Resolução Comentada da Prova de MATEMÁTICA-2008/2009 Colégio Naval - Prova Verde

Elaborada pela equipe de Matemática do Curso General Telles Pires.

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01- ALTERNATIVA C GTP Colégio Naval-2008 Um Triângulo retângulo, de lados expressos por número inteiros consecutivos, está inscrito em um triângulo eqüilátero T de lado x. Se o maior cateto é paralelo a um dos lados de T, pode-se concluir que x é aproximadamente igual a (A) 6,8 (B) 7,0 (C) 7,5 (D) 8,0 (E) 8,5 Resolução:

Traçando a altura referente ao vértice A:

Pelo Teorema de Pitágoras:

( ) ( )2 22a+1 =a + a-12 2 2a +2a+1=a +a -2a+1

( )⇒ ⋅2a - 4a = 0 a a - 4 = 0

a = 0 (incompatível) ou a = 4

assim, o triângulo retângulo possui medidas: 3, 4 e 5.

x 3 x

2 2=x

x - 432

⇒ 3 x=

6 x - 4⇒

⇒

23x - 4 3x = 6x ⇒

⇒ ( )23x - 4 3 + 6 x = 0 ⇒

⇒

( )⎡ ⎤⋅ ⎣ ⎦x 3x - 4 3 + 6 = 0

( )incompatívelx = 0

ou

≅6 + 4 3x = = 2 3 + 4 7,5

3

02- ALTERNATIVA E GTP Colégio Naval-2008 Duas tangentes a uma circunferência, de raio igual a dois centímetros, partem de um mesmo ponto P e são perpendiculares entre si. A área, em centímetros quadrados, da figura limitada pelo conjunto de todos os pontos P do da figura limitada pelo conjunto de todos os pontos P do plano, que satisfazem as condições dadas, é um número entre (A) vinte e um e vinte e dois. (B) vinte e dois e vinte e três. (C) vinte e três e vinte e quatro. (D) vinte e quatro e vinte e cinco. (E) vinte e cinco e vinte e seis. Resolução:

FIG. I FIG. II FIG. III Observando as figuras I e II, conclui-se que o conjunto de todos os pontos que satisfazem as condições dadas formam uma circunferência cujo raio é a metade da diagonal do quadrado de lado 4 cm (FIG. III). Assim, a área pedida é a de um círculo de raio 2 2 cm:

( )2A = 2 2 =π ⋅ 8× 2cmπ ∴ A 25,12 cm2≅

03- ALTERNATIVA B GTP Colégio Naval-2008 Do vértice A traçam-se as alturas do paralelogramo ABCD. Sabendo-se que essas alturas dividem o ângulo interno do vértice A em três partes iguais, quanto mede o maior ângulo interno desse paralelogramo? (A) 1200 (B) 1350 (C) 1500 (D) 1650 (E) 1750 Resolução:

No quadrilátero AFCE:

o o3x x 90 90 360+ + + = o 4x = o180

ox 45=

Então o maior ângulo interno será igual a . o135

2

04- ALTERNATIVA D GTP Colégio Naval-2008

Qual é a soma dos quadrados das raízes da equação 2 3+ =x-1 x+1

1 , com x real e ≠x ±1?

(A) 16 (B) 20 (C) 23 (D) 25 (E) 30 Resolução: Sejam 1 2x e x , as raízes da equação. Resolvendo a equação, temos:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

⇒ ⇒

⇒ ⇒

⇒ ⇒

2

2

2 x+1 +3 x-1 x+1 x-12 3+ =1 =x-1 x+1 x-1 x+1 x-1 x+1

2 x+1 +3 x-1 = x+1 x-1 5x-1=x -1

x -5x=0 x=0 ou x=5

⇒

Logo: 2 2 2 21 2x + x = 0 +5 = 0 + 25 = 25

05- ALTERNATIVA C GTP Colégio Naval-2008

O gráfico de um trinômio do 2º grau y tem concavidade voltada para cima e intercepta o eixo das abscissas em dois pontos à direita da origem. O trinômio –y tem um valor (A) mínimo e raízes negativas. (B) mínimo e raízes positivas. (C) máximo e raízes positivas. (D) máximo e raízes negativas. (E) máximo e raízes de sinais opostos. Resolução: Esboçando o gráfico do trinômio do 2º grau ≠2y=ax +bx+c (a 0) , de acordo com os dados do problema, temos:

3

x 0

y

° °x1 x2

°°valor mínimo

Agora, esboçando o gráfico do trinômio do 2º grau ( )≠2y'= - y = - ax - bx - c a 0 , também, de

acordo com os dados do problema, temos:

4

Y’

Observe que na função -y, muda-se apenas a concavidade da parábola (para baixo). Logo –y tem um valor máximo e raízes positivas.

06- ALTERNATIVA C GTP Colégio Naval-2008 O mínimo múltiplo comum e o máximo divisor comum entre os números naturais a, x e b, são respectivamente iguais a 1680 e 120. Sendo , quantos são os valores de x que satisfazem essas condições?

a < x < b

(A) Nenhum. (B) Apenas um. (C) Apenas dois. (D) Apenas três. (E) Apenas quatro. Resolução: MMC(a, x, b) = 1680 e MDC(a, x, b) = 120 Decompondo em fatores primos: 41680=2 3 5 7⋅ ⋅ ⋅ e 3120 =2 3 5⋅ ⋅ M.M.C. é o produto dos fatores não comuns e comuns com o maior expoente e que M.D.C. é o produto dos fatores comuns com menor expoente.

Possibilidade 1 Possibilidade 2 Possibilidade 3 Possibilidade 4

a = 32 3 5⋅ ⋅ 32 3 5⋅ ⋅ X X

x = 32 3 5 7⋅ ⋅ ⋅ 42 3 5⋅ ⋅ X X

b = 42 3 5 7⋅ ⋅ ⋅ 32 3 5 7⋅ ⋅ ⋅ X X

x

°valor máximo x1 x2

°°

07- ALTERNATIVA A GTP Colégio Naval-2008

Sejam y e z números reais distintos não nulos tais que 2 24 y z

+ + = 3yz 2z 2y

. Qual o valor de

y+z? (A) –2 (B) –1 (C) 0 (D) 2 (E) 3 Resolução:

2 24 y z+ + =3yz 2z 2y

3 38+y +z = 3

2yz⇒ ( ) ( )2 2y+z y -yz+z =6yz-8⇒ ⋅ ⇒

( ) ( ) (⎡ ⎤⇒ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦2 )y + z y + z - 3yz = -2 4 - 3yz

por comparação, conclui-se que y + z = -2

08- ALTERNATIVA A GTP Colégio Naval-2008 Analise as afirmações abaixo. I – Dois números consecutivos positivos são sempre primos entre si. II – Se o inteiro x é múltiplo do inteiro y e x é múltiplo do inteiro z, então x é múltiplo do inteiro yz. III- A igualdade é possível no campo dos reais. ( ) ( ) (1/a + 1/b =2/ a+b) Assinale a opção correta. (A) Apenas a afirmativa I é verdadeira. (B) Apenas a afirmativa II é verdadeira. (C) Apenas a afirmativa III é verdadeira. (D) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. (E) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. Resolução: I – verdadeira, pois MDC(n, n+1) = 1 II – falsa, pois esta afirmativa nem sempre se verifica. Tome, por exemplo: x = 30, y = 2 e z = 10. 30 é múltiplo de 2 e 30 é múltiplo 10, mas 30 não é múltiplo 20.

III - ( ) ⇒ ⇒ ⋅ ⋅ ⇒2 2 21 1 2 b + a 2+ = = a + b = 2 a b a + b = 0

a b a + b a.b a + b

Para que é necessário que: a = 0 e b = 0, porém na expressão inicial, não se 2 2a b 0+ =admitem estes valores. (divisão por zero!), assim a afirmativa é falsa.

5

09- ALTERNATIVA B GTP Colégio Naval-2008 Um trinômio do 2º grau tem coeficientes inteiros, distintos e não nulos. Se o termo independente for uma das suas raízes, a outra será o (A) inverso do coeficiente do termo do 1º grau. (B) inverso do coeficiente do termo do 2º grau. (C) simétrico inverso do coeficiente do termo do 1º grau. (D) simétrico inverso do coeficiente do termo do 2º grau. (E) simétrico inverso do coeficiente do termo do independente. Resolução:

Seja o trinômio do 2º grau , com coeficientes a, b e c inteiros, distintos e não 2ax +bx+cnulos e c o termo independente. Sendo c uma das raízes da equação , a outra raiz chamaremos de r. 2ax +bx+c=0Sabemos que o produto das raízes é:

c 1x .x c r= r=a a1 2 = ⋅ ⇒

Logo, a outra raiz será o inverso do coeficiente do 2º grau. 10- ALTERNATIVA C GTP Colégio Naval-2008 Quantas vezes inteiras a raiz quadrada de 0,5 cabe na raiz cúbica de 10? (A) Uma. (B) Duas. (C) Três. (D) Quatro. (E) Cinco. Resolução:

( )

6 23 66

636

10 10 100= = = 8000,5 0,1250,5

⇒6 6 6 6729 < 800 < 4096 3 < 800 < 4

Logo, a raiz cúbica de 0,5 cabe 3 vezes inteiras na raiz cúbica de 10.

11- ALTERNATIVA E GTP Colégio Naval-2008 O número tem inverso igual a . Sabendo-se que , qual é o valor de

?

≠a 0

( 4a - b

b a + b = 2

( ) ⋅3 3 4a + b ) (A) 8 (B) 6 (C) 4 (D) 2 (E) 0

6

Resolução:

( ) ( ) :

⇒ ⇒ ⇒2

2

( I ) e ainda ( II )

Substituíndo II em

1a+b=2 b = a

1 a +1-2aa+ =2 =0 a -2a

+1=0 a=1

I ,temos

Logo

a a1b= =11

Substituindo os valores na expressão ( ) ( )⋅3 3 4 4a +b a - b ,

temos: ( ) ( ) ( ) ( )⋅3 4 41 -1 = 2 0 = 0⋅3 3 4 4 3a +b a -b = 1 +1 ⋅

12- ALTERNATIVA D GTP Colégio Naval-2008

O valor de ( )( )

2008

1338

3+2 2+3 -2 2

5 2 +7 é um número

(A) múltiplo de onze. (B) múltiplo de sete. (C) múltiplo de cinco. (D) múltiplo de três. (E) primo. Resolução:

Fazendo ( )23 + 2 2 = 1+ 2 e ( )35 2+7= 1+ 2 , temos:

( )( )

( )

( )

( )( )

( )

( )

2008

1338 1338

40164016-4014

4014

2

3+2 2

3+2 2+3 -2 2

5 2 +7

1+ 2= +3 -2 2 = 1+ 2 +3 -

1+ 2

1+ 2 +3 -2 2 = 3+2 2 +3 -2 2 = 6

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦= =⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

=

20082

3

1+ 2+ 3 - 2 2

1+ 2

2 2 =

7

13- ALTERNATIVA C GTP Colégio Naval-2008 De uma determinada quantidade entre 500 e 1000 DVDs, se fossem feitos lotes de 5 DVDs sobram 2; se forem feitos lotes com 12 DVDs sobram 9 e se forem feitos lotes com 14 DVDs sobram 11. Qual é a menor quantidade, acima de 5 DVDs por lote, de modo a não haver sobra? (A) 6 (B) 8 (C) 9 (D) 13 (E) 15 Resolução:

+ + − −⎧ ⎧ ⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪= + ⇒ + − ⇒ − ⇒ + =⎨ ⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ + − −⎩ ⎩ ⎩ ⎩

m. m. m. m.N m. m. m. N m.

m. m. m. m.

5 2 5 2 5 5 3 512 9 12 9 12 12 3 3 1214 11 14 11 14 14 3 14

Temos que N+3 é um múltiplo do mmc(5, 12, 14)= {420, 840, ...} Sendo 500< N <1000 Então, N+3 = 840 N=837 ⇒ Portanto a quantidade de DVDs é 837, e para não haver sobras, o lote deverá ser de 9. 14- ALTERNATIVA E GTP Colégio Naval-2008 Sabendo-se que e que 2x+3y=12 mx+4y=16 são equações sempre compatíveis, com x e y reais, quantos são os valores de m que satisfazem essas condições? (A) Um. (B) Dois. (C) Três. (D) Quatro. (E) Infinitos. Resolução: 2 3 83m 8 mm 4 3

≠ ⇒ ≠ ⇒ ≠

portanto teremos infinitos valores de m. (basta ser diferente de 83

)

8

15- ALTERNATIVA E GTP Colégio Naval-2008 Num determinado jogo, o apostador recebe, toda vez que ganha, o valor apostado inicialmente, mais 25% do mesmo; e recebe, toda vez que perde, apenas 25% do valor apostado inicialmente. Sabendo-se que foi feita uma aposta inicial de uma quantia x e que foram realizadas quatro jogadas, sempre sendo apostado o valor total obtido na jogada anterior, das quais ganhou-se duas e perdeu-se duas, qual é, aproximadamente, o percentual de x obtido no final? (A) 3,7 (B) 4,7 (C) 5,7 (D) 6,7 (E) 9,8 Resolução: No total, temos quatro jogadas; ganhou-se duas jogadas e perdeu-se duas (em qualquer ordem). Portanto, temos uma das situações: Valor inicial x. Ganhou a 1ª jogada: 1,25x.

Ganhou a 2ª jogada: 1,25.1,25x 25 x16

= .

Perdeu a 3ª jogada: 0,25. 25 x16

25 x64

= .

Perdeu a 4ª jogada: 0,25. 25x

6425

x256

= 0,098x=9,8%x≅

Portanto, o percentual de x obtido no final, é 9,8.

16- SEM SOLUÇÃO GTP Colégio Naval-2008 Considere um triângulo acutângulo ABC, e um ponto P coplanar com ABC. Sabendo-se que P é eqüidistante das retas suportes de AB e de BC e que o ângulo BPC tem medida igual a 250, pode-se afirmar que um dos ângulos de ABC mede (A) 250 (B) 450 (C) 500 (D) 650 (E) 850 QUESTAÕ ANULADA 17-ALTERNATIVA D GTP Colégio Naval-2008 Seja ABC um triângulo retângulo com catetos . A bissetriz interna traçada de C intercepta o lado AB em M. Sendo I o incentro de ABC, a razão entre as áreas de BMI e ABC é

eAC = 12 AB = 5

(A) 1/50 (B) 13/60 (C) 1/30 (D) 13/150 (E) 2/25

9

10

o: Resoluçã

álculo da área do ΔABC: C

ΔABC5×12A = = 30

2

elo Teorema de Pitágoras: P

⇒2 2 2BC = 5 + 12 BC = 13

abeS mos que ⋅ΔABCA = p r , onde p é o semi-perímetro do

u

circtriângulo e r o nferência inscrita no triângulo.

raio da

ssim,A 30 =15×r r =2⇒ Como ΔAMC ΔQIC∼

AM 1

2 12= AM=

2 10 5⇒

odemos concluir que p

12 13MB = 5 - MB =⇒

5 5

odemos agora calcular a área do ΔBMI: P

ΔBMI ΔBMI

13 ×2 MB×r 135A = = A =

2 2 5⇒

ortanto a razão pedida será: P

ΔBMI

ΔABC

13A 135= =A 30 150

18-ALTERNATIVA C Colégio Naval-2008

o dividir-se a fração 3/5 pela fração 2/3 encontrou-se 2/5. Qual é, aproximadamente, o

A) 35,55% (B) 45,55% (C) 55,55% (D) 65,55% (E) 75,55%

Resolução:

GTP Apercentual do erro cometido? (

( )3

3 3 95 = × = valor correto2 5 2 103

Erro = ≅

9 2 9 - 4-10 5 510= = 0,5555 = 55,55%

9 9 910 10

19- ALTERNATIVA D GTP Colégio NavaL-2008

solução de

324x -4x+1 = -1+6x-12x +8xA 2 3 no campo reais é

o vazio. (B) A) o conjunt { }1/2 (C) { }-1/2, 1/2 ∞⎡ ⎡⎣ ⎣1/2,+ ( (D) (E) ∞ ∞⎤ ⎡⎦ ⎣- ,+

RESOLUÇÃO:

( ) ( )2 33

(I) (II)

2x-1 = 2x-1

De (I) e (II), temos o sistema: ( )( )I 2x-1 0, pois é um radical de índice par.

II x R, pois é um radical de índice ímpar.⎨

∈⎪⎩

⎧⎪ ≥

Vem que:

( )( )

( ) ( )

1I x⎧≥⎪ 2

II x R

Fazendo I II ,temos:

1x2

1Logo: S= ,+2

⎨⎪ ∈⎩

≥

⎡ ⎡∞⎢ ⎢

⎣ ⎣

∩

20-ALTERNATIVA B GTP Colégio Naval-2008

ma r números de dois algarismos é do tipo

expressão constituída po × −U , no seis algarismos

ão

(E) 312

úmeros com 2 algarismos pode ser representada por:

qual cada quadrinho deve ser ocupado por um algarismo, num total depara toda a expressão. Sabendo-se que os algarismos que preencherão os quadrinhos stodos distintos, o menor valor possível para essa expressão é (Observação: números do tipo 07 são considerados de um algarismo). A) 123 (B) 132 (C) 213 (D) 231 (

Resolução: O produto de dois n AB x CD = ( ) ( ) ( )

ooo 3 termo1 termo 2 termo

10A + B × 10C + D = 100 × A × C + 10 × A × D + BC + B × D

No 1o termo, A e C precisam ser os menores possíveis. Portando, A = 1 e C = 2.

o 3o termo, D = 3 e B = 0 tornam este termo, o menor possível. N O termo a ser subtraído terá que ser o maior possível, portanto 98 é o número procurado. Assim, a expressão será: 10 × 23 - 98 = 230 - 98 = 132

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