resistência dos materiais ii
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULA 18 – Capítulo 7 – Cisalhamento Transversal
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Esforços Internos em Vigas
©2004 by Pearson Education 6-2
Esforços Internos - Convenção de Sinais
©2004 by Pearson Education 6-3
Relação Entre M, V e w
©2004 by Pearson Education 6-4
Relação Entre M, V e w
©2004 by Pearson Education 6-5
CISALHAMENTO TRANSVERSAL
O esforço cortante V é o resultado de uma distribuição de tensões cisalhantes atuando na seção transversal da viga –Figura 7.1
Princípio da Reciprocidade das Tensões Cisalhantes
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das Tensões Cisalhantes
Flexão Pura
Fibras longitudinais típicas
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Superfície Neutra
Linha Elástica
Plano Longitudinal de Simetria
Superfície Neutra
Flexão - Viga Deformada
Seções planas
A linha elástica forma um arco circular
Centro de Curvatura
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Seções planas permanecem planas (Bernoulli)
Linha Elástica
( )
( ) curvatura de raiox
x
y
=
−=
ρ
ρε x
Compressão
Equação Deformação- Deslocamento
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( )curvatura
1
curvatura de raiox
==
=
ρκ
ρ
Tração
Deformação e Curvatura
ρ decresce, curvatura e deformação crescem
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Distribuição de deformação
Compressão
Compressão(εx negativa)
Tração(εx positiva)
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Tração
Hipóteses relativas a tensão atuante1. Comportamento do Material: linearmente elástico2. Material é isotrópico3. Material segue a lei de Hooke4. As tensões transversais podem ser desprezadas em relação as
tensões de flexão (longitudinais).
Distribuição de tensão
Superfície
Compressão
Tração
M Positivo
Compressão
TraçãoM negativo
12ρσ
ρεεσ
y
y
E
E
x
xxx
−=
−==
Tensão de ãodistribuiç para Fórmulas
Superfície Neutra plano (xz)
Tração Compressão
Relação Momento Curvatura
Centróide da seção transversal
Compressão acima do EN
Eixo Neutro da
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seção transversal
Tração abaixo do EN
Eixo Neutro da seção transversal (eixo z’)
Superfície Neutra (plano xz)
( )
∫
∫
=
=
A
2z
A
2
dAyI
dAyρ
ExM
κEIρ
EIM z
z ==z
x I
Myσ −=
Relação Entre Esforço Cortante e Tensão Cisalhante
•O procedimento adotado nos capítulos anteriores para estabelecer relações entre os esforços internos e as respectivas tensões, parte de uma hipótese sobre a deformação.
•No caso do cisalhamento é difícil estabelecer uma hipótese
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•No caso do cisalhamento é difícil estabelecer uma hipótese para a deformação cisalhante.
•Assim sendo a relação entre a tensão cisalhante e o esforço cortante será obtida através de considerações de equilíbrio partindo das tensões normais oriundas da flexão.
•Lembrando � sempre que houver variação do momento fletor irá existir esforço cortante.
Cisalhamento Longitudinal
Distorção da Seção Transversal
Hipótese de Bernoulli é violada – Como a distorção da seção é em geral muito pequena, ela pode ser desprezada e a hipótese das seções planas permanece válida
Fórmula do Cisalhamento
Fórmula do Cisalhamento
0FFF0F edx =−−∴=←∑+
τ
σdσe
Fd
Fe Fazendo-se o equilíbrio das forças na direção x, temos:
Onde Fd e Fe são as forças resultantes das tensões de flexão atuando na área A´, e Fτ a força resultante das tensões de cisalhamento na seção de corte:
σdσe
FdFe
0FFFdAy
IM
F
dAyIM
F
dxtF;dAF;dAF
ed
´A
ee
´A
dd
Aee
´Add
=−−⇒
⋅=
⋅=
⋅⋅===
∫
∫
∫∫
τ
τ τσσ
das tensões de cisalhamento na seção de corte:
Fórmula do Cisalhamento
∫ =⋅⋅−−
=−−
A
ed
ed
0dxtdAyIMM
0FFF
τ
τ
σdσe
Fd
Fe Substituindo-se as expressões acima na equação de equilíbrio das forças na direção x, temos:
( )
∫
∫
=
−+=⋅⋅
A
A
dAydxdM
It1
dAyI
MdMMdxt
τ
τ
σdσe
FdFe
tIQV
⋅⋅=τ
Fórmula do Cisalhamento
σdσe
Fd
Fe Fórmula do Cisalhamento
tIQV
⋅⋅=τ
Onde:
σdσe
FdFe
Tensão de Cisalhamento em Vigas
Seção Retangular tI
QV⋅⋅=τ
−=
+
−=
−+⋅
−=⋅=
22
y4h
2b
Q
y2h
y2h
2b
Q
y2h
21
yy2h
byAQ
Tensão de Cisalhamento em Vigas
Seção Retangular tI
QV⋅⋅=τ
−=
⋅=
22
3
y4h
2b
Q
12hb
I
yhb
V 22
−⋅
b12hb
y4h
2b
V
3
2
⋅⋅
−⋅
=τ
−⋅
⋅= 2
2
3 y4h
hbV6τ
hb2V3
4h
hbV6 2
3máx ⋅⋅⋅=⋅
⋅=τ
Tensão de Cisalhamento em Vigas
Seção Retangular
−⋅
⋅= 2
2
3 y4h
hbV6τ
Distribuição de tensões variando com o quadrado da distância y (distribuição parabólica com a
hb2V3
4h
hbV6 2
3máx ⋅⋅⋅=⋅
⋅=τ
AV
23
máx =τ
(distribuição parabólica com a altura)
Tensão de Cisalhamento em Vigas
AV
23
máx =τ
Integrando-se a distribuição das tensões cisalhantes com a altura obtém-se
Tensão de Cisalhamento em Vigas
Seção I – Abas Largas
Limitações da Fórmula do Cisalhamento
Hipóteses:
• A tensão de cisalhamento se distribui uniformemente ao longo da espessura
A Teoria da Elasticidade mostra que para seçõesA Teoria da Elasticidade mostra que para seções
%303,1´
5,0hb
fórmula
máx ⇒=⇒=ττ
%4040,1´
2hb
fórmula
máx ⇒=⇒=ττ
Limitações da Fórmula do Cisalhamento
A tensão de cisalhamento não é bem representada na união aba-alma.
• transição brusca da aba para a alma
• superfície livre com tensão diferente de zero
Limitações da Fórmula do Cisalhamento
Exemplo 1
Exemplo 1
Momento de Inércia
Momento Estático do ponto P
Tensão cisalhante no ponto P
Exemplo 1
Máxima tensão cisalhante irá ocorrer onde a razão entre o momento estático Q´ e a espessura for máxima. Nesse caso como a espessura é constante, a máxima razão ocorre para o máximo momento estático(no eixo neutro)
tIQV
⋅⋅=τ
Tensão cisalhante máxima
Equivalente a:
Exemplo 2
Exemplo 2
Momento de Inércia
Momento Estático do ponto B´
Tensão cisalhante no ponto B´
Exemplo 2
Momento Estático do ponto B (QB=QB´)
Tensão cisalhante no ponto B
Momento Estático do ponto C
Tensão cisalhante no ponto C
Exemplo 2
Força cortante atuante na alma:
Tensão cisalhante atuante na alma:
Exemplo 2
Integrando-se a distribuição de tensões cisalhantes na alma temos:
Observa-se que a alma resiste a 91% do Observa-se que a alma resiste a 91% do esforço cortante total. O restante (9%) é resistido pelas duas abas.