remat - apontamentos (2008«-»2009)

Licenciatura em Engenharia Civil

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

Elementos de apoio Aulas Práticas

Bruno Costa Manuel Trigo Neves

Miguel Ladeira Paulo Guedes

Novembro 2008

LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL


Exercícios propostos – Índices

2/64

0. Revisões geometria de massas ............................................................................................................4

Problema 1 ..........................................................................................................................4 Problema 2 ..........................................................................................................................6

1. ESFORÇO AXIAL ......................................................................................................................................7 1.1. Noção de tensão e extensão ................................................................................................7 1.2. Lei de Hooke .............................................................................................................................7 1.3. Contracção lateral. Coeficiente de Poisson. ....................................................................8 1.4. Dimensionamento por tensões de segurança .................................................................8 1.5. Barras constituídas por dois materiais - Homog eneização .........................................8

Problema 1 ..........................................................................................................................10 Problema 2 ..........................................................................................................................10 Problema 3 ..........................................................................................................................11 Problema 4 ..........................................................................................................................11 Problema 5 ..........................................................................................................................11 Problema 6 ..........................................................................................................................12 Problema 7 ..........................................................................................................................12 Problema 8 ..........................................................................................................................13 Problema 9 ..........................................................................................................................13 Problema 10 .......................................................................................................................14 Problema 11 .......................................................................................................................14 Problema 12 .......................................................................................................................14 Problema 14 .......................................................................................................................15 Problema 15 .......................................................................................................................16 Problema 16 .......................................................................................................................16 Problema 17 .......................................................................................................................17

2. FLEXÃO PLANA ........................................................................................................................................18 Problema 1 ..........................................................................................................................18 Problema 2 ..........................................................................................................................19 Problema 3 ..........................................................................................................................20

3. TORÇÃO......................................................................................................................................................21 Problema 1 ..........................................................................................................................21 Problema 2 ..........................................................................................................................21

4. DEFORMAÇÃO DE VIGAS SUJEITAS A FLEXÃO PLANA ...............................................................22 4.1. Método da integração da elástica .......................................................................................22 4.2. Método da viga conjugada ou dos pesos elástico s .......................................................23

Problema 1 ..........................................................................................................................24 Problema 2 ..........................................................................................................................26 Problema 3 ..........................................................................................................................27 Problema 4 ..........................................................................................................................28 Problema 5 ..........................................................................................................................31 Problema 6 ..........................................................................................................................32 Problema 7 ..........................................................................................................................33

5. TEORIA DA ELASTICIDADE ...................................................................................................................34 Problema 1 ..........................................................................................................................34 Problema 2 ..........................................................................................................................34 Problema 3 ..........................................................................................................................34 Problema 4 ..........................................................................................................................34 Problema 5 ..........................................................................................................................37 Problema 6 ..........................................................................................................................37 Problema 7 ..........................................................................................................................37 Problema 8 ..........................................................................................................................38 Problema 9 ..........................................................................................................................39

6. FLEXÃO DESVIADA ..................................................................................................................................40



Exercícios propostos – Índices

3/64

Problema 1 ..........................................................................................................................40 Problema 2 ..........................................................................................................................41 Problema 3 ..........................................................................................................................43 Problema 4 ..........................................................................................................................43 Problema 5 ..........................................................................................................................43

7. FLEXÃO COMPOSTA ...............................................................................................................................44 7.1. Tensões normais em flexão composta ..............................................................................44 7.2. Equação do eixo neutro ........................................................................................................45

Problema 1 ..........................................................................................................................46 Problema 2 ..........................................................................................................................47 Problema 3 ..........................................................................................................................47 Problema 4 ..........................................................................................................................48 Problema 5 ..........................................................................................................................48

8. NÚCLEO CENTRAL ..................................................................................................................................52 Problema 1 ..........................................................................................................................52 Problema 2 ..........................................................................................................................53 Problema 3 ..........................................................................................................................53 Problema 4 ..........................................................................................................................54

9. ENCURVADURA ........................................................................................................................................58 9.1. Problema de Euler ...................................................................................................................58 9.2. Comprimento de encurvadura .............................................................................................58

8.2.1. Barras isoladas .......................................................................................................58 9.2.2. Barras de estruturas trianguladas planas .......................................................59

9.3. Esbelteza ...................................................................................................................................59 9.4. Curvas de projecto de acordo com R.E.A.E. ....................................................................59 9.5. Verificação da segurança em relação ao estado limite de encurvadura por varejamento ......................................................................................................................................61 9.6. Dimensionamento tendo em conta a encurvadura p or varejamento .........................61

Problema 1 ..........................................................................................................................62 Problema 2 ..........................................................................................................................62 Problema 3 ..........................................................................................................................62 Problema 4 ..........................................................................................................................63 Problema 5 ..........................................................................................................................63 Problema 6 ..........................................................................................................................63 Problema 7 ..........................................................................................................................64 Problema 8 ..........................................................................................................................64



Exercícios propostos 0 – Revisões geometria de mass as

4/64

5 cm

5 cm

5 cm

5 cm

15 cm

5 cm

0. Revisões geometria de massas Problema 1 Considere a secção transversal recta representada na Figura 1. Determine as características mecânicas da secção.

Figura 1

Resolução

m..

.)..(.)..(.)..(y

m..

.)..(.)..(.)..(x

m.......A

''G

''G

093750020

05010005002500500501250250050

056250020

125010005007500500500250250050020100050050050250050 2

====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

====⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

4

423

23

23

423

23

23

88830460562501250093750050100050

05625007500937500250050050

05625002500937501250250050

8544088056250125010005012

050100

056250075005005012

050050

056250025025005012

050250

8541033809375005010005012

100050

093750025005005012

050050

093750125025005012

250050

mE.)..()..(..

)..()..(..

)..()..(..I

mE.)..(....

)..(....

)..(....

I

mE.)..(....

)..(....

)..(....

I

'y'x

'y

'x

−−−−−−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++

++++−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++

++++−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

−−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++

++++−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++

++++−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

−−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++

++++−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++

++++−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====




5/64

G

y'

5.625 cm

15.625 cm

x'

-22.14°

x

y

x''

y''

x'

x

yy'

Ix'

Iy' Ix'y'

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) 4

4

80228492222

807115782222

14229750854408885410338

8883046222

mE.senIcosIIII

I

mE.senIcosIIII

I

º..E.E.

)E.(II

I)(tg

'y'x'y'x'y'x

y

'y'x'y'x'y'x

x

'y'x

'y'x

−−−−====⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−

−−−−++++

====

−−−−====⋅⋅⋅⋅++++−−−−

++++++++

====

−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−====−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅====−−−−

⋅⋅⋅⋅====

αααααααα

αααααααα

αααααααα

Figura 2

Figura 3




6/64

G

y'

x'

30 cm40 cm

y

x

26.86°

30 cm

60 cm 54.20 cm

25.80 cm

-19.78º

x

y

G

y'

x'

11.15 cm

15.58 cm

10.00 cm15.00 cm

10.00 cm

10.00 cm

10.00 cm

10.00 cm

Problema 2 Considere as secções transversais rectas representadas nas Figuras 4 e 5. Determine as características mecânicas das secções.

Figura 4

Figura 5

4

4

2

009380

031020

390

m.I

m.I

m.A

y

x

========

====

4

4

2

4892508

4457663

0650

mE.I

mE.I

m.A

y

x

−−−−====−−−−====

====



Exercícios propostos 1 – Esforço axial

7/64

L

N

L

∆L

1. ESFORÇO AXIAL 1.1. Noção de tensão e extensão

(((( ))))kNN - Esforço axial;

(((( ))))2mA - Área da secção transversal recta;

(((( ))))mL∆∆∆∆ - Variação de comprimento.

Figura 6

1.2. Lei de Hooke

======== GPa;MPa;kPam

kN;Pam

NE 22 - Módulo de elasticidade ou módulo de Young

AELN

LAN

ELL

AN

E⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒====⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒====⋅⋅⋅⋅==== ∆∆∆∆∆∆∆∆εεεεσσσσ - Expressão da variação de comprimento de uma barra de

secção constante sujeita a um esforço axial constante.

LtAELN

L ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==== ∆∆∆∆αααα∆∆∆∆ - Expressão da variação de comprimento de uma barra de secção constante sujeita à

actuação simultânea de um esforço axial constante e de uma variação de temperatura.

Tensão

============ MPa;kPa;Pam

NAN

2σσσσ

Extensão

(((( ))))ensionaldimaLL∆∆∆∆εεεε ====

Lei de Hooke

E⋅⋅⋅⋅==== εεεεσσσσ




8/64

N

2

1L

∆L

1.3. Contracção lateral. Coeficiente de Poisson.

lεεεε - Extensão longitudinal;

tεεεε - Extensão transversal; νννν - Coeficiente de Poisson (adimensional).

lt εεεεννννεεεε ⋅⋅⋅⋅−−−−====

)()(VV

ly,tx,tli

ννννεεεεεεεεεεεεεεεε∆∆∆∆21 −−−−⋅⋅⋅⋅====++++++++====

1.4. Dimensionamento por tensões de segurança Nos elementos sujeitos a esforço axial, sem que haja risco de varejamento no caso de barras comprimidas, a verificação de segurança consiste em satisfazer a condição:

RdSd σσσσσσσσ ≤≤≤≤ No caso de barras rectas sujeitas a esforços axiais simples, o valor de cálculo da tensão actuante é definido pela expressão:

A

NSdSd ====σσσσ

SdN - valor de cálculo do esforço normal actuante, determinado tendo em conta as combinações de acções e os coeficientes de segurança;

A - área da secção transversal da barra; 1.5. Barras constituídas por dois materiais - Homog eneização Considerando que os dois materiais , 1 e 2 , se encontram ligados de forma a ser impossível qualquer movimento relativo entre eles, teremos:

2

1

2

121

22

2

11

1

EE

AA

NNAELN

AELN

L ⋅⋅⋅⋅====⇔⇔⇔⇔⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

====∆∆∆∆

designando

2

1

EE

m ==== - coeficiente de homogeneização em material 2;

Figura 7




9/64

obtém-se

⋅⋅⋅⋅====

====

++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⇔⇔⇔⇔

⋅⋅⋅⋅====

====++++

mAA

NN

NmAA

N

mAA

NN

NNN

2

121

2

12

2

121

21 1 que permite determinar o esforço axial em cada material;

⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅++++

====

2112

2

σσσσσσσσ

σσσσ

m)AmA(

N que permite determinar a tensão normal em cada material.




10/64

A

C

B

D

3.00 m

150 kN2.00 m

1.00 m 100 kN

F1=200 kN

A

C

B

D

2.00 m

100 kN

2.00 m

2.00 m

80 kN

F1=250 kN

Problema 1 Considere a barra de aço com secção transversal variável, representada na Figura 8. Determine: a) O diagrama de esforços axiais na barra; b) Os deslocamentos dos pontos B, C e D

considerando: i. só o carregamento representado na

figura. ii. além do carregamento representado

uma variação uniforme de temperatura de -15 ºC.

c) Determine qual a variação de temperatura que aplicada à barra anula o deslocamento do nó D, para as condições da alínea b) i.

d) Determine qual deve ser o valor da força F1 que anula o deslocamento do nó D, para as condições da alínea b) ii.

Figura 8

Dados: Eaço = 200 GPa α= 1.2E -5 ºC-1 AAB = 15 cm2 ABC = 10 cm2 ACD = 5 cm2 Problema 2 Considere a barra de aço com secção transversal variável, representada na Figura 9. Determine: a) O diagrama de esforços axiais na barra; b) Os deslocamentos dos pontos B, C e D

considerando: i. só o carregamento representado na

figura. ii. além do carregamento representado

uma variação uniforme de temperatura de +20 ºC.

c) Determine qual a variação de temperatura que aplicada à barra anula o deslocamento do nó D, para as condições da alínea b) i.

d) Determine qual deve ser o valor da força F1 que anula o deslocamento do nó D, para as condições da alínea b) ii.

Figura 9

Dados: Eaço = 200 GPa α= 1.2E -5 ºC-1 AAC = 15 cm2 ACD = 5 cm2




11/64

0.80

100 kN

A B

C

100 kN

B

3.00 m

2.00 m

1.00 m

C

D

A

150 kN

4.00 m

3.00 m

BC

A

Problema 3 Considere a estrutura representada na Figura 10 constituída por barras circulares de aço Fe 360: a) Dimensione a barra AC; b) Determine a posição final do nó C. Dados: Eaço = 206 GPa σrd= 235 MPa

Figura 10

Problema 4 Considere a estrutura representada na Figura 11 em que se considera a barra BCD infinitamente rígida. O tirante AC é realizado por uma barra cuja secção transversal tem a área de 5 cm2. Determine a posição final do nó D, supondo a estrutura solicitada pela força indicada e considerando a actuação simultânea de uma variação uniforme de temperatura na barra AC de 35 ºC. Dados: Eaço = 206 GPa α= 1.2E -5 ºC-1

Figura 11

Problema 5 Considere a estrutura representada na Figura 12. a) Dimensione as barras AB e BC, admitindo que

não existem problemas de instabilidade na barra comprimida;

b) Determine os deslocamentos do nó B. Dados: Barra AB (cobre): Ecobre = 115 GPa σrd= 120 MPa Barra BC (aço): Eaço = 206 GPa σrd= 235 MPa

Figura 12




12/64

150 kNA B

C

4.00 m4.00 m

D

3.00 m

E

4.00 m

A

150 kN

B

4.00 m

C

3.00 m

400 kN

Problema 6 Considere a estrutura representada na Figura 13. Admitindo que as barras ABC e DE são infinitamente rígidas calcule: a) o deslocamento do nó C; b) as variações da área da secção transversal e do volume da barra AD.

Figura 13

Dados: Barra AD: EAD = 200 GPa AAD = 5x3 cm2 ν = 0.3 Barra BD: EBD = 100 GPa ABD = 20 cm2 Problema 7 Considere a estrutura representada na Figura 14. a) Dimensione as barras AB e BC para o estado limite último de resistência ( considere γS = 1.5) admitindo

que não existem problemas de instabilidade na barra comprimida; b) Determine os deslocamentos do nó B. Dados: Barra AB (cobre): Ecobre = 115 GPa σrd= 120 MPa Barra BC (aço): Eaço = 206 GPa σrd= 235 MPa

Figura 14




13/64

200 kN

A

4.00 m2.00 m

d (m)

B C

3.00 m

O

E

2.50 m

2.00 m

3.00 m

A

B

15 kND

C

4.00 m

1.50 mF

Problema 8 Considere a estrutura representada na Figura 15. Admitindo que a barra OBC é infinitamente rígida calcule: a) a posição da carga rolante ( d) que provoca um

deslocamento de 1,2 cm no nó C; b) as variações da área da secção transversal e

do volume da barra AB para a posição da carga determinada na alínea anterior.

Dados: EAB = 200 GPa AAB = 5x3 cm2 ν = 0.3

Figura 15

Problema 9 Considere a estrutura representada na Figura 16. Admitindo que a barra ABCD é infinitamente rígida calcule o deslocamento do nó D. Dados: Barra FC (cobre): Ecobre = 120 GPa AFC = 8 cm2 Barra EB (aço): Eaço = 200 GPa AEB = 5 cm2

Figura 16




14/64

a (m)

A

10 kN

L (m)

a/2 (m)

C

DB

E

20 kN

3.00 m

C

DFB

A

3.00 m3.00 m

A

2.00 m

90 kN

3.00 m 4.00 m

DB C

180 kN

Problema 10 Considere a viga rígida estrutura representada na Figura 17, suspensa por um cabo de aço e outro de cobre. Determine em que condições a viga ficará na posição horizontal. Dados: Barra AB (aço): Eaço = 210 GPa Barra CD (cobre): Ecobre = 115 GPa

Figura 17

Problema 11 Considere a viga rígida estrutura representada na Figura 18, suspensa por três cabos, sendo um de aço (EF) e os outros de cobre. Considerando que todos os cabos apresentam uma secção com 0,60 cm2 e que a viga se mantém na posição horizontal, determine: a) os esforços nos cabos; b) as tensões que se instalam nos cabos

considerando a actuação simultânea de uma variação uniforme de temperatura de +5 ºC.

Dados: Barra EF (aço): Eaço = 206 GPa αaço= 1.2E -5 ºC-1 Barras AB e CD (cobre): Ecobre = 115 GPa αcobre= 1.6E -5 ºC-1

Figura 18

Problema 12 Considere a estrutura representada na Figura 19 e sabendo que a secção transversal da barra ABCD apresenta uma área de 3,5 cm2. determine: a) as reacções nos apoios A e B; b) a tensão instalada no tramo BC.

Figura 19




15/64

50 kN

A

B

30 kNC

D

2.00 m

0.80 m

1.20 m

A

B

100 kN

3.50 m2

1

Problema 13 Considere a estrutura representada na Figura 20. Para a solicitação indicada determine os deslocamentos do nó C. Dados: Barras AB e CD (aço): Eaço = 206 GPa Aaço= 5 cm2 Barra BC (cobre): Ecobre = 115 GPa Acobre= 8 cm2

Figura 20

Problema 14 Considere a estrutura representada na Figura 21 constituída por uma barra composta por dois materiais ligados de forma a ser impossível qualquer movimento relativo entre eles. Para a solicitação indicada determine: a) as tensões instaladas em cada material; b) o deslocamento do nó B. Dados: E1 = 70 GPa A1= 9 cm2 E2 =210 GPa A2= 2 cm2

Figura 21




16/64

2.00 m

3.00 m200 kN

E

2.00 m 1.50 m

3.00 m

A B

C

D

F 50 kN/m

100 kN.m

4Ø12

20 cm

20 cm

B

40 kN/m5.00 m

C

EDA

3.00 m

4.00 m 5.00 m

aço

betão

90 cm

100 cm

Problema 15 Na estrutura representada na Figura 22 a barra ADE supõe-se infinitamente rígida. Além do carregamento indicado considere que a barra BD está sujeita a uma variação de temperatura de +50 ºC. Considere que a escora EC é constituída por um tubo de aço com 100 cm de diâmetro exterior e 5 cm de espessura, preenchido integralmente por betão. Determine: a) as reacções de apoio; b) as tensões instaladas nos materiais que compõem a barra EC; c) verifique a segurança do tirante BD ( considere γS = 1.5). Barra BD (aço): Φ= 20 mm Eaço = 200 GPa αaço= 10E -5 ºC-1 fyd= 200 MPa Barra EF (aço/betão): Eaço = 200 GPa Ebetão = 20 GPa

Figura 22

Problema 16 Na estrutura representada na Figura 23 a barra ACDF supõe-se infinitamente rígida. Além do carregamento indicado considere que a barra EF está sujeita a uma variação de temperatura de +15 ºC. Considere que a escora DB é constituída em betão armado. Determine: a) as reacções de apoio; b) as tensões instaladas nos materiais que

compõem a barra EF; Barra EF (aço): Φ= 20 mm Eaço = 200 GPa αaço= 10E -5 ºC-1 Barra DB (aço/betão): Eaço = 200 GPa Ebetão = 20 GPa

Figura 23




17/64

D

3.00 m

4.00 m

E

B

C

6Ø16

25 cm

3.00 m

A

1.50 m

2.00 m

200 kN/m

Problema 17 Na estrutura representada na Figura 24 a barra ABC supõe-se infinitamente rígida. Considere que a escora AD é constituída em betão armado. Determine: a) as reacções de apoio; b) o deslocamento vertical do nó B; c) as tensões instaladas nos materiais que compõem a barra AD; Barra EB (aço): Φ= 32 mm Eaço = 200 GPa Barra AD (aço/betão): Eaço = 200 GPa Ebetão = 30 GPa

Figura 24



Exercícios propostos 2 – Flexão Plana

18/64

1.40 m4.20 m

15 kN.m

30 kN/m 8 kN

A B

C

74 mm

160 mm

12 mm

6 mm

12 mm

160 mm

6 mm

74 mm

12 mm

12 mm

2. FLEXÃO PLANA Problema 1 Considere a viga da Figura 25, sujeita ao carregamento aí indicado. Desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores. Considerando que a viga será realizada com uma peça cuja secção transversal é a indicada na Figura 26 responda às seguintes questões. a) Determine a tensão normal máxima que se instala na viga; b) Sabendo que o material que constitui o perfil é o aço Fe360 (σRd = 235 MPa), e que o factor de segurança

a empregar nas verificações de segurança é 1.5 (γ = 1.5), comente o resultado da alínea anterior; c) Caso a secção não seja capaz de suportar os esforços de flexão instalados, calcule o reforço da alma do

perfil para que tal deixe de acontecer, e indique no alçado da viga em que áreas o colocaria. d) Proceda de forma idêntica à alínea anterior, mas agora supondo que o reforço é realizado por adição de

chapas nos banzos do perfil; e) Supondo ainda que o perfil não possui suficiente capacidade resistente à flexão para as solicitações

aplicadas, e admitindo a possibilidade de se poder incrementar a altura da alma do perfil, determine qual o valor mínimo que seria necessário para verificar a segurança;

f) Verifique a segurança em relações às tensões tangenciais de corte admitindo uma tensão tangencial resistente de τRd = 135 MPa;

g) Suponha que o carregamento indicado se encontra subavaliado em 100%, ou seja a viga irá estar na realidade solicitada com o dobro da carga. Indique que tipo de reforço seria mais eficaz, dimensione-o e localize no alçado as áreas onde deverá ser aplicado.

h) Considerando que a viga será realizada com uma peça cuja secção transversal é a indicada na Figura 27 determine as tensão normal máxima e a tensão tangencial máxima que se instala na viga.

Figura 25

Figura 26 Figura 27




19/64

BA CD

100 kN/m

50 kN

2.0 m 3.0 m1.0 m

E F

6.00 m

Problema 2 Considere a estrutura da Figura 28, sujeita ao carregamento aí indicado. Admitindo que a barra ABCD é infinitamente rígida: a) Desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores, supondo os elementos EB e FC

com igual secção e constituídos pelo mesmo material; b) Dimensione as barras EB e FC, adoptando como material o aço Fe360 (σRd = 235 MPa) e para factor de

segurança o valor 1.5 (γ = 1.5). Considere como secção: i. cantoneira de abas iguais; ii. perfil UNP; iii. varão;

c) Determine o alongamento da barra FC, considerando para módulo de Young do material E = 200GPa, e uma secção constituída por:

i. uma cantoneira de abas iguais; ii. um perfil UNP; iii. um varão;

d) Dimensione a viga ABCD , tendo como base a verificação da segurança à flexão, e admitindo os seguintes perfis:

i. IPE; ii. IPN; iii. HEB;

Discuta qual das soluções é a mais económica; e) Para cada um dos perfis obtidos na alínea anterior, determine qual a tensão tangencial de corte máxima

que se instalaria. Verifique a segurança ao corte para cada um dos casos (τRd = 135 MPa); f) Por razões de novas condições de utilização, suponha que o carregamento da viga é incrementado em

50%. Indique, separadamente, quais os reforços a adoptar para respeitar a segurança ao corte e flexão, e localize sobre o alçado as áreas a intervencionar.

Figura 28




20/64

10 cm 10 cm 10 cm

6 cm

18 cm

10 cm

2.80 m 2.80 m 2.00 m2.00 m

20 kN 50 kN 20 kN

A B C D E

Problema 3 Considere a viga da Figura 29, sujeita ao carregamento aí indicado. Desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores. Considere que a viga será realizada com uma peça cuja secção transversal é a indicada na Figura 30 e que o seu material constituinte apresenta os seguintes valores resistentes de cálculo para as tensões normais de compressão e de tracção: σRd,+ = 15 MPa e σRd,- = 30 MPa. a) Verifique a segurança da viga sobre os apoios. Considere que o factor de segurança a empregar nas

verificações de segurança é 1.5 (γ = 1.5); b) Verifique a segurança da viga a meio vão; c) Determine qual deve ser o valor resistente de cálculo para tensões tangenciais do material de forma a ser

garantida a verificação da segurança.

Figura 29

Figura 30



Exercícios propostos 3 – Torção

21/64

40 kN.m

50 kN.m100 kN.m

A B C D

50 mm

3.00 m 2.00 m2.00 m

esp. 5 mm100 mm

3. TORÇÃO Problema 1 Dada a estrutura representada na Figura 31, solicitada por uma força vertical de 100 kN, determine: a) O diagrama de tensões tangenciais na secção A

produzido pelos momentos torsores considerando uma secção transversal recta rectangular de 30 x 40 cm²;

b) O diagrama de tensões tangenciais na secção A produzido pelos momentos torsores considerando uma secção transversal recta circular cheia com 30 cm de diâmetro;

c) O diagrama de tensões tangenciais na secção A produzido pelos momentos torsores considerando uma secção transversal recta circular oca com 30 cm de diâmetro exterior e 5 cm de espessura;

Figura 31

Dados: G (módulo de elasticidade transversal) = 80 GPa Problema 2 Considere a barra de secção variável ( AB secção cheia e BCD secção tubular representada na Figura 32. A barra encontra-se encastrada numa das extremidades e sujeita aos momentos torsores indicados. a) Determine a rotação na secção A; b) Determine a rotação na secção A admitindo que a barra AB apresenta secção rectangular de 30 x 60

mm²; c) Pretendendo-se reduzir a metade a rotação na secção A à custa da substituição da barra AB por um tubo

com o mesmo diâmetro exterior do tubo BCD, calcule qual deve ser a sua espessura.

Figura 32

Dados: G (módulo de elasticidade transversal) = 80 GPa



Exercícios propostos 4 – Deformação de vigas sujeit as a flexão plana

22/64

4. DEFORMAÇÃO DE VIGAS SUJEITAS A FLEXÃO PLANA 4.1. Método da integração da elástica

Uma barra prismática submetida a flexão pura assume como deformada um arco de circunferência. Em regime elástico, a curvatura da superfície neutra pode ser expressa por Sendo M o momento flector, E o módulo de elasticidade do material que compõem a peça e I o momento de inércia da secção transversal relativamente ao eixo neutro. Sabendo que a curvatura de uma curva plana num ponto de coordenadas (x,y) é dada por

e considerando que 1)'y(1 2 ≅+ podemos escrever que sendo esta equação designada por equação diferencial da elástica e o produto EI designado por rigidez à flexão da barra. Integrando resulta

sendo que radztgdzdyy )(' θθ ≅== .

EI

M z)(1 −−−−====ρρρρ

23

))'(1(

''12y

y

++++====

ρρρρ

EI

Myy

z )(''''

1 −−−−====⇔⇔⇔⇔====ρρρρ

∫∫∫∫ ++++−−−−====z

zCdz

EI

My

01

)('

210 0

)(CzCdz

EI

My

z zz ++++++++−−−−==== ∫∫∫∫ ∫∫∫∫




23/64

+

M (kN.m)

+

Mk

+T (kN)

-

z

Viga Real

p (kN/m)

+

+Tk

z

-

Viga Conjugada

+

pk

Viga Real Viga Conjugada

4.2. Método da viga conjugada ou dos pesos elástico s

Figura 33

Condições fronteira

Figura 34

K(z)(z)

K(z)

'(z)

(z)K(z) MyTy

EI

Mp ============

0

0

====≠≠≠≠

y

θθθθ

0

0

========

y

θθθθ

0

0

≠≠≠≠≠≠≠≠

y

θθθθ

0========

yde θθθθθθθθ

0≠≠≠≠≠≠≠≠

yde θθθθθθθθ

0

0

====≠≠≠≠

K

K

M

T

0

0

========

K

K

M

T

0

0

≠≠≠≠≠≠≠≠

K

K

M

T

0========

K

Ke

Ke

M

TT

0≠≠≠≠≠≠≠≠

K

Ke

Ke

M

TT




24/64

5.00 m

C

100 kN

A

2.00 m3.00 m

D

B

5.00 m 2.00 m

D

z1

A

M (kN.m)

- -

z2

B C

200 kN.m

Problema 1 Dada a estrutura representada na Figura 35, solicitada por uma força vertical de 100 kN, determine pela integração da equação diferencial da elástica: i) Os deslocamentos angular e linear da secção C. ii) O deslocamento linear máximo no troço AB.

Figura 35

Dados: E (módulo de elasticidade) = 30 GPa Secção 30x60 cm2 Resolução i)

Figura 36

42322

32211

31

3222

'1

21

'2

''1

''2)(1)(

1003/503/20

2005020

20010040

1002004021

CzCzzyEICzCzyEI

CzzyEICzyEI

zyEIzyEI

zMzM

BCTramoABTramo

BCAB

BCAB

BCAB

zz

++++++++++++−−−−====++++++++====++++++++−−−−====++++====

++++−−−−========

++++−−−−====−−−−====

0

3/1000

0

3/500

)5()5(

0)0(

0)5(

0)0(

4

3

2

1

1'

1'

2

1

1

============

−−−−====

⇒⇒⇒⇒

====================================

C

C

C

C

zyEIzyEI

zyEI

zyEI

zyEI

fronteiraCondições

ABAB

BC

AB

AB

mmmEI

y

radEI

c

c

76,51076,51

)23

100021002

350

(

1029,31

)3

10002200250(

323

32

====××××====××××××××++++××××++++××××−−−−====

××××====××××++++××××++++××××−−−−====

−−−−

−−−−θθθθ




25/64

ii)

[[[[ ]]]][[[[ ]]]]

mmyzyEI

mzz

zEI

yBAy

AB

máxmáx

98,175,3203

53

500

3

53

20)

3

5(

)887,2(3

50

3500

200

3500

20.

0;

3

21

21

−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−====⋅⋅⋅⋅−−−−

××××========

====⇒⇒⇒⇒====−−−−⇒⇒⇒⇒====

−−−−====

====⇒⇒⇒⇒

θθθθ

θθθθ

θθθθ




26/64

5.0 m

50 kN/m

A

2.0 m

B C

156.25 kN.m

5.0 m 2.0 m

M (kN.m)

A

z2

+B

+z1

C

Problema 2 Dada a estrutura representada na Figura 37, parcialmente solicitada por uma carga distribuída de 50 kN/m, determine pela integração da equação diferencial da elástica os deslocamentos angular e linear da secção C. Esboce a deformada da estrutura.

Figura 37

Dados: EI = 162 MNm2 Resolução

Figura 38

42321131

41

3'

121

31

'

''1

21

''2

2111

6/12512/25

2/1253/25

012525

0)(25125)(

CzCyEICzCzzyEI

CyEICzzyEI

yEIzzyEI

zMzzzM

BCTramoABTramo

BCAB

BCAB

BCAB

++++====++++++++−−−−========++++−−−−========−−−−========−−−−====

0

12/3125

0

12/3125

)0()5(

0)0(

0)5(

0)0(

4

3

2

1

2'

1'

2

1

1

====−−−−====

========

⇒⇒⇒⇒

====================================

C

C

C

C

zyEIzyEI

zyEI

zyEI

zyEI


BCAB

BC

AB

AB

mEy

radE

C

C

3215.3

3608.1

−−−−−−−−====−−−−−−−−====θθθθ




27/64

2.00 m

B C

10 kN/m

A

4.00 m

4.00 m2.00 m

M (kN.m)60 kN.m

A

z1

- B+

20 kN.mz2

C

Problema 3 Dada a estrutura representada na Figura 39, solicitada por uma carga distribuída de 10 kN/m, determine pela integração da equação diferencial da elástica os deslocamentos angular e linear da secção B. Esboce a deformada da estrutura.

Figura 39

Dados: EI = 162 MNm2 Resolução

Figura 40

42

32234

41

31

21112

32

223

31

2111

222

211

2222

2111

125

310

125

320

30

35

1035

2060

52054060

52054060

zzzCCyEIzzzzCCyEI

zzCyEIzzzCyEI

zzyEIzzyEI

zz)z(Mzz)z(M

BCTramoABTramo

BCAB

'BC

'AB

''BC

''AB

++++−−−−++++====++++−−−−++++++++====

++++−−−−====++++−−−−++++====

++++−−−−====++++−−−−====−−−−====−−−−++++−−−−====

3220

325

0

0

02

04

00

00

4

3

2

1

21

2

1

1

/C

/C

C

C

)z(yEI)z(yEI

)z(yEI

)z(yEI

)z(yEI


BCAB

BC

AB

'AB

================

⇒⇒⇒⇒

====================================

mE.y

radE.

radE.

B

BCB

ABB

4534

451430

4293

−−−−====−−−−====

−−−−====θθθθ

θθθθ




28/64

A B C

200 kN.m/EI

BA

2.89 m

-

+

C

2.89 m

A

-

+B C

Problema 4 Resolva os problemas 1, 2 e 3 aplicando o conceito de viga conjugada. Resolução 4.1-

Figura 41

Figura 42

Figura 43

EIR K

A 3500====

EIM K

C 32800

====

EIR K

C 31600====

EI31600

EI3500

EI31000

EI32800

EI75.320

yMK ====

θθθθ====KT




29/64

A CB

156.25 kN.m/EI

A

2.50 m

-B-+

C

A + +B

-C

4.2-

Figura 44

Figura 45

Figura 46

EIR K

A 123125====

EIR K

C 123125====

EIM K

C 63125====

EI123125

EI123125

EI63125

EI19278125

yMK ====

θθθθ====KT




30/64

5 kN.m/EIA

60 kN.m/EI

B

20 kN.m/EI

C

1.00 m

+-A

BC

+ +

1.00 m

A

B

C

4.3-

Figura 47

Figura 48

Figura 49

EIR K

C45====

EIR K

B45====

EI3160

EI325

EI45

EI3220

EI4315

θθθθ====KT

yMK ====




31/64

CBA

1.00 m

D

E50 kN.m

50 kN/m

4.00 m2.00 m 2.00 m

CBA D

E

50 kN.m

- -

+

100 kN.m4.00 m2.00 m

1.00 m

2.00 m

M (kN.m)

Problema 5 Dada a estrutura representada na Figura 50, determine:

i. Os deslocamentos angular e linear da secção E; ii. O valor da força horizontal a aplicar na secção E para que o deslocamento linear da secção A seja

nulo.

Figura 50

Dados: EI = 162 MNm2 Resolução i)

Figura 51

−−−−====

××××××××××××××××−−−−××××××××××××−−−−====−−−−==== ∫∫∫∫ 38001

432

45021

24100321

2)(

EIEIzdz

EI

Mt

C

B

zCB

====⇒⇒⇒⇒

−−−−××××++++====⇔⇔⇔⇔++++++++====3

20013

8001400

EIEItLyy BBCBBCBBC θθθθθθθθθθθθ

EIEIEIdz

EI

MCC

C

B

zBC

100450

21

4100321

32001)( −−−−====⇒⇒⇒⇒

××××××××−−−−××××××××−−−−====

−−−−⇔⇔⇔⇔−−−−====−−−− ∫∫∫∫ θθθθθθθθθθθθθθθθ

EIEIdz

EI

MDD

D

C

zCD

1000

100)( −−−−====⇒⇒⇒⇒====

−−−−−−−−⇔⇔⇔⇔−−−−====−−−− ∫∫∫∫ θθθθθθθθθθθθθθθθ

EIEIdz

EI

MEE

E

D

zDE

1000

100)( −−−−====⇒⇒⇒⇒====

−−−−−−−−⇔⇔⇔⇔−−−−====−−−− ∫∫∫∫ θθθθθθθθθθθθθθθθ




32/64

100 kN

A B

G

DC

E

H

F

3.00 m2.00 m1.00 m 1.00 m

1.00 m

1.00 m

1.00 m

02)( ====−−−−==== ∫∫∫∫ zdz

EI

Mt

D

C

zDC

EIEIytLyy CD

DDCCDCCCDD

20002

1000

−−−−====++++××××−−−−++++====⇔⇔⇔⇔++++++++==== θθθθ

02)( ====−−−−==== ∫∫∫∫ zdz

EI

Mt

E

D

zED

0====DEDy

EIEIytLyy DE

EEDDEDDED

DEE

10001

1000

−−−−====++++××××−−−−++++====⇔⇔⇔⇔++++++++==== θθθθ

Problema 6 Dada a estrutura representada na Figura 52, solicitada por uma carga concentrada de 100 kN na secção H, determine: i) Os deslocamentos angular e linear da secção H; ii) Os deslocamentos angular e linear da secção F; iii) O valor da força vertical a aplicar na secção E para que o deslocamento linear da secção B seja nulo. iv) O valor do momento a aplicar a meio da barra BC para que o deslocamento linear da secção F seja

nulo.

Figura 52

Dados: EI = 162 MNm2




33/64

4.00 m4.00 m

BA D

1.00 m

C

1.00 m4.00 m

E F

10 kN/m

Problema 7 Dada a estrutura representada na Figura 53, solicitada somente pela carga uniformemente distribuída, determine:

i) A configuração da deformada; ii) Os deslocamentos angulares e o deslocamento linear da secção C; iii) O valor e sentido da força vertical a aplicar na secção a meio do tramo AB para que, com a

solicitação indicada na figura, o deslocamento linear da secção C seja nulo.

Figura 53

Dados: EI = 500 MNm2



Exercícios propostos 5 – Teoria da Elasticidade

34/64

5. TEORIA DA ELASTICIDADE Problema 1 Sendo o estado de tensão num ponto definido pelo tensor das tensões T, determine: a) A tensão resultante numa faceta cuja normal

está orientada segundo o eixo dos xx. b) A tensão normal a essa faceta. Problema 2 Sendo o estado de tensão num ponto definido pelo tensor das tensões T, determine pelo método analítico as tensões principais e as direcções principais de tensão. Problema 3 Sendo o estado de tensão num ponto definido pelo tensor das tensões T, determine pelo método gráfico e pelo método analítico: a) As tensões principais e as respectivas

orientações; b) A tensão máxima de corte. Problema 4 Para o estado plano de tensões indicado na Figura 54 determine: a) Os planos principais e as respectivas tensões

principais; b) A tensão máxima de corte e respectiva tensão

normal.

Figura 54

Resolução

MPa

MPa

MPa

yz

z

y

40

50

10

−−−−========

−−−−====

ττττσσσσσσσσ

d)

º.x

tg Pzy

yzP 5726

50104022

2 ====⇒⇒⇒⇒−−−−−−−−

−−−−====−−−−

==== θθθθσσσσσσσσ

ττττθθθθ

23014534014532

50102

5010

2222

σσσσ

θθθθττττθθθθσσσσσσσσσσσσσσσσ

σσσσ θθθθ

====−−−−====−−−−−−−−−−−−++++

++++−−−−====

====++++−−−−

++++++++

====

MPa).(sen).cos(

)(sen)cos( yzzyzy

)(

121

223

131

====T

520

262

027

−−−−−−−−====T

11

12====T

10 MPa

50 MPa

40 MPa




35/64

26.56°

2=-30 MPa

1= 70 MPa

-18.43

z= 20 MPa

y= 20 MPa yz= -50 MPa

)!(0)14.53cos(40)14.53(2

5010

)2cos()2(2)(

OKMPasen

sen yzzy

====−−−−−−−−−−−−−−−−====

====++++−−−−

−−−−==== θθθθττττθθθθσσσσσσσσ

ττττ θθθθ

Mpazy 70121 ====⇒⇒⇒⇒++++====++++ σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ

)894.0;447.0()cos;()447.0;894.0();(cos 12 −−−−====−−−−============ PPPP sennsenn θθθθθθθθθθθθθθθθ

rr

Figura 55

e)

MPa

MPatg

C

CC

yz

zyC 50

20º43.18

40*25010

22

)(

)(

−−−−========

⇒⇒⇒⇒−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−−−−−−−−−−−−−====

−−−−−−−−====

====

====

θθθθθθθθ

θθθθθθθθττττσσσσ

θθθθττττ

σσσσσσσσθθθθ

Figura 56




36/64

B

A

20

PIF

50-10

40

-40

n2

n1

PIN-50

-50

θC

2θP

θP

(MPa)

σ(MPa)σ1

σ2

Resolução gráfica – círculo de Mohr

Figura 57

MPazy

médio 202

====++++

====σσσσσσσσ

σσσσ

MPaR yzzy

502

22

====++++

−−−−==== ττττ

σσσσσσσσ

MPaRmédio 701 ====++++==== σσσσσσσσ MPaRmédio 302 −−−−====−−−−==== σσσσσσσσ




37/64

8 kN

7 kN

9 kN

1.60

2.80

y

z

x

2.00

100 MPa 2.00 cm

20 MPa

30.00°

30 MPa

2.00 cm

Problema 5 Uma barra de aço de secção transversal recta 2.0x5.0 cm² está submetida a um esforço axial de tracção de 100 kN. a) Trace o círculo de Mohr representativo do estado de tensão; b) Determine os planos principais e as respectivas tensões principais; c) Determine a tensão tangencial máxima e os planos onde ocorrem; d) Determine as facetas em que σ e τ são numericamente iguais. Problema 6 Para o estado plano de tensões indicado na figura Figura 58 determine a deformação de um quadrado de 2.0x2.0 cm², orientado de acordo com a Figura 59.

Figura 58 Figura 59 Dados: E = 200 GPa ν=0.3 Problema 7 As arestas de um paralelepípedo recto rectangular medem 2.0x1.6x2.8 cm³. As suas faces estão submetidas às forças indicadas na Figura 60. Determine a variação de volume e as dimensões finais do paralelepípedo. Dados: E = 200 GPa ν=0.3

Figura 60

Resolução

MPa.E.x.

.

MPa.E.x..

MPa.E.x.

.

z

y

x

501248202

07

002540261

08

092048261

09

====−−−−

====

−−−−====−−−−

−−−−====

−−−−====−−−−

−−−−====

σσσσ

σσσσ

σσσσ




38/64

3130140

3113620

308170

−−−−====−−−−−−−−====

−−−−−−−−====−−−−−−−−====

−−−−−−−−====−−−−−−−−====

E.EEE

E.EEE

E.EEE

yxzz

zxyy

zyxx

σσσσνννν

σσσσννννσσσσεεεε

σσσσννννσσσσνννν

σσσσεεεε

σσσσννννσσσσ

ννννσσσσεεεε

mE.)(LL

mE.)(LL

mE.)(LL

zi,zf,z

yi,yf,y

xi,xf,x

260020811

279968221

299836611

−−−−====++++====

−−−−====++++====

−−−−====++++====

εεεεεεεεεεεε

3065180

6959481111

6968

3

3

−−−−−−−−====++++++++====

−−−−====++++++++++++≅≅≅≅++++++++++++====

−−−−========

E.)(VV

mE.)(V)(Lx)(Lx)(LV

mE.LxLxLV

zyxi

zyxizi,zyi,yxi,xf

i,zi,yi,xi

εεεεεεεεεεεε∆∆∆∆εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε

Problema 8 Num arame de aço com 5 m de comprimento e 5 mm de diâmetro, sujeito a um esforço axial de tracção, mediu-se: Determine o coeficiente de Poisson do aço. Resolução

xxyxz

z

xxzxy

y

xzyxx

EEEE

EEEE

EEEE

εεεεννννσσσσνννν

σσσσνννν

σσσσννννσσσσεεεε

εεεεννννσσσσνννν

σσσσννννσσσσνννν

σσσσεεεε

σσσσσσσσννννσσσσ

ννννσσσσεεεε

⋅⋅⋅⋅−−−−====−−−−====−−−−−−−−====

⋅⋅⋅⋅−−−−====−−−−====−−−−−−−−====

====−−−−−−−−====

3070215829

9282

565

330

582900255

3

32

.)(mE.

E.)(

VV

EE.

mE.)(.V

xzyxi

x

i

====⇒⇒⇒⇒−−−−⋅⋅⋅⋅====−−−−

−−−−⇔⇔⇔⇔++++++++====

−−−−====−−−−====

−−−−========

ννννννννεεεεεεεεεεεεεεεε∆∆∆∆

εεεε

ππππ

mm.l 30++++====∆∆∆∆3282 mm.V ++++====∆∆∆∆




39/64

10 kN/m

4.0 m

A

1.0 m0.3 m

0.6 m

0.1m

B

0.1m

Problema 9 Para a viga representada na Figura 61 determine como evoluem as direcções principais e as respectivas tensões nos pontos A e B, indicados na secção transversal, ao longo do seu desenvolvimento.

Figura 61



Exercícios propostos 6 – Flexão Desviada

40/64

100 mm

y

50 mm10 mm

10 mm

30.00°

G x

M

10 mm

60.00 mmy

18.64 mm

My

G Mxx

G x

y

A

B

e.n.

6. FLEXÃO DESVIADA Problema 1 Considere a secção em U representada na Figura 62 sob a acção de um momento flector de 5 kNm, com a direcção e sentido indicados. Para essa solicitação determine as tensões normais máximas instaladas na secção.

Figura 62

Resolução

Figura 63

xE.

.y

E..

xI

My

IM

kNm.M

kNm.M

y

y

x

x

y

x

6709240502

6473334334

502

334

−−−−−−−−++++

−−−−−−−−====++++====⇒⇒⇒⇒

−−−−====−−−−====

σσσσ

x.yneutroeixoEquação 64230 −−−−====⇔⇔⇔⇔====→→→→ σσσσ

Figura 64

(((( ))))(((( ))))

−−−−====⇒⇒⇒⇒

====⇒⇒⇒⇒−−−−−−−−kPa.;.B

kPa.;.A

B

A

20388206004136

12376806001864

σσσσσσσσ

4

4

2

6709240

6473334

00220

mE.I

mE.I

m.A

y

x

−−−−====−−−−====

====




41/64

y'

G

5 cm

5 cm

5 cm

5 cm

15 cm

5 cm

M

T

x'

G

y'

5.625 cm

15.625 cm

x'

-22.14°

x

y

Mx

My

y

B

G

A

x

e.n.

Problema 2 Considere a secção representada na Figura 65 sob a acção de um momento flector de 160 kNm, com a direcção e sentido indicados. a) Para essa solicitação determine as tensões

normais máximas instaladas na secção. b) Determine qual deve ser a orientação do plano

de solicitação para que o eixo neutro passe no vértice T.

Figura 65

Resolução a)

Figura 66

xE.

.y

E..

xI

My

IM

kNm.M

kNm.M

y

y

x

x

y

x

80228493060

80711578203148

3060

203148

−−−−++++

−−−−====++++====⇒⇒⇒⇒

========

σσσσ

x.yneutroeixoEquação 653510 −−−−====⇔⇔⇔⇔====→→→→ σσσσ

Figura 67

4

4

4

4

4

2

8022849

80711578

1422

8883046

8544088

85410338

020

mE.I

mE.I

º.

mE.I

mE.I

mE.I

m.A

y

x

'y'x

'y

'x

−−−−====−−−−====

−−−−====−−−−−−−−====

−−−−====−−−−====

====

αααα




42/64

y

x

e.n.

e.s.

x'

y'

x'

x

y

T

e.n.e.s.

y'

MPa.m.cosysenxy

m.senycosxx

m.y

m.xA'

A'AA

'A

'AA

'A

'A 9303

14710

05310

156250

006250 ====⇒⇒⇒⇒

====++++========−−−−====

⇒⇒⇒⇒

====−−−−==== σσσσ

αααααααααααααααα

MPa.m.cosysenxy

m.senycosxx

m.y

m.xB'

B'BB

'B

'BB

'B

'B 8265

06560

08740

093750

056250 −−−−====⇒⇒⇒⇒

−−−−====++++====−−−−====−−−−====

⇒⇒⇒⇒

−−−−====−−−−==== σσσσ


Resolução alternativa a)

Figura 68

b)

Figura 69




43/64

30 cm

60 cm

30 cm

40 cm

p kN/m

6.00 m 2.00 m2.00 m

20 cm20 cm 40 cm

30 cm

10 cm

60 cm

20 cmP

10 cm

10 cm

30 cm

30 cm

y'

M G x'

Problema 3 Considere a secção em L representada na Figura 70 sob a acção de um momento flector de 7.50 kNm, com a direcção e sentido indicados. Para essa solicitação determine as tensões normais máximas instaladas na secção.

Figura 70

Problema 4 A estrutura representada na Figura 71 será realizada por uma peça cuja secção transversal apresenta a geometria indicada. a) Determine o valor máximo que a carga p pode

assumir garantindo a estabilidade da estrutura, sabendo que o seu material constitutivo apresenta as seguintes tensões resistentes a esforços normais:

kPard 150====−−−−σσσσ kPard 100====++++σσσσ

b) Para o valor da carga p definido na alínea a)

determine a tensão tangencial máxima.

Figura 71

Problema 5 Admita que a secção transversal recta de uma viga solicitada à flexão apresenta a geometria indicada na Figura 72. Sendo o carregamento vertical e baricêntrico, e valendo o momento flector actuante 200 kNm, e o esforço transverso 50 kN, ambos positivos, determine no ponto P as tensões principais e as respectivas direcções.

Figura 72



Exercícios propostos 7 – Flexão Composta

44/64

G

My+

y+

x+Mx+

+

+

-

P

y0

x0

-

x e y : eixos principais centrais de inércia (e.p.c.i.)

P : Centro de pressão

Mx+ : Produz tracções do lado dos y+

My+ : Produz tracções do lado dos x+

7. FLEXÃO COMPOSTA Uma secção transversal recta (S.T.R.) de uma barra diz-se submetida à flexão composta quando nela actuarem simultaneamente esforços axiais e momentos flectores. Se o momento flector tiver a direcção de um dos eixos principais centrais de inércia, a secção encontra-se submetida a flexão composta plana. Se o momento flector tiver direcção diferente da dos eixos principais centrais de inércia, a secção encontra-se submetida a flexão composta desviada. 7.1. Tensões normais em flexão composta As tensões normais instaladas numa S.T.R. sujeita a flexão composta desviada são obtidas pela equação [1].

[1]

Figura 73

[2]

}}}} desviadacompostaFlexãoM,M,N

planacompostaFlexãoM,N

M,N

yx

y

x

xI

My

IM

AN

y

y

x

x ++++++++====σσσσ

xI

xNy

IyN

AN

NM

y

N

Mx

yxx

y

00

0

0 ⋅⋅⋅⋅++++

⋅⋅⋅⋅++++====⇒⇒⇒⇒

====

====σσσσ




45/64

7.2. Equação do eixo neutro O eixo neutro é o lugar geométrico dos pontos do plano de uma S.T.R. em que a tensão normal é nula. A equação do eixo neutro obtém-se igualando a zero a equação [2],

[3] como

[4]

[5]

01

0 0000 ====++++++++⇒⇒⇒⇒====⋅⋅⋅⋅

++++⋅⋅⋅⋅

++++==== xIx

yIy

Ax

IxN

yI

yNAN

yxyxσσσσ

0120

20

2

2

====++++++++⇒⇒⇒⇒

====

====x

i

xy

i

y

AI

i

A

Ii

yxxx

yy

−−−−========⇒⇒⇒⇒====

−−−−========⇒⇒⇒⇒====

∗∗∗∗

∗∗∗∗

0

20

2

0

0

x

ixxy

yi

yyx

y

x




46/64

1.80 m

4.80 m

0.80 m

P

AD

C B

y

Gx

0.20 m

Mx

My

D

C

y

PG

A

B

x

M

90.00°

Problema 1 Um pilar com a secção transversal representada na Figura 74 encontra-se submetido à acção de uma força de compressão de 1500 kN aplicada no ponto P. Determine as tensões nos vértices da secção e a posição do eixo neutro.

Figura 74

Resolução

Figura 75

x.

y..

xI

My

IM

AN

kNm.xNM

kNm.yNM

y

y

x

x

y

x

5888161200

33282300

6481500

1200801500

300201500

0

0 −−−−++++−−−−++++

−−−−====++++++++====⇒⇒⇒⇒

−−−−====⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅====−−−−====⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅====

σσσσ

03387261286111730588816

120033282300

6481500

====⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−⇔⇔⇔⇔====−−−−++++

−−−−++++−−−−====→→→→ x.y..x

.y

..neutroeixoEquação σσσσ

ou em alternativa

0417074101092180

27020

10120

20 ====⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⇔⇔⇔⇔====++++++++⇔⇔⇔⇔====++++++++→→→→ x.y.x

..

y..

xi

xy

i

yneutroeixoEquação

yx

22

4

22

4

2

921

588816

270

33282

648

m.i

m.I

m.i

m.I

m.A

y

y

x

x

====

============

====

74115900402

74115900402

48231900402

96462900402

...D

...C

...B

...A

)kPa()m(y)m(x

−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−σσσσ




47/64

0.30 m

0.40 m

A

B

D

C

Secção B-B'

1.50 m

1.50 m

B'B

A A'

F1=500 kN

F2=100 kNF1

F2

y

xG

0.20 m

0.20 m

G x

y

A

C

B

D

P

4.00 m

300 kN

0.05 m 0.05 m

5 kN/m

D

C

y

G

A

B

xx*=-2.40 m

y*=-1.35 m

e.n.

Figura 76

Problema 2 Considere o pilar de secção constante, constituído por um material resistente de igual forma a compressões e tracções, sujeito às cargas F1 e F2, indicadas na Figura 77. Para a secção A-A’, localizada a meia altura do pilar, calcule: a) As tensões nos vértices A, B, C e D; b) A posição do eixo neutro.

Figura 77

Problema 3 Considere o pilar representado na Figura 78 sujeito à acção de uma força vertical de 300 kN aplicada no ponto P e a uma carga distribuída horizontal de 5 kN/m, aplicada segundo um plano vertical que contém o eixo dos xx. A secção transversal da peça é quadrada e oca e apresenta as dimensões indicadas na figura. a) Determine as tensões nos vértices exteriores

da secção da base do pilar. b) Determine a posição do eixo neutro na secção

da base do pilar.

Figura 78

−−−−====−−−−====−−−−========⇒⇒⇒⇒====

−−−−====−−−−====−−−−========⇒⇒⇒⇒====

∗∗∗∗

∗∗∗∗

m..

.x

ixxy

m...

yi

yyx

y

x

40280

9210

35120

2700

0

20

2




48/64

0.60 m

E

D

F1

2.00 m

0.20 m0.20 m

0.80 m

0.20 m

A B

C

F2

F

2.00 m

60.00°

0.20 m

0.10 m

P

F1=10 kN

F2=15 kN

R S

15 cm

P

10 cm 10 cm

10 cm

10 cm

10 cm

G

y'

Mx'

T

U

Problema 4 Considere o pilar representado na Figura 79. Sabendo que o eixo de solicitação é horizontal e baricêntrico, determine: a) As tensões nos vértices da secção do pilar na

secção da base do pilar. b) Na secção da base do pilar determine no ponto

P as tensões principais e as respectivas direcções.

Figura 79

Problema 5 Admita que a secção transversal recta de uma viga solicitada à flexão apresenta a geometria indicada na Figura 80. Sendo o carregamento vertical e baricêntrico determine: a) as tensões principais e as respectivas

direcções no ponto P sabendo que a secção está sujeita aos seguintes esforços

m.kNM 150−−−−====

kNN 60−−−−====

kNT 200−−−−====

b) Na mesma STR da alínea anterior determine

qual deve ser o ponto de aplicação da resultante para que o eixo neutro passe nos vértices “T” e “U”.

Figura 80




49/64

y

P

x

G

R S

P

-19.78º

15.58 cm

11.15cm

x

y

G

y'

x'M

My

Mx

Resolução a)

Figura 81

−−−−====−−−−====

⇒⇒⇒⇒−−−−====m.kN.M

m.kN.Mm.kNM

y

x

7650

15141150

====++++====

−−−−====−−−−====⇒⇒⇒⇒

====−−−−====

m.cosysenxy

m.senycosxx

m.y

m.x'P

'PP

'P

'PP

'P

'P

09370

07870

061540

105770


kPa.).(E.

..

E..

.x

I

My

IM

AN

y

y

x

x 3334681078704892508

765009370

445766315141

06560 −−−−====−−−−

−−−−−−−−++++

−−−−−−−−++++

−−−−====++++++++====σσσσ

Figura 82

22

4

22

4

2

236808.1

489250.8

253195.0

445766.3

065.0

mEi

mEI

mEi

mEI

mA

y

y

x

x

−−−−====

−−−−====−−−−====−−−−====

====

========

⇒⇒⇒⇒−−−−====kN.T

kN.TkNT

y

x

200188

68267200




50/64

P

y

G

x

kPa..E.E..

bI

ST

m.b

mE.I

mE.S

kN.T

xx

xyyz

x

x

x

y

8420012008904457663

438847200188

200890

4457663

438847

200188

4

3====

⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅========

⇒⇒⇒⇒

====−−−−====−−−−====

====

ττττ

Figura 83

kPa..E.E..

bI

ST

m.b

mE.I

mE.S

kN.T

yy

yxxz

y

y

y

x

5111392008904892508

407653068267

200890

4892508

4076530

68267

4

3

====⋅⋅⋅⋅−−−−

−−−−⋅⋅⋅⋅========

⇒⇒⇒⇒

====−−−−====

−−−−========

ττττ

kPa.yzxzP 44230322 ====++++==== ττττττττττττ

º.).(

).(tg P

zy

yzP 7833

3334681044230322

2 −−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅====

−−−−==== θθθθ

σσσσσσσσττττ

θθθθ

2907833

17833

65348334341724423034341722

333468102

33346810

32152566744230356672

333468102

33346810

2222

σσσσσσσσ

σσσσσσσσ

θθθθττττθθθθσσσσσσσσσσσσσσσσ

σσσσ

θθθθ

θθθθ

θθθθ

====−−−−====−−−−++++−−−−−−−−++++

−−−−====

========−−−−−−−−++++−−−−−−−−−−−−++++

−−−−====

⇒⇒⇒⇒++++−−−−

++++++++

====

++++−−−−====

−−−−====

MPa.).(sen).().cos().(.

MPa.).(sen).().cos().(.

)(sen)cos(

)ºº.(

)º.(

yzzyzy

)(




51/64

b)

xi

ey

i

e:neutroeixodoEquação

y

x

x

y22

10 ++++++++====

−−−−====++++====

−−−−====−−−−====⇒⇒⇒⇒

−−−−====−−−−====

m.cosysenxy

m.senycosxx

m.y

m.x'T

'TT

'T

'TT

'T

'T

158470

116260

188460

055770


−−−−====++++====

====−−−−====⇒⇒⇒⇒

========

m.cosysenxy

m.senycosxx

m.y

m.x'S

'SS

'S

'SS

'U

'U

021030

092580

011540

094230


====−−−−====

⇒⇒⇒⇒

−−−−++++−−−−

−−−−++++====

−−−−−−−−

++++−−−−−−−−

++++====

m.e

m.e

).(E.

e).(

E.

e

).(E.

e).(

E.

e

y

x

xy

xy

06490

10990

0925802368081

0210302531950

10

1162602368081

1584702531950

10



Exercícios propostos 8 – Núcleo Central

52/64

0.50 m

1.00 m

1.00 m3.00 m 1.00 m

1.00 m 0.50 m

4.00 m4.00 m

1.00 m

0.50 m 1.20 m

1.20 m0.50 m 1.20 m 1.20 m 1.20 m

0.30 m

0.50 mP

1.20 m

0.60 m

P

1.20 m

1.20 m

1.20 m

1.20 m 1.20 m1.20 m

G0.90 m

y

x

Q 6

Q 5

Q 4

Q 1

Q 2

Q 3

V 1V 2 V 3 V 4

V 5V 6

x

y

8. NÚCLEO CENTRAL Problema 1 Determine o núcleo central das seguintes secções:

Figura 84

Resolução 1.4

Figura 85

Figura 86

22

4

22

4

2

56.1

9856.8

27.0

5552.1

76.5

mi

mI

mi

mI

mA

y

y

x

x

====

============

====

(((( )))) (((( ))))18000000343 ..VQQ ⇒⇒⇒⇒

(((( )))) (((( ))))100.0578.0232 −−−−⇒⇒⇒⇒ VQQ

(((( )))) (((( ))))180.0000.0343 VQQ ⇒⇒⇒⇒

(((( )))) (((( ))))100.0578.0454 VQQ ⇒⇒⇒⇒

(((( )))) (((( ))))129.0743.0565 −−−−⇒⇒⇒⇒ VQQ

(((( )))) (((( ))))300.0000.0616 −−−−⇒⇒⇒⇒ VQQ




53/64

e.n.

0.60 m

0.20 m

0.80 m

0.20 m0.20 m

Q 6

Q 5

Q 4

Q 1

Q 2

Q 3

q 2

q 5

q 3

q 6

q 1

q 4

y

x

G

y

x

0.322 m

0.589 m

x'

y'

-29.55

Resolução alternativa 1.4

Figura 87

Problema 2 Para uma força de compressão de 3000 kN a actuar no ponto P das secções iii e iv do exercício 1, determine o eixo neutro e as tensões normais máximas instaladas. Problema 3 a) Determine o núcleo central da secção representada na Figura 88; b) Determine o ponto de aplicação do sistema actuante na secção para que o eixo neutro esteja na posição indicada na figura.

Figura 88

Resolução a)

Figura 89

3871251140844592

5541873093435223

5121064104148892

7141995056630923

4

3

2

1

00

....Q

....Q

....Q

....Q

)m(y)m(x)m(y)m(x

−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−

∗∗∗∗∗∗∗∗

22

4

22

4

4

4

4

2

043670

25721101280

264635329

28890

20762

21423

360

m.i

mE.Im.i

mE.Iº.

mE.I

mE.I

mE.I

m.A

y

x

x

x

'y'x

'y

'x

====

−−−−========

−−−−====−−−−====

−−−−−−−−====

−−−−====−−−−====

====

αααα




54/64

1.00 m

1.00 m

3.00 m

6.00 m1.50 m

1.50 m

A B

C

1.00 m

1.00 m

y

x

Q2

Q3

Q4Q5

Q6

q2

q3

q4

q5 q1

q6

Q1

Figura 90

b) Problema 4 Considere a secção transversal recta representada na Figura 91. Nos pontos A e B estão aplicadas forças de compressão paralelas ao eixo longitudinal da peça com o valor de 200 kN. Determine o menor valor da força a aplicar em C de modo a que só existam tensões de compressão em qualquer ponto da secção.

Figura 91

2550097039704520

1700134059503250

1460290069401510

0491105009704180

3081085007705160

1770124057103540

6

5

4

3

2

1

00

....Q

....Q

....Q

....Q

....Q

....Q

)m(y)m(x)m(y)m(x

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

∗∗∗∗∗∗∗∗

========

⇒⇒⇒⇒

====−−−−⋅⋅⋅⋅++++−−−−⋅⋅⋅⋅++++

====−−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++⇒⇒⇒⇒

====++++++++

====++++++++

m.y

m.x

..

x.

.

y

..

x.

.

y

xi

xy

i

y

xi

xy

i

y

Qy

Qx

Qy

Qx

00740

12850

03250043670

5950101280

1

03540043670

5710101280

1

01

01

0

0

00

00

20

20

20

20

55

11




55/64

G

y

6.31 m

3.88 m

20.8º

x

y

x

Q1 Q2

Q3Q4

Q5

q1

q2

q3

q4

q5

A

C

BDE

4.91

0.57

Resolução

Figura 92

Figura 93

Figura 94

22

4

22

4

2

2969

46297

8831

2560

032

m.i

m.I

m.i

m.I

m.A

y

y

x

x

====

============

====

89056112429455

39740125506556

57045329636932

81093131328244

56060437830192

5

4

3

2

1

00

....Q

....Q

....Q

....Q

....Q

)m(y)m(x)m(y)m(x

−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

∗∗∗∗∗∗∗∗

kN.FECFDE

m.EC

m.DE

CC 4446400

914

570

====⇒⇒⇒⇒⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅

====

====




56/64

2.00 m

4.00 m

2.00 m

2.00 m

1.00 m

4.00 m2.00 m

1.00 m

2.00 m

A

B

C

2.00 m

1.00 m

2.80 m

3.80 m

G4.5400°

y

x

y

x

q 2

Q 1 Q 2

Q 4 Q 3

q 1

q 3

q 4

Problema 5 Considere a secção transversal recta representada na Figura 95. Nos pontos A e B estão aplicadas forças de compressão paralelas ao eixo longitudinal da peça com o valor de 150 kN. Determine o menor valor da força a aplicar em C de modo a que só existam tensões de compressão em qualquer ponto da secção.

Figura 95

Resolução

Figura 96

Figura 97

22

4

22

4

2

0753

0123

1126

5244

040

m.i

m.I

m.i

m.I

m.A

y

y

x

x

====

============

====

3871251140844592

5541873093435223

5121064104148892

7141995056630923

4

3

2

1

00

....Q

....Q

....Q

....Q

)m(y)m(x)m(y)m(x

−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−

∗∗∗∗∗∗∗∗




57/64

A

D

EB

C

4.36

0.74

Figura 98

kN.FECFDE

m.EC

m.DE

CC 9250300

364

740

====⇒⇒⇒⇒⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅

====

====



Exercícios propostos 9 – Encurvadura

58/64

P

L

L

9. ENCURVADURA 9.1. Problema de Euler Barra ideal: - Perfeitamente rectilínea; - Secção constante; - Material homogéneo; - Carga P centrada; - Sem defeitos de fabrico.

Figura 99

9.2. Comprimento de encurvadura De acordo com o art.º 48 do REAE: 8.2.1. Barras isoladas

LLe ==== LLe 2==== LLe ==== LLe 5.0==== LLe 7.0====

Figura 100

Carga crítica de Euler: Carga mínima que provoca instabilidade na forma rectilínea da barra (Regime elástico).

22 / ecr LEIP ππππ====




59/64

y

G

xR

egim

e el

ástic

o

σy

σp

Regimeplástico

σ

ε

9.2.2. Barras de estruturas trianguladas planas Artº 13.1 – Os elementos principais das estruturas planas devem, quanto possível, ter secções simétricas em

relação ao plano médio dessas estruturas. Nas estruturas trianguladas deve ainda procurar-se que os elementos concorrentes numa ligação

fiquem dispostos de modo que os seus eixos concorram num ponto (nó). Artº 48. d) No caso de estruturas trianguladas planas cuja geometria satisfaça ao indicado no art.º 13, pode

considerar-se, em geral, para comprimento de encurvadura das barras no plano da estrutura, 0.8 do seu comprimento teórico.

Para comprimento de encurvadura das barras no plano normal ao plano da estrutura pode considerar-se o comprimento teórico das barras; no caso do banzo comprimido de vigas trianguladas, será considerado o comprimento entre os nós efectivamente contraventados.

9.3. Esbelteza

O coeficiente de esbelteza, λλλλ , é dado pela relação entre o comprimento de encurvadura da barra e o raio de giração da secção transversal da barra em relação ao eixo perpendicular ao plano de encurvadura considerado.

Figura 101

9.4. Curvas de projecto de acordo com R.E.A.E.

Figura 102

284355510

220275430

188235360

Fe

Fe

Fe

)MPa()MPa( py σσσσσσσσ

====

====

x

yey

y

xex

i

Li

L

,

,

λλλλ

λλλλ




60/64

20 180

Recta de Tetmayer

Hipérbole de Euler

Regime elasto-plástico

Regime elástico

Regimeplástico

λp

λ

σy

σrd

σp/1.8

22 λλλλππππσσσσ /Ecr ==== pp /E σσσσππππλλλλ 2====

GPaE 206====

Quadro 1

Figura 103

Quadro 2

22

22

22

1128545317985

06013166416008620172318520

355120510

1128325410396

0075215315007300146019620

275120430

11284704802105

560412082660066401328110520

235120360

λλλλσσσσλλλλϕϕϕϕλλλλλλλλσσσσλλλλϕϕϕϕλλλλ

σσσσϕϕϕϕλλλλσσσσϕϕϕϕλλλλ





//

....

)MPa(aencurvadurdeeCoeficientesbeltezadeeCoeficient

Fe

//

....


Fe

//

....


Fe

rd

rd

rd

rd

rd

rd

rd

rd

rd

rd

rd

rd

========≥≥≥≥−−−−====−−−−====≤≤≤≤≤≤≤≤

========≤≤≤≤

========≥≥≥≥−−−−====−−−−====≤≤≤≤≤≤≤≤

========≤≤≤≤

========≥≥≥≥−−−−====−−−−====≤≤≤≤≤≤≤≤

========≤≤≤≤

815785510

212296430

4104105360

81

.Fe

.Fe

.Fe

)MPa(./)MPa( pp σσσσλλλλ




61/64

9.5. Verificação da segurança em relação ao estado limite de encurvadura por varejamento Artº 42.1 – Nos elementos sujeitos a esforços de compressão em que haja risco de varejamento a verificação

de segurança consiste em satisfazer a condição:

σσσσσσσσ RdSd ≤≤≤≤

Artº 42.2 – No caso de barras rectas sujeitas a esforços simples de compressão, o valor de cálculo da tensão

actuante é definido pela expressão:

ϕϕϕϕσσσσ ⋅⋅⋅⋅====

A

NSdSd

SdN - valor de cálculo do esforço normal actuante, determinado tendo em conta as combinações de acções e

os coeficientes de segurança; A - área da secção transversal da barra;

ϕϕϕϕ - coeficiente de encurvadura dependente do coeficiente de esbelteza da barra, λλλλ , cujos valores são

definidos no Quadro 2. 9.6. Dimensionamento tendo em conta a encurvadura p or varejamento 1 - Pré-dimensinamento

perfilescolheretabelasConsultar.

NA

A

NArbitrado.

Rd

Sd

RdSd

Sd→→→→

⋅⋅⋅⋅≥=≥=≥=≥=⇒⇒⇒⇒

≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅

====

====

50

50

1 σσσσσσσσσσσσ ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

2 – Verificação da segurança

(((( ))))máxyxmáx

x

y,ey

y

x,ex

f);(máx

i

Li

L

λλλλϕϕϕϕλλλλλλλλλλλλλλλλ

λλλλ====

⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒

====

====

→→→→≥≥≥≥→→→→≤≤≤≤→→→→≅≅≅≅

⋅⋅⋅⋅====

eriorsupperfilEscolher

eriorinfperfilEscolher

)OK(

A

N

RdSd

RdSd

RdSdSd

Sd

σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ

σσσσ ϕϕϕϕ

Critério de aceleração da convergência do processo iterativo:

perfilescolheretabelasConsultarAARd

Sd →→→→≥=≥=≥=≥= 12 σσσσσσσσ

3 – Repetir o passo 2




62/64

2.00 m

Nk= 175 kN

2 UNP 100

2.00 m

Nk= 400 kN

2 UNP 100

5.50 m

Nrd= ?

3 IPE 400

Problema 1 Verifique a estabilidade do pilar representado na Figura 104 constituído por dois UNP 100 em Fe 360. Considere que as condições de apoio são idênticas nas duas direcções.

Figura 104

Problema 2 Verifique a estabilidade do pilar representado na Figura 105 constituído por dois UNP 100 em Fe 360. Considere que as condições de apoio são idênticas nas duas direcções.

Figura 105

Problema 3 Considere o pilar representado na Figura 106 constituído por três IPE 400 em Fe 360, dispostos conforme indicado. Determine o valor máximo da carga coMPatível com a segurança da barra. Considere que as condições de apoio são idênticas nas duas direcções.

Figura 106




63/64

3.00 m

100 kN

50 kN/m

5.0 m

A

2.0 m

B C

2.0 m

100 kN

D

E

2 UNP 80

5 cm

10.00 m

Nsd= 5200 kN

4.00 m

50 kN/m

4.0 m

A

2.0 m

B

C

300 kN

Problema 4 Verifique a estabilidade da barra EC da estrutura da Figura 107 supondo-a constituída por dois UNP 80 em Fe 360 e por travessas de contraventamento afastadas de 1 m, sabendo que o nó C está travado na direcção perpendicular ao plano da estrutura. As acções estão indicadas com os seus valores de cálculo.

Figura 107

Problema 5 Dimensione o pilar representado na Figura 108 com perfis da série HEA em Fe 360, considerando-o impedido de varejar na direcção de menor inércia.

Figura 108

Problema 6 Dimensione o pilar BC constituído por um perfil metálico da série HEB em Fe 360. Considere o perfil na posição mais favorável, sabendo que o nó B está travado na direcção perpendicular ao plano da estrutura. As acções estão indicadas com os seus valores característicos.

Figura 109




64/64

2.0 m 2.0 m 2.0 m2.0 m2.0 m 2.0 m2.0 m2.0 m2.0 m2.0 m

2.00 m

A

C D E F G H

B

P/2 P P P P P P P P P P/2

2 L 100x100x10 - Banzo superior 2 L 70x70x7 - Montantes

4.0 m

A B

100 kN

4.0 m

D

50 kN

C

E

1.50 m

1.50 m

12 mm

Problema 7 a) Verifique a estabilidade do banzo superior sabendo que a zona mais esforçada está submetida a um

esforço de compressão de Nsd = 400 kN. b) Verifique a estabilidade dos montantes sabendo que o montante mais esforçado está submetido a um

esforço de compressão de Nsd = 160 kN. Considere que os nós C, D, E, F, G e H estão contraventados. As duplas barras serão realizadas com perfis metálicos de Fe 360, encontrando-se devidamente solidarizadas.

Figura 110

Problema 8 Considere a estrutura triangulada plana representada, realizada em Fe 360. Os nós C e E estão travados na direcção normal ao plano da estrutura. Dimensione as barras AB e BC com duas cantoneiras colocadas a par conforme representado da Figura 111, sabendo que de metro a metro existe uma travessa ou presilha de ligação entre as cantoneiras, já devidamente dimensionada.

Figura 111

remat - apontamentos (2008«-»2009)

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