Relatório Campo Magnético

A. Ferreira (67893), A. Patrício (67898), M. Prata (67933), T. Coutinho(67957)LCET, Engenharia Física Tecnológica 2o ano,

IST, Av. Rovisco Pais 1049-001 Lisboa, Portugal(Dated: 14 de Abril de 2011)

Com uma sonda de Hall, estudámos o campo magnético ~B induzido por correntes estacionáriasem vários circuitos: bobine circular, bobines de Helmholtz e solenóides. Os modelos teóricos foramobtidos por integração numérica, construindo-se cortes bidimensionais do campo para a bobine ebobines de Helmholtz. Em geral, os dados coincidiram satisfatoriamente com os modelos teóricos.

Estudámos ainda a curva de histerese B(H) de um material ferromagnético, obtendo Bsat =1.4 ± 0.1T , Brem = 0.80 ± 0.06T , Hc = 76.5 ± 3.7A.m−1 e µr(inicial) ≈ 13397, concluindo-se sera liga mais provável do núcleo do transformador de Fe− Si(96% − 4%).

I. INTRODUÇÃO TEÓRICACom base nas experiências de Ampére, estabeleceu-se que uma

carga q em movimento gera um campo magnético ~B, e que a forçaexercida numa carga Q é dada pela lei de Lorentz:

~F = ~Felec. + ~Fmag = Q( ~E + ~v × ~B) (1)

Consideramos para estudo correntes estacionárias. Estas pro-duzem campos magnéticos constantes no tempo, ∂ ~B/∂t = 0. Namagnetoestática ∂ρ/∂t = 0 e, portanto, ∇ · ~J = 0.Estabeleceu-se ainda a lei de Biot-Savart para(apenas) uma

corrente estacionária, análoga à de Coulomb na electroestática:~B(~r) =

µ0

4π

∫~J(~r′)× r̂

r2 dτ ′ (2)

onde r = ~r − ~r′, ~r é a posição de cálculo do campo e ~r′ é oponto onde se situa o elemento infinitesimal gerador do campo.A lei de Biot-Savart permite-nos verificar de imediato que

a) ∇ · ~B = 0, b) ∇× ~B = µ0 ~J (3)

A equação 3 b),lei de Ampére, escreve-se em forma integral:∮~B · d~l = µ0Ienc (4)

A condição ∇ · ~B permite, num 2-conexo, introduzir um po-tencial vector ~A para o ~B, ~B = ∇× ~A, definido a menos de umcampo irrotacional. Escolhendo ~A de modo a ∇· ~A = 0, obtemos

∇2 ~A = −µ0 ~J ⇒ ~A(~r) =µ0

4π

∫~J(~r′)r

dτ ′ (5)

Note-se, assim, que uma construção axiomática baseada nasequações 1, 3a) e 3b) permitiria obter a lei de Biot-Savart.Consideremos uma espira circular de raio R assente no plano

xy percorrida pela corrente estacionária I. Fixado um sistemade coordenadas cilindricas, o campo gerado no ponto (r, θ, z) é

~B =µ0IR

4π

∫ 2π

0

(z cos θ′, z sin θ′, R− y sin θ′)

[(R cos θ′)2 + (y −R sin θ′)2 + z2]32dθ′ (6)

Se considerarmos duas espiras coaxiais de raio R, separadas ded e percorridas pela corrente I no mesmo sentido, o campo sobreo eixo admite uma expansão em série de potências(em torno dez = 0) de α = z/d com termos em α e α2 nulos se R = d(bobinesde Helmholtz), sendo o campo no eixo e perto do centro

Bz(z) ≈8µ0I

R(532 ), z ≈ 0 (7)

Já o campo gerado no eixo de um solenóide com n espiras porunidade de comprimento percorridas por uma corrente I é

Bx =µ0nI

2(cos θ2 − cos θ1) (8)

sendo θ1, θ2 os ângulos entre o ponto e as espiras nas extre-midades do solenóide e o sinal dado pela regra da mão direita.

Expandindo o potencial vector em multipolos(potências de1/r), verificamos de imediato que o termo dipolar da expansão é4πµ0

~Adip(~r) = I

r2

∮r′ cos θ′d~l′ = ~m× r̂

r2 , ~m =∮

(r̂ · ~r′)d~l′ = I~a

onde ~m é o momento dipolar magnético do loop de corrente.Um pedaço de material à escala atómica possui peque-

nas correntes: electrões orbitando em torno do núcleo e’girando’ em torno do seu eixo, considerados dipolos pu-ros. Aplicado um campo ~B sobre o material, os di-polos alinham-se e o material adquire uma magnetização~M =momento dipolar por unidade de volume. O campo geradopor ~M é igual ao de uma distribuição localizada de carga em vo-lume e em superficie com densidades ~Jb = ∇× ~M e ~Kb = ~M × n̂(correntes de magnetização), sendo n̂ a normal unitária à super-fície. Assim, no material, existem correntes livres e de magneti-zação ~J = ~Jb + ~Jf , reescrevendo-se a lei de Ampére como

∇× ~H = ~Jf , ~H =1µ0

~B − ~M, →∮

~H · d~l = Ifenc (9)

Em meios LHI, ~M = χm~H. Assim, para um solenóide preen-

chido com material LHI, um modelo aproximado para ~B no eixo,que considera M constante à superfície, é

~B =µ0

2(ni+M)(cosθ2 − cosθ1) (10)

Nos materiais ferromagnéticos, ~M deve-se aos spins e cada di-polo alinha-se no mesmo sentido dos que o rodeiam. Tal alinha-mento ocorre em pequenas regiões, os domínios. Na ausência deanteriores campos externos o alinhamento é aleatório e ~M = 0.[1]

Aplicando uma corrente I sobre espiras que rodeiam omaterial, logo um campo ~B, os dipolos experienciam um torque~N = ~m × ~B que os alinha com o campo e o efeito global é omovimento das fronteiras dos domínios, crescendo os paralelosao campo. Eventualmente, todos os dipolos ficam alinhados eatingimos a saturação M = Msat(b). Anulando I, permaneceuma magnetização residual Mres(c). Revertendo I, podemosnovamente tornar ~M = 0(d) e, se aumentarmos muito, aintigmosa saturação(e). A curva obtida é o loop de histerese e evidenciaa dependência de ~M na história magnética do material. Para terunidades idênticas em ambos os eixos(T), costuma-se representar(µ0, ~H, ~B) e designar ~Hc no ponto g por campo coercivo.

II. DESCRIÇÃO EXPERIMENTALEstudámos os sistemas físicos presentes na figura seguinte:

Efectuámos a medição do campo ~B induzido com uma sondade efeito de Hall sobre uma base plástica forrada a papel mili-mético(indicador de posição) num plano que contém o eixo dasbobines. Adoptámos um referencial com origem numa bobine,eixo dos zz segundo o eixo das bobines e sentido positivo para aoutra bobine, eixo dos yy numa direcção radial ao eixo.Começámos por colocar a zona activa da sonda no centro de

uma das bobines(raio de r = 0.068±0.001m e número de espirasN = 320) com os eixos paralelos. Variámos a corrente I nabobine de 0.1A a 1.5A com incrementos de 0.1A. A medição deBz e ajuste à eq. 6 permitiu concluir sobre a calibração da sonda.

De seguida,parte 2, ajustámos a fonte de tensão para que abobine fosse percorrida pela corrente I = 1A. Medimos Bz e By

no eixo da bobine, até à intensidade cair para 1/20 da original,em intervalos de 1cm. Comparámos os dados com a eq. 6(y=0).

Na etapa 3, realizámos idêntico procedimento para y = 2.5cm.A quarta parte consistiu na medição de By em z=0, em passos

de 0.5 cm. Os dados foram comparados com a eq. 6(z=0).As partes 5 a 7 têm procedimento similar às 2 a 4, com ambas

as bobines percorridas por uma corrente de 1 A no mesmo sentidoe com o sistema de coordenadas transladado em z o centro dasbobines. Comparamos os dados com o campo teórico obtido porsobreposição dos campos gerados por cada uma das duas espiras.

Na oitava e nona parte, medimos Bz em y = 0 e y = 1.5 cm,emintervalos de 1 cm, até que a intensidade do campo caísse para1/20 do valor em z=0. Confrontámos os resultados com a eq. 8)A parte 9b do trabalho consiste na repetição da parte anterior

mas com um núcleo de ferro no espaço exterior ao solenóide.Finalmente, montámos o circuito da figura seguinte:

A partir das tensões aos terminais das resistências conseguem-se determinar o campo coercivo Hc, o campo de saturação BS eo campo remanescente Br. Baseada nestes valores, faz-se umaestimativa da permeabilidade relativa incremental µ do material.

III. RESULTADOS E TRATAMENTO DE DADOS

1-Calibração da sonda

Obtivémos os dados experimentais da tabela I e reali-zámos o ajuste presente na figura 1. Obtivémos o de-clive µ0N/(2R) = (2.89± 0.03)× 10−3 N.A−2m−1, com desviode 1.0% à precisão e 2.2% à exactidão, e a ordenada na origemb = (−3.0± 2.7)× 10−5 T , com desvio de 90% à precisão.

I (A) B(T) Desv. Precisão (%) Desv Exactidão (%)0.101 2.7E-004 18.5% 9.6%0.202 5.6E-004 8.9% 6.2%0.306 8.6E-004 5.8% 4.9%0.404 1.13E-003 4.4% 5.4%0.503 1.42E-003 3.5% 4.5%0.603 1.71E-003 2.9% 4.1%0.703 2.00E-003 2.5% 3.8%0.803 2.30E-003 2.2% 3.1%0.898 2.56E-003 2.0% 3.6%0.999 2.85E-003 1.8% 3.5%1.100 3.15E-003 1.6% 3.2%1.202 3.45E-003 1.4% 2.9%1.298 3.71E-003 1.3% 3.3%1.397 4.02E-003 1.2% 2.7%1.504 4.33E-003 1.2% 2.6%

Tabela I: Dados para verificação da calibração da sonda.

Figura 1: Ajuste da eq. 6) aos dados da tabela I).O declive possui um desvio à exactidão um pouco superior ao

desvio à precisão, apesar dos cuidados em manter a zona activano centro da bobine e tarar o medidor a cada medição(evitar ocampo geomagnético da Terra, Bearth ≈ 44µT ). Tal diferençanão é significativa pois o valor usado como exacto baseia-se numamedição do raio R com erro eR = 0.001m, pelo que o valortomado como exacto possui um desvio de 1.8% à precisão.Já a ordenada na origem parece indicar-nos com o seu desvio à

precisão de quase 100% que uma estimativa do erro para o valorindicado pela sonda de eB = 3 × 10−5 T é adequada. Foi esteo valor usado ao longo da experiência para todas as medições,o qual virá omitido nas tabelas para poupança de espaço.

2- Campo magnético ~B ao longo do eixo da bobine

Registámos os valores da tabela II e o gráfico na fig.2 para umacorrente I = 1.002 ± 0.005A. Os registos de By consideram-setodos nulos, visto estarem todos abaixo do erro eB = 3×10−5 T .

Podemos verificar a boa adequação dos dados à curva teórica.O erro na medição do campo cobre, para cada ponto experimen-tal, o desvio em relação à curva téorica. Porém, devemos registaro aparante começo de uma divergência dos valores experimentaisem relação aos teóricos à medida que z aumenta.

z (m)a Bz (T) D.Precisão(%) D.Exactidão(%) D. Prec- D. Exact.(%)0.000 2.85E-03 1.8% 1.6% 0.1%0.010 2.80E-03 1.8% 0.2% 1.6%0.020 2.56E-03 2.0% 0.1% 1.9%0.030 2.22E-03 2.3% 0.0% 2.2%0.040 1.86E-03 2.7% 0.2% 2.4%0.050 1.53E-03 3.3% 1.0% 2.3%0.060 1.22E-03 4.1% 0.1% 4.0%0.070 9.7E-04 5.2% 1.0% 4.1%0.080 7.6E-04 6.6% 3.4% 3.1%0.090 6.2E-04 8.1% 2.3% 5.7%0.100 4.8E-04 10.4% 6.8% 3.6%0.110 3.9E-04 12.8% 7.4% 5.4%0.120 3.1E-04 16.1% 10.7% 5.4%0.130 2.6E-04 19.2% 9.9% 9.3%0.140 2.1E-04 23.8% 13.1% 10.7%0.150 1.7E-04 29.4% 16.6% 12.8%

a Com um erro ez = 0.001m.

Tabela II: Campo magnético ao longo do eixo da bobine.

3- Campo magnético da bobine em y = 2.5 cmPara I = 0.990 ± 0.005A, registámos os dados na tabela III

com os quais realizámos o gráfico na fig.3. Todos os desviosao valor exacto para By são cobertos pelos desvios à precisão.Apesar do mesmo acontecer para Bz até z = 0.080m, para z >0.080m observamos novamente um desvio à exactidão cada vezmais acentuado e não coberto pelos desvios à precisão.

2

Figura 2: Curva teórica e pontos exp. para Bz em y = 0.z (m) Bz(T) D.Prec(%) D.Exac(%) By(T) D.Prec(%) D.Exac(%)0.000 3.15E-03 1.6% 0.7% 5E-05 100.0% -0.010 3.00E-03 1.7% 0.8% 3.2E-04 15.6% 13.9%0.020 2.70E-03 1.9% 1.9% 4.2E-04 11.9% 7.9%0.030 2.25E-03 2.2% 2.6% 4.6E-04 10.9% 8.7%0.040 1.76E-03 2.8% 0.2% 4.3E-04 11.6% 8.5%0.050 1.40E-03 3.6% 0.1% 3.5E-04 14.3% 12.5%0.060 1.08E-03 4.6% 2.9% 2.7E-04 18.5% 16.9%0.070 8.3E-04 6.0% 6.3% 2.0E-04 25.0% 22.2%0.080 6.6E-04 7.6% 7.0% 1.6E-04 31.3% 20.8%0.090 5.1E-04 9.8% 11.0% 1.3E-04 38.5% 17.7%0.100 4.1E-04 12.2% 12.2% 9E-05 55.6% 26.8%0.110 3.2E-04 15.6% 16.7% 6E-05 83.3% 38.1%0.120 2.6E-04 19.2% 18.2% 5E-05 100.0% 35.1%0.130 1.9E-04 26.3% 28.3% 3E-05 166.7% 50.8%0.140 1.4E-04 35.7% 37.2% 2E-05 250.0% 59.2%

Tabela III: Campo ~B em y = 0 e y = 2.5 cm para uma bobine.

Figura 3: Curva teórica e dados experimentais em y = 2.5cm.4-Campo Bz no eixo radial da bobine em z=0

Com I = 0.993±0.005A, registámos os dados que se mostramna tabela IV e elaborámos também o gráfico observável na fig.4.

y (m) By(T) eBy(T) D. Precisão(%) D. Exactidão(%)0.000 2.80E-03 5E-05 1.8% 1.4%0.005 2.83E-03 5E-05 1.8% 0.7%0.010 2.86E-03 5E-05 1.7% 1.0%0.015 2.90E-03 5E-05 1.7% 1.7%0.020 2.96E-03 5E-05 1.7% 2.6%0.025 3.10E-03 5E-05 1.6% 2.2%0.030 3.30E-03 5E-05 1.5% 1.5%0.035 3.52E-03 5E-05 1.4% 2.2%0.040 3.81E-03 5E-05 1.3% 3.3%0.045 4.18E-03 5E-05 1.2% 6.1%0.050 4.90E-03 5E-05 1.0% 6.5%0.055 5.98E-03 5E-05 0.8% 9.9%

Tabela IV: Campo Bz no eixo radial em z=0 para uma bobine.

Figura 4: Curva teórica e dados para By em z=0 na bobine.Verificamos, mais uma vez, o padrão de divergência em relação

ao valor exacto para grandes valores de y, sendo, nesta etapa,mais evidente este efeito e para baixos valores de y.

5, 6-Campo ~B nos eixos paralelos ao das bobinesPara I = 1.010± 0.005A(etapa 5) e I = 0.999± 0.005A(etapa

6), anotámos os dados na tabela V e realizámos o gráfico da

fig. 5, sendo os valores experimentais para By(y = 0) nulos.z(m) Bz(y = 0)(T) D. Ex(%) Bz(y = 2.5cm)(T) D. Ex(%) By(y = 2.5cm) D. Ex(%)0.000 4.20E-03 1.7% 4.04E-03 0.2% -1E-05 -0.010 4.19E-03 1.9% 4.08E-03 0.0% -1.0E-04 327.3%0.020 4.16E-03 1.9% 4.18E-03 0.2% -2E-05 766.7%0.030 4.05E-03 1.8% 4.22E-03 1.4% 5E-05 71.8%0.040 3.80E-03 2.0% 4.02E-03 2.4% 3.0E-04 27.0%0.050 3.44E-03 1.7% 3.59E-03 3.5% 4.8E-04 17.9%0.060 2.98E-03 1.8% 3.01E-03 3.6% 5.4E-04 15.8%0.070 2.57E-03 0.7% 2.40E-03 1.7% 5.3E-04 12.0%0.080 2.12E-03 1.0% 1.96E-03 3.5% 4.9E-04 5.4%0.090 1.73E-03 1.4% 1.56E-03 3.0% 4.0E-04 5.9%0.100 1.40E-03 1.4% 1.29E-03 6.0% 3.1E-04 8.6%0.110 1.13E-03 1.1% 1.01E-03 2.6% 2.3E-04 14.2%0.120 9.4E-04 3.4% 8.4E-04 4.7% 1.7E-04 19.4%0.130 7.8E-04 4.8% 6.6E-04 0.2% 1.3E-04 21.7%0.140 6.3E-04 2.6% 5.0E-04 8.4% 9E-05 31.8%0.150 5.3E-04 3.8% 4.0E-04 12.3% 6E-05 42.9%0.160 4.5E-04 5.1% 3.1E-04 19.3% 4E-05 52.4%0.170 3.7E-04 2.3% 2.5E-04 23.3% 3E-05 55.9%0.180 3.2E-04 4.0% 2.0E-04 28.3% 2E-05 64.3%0.190 2.7E-04 2.4%0.200 2.2E-04 3.3%0.210 2.0E-04 1.2%

Tabela V: Campo ~B em y = 0, 2.5cm nas bobines de Helmholtz.

Figura 5: Curva teórica e dados em y=0;2.5cm na bobine .Verificamos uma boa concordância dos resultados experimen-

tais relativos a y = 0 com a curva teórica, verificando-se pelatabela que os desvios à exactidão são cobertos pelos desvios àprecisão. Apenas para os valores iniciais isto não ocorre, mas adiferença é menor que 0.7%. Já os dados relativos a y = 0.025mapresentam para Bz uma tendência idêntica às atrás verificadas epara By um bom ajustamento à curva teórica para z ≥ 0.080m.

7-Campo ~Bz em z = 0 para as bobinesCom I = 0.998 ± 0.005A, registámos os dados na tab.VI e a

curva na fig.6, sendo os valores exp. para By(z = 0) nulos.y (m) Bz(T) Desv. Precisão(%) Desv. Exactidão(%)0.000 4.09E-03 1.2% 0.5%0.005 4.08E-03 1.2% 0.3%0.010 4.08E-03 1.2% 0.3%0.015 4.07E-03 1.2% 0.1%0.020 4.06E-03 1.2% 0.1%0.025 4.04E-03 1.2% 0.2%0.030 4.01E-03 1.2% 0.5%0.035 3.95E-03 1.3% 0.9%0.040 3.82E-03 1.3% 0.8%0.045 3.67E-03 1.4% 2.0%0.050 3.37E-03 1.5% 1.7%0.055 2.97E-03 1.7% 1.3%

Tabela VI: Campo ~Bz em z = 0 para as bobines de Helmholtz.

Figura 6: Curva teórica e dados para Bz em z=0 nas bobines.São razoáveis os valores, sendo quase todos os desvios ao exacto

cobertos pelo desvio à precisão. A diminuição da exactidão comz também ocorre, mas é menos acentuado face às 3a e 4a etapas.

8,9 -Campo ~Bz para o solenóide com núcleo de arPara o solenóide, L = 0.185 ± 0.001m, R = 0.019 ± 0.001m,

n = 1290± 71espiras.m−1(40 espiras em 0.031m) e I = 1.001

3

±0.005A, anotámos os dados na tab.VII e construímos a fig.7.z (m) Bz(y = 0)(T) D.Prec(%) D.Ex(%) Bz(y = 1.5cm)(T) D.Prec(%) D.Ex(%)0.000 1.57E-03 3.2% 1.4% 1.64E-03 3.0% 3.0%0.010 1.57E-03 3.2% 1.3% 1.63E-03 3.1% 2.4%0.020 1.56E-03 3.2% 1.8% 1.64E-03 3.0% 3.2%0.030 1.56E-03 3.2% 1.4% 1.64E-03 3.0% 3.6%0.040 1.55E-03 3.2% 1.3% 1.63E-03 3.1% 3.6%0.050 1.52E-03 3.3% 2.0% 1.61E-03 3.1% 3.4%0.060 1.46E-03 3.4% 3.5% 1.56E-03 3.2% 2.0%0.070 1.37E-03 3.6% 4.6% 1.49E-03 3.4% 0.9%0.080 1.20E-03 4.2% 5.2% 1.32E-03 3.8% 3.5%0.090 9.1E-04 5.5% 0.8% 9.4E-04 5.3% 7.7%0.100 4.9E-04 10.2% 1.9% 2.3E-04 21.7% 32.6%0.110 2.5E-04 20.0% 1.4% 1.0E-04 50.0% 43.4%0.120 1.1E-04 45.5% 16.9% 5E-05 100.0% 52.6%0.130 8E-05 62.5% 1.1% 3E-05 166.7% 55.8%

Tabela VII: Campo Bz no eixo do solenóide com núcleo de ar.

Figura 7: Curvas teóricas e dados no solenóide c. núcleo de ar.A adequação dos dados à curva teórica para o campo no eixo

do solenóide é satisfatória, sendo todos os desvios à exactidão(pordefeito) cobertos pelos desvios à precisão. Não se observa nos er-ros uma nítida passagem do interior para o exterior do solenóide.Para Bz em y = 1.5cm, no interior o campo é superior ao pre-

visto e no exterior inferior. Tal está relacionado com a curvaturadas linhas de campo, superior no exterior do solenóide e muitosuperior em y=1.5cm face a y=0.

9B -Campo Bz para o solenóide com núcleo de ferroSendo o comprimento L = 0.150± 0.001m, o raio R = 0.018±

0.001m e n = 1533 ± 53esp.m−1(23 espiras em 0.015m) e I =0.999± 0.005A, registámos os dados na tab.VIII e na fig.8.z (m) Bz(y = 0)(T) Desv.Precisão(%) Bz(y = 1.5cm)(T) Desv.Precisão(%)0.083 3.15E-03 1.6% 3.48E-03 1.4%0.093 2.22E-03 2.3% 2.37E-03 2.1%0.103 1.51E-03 3.3% 1.65E-03 3.0%0.113 1.05E-03 4.8% 1.06E-03 4.7%0.123 7.5E-04 6.7% 8.1E-04 6.2%0.133 5.3E-04 9.4% 6.1E-04 8.2%0.143 4.3E-04 11.6% 4.9E-04 10.2%0.153 3.4E-04 14.7% 4.0E-04 12.5%0.163 2.8E-04 17.9% 3.2E-04 15.6%0.173 2.1E-04 23.8% 2.6E-04 19.2%0.183 1.7E-04 29.4% 2.3E-04 21.7%0.193 1.2E-04 41.7% 1.9E-04 26.3%0.203 1.0E-04 50.0% 1.3E-04 38.5%

Tabela VIII: Bz no solenóide c.núcleo de ferro, em y = 0, 1.5cm.

Figura 8: Curva teórica e dados no solenóide c. núcleo de ferro.Verificamos um razoável ajustamento da curva teórica aos da-

dos para y = 0, com cerca de quatro pontos que não ‘tocam’ acurva. Os dados em y = 2.5cm afastam-se mais da curva, sendo

que apenas dois deles a intersectam. A hipotética magnetizaçãoconstante à superficie obtida foi de M = 5774± 86A.m−1.

10 -Curva de Histerese B(H)

Na última parte, obtivémos os valores registados na tabela IX

Hc(A.m−1 Bsat(T) Brem(T) µr

89± 2 1.4± 0.1 0.80± 0.06 13397

Tabela IX: Dados relativos à curva de histerese do material.IV. ANÁLISE SUMÁRIA E CONCLUSÕES

A medição de ~B no centro de uma das bobines permitiu testara calibração da sonda, tendo-se verificado que esta era satisfató-ria e que a incerteza minima de medição era eB = 3 × 10−5 T .Vimos que os valores obtidos para o campo em bobines seguiramsatisfatoriamente as curvas obtidas por integração numérica.

Porém, observámos um sistemático acentuar do desvio à exac-tidão com o afastamento às espiras. Em geral, os pontos expe-rimentais na ’cauda’ da curva situavam-se abaixo da mesma. Aaproximação conceptual de considerar o conjunto de N = 320 es-piras como uma única percorrida pela corrente NI não justificatal desvio sistemático, uma vez que se espera ser a aproximaçãotanto melhor quanto mais afastados das espiras. A hipótese dacausa ser um desvio de calibração da sonda está fora de ques-tão(ver parte 1), pois não justifica o desvio observado na fig.4.A única causa que parece plausível, cujos efeitos variem com adistância z, y, é um mau alinhamento do eixo da bobine com omarcado no papel milimétrico. De referir ainda que os valoresnão nulos(nulos dentro do erro na medição, mas é visivel na sondaum valor não nulo) obtidos para By segundo o eixo da espira po-dem justificar-se por uma tensão residual na sonda de efeito deHall resultante da amplificação das tensões geradas pelo efeito.

Como esperado, vemos que as medições mais exactas foram asrealizadas no eixo do sistema de bobines de Helmholtz. Verifica-se novamente um aumento dos desvios à exactidão, apesar de sermenos acentuado que nos restantes casos. Esta maior exactidão,mas mantendo a tendência de maiores desvios para maiores de z,pode ser uma confirmação da causa apontada para os desvios sis-temáticos, a saber, o mau alinhamento dos eixos das bobines e damarcação no papel milimétrico. Como acrescento, apresentam-seem anexo, nas figuras 9 e 10 os cortes 2-dimensionais do campoteórico e experimental para uma e duas bobines, respectivamente.

Para o solenóide com núcleo de ar, observámos uma razoáveladequação dos dados no eixo do solenóide mas menos boa noeixo paralelo. Podemos procurar justificação para isto na dificul-dade em manter a sonda segundo o eixo a 1.5cm do central, pelofacto de, por poupança de tempo, não termos tarado o medidora cada medição ou pela proximidade em demasia da zona activada sonda às espiras. Esta proximidade poderá induzir efeitos nãodesejados e não englobados na análise teórica idealizada.

Quanto ao solenóide com núcleo de ferro, verificámos que o mo-delo simplificado de considerar o material LHI e o tratar comose de um solenóide com núcleo de ar cujo efeito do núcleo se con-cretiza no aparecimento de uma corrente superficial de magneti-zação, não é de todo despropositado. Já em y = 1.5cm, pareceimpor-se a neessidade de um modelo teórico mais detalhado.

Os valores obtidos para Bsat e Brem situam-se num limite in-ferior dos valores habituais para uma liga Fe-Si e Fe-Ni. Já Hc ébastante superior aos tabelados, sendo mais próximo do de umaliga Fe-Si. O valor de µr parece indicar que a liga se trata deuma liga de Fe− Si. No entanto, parece-nos mais adequado as-sumir que a liga é de Fe− Si porque a hipótese do material serLHI é pouco fundamentada, podendo o valor de µr depender for-temente de uma orientação preferencial desta liga em concreto.

[1] D.J.Griffiths,Introduction to Electrodynamics, 3a ed., Reed College [2] J.L.Figueirinhas, http://www.ciul.ul.pt/~figuei/cmagnet.pdf4

Apêndice A: Modelos Vectoriais Bidimensionais

Figura 9: Corte bidimensional do campo vectorial ~B para uma bobine.

Figura 10: Corte bidimensional do campo vectorial ~B para o sistema de Bobines de Helmholtz.5