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REMatISSN 2177-5095

nº2 - 2010

REVISTA ELETRÔNICA DE MATEMÁTICAwww2.jatai.ufg.br/ojs/index.php/matematica

contato: [email protected]

Estruturas de grupos finitos

Henrique Bernardes da SilvaAluno do curso de Licenciatura em Matemática do CAJ/[email protected]

Esdras Teixeira CostaProfessor do Campus Jataí da Univesidade Federal de Goiá[email protected]

Resumo

Nosso ponto de partida para este trabalho foi uma análise sobre as necessidades matemáti-

cas que levaram à criação do conceito de grupo. A partir da de�nição de grupo e das

implicações desta de�nição sobre um dado conjunto munido de uma operação ∗, nossointeresse foi estudar, a partir da tábua da operação ∗ quais as estruturas algébricas

possíveis para um dado conjunto com n elementos. Esta estratégia foi e�ciente para

conjuntos �nitos de ordem não superior a 6. Para conjuntos �nitos de ordem maior,

nossos esforços se concentraram em teoremas que, se não fornecem toda a estutura

do grupo, fornecem a maior quantidade de informação possível. Seguindo esta linha

de raciocínio, este artigo de revisão aborda determinados tópicos da teoria de grupos,

chegando até os teoremas de Sylow.

Palavras-chave: Grupos �nitos, estrutura, Sylow.

Finite groups structures

Abstract

We begin this work with an analysis of the mathematic motivations that have resulted in

the creation of the concept of group. With the de�nition of group and the implications

of this de�nition upon a given set with an operation ∗, we were concerned with studing,

through the table of the operation ∗, which were the possible algebraic structures for a

given set with n elements. This strategy was su�cient for �nite groups of order less than

6. For �nite sets of greater order, we concentrate on theorems that, if doesn't bring the

whole structure of the groups, at least bring out the most of information about them.

We present here some topics of groups theory, up to Sylow theorems.

Keywords: Finite groups, structure, Sylow.

1 Introdução

Suponha que sejam dados um conjunto X munido de uma operação binária ∗ e doiselementos a, b ∈ X. Vejamos quais seriam as condições necessárias sobre a, b, X e ∗ paraque exista solução para uma equação do tipo

Silva, H.B.Costa, E.T.

- 1- Estruturas degrupos �nitos

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a ∗ x = b (1)

A solução mais comum pede que existam dois elementos especiais dentro de X:

1. Um elemento e ∈ X chamado de elemento neutro, que possui a capacidade de ser neu-tro em relação à operação ∗, o que se traduz em termos matemáticos por:

�dado qualquer y ∈ X, y ∗ e = e ∗ y = y�

2. Um outro elemento ya dependente de a com a propriedade de �transformar a no ele-mento neutro e através da operação ∗, o que se traduz em termos matemáticos por:

�a ∗ ya = ya ∗ a = e�

Uma vez que assumimos a existência destes dois elementos e e ya e ainda, por comodidade,denotemos ya por a−1, ao operarmos à esquerda ambos os lados da equação 1 por a−1, temos:

a ∗ x = b

a−1 ∗ (a ∗ x) = a−1 ∗ b

É necessário agora que a operação ∗ seja �exível o su�ciente para permitir que façamosa escolha sobre quais elementos devem ser operados primeiro. Novamente, em linguagemmatemática, a operação ∗ deve satisfazer, para quaisquer α, β, γ ∈ X:

α ∗ (β ∗ γ) = (α ∗ β) ∗ γ

Esta propriedade, chamada de associativa, permite que cheguemos então ao desfecho denossa pequena investigação sobre a solução de 1:

a−1 ∗ (a ∗ x) = a−1 ∗ b(a−1 ∗ a) ∗ x = a−1 ∗ b

e ∗ x = a−1 ∗ bx = a−1 ∗ b

É razoável concluir então que, se quisermos resolver uma operação do tipo a ∗ x = b naqual a e b são elementos de um conjunto X que tem uma operação binária ∗, as seguintestrês condições são imprecindíveis:

� Associatividade da operação ∗ em X;

� Existência de elemento neutro para a operação ∗ em X;



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* ee e

Tabela 1: Um grupo com um único elemento

� Existência de um inverso a−1 com relação à operação ∗ para cada elemento a ∈ X.

Detalhes sobre tais propriedades são exaustivamente considerados em (DOMINGUES-2003).Estamos então a par da necessidade de se nomear de forma particular um conjunto X munidode uma operação ∗ de tal forma que sejam satisfeitas as três condições acima.

De�nição 1. Um grupo é um conjunto X munido de uma operação ∗ que satisfaz as trêscondições acima. Considerações adicionais sobre esta de�nição podem ser encontradas em(HERSTEIN-1975) e (MONTEIRO-1971).

Existe uma outra propriedade que nem toda operação possui, mas que facilita muito otrabalho com grupos. A propriedade em questão se chama comutatividade; se a operação deum grupo possui esta propriedade, o grupo é chamado abeliano, em honra ao matemáticonorueguês Niels Henrik Abel (1802-1829).

De�nição 2. Seja G um grupo e ∗ a operação deste grupo. Dizemos que ∗ é comutativa separa quaisquer elementos a, b ∈ G temos a validade da igualdade abaixo:

a ∗ b = b ∗ a

É importante frisar novamente que nem toda operação possui tal propriedade. Uma boafonte de exemplos de operações não comutativas é (DOMINGUES-2003).

2 Tábua de grupos com ordem menor ou igual a seis

Apresentaremos agora os exemplos mais simples de grupos �nitos. Para isto, considera-remos grupos com apenas 2, 3, 4, 5 ou 6 elementos. Na análise que se segue das tábuas deoperação destes grupos, consideraremos sempre o elemento e como sendo o elemento neutro.

Inicialmente, temos o caso óbvio de um grupo com apenas um elemento, ou grupo deordem um, como em (FRALEIGH-2000). Como este grupo deve ter um elemento neutro, éevidente que este único elemento deve ser justamente o neutro. A única operação possíveltambém tem resultado trivial. Isto quer dizer que um grupo de um único elemento só podeter como tábua de sua operação esta dada a seguir:

Seja G um grupo de ordem dois, ou seja, com apenas dois elementos. Então necessariamenteum deles deve ser o elemento neutro e; ao outro elemento, denotado por a, só resta a possi-bilidade que ele seja seu próprio elemento inverso, do contrário teríamos dois inversos parae, o que é absurdo. Podemos representar este grupo pela tábua a seguir.



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∗ e ae e aa a e

Tabela 2: Um grupo com apenas dois elementos

∗ e a be e a ba a b eb b e a

Tabela 3: Um grupo com exatamente três elementos

A partir do que vimos acima, esta é a única estrutura possível para tal grupo, no sentido deque qualquer outro grupo com dois elementos terá uma tábua idêntica a esta.Temos representado na 3 um grupo de ordem três. A multiplicação pelo elemento neutrotem sempre resultado óbvio. Já o produto a ∗ b tem três resultados possíveis:

1. a ∗ b = e

2. a ∗ b = a

3. a ∗ b = b

É fácil ver que se a ∗ b = a então teríamos b = e, o que é absurdo pois nosso grupo tem trêselementos distintos a, b, c.Um argumento inteiramente análogo nos permite concluir que a∗b = b é igualmente absurdo;sendo assim podemos a�rmar que a ∗ b = e. Como visto em (FRALEIGH-2000), na área dasrespostas de uma tábua da operação de um grupo não podem haver repetições de elementosnem nas linhas e nem nas colunas; isto nos permite concluir a tabela abaixo, que, de acordocom o que vimos acima, é a única alternativa possível para um grupo de apenas três elementos.

Ao estudarmos o caso de um grupo de ordem quatro, notamos que desta vez existem duaspossibilidades para a tábua da operação:

A primeira estrutura guarda similaridades com aquelas apresentadas anteriores; tal es-trutura é chamada de grupo cíclico �nito � detalhes em (FRALEIGH-2000) � e para o caso



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∗ e a b ce e a b ca a b c eb b c e ac c e a b

Tabela 4: Grupo cíclico com quatro elementos

∗ e a b ce e a b ca a e c bb b c e ac c b a e

Tabela 5: Klein Viergruppe

dos grupos já apresentados, podemos agora denotá-los respectivamente por Z2, Z3 e o atualgrupo Z4. Já a segunda estrutura apresentada acima tem particularidades como, por exem-plo, o fato de que a ∗ a = b ∗ b = c ∗ c = e. Este grupo é chamado de grupo-4 de Klein, ousimplesmente grupo de Klein. A notação mais comum para esta estrutura é V , por conta dapalavra alemã Viergruppe.

É interessante notar que para o caso dos grupos de ordem quatro, existem outros gruposdentro destes; neste caso, estes grupos são cíclicos e obviamente de ordem menor que quatro,como podemos observar nos diagramas abaixo:

Z4

< b >= {0, 2}

OO

{e}

OO

V

< a >= {e, a}

44iiiiiiiiiiiiiiiiiiii< b >= {e, b}

OO

< c >= {e, c}

jjUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU

< e >= {e}

OO 44iiiiiiiiiiiiiiii

jjUUUUUUUUUUUUUUUU

Tais grupos contidos em outros �maiores� são chamados subgrupos. É através deles queestudamos os grupos de ordens superiores. Se para o caso de ordens pequenas como as quevimos até agora a análise da estrutura é fácil e praticamente imediata, para grupos de ordemum pouco maior a necessidade de ferramentas um pouco mais poderosas se faz presente. Paragrupos de ordem 16, por exemplo, existem 14 tipos diferentes de estruturas sendo 5 abelianos(apenas um cíclico) e 9 não abelianos.

Para o caso dos grupos cíclicos �nitos, como visto em (GARCIA-2002) e (GONÇALVES-1999),



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é possível estabelecer uma estrutura geral devido à simplicidade dos mesmos; assim, todogrupo cíclico tem uma estrutura com as seguintes propriedades:

1. Comutatividade; ou seja, todo grupo cíclico é abeliano;

2. Todos os seus subgrupos são também cíclicos.

3. Se a ordem de um grupo cíclico G é n então este grupo é sempre da forma G ={e, a, a2, · · · , an−1};

Vale ainda, o teorema a seguir, retirado de (FRALEIGH-2000):

Teorema 3. Se G = {e, a, a2, · · · , an−1} é um grupo cíclico com n elementos, então qualquer

elemento b = as ∈ G gera um subgrupo cíclico H de G contendo exatamenten

mdc(n, s)elementos.

Na seção seguinte veremos a estrutura dos grupos abelianos �nitamente gerados.

3 Estrutura dos grupos abelianos �nitamente gerados

Para entendermos a estrutura dos grupos abelianos �nitamente gerados, precisamos re-visar as seguintes de�nições e teoremas, vistos em (FRALEIGH-2000). Esta mesma fontedeve ser consultada caso haja dúvidas quanto a grupos �nitamente gerados.

De�nição 4. O produto cartesiano dos conjuntos S1, S2, S3, . . . , Sn é o conjunto de todasas n-uplas ordenadas (a1, a2, a3, . . . , an) onde ai ∈ Si i = 1, 2, 3, . . . , n.

O produto cartesiano é denotado por

S1 × S2 × S3 × . . .× Sn ou porn∏i=1

Si

Teorema 5. Seja G1, G2, . . . , Gn, grupos. Para (a1 a2, a3, . . . , an) e (b1, b2, b3, . . . , bn) emn∏i=1

Gi, de�na (a1 a2, a3, . . . , an)·(b1, b2, b3, . . . , bn) sendo o elemento (a1b1, a2b2, a3b3, . . . , a3bn)

. Entãon∏i=1

Gi é um grupo, produto direto dos grupos Gi, sobre esta operação binária.

Demonstração.Note que se ai, bi ∈ Gi e Gi é um grupo temos que ai · bi ∈ Gi. Então pela de�nição de

operação binária emn∏i=1

Gi, temos que este conjunto é fechado em relação a esta operação.



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Se ei é o elemento identidade em Gi, então, (e1, e2, ..., en) é o elemento identidade emn∏i=1

Gi.

Claramente notamos que a lei associativa é válida neste conjunto. Finalmente, o inverso de

(a1 a2, a3, . . . , an) é(a−11 , a−12 , a−13 , . . . , a−1n

). Desta forma

n∏i=1

Gi é um grupo.

As provas do teorema e do corolário a seguir podem ser encontradas em (FRALEIGH-2000):

Teorema 6. O grupo Zm × Zn é cíclico e tem a mesma estrutura de Zmn se, e somente se,m e n são primos entre si, ou seja, mdc (m,n) = 1.

Corolário 7. O grupon∏i=1

Zmié cíclico tem a mesma estrutura de Zm1m2m3, ...mnse, e só se,

quaisquer dos mi distintos, i = 1, 2, 3, . . . , n são relativamente primos.

3.1 A estrutura dos grupos abelianos �nitamente gerados

O teorema a seguir tem importância evidente, uma vez que o mesmo fornece a estruturade qualquer grupo abeliano �nitamente gerado. Uma prova completa pode ser encontradana seção 4.4 de (FRALEIGH-2000).

Teorema 8. (Teorema Fundamental dos grupos abelianos �nitamente gerados) Todo grupoabeliando �nitamente gerado tem a estrutura de um produto direto de grupos cíclicos daforma

Z(p1)r1 × Z(p2)r2× . . .× Z(pn)rn × Z× Z× . . .×Zonde pi são números primos, não necessáriamente distintos, e ri são inteiros positivos. Oproduto direto é único, exceto unicamente por uma possível reorganização de seus fatores,isto é, o número de seus fatores Z é único e as potências de primos (pi)

risão únicas.

De�nição 9. Um grupo é decomponível se tem uma estrutura igual ao produto direto dedois grupos próprios não triviais. Se isto não ocorre dizemos que tal grupo é indecomponível.

Teorema 10. Os grupos abelianos �nitos indecomponíveis são exatamente os grupos cíclicosem que a ordem é a potência de um número primo.

Demonstração.Seja e G um grupo abeliano �nito indecomponível. Então, pelo Teorema 8, G tem a

estrutura de um produto direto de grupos cíclicos em que a ordem é uma potência de umnúmero primo. Já que G é indecomponível, este produto direto consiste apenas de um grupocíclico em que a ordem é uma potência de um número primo.

Considere agora um número primo p qualquer. Então Zpr é indecomponível pois, se Zpr

fosse isomorfo a Zpi × Zpj , onde i + j = r, então todo elemento teria que possuir ordem nomáximo igual a pmax(i, j) < pr.



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Teorema 11. Se m divide a ordem de um grupo abeliano �nito G, então G possui umsubgrupo de ordem m.

Demonstração.Pelo Teorema 8, podemos escrever G da forma Z(p1)r1 × Z(p2)r2× . . .× Z(pn)rn , em que osprimos pi não são necessariamente distintos. Se (p1)

r1 · (p2)r2 · . . . · (pn)rn é a ordem de G,entãom deve ser da forma (p1)

s1 ·(p2)s2 ·. . .·(pn)sn , onde 0 ≤ si ≤ ri. Pelo Teorema 3, (pi)ri−si

gera um subgrupo cíclico de Z(pi)ri de ordem igual ao quociente de (pi)ri pelo mdc de (pi)

ri e(pi)

ri−si . Como mdc((pi)ri , (pi)ri−si) = (pi)

ri−si , então (pi)ri−si gera um subgrupo cíclico de

Z(pi)ri , de ordem(pi)

ri

(pi)ri−si= (pi)

si . Temos então que 〈(p1)r1−s1〉×〈(p2)r2−s2〉× . . .×〈(pn)rn−sn〉é o subgrupo de ordem m desejado.

Teorema 12. Se m não é divisivel por nenhum quadrado de algum número primo, entãotodo grupo abeliano de ordem m é cíclico.

Demonstração.Seja G um grupo abeliano de ordem m, tal que m não é divisível pelo quadrado de nenhumnúmero primo. Então pelo Teorema 8, G é isomorfo a Z(p1)r1 × Z(p2)r2× . . .× Z(pn)rn , ondem = (p1)

r1 · (p2)r2 · . . . · (pn)rn . Já que m é �livre de quadrados� , temos para todo índice ique ri = 1 e que todos pi são primos distintos. O corolário 7 mostra-nos que G é isomorfo aZp1p2, ...pn , então G é cíclico.

4 Teoremas de isomor�smo

O leitor atento certamente já observou a esta altura que utilizamos até aqui a expressão�ter a mesma estrutura de� como sinônimo de isomor�smo. Esta é uma noção central em ál-gebra, uma vez que duas estruturas algébricas isomorfas são indistinguíveis do ponto de vistada álgebra. De maneira informal, podemos dizer que um isomor�smo entre dois grupos éuma bijeção que preserva completamente a operação entre os elementos destes grupos. Des-creveremos abaixo os teoremas de isomor�smo mais comuns, retirados de (FRALEIGH-2000)mas também presentes em (LANG-1972).

Proposição 13. Seja G um grupo, N um subgrupo normal de G e G/N o grupo quocientede G por N . Então o homomor�smo canônico f : G → G/N é uma função sobrejetora talque:

a) f(x, y) = f(x)f(y), ∀x, y ∈ Gb) N = {x ∈ G; f(x) = e}, onde e é a identidade de G e e é a identidade de G/N .

Teorema 14. (Primeiro Teorema de Isomor�smo) Seja f : G → G′ um homomor�smo denúcleo K, e seja h : G → G/K o homomor�smo canônico. Existe um único isomor�smog : G/K → f(G) tal que f(x) = g(h(x)) para cada x ∈ G.



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Teorema 15. (Segundo Teorema de Isomor�smo) Seja H um subgrupo de G e seja N umsubgrupo normal de G. Então (HN)/N ∼= H/(H ∩N).

Teorema 16. (Terceiro Teorema de Isomor�smo) Seja H e K subgrupos normais de umgrupo G com K ≤ H. Então G/H ∼= (G/K)(H/K).

5 Classes de conjugação e Teoremas de Sylow

Quando a ordem de um grupo é grande o su�ciente para tornar cansativo e enfadonhoo trabalho de análise de seus subgrupos um a um, são necessárias técnicas mais avançadaspara proceder com tal análise. A melhor destas técnicas tem sido a coleção de resultadosconhecidos coletivamente por Teoremas de Sylow. Antes de introduzirmos os teoremas deSylow, veremos algumas preliminares que podem ser vistas também em (FRALEIGH-2000).

De�nição 17. Se G é um grupo, de�niremos uma relação em G como segue:

x, y ∈ G, x ∼ y ⇐⇒ ∃ g ∈ G tal que y = g−1xg (2)

Esta é uma relação de equivalência, pois:i) x ∼ x, ∀x ∈ G,pois, x = e−1xe, ∀x ∈ G.ii) se x ∼ y então y ∼ x. Basta observar que se x ∼ y existe g ∈ G tal que y = g−1xg. Assimse u = g−1temos x = u−1yu, ou seja y ∼ x.iii) se x ∼ y e y ∼ z então x ∼ z. De fato se y = g−1xg e z = h−1yh onde g, h ∈ G temosz = u−1xu, onde u = gh, portanto temos que x ∼ z.

De�nição 18. Se x ∼ y dizemos que x e y são elementos conjugados. Se denotarmosg−1xg = xg, são válidas as seguintes propriedades:

a) xe = x, ∀x ∈ Gb) y = xg ⇒ x = yg−1, ∀x ∈ Gc) (xg)h = x(gh), ∀x, y, g ∈ G

De�nição 19. Seja X um conjunto e G um grupo. Uma ação de G em X é a aplicação∗ : G×X → X tal que:

1. ex = e para todo x ∈ X.2. (g1g2)(x) = g1(g2x) para todo x ∈ X e todo g1, g2 ∈ G. Nestas condições, X é um

G-conjunto ou G− set.Sejam X um G-set, x ∈ X e g ∈ G. Quando gx = x de�nimos os conjuntos auxiliares



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Xg = {x ∈ X/gx = x} e Gx = {g ∈ G/gx = x}

notemos que se X é um G−set então para cada x ∈ G, Gx é um subgrupo de G chamadode subgrupo de isotropia de x.

De�nição 20. Seja X um G − set. Cada �célula� na partição da relação de equivalênciadescrita na de�nição 17 é chamada de órbita em X sobre G. Se x ∈ X, a célula contendo xé a órbita de x. Denotaremos esta célula por Gx.

Os teoremas a seguir têm suas demonstrações disponíveis em (FRALEIGH-2000).

Teorema 21. Seja X um G − set e x ∈ X. Então |Gx| = (G : Gx). Se |G|é �nita, então|Gx|é um divisor de |G|.

Teorema 22. Seja G um grupo de ordem pne seja X um G − set �nito. Então |X| ≡|XG| (mod p).

De�nição 23. A classe Cx = {y : x ∼ y} = {xg : g ∈ G} para a relação de�nida em 2 échamada de classe de conjugação em G, determinada pelo elemento x ∈ G.

Se G é um grupo �nito e existem n classes de conjugação em G, com representantesx1, x2, . . . , xn , então

G = Cx1 ∪ Cx2 ∪ . . . ∪ Cxn

de onde temos que |G| = |Cx1| + |Cx2 | + . . . + |Cxn | . Notemos que x ∈ Z(G), o centro dogrupo G, se e somente se Cx = {x} e a equação de classes torna-se

|G| = |Z(G)|+∑

xi /∈Z(G)

|Cxi|

Teorema 24. (Teorema de Cauchy) Seja p um primo divisor da ordem de um grupo �nitoG. Então ∃ a ∈ G tal que a ordem de a é igual a p.

Demonstração.Utilizaremos indução sobre a ordem de G. Se |G| = 1 o teorema é verdadeiro, pois, nãoexiste primo dividindo |G| = 1.



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Suponhamos que o teorema seja válido para todos os grupos L tais que 1 ≤ |L| ≤ |G|.Caso 1 G é um grupo cíclico.

Seja G = 〈x〉 e seja p um divisor primo de |G|. Neste caso sabemos que O (x) =pr ·m onde r ≥ 1 e a = xp

r−1·m é tal que ap = e, a 6= e como queríamos demonstrar.

Caso 2 G é um grupo abeliano não cíclico.Seja p um divisor primo de |G|e seja x ∈ G, x 6= e. Se p divide |〈x〉|então pelocaso anterior ∃ a ∈ 〈x〉 tal que O (a) = p e o terorema está provado para estecaso. Suponhamos entao que p não divide |N |onde N = 〈x〉. Pelo Teorema deLagrange temos que p divide a ordem do grupo quociente L = G/N (observe queN E G pois G é abeliano). Como |L| < |G| temos pela hipótese de indução que∃ g ∈ L tal que g 6= e e gp = e, ou seja, gp = e, ou ainda, g /∈ N, gp ∈ N . Agorase |N | = ntemos então que (gp)n = gpn e, portanto, p divide |〈g〉| e novamentepelo caso 1 ∃ a ∈ 〈g〉 tal que O (a) = p e o teorema está provado para mais estecaso.

Caso 3 G é um grupo não abeliano. Assim Z = Z(G) 6= G. Se p divide |N |segueque ∃xi /∈ Z(G) tal que p não divide [G : CG(xi)]. Portanto p divide |H| ondeH = CG(xi) 6= G. Como |H| < |G| pela hipótese de indução temos que ∃ a ∈ Htal que O (a) = p e o teorema está provado.

O teorema a seguir, mais uma vez, tem uma prova bastante detalhada em (FRALEIGH-2000).

Teorema 25. SejaH um subgrupo de ordem prima de um grupo �nitoG. Então (N [H] : H) =(G : H) (mod p).

Finalmente, estamos agora em condições de apresentar os teoremas de Sylow, que são,como já dito anteriormente, as melhores ferramentas para se avaliar a estrutura de gruposde ordem alta. Os resultados são bem conhecidos e podem ser conferidos em (LANG-1972),(HERSTEIN-1975) ou ainda (FRALEIGH-2000).

Teorema 26. (Primeiro Teorema de Sylow) Seja G um grupo �nito de ordem |G| = mpn

com n ≥ 1e p não divide m. Então:

i) G contém um subgrupo de ordem pi para cada i onde 1 ≤ i ≤ nii) Todo subgrupo H de G de ordem pi é um sugrupo normal de m subgrupo de ordem

pi+1para 1 ≤ i ≤ n.

Demonstração.i) Sabemos que G contém um subgrupo de ordem p pelo Teorema de Cauchy. Utilizandoindução mostraremos a existência de um subgrupo de ordem pi para i < n, implicando naexistência de um subgrupo de ordem pi+1.



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Seja H um subgrupo de ordem pi. Se i < n, temos que p divide (G : H). Pelo Teorema25 temos que p divide (N [H] : H). Como H é um subgrupo normal de N [H] , podemosformar N [H] /H, notando que p divide |N [H] /H|. Pelo Teorema de Cauchy o grupo quo-ciente N [H] /H possui um subrupo K que é de ordem p. Se γ : N [H] → N [H] /H é oisomor�smo canônico, então γ−1 [K] = {x ∈ N [H] /γ (x) ∈ K} é um subgrupo de N [H]econsequentemente de G. Este subgrupo contém H e é de ordem pi+1.ii) Repetindo a construção do item anterior notemos que H < γ−1 [K] ≤ N [H] onde|γ−1 [K] = pi+1| . Como H é normal em N [H],

De�nição 27. Um Sylow p-subgrupo P de G é o máximo p-subrupo de G, isto é, ump-subgrupo que não está contido em nenhum p-subgrupo maior.

Seja G um grupor �nito em que |G| = mpncomo no Teorema 26 . O teorem nos mostraque os Sylow p-subgrupos de G são exatamente aqueles de ordem pn. Se P é um p-subgrupo,todo conjugado gPg−1de P também é um p-subgrupo.

Teorema 28. (Segunto Teorema de Sylow) Sejam P1e P2 Sylow p-subgrupos de um grupo�nito G. Então P1e P2 são grupos conjugados de G.

Demonstração.Seja Luma coleção de classes laterais de P1, e a ação de P2 em L dada por y(xP1) = (yx)P1

para y ∈ P2. Então Lé um P2-set. Pelo Teorema 22,∣∣L

P2

∣∣ ≡ |L| (mod p), e |L| = (G : P1)

não é divisível por p, logo∣∣L

P2

∣∣ 6= 0. Seja xP1 ∈ LP2. Então yxP1 = xP1 para todo

y ∈ P2, assim x−1yxP1 = P1 para todo y ∈ P2. Desta forma x−1yx ∈ P1 para todo y ∈ P2

e x−1P2x ≤ P1. Como |P1| = |P2| , temos que P1 = x−1P2x, portanto P1e P2são de fatosubgrupos conjugados.

Teorema 29. (Terceiro Teorema de Sylow) Se G é um grupo �inito e p divide |G|, então onúmero de Sylow p-subgrupos é congruente a 1 módulo p e divide |G|.

Demonstração.Seja P um Sylow p-subgrupo de G. Seja S o conjunto de todos os Sylow p-subgrupo e

a ação de P em S de�nida pela conjugação, tal que x ∈ P e T ∈ S implica em xTx−1.Pelo Teorema 22, |S| ≡ |SP | (mod p). Temos assim SP . Se T ∈ SP , então xTx−1 = T paratodo x ∈ P . Assim P ≤ N [T ] e T ≤ N [T ]. Como P e T são Sylow p-subgrupos de G, sãotambém p-subgrupos de N [T ]. Mas então eles são conjugados em N [T ] pelo Teorema 28. Jáque T é um subgrupo normal de N [T ], este é o único conjugado em N [T ]. Logo T = P .Então SP = {P}. Como |S| ≡ |SP | = 1(mod p), temos que o número de Sylow p-subgruposé congruente a 1 modulo p.Agora consideremos a ação de G sobre S pela conjugação. Sabendo que todo Sylow p-subgrupos são conjugados, há somente uma órbita em S sobre G. Se P ∈ S, então |S| =(G : GP ) pelo Teorema 21. (GP é de fato, o normalizador de P). Mas (G : GP ) é um divisorde|G| , logo o número de Sylow p-subgrupos divide |G|.



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nº2 - 2010



Referências

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