+ L

GAc

3−EI

L+ L

GAc

6

GAc

2−GAc

2

−EI

L+ L

GAc

6

EI

L+ L

GAc

3

GAc

2−GAc

2

GAc

2

GAc

2

GAc

L−GAc

L

−GAc

2−GAc

2−GAc

L

GAc

L

(5.11)

Cada uma das colunas da matriz de rigidez elementar volta a ter o significado fısicohabitual. Na coluna j da matriz K(e) encontram-se listadas as forcas nodais equiva-lentes que se desenvolvem quando se impoe qj = 1 e se garante que todos os restantesdeslocamentos nodais elementares sao nulos, qk = 0 com k 6= j. A identificacao dosignificado fısico de cada uma das colunas da matriz de rigidez elementar pode serencontrada na figura 5.3.

Figura 5.3: Identificacao do significado fısico das colunas da matriz de rigidez elemen-tar

Tendo em conta a sua constituicao, o operador de elasticidade (2.26) pode ser de-composto em duas parcelas, a primeira relacionada com o comportamento a flexaodo elemento de viga, a segunda relacionada com o comportamento ao corte. Estadecomposicao, a qual pode ser expressa no formato,

D = Df + Dc (5.12)


EI 0

0 GAc

=

EI 0

0 0

+

0 0

0 GAc

(5.13)

vai ser importante para a discussao que se desenvolve na ultima seccao deste capıtulo.A parcela de flexao do operador elastico vai ser denotado por Df , enquanto que acorrespondente parcela de corte vai ser representada por Dc.

A decomposicao considerada para o operador elastico permite decompor por sua vez amatriz de rigidez elementar em duas parcelas: a parcela de flexao, K

(e)f , e a parcela de

corte, K(e)c . Pode escrever-se:

K(e) =∫ L

0Bt (Df + Dc) B dx (5.14)

K(e) = K(e)f + K(e)

c =∫ L

0Bt Df B dx +

∫ L

0Bt Df B dx (5.15)

A parcela de flexao e definida por:

K(e)f =

∫ L

0

− 1

L1− x

L1

L

x

L

01

L

0 − 1

L

EI 0

0 0

− 1

L

1

L0 0

1− x

L

x

L

1

L− 1

L

dx (5.16)

Efectuando as integracoes definidas em (5.16) obtem-se

K(e)f =

EI

L−EI

L0 0

−EI

L

EI

L0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

(5.17)

A definicao da parcela de corte da matriz de rigidez elementar tem em conta que:

K(e)c =

∫ L

0

− 1

L1− x

L1

L

x

L

01

L

0 − 1

L

0 0

0 GAc

− 1

L

1

L0 0

1− x

L

x

L

1

L− 1

L

dx (5.18)


Efectuando todas as integracoes definidas em (5.18) obtem-se:

K(e)c =

LGAc

3L

GAc

6

GAc

2−GAc

2

LGAc

6L

GAc

3

GAc

2−GAc

2

GAc

2

GAc

2

GAc

L−GAc

L

−GAc

2−GAc

2−GAc

L

GAc

L

(5.19)

Verifica-se agora com facilidade que a matriz de rigidez elementar, ja definida em (5.11),e recuperada se se somarem as parcelas de flexao e de corte, definidas respectivamentepelas igualdades (5.17) e (5.19).

K(e) =

EI

L−EI

L0 0

−EI

L

EI

L0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

+

LGAc

3L

GAc

6

GAc

2−GAc

2

LGAc

6L

GAc

3

GAc

2−GAc

2

GAc

2

GAc

2

GAc

L−GAc

L

−GAc

2−GAc

2−GAc

L

GAc

L

(5.20)

Problema 5.3 Construa a matriz de rigidez elementar para o elemento finito obtidona resolucao do Problema 5.1.

Problema 5.4 Construa a matriz de rigidez elementar para o elemento finito obtidona resolucao do Problema 5.2.

5.2.3 Vector das forcas nodais equivalentes elementares

A aplicacao da equacao generica (3.29) permite determinar o vector das forcas nodaisequivalentes elementares. Tendo em conta a existencia de momentos e cargas transver-sais distribuıdas, e possıvel obter:

F(e) =∫ L

0

1− x

L0

x

L0

0 −1 +x

L

0 −x

L

[m(x)p(x)

]dx =

∫ L

0

(1− x

L) m(x)

x

Lm(x)

(−1 +x

L) p(x)

−x

Lp(x)

dx (5.21)

5.3. ANALISE DE UMA VIGA EM CONSOLA 99

A equacao (5.21) permite verificar que a transformacao de cargas de vao em forcasnodais equivalentes e efectuada com base na consideracao de um conjunto de equacoessimilar ao que foi considerado no caso da determinacao dos vectores das forcas nodaisequivalente para o elemento de barra sujeito a carregamente axial. Ao contrario do quesucede no caso dos elementos de viga de Euler-Bernoulli, so existem momentos nodaisequivalentes, F1 e F2, se existir um momento distribuıdo aplicado no vao do elementoconsiderado. Considerando carregamentos trapezoidais, e possıvel verificar que:

F(e) =L

6

2 m1 + m2

m1 + 2 m2

2 p1 + p2

p1 + 2 p2

(5.22)

onde m1p1 e m2p2 correspondem aos valores que o momento distribuıdocargatransversal distribuıda, m(x)p(x), toma em cada uma das extremidades da viga.

Problema 5.5 Construa o vector das forcas nodais equivalentes quando se consideraa accao de uma carga sinusoidal de equacao p(x) = sen(πx/L).

5.3 Analise de uma viga em consola

Para ilustrar a aplicacao do metodo dos elementos finitos na resolucao de uma viga deTimoshenko, efectua-se nesta seccao a analise da consola apresentada na figura 5.4.

Figura 5.4: Viga em consola

Para permitir avaliar a qualidade da solucao obtida com o recurso ao metodo doselementos finitos, determina-se primeiro a solucao exacta para o problema. O calculoanalıtico desta solucao vem neste caso facilitado pelo facto de se tratar de uma estruturaestaticamente determinada (estrutura isostatica). Este facto possibilita a obtencao doscampos de esforcos atraves da utilizacao directa das condicoes de equilıbrio.

Depois da solucao exacta, e obtida uma solucao aproximada utilizando uma modelacaobaseada na consideracao de uma malha constituıda apenas por um elemento finito.Depois de comparar a solucao aproximada obtida com a solucao exacta, ilustra-se a


convergencia das solucoes quando se consideram malhas constituıdas por um numerocrescente de elementos.

5.3.1 Determinacao da solucao exacta

Sendo a estrutura em analise isostatica, e possıvel determinar os campos de esforcosatraves da utilizacao das condicoes de equilıbrio no domınio e na fronteira. E possıvelverificar que:

M(x) = 10(x− 4) [kNm] (5.23)

V (x) = 10 [kN ] (5.24)

A aplicacao das relacoes de elasticidade permite a obtencao da solucao exacta para oscampos de deformacoes. Tem-se

χ(x) =M(x)

EI=

10

EI(x− 4) (5.25)

γ(x) =V (x)

GAc

=10

GAc

(5.26)

Para o calculo do campo de rotacoes e necessario integrar a equacao de compatibilidade(2.9). Vem:

χ(x) =dθ(x)

dx(5.27)

10

EI(x− 4) =

dθ(x)

dx(5.28)

A integracao da equacao anterior permite obter

θ(x) =10

2EIx2 − 40

EIx + C1 (5.29)

Para determinar a constante de integracao C1, e necessario ter em conta uma dascondicoes de apoio, que estabelece que θ(x = 0) = 0. A substituicao desta condicao naexpressao obtida para o campo de rotacoes permite determinar:

θ(0) = 0 ⇒ 10

2EI02 − 40

EI0 + C1 = 0 ⇒ C1 = 0 (5.30)

O campo de rotacoes exacto vem dado por:

θ(x) =5

EIx2 − 40

EIx (5.31)


O calculo do campo de deslocamentos transversais e determinado tendo em conta acondicao de compatibilidade (2.10)

γ(x) = θ(x) +dw(x)

d x(5.32)

10

GAc

=5

EIx2 − 40

EIx +

dw(x)

d x(5.33)

dw(x)

d x=

10

GAc

− 5

EIx2 +

40

EIx (5.34)

A integracao da equacao anterior permite obter:

w(x) =10

GAc

x +40

2EIx2 − 5

3EIx3 + C2 (5.35)

A segunda das condicoes de apoio, a qual estabelece que w(x = 0) = 0, vai permitiridentificar o valor da constante de integracao C2. Obtem-se:

w(0) = 0 ⇒ 10

GAc

0 +40

2EI02 − 5

3EI03 + C2 = 0 ⇒ C2 = 0 (5.36)

O campo de deslocamentos transversais exacto vem dado por:

w(x) =10

GAc

x +40

2EIx2 − 5

3EIx3 (5.37)

As solucoes exactas para os campo de deslocamentos transversais, w(x), e para o campode rotacoes, θ(x), encontram-se apresentadas nas equacoes (5.37) e (5.31), respectiva-mente. As equacoes (5.23) e (5.24) definem as solucoes exactas para os campos deesforcos, momentos flectores e esforcos transversos, respectivamente.

5.3.2 Resolucao aproximada utilizando o metodo dos elemen-tos finitos

Aplica-se agora o metodo dos elementos finitos na analise da estrutura representada nafigura 5.4. A solucao aproximada obtida desta forma vai ser comparada com a solucaoexacta calculada na seccao anterior.


Para a analise da consola representada na figura 5.4 considera-se a malha de elemen-tos finitos apresentada na figura 5.5, a qual considera apenas um elemento finito no


Figura 5.5: Discretizacao para a analise da viga em consola

qual se definem aproximacoes lineares para o campo de rotacoes e para o campo dedeslocamentos transversais.

Como a aproximacao definida para os campos de deslocamentos e linear e como asolucao exacta e de grau superior (quadratica para o campo de rotacoes e cubica parao campo de deslocamentos transversais), a solucao a obter pela aplicacao do metododos elementos finitos sera apenas aproximada, mesmo existindo apenas cargas aplicadasnos nos.

Como a aproximacao definida nao contem a solucao exacta para o problema na ausenciade cargas de vao, sera ainda possıvel verificar que os deslocamentos independentestambem nao vao corresponder aos valores exactos.


Na figura 5.6 identificam-se os deslocamentos independentes a considerar na analise.Existindo dois deslocamentos independentes, conclui-se que a equacao de equilıbrioglobal vai corresponder a um sistema de duas equacoes a duas incognitas.



Definicao da aproximacao do campo de deslocamentos

Para a definicao da aproximacao e para o processo de reuniao das equacoes elementaresvai ser necessario definir a tabela de incidencias.


1 − d1 − d2

Tabela 5.1: Tabela de incidencias para a consola (1 elemento)

Tendo em conta (5.1), a aproximacao para o campo de rotacoes e dada por:

θ(x1) = (1− x1/4)q1 + (x1/4)q2 (5.38)

θ(x1) = (x1/4)d1 (5.39)

A aproximacao para o campo de deslocamentos transversais e dada por:

w(x1) = −(1− x1/4)q3 − (x1/4)q4 (5.40)

w(x1) = −(x1/4)d2 (5.41)

A aplicacao das condicoes de compatibilidade no domınio permite a determinacao daaproximacao para os campos de deformacoes. Vem:

χ(x1) =dθ(x1)

dx1

= (1/4)d1 (5.42)

γ(x1) = θ(x1) +dw(x1)

dx1

= (x1/4)d1 − (1/4)d2 (5.43)

A aproximacao para os campos de esforcos e determinada atraves da aplicacao dasrelacoes de elasticidade. Obtem-se:

M(x) = EIχ(x1) = EI(1/4)d1 (5.44)

V (x) = GAcγ(x1) = GAc(x1/4)d1 −GAc(1/4)d2 (5.45)

Dado que o campo de momentos flectores depende apenas do campo de curvaturas ecomo neste elemento com aproximacao linear para o campo de rotacoes o campo decurvaturas e constante, a aproximacao definida para este campo de esforcos tambeme constante no domınio de cada elemento finito. O campo de esforcos transversos edeterminado por sua vez directamente a partir do conhecimento do campo deformacoesde corte. Como este campo de deformacoes resulta da soma do campo de rotacoes


com a derivada do campo de deslocamentos transversais, conclui-se que no elementofinito adoptado a deformacao por corte varia linearmente. Este facto faz com que avariacao do campo de esforcos transversos na solucao aproximada seja tambem linear.Isto permite antever desde ja um problema na verificacao das condicoes de equilıbrio nodomınio: se o campo de momentos flectores e constante, o campo de esforcos transversosdeveria ser sempre nulo, por forma a satisfazer a condicao de equilıbrio correspondente.

Definicao das equacoes elementares

Tendo em conta (5.11), a matriz de rigidez elementar e dada por:

K(1) =

EI

4+ 4

GAc

3−EI

4+ 4

GAc

6

GAc

2−GAc

2

−EI

4+ 4

GAc

6

EI

4+ 4

GAc

3

GAc

2−GAc

2

GAc

2

GAc

2

GAc

4−GAc

4

−GAc

2−GAc

2−GAc

4

GAc

4

(5.46)

Como nao existem quaisquer cargas de vao aplicadas, o vector das forcas nodais equi-valentes no elemento 1 e nulo.


Tendo em conta o conteudo da tabela de incidencias 5.1, e possıvel escrever:

k11 = k(1)22 k12 = k

(1)24

k21 = k(1)42 k22 = k

(1)44

(5.47)

A matriz de rigidez da estrutura vem dada por:

K∗ = EI

EI

4+

4GAc

3−4GAc

2

−4GAc

2

4GAc

4

(5.48)

A informacao contida na tabela de incidencias 5.1 vai permitir identificar os termos dovector das forcas nodais equivalentes globais. E possıvel verificar que:

F1 = F(nodal)1 + F

(1)2 (5.49)

F2 = F(nodal)2 + F

(1)4 (5.50)



F =

0

−10

(5.51)


Resolvendo a equacao do metodo dos elementos finitos obtem-se:

d =

[d1

d2

]=

1

3EI + 4GAc

−240

−40(

3EI + 16GAc

GAc

)

(5.52)

Considerando-se agora uma seccao transversal com dimensoes b = 0.3m e h = 0.8m eassumindo ν = 0.25 vem:

EI = Ebh3

12= E

0.3× 0.83

12(5.53)

GAc = Gκbh = E1

2(1 + ν)× 5

6× bh = E

1

2(1 + 0.25)× 5

6× 0.3× 0.8 (5.54)

Substituindo estas igualdades na solucao (5.52), obtem-se o seguinte valor para osdeslocamentos independentes da estrutura:

[d1

d2

]=

1

E

−669.6

−1839.3

(5.55)


A solucao aproximada para os campos de deslocamentos e obtida se se substituirem osdeslocamentos independentes nas equacoes (5.39) e (5.41). Obtem-se:

θ(x1) = − 1

E(167.4x1) (5.56)

w(x1) =1

E(459.825x1) (5.57)

Na figura 5.7 representa-se o campo de deslocamentos transversais aproximado obtidoe o campo de deslocamentos transversais exacto. E imediato verificar que e fraca a qua-lidade da solucao obtida. Verifica-se ainda que o deslocamento transversal no no finalda consola (deslocamento independente d2) nao corresponde ao deslocamento exacto.A analise da mesma figura permite ainda verificar que esse valor aproximado e, emvalor absoluto, inferior ao que corresponde a solucao exacta. Esta e uma caracterıstica


geral das solucoes obtidas com recurso ao MEF: os deslocamentos nodais sao inferioresaos deslocamentos exactos. Isto acontece porque o modelo de elementos finitos e maisrıgido que o comportamento real da estrutura (basta verificar que em cada elemento serestringe o grau do campo de deformacoes, o que desde logo condiciona a forma comoo modelo permite que a peca altere a sua geometria inicial.

O mesmo tipo de comentario pode ser desenvolvido a proposito do campo de rotacoes.Na figura 5.7 tambem se efectua a comparacao da solucao aproximada obtida para θ(x)e o correspondente diagrama exacto.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

Solução exacta

Solução aproximada (1 ele)

w

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−7000

−6000

−5000

−4000

−3000

−2000

−1000

0

Solução exacta


Θ

Figura 5.7: Campos de deslocamentos transversais e rotacoes na consola (modelacaocom 1 elemento finito)

A aplicacao das condicoes de compatibilidade permite obter as seguintes equacoes paraos campos de deformacoes aproximadas:

χ(x1) = − 1

E(167.4) (5.58)

γ(x1) =1

E(459.825− 167.4x1) (5.59)

Finalmente, define-se a aproximacao para os campos de esforcos atraves das seguintesigualdades:

M(x1) = −2.14272 (kNm) (5.60)

V (x1) = 36.786− 13.392x1 (kN) (5.61)

Na figura 5.8 representam-se os diagramas de momentos flectores e esforcos transversosobtidos com a discretizacao envolvendo apenas um elemento finito. Estes diagramassao comparados com as solucoes exactas para cada uma daquelas grandezas. Verifica-se com facilidade que os campos de esforcos obtidos estao ainda longe de recuperar asolucao exacta para o problema.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

Solução exacta


M

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−20

−10

0

10

20

30

40

Solução exacta


V

Figura 5.8: Campos de momentos flectores e esforcos transversos (modelacao com 1elemento finito)

O diagrama de momentos flectores aproximado toma uma valor constante. Nao permitea verificacao da condicao de fronteira estatica na seccao final da barra, uma vez queM(x1 = 4) = −2.14 kNm, em vez de satisfazer a condicao de equilıbrio M(x1 = 4) =0 kNm. O diagrama de esforcos transversos tambem nao permite verificar a segundadas condicoes de fronteira estatica. Em vez de satisfazer V (x1 = 4) = 10 kN , nasolucao aproximada obtida tem-se V (x1 = 4) = −16.78 kN .

O equilıbrio no domınio tambem nao e verificado localmente. Para confirmar estaafirmacao basta verificar que o campo de esforcos transversos nao corresponde a deri-vada do campo de momentos flectores ao longo do eixo do elemento de viga.

5.3.3 Refinamento da solucao obtida

Interessa agora verificar como a solucao aproximada melhora e converge para a solucaoexacta a medida que se consideram malhas com um numero crescente de elementosfinitos.

Na figura 5.9 compara-se a solucao exacta para o campo de deslocamentos transversaiscom a solucao aproximada obtida com malhas uniformes constituıdas por um, quatro,dez, vinte, quarenta e cem elementos finitos. A analise desta figura permite recordaralgumas das caracterısticas genericas das solucoes aproximadas obtidas com o metododos elementos finitos. Verifica-se em primeiro lugar que as solucoes obtidas satisfa-zem todas as condicoes de compatibilidade: o campo de deslocamentos transversaise contınuo no domınio de cada elemento, e contınuo entre elementos e satisfaz todasas condicoes de apoio (condicoes de fronteira cinematica). Os deslocamentos nodaissao mais pequenos que os correspondentes deslocamentos exactos. A medida que amalha e refinada, estes deslocamentos tendem para os valores exactos, mas sempre porvalores inferiores aos exactos. Finalmente, e possıvel verificar que a convergencia para


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

Solução exacta


w

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

W

Solução exacta


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

Solução exacta


w

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

w


Solução exacta

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

w


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

w


Figura 5.9: Refinamento do campo de deslocamentos transversais


a solucao exacta quando se analisam os campos de deslocamentos e rapida. Isto quedizer que se consegue obter uma boa solucao para o campo de deslocamentos com umnumero de elementos relativamente reduzido. A analise dos graficos apresentados nafigura 5.9 permitem verificar que a solucao obtida com uma discretizacao envolvendo20 elementos finitos conduz a uma solucao praticamente coincidente com a solucaoexacta. Quando a malha envolve a consideracao 40 elementos as duas solucoes saocoincidentes, embora na solucao aproximada o campo de deslocamentos continue a serlinear em cada um dos elementos da discretizacao.

Na figura 5.10 apresenta-se a solucao que se obtem para o campo de rotacoes quandose consideram as mesmas malhas que foram utilizadas na obtencao das solucoes apro-ximadas para os campos de deslocamentos transversais representados na figura 5.9.Os comentarios que foram efectuados com base na analise dos campos de deslocamen-tos transversais podem agora ser repetidos a proposito da analise da convergencia docampo de rotacoes.

As solucoes aproximadas para o campo de momentos flectores quando se consideramas diferentes malhas de elementos finitos em teste encontram-se representadas na fi-gura 5.11. Tambem a analise destes diagramas permite recordar algumas das carac-terısticas gerais das solucoes obtidas com recurso ao metodo dos elementos finitos. Oscampos de esforcos nao satisfazem localmente as condicoes de equilıbrio (no domınio,na fronteira estatica e na fronteira entre elementos adjacentes), pelo que, de acordocom os teoremas da analise plastica limite, definem solucoes aproximadas contra a se-guranca. Para verificar este facto basta ter em conta que os esforcos maximos definidosem cada uma das solucoes aproximadas sao inferiores aos esforcos maximos que narealidade estao instalados na estrutura em analise. A analise dos diagramas apresen-tados na figura 5.11 permite ainda observar que a convergencia no caso das grandezasestaticas e mais lenta que no caso das grandezas cinematicas (deslocamentos transver-sais e rotacoes). Isto faz com que seja necessario considerar discretizacoes envolvendoum numero de elementos finitos maior para assegurar um grau de precisao elevado.Na malha com 40 elementos finitos a solucao obtida para o campo de momentos flec-tores ainda esta longe de poder ser confundida com a solucao exacta. Mesmo com amalha constituıda por 100 elementos finitos sao perceptıveis os saltos existentes entreos valores constantes obtidos para o momento flector em cada um dos elementos dadiscretizacao.

Na figura 5.12 apresenta-se a evolucao para o diagrama de esforcos transversos. Amedida que a malha e refinada, os diagramas aproximados vao ficando cada vez maisestranhos. Os valores extremos que definem a variacao linear deste esforco em cada umdos elementos da malha vao sendo cada vez maiores a medida que se refina a malha. Noentanto, e possıvel verificar que o valor exacto para o campo de esforcos e recuperadona seccao de meio-vao de cada um dos elementos de viga. Este aspecto e bem visıvelna figura 5.13, na qual se representa, para cada uma das malhas testadas, o diagramaque e construıdo unindo o valor que o campo de esforcos toma no ponto medio de cadaelemento finito considerado.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−7000

−6000

−5000

−4000

−3000

−2000

−1000

0

Solução exacta


Θ

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−7000

−6000

−5000

−4000

−3000

−2000

−1000

0


Solução exacta

Θ

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−7000

−6000

−5000

−4000

−3000

−2000

−1000

0


Solução exacta

Θ

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−7000

−6000

−5000

−4000

−3000

−2000

−1000

0


Solução exacta

Θ

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−7000

−6000

−5000

−4000

−3000

−2000

−1000

0


Θ

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−7000

−6000

−5000

−4000

−3000

−2000

−1000

0

Θ


Figura 5.10: Refinamento do campo de rotacoes


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

Solução exacta


M

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

Solução exacta


M

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

Solução exacta

M


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

MSolução exacta


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

M


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

M


Figura 5.11: Refinamento do diagrama de momentos flectores


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−20

−10

0

10

20

30

40

Solução exacta


V

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80

100


Solução exacta

V

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

60

V

Solução execta


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25

30

35


V

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−5

0

5

10

15

20

25

V


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 45

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

V


Figura 5.12: Refinamento do diagrama de esforcos transversos


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 49

9.2

9.4

9.6

9.8

10

10.2

10.4

10.6

10.8

11


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 49

9.2

9.4

9.6

9.8

10

10.2

10.4

10.6

10.8

11

(10 elementos)

V

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 49

9.2

9.4

9.6

9.8

10

10.2

10.4

10.6

10.8

11

V

20 elementos

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 49

9.2

9.4

9.6

9.8

10

10.2

10.4

10.6

10.8

11

40 elementos

V

Figura 5.13: Diagrama de esforcos transversos corrigido


5.4 Efeito de Shear Locking

Nesta seccao discute-se um fenomeno que pode surgir quando se aplica o metodo doselementos finitos na analise de vigas de Timoshenko com seccoes transversais de alturareduzida. Este fenomeno, designado usualmente por shear locking, pode destruir porcompleto a solucao aproximada, conduzindo a obtencao de resultados sem qualquersignificado.

Felizmente, existem procedimentos que permitem assegurar que este fenomeno naosurge na analise e que a utilizacao do metodo dos elementos finitos em conjunto com ateoria de vigas de Timoshenko permite obter sempre uma boa solucao para a estruturaem estudo, desde que a malha seja suficientemente refinada.

Antes de se apresentar a tecnica que permite limitar o aparecimento do fenomeno deshear loking, e importante perceber as razoes pelas quais este problema pode surgir equais os sintomas que permitem identificar o seu aparecimento.

5.4.1 O que e?

A teoria de vigas de Timoshenko permite considerar o efeito da deformacao por corte.Tal como se vai ilustrar nesta seccao, o efeito da deformacao por corte e importantequando a relacao entre o comprimento da barra, L, e a altura da seccao transversal, hassume valores baixos. Para valores do coeficiente L/h altos, a influencia da deformacaopor corte e desprezavel. A teoria de vigas de Timoshenko e coerente porque permiterecuperar nestes casos os resultados que se teriam caso se aplicasse directamente ateoria de vigas de Euler-Bernoulli.

A teoria de vigas de Timoshenko e desta forma adequada para a analise de todo o tipode situacoes. Quando o coeficiente L/h e pequena, a deformacao por corte assumerelevancia e essa e a teoria de viga que deve ser considerada na analise. Quando seconsideram pecas com menor altura, a teoria de Timoshenko permite que o efeito dadeformacao por corte se anule e conduz a uma solucao identica a que a teoria de vigasfinas permite obter.

Para ilustrar este comportamento, considere-se de novo a consola analisada na seccao 5.3.Recorde-se que o campo de rotacoes e o campo de deslocamentos transversais exactossao dados pelas igualdades:

θe(x) =5

EIx2 − 40

EIx (5.62)

we(x) =10

GAc

x +40

2EIx2 − 5

3EIx3 (5.63)

Se a mesma estrutura for analisada considerando a teoria de vigas de Euler-Bernoulli,e possıvel verificar que o campo de deslocamentos transversal e o campo de rotacoes

5.4. EFEITO DE SHEAR LOCKING 115

passam a ser dados por:

θf (x) =5

EIx2 − 40

EIx (5.64)

wf (x) =40

2EIx2 − 5

3EIx3 (5.65)

Determine-se agora o valor do quociente entre a rotacao calculada para o no livre daconsola quando se considera a teoria de vigas espessas (Timoshenko) e a teoria de vigasfinas (Euler-Bernoulli). Este quociente e dado por:

θe

θf

=

5

EI42 − 40

EI4

5

EI42 − 40

EI4

= 1 (5.66)

A equacao (5.66) permite verificar que nesta estrutura e para o valor da rotacao nono livre as duas teorias fornecem sempre o mesmo valor. A deformacao por corte naoinfluencia neste caso o valor da rotacao na extremidade da consola.

Se se determinar o quociente entre o valor obtido para o deslocamento transversal naextremidade da consola quando se consideram as duas teorias, obtem-se:

we

wf

=

10

GAc

4 +40

2EI42 − 5

3EI43

40

2EI42 − 5

3EI43

(5.67)

Simplificando a equacao (5.67), tendo em conta a definicao para a rigidez de flexao,EI, e a rigidez de corte, GAc e ainda assumindo para o coeficiente de Poisson um valorde ν = 0.25, e possıvel obter:

we

wf

= 1 + 0.75(h

4)2 (5.68)

A equacao (5.68) permite verificar que a deformacao por corte tem influencia no valorcalculado para o valor do deslocamento transversal na extremidade da consola. Paravalores grandes de h, a teoria de Timoshenko fornece a resposta correcta, e o valordo deslocamento transversal e maior do que o que seria obtido caso se considerasse aaplicacao da teoria de vigas de Euler-Bernoulli. No entanto, a medida que a altura daseccao transversal diminui, o efeito da deformacao por corte diminui e as duas teoriastendem a fornecer o mesmo valor.

A variacao do valor dos quocientes apresentados nas equacoes (5.68) e (5.66) em funcaodo parametro L/h encontra-se representado na figura 5.14. A equacao (5.68) e ografico correspondente permitem verificar que para vigas com seccoes transversais comdimensao corrente em engenharia civil a deformacao por corte e pouco importante.


No caso em estudo, verifica-se que para uma viga com h/L = 1/4 (viga com alturah = 1 m, situacao pouco frequente se se tiver em conta o vao da barra), se obtemwe/wf = 1.046. Se a viga tiver uma seccao transversal com altura h = 0.5 m, o mesmocoeficiente passa a valer we/wf = 1.012.

100

101

102

103

104

105

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

1.02

1.04

1.06

1.08

1.1

L/h

θ θ/e f

100

101

102

103

104

105

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

L/h

we/w

f

Figura 5.14: Evolucao dos deslocamentos transversais e rotacoes na extremidade daconsola

Seria de esperar que os modelos de elementos finitos permitissem manter esta coerenciada teoria de Timoshenko. Quando se utilizam na analise de pecas espessas devempermitir recuperar o efeito da deformacao por corte. Caso esses modelos de elementosfinitos sejam aplicados na analise de estruturas constituıdas por pecas finas, devemrecuperar a solucao que os modelos baseados na teoria de vigas de Euler-Bernoullipermitem recuperar.

Para averiguar se esse e o comportamento dos modelos de elementos finitos baseados nateoria de Timoshenko, considere-se de novo a consola representada na seccao 5.3. Paraassegurar a qualidade dos resultados aproximados obtidos, considera-se uma discre-tizacao envolvendo uma malha com cem elementos finitos. Na figura 5.15 apresentam-se os campos de deslocamentos transversais para varios valores do quociente L/h. Asolucao obtida e comparada com o resultado calculado com base na utilizacao da teoriade vigas de Euler-Bernoulli.

Como seria de esperar, para valores de L/h pequenos as duas solucoes diferem. Estefacto e perfeitamente natural porque nestes casos a deformacao por corte e relevante efaz com que os deslocamentos transversais obtidos com a teoria de viga de Timoshenkosejam superiores aos que resultam da aplicacao da teoria de vigas finas.

Tambem de acordo com o que seria de esperar, a partir de um determinado valor deL/h as solucoes obtidas com as duas teorias sao coincidentes. No entanto, para valoresde L/h superiores a um outro valor, verifica-se que a solucao aproximada obtida comos elementos finitos de viga baseados na teoria de Timoshenko passam a apresentarvalores inferiores aos que sao dados pela aplicacao da teoria de Euler-Bernoulli. E a


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

w

Sem deformação de corte

Viga de Timoshenko

L/h=2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

w

L/h=1

Sem deformação por corte

Viga de Timoshenko

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

1

2

3

4

5

6

7

x 104

Viga de Timoshenko


w

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

1

2

3

4

5

6

x 105

w


Viga de Timoshenko

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x 106

w

Viga de Timoshenko


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

2

4

6

8

10

12

14

x 107

w

Viga de Timoshenko


Figura 5.15: Campo de deslocamentos tranversais para diferentes alturas da viga


diferenca entre as duas solucoes tende a aumentar para valores crescentes do quocienteL/h. Esta situacao e inesperada, uma vez que em teoria as duas solucoes deveriam sercoincidentes quando a deformacao por corte deixa de ser relevante. Acontece porquea partir de determinado valor de h comeca a surgir o fenomeno de shear locking, oufenomeno de travamento por corte.

Este fenomeno e bem visıvel na figura 5.16, onde se representa a evolucao para oscoeficientes θe/θf e we/wf , calculados com base nos resultados obtidos com o modelo deelementos finitos. Verifica-se que ate um determinado valor para L/h, as curvas obtidassao semelhantes as que se encontram representadas na figura 5.14 e que correspondemao comportamento teorico esperado. No entanto, a partir de um determinado valor paraa altura da seccao transversal, h, os valores obtidos divergem do valor teorico. Verifica-se ainda que se o valor do parametro L/h for suficientemente grande, os deslocamentosobtidos com a teoria de Timoshenko tendem a anular-se, o que de um ponto de vistade comportamento fısico da estrutura nao faz qualquer sentido.

100

101

102

103

104

105

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

L/h

θ

θe

f

100

101

102

103

104

105

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

L/h

we/w

f

Figura 5.16: Fenomeno de locking

O fenomeno de shear locking, se estiver activo, pode destruir por completo a solucaoobtida com recurso ao metodo dos elementos finitos na analise de vigas de Timoshenko,mesmo que a malha seja suficientemente refinada para permitir a obtencao de uma boasolucao. Felizmente, existe um procedimento que permite controlar o aparecimentodeste fenomeno. Antes de se discutir este procedimento interessa perceber a razao pelaqual surge o shear locking.

5.4.2 Porque aparece o shear locking

O fenomeno de shear locking pode aparecer quando a deformacao por corte comecaa ser muito pequena, o que sucede quando a relacao L/h ultrapassa um determinadovalor. Quando a deformacao por corte e desprezavel, o proprio modelo tenta imporγ(x) = 0. Isto faz com que a verificacao da condicao de compatibilidade (2.10) tenda


a transformar-se em:

0 = θ(x) +dw(x)

d x⇒ θ(x) = −dw(x)

d x(5.69)

Facilmente se reconhece que a equacao anterior corresponde a equacao que no caso dateoria de Euler-Bernouli relaciona o campo de rotacoes com o campo de deslocamentostransversais. No entanto, e dada forma como foram definidas as aproximacoes paracada um destes campos no desenvolvimento do modelo de elementos finitos baseadona teoria de Timoshenko, surge uma dificuldade que vai originar o aparecimento dofenomeno de travamento.

Como e definida uma aproximacao linear independente para cada o campo de rotacoese para o campo de deslocamentos transversais, o modelo de elementos finitos podeoriginar uma solucao disparatada quando tenta igualar o campo de rotacoes (campocom variacao linear) a derivada do campo de deslocamentos transversais (campo comvalor constante). Esta dificuldade e bem visıvel no caso da consola discretizada apenascom um elemento finito. Assumindo que o deslocamento global d2 toma um valordiferente de zero, a solucao aproximada para o campo de deslocamentos transversaisna consola corresponde a uma equacao linear, com valor nulo no encastramento e comum valor igual a d2 na estremidade livre. Quando a altura da seccao transversal tendea ser muito pequena, a deformacao por corte tende a anular-se e o valor do campo derotacoes tende a respeitar a condicao (5.69). Ora isto obriga a que o campo de rotacoesseja constante. Como uma das condicoes de fronteira cinematica impoe que θ(0) = 0,a verificacao da condicao (5.69) obrigaria a que fosse nulo o campo de rotacoes emtodo o domınio. Por outro lado, a existencia de um campo de rotacoes nulo, obriga aque a variacao do campo de deslocamentos transversais seja tambem nulo em todo odomınio. E como a outra das condicoes de fronteira cinematica impoe que w(0) = 0,isto levaria a que o deslocamento transversal em toda a consola fosse tambem nulo!

Esta e a razao pela qual se desenvolve o fenomeno de shear locking: uma aproximacaoindependente para o campo de deslocamentos transversais e para o campo de rotacoesque pode ficar incoerente quando a deformacao por corte se tende a anular e se tornanecessario verificar a condicao de compatibilidade (5.69).

5.4.3 Como evitar o shear locking?

Esta fora do ambito desta discussao apresentar com todo o detalhe a fundamentacaomatematica do procedimento que evita o desenvolvimento do fenomeno de shear loc-king. No entanto, pode dizer-se que para se evitar o aparecimento deste efeito deveser definida uma aproximacao para o campo de deslocamentos transversais de grausuperior ao que e utilizado na definicao da aproximacao do campo de rotacoes. Podedemonstrar-se que este procedimento e equivalente a introducao de uma modificacaono calculo da parcela de corte da matriz de rigidez elementar, K(el)

c , definida em (5.18).

Antes de se apresentar esta modificacao, e necessario recordar que as integracoes en-


volvidas no calculo das matrizes de rigidez elementares podem ser efectuadas numeri-camente, utilizando o metodo de quadratura de Gauss [7, 5]. Sem entrar em detalhes,recorde-se o procedimento que permite efectuar o calculo numerico do integral:

I =∫ b

af(x)dx (5.70)

Antes de se efectuar o calculo numerico, e necessario efectuar uma mudanca de refe-rencial por forma a asseguar que a integracao se define no intervalo −1 ≤ ξ ≤ 1. Estamudanca de referencial e definida por:

x = (a + b)/2 + ξ(b− a)/2 (5.71)

Tendo em conta (5.71), e possıvel escrever:

I =∫ +1

−1f(x(ξ))Jdξ (5.72)

onde o Jacobiano da transformacao, J , e dado por:

J =dx

dξ= (b− a)/2 (5.73)

O metodo da quadratura de Gauss permite escrever

I =∫ +1

−1f(x(ξ))Jdξ =

∫ +1

−1f(x(ξ))(b− a)/2dξ =

ng∑

i=1

f(x(ξi))wi(b− a)/2 (5.74)

Na equacao (5.74), ng corresponde ao numero de pontos de Gauss envolvidos no calculonumerico dos integrais. A cada ponto esta associado uma coordenada, ξi, e um peso,wi. E possıvel demonstrar que a utilizacao de ng pontos de Gauss permite integrarde forma exacta polinomios de grau 2ng − 1. Se a funcao integranda e polinomial, esempre possıvel identificar qual o numero de pontos de Gauss que e necessario utilizarpara obter o valor exacto para a integracao.

Na tabela 5.2 apresentam-se os pontos e pesos de Gauss que permitem integrar deforma exacta polinomios de grau igual ou inferior a tres.

Tendo em conta a definicao (5.16), e possıvel verificar que o calculo numerico da parcelade flexao requer a consideracao de apenas um ponto de Gauss. A integracao numericapermite recuperar a parcela de flexao da matriz de rigidez elementar definida em (5.17).

Problema 5.6 Aplicando o metodo da quadratura de Gauss recupere a parcela deflexao da matriz de rigidez elementar definida na igualdade (5.17).

A parcela de corte da matriz de rigidez elementar e definida pela equacao (5.18). Tendoem conta o grau das funcoes a integrar (ha termos que correspondem a polinomios do


ng ξi wi

1 0 2

2 −1/√

3 1

1/√

3 1

Tabela 5.2: Tabela com pontos e pesos de Gauss

segundo grau), conclui-se que a integracao exacta desta parcela requer a utilizacaode dois pontos de Gauss. Ora e aqui que se introduz o truque que permite evitaro aparecimento do shear locking. Embora esteja fora do ambito deste documento adiscussao aprofundada deste procedimento, e importante ficar claro que a sua aplicacaotem solida fundamentacao matematica.

Para evitar o aparecimento de locking, na integracao da parcela de corte da matriz derigidez elementar vai utilizar-se um numero de pontos de Gauss inferior ao que serianecessario para assegurar uma integracao exacta. No caso das vigas de Timoshenko,utiliza-se apenas um ponto de Gauss para a integracao dessa parcela. A este proce-dimento chama-se integracao reduzida selectiva. Diz-se reduzida porque se utilizammenos pontos de Gauss que os necessarios para efectuar uma integracao exacta e selec-tiva porque apenas e efectuado este procedimento para a parcela de corte. A parcelade flexao continua a ser integrada com um numero de pontos de Gauss que permite asua integracao exacta.

Tendo em conta a mudanca de referencial definida (5.71) aplicada a um elemento debarra com 0 ≤ x ≤ L, obtem-se:

ξi = 0 ⇒ xi = L/2 + L/2× 0 = L/2 (5.75)

J = L/2 (5.76)

A integracao numerica da parcela de corte considerando apenas um ponto de Gaussvem dada por:

K(e)c =

− 1

L1− L/2

L1

L

L/2

L

01

L

0 − 1

L

0 0

0 GAc

− 1

L

1

L0 0

1− L/2

L

L/2

L

1

L− 1

L

2

L

2(5.77)


Simplificando vem:

K(e)c =

LGAc

4L

GAc

4

GAc

2−GAc

2

LGAc

4L

GAc

4

GAc

2−GAc

2

GAc

2

GAc

2

GAc

L−GAc

L

−GAc

2−GAc

2−GAc

L

GAc

L

(5.78)

A matriz de rigidez elementar, obtida considerando a integracao reduzida selectiva edada pela soma das parcelas de flexao e de corte

K(e) =

EI

L−EI

L0 0

−EI

L

EI

L0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

+

LGAc

4L

GAc

4

GAc

2−GAc

2

LGAc

4L

GAc

4

GAc

2−GAc

2

GAc

2

GAc

2

GAc

L−GAc

L

−GAc

2−GAc

2−GAc

L

GAc

L

(5.79)

A utilizacao da matriz de rigidez elementar (5.79) permite assegurar que os resultadosobtidos atraves da aplicacao do metodo dos elementos finitos permite obter solucoespara vigas de Timoshenko onde nao surge o fenomeno de shear locking. Permite destaforma a aplicacao da teoria de vigas espessas na obtencao de solucoes aproximadasqualquer que seja a dimensao da seccao transversal.

Os graficos apresentados na figura 5.66 foram de facto obtidos considerando uma malhacom cem elementos de viga de Timoshenko. Com facilidade de verifica que o comporta-mento observado e exactamente o comportamento teorico esperado, sem haver qualquersinal de aparecimento do fenomeno de travamento.

Por fim, convem referir que a integracao selectiva reduzida conduz a uma matriz derigidez elementar semelhante a que seria possıvel obter definindo uma aproximacaopara o campo de deslocamentos transversais com grau superior ao que e utilizado nadefinicao da aproximacao para o campo de rotacoes (ver Problema 5.6).

Problema 5.6 Considere a matriz de rigidez determinada na resolucao do Problema5.4. Esta matriz de rigidez esta associada a uma aproximacao linear para o campo derotacoes e a uma aproximacao quadratica para o campo de deslocamentos transversais.Condense a matriz de rigidez nos graus de liberdade correspondentes aos deslocamen-tos de extremidade. Compare o resultado obtido com a matriz de rigidez elementar


determinada com recurso a integracao selectiva reduzida e que se encontra definida naequacao (5.79) e comente.

Bibliografia

[1] Orlando JBA Pereira, “Introducao ao Metodo dos Elementos Finitos na Analise deProblemas Planos de Elasticidade”, 2001;

[2] OC Zienkiewicz e RL Taylor, ”The Finite Element Method - Basic Formulationand Linear Problems”, Volume 1, 4a edicao, McGraw-Hill, Berkshire, 1989;

[3] OC Zienkiewicz e RL Taylor, ”The Finite Element Method - Solid and Fluid Me-chanics, Dynamics and Non-Linearity”, Volume 2, 4a edicao, Berkshire, 1991;

[4] RD Cook, DS Malkus e ME Plesha, “Concepts and Applications of Finite ElementAnalysis”, John Wiley & Sons, New York, 1989;

[5] JN Reddy, “An Introduction to the Finite Element Method”, McGraw-Hill, 2a

edicao, Singapura, 1993;

[6] JAT Freitas, “Analise Elastica de Estruturas”, elementos de estudo da disciplinade Analise de Estruturas I, Instituto Superior Tecnico, 1987;

[7] JAT Freitas, ”Introducao ao Metodo dos Elementos Finitos: Estruturas Articu-ladas”, elementos de estudo da disciplina de Analise de Estruturas II, InstitutoSuperior Tecnico, 2009;

159

160 BIBLIOGRAFIA

Conteudo

1 Introducao 1

2 Analise de vigas - Formulacao do problema 5

2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Vigas de Timoshenko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1 Campos de deslocamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.2 Campos de deformacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.3 Campos de esforcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.4 Condicoes de compatibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.5 Relacoes de elasticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.6 Equacoes de equilıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.7 Equacao da viga e condicoes de fronteira . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Vigas de Euler-Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.1 Campos de deslocamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.2 Campos de deformacoes e de esforcos . . . . . . . . . . . . . . . 14



2.3.5 Condicoes de equilıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.6 Equacao da viga e condicoes de fronteira . . . . . . . . . . . . . 16

3 Analise de vigas de Euler-Bernoulli 17

161

162 CONTEUDO

3.1 Formulacao do elemento finito de viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.1 Definicao da aproximacao do campo de deslocamentos . . . . . . 18

3.1.2 Definicao da matriz de rigidez elementar . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.3 Vector das forcas nodais elementares . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Analise de uma viga contınua (exemplo 1) . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.1 Discretizacao da estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.2 Identificacao dos deslocamentos independentes . . . . . . . . . . 28

3.2.3 Definicao da aproximacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.4 Definicao das equacoes elementares . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.5 Reuniao das equacoes elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.6 Resolucao das equacoes de equilıbrio globais . . . . . . . . . . . 37

3.2.7 Definicao da solucao aproximada . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.8 Verificacao das condicoes de equilıbrio . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3 Analise de uma viga simplesmente apoiada . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3.1 Discretizacao com 1 elemento finito . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.2 Discretizacao com 2 elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3.3 Analise de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.4 Analise de uma viga contınua (exemplo 2) . . . . . . . . . . . . . . . . 56






3.4.6 Resolucao da equacao do metodo dos elementos finitos . . . . . 61

3.4.7 Analise da solucao aproximada obtida . . . . . . . . . . . . . . . 62

4 Analise de porticos planos 67

CONTEUDO 163

4.1 Formulacao do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.1.1 Definicao das grandezas fısicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68



4.1.4 Condicoes de equilıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.1.5 Equacoes para a barra e condicoes de fronteira . . . . . . . . . . 70

4.2 Formulacao do elemento finito de portico plano . . . . . . . . . . . . . 71


4.2.2 Definicao da matriz de rigidez elementar . . . . . . . . . . . . . 73

4.2.3 Forcas nodais equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.3 Definicao da mudanca de referencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.3.1 Definicao da matriz de transformacao . . . . . . . . . . . . . . . 76


4.3.3 Matriz de rigidez elementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.3.4 Vector das forcas nodais equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.4 Analise de um portico plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79






4.4.6 Resolucao da equacao de equilıbrio global . . . . . . . . . . . . 85

4.4.7 Analise da solucao obtida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5 Analise de vigas de Timoshenko 91

5.1 Consideracoes iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.2 Formulacao do elemento finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

164 CONTEUDO


5.2.2 Matriz de rigidez elementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.2.3 Vector das forcas nodais equivalentes elementares . . . . . . . . 98

5.3 Analise de uma viga em consola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.3.1 Determinacao da solucao exacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.3.2 Resolucao aproximada utilizando o metodo dos elementos finitos 101

5.3.3 Refinamento da solucao obtida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.4 Efeito de Shear Locking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.4.1 O que e? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.4.2 Porque aparece o shear locking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.4.3 Como evitar o shear locking? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6 Analise de vigas em fundacao elastica 123

6.1 Definicao do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.2 Solucao Analıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.3 Formulacao do elemento finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.3.1 Definicao da aproximacao para o campo de deslocamentos . . . 129

6.4 Analise de uma viga simplesmente apoiada . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.5 Analise da viga simplesmente apoiada utilizando uma malha com treselementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.6 Analise comparativa das solucoes aproximadas obtidas . . . . . . . . . 148

6.7 Analise da viga simplesmente apoiada sujeita a accao de uma cargaconcentrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6.8 Analise da viga simplesmente apoiada sujeita a accao de um momentoconcentrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

cap¶‡tulo 1 introdu»c~ao - departamento de engenharia

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