Resolvendo Sistema de Equações Lineares

com GEOGEBRA

Veremos nesta aula algumas técnicas de resolução de Sistemas de Equações Lineares

do tipo A∙x = b por

- Método de Gauss - Método de Gauss-Jordan (GeoGebra)

- Usando Matriz Inversa (computacionalmente não recomendado)

Leiam as seções 5.1, 5.2 e 5.3 do arquivo Fisica_Comp.pdf.

1) Funções no GeoGebra relacionadas a Matrizes:

Sejam Ai,j os elementos linha i, coluna j de uma matriz A

1.2) Criando Matrizes:

- para criar uma matriz 3x3 digitamos em Entrada

A = { { A11, A12, A13 } , { A21, A22, A33 } , { A31, A32, A33 } }

linha 1 linha 2 linha3

- para criar uma Matriz 3x1: b = { {b1} , {b2} , {b3} }

- para criar uma Matriz 1x3: b = { {b1 , b2 , b3} }

- Como exercício tente criar as matrizes A e b:

Observe, na Janela de Álgebra, que o GeoGebra

usa parêntesis como delimitadores

Outra forma de criar matrizes

- Apague as instruções na Janela de álgebra usando o botão direito do mouse sobre

cada elemento: um clique → apagar

- Vá no menu e Exibir –Planilha. Ajuste para visualizar as colunas A B C e D

- digite na coluna A (linhas 1, 2 e 3) os valores da coluna 1 da matriz A

- digite na coluna B (linhas 1, 2 e 3) os valores da coluna 2 da matriz A

- digite na coluna C (linhas 1, 2 e 3) os valores da coluna 3 da matriz A

- digite na coluna D (linhas 1, 2 e 3) os valores da coluna 1 da matriz b

Definindo as matrizes

- Agora usando o botão esquerdo do mouse selecione na planilha os elementos da

matriz A (A1 até C3) e com um clique do botão direito escolha Criar → matriz

- Selecione os elementos do vetor b (D1 até D3) e crie outra matriz

- Na Janela de Álgebra renomeie matriz1 para A com 1 clique do botão direito do

mouse sobre matriz1. Renomeie também a matriz2 para b.

- Crie uma matriz Ampliada selecionando todos os valores da planilha. Em seguida

renomeie o resultado para A_A

1 3 4 14 2 3 22 4 2 3

A b

= =

1.2) Determinante da Matriz: instrução Determinante[ <Matriz> ]

- Digite em Entrada: det = Determinante[ A ]

1.3) Matriz Transposta: instrução MatrizTransposta[ <Matriz> ]

- Digite em Entrada: At = MatrizTransposta[ A ]

1.4) Matriz Inversa: instrução MatrizInversa[ <Matriz> ]

- Digite em Entrada: Ainv = MatrizInversa[ A ]

1.5) Obtendo o vetor solução do sistema Ax=b (usando solucao1 para x)

- Digite em Entrada: solucao1 = Ainv * b (solução pela Inversa de A)

1.6) Solução por Gauss-Jordan: instrução MatrizEscalonada[<Matriz>]

- Digite em Entrada: M_E= MatrizEscalonada(A_A)

compare a última coluna do resultado de M_E com o vetor solucao1. Iguais!?

- solucao2={{Elemento[M_E,1,4]},{Elemento[M_E,2,4]},{Elemento[M_E,3,4]}}

1.7) Verificando as Soluções obtidas (prova dos nove !):

- em Entrada insira os comandos para comparar os resultados com b

res1 = A * solucao1 == b significa verdadeiro se (res1 == b) res1 = true

res2 = A * solucao2 == b na janela de álgebra aparece res2 = true

2) Método da Eliminação Gaussiana: consideremos o sistema de equações lineares

na forma Ax=b: A- matriz de coeficiente e b-vetor de termos independentes.

Este método é baseado em duas etapas: 1ª Triangularização; 2ª Retrosubstituição

Triangularizar o sistema de equações equivale a obter uma forma escalonada

Retrosubstituir significa resolver por substituição o sist. de baixo para cima

2.1) Exemplo: consideremos o sistema matricial ampliado apresentado no item 1)

- 1° - Triangularização do Sist.: equivale a obter um sistema equivalente com

elementos nulos abaixo da diagonal principal da matriz A.

Definimos um multiplicador linha i coluna j por mi,j = - Ai,j / Ai,i em seguida

realizamos as operações com linhas Li e Lj a saber

mi,j *Lj +Li para reescrever o sistema

m2,1 = -4/1 = -4

m2,1 *L1 +L2 = -4 [1, 3, 4, 1] + [4, 2, 3, 2]=

m3,1 *L1 +L3 = -2 [1, 3, 4, 1] + [2, 4, 2, 4]=

m3,1 = -2/1 = -2

O novo SEL (matriz ampliada) será

1

2

1

1 3 40 10 130 2 6

AA

−= − −− −

Porém resta zerar o elemento -2 na linha 3 coluna 2

0 -10 -13 -2

0 -2 -6 1

Matriz

Ampliada

AA

Nova Linha 2

Nova Linha 3

A nova linha 3 é calculada de forma similar

Finalmente a matriz Triangularizada é

- 2° - Solução por Retrosubstituição.: podemos ver na matriz AA que a última

equação do SEL possui solução trivial, i.e.

Substituímos x3 na 2ª equação e obtemos:

Substituímos x2 e x3 na 1ª equação e obtemos:

A Solução do SEL por eliminação Gaussiana é

m3,2 *L2 +L3 = -0,2 [0, -10, -13, -2] + [0, -2, -6, 1]=

m3,2 = -2/10= -0,2 0 -10 -13 -2

0 -2 -6 1

0 0 -3,4 1,4

1

2

1,4

1 3 40 10 130 0 3,4

AA

−= − −−

3 33,4 1,4 0,4118xx− = → =−

2 3 20,735310 13 2 xx x− − =− =→

1 2 133 4 1 0,4413x xx x+ =+ = →

0,4410,7350,412

x

=−

3) Eliminação Gaussiana c/ GeoGebra: no GeoGebra não é fácil a

implementação do Método de Eliminação Gaussiana para resolver SEL pois

faltam recursos de loops (laços). As aplicações normalmente são restritas a

sistemas 2x2 e 3x3. Embora seja possível encontrar uma gama destes exemplos

faremos a parte operacional para esclarecer a repetição dos procedimentos.

nas duas etapas 1ª Triangularização; 2ª Retrosubstituição

3.1) Considere o mesmo SEL do item 2)

- Defina na Planilha os elementos da Matriz A ( colunas A B C ) e do vetor b na

coluna D. Em seguida selecione com o mouse todos os elementos e crie uma

matriz. Renomeie na Janela de Algebra para MA, ou seja, matriz ampliada. O

resultado esperado é

1 3 4 14 2 3 22 4 2 3

A b

= =

3.2) Zerando elementos da Coluna 1 abaixo da Diag. Principal

- Defina o multiplicador: m21= - Elemento[MA, 2, 1] / Elemento[MA, 1, 1]

- Defina o multiplicador: m31= - Elemento[MA, 2, 1] / Elemento[MA, 1, 1]

- Copie os valores da Linha 1 nas Linhas 5 e 9 da planilha

- Preenchendo a Linha 6. Digite em Entrada Equivale a

PreencherLinha[ 6, m21 * Bloco[A1, D1] + Bloco[A2, D2 ] ]

- Preenchendo a Linha 7. Digite em Entrada

PreencherLinha[ 7, m31 * Bloco[A1, D1] + Bloco[A5, D5 ] ]

- Selecione na Planilha valores A5 até D7 e crie outra matriz: renomeie p/ MA1

- Copie os valores da Linha 6 na Linha 10 da planilha

3.3) Zerando elementos da Coluna 2 abaixo da Diag. Principal

- Defina o multiplicador: m32= - Elemento[MA1, 3, 2] / Elemento[MA1, 2, 2]

- Preenchendo a Linha 11. Digite em Entrada Equivale a

PreencherLinha[11, m32 * Bloco[A6, D6] + Bloco[A7, D7 ] ]

- Selecione na Planilha valores A9 até D11 e crie outra matriz: renomeie p/ MA2

m2,1 *L1 +L2

m3,1 *L1 +L3

m3,2 *L2 +L3

Resultado Final Esperado

Resultado da

TriangularizaçãoElementos

do vetor

Solução

3.4) Retrosubstituição:

- Digite em Entrada: x_3 = MA2(3,4) / MA2(3,3) → x3 = -0.41

x_2 = ( MA2(2, 4) – MA2(2,3) * x_3 ) / MA2(2,2) → x2 = 0.74

x_1 = ( MA2(1, 4) – MA2(1,2)*x_2 - MA2(1,3)*x_3 ) / MA2(1,1) → x1 = 0.44

A solução do SEL é

4) Observações:

- O GeoGebra não é uma ferramenta para cálculos exaustivos porém funciona bém

para resolver SEL pequenos. Repare as duas únicas instruções para resolver o mesmo

sistema por Escalonamento (Gauss-Jordan)

MA = { {1 , 3, 4, 1} , {4, 2, 3, 2 } , {2, 4, 2, 3} }

ME = MatrizEscalonada[ MA ]

- ou ainda as três instruções por inversão

A = { {1 , 3, 4} , {4, 2, 3 } , {2, 4, 2} }

b = { {1} , {2 } , {3} }

sol = MatrizInversa[ A ] * b

1

2

3

0.44

0.74

0.41

x

x x

x

= =

−