colégio naval 2003 (prova verde)

8/14/2019 Colgio Naval 2003 (Prova Verde)

1/15

Prof. Carlos LoureiroFormado Matemtica -UFF Niteri/RJ

Curso de Capacitao Permanente para Professores de Matemtica do Ensino Mdio no IMPAPromovido pela FAPERJ SBM IMPAPS Graduando UFRJ - Ensino da Matemtica

PS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da [email protected]

(21) 8518-7006

Colgio Naval 2003 (prova verde)

01) Analise as seguintes afirmativas sobre um sistema S se duas equaes do primeiro graucom duas incgnitas X e Y .I - S sempre ter ao menos uma soluo, se os seus termos independentes so iguais a zero .

II - SE a razo entre os coeficientes de X for igual a dos de Y , S ter infinitas solues .III - Se a razo entre os coeficientes de X for diferente da dos de Y , S ter apenas uma soluo

Assinale a alternativa correta.

(A) Apenas a afirmativa I verdadeira.(B) Apenas a afirmativa II verdadeira.(C) Apenas a afirmativa III verdadeira.(D) Apenas a s afirmativas I e III so verdadeiras.(E) As afirmativas I , II e III so verdadeiras .

Soluo:

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

0sistema linear homognio

0

Todo Sistema Linear Homognio, apresenta pelo menos a soluo trivial, isto ,

S = 0,0 assim nunca ser incompatvel.

(I) CORRETA

a x b x c a x b x

a x b x c a x b x

II

1 2 1 2 2

1 2 1 2 2

1 2

1 2

, falso para termos infinitas solues, teriamos que ter ,

(II) FALSA

(III) , (II) CORRETA

a a a a c

b b b b c

Logo

a a Logob b

Alternativa D

02) Quantas razes reais tem a equao raiz de xx 20 ?(A) Nenhuma. (B) Uma. (C) Duas, as quais so positivas.(D) Duas, as quais so negativas. (E) Duas, a quais tm sinais opostos .Soluo:

22 2 2

1 2

2

20 20 20 20 0

1 e 20 5 e 4

Verificando-se as respostas vemos que 4 no serve, pois, por

conveno respresenta a a raiz quadrada positiva.

Logo x = 5

x x x x x x x x

S P x x

x

Alternativa B


2/15




(21) 8518-7006

03) Quantos so os pontos de um plano que esto eqidistantes das trs retas suportes doslados de um tringulo ABC contido em ?(A) Um. (B) Dois. (C) Trs. (D) quatro. (E) cinco.

Resoluo:Observando a figura acima, temos:a) O1 O INCENTRO;b) O2, O3 e O4 SO OS TRS EX-INCENTROS.

Alternativa D

04) Se o nmero natural expresso por 2 2a - b , b 0 , primo , ento a

(A) o antecedente de b. (B) o conseqente de b. (C) mltiplo de b.(D) divisor de b. (E) um nmero par .

Soluo:

2 2a - b = , como b 0 0, se no seria negativo.

Logo 1 ou 1De 1 1 , no serve, pois, " " seria negativo.

De 1 1

Logo "a" o consequnte de b.

a b a b a a b

a b a ba b a b a

a b a b

Alternativa B


3/15




(21) 8518-7006

05) Se 3 3 2 3 2m.m.c x , y 2 . 3 . 5 .7 e m.d.c x , y 2 . 3 .5, x e y nmeros naturais ,quantos so os valores possveis para x ?(A) 16 (B) 8 (C) 6 (D) 4 (E) 2

Soluo:

3 3 2 3 2O m.m.c , = 2 3 5 7 e o m.d.c , = 2 3 5O m.m.c de dois ou mais nmeros igual ao produto dos fatores comuns e no

comuns elevados aos maiores expoentes.

O m.d.c de dois ou mais nmeros igua

X Y X Y

l ao produto dos fatores comuns elevados

aos menores expoentes.

Assim X da forma X = 2 3 5 7 onde pelo m.m.c , e m.d.c ,fatores comuns

:

) 3) 2, 3

1) 1, 2

) 0, 1

X Y X Y

temos

ab

c

d

2 2 2 1 2 2 2 8 valores

possibilidades

Alternativa B

06) Um certo lquido aumenta o seu volume em 15% , ao ser congelado. Quantos mililitrosdesse lquido deve-se colocar, no mximo, em um recipiente de 230 mililitros, sabendo-se queeste no sofre qualquer alterao da sua capacidade nesse processo?(A) 195,5 (B) 200 (C) 205 (D) 210 (E) 215

1 SOLUO:

230 ml __________ 115%

V ml __________ 100%

2230 ml 100% 230

V = V =

115%

ml 100 %

115 %

V = 200 ml

2 SOLUO:

2

230 230V 1,15 = 230 V= V=

1,15

00

115V = 200 ml

Alternativa B


4/15




(21) 8518-7006

07) Considere uma circunferncia de raio R e dimetros perpendicularesAB e CD . O raio damenor circunferncia tangente interiormente e corda AC, no seu ponto mdio, dadopor

(A)4

R(B)

4

2R(C)

4

22 R(D)

4

12 R(E)

6

R

Utilizando a figura acima, temos:

2 22 2 2 22r + 2r = 2r = r =

2 2 2 4

R R R R RR R

Alternativa C


5/15




(21) 8518-7006

08) O resultado da diviso de 7 12 por 6, um nmero(A) inteiro.(B) com parte decimal finita.(C) com parte decimal infinita peridica simples.(D) com parte decimal infinita peridica composta.(E) com parte decimal infinita e no-peridica.

SOLUO:

2

3

12

12

7 6 resto 1

7 6 resto 1

7 6 resto 1

e assim por diante

7 6 resto 1

Logo 7 6 1 se continuarmos a diviso, ento:

1 1Temos que dividir o resto por seis, isto , 1,1666...6 2 3Logo temos uma Dzi

q

ma Peridica Composta.

Alternativa D

09) O resto da diviso de 131 131 131 1315 + 7 + 9 + 15 por 12 igual a(A) 0 (B) 2 (C) 7 (D) 9 (E) 11

n n1SOLU O - Utilizando o fato que a + b divisvel por a + b se "n" mpar, temos:

Observando que 5 + 7 = 12 e 9 + 15 = 24 (divisvel por 12)

131 131 13Temos que (5 + 7 ) 5 7 e (9

12

1 131+ 15 ) 9 15

24131 131 131 131Assim (5 + 7 + 9 + 15 ) divisvel por 12,

Da o resto zero.


6/15




(21) 8518-7006

2 SOLUO:

5 12 resto 5 7 12 resto 7

2 25 12 resto 1 7 12 resto 125 49

3 35 12 resto 5 7 12 re125 343

45 12 resto 1625Logo se o expoente mpar o resto 5,

se o expoente par o resto 1.

131Ento 5 12 resto 5

sto 7

47 12 resto 12401Logo se o expoente mpar o resto 7,

se o expoente par o resto 1,


15 12 resto 3215 12 resto 119 12 resto 9

22529 12 resto 9 315 12 resto 3

81 337539 12 resto 9 415 12 resto 11

729 50625Logo o resto 9 sempre. Logo se o ex


poente mpar o resto 3,

se o expoente par o resto 11.131Ento 15 12 0 resto 3

131 131 131 131Logo o resto da diviso de 5 + 7 + 9 + 15 por 12 o mesmo que o

da diviso dos restos encontrados por 12, isto :

131 131 131 1315 + 7 + 9 + 15 12 5 + 7 + 9 + 3 12 resto 0

24

Alternativa A


7/15




(21) 8518-7006

10) Num quadriltero ABCD tem-se : AB = 42, BC = 48, CD = 64, DA= 49 e P o ponto deinterseo entre as diagonais AC e BD. Qual a razo entre os segmentos PA e PC, sabendo-seque a diagonal BD igual a 56 ?(A) 7/8 (B) 8/7 (C) 7/6 (D) 6/7 (E) 49/64

De acordo com o enunciado podemos desenhar o quadriltero abaixo:

Observando os tringulos ABD e BCD, temos:

49 7

56

DA

DB

7

7

7

88

42 6

48

AB

BC

7

6

7

88

56 8

64

DB

DC

7

8

logo ABD ~ BCD

7

88

Em particular os ngulos ADB e BDC so congruentes.

DA AB DB

DB BC DC

Assim, observando o tringulo ADC, vemos que podemos usar o

teorema da bissetriz interna, isto :

49

64

AD DC PA AD

PA PC PC DC

Alternativa E


8/15




(21) 8518-7006

11) Um fabricante observou que tem condies de aumentar, mensalmente, a sua produo em1/5 da produo do ms anterior. Considerando a condio dada, se, em janeiro de 2004, a suaproduo for P, em que ms desse mesmo ano a sua produo ser, pela primeira vez, maior ouigual a 2P?(A) Abril. (B) Maio. (C) Junho. (D) Julho. (E) Agosto.

Soluo: (1 SOLUO)

Janeiro __________ P

1 1 6Fevereiro __________ P + P = P 1+ = P

5 5 5

6 6 1 6 6 30+6 36__________ P + P = P + = P P

5 5 5 5 25 25 25

3__________ P

Maro

Abril

6 36 1 36 36 180+36 216+ P = P + = P P

25 25 5 25 125 125 125

216 216 1 216 216 1080+216__________ P + P = P + = P 125 125 5 125 625 625

1296 125P P

625

Maio

0

P 2625

(2 SOLUO):Janeiro __________ P

Fevereiro __________ 1,2 P

__________ 1,2 1,2 P = 1, 44 P

__________ 1,2 1, 44 P = 1, 728 P__________ 1,2 1, 728 P = 2,0736 P

Maro

AbrilMaio

Alternativa B


9/15




(21) 8518-7006

12 Dada a equao do 2 grau na incgnita X : 4X 2 + kX + 3 = 0 . Quantos so os valoresinteiros possveis do parmetro k ,tais que essa equao s admita razes racionais ?(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 6 (E) 8

Antes de resolver essa questo, vamos enunciar um teorema, mas no vamos demonstr-lo.

Toda equao do segundo grau da forma 2 0, com 1ax bx c a , em que as razes sejamnmeros racionais, podemos resolv-la formando uma nova equao com a seguinte forma

2 1 20, onde e1 2

y y y bx ac x x

a a .

Obs.: Com essa nova equao podemos resolver a equao um, resolvendo a equao doisusando a Soma e o produto das razes.

2

2 2

21 2 1 2

Exemplo :

2 17 8 0, fazendo a transformao, temos:

17 8 2 0 17 16 0 17 e o Produto = 16

1 161 e 16 e 8

2 2. : odamos resolver a equao anterior usando o fato q

x x

y y y y Soma

y y y x x

aObs P

1 2

2 2 2

ue a + b + c = 0

c1 e y Produto = .

aFeito isso, vamos ao problema, isto , a equao:

4 K 3 0 3 4 0 K 12 0

Temos que a Soma = K e o Produto = 12

y

X X y Ky y y

1 2 1 2

1 2 1 2

(K = ).Para o produto d 12, temos as seguintes possibilidades:

a) 1 e 12 ) 1 e 12 13 e 13

) 2 e 6 ) 2 e 6 8

Soma

y y b y y K K a b

c y y d y y K c

1 2 1 2

e 8

) 3 e 4 f ) 3 e 4 7 e 7

Kd

e y y y y K K e f

Assim temos seis valores possveis para o parmetro K.

Alternativa D


10/15




(21) 8518-7006

13)

Num quadrado ABCD tem-se os pontos: P, pertencente ao lado AB; Q, pertencente ao ladoCD; R, mdio de DA; e S, mdio de BC. Se PB o dobro de DQ e E o ponto de interseoentre PQ e RS, quantos trapzios retngulos semelhantes sempre existiro na figura, sabendo-se que PB + DQ < AB ?(A) Dois. (B) Trs. (C) quatro. (D) cinco. (E) seis.

Conforme o enunciado, podemos montar as figuras abaixo, assim:

Observando as figuras acima, vemos que todos os tringulos formados so semelhantes,para determinar se um trapzio semelhante a outro, temos que ver a semelhana entre osretngulos formados, fazendo isso podemos notar que os nicos trapzios semelhantes so ostrapzios BPQC e DQER.

Alternativa A


11/15




(21) 8518-7006

14) Analise as afirmativas abaixo , onde A e B so nmeros reais .

I - 222 baba

II - 222 .. baba

III - 0,222 bbaba

Assinale a alternativas correta .

(A) As afirmativas I , II e III so sempre verdadeiras .(B) Apenas a afirmativa I sempre verdadeira.(C) Apenas as afirmativas I e II so sempre verdadeiras.(D) Apenas as afirmativas I e III so sempre verdadeiras.(E) Apenas as afirmativas II e III so sempre verdadeiras.

Soluo:

22 2

22

2

22 2 2 2

22 2 2 2

I) Contra-exemplo sejam a = 3 e b = -3

3 3 9 9 3 3 6

3 3 0 0 Falso.

II) . Correto

III) Correto

a b a b

a b a b a b

a b a b a b

Alternativa E

15) Dada a equao : ( X 2 + 1 ) 2 + (X 2 + 3X - 17 ) 2 = 0, pode-se afirmar que, nouniverso dos nmeros reais, o seu conjunto soluo(A) vazio. (B) tem apenas um elemento. (C) tem apenas dois elementos.(D) tem apenas trs elementos. (E) tem apenas quatro elementos .

Soluo:

22 2

22 2

Observe que:

) 1 0 1 0 sempre maior do que zero para qualquer valor de x.

) 3 17 0 (para dois valores reais de x, mais) 3 17 0para qualquer valor de x.

Assim, podemos concluir que

a x x

b x x x x

x

2 22 21 3 17 0 para qualquer valor de xx x

Alternativa A


12/15




(21) 8518-7006

16) No estudo de cincias , item Gases Perfeitos , tem-se a seguinte frmula :2

22

1

11

T

VP

T

VP ,

onde P 1 , V1 e T1 so , respectivamente , as condies de presso ,volume e temperatura de umgs perfeito num primeiro estado ; e P 2 , V 2 e T 2 num segundo estado . Considerando afrmula dada ,analise as afirmativas abaixo .

I - Presso e volume so diretamente proporcionais .II - Presso e temperatura so diretamente proporcionais .III - Volume e temperatura so inversamente proporcionais .

Assinale a alternativa correta.

(A) As afirmativas I, II e III so falsas . (B) Apenas a afirmativa I falsa .(C) Apenas a afirmativa II falsa. (D) Apenas a afirmativa III falsa.(E) Apenas as afirmativas I e III so falsas .

Obs.: a) Duas grandezas esto em proporo direta quando a RAZO entre elas uma

constante.b) Duas grandezas esto em proporo inversa quando o PRODUTO entre elas uma constante.

A chamada Lei dos Gases Perfeitos ou Lei de Boyle - Mariotte.Nas Condies Normais de Temperatura e Presso (CNTP), temos:I) Transformao Isotrmica

Se 1 2 1 1 2 2 So inversamente proporcionais.T T P V P V cte (FALSO)

II) Transformao Isomtrica

Se 1 21 21 2

So diretamente proporcionais.P P

V V cte

T T

(CORRETO)

III) Transformao Isobrica

Se 1 21 21 2

So diretamente proporcionais.V V

P P cteT T

(FALSO)

Alternativa E


13/15




(21) 8518-7006

17) O conjunto dos trinta talheres de uma certa casa constitudo de garfos, facas e colheres, deao inoxidvel e ao comum .Sabe-se queexistem cinco facas ,seis garfos e sete colheres ,todos de ao comum .

o nmero total de garfos o dobro do nmero de facas de ao inoxidvel.

o nmero de facas de ao inoxidvel excede o nmero de colheres desse mesmo

tipo de ao em duas unidades .Quantas colheres tem esse conjunto de talheres?(A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 (E) 14

Do enunciado podemos montar a tabela abaixo:

GARFOS FACAS COLHERES TOTALAO COMUM 6 5 7 18AO INOX X Y Z 12

I) 6 + 2 2 6II) y = z + 2 z = y - 2

III) x + y + z = 12

Pondo I e II em III, temos:

202 6 y - 2 12 4 12 6 2 4 20 5

4Como z = y - 2 z = 5 - 2 z = 3

Da o nmero de colheres igual a

x y x y

y y y y y y

7 + 3 = 10

Alternativa A


14/15




(21) 8518-7006

18) Um estudante foi calculando o lado do polgono regular de 2n lados , inscrito em umacircunferncia de raio 10 centmetros ,para n sucessivamente igual a 6, 12, 24, 48, 96, etc.Aps determinar cada lado, calculou o permetro p do respectivo polgono, e observou que p um nmero cada vez mais prximo, porm menor que(A) 60 (B) 61 (C) 62 (D) 63 (E) 64

Quanto maior o nmero de lados de um polgono regular inscrito em uma circunferncia C,mais prximo o seu permetro estar do comprimento da circunferncia C 2 R , porem essevalor nunca ser maior.

Assim calculando o comprimento de C = 2 R, para R =10

C = 2 3,14 10 C = 6,28 10 C = 62,8 cm

Desse modo temos duas respostas possveis, isto , as alternativas D e E esto CORRETAS.

19) Seja os polinmios 2 2X 4X e X 3 1 XP Q K . Se a razo entre P eQ diferente de 1, necessariamente

(A)3

5K (B)

5

3K (C)

3

4K (D)

4

3K (E) k 1

2

2

Solu o :

P 4 P

Q Q3 1

xx x

x k x

4x

x

4P

Q 3 13 1

PComo queremos que 1

Q

4P PVamos supor que 1 1Q Q 3 1

x

x kx k

x xx k

4 x 3 1

54 3 1 3 4 1 3 5

35

Logo3

k

k k k k

k

Alternativa A


15/15




(21) 8518-7006

20) Num tringulo acutngulo issceles ABC, o segmento BP, P interno ao segmento AC,forma com o lado BA um ngulo de 15 . Quanto mede o maior ngulo de PBC, sabendo que ostringulos ABP e ABC so semelhantes ?

(A) 65,5 (B) 82,5 (C) 97,5 (D) 135 (E) 150

Solu o : De acordo com o enunciado os tringulos ABC e ABP so

semelhantes e alem disso o tringulo ABC issceles, assim podemos

concluir:

A) Que o tringulo ABP issceles,

B) Como ABC acut

ngulo temos que ABP tambm o ,

C) Como o ngulo ABP igual a 15, temos que os ngulos BAP

e APB so congruentes, se no o tringulo ABP seria obtusngulo.de (A), (B) e (C), temos:Assim

165

15 180 2 180 15 2 165 82,5 .2

Como 15 o maior ngulo do tringulo PBC, assim

15 82,5 15 97,5

Alternativa C

colégio naval 2003 (prova verde)

Documents