Prof. Carlos LoureiroFormado Matemtica -UFF Niteri/RJCurso de Capacitao Permanente para Professores de Matemtica do Ensino Mdio no IMPAPromovido pela FAPERJ SBM IMPAPS Graduando UFRJ - Ensi no da M at emt i ca PS Graduando UFF - Novas Tecnol ogi as no Ensi no da M at emt i caprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-7006Col gi o Naval2002 (pr ova azul )01) O nmer o de ml t i pl os de 12 compr eendi dos ent re 357 e 3578 i guala (A) 268 (B) 269 (C) 270 (D) 271 (E) 2721SOLUO:| |[ ][ ]KKSeja Ao nmero que denota a quantidade no intervalo1, Nde nmeros que so divisveis por k, tal que A ,onde representa a parte inteira da divisode N por k.Podemos notar que no intervalo1, 3Nk=| |[ ]| |[ ]121235757 A existem 29 mltiplos de 12, 123578Do mesmo modo no intervalo1, 3578 A existem 298 m ltiplos de 12,12Assim o nmero de mltiplos de doze no intervalo de 357 a 3578 igual a 298 29 = = = | | | | 269357 3578Ou podamos ver que no intervalo357, 3578 ,29, 75;298,16ou12 12seja, ver quantas solues inteiras existem no intervalo, isto , quantos nmeros inteiros existem nesse intervalo3 ( ( | | 0,31,32,33,34,...,298 298 30 1 299 30 269 + =Al t er nat i va B2SOLUO: t emos que 360 o pr i mei r o t er mo da seqnci a, ol t i mo t er mo 3578 di vi di do por12, cuj o quoci ent e 298 e o r est o 2, l ogo 3578 2 = 3576 di vi svelpor12.Assi m os nmer os da seqnci a so:( )( )360;372; 384; ...; 3576usando o conceito de Progresso Aritmtica, temos:" "A= A 1onde A um termo qualquer, A o primeiro termo,1 1n o nmero de termos e R a razo n nmerosn Rn n+ _ou diferena entre um termo qualquer e otermo anterior.Logo: A 3576,A 360,R=12 e n = ?13576= 360 + ( n - 1) 12 dividindo por 12 298 = 30 + ( n - 1) n - 1 = 298 - 30 n - 1 = 268 n = 268 n = = + 1 n = 269Alternativa BProf. Carlos LoureiroFormado Matemtica -UFF Niteri/RJCurso de Capacitao Permanente para Professores de Matemtica do Ensino Mdio no IMPAPromovido pela FAPERJ SBM IMPAPS Graduando UFRJ - Ensi no da M at emt i ca PS Graduando UFF - Novas Tecnol ogi as no Ensi no da M at emt i caprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700602)Seoconj unt osol uodai nequao 221 13 8 10 0 x xx x| | | | + + + s ||\ . \ .S,ent oo nmer odeel ement osdai nt er seodoconj unt oScomoconj unt odosnmer osi nt ei ros i guala(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (E)41SOLUO:( ) ( )4 222 24 3 24 22 224 3 2 4 3 22 21 1 1 1 103 8 10 0 3 8 013 1 8 101 1 103 8 0 0113 3 8 8 10 3 8 10 8 30 0Observe que a soma dos x xx xx x x xx x x xx xxx xxxx x x x x x x xx x| | | | + + | | | | + + + s + s ||||\ . \ .\ . \ .| || | + + ++ + | | + s s | |\ .\ .+ + + + s s( ) ( )4 3 24 3 2 3 2coeficientes de3 8 10 8 3 zero, issoindica que uma das raizes um, logo divisvel por (x - 1), assim fazendo a divisoencontramos 3 8 10 8 3 = 1 3 5 5 3Do mesmo modo tex x x xx x x x x x x x + + + + + ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )3 23 2 224 3 2 2224 3 22 22mos que 3 5 5 3 divisvel por1Assim3 5 5 3 1 3 2 3Logo 3 8 10 8 3 = 1 3 2 31 3 2 33 8 10 8 3Da0 0Observem que:) 1 0 (ser zero quando x fox x x xx x x x x xx x x x x x xx x xx x x xx xa x + + = + + + + + + +s s >( )22r igual a um)) 3 2 3 0 pois delta menor do que zero.) 0 (pois est no denominador)Como no problema pedido menor ou igual a zero, temos que x = 1b x xcx + >>Al t er nat i va BProf. Carlos LoureiroFormado Matemtica -UFF Niteri/RJCurso de Capacitao Permanente para Professores de Matemtica do Ensino Mdio no IMPAPromovido pela FAPERJ SBM IMPAPS Graduando UFRJ - Ensi no da M at emt i ca PS Graduando UFF - Novas Tecnol ogi as no Ensi no da M at emt i caprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-7006O pol i nmi o 4 3 23 8 10 8 3 x x x x + + podi a t ersi do f at or ado da segui nt e f or ma:( ) ( ) ( )( )( )( )( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )4 3 2 4 3 3 2 23 23 23 232223 8 10 8 3 3 3 5 5 5 8 33 1 5 1 1 5 31 3 5 5 31 3 3 5 51 3 1 5 11 3 1 1 5 11 1 3 1 51 1 3 3 3 5x x x x x x x x x xx x x x x xx x x xx x x xx x x xx x x x x xx x x x xx x x x x + + + + + + + + ( ( + + ( + + ( + + ___( )( )( )2221 1 3 2 31 3 2 3x x x xx x x ( + ( + 2SOLUO:( ) ()2222 2 222 2 2 22 22 222 21 1 13 8 10 0 seja y = 1 1 121 12 21 1Assim 3 8 10 0 3 2 8 10 03 6 8 10 0 3 8 4 0x x xx x xy x y x xx x xy x y xx xx x y yx xy y y y| | | | + + + s + ||\ . \ .| | = + = + + |\ . = + + = +| | | | + + + s + s ||\ . \ . + s + s( )221 23 8 4 0 8 4 3 4 64 48 168 4 8 4 12 8 4 4 22e 6 6 6 6 6 3y yy y y + s A = A = A = + = = = = = = =Prof. Carlos LoureiroFormado Matemtica -UFF Niteri/RJCurso de Capacitao Permanente para Professores de Matemtica do Ensino Mdio no IMPAPromovido pela FAPERJ SBM IMPAPS Graduando UFRJ - Ensi no da M at emt i ca PS Graduando UFF - Novas Tecnol ogi as no Ensi no da M at emt i caprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-70062 1 2 1Assimy 2 mas como y =23 32Como "x" tem que ser inteiro2 x = 13x xx xxs s + s + s < < Al t er nat i va B03) Se5 2 10 4 + = a e 5 2 10 4 + + = b , ent o a+b i guala :(A)10 (B) 4 (C)2 2 (D)1 5 + (E)2 3 +SOLUO:( )( ) ( )22 2222 22 222Usando o produto notvel2 ,temos:4 10 2 5 4 10 2 54 10 2 5 2 4 10 2 5 4 10 2 5 4 10 2 54 10 2 5a b a ab bx a b x a b xxx+ = + +| |= + = + = + + + + |\ .| | | |= + + + + + + + + ||\ . \ .= +( )2 16 10 2 5 4 10 2 5| |+ + + + + |\ .( ) ( )( ) ( )( )22 2222 2 222 28 2 6 2 56 2 5 2 5 2 1 5 5 1 5 2 1 5 1 5 2 5 16 2 58 2 6 2 5 8 2 5 1 8 2 5 18 2 5 2 6 2 2 6 2 2 5 1 5 1xx x xx x x x x= + = = + = += = + = + = + = + = + = + = + = +Al t er nat i va DProf. Carlos LoureiroFormado Matemtica -UFF Niteri/RJCurso de Capacitao Permanente para Professores de Matemtica do Ensino Mdio no IMPAPromovido pela FAPERJ SBM IMPAPS Graduando UFRJ - Ensi no da M at emt i ca PS Graduando UFF - Novas Tecnol ogi as no Ensi no da M at emt i caprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700604) Sexe y so nmeros i nt ei r os e posi t ivos, r epr esent a-se o mxi mo di vi sorcomum de x e yporM DC ( x , y ); assi m, o nmer o de par es or denados( x , y )quesosol uesdosi st ema == +45 ) , (810y x mdcy x(A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 16 (E) 18 ( ) ( )( ) ( ) ( )Temos que e., ,81018, , , 45Logo a + b = 18onde "a" e "b" so primos entre six ya bmdc xy mdc xyx y x ya bmdc xy mdc xy mdc xy= =+ + = + =Onde os val or es possvei s par a os par es or denados so:a b a b Ser ve ou no ser ve1 17 17 1 Ser ve2 16 16 2 no ser ve3 15 15 3 no ser ve4 14 14 4 no ser ve5 13 13 5 Ser ve6 12 12 6 no ser ve7 11 11 7 Ser ve8 10 10 8 no ser ve9 9 X X no ser veLogo so sei s os par es or denados que so sol ues do si st ema.Al t er nat i va A Prof. Carlos LoureiroFormado Matemtica -UFF Niteri/RJCurso de Capacitao Permanente para Professores de Matemtica do Ensino Mdio no IMPAPromovido pela FAPERJ SBM IMPAPS Graduando UFRJ - Ensi no da M at emt i ca PS Graduando UFF - Novas Tecnol ogi as no Ensi no da M at emt i caprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700605) Um r el gi o i ndi ca doi s mi nut os menos do que a hor a cer t a e adi ant a t mi nut os pordi a. Se est i vesse at r asado t r s mi nut os e adi ant asse12t| |+ |\ .mi nut os pordi a, ent o m ar car i a a hor a cer t aexat ament eumdi aant esdoquevai mar car .Ot empot ,emmi nut os, queesser el gio adi ant a pordi a est compr eendi do ent r e(A)9291e (B)9392e (C)9594e (D)9796e (E)9998e1SOLUO:DIA ADIANTA21 dia__________ t minutos 2n dias__________ 2 minutosDIA ADIANTA11 dia__________ minutos2m dias__________ 3 minutosnt ntt = = | |+ |\ .( )222 2 21 2 1 21 331 223 2 3 2 6 21 1 1 12 1 1 2 12 26 1 26 2 2 1 22 1 12 126 2 4 2 2 3 2 0 3 4 01 414 =0,52 no ser2 2t m mtcomo m ntt t t ttt t t tt tt tt tt t t t t t y yy e y t e t| | + = = || | \ .+ |\ .+ = + = + = + =++ | |+ |\ . + = + + = + +++ + + = + + = + = = = = = = ( ) veAl t er nat i va CProf. Carlos LoureiroFormado Matemtica -UFF Niteri/RJCurso de Capacitao Permanente para Professores de Matemtica do Ensino Mdio no IMPAPromovido pela FAPERJ SBM IMPAPS Graduando UFRJ - Ensi no da M at emt i ca PS Graduando UFF - Novas Tecnol ogi as no Ensi no da M at emt i caprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-70062SOLUO:Como o relgio est atrasado 2 minutos, em "n" dias com adiantamento de "t" minutos por dia a hora estar certa, isto :n t = 2(1)Do mesmo modo, se estivesse atrasado 3 minutos em "n-1" dias com a( )1diantamento do relgio em " " minutos a hora estar correta, ou seja:21 11 3 3 2 2 1 62 2 22 2 7 0 mas comont = 24 2 7 0 2 3 0 2 3 (2) Pondo(2) em (1),tnn t nt t nt n tnt n tn t n t n t| |+ |\ .| | + = + = + = |\ . + =+ = = = +( )( )2 21 2 1 2 temos:2 3 2 2 3 2 0 3 4 01 414 =0,52 no serve2 2t t t t y yy e y t e t + = + = + = = = = = = Al t er nat i va CProf. Carlos LoureiroFormado Matemtica -UFF Niteri/RJCurso de Capacitao Permanente para Professores de Matemtica do Ensino Mdio no IMPAPromovido pela FAPERJ SBM IMPAPS Graduando UFRJ - Ensi no da M at emt i ca PS Graduando UFF - Novas Tecnol ogi as no Ensi no da M at emt i caprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700606) Consi der e um t r i ngul o e uma ci r cunf er nci a que passa pel o s pont os mdi os dos seus t r s l ados.SeX, YeZ,(X e ( (\ + > > e | |+ s + + s |\ .| |22 126 0 3 2 ou seja3,2.xx x x x+ + + s s s e { } Das condies acima e tendo em mente que "x" tem que ser inteiro, temos que1,2 x eAl t er nat i va CProf. Carlos LoureiroFormado Matemtica -UFF Niteri/RJCurso de Capacitao Permanente para Professores de Matemtica do Ensino Mdio no IMPAPromovido pela FAPERJ SBM IMPAPS Graduando UFRJ - Ensi no da M at emt i ca PS Graduando UFF - Novas Tecnol ogi as no Ensi no da M at emt i caprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700617) Se um segment o AB t em2 cmde compr i ment o, ent o a f l echa do ar co capaz de 135 desse segment o mede(A)1 2 + (B)2 (C)1 2 (D)3 (E)2 2 1SOLUO: Fazendo a f i gur a conf or me o enunci ado, t emos:2 2 22 2 2 2 2Do tringulo ABC, temos:Usando a Lei dos cossenos2 2 cos1352 2 2 2 44 2 2 4 2 1 22 2 22 2Agora vamos determinar o valor da flexa CD, observando o trinx x x xx x x x x = + | | | | | |+= = + = = ||| |||+\ . \ . \ .( )( ) ( )( ) ( )( )( )2 2 2 2 22 2 222 2 222gulo ACD, temos:4 2 241 12 2 2 22 2 2 24 2 2 2 22 2 2 22 2 2 24 2 2 2 24 4 2 2 6 4 24 2 2 23 2 2 3 2 2 Observe que 2 2 2 1 23 2 2 2 1 2 1x CD CD CDCD CD CDCD CD CDCD CDCD CD += + = = + + = = =+ ++ + + = = == = = = = = Al t er nat i va CProf. Carlos LoureiroFormado Matemtica -UFF Niteri/RJCurso de Capacitao Permanente para Professores de Matemtica do Ensino Mdio no IMPAPromovido pela FAPERJ SBM IMPAPS Graduando UFRJ - Ensi no da M at emt i ca PS Graduando UFF - Novas Tecnol ogi as no Ensi no da M at emt i caprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-70062 SOLUO: Umasadar pi dapar aQUESTO17 obser var queABol adodo quadr ado i nscr i t o, i st o :2 2 2 22l= R 2 R 2 = 2R= R =242Ou observando o tringulo HOG R 1 1 R= 2 R =2Observe que DO igual a metade do lado do quardrado ou seja igual a 1, ento como DC =CO- DODC =2-1raio = + Prof. Carlos LoureiroFormado Matemtica -UFF Niteri/RJCurso de Capacitao Permanente para Professores de Matemtica do Ensino Mdio no IMPAPromovido pela FAPERJ SBM IMPAPS Graduando UFRJ - Ensi no da M at emt i ca PS Graduando UFF - Novas Tecnol ogi as no Ensi no da M at emt i caprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700618)Sea, b, csoal gar i smosdi st i nt os, nosi st emadenumer aodeci mal exi st eumni co nmer o de doi s al gar i smos( ) ab t alque ( ) ( ) ( )2 2 2ab bacc = .O val orde( ) a + b + c i guala:(A)11 (B)12 (C)13 (D)14 (E) 15Sol uo:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 2 2222 210 10 1010 10 10 10 1011 11 9 9 1111 9 11 11ab ba cc a b b a c ca b b a a b b a c ca b a b ca b a b c = + + = ++ + + + ( = + + = + = ( ) ( )29 11 11 a b a b c + = ( ) ( )( ) ( )2229 11 19 3116e 51Daa + b + c = 6 + 5 + 3 = 14Observaes:Se9 11 11Da 3 11 11 2para ser quadrado perfeito7 (menor valor) 3a b a b cc ca ba ba bc a b a b a bc a b c b b c bb c + = = =+ = = = == + = = += + = + + = += =( )( ) ( )25 15 que no convm ao problema, pois a, b e c so algarismosna base dez .Se9 11 11Da 3 3 11 3 11 2para ser quadrado perfeito,temos :Se b 1 9,mas se b 1 10, nocc a b a b a bc a b c b b c bc a== + = = = = = = = = =serve;Se b 5 3,mas se b 5 6,da 6 5 3 14 ok,serve ao problema. c a a b c = = = = + + = + + =Al t er nat i va DProf. Carlos LoureiroFormado Matemtica -UFF Niteri/RJCurso de Capacitao Permanente para Professores de Matemtica do Ensino Mdio no IMPAPromovido pela FAPERJ SBM IMPAPS Graduando UFRJ - Ensi no da M at emt i ca PS Graduando UFF - Novas Tecnol ogi as no Ensi no da M at emt i caprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700619)Se aebsodoi s nmer osr eai s, denot ar mospor ( ) min , a b omenordos nmer osaeb, i st o ,( )a,sea bmin ,a,sea ba bs = >Onmer odesol uesi nt ei r asnegat i vasdai nequao ( ) min2x-7,8 3x- 3x + 3 > i gual a(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4Essaquest opel oer r odedi gi t ao ( )a,sea a,sebma inb, a b>s = est ar i aANULADA. Obser vao:M i nhasol uoest sendobaseadanapr ovaazul or i gi nal enodi gi t aof ei t a port er cei r os.Desconsi der ando o er r o, t emos:( ) min2x-7,8 3x- 3x + 3a) se 2x - 7 8 - 3x2x + 3x 8 + 75x 15x 3Resolvendo:2x - 7 > -3x + 35x > 10x > 2 -, logo 2 s s s s s> > > >solvendo:8 - 3x> - 3x + 38 > 3isso verdade qualquer que seja o valor de x,mas como inicialmente x 3.Assim pelos itens a e b no existem solues negativas. >Al t er nat i va AProf. Carlos LoureiroFormado Matemtica -UFF Niteri/RJCurso de Capacitao Permanente para Professores de Matemtica do Ensino Mdio no IMPAPromovido pela FAPERJ SBM IMPAPS Graduando UFRJ - Ensi no da M at emt i ca PS Graduando UFF - Novas Tecnol ogi as no Ensi no da M at emt i caprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700620)Consi der eost r i ngulosABCeM NP. Seasmedi dasdosl adosdosegundot r i ngul oso, r espect i vament e, i guai s s medi dasdas m edi anas do pr i mei r o, ent o ar azo da r eade M NP par a a r ea de ABC i guala(A) 31(B) 21(C) 32(D) 43(E) 651SOLUO: Supondo que ABC sej a eqi l t er o, t emos:( )231 que a rea de um tringulo equiltero qualquer.4Sabendo-se que em um tringulo equiltero todos os pontos notveis se confundem (ou seja so coincidentes), temos que a mediana a altura, lSABC =( )( ) ( )bissetriz e mediatriz. Assim o lado do tringulo MNP (equiltero) 23323usando a frmula anterior 2 42 3 3 3 32 424 16Da e de1e2 , :2 3 3216234llSMNPlS S lMNP MNPvemllS SMNP MNPS SlABC ABC| | | |\ . = = == = 3 31642l 3434SMNPSABC =Al t er nat i va DProf. Carlos LoureiroFormado Matemtica -UFF Niteri/RJCurso de Capacitao Permanente para Professores de Matemtica do Ensino Mdio no IMPAPromovido pela FAPERJ SBM IMPAPS Graduando UFRJ - Ensi no da M at emt i ca PS Graduando UFF - Novas Tecnol ogi as no Ensi no da M at emt i caprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-70062SOLUO: Sej a um t r i ngul o ABC qual quer , sej a G o pont o de encont r o das t r s medi anas (bar i cent r o),sabi doqueobar i cent r odi vi deamedi ananar azodoi spr aum,dessemodo podemosconst r ui r af i gur aabai xo. Out r of at oi mpor t ant equeobar i cent r odet er mi na em qual quer t r i ngul osei st r i ngul osquepossuemamesmar ea,i st o, sear eadot r i ngul o ABC S, ent o a r ea de cada um dos t r i ngul os f or mados ser S di vi di da porseis.Sej a D opont omdi odosegment oCG,l i gandoospont os D e N eobser vandoo t r i ngul o ACG, podemos concl ui rque DN par al el o a AG e sua m edi da met ade de AG, assi m sendoot r i ngul oDNGt emosl adoscom medi dasX,YeZ. Ot r i ngul oM NPf or madopel as medi anas do t r i ngul o ABC, t em l ados cuj as medi das so 3X, 3Y e 3Z, l ogo os t r i ngul os DNG e M NP so semel hant es (caso LLL l ados propor ci onai s).Da semelhana entre os tringulos DNG e MNP, temos:SxDNGSMNP=3 x221 13 9Mas pois rea de DNG igual a metade da rea do tringulo CNG.121 3Da,9 99 12 434Como a rea de ABC S S SDNG DNGS SMNP MNPSSDNGSS SDNGS S SMNP DNG MNPSMNPSS SMNP MNPS S SABC AB| || | = = ||\ .\ .== = = = = 3 SC=4S34=Al t er nat i va D