colégio naval 2004

8/14/2019 Colgio Naval 2004

1/23

Prof. Carlos LoureiroFormado Matemtica -UFF Niteri/RJ

Curso de Capacitao Permanente para Professores de Matemtica do Ensino Mdio no IMPAPromovido pela FAPERJ SBM IMPA

PS Graduando UFRJ - Ensino da MatemticaPS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemtica

[email protected](21) 8518-7006

Colgio Naval 2004

01)

Na figura acima , ABCD um quadrado de rea 104 e o ponto O o centro do semicrculo de

dimetro AB. A rea do tringulo AEF dada por(A) 3332 (B) 3346 (C) 6345 (D) 3343 (E) 3348

1

2ABES 2

13

26 26 3 120 26ABEsen S 3

32

3

13 3 39 : ( 120 60 )2

12

ABF

OBS sen sen

S

2

26 26

1 3 1 326 3 30 26 26

2 2 2 4

ABF

AEF AEF AEF

AF S AF

S AF sen S AF S AF


2/23





3 339 26 26 39 26 1

4 4

4 3 39 39 439 26 26 26

4 4 3 4 34

3 39 426

4

ADE ADF AEF

AEF AEF

Como S S S AF AF AF

AF AF AF

como S AF S

3

44 3

3

13

39 3 4 3

4 3 4 3

39 4 3 3 39

16 3

AEF

AEF AEF

S

S S

4 3 313

3 4 3 3AEFS

Alternativa D

02)Um certo professor comentou com seus alunos que as dzimas peridicas podem serrepresentadas por fraes em que o numerador e o denominador so nmeros inteiros e ,nestemomento, o professor perguntou aos alunos o motivo pelo qual existe a parte peridica. Um dosalunos respondeu justificando corretamente, que em qualquer diviso de inteiros(A) o quociente sempre inteiro. (B) o resto sempre inteiro.(C) o dividendo o quociente multiplicado pelo divisor, adicionado ao resto.(D) os possveis valores para resto tm uma quantidade limitada de valores.(E) que d origem a uma dzima, os restos so menores que a metade do divisor.

Item (A) Falso, pois, por exemplo 1 2 = 0,5

Obs: Isso correto se no continuamos a diviso, mais no esse o motivo.

Item (B) Falso, pois, por exemplo 4 3 = 1, 333... e o resto igual a 0,00

1 aproximadamente

Obs: Do mesmo modo, isso correto se no continuamos a diviso, mais no esse o motivo.

Item (C) Falso, pois, apesar de correto, D = d q + r, isso no o motivo pelo qual da exis tncia

das dzimas peridicas.

Item (D) Correto, pois, o resto sempre maior ou igual a zero e menor do que o quociente, ou

2seja, 0 resto


3/23





03)Um professor de matemtica apresentou um equao do 2grau completa , com duas razesreais positivas , e mandou calcular , as mdias aritmtica, geomtrica e harmnica entre essasrazes , sem determin-las. Nessas condies(A) somente foi possvel calcular a mdia aritmtica.(B) somente foi possvel calcular as mdias aritmtica e geomtrica.(C) somente foi possvel calcular as mdias aritmtica e harmnica.(D) foi possvel calcular as trs mdias pedidas.(E) no foi possvel calcular as trs mdias pedidas.

Resolvendo o problema, temos:

1 2 3

1 2 1 2

Mdia aritmtica , ou seja soma dos termos dividido pelo nmero

de termos, no caso como so dois termos temos:

ou soma dos termos dividido por dois, assim2 2 2

ou

n x x x xMAn

x x x x S MA MA

1 2 3

1 2 1 2

1 2 2

1

2 2 2

Mdia Geomtrica , para dois termos temos:

, como os termos so positivos

Mdia Harmnica , para dois termos tem1 1 1 1

n

n

bb ba MA MA MA

a a

n MG x x x x

c MG x x MG x x P

a

n

MH

x x x x

1 2

2 1 1 21 2

1 2 1 2 1 2 1 2

os:

22 2 21 1

22 2ou seja

x x MH MH MH MH

x x x xx x

x x x x x x x x

cP ca

MH MH MH bS b

a

Alternativa D


4/23





04) Sabendo-se que a equao 042613 222 xxxx pode ser escrita como umproduto de binmios do primeiro grau , a soma de duas das suas razes reais distintas igual a(A) -3 (B) -2 (C) -1 (D) 2 (E) 3

Resolvendo o problema, temos:

2 2 2 4 2 313 6 2 4 0 13 6 12 4 0 x x x x x x x x Teorema muito importante: Toda equao em que a soma dos coeficientes for ZERO, teremosnecessariamente uma das razes igual a UM.

4 2 3Observando a equao anterior, isto , 13 6 12 4 0, temos que:

A soma dos coeficientes S.C = 1 + 13 - 6 - 12 + 4 = 0, logo essa equao divisvel por 1

Ordenando a equao e usando a regra

x x x x

x

4 3 2

das chaves temos:

6 13 12 4 0 x x x x

4 3 2 3 2

3 2

Assim, temos que:

6 13 12 4 1 5 8 4 0

Do mesmo modo observando a equao anterior, o fator 5 8 4 0, temos que:

A soma dos coeficientes S.C = 1 - 5 + 8 - 4 = 0, logo essa equao

x x x x x x x x

x x x

3 2 2

22 21 2

2 24 3 21 2 3 4

divisvel por 1

Fazendo a diviso como anteriormente, temos:

5 8 4 1 4 4

Agora do fator 4 4 0 2 2 4 4 2 2 2

6 13 12 4 1 2 1 2

x

x x x x x x

x x x e x x x x x x

Da x x x x x x x x e x x

Logo a soma de duas razes distintas :

2 1 3Soma Soma

(Observao: Um mtodo melhor de se fazer a diviso usar o Dispositivo Prtico de Briot Ruffini).Alternativa E


5/23





05)

Um retngulo ABCD de lados AB=a e BC =b (a>b) , dividido, por um segmento EF ,numquadrado AEFD e num retngulo EBCF, semelhante ao retngulo ABCD conforme a figuraacima. Nessas condies, a razo entre a e b aproximadamente igual a(A) -1,62 (B) 2,62 (C) 3,62 (D) 4,62 (E) 5,62

Obs: O procedimento acima uma das maneiras de chegarmos ao chamado nmero de ouro, ou diviso emmdia e extrema razo.Alternativa A

2

2

2

De acordo com o enunciado podemos montar a figura acima, assim temos:

I) Da semelhana entre os retngulos

II) Das reas dos retngulos e do quadrado, temos:

AB BC a bb a a b

BC EB b a b

ba b

a

a b b b

Assim de I e II

a b

a b

2b

b

b

22 2 2 2

2 2 2 2 2 2

11 1

1 1 1

22 2

0

Sendo "a" a varivel 4 1 4 5 5

5 1 5 15 55

2 2 2 2

2,23 1 3,23 1,622 2

1 5 1 55no serve

2 2 2

ba ab b a ab b

a

b b b b b b

b ab b b bb a a a

b

a a ab b b

b ab b De a a

b


6/23





06) A interseo do conjunto soluo, nos reais, da inequao

0412

1222

x

xxcom o conjunto

4/ xRx dada por

(A)

3

1/xRx (B) 0/ xRx (C) 2

3

1/

xRx

(D) 13

1/

xRx (E) 2/ xRx `

2222

Resolvendo primeiramente a inequao, temos:

2 10, sendo f(x)= 2 1 e g(x)=12 4

12 4Podemos notar que f(x) 0, ou seja sempre ser positivo ou zero, como no problema se quer

f(x)

0, temog(x)

x x x x x

x

2

s que determinar o valor de f(x)=0 2 1 0 1, assim f(x) ser

zero em 1 e positiva nos demais valores.

Agora vamos determinar o sinal de g(x), observe que g(x) no pode ser zero, da g(x) 0

Como g

x x x

x

4 1(x) 0 12 4 0 12 4

12 31 f(x)

Da, quando ou 1 0 o conjunto soluo ser:3 g(x)

1 / ou 1

3A interseo do conjunto soluo acima com, B = / 4 , nos d:

x x x x

x x

A x R x x

x R x

1

Assim A B= / 13

x x

Alternativa D


7/23





07)

Na figura acima AM e BP so cevianas do triangulo ABC de rea S. Sendo AP=2PC eAQ=3QM ,qual o valor da rea do tringulo determinado pelos pontos P , Q e M ,em funo deS?

(A)16

S(B)

18

S(C)

20

S(D)

21

S(E)

24

S

:

Observando o tringulo ABM, temos:

rea = rea + rea , como os tringulos ABQ e QBM possuem a mesma altura

e a base AQ do igual a trs vezes a base QM do rea = 3 rea

Soluo

ABM ABQ QBM

ABQ QBM ABQ

.

Seja "3A" a rea do e "A" a rea do (ver figura).

Ligue os pontos "P" e "M", formando assim o tringulo APM, observando esse tringulo, temos:

Do mesmo modo a rea = rea + rea ,

QBM

ABQ QBM

APM APQ QPM

como os tringulos e

possuem a mesma altura e a base AQ do igual a trs vezes a base QM dorea = 3 rea , seja "3B" a rea do e "B" a rea do (ver figura).

APQ QPM

APQ QPM APQ QPM

APQ QPM


8/23





Agora observando o tringulo AMC, temos:

rea = rea + rea , como os tringulos AMP e PMC possuem a mesma altura

e a base AP do igual a duas vezes a base PC do rea = 2 rea

AMC AMP PMC

AMP PMC AMP PM

Como a rea do 4 rea do 2 . Observe que a rea do tringulo PQM igualB, isto , rea = B.

Do enunciado temos que rea do , mas a rea = rea + rea

como os tringulos A

C

AMP B PMC B

PQM

ABC S ABC ABP PBC

BP e PBC possuem a mesma altura e a base AP do igual a

2duas vezes a base PC do rea = 2 rea , logo rea do

3

e rea do3

Observando a figura acima podemos montar o siste

ABP

SPBC ABP

ABP PBC

SPBC

ma abaixo:

Do tringulo ABP 332 2

Do tringulo PBC 3 33 9

33

2

9

2 3 22 2 23 9 9 9 9 18

SA B

S S A B A B

SA B

SA B

S S S S S S B B B B

Alternativa B


9/23





08) Considere o tringulo escaleno ABC e os pontos P e Q pertencentes ao plano de ABC eexteriores a esse tringulo . SE : as mediadas dos tringulos PAC e QBC so iguais ; as medidasdos ngulos PCA e QCB so iguais ; M o ponto mdio de AC ; N o ponto mdio de BC ; 1S

a rea do tringulo PAM ; 2S a rea do tringulo QBN ; 3S a rea do tringulo PMC ; e

4S rea do tringulo QNC ,analise as afirmativas:

I - 1S est para 4S ,assim como 3S est para 2S .

II - 1S est para 2S ,assim como (PM)2 est para (QN)2 .

III - 1S est para 3S ,assim como 2S est para 4S .

Logo pode-se concluir ,corretamente ,que

(A) apenas a afirmativa 1 verdadeira. (B) apenas as afirmativas 1 e 2 so verdadeiras .(C) apenas as afirmativas 1 e 3 so verdadeiras . (D) apenas as afirmativas 2 e 3 so verdadeiras .(E) as afirmativas 1 ,2 e 3 so verdadeiras.

Fazendo a figura conforme o enunciado, temos:

Pela figura acima, temos:

Como PM mediana do APC S1 S3

Do mesmo modo, temos que QN mediana do AQC S2 S4 ou S4 S2

Da dividindo membro a membro temos:

S1 S3, assim a afirmativa I correta

S4 S2

2 2

.

Os tringulos APC e BQC so semelhantes, assim:S1 S3 PM S1 S1 PM 2

, mas S1 S3 e S2 S4S2+S4 QM S2+S2 QM

S1

2

2 2

2 2

2

2

PM S1 PM

QM S2 QMS2

assim a afirmativa II correta.

S1 PM S3 S1 S3 S1 S2De assim a afirmativa III correta.

S2 QM S4 S2 S4 S3 S4

Alternativa E


10/23





09) Uma mquina capaz de fabricar ,ligada durante um tempo inteiro de minutos T , 3T peas,sendo que 20% delas so defeituosas . Para obter-se, no mnimo, 605 peas perfeitas essamquina dever funcionar quantos minutos ?(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8

T 3

Resolvendo a questo, temos:

T minutos __________ 3 peas 3 minutos __________ 3 peas = 27peas

605__________80%

605 10 0%__________100%x x

8 0%

0 1 2 3 4 5 6 7

6050756

8

As potncias de trs so:

3 1, 3 3, 3 9, 3 27, 3 81, 3 243, 3 729, 3 2187

Logo dever funcionar sete minutos.

Alternativa D

10) Um nmero natural N tem 2005 divisores positivos.Qual o nmero de base distintas da suadecomposio em fatores primos?(A) Um. (B) Dois. (C) Trs. (D) Quatro. (E) Cinco.

Resolvendo, temos:

2004

4 400

se N = a nmero de divisores de n = 2004 + 1 = 2005 (onde "a" um fator primo qualquer).

se N = a b nmero de divisores de n = 4 1 400 1 = 5 401=2005,

(onde "a" e "b" so fatores primos q

uaisquer).

Essa questo pelo exposto acima teria duas respostas, a meu ver a questo est ANULADA.Obs.:No sei o gabarito aps recursos.


11/23





11) Um aluno resolvendo uma questo de mltipla escolha chegou ao seguinte resultado4 62049 ,no entanto as opes estavam em nmeros decimais e pedia-se a mais prximado valor encontrado para resultado , e , assim sendo , procurou simplificar esse resultado, a fimde melhor estimar a resposta .Percebendo que o radicando da raiz de ndice 4 quarta potncia

de uma soma de dois radicais simples , concluiu, com maior facilidade, que a opo para aresposta foi(A) 3,00 (B) 3,05 (C) 3,15 (D) 3,25 (E) 3,35

1 SOLUO:

2 2

4

2 2 2

2

A + C A - CUsando a frmula A B = , onde C =A - B, temos:

2 2

Observe que 49 + 20 6= 49 + 20 6 , assim:

49 + 20 6 = 49 + 6 400 = 49 + 2400 C =49 - 2400 C =2401- 2400

C = 1 C = 1

49 + 1 49 - 149 + 20 6 = 49 + 2400 +

2 2

2 2 2

50 48+ 25 + 24

2 2

25 + 24 5 + 24 da

5 + 24 C =5 - 24 C =25 - 24 C = 1

5 + 1 5 - 1 6 4Assim 5 + 24 + + 3 + 2 1,73 1,41 3,14

2 2 2 2

2 SOLUO:

2 2 24

2 2 2

2 2

Notando que 49 + 20 6 = 49 + 20 6 e usando o produto notvel a + b a + 2 a b + b

Temos que determinar "a" e "b" tais que, a + b a + 2 a b + b

20 6 2 10 6 2 5 2 6 5 2 6 49 + 20 6 49 + 20 6 5 2 6 5 2 6a b

De

2 2

2 6 2 2 3 2 2 3 2 3 5 2 6 5 2 6 2 3 2 3

2 3 1,73 1,41 3,14

a b

Da


12/23





12) Se a , b ,c e dso nmeros reais no nulos tais que 022 bcad ,pode-se afirmar que

(A) 0;

db

db

ca

d

c

b

a(B) 0;

dc

dc

ba

d

b

c

a

(C)0;

dc

dc

ba

c

b

d

a

(D) 0;

da

da

cb

d

b

a

c

(E) 0

ba

ba

dc

a

d

b

c

1 SOLUO:Esse tipo de questo em concurso, muitas vezes faz o aluno perder tempo, vamos usar um mtodo

que em geral resolve o problema:

Vamos "CARTEA ALGUNS VALORES" para "a", "b", "c" e "d" de acordo com a expr

2 2 2 2

esso

ad + bc = 0 ou ad = - bc sendo a = 4, b = -1, c = 6 e d = 3, temos:Colocando esses valores na alternativa A:

a c a + c 4 6+ = ; b + d 0 + = - 4 + 2 = -2

b d b + d -1 3a + c 4 + 6

b + d -

105 vemos que so diferentes os valores encontrados.

1 + 3 2Colocando esses valores na alternativa B:

a b a + b 4 -1 4 -2 2 1+ = ; c + d 0 + = + =

c d c + d 6 3 6 6 6 3

4 + -1a + b 3 1vemos qu

c + d 6 + 3 9 3

e esses valores encontrados so iguais (j a resposta).

Colocando esses valores na alternativa C:

a b a + b 4 -1 8 -1 7+ = ; c + d 0 + = + =

d c c + d 3 6 6 6 64 + -1a + b 3 1

vemos que soc + d 6 + 3 9 3

diferentes os valores encontrados.

Colocando esses valores na alternativa D:

c b b + c 6 -1 18 -4 14 7+ = ; a + d 0 + = + =a d a + d 4 3 12 12 12 6

b + c -1 + 6 5vemos que so diferentes os val

a + d 4 + 3 7

ores encontrados.


13/23





Colocando esses valores na alternativa E:

c d c + d 6 3 24 3 21+ = ; a + b 0 + = - + = -

b a a + b 1 4 4 4 4c + d 6 + 3 9

= 3 vemos que so diferentes os valores encontrados.a + b 4 + -1 3

Alternativa B

2 SOLUO:Observando atentamente as respostas podemos notar que elas so semelhantes, s variando porque ora umaletra numerador, ora denominador.Assim sem perda de generalidade vamos supor que as letras so,

, ,x y z e w , e veremos o que acontece.

Seja , 0

primeiramente para que a soma das fraes seja igual a frao temos que:

(1)

Da soma das fraes , temos:

(2)

Da e de (1) e

x y x ycom z w

z w z w

x y x y

z w z w

x y x y

z w z w

x y

z w

x y xw yz

z w zw

(2), tem-se:

x y xw yzxzw

z w zw

2 2

yz xw yzw xzw yzw 2 2 2 20 ou 0

Observando essa relao podemos notar que:

1 " " o nmerador da 1 frao;

2 " " o denominador da 2 frao;

3 "y" o nmerador da 2 frao;

4 "z" o denominador da 1

yz xw xw yz

x

w

2 2

2 2

frao.

Assim se a relao 0

Logo para 0

x y x y yz xw

z w z w

a b a bad bc

c d c d

Alternativa B


14/23





13) Um nmero natural N deixa: resto 2 quando dividido por 3;resto 3 quando dividido por 7;eresto 19 quando dividido por 41 .Qual o resto da diviso do nmero

K N 1 . N 4 . N 22 por 861(A) 0 (B) 13 (C) 19 (D) 33 (E) 43

Resolvendo, temos:

divisvel por trs

Observe que 861 = 3 7 41

Assim N+1 = 3 q1 + 3 (divisvel por trs)

N+4 = 3 q2 + 7 (divisvel por sete)

N+22 = 41 q3 + 41 (divisvel por quareta e um)

Logo K = N+1

divisvel por sete divisvel por quareta e um

N+4 N+22 K divisvel por 861

Da o resto zero

Alternativa A


15/23





14) Uma herana P foi dividida por dois herdeiros ,com idades , respectivamente, iguais a n e m,em partes diretamente proporcionais ao quadrado de suas idades .Qual foi a parte da heranarecebida pelo herdeiro de idade n?

(A)22

2

nm

nP

(B)22

2

nm

Pn

(C)22

22

nm

nP

(D)22

2

nm

mPn

(E)

22

22

nm

mnP

Resolvendo o exerccio, temos:

2 2 2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2

Sendo "n" e "m" as idades e "p" a herana.

Sejam "A" e "B" as partes relativas a "n" e "m" respectivamente, ento temos:

A + B = p

A B A B A + B p

n m n m n m n m

A p p nAssim A =

n n m n m

Alternativa B


16/23





15)

Qual o produto notvel representado, geometricamente, na figura acima, na qual ABCD umretngulo ?

(A) 33 ba (B) 3ba (C) 2ba (D) 222 ba (E) 4ba


2

Observando o quadriltero ABCD vemos que um quadrado, assim:

O produto notvel a + b .

Alternativa C


17/23





16) O valor numrico da expresso 810120 24 kk , sendo k pertencente ao conjunto dosnmeros naturais, o quadrado de um nmero natural para(A) somente um nico valor de k . (B) somente dois valores de k .(C) somente valores de k mltiplos de (D) 13.somente valores de k mltiplos de 18.(E) nenhum valor de k .


4 4 4 4

4 4

4 4

4 4

Temos que:

120 k 10 k 8 10 12 k k 8

Observando que 12 k k um nmero natural para qualquer valor de k natural,

ento fazendo 12 k k , tem-se:

10 12 k k 8 10 8

O que indica q

x

x

x

ue 10 8 um nmero natural em que o algarsmo das unidades oito.Da aritmtica sabemos que no existem raizes quadradas exatas de nmeros que tem

o algarismo das unidades iguais a:

Dois (2), Trs (3

x

), Sete (7) e Oito (8).

Assim para nenhum valor de "k" natural o valor numrico da expresso acima quadrado

de um nmero natural.

Alternativa E

Outra soluo: Equao Diofantina Linear

4 2 4 2

4 2

Seja n um possvel quadrado perfeito, assim:

120 10 8 120 10 8

Sejam = e = 120 10 8 uma equao diofantina linear.

Que para se ter soluo, necessrio suficiente que o m

k k n k k n

a k b k a b n

dc 120,10 10, divida -8,isto ,

10| 8, assim "n" tem que ser um nmero que tem o algarsmo das unidades igual a 8.

Mas da aritmtica sabemos que no existem quadrados perfeitos de nme

n

n

ros que tem o

algarismo das unidades iguais a:

Dois (2), Trs (3), Sete (7) e Oito (8).

Assim para nenhum valor de "k" natural o valor numrico da expresso acima quadrado de

um nmero natural.

Alternativa E


18/23





17) Considere os pontos A ,B e C pertencentes ao grfico do trinmio do segundo grau definido

por xxy 82 .Se : a abscissa do ponto A -4 ; B o vrtice ; a abscissa do ponto C 12 ; osegmento AB tem medida d1;e o segmento BC tem medida d2,pode-se afirma que

(A) d1+ d2 < 48 (B) 48< d1+ d2


19/23





Assim o ponto B = 4, -16 , com esses valores montamos a figura acima, e podemos notar que so

dois tringulo retngulo congruentes, note que o segmento EB = B - E = 4 - (-4) = 8 e BD = D - B

= 12 - 4 = 8 diferema entre as abscissas dos pontos B e E e D e B respectivamente, do mesmo

modo o segmento EA = E - A = 48 - (-16) = 48 + 16 = 64 e DC = C - D = 48 - (-16) = 48 + 16 = 64,logo d1 igual a d2, pela desigualdade tringular temos: d1 < 8 + 64 d1 < 72 do mesmo modo

podemos concluir que d2 < 72 e d1 > 64 - 8 d1 > 56 do mesmo modo podemos conclui

r que

d2 > 56, assim:

56 < d1 < 72 e 56 < d2 < 72 somando-se membro a membro, temos:

112 < d1 + d2 < 144, logo a alternativa correta a letra E.

18) Dado um tringulo retngulo ,seja P o ponto do plano do tringulo eqidistante dos vrtices.As distncias de P aos catetos do tringulo so k e L .O raio do crculo circunscrito ao tringulo

dado por

(A)4

LK (B) LK 2 (C)

4

22LK

(D)2

22LK

(E) 22 LK

Em qualquer tringulo esse ponto o circuncentro ou seja o ponto de encontro das trs mediatrizes,

e o centro do crculo circunscrito, em relao ao tringulo retngulo esse ponto o ponto

mdio2 2 2 2 2

da hipotenusa, assim observando a figura acima, temos:R = K + L R = K + L

Alternativa E


20/23





19) Dada a equao na varivel real kx

xx 3

7: ,pode-se concluir ,em funo do parmetro

real k,que essa equao(A) tem razes reais s se kfor um nmero positivo.(B) tem razes reais s se kfor um nmero negativo.

(C) tem razes reais para qualquer valor de k.(D) tem razes reais somente para dois valores de k.(E) nunca ter razes reais.

Resolvendo, temos:

2 2

2 2

2

37 7 3 7 3 0

4 7 3 84

Logo como k positivo para qualquer valor de k, temos que 0 para qualquervalor de K, assim a equao do 2 grau possui duas razes reais diferentes.

x k x kx x kxx

k k

Alternativa C


21/23





20) Sejam L1 e L2 duas circunferncias fixas de raios diferentes , que se cortam em A e B . P um pontovarivel exterior s circunferncias ( no mesmo plano ) . De P traam-se retas tangentes L1 e L2 ,cujospontos de contatos so R e S . Se PR=PS ,Pode-se afirmar que P , A e B(A) esto sempre alinhados. (B) esto alinhados somente em duas posies.(C) esto alinhados somente em trs posies. (D) esto alinhados somente em quatro posies.(E) nunca estaro alinhados.

A resposta a essa questo a Alternativa A, porem o aluno deveria ter o conhecimento de Eixo Radical , queno consta claramente do programa de matrias a serem estudados, porem no programa consta o estudo delugares geomtricos.O lugar Geomtrico denominado de Eixo Radical, no conta de bibliografia em vigor, somente em livrosesgotados.Obs.: A questo poderia ser resolvida usando o conceito de Potncia de um ponto em relao a um crculo.

Antes de resolver a questo vamos definir algumas coisas e mencionar alguns teoremas:

POTNCIA DE UM PONTO

TEOREMA: Se traarmos, por um ponto do plano de uma circunferncia, secantes a esta, o produtodos dois segmentos orientados, que tem por origem esse ponto e por extremidades as interseces de cadasecante com a circunferncia, constante ( o mesmo para todas as secantes). Esse produto constante chama-se POTNCIA do ponto P em relao circunferncia.

2

...Pot PA PB PC PD PE PF PT P

Obs.: Em particular, se um ponto pertence a uma circunferncia, a potncia desse ponto em relao a essacircunferncia , por definio, igual a zero.


22/23





PONTOS DE MESMA POTNCIA EM RELAO A DUAS CIRCUNFERNCIAS:TEOREMA: O lugar geomtrico dos pontos de um plano, que tem a mesma potncia em relao a duascircunferncias dadas, uma reta perpendicular a linha dos centros das circunferncias.

EIXOS RADICAIS:DEFINIO: Dadas duas circunferncias

1Ce

2Ccom centro em

1Oe

2Oraios

1Re

2Rrespectivamente,

denomina-se EIXO RADICAL, o lugar geomtrico dos pontos de um plano de mesma potncia em relao a

1C e 2C .

2 2 2 2 2 2 2 2 2

Potncia de P em relao a O1 = Potncia de P em relao a O2

d1 1 d2 2 d1 d2 1 2 R R R R k

PROPRIEDADE:O EIXO RADICAL de 1C e 2C o lugar geomtrico dos pontos dos quais se pode traar tangentes a 1C e

2C com o mesmo comprimento.

Pelo exposto acima a resposta correta a Alternativa A


23/23




[email protected]

2 SOLUO:

2

2

2

2

PR = PA PD (1)

PS = PA PC (2)

Dividindo (1) por (2), temos:PR PA

PS

PD

PA

2

2

PR PDmas por hiptese PR = PS PD = PC

PCPR PC

Como PD = PA + AD e PC = PA + AC

PD = PC PA

+ AD PA + AC AD AC, mas como "C" e "D" so

colineares AD = AC + CD AC

+ CD AC CD 0 o que indica

que os pontos "C" e "D" so coincidentes, mas como por hiptese as intersees

de L1 e L2 so os pontos A e B, ento os pontos "B", "C" e "D" so coincidentes,

logo os pontos

"P", "A" e "B" so colineares.

colégio naval 2004

Documents