acoplamento magnético

29-11-2003 Circuitos Eléctricos- Jaime Santos 1

ACOPLAMENTO MAGNÉTICO DE CIRCUITOS

Considerações gerais

ü Uma corrente variável no tempo produz um campo magnético variável no tempo.ü Um campo magnético variável induz, por sua vez, uma tensão num qualquer condutor colocado na zona de sua influência. ü A relação entre a corrente variável no tempo e a tensão resultante induzida pelo campo variável, é representada em termos do parâmetro de indutância (L).

dtdiLv =

ü Quando uma corrente variável no tempo percorre um circuito, esta produz um campo magnético variável num outro qualquer circuito existente na sua proximidade, provocando o aparecimento de uma tensão induzida.üEsta tensão, pode ser relacionada com a corrente variável no tempo do primeiro circuito, através de um parâmetro de indutância designado por indutância mútua.



Considerações gerais (cont.)

ü A indutância mútua é medida em henrys e é identificada pela letra M.

ü Como o parâmetro L, relaciona uma tensão induzida com uma corrente

variável no tempo num mesmo circuito, este é designado por auto-indutância.

üQuando dois circuitos são abraçados por um campo magnético, estes são

considerados acoplados magneticamente.

üO acoplamento magnético é um fenómeno físico importante, usado em

circuitos de potência e de comunicação.

üPor exemplo, o transformador, é um dispositivo totalmente baseado no

conceito de acoplamento magnético.



Conceito de auto-indutância

A tensão induzida num condutor é proporcional ao número de linhas de forças que cortam o condutor.

Lei de Faradaydtd

vλ

=fluxo ligado ou encadeado, em webers-espiras.

+

-

i

v

N espiras

φφ

Ø A intensidade do campo magnético depende da intensidade da corrente

Ø A orientação espacial do campo depende do sentido da corrente

Regra da mão direita

λà produto do campo magnético medido em webers (Wb) pelo nºde espiras N abraçadas pelo campo.

λ = Nφ



A intensidade de fluxo φ depende

Intensidade da corrente na bobine Número de espiras da bobine

Propriedades magnéticas do espaço ocupado pelo fluxo

φ = P N i

P à permeância do espaço ocupado pelo campo depende

permeabilidade

Dimensões físicas do espaço

ØEspaço não-magnético Relação entre φ e i é linear

ØEspaço magnético Relação entre φ e i é não-linear



Assumindo um material não-magnético

dtdi

Ldtdi

NNi)(dtd

Ndtd

Ndt

)d(Ndtd?

v 2 ===φ

=φ

== P P

R P

22 N

LouNL == Relutância

Conceito de indutância mútua

Resultado de dois ou mais circuitos se encontrarem abraçadospor um campo magnético comum

+

-

i

v N

φ

φi

1

s11

21

φ11

φ21

21 N1

v2


+

-

i

v N

φ

φi

1

s11

21

φ11

φ21

21 N1

v2


ü Bobine 1 percorrida por uma corrente variável no tempo i1

ü Bobine 2 em circuito aberto

Fluxo produzido pela corrente i1

Componente φ11

Componente φ21

Abraça as N1 espiras

Abraça as N1 e as N2 espiras

Fluxo total na bobine 1 devido a i1 à φ1 = φ11+ φ21

φ1=P1 N1 i1 φ11= P11 N1i1φ21= P21 N1i1



ü P1 à Permeância do espaço ocupado pelo fluxo φ1



P1 = P11 + P21φ1 = φ11+ φ21

Dedução das expressões para v1 e v2 Lei de Faraday

)(dtd

Ndt

)d(Ndtd?

v 21111111

1 φ+φ=φ

==

dtdi

)(N 12111

21 PP +=

dtdi

Ldtdi

N 11

11

21 == P

)iN(dtd

Ndt

)d(Ndt

d?v 11212

212212 P=

φ==

dtdi

NN 12112 P=

Auto-indutânciaIndutância mútua

211221 PNNM =


211221 PNNM =


Relaciona a tensão induzida na bobine 2 devido à corrente na bobine 1

+

-

i

v N

φ

φi

1

s11

21

φ11

φ21

21 N1

v2 dt

diMv 1

212 =

ü Bobine 2 percorrida por uma corrente variável no tempo i2

ü Bobine 1 em circuito aberto

Alimentação da bobine 2

+

-

i

vN

φ

φ12

2N1

is

2

222 φ22v1

φ12



+

-

i

vN

φ

φ12

2N1

is

2

222 φ22v1

φ12

φ2 = φ22+ φ12

Fluxo total encadeado pela bobine 2

φ2=P2 N2 i2 φ22= P22 N2i2 φ12= P12 N2i2

Dedução das expressões para v1 e v2 Lei de Faraday

)iN(dtd

Ndt

)d(Ndt

d?v 22121

121121 P=

φ==

dtdi

NN 21221 P=

)(dtd

Ndt

)d(Ndtd?

v 12222222

2 φ+φ=φ

==

dtdi

Ndtdi

)(N 22

22

21222

22 PPP =+=

Auto-indutânciaIndutância mútua 122112 PNNM =

dtdi

L 22=


122112 PNNM =

Relaciona a tensão induzida na bobine 1 devido à corrente na bobine 2


Para materiais não-magnéticos (comportamento linear), as permeâncias P12 e P21

São iguais:

MMM == 2112

Indutância mútua em função de auto-indutâncias

2222 PNL =

12

11 PNL =21

22

2121 P P NNLL = ou )()(NNLL 12222111

22

2121 P PP P ++=

Para um sistema linear

P12=P21

+

+=

12

22

12

112122121 11

P P

P PP )NN(LL



+

+=

12

22

12

11221 11

P P

P P

MLL Fazendo

+

+=

12

22

12

112

111

P P

P P

k

2122 LLkM = ou 21LLkM =

Coeficiente de acoplamento

>1

10 ≤≤ k

Polaridades das tensões induzidas mútuas

A polaridade de uma tensão induzida traduz uma reacção contrária à variaçãodo fluxo que cria essa mesma tensão.




+

-

i

v N

φ

φi

1

s11

21

φ11

φ21

21 N1

v2

Se i1 for incrementada

+

-Nota: Quando v1 é positiva no terminal

superior da bobine 1 v2 é também positiva

no terminal superior da bobine 2 e vice-versa.

dtdi

Mv 12 =

Se v2 é positiva no terminal inferior da bobine 2

dtdi

Mv 12 −=

+

-

i

vN

φ

φ12

2N1

is

2

222 φ22v1

φ12

dtdi

Mv 21 ±=




Uso da convenção do pontoColocação de um ponto num terminal De cada bobine.

Informação sobre o sinal das tensões induzidas

Simplificação na representação esquemática das bobines

(a) (b)




Procedimento para a determinação dos pontos

φ φ

iD

D

CA

iA DA

B

1. Selecciona-se, arbitrariamente, um terminal de uma bobine e atribui-se-lhe um ponto. Por exemplo, escolha-se o terminal D.

2. Assinala-se uma corrente a entrar no terminalseleccionado em 1. Esta corrente é designadapor iD.

4. Selecciona-se, de forma arbitrária, um terminal da segunda bobine e estabelece-se umacorrente a entrar nesse terminal. O terminal escolhido foi o A e a corrente respectiva foidesignada por iA.

5. Utiliza-se a regra da mão direita para determinar a direcção do fluxo estabelecido por iA dentrodas bobines acopladas. Este fluxo é designado por φA.

6. Comparam-se os sentidos dos dois fluxos, φD e φA. Se os fluxos são aditivos, coloca-se um pontono terminal da segunda bobine onde entra a corrente de teste iA. Se os fluxos se subtraem, i.e., se possuem sentidos contrários, coloca-se um ponto no terminal da segunda bobine onde a correntede teste sai. No exemplo, os fluxos φ D e φA têm sentidos contrários pelo que, é colocado um pontono terminal B.

3. Usa-se a regra da mão direita para determinar a direcção do campo magnético estabelecidopor iD, no interior das bobines acopladas. Este campo é identificado como φD.

PASSOS




Procedimento experimental para a determinação dos pontos

R

+-V

voltímetrodc

+

-

Bobines não acessíveis

PASSOS

1- Colocação de um ponto no terminal dabobine 1 ligada ao terminal positivo da fonte.

2- Fecha-se o interruptor. Se a deflexão doponteiro do voltímetro for incremental, coloca-se um ponto no terminal da bobine 2ligado ao terminal positivo do voltímetro.

1 2

3- Se a deflexão for decremental, é colocado um ponto no terminal da bobine 2 ligado aoterminal negativo do voltímetro.



Uso da convenção do ponto na análise de circuitos

EXEMPLO

R

+-V

1

L L1 2 R2

M

s

OBJECTIVO

Escrita das equações do circuito em função das correntes nas bobines.

Método das correntes de malha

PASSOS

1- Definir correntes de malha e respectivo sentido de circulação.2- Estabelecem-se as equações tendo em atenção que em cada bobine existemduas tensões: uma tensão auto-induzida e uma tensão induzida mútua.

Sinal da tensão induzida mútua: i) Se a corrente entra num terminal da bobine referenciada com um ponto, apolaridade da tensão induzida na outra bobine é positiva no terminal com o ponto.

ii) Se a corrente se afasta de um terminal com um ponto, a polaridade da tensãoinduzida na outra bobine é negativa no terminal com o ponto.



EXEMPLO (CONT.)


R

+-V

1

L L1 2 R2

M

s i1 i2

021111 =−++−

dtdi

Mdtdi

LiRvs

012222 =−+

dtdi

Mdtdi

LiR

L

L

1

2

M+-

+

+

-

-

+

Mdidt

2 di

dt1L1

-

Mdi

dt

di

dtL2 2 1

i i21

+- R2

vs



EXEMPLO


+

-

i

v

i

v

i

v1

1 2

2

33

6H

8H

10H

2H

4H3H

-

+

-

+

-

23v

+

-

21v

+

-

+

-

32v31v

+

-+

-

13v 12v

dtdi

dtdi

dtdi

v 3211 426 −+=

dtdi

dtdi

dtdi

v 3212 382 +−−=

dtdi

dtdi

dtdi

v 3213 1034 −+=

+



Energia armazenada em bobines acopladas

L L1 2

M

-

+

-

+

i i21

v1 v

2

Considere-se i1 e i2 inicialmente nulas

Energia inicial armazenada nas bobines igual a zero

Procedimento

1- Incremente-se a corrente i1 desde o valor zero até um valor constante I1.

Cálculo da potência total de entrada no par de bobines

11

1111 idtdiLivp ==

i2 =0

dtdw

p = ∫ ∫=1 1

0 0111

W I

diiLdw2

111 21

ILW =




Procedimento (Cont.)

2- Mantêm-se i1= I1 e incrementa-se i2 a partir de zero até I2.

Nota: Ao longo da variação de i2 , a tensão induzida na bobine 2 devida a i1 é zeroporque I1 é constante ao passo que, a tensão induzida na bobine 1 devida a i2 é:

dtdi

Mv 21212 =

Potência de entrada no par de bobines

222

1212 ivdtdi

MIp += 2222112

0222

021212 2

122

ILIIMdiiLdiMIWII

+=+= ∫∫

A energia total armazenada, quando I1 e I2 assumem valores constantes é,

2112222

211211 2

121

IIMILILWWWtotal ++=+=

L L1 2

M

-

+

-

+

i i21

v1 v

2

= I1




Procedimento (Cont.)

3- Se se considerar primeiro i2 a variar de 0 a I2 e depois i1 a variar de 0 a I1,vem:

2121222

2112 2

121

IIMILILWtotal ++=

2112222

2111 2

121

IIMILILWtotal ++=

Única diferença entre as expressões

Num circuito não-magnético (linear) M12 =M21

Representação da energia total armazenada em função das grandezas instantâneas

21222

211 2

121

iMiiLiL)t(w ++= Correntes a entrarem pelos terminais referenciados por um ponto.




Representação da energia total armazenada em função das grandezas instantâneas

Nota: se uma das correntes sai por um terminal contendo um ponto, o sinal do termo M i1i2 é negativo. Assim, em geral:

21222

211 2

121

iMiiLiL)t(w ±+=

acoplamento magnético

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