Area Interdepartamental de Matematica

Escola Superior de Tecnologia de Tomar

PROBABILIDADES

E

ESTATISTICA

COLECTANEA

DE

EXERCICIOS

Engenharias Quımica, Quımica Industrial e do Ambiente

Ano Lectivo 2003/2004

Os exercıcios nao resolvidos nas aulas praticas constituem elementos de trabalho comple-mentar que os alunos devem realizar e esclarecer junto da equipa docente, salvo indicacao emcontrario.

Nota: Os exercıcios assinalados com um asterisco (*) sairam em exames de anos lectivosanteriores.

AtendimentoLıgia Henriques Rodrigues Gab. 106 2ª feira: 18h00 - 19h30

4ª feira: 09h30 - 10h3016h00 - 17h30

Luıs Grilo Gab. 106 3ª feira: 15h00 - 18h004ª feira: 16h00 - 18h00

Capıtulo 1

Metodos Elementares da EstatısticaDescritiva

1.1 Nos 12 meses do ano de 1994, uma fabrica X produziu as seguintes unidades do produtoA:18 20 12 10 12 25 10 13 10 20 18 10

(a) Construa um quadro de distribuicoes de frequencias.

(b) Represente graficamente os resultados.

1.2 Recolheu-se aleatoriamente uma amostra de 200 pecas de uma maquina, que foramposteriormente distribuıdas por 10 depositos, consoante os respectivos comprimentos(em cm). Os valores obtidos encontram-se registados no quadro a seguir:

Deposito Classes de comprimento (cm) Numero de pecas1 55.5 - 58.5 22 58.5 - 61.5 73 61.5 - 64.5 224 64.5 - 67.5 135 67.5 - 70.5 446 70.5 - 73.5 367 73.5 - 76.5 328 76.5 - 79.5 139 79.5 - 82.5 2110 82.5 - 85.5 10

Pretende-se que represente o respectivo histograma e os polıgonos de frequencias abso-lutas e relativas (ordinarias e acumuladas).

1.3 A listagem refere-se aos montantes de 40 emprestimos pessoais de uma companhiafinanceira, em milhares de escudos.

1

900 1000 300 2000500 550 1100 1000450 950 300 20001900 600 1600 4501200 750 1500 7501250 1300 1000 850550 350 900 30001650 1400 500 3501200 700 650 15002500 850 1800 600

(a) Suponha que se deseja organizar os montantes dos emprestimos numa distribuicaode frequencia com um total de 7 intervalos de classe. Supondo intervalos de classe,com amplitudes iguais, qual seria a amplitude conveniente para os intervalos destadistribuicao?

(b) Construa a distribuicao de frequencias para os dados da tabela comecando a pri-meira classe no limite inferior de 300 mil escudos e usando a amplitude de 400 milescudos para os intervalos de classe.

(c) Construa o histograma para a distribuicao de frequencias.

(d) Construa o polıgono de frequencias e uma curva de frequencias para a distribuicao.

(e) Construa o polıgono de frequencias relativas.

1.4 Num inquerito as condicoes de vida da populacao de Faro (I.N.E.), averiguou-se qual onumero de indivıduos por famılia. De um total de 109 famılias obtiveram-se os seguintesresultados:

Numero de indivıduos por famılia 3 4 5 6 7 8 9 10 11Numero da famılias 37 32 23 8 4 2 2 0 1

(a) Construa um quadro de distribuicoes de frequencias absolutas e relativas, simplese acumuladas e os respectivos graficos.

(b) Indique o numero de famılias com menos de 5 indivıduos e a percentagem defamılias com 6 indivıduos no maximo.

1.5 De uma pauta onde estavam registados os resultados de um teste de Informatica,registaram-se as classificacoes seguintes, variando entre 8 e 14:

11 8 11 8 12 14 9 11 10 9 12 9 1112 10 9 8 11 8 9 8 10 10 9 10 139 10 9 10 8 10 13 12 13 14 11 14 1412 8 11 12 11 12 13 11 11 12 10

(a) Faca uma estatıstica dos dados obtidos, isto e, elabore uma tabela de frequenciaspara estes resultados.

(b) Qual a frequencia relativa dos alunos que tiveram 8 valores? E qual a percentagemdos mesmos?

2

(c) Quantos alunos reprovaram a disciplina?

(d) Quantos alunos tiveram nota superior a 12?

(e) Qual a frequencia relativa dos alunos com notas iguais ou inferiores a 10 valores?

(f) Qual a frequencia relativa dos alunos com notas superiores a 11 valores?

(g) Represente graficamente as frequencias absolutas simples e as frequencias absolutasacumuladas e os respectivos polıgonos de frequencias.

1.6 Determine a media, a mediana e a moda para cada um dos conjuntos de dados:

(a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 .

(b) 8 11 4 3 2 5 10 6 4 1 10 8 12 6 5 7 .

(c) 51, 6 48, 7 50, 3 49, 5 48, 9 .

(d) 7 4 10 9 15 12 7 9 7 .

1.7 Considere o exercıcio 1.4 e determine:

(a) O numero medio de indivıduos por famılia.

(b) A mediana e a moda da distribuicao.

(c) O desvio padrao.

1.8 Considere num dado momento, a distribuicao dos habitantes de um predio segundoclasses de idade:

Idade (anos) N.º de habitantes10 -15 315 - 20 720 - 25 1625 - 30 1230 - 35 935 - 40 540 - 45 245 - 50 1

(a) Determine a idade media dos habitantes do predio.

(b) Qual a idade do habitante do predio que tem tantas pessoas mais novas do que elequantas as mais velhas?

(c) Determine a moda.

(d) Entre que idades se situam os 25% dos habitantes mais velhos e os 25% mais novos?

(e) Esboce o diagrama de extremos e quartis.

(f) Calcule o desvio padrao.

(g) Estude a distribuicao quanto a simetria e ao achatamento.

(h) Esboce o histograma das frequencias absolutas e determine a percentagem de ha-bitantes com idades entre [x− sn−1, x + sn−1].

3

1.9 A tabela a seguir representa a distribuicao de 100 operarios de uma empresa, segundoo salario, dado em escudos:

Salario 400 - 450 450 -500 500 - 550 550 - 600 600 -650N.º de operarios 10 20 38 25 7

(a) Calcule o valor das medidas de tendencia central.

(b) Determine o valor do desvio padrao.

(c) Caracterize a assimetria e o achatamento da distribuicao.

(d) De entre as medidas de tendencia central qual a que se utiliza para:

i. dizer qual o salario mais frequente?ii. calcular, aproximadamente, a soma necessaria para efectuar o pagamento dos

trabalhadores?iii. ter uma hipotese em duas de que o salario de um operario considerado ao

acaso, nao ultrapasse esse valor?

1.10 No quadro que se segue estao classificados os pesos de 1000 cigarros, seleccionadosconsecutivamente a saıda de uma maquina.

Classes (gramas) N.º de cigarros1.04 - 1.06 171.06 - 1.08 151.08 - 1.10 271.10 - 1.12 471.12 - 1.14 631.14 - 1.16 851.16 - 1.18 1171.18 - 1.20 1291.20 - 1.22 1261.22 - 1.24 1121.24 - 1.26 881.26 - 1.28 691.28 - 1.30 421.30 - 1.32 311.32 - 1.34 161.34 - 1.36 16

(a) Construa o histograma e o polıgono de frequencias.

(b) Qual o peso medio dos cigarros produzidos?

(c) Caracterize a dispersao do processo produtivo.

(d) Caracterize a assimetria do processo produtivo.

(e) Caracterize o achatamento do processo produtivo.

1.11 Com os pesos de uma amostra de 500 cigarros ”SG Filtro”construıu-se a distribuicaode frequencias do quadro seguinte:

4

Peso (em mgrs) Numero de Cigarros760 - 780 4780 - 800 43800 - 820 118820 - 840 168840 - 860 117860 - 880 39880 - 900 11

(a) Calcule a media, a mediana e a moda.

(b) Esboce o histograma das frequencias relativas e o respectivo polıgono da distri-buicao.

(c) Calcule a percentagem de cigarros com peso inferior a 830 mgrs.

(d) Calcule a percentagem de cigarros com peso compreendido no intervalo [x− s′, x + s′].

(e) Caracterize o achatamento da distribuicao.

1.12 Usando a distribuicao de frequencias das alturas, da tabela abaixo, de 100 estudantesdo sexo masculino de uma universidade:

Alturas (cm) N.º de estudantes151 - 159 5159 - 167 18167 - 175 42175 - 183 27183 - 191 8

Determine:

(a) a media das alturas;

(b) a moda;

(c) a mediana;

(d) a amplitude interquartis;

(e) o desvio padrao;

(f) o desvio medio.

1.13 Os dados do quadro seguinte representam o tempo de execucao de projectos publicosde construcao civil (em semanas), num determinado paıs:

5

Tempo Projectos %0 - 15 9 8.65415 - 30 A 33.65430 - 45 20 19.23145 - 60 20 19.23160 - 75 7 6.73175 - 90 B 3.84690 - 105 5 C105 - 120 1 0.962120 - 135 1 0.962135 - 150 2 1.923

(a) Complete o quadro, identifique e caracterize a variavel em estudo.

(b) Caracterize a dispersao relativa dos tempos de execucao dos projectos.

(c) Determine a percentagem de projectos com tempos de execucao compreendidos nointervalo [x− s, x + s].

1.14 Foi feita uma experiencia para medir o tempo gasto por tecnicos laboratoriais naexecucao de uma determinada analise quımica. Os resultados foram:

Tempo (minutos) N.º de Operarios8 - 10 110 - 12 212 - 15 315 - 20 1920 - 30 6030 - 60 4060 - 120 5

(a) Analise a assimetria atraves do grau de assimetria e esboce o histograma da dis-tribuicao.

(b) Calcule a amplitude inter-quartis.

(c) Qual a percentagem de tecnicos laboratoriais com tempo gasto, na analise quımica,entre 25 e 100 minutos?

1.15 Uma companhia de seguros procedeu a um estudo, por amostragem, das indemnizacoespagas em consequencia de acidentes de trabalho. Uma amostra de 200 acidentes con-duziu aos seguintes resultados:

Indemnizacoes (contos) N.º de Acidentesmenos de 25 20

25 - 50 6050 - 75 4075 - 100 35100 - 125 25

mais de 125 20

6

(a) Caracterize a assimetria e o achatamento da distribuicao.

(b) Esboce o histograma da distribuicao e determine a percentagem de acidentes detrabalho com indemnizacoes superiores a 80 contos.

(c) Calcule o coeficiente de variacao.

1.16 Em conjunto com uma auditoria anual, uma firma de contabilidade publica anota otempo necessario para realizar a auditoria de 50 balancos.

Tempo de Auditoria (minutos) N.º de Balancos10 - 19 320 - 29 530 - 39 1040 - 49 1250 - 59 20

(a) Caracterize a dispersao da distribuicao.

(b) Determine a percentagem de balancos com um tempo de auditoria inferior a 35minutos.

(c) Calcule o terceiro quartil, o primeiro decil e o 90º ponto percentil.

1.17 Numa pequena empresa o salario medio dos homens e de 120 mil escudos com desviopadrao 45 mil escudos, e o das mulheres e em media 90 mil escudos, com desvio padrao36 mil escudos.Quais os salarios que apresentam maior dispersao relativa: os dos homens ou os dasmulheres?

1.18 (*) Os seguintes dados referem-se ao tempo gasto (em minutos) por 42 trabalhadoresentre a sua residencia e o local de trabalho no centro de Lisboa:

5 21 26 13 24 29 37 12 31 5 5018 33 14 23 22 17 32 7 17 42 1538 20 11 26 15 29 27 8 24 12 3925 28 14 47 19 22 28 9 18

(a) Construa um quadro de distribuicao de frequencias depois de definir a amplitudedas classes de modo que achar mais conveniente.

(b) Verifique se a distribuicao e simetrica.

1.19 (*) Na tabela A, encontram-se os dados resultantes da analise da albumina (em mgrs)feita em 30 homens normais com idade compreendida entre 20 e 29 anos. A tabela Bapresenta as 300 observacoes obtidas nos testes efectuados a ratinhos, sujeitos a umavacina com um certo tipo de anticorpos.

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Tabela A Tabela BAlbumina Numero Numero Frequencia

(mgrs) de homens de anticorpos Relativa (%)99.5 - 109.5 2 1 10.3109.5 - 119.5 6 2 14.7119.5 - 129.5 6 3 24.8129.5 - 139.5 7 4 19.7139.5 - 149.5 8 5 15.2149.5 - 159.5 1 6 ?

7 5.3

(a) Comente a seguinte afirmacao:”A distribuicao dos dados da tabela A e simetrica”.

(b) Construa o diagrama de extremos e quartis, relativo a tabela B. Interprete-o.

1.20 (*) Com o objectivo de conhecer a despesa media em contos, por mes, de um aluno doIPT que se encontra deslocado, recolheu-se uma amostra, ao longo de um ano lectivo,obtendo-se a seguinte distribuicao:

Despesa Media 25-45 45-65 65-85 85-105 105-125Numero de Alunos 40 60 70 30 10

(a) Entre que valores se situa a despesa media mensal de metade dos alunos que gastammais?

(b) Estude a assimetria atraves do coeficiente de Pearson.

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Capıtulo 2

Nocoes Basicas de Probabilidades

2.1 Qual o numero de permutacoes possıveis com as letras A, B, C e D?

2.2 Qual o numero de combinacoes para as mesmas letras, A, B, C e D, tomadas 3 a 3 ?

2.3 Qual o numero total de chaves diferentes que e possıvel formar num jogo de totobola?

2.4 Qual o numero de permutacoes das letras da palavra ”estatıstica”?

2.5 As pecas que saem de uma linha de producao sao marcadas defeituosas (D) ou naodefeituosas (N). As pecas vao sendo inspeccionadas e registadas, procedendo-se a umaparagem quando se obtenham duas pecas defeituosas consecutivas ou quando se tenhamregistado quatro pecas.Descreva o espaco de resultados desta experiencia.

2.6 Lanca-se 3 vezes uma moeda equilibrada:

(a) Defina o espaco amostral desta experiencia.

(b) Calcule a probabilidade de obter:

i. duas caras;ii. pelo menos uma cara.

2.7 Numa revista um economista afirmou que considerava a ”melhoria”da situacao finan-ceira tao provavel como a sua ”estagnacao”. No entanto encarava a ”melhoria”comoduas vezes mais provavel que a ”quebra”da actividade economica.

(a) Que espaco de resultados esta implıcito nestas observacoes?

(b) Qual a probabilidade associada a cada resultado deste espaco?

2.8 Tres atletas paticipam numa prova. A probabilidade de o atleta A ganhar e duas vezesmaior do que a do atleta B ganhar, e esta duas vezes maior que a do C ganhar. Qual aprobabilidade de cada um dos atletas ganhar a prova?

2.9 Mostre que, com P (A) = P (B) = 0.6, A nao pode ser mutuamente exclusivo com B.

2.10 Segundo certa empresa de estudos de mercado, a preferencia da populacao de certacidade pelas 3 marcas existentes (A, B e C) de um produto de grande consumo, e dadapelos seguintes valores (percentagens sobre o total da populacao):

9

Consumidores A B C A e B A e C B e C A, B e Cdas Marcas 51 62 40 28 21 24 10

Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nessa cidade, seja consumidorade:

(a) Das marcas A ou B;

(b) Somente de A e C;

(c) Somente C;

(d) De pelo menos uma das marcas;

(e) De nenhuma delas.

2.11 Suponha que A, B e C sao acontecimentos tais que:

� P (A) = P (B) = P (C)=14 ;

� P (A ∩ B)=P (C ∩ B) = 0;

� P (A ∩ C)=18 .

Calcule a probabilidade de que, pelo menos um dos acontecimentos ocorra.

2.12 Sejam A e B dois acontecimentos quaisquer, tais que:

P (A ∪ B) =78

; P (A ∩ B) =14

; P (A) =58

Calcule:

(a) P (A).

(b) P (B).

(c) P (A ∩ B).

2.13 Se P (A ∩B) = 0.6, qual o maior valor para P (A|B).

2.14 Sendo P (A) = 0.5 e P (A ∪ B) = 0.7, determine:

(a) P (B) sendo A e B independentes.

(b) P (B) sendo A e B mutuamente exclusivos.

(c) P (B) sendo P (A|B) = 0.5.

(d) P (B) sendo P (A|B) = 0.4.

2.15 Em certa escola 25% dos estudantes foram reprovados em matematica, 15% em quımicae 10% em matematica e quımica. Um estudante e seleccionado aleatoriamente:

(a) Se ele foi reprovado em quımica, qual a probabilidade de ter sido reprovado emmatematica?

(b) Se foi reprovado em matematica, qual a probabilidade de ter sido reprovado emquımica?

10

(c) Qual a probabilidade de ter sido reprovado em matematica ou em quımica?

2.16 Numa certa cidade 40% da populacao tem cabelos castanhos, 25% olhos castanhos e15% tem cabelos e olhos castanhos. Uma pessoa e seleccionada aleatoriamente:

(a) Se ela tem cabelos castanhos, qual a probabilidade de ter tambem olhos castanhos?

(b) Se ela tem olhos castanhos, qual a probabilidade de nao ter cabelos castanhos?

(c) Qual a probabilidade de nao ter nem olhos nem cabelos castanhos?

(d) Se ela nao tem olhos castanhos, qual a probabilidade de ter cabelos castanhos?

(e) Se ela nao tem cabelos castanhos, qual a probabilidade de nao ter olhos castanhos?

2.17 Numa fabrica trabalham 30 mulheres e 50 homens cuja distribuicao por classes e poridades e a seguinte:

Idades Homens Mulheresate 21 anos 5 3

de 21 ate 50 anos 30 18mais de 50 anos 15 9

(a) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser mulher?

(b) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser homem, sabendo-se quetem mais de 50 anos?

(c) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser homem ou ter mais de50 anos?

(d) Os acontecimentos ”a pessoa escolhida ao acaso e homem”e ”a pessoa escolhida aoacaso tem mais de 50 anos”sao independentes? Justifique a resposta.

2.18 As probabilidades de tres atiradores A, B e C acertarem no alvo sao iguais a 0.75, 0.80e 0.90, respectivamente. Determine a probabilidade de:

(a) Os tres atiradores acertarem simultaneamente.

(b) Pelo menos um dos atiradores acertar.

2.19 O Rui entrou na universidade e foi informado que ha 30% de possibilidade de vir areceber uma bolsa de estudo. No caso de receber a bolsa de estudo a probabilidadede se licenciar e 0.85, enquanto que no caso de nao obter bolsa a probabilidade de selicenciar e 0.45.

(a) Qual a probabilidade de que o Rui se licencie.

(b) Se daqui a uns anos encontrar o Rui ja licenciado, qual a probabilidade de quetenha recebido bolsa de estudo?

2.20 Dos candidatos a um emprego 30% sao mulheres e 70% sao homens; 60% das mulherese 40% tem estudos superiores.Determine a probabilidade de que um candidato seleccionado aleatoriamente:

(a) Seja uma mulher, sabendo que tem estudos superiores.

11

(b) Seja um homem e nao tenha estudos superiores.

2.21 Uma empresa produz um bem a partir de 3 processos de fabrico. Sabe-se que 20% daproducao tem por base o 1º processo, 30% o 2º e 50% o 3º.Com base em estudos anteriores, chegou-se a conclusao que, do total de bens produ-zidos pela empresa, 7.5% sao defeituosos, sendo a percentagem de defeituosos entre osproduzidos pelo 1º processo de 10% e pelo 2º tambem de 10%.

(a) Determinado produto foi produzido pelo 3º processo de fabrico. Qual a probabili-dade de ser defeituoso?

(b) Determinado produto esta defeituoso. Qual a probabilidade de ter sido produzidopelo 3º processo de fabrico?

2.22 Uma loja de brinquedos emprega tres mulheres para tentar fazer embrulhos durante aepoca de Natal. Raquel embrulha 30% dos presentes e esquece-se de tirar o preco 3%das vezes; Helena embrulha 20% dos presentes e esquece-se de tirar o preco 8% dasvezes; Joana embrulha os restantes presentes e esquece-se de tirar o preco 5% das vezes.

(a) Qual a probabilidade de um presente comprado nessa loja ainda ter preco?

(b) Suponha que tinha ido a essa loja, verificando em casa que o seu presente aindatinha preco. Calcule a probabilidade de ter sido embrulhado pela Joana.

2.23 Parte dos acidentes escolares devem-se a acidentes laboratoriais; 25% dos estudantesnao leem as instrucoes que acompanham os produtos que manipulam, e entre os queas leem ainda ha 10% dos acidentes devido a falta de precaucao na utilizacao dessesprodutos.Qual a probabilidade de que um estudante que nao le as instrucoes venha a ter umacidente, se e de 0.7, a probabilidade de que um acidentado nao tenha lido as instrucoes?

2.24 Uma empresa de construcao civil produz telhas para o mercado nacional e internacional,sendo ambos os mercados equiprovaveis. Sabendo que 10% das telhas lancadas nomercado nacional apresentam deficiencias e que a proporcao e de 3.3% no mercadoexterno. Determine:

(a) A percentagem de telhas defeituosas na producao total da empresa.

(b) Sabendo que encontrou uma telha sem defeitos, qual a probabilidade de ter sidoproduzida para o mercado nacional?

2.25 Um fornecedor tem grande parte do seu stock constituıdo por martelos pneumaticos domesmo tipo provenientes de tres fabricas A, B e C. 60% dos parelhos sao produzidos nafabrica A e os restantes em B e C na proporcao de 3 : 1. Sabe-se que, respectivamente,20%, 10% e 5% dos martelos provenientes de A, B e C tem defeitos.

(a) Determine a percentagem de aparelhos do stock que tem defeitos.

(b) Sabendo que foi encontrado um martelo pneumatico com defeito, indique qual afabrica que, com maior probabilidade, lhe tera dado origem?

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2.26 (*) Admite-se que, num determinado paıs, 1% da populacao tem tuberculose e, aindaque, para uma pessoa que tenha de facto, contraido a doenca, uma microrradiografiatem um resultado positivo (isto e, detecta a tuberculose) em 95% dos casos e para umapessoa nao tuberculosa, esta percentagem e de apenas 0.5%.Pretende-se saber qual a probablidade de uma pessoa a quem uma microrradiografiatenha dado resultado positivo estar tuberculosa.

2.27 (*) Imagine que acorda a meio da noite com uma forte dor de cabeca.No armario dos medicamentos ha apenas dois tipos de comprimidos : A e B, em 4tubos, sendo 1 de A e 3 de B. Qualquer deles faz passar a dor de cabeca, mas tomandoA em 90% dos casos fica agoniado enquanto que tomando B, em apenas 10% dos casosse fica agoniado.Cheio de sono, por ter acordado a meio da noite, agarra um dos tubos ao acaso, e demanha quando acorda sente-se bastante agoniado.Qual dos dois tipos de comprimidos e mais provavel ter tomado?

2.28 (*) Sejam A e B dois acontecimentos associados a uma experiencia aleatoria.Seja P (A) = 0.4, P (A ∪ B) = 0.7 e P (B) = p.

(a) Para que valor de p poderao A e B ser contecimentos mutuamente exclusivos?

(b) Para que valor de p poderao A e B ser contecimentos independentes?

2.29 (*) Tem-se dois cofres A e B, iguais e ambos fechados. No cofre A ha 4 moedas de ouroe 2 de prata. No cofre B ha 5 moedas de ouro e 5 de prata.O Joao esta de olhos fechados, escolhe um cofre e tira uma moeda que e de ouro.Qual a probabilidade do Joao ter tirado a moeda do cofre B.

2.30 (*) Dois programadores de informatica (P1 e P2) produziram, respectivamente, 50% e40% do total de programas adquiridos pelo IPT. Alguns dos programas vem com bugs,tendo-se apurado que, dos programas com defeitos 60% sao produzidos por P1 e 30%por P2. Sabe-se que a percentagem de software com defeitos dos outros programadorese de 5%.

(a) Qual e a percentagem de programas sem defeitos obtidos pelo IPT?

(b) Sabendo que foi encontrado um determinado software com bugs, qual e a probabi-lidade de ter sido elaborado por P1?

2.31 (*) Num estudo de mercado efectuado a utilizadores da Internet, verificou-se que 80%das ligacoes a rede (NET) sao asseguradas pelo fornecedor A, enquanto as restantessao efectuadas por B. O resultado mais preocupante do estudo foi constatar que 25%dos utilizadores se queixam de dificuldades de ligacao e de excessiva lentidao das comu-nicacoes, contribuındo o maior fornecedor com 24% dos utilizadores insatisfeitos.

(a) Qual a percentagem de utilizadores, do menor fornecedor de acessos, que se queixa?

(b) Se um dado utilizador esta insatisfeito, qual a probabilidade de ser cliente dofornecedor A?

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2.32 (*) O Instituto Portugues da Qualidade e o organismo responsavel pela certificacao daqualidade dos produtos. Existem ao dispor 2 conjuntos de testes associados as normasISO9000 e ISO9002 (a primeira norma confere ao produto o certificado de qualidadee a segunda o certificado de excelencia). De entre os produtos submetidos aos testes,sabe-se que 60% sao analisados pela norma ISO9000. A probabilidade de um produtoser certificado, sabendo que foi submetido aos testes das normas ISO9000 e ISO9002e de 0.8 e 0.95, respectivamente.

(a) Determine a probabilidade de um produto nao ser certificado.

(b) Se o produto foi certificado, qual a probabilidade de ter sido submetido aos testesda norma ISO9000.

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Capıtulo 3

Variaveis Aleatorias

3.1 Sendo a funcao de probabilidade de X indicada por:

X 0 1 2 3f(x) 1

1015 K 1

10

(a) Indique o valor de K.

(b) Deduza a funcao de distribuicao de X.

(c) Determine a de forma a ter P(X ≤ a) ≥ 0.5.

(d) Calcule P(X = 3|X ≥ 1).

3.2 A variavel discreta X apresenta a funcao de distribuicao a seguir tabelada.

F (x) =

0 , x < 10.1 , 1 ≤ x < 20.4 , 2 ≤ x < 30.9 , 3 ≤ x < 41 , x ≥ 4

(a) Calcule P(X ≤ 2) e P(X > 1).

(b) Deduza f(x) e represente graficamente as duas funcoes.

3.3 Verifique se as funcoes indicadas podem ser funcoes de probabilidade de alguma variavelaleatoria.

(a) f(x) =15, para x = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

(b) f(x) =x + 114

, para x = 1, 2, 3, 4.

3.4 Uma confeitaria estabeleceu um registo de vendas para um certo tipo de bolo. Determineo numero esperado de bolos encomendados.

N. de bolos/dia 0 1 2 3 4 5 6 7 8Probabilidade 0.02 0.07 0.12 0.20 0.20 0.18 0.10 0.10 0.01

3.5 Seja X a variavel aleatoria com a seguinte funcao de probabilidade:

15

X 2 3 4 5 6 7 8f(x) 0.10 0.35 0.20 0.10 0.10 0.08 0.07

(a) Calcule o valor medio, a moda e a mediana.

(b) Qual o valor da variancia e do desvio padrao.

(c) Verifique se a distribuicao e simetrica.

3.6 A funcao de probabilidade da variavel aleatoria que designa o numero de pecas defeitu-osas numa amostra e definida por,

f(x) =

0.512 , x = 00.384 , x = 10.096 , x = 20.008 , x = 30 , outros valores de x

(a) Represente-a graficamente.

(b) Calcule:

i. P(X ≥ 1);ii. P(X < 2);iii. P(1 < X ≤ 4).

3.7 Seja Y a variavel aleatoria com funcao de probabilidade:

f(y) =

y2 + 1k

, y = −2,−1, 0, 1, 2

0 , outros valores de y

(a) Determine k de forma a que f(y) seja uma funcao de probabilidade.

(b) Faca a representacao grafica de f(y).

3.8 Considere a seguinte funcao de probabilidade:

f(x) =

x2

14, x = 1, 2, 3

0 , outros valores de x

(a) Mostre que a funcao de probabilidade satisfaz as propriedades de qualquer funcaode probabilidade e represente-a graficamente.

(b) Deduza a funcao de distribuicao e represente-a graficamente.

(c) Calcule P(X = 1|X ≤ 2).

(d) Determine E(X) e V (X).

3.9 Determine E(X) e V (X) das distribuicoes dos exercıcios 3.1, 3.2 e 3.6.

3.10 Relativamente a distribuicao da variavel X, sabe-se que: E(X)=6 e E(X2)=62. Sendo

Y uma outra variavel aleatoria dada por Y =12X + 3, determine:

16

(a) E(Y ).

(b) V (Y ) e σY .

3.11 Considere a v.a. X, contınua, com funcao densidade de probabilidade (f.d.p.) dada por:

f(x) =

12x , 0 < x < 2

0 , outros valores de x

(a) Faca a sua representacao grafica e mostre que se trata de uma f.d.p..

(b) Calcule P(X ≤ 1), P(14 < X ≤ 1

2) e P(X > 32).

(c) Calcule P(X < 1|12 < X < 2).

3.12 A v.a. X e caracterizada pela seguinte funcao densidade de probabilidade:

f(x) =

x2 , −1 < x ≤ 0x , 0 < x ≤ 1112

, 1 < x < 3

0 , outros valores de x

(a) Verifique que se trata de uma funcao densidade de probabilidade.

(b) Calcule P(12 < X < 2).

(c) Deduza a funcao de distribuicao.

3.13 Uma variavel aleatoria contınua tem a seguinte funcao densidade de probabilidade:

f(x) =

0 , x < 0k , 0 ≤ x < 1k(2− x) , 1 ≤ x < 20 , x ≥ 2

(a) Calcule:

i. k.ii. P(X < 1.5).iii. E(X) e V (X).

(b) Obtenha a funcao de distribuicao.

3.14 A quantidade de pao que uma padaria vende diariamente (em kilogramas) e uma variavelaleatoria com distribuicao de probabilidade dada pela seguinte funcao densidade:

f(y) =

ky , 0 ≤ x ≤ 50k(100− y) , 50 ≤ y ≤ 1000 , c. c.

(a) Calcule o valor de k.

(b) Determine a quantidade media de pao vendida diariamente.

(c) Qual a probabilidade de um certo dia a venda de pao ser superior a 80 kg?

17

3.15 Uma v.a. X tem a seguinte funcao densidade de probabilidade:

f(x) =

x− 1 , 1 ≤ x < 23− x , 2 ≤ x < 30 , outros valores de x

(a) Obtenha a funcao de distribuicao.

(b) Calcule o valor medio e o desvio padrao.

(c) Calcule P(2 ≤ X ≤ 2.2).

3.16 As vendas semanais do produto A (em toneladas) comportam-se de forma aleatoria deacordo com a seguinte f.d.p.:

f(y) =

{0.04y + 0.13 , 1 ≤ y ≤ 50 , outros valores de y

(a) Calcule E(Y ) e V (Y ).

(b) Calcule a mediana das vendas mensais.

(c) Para o produto A o lucro obtido em cada semana e uma variavel aleatoria definidapor: X = 200Y − 60. Calcule E(X) e V (X).

3.17 O tempo de espera entre chamadas (em minutos) numa central telefonica, pode serconsiderado como uma variavel aleatoria e e caracterizado pela seguinte f.d.p.,

f(x) =

{(k − 2)e−x , x ≥ 00 , x < 0

(a) Determine o valor de k.

(b) Qual a probabilidade de que o tempo de espera entre duas chamadas, seja inferiora 3 minutos?

(c) Determine o tempo medio de espera e o tempo de espera mais frequente entre duaschamadas.

(d) Obtenha a funcao de distribuicao da v.a. X.

(e) Calcule a probabilidade P (4 ≤ X < 6|X > 2).

3.18 Um estudo estatıstico do numero de doentes que chegam por hora ao banco de urgenciade um hospital revela que, em media chegam 9, e que o desvio padrao e igual a 3.Quantas macas devera haver, no mınimo, para que seja no mınimo de 0.95 a probabili-dade de um doente chegar ao hospital ter maca?(Suponha que a distribuicao do numero de doentes que chegam ao hospital e simetrica).

3.19 O tempo de espera, em minutos, no aeroporto de Lisboa ate ao embarque e uma variavelaleatoria com distribuicao simetrica com valor esperado 60 minutos e variancia 100minutos2.Comente a afirmacao dada pelo funcionario: ”So 10% dos passageiros esperam mais de90 minutos pelo embarque”.

18

3.20 (*) O diametro de um cabo (em polegadas) supoe-se ser uma variavel aleatoria contınuaX, com funcao densidade de probabilidade,

f(x) =

{2kx(1− x) , 0 ≤ x ≤ 10 , x < 0 ∨ x > 1

(a) Determine o valor de k.

(b) Obtenha a funcao de distribuicao de X.

(c) Qual a probabilidade de o diametro de um cabo ser superior a 0.80 polegadas?

(d) Calcule P(X ≤ 12 |13 ≤ X ≤ 2

3).

3.21 (*) A percentagem de alcool em determinado composto pode ser considerada umavariavel aleatoria X, com a seguinte f.d.p.:

f(x) =

{20x3(1− x) , 0 < x < 10 , c. c.

(a) Determine a funcao de distribuicao de X.

(b) Calcule E(X), V (X) e σX .

3.22 (*) A funcao densidade de probabilidade da variavel aleatoria X tem a seguinte ex-pressao:

f(x) =

x3 + x , 0 ≤ x ≤ 13x2 + 2x− 39

4 , 1 < x ≤ 20 , c. c.

(a) Calcule o valor esperado e a variancia de X.

(b) Calcule as probabilidades:

i. P(X < −1).ii. P(X < 3).

3.23 (*) Seja X uma variavel aleatoria com a seguinte funcao densidade de probabilidade:

f(x) =

{x

k−1 , 2 ≤ x ≤ 40 , c. c.

Determine:

(a) k.

(b) V (X).

(c) A correspondente funcao de distribuicao.

3.24 (*) Uma estacao de gasolina enche os reservatorios no princıpio de cada semana. Su-pondo o volume semanal X de vendas (em milhares de litros) de gasolina, uma variavelaleatoria contınua com a seguinte f.d.p.:

f(x) =

{k(40− x) , 0 ≤ x ≤ 400 , c. c.

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(a) Determine o valor de k.

(b) Determine a media e a variancia da variavel aleatoria Y = 2− 3X.

(c) Calcule a probabilidade de o volume de vendas numa semana ser superior a 30 (millitros) de gasolina.

3.25 (*) Admita que o numero de licenciados, em Engenharia Quımica Industrial, procuradosdiariamente pelas empresas e uma variavel aleatoria, distribuıda do seguinte modo:

X 0 1 2 3 4f(x) 0.1 k 0.3 k

4 0.1

(a) Deduza a funcao de distribuicao e calcule a de modo que P(0 < X ≤ a)=0.8.

(b) Determine o valor esperado do numero de licenciados procurados diariamente.

(c) Calcule E(3X2 + 1).

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Capıtulo 4

Distribuicoes Teoricas

4.1 Uma empresa comercializa garrafas de vinho do Porto de 1 litro. Supoe-se no entantoque 40% dessas garrafas contem realmente menor quantidade do que o volume indicadono rotulo. Tendo adquirido 6 garrafas, qual a probabilidade de:

(a) Duas delas conterem menos de 1 litro?

(b) No maximo 2 conterem menos de 1 litro?

(c) Pelo menos 2 conterem menos de 1 litro?

(d) Todas conterem menos de um litro?

(e) Todas conterem o volume indicado no rotulo?

4.2 Qual a probabilidade de, em 10 lancamentos de um dado perfeito:

(a) Se obterem 5 faces par?

(b) Se obterem 5 faces superiores a 4?

4.3 Admite-se ser 0.4 a probabilidade de que um cliente que entra num supermercado Mrealize despesa superior a 1.000$00.

(a) Qual a probabilidade de, em 3 clientes:

i. nenhum realizar despesa superior a 1.000$00?ii. no mınimo 2 gastarem mais de 1.000$00?

(b) Qual a probabilidade de, em 15 clientes:

i. nenhum realizar despesa superior a 1.000$00?ii. no mınimo 2 gastarem mais de 1.000$00?

4.4 Um estudante tem 3 exames. A probabilidade de ficar bem em cada um e de 12 . Calcule

a probabilidade de ficar bem:

(a) Em pelo menos 1 exame.

(b) Em exactamente 1 exame.

4.5 Se for estimada em 0.3 a probabilidade de uma pessoa contactada realizar uma compra,calcule a probabilidade de um vendedor que visite num dia 16 pessoas:

21

(a) Realizar 5 vendas.(b) Realizar entre 4 e 8 vendas.(c) Realizar quando muito 2 vendas.(d) Realizar no maximo 10 vendas.(e) Realizar pelo menos 12 vendas.(f) Realizar no mınimo 3 vendas.(g) Se o vendedor visitar 16 pessoas diariamente, qual o numero medio diario de ven-

das?

4.6 Um estudo encomendado pela empresa M permitiu apurar que aproximadamente 60%dos seus trabalhadores mantinham uma atitude cooperativa face a empresa, 30% umaatitude hostil e 10% uma atitude nao definida. Qual a probabilidade de num grupo de12 trabalhadores:

(a) Pelo menos 6 adoptarem uma atitude hostil face a empresa?(b) No maximo 2 terem uma atitude bem definida?(c) Qual o numero esperado de trabalhadores com atitude hostil?

4.7 Suponha que X tem distribuicao binomial e que p=0.2 e E(X)=1. Calcule n e V (X).

4.8 Suponha que X tem distribuicao binomial, com parametros n e p. Sabendo que E(X)=5e V (X)=4, determine n e p.

4.9 O numero de chamadas que chegam num perıodo de 5 minutos a central telefonica deuma empresa, e uma v.a. com distribuicao Poisson, de parametro λ=10. Calcule aprobabilidade, de num perıodo de 5 minutos:

(a) Chegarem exactamente 8 chamadas.(b) Chegarem menos de 5 chamadas.(c) Chegarem, no mınimo, 3 chamadas.(d) Chegarem pelo menos 20 chamadas.(e) Nao chegar nenhuma.(f) Calcule a probabilidade de num perıodo de 2 minutos chegarem exactamente 3

chamadas.

4.10 Numa fabrica o numero de acidentes por semana segue uma lei de Poisson, de parametroigual a 2. Calcule a probabilidade de que:

(a) Numa semana haja menos de um acidente.(b) Se verifiquem 4 acidentes.

4.11 Um retalhista vende um produto cuja procura se tem comportado segundo uma distri-buicao Poisson de parametro 5. Nos ultimos 300 dias seguiu uma polıtica de adquirir8 artigos por dia, tendo verificado que em 21 desses dias, o seu stock nao chegou parasatisfazer as encomendas.Quantos produtos (no mınimo) devera ele passar a adquirir por dia se quiser fazer bai-xar para 0.03 a probabilidade da ruptura de stock?Nota: Os produtos nao vendidos no propio dia sao inutilizados.

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4.12 Admite-se que 5% da producao de certa fabrica seja defeituosa. Numa encomenda de100 unidades, qual a probabilidade de se encontrarem:

(a) 2 defeituosas.(b) no maximo 2 defeituosas.

4.13 Se a probabilidade de um carro furar um pneu durante a passagem pela ponte sobreo Tejo for de 0.0004, qual a probabilidade de que em 10000 carros haja menos de 3 asofrer tal precalco?

4.14 A procura diaria para certo tipo de artigo na loja A segue uma distribuicao Poisson.Sabendo que que a procura a media diaria e de 3 produtos e que o stock diario e mantidoem 6 unidades, calcule:

(a) A probabilidade de num dia serem procurados pelo menos 2 produtos.(b) A probabilidade de se registar uma ruptura de stock.(c) O numero esperado de clientes que ficam por satisfazer.(d) O novo stock diario a assegurar de maneira que a probabilidade de ruptura seja no

maximo de 0.004.(e) Em media quantos produtos sao vendidos por dia, na hipotese:

i. de a loja poder satisfazer todo e qualquer pedido.ii. estar limitada ao stock diario de 6 unidades.

(f) Qual a probabilidade de numa semana (6 dias) se terem verificado no maximo 3dias com vendas inferiores a 2 produtos.

(g) Durante o ano, qual o numero esperado de dias com procura superior a 2 produtos(admitir que o ano tem 365 dias uteis).

4.15 Uma pessoa tem no bolso 5 chaves do mesmo tipo, mas so uma abre a porta. Considereo seguinte metodo:

Experimentar uma chave apos a outra, sem as repor no bolso apos cada tentativa.

Seja X a variavel aleatoria que corresponde ao numero de chaves experimentadas (in-cluındo a que abre a porta).

(a) Determine a lei de probabilidade da variavel X.(b) Qual o numero medio de chaves experimentadas pelo metodo considerado?

4.16 Uma caixa tem doze ampolas, das quais quatro estao estragadas. Dela extrai-se umaamostra de tres ampolas, sem reposicao. Determine a funcao de probabilidade e a funcaode distribuicao da v.a. que representa o numero de ampolas estragadas.

4.17 De uma lista de 80 candidatos a um emprego sabe-se que apenas 20 tem menos de25 anos. Se escolher 10 candidatos de uma forma aleatoria e sem reposicao, qual aprobabilidade de 5 terem menos de 25 anos?

4.18 Uma remessa de 20 barras de aco e aceite pelo comprador se, numa amostra de 5barras, tiradas ao acaso e sem reposicao, nao houver mais do que uma defeituosa. Quala probabilidade de ser aceite um lote contendo 4 barras defeituosas?

23

4.19 Um determinado armazem de produtos alimentares possui em stock 4500 latas de con-serva, entre as quais existem 225 cujo prazo de validade termina brevemente. Umsupermercado esta interessado em comprar as 4500 latas. No entanto a gerencia do su-permercado decidiu nao efectuar a compra se numa amostra de 30 latas, recolhidas aoacaso e sem reposicao, forem encontradas pelo menos 3 cujo prazo de validade terminebrevemente.Qual a probabilidade de a compra nao se efectuar?

4.20 Sabendo que a duracao (em minutos) de uma conversa telefonica e uma v.a. T comfuncao densidade,

f(t) =

{ke−

t3 , t > 0

0 , t ≤ 0

(a) Calcule:

i. k.ii. A probabilidade de uma conversa durar mais de 3 minutos.iii. A probabilidade de uma conversa durar mais de 3 minutos mas menos de 5.iv. A probabilidade de uma conversa durar mais de 3 minutos dado que a conversa

ja dura a 2 minutos.v. A duracao media de uma conversa deste tipo.

(b) Obtenha a funcao de distribuicao.

4.21 A variavel T representa o tempo de funcionamento sem avarias, expresso em dias, deum determinado equipamento. A f.d.p. da v.a. T e definida pela expressao seguinte:

f(t) =

{0.5e−0.5t , t > 00 , t ≤ 0

(a) Calcule a probabilidade de o equipamento funcionar sem avarias durante um perıodocompreendido entre 1 e 3 dias.

(b) Determine o valor esperado e a variancia da variavel T .

4.22 Um departamento de reparacao de maquinas recebe, em media, 5 chamadas por hora.Qual a probabilidade de que a primeira chamada chegue dentro de meia hora?

4.23 Em media, atraca um navio em certo porto a cada dois dias. Qual a probabilidade deque, a partir da partida de um navio, se passem 4 dias antes da chegada do proximonavio?

4.24 Suponha que T, tempo (em horas) de trabalho sem falhas de um dispositivo, segue umalei exponencial com λ = 0,03.

(a) Determine a probabilidade de o dispositivo trabalhar sem falhas nas primeiras 100horas de funcionamento.

(b) Sabendo que o dispositivo nao falhou nas primeiras 100 horas, qual a probabilidadede nao falhar nas 200 horas seguintes?

(c) Que distribuicao segue o numero de falhas por unidade de tempo?

24

4.25 Seja X ∼ N (µ, σ2) e Z =X − µ

σ.

(a) Mostre que: E(Z)=0 e V(Z)=1.

(b) Calcule as seguintes probabilidades: P (µ−σ < X < µ+σ), P (µ−2σ < X < µ+2σ)e P (µ− 3σ < X < µ + 3σ).

4.26 A v.a. X segue uma distribuicao Normal de parametros µ=20 e σ2=9.

(a) Determine as seguintes probabilidades:

i. P(X ≤ 23).ii. P(X ≤ 40).iii. P(X > 21).iv. P(X > 17).v. P(21.5 < X < 25).vi. P(16.2 < X < 18.8).vii. P(17 < X < 29.3).

(b) Determine os valores da variavel X tais que:

i. P(X ≤ a)= 0.9332.ii. P(X ≤ b)= 0.1788.iii. P(X ≥ a)= 0.9989.iv. P(X > b)= 0.0062.

4.27 O tempo requerido para executar certa tarefa e uma v.a. com distribuicao Normal commedia 72 minutos e desvio padrao 12 minutos.

(a) Calcule a probabilidade de que:

i. A tarefa leve mais de 93 minutos.ii. Nao leve mais de 95 minutos.iii. Leve entre 63 e 78 minutos.

(b) Determine os valores de a e b tais que:

i. P(X > a)=0.2546.ii. P(X < b)=0.0054.

4.28 Sabe-se que a v.a. X tem distribuicao Normal com parametros µ=3 e σ=2. Calcule:

(a) P(X < 4) ; P(X < 5) ; P(X > 15).

(b) P(X < 1); P(X < −1); P(X > 2); P(X > 3).

(c) P(4 < X < 5); P(−1 ≤ X ≤ 2); P(2 < X < 5).

4.29 O tempo (em minutos) que um operario leva a executa certa tarefa e uma v.a. comdistribuicao Normal. Sabe-se que a probabilidade de o operario demorar mais de 13minutos e de 0.0668 e a de demorar menos de 8 minutos e de 0.1587.

(a) Calcule o tempo medio requerido para executar a tarefa e o respectivo desviopadrao.

25

(b) Calcule a probabilidade de o operario demorar entre 9 e 12 minutos a executa-la.

4.30 Calcule a media e o desvio padrao da variavel X ∼ N (µ, σ2), sabendo que:P(X ≥ 3)=0.8413 e P(X ≥ 9)=0.0228.

4.31 O conteudo de certo tipo de garrafas e aleatorio e com distribuicao Normal de media1 e desvio padrao 0.020. Se 3 garrafas forem despejadas para um recipiente, qual aprobabilidade de este ficar com um volume de lıquido superior a 3.1 litros?

4.32 As pontuacoes obtidas com um teste psicotecnico distribuem-se de uma forma apro-ximadamente Normal, sendo a pontuacao media de 50p. e o desvio padrao de 10p..Qual a probabilidade de, em 20 pessoas submetidas a esse teste, se registarem 5 compontuacoes inferiores a 41.6 pontos?

4.33 A distribuicao dos rendimentos familiares de certo bairro de 5000 famılias (em u.m.) esatisfatoriamente representada por uma lei Normal com parametros 180u.m. e 25u.m..

(a) Qual o numero esperado de famılias nesse bairro auferindo entre 175u.m. e 188u.m.?

(b) Qual a percentagem de famılias que ganham menos de 163u.m?

(c) Qual o rendimento maximo auferido pelo grupo das 500 famılas de menores pro-veitos?

4.34 Uma empresa comercializa garrafas de vinho do Porto de 1 litro. Supoe-se no entantoque 40% dessas garrafas contem realmente menor quantidade do que o volume indicadono rotulo. Em 100 garrafas existentes na loja, qual a probabilidade de:

(a) Haver 30 com menos de 1 litro?

(b) Haver nao mais de 30 com menos de 1 litro?

(c) Haver mais de 45 com menos de litro?

(d) Haver entre 44 e 50 com menos de 1 litro?

4.35 O numero de chamadas que chegam num perıodo de 5 minutos a central telefonica deuma empresa e uma v.a. com distribuicao Poisson de parametro 10.Calcule a probabilidade de:

(a) Em 12 hora, chegarem:

i. 65 chamadas.ii. Pelo menos 70 chamadas.

(b) Num dia (8 horas) chegarem:

i. Menos de 900 chamadas.ii. Entre 900 e 1000 (inclusive) chamadas.

4.36 O numero de avarias que uma maquina tem por dia e aleatorio e segue uma distribuicaode Poisson de media 0.2. Qual a probabilidade de num ano (365 dias), se registarem:

(a) 76 avarias.

(b) Entre 70 e 75 avarias.

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(c) Mais de 77 avarias.

(d) No maximo 70.

Nota: Considere que a maquina funciona nos 365 dias do ano.

4.37 (*) Admite-se que a distribuicao das notas dos alunos, numa escala de 0 - 20, numexame de estatıstica, e normal com valor medio 11 e desvio padrao 3.

(a) Determine a percentagem de alunos que ficaram aprovados no exame (nota superiorou igual a 10 valores).

(b) Num grupo de 8 estudantes, calcule a probabilidade de terem reprovado no examenao mais de metade dos estudantes.

(c) Num total de 100 estudantes inscritos na disciplina de estatıstica, calcule a proba-bilidade de pelo menos metade ter passado no exame.

4.38 (*) Somente um em cada mil tubos de ensaio de uma fabrica apresenta defeitos. Ostubos de ensaio defeituosos distribuem-se aleatoriamente ao longo da producao.

(a) Qual a probabilidade de que um carregamento de 500 tubos de ensaio nao incluanenhum tubo defeituoso?

(b) Qual a probabilidade de que um carregamento de 100 tubos contenha no mınimoum tubo defeituoso?

4.39 (*) O ajustamento de uma distribuicao normal a medida do pe de populacoes numero-sas tem tradicionalmente dado bons resultados. Dados relativos ao passado permitemconcluir que 74.86% dos sapatos vendidos sao de medida inferior ou igual a 37 e 9.18%sao de medida superior ou igual a 38.

(a) Calcule o tamanho medio dos sapatos e o respectivo desvio padrao.

(b) Se um comerciante decidir renovar o seu stock com um lote de 500 sapatos, quantosem media deve encomendar de medida inferior ou igual a 35?

Observacao: Se nao resolveu a alınea anterior faca µ = 36 e σ = 1.5.

4.40 (*) Suponha que uma v.a. X segue uma distribuicao binomial cujo valor medio e m, ecuja variancia e inferior a este em 4 decimas. Determine, em funcao de m, os valoresde n e p.

4.41 (*) Se a probabilidade de um indivıduo sofrer uma reaccao nociva resultante da injeccaode um determinado soro e 0.001, determine a probabilidade de, entre 2000 indivıduos:

(a) Exactamente 3 sofrerem aquela reaccao.

(b) Mais do que 2 sofrerem aquela reaccao.

4.42 (*) Uma fabrica de camisas pretende fabricar camisas para homens cujo pescoco temum perımetro que e uma v.a. normal de media 39 cm e variancia 1,21 cm2. Diga se temsentido fabricar mais camisas com colarinho entre 37 cm e 38 cm do que camisas comcolarinho entre 39 cm e 40 cm.

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4.43 (*) A altura dos cidadaos adultos de um determinado paıs segue uma distribuicao normalcom media igual a 1.70 m e com desvio padrao igual a 0.05 m.

(a) Qual a probabilidade de a altura de um cidadao ser de 1.80 m?

(b) Qual a probabilidade de a altura de um cidadao ultrapassar 1.80 m?

(c) Sabe-se que um determinado cidadao tem uma altura superior a 1.75 m. Qual aprobabilidade de ter uma altura superior a 1.80 m?

4.44 (*) A empresa ”@Web”fornece acessos a Internet. O numero de acessos realizados pelosclientes segue uma distribuicao de Poisson, verificando-se, em media, um acesso de tresem tres minutos.

(a) Qual a probabilidade de em 5 minutos nao ocorrer qualquer acesso?

(b) Quando o numero de acessos, num perıodo de 5 horas, excede os 120, habitu-almente comecam a surgir telefonemas sobre dificuldades de ligacao. Calcule aprobabilidade de tal situacao se verificar.

4.45 (*) Dos finalistas de um curso de Engenharia, apenas 20% conseguem estagios remune-rados. Considere que este ano 30 alunos sao finalistas:

(a) Qual a distribuicao que considera razoavel admitir para representar o numero definalistas que conseguem estagios remunerados? Usando essa distribuicao, calculea probabilidade de 6 finalistas obterem estagios.

(b) Determine, a probabilidade de pelo menos 27 finalistas realizarem estagio remune-rado.Considere agora uma amostra de 70 finalistas:

(c) Determine a probabilidade de pelo menos 30% desses estudantes obterem estagiosremunerados.

4.46 (*) Num departamento de uma Universidade do nosso paıs, o numero de candidatos aum lugar tecnico auxiliar de laboratorio segue uma distribuicao normal, com media 125e sabe-se que a P(X ≤ 135) = 0.6915.

(a) Determine o valor do desvio padrao.

(b) No ultimo concurso os candidatos tiveram que prestar provas escritas e sabe-se que70% dos candidatos erraram pelo menos tres perguntas. Para uma amostra de 50pessoas qual e a probabilidade de que no mınimo 40 pessoas errem, cada uma, tresou mais perguntas?

28

Capıtulo 5

Distribuicoes por Amostragem

5.1 Consultando a tabela da distribuicao t de Student, determine:

(a) t(10;0.99) e t(10;0.01);

(b) t(18;0.025);

(c) O numero real a tal que P(−a < t < a)=0.99 para 23 g.l..

5.2 Consultando a tabela da distribuicao χ2, determine:

(a) χ2(9;0.99);

(b) χ2(15;0.975);

(c) χ2(18;0.01);

(d) χ2(28;0.9);

(e) Os numeros reais positivos a e b tais que P(a < χ2 < b)=0.9 para 19 g.l. e tais queP(χ2 < a)= P(χ2 > b).

5.3 Consultando a tabela da distribuicao F de Snedecor e usando as suas propiedades,determine:

(a) O valor de F(5,10;0.995) e F(5,10;0.005);,

(b) O valor de F(7,5;0.975) e F(7,5;0.025);

(c) O valor da probabilidade p, sabendo que, F(9,15;p)=2.09 e o valor de F(9,15;1−p).

5.4 Uma amostra de dimensao n = 100 e seleccionada de uma populacao cujo valor medioe µ = 50 e o desvio padrao e σ = 10.

(a) Determine o valor medio e o desvio padrao de X.

(b) Qual a distribuicao de probabilidade aproximada de X.

(c) Calcule P(X > 52) e P(47.5 < X < 52.5).

5.5 Em determinada cidade, os resultados de um exame oficial acusaram media 72 e desviopadrao 8. Qual a percentagem de amostras de dimensao 100 onde se encontra umamedia amostral inferior a 70?

29

5.6 Com base numa populacao normal, qual devera ser a dimensao da amostra para queseja de pelo menos 0.95 a probabilidade de que a media amostral nao se afaste da mediada populacao mais do que 0.5σ?

5.7 O conteudo (em litros) de garrafas de azeite Azeitoninha segue uma distribuicao Normalde media µ = 0.99 e desvio padrao σ = 0.02.

(a) Seleccionaram-se aleatoriamente 16 garrafas deste azeite para inspeccao. Qual aprobabilidade de o conteudo medio das garrafas ser superior a 1 litro?

(b) Considerando uma amostra de 100 garrafas:

i. Calcule a probabilidade do conteudo medio ser inferior a 9.85dl.ii. Determine a e b tais que P(a ≤ X ≤ b)=0.95.

5.8 Em 1000 amostras de 200 criancas cada, considerando que os dois sexos sao equi-provaveis, em quantas se esperaria encontrar:

(a) Menos de 40% do sexo masculino?

(b) Entre 40% e 60% do sexo feminino?

5.9 Admita que a vida de certo farmaco segue uma distribuicao normal com vida mediade 2000 dias e desvio padrao σ = 60 dias. Num lote de 10 medicamentos, qual aprobabilidade de que o desvio padrao amostral nao exceda os 50 dias?

5.10 Admitindo que o peso do conteudo de embalagens de acucar tem distribuicao Nor-mal com σ2 = 1, seleccionou-se uma amostra aleatoria de 10 embalagens e pesou-seo conteudo de cada embalagem. Determine b1 e b2, tal que P(b1 ≤ S′2 ≤ b2)=0.9 eP(S′2 ≤ b1)=P(S′2 ≥ b2).

5.11 As vendas diarias de dois estabelecimentos sao aleatorias. As vendas diarias de Apossuem valor medio µA = 1400 contos e desvio padrao σA = 200 contos, enquanto quepara B tem-se µB = 1200 contos e σB = 100 contos.Nestas condicoes, qual a probabilidade de, em dois meses de actividade (60 dias), amedia diaria de vendas no estabelecimento A ser superior a media diaria de vendas noestabelecimento B, em pelo menos 150 contos?

5.12 Os resultados de uma eleicao acusam 65% de votos a favor de determinado candidato.Determine a probabilidade de duas amostras aleatorias independentes, cada uma com200 eleitores, acusarem, em modulo, uma diferenca superior a 10% nas proporcoes dosvotos a favor do candidato?

30

Capıtulo 6

Estimacao

6.1 Considere um modelo normal e a estatıstica T definida da seguinte forma:

T =X1 + 2X2

2

para amostras aleatorias de dimensao n = 2.

(a) Determine a distribuicao amostral de T e os respectivos parametros.

(b) T e um estimador centrado para µ?

(c) Obtenha uma estimativa para T com base na amostra (7,8; 6,7).

6.2 Para o parametro θ de certa populacao, foram indicados dois estimadores: θ1 e θ2. Qualo estimador que escolheria, sabendo que:

E(θ1) =n + 1

nθ V (θ1) =

k

n

E(θ2) =n + 1

nθ V (θ2) =

k

n + 3

, onde k e uma constante.

6.3 Considere uma amostra aleatoria de dimensao n proveniente de uma populacao, X,normal com media µ e variancia σ2.Prove que X e um estimador nao enviesado e consistente de µ.

6.4 Considere uma amostra aleatoria de dimensao n proveniente de uma populacao, X,normal com media µ e variancia σ2:

(a) Mostre que a variancia amostral corrigida, S′2 =∑n

i=1(Xi −X)2

n− 1, e um estimador

nao enviesado da variancia populacional σ2.

(b) Tendo em conta a relacao existente entre a variancia amostral, S2 =∑n

i=1(Xi −X)2

n,

e a variancia amostral corrigida, S′2, o que podera dizer sobre a propriedade denao enviesamento de S2

(c) Calcule as estimativas fornecidas por cada estimador com base na seguinte amostra:(32; 27; 32; 28; 31; 37; 25; 26; 30).

31

6.5 O peso de componentes electronicas produzidas por determinada empresa e uma v.a.que se supoe ter distribuicao normal. Pretendendo-se estudar a variabilidade do pesodas referidas componentes, recolheu-se uma amostra de 60 elementos e, obtiveram-se osseguintes valores, em gramas:

60∑

i=1

xi = 6528gr ;60∑

i=1

x2i = 1003296gr2

(a) Apresente uma estimativa para a media do peso das componentes.

(b) Apresente uma estimativa para a variancia do peso das componentes.

(c) Construa um intervalo de confianca para a media do peso com um grau de confiancade 95%.

6.6 Sabe-se que o tempo de vida util de um componente electronico tem desvio padraoσ = 500 horas, mas o tempo medio de vida util e desconhecido. Supoe-se que o tempo devida util dos componentes electronicos tem uma distribuicao aproximadamente normal.Numa amostra de n = 15, o tempo medio de vida util e x = 8900 horas. Pretende-se queconstrua intervalos de confianca para a media da populacao com um grau de confiancade:

(a) 95%.

(b) 90%.

6.7 Certo equipamento de empacotamento automatico encontra-se regulado para encherembalagens de um quilo de certo produto e o seu deficiente funcionamento originaprejuızo para a empresa. Aceita-se, da experiencia passada, que o peso das embalagensse comporta normalmente com uma dispersao dada por σ = 12gr. Para verificar aafinacao do equipamento, seleccionaram-se em certo perıodo nove embalagens cujospesos exactos foram anotados (em gramas):

983 992 1011 976 997 1000 1004 983 998

(a) Construa intervalos de confianca para a media, com os seguintes graus de confianca:90%, 95% e 99%.

(b) Suponha que, em vez de uma amostra de nove embalagens , tinha sido obtido umaoutra de 100 embalagens que, apos os necessarios calculos tinha fornecido um pesomedio x = 994gr. Construa um novo intervalo de confianca, a 95%, com base nestasegunda amostra. Que ilacao retira do aumento do tamanho da amostra

(c) Qual devera ser o tamanho da amostra a recolher, de tal forma que a amplitudedo intervalo, a 95%, seja 2?

6.8 O tempo de resolucao de determinado tipo de teste e uma variavel que segue umadistribuicao normal, com σ = 14 minutos. Uma amostra de 12 alunos aleatoriamenteescolhidos resolveram o teste no tempo medio de 148.3 minutos.

(a) Determine o intervalo de confianca a 99% para µ.

(b) Caso pudesse aumentar a dimensao da amostra, o que esperaria obter em termosde amplitude do novo intervalo comparativamente com o anterior.

32

(c) Qual devera ser o novo n para que o erro da estimativa nao ultrapasse os 5 minutos,com um grau de confianca de 99%.

(d) Supondo que σ e desconhecido e que o desvio padrao da amostra e igual a 12minutos, determine o intervalo de confianca a 90% para µ.

6.9 (a) Determine o intervalo de confianca a 90% para o valor medio de uma distribuicaonormal com desvio padrao 3, a partir da amostra: 3.3; -0.3 ; -0.6 ; -0.9.

(b) Calcule o intervalo de confianca a 90% para o valor medio admitindo que o desviopadrao da populacao e desconhecido.

6.10 Uma amostra de 144 observacoes possui media igual a 160 e variancia igual a 100.

(a) Determine o intervalo de confianca para a media da populacao com um grau designificancia de 5%.

(b) Se pretendermos que este intervalo tenha semi-amplitude de 1.2, quantas ob-servacoes sera necessario efectuar, supondo que a variancia populacional e iguala variancia amostral?

6.11 Num exame de Electronica foram avaliados 31 alunos. Considerando estes alunos comouma amostra representativa da populacao dos alunos matriculados na disciplina e tendoem conta que, para essa amostra , se obtiveram os seguintes resultados:

31∑

i=1

xi = 299 ;31∑

i=1

(xi − x)2 = 120

Determine um intervalo de confianca, com α = 10%, para a variancia dos resultados emElectronica dos alunos matriculados na disciplina.

6.12 Uma grande cidade dos E.U.A. pretende construir um complexo desportivo . Antes detomar a decisao foi feito um estudo no ambito do qual 400 pessoas foram entrevistadas.Destas, 310 indicaram poder vir a utilizar o complexo regularmente.Encontre um intervalo de confianca a 95% para a proporcao de pessoas que podera sercliente habitual do complexo.

6.13 Num estudo de mercado, quantas pessoas devem ser inquiridas de modo a, com 95%de confianca, se cometer um erro inferior a 3% (para mais ou menos) na estimacao daproporcao de potenciais clientes do novo servico de televisao por cabo? E se pretenderuma estimativa a menos de 1%.

5entre dois detergentes para a loica: A e B (sendo o detergente B

5com o projecto;

6.14 (*) Admita que a concentracao de um certo produto quımico segue uma distribuicaonormal. Uma amostra desta variavel aleatoria conduziu aos seguintes resultados:

12∑

i=1

xi = 27.4 e12∑

i=1

x2i = 66.86

33

(a) Construa, a 99%, um intervalo de confianca da concentracao, para:

i. O valor esperado;ii. O desvio padrao;

(b) Suponha, agora, que X ∼ N(2.3, 0.92). Em 100 amostras de 12 observacoes cada,em quantas se esperaria encontrar a media superior a 2?

6.15 (*) Com o objectivo de conhecer a despesa media, µ, por mes, de um aluno do IPT,que se encontra deslocado, recolheu-se uma amostra, em 1999, de 70 alunos e a mediaaritmetica obtida foi de 76 contos.

(a) Sabendo que70∑

i=1

(xi − x)2 = 4480, determine o intervalo de confianca a 99% para

o parametro µ.

(b) Admitindo, agora, que σ = 7.5 contos e continuando a considerar o mesmo coefi-ciente de confianca, calcule qual a dimensao da amostra utilizada para a obtencaodo intervalo [74.8, 77.2].

(c) Relacione as amplitudes dos intervalos das alıneas anteriores, com as dimensoesdas amostras utilizadas.

34

Capıtulo 7

Testes de Hipoteses

7.1 Um gestor de producao observou uma certa caracterıstica X que segue uma distribuicaoN(µ, 22). Para estabelecer uma inferencia sobre µ fez 5 observacoes:

108 109 107.4 109.6 112

(a) Teste ao nıvel de significancia α = 5% a hipotese: H0 : µ = 109 versus H1 : µ 6= 109.

(b) Explique, sucintamente, a relacao entre α, β e n (respectivamente, erros de 1ª e2ª especie e dimensao da amostra).

(c) Calcule o p-valor associado a este teste.

7.2 Num exame de Estatıstica foram avaliados 31 alunos. Considerando estes como amostrarepresentativa da populacao dos alunos matriculados na cadeira de estatıstica e tendoem conta que, para essa amostra, se obtiveram os seguintes resultados:

31∑

i=1

xi = 299 ;31∑

i=1

(xi − x)2 = 120

(a) Com base num ensaio de hipoteses, com α = 0.05, comente a afirmacao:”A media dos resultados nao difere significativamente de 10.”

(b) Calcule o p-valor para este teste.

(c) Se a media dos resultados de todos os alunos matriculados na cadeira for na reali-dade de 11, qual a probabilidade de estar a tomar a decisao incorrecta?

7.3 O departamento de Controlo de Qualidade de uma firma produtora de conservas dealimentos, especifica que o peso lıquido medio por embalagem de certo produto deve serde 500 gramas.Experiencia passada indica que os pesos sao normalmente distribuıdos com desvio-padrao σ = 15 gramas.Se numa amostra de 20 embalagens for encontrado um peso lıquido medio de 495 gr.,constitui isso prova suficiente de que o verdadeiro peso medio e inferior ao estabelecido?(α = 5%).

7.4 Um trabalhador leva em media 7 minutos (=420 segundos) para executar certa tarefa.Um tecnico sugere uma maneira ligeiramente diferente de execucao e decide recolher

35

uma amostra para se certificar se ha realmente algum ganho de tempo.Os dados recolhidos sao os seguintes:

16∑

i=1

xi = 6528seg. ;16∑

i=1

x2i = 2673296seg2.

Pressupondo que se esta perante uma populacao normal e para o nıvel de significanciade 10%, comente a sugestao do tecnico.

7.5 Suponha que, de entre todos os alunos que frequentam um dos cursos de Engenharia doIPT foram seleccionados, ao acaso, 6 alunos e registadas as suas idades:

27 29 26 26 23 25

Admitindo que a variavel em estudo tem distribuicao normal, responda as questoesseguintes:

(a) Com base num teste de hipoteses com α = 5%, comente a afirmacao:”A media das idades nao difere significativamente de 24 anos.”

(b) Calcule o p-valor associado a este teste.

(c) Teste para um nıvel de confianca de 99% a hipotese H0 : σ = 1 versus H1 : σ > 1.

(d) Calcule o p-valor para este teste.

7.6 Admita que o trafego de informacao gerido diariamente por uma empresa de telecomu-nicacoes tem distribuicao N(µ, σ2). Para avaliar o trafego medio diario observou-se aquantidade de informacao processada em 26 dias, tendo-se constatado um volume detrafego total de 260 unidades de informacao nos 26 dias, com um desvio padrao corrigidode 2.5. Teste para α = 5% a hipotese H0 : σ = 7 versus H1 : σ 6= 7.

7.7 No fabrico dce certo tipo de pecas admite-se uma variabilidade maxima nos respectivosdiametros traduzida por σ = 0.5 milimetros.Perante uma amostra de 20 pecas em que se calculou s′2 = 0.3, e de concluir que oprocesso de fabrico esta fora de controle? (isto e, que a especificacao nao esta sendorespeitada). Use α = 1%.Pressupoe-se que os diametros das pecas obedecem a uma lei normal.

7.8 Uma estacao de radio de uma vila pretende efectuar, no mesmo dia em que se realizamas Eleicoes Europeias, uma previsao da votacao num dos candidatos. As intencoes devoto serao recolhidas ”a boca da urna”, ou seja, imediatamente apos os eleitores teremvotado. A radio tem divulgado que o candidato devera ter 50% dos votos.

(a) Dos 100 inquiridos, 45 revelaram ter votado no referido candidato. Teste, para umnıvel de significancia de 5%, as expectativas da radio.

(b) Considerando que o verdadeiro valor e de 40%, calcule a probabilidade de estar aaceitar indevidamente H0.

(c) Calcule o p-valor associado a este teste.

36

7.9 O departamento de Recursos Humanos de uma grande empresa portuguesa, afirma queo numero de empregados que trabalha com uma taxa de alcoolemia superior ao permi-tido e de, apenas, 6%. Feito o teste a 100 indivıduos, este revelou-se positivo em 9.Poder-se-a concluir-se que a afirmacao do departamento de R.H. esta correcta? (consi-dere α = 1%)

7.10 Numa amostra de 100 homens de certa cidade, 38 afirmaram preferir as laminas ”Dural”.Teste a hipotese de a percentagem de homens que prefere a referida marca ser de 40%contra a alternativa de ser inferior. Utilize α = 10%.

37

Capıtulo 8

Introducao a Regressao LinearSimples

8.1 Considere os 5 pontos observados, dados na tabela:

x -2 -1 0 1 2y 0 0 1 1 3

(a) Represente graficamente os dados.

(b) Use o metodo dos mınimos quadrados para ajustar uma recta aos pontos observadose represente-a graficamente.

(c) Apresente uma estimativa da variancia do erro.

8.2 Use os valores dados abaixo para estimar as equacoes de regressao:

(a)n∑

i=1

xi=200 ;n∑

i=1

yi=300 ;n∑

i=1

xiyi=6200 ;n∑

i=1

x2i =3600 ; n=20.

(b)n∑

i=1

xi=700 ;n∑

i=1

yi=-250 ;n∑

i=1

xiyi=-1400 ;n∑

i=1

x2i =21000 ; n=30.

(c)n∑

i=1

xi=33 ;n∑

i=1

yi=207 ;n∑

i=1

xiyi=525 ;n∑

i=1

x2i =750 ; n=40.

8.3 A altura de sabao numa bacia e importante para os fabricantes de sabao. Foi efectuadauma experiencia fazendo variar a quantidade de sabao e medindo a altura da espumanuma bacia standard, depois de uma certa agitacao da agua. Os resultados obtidosforam:

gramas de sabao x 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0altura de espuma y 33 42 45 51 53 61 62

(a) Admitindo que o modelo Y = β0 + β1x + ε e satisfatorio, determine a melhorequacao da recta ajustada.

(b) Calcule s2.

38

(c) Pretende-se saber qual a altura da espuma de sabao quando a quantidade de sabaoe igual a 6,3 gramas.

(d) Construa um intervalo de confianca a 95% para o parametro β1.

(e) Teste a significancia do modelo (α = 5%).

8.4 Os dados da tabela abaixo dao a distribuicao no mercado de um produto e os gastoscom anuncios de televisao:

Mes Distribuicao no mercado Gastos com anuncios na TV(trimestre) y (%) x (milhares de contos)

Janeiro 15 230Marco 17 250Maio 13 210Julho 14 240

Setembro 16 260

(a) Determine a equacao da recta de mınimos quadrados que da a relacao entre adistribuicao no mercado e os gastos publicitarios na TV.

(b) Construa o quadro ANOVA.

(c) Estime a variancia do erro.

(d) Qual a distribuicao no mercado quando forem despendidos em publicidade 250 milcontos? E se forem dispendidos 230 mil contos?

8.5 A seguinte tabela fornece os dados de uma amostra referente ao numero de horas deestudo fora da sala de aula para um curso de estatıstica com duracao de 3 semanas,bem como as classificacoes obtidas no final do curso.

Estudante 1 2 3 4 5 6 7 8Horas de estudo x 20 16 34 23 27 32 18 22

Calssificacao no exame y 64 61 84 70 88 92 72 77

(a) Calcule a equacao de regressao e interprete as estimativas de β0 e β1.

(b) Utilize a equacao de regessao para estimar a classificacao obtida por um estudanteque dedicou 30 horas de estudo fora da sala de aula.

(c) Construa o quadro ANOVA e calcule s2.

(d) Teste a adequabilidade do modelo (α = 1%).

8.6 Como resultado do aumento de centros comerciais suburbanos, muitos armazens do cen-tro da cidade estao a sofrer financeiramente. Um departamento de um destes armazensacha que o aumento de publicidade poderia ajudar a atrair mais compradores. Paraestudar o efeito da publicidade nas vendas obtiveram-se registos para meses de meadosdo ano durante os quais o armazem diversificou os gastos na publicidade. Esses registosencontram-se na tabela:

39

Despesas Publicitarias x Vendas y(milhares de escudos) (milhares de escudos)

9 3011 348 3212 377 31

(a) Estime o coeficiente de correlacao entre as vendas e os gastos publicitarios.

(b) Determine a equacao de regressao linear para estes dados.

(c) Calcule o coeficiente de determinacao. Interprete o seu significado.

(d) Teste a hipotese: H0 : β1 = 0 versus H1 : β1 6= 0 (α = 5%)

8.7 Seja Y uma variavel que representa o valor do frete rodoviario de determinada merca-doria e x a variavel distancia (em km) ao destino da mercadoria. Uma amostra de 10observacoes das variaveis apresentou os seguintes resultados:

n=10 ;n∑

i=1

xi=1200 ;n∑

i=1

yi=6480,5 ;n∑

i=1

xiyi=842060 ;n∑

i=1

x2i =186400 ;

n∑

i=1

y2i =4713304,03.

(a) Determine a recta de regressao dos mınimos quadrados.

(b) Interprete os valores estimados para β0 e β1.

(c) Calcule o coeficiente de determinacao e interprete o seu significado.

(d) Teste, ao nıvel de significancia de 10%, se o modelo de regressao linear simples eadequado para descrever a relacao entre as variaveis x e Y .

(e) Construa um intervalo de confianca a 99% para β1.

(f) Teste, ao nıvel de significancia de 5%, a significancia do modelo.

8.8 Os seguintes dados referem-se a uma amostra de vendas versus area de mostruario, paralivros num supermercado:

Livros / Dia 40 25 30 32 17 38 44 27 30 30Area de Mostruario 7.0 4.0 4.4 5.0 3.2 6.0 8.0 4.2 4.8 3.4

(a) Calcule β0 e β1 para a recta de regressao de mınimos quadrados.

(b) Construa o quadro ANOVA.

(c) Apresente uma estimativa para a variancia do erro.

(d) Estime o coeficiente de correlacao entre as vendas e a area de mostruario.

(e) Calcule o coeficiente de correlacao.

8.9 Uma unidade industrial ao destilar ar lıquido ”produz”oxigenio, nitrogenio e argao.Pensa-se que a percentagem de impurezas encontradas esta relacionada linearmentecom as impurezas existentes na atmosfera. Com o fim de investigar essa relacao linearregistaram-se 15 medicoes da poluicao atmosferica, em partes por milhao (ppm). Osresultados encontram-se no quadro a seguir:

40

x Impureza (%) y Poluicao (ppm) x2 y2 xy

6.70 1.108.00 1.457.60 1.368.30 1.596.00 1.085.40 0.756.40 1.206.90 0.996.80 0.837.10 1.227.80 1.478.70 1.819.90 2.038.40 1.758.10 1.68

Soma 112.100 20.310 856.63 29.459 157.48

(a) Ajuste o modelo, Y = β0 + β1x + ε, as observacoes.

(b) Determine o valor do coeficiente de determinacao e interprete-o.

(c) Faca uma previsao para o nıvel de poluicao na atmosfera quando a percentagemde impurezas e de 7.5.

(d) Construa o quadro ANOVA.

8.10 (*) Os valores do lixo urbano (em dezenas de toneladas) e da populacao de uma cidade(em milhares) foram, no perıodo de 1994-2000, os seguintes:

Anos 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000Lixo Urbano 12.9 13.1 13.7 14.1 15.9 16.5 18.0Populacao 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.8 5.1

(a) Obtenha a equacao de regressao linear que se ajusta aos dados.

(b) Qual o nıvel de lixo esperado em 2001, para uma populacao de 5.2 mil habitantes?

(c) Analise a qualidade do ajustamento. Comente os resultados.

8.11 (*) Considere a lei de equilıbrio de fases para solucoes ideais (lei de Raoult):

PA = P 0AxA

em que PA e a pressao de vapor do componente A e xA a fraccao do componente A nolıquido em equilıbrio com o vapor. Considere os dados da seguinte tabela:

PA(kN/m2) 0 212 424 530 848 1166xA 0 2 4 5 8 11

(a) Utilizando o metodo dos mınimos quadrados, determine a pressao de vapor docomponente A puro, P 0

A em kN/m2. Interprete o resultado obtido.

41

(b) Estime PA quando a fraccao do componente A no lıquido em equilıbrio com o vapore 9.

(c) Calcule e interprete a correlacao linear entre as variaveis em estudo.

8.12 (*) Considere os dados observados das variaveis X e Y :

x -0.2 0.2 0.4 0.6 0.7 A

y B 1.4 1.56 1.74 1.96 2.04

(a) Calcule A e B sabendo que A > 0,6∑

i=1

x2i = 1.73 e

6∑

i=1

yi = 9.62.

Nota: Independentemente de ter calculado A e/ou B, considere nas alıneas seguin-tes A = 0.9 e B = 1.0.

(b) Esboce o diagrama de dispersao e retire ilacoes sobre a correlacao entre as variaveisX e Y .

(c) Calcule um intervalo de confianca a 90% para a diferenca de medias das variaveisaleatorias X e Y . Suponha que ambas as variaveis aleatorias seguem distribuicoesnormais.Nota: Caso julgue necessario use os seguintes valores para os calculos que tiver deefectuar.

6∑

i=1

xi = 2.66∑

i=1

yi = 9.76∑

i=1

xiyi = 4.9566∑

i=1

x2i = 1.9

6∑

i=1

y2i = 16.4244 y = 1.62 x = 0.433 s′x = 0.39 s′y = 0.37

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