relatório sobre os trabalhos desenvolvidos no âmbito da...

Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Programa Doutoral em Engenharia Biomédica

2008/2009

Disciplina: Técnicas de Investigação

Relatório sobre os trabalhos desenvolvidos no âmbito da

disciplina Técnicas de Investigação

Francisco Paulo Marques de Oliveira

ii

Orientador: Prof. João Manuel R. S. Tavares

Prof. Auxiliar do Departamento de Engenharia Mecânica

Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Gab. M205

Tel. 225081487

Email: [email protected]

URL: http://www.fe.up.pt/~tavares

Co-orientador: Doutor Prof. Durval C. Costa

HPP-Medicina Molecular, SA

Email: [email protected]

mailto:[email protected]�

http://www.fe.up.pt/~tavares�

http://br.mc345.mail.yahoo.com/mc/[email protected]�

iii

Índice

1 Introdução ..................................................................................................................... 1

1.1 Descrição ................................................................................................................ 1

1.2 Organização adoptada............................................................................................. 2

2 Fundamentos teóricos ................................................................................................... 3

2.1 Metodologia baseada em contornos ....................................................................... 3

2.1.1 Extracção dos contornos em imagens de pedobarografia ................................ 5

2.1.2 Construção da matriz de custos ....................................................................... 6

2.1.3 Determinação do emparelhamento óptimo ...................................................... 6

2.1.3 Determinação da transformação geométrica ................................................... 7

2.2 Metodologia baseada nos eixos principais ............................................................. 9

2.3 Metodologia baseada na correlação das fases ...................................................... 10

3 Resultados e análise dos mesmos ............................................................................... 15

3.1 Dados .................................................................................................................... 15

3.2 Metodologia baseada nos contornos ..................................................................... 16

3.3 Metodologia baseada nos eixos principais ........................................................... 16

3.4 Metodologia baseada na correlação das fases ...................................................... 18

4 Conclusões e perspectivas de trabalho futuro............................................................. 20

4.1 Conclusões ............................................................................................................ 20

4.2 Perspectivas de trabalho futuro............................................................................. 21

Referências ..................................................................................................................... 22

ÍNDICE _____________________________________________________________________________________

iv

Anexos ............................................................................................................................ 25

v

Índice de figuras

Figura 2.1: Metodologia adoptada para alinhar duas imagens. (A região destacada a

cinzento corresponde ao algoritmo desenvolvido.) .......................................................... 4

Figura 2.2: Processo completo de extracção do contorno ordenado: (a) imagem original;

(b) imagem binarizada após suavização; (c) pontos fronteira; (d) subcontornos

seleccionados; (e) contorno global virtual. (Neste exemplo, para facilitar a visualização,

na suavização foi usado um elemento estruturante de dimensão 3x3.) ............................ 6

Figura 2.3: Visualização da saída do algoritmo de alinhamento de imagens usando a

metodologia baseada em contornos em imagens de pedobarografia. No canto superior

esquerdo estão representadas as imagens originais e os respectivos contornos, ao centro

em cima estão representados os dois contornos nas posições originais e as respectivas

correspondências obtidas, no canto inferior esquerdo estão representados os dois

contornos após alinhamento, ao centro em baixo está representada uma perspectiva 3D

das correspondências, e finalmente, do lado direito estão representadas as duas imagens

sobrepostas após alinhamento. ......................................................................................... 9

Figura 2.4: Duas imagens de pedobarografia, os respectivos centróides e os eixos

principais. ....................................................................................................................... 10

Figura 2.5: Por linha, três sequências de imagens exemplo. Da esquerda para a direita:

imagens originais no domínio espacial, espectro das imagens no domínio das

frequências e, finalmente, a fase das imagens no domínio das frequências. .................. 12

Figura 2.6: Exemplo de uma imagem obtida determinando a correlação das fases

directamente. A posição do ponto mais claro indica a translação da imagem a alinhar

relativamente à imagem modelo. .................................................................................... 13

Figura 3.1: À esquerda, duas imagens de pedobarografia sobrepostas considerando as

suas posições originais. À direita, as mesmas duas imagens sobrepostas após o

ÍNDICE DE FIGURAS _____________________________________________________________________________________

vi

alinhamento obtido com o método baseado nos eixos principais. .................................. 17

Figura 3.2: À esquerda e ao centro, duas imagens de raio X do peito e os respectivos

eixos principais. À direita, as duas imagens sobrepostas e alinhadas com base na

metodologia baseada nos eixos principais. (Na figura resultado, a imagem modelo foi

colocada em tons de azul e a outra em tons de vermelho.) ............................................ 17

Figura 3.3: Alinhamento de duas imagens de CT da cabeça. Em cima, as duas imagens

originais; em baixo, à esquerda as duas imagens sobrepostas antes do alinhamento e à

direita as mesmas imagens sobrepostas após o alinhamento obtido usando correlação

das fases. (Para facilitar a visualização, a imagem modelo foi representada em tons de

azul e a imagem a alinhar em tons de vermelho.) .......................................................... 18

Figura 3.4: As duas imagens de raio X do peito apresentadas na Figura 3.2 sobrepostas

após o alinhamento obtido usando a correlação das fases. ............................................. 19

1

CAPÍTULO I

Introdução

1.1 Descrição

Este relatório visa essencialmente apresentar as técnicas/trabalhos desenvolvidos

durante o segundo semestre no âmbito da disciplina Técnicas de Investigação. O tema

da Tese de Doutoramento a realizar é na área do emparelhamento e alinhamento de

estruturas representadas em imagens médicas. Assim, o trabalho desenvolvido foi

naturalmente nesta área.

As técnicas desenvolvidas/implementadas baseiam-se principalmente em três

metodologias:

− A primeira baseia-se na extracção de contornos das imagens a alinhar, seguindo-se o

emparelhamento dos pontos usando técnicas de optimização e, finalmente, a

determinação da transformação geométrica de similaridade e consequente alinhamento.

− A segunda metodologia baseia-se na determinação dos eixos principais das imagens a

alinhar (ou conjunto de pontos característicos destas), sendo estes eixos posteriormente

usados para definir o ângulo de rotação envolvido entre as mesmas. A translação

existente é estimada pela diferença entre as coordenadas dos centróides das imagens.

− A terceira metodologia tem por base a transformação da imagem do domínio espacial

para o domínio das frequências. Depois, usando correlação das fases entre as imagens

CAPÍTULO I − INTRODUÇÃO _____________________________________________________________________________________

2

no espaço de Fourier, determina-se a transformação rígida e alinham-se as imagens.

Em relação à metodologia baseada em contornos, como esta apresenta pormenores

técnicos de elevada complexidade, optou-se por expor neste relatório apenas as suas

ideias fundamentais. No entanto, a mesma metodologia está apresentada em detalhe nos

artigos desenvolvidos e incluídos em anexo. Nos referidos artigos, os resultados obtidos

são também analisados e discutidos.

1.2 Organização adoptada

Além deste capítulo, este relatório apresenta mais três capítulos:

Capítulo 2 − Fundamentos teóricos

Neste capítulo é realizada uma breve explicação das metodologias implementadas.

Capítulo 3 − Resultados e análise dos mesmos

Os resultados experimentais obtidos são apresentados neste capítulo. São apresentados

exemplos de alinhamento usando as três metodologias definidas no Capítulo 2. Para

ilustração e análise dos resultados são usadas essencialmente imagens médicas.

Capítulo 4 − Conclusões e perspectivas de trabalho futuro

Neste capítulo são apresentadas conclusões sobre a implementação, qualidade do

alinhamento e limitações das metodologias desenvolvidas. Do mesmo modo, são

indicadas às perspectivas de trabalho futuro.

3

CAPÍTULO II

Fundamentos teóricos

Neste capítulo são apresentadas três metodologias de alinhamento de imagens médicas

desenvolvidas/implementadas no âmbito dos trabalhos de investigação realizados:

baseada em contornos, baseada nos eixos principais e baseada na correlação das fases.

2.1 Metodologia baseada em contornos

A metodologia de alinhamento de imagens baseada em contornos que se apresenta nesta

secção deriva de trabalhos desenvolvidos que entretanto foram publicados, [Oliveira,

2008] e [Oliveira, 2009a], ou estão em fase de publicação, [Oliveira, 2009b] e [Oliveira,

2009c]. Por este motivo, entende-se não se necessário expor neste relatório todos os

passos pormenorizados desta metodologia, optando-se por apresentar apenas os

essenciais à compreensão da mesma.

A metodologia baseada em contornos pode ser dividida em cinco passos fundamentais:

(1) extrair os contornos das imagens a alinhar; (2) construir uma matriz de custos com

base em características geométricas extraídas dos contornos; (3) determinar o

emparelhamento global óptimo; (4) determinar a transformação geométrica com base

nos emparelhamentos; (5) alinhar as imagens com base na transformação geométrica

determinada. A Figura 2.1 apresenta um esquema do processo de alinhamento adoptado.

CAPÍTULO II − FUNDAMENTOS TEÓRICOS _____________________________________________________________________________________

4

Figura 2.1: Metodologia adoptada para alinhar duas imagens.

(A região destacada a cinzento corresponde ao algoritmo desenvolvido.)

Na área do alinhamento de imagens médicas, esta metodologia foi utilizada para alinhar

imagens de pedobarografia dinâmica. Assim, a implementação que a seguir se apresenta

é relativa a esta aplicação. Para aplicação usando outras imagens, o processo de

extracção dos contornos terá de estar de acordo com as características das mesmas, mas

o restante algoritmo será comum.

Todos os algoritmos usados nesta metodologia foram desenvolvidos e implementados

na linguagem de programação C++, usando o Microsoft Visual Studio 6. Para a

visualização gráfica das imagens foi usada a biblioteca de classes de domínio público

VTK – The Visualization Toolkit, [Schroeder, 1999].

Ler imagem

modelo

Ler a imagem a

alinhar

Extrair os contornos

Determinar a matriz de custos

Determinar o emparelhamento óptimo

Determinar a transformação geométrica

Alinhar as imagens

Imagem alinhada


5

2.1.1 Extracção dos contornos em imagens de pedobarografia

O algoritmo de emparelhamento adoptado, [Oliveira, 2009b], só pode ser aplicado a

contornos definidos por um conjunto de pontos ordenados. Assim, a simples e usual

extracção dos contornos, usando por exemplo o algoritmo de Canny, [Canny, 1986],

não é adequada. Por exemplo, para as imagens de pedobarografia usadas em [Oliveira,

2009b], a aplicação directa de um extractor de orlas apresentava os seguintes

problemas:

(a) Nas regiões onde os dedos encostam uns aos outros aparecia um grande emaranhado

de pontos;

(b) Em muitas imagens, após a extracção das orlas, surgiam vários subcontornos

desconexos, por exemplo a palma do pé e o calcanhar ou a palma do pé e o polegar.

O algoritmo desenvolvido para a extracção e ordenação dos pontos dos contornos

representados em imagens de pedobarografia pode ser resumido em cinco passos: (1)

suavização da imagem; (2) binarização da imagem suavizada; (3) extracção dos pontos

fronteira ou orlas; (4) selecção dos subcontornos mais relevantes (usualmente, a palma

do pé e o calcanhar); (5) definição de um contorno global virtual. A Figura 2.2

representa todo o processo de extracção de um contorno global virtual a partir de uma

imagem de pedobarografia.

Para minimizar o problema identificado em (a), foram testadas diversas abordagens,

optando-se finalmente por aplicar a operação morfológica de fecho sobre as imagens,

usando um elemento estruturante circular de raio igual a 3 píxeis. Esta operação foi

realizada antes da binarização das imagens, mas também podia ser realizada após a

binarização das mesmas.

Para resolver o problema (b), foi desenvolvido um novo algoritmo de seguimento de

linhas. Este algoritmo aceita no máximo os três subcontonos maiores (palma do pé,

calcanhar e polegar). Na ordenação dos pontos, para fazer a passagem de um ponto de

um subcontorno para outro ponto de outro subcontorno, foi usado um critério de

distância mínima.

Para binarizar as imagens originais foi definido um limiar δ . Note-se que a intensidade

de cada píxel representa a pressão exercida sobre o sensor correspondente, [Pataky,

2008b], [Oliveira, 2009b]. O valor de δ tem como consequência a definição de uma


6

região do pé onde as pressões são todos maiores ou iguais a δ. Assim, para valores

muito baixos de δ o contorno extraído representa o contorno exterior do pé. Para valores

elevados de δ, o contorno extraído poderá assumir formas muito diferentes, dependendo

da distribuição das pressões no pé de cada indivíduo.

(a) (b) (c) (d) (e)

Figura 2.2: Processo completo de extracção do contorno ordenado: (a) imagem original; (b) imagem

binarizada após suavização; (c) pontos fronteira; (d) subcontornos seleccionados; (e) contorno

global virtual. (Neste exemplo, para facilitar a visualização, na suavização foi usado

um elemento estruturante de dimensão 3x3.)

2.1.2 Construção da matriz de custos

As transformações de similaridade (ou de semelhança) – translações, rotações e

escalamentos – podem originar mudanças na posição, orientação ou dimensão de um

objecto, mas não mudam a sua forma. Para o caso dos polígonos, pode-se afirmar que

dois polígonos são similares se as amplitudes dos ângulos correspondentes forem iguais

e as medidas dos lados correspondentes forem directamente proporcionais. Esta

condição é necessária e suficiente para caracterizar dois polígonos semelhantes.

Assim, representando dois objectos pelos seus contornos externos, pode-se usar esta

propriedade para quantificar a similaridade entre os mesmos. Note-se que o contorno

externo de um objecto pode ser aproximado por um polígono.

Para construir uma matriz de custos de emparelhamento, comparam-se os ângulos e as

distâncias entre elementos homólogos nos contornos externos de cada objecto. A

implementação desta metodologia pode ser consultada detalhadamente em [Oliveira,

2009a] (artigo incluído em anexo).

2.1.3 Determinação do emparelhamento óptimo

Considerando que a similaridade entre cada possível correspondência está quantificada

numa matriz de custos, C, o passo seguinte consiste em determinar o emparelhamento


7

global do tipo um-para-um de custo mínimo. Se um contorno está definido por n pontos

e o outro por m pontos, com mn ≤ , no máximo apenas n correspondências são

estabelecidas. Portanto, há pelo menos ( )nm − pontos do contorno definido por maior

número de pontos que não serão correspondidos. Considera-se que o emparelhamento

global de custo mínimo é aquele cuja soma dos custos de todas as correspondências

individuais estabelecidas é menor.

Considere-se, sem perda de generalidade, que a matriz de custos C tem dimensão mn×

com mn ≤ (o contorno da imagem modelo tem n pontos e o contorno da imagem a

alinhar tem m pontos). O maior número possível de correspondências do tipo um-para-

um é n. Para obter estas n correspondências, o algoritmo de optimização tem que

seleccionar exactamente um elemento de cada linha da matriz C e no máximo um

elemento de cada coluna da mesma matriz. Note-se que a selecção de um elemento ijc

da matriz C significa que o ponto indexado com i no contorno modelo vai corresponder

ao ponto indexado com j no outro contorno.

Para garantir maior coerência ao emparelhamento global, evitando correspondências

cruzadas, é necessário introduzir uma condição que obrigue as correspondências a

respeitar a ordem circular. Por outras palavras, se o ponto i do contorno modelo

corresponder ao ponto j do outro contorno, então o ponto 1+i do contorno modelo tem

que corresponder a um ponto kj + do outro contorno, onde { }nmk −∈ ,...,2,1 . Repare-

se que na ordem circular, se uma sequência tem comprimento m, então os pontos j e

mj + são o mesmo. Com esta formulação, cada ponto de cada contorno é “livre” de

emparelhar com qualquer ponto do outro contorno. Não há quaisquer pontos de

referência.

Para determinar o emparelhamento global óptimo definido pelo maior número possível

de correspondências foi usado o algoritmo baseado em programação dinâmica

apresentado em [Oliveira, 2008]. Para situações em que não se desejou corresponder

todos os pontos do contorno definido por menor número de pontos, foi usado o

algoritmo apresentado em [Oliveira, 2009c].

2.1.3 Determinação da transformação geométrica

Com base nas correspondências estabelecidas e nas coordenadas dos pontos que estão

em correspondência, pode-se estimar a transformação geométrica que melhor alinha os

dois contornos. Essa mesma transformação é depois usada para alinhar as imagens.


8

De um modo simplificado, a metodologia implementada considera os pontos definidos

no plano complexo, C, onde uma transformação de similaridade T pode ser representada

simplesmente por:

uwzzzT

+=→

'CC:

,

onde w e u são números complexos. A transformação T pode ser vista como uma função

que aplica uma rotação e um escalamento em torno da origem seguindo-se uma

translação.

Se o ponto 1p corresponde ao ponto 1q e o ponto 2p corresponde ao ponto 2q , então,

através da definição de T, tem-se:

( )( )

=+=+

⇔

==

22

11

22

11

quwpquwp

qpTqpT

.

Resolvendo este sistema de equações lineares, em ordem a u e w obtêm-se os

parâmetros da transformação T. O valor absoluto de w representa o escalamento, o

argumento de w representa o ângulo de rotação e a translação em x e y é definida,

respectivamente, por ( )uRe e ( )uIm .

Naturalmente, os contornos são definidos por mais do que dois pontos cada um e

portanto podem ser estimadas várias transformações geométricas diferentes. Em

[Oliveira, 2009a] e [Oliveira, 2009b] calculam-se todas as transformações geométricas

que alinham cada par de pontos de um conjunto com o respectivo par de pontos do

outro conjunto. Seguidamente, é realizado o tratamento estatístico das soluções obtidas,

eliminando-se assim a influência dos outliers. Repare-se que n correspondências

implicam n pontos em cada conjunto e com n pontos é possível definir ( ) 2/1−nn pares

distintos.

A Figura 2.3 representa todo o processo desenvolvido para o alinhamento de imagens.

Em todas as ilustrações apresentadas nesta figura, excepto nas imagens originais, a

imagem ou contorno modelo estão representados em tons de azul e a imagem ou

contorno a alinhar estão representados em tons de vermelho. As correspondências são

representadas pelas linhas verdes.


9

Figura 2.3: Visualização da saída do algoritmo de alinhamento de imagens usando a metodologia baseada

em contornos em imagens de pedobarografia. No canto superior esquerdo estão representadas as imagens

originais e os respectivos contornos, ao centro em cima estão representados os dois contornos nas

posições originais e as respectivas correspondências obtidas, no canto inferior esquerdo estão

representados os dois contornos após alinhamento, ao centro em baixo está representada uma

perspectiva 3D das correspondências, e finalmente, do lado direito estão representadas as

duas imagens sobrepostas após alinhamento.

2.2 Metodologia baseada nos eixos principais

Os eixos principais podem ser usados para realizar o alinhamento de duas imagens 2D

ou 3D. A sua aplicação é muito simples e não necessita da determinação de

correspondências. Pode ser usado apenas um conjunto de pontos característicos, como

por exemplo, pontos de contornos, pontos de bifurcação ou cantos, etc. Pode também

ser usada a imagem na totalidade e características baseadas na intensidade, como o nível

de cinzento e o gradiente, por exemplo.

Na formulação seguinte, considere-se todos os píxeis de cada imagem 2D, sendo

atribuído um peso, ( )yxf , e ( )yxg , , a cada píxel das imagens envolvidas. Para o caso

de imagens 3D, o procedimento é equivalente. Por simplicidade, pode-se supor que

( )yxf , e ( )yxg , representam a intensidade das respectivas imagens f e g; no entanto,

podem representar outra característica da imagem. O centróide da imagem f, ( )ff yx , , é

dado por:


10

( )( ) ( )

( )∑∑

∑∑−

=

−

=

−

=

−

=

×= 1

0

1

0

1

0

1

0

,

,,, n

x

m

y

n

x

m

yff

yxf

yxyxfyx .

De modo análogo, calcula-se o centróide da imagem g, ( )gg yx , . O passo seguinte

consiste em calcular a matriz de correlação das coordenadas de cada imagem, fC e gC .

Para a imagem f tem-se:

( ) [ ]

( )∑∑

∑∑−

=

−

=

−

=

−

=

−−×

−

−×

= 1

0

1

0

1

0

1

0

,

,

n

x

m

y

n

x

m

yff

f

f

f

yxf

yyxxyyxx

yxfC

Os vectores próprios de fC são os eixos principais da imagem f. De modo análogo

determinam-se os eixos principais da imagem g.

Para alinhar as imagens, usa-se a diferença das coordenadas dos centróides para estimar

a translação. Para estimar a rotação, determina-se o ângulo entre os eixos principais de

uma imagem em relação aos eixos principais da outra imagem.

A implementação prática desta metodologia foi realizada em Matlab. Na Figura 2.4 é

apresentado um exemplo de duas imagens de pedobarografia, os respectivos centróides

e os eixos principais.

Figura 2.4: Duas imagens de pedobarografia, os respectivos centróides e os eixos principais.

2.3 Metodologia baseada na correlação das fases

Um sinal periódico pode ser representado por uma soma de funções periódicas. A


11

transformada de Fourier é um exemplo disso. Esta transformada é uma transformação

do sinal representado no domínio temporal ou espacial para o domínio das frequências.

Uma imagem bidimensional f no domínio espacial pode ser vista como uma função que

a cada par de coordenadas representando uma localização espacial faz corresponder

uma intensidade:

( ) ( )yxfyxIRIRDf

,,: 2

→⊂.

Para imagens discretas, D é um subconjunto de Z que usualmente é rectangular. No

domínio das frequências, a mesma imagem f pode ser representada por:

( ) ( )vuFvuCIRF

,,: 2

→⊂Γ,

onde cada valor de ( )vuF , é um número complexo θρ iez = , sendo ρ a amplitude ou

espectro e θ a fase do sinal. A conversão entre as duas formas é simples e rápida usando

a transformada rápida de Fourier (FFT) sem que informação seja perdida. As fórmulas

seguintes representam a relação entre as duas formas de definir uma imagem,

considerando que a imagem f é discreta e está definida num rectângulo de dimensões

NM × :

( ) ( )∑∑−

=

−

=

+−

=1

0

1

0

2,,

M

x

N

y

Nvy

Muxi

eyxfvuFπ

,

( ) ( )∑∑−

=

−

=

+

=1

0

1

0

.2,1,

M

u

N

v

Nvy

Muxi

evuFMN

yxfπ

.

A Figura 2.5 apresenta três imagens exemplo, os respectivos espectros e fases. Nas

imagens representando os espectros, a frequência aumenta do centro para a periferia e

quanto mais branco é um píxel, maior é a magnitude do espectro correspondente,

( )vuF , . Optou-se por centrar as frequências representadas nas imagens obtidas por ser

esta a forma mais comum de representação e também porque facilita a compreensão das

propriedades a seguir indicadas. Nas imagens da fase, o ângulo varia linearmente de

π− rad (preto) até π+ rad (branco).

Como pode ser observado na Figura 2.5, uma rotação no domínio espacial corresponde

à mesma rotação do espectro no domínio das frequências. Assim, a rotação pode ser


12

determinada também no domínio das frequências. Outro facto que se pode observar é

que os espectros de duas imagens cuja diferença entre elas é apenas uma translação é

exactamente o mesmo. Esta propriedade é muito importante em aplicações de

alinhamento de imagens porque permite determinar a rotação que melhor alinha duas

imagens independentemente da translação que as estas possam ter sofrido.

Se as coordenadas rectangulares ( )vu, do espectro forem transformadas para

coordenadas polares ( )thetarho, , a rotação em coordenadas cartesianas converte-se

numa translação em coordenadas polares ao longo do eixo do theta. Assim, usando a

soma dos quadrados das diferenças ou correlação cruzada ou correlação das fases, por

exemplo, facilmente se pode encontrar o ângulo de rotação óptimo.

Figura 2.5: Por linha, três sequências de imagens exemplo. Da esquerda para a direita: imagens

originais no domínio espacial, espectro das imagens no domínio das frequências e,

finalmente, a fase das imagens no domínio das frequências.

Observado as imagens da fase, parece que não há informação relevante que possa

auxiliar no alinhamento. No entanto, estando duas imagens alinhadas em termos de

rotação, a translação pode ser pode ser determinada usando a correlação entre as fases

[Kuglin, 1975], [Foroosh, 2002], [Reddy, 1996], [Orchard, 2007].


13

Usualmente, os métodos baseados na correlação das fases são directos, isto é,

determinam o melhor alinhamento de uma só vez, em vez de faseadamente se irem

aproximando da melhor solução através da utilização de um algoritmo de optimização,

como muitos outros métodos. Este método é simples, basta considerar a transformada

de Fourier de ambas as imagens, dividir um a um os coeficientes correspondentes das

respectivas imagens e depois calcular a inversa da transformada de Fourier. Se as duas

imagens diferirem apenas de uma translação, a imagem final obtida deverá apresentar

um píxel ou um conjunto de píxeis, normalmente adjacentes, com uma intensidade

muito maior do que os restantes. Com base na localização desses píxeis pode-se

determinar translação, [Kuglin, 1975], [Foroosh, 2002], [Reddy, 1996], [Orchard,

2007].

Para ilustrar a propriedade acabada de descrever, observe-se a Figura 2.6. Esta imagem

foi obtida usando as duas imagens de rectângulos paralelos aos eixos coordenados

representados na Figura 2.5.

Figura 2.6: Exemplo de uma imagem obtida determinando a correlação das fases directamente. A posição

do ponto mais claro indica a translação da imagem a alinhar relativamente à imagem modelo.

Repare-se que na base da propriedade acabada de enunciar está o facto de que o

quociente de dois números complexo é um número complexo cuja fase é igual à

diferença entre as fases de ambos. Em termos matemáticos, sejam θierz = e αρ iew =

dois números complexos quaisquer, sendo o primeiro um coeficiente de Fourier da

imagem modelo e o segundo o coeficiente de Fourier correspondente da imagem a

alinhar. Aplicando-se propriedades básicas das operações com potências, tem-se que:

)()/(/ αθρ −= ierwz .

Na implementação prática desenvolvida, para determinar a correlação das fases não foi

determinado o quociente entre os coeficientes de Fourier das duas imagens, pois este

método é muito sensível. Basta pensar no que acontece se o denominador for zero ou

muito próximo de zero. Algumas aplicações, em vez do complexo:


14

)()/(/ αθρ −= ierwz ,

consideram apenas o complexo de norma 1 (um):

)( αθ −ie .

No algoritmo implementada foi usado o complexo:

( ) )(5.0 αθρ −+× ier .

Ainda em relação à implementação desenvolvida, para aumentar a velocidade do

algoritmo, a rotação foi determinada usando também correlação das fases. Após

determinar os espectros centrados de ambas as imagens, estes espectros foram

convertidos para coordenadas polares considerando a origem do referencial no centro

geométrico da imagem do espectro. Depois usando a correlação das fases, a "translação"

foi determinada directamente. Note-se que esta translação é realizada no eixo do theta,

ou seja, representa a amplitude de rotação do espectro da imagem a alinhar em relação

ao espectro da imagem modelo, sendo que esta rotação tem a mesma amplitude da

rotação da imagem original a alinhar em relação à imagem modelo original.

15

CAPÍTULO III

Resultados e análise dos mesmos

Neste Capítulo são apresentados os resultados de uma forma sucinta sendo também

realizada uma breve análise dos mesmos, relativamente às metodologias

implementadas/desenvolvidas: baseada em contornos, baseada em eixos principais e

baseada em correlação das fases.

Do desenvolvimento da metodologia baseada em contornos já resultaram publicações,

onde são apresentados e analisados os resultados obtidos. Assim, entende-se não haver

necessidade de estar a repetir os mesmos resultados e análises, pois as referidas

publicações são incluídas em anexo.

Em relação à metodologia baseada nos eixos principais e à metodologia baseada na

correlação das fases, a implementação/desenvolvimento destas ainda está numa fase

inicial, pelo que há poucos resultados disponíveis. Deste modo, não podem ser

realizadas análises pormenorizadas.

3.1 Dados

A metodologia desenvolvida baseada em contornos foi testada em imagens de

pedobarografia e da base de dados de domínio público, "silhouette database(1032

shapes)", organizado pelo por Laboratory for Engineering Man/Machine System

(LEMS) (http://www.lems.brown.edu/).

CAPÍTULO III − RESULTADOS E ANÁLISE DOS MESMOS _____________________________________________________________________________________

16

A metodologia baseada nos eixos principais e a metodologia baseada na correlação das

fases, além das imagens de pedobarografia, foram também testadas em imagens de CT

da cabeça e de raio X do peito. As duas imagens de CT usadas resultaram da mesma

imagem original, à qual foi aplicada uma rotação seguida de uma translação. Em relação

às imagens de raio X, estas foram todas obtidas também da mesma imagem através da

aplicação de uma translação e posterior redimensionamento das imagens obtidas.

3.2 Metodologia baseada nos contornos

Esta metodologia revelou-se muito eficaz no alinhamento de imagens nas quais foi

possível extrair o contorno exterior dos objectos nelas representadas. Estes factos

podem ser comprovados nos artigos publicados ou em vias de publicação. Para não

estar a repetir os resultados, optou-se indicar os trabalhos [Oliveira, 2009a], [Oliveira,

2009b] e [Oliveira, 2009c] incluídos no anexo deste relatório.

Só a título de exemplo, em [Oliveira, 2009b] pode-se verificar que esta metodologia

apresentou resultados de alinhamento de imagens de pedobarografia dinâmica melhores

do que os obtidos usando poderosos algoritmos de optimização, considerando a

qualidade do alinhamento da forma quantificada pelo "ou exclusivo" (XOR) como

definido em [Pataky, 2008a]. Além da qualidade dos alinhamentos obtidos, o tempo de

execução global da metodologia, incluindo todo o processo desde a leitura das imagens

até ao alinhamento final é muito reduzido, na ordem de alguns milissegundos, estando a

aplicação a correr num computador comum equipado com um processador AMD

Turion64 2.0GHz, 1.0GB de RAM e sistema operativo Microsoft Windows XP.

3.3 Metodologia baseada nos eixos principais

Como já referido, esta metodologia foi testada considerados os três tipos de imagens

consideradas. As Figuras 3.1 e 3.2 apresentam dois exemplos dos alinhamentos obtidos

usando imagens de pedobarografia e de raio X, respectivamente.


17

Figura 3.1: À esquerda, duas imagens de pedobarografia sobrepostas considerando as suas posições

originais. À direita, as mesmas duas imagens sobrepostas após o alinhamento obtido

com o método baseado nos eixos principais.

Figura 3.2: À esquerda e ao centro, duas imagens de raio X do peito e os respectivos eixos principais.

À direita, as duas imagens sobrepostas e alinhadas com base na metodologia baseada nos eixos

principais. (Na figura resultado, a imagem modelo foi colocada em tons de azul e a outra

em tons de vermelho.)

Como já referido, a implementação desta metodologia ainda está numa fase inicial, pelo

que ainda não há resultados quantificados.

Para as imagens de pedobarografia dinâmica, já foram realizadas dezenas de

experiências, observando-se que os resultados do alinhamento obtidos foram

satisfatórios quando as imagens foram binarizadas antes do processo de determinação

do alinhamento e instáveis quando as imagens foram consideradas em níveis de

cinzento. Ainda para este tipo de imagens consideradas em níveis de cinzento,

observou-se claramente que alguns alinhamentos estavam longe de ser os melhores

possíveis.

Em relação às imagens de raio X, como se pode observar na Figura 3.2, o alinhamento

também não foi adequado para os pares de imagens em que uma das imagens apresenta

diferenças significativas, isto é, quando há regiões numa imagem que não estão


18

presentes na outra.

Para as imagens consideradas de CT da cabeça, o alinhamento obtido foi bom.

3.4 Metodologia baseada na correlação das fases

Tal como acontece com a metodologia baseada nos eixos principais, o desenvolvimento

e teste da metodologia baseada na correlação das fases está numa fase inicial, pelo que

ainda não há resultados qualitativos quantificados. No entanto, já foram realizadas

dezenas de experiências de alinhamento de imagens de pedobarografia dinâmica usando

a metodologia baseada na correlação das fases. Nessas experiências observou-se que a

esta metodologia apresentou resultados distintos no alinhamento deste tipo de imagens,

conforme foram usadas imagens binárias ou em níveis de cinzento. Para as imagens

binarizadas, o alinhamento obtido foi sempre de boa qualidade, enquanto que para as

imagens em níveis de cinzento, foi instável.

Em relação às imagens consideradas de raio X do peito e de CT da cabeça, o

alinhamento obtido foi sempre bom, considerando estas imagens sempre em níveis de

cinzento. As Figuras 3.3 e 3.4 apresentam dois exemplos de alinhamento usando esta

metodologia. A qualidade dos alinhamentos pode ser facilmente observada.

Figura 3.3: Alinhamento de duas imagens de CT da cabeça. Em cima, as duas imagens originais; em

baixo, à esquerda as duas imagens sobrepostas antes do alinhamento e à direita as mesmas imagens

sobrepostas após o alinhamento obtido usando correlação das fases. (Para facilitar a visualização,

a imagem modelo foi representada em tons de azul e a imagem a alinhar em tons de vermelho.)


19

Figura 3.4: As duas imagens de raio X do peito apresentadas na Figura 3.2 sobrepostas

após o alinhamento obtido usando a correlação das fases.

Esta metodologia de alinhamento está actualmente em fase de novos desenvolvimentos

e teste, não havendo por isso mais resultados fidedignos que mereçam ser apresentados.

20

CAPÍTULO IV

Conclusões e perspectivas de trabalho futuro

4.1 Conclusões

A metodologia baseada em contornos e a metodologia baseada na correlação das fases

revelaram-se capazes de alinhar duas imagens de forma correcta para as situações

testadas. A metodologia baseada nos eixos principais revelou algumas fraquezas, em

especial nas situações em que regiões representadas numa imagem não estavam

representadas na outra imagem.

A metodologia baseada nos eixos principais e a metodologia baseada na correlação das

fases revelaram-se muito menos robustas no alinhamento das imagens de

pedobarografia do que a metodologia baseada em contornos.

A metodologia baseada nos contornos tem duas fraquezas relativamente às outras: a

qualidade dos resultados depende da qualidade dos contornos extraídos e só pode ser

aplicada em situações em que é possível construir contornos ordenados que representem

as formas presentes nas imagens a alinhar.

Para as situações em que é aplicável, a qualidade dos alinhamentos obtidos usando a

metodologia baseada nos contornos é superior à qualidade dos alinhamentos obtidos

usando as outras duas metodologias. Além disso, esta metodologia é capaz de

determinar a transformação de similaridade (rotação, translação e escalamento),

[Oliveira, 2009a], que melhor alinha duas imagens enquanto que as outras duas

CAPÍTULO IV − CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS DE TRABALHO FUTURO _____________________________________________________________________________________

21

metodologias só lidam com transformações rígidas (rotação e translação).

A qualidade do alinhamento das imagens de pedobarografia dinâmica e a velocidade de

execução da aplicação desenvolvida garantem a adequabilidade da mesma para

aplicações de alinhamento de imagens de pedobarografia dinâmica em tempo real,

[Oliveira, 2009b].

4.2 Perspectivas de trabalho futuro

As metodologias aqui apresentadas deverão ser optimizadas e testadas em mais

aplicações práticas. A metodologia baseada em contornos já está num estado mais

avançado de desenvolvimento e aplicação, pelo que o próximo passo será aplicar em

outras situações em que seja possível a extracção de forma robusta de contornos

ordenados das imagens médicas a alinhar. Este é um problema essencialmente de

segmentação e não de alinhamento.

As metodologias baseadas nos eixos principais e em correlação das fases serão testadas

usando o gradiente das imagens e as orlas extraídas das mesmas. Caso estas

metodologias revelem robustez em aplicações práticas mais específicas, poderão ser

implementadas usando a linguagem de programação C++, com recurso a bibliotecas

adequadas.

O desenvolvimento/implementação destas metodologias foi o primeiro passo com vista

a alcançar os objectivos propostos para a Tese de Doutoramento. Seguir-se-ão outras

implementações e muitos outros ensaios. A título de exemplo, espera-se implementar e

testar metodologias baseadas na minimização da Informação Mútua, [Viola, 1995],

[Collignon, 1995], e o algoritmo ICP − Iterative Closest Point, [Besl, 1992].

A aplicação e validação clínica das metodologias desenvolvidas em casos reais serão

também consideradas ao longo deste projecto de Doutoramento em Engenharia

Biomédica.

22

Referências

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Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 14, pp. 239-

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Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 8, no. 6, pp.

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163-165, 1975.

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dynamic programming for optimization of the global matching between two

contours defined by ordered points. CMES: Computer Modeling in

Engineering & Sciences, vol. 31, no. 1, pp. 1-11, 2008.

[Oliveira, 2009a] − Francisco P. M. Oliveira, João Manuel R. S. Tavares. Matching

contours in images through the use of curvature, distance to centroid and

global optimization with order-preserving constraint. CMES: Computer

Modeling in Engineering & Sciences vol. 43, no. 1, pp. 91-110, 2009.

[Oliveira, 2009b] − Francisco P. M. Oliveira, João Manuel R. S. Tavares, Todd C.

Paraky. Rapid pedobarographic image registration based on contour curvature

and optimization. Journal of Biomechanics (em processamento).

[Oliveira, 2009c] − Francisco P. M. Oliveira, João Manuel R. S. Tavares, Todd C.

Pataky. A versatile matching algorithm based on dynamic programming with

circular order preserving. VIPimage 2009 – II ECCOMAS Thematic

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[Orchard, 2007] − Jeff Orchard. Globally optimal multimodal rigid registration: an

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Conference on Image Processing, 2007, vol. 1, pp. I – 485-488.

[Pataky, 2008a] − Todd C. Pataky, John Y. Goulermas. Pedobarographic statistical

parametric mapping (pSPM): A pixel-level approach to foot pressure image

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[Pataky, 2008b] − Todd C. Pataky, John Y. Goulermas, Robin H. Crompton. A

comparison of seven methods of within-subjects rigid-body pedobarographic

image registration. Journal of Biomechanics, vol. 41, no. 14, pp. 3085-3089,

2008.

[Reddy, 1996] − B. Reddy, B. Chatterji. An FFT-based technique for translation,

rotation, and scale-invariant image registration. IEEE Transactions on Image

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June 1999.

[Viola, 1995] − Paul Viola. Alignment by maximization of mutual information. PhD

Thesis, Massachusetts Institute of Technology, 1995.

25

Anexos

relatório sobre os trabalhos desenvolvidos no âmbito da...

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