reconstruÇÃo tomogrÁfica dinÂmica industrial
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCODEPARTAMENTO DE ENERGIA NUCLEAR
COMISSAtildeO NACIONAL DE ENERGIA NUCLEARCENTRO REGIONAL DE CIEcircNCIAS NUCLEARES DO NORDESTE
Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo em Tecnologias Energeacuteticas e Nucleares
RECONSTRUCcedilAtildeO TOMOGRAacuteFICA DINAcircMICA
INDUSTRIAL
ERIC FERREIRA DE OLIVEIRA
Orientador Carlos Costa Dantas
Coorientadores Silvio Barros Melo
Margarida Mizue Hamada
Recife PEFevereiro 2016
ERIC FERREIRA DE OLIVEIRA
RECONSTRUCcedilAtildeO TOMOGRAacuteFICA DINAcircMICA INDUSTRIAL
Tese submetida ao Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo em
Tecnologias Energeacuteticas e Nucleares para obtenccedilatildeo do
tiacutetulo de Doutor em Ciecircncias Aacuterea de Concentraccedilatildeo
RADIACcedilOtildeES NUCLEARES E SUAS
APLICACcedilOtildeES
Orientador Carlos Costa Dantas
Coorientadores Silvio Barros Melo
Margarida Mizue Hamada
Recife PEFevereiro 2016
Reconstruccedilatildeo Tomograacutefica Dinacircmica
Industrial
Eric Ferreira de Oliveira
Aprovada em 29022016
Orientador Prof Dr Carlos Costa DantasCo-orientador Prof Dr Silvio de Barros Melo
COMISSAtildeO EXAMINADORA
__________________________________Dr Carlos Costa Dantas ndash DEN-UFPE
_________________________________________Dr Aluiacutezio Fausto Ribeiro Araujo ndash CIN-UFPE
_________________________Dr Joseacute Wilson Vieira ndash UPE
__________________________________Dr Emerson Alexandre de Oliveira Lima
_______________________________________Dr Carlos Alberto Brayner de Oliveira Lira
Visto e permitida a impressatildeo
_________________________Coordenador do PROTENDENUFPE
Aos meus paisJoatildeo Batista Verocircnica Ferreira Juraci Oliveira Joseacute Machado e Isaias Oliveira (in memorian)
Minha homenagem
Dedico
AGRADECIMENTOS
Agradeccedilo aos professores orientadores Dr Carlos Costa Dantas e Dr Siacutelvio Barros
Melo que me orientam desde dos tempos de iniciaccedilatildeo cientiacutefica contribuindo significativamente
para minha formaccedilatildeo
A Drordf Margarida Hamada e o Dr Carlos Mesquita pela orientaccedilatildeo e ajuda no iniacutecio
deste trabalho
A Comissatildeo Nacional de Pesquisa Nuclear- CNEN pelo financiamento da pesquisa
E a todos que de alguma forma contribuiacuteram para realizaccedilatildeo deste trabalho
RESUMO
O estado da arte dos meacutetodos aplicados para processos industriais eacute atualmentebaseado em princiacutepios de reconstruccedilotildees tomograacuteficas claacutessicas desenvolvidos para padrotildeestomograacuteficos de distribuiccedilotildees estaacuteticas ou seja satildeo limitados a processos de pouca variabilidadeRuiacutedos e artefatos de movimento satildeo os principais problemas causados pela incompatibilidade nosdados gerada pelo movimento Aleacutem disso em processos tomograacuteficos industriais eacute comum umnuacutemero limitado de dados podendo produzir ruiacutedo artefatos e natildeo concordacircncia com a distribuiccedilatildeoem estudo Um dos objetivos do presente trabalho eacute discutir as dificuldades que surgem daimplementaccedilatildeo de algoritmos de reconstruccedilatildeo em tomografia dinacircmica que foram originalmentedesenvolvidos para distribuiccedilotildees estaacuteticas Outro objetivo eacute propor soluccedilotildees que visam reduzir aperda de informaccedilatildeo temporal devido a utilizaccedilatildeo de teacutecnicas estaacuteticas em processos dinacircmicos Noque diz respeito agrave reconstruccedilatildeo de imagem dinacircmica foi realizada uma comparaccedilatildeo entre diferentesmeacutetodos de reconstruccedilatildeo estaacuteticos como MART e FBP quando usado para cenaacuterios dinacircmicosEsta comparaccedilatildeo foi baseada em simulaccedilotildees por MCNPX e tambeacutem analiticamente de um cilindrode alumiacutenio que se move durante o processo de aquisiccedilatildeo e tambeacutem com base em imagens decortes transversais de teacutecnicas de CFD Outra contribuiccedilatildeo foi aproveitar o canal triplo de coresnecessaacuterio para exibir imagens coloridas na maioria dos monitores de modo que dimensionandoadequadamente os valores adquiridos de cada vista no sistema linear de reconstruccedilatildeo foi possiacutevelimprimir traccedilos temporais na imagem tradicionalmente reconstruiacuteda Finalmente uma teacutecnica decorreccedilatildeo de movimento usado no campo da medicina foi proposto para aplicaccedilotildees industriaisconsiderando-se que a distribuiccedilatildeo de densidade nestes cenaacuterios pode apresentar variaccedilotildeescompatiacuteveis com movimentos riacutegidos ou alteraccedilotildees na escala de certos objetos A ideia eacute usar dadosconhecidos a priori ou durante o processo como vetor deslocamento e entatildeo usar essasinformaccedilotildees para melhorar a qualidade da reconstruccedilatildeo Isto eacute feito atraveacutes da manipulaccedilatildeoadequada da matriz peso no meacutetodo algeacutebrico isto eacute ajustando-se os valores para refletir omovimento objeto do previsto ou deformaccedilatildeo Os resultados de todas essas teacutecnicas aplicadas emvaacuterios experimentos e simulaccedilotildees satildeo discutidos neste trabalho
PALAVRAS-CHAVE Reconstruccedilatildeo Tomograacutefica Reconstruccedilatildeo Dinacircmica Tomografia CFD
MCNP
ABSTRACT
The state of the art methods applied to industrial processes is currently based on the principles ofclassical tomographic reconstructions developed for tomographic patterns of static distributions oris limited to cases of low variability of the density distribution function of the tomographed objectNoise and motion artifacts are the main problems caused by a mismatch in the data from viewsacquired in different instants All of these add to the known fact that using a limited amount of datacan result in the presence of noise artifacts and some inconsistencies with the distribution understudy One of the objectives of the present work is to discuss the difficulties that arise fromimplementing reconstruction algorithms in dynamic tomography that were originally developed forstatic distributions Another objective is to propose solutions that aim at reducing a temporal type ofinformation loss caused by employing regular acquisition systems to dynamic processes Withrespect to dynamic image reconstruction it was conducted a comparison between different staticreconstruction methods like MART and FBP when used for dynamic scenarios This comparisonwas based on a MCNPx simulation as well as an analytical setup of an aluminum cylinder thatmoves along the section of a riser during the process of acquisition and also based on cross sectionimages from CFD techniques As for the adaptation of current tomographic acquisition systems fordynamic processes this work established a sequence of tomographic views in a just-in-time fashionfor visualization purposes a form of visually disposing density information as soon as it becomesamenable to image reconstruction A third contribution was to take advantage of the triple colorchannel necessary to display colored images in most displays so that by appropriately scaling theacquired values of each view in the linear system of the reconstruction it was possible to imprint atemporal trace into the regularly reconstructed image where the temporal trace utilizes a channeland the regular reconstruction utilizes a different one Finally a motion correction technique used inthe medical field was proposed for industrial applications considering that the density distributionin these scenarios may present variations compatible with rigid motions or changes in scale ofcertain objects The idea is to identify in some configurations of the temporarily distributed dataclues of the type of motion or deformation suffered by the object during the data acquisition andthen use this information to improve the quality of the reconstruction This is done by appropriatelymanipulating the weight matrix in the algebraic method ie by adjusting the values to reflect thepredicted object motion or deformation The results of all these techniques applied in severalexperiments and simulations are discussed in this work
Keywords Industrial Dynamic Tomography Flow Dynamics Dynamic Process SimulationDynamic Tomographic Reconstruction
Lista de Figuras
Figura 1 Atenuaccedilatildeo da Radiaccedilatildeo pela mateacuteria16Figura 2 Discretizaccedilatildeo de l18Figura 3 Sinograma constituiacutedo de 180 vistas (construiacutedo com a funccedilatildeo radon do matlab)19Figura 4 Discretizaccedilatildeo da secccedilatildeo irradiada22Figura 5 Geraccedilotildees Tomograacuteficas27Figura 6 Geraccedilotildees Tomograacuteficas28Figura 7 Phantom de Sheep-Logan29Figura 8 Discretizaccedilatildeo da secccedilatildeo irradiada30Figura 9 Distribuiccedilatildeo de velocidades e de fraccedilatildeo de soacutelido para diferentes alturas32Figura 10 Secccedilatildeo com distribuiccedilatildeo de soacutelido que seraacute utilizada como Phantom Matemaacutetico33Figura 11 Visatildeo 3D de uma distribuiccedilatildeo de fraccedilatildeo de soacutelido feito por CFD33 Figura 12Sistema RGB35Figura 13 Sistema de Coordenadas39Figura 14 reta r sendo mapeada por39Figura 15 Projeccedilotildees 1D sem mudanccedila de frame43Figura 16 Projeccedilotildees 1D com mudanccedila de frame44Figura 17 Mais de uma vista por frame45Figura 18 Mais de um frame por vista46Figura 19 Mais de um frame durante a aquisiccedilatildeo46Figura 20 Software Desenvolvido50Figura 21 8 frames - ciacuterculo transladando - 1 vista por frame52Figura 22 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames52Figura 23 Tomograma e sinograma ndash circulo transladando ndash 1 vista por frame53Figura 24 Sinogramascirculo transladando ndash 1 vista por frame54Figura 25 Reconstruccedilotildees circulo transladando ndash 1 vista por frame54Figura 26 Tomograma e Sinograma - disco transladando - 8 vistas por frame55Figura 27 Sinogramas Ciacuterculo Transladando -Oito vistas por frame56Figura 28 Reconstruccedilotildees Ciacuterculo Transladando -Oito vistas por frame56Figura 29 8 frames - circulo crescente - 1 vista por frame57Figura 30 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames57Figura 31 Tomograma e sinograma - ciacuterculo crescente - 1 vista por frame58Figura 32 Imagem do sinograma - ciacuterculo crescente - 1 vista por frame59Figura 33 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 1 vista por frame59Figura 34 Tomograma e sinograma - circulo crescente - 8 vista por frame60Figura 35 Sinogramas circulo crescente ndash 8 vistas por frame61Figura 36 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 8 vistas por frame61Figura 37 Reconstruccedilotildees disco transladando - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas e alternadas62Figura 38 Reconstruccedilotildees disco transladando - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas e alternadas 63Figura 39 Reconstruccedilotildees disco transladando - 4 Vistas por frame - Vistas sucessivas e alternadas 64Figura 40 Reconstruccedilotildees disco crescente - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas e alternadas64Figura 41 Reconstruccedilotildees disco crescente - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas e alternadas65Figura 42 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 1 vista por frame66Figura 43 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frame67Figura 44 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frame68Figura 45 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frame68Figura 46 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frame69Figura 47 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo crescente - 2 vistas por frame69Figura 48 Geometria Circulo Transladando - 1 vista por frame71
Figura 49 Tomograma via MCNPX - 1 Vista por frame71Figura 50 Sinograma MCNPX - 1 vista por frame72Figura 51 Imagem de sinograma MCNPX - 1 vista por frame72Figura 52 Reconstruccedilotildees MART e FBP ndash MCNPX ndash 1 vista por frame73Figura 53 Geometria circulo transladando - 2 vistas por frame73Figura 54 Tomograma MCNPX - 2 vistas por frame74Figura 55 Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame74Figura 56 Imagem de sinograma MCNPX ndash 2 vistas por frame75Figura 57 Reconstruccedilatildeo MART - MCNPX - 2 vistas por frame75Figura 58 Reduccedilatildeo na resoluccedilatildeo 899x999 para 64x6476Figura 59 CFD - Frames 1 ao 877Figura 60 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames77Figura 61 Sinogramas CFD ndash 1 vista por frame78Figura 62 Reconstruccedilotildees CFD ndash 1 vista por frame78Figura 63 Frames 1 ao 8 CFD ndash 8 vistas por frame79Figura 64 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames79Figura 65 Sinogramas CFD - 8 vistas por frame80Figura 66 Reconstruccedilotildees CFD - 8 vistas por frame80Figura 67 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo81Figura 68 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o segundo instante de tempo81Figura 69 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo82Figura 70 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o segundo instante de tempo82Figura 71 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo83Figura 72 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo83Figura 73 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo84
LISTA DE TABELAS
Tabela 1
Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 1 vista por framehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip62
Tabela 2
Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 2 vistas por framehelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip63
Tabela 3
Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 4 vistas por framehelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip63
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
DEN ndash Departamento de Energia Nuclear
UFPE ndash Universidade Federal de Pernambuco
TC ndash Tomografia Computadorizada
ART ndash Algebraic Reconstruction Techinique
MART ndash Multiplicative Algebraic Reconstruction Techinique
SIRT ndash Simultaneous Iterative Reconstruction Technique
FBP ndash Filtered Back Projection
AM ndash Alternating Minimization
CFD ndash Computer Fluid Dynamics
MCNP - Monte Carlo N-Particle
PET - Positron Emission Tomography
SPECT - Single Photon Emission Tomography
CST ndash Central Slice Theorem
Sumaacuterio
1 INTRODUCcedilAtildeO132 TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA16
21 A Lei de Beer-Lambert16
22 Algoriacutetmos de Reconstruccedilatildeo20
221 Filtered Back Projection (FBP)20222 ART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica)21223 MART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica com Correccedilatildeo Multiplicativa)23
23 O Caso Dinacircmico24
24 Reconstruccedilatildeo com Correccedilatildeo de Movimento25
25 Geraccedilotildees de Tomoacutegrafos26
26 Simulaccedilatildeo de Sinogramas28
27 Fluidodinacircmica Computacional - CFD31
28 Tempo de Aquisiccedilatildeo ou Integraccedilatildeo33
29 Sistema de cores RGB33
21 0MCNP35
3 METODOLOGIA3731 A Transformada de Radon Temporal38
32 Lei de Beer-Lambert temporal41
33 Simulaccedilatildeo de aquisiccedilotildees Tomograacuteficas42
331 Aquisiccedilatildeo por Tomografia de 1ordf Geraccedilatildeo42332 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 3ordf geraccedilatildeo45333 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 5ordf geraccedilatildeo46
34 Posicionamento angular47
35 Utilizaccedilatildeo de um canal de cores para visualizar a dinacircmica do processo Reconstruccedilatildeo RGB47
36 Reconstruccedilatildeo utilizando dados do CFD48
37 Avaliaccedilatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo com RMSE49
38 Algoritmos e Software Desenvolvidos50
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO5141 Resultados das Reconstruccedilotildees MART e FBP51
411 Primitiva Ciacuterculo Transladando 1 vista por frame51412 Primitiva Ciacuterculo Transladando Oito vistas por frame55413 Primitiva Circulo Crescente Uma vista por frame57414 Primitiva Circulo Crescente Oito vistas por frame60
42 Vistas Alternadas62
43 Resultados com RGB65
44 Simulaccedilotildees com MCNPX70
441 Circulo Transladando ndash 1vista por frame70
442 Circulo Transladando ndash 2 vistas por frame7345 Resultados com CFD76
451 CFD-1 vista por frame76452 CFD-8 vistas por frame79
46 Reconstruccedilotildees com correccedilatildeo de movimento81
5 CONCLUSOtildeES856 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS88ANEXO ndash I92
13
1 INTRODUCcedilAtildeO
A Tomografia Computadorizada (TC) consiste em duas etapas
a) O objeto eacute verificado (escaneado) com relaccedilatildeo a alguma propriedade como
densidade capacitacircncia resistividade eleacutetrica ressonacircncia magneacutetica etc
b) A propriedade eacute entatildeo reconstruiacuteda por meio de uma teacutecnica de reconstruccedilatildeo
adequada
Dessa forma a tomografia tem como objetivo reconstruir os detalhes geomeacutetricos do
objeto subjacente e tambeacutem obter os valores da propriedade escolhida Normalmente eacute classificada
como uma teacutecnica de ensaios natildeo destrutivos (END) e portanto eacute de uso imenso em
colunasreatores industriais para detectar a distribuiccedilatildeo de fases ou qualquer tipo de natildeo
uniformidade no interior do objeto
Para o registro de qualquer mudanccedila no objeto otimiza-se o sistema em alta
resoluccedilatildeo temporal (baixo tempo de aquisiccedilatildeo) ou seja permitir vaacuterias imagens resultando em
centenas de quadros por segundo A tomografia que concretiza essa configuraccedilatildeo de aquisiccedilatildeo eacute
chamada de instantacircnea ou de 5ordf geraccedilatildeo onde vaacuterias fontes satildeo arranjadas diametralmente opostas
a um leque de detetores de radiaccedilatildeo e consequentemente a colimaccedilatildeo de uma fonte eacute limitada por
outra reduzindo a resoluccedilatildeo espacial do sistema
Quando a distribuiccedilatildeo tem baixa variabilidade ao longo do tempo ou quando
limitaccedilotildees teacutecnicas impedem o uso da tomografia instantacircnea propotildee-se a tomografia com baixa
resoluccedilatildeo temporal com tomoacutegrafos de 1ordf e 3ordf geraccedilotildees O alto tempo de aquisiccedilatildeo destes
tomoacutegrafos prejudica a reconstruccedilatildeo quando o objeto em estudo muda suas propriedades no
decorrer do tempo Esta foi classificada por vaacuterios autores como reconstruccedilatildeo dinacircmica
(ARTEMIEV V M NAUMOV A O 2006) (BUTALA 2009) (DESBAT L et al 2006) Jaacute eacute
uma aacuterea muito ativa em medicina nuclear onde movimentos do paciente devem ser tomados em
consideraccedilatildeo Tais como em SPECT ou PET mas tambeacutem em tomografia computadorizada (TC de
transmissatildeo) para oacutergatildeos de movimento raacutepido como o coraccedilatildeo (GRAMEL BM et al 2012)
De um modo geral o imageamento dinacircmico TC tem como objetivo reconstruir
sequecircncias de imagens em que a natureza dinacircmica do objeto tomografado eacute de interesse primaacuterio
permitindo o registro de mudanccedilas temporais na distribuiccedilatildeo do coeficiente de atenuaccedilatildeo linear
podendo identificar o estado inicial e o final do processo
O estado da arte dos meacutetodos aplicados para processos industriais eacute atualmente
baseado em princiacutepios de reconstruccedilotildees tomograacuteficas claacutessicas desenvolvidos para padrotildees TC de
distribuiccedilotildees estaacuteticas como pode ser visto em diversos artigos da aacuterea de tomografia industrial
14
(DAHAN A et al 2007 DUDUKOVIC 2007 HALE et al 2007 JOHANSEN et al 2005
KUMAR et al 1997 DANTAS CC et al 2007 SALVADOR P A V 2010 MESQUITA C et
al 2011) Essas abordagens assumem que as propriedades da imagem satildeo constantes durante o
processo de aquisiccedilatildeo Os algoritmos de reconstruccedilatildeo mais comuns ao contexto satildeo os iterativos
onde se destacam teacutecnicas de reconstruccedilatildeo algeacutebrica (ART SIRT MART SMART) e teacutecnicas de
reconstruccedilatildeo estatiacutesticas como o de Minimizaccedilatildeo Alternante (AM) e o Esperanccedila - Maximizaccedilatildeo
(EM) A imagem reconstruiacuteda passa a ser uma aproximaccedilatildeo das propriedades ao longo do tempo A
aproximaccedilatildeo eacute devida a projeccedilotildees natildeo compatiacuteveis no sinograma (BONNET S 2003) As
projeccedilotildees tornam-se incompatiacuteveis devido as diferentes distribuiccedilotildees que ocorreram durante o
intervalo de tempo utilizado para coleta de dados Ruiacutedos e artefatos de movimento satildeo os
principais problemas causados pela incompatibilidade
Aleacutem disso em processos tomograacuteficos industriais eacute comum um nuacutemero limitado de
dados devido a inviabilidades teacutecnicas como arranjar todo um aparato de fontes e detetores ao redor
de uma coluna industrial Um baixo nuacutemero de dados pode produzir ruiacutedo artefatos e natildeo
concordacircncia com a distribuiccedilatildeo em estudo
Por estes motivos eacute necessaacuterio um estudo dos melhores meacutetodos de reconstruccedilatildeo e
tambeacutem o desenvolvimento de novas taacuteticas ou a utilizaccedilatildeo de meacutetodos jaacute consagrados em outros
contextos como a aacuterea meacutedica
Este trabalho inova quando discute um tema jaacute comum agrave aacuterea meacutedica em um
contexto tomograacutefico industrial
O meacutetodo proposto consiste em descobrir inicialmente as limitaccedilotildees oriundas da
aplicaccedilatildeo de algoritmos de reconstruccedilatildeo que foram desenvolvidos para distribuiccedilotildees estaacuteticas e satildeo
utilizados em tomografia dinacircmica Estas podem aparecer em forma de ruiacutedo artefatos estrela eou
de movimento Para alcanccedilar tais propoacutesitos foram utilizados dados simulados analiticamente e por
MCNPX de um cilindro de alumiacutenio transladando durante o processo aquisiccedilatildeo e imagens da secccedilatildeo
transversal de um rise piloto por meio da teacutecnica CFD (Computational Fluid Dynamics) O cilindro
ou ciacuterculo para uma secccedilatildeo eacute uma escolha pautada na literatura industrial pois simula bolhas em
reatores e tambeacutem distribuiccedilotildees agrupadas em forma de nuacutecleo por exemplo (DUDUKOVIC M et
al 1997) (AZZI M 1991) Com os dados simulados foram realizadas e comparadas as
reconstruccedilotildees pelos meacutetodos FBP (Filtered Back Projection) e MART (Multiplicative Algebraic
Reconstruction Technique)
Descobertas as limitaccedilotildees novas estrateacutegias satildeo apresentadas como a escolha da
ordem do posicionamento angular (vistas alternadas ou sucessivas) o desenvolvimento de um
15
meacutetodo para a visualizaccedilatildeo temporal do processo (Reconstruccedilatildeo RGB) e a correccedilatildeo de movimento
A reconstruccedilatildeo RGB foi desenvolvida com o propoacutesito de visualizar a evoluccedilatildeo
temporal do processo Consiste em uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens tomograacuteficas de
processos dinacircmicos pois utiliza o canal red do sistema de cores RGB para visualizar a evoluccedilatildeo do
movimento Uma nova reconstruccedilatildeo eacute realizada utilizando dados penalizados com o tempo e
associada ao canal R Aos outros canais eacute associada a reconstruccedilatildeo tradicional para posterior
visualizaccedilatildeo do conjunto
Tambeacutem eacute proposta uma teacutecnica de correccedilatildeo de movimento utilizada na aacuterea meacutedica
que manipula a matriz de pesos do meacutetodo algeacutebrico deslocando seus elementos com a mesma
quantidade de movimento identificada Neste trabalho eacute definido o vetor deslocamento a priori
O Capiacutetulo dois trata da revisatildeo bibliograacutefica da tese Conteacutem a lei de Beer-Lambert
a formaccedilatildeo de dados tomograacuteficos para posterior reconstruccedilatildeo Explica os algoritmos algeacutebricos a
visualizaccedilatildeo RGB dados do CFD e geraccedilotildees tomograacuteficas No Capiacutetulo trecircs satildeo expostos os
meacutetodos desenvolvidos como aquisiccedilotildees simuladas analiticamente de 1ordf e 5ordf geraccedilotildees
tomograacuteficas simulaccedilotildees tomograacuteficas por MCNPX reconstruccedilatildeo RGB correccedilatildeo de movimento
algoritmos implementados e desenvolvidos No capiacutetulo quatro satildeo mostrados os resultados de
todos os meacutetodos propostos
Espera-se que esse trabalho contribua para uma anaacutelise mais efetiva de tomografias
dinacircmicas industriais bem como o diagnoacutestico de problemas de otimizaccedilatildeo de operaccedilatildeo de
tomoacutegrafos e obtenccedilatildeo de dados para novos projetos bem como contribuir com novos algoritmos de
reconstruccedilatildeo especiacuteficos para esta aplicaccedilatildeo
16
2 TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA
21 A Lei de Beer-Lambert
A medida da probabilidade por unidade de percusso do feixe de radiaccedilatildeo interagir
com a mateacuteria (efeito fotoeleacutetrico efeito Compton e produccedilatildeo de pares) eacute denominado coeficiente
de atenuaccedilatildeo total ou linear do material ( ) Encontrar a funccedilatildeo que represente a distribuiccedilatildeo das
atenuaccedilotildees dentro de uma regiatildeo de interesse eacute o objetivo da tomografia Ao atravessar um material
a intensidade da radiaccedilatildeo sofre uma queda exponencial descrita pela relaccedilatildeo de Beer-Lambert
Entende-se como intensidade de radiaccedilatildeo neste caso como o nuacutemero de contagens registrado pelo
detetor em uma faixa de energia de interesse para um certo intervalo de tempo
Entende-se como caso estaacutetico a situaccedilatildeo em que o objeto tem distribuiccedilatildeo de
atenuaccedilotildees fixa na regiatildeo de estudo ao longo do tempo ou seja
(1)
O processo unidimensional para determinaccedilatildeo da atenuaccedilatildeo linear pode ser resumido
em um detetor de radiaccedilatildeo diametralmente oposto a uma fonte de radiaccedilatildeo onde
bull Estabelece-se um tempo para o intervalo de contagens Figura 21
bull ) do background sem
objeto algum entre fonte e detetor
bull Coloca-se um objeto de comprimento fixo l com distribuiccedilatildeo de atenuaccedilotildees desconhecida
mas com valores fixos ao longo de l
bull Afere-se o nuacutemero de contagens ( com o objeto presente
Figura 1 Atenuaccedilatildeo daRadiaccedilatildeo pela mateacuteria
l
If
para Δt
I0
para Δt
17
A lei de Beer-Lambert mostra que a absorccedilatildeo mais precisamente a atenuaccedilatildeo da
radiaccedilatildeo mede a queda da intensidade quando a radiaccedilatildeo passa pela mateacuteria A transmissatildeo T
Taxa de contagem inicial Taxa de contagem apoacutes o absorvedor
(2)
caracteriza a permeabilidade do material absorvente para a radiaccedilatildeo Quanto maior for a
transmissatildeo menor eacute o efeito atenuante A transmissatildeo depende da espessura l do absorvedor Se a
espessura l eacute reforccedilada pela pequena quantidade dl o T de transmissatildeo eacute diminuiacuteda pela pequena
quantidade dT A diminuiccedilatildeo relativa da transmissatildeo eacute proporcional ao aumento absoluto da
espessura
(3)
O fator de proporcionalidade eacute chamado o coeficiente de atenuaccedilatildeo linear mu A
integraccedilatildeo da equaccedilatildeo 24 conduz agrave lei de Beer-Lambert
(4)
Para facilitar a notaccedilatildeo em desenvolvimentos adiante chamamos de que eacute o
coeficiente de atenuaccedilatildeo linear meacutedio e l a distacircncia percorrida pelo raio no absorvedor Entatildeo eacute
determinado por
18
(5)
independente de l E para um
detalhamento maior das atenuaccedilotildees ao longo do feixe discretiza-se l O somatoacuterio dos produtos das
atenuaccedilotildees com as distacircncias surge da discretizaccedilatildeo de l assumindo que todas as particcedilotildees atenuam
o feixe no Esta condiccedilatildeo implica tambeacutem no particionamento de
Fazendo com que a intensidade final de uma particcedilatildeo i seja a inicial
da subsequente i+1 Ou seja natildeo eacute estabelecida uma discretizaccedilatildeo do tempo
(6)
De maneira geral a soma na Equaccedilatildeo 6 torna-se uma integral e definindo o eixo x ao
longo da trajetoacuteria do feixe l torna-se o elemento de linha onde o coeficiente de atenuaccedilatildeo eacute
funccedilatildeo da trajetoacuteria da linha
(7)
A integral ao longo da linha eacute conhecida como projeccedilatildeo unidimensional da
distribuiccedilatildeo de densidades definida matematicamente por Johann Radon em 1917 e
Figura 2 Discretizaccedilatildeo de l
l1
μ1
l2
μ2
ln
μn
l3
μ3
I 1 pa
ra Δ
t 0f
I 2 pa
ra Δ
t 0f
I f pa
ra Δ
t 0f
I 0 pa
ra Δ
t 0f
19
conhecida como a transformada de Radon da funccedilatildeo
Como as projeccedilotildees satildeo o resultado das transformadas de Radon ao longo dos
caminhos dos feixes pode-se dizer que o objetivo da tomografia eacute obter a sua inversa ou seja a
imagem reconstruiacuteda ou como no caso unidimensional a curva
(8)
Os diversos modelos utilizados para encontrar a inversa satildeo chamados de algoritmos
de reconstruccedilatildeo e como todos operam com as projeccedilotildees como entrada de dados um estudo mais
detalhado da transformada de Radon temporal e como essas projeccedilotildees variam deve ser realizado
para os casos em que a distribuiccedilatildeo de coeficientes de atenuaccedilatildeo varia tambeacutem com o tempo (caso
dinacircmico seccedilatildeo )
eacute a projeccedilatildeo bidimensional
geralmente chamada de perfil ou vista do corte O processo de aquisiccedilatildeo dos perfis eacute
chamado de escaneamento ou varredura e o conjunto de projeccedilotildees adquiridas eacute denominado
sinograma a Erro Origem da referecircncia natildeo encontrada representa o sinograma de uma imagem de
teste com um disco central
O escaneamento pode ser feito atraveacutes de aquisiccedilotildees paralelas de um uacutenico feixe
Figura 3 Sinograma constituiacutedo de 180 vistas (construiacutedo com a funccedilatildeo radon do
matlab)
20
(Parallel Beam) ou com as trajetoacuterias em forma de leque (Fan Beam) Como o sinograma eacute
resultado das transformadas de Radon ao longo dos raios pode-se dizer que o objetivo da
tomografia eacute obter a sua inversa ou seja a imagem reconstruiacuteda
representa todas as projeccedilotildees (9)
Imagem Original
22 Algoriacutetmos de Reconstruccedilatildeo
221 Filtered Back Projection (FBP)
Bracewell e Riddle em 1967 introduziram o meacutetodo chamado retroprojeccedilatildeo filtrada
(FBP) meacutetodo baseado na transformada de Fourier O FBP eacute muito utilizado devido ao baixo tempo
de processamento O teorema das projeccedilotildees tambeacutem chamado de teorema do corte central (Central
Slice Theorem - CST) facilita o processo Esse diz que uma transformada 1D de Fourier da
transformada de Radon da funccedilatildeo corresponde agrave transformada 2D de Fourier da funccedilatildeo Ou seja
realizando a transformada de Fourier das projeccedilotildees chega-se ao espaccedilo de frequecircncias da
distribuiccedilatildeo de densidades que se desejam descobrir No espaccedilo de frequecircncias satildeo realizadas as
operaccedilotildees de filtragem e a transformada 2D inversa retorna a imagem reconstruiacuteda O FBP eacute
resumido nos seguintes passos
1 Calcular a transformada de Fourier unidimensional das projeccedilotildees chegando ao domiacutenio de
frequecircncias
2 Filtrar as projeccedilotildees transformadas com um filtro passa baixa (Shepp-Logan Hann
Hamming etc)
3 Colocar as projeccedilotildees filtradas em um grid polar Cada projeccedilatildeo em seu acircngulo
correspondente
4 Reamostrar estas em um grid cartesiano com interpolaccedilatildeo (linear nearest Splines etc)
5 Calcular a transformada 2D de Fourier inversa chegando-se agrave imagem reconstruiacuteda
21
222 ART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica)
Os primeiros estudos sobre teacutecnicas algeacutebricas em TC foram feitos por Gordon e
Herman (HERMAN G T GORDON R 1971) Apesar de ser mais intuitiva e simples que os
meacutetodos de transformada essa teacutecnica deixa a desejar no que se refere a precisatildeo e tempo de
processamento Fazendo com que os meacutetodos de transformada fossem inicialmente mais utilizados
principalmente na aacuterea meacutedica onde um grande nuacutemero de dados eacute processado No entanto para
experimentos em que o nuacutemero de projeccedilotildees eacute limitado ou tenha uma distribuiccedilatildeo natildeo uniforme o
meacutetodo de transformada torna-se inviaacutevel
Meacutetodos algeacutebricos ou de expansatildeo de seacuteries discretizam a secccedilatildeo irradiada em uma
matriz de incoacutegnitas (pixels) que representam a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de densidades μ (x y) como
ilustra a Figura 4 Apoacutes as varreduras um sistema de equaccedilotildees resultantes da relaccedilatildeo de Beer-
Lambert eacute criado e sua resoluccedilatildeo corresponde agrave inversa de Radon Devido agraves caracteriacutesticas desse
sistema meacutetodos indiretos satildeo aconselhados e dentre os indiretos o meacutetodo das projeccedilotildees de
Kaczmarz tem convergecircncia garantida (KACZMARZ 1937) As teacutecnicas iterativas satildeo resumidas
basicamente em quatro passos criaccedilatildeo da imagem inicial caacutelculo das correccedilotildees aplicaccedilatildeo das
correccedilotildees e o teste de convergecircncia Estes algoritmos diferem na maneira como as correccedilotildees satildeo
calculadas e aplicadas (SUBBARAO 1997) Neste trabalho eacute utilizada a teacutecnica algeacutebrica ART
Nessa representaccedilatildeo um raio corresponde a uma faixa com largura que na maioria das vezes
coincide com a largura de um pixel
22
O processo pode ser resumido em
1) Criar uma matriz imagem inicial com N elementos parametrizados em geralmente aleatoacuterios
ou nulos Esse eacute o iniacutecio da 1ordf iteraccedilatildeo ( =1)
2) Calcular as projeccedilotildees para todos os raios atraveacutes da foacutermula
(10)
3) Para cada raio calcular a diferenccedila entre a projeccedilatildeo original e a reconstruiacuteda 4)
Calcular o somatoacuterio de todos pesos ao longo de cada raio
(11)
5) Obter a correccedilatildeo para cada raio
23
(12)
6) Aplicar a correccedilatildeo a cada ceacutelula
(13)
onde eacute um paracircmetro de relaxaccedilatildeo entre 0 e 2
7) Repetir os passos 2 ao 6 para todos os raios
8) Achar a soma da convergecircncia de todos os pixels da imagem
(14)
9) Finalizar a iteraccedilatildeo
As iteraccedilotildees satildeo finalizadas quando chegar a um valor preacute - estabelecido Muitos autores
estabelecem um criteacuterio de Caso o criteacuterio natildeo tenha sido cumprido uma nova
iteraccedilatildeo eacute iniciada no passo 2
O ART frequentemente sofre de ruiacutedos tipo sal e pimenta (salt and pepper noise)
causados pelas inconsistecircncias introduzidas no conjunto de equaccedilotildees por aproximaccedilotildees nos O
efeito eacute exacerbado porque cada pixel ao longo de um raio eacute alterado assim que a projeccedilatildeo eacute
calculada mudando seus valores antes que outro raio o faccedila Tanto o ruiacutedo quando a taxa de
convergecircncia do meacutetodo dependem do paracircmetro de relaxaccedilatildeo utilizado escolhido empiricamente
(geralmente entre 0 e 2) (KAK 1989)
223 MART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica com Correccedilatildeo Multiplicativa)
Vaacuterios estudos apontam o meacutetodo como raacutepido mais flexiacutevel e de melhor acuraacutecia
que o ART Sendo indicado principalmente para casos de um nuacutemero limitado de dados
(VERHOEVEN 1993) A teacutecnica eacute semelhante ao ART com mudanccedila apenas no fator de correccedilatildeo
24
expresso pela equaccedilatildeo 15
(15)
23 O Caso Dinacircmico
De um modo geral imagiologia dinacircmica CT tem como objetivo reconstruir sequecircncias de
imagens em que a natureza dinacircmica do objeto tomografado eacute de interesse primaacuterio permitindo o
registro de mudanccedilas temporais na distribuiccedilatildeo do coeficiente de atenuaccedilatildeo linear Entende-se como
caso estaacutetico a situaccedilatildeo em que o objeto tem distribuiccedilatildeo de atenuaccedilotildees fixa na regiatildeo de
estudo ao longo do tempo Algoritmos de reconstruccedilatildeo tomograacutefica utilizam como dados de entrada
as projeccedilotildees unidimensionais tomograacuteficas Cada projeccedilatildeo eacute adquirida atraveacutes das aquisiccedilotildees de
intensidades inicial e final ao longo do raio na direccedilatildeo
O escaneamento pode ser feito atraveacutes de aquisiccedilotildees paralelas de um uacutenico feixe (Parallel
Beam) ou com as trajetoacuterias em forma de leque (Fan Beam) Como o sinograma eacute resultado das
transformadas de Radon ao longo dos raios pode-se dizer que o objetivo da tomografia eacute obter a
sua inversa ou seja a imagem reconstruiacuteda ou como no caso unidimensional a curva
(KAK A C SLANEY M 1999)
(16)
Historicamente a CT dinacircmica no contexto meacutedico refere-se a algoritmos de imagem que
tentam corrigir movimentos formando uma imagem de alta qualidade estaacutetica atraveacutes da remoccedilatildeo
do componente dinacircmico Diferentemente da aacuterea meacutedica as imagens reconstruiacutedas de fluxos
multifaacutesicos oriundas de relativa baixa resoluccedilatildeo temporal trazem informaccedilotildees importantes da
mudanccedila do fluxo ao longo do tempo (MyersG R Kingston A M 2011) O objetivo da
tomografia neste caso eacute determinar a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de atenuaccedilatildeo
No caso CT de 1ordf 3ordf geraccedilotildees aplicados a distribuiccedilotildees dinacircmicas uma uacutenica imagem
representativa de todo o processo (reconstruiacuteda por processos desenvolvidos para distribuiccedilotildees
25
estaacuteticas) eacute o resultado final da tomografia (BARTHOLOMEW CASAGRANDE 1957) (AZZI et
al 1991) (YIN et al 2002)(DAHAN A et al 2007) (DUDUKOVIC 2007) (DANTAS CC et
al 2007) (SALVADOR P A V 2010) (MESQUITA C et al 2011) A funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de
atenuaccedilotildees passa a ser uma aproximaccedilatildeo
Esta aproximaccedilatildeo eacute devido a projeccedilotildees natildeo compatiacuteveis no sinograma (tambeacutem chamado de
) (BONNET S 2003) As projeccedilotildees agora tornam-se incompatiacuteveis
devido as diferentes distribuiccedilotildees que ocorreram durante o intervalo de tempo [0 t]
24 Reconstruccedilatildeo com Correccedilatildeo de Movimento
A reduccedilatildeo de artefatos de movimento em imagens tomograacuteficas eacute um problema
crucial em oacutergatildeos de um forte caraacuteter dinacircmico como por exemplo os pulmotildees ou o coraccedilatildeo Uma
maneira simples de reduzir esses artefatos eacute limitar o tempo de aquisiccedilatildeo usando tomografia ultra ndash
raacutepida (5ordf geraccedilatildeo)
Aqui considera-se uma outra abordagem em que os modelos de movimento satildeo
integrados diretamente ao processo de reconstruccedilatildeo e onde a resoluccedilatildeo temporal pode assim ser
significativamente aumentada Os meacutetodos podem ser algeacutebricos (GILLAND et al 2002 1996 DE
MURCIA BLONDE et al 2003) ou analiacuteticos ( BONNET et al 2003)
A teacutecnica de compensaccedilatildeo de movimento utilizada neste estudo utiliza um modelo
de transformaccedilatildeo da matriz de pesos A dividindo-a em submatrizes tendo suas colunas deslocadas
adequadamente de acordo com o modelo de movimento obtido a cada projeccedilatildeo (PENGPAN et al
2011) Por esse motivo o vetor deslocamento do movimento deve ser calculado a cada projeccedilatildeo
Para uma grande quantidade de dados necessaacuterios em estudos dinacircmicos na aacuterea
meacutedica abordagens analiacuteticas que levam a algoritmos de reconstruccedilatildeo diretos satildeo mais apropriadas
Alguns meacutetodos satildeo aproximaccedilotildees adaptadas para uso geral do tipo de movimento mas amplitude
moderada (RITCHIE et al 1996 GRANGEAT et al 2002)
No trabalho desenvolvido foca-se a situaccedilatildeo em que um pequeno nuacutemero de dados eacute
26
disponibilizado devido a natureza da aplicaccedilatildeo Salienta-se que a compensaccedilatildeo de movimento
ocorre com a aplicaccedilatildeo da mesma quantidade de movimento (obtida previamente ou durante a
reconstruccedilatildeo) agrave matriz A
A funccedilatildeo em um instante de tempo t pode ser encontrada com a aplicaccedilatildeo da
deformaccedilatildeo agrave seu valor inicial
(17)
A deformaccedilatildeo pode apresentar rotaccedilatildeo e translaccedilatildeo
(18)
25 Geraccedilotildees de Tomoacutegrafos
A primeira geraccedilatildeo de tomoacutegrafos foi produzida pela EMI Mark em 1973 tendo
como desenvolvedor o engenheiro Hounsfield O sistema era composto por um uacutenico tubo de raios
X o qual produzia um uacutenico feixe ciliacutendrico que atravessava o objeto em estudo o paciente
atingindo o uacutenico detector que media a intensidade do mesmo O sistema ainda contava com um par
de colimadores (dois pequenos tubos metaacutelicos colocados apoacutes o feixe deixar a fonte e antes do
mesmo atingir o detector) para minimizar o espalhamento do feixe A fonte de raios X e o detector
se movem em sincronia e em lados opostos do paciente executando um escaneamento linear sobre a
seccedilatildeo em estudo seguido de uma rotaccedilatildeo de 1 grau e um novo escaneamento linear eacute efetuado
como ilustra a Figura 3 a)
Os tomoacutegrafos de segunda geraccedilatildeo foram desenvolvidos visando reduzir o tempo de
escaneamento minimizando a exposiccedilatildeo do paciente agrave radiaccedilatildeo e ampliando a gama de oacutergatildeos que
podem ter a seccedilatildeo transversal reconstruiacuteda Os tomoacutegrafos ainda mantiveram o movimento de
varredura linear seguida de uma rotaccedilatildeo Entretanto o feixe de raios X deixou de ser ciliacutendrico e
passou a ter formato de leque Ao inveacutes de um uacutenico detector o sistema passou a contar com vaacuterios
27
detectores alinhados de forma que possam receber todos os raios do feixe Dessa maneira o tempo
de obtenccedilatildeo de dados de uma seccedilatildeo foi reduzido de acordo
com o nuacutemero de detectores e com o acircngulo de abertura empregado como pode ser visto na Figura
3b) A terceira geraccedilatildeo de aparelhos abandonou de vez os movimentos de translaccedilatildeo do tubo de
raios X e dos detectores e passou a contar com um leque com um acircngulo maior e uma base de
detectores mais ampla em formato semi-circular O sistema passou a efetuar um movimento de 360
graus em torno da seccedilatildeo Tambeacutem eram usados colimadores antes do feixe atingir os detectores a
fim de minimizar o espalhamento dos raios X e garantir a qualidade das imagens O tempo de cada
varredura em alguns modelos comerciais passou a ser de apenas meio segundo ilustrado pela
Figura 3 c)
A quarta geraccedilatildeo de aparelhos passou a contar com um anel de detectores que
circundam toda a seccedilatildeo que possibilitou aumentar mais ainda o acircngulo do feixe de radiaccedilatildeo Os
detectores satildeo fixos e a fonte de radiaccedilatildeo rotaciona dentro do anel de detectores e ao redor do corpo
irradiado Um problema desta geraccedilatildeo diz respeito agrave recepccedilatildeo dos feixes que natildeo satildeo fixos e
dependendo do acircngulo um feixe pode atingir dois detectores ou acertar um detector apenas em uma
fraccedilatildeo ilustrado pela Figura 6d)
Como o tempo despendido para realizaccedilatildeo de movimentos mecacircnicos eacute a principal
28
limitaccedilatildeo para reduzir ainda mais os tempos de escaneamento a quinta geraccedilatildeo de aparelhos acabou
com os movimentos de translaccedilatildeo e rotaccedilatildeo da fonte e dos detectores Rachid Maad em MAAD R
2009 evita utilizar essa classificaccedilatildeo para tomoacutegrafos sem rotaccedilatildeo e translaccedilatildeo utilizados
industrialmente ficando essa classificaccedilatildeo mais utilizada em aplicaccedilotildees meacutedicas Esse utiliza o
termo geraccedilatildeo de tomografia instantacircnea para tais aparelhos representados na Figura 6e)
Na configuraccedilatildeo instantacircnea um anel de detectores estacionaacuterios e as fontes de
radiaccedilatildeo rodeiam o objeto fornecendo um arranjo fixo (sem varreduras) e mediccedilotildees instantacircneas1
Esta teacutecnica eacute muito raacutepida e pode ser usada na geraccedilatildeo de imagens em tempo real A desvantagem
eacute o custo e o problema da radiaccedilatildeo dispersa causada pela presenccedila de muacuteltiplas fontes
26 Simulaccedilatildeo de Sinogramas
Phantoms matemaacuteticos ou imagens de teste satildeo frequentemente utilizados para
avaliar a precisatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo Satildeo descritos precisamente por funccedilotildees
matemaacuteticas e suas transformadas de Radon simulam as projeccedilotildees tomograacuteficas Seus pixels satildeo as
regiotildees discretizadas e seus valores ou cores representam as densidades ou coeficientes de
atenuaccedilatildeo linear A imagem de teste (phantom) mais conhecida em reconstruccedilatildeo tomograacutefica eacute o
1 O termo instantacircneo aqui utilizado negligencia o tempo de aquisiccedilatildeo para as contagens de intensidade de radiaccedilatildeo devido ao seu baixo valor deacutecimos de segundo
29
phantom de Sheep ndash Logan Figura 7
Para calcular a projeccedilatildeo simulada somam-se os produtos das distacircncias percorridas
pelo raio em cada pixel pelo seu valor Paracircmetros do experimento tomograacutefico que se deseja
simular como a aacuterea a ser varrida densidades reais adiccedilatildeo de ruiacutedo e fotos da secccedilatildeo do objeto
podem ser incorporadas para dar mais realidade ao modelo (SUBBARAO PMV et al 1997) O
ruiacutedo obedece ao desvio padratildeo de Poisson (IAEA-TECDOC-1589 2008)
A secccedilatildeo irradiada eacute representada por uma matriz de incoacutegnitas que representam a
distribuiccedilatildeo de densidades que se deseja descobrir As incoacutegnitas satildeo os pixels da imagem
reconstruiacuteda como ilustrado na Figura 8
Nessa representaccedilatildeo um raio corresponde a uma faixa com largura que na maioria
das vezes coincide com a largura de um pixel
Figura 7 Phantom de Sheep-Logan
50 100 150 200 250
50
100
150
200
2500
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
30
Parametrizando os pixels com j variando de 1 a N e os raios com i de 1 a M podemos
escrever a transformada de Radon ao longo do raio i como
(19)
onde eacute o peso que diz o percentual de contribuiccedilatildeo de um pixel j para o raio i definido como
(20)
Uma boa aproximaccedilatildeo eacute o modelo em que a largura do feixe eacute reduzida a uma linha
reta fazendo a distacircncia percorrida por este feixe dentro do pixel
Para calcular a intensidade final para uma projeccedilatildeo i faz-se
31
(21)
Com calculado da figura e de meacutedia fixa variando a cada projeccedilatildeo
com o desvio padratildeo de Poisson para todas as projeccedilotildees
O sinograma simulado eacute construiacutedo fazendo cada elemento de sua matriz igual a
27 Fluidodinacircmica Computacional - CFD
Fluidodinacircmica computacional (Computational Fluid Dynamics - CFD) eacute o termo
dado ao grupo de teacutecnicas matemaacuteticas numeacutericas e computacionais usadas para obter visualizar e
interpretar soluccedilotildees para as equaccedilotildees de conservaccedilatildeo de grandezas fiacutesicas de interesse em um dado
escoamento A origem destas equaccedilotildees de conservaccedilatildeo eacute a teoria de Fenocircmenos de Transporte
Assim pode-se resumir CFD como o conjunto das teacutecnicas de simulaccedilatildeo computacional usadas
para predizer os fenocircmenos fiacutesicos ou fiacutesico-quiacutemicos que ocorrem em escoamentos
A Fluidodinacircmica computacional eacute uma aacuterea de grande interesse para a soluccedilatildeo de
muitos problemas praacuteticos Como exemplo podem ser citados problemas de aerodinacircmica
termodinacircmica hidraacuteulica dentre outros As anaacutelises nesta aacuterea de pesquisa podem ser
desenvolvidas com base em experimentos bem como em meacutetodos teoacutericos Dentro dos meacutetodos
teoacutericos destacam-se os meacutetodos computacionais utilizados para simulaccedilatildeo numeacuterica aplicada agrave
Dinacircmica dos Fluidos (HERCKERT M G R)
Para os escoamentos de fluidos o modelo matemaacutetico eacute estabelecido com base nas
equaccedilotildees de conservaccedilatildeo da quantidade de movimento da massa e da energia Estas equaccedilotildees
quando submetidas a condiccedilotildees de contorno e iniciais apropriadas representam matematicamente
um problema particular (SHAMES I H 1973) A soluccedilatildeo analiacutetica destas equaccedilotildees somente eacute
possiacutevel para escoamentos muito simples Para se analisar problemas reais lanccedila-se matildeo do uso dos
chamados meacutetodos numeacutericos
Nos casos de escoamentos laminares os modelos satildeo relativamente simples pois as
32
equaccedilotildees de Navier-Stokes2 conservaccedilatildeo da massa e conservaccedilatildeo de energia satildeo resolvidas
Contudo como a maioria dos escoamentos que acontecem na natureza e no meio industrial satildeo
turbulentos estes tem um alto grau de complexidade e portanto deve-se lanccedilar matildeo de modelos
matemaacuteticos de turbulecircncia acrescentando termos as equaccedilotildees anteriormente citadas Os modelos
de turbulecircncia levam em conta variaacuteveis estatiacutesticas pois escoamentos turbulentos satildeo altamente
caoacuteticos e com isto haacute a necessidade de ferramentas estatiacutesticas para representar os escoamentos
turbulentos
A Figura 9 mostra campos de velocidade e distribuiccedilatildeo de soacutelido dentro do riser com
o regime de fluxo feito por CFD (ARMSTRONG L M 2010) Uma uacutenica velocidade de injeccedilatildeo e
diferentes alturas ao longo do riser Outros exemplos satildeo ilustrados nas Figuras 10 e 11
2 satildeo equaccedilotildees diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos Permitem determinar os
campos de velocidade e de pressatildeo num escoamento
Figura 9 Distribuiccedilatildeo de velocidades e defraccedilatildeo de soacutelido para diferentes alturas
33
28 Tempo de Aquisiccedilatildeo ou Integraccedilatildeo
Detectores de radiaccedilatildeo precisam sempre de um certo tempo (tempo de integraccedilatildeo)
para obter sinal razoaacutevel dos foacutetons incidentes Isto eacute devido agrave estatiacutestica de Poisson que regula o
processo de contagem de foacutetons e pode aumentar consideravelmente a incerteza do sinal detectado
no caso de um tempo de integraccedilatildeo baixo No domiacutenio da frequecircncia a mediccedilatildeo de sinal com um
tempo de integraccedilatildeo eacute aproximadamente equivalente a multiplicar o sinal original por um filtro
passa - baixa Quando uma amostra estaacute em repouso no interior do tomoacutegrafo eacute vantajosa a
utilizaccedilatildeo de um tempo de integraccedilatildeo alto para rejeitar ruiacutedo de alta frequecircncia Para a escolha do
tempo de integraccedilatildeo ideal deve-se estabelecer um equiliacutebrio entre a velocidade da amostra e o ruiacutedo
Poisson (MAAD 2009)
29 Sistema de cores RGB
RGB eacute a abreviatura do sistema de cores aditivas formado por Vermelho (Red)
Verde (Green) e Azul (Blue) O propoacutesito principal do sistema RGB eacute a reproduccedilatildeo de cores em
dispositivos eletrocircnicos como monitores de TV e computador datashows scanners e cacircmeras
digitais assim como na fotografia tradicional Em contraposiccedilatildeo impressoras utilizam o modelo
Figura 11 Visatildeo 3D de uma distribuiccedilatildeo de fraccedilatildeode soacutelido feito por CFD
Figura 10 Secccedilatildeo comdistribuiccedilatildeo de soacutelido que
seraacute utilizada como PhantomMatemaacutetico
34
CMYK de cores subtrativas Modelos aditivos de luzes satildeo combinados de vaacuterias maneiras para
reproduzir outras cores
O modelo de cores RGB eacute baseado na teoria de visatildeo colorida tricromaacutetica de
Young-Helmholtz e no triacircngulo de cores de Maxwell O uso do modelo RGB como padratildeo para
apresentaccedilatildeo de cores na Internet tem suas raiacutezes nos padrotildees de cores de televisotildees RCA de 1953 e
no uso do padratildeo RGB nas cacircmeras LandPolaroid poacutes Edwin Land
Estas trecircs cores natildeo devem ser confundidas com os pigmentos primaacuterios Ciano
Magenta e Amarelo conhecidos no mundo das artes como ldquocores primaacuteriasrdquo jaacute que se combinam
baseadas na reflexatildeo e absorccedilatildeo de foacutetons visto que o RGB depende da emissatildeo de foacutetons de um
componente excitado a um estado de energia mais elevado (fonte emissora por exemplo o tubo de
raios catoacutedicos)
O modelo de cores RGB por si soacute natildeo define o que significa ldquovermelhordquo ldquoverderdquo ou ldquoazulrdquo
(espectroscopicamente) e entatildeo os resultados de misturaacute-los natildeo satildeo tatildeo exatos (e sim relativos na
meacutedia da percepccedilatildeo do olho humano)
Uma cor no modelo de cores RGB pode ser descrita pela indicaccedilatildeo da quantidade de
vermelho verde e azul que conteacutem Cada uma pode variar entre o miacutenimo (completamente escuro)
e maacuteximo (completamente intenso) Quando todas as cores estatildeo no miacutenimo o resultado eacute preto Se
todas estatildeo no maacuteximo o resultado eacute branco (GONZALES 2014)
Uma das representaccedilotildees mais usuais para as cores eacute a utilizaccedilatildeo da escala de 0 agrave 255
bastante encontrada na computaccedilatildeo pela conveniecircncia de se guardar cada valor de cor em 1 byte (8
bits) Assim o vermelho completamente intenso eacute representado por 255 0 0
Branco - RGB (255 255 255) Azul - RGB (0 0 255) Vermelho - RGB (255 0 0)
Verde - RGB (0 255 0)Amarelo - RGB (2552550)Magenta - RGB (2550255)
Ciano - RGB (0 255 255) Preto - RGB (0 0 0)
35
As cores satildeo complementares agraves do sistema CMYK - Ciano (Cyan) Magenta
(Magenta) Amarelo (Yellow) e Preto (blacKKey) - e a sua mistura forma a cor branca
210 MCNP
O meacutetodo Monte Carlo eacute um algoritmo numeacuterico capaz de resolver problemas fiacutesicos e
matemaacuteticos por meio de simulaccedilatildeo de variaacuteveis aleatoacuterias (SOBOL 1994 BIELAJEW 1998)
Hoje em dia o MCNP eacute uma ferramenta matemaacutetica comumente utilizada em diversos segmentos
da ciecircncia e da engenharia para simular problemas que podem ser representados por processos
estocaacutesticos Simulaccedilotildees do transporte de radiaccedilatildeo por meio deste meacutetodo e em particular na Fiacutesica
Meacutedica tecircm passado por um raacutepido crescimento nas uacuteltimas deacutecadas (YORIYAZ 2009)
O processo Monte Carlo pode ser compreendido como um meacutetodo de geraccedilatildeo de nuacutemeros
aleatoacuterios (ROBERT amp CASELLA 2004) Um gerador uniforme de nuacutemeros pseudoaleatoacuterios eacute
um algoritmo que comeccedilando com um valor inicial e uma transformaccedilatildeo produz uma sequecircncia de
valores no intervalo [0 1] tendo esta sequecircncia um comportamento de uma variaacutevel aleatoacuteria
uniforme quando comparada com um conjunto de testes aleacutem de ser independente e identicamente
distribuiacuteda (ROBERT amp CASELLA 2004) Em termos de transporte de radiaccedilatildeo o processo
estocaacutestico pode ser visto como uma famiacutelia de partiacuteculas cujas coordenadas individuais soacute mudam
aleatoriamente em cada colisatildeo O comportamento meacutedio dessas partiacuteculas eacute descrito em termos de
Figura 12Sistema RGB
36
grandezas macroscoacutepicas como fluxo ou densidade de partiacuteculas (YORIYAZ 2009)
O Monte Carlo N Particle ndash MCNP - foi criado desde a deacutecada de 50 nos Estados
Unidos sendo desenvolvido por meio do laboratoacuterio Los Alamos National Laboratory O MCNP
continua ateacute hoje sendo aperfeiccediloado tornando-se assim mais confiaacutevel e usado por muitos
pesquisadores no mundo inteiro Eacute um coacutedigo que realiza o transporte de partiacuteculas utilizando o
meacutetodo Monte Carlo com capacidade para simular necircutrons com energias entre 10-11 MeV a 20
MeV enquanto que a faixa de energia para os foacutetons e eleacutetrons vai de 1 keV a 1000 MeV
(BRIESMEISTER 2000) O coacutedigo MCNP tem a capacidade de simular sistemas com geometrias
que vatildeo de superfiacutecies preacute-determinadas como esferas planos paraboloacuteides de revoluccedilatildeo cilindros
elipsoacuteides ateacute superfiacutecies bem elaboradas utilizando conjunto de pontos no espaccedilo
O pesquisador ao utilizar o MCNP constroacutei um arquivo de entrada no coacutedigo que
pode ser organizado em blocos descrevendo regiotildees envolvidas no modelo especificaccedilatildeo da
geometria por meio de superfiacutecies geomeacutetricas e suas intersecccedilotildees posiccedilatildeo e distribuiccedilatildeo energeacutetica
da fonte descriccedilatildeo dos materiais e todos os paracircmetros fiacutesicos agregados com algumas teacutecnicas de
reduccedilatildeo de variacircncia para melhorar a eficiecircncia e obter melhores resultados (BRIESMEISTER
2000) A versatilidade somado ao aspecto funcional do coacutedigo MCNP para diferentes tipos de
problemas faz com que este seja bem aceito na comunidade cientiacutefica que trabalham com transporte
de radiaccedilotildees e caacutelculos de dose
37
3 METODOLOGIA
Para descobrir ateacute onde processos tomograacuteficos de baixa resoluccedilatildeo temporal aliados
a algoritmos de reconstruccedilatildeo estaacutetica satildeo compatiacuteveis com o regime em estudo foram avaliadas
aquisiccedilotildees simuladas de 1ordf 3ordf e 5ordf geraccedilotildees tomograacuteficas A variaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo de densidades
durante a aquisiccedilatildeo faz necessaacuterio o desenvolvimento de uma versatildeo da lei de Beer-Lambert para
casos dinacircmicos seguida de sua aplicaccedilatildeo para realizar as simulaccedilotildees O meacutetodo eacute separado em duas
fases
1ordf Fase
A metodologia desenvolvida aplica primeiro o modelo de simulaccedilatildeo de sinogramas
desenvolvida analiticamente agrave primitivas matemaacuteticas e posteriormente a dados do MCNPX e CFD
1) Eacute criado um modelo de simulaccedilatildeo de sinogramas para distribuiccedilotildees
dinacircmicas utilizando a versatildeo temporal desenvolvida da lei de Beer-Lambert e da transformada de
Radon tambeacutem temporal
2) A simulaccedilatildeo eacute testada com primitivas matemaacuteticas dinacircmicas como um
ciacuterculo crescente ou transladando ou ambos A escolha eacute pautada em sua representaccedilatildeo precisa por
funccedilotildees matemaacuteticas e por representar diversos processos industriais(A simulaccedilatildeo com o disco
representa a secccedilatildeo de um cilindro ou bolha)
3) Os resultados satildeo apresentados em forma de imagens e graacuteficos A
visualizaccedilatildeo do sinograma eacute bastante utilizada para determinaccedilatildeo de caracteriacutesticas do objeto
4) O modelo de simulaccedilatildeo eacute ao aplicado a dados do CFD
2ordf Fase
O meacutetodo desenvolvido propotildee uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens
tomograacuteficas de processos dinacircmicos pois utiliza canais de cores para mostrar a evoluccedilatildeo temporal
do processo O algoriacutetmo de reconstruccedilatildeo utilizado eacute o MART devido a sua boa performance com
nuacutemero limitado de dados
Nesta fase eacute realizada a reconstruccedilatildeo tradicional que eacute associada aos canais verde (G)
e azul (B) enquanto que o canal vermelho (R) fica responsaacutevel pela evoluccedilatildeo temporal do processo
O meacutetodo eacute descrito na seccedilatildeo 33
38
A reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento eacute utilizada com conhecimento do vetor
deslocamento meacutedio ou sua estimativa O meacutetodo escolhido modifica a matriz de pesos do
algoritmo algeacutebrico deslocando suas colunas de acordo com o modelo de movimento estimado
(ARTEMIEV V M NAUMOV A O 2006) (BUTALA 2009) (DESBAT L et al 2006)
Com o resultado das simulaccedilotildees o sistema tomograacutefico pode ser otimizado
(diminuiccedilatildeo do nuacutemero de projeccedilotildees e vistas)
31 A Transformada de Radon Temporal
regiatildeo (espaccedilo de medida) na qual seraacute feita a aquisiccedilatildeo de dados
considere a funccedilatildeo densidade onde
Neste sistema um ponto pode ser
mapeado por como
complemento unitaacuterio perpendicular a
ao longo da reta eacute dada por
(22)
39
depende natildeo apenas de x e y mas de com sendo a
variaacutevel tempo Definimos entatildeo
(23)
onde e o tempo final da mesma medida
Lema 1 ou seja se eacute
estaacutetico ao longo do tempo a transformada dinacircmica reduz-se a convencional
Demostraccedilatildeo
Figura 13 Sistema de Coordenadas
θ
x
y
ξξ
s
x (xy
)
40
Lema 2 e portanto se a
leitura for ldquoraacutepidardquo o caso dinacircmico mais uma vez reduz-se ao caso estaacutetico
Demostraccedilatildeo
Pelo teorema do valor meacutedio integral (TVMI) temos que se f eacute contiacutenua entatildeo
para algum tal que
usando o TVMI
K(γ)
41
32 Lei de Beer-Lambert temporal
Como a natureza da lei exige que os tempos de contagens sejam iguais para que estas
sejam comparadas apenas a variaccedilatildeo da intensidade da radiaccedilatildeo com a distacircncia eacute geralmente
explorada Sabendo que esses intervalos de tempo de contagem satildeo despreziacuteveis em relaccedilatildeo ao
tempo de meia vida da fonte e que a probabilidade de emissatildeo se manteacutem constante ao longo do
mesmo tempo pode-se supor que a intensidade seja diretamente proporcional ao tempo Ou seja
(24)
Neste caso a distribuiccedilatildeo de coeficientes de atenuaccedilotildees varia tambeacutem com o tempo
ou seja torna-se
(25)
ou
(26)
O modelo discreto aplica a lei de Beer-Lambert em sua forma estaacutetica para cada
particcedilatildeo de tempo assumindo que durante o infinitesimal de tempo o coeficiente e a distacircncia
percorrida permanecem constantes
(27)
42
(28)
33 Simulaccedilatildeo de aquisiccedilotildees Tomograacuteficas
O processo de aquisiccedilatildeo tomograacutefica consiste em coletar intensidades iniciais e finais
em determinados caminhos percorridos pelos feixes de radiaccedilatildeo Os dados podem ser tratados com
filtros etc Optou-se em natildeo realizar tratamento para natildeo inserir mais variaacuteveis ao processo
garantindo que os resultados sejam alcanccedilados soacute pelo meacutetodo proposto
Como jaacute foi dito na seccedilatildeo 26 para calcular a intensidade final para um caminho i
faz-se
(29)
A funccedilatildeo eacute representada pelas imagens de testes chamadas neste trabalho de
quadros ou frames configurados pela distribuiccedilatildeo de densidades escolhida Em todos os casos
optou-se por densidades unitaacuterias para qualquer distribuiccedilatildeo ou seja dois valores satildeo possiacuteveis em
uma imagem de teste 0 ou 1 Um pixel com valor 0 corresponde a uma regiatildeo sem atenuaccedilatildeo e os
pixels que compotildeem o objeto simulado tem valor 1
Com calculado da figura e de meacutedia fixa variando a cada projeccedilatildeo
com o desvio padratildeo de Poisson para todas as projeccedilotildees as projeccedilotildees satildeo calculadas com
O conjunto de todas as projeccedilotildees eacute ordenado em uma matriz chamada de sinograma
331 Aquisiccedilatildeo por Tomografia de 1ordf Geraccedilatildeo
Dois tipos de situaccedilotildees podem ocorrer
1) Uma uacutenica projeccedilatildeo 1D eacute realizada e durante todo o tempo de integraccedilatildeo nenhuma
mudanccedila ocorre na distribuiccedilatildeo ao longo do raio podendo mais de uma aquisiccedilatildeo 1D ser aferida
para mesma distribuiccedilatildeo ou frame Neste caso a intensidade final eacute calculada utilizando a lei de
43
Beer-Lambert durante todo o tempo de integraccedilatildeo para cada raio como ilustrado na Figura 15
Para calcular a intensidade final para uma projeccedilatildeo i faz-se
(30)
2) Durante a aquisiccedilatildeo ocorre mudanccedila na distribuiccedilatildeo de densidades ao longo do
feixe Como foi exposto na seccedilatildeo 31 o somatoacuterio de intensidades finais do raio em cada quadro
(frame) retorna a intensidade final total para um certo tempo de aquisiccedilatildeo Figura 16
Figura 15 Projeccedilotildees 1D sem mudanccedila de frame
44
Entatildeo para cada frame eacute feita
e para a discretizaccedilatildeo de um intervalo de tempo
No exemplo ilustrado na Figura 16 a intensidade final depois do tempo de integraccedilatildeo
correspondente ao frame b fica
3) Natildeo ocorre mudanccedila na distribuiccedilatildeo durante toda a coleta de aquisiccedilotildees 1D em uma vista
4) Natildeo ocorre mudanccedila durante a aquisiccedilatildeo de todas as vistas Neste caso a distribuiccedilatildeo pode
ser tratada como estaacutetica
Figura 16 Projeccedilotildees 1D com mudanccedila de frame
1ordf aquisiccedilatildeo - Quadro a 1ordf aquisiccedilatildeo - Quadro b
45
332 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 3ordf geraccedilatildeo
A vantagem do meacutetodo eacute adquirir vaacuterias projeccedilotildees 1D ao mesmo tempo
Possibilitando um maior volume de dados em um tempo menor quando comparado ao de 1ordf
geraccedilatildeo Dois casos satildeo possiacuteveis
1) O tempo de integraccedilatildeo eacute suficiente para realizar uma vista completa ou mais por
quadro ou frame Figura 17
Figura 17 Mais de uma vista por frame
46
2) Mais de um quadro por vista Figura 18
333 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 5ordf geraccedilatildeo
Nesta situaccedilatildeo vaacuterias vistas satildeo adquiridas durante a mudanccedila da distribuiccedilatildeo Figura 19
Figura 19 Mais de um frame durante a aquisiccedilatildeo
Figura 18 Mais de um frame por vista
47
34 Posicionamento angular
O posicionamento angular tradicionalmente eacute feito com um conjunto de acircngulos
igualmente espaccedilados ordenados de forma crescente cobrindo o intervalo de 0ordm a 180ordm ou 360ordm A
ordem em que as projeccedilotildees ou vistas satildeo adquiridas natildeo importa porque o objeto em estudo eacute
estaacutetico
A proposta para tomografia dinacircmica de 1ordf e 3ordf geraccedilotildees eacute que o posicionamento seja
feito em subconjuntos que completem um ciclo Por exemplo o conjunto de vistas posicionadas
consecutivamente em 0ordm 45ordm 90ordm 135ordm 180ordm 225ordm 270ordm 315ordm pode ser reordenada em ciclos como
0ordm 90ordm 180ordm 270ordm Primeiro ciclo
45ordm 135ordm 225ordm 315ordm Segundo ciclo
A vantagem desse arranjo eacute que num determinado momento ao se preferir um
sinograma completo mas esparso em contraposiccedilatildeo a um sinograma incompleto mas denso eacute que as
informaccedilotildees vatildeo ser disponibilizadas na forma de imagem reconstruiacuteda mais cedo durante o
processo facilitando a interpretaccedilatildeo das informaccedilotildees Eacute uma escolha entre anaacutelise global esparsa
versus anaacutelise local densa
A nova ordenaccedilatildeo gera uma imagem reconstruiacuteda mais proacutexima do objeto dinacircmico e
abre a possibilidade de reconstruccedilotildees parciais com os subconjuntos de dados mais consistentes com
a dinacircmica do processo
35 Utilizaccedilatildeo de um canal de cores para visualizar a dinacircmica do processo Reconstruccedilatildeo RGB
Uma caracteriacutestica da imagem reconstruiacuteda tradicionalmente em processos
industriais dinacircmicos eacute a falta de informaccedilatildeo temporal ou seja obtecircm-se informaccedilotildees da meacutedia da
distribuiccedilatildeo mas natildeo se sabe em que tempo ocorreram as mudanccedilas de padratildeo de fluxo A proposta
desenvolvida neste trabalho pondera cada perfil adquirido com um fator dependente do tempo
criando esta distinccedilatildeo
O meacutetodo desenvolvido propotildee uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens
tomograacuteficas de processos dinacircmicos pois utiliza canais de cores para mostrar a evoluccedilatildeo temporal
do processo Nesta fase eacute realizada a reconstruccedilatildeo tradicional e a mesma eacute associada aos canais
verde (G) e azul (B) enquanto que ao canal vermelho (R) eacute associada a evoluccedilatildeo temporal do
processo Uma cor no modelo de cores RGB pode ser descrita pela indicaccedilatildeo da quantidade de
48
vermelho verde e azul que conteacutem Cada uma pode variar entre o miacutenimo (completamente escuro)
e maacuteximo (completamente intenso) Quando todas as cores estatildeo no miacutenimo o resultado eacute preto Se
todas estatildeo no maacuteximo o resultado eacute branco Uma das representaccedilotildees mais usuais para os canais eacute a
utilizaccedilatildeo da escala de 0 agrave 255 (GONZALES 2014)
O meacutetodo consiste em
1) Simular as projeccedilotildees que equivalem na utilizaccedilatildeo real de um experimento agrave
coleta de dados de intensidades finais e iniciais pelo detetor
2) Reconstruir com esses dados a distribuiccedilatildeo de densidades Foi utilizado o MART
com relaxaccedilatildeo 02 e criteacuterio de parada 1
3) Associar esta reconstruccedilatildeo aos canais G e B
4) Binarizar a imagem reconstruiacuteda entre 0 e 150 O limiar (threshold) utilizado foi
empiacuterico e de 50 do maior valor da imagem
5) Penalizar as projeccedilotildees da primeira agrave uacuteltima com um fator empiacuterico crescente com
o tempo Normalizar as projeccedilotildees de cada vista por 105
6) Realizar a retroprojeccedilatildeo nos pixels com suas respectivas projeccedilotildees
7) Associar ao canal R
8) Juntar todos os canais em uma uacutenica imagem A reconstruccedilatildeo tradicional e a
reconstruccedilatildeo RGB satildeo visualizadas em uma uacutenica imagem onde os tons de vermelho correspondem
agrave evoluccedilatildeo temporal da dinacircmica do processo
36 Reconstruccedilatildeo utilizando dados do CFD
Dados da simulaccedilatildeo de fluxo bifaacutesico satildeo gerados em forma de imagens 2D da distribuiccedilatildeo
em secccedilotildees transversais ao longo do tubo Os dados satildeo coletados para uma uacutenica altura ou seja
secccedilatildeo As diversas imagens de uma uacutenica secccedilatildeo representam a evoluccedilatildeo temporal do fluxo
naquela regiatildeo O conjunto de 8 imagens exemplificam o comportamento do fluxo em intervalos
de tempo de 00025s
A altura da secccedilatildeo em m o tipo de injetor a vazatildeo volumeacutetrica em Lmim e o fluxo de
catalisador satildeo dados de entrada na simulaccedilatildeo do CFD mas natildeo fazem parte das simulaccedilotildees de
aquisiccedilotildees tomograacuteficas utilizadas nesse estudo As imagens portam as informaccedilotildees que seratildeo
utilizadas nas simulaccedilotildees de aquisiccedilatildeo das projeccedilotildees
49
37 Avaliaccedilatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo com RMSE
As teacutecnicas de avaliaccedilatildeo de algoritmos de reconstruccedilatildeo mais utilizadas na literatura
satildeo raiz do erro quadraacutetico meacutedio erro meacutedio relativo absoluto e erros baseados em entropia Para
o caso de simulaccedilotildees com figuras de testes bem definidas (phantoms matemaacuteticos) as teacutecnicas
podem ser aplicadas comparando a imagem reconstruiacuteda com a imagem original O mesmo
procedimento repete-se para phantoms reais onde a distribuiccedilatildeo de densidades eacute bem conhecida Os
sinogramas tambeacutem podem ser avaliados
Gordon e Herman (GORDON 1974 HERMAN 1973 HERMAN 1976) usaram a
raiz do erro quadraacutetico meacutedio para avaliar o quanto a figura reconstruiacuteda aproxima-se da original A
definiccedilatildeo do erro eacute
(31)
Onde
eacute o valor original do pixel
o pixel reconstruiacutedo
o nuacutemero total de pixels da imagem ou sinograma
50
38 Algoritmos e Software Desenvolvidos
Diversas rotinas foram implementadas no Matlab Suas funccedilotildees satildeo para calculo de
projeccedilotildees sinogramas resoluccedilatildeo por ART MART calculo da Matriz de pesos resoluccedilatildeo de
sistemas Aleacutem das jaacute disponiacuteveis no programa como Resoluccedilatildeo por FBP filtros de imagem
operaccedilatildeo com matrizes visualizaccedilatildeo de graacuteficos etc As rotinas estatildeo disponiacuteveis no Anexo-I
Devido agrave grande dimensatildeo da matriz de pesos nos algoritmos algeacutebricos ficou
inviaacutevel sua operaccedilatildeo em alguns casos no Matlab O software Tomography Workstation-TW foi
desenvolvido em C com este propoacutesito Apresenta opccedilotildees de reconstruccedilatildeo ART MART SIRT e
SART Figura 39 Tambeacutem tem as funccedilotildees para carregar tomogramas e sinogramas
Figura 20 Software Desenvolvido
51
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO
Os resultados foram divididos nas seguintes seccedilotildees
bull Aumento do nuacutemero de iteraccedilotildees na Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica Dinacircmica
bull Resultados das reconstruccedilotildees MART e FBP
bull Escolha do posicionamento angular (vistas alternadas)
bull Resultados com reconstruccedilatildeo RGB
bull Simulaccedilotildees com MCNP
bull Reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento
bull Simulaccedilotildees tomograacuteficas a partir do CFD
41 Resultados das Reconstruccedilotildees MART e FBP
As imagens de teste (phantoms) foram utilizadas para avaliar os resultados das
reconstruccedilotildees MART e FBP
411 Primitiva Ciacuterculo Transladando 1 vista por frame
A simulaccedilatildeo consiste em oito distribuiccedilotildees representadas por imagens (quadros ou
frames) de 64x64 pixels com um disco de densidade unitaacuteria e raio fixo Natildeo ocorre mudanccedila
durante a simulaccedilatildeo de uma aquisiccedilatildeo ou varredura Esta aplicaccedilatildeo simula as tomografias de 1ordf e 3ordf
geraccedilatildeo
O disco Raio = 2 pixels deslocamento de 7 pixels entre os centros dos discos de
quadros consecutivos A imagem eacute reconstruiacuteda por FBP e MART
Os frames satildeo ilustrados na Figura 21 e a meacutedia dos oito na Figura 22 Cada imagem
eacute ilustrada na escala de 64 x 64 pixels
52
Figura 21 8 frames - ciacuterculo transladando - 1 vista por frame
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 22 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
53
Os oito picos do sinograma Figura 23 ilustram a captura do disco em diferentes
posiccedilotildees
A Figura 24 ilustra o sinograma em forma de imagem onde cada valor de pixel eacute
convertido para uma escala de cor O eixo vertical (linhas do sinograma) representa a passo linear
(posiccedilatildeo das trajetoacuterias dos feixes) e o horizontal o passo angular (Nuacutemero de vistas)
Figura 23 Tomograma e sinograma ndash circulo transladando ndash 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
05
1
15
2
25
3
35
4
45
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 700
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
54
Os resultados das reconstruccedilotildees FBP e MART satildeo ilustrados na Figura 25
A reconstruccedilatildeo por FBP mostra diversos artefatos natildeo dando para identificar o
nuacutecleo nem a tendecircncia de movimento Os artefatos formam oito faixas um para cada vista ou
projeccedilatildeo Estes artefatos em faixa satildeo comuns no FBP para um baixo nuacutemero de vistas
O MART difere da imagem meacutedia mostrando um arqueamento para direita devido ao
movimento simulado e o sentido anti-horaacuterio das aquisiccedilotildees Eacute um artefato de movimento
Figura 25 Reconstruccedilotildees circulo transladando ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Figura 24 Sinogramascirculo transladando ndash 1 vista por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
55
412 Primitiva Ciacuterculo Transladando Oito vistas por frame
O objetivo desta simulaccedilatildeo eacute descobrir como se comportam os algoritmos em uma
tomografia de 5ordf geraccedilatildeo onde todas as aquisiccedilotildees satildeo realizadas ao mesmo tempo Nesta situaccedilatildeo
as oito vistas satildeo realizadas simultaneamente enquanto ocorre a mudanccedila das distribuiccedilotildees (Figura
19) Figuras com 64x64 pixels raio fixo de 2 pixels deslocamento de 5 pixels
Figura 26 Tomograma e Sinograma - disco transladando - 8 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
05
1
15
2
25
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 7001
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
56
Os resultados das reconstruccedilotildees satildeo ilustrados na Figura 28
As reconstruccedilotildees ficam mais proacuteximas da imagem meacutedia porque todas as vistas satildeo
adquiridas ao mesmo tempo durante todo o processo O FBP perde a definiccedilatildeo dos discos e forma
um artefato central vertical O MART reconstroacutei o disco nas oito posiccedilotildees Cada disco eacute
reconstruiacutedo ilustrando os oito instantes de tempo que foram simulados
Figura 27 Sinogramas CiacuterculoTransladando -Oito vistas por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Figura 28 Reconstruccedilotildees Ciacuterculo Transladando -Oito vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
57
413 Primitiva Circulo Crescente Uma vista por frame
A simulaccedilatildeo consiste em oito distribuiccedilotildees em forma de ciacuterculo concecircntricas com um
aumento 2 pixels entre distribuiccedilotildees consecutivas (Figura 29) Oito vistas satildeo adquiridas
simultaneamente para simular a tomografia de 5ordf geraccedilatildeo
Abaixo a imagem meacutedia aritmeacutetica das oito distribuiccedilotildees eacute ilustrada na Figura 29 A
aacuterea central eacute mais escura porque eacute coincidente para os oito ciacuterculos
Figura 30 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Figura 29 8 frames - circulo crescente - 1 vista por frame
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
58
Tanto o sinograma quanto o tomograma ilustram o crescimento do disco Figura
411
Figura 31 Tomograma e sinograma - ciacuterculo crescente - 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 700
10
20
30
40
50
60
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
59
O sinograma em forma de imagem eacute mostrado abaixo (Figura 32)
O aumento vertical das faixas eacute devido ao crescimento do disco
As duas reconstruccedilotildees apresentam artefatos de rotaccedilatildeo que dificultam a identificaccedilatildeo
da tendecircncia de movimento ou da distribuiccedilatildeo espacial dos discos (Figura 33)
Figura 32 Imagem do sinograma -ciacuterculo crescente - 1 vista por frame
Sinograma
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
Figura 33 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
60
414 Primitiva Circulo Crescente Oito vistas por frame
Neste caso ocorre mudanccedila de frame com a vista Para cada distribuiccedilatildeo tem-se uma
vista diferente Figura 34
Figura 34 Tomograma e sinograma - circulo crescente - 8 vista por frame
29 30 31 32 33 340
05
1
15
2
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3701
02
03
04
05
06
07
08
09
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
61
A posiccedilatildeo central que eacute comum a todos os frames eacute reconstruiacuteda nos dois casos O
FBP mostra a presenccedila de artefatos de Moireacute (Figura 36) O MART mostra poucos artefatos e
mostra uma regiatildeo borrada ao redor do ciacuterculo central indicando os discos maiores
Figura 35 Sinogramas circulo crescente ndash 8vistas por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Figura 36 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 8 vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
62
42 Vistas Alternadas
Alguns testes foram realizados para estudar o posicionamento angular quando
ordenado de forma sequencial e alternada O conjunto de vistas posicionadas consecutivamente em
0ordm 45ordm 90ordm 135ordm 180ordm 225ordm 270ordm 315ordm foram reordenadas em dois ciclos
0ordm 90ordm 180ordm 270ordm para o primeiro ciclo
45ordm 135ordm 225ordm 315ordm para o segundo ciclo
As seguintes situaccedilotildees foram exploradas
Disco transladando - 1 Vista por frame
Cada distribuiccedilatildeo (quadro) eacute capturado em um instante de tempo diferente Os
acircngulos utilizados em cada quadro satildeo apresentados na Tabela 1
Tabela 1 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 1 vista por frame
Quadro 1ordm 2ordm 3ordm 4ordm 5ordm 6ordm 7ordm 8ordm
Vista 0ordm 90ordm 180ordm 270ordm 45ordm 135ordm 225ordm 315ordm
Reconstruccedilotildees
Figura 37 Reconstruccedilotildees disco transladando - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
63
Dois ciclos satildeo suficientes para natildeo formaccedilatildeo do artefato de rotaccedilatildeo (arqueamento)
A reconstruccedilatildeo com vistas alternadas mostra-se mais coerente com a imagem meacutedia (Figura 37)
Disco transladando - 2 Vistas por frame
Com duas vistas por quadro totaliza-se quatro quadros A associaccedilatildeo eacute ilustrada na
Tabela 2
Tabela 2 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 2 vistas por frame
Quadro 1ordm 2ordm 3ordm 4ordm
Vista 0ordm e 45ordm 90ordm e 135ordm 180ordm e 225ordm 270ordm e 315ordm
A reconstruccedilatildeo encontra-se mais proacutexima da imagem meacutedia do que na situaccedilatildeo com
vista sucessivas (Figura 38)
Disco Transladando - 4 Vistas por frame
Apenas dois quadros satildeo suficientes Tabela 3
Tabela 3 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 4 vistas por frame
Quadro 1ordm 2ordm
Vista 0ordm 90ordm 180ordm e 270ordm 45ordm 135ordm 225ordm 315ordm
Figura 38 Reconstruccedilotildees disco transladando - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
64
Reconstruccedilotildees
Disco crescente - 1 Vista por frame
A configuraccedilatildeo das vistas eacute a mesma utilizada na Tabela 1 uma vista por frame
A reconstruccedilatildeo com vistas alternadas Figura 40 apresenta uma reduccedilatildeo nos artefatos
de rotaccedilatildeo mostrando uma distribuiccedilatildeo espacial mais proacutexima da imagem meacutedia (Figura 40)
Disco crescente - 2 Vistas por frame
A configuraccedilatildeo das vistas eacute mesma da Tabela-2
Figura 39 Reconstruccedilotildees disco transladando - 4 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Figura 40 Reconstruccedilotildees disco crescente - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
65
Com o aumento do nuacutemero de vistas a distribuiccedilatildeo torna-se mais central
aproximando-se da imagem meacutedia (Figura 41)
43 Resultados com RGB
As situaccedilotildees jaacute utilizadas nas seccedilotildees 41 e 42 satildeo testadas com visualizaccedilatildeo RGB
Para todos os casos a primeira reconstruccedilatildeo (MART) eacute realizada com matriz inicial de valores
unitaacuterios relaxaccedilatildeo 02 e nuacutemero de iteraccedilotildees definido pela convergecircncia de 05 e em seguida a
normalizada por 150
Os sinogramas satildeo ponderados pelo conjunto de fatores que variam de 01 a 09
linearmente espaccedilados Os valores foram escolhidos empiricamente
Em seguida eacute realizada a reconstruccedilatildeo com o sinograma jaacute ponderado e seus valores
normalizados no intervalo de 150 a 255
Figura 41 Reconstruccedilotildees disco crescente - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
66
bull Ciacuterculo transladando ndash 1 Vista por frame
Um disco para cada instante de tempo totalizando oito distribuiccedilotildees Figura 42
Para o ciacuterculo transladando verticalmente com 1 vista por frame temos um
clareamento na parte inferior da distribuiccedilatildeo indicando que esta regiatildeo traz informaccedilotildees mais
recentes (Figura 42)
A reconstruccedilatildeo com MART RGB por usar como base a distribuiccedilatildeo espacial da
reconstruccedilatildeo MART mostra o clareamento vermelho na parte inferior da figura indicando que
ocorreu movimento nesse sentido
bull Ciacuterculo transladando ndash 2 Vistas por frame
Satildeo quatro distribuiccedilotildees uma para cada instante de tempo configurando duas vistas
por frame
Figura 42 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 1 vista por frame
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
67
O clareamento do vermelho na reconstruccedilatildeo RGB indica que a parte inferior da
reconstruccedilatildeo corresponde ao uacuteltimo instante de tempo
bull Ciacuterculo transladando ndash 4 Vistas por frame
Quatro vistas por frame foram utilizadas na configuraccedilatildeo das proacuteximas trecircs situaccedilotildees
(Figura 44 Figura 45 Figura 46) O deslocamento para o disco vertical eacute utilizado com trecircs valores
distintos
A primeira situaccedilatildeo ilustra dois instantes de tempo com dois diacircmetros de distacircncia
entre os centros dos discos Figura 44
Figura 43 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
68
A proacutexima situaccedilatildeo eacute criada com 4 diacircmetros de distacircncia entre centros entre o
primeiro e segundo instantes de tempo Figura 45 Cada disco corresponde a distribuiccedilatildeo exata em
um instante
Figura 44 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 45 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
69
A terceira situaccedilatildeo visa estudar o comportamento da reconstruccedilatildeo proposta quando
haacute coincidecircncia em parte da distribuiccedilatildeo espacial Satildeo quatro instantes de tempo e uma distacircncia
com menos de um diacircmetro de distacircncia entre centros consecutivos Figura 46
bull Ciacuterculo crescente ndash duas vistas por frame
A simulaccedilatildeo totaliza 4 frames e oito vistas consecutivas Duas por frame
Apesar da situaccedilatildeo com ciacuterculo crescente e duas vistas por frame natildeo mostrar boa
reconstruccedilatildeo a imagem reconstruiacuteda difere bastante da original como jaacute mostrado na seccedilatildeo 413
tambeacutem mostra concordacircncia com os outros resultados RGB pois mostra uma regiatildeo central com
Figura 46 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 47 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo crescente - 2 vistas por frame
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
70
vermelho mais claro O clareamento deve-se a regiatildeo que eacute coincidente para todos os ciacuterculos
O problema que surge eacute que para esta situaccedilatildeo o clareamento para o vermelho criado
pela reconstruccedilatildeo RGB se confunde com a superposiccedilatildeo dos ciacuterculos da reconstruccedilatildeo tradicional
criado na regiatildeo central
44 Simulaccedilotildees com MCNPX
Os frames que anteriormente foram obtidos analiticamente com o objetivo de
encontrar as projeccedilotildees agora satildeo representados por cartotildees de entrada para o MCNPX A simulaccedilatildeo
gera como saiacuteda a intensidade relativa Foram criadas as situaccedilotildees jaacute expostas na seccedilatildeo 41 A
configuraccedilatildeo das simulaccedilotildees eacute
bull Objeto Cilindro Raio = 5cm Material Al = 000746 cm-1
bull Fonte 137Cs Atividade 5 mCi
bull Colimaccedilatildeo Pb fonte - detetor 5vmm
bull Nuacutemero de histoacuterias 100000
441 Circulo Transladando ndash 1vista por frame
Oito geometrias foram simuladas com o objetivo de encontras as projeccedilotildees
equivalentes as 8 vistas Cada vista captura o disco em um instante de tempo diferente totalizando
oito frames Na Figura 48 ilustra-se o disco (em amarelo) em diferentes posiccedilotildees com e as
respectivas a posiccedilotildees da fonte colimada indicando mudanccedila angular (em roxo e azul)
71
O meacutetodo retorna o (relaccedilatildeo entre Ifinal e o Iinicial) A matriz de intensidades relativas eacute
denominada tomograma e tem as suas colunas ordenadas por vista(Figura 49)
As projeccedilotildees satildeo encontradas fazendo e o conjunto de vistas
ordenadas em colunas eacute denominado sinograma(Figura 50)
Figura 49 Tomograma via MCNPX - 1 Vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 70
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma Por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 48 Geometria Circulo Transladando - 1 vista por frame
72
A apresentaccedilatildeo do sinograma em forma de imagem eacute ilustrada na Figura 51
Figura 50 Sinograma MCNPX - 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
1
2
3
4
5
6
Posicionamento Linear
Sinograma por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 51 Imagem de sinograma MCNPX -1 vista por frame
Sinograma MCNPX - 1 vista por frame
Vistas
Projeccedilotildees
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
73
As reconstruccedilotildees apresentaram-se similares as feitas analiticamente na seccedilatildeo 41
Formaccedilatildeo de oito artefatos em faixa no FBP e o arqueamento para esquerda indicando o sentido da
rotaccedilatildeo do tomoacutegrafo (Figura 52)
442 Circulo Transladando ndash 2 vistas por frame
Oito geometrias foram simuladas com mudanccedila no posicionamento angular apenas
quando o disco muda de posiccedilatildeo Duas vistas capturam o disco na mesma posiccedilatildeo A geometria
simulada no MCNPX eacute mostrada na Figura 53
Figura 53 Geometria circulo transladando - 2 vistas por frame
Figura 52 Reconstruccedilotildees MART e FBP ndash MCNPX ndash 1 vista por frame
FBP
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60 -06
-04
-02
0
02
04
MART
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
74
A simulaccedilatildeo retorna o seguinte tomograma Figura 54
Calculando as projeccedilotildees temos o sinograma ilustrado na Figura 55
Que visualizado em formato de imagem fica ilustrado na Figura 56
Figura 54 Tomograma MCNPX - 2 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 70
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma Por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 55 Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
1
2
3
4
5
6
Posicionamento Linear
Sinograma por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
75
As reconstruccedilotildees corresponderam as expectativas quando coincidem com as
reconstruccedilotildees simuladas analiticamente(Figura 57)
Figura 57 Reconstruccedilatildeo MART - MCNPX - 2 vistas por frameMART
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
FBP
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60 -04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
06
Figura 56 Imagem de sinograma MCNPX ndash 2vistas por frame
Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame
Vistas
Projeccedilotildees
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
76
45 Resultados com CFD
As condiccedilotildees da simulaccedilatildeo foram vazatildeo volumeacutetrica de ar eacute 500 Lmin e o fluxo de
catalisador eacute de180 kg(m2s-1) O tempo de processo foi de 10 segundos com passo de 00025
segundos
O local de leituras da fraccedilatildeo volumeacutetrica foi se encontra a uma altura de 0650
metros da base do riser feita a cada 00375 segundos durante o tempo de processo de fluidizaccedilatildeo
resultando em 268 imagens Seacuteries de oito a nove imagens da secccedilatildeo transversal satildeo utilizadas
Devido a alta resoluccedilatildeo das imagens vindas do CFD uma reduccedilatildeo foi realizada para
figuras com 64x64 pixels Figura 58
451 CFD-1 vista por frame
A sequecircncia de oito imagens em intervalos de tempos consecutivos eacute ilustrada na
Figura 59 e a imagem meacutedia na Figura 60
Figura 58 Reduccedilatildeo na resoluccedilatildeo 899x999 para 64x64
20 40 60
10
20
30
40
50
60
200 400 600 800
100
200
300
400
500
600
700
800
77
Figura 60 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
Figura 59 CFD - Frames 1 ao 8
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
78
Reconstruccedilotildees
As reconstruccedilotildees para uma vista por frame natildeo correspondem agrave realidade prevista
Figura 61 Sinogramas CFD ndash 1 vista por frame
Figura 62 Reconstruccedilotildees CFD ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo RGB
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Sinograma com Pesos
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo Mart Red
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
79
pelo CFD O pequeno nuacutemero de vistas aliado a complexidade da figura dificultam a reconstruccedilatildeo
452 CFD-8 vistas por frame
A sequecircncia de oito imagens em intervalos de tempo consecutivos eacute ilustrada na
Figura 63
A meacutedia das oito imagens Figura 63
O sinograma simulado e o mesmo ponderado satildeo mostrados na Figura 65
Figura 64 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
Figura 63 Frames 1 ao 8 CFD ndash 8 vistas por frame
80
As reconstruccedilotildees concordam com as distribuiccedilotildees quando apresentam maior
concentraccedilatildeo de soacutelido do lado direito da imagem A maior concentraccedilatildeo de pigmentaccedilatildeo vermelha
Figura 65 Sinogramas CFD - 8 vistas por frame
Figura 66 Reconstruccedilotildees CFD - 8 vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Sinograma com Pesos
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart Red
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
81
do lado direito da imagem reconstruiacuteda em RGB mostra que a distribuiccedilatildeo nesta regiatildeo eacute mais
recente O resultado tem concordacircncia com a mudanccedila de lado da distribuiccedilatildeo ao longo dos oito
frames
46 Reconstruccedilotildees com correccedilatildeo de movimento
Como a reconstruccedilatildeo com vistas alternadas eacute superior a tradicional com vistas
sucessivas utilizou-se para todas as simulaccedilotildees com correccedilatildeo de movimento o posicionamento
angular sucessivo O objetivo da escolha eacute verificar os resultados gerados soacute por correccedilatildeo da matriz
de pesos As simulaccedilotildees foram ordenadas de acordo com as situaccedilotildees jaacute exploradas e para um
instante de tempo especiacutefico
Abaixo (Figura 67 Figura 68) tem-se a configuraccedilatildeo de 4 vistas por frame
resultando em dois quadros cada um com o disco em uma posiccedilatildeo diferente A imagem tem 32x32
pixels e o deslocamento foi vertical de 5 pixels Como o nuacutemero de colunas da matriz de pesos eacute
definido pela resoluccedilatildeo da imagem o deslocamento na matriz de pesos corresponde ao vertical x
nuacutemero de elementos em uma linhaentatildeo 5 x 32 = 60 colunas para esquerda quando se quer
recuperar o primeiro instante e 60 colunas para direita no caso do segundo
Para o primeiro instante a correccedilatildeo mostra-se eficaz reconstruindo por completo a
distribuiccedilatildeo no primeiro instante de tempo Figura 67
A distribuiccedilatildeo no segundo instante eacute reconstruiacuteda com um pouco de ruiacutedo Figura 68
Figura 67 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempoImagem Meacutedia
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30Imagem Meacutedia
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
82
A situaccedilatildeo com translado horizontal eacute ilustrada na Figura 69 e Figura 70 A
reconstruccedilatildeo no primeiro instante de tempo mostra-se mais precisa Figura 69 Quatro vistas foram
utilizados por quadro com um deslocamento de 5 pixels entre eles O deslocamento de colunas eacute
realizado com o mesmo nuacutemero
Para o segundo instante Figura 70
A simulaccedilatildeo com duas vistas por frame resulta em quatro distribuiccedilotildees Figura 71
Figura 72 Figura 73 A imagem tem 64x64 pixels e o deslocamento foi vertical de 5 pixels
resultando em um deslocamento de 5 x 64 = 320 para as colunas
Figura 69 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Figura 70 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o segundo instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30
5
10
15
20
25
30
83
Para o primeiro instante de tempo temos
Para o segundo instante
Figura 71 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 72 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
20 40 60
10
20
30
40
50
60
84
e para o terceiro instante
O ruiacutedo aumenta
Ocorre o aparecimento de ruiacutedo nas reconstruccedilotildees com o aumento do tempo Este
efeito eacute devido a extrapolaccedilatildeo do deslocamento nos elementos proacuteximo as bordas da matriz de
pesos
Figura 73 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
85
5 CONCLUSOtildeES
As simulaccedilotildees analiacuteticas de primitivas matemaacuteticas foram validadas com ecircxito
quando comparadas com as mesmas realizadas por MCNPX As aquisiccedilotildees tomograacuteficas foram
simuladas mostrando a superioridade da tomografia de 5ordf geraccedilatildeo (8 vistas por frame) quando
comparada agrave de 3ordf geraccedilatildeo (uma duas e quatro vistas por frame) seccedilotildees 41 e 42 As reconstruccedilotildees
ficam mais proacuteximas da imagem meacutedia porque todas as vistas satildeo adquiridas ao mesmo tempo
durante todo o processo O FBP perde a definiccedilatildeo dos discos e forma um artefato central vertical O
MART reconstroacutei perfeitamente o disco nas oito posiccedilotildees mostrando a sua preferecircncia para um
nuacutemero limitado de dados (8 vistas) O FBP eacute bastante utilizado em tomografias meacutedicas (360
vistas ou mais) devido a baixa complexidade computacional quando comparado aos meacutetodos
algeacutebricos
Tanto o disco transladando quanto o crescente apresentam melhor performance com
o aumento do nuacutemero de vistas por distribuiccedilatildeo como pode ser visto na seccedilatildeo 41 A situaccedilatildeo em
que foi simulada uma vista por frame apresenta um artefato de movimento indicando o sentido de
rotaccedilatildeo do arranjo simulado
Os oito perfis encontrados nas simulaccedilotildees com ciacuterculo crescente mostram o aumento
do disco seccedilatildeo 413 e 414 As simulaccedilotildees para este caso reconstroem uma distribuiccedilatildeo central
distorcida pela incompatibilidade das projeccedilotildees (adquiridas em diferentes instantes de tempo) As
reconstruccedilotildees com FBP mostram-se inferiores ao MART formando artefatos de Moireacute (artefatos
estrela) em todas as reconstruccedilotildees Confirmando que estes artefatos satildeo comuns quando se utiliza o
FBP com um nuacutemero limitado de dados
Os testes com vistas alternadas mostram que essa configuraccedilatildeo eacute superior ao arranjo
sucessivo pois cobre uma aacuterea maior em um tempo menor capturando mais informaccedilotildees relativas
ao movimento (seccedilatildeo 42)
A reconstruccedilatildeo RGB inova porque mostra a evoluccedilatildeo temporal do processo com
aacutereas mais claras (vermelho claro) indicando proximidade temporal enquanto que aacutereas mais
escuras indicam tempo passado O meacutetodo mostra o clareamento no vermelho em regiotildees da figura
indicando que ocorreu movimento neste sentido Os testes com ciacuterculo transladando mostram
coerecircncia quando indicam com o vermelho mais claro as regiotildees correspondentes aos uacuteltimos
quadros O mesmo resultado eacute obtido com os dados do CFD para simulaccedilatildeo da TC de 5ordf geraccedilatildeo O
86
lado direito da imagem tem valores maiores para o vermelho coincidindo com a sequecircncia de
distribuiccedilotildees utilizada onde ocorre mudanccedila na concentraccedilatildeo do lado esquerdo para o direito Para o
ciacuterculo crescente a eficaacutecia do meacutetodo pode ser questionada pois ocorre superposiccedilatildeo das regiotildees
centrais de cada disco A aplicaccedilatildeo a dados do CFD com apenas uma vista por frame eacute ineficiente
pois a reconstruccedilatildeo RGB natildeo consegue mostrar tendecircncia de movimento A reconstruccedilatildeo tradicional
MART tambeacutem natildeo coincide com a meacutedia dos frames ou seja como o meacutetodo proposto utiliza esta
distribuiccedilatildeo espacial natildeo pode-se afirmar que a ineficiecircncia do processo seja devido unicamente a
reconstruccedilatildeo RGB
O MCNPX foi utilizado com ecircxito nas duas simulaccedilotildees propostas Sinogramas e
tomogramas satildeo coincidentes com exceccedilatildeo da escala com os mesmos encontrados por teacutecnicas
analiacuteticas
A reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento foi utilizada com ecircxito para
determinaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo no instante inicial de tempo Ocorre aparecimento de ruiacutedo com o
aumento do tempo Este efeito eacute devido a extrapolaccedilatildeo do deslocamento nos elementos proacuteximo as
bordas da matriz de pesos Salienta-se que o vetor deslocamento deve ser conhecido ou calculado
previamente Este trabalho utiliza valores jaacute determinados anteriormente nas simulaccedilotildees (distacircncia
entre discos)
O trabalho contribui para tomografia industrial porque utiliza casos comuns agrave aacuterea
como o disco transladando que eacute simulador de bolhas em colunas industriais e imagens do CFD
como phantoms para predileccedilatildeo dos perfis experimentais Contribui tambeacutem para a otimizaccedilatildeo de
paracircmetros de operaccedilatildeo tomograacutefica quando simula as aquisiccedilotildees prevendo resultados para o
experimento Indica o MART como superior ao FBP neste conjunto de dados As simulaccedilotildees
analiacuteticas de sinogramas foram validadas com ecircxito pelo MCNPX ou seja ambas podem ser
utilizadas para simulaccedilatildeo de fenocircmenos industriais Sugere tambeacutem que a TC com vistas alternadas
corresponde mais a realidade dinacircmica de uma distribuiccedilatildeo Propotildee um novo meacutetodo a
reconstruccedilatildeo RGB obtendo bons resultados apenas nas situaccedilotildees em que natildeo ocorre coincidecircncia
entre as distribuiccedilotildees de diferentes instantes de tempo
Um estudo mais detalhado dos valores empiacutericos deve ser feito para um
entendimento maior da penalizaccedilatildeo das projeccedilotildees e das situaccedilotildees em que ocorra superposiccedilatildeo de
distribuiccedilotildees
A baixa performance do FBP esperada para um baixo nuacutemero de aquisiccedilotildees indica
que testes com um nuacutemero maior de vistas devem ser realizados para o estudo dos meacutetodos
87
propostos nestas situaccedilotildees
Outro trabalho futuro eacute utilizar soluccedilotildees jaacute propostas na literatura meacutedica para
diminuiccedilatildeo de ruiacutedos e artefatos na reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento identificando o vetor
deslocamento durante o processo
Espera-se dar continuidade ao trabalho validando tambeacutem experimentalmente as
simulaccedilotildees com translado do disco (Laboratoacuterio de Radioquiacutemica ndash DEN ndash UFPE)
88
6 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
ALEXANDER B DIMITRY V VITALY V KISELEV AN Algebraic reconstruction and
post-processing in incomplete data computed tomography From X-rays to Laser Beams Jun
2007
ANDERSEN AH Algebraic reconstruction in CT from limited views IEEE transactions on
medical imaging v 8(1) p50ndash55 Jan1989
ANGELI S EFSTAHIOS S An Accelerated Algebraic Reconstruction Technique based on
the Newton-Raphson Scheme Ieee Nuclear Science Symposium Conference Record 23382ndash
3387 2009
AZZI M TULIER P BERNARD J R GARNERO L Mapping Solid Concentration in a
Circulating Fluid Bed Using Gammametry Powder Technology p27-36 1991
BENDER R GORDON R HERMAN GT Algebraic reconstruction techniques(art) for
three dimensional electron microscopy and x-ray photography J Theor Biol v29 p759ndash768
1971
BROOKS RA CHIRO G Principles of Computer Assisted Tomography ( CAT ) in
Radiographic and Radioisotopic Imaging Phis Med Biol v21 N 5 p689-732 1976
BUTALA M D KAMALABADI F FRAZIN R A Chen YldquoDynamic tomographic imaging
of the solar coronardquo IEEE J Sel Topics Signal Process vol 2 pp 755ndash7662008
CENSOR Y Finite Series-Expansion Reconstruction Methods proceedings of the ieee p71
1983
CEZARO A CEZARO FT Problemas Inversos e a matemaacutetica da tomografia
computadorizada V Bienal da SBM - Sociedade Brasileira de Matemaacutetica 2010
CRUVINEL P E Mini tomoacutegrafo de raio-x e raio gama computadorizado para aplicaccedilotildees
multidisciplinares PhD thesis Unicamp 1987
DANTAS CC MELOSM OLIVEIRA E F MAGALHAtildeES F P SANTOS M G
Measurement of density distribution of a cracking catalyst in experimental riser with a
sampling procedure for gamma ray tomography Nuclear Instruments amp Methods in Physics
Research Section B Beam Interactions with Materials and Atoms (Print) v 266 p 841-848
2008
89
DE PIERRO A R Problemas Matemaacuteticos em Tomografia por Emissatildeo Notas UNICAMP
2004
DESBAT L RIT S CLACKDOYLE R MENNESSIER C PROMAYON E
NTALAMPEKI S ldquoAlgebraic and analytic reconstruction methods for dynamic
tomography rdquo Proceedings of the 29th Annual International Conference of the IEEE EMBS Citeacute
Internationale Lyon France August 23-26 2007 ThP2B11 2007 pp 726-730
DESBAT L ROUX S GRANGEAT P ldquoCompensation of some time dependent
deformations in tomography 2 Deformations preserving the projection geometryrdquo IEEE
transactions on medical imaging vol 26 2007 pp 1-20
EARLY D S LONG DG Image Reconstruction and Enhanced Resolution Imaging from
Irregular Samples IEEE trasactions on geosciences and remote sensing 3v9(2)291ndash302 2001
FARIN G Curves and Surfaces for CAGD a Practical Guide 4th edition Academic Press-
1996
FORSYTHE GE Solving linear algebraic equations can be interesting Bulletin of the
American Mathematical Society v59(4) P299ndash330 Jul 1953
GORDON R A tutorial on art (algebraic reconstruction techniques) IEEE Trans Nucl Sci v
NS-21 p78ndash93 1974
GORDON R GUAN H A projection acess order for speedy convergence of art a multilevel
scheme for computed tomography Physics in medicine and biology p39 1994
GUAN H HERMAN G T ZHU Y Combining various projection access schemes with the
algebraic reconstruction technique for low-contrast detection in computed tomography
Physics in medicine and biology 43(8)2413ndash21 August 1998
HANSON K M WECKSONG GVW Local basis approach to computed tomography
ApplOpt v24 p4028-2039 1985
HERFFERNAN P B Robb A R Difference image reconstruction from a few projections for
nondestructive materials inspection Applied optics
HERMAN G T Iterative reconstruction algorithms Comput Biol Med v6 p273 ndash 294 1976
HERMAN G T GORDON R Reconstruction of pictures from their projections Commun
Assoc Comput Mach v14 p759ndash768 1971
HERMAN GT MEYER L B Algebraic Reconstruction Techniques Can Be Made
90
Computationally Efficient IEEE transactions on medical imaging v 12(3) 1993
IAEA-TECDOC-1589 INDUSTRIAL PROCESS GAMMA TOMOGRAPHY Final report of a
coordinated research project 2003ndash2007 May 2008
KACZMARZ S Angenaherte auflosung von systemen linearer gleichungen Bull Acad Pol
Sci Lett A vol 6-8A pp 355-357 1937
KAKA C SLANEY M Principles of Computerized tomographic imaging IEEE PRESS
1999
KALAGA D V KULKARNI A V ACHARYA R KUMAR U SINGH G JOSHI JB
Some industrial applications of gamma-ray tomography Journal of the Taiwan Institute of
Chemical Engineers 40 (2009) 602ndash612 wwwelseviercomlocatejtice
KNOLL G F Nuclear Counters Radiation-Measurement Book 2006
LUTZ PH Relaxation Methods for Image Reconstruction Communications of the ACM
v21(2) p282ndash288 1978
MARTINEZ AG Detecccedilatildeo de descontinuidades e reconstruccedilatildeo de funccedilotildees a partir de dados
espectrais filtros splines e metodos iterativos tese - UNICAMP 2006
MELO SM DANTAS CC OLIVEIRA EAL MAGALHAtildeES FP OLIVEIRA EF A FCC
catalyst gamma ray tomographic reconstruction by using non negative non parametric bezier
triangles Proceedings In 4 th International Symposion on Process Tomography in Poland p 165
Washaw 2006
MESQUITA J MATELA N OLIVEIRA N MARTINS M V Choosing the ART relaxation
parameter for Clear-PEM 2D image reconstruction Computer methods and programs in
biomedicine May 2010
MYERS G R KINGSTON A M VARSLOT T K TURNER M L SHEPPARD A
P ldquoDynamic tomography with a priori informationrdquo Applied Optics vol 50 2011 pp 3685-
3690
OLIVEIRA EF DANTAS CC MELO S B VASCONCELOS D A A ldquoCOMPARISON
AMONG TOMOGRAPHIC RECONSTRUCTION ALGORITHMSrdquo internetional nuclear
conference-INAC2011
OLIVEIRA EF DANTAS C MELO S B VASCONCELOS D A A ldquoTOMOGRAPHIC
RECONSTRUCTION WITH B-SPLINES SURFACESrdquo internetional nuclear conference-
INAC2011
91
RAMACHANDRAM G N LAKSHMINARAYANAN A V Three-dimensional
reconstruction from radiographs and electron micrographs II application of convolutions
instead of Fourier transforms Proc Natl Acad Sci US v68 p2236-2240 1971
KACZMARZ S Angenaherte auflosung von systemen linearer gleichungen Acad Pol Sci
Lett v 6-8A p355ndash357 1937
SALINA F V MASCARENHAS NDA CRUVINEL PE A Comparison of POCS
Algorithms for Tomographic Reconstruction Under Noise and Limited View Computer
Graphics and Image Processing 2002
SALVADOR P A V Anaacutelise de sistemas multifaacutesicos utilizando tomografia computadorizada
gama monoenergeacutetica e polienergeacutetica Tese IPEN-USP 2008
SERGIO N QUORIN R Diagnoacutestico de defeitos em madeira por tomografia de raios x PhD
thesis UFPR 2004
SUBBARAO P M V MUNSHI P MURALIDHAR K Performance of iterative tomographic
algorithms applied to non-destructive evaluation with limited data NDT amp Internacional
v30(6) p359ndash370 1997
TANABE K Projection method for solving a singular system Numer Math 17203ndash214 1971
TIRUNELVELI G HERMAN G T Comparison of Square-Pixel and Hexagonal-Pixel
Resolution in Image Processing Test pages 867ndash872 2002
VERHOEVEN D Limited-data computed tomography algorithms for the physical sciences
Applied Optics jul1993
WENKAI L Adaptive algebraic reconstruction technique Image (Rochester NY) v31(12)
p3222ndash3230 2004
92
ANEXO ndash I
ROTINAS DESENVOLVIDAS NO MATLAB
Rotina responsaacutevel por criar os phantoms e calcular o sinograma Tambeacutem reconstroacutei
clear
d=64Nproj=8Ntraj=dNpixel=dr=02Nit=30display(MART)chute=1I0=10^8x=1fig3=(zeros(d))teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)inc=3cont=1z=zeros(NprojNtraj1)zt=zzt1=zzt2=zztgb=zcont=1c=0teta=[teta teta]clear fig
vpf=1raio=3inc=7c=5vpf=2raio=4inc=8c=5vpf=4raio=5inc=17c=10 vpf=8raio=1inc=4vpf=4inc=1cc=0inc2=25c=10vpf=4raio=3inc=15c=0 fator=(1Nproj)(1Nproj)1fator=flipud(fator)fator=linspace(00509Nproj)a=0for n=1Nproj a=a+1 circ(n)=Circulo(d(d2)(d2)(1+c))if a==vpfa=0c=c+incend crescente circ(n)=Circulo(d5+c(d2)raio)if a==vpfa=0c=c+incend translado vertical fig=circ(n) [z]=sinograma(fig teta(n)) zr=radon(fig teta(n)Ntraj) fig3=(fig3+fig) Itred(cont)=(I0exp(-zx))n((Nproj+inc+1)-n)(nNproj)olhar sempre It(cont)=I0exp(-zx) Ir(cont)=I0exp(-zr) cont=cont+1endfig3=fig3(max(max(fig3))Nproj)tira a sobreposiccedilatildeosinot=log((I0)It)importante retirar fator caso seja utilizado tomo de 3ordfsinot=(ZeraNeg(sinot))rect=Mart2(MatparaCol(real(sinot))teta102)[c d]=size(rect)rect=ColparaMat(rect(d)NpixelNpixel)figure subplot(131)imagesc(fig3)title(Imagem Meacutedia) subplot(132)imagesc(rect)title(MART Vistas Sucessivas) subplot(133)imagesc(rect)title(MART Vistas Alternadas)
93
Rotina para Testes com reconstruccedilotildees
clear load meialuanotubo2load dadosdinamicoload dadosdinamico2dados2=dados3[Ntraj Nproj]=size(dados2) for a=1Nproj for b=1Ntraj if dados2(ab)gt1 || dados2(ab)lt10^-2 dados2(ab)=1 end endend sinograma=-(102)log(dados2)sinograma=ZeraNeg(sinograma)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj) display(FBP)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)z=sinogramarecfbp=iradon(ztetaNtraj)x=164figsino(xdados2) figsino(xsinograma) figureimagesc(sinograma)title(Sinograma MCNPX - 1 vista por frame) xlabel(Vistas)ylabel(Projeccedilotildees)
_________________________MART___________________________________________ x=[02] Nit=20r=1recmart=zeros(Npixel^2Nitlength(x)) display(MART com pesos)display(x) z=MatparaCol(sinograma) [ix iy]=GridAlg(NprojNtrajNtrajpi) [A]=pesosart(ixiyNprojNtrajNtraj) rec=Art(AzNprojNtraj5002) figure imagesc(rec)title(ART) end recfinal=ColparaMat(recmart(Nit)NpixelNpixel) figuresurf(recfinal)figureimagesc(recfinal)colorbartitle(Mart) durou=etime(clockliga)60save phantomacrilicoMart x durou recmart A _________________________ART____________________________________________ x=[02] Nit=10r=1recart=zeros(Npixel) display(ART com pesos)display(x) z=MatparaCol(sinograma) rec=Mart(AzNprojNtrajNitx) recart=ColparaMat(rec(Nit)NpixelNpixel)r=r+1 figureimagesc(recart)colorbartitle(art) __________________________________________________________________________
94
rotina para caacutelculo do sinograma
function [matriz]=sinograma(fig teta)
[a b]=size(fig)Ntraj=aNproj=size(teta2)sino=zeros(NtrajNproj)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)for i=1Nproj for j=1b sino(ji)=Project(figteta(i)j) endendmatriz=sino
function [bijtemp erromat]=Mart2(ztetachuterelax)
[a b]=size(z)Nproj=size(teta2)Ntraj=aNprojNpixel=Ntrajbijtemp=ones(Npixel^250)bijtemp(1)=chute pij=ones(size(sino))Ite=50erro=1cont=1erromat=zeros(149)for Nitera=1Ite if Nitera==25 Nitera end for i=1Nproj W=Wproj(teta(i)Npixel) pij=Wbijtemp(Nitera) for j=1Ntraj cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pij(j))pij(j) if (pij(j)==0)cor=0000000001end ind=find(W(j)) cor=correlax bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corbijtemp(indNitera)W(jind)) end end if errolt=005break end if Niteragt=2 erro=100sqrt(sum(sum(((bijtemp(Nitera)-bijtemp(Nitera-1))^2))))sum(sum(bijtemp(Nitera))) erromat(cont)=errocont=cont+1 end if (Nitera ~= Ite)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)endendbijtemp=bijtemp(1Nitera)erro
function [bijtemp erromat]=Mart2(ztetachuterelax)
[a b]=size(z)Nproj=size(teta2)Ntraj=aNprojNpixel=Ntrajbijtemp=ones(Npixel^250)bijtemp(1)=chute
95
pij=ones(size(sino))Ite=50erro=1cont=1erromat=zeros(149)for Nitera=1Ite if Nitera==25 Nitera end for i=1Nproj W=Wproj(teta(i)Npixel) pij=Wbijtemp(Nitera) for j=1Ntraj cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pij(j))pij(j) if (pij(j)==0)cor=0000000001end ind=find(W(j)) cor=correlax(i) bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corbijtemp(indNitera)W(jind)) end end if errolt=005break end if Niteragt=2 erro=100sqrt(sum(sum(((bijtemp(Nitera)-bijtemp(Nitera-1))^2))))sum(sum(bijtemp(Nitera))) erromat(cont)=errocont=cont+1 end if (Nitera ~= Ite)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)endendbijtemp=bijtemp(1Nitera)erro
function [figtemp]=BP(NprojNtrajNpixelzinterXinterYfigura)
Back projection
c=max(size(figura))
Ntraj=c
Npixel=caumenta a dimenssatildeo da figura para eliminar artefatos de rotaccedilatildeo
figtemp=zeros(c)
inter=ones(22(Npixel+1))696969
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
inter(1)=interX(((i-1)Npixel)+j)
inter(2)=interY(((i-1)Npixel)+j)
for a=12(Npixel+1)
if (inter(1a)gt=0 ampamp inter(1a)ltNpixel) ampamp (inter(2a)gt=0 ampamp
inter(2a)ltNpixel) ampamp (inter(1a+1)gt=0 ampamp inter(1a+1)lt=Npixel) ampamp
(inter(2a+1)gt=0 ampamp inter(2a+1)lt=Npixel)
dist=sqrt(((inter(1a+1)-inter(1a))^2)+((inter(2a+1)-
inter(2a))^2))
x=fix(inter(1a))y=fix(inter(2a))
if (figura(x+1y+1))gt 10^-1
figtemp(x+1y+1)=figtemp(x+1y+1)+z(Ntraj(i-1)+j)dist
end
end
end
end
end
function [bijtemp]=Art(AzNprojNtrajNitrelax)
ART aditivo com opccedilatildeo de relaxaccedilatildeo
96
[c d]=size(A)a=sqrt(d)b=a
bijtemp=zeros(b^2Nit)10
pij=zeros(b1)pijtemp=zeros(Ntraj1)convergencia=zeros(1Nit)
Projection=Nproj
for Nitera=1Nit
interaction=Nitera
for i=1Nproj
pijtemp=A((Ntraj(i-1)+1)(Ntraj(i-1)+Ntraj))bijtemp(Nitera)
for j=1Ntraj
soma=sum(A(Ntraj(i-1)+j)^2)
cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pijtemp(j))
ind=find(A(Ntraj(i-1)+j))
cor=correlaxsoma
bijtemp(indNitera)=(bijtemp(indNitera) + corA(Ntraj(i-
1)+jind))
for ii=ind
if bijtemp(iiNitera)lt0bijtemp(iiNitera)=0end
end
end
end
if (Nitera ~= Nit)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)end
if (Nitera ~= 1)convergencia(Nit)=sqrt(sum(sum(bijtemp(Nitera-1)^2
-bijtemp(Nitera)^2))sum(sum(bijtemp(Nitera)^2)))end
end
function [bijtemp]=Artfast(AzNprojNtrajNitrelax)
ART aditivo com opccedilatildeo de relaxaccedilatildeo
[c d]=size(A)a=sqrt(d)b=a
bijtemp=ones(b^2Nit)
pij=zeros(b1)pijtemp=zeros(Ntraj1)
Projection=Nproj
for Nitera=1Nit
Nitera
for i=1Nproj
pijtemp=A((Ntraj(i-1)+1)(Ntraj(i-1)+Ntraj))bijtemp(Nitera)
for j=1Ntraj
soma=sum(A(Ntraj(i-1)+j)^2)
cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pijtemp(j))
ind=find(A(Ntraj(i-1)+j))
cor=correlaxsoma
bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corA(Ntraj(i-
1)+jind))
for ii=ind
if bijtemp(iiNitera)lt0bijtemp(iiNitera)=0end
end
end
end
if (Nitera ~= Nit)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)end
end
function [interX interY]=GridAlg(NprojNtrajNpixelRangeAngular)
RangeAngular=pi
display(vc olhou pi)
rxvetor=zeros(Nproj1)
ryvetor=zeros(Nproj1)
rxpontos=zeros(NtrajNproj)
97
rypontos=zeros(NtrajNproj)
rxpontos(1)=linspace(0+(NpixelNtraj)2Npixel-(NpixelNtraj)2Ntraj)
rypontos=flipud(rypontos)
rypontos(1)=0
rxvetor(1)=0
ryvetor(1)=1
teta=RangeAngularNproj
rot=[cos(teta) -sin(teta)sin(teta) cos(teta)]
for b=2Nproj
vet=rot[rxvetor(b-1) ryvetor(b-1)]
rxvetor(b)=vet(1)
ryvetor(b)=vet(2)
end
for b=2Nproj
for a=1Ntraj
pontos=rot[rxpontos(ab-1)-(Npixel2)rypontos(ab-1)-(Npixel2)]
rxpontos(ab)=pontos(1)+(Npixel2)
rypontos(ab)=pontos(2)+(Npixel2)
end
end
clear FIG
interX=zeros(NtrajNproj2(Npixel+1))interY=interX
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
ind=1
inter=ones(22(Npixel+1))696969
if rxvetor(i)lt-10^-5 || rxvetor(i)gt10^-5
for x=0Npixel
inter(2x+1)=(ryvetor(i)rxvetor(i))(x-rxpontos(ji))
+rypontos(ji)
inter(1x+1)=x
ind=ind+1
end
end
if rxvetor(i)gt=-10^-5 ampamp rxvetor(i)lt=10^-5x=-1end
if ryvetor(i)lt-10^-5 || ryvetor(i)gt10^-5
for y=0Npixel
inter(1x+2+y)=(rxvetor(i)ryvetor(i))(y-rypontos(ji))
+rxpontos(ji)
inter(2x+2+y)=y
ind=ind+1
end
end
[inter(1) B]=sort(inter(1))
inter(2)=inter(2B)
interX(((i-1)Ntraj)+j)=inter(1)
interY(((i-1)Ntraj)+j)=inter(2)
end
end
function [A]=pesosart(interXinterYNprojNpixelNtraj)
(NprojNtraj)x(Npixel^2)lt=70000000 out of memory with space free 560000000
98
[a b]=size(interX)
Atemp=sparse(zeros(NtrajNpixel^2))
inter=ones(22(Npixel+1))696969
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
inter(1)=interX(((i-1)Ntraj)+j)
inter(2)=interY(((i-1)Ntraj)+j)
for a=12(Npixel+1)
if (inter(1a)gt=0 ampamp inter(1a)ltNpixel) ampamp (inter(2a)gt=0 ampamp
inter(2a)ltNpixel) ampamp (inter(1a+1)gt=0 ampamp inter(1a+1)lt=Npixel) ampamp
(inter(2a+1)gt=0 ampamp inter(2a+1)lt=Npixel)
dist=sqrt(((inter(1a+1)-inter(1a))^2)+((inter(2a+1)-
inter(2a))^2))
if inter(2a+1)ltinter(2a)
y=fix(inter(2a+1))
else
y=fix(inter(2a))
end
x=fix(inter(1a))
Atemp(jNpixel(Npixel-y-1)+x+1)=dist
end
end
end
if i==1
A=Atemp
else
A=[AAtemp]
end
Atemp=sparse(zeros(NtrajNpixel^2))
end
ERIC FERREIRA DE OLIVEIRA
RECONSTRUCcedilAtildeO TOMOGRAacuteFICA DINAcircMICA INDUSTRIAL
Tese submetida ao Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo em
Tecnologias Energeacuteticas e Nucleares para obtenccedilatildeo do
tiacutetulo de Doutor em Ciecircncias Aacuterea de Concentraccedilatildeo
RADIACcedilOtildeES NUCLEARES E SUAS
APLICACcedilOtildeES
Orientador Carlos Costa Dantas
Coorientadores Silvio Barros Melo
Margarida Mizue Hamada
Recife PEFevereiro 2016
Reconstruccedilatildeo Tomograacutefica Dinacircmica
Industrial
Eric Ferreira de Oliveira
Aprovada em 29022016
Orientador Prof Dr Carlos Costa DantasCo-orientador Prof Dr Silvio de Barros Melo
COMISSAtildeO EXAMINADORA
__________________________________Dr Carlos Costa Dantas ndash DEN-UFPE
_________________________________________Dr Aluiacutezio Fausto Ribeiro Araujo ndash CIN-UFPE
_________________________Dr Joseacute Wilson Vieira ndash UPE
__________________________________Dr Emerson Alexandre de Oliveira Lima
_______________________________________Dr Carlos Alberto Brayner de Oliveira Lira
Visto e permitida a impressatildeo
_________________________Coordenador do PROTENDENUFPE
Aos meus paisJoatildeo Batista Verocircnica Ferreira Juraci Oliveira Joseacute Machado e Isaias Oliveira (in memorian)
Minha homenagem
Dedico
AGRADECIMENTOS
Agradeccedilo aos professores orientadores Dr Carlos Costa Dantas e Dr Siacutelvio Barros
Melo que me orientam desde dos tempos de iniciaccedilatildeo cientiacutefica contribuindo significativamente
para minha formaccedilatildeo
A Drordf Margarida Hamada e o Dr Carlos Mesquita pela orientaccedilatildeo e ajuda no iniacutecio
deste trabalho
A Comissatildeo Nacional de Pesquisa Nuclear- CNEN pelo financiamento da pesquisa
E a todos que de alguma forma contribuiacuteram para realizaccedilatildeo deste trabalho
RESUMO
O estado da arte dos meacutetodos aplicados para processos industriais eacute atualmentebaseado em princiacutepios de reconstruccedilotildees tomograacuteficas claacutessicas desenvolvidos para padrotildeestomograacuteficos de distribuiccedilotildees estaacuteticas ou seja satildeo limitados a processos de pouca variabilidadeRuiacutedos e artefatos de movimento satildeo os principais problemas causados pela incompatibilidade nosdados gerada pelo movimento Aleacutem disso em processos tomograacuteficos industriais eacute comum umnuacutemero limitado de dados podendo produzir ruiacutedo artefatos e natildeo concordacircncia com a distribuiccedilatildeoem estudo Um dos objetivos do presente trabalho eacute discutir as dificuldades que surgem daimplementaccedilatildeo de algoritmos de reconstruccedilatildeo em tomografia dinacircmica que foram originalmentedesenvolvidos para distribuiccedilotildees estaacuteticas Outro objetivo eacute propor soluccedilotildees que visam reduzir aperda de informaccedilatildeo temporal devido a utilizaccedilatildeo de teacutecnicas estaacuteticas em processos dinacircmicos Noque diz respeito agrave reconstruccedilatildeo de imagem dinacircmica foi realizada uma comparaccedilatildeo entre diferentesmeacutetodos de reconstruccedilatildeo estaacuteticos como MART e FBP quando usado para cenaacuterios dinacircmicosEsta comparaccedilatildeo foi baseada em simulaccedilotildees por MCNPX e tambeacutem analiticamente de um cilindrode alumiacutenio que se move durante o processo de aquisiccedilatildeo e tambeacutem com base em imagens decortes transversais de teacutecnicas de CFD Outra contribuiccedilatildeo foi aproveitar o canal triplo de coresnecessaacuterio para exibir imagens coloridas na maioria dos monitores de modo que dimensionandoadequadamente os valores adquiridos de cada vista no sistema linear de reconstruccedilatildeo foi possiacutevelimprimir traccedilos temporais na imagem tradicionalmente reconstruiacuteda Finalmente uma teacutecnica decorreccedilatildeo de movimento usado no campo da medicina foi proposto para aplicaccedilotildees industriaisconsiderando-se que a distribuiccedilatildeo de densidade nestes cenaacuterios pode apresentar variaccedilotildeescompatiacuteveis com movimentos riacutegidos ou alteraccedilotildees na escala de certos objetos A ideia eacute usar dadosconhecidos a priori ou durante o processo como vetor deslocamento e entatildeo usar essasinformaccedilotildees para melhorar a qualidade da reconstruccedilatildeo Isto eacute feito atraveacutes da manipulaccedilatildeoadequada da matriz peso no meacutetodo algeacutebrico isto eacute ajustando-se os valores para refletir omovimento objeto do previsto ou deformaccedilatildeo Os resultados de todas essas teacutecnicas aplicadas emvaacuterios experimentos e simulaccedilotildees satildeo discutidos neste trabalho
PALAVRAS-CHAVE Reconstruccedilatildeo Tomograacutefica Reconstruccedilatildeo Dinacircmica Tomografia CFD
MCNP
ABSTRACT
The state of the art methods applied to industrial processes is currently based on the principles ofclassical tomographic reconstructions developed for tomographic patterns of static distributions oris limited to cases of low variability of the density distribution function of the tomographed objectNoise and motion artifacts are the main problems caused by a mismatch in the data from viewsacquired in different instants All of these add to the known fact that using a limited amount of datacan result in the presence of noise artifacts and some inconsistencies with the distribution understudy One of the objectives of the present work is to discuss the difficulties that arise fromimplementing reconstruction algorithms in dynamic tomography that were originally developed forstatic distributions Another objective is to propose solutions that aim at reducing a temporal type ofinformation loss caused by employing regular acquisition systems to dynamic processes Withrespect to dynamic image reconstruction it was conducted a comparison between different staticreconstruction methods like MART and FBP when used for dynamic scenarios This comparisonwas based on a MCNPx simulation as well as an analytical setup of an aluminum cylinder thatmoves along the section of a riser during the process of acquisition and also based on cross sectionimages from CFD techniques As for the adaptation of current tomographic acquisition systems fordynamic processes this work established a sequence of tomographic views in a just-in-time fashionfor visualization purposes a form of visually disposing density information as soon as it becomesamenable to image reconstruction A third contribution was to take advantage of the triple colorchannel necessary to display colored images in most displays so that by appropriately scaling theacquired values of each view in the linear system of the reconstruction it was possible to imprint atemporal trace into the regularly reconstructed image where the temporal trace utilizes a channeland the regular reconstruction utilizes a different one Finally a motion correction technique used inthe medical field was proposed for industrial applications considering that the density distributionin these scenarios may present variations compatible with rigid motions or changes in scale ofcertain objects The idea is to identify in some configurations of the temporarily distributed dataclues of the type of motion or deformation suffered by the object during the data acquisition andthen use this information to improve the quality of the reconstruction This is done by appropriatelymanipulating the weight matrix in the algebraic method ie by adjusting the values to reflect thepredicted object motion or deformation The results of all these techniques applied in severalexperiments and simulations are discussed in this work
Keywords Industrial Dynamic Tomography Flow Dynamics Dynamic Process SimulationDynamic Tomographic Reconstruction
Lista de Figuras
Figura 1 Atenuaccedilatildeo da Radiaccedilatildeo pela mateacuteria16Figura 2 Discretizaccedilatildeo de l18Figura 3 Sinograma constituiacutedo de 180 vistas (construiacutedo com a funccedilatildeo radon do matlab)19Figura 4 Discretizaccedilatildeo da secccedilatildeo irradiada22Figura 5 Geraccedilotildees Tomograacuteficas27Figura 6 Geraccedilotildees Tomograacuteficas28Figura 7 Phantom de Sheep-Logan29Figura 8 Discretizaccedilatildeo da secccedilatildeo irradiada30Figura 9 Distribuiccedilatildeo de velocidades e de fraccedilatildeo de soacutelido para diferentes alturas32Figura 10 Secccedilatildeo com distribuiccedilatildeo de soacutelido que seraacute utilizada como Phantom Matemaacutetico33Figura 11 Visatildeo 3D de uma distribuiccedilatildeo de fraccedilatildeo de soacutelido feito por CFD33 Figura 12Sistema RGB35Figura 13 Sistema de Coordenadas39Figura 14 reta r sendo mapeada por39Figura 15 Projeccedilotildees 1D sem mudanccedila de frame43Figura 16 Projeccedilotildees 1D com mudanccedila de frame44Figura 17 Mais de uma vista por frame45Figura 18 Mais de um frame por vista46Figura 19 Mais de um frame durante a aquisiccedilatildeo46Figura 20 Software Desenvolvido50Figura 21 8 frames - ciacuterculo transladando - 1 vista por frame52Figura 22 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames52Figura 23 Tomograma e sinograma ndash circulo transladando ndash 1 vista por frame53Figura 24 Sinogramascirculo transladando ndash 1 vista por frame54Figura 25 Reconstruccedilotildees circulo transladando ndash 1 vista por frame54Figura 26 Tomograma e Sinograma - disco transladando - 8 vistas por frame55Figura 27 Sinogramas Ciacuterculo Transladando -Oito vistas por frame56Figura 28 Reconstruccedilotildees Ciacuterculo Transladando -Oito vistas por frame56Figura 29 8 frames - circulo crescente - 1 vista por frame57Figura 30 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames57Figura 31 Tomograma e sinograma - ciacuterculo crescente - 1 vista por frame58Figura 32 Imagem do sinograma - ciacuterculo crescente - 1 vista por frame59Figura 33 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 1 vista por frame59Figura 34 Tomograma e sinograma - circulo crescente - 8 vista por frame60Figura 35 Sinogramas circulo crescente ndash 8 vistas por frame61Figura 36 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 8 vistas por frame61Figura 37 Reconstruccedilotildees disco transladando - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas e alternadas62Figura 38 Reconstruccedilotildees disco transladando - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas e alternadas 63Figura 39 Reconstruccedilotildees disco transladando - 4 Vistas por frame - Vistas sucessivas e alternadas 64Figura 40 Reconstruccedilotildees disco crescente - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas e alternadas64Figura 41 Reconstruccedilotildees disco crescente - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas e alternadas65Figura 42 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 1 vista por frame66Figura 43 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frame67Figura 44 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frame68Figura 45 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frame68Figura 46 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frame69Figura 47 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo crescente - 2 vistas por frame69Figura 48 Geometria Circulo Transladando - 1 vista por frame71
Figura 49 Tomograma via MCNPX - 1 Vista por frame71Figura 50 Sinograma MCNPX - 1 vista por frame72Figura 51 Imagem de sinograma MCNPX - 1 vista por frame72Figura 52 Reconstruccedilotildees MART e FBP ndash MCNPX ndash 1 vista por frame73Figura 53 Geometria circulo transladando - 2 vistas por frame73Figura 54 Tomograma MCNPX - 2 vistas por frame74Figura 55 Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame74Figura 56 Imagem de sinograma MCNPX ndash 2 vistas por frame75Figura 57 Reconstruccedilatildeo MART - MCNPX - 2 vistas por frame75Figura 58 Reduccedilatildeo na resoluccedilatildeo 899x999 para 64x6476Figura 59 CFD - Frames 1 ao 877Figura 60 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames77Figura 61 Sinogramas CFD ndash 1 vista por frame78Figura 62 Reconstruccedilotildees CFD ndash 1 vista por frame78Figura 63 Frames 1 ao 8 CFD ndash 8 vistas por frame79Figura 64 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames79Figura 65 Sinogramas CFD - 8 vistas por frame80Figura 66 Reconstruccedilotildees CFD - 8 vistas por frame80Figura 67 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo81Figura 68 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o segundo instante de tempo81Figura 69 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo82Figura 70 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o segundo instante de tempo82Figura 71 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo83Figura 72 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo83Figura 73 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo84
LISTA DE TABELAS
Tabela 1
Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 1 vista por framehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip62
Tabela 2
Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 2 vistas por framehelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip63
Tabela 3
Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 4 vistas por framehelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip63
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
DEN ndash Departamento de Energia Nuclear
UFPE ndash Universidade Federal de Pernambuco
TC ndash Tomografia Computadorizada
ART ndash Algebraic Reconstruction Techinique
MART ndash Multiplicative Algebraic Reconstruction Techinique
SIRT ndash Simultaneous Iterative Reconstruction Technique
FBP ndash Filtered Back Projection
AM ndash Alternating Minimization
CFD ndash Computer Fluid Dynamics
MCNP - Monte Carlo N-Particle
PET - Positron Emission Tomography
SPECT - Single Photon Emission Tomography
CST ndash Central Slice Theorem
Sumaacuterio
1 INTRODUCcedilAtildeO132 TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA16
21 A Lei de Beer-Lambert16
22 Algoriacutetmos de Reconstruccedilatildeo20
221 Filtered Back Projection (FBP)20222 ART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica)21223 MART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica com Correccedilatildeo Multiplicativa)23
23 O Caso Dinacircmico24
24 Reconstruccedilatildeo com Correccedilatildeo de Movimento25
25 Geraccedilotildees de Tomoacutegrafos26
26 Simulaccedilatildeo de Sinogramas28
27 Fluidodinacircmica Computacional - CFD31
28 Tempo de Aquisiccedilatildeo ou Integraccedilatildeo33
29 Sistema de cores RGB33
21 0MCNP35
3 METODOLOGIA3731 A Transformada de Radon Temporal38
32 Lei de Beer-Lambert temporal41
33 Simulaccedilatildeo de aquisiccedilotildees Tomograacuteficas42
331 Aquisiccedilatildeo por Tomografia de 1ordf Geraccedilatildeo42332 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 3ordf geraccedilatildeo45333 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 5ordf geraccedilatildeo46
34 Posicionamento angular47
35 Utilizaccedilatildeo de um canal de cores para visualizar a dinacircmica do processo Reconstruccedilatildeo RGB47
36 Reconstruccedilatildeo utilizando dados do CFD48
37 Avaliaccedilatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo com RMSE49
38 Algoritmos e Software Desenvolvidos50
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO5141 Resultados das Reconstruccedilotildees MART e FBP51
411 Primitiva Ciacuterculo Transladando 1 vista por frame51412 Primitiva Ciacuterculo Transladando Oito vistas por frame55413 Primitiva Circulo Crescente Uma vista por frame57414 Primitiva Circulo Crescente Oito vistas por frame60
42 Vistas Alternadas62
43 Resultados com RGB65
44 Simulaccedilotildees com MCNPX70
441 Circulo Transladando ndash 1vista por frame70
442 Circulo Transladando ndash 2 vistas por frame7345 Resultados com CFD76
451 CFD-1 vista por frame76452 CFD-8 vistas por frame79
46 Reconstruccedilotildees com correccedilatildeo de movimento81
5 CONCLUSOtildeES856 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS88ANEXO ndash I92
13
1 INTRODUCcedilAtildeO
A Tomografia Computadorizada (TC) consiste em duas etapas
a) O objeto eacute verificado (escaneado) com relaccedilatildeo a alguma propriedade como
densidade capacitacircncia resistividade eleacutetrica ressonacircncia magneacutetica etc
b) A propriedade eacute entatildeo reconstruiacuteda por meio de uma teacutecnica de reconstruccedilatildeo
adequada
Dessa forma a tomografia tem como objetivo reconstruir os detalhes geomeacutetricos do
objeto subjacente e tambeacutem obter os valores da propriedade escolhida Normalmente eacute classificada
como uma teacutecnica de ensaios natildeo destrutivos (END) e portanto eacute de uso imenso em
colunasreatores industriais para detectar a distribuiccedilatildeo de fases ou qualquer tipo de natildeo
uniformidade no interior do objeto
Para o registro de qualquer mudanccedila no objeto otimiza-se o sistema em alta
resoluccedilatildeo temporal (baixo tempo de aquisiccedilatildeo) ou seja permitir vaacuterias imagens resultando em
centenas de quadros por segundo A tomografia que concretiza essa configuraccedilatildeo de aquisiccedilatildeo eacute
chamada de instantacircnea ou de 5ordf geraccedilatildeo onde vaacuterias fontes satildeo arranjadas diametralmente opostas
a um leque de detetores de radiaccedilatildeo e consequentemente a colimaccedilatildeo de uma fonte eacute limitada por
outra reduzindo a resoluccedilatildeo espacial do sistema
Quando a distribuiccedilatildeo tem baixa variabilidade ao longo do tempo ou quando
limitaccedilotildees teacutecnicas impedem o uso da tomografia instantacircnea propotildee-se a tomografia com baixa
resoluccedilatildeo temporal com tomoacutegrafos de 1ordf e 3ordf geraccedilotildees O alto tempo de aquisiccedilatildeo destes
tomoacutegrafos prejudica a reconstruccedilatildeo quando o objeto em estudo muda suas propriedades no
decorrer do tempo Esta foi classificada por vaacuterios autores como reconstruccedilatildeo dinacircmica
(ARTEMIEV V M NAUMOV A O 2006) (BUTALA 2009) (DESBAT L et al 2006) Jaacute eacute
uma aacuterea muito ativa em medicina nuclear onde movimentos do paciente devem ser tomados em
consideraccedilatildeo Tais como em SPECT ou PET mas tambeacutem em tomografia computadorizada (TC de
transmissatildeo) para oacutergatildeos de movimento raacutepido como o coraccedilatildeo (GRAMEL BM et al 2012)
De um modo geral o imageamento dinacircmico TC tem como objetivo reconstruir
sequecircncias de imagens em que a natureza dinacircmica do objeto tomografado eacute de interesse primaacuterio
permitindo o registro de mudanccedilas temporais na distribuiccedilatildeo do coeficiente de atenuaccedilatildeo linear
podendo identificar o estado inicial e o final do processo
O estado da arte dos meacutetodos aplicados para processos industriais eacute atualmente
baseado em princiacutepios de reconstruccedilotildees tomograacuteficas claacutessicas desenvolvidos para padrotildees TC de
distribuiccedilotildees estaacuteticas como pode ser visto em diversos artigos da aacuterea de tomografia industrial
14
(DAHAN A et al 2007 DUDUKOVIC 2007 HALE et al 2007 JOHANSEN et al 2005
KUMAR et al 1997 DANTAS CC et al 2007 SALVADOR P A V 2010 MESQUITA C et
al 2011) Essas abordagens assumem que as propriedades da imagem satildeo constantes durante o
processo de aquisiccedilatildeo Os algoritmos de reconstruccedilatildeo mais comuns ao contexto satildeo os iterativos
onde se destacam teacutecnicas de reconstruccedilatildeo algeacutebrica (ART SIRT MART SMART) e teacutecnicas de
reconstruccedilatildeo estatiacutesticas como o de Minimizaccedilatildeo Alternante (AM) e o Esperanccedila - Maximizaccedilatildeo
(EM) A imagem reconstruiacuteda passa a ser uma aproximaccedilatildeo das propriedades ao longo do tempo A
aproximaccedilatildeo eacute devida a projeccedilotildees natildeo compatiacuteveis no sinograma (BONNET S 2003) As
projeccedilotildees tornam-se incompatiacuteveis devido as diferentes distribuiccedilotildees que ocorreram durante o
intervalo de tempo utilizado para coleta de dados Ruiacutedos e artefatos de movimento satildeo os
principais problemas causados pela incompatibilidade
Aleacutem disso em processos tomograacuteficos industriais eacute comum um nuacutemero limitado de
dados devido a inviabilidades teacutecnicas como arranjar todo um aparato de fontes e detetores ao redor
de uma coluna industrial Um baixo nuacutemero de dados pode produzir ruiacutedo artefatos e natildeo
concordacircncia com a distribuiccedilatildeo em estudo
Por estes motivos eacute necessaacuterio um estudo dos melhores meacutetodos de reconstruccedilatildeo e
tambeacutem o desenvolvimento de novas taacuteticas ou a utilizaccedilatildeo de meacutetodos jaacute consagrados em outros
contextos como a aacuterea meacutedica
Este trabalho inova quando discute um tema jaacute comum agrave aacuterea meacutedica em um
contexto tomograacutefico industrial
O meacutetodo proposto consiste em descobrir inicialmente as limitaccedilotildees oriundas da
aplicaccedilatildeo de algoritmos de reconstruccedilatildeo que foram desenvolvidos para distribuiccedilotildees estaacuteticas e satildeo
utilizados em tomografia dinacircmica Estas podem aparecer em forma de ruiacutedo artefatos estrela eou
de movimento Para alcanccedilar tais propoacutesitos foram utilizados dados simulados analiticamente e por
MCNPX de um cilindro de alumiacutenio transladando durante o processo aquisiccedilatildeo e imagens da secccedilatildeo
transversal de um rise piloto por meio da teacutecnica CFD (Computational Fluid Dynamics) O cilindro
ou ciacuterculo para uma secccedilatildeo eacute uma escolha pautada na literatura industrial pois simula bolhas em
reatores e tambeacutem distribuiccedilotildees agrupadas em forma de nuacutecleo por exemplo (DUDUKOVIC M et
al 1997) (AZZI M 1991) Com os dados simulados foram realizadas e comparadas as
reconstruccedilotildees pelos meacutetodos FBP (Filtered Back Projection) e MART (Multiplicative Algebraic
Reconstruction Technique)
Descobertas as limitaccedilotildees novas estrateacutegias satildeo apresentadas como a escolha da
ordem do posicionamento angular (vistas alternadas ou sucessivas) o desenvolvimento de um
15
meacutetodo para a visualizaccedilatildeo temporal do processo (Reconstruccedilatildeo RGB) e a correccedilatildeo de movimento
A reconstruccedilatildeo RGB foi desenvolvida com o propoacutesito de visualizar a evoluccedilatildeo
temporal do processo Consiste em uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens tomograacuteficas de
processos dinacircmicos pois utiliza o canal red do sistema de cores RGB para visualizar a evoluccedilatildeo do
movimento Uma nova reconstruccedilatildeo eacute realizada utilizando dados penalizados com o tempo e
associada ao canal R Aos outros canais eacute associada a reconstruccedilatildeo tradicional para posterior
visualizaccedilatildeo do conjunto
Tambeacutem eacute proposta uma teacutecnica de correccedilatildeo de movimento utilizada na aacuterea meacutedica
que manipula a matriz de pesos do meacutetodo algeacutebrico deslocando seus elementos com a mesma
quantidade de movimento identificada Neste trabalho eacute definido o vetor deslocamento a priori
O Capiacutetulo dois trata da revisatildeo bibliograacutefica da tese Conteacutem a lei de Beer-Lambert
a formaccedilatildeo de dados tomograacuteficos para posterior reconstruccedilatildeo Explica os algoritmos algeacutebricos a
visualizaccedilatildeo RGB dados do CFD e geraccedilotildees tomograacuteficas No Capiacutetulo trecircs satildeo expostos os
meacutetodos desenvolvidos como aquisiccedilotildees simuladas analiticamente de 1ordf e 5ordf geraccedilotildees
tomograacuteficas simulaccedilotildees tomograacuteficas por MCNPX reconstruccedilatildeo RGB correccedilatildeo de movimento
algoritmos implementados e desenvolvidos No capiacutetulo quatro satildeo mostrados os resultados de
todos os meacutetodos propostos
Espera-se que esse trabalho contribua para uma anaacutelise mais efetiva de tomografias
dinacircmicas industriais bem como o diagnoacutestico de problemas de otimizaccedilatildeo de operaccedilatildeo de
tomoacutegrafos e obtenccedilatildeo de dados para novos projetos bem como contribuir com novos algoritmos de
reconstruccedilatildeo especiacuteficos para esta aplicaccedilatildeo
16
2 TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA
21 A Lei de Beer-Lambert
A medida da probabilidade por unidade de percusso do feixe de radiaccedilatildeo interagir
com a mateacuteria (efeito fotoeleacutetrico efeito Compton e produccedilatildeo de pares) eacute denominado coeficiente
de atenuaccedilatildeo total ou linear do material ( ) Encontrar a funccedilatildeo que represente a distribuiccedilatildeo das
atenuaccedilotildees dentro de uma regiatildeo de interesse eacute o objetivo da tomografia Ao atravessar um material
a intensidade da radiaccedilatildeo sofre uma queda exponencial descrita pela relaccedilatildeo de Beer-Lambert
Entende-se como intensidade de radiaccedilatildeo neste caso como o nuacutemero de contagens registrado pelo
detetor em uma faixa de energia de interesse para um certo intervalo de tempo
Entende-se como caso estaacutetico a situaccedilatildeo em que o objeto tem distribuiccedilatildeo de
atenuaccedilotildees fixa na regiatildeo de estudo ao longo do tempo ou seja
(1)
O processo unidimensional para determinaccedilatildeo da atenuaccedilatildeo linear pode ser resumido
em um detetor de radiaccedilatildeo diametralmente oposto a uma fonte de radiaccedilatildeo onde
bull Estabelece-se um tempo para o intervalo de contagens Figura 21
bull ) do background sem
objeto algum entre fonte e detetor
bull Coloca-se um objeto de comprimento fixo l com distribuiccedilatildeo de atenuaccedilotildees desconhecida
mas com valores fixos ao longo de l
bull Afere-se o nuacutemero de contagens ( com o objeto presente
Figura 1 Atenuaccedilatildeo daRadiaccedilatildeo pela mateacuteria
l
If
para Δt
I0
para Δt
17
A lei de Beer-Lambert mostra que a absorccedilatildeo mais precisamente a atenuaccedilatildeo da
radiaccedilatildeo mede a queda da intensidade quando a radiaccedilatildeo passa pela mateacuteria A transmissatildeo T
Taxa de contagem inicial Taxa de contagem apoacutes o absorvedor
(2)
caracteriza a permeabilidade do material absorvente para a radiaccedilatildeo Quanto maior for a
transmissatildeo menor eacute o efeito atenuante A transmissatildeo depende da espessura l do absorvedor Se a
espessura l eacute reforccedilada pela pequena quantidade dl o T de transmissatildeo eacute diminuiacuteda pela pequena
quantidade dT A diminuiccedilatildeo relativa da transmissatildeo eacute proporcional ao aumento absoluto da
espessura
(3)
O fator de proporcionalidade eacute chamado o coeficiente de atenuaccedilatildeo linear mu A
integraccedilatildeo da equaccedilatildeo 24 conduz agrave lei de Beer-Lambert
(4)
Para facilitar a notaccedilatildeo em desenvolvimentos adiante chamamos de que eacute o
coeficiente de atenuaccedilatildeo linear meacutedio e l a distacircncia percorrida pelo raio no absorvedor Entatildeo eacute
determinado por
18
(5)
independente de l E para um
detalhamento maior das atenuaccedilotildees ao longo do feixe discretiza-se l O somatoacuterio dos produtos das
atenuaccedilotildees com as distacircncias surge da discretizaccedilatildeo de l assumindo que todas as particcedilotildees atenuam
o feixe no Esta condiccedilatildeo implica tambeacutem no particionamento de
Fazendo com que a intensidade final de uma particcedilatildeo i seja a inicial
da subsequente i+1 Ou seja natildeo eacute estabelecida uma discretizaccedilatildeo do tempo
(6)
De maneira geral a soma na Equaccedilatildeo 6 torna-se uma integral e definindo o eixo x ao
longo da trajetoacuteria do feixe l torna-se o elemento de linha onde o coeficiente de atenuaccedilatildeo eacute
funccedilatildeo da trajetoacuteria da linha
(7)
A integral ao longo da linha eacute conhecida como projeccedilatildeo unidimensional da
distribuiccedilatildeo de densidades definida matematicamente por Johann Radon em 1917 e
Figura 2 Discretizaccedilatildeo de l
l1
μ1
l2
μ2
ln
μn
l3
μ3
I 1 pa
ra Δ
t 0f
I 2 pa
ra Δ
t 0f
I f pa
ra Δ
t 0f
I 0 pa
ra Δ
t 0f
19
conhecida como a transformada de Radon da funccedilatildeo
Como as projeccedilotildees satildeo o resultado das transformadas de Radon ao longo dos
caminhos dos feixes pode-se dizer que o objetivo da tomografia eacute obter a sua inversa ou seja a
imagem reconstruiacuteda ou como no caso unidimensional a curva
(8)
Os diversos modelos utilizados para encontrar a inversa satildeo chamados de algoritmos
de reconstruccedilatildeo e como todos operam com as projeccedilotildees como entrada de dados um estudo mais
detalhado da transformada de Radon temporal e como essas projeccedilotildees variam deve ser realizado
para os casos em que a distribuiccedilatildeo de coeficientes de atenuaccedilatildeo varia tambeacutem com o tempo (caso
dinacircmico seccedilatildeo )
eacute a projeccedilatildeo bidimensional
geralmente chamada de perfil ou vista do corte O processo de aquisiccedilatildeo dos perfis eacute
chamado de escaneamento ou varredura e o conjunto de projeccedilotildees adquiridas eacute denominado
sinograma a Erro Origem da referecircncia natildeo encontrada representa o sinograma de uma imagem de
teste com um disco central
O escaneamento pode ser feito atraveacutes de aquisiccedilotildees paralelas de um uacutenico feixe
Figura 3 Sinograma constituiacutedo de 180 vistas (construiacutedo com a funccedilatildeo radon do
matlab)
20
(Parallel Beam) ou com as trajetoacuterias em forma de leque (Fan Beam) Como o sinograma eacute
resultado das transformadas de Radon ao longo dos raios pode-se dizer que o objetivo da
tomografia eacute obter a sua inversa ou seja a imagem reconstruiacuteda
representa todas as projeccedilotildees (9)
Imagem Original
22 Algoriacutetmos de Reconstruccedilatildeo
221 Filtered Back Projection (FBP)
Bracewell e Riddle em 1967 introduziram o meacutetodo chamado retroprojeccedilatildeo filtrada
(FBP) meacutetodo baseado na transformada de Fourier O FBP eacute muito utilizado devido ao baixo tempo
de processamento O teorema das projeccedilotildees tambeacutem chamado de teorema do corte central (Central
Slice Theorem - CST) facilita o processo Esse diz que uma transformada 1D de Fourier da
transformada de Radon da funccedilatildeo corresponde agrave transformada 2D de Fourier da funccedilatildeo Ou seja
realizando a transformada de Fourier das projeccedilotildees chega-se ao espaccedilo de frequecircncias da
distribuiccedilatildeo de densidades que se desejam descobrir No espaccedilo de frequecircncias satildeo realizadas as
operaccedilotildees de filtragem e a transformada 2D inversa retorna a imagem reconstruiacuteda O FBP eacute
resumido nos seguintes passos
1 Calcular a transformada de Fourier unidimensional das projeccedilotildees chegando ao domiacutenio de
frequecircncias
2 Filtrar as projeccedilotildees transformadas com um filtro passa baixa (Shepp-Logan Hann
Hamming etc)
3 Colocar as projeccedilotildees filtradas em um grid polar Cada projeccedilatildeo em seu acircngulo
correspondente
4 Reamostrar estas em um grid cartesiano com interpolaccedilatildeo (linear nearest Splines etc)
5 Calcular a transformada 2D de Fourier inversa chegando-se agrave imagem reconstruiacuteda
21
222 ART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica)
Os primeiros estudos sobre teacutecnicas algeacutebricas em TC foram feitos por Gordon e
Herman (HERMAN G T GORDON R 1971) Apesar de ser mais intuitiva e simples que os
meacutetodos de transformada essa teacutecnica deixa a desejar no que se refere a precisatildeo e tempo de
processamento Fazendo com que os meacutetodos de transformada fossem inicialmente mais utilizados
principalmente na aacuterea meacutedica onde um grande nuacutemero de dados eacute processado No entanto para
experimentos em que o nuacutemero de projeccedilotildees eacute limitado ou tenha uma distribuiccedilatildeo natildeo uniforme o
meacutetodo de transformada torna-se inviaacutevel
Meacutetodos algeacutebricos ou de expansatildeo de seacuteries discretizam a secccedilatildeo irradiada em uma
matriz de incoacutegnitas (pixels) que representam a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de densidades μ (x y) como
ilustra a Figura 4 Apoacutes as varreduras um sistema de equaccedilotildees resultantes da relaccedilatildeo de Beer-
Lambert eacute criado e sua resoluccedilatildeo corresponde agrave inversa de Radon Devido agraves caracteriacutesticas desse
sistema meacutetodos indiretos satildeo aconselhados e dentre os indiretos o meacutetodo das projeccedilotildees de
Kaczmarz tem convergecircncia garantida (KACZMARZ 1937) As teacutecnicas iterativas satildeo resumidas
basicamente em quatro passos criaccedilatildeo da imagem inicial caacutelculo das correccedilotildees aplicaccedilatildeo das
correccedilotildees e o teste de convergecircncia Estes algoritmos diferem na maneira como as correccedilotildees satildeo
calculadas e aplicadas (SUBBARAO 1997) Neste trabalho eacute utilizada a teacutecnica algeacutebrica ART
Nessa representaccedilatildeo um raio corresponde a uma faixa com largura que na maioria das vezes
coincide com a largura de um pixel
22
O processo pode ser resumido em
1) Criar uma matriz imagem inicial com N elementos parametrizados em geralmente aleatoacuterios
ou nulos Esse eacute o iniacutecio da 1ordf iteraccedilatildeo ( =1)
2) Calcular as projeccedilotildees para todos os raios atraveacutes da foacutermula
(10)
3) Para cada raio calcular a diferenccedila entre a projeccedilatildeo original e a reconstruiacuteda 4)
Calcular o somatoacuterio de todos pesos ao longo de cada raio
(11)
5) Obter a correccedilatildeo para cada raio
23
(12)
6) Aplicar a correccedilatildeo a cada ceacutelula
(13)
onde eacute um paracircmetro de relaxaccedilatildeo entre 0 e 2
7) Repetir os passos 2 ao 6 para todos os raios
8) Achar a soma da convergecircncia de todos os pixels da imagem
(14)
9) Finalizar a iteraccedilatildeo
As iteraccedilotildees satildeo finalizadas quando chegar a um valor preacute - estabelecido Muitos autores
estabelecem um criteacuterio de Caso o criteacuterio natildeo tenha sido cumprido uma nova
iteraccedilatildeo eacute iniciada no passo 2
O ART frequentemente sofre de ruiacutedos tipo sal e pimenta (salt and pepper noise)
causados pelas inconsistecircncias introduzidas no conjunto de equaccedilotildees por aproximaccedilotildees nos O
efeito eacute exacerbado porque cada pixel ao longo de um raio eacute alterado assim que a projeccedilatildeo eacute
calculada mudando seus valores antes que outro raio o faccedila Tanto o ruiacutedo quando a taxa de
convergecircncia do meacutetodo dependem do paracircmetro de relaxaccedilatildeo utilizado escolhido empiricamente
(geralmente entre 0 e 2) (KAK 1989)
223 MART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica com Correccedilatildeo Multiplicativa)
Vaacuterios estudos apontam o meacutetodo como raacutepido mais flexiacutevel e de melhor acuraacutecia
que o ART Sendo indicado principalmente para casos de um nuacutemero limitado de dados
(VERHOEVEN 1993) A teacutecnica eacute semelhante ao ART com mudanccedila apenas no fator de correccedilatildeo
24
expresso pela equaccedilatildeo 15
(15)
23 O Caso Dinacircmico
De um modo geral imagiologia dinacircmica CT tem como objetivo reconstruir sequecircncias de
imagens em que a natureza dinacircmica do objeto tomografado eacute de interesse primaacuterio permitindo o
registro de mudanccedilas temporais na distribuiccedilatildeo do coeficiente de atenuaccedilatildeo linear Entende-se como
caso estaacutetico a situaccedilatildeo em que o objeto tem distribuiccedilatildeo de atenuaccedilotildees fixa na regiatildeo de
estudo ao longo do tempo Algoritmos de reconstruccedilatildeo tomograacutefica utilizam como dados de entrada
as projeccedilotildees unidimensionais tomograacuteficas Cada projeccedilatildeo eacute adquirida atraveacutes das aquisiccedilotildees de
intensidades inicial e final ao longo do raio na direccedilatildeo
O escaneamento pode ser feito atraveacutes de aquisiccedilotildees paralelas de um uacutenico feixe (Parallel
Beam) ou com as trajetoacuterias em forma de leque (Fan Beam) Como o sinograma eacute resultado das
transformadas de Radon ao longo dos raios pode-se dizer que o objetivo da tomografia eacute obter a
sua inversa ou seja a imagem reconstruiacuteda ou como no caso unidimensional a curva
(KAK A C SLANEY M 1999)
(16)
Historicamente a CT dinacircmica no contexto meacutedico refere-se a algoritmos de imagem que
tentam corrigir movimentos formando uma imagem de alta qualidade estaacutetica atraveacutes da remoccedilatildeo
do componente dinacircmico Diferentemente da aacuterea meacutedica as imagens reconstruiacutedas de fluxos
multifaacutesicos oriundas de relativa baixa resoluccedilatildeo temporal trazem informaccedilotildees importantes da
mudanccedila do fluxo ao longo do tempo (MyersG R Kingston A M 2011) O objetivo da
tomografia neste caso eacute determinar a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de atenuaccedilatildeo
No caso CT de 1ordf 3ordf geraccedilotildees aplicados a distribuiccedilotildees dinacircmicas uma uacutenica imagem
representativa de todo o processo (reconstruiacuteda por processos desenvolvidos para distribuiccedilotildees
25
estaacuteticas) eacute o resultado final da tomografia (BARTHOLOMEW CASAGRANDE 1957) (AZZI et
al 1991) (YIN et al 2002)(DAHAN A et al 2007) (DUDUKOVIC 2007) (DANTAS CC et
al 2007) (SALVADOR P A V 2010) (MESQUITA C et al 2011) A funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de
atenuaccedilotildees passa a ser uma aproximaccedilatildeo
Esta aproximaccedilatildeo eacute devido a projeccedilotildees natildeo compatiacuteveis no sinograma (tambeacutem chamado de
) (BONNET S 2003) As projeccedilotildees agora tornam-se incompatiacuteveis
devido as diferentes distribuiccedilotildees que ocorreram durante o intervalo de tempo [0 t]
24 Reconstruccedilatildeo com Correccedilatildeo de Movimento
A reduccedilatildeo de artefatos de movimento em imagens tomograacuteficas eacute um problema
crucial em oacutergatildeos de um forte caraacuteter dinacircmico como por exemplo os pulmotildees ou o coraccedilatildeo Uma
maneira simples de reduzir esses artefatos eacute limitar o tempo de aquisiccedilatildeo usando tomografia ultra ndash
raacutepida (5ordf geraccedilatildeo)
Aqui considera-se uma outra abordagem em que os modelos de movimento satildeo
integrados diretamente ao processo de reconstruccedilatildeo e onde a resoluccedilatildeo temporal pode assim ser
significativamente aumentada Os meacutetodos podem ser algeacutebricos (GILLAND et al 2002 1996 DE
MURCIA BLONDE et al 2003) ou analiacuteticos ( BONNET et al 2003)
A teacutecnica de compensaccedilatildeo de movimento utilizada neste estudo utiliza um modelo
de transformaccedilatildeo da matriz de pesos A dividindo-a em submatrizes tendo suas colunas deslocadas
adequadamente de acordo com o modelo de movimento obtido a cada projeccedilatildeo (PENGPAN et al
2011) Por esse motivo o vetor deslocamento do movimento deve ser calculado a cada projeccedilatildeo
Para uma grande quantidade de dados necessaacuterios em estudos dinacircmicos na aacuterea
meacutedica abordagens analiacuteticas que levam a algoritmos de reconstruccedilatildeo diretos satildeo mais apropriadas
Alguns meacutetodos satildeo aproximaccedilotildees adaptadas para uso geral do tipo de movimento mas amplitude
moderada (RITCHIE et al 1996 GRANGEAT et al 2002)
No trabalho desenvolvido foca-se a situaccedilatildeo em que um pequeno nuacutemero de dados eacute
26
disponibilizado devido a natureza da aplicaccedilatildeo Salienta-se que a compensaccedilatildeo de movimento
ocorre com a aplicaccedilatildeo da mesma quantidade de movimento (obtida previamente ou durante a
reconstruccedilatildeo) agrave matriz A
A funccedilatildeo em um instante de tempo t pode ser encontrada com a aplicaccedilatildeo da
deformaccedilatildeo agrave seu valor inicial
(17)
A deformaccedilatildeo pode apresentar rotaccedilatildeo e translaccedilatildeo
(18)
25 Geraccedilotildees de Tomoacutegrafos
A primeira geraccedilatildeo de tomoacutegrafos foi produzida pela EMI Mark em 1973 tendo
como desenvolvedor o engenheiro Hounsfield O sistema era composto por um uacutenico tubo de raios
X o qual produzia um uacutenico feixe ciliacutendrico que atravessava o objeto em estudo o paciente
atingindo o uacutenico detector que media a intensidade do mesmo O sistema ainda contava com um par
de colimadores (dois pequenos tubos metaacutelicos colocados apoacutes o feixe deixar a fonte e antes do
mesmo atingir o detector) para minimizar o espalhamento do feixe A fonte de raios X e o detector
se movem em sincronia e em lados opostos do paciente executando um escaneamento linear sobre a
seccedilatildeo em estudo seguido de uma rotaccedilatildeo de 1 grau e um novo escaneamento linear eacute efetuado
como ilustra a Figura 3 a)
Os tomoacutegrafos de segunda geraccedilatildeo foram desenvolvidos visando reduzir o tempo de
escaneamento minimizando a exposiccedilatildeo do paciente agrave radiaccedilatildeo e ampliando a gama de oacutergatildeos que
podem ter a seccedilatildeo transversal reconstruiacuteda Os tomoacutegrafos ainda mantiveram o movimento de
varredura linear seguida de uma rotaccedilatildeo Entretanto o feixe de raios X deixou de ser ciliacutendrico e
passou a ter formato de leque Ao inveacutes de um uacutenico detector o sistema passou a contar com vaacuterios
27
detectores alinhados de forma que possam receber todos os raios do feixe Dessa maneira o tempo
de obtenccedilatildeo de dados de uma seccedilatildeo foi reduzido de acordo
com o nuacutemero de detectores e com o acircngulo de abertura empregado como pode ser visto na Figura
3b) A terceira geraccedilatildeo de aparelhos abandonou de vez os movimentos de translaccedilatildeo do tubo de
raios X e dos detectores e passou a contar com um leque com um acircngulo maior e uma base de
detectores mais ampla em formato semi-circular O sistema passou a efetuar um movimento de 360
graus em torno da seccedilatildeo Tambeacutem eram usados colimadores antes do feixe atingir os detectores a
fim de minimizar o espalhamento dos raios X e garantir a qualidade das imagens O tempo de cada
varredura em alguns modelos comerciais passou a ser de apenas meio segundo ilustrado pela
Figura 3 c)
A quarta geraccedilatildeo de aparelhos passou a contar com um anel de detectores que
circundam toda a seccedilatildeo que possibilitou aumentar mais ainda o acircngulo do feixe de radiaccedilatildeo Os
detectores satildeo fixos e a fonte de radiaccedilatildeo rotaciona dentro do anel de detectores e ao redor do corpo
irradiado Um problema desta geraccedilatildeo diz respeito agrave recepccedilatildeo dos feixes que natildeo satildeo fixos e
dependendo do acircngulo um feixe pode atingir dois detectores ou acertar um detector apenas em uma
fraccedilatildeo ilustrado pela Figura 6d)
Como o tempo despendido para realizaccedilatildeo de movimentos mecacircnicos eacute a principal
28
limitaccedilatildeo para reduzir ainda mais os tempos de escaneamento a quinta geraccedilatildeo de aparelhos acabou
com os movimentos de translaccedilatildeo e rotaccedilatildeo da fonte e dos detectores Rachid Maad em MAAD R
2009 evita utilizar essa classificaccedilatildeo para tomoacutegrafos sem rotaccedilatildeo e translaccedilatildeo utilizados
industrialmente ficando essa classificaccedilatildeo mais utilizada em aplicaccedilotildees meacutedicas Esse utiliza o
termo geraccedilatildeo de tomografia instantacircnea para tais aparelhos representados na Figura 6e)
Na configuraccedilatildeo instantacircnea um anel de detectores estacionaacuterios e as fontes de
radiaccedilatildeo rodeiam o objeto fornecendo um arranjo fixo (sem varreduras) e mediccedilotildees instantacircneas1
Esta teacutecnica eacute muito raacutepida e pode ser usada na geraccedilatildeo de imagens em tempo real A desvantagem
eacute o custo e o problema da radiaccedilatildeo dispersa causada pela presenccedila de muacuteltiplas fontes
26 Simulaccedilatildeo de Sinogramas
Phantoms matemaacuteticos ou imagens de teste satildeo frequentemente utilizados para
avaliar a precisatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo Satildeo descritos precisamente por funccedilotildees
matemaacuteticas e suas transformadas de Radon simulam as projeccedilotildees tomograacuteficas Seus pixels satildeo as
regiotildees discretizadas e seus valores ou cores representam as densidades ou coeficientes de
atenuaccedilatildeo linear A imagem de teste (phantom) mais conhecida em reconstruccedilatildeo tomograacutefica eacute o
1 O termo instantacircneo aqui utilizado negligencia o tempo de aquisiccedilatildeo para as contagens de intensidade de radiaccedilatildeo devido ao seu baixo valor deacutecimos de segundo
29
phantom de Sheep ndash Logan Figura 7
Para calcular a projeccedilatildeo simulada somam-se os produtos das distacircncias percorridas
pelo raio em cada pixel pelo seu valor Paracircmetros do experimento tomograacutefico que se deseja
simular como a aacuterea a ser varrida densidades reais adiccedilatildeo de ruiacutedo e fotos da secccedilatildeo do objeto
podem ser incorporadas para dar mais realidade ao modelo (SUBBARAO PMV et al 1997) O
ruiacutedo obedece ao desvio padratildeo de Poisson (IAEA-TECDOC-1589 2008)
A secccedilatildeo irradiada eacute representada por uma matriz de incoacutegnitas que representam a
distribuiccedilatildeo de densidades que se deseja descobrir As incoacutegnitas satildeo os pixels da imagem
reconstruiacuteda como ilustrado na Figura 8
Nessa representaccedilatildeo um raio corresponde a uma faixa com largura que na maioria
das vezes coincide com a largura de um pixel
Figura 7 Phantom de Sheep-Logan
50 100 150 200 250
50
100
150
200
2500
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
30
Parametrizando os pixels com j variando de 1 a N e os raios com i de 1 a M podemos
escrever a transformada de Radon ao longo do raio i como
(19)
onde eacute o peso que diz o percentual de contribuiccedilatildeo de um pixel j para o raio i definido como
(20)
Uma boa aproximaccedilatildeo eacute o modelo em que a largura do feixe eacute reduzida a uma linha
reta fazendo a distacircncia percorrida por este feixe dentro do pixel
Para calcular a intensidade final para uma projeccedilatildeo i faz-se
31
(21)
Com calculado da figura e de meacutedia fixa variando a cada projeccedilatildeo
com o desvio padratildeo de Poisson para todas as projeccedilotildees
O sinograma simulado eacute construiacutedo fazendo cada elemento de sua matriz igual a
27 Fluidodinacircmica Computacional - CFD
Fluidodinacircmica computacional (Computational Fluid Dynamics - CFD) eacute o termo
dado ao grupo de teacutecnicas matemaacuteticas numeacutericas e computacionais usadas para obter visualizar e
interpretar soluccedilotildees para as equaccedilotildees de conservaccedilatildeo de grandezas fiacutesicas de interesse em um dado
escoamento A origem destas equaccedilotildees de conservaccedilatildeo eacute a teoria de Fenocircmenos de Transporte
Assim pode-se resumir CFD como o conjunto das teacutecnicas de simulaccedilatildeo computacional usadas
para predizer os fenocircmenos fiacutesicos ou fiacutesico-quiacutemicos que ocorrem em escoamentos
A Fluidodinacircmica computacional eacute uma aacuterea de grande interesse para a soluccedilatildeo de
muitos problemas praacuteticos Como exemplo podem ser citados problemas de aerodinacircmica
termodinacircmica hidraacuteulica dentre outros As anaacutelises nesta aacuterea de pesquisa podem ser
desenvolvidas com base em experimentos bem como em meacutetodos teoacutericos Dentro dos meacutetodos
teoacutericos destacam-se os meacutetodos computacionais utilizados para simulaccedilatildeo numeacuterica aplicada agrave
Dinacircmica dos Fluidos (HERCKERT M G R)
Para os escoamentos de fluidos o modelo matemaacutetico eacute estabelecido com base nas
equaccedilotildees de conservaccedilatildeo da quantidade de movimento da massa e da energia Estas equaccedilotildees
quando submetidas a condiccedilotildees de contorno e iniciais apropriadas representam matematicamente
um problema particular (SHAMES I H 1973) A soluccedilatildeo analiacutetica destas equaccedilotildees somente eacute
possiacutevel para escoamentos muito simples Para se analisar problemas reais lanccedila-se matildeo do uso dos
chamados meacutetodos numeacutericos
Nos casos de escoamentos laminares os modelos satildeo relativamente simples pois as
32
equaccedilotildees de Navier-Stokes2 conservaccedilatildeo da massa e conservaccedilatildeo de energia satildeo resolvidas
Contudo como a maioria dos escoamentos que acontecem na natureza e no meio industrial satildeo
turbulentos estes tem um alto grau de complexidade e portanto deve-se lanccedilar matildeo de modelos
matemaacuteticos de turbulecircncia acrescentando termos as equaccedilotildees anteriormente citadas Os modelos
de turbulecircncia levam em conta variaacuteveis estatiacutesticas pois escoamentos turbulentos satildeo altamente
caoacuteticos e com isto haacute a necessidade de ferramentas estatiacutesticas para representar os escoamentos
turbulentos
A Figura 9 mostra campos de velocidade e distribuiccedilatildeo de soacutelido dentro do riser com
o regime de fluxo feito por CFD (ARMSTRONG L M 2010) Uma uacutenica velocidade de injeccedilatildeo e
diferentes alturas ao longo do riser Outros exemplos satildeo ilustrados nas Figuras 10 e 11
2 satildeo equaccedilotildees diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos Permitem determinar os
campos de velocidade e de pressatildeo num escoamento
Figura 9 Distribuiccedilatildeo de velocidades e defraccedilatildeo de soacutelido para diferentes alturas
33
28 Tempo de Aquisiccedilatildeo ou Integraccedilatildeo
Detectores de radiaccedilatildeo precisam sempre de um certo tempo (tempo de integraccedilatildeo)
para obter sinal razoaacutevel dos foacutetons incidentes Isto eacute devido agrave estatiacutestica de Poisson que regula o
processo de contagem de foacutetons e pode aumentar consideravelmente a incerteza do sinal detectado
no caso de um tempo de integraccedilatildeo baixo No domiacutenio da frequecircncia a mediccedilatildeo de sinal com um
tempo de integraccedilatildeo eacute aproximadamente equivalente a multiplicar o sinal original por um filtro
passa - baixa Quando uma amostra estaacute em repouso no interior do tomoacutegrafo eacute vantajosa a
utilizaccedilatildeo de um tempo de integraccedilatildeo alto para rejeitar ruiacutedo de alta frequecircncia Para a escolha do
tempo de integraccedilatildeo ideal deve-se estabelecer um equiliacutebrio entre a velocidade da amostra e o ruiacutedo
Poisson (MAAD 2009)
29 Sistema de cores RGB
RGB eacute a abreviatura do sistema de cores aditivas formado por Vermelho (Red)
Verde (Green) e Azul (Blue) O propoacutesito principal do sistema RGB eacute a reproduccedilatildeo de cores em
dispositivos eletrocircnicos como monitores de TV e computador datashows scanners e cacircmeras
digitais assim como na fotografia tradicional Em contraposiccedilatildeo impressoras utilizam o modelo
Figura 11 Visatildeo 3D de uma distribuiccedilatildeo de fraccedilatildeode soacutelido feito por CFD
Figura 10 Secccedilatildeo comdistribuiccedilatildeo de soacutelido que
seraacute utilizada como PhantomMatemaacutetico
34
CMYK de cores subtrativas Modelos aditivos de luzes satildeo combinados de vaacuterias maneiras para
reproduzir outras cores
O modelo de cores RGB eacute baseado na teoria de visatildeo colorida tricromaacutetica de
Young-Helmholtz e no triacircngulo de cores de Maxwell O uso do modelo RGB como padratildeo para
apresentaccedilatildeo de cores na Internet tem suas raiacutezes nos padrotildees de cores de televisotildees RCA de 1953 e
no uso do padratildeo RGB nas cacircmeras LandPolaroid poacutes Edwin Land
Estas trecircs cores natildeo devem ser confundidas com os pigmentos primaacuterios Ciano
Magenta e Amarelo conhecidos no mundo das artes como ldquocores primaacuteriasrdquo jaacute que se combinam
baseadas na reflexatildeo e absorccedilatildeo de foacutetons visto que o RGB depende da emissatildeo de foacutetons de um
componente excitado a um estado de energia mais elevado (fonte emissora por exemplo o tubo de
raios catoacutedicos)
O modelo de cores RGB por si soacute natildeo define o que significa ldquovermelhordquo ldquoverderdquo ou ldquoazulrdquo
(espectroscopicamente) e entatildeo os resultados de misturaacute-los natildeo satildeo tatildeo exatos (e sim relativos na
meacutedia da percepccedilatildeo do olho humano)
Uma cor no modelo de cores RGB pode ser descrita pela indicaccedilatildeo da quantidade de
vermelho verde e azul que conteacutem Cada uma pode variar entre o miacutenimo (completamente escuro)
e maacuteximo (completamente intenso) Quando todas as cores estatildeo no miacutenimo o resultado eacute preto Se
todas estatildeo no maacuteximo o resultado eacute branco (GONZALES 2014)
Uma das representaccedilotildees mais usuais para as cores eacute a utilizaccedilatildeo da escala de 0 agrave 255
bastante encontrada na computaccedilatildeo pela conveniecircncia de se guardar cada valor de cor em 1 byte (8
bits) Assim o vermelho completamente intenso eacute representado por 255 0 0
Branco - RGB (255 255 255) Azul - RGB (0 0 255) Vermelho - RGB (255 0 0)
Verde - RGB (0 255 0)Amarelo - RGB (2552550)Magenta - RGB (2550255)
Ciano - RGB (0 255 255) Preto - RGB (0 0 0)
35
As cores satildeo complementares agraves do sistema CMYK - Ciano (Cyan) Magenta
(Magenta) Amarelo (Yellow) e Preto (blacKKey) - e a sua mistura forma a cor branca
210 MCNP
O meacutetodo Monte Carlo eacute um algoritmo numeacuterico capaz de resolver problemas fiacutesicos e
matemaacuteticos por meio de simulaccedilatildeo de variaacuteveis aleatoacuterias (SOBOL 1994 BIELAJEW 1998)
Hoje em dia o MCNP eacute uma ferramenta matemaacutetica comumente utilizada em diversos segmentos
da ciecircncia e da engenharia para simular problemas que podem ser representados por processos
estocaacutesticos Simulaccedilotildees do transporte de radiaccedilatildeo por meio deste meacutetodo e em particular na Fiacutesica
Meacutedica tecircm passado por um raacutepido crescimento nas uacuteltimas deacutecadas (YORIYAZ 2009)
O processo Monte Carlo pode ser compreendido como um meacutetodo de geraccedilatildeo de nuacutemeros
aleatoacuterios (ROBERT amp CASELLA 2004) Um gerador uniforme de nuacutemeros pseudoaleatoacuterios eacute
um algoritmo que comeccedilando com um valor inicial e uma transformaccedilatildeo produz uma sequecircncia de
valores no intervalo [0 1] tendo esta sequecircncia um comportamento de uma variaacutevel aleatoacuteria
uniforme quando comparada com um conjunto de testes aleacutem de ser independente e identicamente
distribuiacuteda (ROBERT amp CASELLA 2004) Em termos de transporte de radiaccedilatildeo o processo
estocaacutestico pode ser visto como uma famiacutelia de partiacuteculas cujas coordenadas individuais soacute mudam
aleatoriamente em cada colisatildeo O comportamento meacutedio dessas partiacuteculas eacute descrito em termos de
Figura 12Sistema RGB
36
grandezas macroscoacutepicas como fluxo ou densidade de partiacuteculas (YORIYAZ 2009)
O Monte Carlo N Particle ndash MCNP - foi criado desde a deacutecada de 50 nos Estados
Unidos sendo desenvolvido por meio do laboratoacuterio Los Alamos National Laboratory O MCNP
continua ateacute hoje sendo aperfeiccediloado tornando-se assim mais confiaacutevel e usado por muitos
pesquisadores no mundo inteiro Eacute um coacutedigo que realiza o transporte de partiacuteculas utilizando o
meacutetodo Monte Carlo com capacidade para simular necircutrons com energias entre 10-11 MeV a 20
MeV enquanto que a faixa de energia para os foacutetons e eleacutetrons vai de 1 keV a 1000 MeV
(BRIESMEISTER 2000) O coacutedigo MCNP tem a capacidade de simular sistemas com geometrias
que vatildeo de superfiacutecies preacute-determinadas como esferas planos paraboloacuteides de revoluccedilatildeo cilindros
elipsoacuteides ateacute superfiacutecies bem elaboradas utilizando conjunto de pontos no espaccedilo
O pesquisador ao utilizar o MCNP constroacutei um arquivo de entrada no coacutedigo que
pode ser organizado em blocos descrevendo regiotildees envolvidas no modelo especificaccedilatildeo da
geometria por meio de superfiacutecies geomeacutetricas e suas intersecccedilotildees posiccedilatildeo e distribuiccedilatildeo energeacutetica
da fonte descriccedilatildeo dos materiais e todos os paracircmetros fiacutesicos agregados com algumas teacutecnicas de
reduccedilatildeo de variacircncia para melhorar a eficiecircncia e obter melhores resultados (BRIESMEISTER
2000) A versatilidade somado ao aspecto funcional do coacutedigo MCNP para diferentes tipos de
problemas faz com que este seja bem aceito na comunidade cientiacutefica que trabalham com transporte
de radiaccedilotildees e caacutelculos de dose
37
3 METODOLOGIA
Para descobrir ateacute onde processos tomograacuteficos de baixa resoluccedilatildeo temporal aliados
a algoritmos de reconstruccedilatildeo estaacutetica satildeo compatiacuteveis com o regime em estudo foram avaliadas
aquisiccedilotildees simuladas de 1ordf 3ordf e 5ordf geraccedilotildees tomograacuteficas A variaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo de densidades
durante a aquisiccedilatildeo faz necessaacuterio o desenvolvimento de uma versatildeo da lei de Beer-Lambert para
casos dinacircmicos seguida de sua aplicaccedilatildeo para realizar as simulaccedilotildees O meacutetodo eacute separado em duas
fases
1ordf Fase
A metodologia desenvolvida aplica primeiro o modelo de simulaccedilatildeo de sinogramas
desenvolvida analiticamente agrave primitivas matemaacuteticas e posteriormente a dados do MCNPX e CFD
1) Eacute criado um modelo de simulaccedilatildeo de sinogramas para distribuiccedilotildees
dinacircmicas utilizando a versatildeo temporal desenvolvida da lei de Beer-Lambert e da transformada de
Radon tambeacutem temporal
2) A simulaccedilatildeo eacute testada com primitivas matemaacuteticas dinacircmicas como um
ciacuterculo crescente ou transladando ou ambos A escolha eacute pautada em sua representaccedilatildeo precisa por
funccedilotildees matemaacuteticas e por representar diversos processos industriais(A simulaccedilatildeo com o disco
representa a secccedilatildeo de um cilindro ou bolha)
3) Os resultados satildeo apresentados em forma de imagens e graacuteficos A
visualizaccedilatildeo do sinograma eacute bastante utilizada para determinaccedilatildeo de caracteriacutesticas do objeto
4) O modelo de simulaccedilatildeo eacute ao aplicado a dados do CFD
2ordf Fase
O meacutetodo desenvolvido propotildee uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens
tomograacuteficas de processos dinacircmicos pois utiliza canais de cores para mostrar a evoluccedilatildeo temporal
do processo O algoriacutetmo de reconstruccedilatildeo utilizado eacute o MART devido a sua boa performance com
nuacutemero limitado de dados
Nesta fase eacute realizada a reconstruccedilatildeo tradicional que eacute associada aos canais verde (G)
e azul (B) enquanto que o canal vermelho (R) fica responsaacutevel pela evoluccedilatildeo temporal do processo
O meacutetodo eacute descrito na seccedilatildeo 33
38
A reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento eacute utilizada com conhecimento do vetor
deslocamento meacutedio ou sua estimativa O meacutetodo escolhido modifica a matriz de pesos do
algoritmo algeacutebrico deslocando suas colunas de acordo com o modelo de movimento estimado
(ARTEMIEV V M NAUMOV A O 2006) (BUTALA 2009) (DESBAT L et al 2006)
Com o resultado das simulaccedilotildees o sistema tomograacutefico pode ser otimizado
(diminuiccedilatildeo do nuacutemero de projeccedilotildees e vistas)
31 A Transformada de Radon Temporal
regiatildeo (espaccedilo de medida) na qual seraacute feita a aquisiccedilatildeo de dados
considere a funccedilatildeo densidade onde
Neste sistema um ponto pode ser
mapeado por como
complemento unitaacuterio perpendicular a
ao longo da reta eacute dada por
(22)
39
depende natildeo apenas de x e y mas de com sendo a
variaacutevel tempo Definimos entatildeo
(23)
onde e o tempo final da mesma medida
Lema 1 ou seja se eacute
estaacutetico ao longo do tempo a transformada dinacircmica reduz-se a convencional
Demostraccedilatildeo
Figura 13 Sistema de Coordenadas
θ
x
y
ξξ
s
x (xy
)
40
Lema 2 e portanto se a
leitura for ldquoraacutepidardquo o caso dinacircmico mais uma vez reduz-se ao caso estaacutetico
Demostraccedilatildeo
Pelo teorema do valor meacutedio integral (TVMI) temos que se f eacute contiacutenua entatildeo
para algum tal que
usando o TVMI
K(γ)
41
32 Lei de Beer-Lambert temporal
Como a natureza da lei exige que os tempos de contagens sejam iguais para que estas
sejam comparadas apenas a variaccedilatildeo da intensidade da radiaccedilatildeo com a distacircncia eacute geralmente
explorada Sabendo que esses intervalos de tempo de contagem satildeo despreziacuteveis em relaccedilatildeo ao
tempo de meia vida da fonte e que a probabilidade de emissatildeo se manteacutem constante ao longo do
mesmo tempo pode-se supor que a intensidade seja diretamente proporcional ao tempo Ou seja
(24)
Neste caso a distribuiccedilatildeo de coeficientes de atenuaccedilotildees varia tambeacutem com o tempo
ou seja torna-se
(25)
ou
(26)
O modelo discreto aplica a lei de Beer-Lambert em sua forma estaacutetica para cada
particcedilatildeo de tempo assumindo que durante o infinitesimal de tempo o coeficiente e a distacircncia
percorrida permanecem constantes
(27)
42
(28)
33 Simulaccedilatildeo de aquisiccedilotildees Tomograacuteficas
O processo de aquisiccedilatildeo tomograacutefica consiste em coletar intensidades iniciais e finais
em determinados caminhos percorridos pelos feixes de radiaccedilatildeo Os dados podem ser tratados com
filtros etc Optou-se em natildeo realizar tratamento para natildeo inserir mais variaacuteveis ao processo
garantindo que os resultados sejam alcanccedilados soacute pelo meacutetodo proposto
Como jaacute foi dito na seccedilatildeo 26 para calcular a intensidade final para um caminho i
faz-se
(29)
A funccedilatildeo eacute representada pelas imagens de testes chamadas neste trabalho de
quadros ou frames configurados pela distribuiccedilatildeo de densidades escolhida Em todos os casos
optou-se por densidades unitaacuterias para qualquer distribuiccedilatildeo ou seja dois valores satildeo possiacuteveis em
uma imagem de teste 0 ou 1 Um pixel com valor 0 corresponde a uma regiatildeo sem atenuaccedilatildeo e os
pixels que compotildeem o objeto simulado tem valor 1
Com calculado da figura e de meacutedia fixa variando a cada projeccedilatildeo
com o desvio padratildeo de Poisson para todas as projeccedilotildees as projeccedilotildees satildeo calculadas com
O conjunto de todas as projeccedilotildees eacute ordenado em uma matriz chamada de sinograma
331 Aquisiccedilatildeo por Tomografia de 1ordf Geraccedilatildeo
Dois tipos de situaccedilotildees podem ocorrer
1) Uma uacutenica projeccedilatildeo 1D eacute realizada e durante todo o tempo de integraccedilatildeo nenhuma
mudanccedila ocorre na distribuiccedilatildeo ao longo do raio podendo mais de uma aquisiccedilatildeo 1D ser aferida
para mesma distribuiccedilatildeo ou frame Neste caso a intensidade final eacute calculada utilizando a lei de
43
Beer-Lambert durante todo o tempo de integraccedilatildeo para cada raio como ilustrado na Figura 15
Para calcular a intensidade final para uma projeccedilatildeo i faz-se
(30)
2) Durante a aquisiccedilatildeo ocorre mudanccedila na distribuiccedilatildeo de densidades ao longo do
feixe Como foi exposto na seccedilatildeo 31 o somatoacuterio de intensidades finais do raio em cada quadro
(frame) retorna a intensidade final total para um certo tempo de aquisiccedilatildeo Figura 16
Figura 15 Projeccedilotildees 1D sem mudanccedila de frame
44
Entatildeo para cada frame eacute feita
e para a discretizaccedilatildeo de um intervalo de tempo
No exemplo ilustrado na Figura 16 a intensidade final depois do tempo de integraccedilatildeo
correspondente ao frame b fica
3) Natildeo ocorre mudanccedila na distribuiccedilatildeo durante toda a coleta de aquisiccedilotildees 1D em uma vista
4) Natildeo ocorre mudanccedila durante a aquisiccedilatildeo de todas as vistas Neste caso a distribuiccedilatildeo pode
ser tratada como estaacutetica
Figura 16 Projeccedilotildees 1D com mudanccedila de frame
1ordf aquisiccedilatildeo - Quadro a 1ordf aquisiccedilatildeo - Quadro b
45
332 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 3ordf geraccedilatildeo
A vantagem do meacutetodo eacute adquirir vaacuterias projeccedilotildees 1D ao mesmo tempo
Possibilitando um maior volume de dados em um tempo menor quando comparado ao de 1ordf
geraccedilatildeo Dois casos satildeo possiacuteveis
1) O tempo de integraccedilatildeo eacute suficiente para realizar uma vista completa ou mais por
quadro ou frame Figura 17
Figura 17 Mais de uma vista por frame
46
2) Mais de um quadro por vista Figura 18
333 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 5ordf geraccedilatildeo
Nesta situaccedilatildeo vaacuterias vistas satildeo adquiridas durante a mudanccedila da distribuiccedilatildeo Figura 19
Figura 19 Mais de um frame durante a aquisiccedilatildeo
Figura 18 Mais de um frame por vista
47
34 Posicionamento angular
O posicionamento angular tradicionalmente eacute feito com um conjunto de acircngulos
igualmente espaccedilados ordenados de forma crescente cobrindo o intervalo de 0ordm a 180ordm ou 360ordm A
ordem em que as projeccedilotildees ou vistas satildeo adquiridas natildeo importa porque o objeto em estudo eacute
estaacutetico
A proposta para tomografia dinacircmica de 1ordf e 3ordf geraccedilotildees eacute que o posicionamento seja
feito em subconjuntos que completem um ciclo Por exemplo o conjunto de vistas posicionadas
consecutivamente em 0ordm 45ordm 90ordm 135ordm 180ordm 225ordm 270ordm 315ordm pode ser reordenada em ciclos como
0ordm 90ordm 180ordm 270ordm Primeiro ciclo
45ordm 135ordm 225ordm 315ordm Segundo ciclo
A vantagem desse arranjo eacute que num determinado momento ao se preferir um
sinograma completo mas esparso em contraposiccedilatildeo a um sinograma incompleto mas denso eacute que as
informaccedilotildees vatildeo ser disponibilizadas na forma de imagem reconstruiacuteda mais cedo durante o
processo facilitando a interpretaccedilatildeo das informaccedilotildees Eacute uma escolha entre anaacutelise global esparsa
versus anaacutelise local densa
A nova ordenaccedilatildeo gera uma imagem reconstruiacuteda mais proacutexima do objeto dinacircmico e
abre a possibilidade de reconstruccedilotildees parciais com os subconjuntos de dados mais consistentes com
a dinacircmica do processo
35 Utilizaccedilatildeo de um canal de cores para visualizar a dinacircmica do processo Reconstruccedilatildeo RGB
Uma caracteriacutestica da imagem reconstruiacuteda tradicionalmente em processos
industriais dinacircmicos eacute a falta de informaccedilatildeo temporal ou seja obtecircm-se informaccedilotildees da meacutedia da
distribuiccedilatildeo mas natildeo se sabe em que tempo ocorreram as mudanccedilas de padratildeo de fluxo A proposta
desenvolvida neste trabalho pondera cada perfil adquirido com um fator dependente do tempo
criando esta distinccedilatildeo
O meacutetodo desenvolvido propotildee uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens
tomograacuteficas de processos dinacircmicos pois utiliza canais de cores para mostrar a evoluccedilatildeo temporal
do processo Nesta fase eacute realizada a reconstruccedilatildeo tradicional e a mesma eacute associada aos canais
verde (G) e azul (B) enquanto que ao canal vermelho (R) eacute associada a evoluccedilatildeo temporal do
processo Uma cor no modelo de cores RGB pode ser descrita pela indicaccedilatildeo da quantidade de
48
vermelho verde e azul que conteacutem Cada uma pode variar entre o miacutenimo (completamente escuro)
e maacuteximo (completamente intenso) Quando todas as cores estatildeo no miacutenimo o resultado eacute preto Se
todas estatildeo no maacuteximo o resultado eacute branco Uma das representaccedilotildees mais usuais para os canais eacute a
utilizaccedilatildeo da escala de 0 agrave 255 (GONZALES 2014)
O meacutetodo consiste em
1) Simular as projeccedilotildees que equivalem na utilizaccedilatildeo real de um experimento agrave
coleta de dados de intensidades finais e iniciais pelo detetor
2) Reconstruir com esses dados a distribuiccedilatildeo de densidades Foi utilizado o MART
com relaxaccedilatildeo 02 e criteacuterio de parada 1
3) Associar esta reconstruccedilatildeo aos canais G e B
4) Binarizar a imagem reconstruiacuteda entre 0 e 150 O limiar (threshold) utilizado foi
empiacuterico e de 50 do maior valor da imagem
5) Penalizar as projeccedilotildees da primeira agrave uacuteltima com um fator empiacuterico crescente com
o tempo Normalizar as projeccedilotildees de cada vista por 105
6) Realizar a retroprojeccedilatildeo nos pixels com suas respectivas projeccedilotildees
7) Associar ao canal R
8) Juntar todos os canais em uma uacutenica imagem A reconstruccedilatildeo tradicional e a
reconstruccedilatildeo RGB satildeo visualizadas em uma uacutenica imagem onde os tons de vermelho correspondem
agrave evoluccedilatildeo temporal da dinacircmica do processo
36 Reconstruccedilatildeo utilizando dados do CFD
Dados da simulaccedilatildeo de fluxo bifaacutesico satildeo gerados em forma de imagens 2D da distribuiccedilatildeo
em secccedilotildees transversais ao longo do tubo Os dados satildeo coletados para uma uacutenica altura ou seja
secccedilatildeo As diversas imagens de uma uacutenica secccedilatildeo representam a evoluccedilatildeo temporal do fluxo
naquela regiatildeo O conjunto de 8 imagens exemplificam o comportamento do fluxo em intervalos
de tempo de 00025s
A altura da secccedilatildeo em m o tipo de injetor a vazatildeo volumeacutetrica em Lmim e o fluxo de
catalisador satildeo dados de entrada na simulaccedilatildeo do CFD mas natildeo fazem parte das simulaccedilotildees de
aquisiccedilotildees tomograacuteficas utilizadas nesse estudo As imagens portam as informaccedilotildees que seratildeo
utilizadas nas simulaccedilotildees de aquisiccedilatildeo das projeccedilotildees
49
37 Avaliaccedilatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo com RMSE
As teacutecnicas de avaliaccedilatildeo de algoritmos de reconstruccedilatildeo mais utilizadas na literatura
satildeo raiz do erro quadraacutetico meacutedio erro meacutedio relativo absoluto e erros baseados em entropia Para
o caso de simulaccedilotildees com figuras de testes bem definidas (phantoms matemaacuteticos) as teacutecnicas
podem ser aplicadas comparando a imagem reconstruiacuteda com a imagem original O mesmo
procedimento repete-se para phantoms reais onde a distribuiccedilatildeo de densidades eacute bem conhecida Os
sinogramas tambeacutem podem ser avaliados
Gordon e Herman (GORDON 1974 HERMAN 1973 HERMAN 1976) usaram a
raiz do erro quadraacutetico meacutedio para avaliar o quanto a figura reconstruiacuteda aproxima-se da original A
definiccedilatildeo do erro eacute
(31)
Onde
eacute o valor original do pixel
o pixel reconstruiacutedo
o nuacutemero total de pixels da imagem ou sinograma
50
38 Algoritmos e Software Desenvolvidos
Diversas rotinas foram implementadas no Matlab Suas funccedilotildees satildeo para calculo de
projeccedilotildees sinogramas resoluccedilatildeo por ART MART calculo da Matriz de pesos resoluccedilatildeo de
sistemas Aleacutem das jaacute disponiacuteveis no programa como Resoluccedilatildeo por FBP filtros de imagem
operaccedilatildeo com matrizes visualizaccedilatildeo de graacuteficos etc As rotinas estatildeo disponiacuteveis no Anexo-I
Devido agrave grande dimensatildeo da matriz de pesos nos algoritmos algeacutebricos ficou
inviaacutevel sua operaccedilatildeo em alguns casos no Matlab O software Tomography Workstation-TW foi
desenvolvido em C com este propoacutesito Apresenta opccedilotildees de reconstruccedilatildeo ART MART SIRT e
SART Figura 39 Tambeacutem tem as funccedilotildees para carregar tomogramas e sinogramas
Figura 20 Software Desenvolvido
51
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO
Os resultados foram divididos nas seguintes seccedilotildees
bull Aumento do nuacutemero de iteraccedilotildees na Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica Dinacircmica
bull Resultados das reconstruccedilotildees MART e FBP
bull Escolha do posicionamento angular (vistas alternadas)
bull Resultados com reconstruccedilatildeo RGB
bull Simulaccedilotildees com MCNP
bull Reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento
bull Simulaccedilotildees tomograacuteficas a partir do CFD
41 Resultados das Reconstruccedilotildees MART e FBP
As imagens de teste (phantoms) foram utilizadas para avaliar os resultados das
reconstruccedilotildees MART e FBP
411 Primitiva Ciacuterculo Transladando 1 vista por frame
A simulaccedilatildeo consiste em oito distribuiccedilotildees representadas por imagens (quadros ou
frames) de 64x64 pixels com um disco de densidade unitaacuteria e raio fixo Natildeo ocorre mudanccedila
durante a simulaccedilatildeo de uma aquisiccedilatildeo ou varredura Esta aplicaccedilatildeo simula as tomografias de 1ordf e 3ordf
geraccedilatildeo
O disco Raio = 2 pixels deslocamento de 7 pixels entre os centros dos discos de
quadros consecutivos A imagem eacute reconstruiacuteda por FBP e MART
Os frames satildeo ilustrados na Figura 21 e a meacutedia dos oito na Figura 22 Cada imagem
eacute ilustrada na escala de 64 x 64 pixels
52
Figura 21 8 frames - ciacuterculo transladando - 1 vista por frame
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 22 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
53
Os oito picos do sinograma Figura 23 ilustram a captura do disco em diferentes
posiccedilotildees
A Figura 24 ilustra o sinograma em forma de imagem onde cada valor de pixel eacute
convertido para uma escala de cor O eixo vertical (linhas do sinograma) representa a passo linear
(posiccedilatildeo das trajetoacuterias dos feixes) e o horizontal o passo angular (Nuacutemero de vistas)
Figura 23 Tomograma e sinograma ndash circulo transladando ndash 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
05
1
15
2
25
3
35
4
45
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 700
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
54
Os resultados das reconstruccedilotildees FBP e MART satildeo ilustrados na Figura 25
A reconstruccedilatildeo por FBP mostra diversos artefatos natildeo dando para identificar o
nuacutecleo nem a tendecircncia de movimento Os artefatos formam oito faixas um para cada vista ou
projeccedilatildeo Estes artefatos em faixa satildeo comuns no FBP para um baixo nuacutemero de vistas
O MART difere da imagem meacutedia mostrando um arqueamento para direita devido ao
movimento simulado e o sentido anti-horaacuterio das aquisiccedilotildees Eacute um artefato de movimento
Figura 25 Reconstruccedilotildees circulo transladando ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Figura 24 Sinogramascirculo transladando ndash 1 vista por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
55
412 Primitiva Ciacuterculo Transladando Oito vistas por frame
O objetivo desta simulaccedilatildeo eacute descobrir como se comportam os algoritmos em uma
tomografia de 5ordf geraccedilatildeo onde todas as aquisiccedilotildees satildeo realizadas ao mesmo tempo Nesta situaccedilatildeo
as oito vistas satildeo realizadas simultaneamente enquanto ocorre a mudanccedila das distribuiccedilotildees (Figura
19) Figuras com 64x64 pixels raio fixo de 2 pixels deslocamento de 5 pixels
Figura 26 Tomograma e Sinograma - disco transladando - 8 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
05
1
15
2
25
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 7001
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
56
Os resultados das reconstruccedilotildees satildeo ilustrados na Figura 28
As reconstruccedilotildees ficam mais proacuteximas da imagem meacutedia porque todas as vistas satildeo
adquiridas ao mesmo tempo durante todo o processo O FBP perde a definiccedilatildeo dos discos e forma
um artefato central vertical O MART reconstroacutei o disco nas oito posiccedilotildees Cada disco eacute
reconstruiacutedo ilustrando os oito instantes de tempo que foram simulados
Figura 27 Sinogramas CiacuterculoTransladando -Oito vistas por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Figura 28 Reconstruccedilotildees Ciacuterculo Transladando -Oito vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
57
413 Primitiva Circulo Crescente Uma vista por frame
A simulaccedilatildeo consiste em oito distribuiccedilotildees em forma de ciacuterculo concecircntricas com um
aumento 2 pixels entre distribuiccedilotildees consecutivas (Figura 29) Oito vistas satildeo adquiridas
simultaneamente para simular a tomografia de 5ordf geraccedilatildeo
Abaixo a imagem meacutedia aritmeacutetica das oito distribuiccedilotildees eacute ilustrada na Figura 29 A
aacuterea central eacute mais escura porque eacute coincidente para os oito ciacuterculos
Figura 30 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Figura 29 8 frames - circulo crescente - 1 vista por frame
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
58
Tanto o sinograma quanto o tomograma ilustram o crescimento do disco Figura
411
Figura 31 Tomograma e sinograma - ciacuterculo crescente - 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 700
10
20
30
40
50
60
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
59
O sinograma em forma de imagem eacute mostrado abaixo (Figura 32)
O aumento vertical das faixas eacute devido ao crescimento do disco
As duas reconstruccedilotildees apresentam artefatos de rotaccedilatildeo que dificultam a identificaccedilatildeo
da tendecircncia de movimento ou da distribuiccedilatildeo espacial dos discos (Figura 33)
Figura 32 Imagem do sinograma -ciacuterculo crescente - 1 vista por frame
Sinograma
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
Figura 33 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
60
414 Primitiva Circulo Crescente Oito vistas por frame
Neste caso ocorre mudanccedila de frame com a vista Para cada distribuiccedilatildeo tem-se uma
vista diferente Figura 34
Figura 34 Tomograma e sinograma - circulo crescente - 8 vista por frame
29 30 31 32 33 340
05
1
15
2
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3701
02
03
04
05
06
07
08
09
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
61
A posiccedilatildeo central que eacute comum a todos os frames eacute reconstruiacuteda nos dois casos O
FBP mostra a presenccedila de artefatos de Moireacute (Figura 36) O MART mostra poucos artefatos e
mostra uma regiatildeo borrada ao redor do ciacuterculo central indicando os discos maiores
Figura 35 Sinogramas circulo crescente ndash 8vistas por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Figura 36 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 8 vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
62
42 Vistas Alternadas
Alguns testes foram realizados para estudar o posicionamento angular quando
ordenado de forma sequencial e alternada O conjunto de vistas posicionadas consecutivamente em
0ordm 45ordm 90ordm 135ordm 180ordm 225ordm 270ordm 315ordm foram reordenadas em dois ciclos
0ordm 90ordm 180ordm 270ordm para o primeiro ciclo
45ordm 135ordm 225ordm 315ordm para o segundo ciclo
As seguintes situaccedilotildees foram exploradas
Disco transladando - 1 Vista por frame
Cada distribuiccedilatildeo (quadro) eacute capturado em um instante de tempo diferente Os
acircngulos utilizados em cada quadro satildeo apresentados na Tabela 1
Tabela 1 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 1 vista por frame
Quadro 1ordm 2ordm 3ordm 4ordm 5ordm 6ordm 7ordm 8ordm
Vista 0ordm 90ordm 180ordm 270ordm 45ordm 135ordm 225ordm 315ordm
Reconstruccedilotildees
Figura 37 Reconstruccedilotildees disco transladando - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
63
Dois ciclos satildeo suficientes para natildeo formaccedilatildeo do artefato de rotaccedilatildeo (arqueamento)
A reconstruccedilatildeo com vistas alternadas mostra-se mais coerente com a imagem meacutedia (Figura 37)
Disco transladando - 2 Vistas por frame
Com duas vistas por quadro totaliza-se quatro quadros A associaccedilatildeo eacute ilustrada na
Tabela 2
Tabela 2 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 2 vistas por frame
Quadro 1ordm 2ordm 3ordm 4ordm
Vista 0ordm e 45ordm 90ordm e 135ordm 180ordm e 225ordm 270ordm e 315ordm
A reconstruccedilatildeo encontra-se mais proacutexima da imagem meacutedia do que na situaccedilatildeo com
vista sucessivas (Figura 38)
Disco Transladando - 4 Vistas por frame
Apenas dois quadros satildeo suficientes Tabela 3
Tabela 3 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 4 vistas por frame
Quadro 1ordm 2ordm
Vista 0ordm 90ordm 180ordm e 270ordm 45ordm 135ordm 225ordm 315ordm
Figura 38 Reconstruccedilotildees disco transladando - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
64
Reconstruccedilotildees
Disco crescente - 1 Vista por frame
A configuraccedilatildeo das vistas eacute a mesma utilizada na Tabela 1 uma vista por frame
A reconstruccedilatildeo com vistas alternadas Figura 40 apresenta uma reduccedilatildeo nos artefatos
de rotaccedilatildeo mostrando uma distribuiccedilatildeo espacial mais proacutexima da imagem meacutedia (Figura 40)
Disco crescente - 2 Vistas por frame
A configuraccedilatildeo das vistas eacute mesma da Tabela-2
Figura 39 Reconstruccedilotildees disco transladando - 4 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Figura 40 Reconstruccedilotildees disco crescente - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
65
Com o aumento do nuacutemero de vistas a distribuiccedilatildeo torna-se mais central
aproximando-se da imagem meacutedia (Figura 41)
43 Resultados com RGB
As situaccedilotildees jaacute utilizadas nas seccedilotildees 41 e 42 satildeo testadas com visualizaccedilatildeo RGB
Para todos os casos a primeira reconstruccedilatildeo (MART) eacute realizada com matriz inicial de valores
unitaacuterios relaxaccedilatildeo 02 e nuacutemero de iteraccedilotildees definido pela convergecircncia de 05 e em seguida a
normalizada por 150
Os sinogramas satildeo ponderados pelo conjunto de fatores que variam de 01 a 09
linearmente espaccedilados Os valores foram escolhidos empiricamente
Em seguida eacute realizada a reconstruccedilatildeo com o sinograma jaacute ponderado e seus valores
normalizados no intervalo de 150 a 255
Figura 41 Reconstruccedilotildees disco crescente - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
66
bull Ciacuterculo transladando ndash 1 Vista por frame
Um disco para cada instante de tempo totalizando oito distribuiccedilotildees Figura 42
Para o ciacuterculo transladando verticalmente com 1 vista por frame temos um
clareamento na parte inferior da distribuiccedilatildeo indicando que esta regiatildeo traz informaccedilotildees mais
recentes (Figura 42)
A reconstruccedilatildeo com MART RGB por usar como base a distribuiccedilatildeo espacial da
reconstruccedilatildeo MART mostra o clareamento vermelho na parte inferior da figura indicando que
ocorreu movimento nesse sentido
bull Ciacuterculo transladando ndash 2 Vistas por frame
Satildeo quatro distribuiccedilotildees uma para cada instante de tempo configurando duas vistas
por frame
Figura 42 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 1 vista por frame
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
67
O clareamento do vermelho na reconstruccedilatildeo RGB indica que a parte inferior da
reconstruccedilatildeo corresponde ao uacuteltimo instante de tempo
bull Ciacuterculo transladando ndash 4 Vistas por frame
Quatro vistas por frame foram utilizadas na configuraccedilatildeo das proacuteximas trecircs situaccedilotildees
(Figura 44 Figura 45 Figura 46) O deslocamento para o disco vertical eacute utilizado com trecircs valores
distintos
A primeira situaccedilatildeo ilustra dois instantes de tempo com dois diacircmetros de distacircncia
entre os centros dos discos Figura 44
Figura 43 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
68
A proacutexima situaccedilatildeo eacute criada com 4 diacircmetros de distacircncia entre centros entre o
primeiro e segundo instantes de tempo Figura 45 Cada disco corresponde a distribuiccedilatildeo exata em
um instante
Figura 44 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 45 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
69
A terceira situaccedilatildeo visa estudar o comportamento da reconstruccedilatildeo proposta quando
haacute coincidecircncia em parte da distribuiccedilatildeo espacial Satildeo quatro instantes de tempo e uma distacircncia
com menos de um diacircmetro de distacircncia entre centros consecutivos Figura 46
bull Ciacuterculo crescente ndash duas vistas por frame
A simulaccedilatildeo totaliza 4 frames e oito vistas consecutivas Duas por frame
Apesar da situaccedilatildeo com ciacuterculo crescente e duas vistas por frame natildeo mostrar boa
reconstruccedilatildeo a imagem reconstruiacuteda difere bastante da original como jaacute mostrado na seccedilatildeo 413
tambeacutem mostra concordacircncia com os outros resultados RGB pois mostra uma regiatildeo central com
Figura 46 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 47 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo crescente - 2 vistas por frame
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
70
vermelho mais claro O clareamento deve-se a regiatildeo que eacute coincidente para todos os ciacuterculos
O problema que surge eacute que para esta situaccedilatildeo o clareamento para o vermelho criado
pela reconstruccedilatildeo RGB se confunde com a superposiccedilatildeo dos ciacuterculos da reconstruccedilatildeo tradicional
criado na regiatildeo central
44 Simulaccedilotildees com MCNPX
Os frames que anteriormente foram obtidos analiticamente com o objetivo de
encontrar as projeccedilotildees agora satildeo representados por cartotildees de entrada para o MCNPX A simulaccedilatildeo
gera como saiacuteda a intensidade relativa Foram criadas as situaccedilotildees jaacute expostas na seccedilatildeo 41 A
configuraccedilatildeo das simulaccedilotildees eacute
bull Objeto Cilindro Raio = 5cm Material Al = 000746 cm-1
bull Fonte 137Cs Atividade 5 mCi
bull Colimaccedilatildeo Pb fonte - detetor 5vmm
bull Nuacutemero de histoacuterias 100000
441 Circulo Transladando ndash 1vista por frame
Oito geometrias foram simuladas com o objetivo de encontras as projeccedilotildees
equivalentes as 8 vistas Cada vista captura o disco em um instante de tempo diferente totalizando
oito frames Na Figura 48 ilustra-se o disco (em amarelo) em diferentes posiccedilotildees com e as
respectivas a posiccedilotildees da fonte colimada indicando mudanccedila angular (em roxo e azul)
71
O meacutetodo retorna o (relaccedilatildeo entre Ifinal e o Iinicial) A matriz de intensidades relativas eacute
denominada tomograma e tem as suas colunas ordenadas por vista(Figura 49)
As projeccedilotildees satildeo encontradas fazendo e o conjunto de vistas
ordenadas em colunas eacute denominado sinograma(Figura 50)
Figura 49 Tomograma via MCNPX - 1 Vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 70
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma Por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 48 Geometria Circulo Transladando - 1 vista por frame
72
A apresentaccedilatildeo do sinograma em forma de imagem eacute ilustrada na Figura 51
Figura 50 Sinograma MCNPX - 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
1
2
3
4
5
6
Posicionamento Linear
Sinograma por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 51 Imagem de sinograma MCNPX -1 vista por frame
Sinograma MCNPX - 1 vista por frame
Vistas
Projeccedilotildees
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
73
As reconstruccedilotildees apresentaram-se similares as feitas analiticamente na seccedilatildeo 41
Formaccedilatildeo de oito artefatos em faixa no FBP e o arqueamento para esquerda indicando o sentido da
rotaccedilatildeo do tomoacutegrafo (Figura 52)
442 Circulo Transladando ndash 2 vistas por frame
Oito geometrias foram simuladas com mudanccedila no posicionamento angular apenas
quando o disco muda de posiccedilatildeo Duas vistas capturam o disco na mesma posiccedilatildeo A geometria
simulada no MCNPX eacute mostrada na Figura 53
Figura 53 Geometria circulo transladando - 2 vistas por frame
Figura 52 Reconstruccedilotildees MART e FBP ndash MCNPX ndash 1 vista por frame
FBP
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60 -06
-04
-02
0
02
04
MART
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
74
A simulaccedilatildeo retorna o seguinte tomograma Figura 54
Calculando as projeccedilotildees temos o sinograma ilustrado na Figura 55
Que visualizado em formato de imagem fica ilustrado na Figura 56
Figura 54 Tomograma MCNPX - 2 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 70
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma Por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 55 Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
1
2
3
4
5
6
Posicionamento Linear
Sinograma por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
75
As reconstruccedilotildees corresponderam as expectativas quando coincidem com as
reconstruccedilotildees simuladas analiticamente(Figura 57)
Figura 57 Reconstruccedilatildeo MART - MCNPX - 2 vistas por frameMART
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
FBP
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60 -04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
06
Figura 56 Imagem de sinograma MCNPX ndash 2vistas por frame
Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame
Vistas
Projeccedilotildees
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
76
45 Resultados com CFD
As condiccedilotildees da simulaccedilatildeo foram vazatildeo volumeacutetrica de ar eacute 500 Lmin e o fluxo de
catalisador eacute de180 kg(m2s-1) O tempo de processo foi de 10 segundos com passo de 00025
segundos
O local de leituras da fraccedilatildeo volumeacutetrica foi se encontra a uma altura de 0650
metros da base do riser feita a cada 00375 segundos durante o tempo de processo de fluidizaccedilatildeo
resultando em 268 imagens Seacuteries de oito a nove imagens da secccedilatildeo transversal satildeo utilizadas
Devido a alta resoluccedilatildeo das imagens vindas do CFD uma reduccedilatildeo foi realizada para
figuras com 64x64 pixels Figura 58
451 CFD-1 vista por frame
A sequecircncia de oito imagens em intervalos de tempos consecutivos eacute ilustrada na
Figura 59 e a imagem meacutedia na Figura 60
Figura 58 Reduccedilatildeo na resoluccedilatildeo 899x999 para 64x64
20 40 60
10
20
30
40
50
60
200 400 600 800
100
200
300
400
500
600
700
800
77
Figura 60 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
Figura 59 CFD - Frames 1 ao 8
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
78
Reconstruccedilotildees
As reconstruccedilotildees para uma vista por frame natildeo correspondem agrave realidade prevista
Figura 61 Sinogramas CFD ndash 1 vista por frame
Figura 62 Reconstruccedilotildees CFD ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo RGB
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Sinograma com Pesos
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo Mart Red
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
79
pelo CFD O pequeno nuacutemero de vistas aliado a complexidade da figura dificultam a reconstruccedilatildeo
452 CFD-8 vistas por frame
A sequecircncia de oito imagens em intervalos de tempo consecutivos eacute ilustrada na
Figura 63
A meacutedia das oito imagens Figura 63
O sinograma simulado e o mesmo ponderado satildeo mostrados na Figura 65
Figura 64 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
Figura 63 Frames 1 ao 8 CFD ndash 8 vistas por frame
80
As reconstruccedilotildees concordam com as distribuiccedilotildees quando apresentam maior
concentraccedilatildeo de soacutelido do lado direito da imagem A maior concentraccedilatildeo de pigmentaccedilatildeo vermelha
Figura 65 Sinogramas CFD - 8 vistas por frame
Figura 66 Reconstruccedilotildees CFD - 8 vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Sinograma com Pesos
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart Red
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
81
do lado direito da imagem reconstruiacuteda em RGB mostra que a distribuiccedilatildeo nesta regiatildeo eacute mais
recente O resultado tem concordacircncia com a mudanccedila de lado da distribuiccedilatildeo ao longo dos oito
frames
46 Reconstruccedilotildees com correccedilatildeo de movimento
Como a reconstruccedilatildeo com vistas alternadas eacute superior a tradicional com vistas
sucessivas utilizou-se para todas as simulaccedilotildees com correccedilatildeo de movimento o posicionamento
angular sucessivo O objetivo da escolha eacute verificar os resultados gerados soacute por correccedilatildeo da matriz
de pesos As simulaccedilotildees foram ordenadas de acordo com as situaccedilotildees jaacute exploradas e para um
instante de tempo especiacutefico
Abaixo (Figura 67 Figura 68) tem-se a configuraccedilatildeo de 4 vistas por frame
resultando em dois quadros cada um com o disco em uma posiccedilatildeo diferente A imagem tem 32x32
pixels e o deslocamento foi vertical de 5 pixels Como o nuacutemero de colunas da matriz de pesos eacute
definido pela resoluccedilatildeo da imagem o deslocamento na matriz de pesos corresponde ao vertical x
nuacutemero de elementos em uma linhaentatildeo 5 x 32 = 60 colunas para esquerda quando se quer
recuperar o primeiro instante e 60 colunas para direita no caso do segundo
Para o primeiro instante a correccedilatildeo mostra-se eficaz reconstruindo por completo a
distribuiccedilatildeo no primeiro instante de tempo Figura 67
A distribuiccedilatildeo no segundo instante eacute reconstruiacuteda com um pouco de ruiacutedo Figura 68
Figura 67 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempoImagem Meacutedia
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30Imagem Meacutedia
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
82
A situaccedilatildeo com translado horizontal eacute ilustrada na Figura 69 e Figura 70 A
reconstruccedilatildeo no primeiro instante de tempo mostra-se mais precisa Figura 69 Quatro vistas foram
utilizados por quadro com um deslocamento de 5 pixels entre eles O deslocamento de colunas eacute
realizado com o mesmo nuacutemero
Para o segundo instante Figura 70
A simulaccedilatildeo com duas vistas por frame resulta em quatro distribuiccedilotildees Figura 71
Figura 72 Figura 73 A imagem tem 64x64 pixels e o deslocamento foi vertical de 5 pixels
resultando em um deslocamento de 5 x 64 = 320 para as colunas
Figura 69 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Figura 70 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o segundo instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30
5
10
15
20
25
30
83
Para o primeiro instante de tempo temos
Para o segundo instante
Figura 71 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 72 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
20 40 60
10
20
30
40
50
60
84
e para o terceiro instante
O ruiacutedo aumenta
Ocorre o aparecimento de ruiacutedo nas reconstruccedilotildees com o aumento do tempo Este
efeito eacute devido a extrapolaccedilatildeo do deslocamento nos elementos proacuteximo as bordas da matriz de
pesos
Figura 73 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
85
5 CONCLUSOtildeES
As simulaccedilotildees analiacuteticas de primitivas matemaacuteticas foram validadas com ecircxito
quando comparadas com as mesmas realizadas por MCNPX As aquisiccedilotildees tomograacuteficas foram
simuladas mostrando a superioridade da tomografia de 5ordf geraccedilatildeo (8 vistas por frame) quando
comparada agrave de 3ordf geraccedilatildeo (uma duas e quatro vistas por frame) seccedilotildees 41 e 42 As reconstruccedilotildees
ficam mais proacuteximas da imagem meacutedia porque todas as vistas satildeo adquiridas ao mesmo tempo
durante todo o processo O FBP perde a definiccedilatildeo dos discos e forma um artefato central vertical O
MART reconstroacutei perfeitamente o disco nas oito posiccedilotildees mostrando a sua preferecircncia para um
nuacutemero limitado de dados (8 vistas) O FBP eacute bastante utilizado em tomografias meacutedicas (360
vistas ou mais) devido a baixa complexidade computacional quando comparado aos meacutetodos
algeacutebricos
Tanto o disco transladando quanto o crescente apresentam melhor performance com
o aumento do nuacutemero de vistas por distribuiccedilatildeo como pode ser visto na seccedilatildeo 41 A situaccedilatildeo em
que foi simulada uma vista por frame apresenta um artefato de movimento indicando o sentido de
rotaccedilatildeo do arranjo simulado
Os oito perfis encontrados nas simulaccedilotildees com ciacuterculo crescente mostram o aumento
do disco seccedilatildeo 413 e 414 As simulaccedilotildees para este caso reconstroem uma distribuiccedilatildeo central
distorcida pela incompatibilidade das projeccedilotildees (adquiridas em diferentes instantes de tempo) As
reconstruccedilotildees com FBP mostram-se inferiores ao MART formando artefatos de Moireacute (artefatos
estrela) em todas as reconstruccedilotildees Confirmando que estes artefatos satildeo comuns quando se utiliza o
FBP com um nuacutemero limitado de dados
Os testes com vistas alternadas mostram que essa configuraccedilatildeo eacute superior ao arranjo
sucessivo pois cobre uma aacuterea maior em um tempo menor capturando mais informaccedilotildees relativas
ao movimento (seccedilatildeo 42)
A reconstruccedilatildeo RGB inova porque mostra a evoluccedilatildeo temporal do processo com
aacutereas mais claras (vermelho claro) indicando proximidade temporal enquanto que aacutereas mais
escuras indicam tempo passado O meacutetodo mostra o clareamento no vermelho em regiotildees da figura
indicando que ocorreu movimento neste sentido Os testes com ciacuterculo transladando mostram
coerecircncia quando indicam com o vermelho mais claro as regiotildees correspondentes aos uacuteltimos
quadros O mesmo resultado eacute obtido com os dados do CFD para simulaccedilatildeo da TC de 5ordf geraccedilatildeo O
86
lado direito da imagem tem valores maiores para o vermelho coincidindo com a sequecircncia de
distribuiccedilotildees utilizada onde ocorre mudanccedila na concentraccedilatildeo do lado esquerdo para o direito Para o
ciacuterculo crescente a eficaacutecia do meacutetodo pode ser questionada pois ocorre superposiccedilatildeo das regiotildees
centrais de cada disco A aplicaccedilatildeo a dados do CFD com apenas uma vista por frame eacute ineficiente
pois a reconstruccedilatildeo RGB natildeo consegue mostrar tendecircncia de movimento A reconstruccedilatildeo tradicional
MART tambeacutem natildeo coincide com a meacutedia dos frames ou seja como o meacutetodo proposto utiliza esta
distribuiccedilatildeo espacial natildeo pode-se afirmar que a ineficiecircncia do processo seja devido unicamente a
reconstruccedilatildeo RGB
O MCNPX foi utilizado com ecircxito nas duas simulaccedilotildees propostas Sinogramas e
tomogramas satildeo coincidentes com exceccedilatildeo da escala com os mesmos encontrados por teacutecnicas
analiacuteticas
A reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento foi utilizada com ecircxito para
determinaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo no instante inicial de tempo Ocorre aparecimento de ruiacutedo com o
aumento do tempo Este efeito eacute devido a extrapolaccedilatildeo do deslocamento nos elementos proacuteximo as
bordas da matriz de pesos Salienta-se que o vetor deslocamento deve ser conhecido ou calculado
previamente Este trabalho utiliza valores jaacute determinados anteriormente nas simulaccedilotildees (distacircncia
entre discos)
O trabalho contribui para tomografia industrial porque utiliza casos comuns agrave aacuterea
como o disco transladando que eacute simulador de bolhas em colunas industriais e imagens do CFD
como phantoms para predileccedilatildeo dos perfis experimentais Contribui tambeacutem para a otimizaccedilatildeo de
paracircmetros de operaccedilatildeo tomograacutefica quando simula as aquisiccedilotildees prevendo resultados para o
experimento Indica o MART como superior ao FBP neste conjunto de dados As simulaccedilotildees
analiacuteticas de sinogramas foram validadas com ecircxito pelo MCNPX ou seja ambas podem ser
utilizadas para simulaccedilatildeo de fenocircmenos industriais Sugere tambeacutem que a TC com vistas alternadas
corresponde mais a realidade dinacircmica de uma distribuiccedilatildeo Propotildee um novo meacutetodo a
reconstruccedilatildeo RGB obtendo bons resultados apenas nas situaccedilotildees em que natildeo ocorre coincidecircncia
entre as distribuiccedilotildees de diferentes instantes de tempo
Um estudo mais detalhado dos valores empiacutericos deve ser feito para um
entendimento maior da penalizaccedilatildeo das projeccedilotildees e das situaccedilotildees em que ocorra superposiccedilatildeo de
distribuiccedilotildees
A baixa performance do FBP esperada para um baixo nuacutemero de aquisiccedilotildees indica
que testes com um nuacutemero maior de vistas devem ser realizados para o estudo dos meacutetodos
87
propostos nestas situaccedilotildees
Outro trabalho futuro eacute utilizar soluccedilotildees jaacute propostas na literatura meacutedica para
diminuiccedilatildeo de ruiacutedos e artefatos na reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento identificando o vetor
deslocamento durante o processo
Espera-se dar continuidade ao trabalho validando tambeacutem experimentalmente as
simulaccedilotildees com translado do disco (Laboratoacuterio de Radioquiacutemica ndash DEN ndash UFPE)
88
6 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
ALEXANDER B DIMITRY V VITALY V KISELEV AN Algebraic reconstruction and
post-processing in incomplete data computed tomography From X-rays to Laser Beams Jun
2007
ANDERSEN AH Algebraic reconstruction in CT from limited views IEEE transactions on
medical imaging v 8(1) p50ndash55 Jan1989
ANGELI S EFSTAHIOS S An Accelerated Algebraic Reconstruction Technique based on
the Newton-Raphson Scheme Ieee Nuclear Science Symposium Conference Record 23382ndash
3387 2009
AZZI M TULIER P BERNARD J R GARNERO L Mapping Solid Concentration in a
Circulating Fluid Bed Using Gammametry Powder Technology p27-36 1991
BENDER R GORDON R HERMAN GT Algebraic reconstruction techniques(art) for
three dimensional electron microscopy and x-ray photography J Theor Biol v29 p759ndash768
1971
BROOKS RA CHIRO G Principles of Computer Assisted Tomography ( CAT ) in
Radiographic and Radioisotopic Imaging Phis Med Biol v21 N 5 p689-732 1976
BUTALA M D KAMALABADI F FRAZIN R A Chen YldquoDynamic tomographic imaging
of the solar coronardquo IEEE J Sel Topics Signal Process vol 2 pp 755ndash7662008
CENSOR Y Finite Series-Expansion Reconstruction Methods proceedings of the ieee p71
1983
CEZARO A CEZARO FT Problemas Inversos e a matemaacutetica da tomografia
computadorizada V Bienal da SBM - Sociedade Brasileira de Matemaacutetica 2010
CRUVINEL P E Mini tomoacutegrafo de raio-x e raio gama computadorizado para aplicaccedilotildees
multidisciplinares PhD thesis Unicamp 1987
DANTAS CC MELOSM OLIVEIRA E F MAGALHAtildeES F P SANTOS M G
Measurement of density distribution of a cracking catalyst in experimental riser with a
sampling procedure for gamma ray tomography Nuclear Instruments amp Methods in Physics
Research Section B Beam Interactions with Materials and Atoms (Print) v 266 p 841-848
2008
89
DE PIERRO A R Problemas Matemaacuteticos em Tomografia por Emissatildeo Notas UNICAMP
2004
DESBAT L RIT S CLACKDOYLE R MENNESSIER C PROMAYON E
NTALAMPEKI S ldquoAlgebraic and analytic reconstruction methods for dynamic
tomography rdquo Proceedings of the 29th Annual International Conference of the IEEE EMBS Citeacute
Internationale Lyon France August 23-26 2007 ThP2B11 2007 pp 726-730
DESBAT L ROUX S GRANGEAT P ldquoCompensation of some time dependent
deformations in tomography 2 Deformations preserving the projection geometryrdquo IEEE
transactions on medical imaging vol 26 2007 pp 1-20
EARLY D S LONG DG Image Reconstruction and Enhanced Resolution Imaging from
Irregular Samples IEEE trasactions on geosciences and remote sensing 3v9(2)291ndash302 2001
FARIN G Curves and Surfaces for CAGD a Practical Guide 4th edition Academic Press-
1996
FORSYTHE GE Solving linear algebraic equations can be interesting Bulletin of the
American Mathematical Society v59(4) P299ndash330 Jul 1953
GORDON R A tutorial on art (algebraic reconstruction techniques) IEEE Trans Nucl Sci v
NS-21 p78ndash93 1974
GORDON R GUAN H A projection acess order for speedy convergence of art a multilevel
scheme for computed tomography Physics in medicine and biology p39 1994
GUAN H HERMAN G T ZHU Y Combining various projection access schemes with the
algebraic reconstruction technique for low-contrast detection in computed tomography
Physics in medicine and biology 43(8)2413ndash21 August 1998
HANSON K M WECKSONG GVW Local basis approach to computed tomography
ApplOpt v24 p4028-2039 1985
HERFFERNAN P B Robb A R Difference image reconstruction from a few projections for
nondestructive materials inspection Applied optics
HERMAN G T Iterative reconstruction algorithms Comput Biol Med v6 p273 ndash 294 1976
HERMAN G T GORDON R Reconstruction of pictures from their projections Commun
Assoc Comput Mach v14 p759ndash768 1971
HERMAN GT MEYER L B Algebraic Reconstruction Techniques Can Be Made
90
Computationally Efficient IEEE transactions on medical imaging v 12(3) 1993
IAEA-TECDOC-1589 INDUSTRIAL PROCESS GAMMA TOMOGRAPHY Final report of a
coordinated research project 2003ndash2007 May 2008
KACZMARZ S Angenaherte auflosung von systemen linearer gleichungen Bull Acad Pol
Sci Lett A vol 6-8A pp 355-357 1937
KAKA C SLANEY M Principles of Computerized tomographic imaging IEEE PRESS
1999
KALAGA D V KULKARNI A V ACHARYA R KUMAR U SINGH G JOSHI JB
Some industrial applications of gamma-ray tomography Journal of the Taiwan Institute of
Chemical Engineers 40 (2009) 602ndash612 wwwelseviercomlocatejtice
KNOLL G F Nuclear Counters Radiation-Measurement Book 2006
LUTZ PH Relaxation Methods for Image Reconstruction Communications of the ACM
v21(2) p282ndash288 1978
MARTINEZ AG Detecccedilatildeo de descontinuidades e reconstruccedilatildeo de funccedilotildees a partir de dados
espectrais filtros splines e metodos iterativos tese - UNICAMP 2006
MELO SM DANTAS CC OLIVEIRA EAL MAGALHAtildeES FP OLIVEIRA EF A FCC
catalyst gamma ray tomographic reconstruction by using non negative non parametric bezier
triangles Proceedings In 4 th International Symposion on Process Tomography in Poland p 165
Washaw 2006
MESQUITA J MATELA N OLIVEIRA N MARTINS M V Choosing the ART relaxation
parameter for Clear-PEM 2D image reconstruction Computer methods and programs in
biomedicine May 2010
MYERS G R KINGSTON A M VARSLOT T K TURNER M L SHEPPARD A
P ldquoDynamic tomography with a priori informationrdquo Applied Optics vol 50 2011 pp 3685-
3690
OLIVEIRA EF DANTAS CC MELO S B VASCONCELOS D A A ldquoCOMPARISON
AMONG TOMOGRAPHIC RECONSTRUCTION ALGORITHMSrdquo internetional nuclear
conference-INAC2011
OLIVEIRA EF DANTAS C MELO S B VASCONCELOS D A A ldquoTOMOGRAPHIC
RECONSTRUCTION WITH B-SPLINES SURFACESrdquo internetional nuclear conference-
INAC2011
91
RAMACHANDRAM G N LAKSHMINARAYANAN A V Three-dimensional
reconstruction from radiographs and electron micrographs II application of convolutions
instead of Fourier transforms Proc Natl Acad Sci US v68 p2236-2240 1971
KACZMARZ S Angenaherte auflosung von systemen linearer gleichungen Acad Pol Sci
Lett v 6-8A p355ndash357 1937
SALINA F V MASCARENHAS NDA CRUVINEL PE A Comparison of POCS
Algorithms for Tomographic Reconstruction Under Noise and Limited View Computer
Graphics and Image Processing 2002
SALVADOR P A V Anaacutelise de sistemas multifaacutesicos utilizando tomografia computadorizada
gama monoenergeacutetica e polienergeacutetica Tese IPEN-USP 2008
SERGIO N QUORIN R Diagnoacutestico de defeitos em madeira por tomografia de raios x PhD
thesis UFPR 2004
SUBBARAO P M V MUNSHI P MURALIDHAR K Performance of iterative tomographic
algorithms applied to non-destructive evaluation with limited data NDT amp Internacional
v30(6) p359ndash370 1997
TANABE K Projection method for solving a singular system Numer Math 17203ndash214 1971
TIRUNELVELI G HERMAN G T Comparison of Square-Pixel and Hexagonal-Pixel
Resolution in Image Processing Test pages 867ndash872 2002
VERHOEVEN D Limited-data computed tomography algorithms for the physical sciences
Applied Optics jul1993
WENKAI L Adaptive algebraic reconstruction technique Image (Rochester NY) v31(12)
p3222ndash3230 2004
92
ANEXO ndash I
ROTINAS DESENVOLVIDAS NO MATLAB
Rotina responsaacutevel por criar os phantoms e calcular o sinograma Tambeacutem reconstroacutei
clear
d=64Nproj=8Ntraj=dNpixel=dr=02Nit=30display(MART)chute=1I0=10^8x=1fig3=(zeros(d))teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)inc=3cont=1z=zeros(NprojNtraj1)zt=zzt1=zzt2=zztgb=zcont=1c=0teta=[teta teta]clear fig
vpf=1raio=3inc=7c=5vpf=2raio=4inc=8c=5vpf=4raio=5inc=17c=10 vpf=8raio=1inc=4vpf=4inc=1cc=0inc2=25c=10vpf=4raio=3inc=15c=0 fator=(1Nproj)(1Nproj)1fator=flipud(fator)fator=linspace(00509Nproj)a=0for n=1Nproj a=a+1 circ(n)=Circulo(d(d2)(d2)(1+c))if a==vpfa=0c=c+incend crescente circ(n)=Circulo(d5+c(d2)raio)if a==vpfa=0c=c+incend translado vertical fig=circ(n) [z]=sinograma(fig teta(n)) zr=radon(fig teta(n)Ntraj) fig3=(fig3+fig) Itred(cont)=(I0exp(-zx))n((Nproj+inc+1)-n)(nNproj)olhar sempre It(cont)=I0exp(-zx) Ir(cont)=I0exp(-zr) cont=cont+1endfig3=fig3(max(max(fig3))Nproj)tira a sobreposiccedilatildeosinot=log((I0)It)importante retirar fator caso seja utilizado tomo de 3ordfsinot=(ZeraNeg(sinot))rect=Mart2(MatparaCol(real(sinot))teta102)[c d]=size(rect)rect=ColparaMat(rect(d)NpixelNpixel)figure subplot(131)imagesc(fig3)title(Imagem Meacutedia) subplot(132)imagesc(rect)title(MART Vistas Sucessivas) subplot(133)imagesc(rect)title(MART Vistas Alternadas)
93
Rotina para Testes com reconstruccedilotildees
clear load meialuanotubo2load dadosdinamicoload dadosdinamico2dados2=dados3[Ntraj Nproj]=size(dados2) for a=1Nproj for b=1Ntraj if dados2(ab)gt1 || dados2(ab)lt10^-2 dados2(ab)=1 end endend sinograma=-(102)log(dados2)sinograma=ZeraNeg(sinograma)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj) display(FBP)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)z=sinogramarecfbp=iradon(ztetaNtraj)x=164figsino(xdados2) figsino(xsinograma) figureimagesc(sinograma)title(Sinograma MCNPX - 1 vista por frame) xlabel(Vistas)ylabel(Projeccedilotildees)
_________________________MART___________________________________________ x=[02] Nit=20r=1recmart=zeros(Npixel^2Nitlength(x)) display(MART com pesos)display(x) z=MatparaCol(sinograma) [ix iy]=GridAlg(NprojNtrajNtrajpi) [A]=pesosart(ixiyNprojNtrajNtraj) rec=Art(AzNprojNtraj5002) figure imagesc(rec)title(ART) end recfinal=ColparaMat(recmart(Nit)NpixelNpixel) figuresurf(recfinal)figureimagesc(recfinal)colorbartitle(Mart) durou=etime(clockliga)60save phantomacrilicoMart x durou recmart A _________________________ART____________________________________________ x=[02] Nit=10r=1recart=zeros(Npixel) display(ART com pesos)display(x) z=MatparaCol(sinograma) rec=Mart(AzNprojNtrajNitx) recart=ColparaMat(rec(Nit)NpixelNpixel)r=r+1 figureimagesc(recart)colorbartitle(art) __________________________________________________________________________
94
rotina para caacutelculo do sinograma
function [matriz]=sinograma(fig teta)
[a b]=size(fig)Ntraj=aNproj=size(teta2)sino=zeros(NtrajNproj)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)for i=1Nproj for j=1b sino(ji)=Project(figteta(i)j) endendmatriz=sino
function [bijtemp erromat]=Mart2(ztetachuterelax)
[a b]=size(z)Nproj=size(teta2)Ntraj=aNprojNpixel=Ntrajbijtemp=ones(Npixel^250)bijtemp(1)=chute pij=ones(size(sino))Ite=50erro=1cont=1erromat=zeros(149)for Nitera=1Ite if Nitera==25 Nitera end for i=1Nproj W=Wproj(teta(i)Npixel) pij=Wbijtemp(Nitera) for j=1Ntraj cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pij(j))pij(j) if (pij(j)==0)cor=0000000001end ind=find(W(j)) cor=correlax bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corbijtemp(indNitera)W(jind)) end end if errolt=005break end if Niteragt=2 erro=100sqrt(sum(sum(((bijtemp(Nitera)-bijtemp(Nitera-1))^2))))sum(sum(bijtemp(Nitera))) erromat(cont)=errocont=cont+1 end if (Nitera ~= Ite)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)endendbijtemp=bijtemp(1Nitera)erro
function [bijtemp erromat]=Mart2(ztetachuterelax)
[a b]=size(z)Nproj=size(teta2)Ntraj=aNprojNpixel=Ntrajbijtemp=ones(Npixel^250)bijtemp(1)=chute
95
pij=ones(size(sino))Ite=50erro=1cont=1erromat=zeros(149)for Nitera=1Ite if Nitera==25 Nitera end for i=1Nproj W=Wproj(teta(i)Npixel) pij=Wbijtemp(Nitera) for j=1Ntraj cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pij(j))pij(j) if (pij(j)==0)cor=0000000001end ind=find(W(j)) cor=correlax(i) bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corbijtemp(indNitera)W(jind)) end end if errolt=005break end if Niteragt=2 erro=100sqrt(sum(sum(((bijtemp(Nitera)-bijtemp(Nitera-1))^2))))sum(sum(bijtemp(Nitera))) erromat(cont)=errocont=cont+1 end if (Nitera ~= Ite)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)endendbijtemp=bijtemp(1Nitera)erro
function [figtemp]=BP(NprojNtrajNpixelzinterXinterYfigura)
Back projection
c=max(size(figura))
Ntraj=c
Npixel=caumenta a dimenssatildeo da figura para eliminar artefatos de rotaccedilatildeo
figtemp=zeros(c)
inter=ones(22(Npixel+1))696969
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
inter(1)=interX(((i-1)Npixel)+j)
inter(2)=interY(((i-1)Npixel)+j)
for a=12(Npixel+1)
if (inter(1a)gt=0 ampamp inter(1a)ltNpixel) ampamp (inter(2a)gt=0 ampamp
inter(2a)ltNpixel) ampamp (inter(1a+1)gt=0 ampamp inter(1a+1)lt=Npixel) ampamp
(inter(2a+1)gt=0 ampamp inter(2a+1)lt=Npixel)
dist=sqrt(((inter(1a+1)-inter(1a))^2)+((inter(2a+1)-
inter(2a))^2))
x=fix(inter(1a))y=fix(inter(2a))
if (figura(x+1y+1))gt 10^-1
figtemp(x+1y+1)=figtemp(x+1y+1)+z(Ntraj(i-1)+j)dist
end
end
end
end
end
function [bijtemp]=Art(AzNprojNtrajNitrelax)
ART aditivo com opccedilatildeo de relaxaccedilatildeo
96
[c d]=size(A)a=sqrt(d)b=a
bijtemp=zeros(b^2Nit)10
pij=zeros(b1)pijtemp=zeros(Ntraj1)convergencia=zeros(1Nit)
Projection=Nproj
for Nitera=1Nit
interaction=Nitera
for i=1Nproj
pijtemp=A((Ntraj(i-1)+1)(Ntraj(i-1)+Ntraj))bijtemp(Nitera)
for j=1Ntraj
soma=sum(A(Ntraj(i-1)+j)^2)
cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pijtemp(j))
ind=find(A(Ntraj(i-1)+j))
cor=correlaxsoma
bijtemp(indNitera)=(bijtemp(indNitera) + corA(Ntraj(i-
1)+jind))
for ii=ind
if bijtemp(iiNitera)lt0bijtemp(iiNitera)=0end
end
end
end
if (Nitera ~= Nit)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)end
if (Nitera ~= 1)convergencia(Nit)=sqrt(sum(sum(bijtemp(Nitera-1)^2
-bijtemp(Nitera)^2))sum(sum(bijtemp(Nitera)^2)))end
end
function [bijtemp]=Artfast(AzNprojNtrajNitrelax)
ART aditivo com opccedilatildeo de relaxaccedilatildeo
[c d]=size(A)a=sqrt(d)b=a
bijtemp=ones(b^2Nit)
pij=zeros(b1)pijtemp=zeros(Ntraj1)
Projection=Nproj
for Nitera=1Nit
Nitera
for i=1Nproj
pijtemp=A((Ntraj(i-1)+1)(Ntraj(i-1)+Ntraj))bijtemp(Nitera)
for j=1Ntraj
soma=sum(A(Ntraj(i-1)+j)^2)
cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pijtemp(j))
ind=find(A(Ntraj(i-1)+j))
cor=correlaxsoma
bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corA(Ntraj(i-
1)+jind))
for ii=ind
if bijtemp(iiNitera)lt0bijtemp(iiNitera)=0end
end
end
end
if (Nitera ~= Nit)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)end
end
function [interX interY]=GridAlg(NprojNtrajNpixelRangeAngular)
RangeAngular=pi
display(vc olhou pi)
rxvetor=zeros(Nproj1)
ryvetor=zeros(Nproj1)
rxpontos=zeros(NtrajNproj)
97
rypontos=zeros(NtrajNproj)
rxpontos(1)=linspace(0+(NpixelNtraj)2Npixel-(NpixelNtraj)2Ntraj)
rypontos=flipud(rypontos)
rypontos(1)=0
rxvetor(1)=0
ryvetor(1)=1
teta=RangeAngularNproj
rot=[cos(teta) -sin(teta)sin(teta) cos(teta)]
for b=2Nproj
vet=rot[rxvetor(b-1) ryvetor(b-1)]
rxvetor(b)=vet(1)
ryvetor(b)=vet(2)
end
for b=2Nproj
for a=1Ntraj
pontos=rot[rxpontos(ab-1)-(Npixel2)rypontos(ab-1)-(Npixel2)]
rxpontos(ab)=pontos(1)+(Npixel2)
rypontos(ab)=pontos(2)+(Npixel2)
end
end
clear FIG
interX=zeros(NtrajNproj2(Npixel+1))interY=interX
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
ind=1
inter=ones(22(Npixel+1))696969
if rxvetor(i)lt-10^-5 || rxvetor(i)gt10^-5
for x=0Npixel
inter(2x+1)=(ryvetor(i)rxvetor(i))(x-rxpontos(ji))
+rypontos(ji)
inter(1x+1)=x
ind=ind+1
end
end
if rxvetor(i)gt=-10^-5 ampamp rxvetor(i)lt=10^-5x=-1end
if ryvetor(i)lt-10^-5 || ryvetor(i)gt10^-5
for y=0Npixel
inter(1x+2+y)=(rxvetor(i)ryvetor(i))(y-rypontos(ji))
+rxpontos(ji)
inter(2x+2+y)=y
ind=ind+1
end
end
[inter(1) B]=sort(inter(1))
inter(2)=inter(2B)
interX(((i-1)Ntraj)+j)=inter(1)
interY(((i-1)Ntraj)+j)=inter(2)
end
end
function [A]=pesosart(interXinterYNprojNpixelNtraj)
(NprojNtraj)x(Npixel^2)lt=70000000 out of memory with space free 560000000
98
[a b]=size(interX)
Atemp=sparse(zeros(NtrajNpixel^2))
inter=ones(22(Npixel+1))696969
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
inter(1)=interX(((i-1)Ntraj)+j)
inter(2)=interY(((i-1)Ntraj)+j)
for a=12(Npixel+1)
if (inter(1a)gt=0 ampamp inter(1a)ltNpixel) ampamp (inter(2a)gt=0 ampamp
inter(2a)ltNpixel) ampamp (inter(1a+1)gt=0 ampamp inter(1a+1)lt=Npixel) ampamp
(inter(2a+1)gt=0 ampamp inter(2a+1)lt=Npixel)
dist=sqrt(((inter(1a+1)-inter(1a))^2)+((inter(2a+1)-
inter(2a))^2))
if inter(2a+1)ltinter(2a)
y=fix(inter(2a+1))
else
y=fix(inter(2a))
end
x=fix(inter(1a))
Atemp(jNpixel(Npixel-y-1)+x+1)=dist
end
end
end
if i==1
A=Atemp
else
A=[AAtemp]
end
Atemp=sparse(zeros(NtrajNpixel^2))
end
Reconstruccedilatildeo Tomograacutefica Dinacircmica
Industrial
Eric Ferreira de Oliveira
Aprovada em 29022016
Orientador Prof Dr Carlos Costa DantasCo-orientador Prof Dr Silvio de Barros Melo
COMISSAtildeO EXAMINADORA
__________________________________Dr Carlos Costa Dantas ndash DEN-UFPE
_________________________________________Dr Aluiacutezio Fausto Ribeiro Araujo ndash CIN-UFPE
_________________________Dr Joseacute Wilson Vieira ndash UPE
__________________________________Dr Emerson Alexandre de Oliveira Lima
_______________________________________Dr Carlos Alberto Brayner de Oliveira Lira
Visto e permitida a impressatildeo
_________________________Coordenador do PROTENDENUFPE
Aos meus paisJoatildeo Batista Verocircnica Ferreira Juraci Oliveira Joseacute Machado e Isaias Oliveira (in memorian)
Minha homenagem
Dedico
AGRADECIMENTOS
Agradeccedilo aos professores orientadores Dr Carlos Costa Dantas e Dr Siacutelvio Barros
Melo que me orientam desde dos tempos de iniciaccedilatildeo cientiacutefica contribuindo significativamente
para minha formaccedilatildeo
A Drordf Margarida Hamada e o Dr Carlos Mesquita pela orientaccedilatildeo e ajuda no iniacutecio
deste trabalho
A Comissatildeo Nacional de Pesquisa Nuclear- CNEN pelo financiamento da pesquisa
E a todos que de alguma forma contribuiacuteram para realizaccedilatildeo deste trabalho
RESUMO
O estado da arte dos meacutetodos aplicados para processos industriais eacute atualmentebaseado em princiacutepios de reconstruccedilotildees tomograacuteficas claacutessicas desenvolvidos para padrotildeestomograacuteficos de distribuiccedilotildees estaacuteticas ou seja satildeo limitados a processos de pouca variabilidadeRuiacutedos e artefatos de movimento satildeo os principais problemas causados pela incompatibilidade nosdados gerada pelo movimento Aleacutem disso em processos tomograacuteficos industriais eacute comum umnuacutemero limitado de dados podendo produzir ruiacutedo artefatos e natildeo concordacircncia com a distribuiccedilatildeoem estudo Um dos objetivos do presente trabalho eacute discutir as dificuldades que surgem daimplementaccedilatildeo de algoritmos de reconstruccedilatildeo em tomografia dinacircmica que foram originalmentedesenvolvidos para distribuiccedilotildees estaacuteticas Outro objetivo eacute propor soluccedilotildees que visam reduzir aperda de informaccedilatildeo temporal devido a utilizaccedilatildeo de teacutecnicas estaacuteticas em processos dinacircmicos Noque diz respeito agrave reconstruccedilatildeo de imagem dinacircmica foi realizada uma comparaccedilatildeo entre diferentesmeacutetodos de reconstruccedilatildeo estaacuteticos como MART e FBP quando usado para cenaacuterios dinacircmicosEsta comparaccedilatildeo foi baseada em simulaccedilotildees por MCNPX e tambeacutem analiticamente de um cilindrode alumiacutenio que se move durante o processo de aquisiccedilatildeo e tambeacutem com base em imagens decortes transversais de teacutecnicas de CFD Outra contribuiccedilatildeo foi aproveitar o canal triplo de coresnecessaacuterio para exibir imagens coloridas na maioria dos monitores de modo que dimensionandoadequadamente os valores adquiridos de cada vista no sistema linear de reconstruccedilatildeo foi possiacutevelimprimir traccedilos temporais na imagem tradicionalmente reconstruiacuteda Finalmente uma teacutecnica decorreccedilatildeo de movimento usado no campo da medicina foi proposto para aplicaccedilotildees industriaisconsiderando-se que a distribuiccedilatildeo de densidade nestes cenaacuterios pode apresentar variaccedilotildeescompatiacuteveis com movimentos riacutegidos ou alteraccedilotildees na escala de certos objetos A ideia eacute usar dadosconhecidos a priori ou durante o processo como vetor deslocamento e entatildeo usar essasinformaccedilotildees para melhorar a qualidade da reconstruccedilatildeo Isto eacute feito atraveacutes da manipulaccedilatildeoadequada da matriz peso no meacutetodo algeacutebrico isto eacute ajustando-se os valores para refletir omovimento objeto do previsto ou deformaccedilatildeo Os resultados de todas essas teacutecnicas aplicadas emvaacuterios experimentos e simulaccedilotildees satildeo discutidos neste trabalho
PALAVRAS-CHAVE Reconstruccedilatildeo Tomograacutefica Reconstruccedilatildeo Dinacircmica Tomografia CFD
MCNP
ABSTRACT
The state of the art methods applied to industrial processes is currently based on the principles ofclassical tomographic reconstructions developed for tomographic patterns of static distributions oris limited to cases of low variability of the density distribution function of the tomographed objectNoise and motion artifacts are the main problems caused by a mismatch in the data from viewsacquired in different instants All of these add to the known fact that using a limited amount of datacan result in the presence of noise artifacts and some inconsistencies with the distribution understudy One of the objectives of the present work is to discuss the difficulties that arise fromimplementing reconstruction algorithms in dynamic tomography that were originally developed forstatic distributions Another objective is to propose solutions that aim at reducing a temporal type ofinformation loss caused by employing regular acquisition systems to dynamic processes Withrespect to dynamic image reconstruction it was conducted a comparison between different staticreconstruction methods like MART and FBP when used for dynamic scenarios This comparisonwas based on a MCNPx simulation as well as an analytical setup of an aluminum cylinder thatmoves along the section of a riser during the process of acquisition and also based on cross sectionimages from CFD techniques As for the adaptation of current tomographic acquisition systems fordynamic processes this work established a sequence of tomographic views in a just-in-time fashionfor visualization purposes a form of visually disposing density information as soon as it becomesamenable to image reconstruction A third contribution was to take advantage of the triple colorchannel necessary to display colored images in most displays so that by appropriately scaling theacquired values of each view in the linear system of the reconstruction it was possible to imprint atemporal trace into the regularly reconstructed image where the temporal trace utilizes a channeland the regular reconstruction utilizes a different one Finally a motion correction technique used inthe medical field was proposed for industrial applications considering that the density distributionin these scenarios may present variations compatible with rigid motions or changes in scale ofcertain objects The idea is to identify in some configurations of the temporarily distributed dataclues of the type of motion or deformation suffered by the object during the data acquisition andthen use this information to improve the quality of the reconstruction This is done by appropriatelymanipulating the weight matrix in the algebraic method ie by adjusting the values to reflect thepredicted object motion or deformation The results of all these techniques applied in severalexperiments and simulations are discussed in this work
Keywords Industrial Dynamic Tomography Flow Dynamics Dynamic Process SimulationDynamic Tomographic Reconstruction
Lista de Figuras
Figura 1 Atenuaccedilatildeo da Radiaccedilatildeo pela mateacuteria16Figura 2 Discretizaccedilatildeo de l18Figura 3 Sinograma constituiacutedo de 180 vistas (construiacutedo com a funccedilatildeo radon do matlab)19Figura 4 Discretizaccedilatildeo da secccedilatildeo irradiada22Figura 5 Geraccedilotildees Tomograacuteficas27Figura 6 Geraccedilotildees Tomograacuteficas28Figura 7 Phantom de Sheep-Logan29Figura 8 Discretizaccedilatildeo da secccedilatildeo irradiada30Figura 9 Distribuiccedilatildeo de velocidades e de fraccedilatildeo de soacutelido para diferentes alturas32Figura 10 Secccedilatildeo com distribuiccedilatildeo de soacutelido que seraacute utilizada como Phantom Matemaacutetico33Figura 11 Visatildeo 3D de uma distribuiccedilatildeo de fraccedilatildeo de soacutelido feito por CFD33 Figura 12Sistema RGB35Figura 13 Sistema de Coordenadas39Figura 14 reta r sendo mapeada por39Figura 15 Projeccedilotildees 1D sem mudanccedila de frame43Figura 16 Projeccedilotildees 1D com mudanccedila de frame44Figura 17 Mais de uma vista por frame45Figura 18 Mais de um frame por vista46Figura 19 Mais de um frame durante a aquisiccedilatildeo46Figura 20 Software Desenvolvido50Figura 21 8 frames - ciacuterculo transladando - 1 vista por frame52Figura 22 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames52Figura 23 Tomograma e sinograma ndash circulo transladando ndash 1 vista por frame53Figura 24 Sinogramascirculo transladando ndash 1 vista por frame54Figura 25 Reconstruccedilotildees circulo transladando ndash 1 vista por frame54Figura 26 Tomograma e Sinograma - disco transladando - 8 vistas por frame55Figura 27 Sinogramas Ciacuterculo Transladando -Oito vistas por frame56Figura 28 Reconstruccedilotildees Ciacuterculo Transladando -Oito vistas por frame56Figura 29 8 frames - circulo crescente - 1 vista por frame57Figura 30 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames57Figura 31 Tomograma e sinograma - ciacuterculo crescente - 1 vista por frame58Figura 32 Imagem do sinograma - ciacuterculo crescente - 1 vista por frame59Figura 33 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 1 vista por frame59Figura 34 Tomograma e sinograma - circulo crescente - 8 vista por frame60Figura 35 Sinogramas circulo crescente ndash 8 vistas por frame61Figura 36 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 8 vistas por frame61Figura 37 Reconstruccedilotildees disco transladando - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas e alternadas62Figura 38 Reconstruccedilotildees disco transladando - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas e alternadas 63Figura 39 Reconstruccedilotildees disco transladando - 4 Vistas por frame - Vistas sucessivas e alternadas 64Figura 40 Reconstruccedilotildees disco crescente - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas e alternadas64Figura 41 Reconstruccedilotildees disco crescente - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas e alternadas65Figura 42 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 1 vista por frame66Figura 43 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frame67Figura 44 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frame68Figura 45 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frame68Figura 46 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frame69Figura 47 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo crescente - 2 vistas por frame69Figura 48 Geometria Circulo Transladando - 1 vista por frame71
Figura 49 Tomograma via MCNPX - 1 Vista por frame71Figura 50 Sinograma MCNPX - 1 vista por frame72Figura 51 Imagem de sinograma MCNPX - 1 vista por frame72Figura 52 Reconstruccedilotildees MART e FBP ndash MCNPX ndash 1 vista por frame73Figura 53 Geometria circulo transladando - 2 vistas por frame73Figura 54 Tomograma MCNPX - 2 vistas por frame74Figura 55 Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame74Figura 56 Imagem de sinograma MCNPX ndash 2 vistas por frame75Figura 57 Reconstruccedilatildeo MART - MCNPX - 2 vistas por frame75Figura 58 Reduccedilatildeo na resoluccedilatildeo 899x999 para 64x6476Figura 59 CFD - Frames 1 ao 877Figura 60 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames77Figura 61 Sinogramas CFD ndash 1 vista por frame78Figura 62 Reconstruccedilotildees CFD ndash 1 vista por frame78Figura 63 Frames 1 ao 8 CFD ndash 8 vistas por frame79Figura 64 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames79Figura 65 Sinogramas CFD - 8 vistas por frame80Figura 66 Reconstruccedilotildees CFD - 8 vistas por frame80Figura 67 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo81Figura 68 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o segundo instante de tempo81Figura 69 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo82Figura 70 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o segundo instante de tempo82Figura 71 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo83Figura 72 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo83Figura 73 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo84
LISTA DE TABELAS
Tabela 1
Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 1 vista por framehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip62
Tabela 2
Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 2 vistas por framehelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip63
Tabela 3
Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 4 vistas por framehelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip63
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
DEN ndash Departamento de Energia Nuclear
UFPE ndash Universidade Federal de Pernambuco
TC ndash Tomografia Computadorizada
ART ndash Algebraic Reconstruction Techinique
MART ndash Multiplicative Algebraic Reconstruction Techinique
SIRT ndash Simultaneous Iterative Reconstruction Technique
FBP ndash Filtered Back Projection
AM ndash Alternating Minimization
CFD ndash Computer Fluid Dynamics
MCNP - Monte Carlo N-Particle
PET - Positron Emission Tomography
SPECT - Single Photon Emission Tomography
CST ndash Central Slice Theorem
Sumaacuterio
1 INTRODUCcedilAtildeO132 TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA16
21 A Lei de Beer-Lambert16
22 Algoriacutetmos de Reconstruccedilatildeo20
221 Filtered Back Projection (FBP)20222 ART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica)21223 MART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica com Correccedilatildeo Multiplicativa)23
23 O Caso Dinacircmico24
24 Reconstruccedilatildeo com Correccedilatildeo de Movimento25
25 Geraccedilotildees de Tomoacutegrafos26
26 Simulaccedilatildeo de Sinogramas28
27 Fluidodinacircmica Computacional - CFD31
28 Tempo de Aquisiccedilatildeo ou Integraccedilatildeo33
29 Sistema de cores RGB33
21 0MCNP35
3 METODOLOGIA3731 A Transformada de Radon Temporal38
32 Lei de Beer-Lambert temporal41
33 Simulaccedilatildeo de aquisiccedilotildees Tomograacuteficas42
331 Aquisiccedilatildeo por Tomografia de 1ordf Geraccedilatildeo42332 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 3ordf geraccedilatildeo45333 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 5ordf geraccedilatildeo46
34 Posicionamento angular47
35 Utilizaccedilatildeo de um canal de cores para visualizar a dinacircmica do processo Reconstruccedilatildeo RGB47
36 Reconstruccedilatildeo utilizando dados do CFD48
37 Avaliaccedilatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo com RMSE49
38 Algoritmos e Software Desenvolvidos50
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO5141 Resultados das Reconstruccedilotildees MART e FBP51
411 Primitiva Ciacuterculo Transladando 1 vista por frame51412 Primitiva Ciacuterculo Transladando Oito vistas por frame55413 Primitiva Circulo Crescente Uma vista por frame57414 Primitiva Circulo Crescente Oito vistas por frame60
42 Vistas Alternadas62
43 Resultados com RGB65
44 Simulaccedilotildees com MCNPX70
441 Circulo Transladando ndash 1vista por frame70
442 Circulo Transladando ndash 2 vistas por frame7345 Resultados com CFD76
451 CFD-1 vista por frame76452 CFD-8 vistas por frame79
46 Reconstruccedilotildees com correccedilatildeo de movimento81
5 CONCLUSOtildeES856 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS88ANEXO ndash I92
13
1 INTRODUCcedilAtildeO
A Tomografia Computadorizada (TC) consiste em duas etapas
a) O objeto eacute verificado (escaneado) com relaccedilatildeo a alguma propriedade como
densidade capacitacircncia resistividade eleacutetrica ressonacircncia magneacutetica etc
b) A propriedade eacute entatildeo reconstruiacuteda por meio de uma teacutecnica de reconstruccedilatildeo
adequada
Dessa forma a tomografia tem como objetivo reconstruir os detalhes geomeacutetricos do
objeto subjacente e tambeacutem obter os valores da propriedade escolhida Normalmente eacute classificada
como uma teacutecnica de ensaios natildeo destrutivos (END) e portanto eacute de uso imenso em
colunasreatores industriais para detectar a distribuiccedilatildeo de fases ou qualquer tipo de natildeo
uniformidade no interior do objeto
Para o registro de qualquer mudanccedila no objeto otimiza-se o sistema em alta
resoluccedilatildeo temporal (baixo tempo de aquisiccedilatildeo) ou seja permitir vaacuterias imagens resultando em
centenas de quadros por segundo A tomografia que concretiza essa configuraccedilatildeo de aquisiccedilatildeo eacute
chamada de instantacircnea ou de 5ordf geraccedilatildeo onde vaacuterias fontes satildeo arranjadas diametralmente opostas
a um leque de detetores de radiaccedilatildeo e consequentemente a colimaccedilatildeo de uma fonte eacute limitada por
outra reduzindo a resoluccedilatildeo espacial do sistema
Quando a distribuiccedilatildeo tem baixa variabilidade ao longo do tempo ou quando
limitaccedilotildees teacutecnicas impedem o uso da tomografia instantacircnea propotildee-se a tomografia com baixa
resoluccedilatildeo temporal com tomoacutegrafos de 1ordf e 3ordf geraccedilotildees O alto tempo de aquisiccedilatildeo destes
tomoacutegrafos prejudica a reconstruccedilatildeo quando o objeto em estudo muda suas propriedades no
decorrer do tempo Esta foi classificada por vaacuterios autores como reconstruccedilatildeo dinacircmica
(ARTEMIEV V M NAUMOV A O 2006) (BUTALA 2009) (DESBAT L et al 2006) Jaacute eacute
uma aacuterea muito ativa em medicina nuclear onde movimentos do paciente devem ser tomados em
consideraccedilatildeo Tais como em SPECT ou PET mas tambeacutem em tomografia computadorizada (TC de
transmissatildeo) para oacutergatildeos de movimento raacutepido como o coraccedilatildeo (GRAMEL BM et al 2012)
De um modo geral o imageamento dinacircmico TC tem como objetivo reconstruir
sequecircncias de imagens em que a natureza dinacircmica do objeto tomografado eacute de interesse primaacuterio
permitindo o registro de mudanccedilas temporais na distribuiccedilatildeo do coeficiente de atenuaccedilatildeo linear
podendo identificar o estado inicial e o final do processo
O estado da arte dos meacutetodos aplicados para processos industriais eacute atualmente
baseado em princiacutepios de reconstruccedilotildees tomograacuteficas claacutessicas desenvolvidos para padrotildees TC de
distribuiccedilotildees estaacuteticas como pode ser visto em diversos artigos da aacuterea de tomografia industrial
14
(DAHAN A et al 2007 DUDUKOVIC 2007 HALE et al 2007 JOHANSEN et al 2005
KUMAR et al 1997 DANTAS CC et al 2007 SALVADOR P A V 2010 MESQUITA C et
al 2011) Essas abordagens assumem que as propriedades da imagem satildeo constantes durante o
processo de aquisiccedilatildeo Os algoritmos de reconstruccedilatildeo mais comuns ao contexto satildeo os iterativos
onde se destacam teacutecnicas de reconstruccedilatildeo algeacutebrica (ART SIRT MART SMART) e teacutecnicas de
reconstruccedilatildeo estatiacutesticas como o de Minimizaccedilatildeo Alternante (AM) e o Esperanccedila - Maximizaccedilatildeo
(EM) A imagem reconstruiacuteda passa a ser uma aproximaccedilatildeo das propriedades ao longo do tempo A
aproximaccedilatildeo eacute devida a projeccedilotildees natildeo compatiacuteveis no sinograma (BONNET S 2003) As
projeccedilotildees tornam-se incompatiacuteveis devido as diferentes distribuiccedilotildees que ocorreram durante o
intervalo de tempo utilizado para coleta de dados Ruiacutedos e artefatos de movimento satildeo os
principais problemas causados pela incompatibilidade
Aleacutem disso em processos tomograacuteficos industriais eacute comum um nuacutemero limitado de
dados devido a inviabilidades teacutecnicas como arranjar todo um aparato de fontes e detetores ao redor
de uma coluna industrial Um baixo nuacutemero de dados pode produzir ruiacutedo artefatos e natildeo
concordacircncia com a distribuiccedilatildeo em estudo
Por estes motivos eacute necessaacuterio um estudo dos melhores meacutetodos de reconstruccedilatildeo e
tambeacutem o desenvolvimento de novas taacuteticas ou a utilizaccedilatildeo de meacutetodos jaacute consagrados em outros
contextos como a aacuterea meacutedica
Este trabalho inova quando discute um tema jaacute comum agrave aacuterea meacutedica em um
contexto tomograacutefico industrial
O meacutetodo proposto consiste em descobrir inicialmente as limitaccedilotildees oriundas da
aplicaccedilatildeo de algoritmos de reconstruccedilatildeo que foram desenvolvidos para distribuiccedilotildees estaacuteticas e satildeo
utilizados em tomografia dinacircmica Estas podem aparecer em forma de ruiacutedo artefatos estrela eou
de movimento Para alcanccedilar tais propoacutesitos foram utilizados dados simulados analiticamente e por
MCNPX de um cilindro de alumiacutenio transladando durante o processo aquisiccedilatildeo e imagens da secccedilatildeo
transversal de um rise piloto por meio da teacutecnica CFD (Computational Fluid Dynamics) O cilindro
ou ciacuterculo para uma secccedilatildeo eacute uma escolha pautada na literatura industrial pois simula bolhas em
reatores e tambeacutem distribuiccedilotildees agrupadas em forma de nuacutecleo por exemplo (DUDUKOVIC M et
al 1997) (AZZI M 1991) Com os dados simulados foram realizadas e comparadas as
reconstruccedilotildees pelos meacutetodos FBP (Filtered Back Projection) e MART (Multiplicative Algebraic
Reconstruction Technique)
Descobertas as limitaccedilotildees novas estrateacutegias satildeo apresentadas como a escolha da
ordem do posicionamento angular (vistas alternadas ou sucessivas) o desenvolvimento de um
15
meacutetodo para a visualizaccedilatildeo temporal do processo (Reconstruccedilatildeo RGB) e a correccedilatildeo de movimento
A reconstruccedilatildeo RGB foi desenvolvida com o propoacutesito de visualizar a evoluccedilatildeo
temporal do processo Consiste em uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens tomograacuteficas de
processos dinacircmicos pois utiliza o canal red do sistema de cores RGB para visualizar a evoluccedilatildeo do
movimento Uma nova reconstruccedilatildeo eacute realizada utilizando dados penalizados com o tempo e
associada ao canal R Aos outros canais eacute associada a reconstruccedilatildeo tradicional para posterior
visualizaccedilatildeo do conjunto
Tambeacutem eacute proposta uma teacutecnica de correccedilatildeo de movimento utilizada na aacuterea meacutedica
que manipula a matriz de pesos do meacutetodo algeacutebrico deslocando seus elementos com a mesma
quantidade de movimento identificada Neste trabalho eacute definido o vetor deslocamento a priori
O Capiacutetulo dois trata da revisatildeo bibliograacutefica da tese Conteacutem a lei de Beer-Lambert
a formaccedilatildeo de dados tomograacuteficos para posterior reconstruccedilatildeo Explica os algoritmos algeacutebricos a
visualizaccedilatildeo RGB dados do CFD e geraccedilotildees tomograacuteficas No Capiacutetulo trecircs satildeo expostos os
meacutetodos desenvolvidos como aquisiccedilotildees simuladas analiticamente de 1ordf e 5ordf geraccedilotildees
tomograacuteficas simulaccedilotildees tomograacuteficas por MCNPX reconstruccedilatildeo RGB correccedilatildeo de movimento
algoritmos implementados e desenvolvidos No capiacutetulo quatro satildeo mostrados os resultados de
todos os meacutetodos propostos
Espera-se que esse trabalho contribua para uma anaacutelise mais efetiva de tomografias
dinacircmicas industriais bem como o diagnoacutestico de problemas de otimizaccedilatildeo de operaccedilatildeo de
tomoacutegrafos e obtenccedilatildeo de dados para novos projetos bem como contribuir com novos algoritmos de
reconstruccedilatildeo especiacuteficos para esta aplicaccedilatildeo
16
2 TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA
21 A Lei de Beer-Lambert
A medida da probabilidade por unidade de percusso do feixe de radiaccedilatildeo interagir
com a mateacuteria (efeito fotoeleacutetrico efeito Compton e produccedilatildeo de pares) eacute denominado coeficiente
de atenuaccedilatildeo total ou linear do material ( ) Encontrar a funccedilatildeo que represente a distribuiccedilatildeo das
atenuaccedilotildees dentro de uma regiatildeo de interesse eacute o objetivo da tomografia Ao atravessar um material
a intensidade da radiaccedilatildeo sofre uma queda exponencial descrita pela relaccedilatildeo de Beer-Lambert
Entende-se como intensidade de radiaccedilatildeo neste caso como o nuacutemero de contagens registrado pelo
detetor em uma faixa de energia de interesse para um certo intervalo de tempo
Entende-se como caso estaacutetico a situaccedilatildeo em que o objeto tem distribuiccedilatildeo de
atenuaccedilotildees fixa na regiatildeo de estudo ao longo do tempo ou seja
(1)
O processo unidimensional para determinaccedilatildeo da atenuaccedilatildeo linear pode ser resumido
em um detetor de radiaccedilatildeo diametralmente oposto a uma fonte de radiaccedilatildeo onde
bull Estabelece-se um tempo para o intervalo de contagens Figura 21
bull ) do background sem
objeto algum entre fonte e detetor
bull Coloca-se um objeto de comprimento fixo l com distribuiccedilatildeo de atenuaccedilotildees desconhecida
mas com valores fixos ao longo de l
bull Afere-se o nuacutemero de contagens ( com o objeto presente
Figura 1 Atenuaccedilatildeo daRadiaccedilatildeo pela mateacuteria
l
If
para Δt
I0
para Δt
17
A lei de Beer-Lambert mostra que a absorccedilatildeo mais precisamente a atenuaccedilatildeo da
radiaccedilatildeo mede a queda da intensidade quando a radiaccedilatildeo passa pela mateacuteria A transmissatildeo T
Taxa de contagem inicial Taxa de contagem apoacutes o absorvedor
(2)
caracteriza a permeabilidade do material absorvente para a radiaccedilatildeo Quanto maior for a
transmissatildeo menor eacute o efeito atenuante A transmissatildeo depende da espessura l do absorvedor Se a
espessura l eacute reforccedilada pela pequena quantidade dl o T de transmissatildeo eacute diminuiacuteda pela pequena
quantidade dT A diminuiccedilatildeo relativa da transmissatildeo eacute proporcional ao aumento absoluto da
espessura
(3)
O fator de proporcionalidade eacute chamado o coeficiente de atenuaccedilatildeo linear mu A
integraccedilatildeo da equaccedilatildeo 24 conduz agrave lei de Beer-Lambert
(4)
Para facilitar a notaccedilatildeo em desenvolvimentos adiante chamamos de que eacute o
coeficiente de atenuaccedilatildeo linear meacutedio e l a distacircncia percorrida pelo raio no absorvedor Entatildeo eacute
determinado por
18
(5)
independente de l E para um
detalhamento maior das atenuaccedilotildees ao longo do feixe discretiza-se l O somatoacuterio dos produtos das
atenuaccedilotildees com as distacircncias surge da discretizaccedilatildeo de l assumindo que todas as particcedilotildees atenuam
o feixe no Esta condiccedilatildeo implica tambeacutem no particionamento de
Fazendo com que a intensidade final de uma particcedilatildeo i seja a inicial
da subsequente i+1 Ou seja natildeo eacute estabelecida uma discretizaccedilatildeo do tempo
(6)
De maneira geral a soma na Equaccedilatildeo 6 torna-se uma integral e definindo o eixo x ao
longo da trajetoacuteria do feixe l torna-se o elemento de linha onde o coeficiente de atenuaccedilatildeo eacute
funccedilatildeo da trajetoacuteria da linha
(7)
A integral ao longo da linha eacute conhecida como projeccedilatildeo unidimensional da
distribuiccedilatildeo de densidades definida matematicamente por Johann Radon em 1917 e
Figura 2 Discretizaccedilatildeo de l
l1
μ1
l2
μ2
ln
μn
l3
μ3
I 1 pa
ra Δ
t 0f
I 2 pa
ra Δ
t 0f
I f pa
ra Δ
t 0f
I 0 pa
ra Δ
t 0f
19
conhecida como a transformada de Radon da funccedilatildeo
Como as projeccedilotildees satildeo o resultado das transformadas de Radon ao longo dos
caminhos dos feixes pode-se dizer que o objetivo da tomografia eacute obter a sua inversa ou seja a
imagem reconstruiacuteda ou como no caso unidimensional a curva
(8)
Os diversos modelos utilizados para encontrar a inversa satildeo chamados de algoritmos
de reconstruccedilatildeo e como todos operam com as projeccedilotildees como entrada de dados um estudo mais
detalhado da transformada de Radon temporal e como essas projeccedilotildees variam deve ser realizado
para os casos em que a distribuiccedilatildeo de coeficientes de atenuaccedilatildeo varia tambeacutem com o tempo (caso
dinacircmico seccedilatildeo )
eacute a projeccedilatildeo bidimensional
geralmente chamada de perfil ou vista do corte O processo de aquisiccedilatildeo dos perfis eacute
chamado de escaneamento ou varredura e o conjunto de projeccedilotildees adquiridas eacute denominado
sinograma a Erro Origem da referecircncia natildeo encontrada representa o sinograma de uma imagem de
teste com um disco central
O escaneamento pode ser feito atraveacutes de aquisiccedilotildees paralelas de um uacutenico feixe
Figura 3 Sinograma constituiacutedo de 180 vistas (construiacutedo com a funccedilatildeo radon do
matlab)
20
(Parallel Beam) ou com as trajetoacuterias em forma de leque (Fan Beam) Como o sinograma eacute
resultado das transformadas de Radon ao longo dos raios pode-se dizer que o objetivo da
tomografia eacute obter a sua inversa ou seja a imagem reconstruiacuteda
representa todas as projeccedilotildees (9)
Imagem Original
22 Algoriacutetmos de Reconstruccedilatildeo
221 Filtered Back Projection (FBP)
Bracewell e Riddle em 1967 introduziram o meacutetodo chamado retroprojeccedilatildeo filtrada
(FBP) meacutetodo baseado na transformada de Fourier O FBP eacute muito utilizado devido ao baixo tempo
de processamento O teorema das projeccedilotildees tambeacutem chamado de teorema do corte central (Central
Slice Theorem - CST) facilita o processo Esse diz que uma transformada 1D de Fourier da
transformada de Radon da funccedilatildeo corresponde agrave transformada 2D de Fourier da funccedilatildeo Ou seja
realizando a transformada de Fourier das projeccedilotildees chega-se ao espaccedilo de frequecircncias da
distribuiccedilatildeo de densidades que se desejam descobrir No espaccedilo de frequecircncias satildeo realizadas as
operaccedilotildees de filtragem e a transformada 2D inversa retorna a imagem reconstruiacuteda O FBP eacute
resumido nos seguintes passos
1 Calcular a transformada de Fourier unidimensional das projeccedilotildees chegando ao domiacutenio de
frequecircncias
2 Filtrar as projeccedilotildees transformadas com um filtro passa baixa (Shepp-Logan Hann
Hamming etc)
3 Colocar as projeccedilotildees filtradas em um grid polar Cada projeccedilatildeo em seu acircngulo
correspondente
4 Reamostrar estas em um grid cartesiano com interpolaccedilatildeo (linear nearest Splines etc)
5 Calcular a transformada 2D de Fourier inversa chegando-se agrave imagem reconstruiacuteda
21
222 ART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica)
Os primeiros estudos sobre teacutecnicas algeacutebricas em TC foram feitos por Gordon e
Herman (HERMAN G T GORDON R 1971) Apesar de ser mais intuitiva e simples que os
meacutetodos de transformada essa teacutecnica deixa a desejar no que se refere a precisatildeo e tempo de
processamento Fazendo com que os meacutetodos de transformada fossem inicialmente mais utilizados
principalmente na aacuterea meacutedica onde um grande nuacutemero de dados eacute processado No entanto para
experimentos em que o nuacutemero de projeccedilotildees eacute limitado ou tenha uma distribuiccedilatildeo natildeo uniforme o
meacutetodo de transformada torna-se inviaacutevel
Meacutetodos algeacutebricos ou de expansatildeo de seacuteries discretizam a secccedilatildeo irradiada em uma
matriz de incoacutegnitas (pixels) que representam a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de densidades μ (x y) como
ilustra a Figura 4 Apoacutes as varreduras um sistema de equaccedilotildees resultantes da relaccedilatildeo de Beer-
Lambert eacute criado e sua resoluccedilatildeo corresponde agrave inversa de Radon Devido agraves caracteriacutesticas desse
sistema meacutetodos indiretos satildeo aconselhados e dentre os indiretos o meacutetodo das projeccedilotildees de
Kaczmarz tem convergecircncia garantida (KACZMARZ 1937) As teacutecnicas iterativas satildeo resumidas
basicamente em quatro passos criaccedilatildeo da imagem inicial caacutelculo das correccedilotildees aplicaccedilatildeo das
correccedilotildees e o teste de convergecircncia Estes algoritmos diferem na maneira como as correccedilotildees satildeo
calculadas e aplicadas (SUBBARAO 1997) Neste trabalho eacute utilizada a teacutecnica algeacutebrica ART
Nessa representaccedilatildeo um raio corresponde a uma faixa com largura que na maioria das vezes
coincide com a largura de um pixel
22
O processo pode ser resumido em
1) Criar uma matriz imagem inicial com N elementos parametrizados em geralmente aleatoacuterios
ou nulos Esse eacute o iniacutecio da 1ordf iteraccedilatildeo ( =1)
2) Calcular as projeccedilotildees para todos os raios atraveacutes da foacutermula
(10)
3) Para cada raio calcular a diferenccedila entre a projeccedilatildeo original e a reconstruiacuteda 4)
Calcular o somatoacuterio de todos pesos ao longo de cada raio
(11)
5) Obter a correccedilatildeo para cada raio
23
(12)
6) Aplicar a correccedilatildeo a cada ceacutelula
(13)
onde eacute um paracircmetro de relaxaccedilatildeo entre 0 e 2
7) Repetir os passos 2 ao 6 para todos os raios
8) Achar a soma da convergecircncia de todos os pixels da imagem
(14)
9) Finalizar a iteraccedilatildeo
As iteraccedilotildees satildeo finalizadas quando chegar a um valor preacute - estabelecido Muitos autores
estabelecem um criteacuterio de Caso o criteacuterio natildeo tenha sido cumprido uma nova
iteraccedilatildeo eacute iniciada no passo 2
O ART frequentemente sofre de ruiacutedos tipo sal e pimenta (salt and pepper noise)
causados pelas inconsistecircncias introduzidas no conjunto de equaccedilotildees por aproximaccedilotildees nos O
efeito eacute exacerbado porque cada pixel ao longo de um raio eacute alterado assim que a projeccedilatildeo eacute
calculada mudando seus valores antes que outro raio o faccedila Tanto o ruiacutedo quando a taxa de
convergecircncia do meacutetodo dependem do paracircmetro de relaxaccedilatildeo utilizado escolhido empiricamente
(geralmente entre 0 e 2) (KAK 1989)
223 MART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica com Correccedilatildeo Multiplicativa)
Vaacuterios estudos apontam o meacutetodo como raacutepido mais flexiacutevel e de melhor acuraacutecia
que o ART Sendo indicado principalmente para casos de um nuacutemero limitado de dados
(VERHOEVEN 1993) A teacutecnica eacute semelhante ao ART com mudanccedila apenas no fator de correccedilatildeo
24
expresso pela equaccedilatildeo 15
(15)
23 O Caso Dinacircmico
De um modo geral imagiologia dinacircmica CT tem como objetivo reconstruir sequecircncias de
imagens em que a natureza dinacircmica do objeto tomografado eacute de interesse primaacuterio permitindo o
registro de mudanccedilas temporais na distribuiccedilatildeo do coeficiente de atenuaccedilatildeo linear Entende-se como
caso estaacutetico a situaccedilatildeo em que o objeto tem distribuiccedilatildeo de atenuaccedilotildees fixa na regiatildeo de
estudo ao longo do tempo Algoritmos de reconstruccedilatildeo tomograacutefica utilizam como dados de entrada
as projeccedilotildees unidimensionais tomograacuteficas Cada projeccedilatildeo eacute adquirida atraveacutes das aquisiccedilotildees de
intensidades inicial e final ao longo do raio na direccedilatildeo
O escaneamento pode ser feito atraveacutes de aquisiccedilotildees paralelas de um uacutenico feixe (Parallel
Beam) ou com as trajetoacuterias em forma de leque (Fan Beam) Como o sinograma eacute resultado das
transformadas de Radon ao longo dos raios pode-se dizer que o objetivo da tomografia eacute obter a
sua inversa ou seja a imagem reconstruiacuteda ou como no caso unidimensional a curva
(KAK A C SLANEY M 1999)
(16)
Historicamente a CT dinacircmica no contexto meacutedico refere-se a algoritmos de imagem que
tentam corrigir movimentos formando uma imagem de alta qualidade estaacutetica atraveacutes da remoccedilatildeo
do componente dinacircmico Diferentemente da aacuterea meacutedica as imagens reconstruiacutedas de fluxos
multifaacutesicos oriundas de relativa baixa resoluccedilatildeo temporal trazem informaccedilotildees importantes da
mudanccedila do fluxo ao longo do tempo (MyersG R Kingston A M 2011) O objetivo da
tomografia neste caso eacute determinar a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de atenuaccedilatildeo
No caso CT de 1ordf 3ordf geraccedilotildees aplicados a distribuiccedilotildees dinacircmicas uma uacutenica imagem
representativa de todo o processo (reconstruiacuteda por processos desenvolvidos para distribuiccedilotildees
25
estaacuteticas) eacute o resultado final da tomografia (BARTHOLOMEW CASAGRANDE 1957) (AZZI et
al 1991) (YIN et al 2002)(DAHAN A et al 2007) (DUDUKOVIC 2007) (DANTAS CC et
al 2007) (SALVADOR P A V 2010) (MESQUITA C et al 2011) A funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de
atenuaccedilotildees passa a ser uma aproximaccedilatildeo
Esta aproximaccedilatildeo eacute devido a projeccedilotildees natildeo compatiacuteveis no sinograma (tambeacutem chamado de
) (BONNET S 2003) As projeccedilotildees agora tornam-se incompatiacuteveis
devido as diferentes distribuiccedilotildees que ocorreram durante o intervalo de tempo [0 t]
24 Reconstruccedilatildeo com Correccedilatildeo de Movimento
A reduccedilatildeo de artefatos de movimento em imagens tomograacuteficas eacute um problema
crucial em oacutergatildeos de um forte caraacuteter dinacircmico como por exemplo os pulmotildees ou o coraccedilatildeo Uma
maneira simples de reduzir esses artefatos eacute limitar o tempo de aquisiccedilatildeo usando tomografia ultra ndash
raacutepida (5ordf geraccedilatildeo)
Aqui considera-se uma outra abordagem em que os modelos de movimento satildeo
integrados diretamente ao processo de reconstruccedilatildeo e onde a resoluccedilatildeo temporal pode assim ser
significativamente aumentada Os meacutetodos podem ser algeacutebricos (GILLAND et al 2002 1996 DE
MURCIA BLONDE et al 2003) ou analiacuteticos ( BONNET et al 2003)
A teacutecnica de compensaccedilatildeo de movimento utilizada neste estudo utiliza um modelo
de transformaccedilatildeo da matriz de pesos A dividindo-a em submatrizes tendo suas colunas deslocadas
adequadamente de acordo com o modelo de movimento obtido a cada projeccedilatildeo (PENGPAN et al
2011) Por esse motivo o vetor deslocamento do movimento deve ser calculado a cada projeccedilatildeo
Para uma grande quantidade de dados necessaacuterios em estudos dinacircmicos na aacuterea
meacutedica abordagens analiacuteticas que levam a algoritmos de reconstruccedilatildeo diretos satildeo mais apropriadas
Alguns meacutetodos satildeo aproximaccedilotildees adaptadas para uso geral do tipo de movimento mas amplitude
moderada (RITCHIE et al 1996 GRANGEAT et al 2002)
No trabalho desenvolvido foca-se a situaccedilatildeo em que um pequeno nuacutemero de dados eacute
26
disponibilizado devido a natureza da aplicaccedilatildeo Salienta-se que a compensaccedilatildeo de movimento
ocorre com a aplicaccedilatildeo da mesma quantidade de movimento (obtida previamente ou durante a
reconstruccedilatildeo) agrave matriz A
A funccedilatildeo em um instante de tempo t pode ser encontrada com a aplicaccedilatildeo da
deformaccedilatildeo agrave seu valor inicial
(17)
A deformaccedilatildeo pode apresentar rotaccedilatildeo e translaccedilatildeo
(18)
25 Geraccedilotildees de Tomoacutegrafos
A primeira geraccedilatildeo de tomoacutegrafos foi produzida pela EMI Mark em 1973 tendo
como desenvolvedor o engenheiro Hounsfield O sistema era composto por um uacutenico tubo de raios
X o qual produzia um uacutenico feixe ciliacutendrico que atravessava o objeto em estudo o paciente
atingindo o uacutenico detector que media a intensidade do mesmo O sistema ainda contava com um par
de colimadores (dois pequenos tubos metaacutelicos colocados apoacutes o feixe deixar a fonte e antes do
mesmo atingir o detector) para minimizar o espalhamento do feixe A fonte de raios X e o detector
se movem em sincronia e em lados opostos do paciente executando um escaneamento linear sobre a
seccedilatildeo em estudo seguido de uma rotaccedilatildeo de 1 grau e um novo escaneamento linear eacute efetuado
como ilustra a Figura 3 a)
Os tomoacutegrafos de segunda geraccedilatildeo foram desenvolvidos visando reduzir o tempo de
escaneamento minimizando a exposiccedilatildeo do paciente agrave radiaccedilatildeo e ampliando a gama de oacutergatildeos que
podem ter a seccedilatildeo transversal reconstruiacuteda Os tomoacutegrafos ainda mantiveram o movimento de
varredura linear seguida de uma rotaccedilatildeo Entretanto o feixe de raios X deixou de ser ciliacutendrico e
passou a ter formato de leque Ao inveacutes de um uacutenico detector o sistema passou a contar com vaacuterios
27
detectores alinhados de forma que possam receber todos os raios do feixe Dessa maneira o tempo
de obtenccedilatildeo de dados de uma seccedilatildeo foi reduzido de acordo
com o nuacutemero de detectores e com o acircngulo de abertura empregado como pode ser visto na Figura
3b) A terceira geraccedilatildeo de aparelhos abandonou de vez os movimentos de translaccedilatildeo do tubo de
raios X e dos detectores e passou a contar com um leque com um acircngulo maior e uma base de
detectores mais ampla em formato semi-circular O sistema passou a efetuar um movimento de 360
graus em torno da seccedilatildeo Tambeacutem eram usados colimadores antes do feixe atingir os detectores a
fim de minimizar o espalhamento dos raios X e garantir a qualidade das imagens O tempo de cada
varredura em alguns modelos comerciais passou a ser de apenas meio segundo ilustrado pela
Figura 3 c)
A quarta geraccedilatildeo de aparelhos passou a contar com um anel de detectores que
circundam toda a seccedilatildeo que possibilitou aumentar mais ainda o acircngulo do feixe de radiaccedilatildeo Os
detectores satildeo fixos e a fonte de radiaccedilatildeo rotaciona dentro do anel de detectores e ao redor do corpo
irradiado Um problema desta geraccedilatildeo diz respeito agrave recepccedilatildeo dos feixes que natildeo satildeo fixos e
dependendo do acircngulo um feixe pode atingir dois detectores ou acertar um detector apenas em uma
fraccedilatildeo ilustrado pela Figura 6d)
Como o tempo despendido para realizaccedilatildeo de movimentos mecacircnicos eacute a principal
28
limitaccedilatildeo para reduzir ainda mais os tempos de escaneamento a quinta geraccedilatildeo de aparelhos acabou
com os movimentos de translaccedilatildeo e rotaccedilatildeo da fonte e dos detectores Rachid Maad em MAAD R
2009 evita utilizar essa classificaccedilatildeo para tomoacutegrafos sem rotaccedilatildeo e translaccedilatildeo utilizados
industrialmente ficando essa classificaccedilatildeo mais utilizada em aplicaccedilotildees meacutedicas Esse utiliza o
termo geraccedilatildeo de tomografia instantacircnea para tais aparelhos representados na Figura 6e)
Na configuraccedilatildeo instantacircnea um anel de detectores estacionaacuterios e as fontes de
radiaccedilatildeo rodeiam o objeto fornecendo um arranjo fixo (sem varreduras) e mediccedilotildees instantacircneas1
Esta teacutecnica eacute muito raacutepida e pode ser usada na geraccedilatildeo de imagens em tempo real A desvantagem
eacute o custo e o problema da radiaccedilatildeo dispersa causada pela presenccedila de muacuteltiplas fontes
26 Simulaccedilatildeo de Sinogramas
Phantoms matemaacuteticos ou imagens de teste satildeo frequentemente utilizados para
avaliar a precisatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo Satildeo descritos precisamente por funccedilotildees
matemaacuteticas e suas transformadas de Radon simulam as projeccedilotildees tomograacuteficas Seus pixels satildeo as
regiotildees discretizadas e seus valores ou cores representam as densidades ou coeficientes de
atenuaccedilatildeo linear A imagem de teste (phantom) mais conhecida em reconstruccedilatildeo tomograacutefica eacute o
1 O termo instantacircneo aqui utilizado negligencia o tempo de aquisiccedilatildeo para as contagens de intensidade de radiaccedilatildeo devido ao seu baixo valor deacutecimos de segundo
29
phantom de Sheep ndash Logan Figura 7
Para calcular a projeccedilatildeo simulada somam-se os produtos das distacircncias percorridas
pelo raio em cada pixel pelo seu valor Paracircmetros do experimento tomograacutefico que se deseja
simular como a aacuterea a ser varrida densidades reais adiccedilatildeo de ruiacutedo e fotos da secccedilatildeo do objeto
podem ser incorporadas para dar mais realidade ao modelo (SUBBARAO PMV et al 1997) O
ruiacutedo obedece ao desvio padratildeo de Poisson (IAEA-TECDOC-1589 2008)
A secccedilatildeo irradiada eacute representada por uma matriz de incoacutegnitas que representam a
distribuiccedilatildeo de densidades que se deseja descobrir As incoacutegnitas satildeo os pixels da imagem
reconstruiacuteda como ilustrado na Figura 8
Nessa representaccedilatildeo um raio corresponde a uma faixa com largura que na maioria
das vezes coincide com a largura de um pixel
Figura 7 Phantom de Sheep-Logan
50 100 150 200 250
50
100
150
200
2500
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
30
Parametrizando os pixels com j variando de 1 a N e os raios com i de 1 a M podemos
escrever a transformada de Radon ao longo do raio i como
(19)
onde eacute o peso que diz o percentual de contribuiccedilatildeo de um pixel j para o raio i definido como
(20)
Uma boa aproximaccedilatildeo eacute o modelo em que a largura do feixe eacute reduzida a uma linha
reta fazendo a distacircncia percorrida por este feixe dentro do pixel
Para calcular a intensidade final para uma projeccedilatildeo i faz-se
31
(21)
Com calculado da figura e de meacutedia fixa variando a cada projeccedilatildeo
com o desvio padratildeo de Poisson para todas as projeccedilotildees
O sinograma simulado eacute construiacutedo fazendo cada elemento de sua matriz igual a
27 Fluidodinacircmica Computacional - CFD
Fluidodinacircmica computacional (Computational Fluid Dynamics - CFD) eacute o termo
dado ao grupo de teacutecnicas matemaacuteticas numeacutericas e computacionais usadas para obter visualizar e
interpretar soluccedilotildees para as equaccedilotildees de conservaccedilatildeo de grandezas fiacutesicas de interesse em um dado
escoamento A origem destas equaccedilotildees de conservaccedilatildeo eacute a teoria de Fenocircmenos de Transporte
Assim pode-se resumir CFD como o conjunto das teacutecnicas de simulaccedilatildeo computacional usadas
para predizer os fenocircmenos fiacutesicos ou fiacutesico-quiacutemicos que ocorrem em escoamentos
A Fluidodinacircmica computacional eacute uma aacuterea de grande interesse para a soluccedilatildeo de
muitos problemas praacuteticos Como exemplo podem ser citados problemas de aerodinacircmica
termodinacircmica hidraacuteulica dentre outros As anaacutelises nesta aacuterea de pesquisa podem ser
desenvolvidas com base em experimentos bem como em meacutetodos teoacutericos Dentro dos meacutetodos
teoacutericos destacam-se os meacutetodos computacionais utilizados para simulaccedilatildeo numeacuterica aplicada agrave
Dinacircmica dos Fluidos (HERCKERT M G R)
Para os escoamentos de fluidos o modelo matemaacutetico eacute estabelecido com base nas
equaccedilotildees de conservaccedilatildeo da quantidade de movimento da massa e da energia Estas equaccedilotildees
quando submetidas a condiccedilotildees de contorno e iniciais apropriadas representam matematicamente
um problema particular (SHAMES I H 1973) A soluccedilatildeo analiacutetica destas equaccedilotildees somente eacute
possiacutevel para escoamentos muito simples Para se analisar problemas reais lanccedila-se matildeo do uso dos
chamados meacutetodos numeacutericos
Nos casos de escoamentos laminares os modelos satildeo relativamente simples pois as
32
equaccedilotildees de Navier-Stokes2 conservaccedilatildeo da massa e conservaccedilatildeo de energia satildeo resolvidas
Contudo como a maioria dos escoamentos que acontecem na natureza e no meio industrial satildeo
turbulentos estes tem um alto grau de complexidade e portanto deve-se lanccedilar matildeo de modelos
matemaacuteticos de turbulecircncia acrescentando termos as equaccedilotildees anteriormente citadas Os modelos
de turbulecircncia levam em conta variaacuteveis estatiacutesticas pois escoamentos turbulentos satildeo altamente
caoacuteticos e com isto haacute a necessidade de ferramentas estatiacutesticas para representar os escoamentos
turbulentos
A Figura 9 mostra campos de velocidade e distribuiccedilatildeo de soacutelido dentro do riser com
o regime de fluxo feito por CFD (ARMSTRONG L M 2010) Uma uacutenica velocidade de injeccedilatildeo e
diferentes alturas ao longo do riser Outros exemplos satildeo ilustrados nas Figuras 10 e 11
2 satildeo equaccedilotildees diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos Permitem determinar os
campos de velocidade e de pressatildeo num escoamento
Figura 9 Distribuiccedilatildeo de velocidades e defraccedilatildeo de soacutelido para diferentes alturas
33
28 Tempo de Aquisiccedilatildeo ou Integraccedilatildeo
Detectores de radiaccedilatildeo precisam sempre de um certo tempo (tempo de integraccedilatildeo)
para obter sinal razoaacutevel dos foacutetons incidentes Isto eacute devido agrave estatiacutestica de Poisson que regula o
processo de contagem de foacutetons e pode aumentar consideravelmente a incerteza do sinal detectado
no caso de um tempo de integraccedilatildeo baixo No domiacutenio da frequecircncia a mediccedilatildeo de sinal com um
tempo de integraccedilatildeo eacute aproximadamente equivalente a multiplicar o sinal original por um filtro
passa - baixa Quando uma amostra estaacute em repouso no interior do tomoacutegrafo eacute vantajosa a
utilizaccedilatildeo de um tempo de integraccedilatildeo alto para rejeitar ruiacutedo de alta frequecircncia Para a escolha do
tempo de integraccedilatildeo ideal deve-se estabelecer um equiliacutebrio entre a velocidade da amostra e o ruiacutedo
Poisson (MAAD 2009)
29 Sistema de cores RGB
RGB eacute a abreviatura do sistema de cores aditivas formado por Vermelho (Red)
Verde (Green) e Azul (Blue) O propoacutesito principal do sistema RGB eacute a reproduccedilatildeo de cores em
dispositivos eletrocircnicos como monitores de TV e computador datashows scanners e cacircmeras
digitais assim como na fotografia tradicional Em contraposiccedilatildeo impressoras utilizam o modelo
Figura 11 Visatildeo 3D de uma distribuiccedilatildeo de fraccedilatildeode soacutelido feito por CFD
Figura 10 Secccedilatildeo comdistribuiccedilatildeo de soacutelido que
seraacute utilizada como PhantomMatemaacutetico
34
CMYK de cores subtrativas Modelos aditivos de luzes satildeo combinados de vaacuterias maneiras para
reproduzir outras cores
O modelo de cores RGB eacute baseado na teoria de visatildeo colorida tricromaacutetica de
Young-Helmholtz e no triacircngulo de cores de Maxwell O uso do modelo RGB como padratildeo para
apresentaccedilatildeo de cores na Internet tem suas raiacutezes nos padrotildees de cores de televisotildees RCA de 1953 e
no uso do padratildeo RGB nas cacircmeras LandPolaroid poacutes Edwin Land
Estas trecircs cores natildeo devem ser confundidas com os pigmentos primaacuterios Ciano
Magenta e Amarelo conhecidos no mundo das artes como ldquocores primaacuteriasrdquo jaacute que se combinam
baseadas na reflexatildeo e absorccedilatildeo de foacutetons visto que o RGB depende da emissatildeo de foacutetons de um
componente excitado a um estado de energia mais elevado (fonte emissora por exemplo o tubo de
raios catoacutedicos)
O modelo de cores RGB por si soacute natildeo define o que significa ldquovermelhordquo ldquoverderdquo ou ldquoazulrdquo
(espectroscopicamente) e entatildeo os resultados de misturaacute-los natildeo satildeo tatildeo exatos (e sim relativos na
meacutedia da percepccedilatildeo do olho humano)
Uma cor no modelo de cores RGB pode ser descrita pela indicaccedilatildeo da quantidade de
vermelho verde e azul que conteacutem Cada uma pode variar entre o miacutenimo (completamente escuro)
e maacuteximo (completamente intenso) Quando todas as cores estatildeo no miacutenimo o resultado eacute preto Se
todas estatildeo no maacuteximo o resultado eacute branco (GONZALES 2014)
Uma das representaccedilotildees mais usuais para as cores eacute a utilizaccedilatildeo da escala de 0 agrave 255
bastante encontrada na computaccedilatildeo pela conveniecircncia de se guardar cada valor de cor em 1 byte (8
bits) Assim o vermelho completamente intenso eacute representado por 255 0 0
Branco - RGB (255 255 255) Azul - RGB (0 0 255) Vermelho - RGB (255 0 0)
Verde - RGB (0 255 0)Amarelo - RGB (2552550)Magenta - RGB (2550255)
Ciano - RGB (0 255 255) Preto - RGB (0 0 0)
35
As cores satildeo complementares agraves do sistema CMYK - Ciano (Cyan) Magenta
(Magenta) Amarelo (Yellow) e Preto (blacKKey) - e a sua mistura forma a cor branca
210 MCNP
O meacutetodo Monte Carlo eacute um algoritmo numeacuterico capaz de resolver problemas fiacutesicos e
matemaacuteticos por meio de simulaccedilatildeo de variaacuteveis aleatoacuterias (SOBOL 1994 BIELAJEW 1998)
Hoje em dia o MCNP eacute uma ferramenta matemaacutetica comumente utilizada em diversos segmentos
da ciecircncia e da engenharia para simular problemas que podem ser representados por processos
estocaacutesticos Simulaccedilotildees do transporte de radiaccedilatildeo por meio deste meacutetodo e em particular na Fiacutesica
Meacutedica tecircm passado por um raacutepido crescimento nas uacuteltimas deacutecadas (YORIYAZ 2009)
O processo Monte Carlo pode ser compreendido como um meacutetodo de geraccedilatildeo de nuacutemeros
aleatoacuterios (ROBERT amp CASELLA 2004) Um gerador uniforme de nuacutemeros pseudoaleatoacuterios eacute
um algoritmo que comeccedilando com um valor inicial e uma transformaccedilatildeo produz uma sequecircncia de
valores no intervalo [0 1] tendo esta sequecircncia um comportamento de uma variaacutevel aleatoacuteria
uniforme quando comparada com um conjunto de testes aleacutem de ser independente e identicamente
distribuiacuteda (ROBERT amp CASELLA 2004) Em termos de transporte de radiaccedilatildeo o processo
estocaacutestico pode ser visto como uma famiacutelia de partiacuteculas cujas coordenadas individuais soacute mudam
aleatoriamente em cada colisatildeo O comportamento meacutedio dessas partiacuteculas eacute descrito em termos de
Figura 12Sistema RGB
36
grandezas macroscoacutepicas como fluxo ou densidade de partiacuteculas (YORIYAZ 2009)
O Monte Carlo N Particle ndash MCNP - foi criado desde a deacutecada de 50 nos Estados
Unidos sendo desenvolvido por meio do laboratoacuterio Los Alamos National Laboratory O MCNP
continua ateacute hoje sendo aperfeiccediloado tornando-se assim mais confiaacutevel e usado por muitos
pesquisadores no mundo inteiro Eacute um coacutedigo que realiza o transporte de partiacuteculas utilizando o
meacutetodo Monte Carlo com capacidade para simular necircutrons com energias entre 10-11 MeV a 20
MeV enquanto que a faixa de energia para os foacutetons e eleacutetrons vai de 1 keV a 1000 MeV
(BRIESMEISTER 2000) O coacutedigo MCNP tem a capacidade de simular sistemas com geometrias
que vatildeo de superfiacutecies preacute-determinadas como esferas planos paraboloacuteides de revoluccedilatildeo cilindros
elipsoacuteides ateacute superfiacutecies bem elaboradas utilizando conjunto de pontos no espaccedilo
O pesquisador ao utilizar o MCNP constroacutei um arquivo de entrada no coacutedigo que
pode ser organizado em blocos descrevendo regiotildees envolvidas no modelo especificaccedilatildeo da
geometria por meio de superfiacutecies geomeacutetricas e suas intersecccedilotildees posiccedilatildeo e distribuiccedilatildeo energeacutetica
da fonte descriccedilatildeo dos materiais e todos os paracircmetros fiacutesicos agregados com algumas teacutecnicas de
reduccedilatildeo de variacircncia para melhorar a eficiecircncia e obter melhores resultados (BRIESMEISTER
2000) A versatilidade somado ao aspecto funcional do coacutedigo MCNP para diferentes tipos de
problemas faz com que este seja bem aceito na comunidade cientiacutefica que trabalham com transporte
de radiaccedilotildees e caacutelculos de dose
37
3 METODOLOGIA
Para descobrir ateacute onde processos tomograacuteficos de baixa resoluccedilatildeo temporal aliados
a algoritmos de reconstruccedilatildeo estaacutetica satildeo compatiacuteveis com o regime em estudo foram avaliadas
aquisiccedilotildees simuladas de 1ordf 3ordf e 5ordf geraccedilotildees tomograacuteficas A variaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo de densidades
durante a aquisiccedilatildeo faz necessaacuterio o desenvolvimento de uma versatildeo da lei de Beer-Lambert para
casos dinacircmicos seguida de sua aplicaccedilatildeo para realizar as simulaccedilotildees O meacutetodo eacute separado em duas
fases
1ordf Fase
A metodologia desenvolvida aplica primeiro o modelo de simulaccedilatildeo de sinogramas
desenvolvida analiticamente agrave primitivas matemaacuteticas e posteriormente a dados do MCNPX e CFD
1) Eacute criado um modelo de simulaccedilatildeo de sinogramas para distribuiccedilotildees
dinacircmicas utilizando a versatildeo temporal desenvolvida da lei de Beer-Lambert e da transformada de
Radon tambeacutem temporal
2) A simulaccedilatildeo eacute testada com primitivas matemaacuteticas dinacircmicas como um
ciacuterculo crescente ou transladando ou ambos A escolha eacute pautada em sua representaccedilatildeo precisa por
funccedilotildees matemaacuteticas e por representar diversos processos industriais(A simulaccedilatildeo com o disco
representa a secccedilatildeo de um cilindro ou bolha)
3) Os resultados satildeo apresentados em forma de imagens e graacuteficos A
visualizaccedilatildeo do sinograma eacute bastante utilizada para determinaccedilatildeo de caracteriacutesticas do objeto
4) O modelo de simulaccedilatildeo eacute ao aplicado a dados do CFD
2ordf Fase
O meacutetodo desenvolvido propotildee uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens
tomograacuteficas de processos dinacircmicos pois utiliza canais de cores para mostrar a evoluccedilatildeo temporal
do processo O algoriacutetmo de reconstruccedilatildeo utilizado eacute o MART devido a sua boa performance com
nuacutemero limitado de dados
Nesta fase eacute realizada a reconstruccedilatildeo tradicional que eacute associada aos canais verde (G)
e azul (B) enquanto que o canal vermelho (R) fica responsaacutevel pela evoluccedilatildeo temporal do processo
O meacutetodo eacute descrito na seccedilatildeo 33
38
A reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento eacute utilizada com conhecimento do vetor
deslocamento meacutedio ou sua estimativa O meacutetodo escolhido modifica a matriz de pesos do
algoritmo algeacutebrico deslocando suas colunas de acordo com o modelo de movimento estimado
(ARTEMIEV V M NAUMOV A O 2006) (BUTALA 2009) (DESBAT L et al 2006)
Com o resultado das simulaccedilotildees o sistema tomograacutefico pode ser otimizado
(diminuiccedilatildeo do nuacutemero de projeccedilotildees e vistas)
31 A Transformada de Radon Temporal
regiatildeo (espaccedilo de medida) na qual seraacute feita a aquisiccedilatildeo de dados
considere a funccedilatildeo densidade onde
Neste sistema um ponto pode ser
mapeado por como
complemento unitaacuterio perpendicular a
ao longo da reta eacute dada por
(22)
39
depende natildeo apenas de x e y mas de com sendo a
variaacutevel tempo Definimos entatildeo
(23)
onde e o tempo final da mesma medida
Lema 1 ou seja se eacute
estaacutetico ao longo do tempo a transformada dinacircmica reduz-se a convencional
Demostraccedilatildeo
Figura 13 Sistema de Coordenadas
θ
x
y
ξξ
s
x (xy
)
40
Lema 2 e portanto se a
leitura for ldquoraacutepidardquo o caso dinacircmico mais uma vez reduz-se ao caso estaacutetico
Demostraccedilatildeo
Pelo teorema do valor meacutedio integral (TVMI) temos que se f eacute contiacutenua entatildeo
para algum tal que
usando o TVMI
K(γ)
41
32 Lei de Beer-Lambert temporal
Como a natureza da lei exige que os tempos de contagens sejam iguais para que estas
sejam comparadas apenas a variaccedilatildeo da intensidade da radiaccedilatildeo com a distacircncia eacute geralmente
explorada Sabendo que esses intervalos de tempo de contagem satildeo despreziacuteveis em relaccedilatildeo ao
tempo de meia vida da fonte e que a probabilidade de emissatildeo se manteacutem constante ao longo do
mesmo tempo pode-se supor que a intensidade seja diretamente proporcional ao tempo Ou seja
(24)
Neste caso a distribuiccedilatildeo de coeficientes de atenuaccedilotildees varia tambeacutem com o tempo
ou seja torna-se
(25)
ou
(26)
O modelo discreto aplica a lei de Beer-Lambert em sua forma estaacutetica para cada
particcedilatildeo de tempo assumindo que durante o infinitesimal de tempo o coeficiente e a distacircncia
percorrida permanecem constantes
(27)
42
(28)
33 Simulaccedilatildeo de aquisiccedilotildees Tomograacuteficas
O processo de aquisiccedilatildeo tomograacutefica consiste em coletar intensidades iniciais e finais
em determinados caminhos percorridos pelos feixes de radiaccedilatildeo Os dados podem ser tratados com
filtros etc Optou-se em natildeo realizar tratamento para natildeo inserir mais variaacuteveis ao processo
garantindo que os resultados sejam alcanccedilados soacute pelo meacutetodo proposto
Como jaacute foi dito na seccedilatildeo 26 para calcular a intensidade final para um caminho i
faz-se
(29)
A funccedilatildeo eacute representada pelas imagens de testes chamadas neste trabalho de
quadros ou frames configurados pela distribuiccedilatildeo de densidades escolhida Em todos os casos
optou-se por densidades unitaacuterias para qualquer distribuiccedilatildeo ou seja dois valores satildeo possiacuteveis em
uma imagem de teste 0 ou 1 Um pixel com valor 0 corresponde a uma regiatildeo sem atenuaccedilatildeo e os
pixels que compotildeem o objeto simulado tem valor 1
Com calculado da figura e de meacutedia fixa variando a cada projeccedilatildeo
com o desvio padratildeo de Poisson para todas as projeccedilotildees as projeccedilotildees satildeo calculadas com
O conjunto de todas as projeccedilotildees eacute ordenado em uma matriz chamada de sinograma
331 Aquisiccedilatildeo por Tomografia de 1ordf Geraccedilatildeo
Dois tipos de situaccedilotildees podem ocorrer
1) Uma uacutenica projeccedilatildeo 1D eacute realizada e durante todo o tempo de integraccedilatildeo nenhuma
mudanccedila ocorre na distribuiccedilatildeo ao longo do raio podendo mais de uma aquisiccedilatildeo 1D ser aferida
para mesma distribuiccedilatildeo ou frame Neste caso a intensidade final eacute calculada utilizando a lei de
43
Beer-Lambert durante todo o tempo de integraccedilatildeo para cada raio como ilustrado na Figura 15
Para calcular a intensidade final para uma projeccedilatildeo i faz-se
(30)
2) Durante a aquisiccedilatildeo ocorre mudanccedila na distribuiccedilatildeo de densidades ao longo do
feixe Como foi exposto na seccedilatildeo 31 o somatoacuterio de intensidades finais do raio em cada quadro
(frame) retorna a intensidade final total para um certo tempo de aquisiccedilatildeo Figura 16
Figura 15 Projeccedilotildees 1D sem mudanccedila de frame
44
Entatildeo para cada frame eacute feita
e para a discretizaccedilatildeo de um intervalo de tempo
No exemplo ilustrado na Figura 16 a intensidade final depois do tempo de integraccedilatildeo
correspondente ao frame b fica
3) Natildeo ocorre mudanccedila na distribuiccedilatildeo durante toda a coleta de aquisiccedilotildees 1D em uma vista
4) Natildeo ocorre mudanccedila durante a aquisiccedilatildeo de todas as vistas Neste caso a distribuiccedilatildeo pode
ser tratada como estaacutetica
Figura 16 Projeccedilotildees 1D com mudanccedila de frame
1ordf aquisiccedilatildeo - Quadro a 1ordf aquisiccedilatildeo - Quadro b
45
332 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 3ordf geraccedilatildeo
A vantagem do meacutetodo eacute adquirir vaacuterias projeccedilotildees 1D ao mesmo tempo
Possibilitando um maior volume de dados em um tempo menor quando comparado ao de 1ordf
geraccedilatildeo Dois casos satildeo possiacuteveis
1) O tempo de integraccedilatildeo eacute suficiente para realizar uma vista completa ou mais por
quadro ou frame Figura 17
Figura 17 Mais de uma vista por frame
46
2) Mais de um quadro por vista Figura 18
333 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 5ordf geraccedilatildeo
Nesta situaccedilatildeo vaacuterias vistas satildeo adquiridas durante a mudanccedila da distribuiccedilatildeo Figura 19
Figura 19 Mais de um frame durante a aquisiccedilatildeo
Figura 18 Mais de um frame por vista
47
34 Posicionamento angular
O posicionamento angular tradicionalmente eacute feito com um conjunto de acircngulos
igualmente espaccedilados ordenados de forma crescente cobrindo o intervalo de 0ordm a 180ordm ou 360ordm A
ordem em que as projeccedilotildees ou vistas satildeo adquiridas natildeo importa porque o objeto em estudo eacute
estaacutetico
A proposta para tomografia dinacircmica de 1ordf e 3ordf geraccedilotildees eacute que o posicionamento seja
feito em subconjuntos que completem um ciclo Por exemplo o conjunto de vistas posicionadas
consecutivamente em 0ordm 45ordm 90ordm 135ordm 180ordm 225ordm 270ordm 315ordm pode ser reordenada em ciclos como
0ordm 90ordm 180ordm 270ordm Primeiro ciclo
45ordm 135ordm 225ordm 315ordm Segundo ciclo
A vantagem desse arranjo eacute que num determinado momento ao se preferir um
sinograma completo mas esparso em contraposiccedilatildeo a um sinograma incompleto mas denso eacute que as
informaccedilotildees vatildeo ser disponibilizadas na forma de imagem reconstruiacuteda mais cedo durante o
processo facilitando a interpretaccedilatildeo das informaccedilotildees Eacute uma escolha entre anaacutelise global esparsa
versus anaacutelise local densa
A nova ordenaccedilatildeo gera uma imagem reconstruiacuteda mais proacutexima do objeto dinacircmico e
abre a possibilidade de reconstruccedilotildees parciais com os subconjuntos de dados mais consistentes com
a dinacircmica do processo
35 Utilizaccedilatildeo de um canal de cores para visualizar a dinacircmica do processo Reconstruccedilatildeo RGB
Uma caracteriacutestica da imagem reconstruiacuteda tradicionalmente em processos
industriais dinacircmicos eacute a falta de informaccedilatildeo temporal ou seja obtecircm-se informaccedilotildees da meacutedia da
distribuiccedilatildeo mas natildeo se sabe em que tempo ocorreram as mudanccedilas de padratildeo de fluxo A proposta
desenvolvida neste trabalho pondera cada perfil adquirido com um fator dependente do tempo
criando esta distinccedilatildeo
O meacutetodo desenvolvido propotildee uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens
tomograacuteficas de processos dinacircmicos pois utiliza canais de cores para mostrar a evoluccedilatildeo temporal
do processo Nesta fase eacute realizada a reconstruccedilatildeo tradicional e a mesma eacute associada aos canais
verde (G) e azul (B) enquanto que ao canal vermelho (R) eacute associada a evoluccedilatildeo temporal do
processo Uma cor no modelo de cores RGB pode ser descrita pela indicaccedilatildeo da quantidade de
48
vermelho verde e azul que conteacutem Cada uma pode variar entre o miacutenimo (completamente escuro)
e maacuteximo (completamente intenso) Quando todas as cores estatildeo no miacutenimo o resultado eacute preto Se
todas estatildeo no maacuteximo o resultado eacute branco Uma das representaccedilotildees mais usuais para os canais eacute a
utilizaccedilatildeo da escala de 0 agrave 255 (GONZALES 2014)
O meacutetodo consiste em
1) Simular as projeccedilotildees que equivalem na utilizaccedilatildeo real de um experimento agrave
coleta de dados de intensidades finais e iniciais pelo detetor
2) Reconstruir com esses dados a distribuiccedilatildeo de densidades Foi utilizado o MART
com relaxaccedilatildeo 02 e criteacuterio de parada 1
3) Associar esta reconstruccedilatildeo aos canais G e B
4) Binarizar a imagem reconstruiacuteda entre 0 e 150 O limiar (threshold) utilizado foi
empiacuterico e de 50 do maior valor da imagem
5) Penalizar as projeccedilotildees da primeira agrave uacuteltima com um fator empiacuterico crescente com
o tempo Normalizar as projeccedilotildees de cada vista por 105
6) Realizar a retroprojeccedilatildeo nos pixels com suas respectivas projeccedilotildees
7) Associar ao canal R
8) Juntar todos os canais em uma uacutenica imagem A reconstruccedilatildeo tradicional e a
reconstruccedilatildeo RGB satildeo visualizadas em uma uacutenica imagem onde os tons de vermelho correspondem
agrave evoluccedilatildeo temporal da dinacircmica do processo
36 Reconstruccedilatildeo utilizando dados do CFD
Dados da simulaccedilatildeo de fluxo bifaacutesico satildeo gerados em forma de imagens 2D da distribuiccedilatildeo
em secccedilotildees transversais ao longo do tubo Os dados satildeo coletados para uma uacutenica altura ou seja
secccedilatildeo As diversas imagens de uma uacutenica secccedilatildeo representam a evoluccedilatildeo temporal do fluxo
naquela regiatildeo O conjunto de 8 imagens exemplificam o comportamento do fluxo em intervalos
de tempo de 00025s
A altura da secccedilatildeo em m o tipo de injetor a vazatildeo volumeacutetrica em Lmim e o fluxo de
catalisador satildeo dados de entrada na simulaccedilatildeo do CFD mas natildeo fazem parte das simulaccedilotildees de
aquisiccedilotildees tomograacuteficas utilizadas nesse estudo As imagens portam as informaccedilotildees que seratildeo
utilizadas nas simulaccedilotildees de aquisiccedilatildeo das projeccedilotildees
49
37 Avaliaccedilatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo com RMSE
As teacutecnicas de avaliaccedilatildeo de algoritmos de reconstruccedilatildeo mais utilizadas na literatura
satildeo raiz do erro quadraacutetico meacutedio erro meacutedio relativo absoluto e erros baseados em entropia Para
o caso de simulaccedilotildees com figuras de testes bem definidas (phantoms matemaacuteticos) as teacutecnicas
podem ser aplicadas comparando a imagem reconstruiacuteda com a imagem original O mesmo
procedimento repete-se para phantoms reais onde a distribuiccedilatildeo de densidades eacute bem conhecida Os
sinogramas tambeacutem podem ser avaliados
Gordon e Herman (GORDON 1974 HERMAN 1973 HERMAN 1976) usaram a
raiz do erro quadraacutetico meacutedio para avaliar o quanto a figura reconstruiacuteda aproxima-se da original A
definiccedilatildeo do erro eacute
(31)
Onde
eacute o valor original do pixel
o pixel reconstruiacutedo
o nuacutemero total de pixels da imagem ou sinograma
50
38 Algoritmos e Software Desenvolvidos
Diversas rotinas foram implementadas no Matlab Suas funccedilotildees satildeo para calculo de
projeccedilotildees sinogramas resoluccedilatildeo por ART MART calculo da Matriz de pesos resoluccedilatildeo de
sistemas Aleacutem das jaacute disponiacuteveis no programa como Resoluccedilatildeo por FBP filtros de imagem
operaccedilatildeo com matrizes visualizaccedilatildeo de graacuteficos etc As rotinas estatildeo disponiacuteveis no Anexo-I
Devido agrave grande dimensatildeo da matriz de pesos nos algoritmos algeacutebricos ficou
inviaacutevel sua operaccedilatildeo em alguns casos no Matlab O software Tomography Workstation-TW foi
desenvolvido em C com este propoacutesito Apresenta opccedilotildees de reconstruccedilatildeo ART MART SIRT e
SART Figura 39 Tambeacutem tem as funccedilotildees para carregar tomogramas e sinogramas
Figura 20 Software Desenvolvido
51
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO
Os resultados foram divididos nas seguintes seccedilotildees
bull Aumento do nuacutemero de iteraccedilotildees na Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica Dinacircmica
bull Resultados das reconstruccedilotildees MART e FBP
bull Escolha do posicionamento angular (vistas alternadas)
bull Resultados com reconstruccedilatildeo RGB
bull Simulaccedilotildees com MCNP
bull Reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento
bull Simulaccedilotildees tomograacuteficas a partir do CFD
41 Resultados das Reconstruccedilotildees MART e FBP
As imagens de teste (phantoms) foram utilizadas para avaliar os resultados das
reconstruccedilotildees MART e FBP
411 Primitiva Ciacuterculo Transladando 1 vista por frame
A simulaccedilatildeo consiste em oito distribuiccedilotildees representadas por imagens (quadros ou
frames) de 64x64 pixels com um disco de densidade unitaacuteria e raio fixo Natildeo ocorre mudanccedila
durante a simulaccedilatildeo de uma aquisiccedilatildeo ou varredura Esta aplicaccedilatildeo simula as tomografias de 1ordf e 3ordf
geraccedilatildeo
O disco Raio = 2 pixels deslocamento de 7 pixels entre os centros dos discos de
quadros consecutivos A imagem eacute reconstruiacuteda por FBP e MART
Os frames satildeo ilustrados na Figura 21 e a meacutedia dos oito na Figura 22 Cada imagem
eacute ilustrada na escala de 64 x 64 pixels
52
Figura 21 8 frames - ciacuterculo transladando - 1 vista por frame
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 22 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
53
Os oito picos do sinograma Figura 23 ilustram a captura do disco em diferentes
posiccedilotildees
A Figura 24 ilustra o sinograma em forma de imagem onde cada valor de pixel eacute
convertido para uma escala de cor O eixo vertical (linhas do sinograma) representa a passo linear
(posiccedilatildeo das trajetoacuterias dos feixes) e o horizontal o passo angular (Nuacutemero de vistas)
Figura 23 Tomograma e sinograma ndash circulo transladando ndash 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
05
1
15
2
25
3
35
4
45
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 700
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
54
Os resultados das reconstruccedilotildees FBP e MART satildeo ilustrados na Figura 25
A reconstruccedilatildeo por FBP mostra diversos artefatos natildeo dando para identificar o
nuacutecleo nem a tendecircncia de movimento Os artefatos formam oito faixas um para cada vista ou
projeccedilatildeo Estes artefatos em faixa satildeo comuns no FBP para um baixo nuacutemero de vistas
O MART difere da imagem meacutedia mostrando um arqueamento para direita devido ao
movimento simulado e o sentido anti-horaacuterio das aquisiccedilotildees Eacute um artefato de movimento
Figura 25 Reconstruccedilotildees circulo transladando ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Figura 24 Sinogramascirculo transladando ndash 1 vista por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
55
412 Primitiva Ciacuterculo Transladando Oito vistas por frame
O objetivo desta simulaccedilatildeo eacute descobrir como se comportam os algoritmos em uma
tomografia de 5ordf geraccedilatildeo onde todas as aquisiccedilotildees satildeo realizadas ao mesmo tempo Nesta situaccedilatildeo
as oito vistas satildeo realizadas simultaneamente enquanto ocorre a mudanccedila das distribuiccedilotildees (Figura
19) Figuras com 64x64 pixels raio fixo de 2 pixels deslocamento de 5 pixels
Figura 26 Tomograma e Sinograma - disco transladando - 8 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
05
1
15
2
25
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 7001
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
56
Os resultados das reconstruccedilotildees satildeo ilustrados na Figura 28
As reconstruccedilotildees ficam mais proacuteximas da imagem meacutedia porque todas as vistas satildeo
adquiridas ao mesmo tempo durante todo o processo O FBP perde a definiccedilatildeo dos discos e forma
um artefato central vertical O MART reconstroacutei o disco nas oito posiccedilotildees Cada disco eacute
reconstruiacutedo ilustrando os oito instantes de tempo que foram simulados
Figura 27 Sinogramas CiacuterculoTransladando -Oito vistas por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Figura 28 Reconstruccedilotildees Ciacuterculo Transladando -Oito vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
57
413 Primitiva Circulo Crescente Uma vista por frame
A simulaccedilatildeo consiste em oito distribuiccedilotildees em forma de ciacuterculo concecircntricas com um
aumento 2 pixels entre distribuiccedilotildees consecutivas (Figura 29) Oito vistas satildeo adquiridas
simultaneamente para simular a tomografia de 5ordf geraccedilatildeo
Abaixo a imagem meacutedia aritmeacutetica das oito distribuiccedilotildees eacute ilustrada na Figura 29 A
aacuterea central eacute mais escura porque eacute coincidente para os oito ciacuterculos
Figura 30 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Figura 29 8 frames - circulo crescente - 1 vista por frame
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
58
Tanto o sinograma quanto o tomograma ilustram o crescimento do disco Figura
411
Figura 31 Tomograma e sinograma - ciacuterculo crescente - 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 700
10
20
30
40
50
60
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
59
O sinograma em forma de imagem eacute mostrado abaixo (Figura 32)
O aumento vertical das faixas eacute devido ao crescimento do disco
As duas reconstruccedilotildees apresentam artefatos de rotaccedilatildeo que dificultam a identificaccedilatildeo
da tendecircncia de movimento ou da distribuiccedilatildeo espacial dos discos (Figura 33)
Figura 32 Imagem do sinograma -ciacuterculo crescente - 1 vista por frame
Sinograma
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
Figura 33 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
60
414 Primitiva Circulo Crescente Oito vistas por frame
Neste caso ocorre mudanccedila de frame com a vista Para cada distribuiccedilatildeo tem-se uma
vista diferente Figura 34
Figura 34 Tomograma e sinograma - circulo crescente - 8 vista por frame
29 30 31 32 33 340
05
1
15
2
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3701
02
03
04
05
06
07
08
09
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
61
A posiccedilatildeo central que eacute comum a todos os frames eacute reconstruiacuteda nos dois casos O
FBP mostra a presenccedila de artefatos de Moireacute (Figura 36) O MART mostra poucos artefatos e
mostra uma regiatildeo borrada ao redor do ciacuterculo central indicando os discos maiores
Figura 35 Sinogramas circulo crescente ndash 8vistas por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Figura 36 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 8 vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
62
42 Vistas Alternadas
Alguns testes foram realizados para estudar o posicionamento angular quando
ordenado de forma sequencial e alternada O conjunto de vistas posicionadas consecutivamente em
0ordm 45ordm 90ordm 135ordm 180ordm 225ordm 270ordm 315ordm foram reordenadas em dois ciclos
0ordm 90ordm 180ordm 270ordm para o primeiro ciclo
45ordm 135ordm 225ordm 315ordm para o segundo ciclo
As seguintes situaccedilotildees foram exploradas
Disco transladando - 1 Vista por frame
Cada distribuiccedilatildeo (quadro) eacute capturado em um instante de tempo diferente Os
acircngulos utilizados em cada quadro satildeo apresentados na Tabela 1
Tabela 1 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 1 vista por frame
Quadro 1ordm 2ordm 3ordm 4ordm 5ordm 6ordm 7ordm 8ordm
Vista 0ordm 90ordm 180ordm 270ordm 45ordm 135ordm 225ordm 315ordm
Reconstruccedilotildees
Figura 37 Reconstruccedilotildees disco transladando - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
63
Dois ciclos satildeo suficientes para natildeo formaccedilatildeo do artefato de rotaccedilatildeo (arqueamento)
A reconstruccedilatildeo com vistas alternadas mostra-se mais coerente com a imagem meacutedia (Figura 37)
Disco transladando - 2 Vistas por frame
Com duas vistas por quadro totaliza-se quatro quadros A associaccedilatildeo eacute ilustrada na
Tabela 2
Tabela 2 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 2 vistas por frame
Quadro 1ordm 2ordm 3ordm 4ordm
Vista 0ordm e 45ordm 90ordm e 135ordm 180ordm e 225ordm 270ordm e 315ordm
A reconstruccedilatildeo encontra-se mais proacutexima da imagem meacutedia do que na situaccedilatildeo com
vista sucessivas (Figura 38)
Disco Transladando - 4 Vistas por frame
Apenas dois quadros satildeo suficientes Tabela 3
Tabela 3 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 4 vistas por frame
Quadro 1ordm 2ordm
Vista 0ordm 90ordm 180ordm e 270ordm 45ordm 135ordm 225ordm 315ordm
Figura 38 Reconstruccedilotildees disco transladando - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
64
Reconstruccedilotildees
Disco crescente - 1 Vista por frame
A configuraccedilatildeo das vistas eacute a mesma utilizada na Tabela 1 uma vista por frame
A reconstruccedilatildeo com vistas alternadas Figura 40 apresenta uma reduccedilatildeo nos artefatos
de rotaccedilatildeo mostrando uma distribuiccedilatildeo espacial mais proacutexima da imagem meacutedia (Figura 40)
Disco crescente - 2 Vistas por frame
A configuraccedilatildeo das vistas eacute mesma da Tabela-2
Figura 39 Reconstruccedilotildees disco transladando - 4 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Figura 40 Reconstruccedilotildees disco crescente - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
65
Com o aumento do nuacutemero de vistas a distribuiccedilatildeo torna-se mais central
aproximando-se da imagem meacutedia (Figura 41)
43 Resultados com RGB
As situaccedilotildees jaacute utilizadas nas seccedilotildees 41 e 42 satildeo testadas com visualizaccedilatildeo RGB
Para todos os casos a primeira reconstruccedilatildeo (MART) eacute realizada com matriz inicial de valores
unitaacuterios relaxaccedilatildeo 02 e nuacutemero de iteraccedilotildees definido pela convergecircncia de 05 e em seguida a
normalizada por 150
Os sinogramas satildeo ponderados pelo conjunto de fatores que variam de 01 a 09
linearmente espaccedilados Os valores foram escolhidos empiricamente
Em seguida eacute realizada a reconstruccedilatildeo com o sinograma jaacute ponderado e seus valores
normalizados no intervalo de 150 a 255
Figura 41 Reconstruccedilotildees disco crescente - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
66
bull Ciacuterculo transladando ndash 1 Vista por frame
Um disco para cada instante de tempo totalizando oito distribuiccedilotildees Figura 42
Para o ciacuterculo transladando verticalmente com 1 vista por frame temos um
clareamento na parte inferior da distribuiccedilatildeo indicando que esta regiatildeo traz informaccedilotildees mais
recentes (Figura 42)
A reconstruccedilatildeo com MART RGB por usar como base a distribuiccedilatildeo espacial da
reconstruccedilatildeo MART mostra o clareamento vermelho na parte inferior da figura indicando que
ocorreu movimento nesse sentido
bull Ciacuterculo transladando ndash 2 Vistas por frame
Satildeo quatro distribuiccedilotildees uma para cada instante de tempo configurando duas vistas
por frame
Figura 42 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 1 vista por frame
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
67
O clareamento do vermelho na reconstruccedilatildeo RGB indica que a parte inferior da
reconstruccedilatildeo corresponde ao uacuteltimo instante de tempo
bull Ciacuterculo transladando ndash 4 Vistas por frame
Quatro vistas por frame foram utilizadas na configuraccedilatildeo das proacuteximas trecircs situaccedilotildees
(Figura 44 Figura 45 Figura 46) O deslocamento para o disco vertical eacute utilizado com trecircs valores
distintos
A primeira situaccedilatildeo ilustra dois instantes de tempo com dois diacircmetros de distacircncia
entre os centros dos discos Figura 44
Figura 43 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
68
A proacutexima situaccedilatildeo eacute criada com 4 diacircmetros de distacircncia entre centros entre o
primeiro e segundo instantes de tempo Figura 45 Cada disco corresponde a distribuiccedilatildeo exata em
um instante
Figura 44 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 45 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
69
A terceira situaccedilatildeo visa estudar o comportamento da reconstruccedilatildeo proposta quando
haacute coincidecircncia em parte da distribuiccedilatildeo espacial Satildeo quatro instantes de tempo e uma distacircncia
com menos de um diacircmetro de distacircncia entre centros consecutivos Figura 46
bull Ciacuterculo crescente ndash duas vistas por frame
A simulaccedilatildeo totaliza 4 frames e oito vistas consecutivas Duas por frame
Apesar da situaccedilatildeo com ciacuterculo crescente e duas vistas por frame natildeo mostrar boa
reconstruccedilatildeo a imagem reconstruiacuteda difere bastante da original como jaacute mostrado na seccedilatildeo 413
tambeacutem mostra concordacircncia com os outros resultados RGB pois mostra uma regiatildeo central com
Figura 46 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 47 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo crescente - 2 vistas por frame
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
70
vermelho mais claro O clareamento deve-se a regiatildeo que eacute coincidente para todos os ciacuterculos
O problema que surge eacute que para esta situaccedilatildeo o clareamento para o vermelho criado
pela reconstruccedilatildeo RGB se confunde com a superposiccedilatildeo dos ciacuterculos da reconstruccedilatildeo tradicional
criado na regiatildeo central
44 Simulaccedilotildees com MCNPX
Os frames que anteriormente foram obtidos analiticamente com o objetivo de
encontrar as projeccedilotildees agora satildeo representados por cartotildees de entrada para o MCNPX A simulaccedilatildeo
gera como saiacuteda a intensidade relativa Foram criadas as situaccedilotildees jaacute expostas na seccedilatildeo 41 A
configuraccedilatildeo das simulaccedilotildees eacute
bull Objeto Cilindro Raio = 5cm Material Al = 000746 cm-1
bull Fonte 137Cs Atividade 5 mCi
bull Colimaccedilatildeo Pb fonte - detetor 5vmm
bull Nuacutemero de histoacuterias 100000
441 Circulo Transladando ndash 1vista por frame
Oito geometrias foram simuladas com o objetivo de encontras as projeccedilotildees
equivalentes as 8 vistas Cada vista captura o disco em um instante de tempo diferente totalizando
oito frames Na Figura 48 ilustra-se o disco (em amarelo) em diferentes posiccedilotildees com e as
respectivas a posiccedilotildees da fonte colimada indicando mudanccedila angular (em roxo e azul)
71
O meacutetodo retorna o (relaccedilatildeo entre Ifinal e o Iinicial) A matriz de intensidades relativas eacute
denominada tomograma e tem as suas colunas ordenadas por vista(Figura 49)
As projeccedilotildees satildeo encontradas fazendo e o conjunto de vistas
ordenadas em colunas eacute denominado sinograma(Figura 50)
Figura 49 Tomograma via MCNPX - 1 Vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 70
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma Por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 48 Geometria Circulo Transladando - 1 vista por frame
72
A apresentaccedilatildeo do sinograma em forma de imagem eacute ilustrada na Figura 51
Figura 50 Sinograma MCNPX - 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
1
2
3
4
5
6
Posicionamento Linear
Sinograma por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 51 Imagem de sinograma MCNPX -1 vista por frame
Sinograma MCNPX - 1 vista por frame
Vistas
Projeccedilotildees
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
73
As reconstruccedilotildees apresentaram-se similares as feitas analiticamente na seccedilatildeo 41
Formaccedilatildeo de oito artefatos em faixa no FBP e o arqueamento para esquerda indicando o sentido da
rotaccedilatildeo do tomoacutegrafo (Figura 52)
442 Circulo Transladando ndash 2 vistas por frame
Oito geometrias foram simuladas com mudanccedila no posicionamento angular apenas
quando o disco muda de posiccedilatildeo Duas vistas capturam o disco na mesma posiccedilatildeo A geometria
simulada no MCNPX eacute mostrada na Figura 53
Figura 53 Geometria circulo transladando - 2 vistas por frame
Figura 52 Reconstruccedilotildees MART e FBP ndash MCNPX ndash 1 vista por frame
FBP
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60 -06
-04
-02
0
02
04
MART
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
74
A simulaccedilatildeo retorna o seguinte tomograma Figura 54
Calculando as projeccedilotildees temos o sinograma ilustrado na Figura 55
Que visualizado em formato de imagem fica ilustrado na Figura 56
Figura 54 Tomograma MCNPX - 2 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 70
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma Por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 55 Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
1
2
3
4
5
6
Posicionamento Linear
Sinograma por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
75
As reconstruccedilotildees corresponderam as expectativas quando coincidem com as
reconstruccedilotildees simuladas analiticamente(Figura 57)
Figura 57 Reconstruccedilatildeo MART - MCNPX - 2 vistas por frameMART
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
FBP
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60 -04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
06
Figura 56 Imagem de sinograma MCNPX ndash 2vistas por frame
Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame
Vistas
Projeccedilotildees
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
76
45 Resultados com CFD
As condiccedilotildees da simulaccedilatildeo foram vazatildeo volumeacutetrica de ar eacute 500 Lmin e o fluxo de
catalisador eacute de180 kg(m2s-1) O tempo de processo foi de 10 segundos com passo de 00025
segundos
O local de leituras da fraccedilatildeo volumeacutetrica foi se encontra a uma altura de 0650
metros da base do riser feita a cada 00375 segundos durante o tempo de processo de fluidizaccedilatildeo
resultando em 268 imagens Seacuteries de oito a nove imagens da secccedilatildeo transversal satildeo utilizadas
Devido a alta resoluccedilatildeo das imagens vindas do CFD uma reduccedilatildeo foi realizada para
figuras com 64x64 pixels Figura 58
451 CFD-1 vista por frame
A sequecircncia de oito imagens em intervalos de tempos consecutivos eacute ilustrada na
Figura 59 e a imagem meacutedia na Figura 60
Figura 58 Reduccedilatildeo na resoluccedilatildeo 899x999 para 64x64
20 40 60
10
20
30
40
50
60
200 400 600 800
100
200
300
400
500
600
700
800
77
Figura 60 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
Figura 59 CFD - Frames 1 ao 8
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
78
Reconstruccedilotildees
As reconstruccedilotildees para uma vista por frame natildeo correspondem agrave realidade prevista
Figura 61 Sinogramas CFD ndash 1 vista por frame
Figura 62 Reconstruccedilotildees CFD ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo RGB
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Sinograma com Pesos
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo Mart Red
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
79
pelo CFD O pequeno nuacutemero de vistas aliado a complexidade da figura dificultam a reconstruccedilatildeo
452 CFD-8 vistas por frame
A sequecircncia de oito imagens em intervalos de tempo consecutivos eacute ilustrada na
Figura 63
A meacutedia das oito imagens Figura 63
O sinograma simulado e o mesmo ponderado satildeo mostrados na Figura 65
Figura 64 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
Figura 63 Frames 1 ao 8 CFD ndash 8 vistas por frame
80
As reconstruccedilotildees concordam com as distribuiccedilotildees quando apresentam maior
concentraccedilatildeo de soacutelido do lado direito da imagem A maior concentraccedilatildeo de pigmentaccedilatildeo vermelha
Figura 65 Sinogramas CFD - 8 vistas por frame
Figura 66 Reconstruccedilotildees CFD - 8 vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Sinograma com Pesos
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart Red
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
81
do lado direito da imagem reconstruiacuteda em RGB mostra que a distribuiccedilatildeo nesta regiatildeo eacute mais
recente O resultado tem concordacircncia com a mudanccedila de lado da distribuiccedilatildeo ao longo dos oito
frames
46 Reconstruccedilotildees com correccedilatildeo de movimento
Como a reconstruccedilatildeo com vistas alternadas eacute superior a tradicional com vistas
sucessivas utilizou-se para todas as simulaccedilotildees com correccedilatildeo de movimento o posicionamento
angular sucessivo O objetivo da escolha eacute verificar os resultados gerados soacute por correccedilatildeo da matriz
de pesos As simulaccedilotildees foram ordenadas de acordo com as situaccedilotildees jaacute exploradas e para um
instante de tempo especiacutefico
Abaixo (Figura 67 Figura 68) tem-se a configuraccedilatildeo de 4 vistas por frame
resultando em dois quadros cada um com o disco em uma posiccedilatildeo diferente A imagem tem 32x32
pixels e o deslocamento foi vertical de 5 pixels Como o nuacutemero de colunas da matriz de pesos eacute
definido pela resoluccedilatildeo da imagem o deslocamento na matriz de pesos corresponde ao vertical x
nuacutemero de elementos em uma linhaentatildeo 5 x 32 = 60 colunas para esquerda quando se quer
recuperar o primeiro instante e 60 colunas para direita no caso do segundo
Para o primeiro instante a correccedilatildeo mostra-se eficaz reconstruindo por completo a
distribuiccedilatildeo no primeiro instante de tempo Figura 67
A distribuiccedilatildeo no segundo instante eacute reconstruiacuteda com um pouco de ruiacutedo Figura 68
Figura 67 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempoImagem Meacutedia
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30Imagem Meacutedia
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
82
A situaccedilatildeo com translado horizontal eacute ilustrada na Figura 69 e Figura 70 A
reconstruccedilatildeo no primeiro instante de tempo mostra-se mais precisa Figura 69 Quatro vistas foram
utilizados por quadro com um deslocamento de 5 pixels entre eles O deslocamento de colunas eacute
realizado com o mesmo nuacutemero
Para o segundo instante Figura 70
A simulaccedilatildeo com duas vistas por frame resulta em quatro distribuiccedilotildees Figura 71
Figura 72 Figura 73 A imagem tem 64x64 pixels e o deslocamento foi vertical de 5 pixels
resultando em um deslocamento de 5 x 64 = 320 para as colunas
Figura 69 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Figura 70 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o segundo instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30
5
10
15
20
25
30
83
Para o primeiro instante de tempo temos
Para o segundo instante
Figura 71 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 72 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
20 40 60
10
20
30
40
50
60
84
e para o terceiro instante
O ruiacutedo aumenta
Ocorre o aparecimento de ruiacutedo nas reconstruccedilotildees com o aumento do tempo Este
efeito eacute devido a extrapolaccedilatildeo do deslocamento nos elementos proacuteximo as bordas da matriz de
pesos
Figura 73 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
85
5 CONCLUSOtildeES
As simulaccedilotildees analiacuteticas de primitivas matemaacuteticas foram validadas com ecircxito
quando comparadas com as mesmas realizadas por MCNPX As aquisiccedilotildees tomograacuteficas foram
simuladas mostrando a superioridade da tomografia de 5ordf geraccedilatildeo (8 vistas por frame) quando
comparada agrave de 3ordf geraccedilatildeo (uma duas e quatro vistas por frame) seccedilotildees 41 e 42 As reconstruccedilotildees
ficam mais proacuteximas da imagem meacutedia porque todas as vistas satildeo adquiridas ao mesmo tempo
durante todo o processo O FBP perde a definiccedilatildeo dos discos e forma um artefato central vertical O
MART reconstroacutei perfeitamente o disco nas oito posiccedilotildees mostrando a sua preferecircncia para um
nuacutemero limitado de dados (8 vistas) O FBP eacute bastante utilizado em tomografias meacutedicas (360
vistas ou mais) devido a baixa complexidade computacional quando comparado aos meacutetodos
algeacutebricos
Tanto o disco transladando quanto o crescente apresentam melhor performance com
o aumento do nuacutemero de vistas por distribuiccedilatildeo como pode ser visto na seccedilatildeo 41 A situaccedilatildeo em
que foi simulada uma vista por frame apresenta um artefato de movimento indicando o sentido de
rotaccedilatildeo do arranjo simulado
Os oito perfis encontrados nas simulaccedilotildees com ciacuterculo crescente mostram o aumento
do disco seccedilatildeo 413 e 414 As simulaccedilotildees para este caso reconstroem uma distribuiccedilatildeo central
distorcida pela incompatibilidade das projeccedilotildees (adquiridas em diferentes instantes de tempo) As
reconstruccedilotildees com FBP mostram-se inferiores ao MART formando artefatos de Moireacute (artefatos
estrela) em todas as reconstruccedilotildees Confirmando que estes artefatos satildeo comuns quando se utiliza o
FBP com um nuacutemero limitado de dados
Os testes com vistas alternadas mostram que essa configuraccedilatildeo eacute superior ao arranjo
sucessivo pois cobre uma aacuterea maior em um tempo menor capturando mais informaccedilotildees relativas
ao movimento (seccedilatildeo 42)
A reconstruccedilatildeo RGB inova porque mostra a evoluccedilatildeo temporal do processo com
aacutereas mais claras (vermelho claro) indicando proximidade temporal enquanto que aacutereas mais
escuras indicam tempo passado O meacutetodo mostra o clareamento no vermelho em regiotildees da figura
indicando que ocorreu movimento neste sentido Os testes com ciacuterculo transladando mostram
coerecircncia quando indicam com o vermelho mais claro as regiotildees correspondentes aos uacuteltimos
quadros O mesmo resultado eacute obtido com os dados do CFD para simulaccedilatildeo da TC de 5ordf geraccedilatildeo O
86
lado direito da imagem tem valores maiores para o vermelho coincidindo com a sequecircncia de
distribuiccedilotildees utilizada onde ocorre mudanccedila na concentraccedilatildeo do lado esquerdo para o direito Para o
ciacuterculo crescente a eficaacutecia do meacutetodo pode ser questionada pois ocorre superposiccedilatildeo das regiotildees
centrais de cada disco A aplicaccedilatildeo a dados do CFD com apenas uma vista por frame eacute ineficiente
pois a reconstruccedilatildeo RGB natildeo consegue mostrar tendecircncia de movimento A reconstruccedilatildeo tradicional
MART tambeacutem natildeo coincide com a meacutedia dos frames ou seja como o meacutetodo proposto utiliza esta
distribuiccedilatildeo espacial natildeo pode-se afirmar que a ineficiecircncia do processo seja devido unicamente a
reconstruccedilatildeo RGB
O MCNPX foi utilizado com ecircxito nas duas simulaccedilotildees propostas Sinogramas e
tomogramas satildeo coincidentes com exceccedilatildeo da escala com os mesmos encontrados por teacutecnicas
analiacuteticas
A reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento foi utilizada com ecircxito para
determinaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo no instante inicial de tempo Ocorre aparecimento de ruiacutedo com o
aumento do tempo Este efeito eacute devido a extrapolaccedilatildeo do deslocamento nos elementos proacuteximo as
bordas da matriz de pesos Salienta-se que o vetor deslocamento deve ser conhecido ou calculado
previamente Este trabalho utiliza valores jaacute determinados anteriormente nas simulaccedilotildees (distacircncia
entre discos)
O trabalho contribui para tomografia industrial porque utiliza casos comuns agrave aacuterea
como o disco transladando que eacute simulador de bolhas em colunas industriais e imagens do CFD
como phantoms para predileccedilatildeo dos perfis experimentais Contribui tambeacutem para a otimizaccedilatildeo de
paracircmetros de operaccedilatildeo tomograacutefica quando simula as aquisiccedilotildees prevendo resultados para o
experimento Indica o MART como superior ao FBP neste conjunto de dados As simulaccedilotildees
analiacuteticas de sinogramas foram validadas com ecircxito pelo MCNPX ou seja ambas podem ser
utilizadas para simulaccedilatildeo de fenocircmenos industriais Sugere tambeacutem que a TC com vistas alternadas
corresponde mais a realidade dinacircmica de uma distribuiccedilatildeo Propotildee um novo meacutetodo a
reconstruccedilatildeo RGB obtendo bons resultados apenas nas situaccedilotildees em que natildeo ocorre coincidecircncia
entre as distribuiccedilotildees de diferentes instantes de tempo
Um estudo mais detalhado dos valores empiacutericos deve ser feito para um
entendimento maior da penalizaccedilatildeo das projeccedilotildees e das situaccedilotildees em que ocorra superposiccedilatildeo de
distribuiccedilotildees
A baixa performance do FBP esperada para um baixo nuacutemero de aquisiccedilotildees indica
que testes com um nuacutemero maior de vistas devem ser realizados para o estudo dos meacutetodos
87
propostos nestas situaccedilotildees
Outro trabalho futuro eacute utilizar soluccedilotildees jaacute propostas na literatura meacutedica para
diminuiccedilatildeo de ruiacutedos e artefatos na reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento identificando o vetor
deslocamento durante o processo
Espera-se dar continuidade ao trabalho validando tambeacutem experimentalmente as
simulaccedilotildees com translado do disco (Laboratoacuterio de Radioquiacutemica ndash DEN ndash UFPE)
88
6 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
ALEXANDER B DIMITRY V VITALY V KISELEV AN Algebraic reconstruction and
post-processing in incomplete data computed tomography From X-rays to Laser Beams Jun
2007
ANDERSEN AH Algebraic reconstruction in CT from limited views IEEE transactions on
medical imaging v 8(1) p50ndash55 Jan1989
ANGELI S EFSTAHIOS S An Accelerated Algebraic Reconstruction Technique based on
the Newton-Raphson Scheme Ieee Nuclear Science Symposium Conference Record 23382ndash
3387 2009
AZZI M TULIER P BERNARD J R GARNERO L Mapping Solid Concentration in a
Circulating Fluid Bed Using Gammametry Powder Technology p27-36 1991
BENDER R GORDON R HERMAN GT Algebraic reconstruction techniques(art) for
three dimensional electron microscopy and x-ray photography J Theor Biol v29 p759ndash768
1971
BROOKS RA CHIRO G Principles of Computer Assisted Tomography ( CAT ) in
Radiographic and Radioisotopic Imaging Phis Med Biol v21 N 5 p689-732 1976
BUTALA M D KAMALABADI F FRAZIN R A Chen YldquoDynamic tomographic imaging
of the solar coronardquo IEEE J Sel Topics Signal Process vol 2 pp 755ndash7662008
CENSOR Y Finite Series-Expansion Reconstruction Methods proceedings of the ieee p71
1983
CEZARO A CEZARO FT Problemas Inversos e a matemaacutetica da tomografia
computadorizada V Bienal da SBM - Sociedade Brasileira de Matemaacutetica 2010
CRUVINEL P E Mini tomoacutegrafo de raio-x e raio gama computadorizado para aplicaccedilotildees
multidisciplinares PhD thesis Unicamp 1987
DANTAS CC MELOSM OLIVEIRA E F MAGALHAtildeES F P SANTOS M G
Measurement of density distribution of a cracking catalyst in experimental riser with a
sampling procedure for gamma ray tomography Nuclear Instruments amp Methods in Physics
Research Section B Beam Interactions with Materials and Atoms (Print) v 266 p 841-848
2008
89
DE PIERRO A R Problemas Matemaacuteticos em Tomografia por Emissatildeo Notas UNICAMP
2004
DESBAT L RIT S CLACKDOYLE R MENNESSIER C PROMAYON E
NTALAMPEKI S ldquoAlgebraic and analytic reconstruction methods for dynamic
tomography rdquo Proceedings of the 29th Annual International Conference of the IEEE EMBS Citeacute
Internationale Lyon France August 23-26 2007 ThP2B11 2007 pp 726-730
DESBAT L ROUX S GRANGEAT P ldquoCompensation of some time dependent
deformations in tomography 2 Deformations preserving the projection geometryrdquo IEEE
transactions on medical imaging vol 26 2007 pp 1-20
EARLY D S LONG DG Image Reconstruction and Enhanced Resolution Imaging from
Irregular Samples IEEE trasactions on geosciences and remote sensing 3v9(2)291ndash302 2001
FARIN G Curves and Surfaces for CAGD a Practical Guide 4th edition Academic Press-
1996
FORSYTHE GE Solving linear algebraic equations can be interesting Bulletin of the
American Mathematical Society v59(4) P299ndash330 Jul 1953
GORDON R A tutorial on art (algebraic reconstruction techniques) IEEE Trans Nucl Sci v
NS-21 p78ndash93 1974
GORDON R GUAN H A projection acess order for speedy convergence of art a multilevel
scheme for computed tomography Physics in medicine and biology p39 1994
GUAN H HERMAN G T ZHU Y Combining various projection access schemes with the
algebraic reconstruction technique for low-contrast detection in computed tomography
Physics in medicine and biology 43(8)2413ndash21 August 1998
HANSON K M WECKSONG GVW Local basis approach to computed tomography
ApplOpt v24 p4028-2039 1985
HERFFERNAN P B Robb A R Difference image reconstruction from a few projections for
nondestructive materials inspection Applied optics
HERMAN G T Iterative reconstruction algorithms Comput Biol Med v6 p273 ndash 294 1976
HERMAN G T GORDON R Reconstruction of pictures from their projections Commun
Assoc Comput Mach v14 p759ndash768 1971
HERMAN GT MEYER L B Algebraic Reconstruction Techniques Can Be Made
90
Computationally Efficient IEEE transactions on medical imaging v 12(3) 1993
IAEA-TECDOC-1589 INDUSTRIAL PROCESS GAMMA TOMOGRAPHY Final report of a
coordinated research project 2003ndash2007 May 2008
KACZMARZ S Angenaherte auflosung von systemen linearer gleichungen Bull Acad Pol
Sci Lett A vol 6-8A pp 355-357 1937
KAKA C SLANEY M Principles of Computerized tomographic imaging IEEE PRESS
1999
KALAGA D V KULKARNI A V ACHARYA R KUMAR U SINGH G JOSHI JB
Some industrial applications of gamma-ray tomography Journal of the Taiwan Institute of
Chemical Engineers 40 (2009) 602ndash612 wwwelseviercomlocatejtice
KNOLL G F Nuclear Counters Radiation-Measurement Book 2006
LUTZ PH Relaxation Methods for Image Reconstruction Communications of the ACM
v21(2) p282ndash288 1978
MARTINEZ AG Detecccedilatildeo de descontinuidades e reconstruccedilatildeo de funccedilotildees a partir de dados
espectrais filtros splines e metodos iterativos tese - UNICAMP 2006
MELO SM DANTAS CC OLIVEIRA EAL MAGALHAtildeES FP OLIVEIRA EF A FCC
catalyst gamma ray tomographic reconstruction by using non negative non parametric bezier
triangles Proceedings In 4 th International Symposion on Process Tomography in Poland p 165
Washaw 2006
MESQUITA J MATELA N OLIVEIRA N MARTINS M V Choosing the ART relaxation
parameter for Clear-PEM 2D image reconstruction Computer methods and programs in
biomedicine May 2010
MYERS G R KINGSTON A M VARSLOT T K TURNER M L SHEPPARD A
P ldquoDynamic tomography with a priori informationrdquo Applied Optics vol 50 2011 pp 3685-
3690
OLIVEIRA EF DANTAS CC MELO S B VASCONCELOS D A A ldquoCOMPARISON
AMONG TOMOGRAPHIC RECONSTRUCTION ALGORITHMSrdquo internetional nuclear
conference-INAC2011
OLIVEIRA EF DANTAS C MELO S B VASCONCELOS D A A ldquoTOMOGRAPHIC
RECONSTRUCTION WITH B-SPLINES SURFACESrdquo internetional nuclear conference-
INAC2011
91
RAMACHANDRAM G N LAKSHMINARAYANAN A V Three-dimensional
reconstruction from radiographs and electron micrographs II application of convolutions
instead of Fourier transforms Proc Natl Acad Sci US v68 p2236-2240 1971
KACZMARZ S Angenaherte auflosung von systemen linearer gleichungen Acad Pol Sci
Lett v 6-8A p355ndash357 1937
SALINA F V MASCARENHAS NDA CRUVINEL PE A Comparison of POCS
Algorithms for Tomographic Reconstruction Under Noise and Limited View Computer
Graphics and Image Processing 2002
SALVADOR P A V Anaacutelise de sistemas multifaacutesicos utilizando tomografia computadorizada
gama monoenergeacutetica e polienergeacutetica Tese IPEN-USP 2008
SERGIO N QUORIN R Diagnoacutestico de defeitos em madeira por tomografia de raios x PhD
thesis UFPR 2004
SUBBARAO P M V MUNSHI P MURALIDHAR K Performance of iterative tomographic
algorithms applied to non-destructive evaluation with limited data NDT amp Internacional
v30(6) p359ndash370 1997
TANABE K Projection method for solving a singular system Numer Math 17203ndash214 1971
TIRUNELVELI G HERMAN G T Comparison of Square-Pixel and Hexagonal-Pixel
Resolution in Image Processing Test pages 867ndash872 2002
VERHOEVEN D Limited-data computed tomography algorithms for the physical sciences
Applied Optics jul1993
WENKAI L Adaptive algebraic reconstruction technique Image (Rochester NY) v31(12)
p3222ndash3230 2004
92
ANEXO ndash I
ROTINAS DESENVOLVIDAS NO MATLAB
Rotina responsaacutevel por criar os phantoms e calcular o sinograma Tambeacutem reconstroacutei
clear
d=64Nproj=8Ntraj=dNpixel=dr=02Nit=30display(MART)chute=1I0=10^8x=1fig3=(zeros(d))teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)inc=3cont=1z=zeros(NprojNtraj1)zt=zzt1=zzt2=zztgb=zcont=1c=0teta=[teta teta]clear fig
vpf=1raio=3inc=7c=5vpf=2raio=4inc=8c=5vpf=4raio=5inc=17c=10 vpf=8raio=1inc=4vpf=4inc=1cc=0inc2=25c=10vpf=4raio=3inc=15c=0 fator=(1Nproj)(1Nproj)1fator=flipud(fator)fator=linspace(00509Nproj)a=0for n=1Nproj a=a+1 circ(n)=Circulo(d(d2)(d2)(1+c))if a==vpfa=0c=c+incend crescente circ(n)=Circulo(d5+c(d2)raio)if a==vpfa=0c=c+incend translado vertical fig=circ(n) [z]=sinograma(fig teta(n)) zr=radon(fig teta(n)Ntraj) fig3=(fig3+fig) Itred(cont)=(I0exp(-zx))n((Nproj+inc+1)-n)(nNproj)olhar sempre It(cont)=I0exp(-zx) Ir(cont)=I0exp(-zr) cont=cont+1endfig3=fig3(max(max(fig3))Nproj)tira a sobreposiccedilatildeosinot=log((I0)It)importante retirar fator caso seja utilizado tomo de 3ordfsinot=(ZeraNeg(sinot))rect=Mart2(MatparaCol(real(sinot))teta102)[c d]=size(rect)rect=ColparaMat(rect(d)NpixelNpixel)figure subplot(131)imagesc(fig3)title(Imagem Meacutedia) subplot(132)imagesc(rect)title(MART Vistas Sucessivas) subplot(133)imagesc(rect)title(MART Vistas Alternadas)
93
Rotina para Testes com reconstruccedilotildees
clear load meialuanotubo2load dadosdinamicoload dadosdinamico2dados2=dados3[Ntraj Nproj]=size(dados2) for a=1Nproj for b=1Ntraj if dados2(ab)gt1 || dados2(ab)lt10^-2 dados2(ab)=1 end endend sinograma=-(102)log(dados2)sinograma=ZeraNeg(sinograma)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj) display(FBP)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)z=sinogramarecfbp=iradon(ztetaNtraj)x=164figsino(xdados2) figsino(xsinograma) figureimagesc(sinograma)title(Sinograma MCNPX - 1 vista por frame) xlabel(Vistas)ylabel(Projeccedilotildees)
_________________________MART___________________________________________ x=[02] Nit=20r=1recmart=zeros(Npixel^2Nitlength(x)) display(MART com pesos)display(x) z=MatparaCol(sinograma) [ix iy]=GridAlg(NprojNtrajNtrajpi) [A]=pesosart(ixiyNprojNtrajNtraj) rec=Art(AzNprojNtraj5002) figure imagesc(rec)title(ART) end recfinal=ColparaMat(recmart(Nit)NpixelNpixel) figuresurf(recfinal)figureimagesc(recfinal)colorbartitle(Mart) durou=etime(clockliga)60save phantomacrilicoMart x durou recmart A _________________________ART____________________________________________ x=[02] Nit=10r=1recart=zeros(Npixel) display(ART com pesos)display(x) z=MatparaCol(sinograma) rec=Mart(AzNprojNtrajNitx) recart=ColparaMat(rec(Nit)NpixelNpixel)r=r+1 figureimagesc(recart)colorbartitle(art) __________________________________________________________________________
94
rotina para caacutelculo do sinograma
function [matriz]=sinograma(fig teta)
[a b]=size(fig)Ntraj=aNproj=size(teta2)sino=zeros(NtrajNproj)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)for i=1Nproj for j=1b sino(ji)=Project(figteta(i)j) endendmatriz=sino
function [bijtemp erromat]=Mart2(ztetachuterelax)
[a b]=size(z)Nproj=size(teta2)Ntraj=aNprojNpixel=Ntrajbijtemp=ones(Npixel^250)bijtemp(1)=chute pij=ones(size(sino))Ite=50erro=1cont=1erromat=zeros(149)for Nitera=1Ite if Nitera==25 Nitera end for i=1Nproj W=Wproj(teta(i)Npixel) pij=Wbijtemp(Nitera) for j=1Ntraj cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pij(j))pij(j) if (pij(j)==0)cor=0000000001end ind=find(W(j)) cor=correlax bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corbijtemp(indNitera)W(jind)) end end if errolt=005break end if Niteragt=2 erro=100sqrt(sum(sum(((bijtemp(Nitera)-bijtemp(Nitera-1))^2))))sum(sum(bijtemp(Nitera))) erromat(cont)=errocont=cont+1 end if (Nitera ~= Ite)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)endendbijtemp=bijtemp(1Nitera)erro
function [bijtemp erromat]=Mart2(ztetachuterelax)
[a b]=size(z)Nproj=size(teta2)Ntraj=aNprojNpixel=Ntrajbijtemp=ones(Npixel^250)bijtemp(1)=chute
95
pij=ones(size(sino))Ite=50erro=1cont=1erromat=zeros(149)for Nitera=1Ite if Nitera==25 Nitera end for i=1Nproj W=Wproj(teta(i)Npixel) pij=Wbijtemp(Nitera) for j=1Ntraj cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pij(j))pij(j) if (pij(j)==0)cor=0000000001end ind=find(W(j)) cor=correlax(i) bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corbijtemp(indNitera)W(jind)) end end if errolt=005break end if Niteragt=2 erro=100sqrt(sum(sum(((bijtemp(Nitera)-bijtemp(Nitera-1))^2))))sum(sum(bijtemp(Nitera))) erromat(cont)=errocont=cont+1 end if (Nitera ~= Ite)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)endendbijtemp=bijtemp(1Nitera)erro
function [figtemp]=BP(NprojNtrajNpixelzinterXinterYfigura)
Back projection
c=max(size(figura))
Ntraj=c
Npixel=caumenta a dimenssatildeo da figura para eliminar artefatos de rotaccedilatildeo
figtemp=zeros(c)
inter=ones(22(Npixel+1))696969
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
inter(1)=interX(((i-1)Npixel)+j)
inter(2)=interY(((i-1)Npixel)+j)
for a=12(Npixel+1)
if (inter(1a)gt=0 ampamp inter(1a)ltNpixel) ampamp (inter(2a)gt=0 ampamp
inter(2a)ltNpixel) ampamp (inter(1a+1)gt=0 ampamp inter(1a+1)lt=Npixel) ampamp
(inter(2a+1)gt=0 ampamp inter(2a+1)lt=Npixel)
dist=sqrt(((inter(1a+1)-inter(1a))^2)+((inter(2a+1)-
inter(2a))^2))
x=fix(inter(1a))y=fix(inter(2a))
if (figura(x+1y+1))gt 10^-1
figtemp(x+1y+1)=figtemp(x+1y+1)+z(Ntraj(i-1)+j)dist
end
end
end
end
end
function [bijtemp]=Art(AzNprojNtrajNitrelax)
ART aditivo com opccedilatildeo de relaxaccedilatildeo
96
[c d]=size(A)a=sqrt(d)b=a
bijtemp=zeros(b^2Nit)10
pij=zeros(b1)pijtemp=zeros(Ntraj1)convergencia=zeros(1Nit)
Projection=Nproj
for Nitera=1Nit
interaction=Nitera
for i=1Nproj
pijtemp=A((Ntraj(i-1)+1)(Ntraj(i-1)+Ntraj))bijtemp(Nitera)
for j=1Ntraj
soma=sum(A(Ntraj(i-1)+j)^2)
cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pijtemp(j))
ind=find(A(Ntraj(i-1)+j))
cor=correlaxsoma
bijtemp(indNitera)=(bijtemp(indNitera) + corA(Ntraj(i-
1)+jind))
for ii=ind
if bijtemp(iiNitera)lt0bijtemp(iiNitera)=0end
end
end
end
if (Nitera ~= Nit)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)end
if (Nitera ~= 1)convergencia(Nit)=sqrt(sum(sum(bijtemp(Nitera-1)^2
-bijtemp(Nitera)^2))sum(sum(bijtemp(Nitera)^2)))end
end
function [bijtemp]=Artfast(AzNprojNtrajNitrelax)
ART aditivo com opccedilatildeo de relaxaccedilatildeo
[c d]=size(A)a=sqrt(d)b=a
bijtemp=ones(b^2Nit)
pij=zeros(b1)pijtemp=zeros(Ntraj1)
Projection=Nproj
for Nitera=1Nit
Nitera
for i=1Nproj
pijtemp=A((Ntraj(i-1)+1)(Ntraj(i-1)+Ntraj))bijtemp(Nitera)
for j=1Ntraj
soma=sum(A(Ntraj(i-1)+j)^2)
cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pijtemp(j))
ind=find(A(Ntraj(i-1)+j))
cor=correlaxsoma
bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corA(Ntraj(i-
1)+jind))
for ii=ind
if bijtemp(iiNitera)lt0bijtemp(iiNitera)=0end
end
end
end
if (Nitera ~= Nit)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)end
end
function [interX interY]=GridAlg(NprojNtrajNpixelRangeAngular)
RangeAngular=pi
display(vc olhou pi)
rxvetor=zeros(Nproj1)
ryvetor=zeros(Nproj1)
rxpontos=zeros(NtrajNproj)
97
rypontos=zeros(NtrajNproj)
rxpontos(1)=linspace(0+(NpixelNtraj)2Npixel-(NpixelNtraj)2Ntraj)
rypontos=flipud(rypontos)
rypontos(1)=0
rxvetor(1)=0
ryvetor(1)=1
teta=RangeAngularNproj
rot=[cos(teta) -sin(teta)sin(teta) cos(teta)]
for b=2Nproj
vet=rot[rxvetor(b-1) ryvetor(b-1)]
rxvetor(b)=vet(1)
ryvetor(b)=vet(2)
end
for b=2Nproj
for a=1Ntraj
pontos=rot[rxpontos(ab-1)-(Npixel2)rypontos(ab-1)-(Npixel2)]
rxpontos(ab)=pontos(1)+(Npixel2)
rypontos(ab)=pontos(2)+(Npixel2)
end
end
clear FIG
interX=zeros(NtrajNproj2(Npixel+1))interY=interX
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
ind=1
inter=ones(22(Npixel+1))696969
if rxvetor(i)lt-10^-5 || rxvetor(i)gt10^-5
for x=0Npixel
inter(2x+1)=(ryvetor(i)rxvetor(i))(x-rxpontos(ji))
+rypontos(ji)
inter(1x+1)=x
ind=ind+1
end
end
if rxvetor(i)gt=-10^-5 ampamp rxvetor(i)lt=10^-5x=-1end
if ryvetor(i)lt-10^-5 || ryvetor(i)gt10^-5
for y=0Npixel
inter(1x+2+y)=(rxvetor(i)ryvetor(i))(y-rypontos(ji))
+rxpontos(ji)
inter(2x+2+y)=y
ind=ind+1
end
end
[inter(1) B]=sort(inter(1))
inter(2)=inter(2B)
interX(((i-1)Ntraj)+j)=inter(1)
interY(((i-1)Ntraj)+j)=inter(2)
end
end
function [A]=pesosart(interXinterYNprojNpixelNtraj)
(NprojNtraj)x(Npixel^2)lt=70000000 out of memory with space free 560000000
98
[a b]=size(interX)
Atemp=sparse(zeros(NtrajNpixel^2))
inter=ones(22(Npixel+1))696969
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
inter(1)=interX(((i-1)Ntraj)+j)
inter(2)=interY(((i-1)Ntraj)+j)
for a=12(Npixel+1)
if (inter(1a)gt=0 ampamp inter(1a)ltNpixel) ampamp (inter(2a)gt=0 ampamp
inter(2a)ltNpixel) ampamp (inter(1a+1)gt=0 ampamp inter(1a+1)lt=Npixel) ampamp
(inter(2a+1)gt=0 ampamp inter(2a+1)lt=Npixel)
dist=sqrt(((inter(1a+1)-inter(1a))^2)+((inter(2a+1)-
inter(2a))^2))
if inter(2a+1)ltinter(2a)
y=fix(inter(2a+1))
else
y=fix(inter(2a))
end
x=fix(inter(1a))
Atemp(jNpixel(Npixel-y-1)+x+1)=dist
end
end
end
if i==1
A=Atemp
else
A=[AAtemp]
end
Atemp=sparse(zeros(NtrajNpixel^2))
end
Aos meus paisJoatildeo Batista Verocircnica Ferreira Juraci Oliveira Joseacute Machado e Isaias Oliveira (in memorian)
Minha homenagem
Dedico
AGRADECIMENTOS
Agradeccedilo aos professores orientadores Dr Carlos Costa Dantas e Dr Siacutelvio Barros
Melo que me orientam desde dos tempos de iniciaccedilatildeo cientiacutefica contribuindo significativamente
para minha formaccedilatildeo
A Drordf Margarida Hamada e o Dr Carlos Mesquita pela orientaccedilatildeo e ajuda no iniacutecio
deste trabalho
A Comissatildeo Nacional de Pesquisa Nuclear- CNEN pelo financiamento da pesquisa
E a todos que de alguma forma contribuiacuteram para realizaccedilatildeo deste trabalho
RESUMO
O estado da arte dos meacutetodos aplicados para processos industriais eacute atualmentebaseado em princiacutepios de reconstruccedilotildees tomograacuteficas claacutessicas desenvolvidos para padrotildeestomograacuteficos de distribuiccedilotildees estaacuteticas ou seja satildeo limitados a processos de pouca variabilidadeRuiacutedos e artefatos de movimento satildeo os principais problemas causados pela incompatibilidade nosdados gerada pelo movimento Aleacutem disso em processos tomograacuteficos industriais eacute comum umnuacutemero limitado de dados podendo produzir ruiacutedo artefatos e natildeo concordacircncia com a distribuiccedilatildeoem estudo Um dos objetivos do presente trabalho eacute discutir as dificuldades que surgem daimplementaccedilatildeo de algoritmos de reconstruccedilatildeo em tomografia dinacircmica que foram originalmentedesenvolvidos para distribuiccedilotildees estaacuteticas Outro objetivo eacute propor soluccedilotildees que visam reduzir aperda de informaccedilatildeo temporal devido a utilizaccedilatildeo de teacutecnicas estaacuteticas em processos dinacircmicos Noque diz respeito agrave reconstruccedilatildeo de imagem dinacircmica foi realizada uma comparaccedilatildeo entre diferentesmeacutetodos de reconstruccedilatildeo estaacuteticos como MART e FBP quando usado para cenaacuterios dinacircmicosEsta comparaccedilatildeo foi baseada em simulaccedilotildees por MCNPX e tambeacutem analiticamente de um cilindrode alumiacutenio que se move durante o processo de aquisiccedilatildeo e tambeacutem com base em imagens decortes transversais de teacutecnicas de CFD Outra contribuiccedilatildeo foi aproveitar o canal triplo de coresnecessaacuterio para exibir imagens coloridas na maioria dos monitores de modo que dimensionandoadequadamente os valores adquiridos de cada vista no sistema linear de reconstruccedilatildeo foi possiacutevelimprimir traccedilos temporais na imagem tradicionalmente reconstruiacuteda Finalmente uma teacutecnica decorreccedilatildeo de movimento usado no campo da medicina foi proposto para aplicaccedilotildees industriaisconsiderando-se que a distribuiccedilatildeo de densidade nestes cenaacuterios pode apresentar variaccedilotildeescompatiacuteveis com movimentos riacutegidos ou alteraccedilotildees na escala de certos objetos A ideia eacute usar dadosconhecidos a priori ou durante o processo como vetor deslocamento e entatildeo usar essasinformaccedilotildees para melhorar a qualidade da reconstruccedilatildeo Isto eacute feito atraveacutes da manipulaccedilatildeoadequada da matriz peso no meacutetodo algeacutebrico isto eacute ajustando-se os valores para refletir omovimento objeto do previsto ou deformaccedilatildeo Os resultados de todas essas teacutecnicas aplicadas emvaacuterios experimentos e simulaccedilotildees satildeo discutidos neste trabalho
PALAVRAS-CHAVE Reconstruccedilatildeo Tomograacutefica Reconstruccedilatildeo Dinacircmica Tomografia CFD
MCNP
ABSTRACT
The state of the art methods applied to industrial processes is currently based on the principles ofclassical tomographic reconstructions developed for tomographic patterns of static distributions oris limited to cases of low variability of the density distribution function of the tomographed objectNoise and motion artifacts are the main problems caused by a mismatch in the data from viewsacquired in different instants All of these add to the known fact that using a limited amount of datacan result in the presence of noise artifacts and some inconsistencies with the distribution understudy One of the objectives of the present work is to discuss the difficulties that arise fromimplementing reconstruction algorithms in dynamic tomography that were originally developed forstatic distributions Another objective is to propose solutions that aim at reducing a temporal type ofinformation loss caused by employing regular acquisition systems to dynamic processes Withrespect to dynamic image reconstruction it was conducted a comparison between different staticreconstruction methods like MART and FBP when used for dynamic scenarios This comparisonwas based on a MCNPx simulation as well as an analytical setup of an aluminum cylinder thatmoves along the section of a riser during the process of acquisition and also based on cross sectionimages from CFD techniques As for the adaptation of current tomographic acquisition systems fordynamic processes this work established a sequence of tomographic views in a just-in-time fashionfor visualization purposes a form of visually disposing density information as soon as it becomesamenable to image reconstruction A third contribution was to take advantage of the triple colorchannel necessary to display colored images in most displays so that by appropriately scaling theacquired values of each view in the linear system of the reconstruction it was possible to imprint atemporal trace into the regularly reconstructed image where the temporal trace utilizes a channeland the regular reconstruction utilizes a different one Finally a motion correction technique used inthe medical field was proposed for industrial applications considering that the density distributionin these scenarios may present variations compatible with rigid motions or changes in scale ofcertain objects The idea is to identify in some configurations of the temporarily distributed dataclues of the type of motion or deformation suffered by the object during the data acquisition andthen use this information to improve the quality of the reconstruction This is done by appropriatelymanipulating the weight matrix in the algebraic method ie by adjusting the values to reflect thepredicted object motion or deformation The results of all these techniques applied in severalexperiments and simulations are discussed in this work
Keywords Industrial Dynamic Tomography Flow Dynamics Dynamic Process SimulationDynamic Tomographic Reconstruction
Lista de Figuras
Figura 1 Atenuaccedilatildeo da Radiaccedilatildeo pela mateacuteria16Figura 2 Discretizaccedilatildeo de l18Figura 3 Sinograma constituiacutedo de 180 vistas (construiacutedo com a funccedilatildeo radon do matlab)19Figura 4 Discretizaccedilatildeo da secccedilatildeo irradiada22Figura 5 Geraccedilotildees Tomograacuteficas27Figura 6 Geraccedilotildees Tomograacuteficas28Figura 7 Phantom de Sheep-Logan29Figura 8 Discretizaccedilatildeo da secccedilatildeo irradiada30Figura 9 Distribuiccedilatildeo de velocidades e de fraccedilatildeo de soacutelido para diferentes alturas32Figura 10 Secccedilatildeo com distribuiccedilatildeo de soacutelido que seraacute utilizada como Phantom Matemaacutetico33Figura 11 Visatildeo 3D de uma distribuiccedilatildeo de fraccedilatildeo de soacutelido feito por CFD33 Figura 12Sistema RGB35Figura 13 Sistema de Coordenadas39Figura 14 reta r sendo mapeada por39Figura 15 Projeccedilotildees 1D sem mudanccedila de frame43Figura 16 Projeccedilotildees 1D com mudanccedila de frame44Figura 17 Mais de uma vista por frame45Figura 18 Mais de um frame por vista46Figura 19 Mais de um frame durante a aquisiccedilatildeo46Figura 20 Software Desenvolvido50Figura 21 8 frames - ciacuterculo transladando - 1 vista por frame52Figura 22 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames52Figura 23 Tomograma e sinograma ndash circulo transladando ndash 1 vista por frame53Figura 24 Sinogramascirculo transladando ndash 1 vista por frame54Figura 25 Reconstruccedilotildees circulo transladando ndash 1 vista por frame54Figura 26 Tomograma e Sinograma - disco transladando - 8 vistas por frame55Figura 27 Sinogramas Ciacuterculo Transladando -Oito vistas por frame56Figura 28 Reconstruccedilotildees Ciacuterculo Transladando -Oito vistas por frame56Figura 29 8 frames - circulo crescente - 1 vista por frame57Figura 30 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames57Figura 31 Tomograma e sinograma - ciacuterculo crescente - 1 vista por frame58Figura 32 Imagem do sinograma - ciacuterculo crescente - 1 vista por frame59Figura 33 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 1 vista por frame59Figura 34 Tomograma e sinograma - circulo crescente - 8 vista por frame60Figura 35 Sinogramas circulo crescente ndash 8 vistas por frame61Figura 36 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 8 vistas por frame61Figura 37 Reconstruccedilotildees disco transladando - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas e alternadas62Figura 38 Reconstruccedilotildees disco transladando - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas e alternadas 63Figura 39 Reconstruccedilotildees disco transladando - 4 Vistas por frame - Vistas sucessivas e alternadas 64Figura 40 Reconstruccedilotildees disco crescente - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas e alternadas64Figura 41 Reconstruccedilotildees disco crescente - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas e alternadas65Figura 42 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 1 vista por frame66Figura 43 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frame67Figura 44 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frame68Figura 45 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frame68Figura 46 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frame69Figura 47 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo crescente - 2 vistas por frame69Figura 48 Geometria Circulo Transladando - 1 vista por frame71
Figura 49 Tomograma via MCNPX - 1 Vista por frame71Figura 50 Sinograma MCNPX - 1 vista por frame72Figura 51 Imagem de sinograma MCNPX - 1 vista por frame72Figura 52 Reconstruccedilotildees MART e FBP ndash MCNPX ndash 1 vista por frame73Figura 53 Geometria circulo transladando - 2 vistas por frame73Figura 54 Tomograma MCNPX - 2 vistas por frame74Figura 55 Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame74Figura 56 Imagem de sinograma MCNPX ndash 2 vistas por frame75Figura 57 Reconstruccedilatildeo MART - MCNPX - 2 vistas por frame75Figura 58 Reduccedilatildeo na resoluccedilatildeo 899x999 para 64x6476Figura 59 CFD - Frames 1 ao 877Figura 60 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames77Figura 61 Sinogramas CFD ndash 1 vista por frame78Figura 62 Reconstruccedilotildees CFD ndash 1 vista por frame78Figura 63 Frames 1 ao 8 CFD ndash 8 vistas por frame79Figura 64 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames79Figura 65 Sinogramas CFD - 8 vistas por frame80Figura 66 Reconstruccedilotildees CFD - 8 vistas por frame80Figura 67 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo81Figura 68 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o segundo instante de tempo81Figura 69 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo82Figura 70 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o segundo instante de tempo82Figura 71 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo83Figura 72 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo83Figura 73 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo84
LISTA DE TABELAS
Tabela 1
Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 1 vista por framehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip62
Tabela 2
Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 2 vistas por framehelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip63
Tabela 3
Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 4 vistas por framehelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip63
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
DEN ndash Departamento de Energia Nuclear
UFPE ndash Universidade Federal de Pernambuco
TC ndash Tomografia Computadorizada
ART ndash Algebraic Reconstruction Techinique
MART ndash Multiplicative Algebraic Reconstruction Techinique
SIRT ndash Simultaneous Iterative Reconstruction Technique
FBP ndash Filtered Back Projection
AM ndash Alternating Minimization
CFD ndash Computer Fluid Dynamics
MCNP - Monte Carlo N-Particle
PET - Positron Emission Tomography
SPECT - Single Photon Emission Tomography
CST ndash Central Slice Theorem
Sumaacuterio
1 INTRODUCcedilAtildeO132 TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA16
21 A Lei de Beer-Lambert16
22 Algoriacutetmos de Reconstruccedilatildeo20
221 Filtered Back Projection (FBP)20222 ART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica)21223 MART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica com Correccedilatildeo Multiplicativa)23
23 O Caso Dinacircmico24
24 Reconstruccedilatildeo com Correccedilatildeo de Movimento25
25 Geraccedilotildees de Tomoacutegrafos26
26 Simulaccedilatildeo de Sinogramas28
27 Fluidodinacircmica Computacional - CFD31
28 Tempo de Aquisiccedilatildeo ou Integraccedilatildeo33
29 Sistema de cores RGB33
21 0MCNP35
3 METODOLOGIA3731 A Transformada de Radon Temporal38
32 Lei de Beer-Lambert temporal41
33 Simulaccedilatildeo de aquisiccedilotildees Tomograacuteficas42
331 Aquisiccedilatildeo por Tomografia de 1ordf Geraccedilatildeo42332 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 3ordf geraccedilatildeo45333 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 5ordf geraccedilatildeo46
34 Posicionamento angular47
35 Utilizaccedilatildeo de um canal de cores para visualizar a dinacircmica do processo Reconstruccedilatildeo RGB47
36 Reconstruccedilatildeo utilizando dados do CFD48
37 Avaliaccedilatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo com RMSE49
38 Algoritmos e Software Desenvolvidos50
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO5141 Resultados das Reconstruccedilotildees MART e FBP51
411 Primitiva Ciacuterculo Transladando 1 vista por frame51412 Primitiva Ciacuterculo Transladando Oito vistas por frame55413 Primitiva Circulo Crescente Uma vista por frame57414 Primitiva Circulo Crescente Oito vistas por frame60
42 Vistas Alternadas62
43 Resultados com RGB65
44 Simulaccedilotildees com MCNPX70
441 Circulo Transladando ndash 1vista por frame70
442 Circulo Transladando ndash 2 vistas por frame7345 Resultados com CFD76
451 CFD-1 vista por frame76452 CFD-8 vistas por frame79
46 Reconstruccedilotildees com correccedilatildeo de movimento81
5 CONCLUSOtildeES856 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS88ANEXO ndash I92
13
1 INTRODUCcedilAtildeO
A Tomografia Computadorizada (TC) consiste em duas etapas
a) O objeto eacute verificado (escaneado) com relaccedilatildeo a alguma propriedade como
densidade capacitacircncia resistividade eleacutetrica ressonacircncia magneacutetica etc
b) A propriedade eacute entatildeo reconstruiacuteda por meio de uma teacutecnica de reconstruccedilatildeo
adequada
Dessa forma a tomografia tem como objetivo reconstruir os detalhes geomeacutetricos do
objeto subjacente e tambeacutem obter os valores da propriedade escolhida Normalmente eacute classificada
como uma teacutecnica de ensaios natildeo destrutivos (END) e portanto eacute de uso imenso em
colunasreatores industriais para detectar a distribuiccedilatildeo de fases ou qualquer tipo de natildeo
uniformidade no interior do objeto
Para o registro de qualquer mudanccedila no objeto otimiza-se o sistema em alta
resoluccedilatildeo temporal (baixo tempo de aquisiccedilatildeo) ou seja permitir vaacuterias imagens resultando em
centenas de quadros por segundo A tomografia que concretiza essa configuraccedilatildeo de aquisiccedilatildeo eacute
chamada de instantacircnea ou de 5ordf geraccedilatildeo onde vaacuterias fontes satildeo arranjadas diametralmente opostas
a um leque de detetores de radiaccedilatildeo e consequentemente a colimaccedilatildeo de uma fonte eacute limitada por
outra reduzindo a resoluccedilatildeo espacial do sistema
Quando a distribuiccedilatildeo tem baixa variabilidade ao longo do tempo ou quando
limitaccedilotildees teacutecnicas impedem o uso da tomografia instantacircnea propotildee-se a tomografia com baixa
resoluccedilatildeo temporal com tomoacutegrafos de 1ordf e 3ordf geraccedilotildees O alto tempo de aquisiccedilatildeo destes
tomoacutegrafos prejudica a reconstruccedilatildeo quando o objeto em estudo muda suas propriedades no
decorrer do tempo Esta foi classificada por vaacuterios autores como reconstruccedilatildeo dinacircmica
(ARTEMIEV V M NAUMOV A O 2006) (BUTALA 2009) (DESBAT L et al 2006) Jaacute eacute
uma aacuterea muito ativa em medicina nuclear onde movimentos do paciente devem ser tomados em
consideraccedilatildeo Tais como em SPECT ou PET mas tambeacutem em tomografia computadorizada (TC de
transmissatildeo) para oacutergatildeos de movimento raacutepido como o coraccedilatildeo (GRAMEL BM et al 2012)
De um modo geral o imageamento dinacircmico TC tem como objetivo reconstruir
sequecircncias de imagens em que a natureza dinacircmica do objeto tomografado eacute de interesse primaacuterio
permitindo o registro de mudanccedilas temporais na distribuiccedilatildeo do coeficiente de atenuaccedilatildeo linear
podendo identificar o estado inicial e o final do processo
O estado da arte dos meacutetodos aplicados para processos industriais eacute atualmente
baseado em princiacutepios de reconstruccedilotildees tomograacuteficas claacutessicas desenvolvidos para padrotildees TC de
distribuiccedilotildees estaacuteticas como pode ser visto em diversos artigos da aacuterea de tomografia industrial
14
(DAHAN A et al 2007 DUDUKOVIC 2007 HALE et al 2007 JOHANSEN et al 2005
KUMAR et al 1997 DANTAS CC et al 2007 SALVADOR P A V 2010 MESQUITA C et
al 2011) Essas abordagens assumem que as propriedades da imagem satildeo constantes durante o
processo de aquisiccedilatildeo Os algoritmos de reconstruccedilatildeo mais comuns ao contexto satildeo os iterativos
onde se destacam teacutecnicas de reconstruccedilatildeo algeacutebrica (ART SIRT MART SMART) e teacutecnicas de
reconstruccedilatildeo estatiacutesticas como o de Minimizaccedilatildeo Alternante (AM) e o Esperanccedila - Maximizaccedilatildeo
(EM) A imagem reconstruiacuteda passa a ser uma aproximaccedilatildeo das propriedades ao longo do tempo A
aproximaccedilatildeo eacute devida a projeccedilotildees natildeo compatiacuteveis no sinograma (BONNET S 2003) As
projeccedilotildees tornam-se incompatiacuteveis devido as diferentes distribuiccedilotildees que ocorreram durante o
intervalo de tempo utilizado para coleta de dados Ruiacutedos e artefatos de movimento satildeo os
principais problemas causados pela incompatibilidade
Aleacutem disso em processos tomograacuteficos industriais eacute comum um nuacutemero limitado de
dados devido a inviabilidades teacutecnicas como arranjar todo um aparato de fontes e detetores ao redor
de uma coluna industrial Um baixo nuacutemero de dados pode produzir ruiacutedo artefatos e natildeo
concordacircncia com a distribuiccedilatildeo em estudo
Por estes motivos eacute necessaacuterio um estudo dos melhores meacutetodos de reconstruccedilatildeo e
tambeacutem o desenvolvimento de novas taacuteticas ou a utilizaccedilatildeo de meacutetodos jaacute consagrados em outros
contextos como a aacuterea meacutedica
Este trabalho inova quando discute um tema jaacute comum agrave aacuterea meacutedica em um
contexto tomograacutefico industrial
O meacutetodo proposto consiste em descobrir inicialmente as limitaccedilotildees oriundas da
aplicaccedilatildeo de algoritmos de reconstruccedilatildeo que foram desenvolvidos para distribuiccedilotildees estaacuteticas e satildeo
utilizados em tomografia dinacircmica Estas podem aparecer em forma de ruiacutedo artefatos estrela eou
de movimento Para alcanccedilar tais propoacutesitos foram utilizados dados simulados analiticamente e por
MCNPX de um cilindro de alumiacutenio transladando durante o processo aquisiccedilatildeo e imagens da secccedilatildeo
transversal de um rise piloto por meio da teacutecnica CFD (Computational Fluid Dynamics) O cilindro
ou ciacuterculo para uma secccedilatildeo eacute uma escolha pautada na literatura industrial pois simula bolhas em
reatores e tambeacutem distribuiccedilotildees agrupadas em forma de nuacutecleo por exemplo (DUDUKOVIC M et
al 1997) (AZZI M 1991) Com os dados simulados foram realizadas e comparadas as
reconstruccedilotildees pelos meacutetodos FBP (Filtered Back Projection) e MART (Multiplicative Algebraic
Reconstruction Technique)
Descobertas as limitaccedilotildees novas estrateacutegias satildeo apresentadas como a escolha da
ordem do posicionamento angular (vistas alternadas ou sucessivas) o desenvolvimento de um
15
meacutetodo para a visualizaccedilatildeo temporal do processo (Reconstruccedilatildeo RGB) e a correccedilatildeo de movimento
A reconstruccedilatildeo RGB foi desenvolvida com o propoacutesito de visualizar a evoluccedilatildeo
temporal do processo Consiste em uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens tomograacuteficas de
processos dinacircmicos pois utiliza o canal red do sistema de cores RGB para visualizar a evoluccedilatildeo do
movimento Uma nova reconstruccedilatildeo eacute realizada utilizando dados penalizados com o tempo e
associada ao canal R Aos outros canais eacute associada a reconstruccedilatildeo tradicional para posterior
visualizaccedilatildeo do conjunto
Tambeacutem eacute proposta uma teacutecnica de correccedilatildeo de movimento utilizada na aacuterea meacutedica
que manipula a matriz de pesos do meacutetodo algeacutebrico deslocando seus elementos com a mesma
quantidade de movimento identificada Neste trabalho eacute definido o vetor deslocamento a priori
O Capiacutetulo dois trata da revisatildeo bibliograacutefica da tese Conteacutem a lei de Beer-Lambert
a formaccedilatildeo de dados tomograacuteficos para posterior reconstruccedilatildeo Explica os algoritmos algeacutebricos a
visualizaccedilatildeo RGB dados do CFD e geraccedilotildees tomograacuteficas No Capiacutetulo trecircs satildeo expostos os
meacutetodos desenvolvidos como aquisiccedilotildees simuladas analiticamente de 1ordf e 5ordf geraccedilotildees
tomograacuteficas simulaccedilotildees tomograacuteficas por MCNPX reconstruccedilatildeo RGB correccedilatildeo de movimento
algoritmos implementados e desenvolvidos No capiacutetulo quatro satildeo mostrados os resultados de
todos os meacutetodos propostos
Espera-se que esse trabalho contribua para uma anaacutelise mais efetiva de tomografias
dinacircmicas industriais bem como o diagnoacutestico de problemas de otimizaccedilatildeo de operaccedilatildeo de
tomoacutegrafos e obtenccedilatildeo de dados para novos projetos bem como contribuir com novos algoritmos de
reconstruccedilatildeo especiacuteficos para esta aplicaccedilatildeo
16
2 TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA
21 A Lei de Beer-Lambert
A medida da probabilidade por unidade de percusso do feixe de radiaccedilatildeo interagir
com a mateacuteria (efeito fotoeleacutetrico efeito Compton e produccedilatildeo de pares) eacute denominado coeficiente
de atenuaccedilatildeo total ou linear do material ( ) Encontrar a funccedilatildeo que represente a distribuiccedilatildeo das
atenuaccedilotildees dentro de uma regiatildeo de interesse eacute o objetivo da tomografia Ao atravessar um material
a intensidade da radiaccedilatildeo sofre uma queda exponencial descrita pela relaccedilatildeo de Beer-Lambert
Entende-se como intensidade de radiaccedilatildeo neste caso como o nuacutemero de contagens registrado pelo
detetor em uma faixa de energia de interesse para um certo intervalo de tempo
Entende-se como caso estaacutetico a situaccedilatildeo em que o objeto tem distribuiccedilatildeo de
atenuaccedilotildees fixa na regiatildeo de estudo ao longo do tempo ou seja
(1)
O processo unidimensional para determinaccedilatildeo da atenuaccedilatildeo linear pode ser resumido
em um detetor de radiaccedilatildeo diametralmente oposto a uma fonte de radiaccedilatildeo onde
bull Estabelece-se um tempo para o intervalo de contagens Figura 21
bull ) do background sem
objeto algum entre fonte e detetor
bull Coloca-se um objeto de comprimento fixo l com distribuiccedilatildeo de atenuaccedilotildees desconhecida
mas com valores fixos ao longo de l
bull Afere-se o nuacutemero de contagens ( com o objeto presente
Figura 1 Atenuaccedilatildeo daRadiaccedilatildeo pela mateacuteria
l
If
para Δt
I0
para Δt
17
A lei de Beer-Lambert mostra que a absorccedilatildeo mais precisamente a atenuaccedilatildeo da
radiaccedilatildeo mede a queda da intensidade quando a radiaccedilatildeo passa pela mateacuteria A transmissatildeo T
Taxa de contagem inicial Taxa de contagem apoacutes o absorvedor
(2)
caracteriza a permeabilidade do material absorvente para a radiaccedilatildeo Quanto maior for a
transmissatildeo menor eacute o efeito atenuante A transmissatildeo depende da espessura l do absorvedor Se a
espessura l eacute reforccedilada pela pequena quantidade dl o T de transmissatildeo eacute diminuiacuteda pela pequena
quantidade dT A diminuiccedilatildeo relativa da transmissatildeo eacute proporcional ao aumento absoluto da
espessura
(3)
O fator de proporcionalidade eacute chamado o coeficiente de atenuaccedilatildeo linear mu A
integraccedilatildeo da equaccedilatildeo 24 conduz agrave lei de Beer-Lambert
(4)
Para facilitar a notaccedilatildeo em desenvolvimentos adiante chamamos de que eacute o
coeficiente de atenuaccedilatildeo linear meacutedio e l a distacircncia percorrida pelo raio no absorvedor Entatildeo eacute
determinado por
18
(5)
independente de l E para um
detalhamento maior das atenuaccedilotildees ao longo do feixe discretiza-se l O somatoacuterio dos produtos das
atenuaccedilotildees com as distacircncias surge da discretizaccedilatildeo de l assumindo que todas as particcedilotildees atenuam
o feixe no Esta condiccedilatildeo implica tambeacutem no particionamento de
Fazendo com que a intensidade final de uma particcedilatildeo i seja a inicial
da subsequente i+1 Ou seja natildeo eacute estabelecida uma discretizaccedilatildeo do tempo
(6)
De maneira geral a soma na Equaccedilatildeo 6 torna-se uma integral e definindo o eixo x ao
longo da trajetoacuteria do feixe l torna-se o elemento de linha onde o coeficiente de atenuaccedilatildeo eacute
funccedilatildeo da trajetoacuteria da linha
(7)
A integral ao longo da linha eacute conhecida como projeccedilatildeo unidimensional da
distribuiccedilatildeo de densidades definida matematicamente por Johann Radon em 1917 e
Figura 2 Discretizaccedilatildeo de l
l1
μ1
l2
μ2
ln
μn
l3
μ3
I 1 pa
ra Δ
t 0f
I 2 pa
ra Δ
t 0f
I f pa
ra Δ
t 0f
I 0 pa
ra Δ
t 0f
19
conhecida como a transformada de Radon da funccedilatildeo
Como as projeccedilotildees satildeo o resultado das transformadas de Radon ao longo dos
caminhos dos feixes pode-se dizer que o objetivo da tomografia eacute obter a sua inversa ou seja a
imagem reconstruiacuteda ou como no caso unidimensional a curva
(8)
Os diversos modelos utilizados para encontrar a inversa satildeo chamados de algoritmos
de reconstruccedilatildeo e como todos operam com as projeccedilotildees como entrada de dados um estudo mais
detalhado da transformada de Radon temporal e como essas projeccedilotildees variam deve ser realizado
para os casos em que a distribuiccedilatildeo de coeficientes de atenuaccedilatildeo varia tambeacutem com o tempo (caso
dinacircmico seccedilatildeo )
eacute a projeccedilatildeo bidimensional
geralmente chamada de perfil ou vista do corte O processo de aquisiccedilatildeo dos perfis eacute
chamado de escaneamento ou varredura e o conjunto de projeccedilotildees adquiridas eacute denominado
sinograma a Erro Origem da referecircncia natildeo encontrada representa o sinograma de uma imagem de
teste com um disco central
O escaneamento pode ser feito atraveacutes de aquisiccedilotildees paralelas de um uacutenico feixe
Figura 3 Sinograma constituiacutedo de 180 vistas (construiacutedo com a funccedilatildeo radon do
matlab)
20
(Parallel Beam) ou com as trajetoacuterias em forma de leque (Fan Beam) Como o sinograma eacute
resultado das transformadas de Radon ao longo dos raios pode-se dizer que o objetivo da
tomografia eacute obter a sua inversa ou seja a imagem reconstruiacuteda
representa todas as projeccedilotildees (9)
Imagem Original
22 Algoriacutetmos de Reconstruccedilatildeo
221 Filtered Back Projection (FBP)
Bracewell e Riddle em 1967 introduziram o meacutetodo chamado retroprojeccedilatildeo filtrada
(FBP) meacutetodo baseado na transformada de Fourier O FBP eacute muito utilizado devido ao baixo tempo
de processamento O teorema das projeccedilotildees tambeacutem chamado de teorema do corte central (Central
Slice Theorem - CST) facilita o processo Esse diz que uma transformada 1D de Fourier da
transformada de Radon da funccedilatildeo corresponde agrave transformada 2D de Fourier da funccedilatildeo Ou seja
realizando a transformada de Fourier das projeccedilotildees chega-se ao espaccedilo de frequecircncias da
distribuiccedilatildeo de densidades que se desejam descobrir No espaccedilo de frequecircncias satildeo realizadas as
operaccedilotildees de filtragem e a transformada 2D inversa retorna a imagem reconstruiacuteda O FBP eacute
resumido nos seguintes passos
1 Calcular a transformada de Fourier unidimensional das projeccedilotildees chegando ao domiacutenio de
frequecircncias
2 Filtrar as projeccedilotildees transformadas com um filtro passa baixa (Shepp-Logan Hann
Hamming etc)
3 Colocar as projeccedilotildees filtradas em um grid polar Cada projeccedilatildeo em seu acircngulo
correspondente
4 Reamostrar estas em um grid cartesiano com interpolaccedilatildeo (linear nearest Splines etc)
5 Calcular a transformada 2D de Fourier inversa chegando-se agrave imagem reconstruiacuteda
21
222 ART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica)
Os primeiros estudos sobre teacutecnicas algeacutebricas em TC foram feitos por Gordon e
Herman (HERMAN G T GORDON R 1971) Apesar de ser mais intuitiva e simples que os
meacutetodos de transformada essa teacutecnica deixa a desejar no que se refere a precisatildeo e tempo de
processamento Fazendo com que os meacutetodos de transformada fossem inicialmente mais utilizados
principalmente na aacuterea meacutedica onde um grande nuacutemero de dados eacute processado No entanto para
experimentos em que o nuacutemero de projeccedilotildees eacute limitado ou tenha uma distribuiccedilatildeo natildeo uniforme o
meacutetodo de transformada torna-se inviaacutevel
Meacutetodos algeacutebricos ou de expansatildeo de seacuteries discretizam a secccedilatildeo irradiada em uma
matriz de incoacutegnitas (pixels) que representam a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de densidades μ (x y) como
ilustra a Figura 4 Apoacutes as varreduras um sistema de equaccedilotildees resultantes da relaccedilatildeo de Beer-
Lambert eacute criado e sua resoluccedilatildeo corresponde agrave inversa de Radon Devido agraves caracteriacutesticas desse
sistema meacutetodos indiretos satildeo aconselhados e dentre os indiretos o meacutetodo das projeccedilotildees de
Kaczmarz tem convergecircncia garantida (KACZMARZ 1937) As teacutecnicas iterativas satildeo resumidas
basicamente em quatro passos criaccedilatildeo da imagem inicial caacutelculo das correccedilotildees aplicaccedilatildeo das
correccedilotildees e o teste de convergecircncia Estes algoritmos diferem na maneira como as correccedilotildees satildeo
calculadas e aplicadas (SUBBARAO 1997) Neste trabalho eacute utilizada a teacutecnica algeacutebrica ART
Nessa representaccedilatildeo um raio corresponde a uma faixa com largura que na maioria das vezes
coincide com a largura de um pixel
22
O processo pode ser resumido em
1) Criar uma matriz imagem inicial com N elementos parametrizados em geralmente aleatoacuterios
ou nulos Esse eacute o iniacutecio da 1ordf iteraccedilatildeo ( =1)
2) Calcular as projeccedilotildees para todos os raios atraveacutes da foacutermula
(10)
3) Para cada raio calcular a diferenccedila entre a projeccedilatildeo original e a reconstruiacuteda 4)
Calcular o somatoacuterio de todos pesos ao longo de cada raio
(11)
5) Obter a correccedilatildeo para cada raio
23
(12)
6) Aplicar a correccedilatildeo a cada ceacutelula
(13)
onde eacute um paracircmetro de relaxaccedilatildeo entre 0 e 2
7) Repetir os passos 2 ao 6 para todos os raios
8) Achar a soma da convergecircncia de todos os pixels da imagem
(14)
9) Finalizar a iteraccedilatildeo
As iteraccedilotildees satildeo finalizadas quando chegar a um valor preacute - estabelecido Muitos autores
estabelecem um criteacuterio de Caso o criteacuterio natildeo tenha sido cumprido uma nova
iteraccedilatildeo eacute iniciada no passo 2
O ART frequentemente sofre de ruiacutedos tipo sal e pimenta (salt and pepper noise)
causados pelas inconsistecircncias introduzidas no conjunto de equaccedilotildees por aproximaccedilotildees nos O
efeito eacute exacerbado porque cada pixel ao longo de um raio eacute alterado assim que a projeccedilatildeo eacute
calculada mudando seus valores antes que outro raio o faccedila Tanto o ruiacutedo quando a taxa de
convergecircncia do meacutetodo dependem do paracircmetro de relaxaccedilatildeo utilizado escolhido empiricamente
(geralmente entre 0 e 2) (KAK 1989)
223 MART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica com Correccedilatildeo Multiplicativa)
Vaacuterios estudos apontam o meacutetodo como raacutepido mais flexiacutevel e de melhor acuraacutecia
que o ART Sendo indicado principalmente para casos de um nuacutemero limitado de dados
(VERHOEVEN 1993) A teacutecnica eacute semelhante ao ART com mudanccedila apenas no fator de correccedilatildeo
24
expresso pela equaccedilatildeo 15
(15)
23 O Caso Dinacircmico
De um modo geral imagiologia dinacircmica CT tem como objetivo reconstruir sequecircncias de
imagens em que a natureza dinacircmica do objeto tomografado eacute de interesse primaacuterio permitindo o
registro de mudanccedilas temporais na distribuiccedilatildeo do coeficiente de atenuaccedilatildeo linear Entende-se como
caso estaacutetico a situaccedilatildeo em que o objeto tem distribuiccedilatildeo de atenuaccedilotildees fixa na regiatildeo de
estudo ao longo do tempo Algoritmos de reconstruccedilatildeo tomograacutefica utilizam como dados de entrada
as projeccedilotildees unidimensionais tomograacuteficas Cada projeccedilatildeo eacute adquirida atraveacutes das aquisiccedilotildees de
intensidades inicial e final ao longo do raio na direccedilatildeo
O escaneamento pode ser feito atraveacutes de aquisiccedilotildees paralelas de um uacutenico feixe (Parallel
Beam) ou com as trajetoacuterias em forma de leque (Fan Beam) Como o sinograma eacute resultado das
transformadas de Radon ao longo dos raios pode-se dizer que o objetivo da tomografia eacute obter a
sua inversa ou seja a imagem reconstruiacuteda ou como no caso unidimensional a curva
(KAK A C SLANEY M 1999)
(16)
Historicamente a CT dinacircmica no contexto meacutedico refere-se a algoritmos de imagem que
tentam corrigir movimentos formando uma imagem de alta qualidade estaacutetica atraveacutes da remoccedilatildeo
do componente dinacircmico Diferentemente da aacuterea meacutedica as imagens reconstruiacutedas de fluxos
multifaacutesicos oriundas de relativa baixa resoluccedilatildeo temporal trazem informaccedilotildees importantes da
mudanccedila do fluxo ao longo do tempo (MyersG R Kingston A M 2011) O objetivo da
tomografia neste caso eacute determinar a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de atenuaccedilatildeo
No caso CT de 1ordf 3ordf geraccedilotildees aplicados a distribuiccedilotildees dinacircmicas uma uacutenica imagem
representativa de todo o processo (reconstruiacuteda por processos desenvolvidos para distribuiccedilotildees
25
estaacuteticas) eacute o resultado final da tomografia (BARTHOLOMEW CASAGRANDE 1957) (AZZI et
al 1991) (YIN et al 2002)(DAHAN A et al 2007) (DUDUKOVIC 2007) (DANTAS CC et
al 2007) (SALVADOR P A V 2010) (MESQUITA C et al 2011) A funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de
atenuaccedilotildees passa a ser uma aproximaccedilatildeo
Esta aproximaccedilatildeo eacute devido a projeccedilotildees natildeo compatiacuteveis no sinograma (tambeacutem chamado de
) (BONNET S 2003) As projeccedilotildees agora tornam-se incompatiacuteveis
devido as diferentes distribuiccedilotildees que ocorreram durante o intervalo de tempo [0 t]
24 Reconstruccedilatildeo com Correccedilatildeo de Movimento
A reduccedilatildeo de artefatos de movimento em imagens tomograacuteficas eacute um problema
crucial em oacutergatildeos de um forte caraacuteter dinacircmico como por exemplo os pulmotildees ou o coraccedilatildeo Uma
maneira simples de reduzir esses artefatos eacute limitar o tempo de aquisiccedilatildeo usando tomografia ultra ndash
raacutepida (5ordf geraccedilatildeo)
Aqui considera-se uma outra abordagem em que os modelos de movimento satildeo
integrados diretamente ao processo de reconstruccedilatildeo e onde a resoluccedilatildeo temporal pode assim ser
significativamente aumentada Os meacutetodos podem ser algeacutebricos (GILLAND et al 2002 1996 DE
MURCIA BLONDE et al 2003) ou analiacuteticos ( BONNET et al 2003)
A teacutecnica de compensaccedilatildeo de movimento utilizada neste estudo utiliza um modelo
de transformaccedilatildeo da matriz de pesos A dividindo-a em submatrizes tendo suas colunas deslocadas
adequadamente de acordo com o modelo de movimento obtido a cada projeccedilatildeo (PENGPAN et al
2011) Por esse motivo o vetor deslocamento do movimento deve ser calculado a cada projeccedilatildeo
Para uma grande quantidade de dados necessaacuterios em estudos dinacircmicos na aacuterea
meacutedica abordagens analiacuteticas que levam a algoritmos de reconstruccedilatildeo diretos satildeo mais apropriadas
Alguns meacutetodos satildeo aproximaccedilotildees adaptadas para uso geral do tipo de movimento mas amplitude
moderada (RITCHIE et al 1996 GRANGEAT et al 2002)
No trabalho desenvolvido foca-se a situaccedilatildeo em que um pequeno nuacutemero de dados eacute
26
disponibilizado devido a natureza da aplicaccedilatildeo Salienta-se que a compensaccedilatildeo de movimento
ocorre com a aplicaccedilatildeo da mesma quantidade de movimento (obtida previamente ou durante a
reconstruccedilatildeo) agrave matriz A
A funccedilatildeo em um instante de tempo t pode ser encontrada com a aplicaccedilatildeo da
deformaccedilatildeo agrave seu valor inicial
(17)
A deformaccedilatildeo pode apresentar rotaccedilatildeo e translaccedilatildeo
(18)
25 Geraccedilotildees de Tomoacutegrafos
A primeira geraccedilatildeo de tomoacutegrafos foi produzida pela EMI Mark em 1973 tendo
como desenvolvedor o engenheiro Hounsfield O sistema era composto por um uacutenico tubo de raios
X o qual produzia um uacutenico feixe ciliacutendrico que atravessava o objeto em estudo o paciente
atingindo o uacutenico detector que media a intensidade do mesmo O sistema ainda contava com um par
de colimadores (dois pequenos tubos metaacutelicos colocados apoacutes o feixe deixar a fonte e antes do
mesmo atingir o detector) para minimizar o espalhamento do feixe A fonte de raios X e o detector
se movem em sincronia e em lados opostos do paciente executando um escaneamento linear sobre a
seccedilatildeo em estudo seguido de uma rotaccedilatildeo de 1 grau e um novo escaneamento linear eacute efetuado
como ilustra a Figura 3 a)
Os tomoacutegrafos de segunda geraccedilatildeo foram desenvolvidos visando reduzir o tempo de
escaneamento minimizando a exposiccedilatildeo do paciente agrave radiaccedilatildeo e ampliando a gama de oacutergatildeos que
podem ter a seccedilatildeo transversal reconstruiacuteda Os tomoacutegrafos ainda mantiveram o movimento de
varredura linear seguida de uma rotaccedilatildeo Entretanto o feixe de raios X deixou de ser ciliacutendrico e
passou a ter formato de leque Ao inveacutes de um uacutenico detector o sistema passou a contar com vaacuterios
27
detectores alinhados de forma que possam receber todos os raios do feixe Dessa maneira o tempo
de obtenccedilatildeo de dados de uma seccedilatildeo foi reduzido de acordo
com o nuacutemero de detectores e com o acircngulo de abertura empregado como pode ser visto na Figura
3b) A terceira geraccedilatildeo de aparelhos abandonou de vez os movimentos de translaccedilatildeo do tubo de
raios X e dos detectores e passou a contar com um leque com um acircngulo maior e uma base de
detectores mais ampla em formato semi-circular O sistema passou a efetuar um movimento de 360
graus em torno da seccedilatildeo Tambeacutem eram usados colimadores antes do feixe atingir os detectores a
fim de minimizar o espalhamento dos raios X e garantir a qualidade das imagens O tempo de cada
varredura em alguns modelos comerciais passou a ser de apenas meio segundo ilustrado pela
Figura 3 c)
A quarta geraccedilatildeo de aparelhos passou a contar com um anel de detectores que
circundam toda a seccedilatildeo que possibilitou aumentar mais ainda o acircngulo do feixe de radiaccedilatildeo Os
detectores satildeo fixos e a fonte de radiaccedilatildeo rotaciona dentro do anel de detectores e ao redor do corpo
irradiado Um problema desta geraccedilatildeo diz respeito agrave recepccedilatildeo dos feixes que natildeo satildeo fixos e
dependendo do acircngulo um feixe pode atingir dois detectores ou acertar um detector apenas em uma
fraccedilatildeo ilustrado pela Figura 6d)
Como o tempo despendido para realizaccedilatildeo de movimentos mecacircnicos eacute a principal
28
limitaccedilatildeo para reduzir ainda mais os tempos de escaneamento a quinta geraccedilatildeo de aparelhos acabou
com os movimentos de translaccedilatildeo e rotaccedilatildeo da fonte e dos detectores Rachid Maad em MAAD R
2009 evita utilizar essa classificaccedilatildeo para tomoacutegrafos sem rotaccedilatildeo e translaccedilatildeo utilizados
industrialmente ficando essa classificaccedilatildeo mais utilizada em aplicaccedilotildees meacutedicas Esse utiliza o
termo geraccedilatildeo de tomografia instantacircnea para tais aparelhos representados na Figura 6e)
Na configuraccedilatildeo instantacircnea um anel de detectores estacionaacuterios e as fontes de
radiaccedilatildeo rodeiam o objeto fornecendo um arranjo fixo (sem varreduras) e mediccedilotildees instantacircneas1
Esta teacutecnica eacute muito raacutepida e pode ser usada na geraccedilatildeo de imagens em tempo real A desvantagem
eacute o custo e o problema da radiaccedilatildeo dispersa causada pela presenccedila de muacuteltiplas fontes
26 Simulaccedilatildeo de Sinogramas
Phantoms matemaacuteticos ou imagens de teste satildeo frequentemente utilizados para
avaliar a precisatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo Satildeo descritos precisamente por funccedilotildees
matemaacuteticas e suas transformadas de Radon simulam as projeccedilotildees tomograacuteficas Seus pixels satildeo as
regiotildees discretizadas e seus valores ou cores representam as densidades ou coeficientes de
atenuaccedilatildeo linear A imagem de teste (phantom) mais conhecida em reconstruccedilatildeo tomograacutefica eacute o
1 O termo instantacircneo aqui utilizado negligencia o tempo de aquisiccedilatildeo para as contagens de intensidade de radiaccedilatildeo devido ao seu baixo valor deacutecimos de segundo
29
phantom de Sheep ndash Logan Figura 7
Para calcular a projeccedilatildeo simulada somam-se os produtos das distacircncias percorridas
pelo raio em cada pixel pelo seu valor Paracircmetros do experimento tomograacutefico que se deseja
simular como a aacuterea a ser varrida densidades reais adiccedilatildeo de ruiacutedo e fotos da secccedilatildeo do objeto
podem ser incorporadas para dar mais realidade ao modelo (SUBBARAO PMV et al 1997) O
ruiacutedo obedece ao desvio padratildeo de Poisson (IAEA-TECDOC-1589 2008)
A secccedilatildeo irradiada eacute representada por uma matriz de incoacutegnitas que representam a
distribuiccedilatildeo de densidades que se deseja descobrir As incoacutegnitas satildeo os pixels da imagem
reconstruiacuteda como ilustrado na Figura 8
Nessa representaccedilatildeo um raio corresponde a uma faixa com largura que na maioria
das vezes coincide com a largura de um pixel
Figura 7 Phantom de Sheep-Logan
50 100 150 200 250
50
100
150
200
2500
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
30
Parametrizando os pixels com j variando de 1 a N e os raios com i de 1 a M podemos
escrever a transformada de Radon ao longo do raio i como
(19)
onde eacute o peso que diz o percentual de contribuiccedilatildeo de um pixel j para o raio i definido como
(20)
Uma boa aproximaccedilatildeo eacute o modelo em que a largura do feixe eacute reduzida a uma linha
reta fazendo a distacircncia percorrida por este feixe dentro do pixel
Para calcular a intensidade final para uma projeccedilatildeo i faz-se
31
(21)
Com calculado da figura e de meacutedia fixa variando a cada projeccedilatildeo
com o desvio padratildeo de Poisson para todas as projeccedilotildees
O sinograma simulado eacute construiacutedo fazendo cada elemento de sua matriz igual a
27 Fluidodinacircmica Computacional - CFD
Fluidodinacircmica computacional (Computational Fluid Dynamics - CFD) eacute o termo
dado ao grupo de teacutecnicas matemaacuteticas numeacutericas e computacionais usadas para obter visualizar e
interpretar soluccedilotildees para as equaccedilotildees de conservaccedilatildeo de grandezas fiacutesicas de interesse em um dado
escoamento A origem destas equaccedilotildees de conservaccedilatildeo eacute a teoria de Fenocircmenos de Transporte
Assim pode-se resumir CFD como o conjunto das teacutecnicas de simulaccedilatildeo computacional usadas
para predizer os fenocircmenos fiacutesicos ou fiacutesico-quiacutemicos que ocorrem em escoamentos
A Fluidodinacircmica computacional eacute uma aacuterea de grande interesse para a soluccedilatildeo de
muitos problemas praacuteticos Como exemplo podem ser citados problemas de aerodinacircmica
termodinacircmica hidraacuteulica dentre outros As anaacutelises nesta aacuterea de pesquisa podem ser
desenvolvidas com base em experimentos bem como em meacutetodos teoacutericos Dentro dos meacutetodos
teoacutericos destacam-se os meacutetodos computacionais utilizados para simulaccedilatildeo numeacuterica aplicada agrave
Dinacircmica dos Fluidos (HERCKERT M G R)
Para os escoamentos de fluidos o modelo matemaacutetico eacute estabelecido com base nas
equaccedilotildees de conservaccedilatildeo da quantidade de movimento da massa e da energia Estas equaccedilotildees
quando submetidas a condiccedilotildees de contorno e iniciais apropriadas representam matematicamente
um problema particular (SHAMES I H 1973) A soluccedilatildeo analiacutetica destas equaccedilotildees somente eacute
possiacutevel para escoamentos muito simples Para se analisar problemas reais lanccedila-se matildeo do uso dos
chamados meacutetodos numeacutericos
Nos casos de escoamentos laminares os modelos satildeo relativamente simples pois as
32
equaccedilotildees de Navier-Stokes2 conservaccedilatildeo da massa e conservaccedilatildeo de energia satildeo resolvidas
Contudo como a maioria dos escoamentos que acontecem na natureza e no meio industrial satildeo
turbulentos estes tem um alto grau de complexidade e portanto deve-se lanccedilar matildeo de modelos
matemaacuteticos de turbulecircncia acrescentando termos as equaccedilotildees anteriormente citadas Os modelos
de turbulecircncia levam em conta variaacuteveis estatiacutesticas pois escoamentos turbulentos satildeo altamente
caoacuteticos e com isto haacute a necessidade de ferramentas estatiacutesticas para representar os escoamentos
turbulentos
A Figura 9 mostra campos de velocidade e distribuiccedilatildeo de soacutelido dentro do riser com
o regime de fluxo feito por CFD (ARMSTRONG L M 2010) Uma uacutenica velocidade de injeccedilatildeo e
diferentes alturas ao longo do riser Outros exemplos satildeo ilustrados nas Figuras 10 e 11
2 satildeo equaccedilotildees diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos Permitem determinar os
campos de velocidade e de pressatildeo num escoamento
Figura 9 Distribuiccedilatildeo de velocidades e defraccedilatildeo de soacutelido para diferentes alturas
33
28 Tempo de Aquisiccedilatildeo ou Integraccedilatildeo
Detectores de radiaccedilatildeo precisam sempre de um certo tempo (tempo de integraccedilatildeo)
para obter sinal razoaacutevel dos foacutetons incidentes Isto eacute devido agrave estatiacutestica de Poisson que regula o
processo de contagem de foacutetons e pode aumentar consideravelmente a incerteza do sinal detectado
no caso de um tempo de integraccedilatildeo baixo No domiacutenio da frequecircncia a mediccedilatildeo de sinal com um
tempo de integraccedilatildeo eacute aproximadamente equivalente a multiplicar o sinal original por um filtro
passa - baixa Quando uma amostra estaacute em repouso no interior do tomoacutegrafo eacute vantajosa a
utilizaccedilatildeo de um tempo de integraccedilatildeo alto para rejeitar ruiacutedo de alta frequecircncia Para a escolha do
tempo de integraccedilatildeo ideal deve-se estabelecer um equiliacutebrio entre a velocidade da amostra e o ruiacutedo
Poisson (MAAD 2009)
29 Sistema de cores RGB
RGB eacute a abreviatura do sistema de cores aditivas formado por Vermelho (Red)
Verde (Green) e Azul (Blue) O propoacutesito principal do sistema RGB eacute a reproduccedilatildeo de cores em
dispositivos eletrocircnicos como monitores de TV e computador datashows scanners e cacircmeras
digitais assim como na fotografia tradicional Em contraposiccedilatildeo impressoras utilizam o modelo
Figura 11 Visatildeo 3D de uma distribuiccedilatildeo de fraccedilatildeode soacutelido feito por CFD
Figura 10 Secccedilatildeo comdistribuiccedilatildeo de soacutelido que
seraacute utilizada como PhantomMatemaacutetico
34
CMYK de cores subtrativas Modelos aditivos de luzes satildeo combinados de vaacuterias maneiras para
reproduzir outras cores
O modelo de cores RGB eacute baseado na teoria de visatildeo colorida tricromaacutetica de
Young-Helmholtz e no triacircngulo de cores de Maxwell O uso do modelo RGB como padratildeo para
apresentaccedilatildeo de cores na Internet tem suas raiacutezes nos padrotildees de cores de televisotildees RCA de 1953 e
no uso do padratildeo RGB nas cacircmeras LandPolaroid poacutes Edwin Land
Estas trecircs cores natildeo devem ser confundidas com os pigmentos primaacuterios Ciano
Magenta e Amarelo conhecidos no mundo das artes como ldquocores primaacuteriasrdquo jaacute que se combinam
baseadas na reflexatildeo e absorccedilatildeo de foacutetons visto que o RGB depende da emissatildeo de foacutetons de um
componente excitado a um estado de energia mais elevado (fonte emissora por exemplo o tubo de
raios catoacutedicos)
O modelo de cores RGB por si soacute natildeo define o que significa ldquovermelhordquo ldquoverderdquo ou ldquoazulrdquo
(espectroscopicamente) e entatildeo os resultados de misturaacute-los natildeo satildeo tatildeo exatos (e sim relativos na
meacutedia da percepccedilatildeo do olho humano)
Uma cor no modelo de cores RGB pode ser descrita pela indicaccedilatildeo da quantidade de
vermelho verde e azul que conteacutem Cada uma pode variar entre o miacutenimo (completamente escuro)
e maacuteximo (completamente intenso) Quando todas as cores estatildeo no miacutenimo o resultado eacute preto Se
todas estatildeo no maacuteximo o resultado eacute branco (GONZALES 2014)
Uma das representaccedilotildees mais usuais para as cores eacute a utilizaccedilatildeo da escala de 0 agrave 255
bastante encontrada na computaccedilatildeo pela conveniecircncia de se guardar cada valor de cor em 1 byte (8
bits) Assim o vermelho completamente intenso eacute representado por 255 0 0
Branco - RGB (255 255 255) Azul - RGB (0 0 255) Vermelho - RGB (255 0 0)
Verde - RGB (0 255 0)Amarelo - RGB (2552550)Magenta - RGB (2550255)
Ciano - RGB (0 255 255) Preto - RGB (0 0 0)
35
As cores satildeo complementares agraves do sistema CMYK - Ciano (Cyan) Magenta
(Magenta) Amarelo (Yellow) e Preto (blacKKey) - e a sua mistura forma a cor branca
210 MCNP
O meacutetodo Monte Carlo eacute um algoritmo numeacuterico capaz de resolver problemas fiacutesicos e
matemaacuteticos por meio de simulaccedilatildeo de variaacuteveis aleatoacuterias (SOBOL 1994 BIELAJEW 1998)
Hoje em dia o MCNP eacute uma ferramenta matemaacutetica comumente utilizada em diversos segmentos
da ciecircncia e da engenharia para simular problemas que podem ser representados por processos
estocaacutesticos Simulaccedilotildees do transporte de radiaccedilatildeo por meio deste meacutetodo e em particular na Fiacutesica
Meacutedica tecircm passado por um raacutepido crescimento nas uacuteltimas deacutecadas (YORIYAZ 2009)
O processo Monte Carlo pode ser compreendido como um meacutetodo de geraccedilatildeo de nuacutemeros
aleatoacuterios (ROBERT amp CASELLA 2004) Um gerador uniforme de nuacutemeros pseudoaleatoacuterios eacute
um algoritmo que comeccedilando com um valor inicial e uma transformaccedilatildeo produz uma sequecircncia de
valores no intervalo [0 1] tendo esta sequecircncia um comportamento de uma variaacutevel aleatoacuteria
uniforme quando comparada com um conjunto de testes aleacutem de ser independente e identicamente
distribuiacuteda (ROBERT amp CASELLA 2004) Em termos de transporte de radiaccedilatildeo o processo
estocaacutestico pode ser visto como uma famiacutelia de partiacuteculas cujas coordenadas individuais soacute mudam
aleatoriamente em cada colisatildeo O comportamento meacutedio dessas partiacuteculas eacute descrito em termos de
Figura 12Sistema RGB
36
grandezas macroscoacutepicas como fluxo ou densidade de partiacuteculas (YORIYAZ 2009)
O Monte Carlo N Particle ndash MCNP - foi criado desde a deacutecada de 50 nos Estados
Unidos sendo desenvolvido por meio do laboratoacuterio Los Alamos National Laboratory O MCNP
continua ateacute hoje sendo aperfeiccediloado tornando-se assim mais confiaacutevel e usado por muitos
pesquisadores no mundo inteiro Eacute um coacutedigo que realiza o transporte de partiacuteculas utilizando o
meacutetodo Monte Carlo com capacidade para simular necircutrons com energias entre 10-11 MeV a 20
MeV enquanto que a faixa de energia para os foacutetons e eleacutetrons vai de 1 keV a 1000 MeV
(BRIESMEISTER 2000) O coacutedigo MCNP tem a capacidade de simular sistemas com geometrias
que vatildeo de superfiacutecies preacute-determinadas como esferas planos paraboloacuteides de revoluccedilatildeo cilindros
elipsoacuteides ateacute superfiacutecies bem elaboradas utilizando conjunto de pontos no espaccedilo
O pesquisador ao utilizar o MCNP constroacutei um arquivo de entrada no coacutedigo que
pode ser organizado em blocos descrevendo regiotildees envolvidas no modelo especificaccedilatildeo da
geometria por meio de superfiacutecies geomeacutetricas e suas intersecccedilotildees posiccedilatildeo e distribuiccedilatildeo energeacutetica
da fonte descriccedilatildeo dos materiais e todos os paracircmetros fiacutesicos agregados com algumas teacutecnicas de
reduccedilatildeo de variacircncia para melhorar a eficiecircncia e obter melhores resultados (BRIESMEISTER
2000) A versatilidade somado ao aspecto funcional do coacutedigo MCNP para diferentes tipos de
problemas faz com que este seja bem aceito na comunidade cientiacutefica que trabalham com transporte
de radiaccedilotildees e caacutelculos de dose
37
3 METODOLOGIA
Para descobrir ateacute onde processos tomograacuteficos de baixa resoluccedilatildeo temporal aliados
a algoritmos de reconstruccedilatildeo estaacutetica satildeo compatiacuteveis com o regime em estudo foram avaliadas
aquisiccedilotildees simuladas de 1ordf 3ordf e 5ordf geraccedilotildees tomograacuteficas A variaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo de densidades
durante a aquisiccedilatildeo faz necessaacuterio o desenvolvimento de uma versatildeo da lei de Beer-Lambert para
casos dinacircmicos seguida de sua aplicaccedilatildeo para realizar as simulaccedilotildees O meacutetodo eacute separado em duas
fases
1ordf Fase
A metodologia desenvolvida aplica primeiro o modelo de simulaccedilatildeo de sinogramas
desenvolvida analiticamente agrave primitivas matemaacuteticas e posteriormente a dados do MCNPX e CFD
1) Eacute criado um modelo de simulaccedilatildeo de sinogramas para distribuiccedilotildees
dinacircmicas utilizando a versatildeo temporal desenvolvida da lei de Beer-Lambert e da transformada de
Radon tambeacutem temporal
2) A simulaccedilatildeo eacute testada com primitivas matemaacuteticas dinacircmicas como um
ciacuterculo crescente ou transladando ou ambos A escolha eacute pautada em sua representaccedilatildeo precisa por
funccedilotildees matemaacuteticas e por representar diversos processos industriais(A simulaccedilatildeo com o disco
representa a secccedilatildeo de um cilindro ou bolha)
3) Os resultados satildeo apresentados em forma de imagens e graacuteficos A
visualizaccedilatildeo do sinograma eacute bastante utilizada para determinaccedilatildeo de caracteriacutesticas do objeto
4) O modelo de simulaccedilatildeo eacute ao aplicado a dados do CFD
2ordf Fase
O meacutetodo desenvolvido propotildee uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens
tomograacuteficas de processos dinacircmicos pois utiliza canais de cores para mostrar a evoluccedilatildeo temporal
do processo O algoriacutetmo de reconstruccedilatildeo utilizado eacute o MART devido a sua boa performance com
nuacutemero limitado de dados
Nesta fase eacute realizada a reconstruccedilatildeo tradicional que eacute associada aos canais verde (G)
e azul (B) enquanto que o canal vermelho (R) fica responsaacutevel pela evoluccedilatildeo temporal do processo
O meacutetodo eacute descrito na seccedilatildeo 33
38
A reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento eacute utilizada com conhecimento do vetor
deslocamento meacutedio ou sua estimativa O meacutetodo escolhido modifica a matriz de pesos do
algoritmo algeacutebrico deslocando suas colunas de acordo com o modelo de movimento estimado
(ARTEMIEV V M NAUMOV A O 2006) (BUTALA 2009) (DESBAT L et al 2006)
Com o resultado das simulaccedilotildees o sistema tomograacutefico pode ser otimizado
(diminuiccedilatildeo do nuacutemero de projeccedilotildees e vistas)
31 A Transformada de Radon Temporal
regiatildeo (espaccedilo de medida) na qual seraacute feita a aquisiccedilatildeo de dados
considere a funccedilatildeo densidade onde
Neste sistema um ponto pode ser
mapeado por como
complemento unitaacuterio perpendicular a
ao longo da reta eacute dada por
(22)
39
depende natildeo apenas de x e y mas de com sendo a
variaacutevel tempo Definimos entatildeo
(23)
onde e o tempo final da mesma medida
Lema 1 ou seja se eacute
estaacutetico ao longo do tempo a transformada dinacircmica reduz-se a convencional
Demostraccedilatildeo
Figura 13 Sistema de Coordenadas
θ
x
y
ξξ
s
x (xy
)
40
Lema 2 e portanto se a
leitura for ldquoraacutepidardquo o caso dinacircmico mais uma vez reduz-se ao caso estaacutetico
Demostraccedilatildeo
Pelo teorema do valor meacutedio integral (TVMI) temos que se f eacute contiacutenua entatildeo
para algum tal que
usando o TVMI
K(γ)
41
32 Lei de Beer-Lambert temporal
Como a natureza da lei exige que os tempos de contagens sejam iguais para que estas
sejam comparadas apenas a variaccedilatildeo da intensidade da radiaccedilatildeo com a distacircncia eacute geralmente
explorada Sabendo que esses intervalos de tempo de contagem satildeo despreziacuteveis em relaccedilatildeo ao
tempo de meia vida da fonte e que a probabilidade de emissatildeo se manteacutem constante ao longo do
mesmo tempo pode-se supor que a intensidade seja diretamente proporcional ao tempo Ou seja
(24)
Neste caso a distribuiccedilatildeo de coeficientes de atenuaccedilotildees varia tambeacutem com o tempo
ou seja torna-se
(25)
ou
(26)
O modelo discreto aplica a lei de Beer-Lambert em sua forma estaacutetica para cada
particcedilatildeo de tempo assumindo que durante o infinitesimal de tempo o coeficiente e a distacircncia
percorrida permanecem constantes
(27)
42
(28)
33 Simulaccedilatildeo de aquisiccedilotildees Tomograacuteficas
O processo de aquisiccedilatildeo tomograacutefica consiste em coletar intensidades iniciais e finais
em determinados caminhos percorridos pelos feixes de radiaccedilatildeo Os dados podem ser tratados com
filtros etc Optou-se em natildeo realizar tratamento para natildeo inserir mais variaacuteveis ao processo
garantindo que os resultados sejam alcanccedilados soacute pelo meacutetodo proposto
Como jaacute foi dito na seccedilatildeo 26 para calcular a intensidade final para um caminho i
faz-se
(29)
A funccedilatildeo eacute representada pelas imagens de testes chamadas neste trabalho de
quadros ou frames configurados pela distribuiccedilatildeo de densidades escolhida Em todos os casos
optou-se por densidades unitaacuterias para qualquer distribuiccedilatildeo ou seja dois valores satildeo possiacuteveis em
uma imagem de teste 0 ou 1 Um pixel com valor 0 corresponde a uma regiatildeo sem atenuaccedilatildeo e os
pixels que compotildeem o objeto simulado tem valor 1
Com calculado da figura e de meacutedia fixa variando a cada projeccedilatildeo
com o desvio padratildeo de Poisson para todas as projeccedilotildees as projeccedilotildees satildeo calculadas com
O conjunto de todas as projeccedilotildees eacute ordenado em uma matriz chamada de sinograma
331 Aquisiccedilatildeo por Tomografia de 1ordf Geraccedilatildeo
Dois tipos de situaccedilotildees podem ocorrer
1) Uma uacutenica projeccedilatildeo 1D eacute realizada e durante todo o tempo de integraccedilatildeo nenhuma
mudanccedila ocorre na distribuiccedilatildeo ao longo do raio podendo mais de uma aquisiccedilatildeo 1D ser aferida
para mesma distribuiccedilatildeo ou frame Neste caso a intensidade final eacute calculada utilizando a lei de
43
Beer-Lambert durante todo o tempo de integraccedilatildeo para cada raio como ilustrado na Figura 15
Para calcular a intensidade final para uma projeccedilatildeo i faz-se
(30)
2) Durante a aquisiccedilatildeo ocorre mudanccedila na distribuiccedilatildeo de densidades ao longo do
feixe Como foi exposto na seccedilatildeo 31 o somatoacuterio de intensidades finais do raio em cada quadro
(frame) retorna a intensidade final total para um certo tempo de aquisiccedilatildeo Figura 16
Figura 15 Projeccedilotildees 1D sem mudanccedila de frame
44
Entatildeo para cada frame eacute feita
e para a discretizaccedilatildeo de um intervalo de tempo
No exemplo ilustrado na Figura 16 a intensidade final depois do tempo de integraccedilatildeo
correspondente ao frame b fica
3) Natildeo ocorre mudanccedila na distribuiccedilatildeo durante toda a coleta de aquisiccedilotildees 1D em uma vista
4) Natildeo ocorre mudanccedila durante a aquisiccedilatildeo de todas as vistas Neste caso a distribuiccedilatildeo pode
ser tratada como estaacutetica
Figura 16 Projeccedilotildees 1D com mudanccedila de frame
1ordf aquisiccedilatildeo - Quadro a 1ordf aquisiccedilatildeo - Quadro b
45
332 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 3ordf geraccedilatildeo
A vantagem do meacutetodo eacute adquirir vaacuterias projeccedilotildees 1D ao mesmo tempo
Possibilitando um maior volume de dados em um tempo menor quando comparado ao de 1ordf
geraccedilatildeo Dois casos satildeo possiacuteveis
1) O tempo de integraccedilatildeo eacute suficiente para realizar uma vista completa ou mais por
quadro ou frame Figura 17
Figura 17 Mais de uma vista por frame
46
2) Mais de um quadro por vista Figura 18
333 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 5ordf geraccedilatildeo
Nesta situaccedilatildeo vaacuterias vistas satildeo adquiridas durante a mudanccedila da distribuiccedilatildeo Figura 19
Figura 19 Mais de um frame durante a aquisiccedilatildeo
Figura 18 Mais de um frame por vista
47
34 Posicionamento angular
O posicionamento angular tradicionalmente eacute feito com um conjunto de acircngulos
igualmente espaccedilados ordenados de forma crescente cobrindo o intervalo de 0ordm a 180ordm ou 360ordm A
ordem em que as projeccedilotildees ou vistas satildeo adquiridas natildeo importa porque o objeto em estudo eacute
estaacutetico
A proposta para tomografia dinacircmica de 1ordf e 3ordf geraccedilotildees eacute que o posicionamento seja
feito em subconjuntos que completem um ciclo Por exemplo o conjunto de vistas posicionadas
consecutivamente em 0ordm 45ordm 90ordm 135ordm 180ordm 225ordm 270ordm 315ordm pode ser reordenada em ciclos como
0ordm 90ordm 180ordm 270ordm Primeiro ciclo
45ordm 135ordm 225ordm 315ordm Segundo ciclo
A vantagem desse arranjo eacute que num determinado momento ao se preferir um
sinograma completo mas esparso em contraposiccedilatildeo a um sinograma incompleto mas denso eacute que as
informaccedilotildees vatildeo ser disponibilizadas na forma de imagem reconstruiacuteda mais cedo durante o
processo facilitando a interpretaccedilatildeo das informaccedilotildees Eacute uma escolha entre anaacutelise global esparsa
versus anaacutelise local densa
A nova ordenaccedilatildeo gera uma imagem reconstruiacuteda mais proacutexima do objeto dinacircmico e
abre a possibilidade de reconstruccedilotildees parciais com os subconjuntos de dados mais consistentes com
a dinacircmica do processo
35 Utilizaccedilatildeo de um canal de cores para visualizar a dinacircmica do processo Reconstruccedilatildeo RGB
Uma caracteriacutestica da imagem reconstruiacuteda tradicionalmente em processos
industriais dinacircmicos eacute a falta de informaccedilatildeo temporal ou seja obtecircm-se informaccedilotildees da meacutedia da
distribuiccedilatildeo mas natildeo se sabe em que tempo ocorreram as mudanccedilas de padratildeo de fluxo A proposta
desenvolvida neste trabalho pondera cada perfil adquirido com um fator dependente do tempo
criando esta distinccedilatildeo
O meacutetodo desenvolvido propotildee uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens
tomograacuteficas de processos dinacircmicos pois utiliza canais de cores para mostrar a evoluccedilatildeo temporal
do processo Nesta fase eacute realizada a reconstruccedilatildeo tradicional e a mesma eacute associada aos canais
verde (G) e azul (B) enquanto que ao canal vermelho (R) eacute associada a evoluccedilatildeo temporal do
processo Uma cor no modelo de cores RGB pode ser descrita pela indicaccedilatildeo da quantidade de
48
vermelho verde e azul que conteacutem Cada uma pode variar entre o miacutenimo (completamente escuro)
e maacuteximo (completamente intenso) Quando todas as cores estatildeo no miacutenimo o resultado eacute preto Se
todas estatildeo no maacuteximo o resultado eacute branco Uma das representaccedilotildees mais usuais para os canais eacute a
utilizaccedilatildeo da escala de 0 agrave 255 (GONZALES 2014)
O meacutetodo consiste em
1) Simular as projeccedilotildees que equivalem na utilizaccedilatildeo real de um experimento agrave
coleta de dados de intensidades finais e iniciais pelo detetor
2) Reconstruir com esses dados a distribuiccedilatildeo de densidades Foi utilizado o MART
com relaxaccedilatildeo 02 e criteacuterio de parada 1
3) Associar esta reconstruccedilatildeo aos canais G e B
4) Binarizar a imagem reconstruiacuteda entre 0 e 150 O limiar (threshold) utilizado foi
empiacuterico e de 50 do maior valor da imagem
5) Penalizar as projeccedilotildees da primeira agrave uacuteltima com um fator empiacuterico crescente com
o tempo Normalizar as projeccedilotildees de cada vista por 105
6) Realizar a retroprojeccedilatildeo nos pixels com suas respectivas projeccedilotildees
7) Associar ao canal R
8) Juntar todos os canais em uma uacutenica imagem A reconstruccedilatildeo tradicional e a
reconstruccedilatildeo RGB satildeo visualizadas em uma uacutenica imagem onde os tons de vermelho correspondem
agrave evoluccedilatildeo temporal da dinacircmica do processo
36 Reconstruccedilatildeo utilizando dados do CFD
Dados da simulaccedilatildeo de fluxo bifaacutesico satildeo gerados em forma de imagens 2D da distribuiccedilatildeo
em secccedilotildees transversais ao longo do tubo Os dados satildeo coletados para uma uacutenica altura ou seja
secccedilatildeo As diversas imagens de uma uacutenica secccedilatildeo representam a evoluccedilatildeo temporal do fluxo
naquela regiatildeo O conjunto de 8 imagens exemplificam o comportamento do fluxo em intervalos
de tempo de 00025s
A altura da secccedilatildeo em m o tipo de injetor a vazatildeo volumeacutetrica em Lmim e o fluxo de
catalisador satildeo dados de entrada na simulaccedilatildeo do CFD mas natildeo fazem parte das simulaccedilotildees de
aquisiccedilotildees tomograacuteficas utilizadas nesse estudo As imagens portam as informaccedilotildees que seratildeo
utilizadas nas simulaccedilotildees de aquisiccedilatildeo das projeccedilotildees
49
37 Avaliaccedilatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo com RMSE
As teacutecnicas de avaliaccedilatildeo de algoritmos de reconstruccedilatildeo mais utilizadas na literatura
satildeo raiz do erro quadraacutetico meacutedio erro meacutedio relativo absoluto e erros baseados em entropia Para
o caso de simulaccedilotildees com figuras de testes bem definidas (phantoms matemaacuteticos) as teacutecnicas
podem ser aplicadas comparando a imagem reconstruiacuteda com a imagem original O mesmo
procedimento repete-se para phantoms reais onde a distribuiccedilatildeo de densidades eacute bem conhecida Os
sinogramas tambeacutem podem ser avaliados
Gordon e Herman (GORDON 1974 HERMAN 1973 HERMAN 1976) usaram a
raiz do erro quadraacutetico meacutedio para avaliar o quanto a figura reconstruiacuteda aproxima-se da original A
definiccedilatildeo do erro eacute
(31)
Onde
eacute o valor original do pixel
o pixel reconstruiacutedo
o nuacutemero total de pixels da imagem ou sinograma
50
38 Algoritmos e Software Desenvolvidos
Diversas rotinas foram implementadas no Matlab Suas funccedilotildees satildeo para calculo de
projeccedilotildees sinogramas resoluccedilatildeo por ART MART calculo da Matriz de pesos resoluccedilatildeo de
sistemas Aleacutem das jaacute disponiacuteveis no programa como Resoluccedilatildeo por FBP filtros de imagem
operaccedilatildeo com matrizes visualizaccedilatildeo de graacuteficos etc As rotinas estatildeo disponiacuteveis no Anexo-I
Devido agrave grande dimensatildeo da matriz de pesos nos algoritmos algeacutebricos ficou
inviaacutevel sua operaccedilatildeo em alguns casos no Matlab O software Tomography Workstation-TW foi
desenvolvido em C com este propoacutesito Apresenta opccedilotildees de reconstruccedilatildeo ART MART SIRT e
SART Figura 39 Tambeacutem tem as funccedilotildees para carregar tomogramas e sinogramas
Figura 20 Software Desenvolvido
51
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO
Os resultados foram divididos nas seguintes seccedilotildees
bull Aumento do nuacutemero de iteraccedilotildees na Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica Dinacircmica
bull Resultados das reconstruccedilotildees MART e FBP
bull Escolha do posicionamento angular (vistas alternadas)
bull Resultados com reconstruccedilatildeo RGB
bull Simulaccedilotildees com MCNP
bull Reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento
bull Simulaccedilotildees tomograacuteficas a partir do CFD
41 Resultados das Reconstruccedilotildees MART e FBP
As imagens de teste (phantoms) foram utilizadas para avaliar os resultados das
reconstruccedilotildees MART e FBP
411 Primitiva Ciacuterculo Transladando 1 vista por frame
A simulaccedilatildeo consiste em oito distribuiccedilotildees representadas por imagens (quadros ou
frames) de 64x64 pixels com um disco de densidade unitaacuteria e raio fixo Natildeo ocorre mudanccedila
durante a simulaccedilatildeo de uma aquisiccedilatildeo ou varredura Esta aplicaccedilatildeo simula as tomografias de 1ordf e 3ordf
geraccedilatildeo
O disco Raio = 2 pixels deslocamento de 7 pixels entre os centros dos discos de
quadros consecutivos A imagem eacute reconstruiacuteda por FBP e MART
Os frames satildeo ilustrados na Figura 21 e a meacutedia dos oito na Figura 22 Cada imagem
eacute ilustrada na escala de 64 x 64 pixels
52
Figura 21 8 frames - ciacuterculo transladando - 1 vista por frame
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 22 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
53
Os oito picos do sinograma Figura 23 ilustram a captura do disco em diferentes
posiccedilotildees
A Figura 24 ilustra o sinograma em forma de imagem onde cada valor de pixel eacute
convertido para uma escala de cor O eixo vertical (linhas do sinograma) representa a passo linear
(posiccedilatildeo das trajetoacuterias dos feixes) e o horizontal o passo angular (Nuacutemero de vistas)
Figura 23 Tomograma e sinograma ndash circulo transladando ndash 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
05
1
15
2
25
3
35
4
45
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 700
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
54
Os resultados das reconstruccedilotildees FBP e MART satildeo ilustrados na Figura 25
A reconstruccedilatildeo por FBP mostra diversos artefatos natildeo dando para identificar o
nuacutecleo nem a tendecircncia de movimento Os artefatos formam oito faixas um para cada vista ou
projeccedilatildeo Estes artefatos em faixa satildeo comuns no FBP para um baixo nuacutemero de vistas
O MART difere da imagem meacutedia mostrando um arqueamento para direita devido ao
movimento simulado e o sentido anti-horaacuterio das aquisiccedilotildees Eacute um artefato de movimento
Figura 25 Reconstruccedilotildees circulo transladando ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Figura 24 Sinogramascirculo transladando ndash 1 vista por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
55
412 Primitiva Ciacuterculo Transladando Oito vistas por frame
O objetivo desta simulaccedilatildeo eacute descobrir como se comportam os algoritmos em uma
tomografia de 5ordf geraccedilatildeo onde todas as aquisiccedilotildees satildeo realizadas ao mesmo tempo Nesta situaccedilatildeo
as oito vistas satildeo realizadas simultaneamente enquanto ocorre a mudanccedila das distribuiccedilotildees (Figura
19) Figuras com 64x64 pixels raio fixo de 2 pixels deslocamento de 5 pixels
Figura 26 Tomograma e Sinograma - disco transladando - 8 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
05
1
15
2
25
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 7001
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
56
Os resultados das reconstruccedilotildees satildeo ilustrados na Figura 28
As reconstruccedilotildees ficam mais proacuteximas da imagem meacutedia porque todas as vistas satildeo
adquiridas ao mesmo tempo durante todo o processo O FBP perde a definiccedilatildeo dos discos e forma
um artefato central vertical O MART reconstroacutei o disco nas oito posiccedilotildees Cada disco eacute
reconstruiacutedo ilustrando os oito instantes de tempo que foram simulados
Figura 27 Sinogramas CiacuterculoTransladando -Oito vistas por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Figura 28 Reconstruccedilotildees Ciacuterculo Transladando -Oito vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
57
413 Primitiva Circulo Crescente Uma vista por frame
A simulaccedilatildeo consiste em oito distribuiccedilotildees em forma de ciacuterculo concecircntricas com um
aumento 2 pixels entre distribuiccedilotildees consecutivas (Figura 29) Oito vistas satildeo adquiridas
simultaneamente para simular a tomografia de 5ordf geraccedilatildeo
Abaixo a imagem meacutedia aritmeacutetica das oito distribuiccedilotildees eacute ilustrada na Figura 29 A
aacuterea central eacute mais escura porque eacute coincidente para os oito ciacuterculos
Figura 30 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Figura 29 8 frames - circulo crescente - 1 vista por frame
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
58
Tanto o sinograma quanto o tomograma ilustram o crescimento do disco Figura
411
Figura 31 Tomograma e sinograma - ciacuterculo crescente - 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 700
10
20
30
40
50
60
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
59
O sinograma em forma de imagem eacute mostrado abaixo (Figura 32)
O aumento vertical das faixas eacute devido ao crescimento do disco
As duas reconstruccedilotildees apresentam artefatos de rotaccedilatildeo que dificultam a identificaccedilatildeo
da tendecircncia de movimento ou da distribuiccedilatildeo espacial dos discos (Figura 33)
Figura 32 Imagem do sinograma -ciacuterculo crescente - 1 vista por frame
Sinograma
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
Figura 33 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
60
414 Primitiva Circulo Crescente Oito vistas por frame
Neste caso ocorre mudanccedila de frame com a vista Para cada distribuiccedilatildeo tem-se uma
vista diferente Figura 34
Figura 34 Tomograma e sinograma - circulo crescente - 8 vista por frame
29 30 31 32 33 340
05
1
15
2
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3701
02
03
04
05
06
07
08
09
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
61
A posiccedilatildeo central que eacute comum a todos os frames eacute reconstruiacuteda nos dois casos O
FBP mostra a presenccedila de artefatos de Moireacute (Figura 36) O MART mostra poucos artefatos e
mostra uma regiatildeo borrada ao redor do ciacuterculo central indicando os discos maiores
Figura 35 Sinogramas circulo crescente ndash 8vistas por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Figura 36 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 8 vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
62
42 Vistas Alternadas
Alguns testes foram realizados para estudar o posicionamento angular quando
ordenado de forma sequencial e alternada O conjunto de vistas posicionadas consecutivamente em
0ordm 45ordm 90ordm 135ordm 180ordm 225ordm 270ordm 315ordm foram reordenadas em dois ciclos
0ordm 90ordm 180ordm 270ordm para o primeiro ciclo
45ordm 135ordm 225ordm 315ordm para o segundo ciclo
As seguintes situaccedilotildees foram exploradas
Disco transladando - 1 Vista por frame
Cada distribuiccedilatildeo (quadro) eacute capturado em um instante de tempo diferente Os
acircngulos utilizados em cada quadro satildeo apresentados na Tabela 1
Tabela 1 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 1 vista por frame
Quadro 1ordm 2ordm 3ordm 4ordm 5ordm 6ordm 7ordm 8ordm
Vista 0ordm 90ordm 180ordm 270ordm 45ordm 135ordm 225ordm 315ordm
Reconstruccedilotildees
Figura 37 Reconstruccedilotildees disco transladando - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
63
Dois ciclos satildeo suficientes para natildeo formaccedilatildeo do artefato de rotaccedilatildeo (arqueamento)
A reconstruccedilatildeo com vistas alternadas mostra-se mais coerente com a imagem meacutedia (Figura 37)
Disco transladando - 2 Vistas por frame
Com duas vistas por quadro totaliza-se quatro quadros A associaccedilatildeo eacute ilustrada na
Tabela 2
Tabela 2 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 2 vistas por frame
Quadro 1ordm 2ordm 3ordm 4ordm
Vista 0ordm e 45ordm 90ordm e 135ordm 180ordm e 225ordm 270ordm e 315ordm
A reconstruccedilatildeo encontra-se mais proacutexima da imagem meacutedia do que na situaccedilatildeo com
vista sucessivas (Figura 38)
Disco Transladando - 4 Vistas por frame
Apenas dois quadros satildeo suficientes Tabela 3
Tabela 3 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 4 vistas por frame
Quadro 1ordm 2ordm
Vista 0ordm 90ordm 180ordm e 270ordm 45ordm 135ordm 225ordm 315ordm
Figura 38 Reconstruccedilotildees disco transladando - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
64
Reconstruccedilotildees
Disco crescente - 1 Vista por frame
A configuraccedilatildeo das vistas eacute a mesma utilizada na Tabela 1 uma vista por frame
A reconstruccedilatildeo com vistas alternadas Figura 40 apresenta uma reduccedilatildeo nos artefatos
de rotaccedilatildeo mostrando uma distribuiccedilatildeo espacial mais proacutexima da imagem meacutedia (Figura 40)
Disco crescente - 2 Vistas por frame
A configuraccedilatildeo das vistas eacute mesma da Tabela-2
Figura 39 Reconstruccedilotildees disco transladando - 4 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Figura 40 Reconstruccedilotildees disco crescente - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
65
Com o aumento do nuacutemero de vistas a distribuiccedilatildeo torna-se mais central
aproximando-se da imagem meacutedia (Figura 41)
43 Resultados com RGB
As situaccedilotildees jaacute utilizadas nas seccedilotildees 41 e 42 satildeo testadas com visualizaccedilatildeo RGB
Para todos os casos a primeira reconstruccedilatildeo (MART) eacute realizada com matriz inicial de valores
unitaacuterios relaxaccedilatildeo 02 e nuacutemero de iteraccedilotildees definido pela convergecircncia de 05 e em seguida a
normalizada por 150
Os sinogramas satildeo ponderados pelo conjunto de fatores que variam de 01 a 09
linearmente espaccedilados Os valores foram escolhidos empiricamente
Em seguida eacute realizada a reconstruccedilatildeo com o sinograma jaacute ponderado e seus valores
normalizados no intervalo de 150 a 255
Figura 41 Reconstruccedilotildees disco crescente - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
66
bull Ciacuterculo transladando ndash 1 Vista por frame
Um disco para cada instante de tempo totalizando oito distribuiccedilotildees Figura 42
Para o ciacuterculo transladando verticalmente com 1 vista por frame temos um
clareamento na parte inferior da distribuiccedilatildeo indicando que esta regiatildeo traz informaccedilotildees mais
recentes (Figura 42)
A reconstruccedilatildeo com MART RGB por usar como base a distribuiccedilatildeo espacial da
reconstruccedilatildeo MART mostra o clareamento vermelho na parte inferior da figura indicando que
ocorreu movimento nesse sentido
bull Ciacuterculo transladando ndash 2 Vistas por frame
Satildeo quatro distribuiccedilotildees uma para cada instante de tempo configurando duas vistas
por frame
Figura 42 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 1 vista por frame
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
67
O clareamento do vermelho na reconstruccedilatildeo RGB indica que a parte inferior da
reconstruccedilatildeo corresponde ao uacuteltimo instante de tempo
bull Ciacuterculo transladando ndash 4 Vistas por frame
Quatro vistas por frame foram utilizadas na configuraccedilatildeo das proacuteximas trecircs situaccedilotildees
(Figura 44 Figura 45 Figura 46) O deslocamento para o disco vertical eacute utilizado com trecircs valores
distintos
A primeira situaccedilatildeo ilustra dois instantes de tempo com dois diacircmetros de distacircncia
entre os centros dos discos Figura 44
Figura 43 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
68
A proacutexima situaccedilatildeo eacute criada com 4 diacircmetros de distacircncia entre centros entre o
primeiro e segundo instantes de tempo Figura 45 Cada disco corresponde a distribuiccedilatildeo exata em
um instante
Figura 44 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 45 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
69
A terceira situaccedilatildeo visa estudar o comportamento da reconstruccedilatildeo proposta quando
haacute coincidecircncia em parte da distribuiccedilatildeo espacial Satildeo quatro instantes de tempo e uma distacircncia
com menos de um diacircmetro de distacircncia entre centros consecutivos Figura 46
bull Ciacuterculo crescente ndash duas vistas por frame
A simulaccedilatildeo totaliza 4 frames e oito vistas consecutivas Duas por frame
Apesar da situaccedilatildeo com ciacuterculo crescente e duas vistas por frame natildeo mostrar boa
reconstruccedilatildeo a imagem reconstruiacuteda difere bastante da original como jaacute mostrado na seccedilatildeo 413
tambeacutem mostra concordacircncia com os outros resultados RGB pois mostra uma regiatildeo central com
Figura 46 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 47 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo crescente - 2 vistas por frame
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
70
vermelho mais claro O clareamento deve-se a regiatildeo que eacute coincidente para todos os ciacuterculos
O problema que surge eacute que para esta situaccedilatildeo o clareamento para o vermelho criado
pela reconstruccedilatildeo RGB se confunde com a superposiccedilatildeo dos ciacuterculos da reconstruccedilatildeo tradicional
criado na regiatildeo central
44 Simulaccedilotildees com MCNPX
Os frames que anteriormente foram obtidos analiticamente com o objetivo de
encontrar as projeccedilotildees agora satildeo representados por cartotildees de entrada para o MCNPX A simulaccedilatildeo
gera como saiacuteda a intensidade relativa Foram criadas as situaccedilotildees jaacute expostas na seccedilatildeo 41 A
configuraccedilatildeo das simulaccedilotildees eacute
bull Objeto Cilindro Raio = 5cm Material Al = 000746 cm-1
bull Fonte 137Cs Atividade 5 mCi
bull Colimaccedilatildeo Pb fonte - detetor 5vmm
bull Nuacutemero de histoacuterias 100000
441 Circulo Transladando ndash 1vista por frame
Oito geometrias foram simuladas com o objetivo de encontras as projeccedilotildees
equivalentes as 8 vistas Cada vista captura o disco em um instante de tempo diferente totalizando
oito frames Na Figura 48 ilustra-se o disco (em amarelo) em diferentes posiccedilotildees com e as
respectivas a posiccedilotildees da fonte colimada indicando mudanccedila angular (em roxo e azul)
71
O meacutetodo retorna o (relaccedilatildeo entre Ifinal e o Iinicial) A matriz de intensidades relativas eacute
denominada tomograma e tem as suas colunas ordenadas por vista(Figura 49)
As projeccedilotildees satildeo encontradas fazendo e o conjunto de vistas
ordenadas em colunas eacute denominado sinograma(Figura 50)
Figura 49 Tomograma via MCNPX - 1 Vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 70
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma Por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 48 Geometria Circulo Transladando - 1 vista por frame
72
A apresentaccedilatildeo do sinograma em forma de imagem eacute ilustrada na Figura 51
Figura 50 Sinograma MCNPX - 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
1
2
3
4
5
6
Posicionamento Linear
Sinograma por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 51 Imagem de sinograma MCNPX -1 vista por frame
Sinograma MCNPX - 1 vista por frame
Vistas
Projeccedilotildees
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
73
As reconstruccedilotildees apresentaram-se similares as feitas analiticamente na seccedilatildeo 41
Formaccedilatildeo de oito artefatos em faixa no FBP e o arqueamento para esquerda indicando o sentido da
rotaccedilatildeo do tomoacutegrafo (Figura 52)
442 Circulo Transladando ndash 2 vistas por frame
Oito geometrias foram simuladas com mudanccedila no posicionamento angular apenas
quando o disco muda de posiccedilatildeo Duas vistas capturam o disco na mesma posiccedilatildeo A geometria
simulada no MCNPX eacute mostrada na Figura 53
Figura 53 Geometria circulo transladando - 2 vistas por frame
Figura 52 Reconstruccedilotildees MART e FBP ndash MCNPX ndash 1 vista por frame
FBP
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60 -06
-04
-02
0
02
04
MART
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
74
A simulaccedilatildeo retorna o seguinte tomograma Figura 54
Calculando as projeccedilotildees temos o sinograma ilustrado na Figura 55
Que visualizado em formato de imagem fica ilustrado na Figura 56
Figura 54 Tomograma MCNPX - 2 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 70
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma Por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 55 Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
1
2
3
4
5
6
Posicionamento Linear
Sinograma por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
75
As reconstruccedilotildees corresponderam as expectativas quando coincidem com as
reconstruccedilotildees simuladas analiticamente(Figura 57)
Figura 57 Reconstruccedilatildeo MART - MCNPX - 2 vistas por frameMART
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
FBP
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60 -04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
06
Figura 56 Imagem de sinograma MCNPX ndash 2vistas por frame
Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame
Vistas
Projeccedilotildees
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
76
45 Resultados com CFD
As condiccedilotildees da simulaccedilatildeo foram vazatildeo volumeacutetrica de ar eacute 500 Lmin e o fluxo de
catalisador eacute de180 kg(m2s-1) O tempo de processo foi de 10 segundos com passo de 00025
segundos
O local de leituras da fraccedilatildeo volumeacutetrica foi se encontra a uma altura de 0650
metros da base do riser feita a cada 00375 segundos durante o tempo de processo de fluidizaccedilatildeo
resultando em 268 imagens Seacuteries de oito a nove imagens da secccedilatildeo transversal satildeo utilizadas
Devido a alta resoluccedilatildeo das imagens vindas do CFD uma reduccedilatildeo foi realizada para
figuras com 64x64 pixels Figura 58
451 CFD-1 vista por frame
A sequecircncia de oito imagens em intervalos de tempos consecutivos eacute ilustrada na
Figura 59 e a imagem meacutedia na Figura 60
Figura 58 Reduccedilatildeo na resoluccedilatildeo 899x999 para 64x64
20 40 60
10
20
30
40
50
60
200 400 600 800
100
200
300
400
500
600
700
800
77
Figura 60 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
Figura 59 CFD - Frames 1 ao 8
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
78
Reconstruccedilotildees
As reconstruccedilotildees para uma vista por frame natildeo correspondem agrave realidade prevista
Figura 61 Sinogramas CFD ndash 1 vista por frame
Figura 62 Reconstruccedilotildees CFD ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo RGB
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Sinograma com Pesos
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo Mart Red
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
79
pelo CFD O pequeno nuacutemero de vistas aliado a complexidade da figura dificultam a reconstruccedilatildeo
452 CFD-8 vistas por frame
A sequecircncia de oito imagens em intervalos de tempo consecutivos eacute ilustrada na
Figura 63
A meacutedia das oito imagens Figura 63
O sinograma simulado e o mesmo ponderado satildeo mostrados na Figura 65
Figura 64 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
Figura 63 Frames 1 ao 8 CFD ndash 8 vistas por frame
80
As reconstruccedilotildees concordam com as distribuiccedilotildees quando apresentam maior
concentraccedilatildeo de soacutelido do lado direito da imagem A maior concentraccedilatildeo de pigmentaccedilatildeo vermelha
Figura 65 Sinogramas CFD - 8 vistas por frame
Figura 66 Reconstruccedilotildees CFD - 8 vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Sinograma com Pesos
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart Red
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
81
do lado direito da imagem reconstruiacuteda em RGB mostra que a distribuiccedilatildeo nesta regiatildeo eacute mais
recente O resultado tem concordacircncia com a mudanccedila de lado da distribuiccedilatildeo ao longo dos oito
frames
46 Reconstruccedilotildees com correccedilatildeo de movimento
Como a reconstruccedilatildeo com vistas alternadas eacute superior a tradicional com vistas
sucessivas utilizou-se para todas as simulaccedilotildees com correccedilatildeo de movimento o posicionamento
angular sucessivo O objetivo da escolha eacute verificar os resultados gerados soacute por correccedilatildeo da matriz
de pesos As simulaccedilotildees foram ordenadas de acordo com as situaccedilotildees jaacute exploradas e para um
instante de tempo especiacutefico
Abaixo (Figura 67 Figura 68) tem-se a configuraccedilatildeo de 4 vistas por frame
resultando em dois quadros cada um com o disco em uma posiccedilatildeo diferente A imagem tem 32x32
pixels e o deslocamento foi vertical de 5 pixels Como o nuacutemero de colunas da matriz de pesos eacute
definido pela resoluccedilatildeo da imagem o deslocamento na matriz de pesos corresponde ao vertical x
nuacutemero de elementos em uma linhaentatildeo 5 x 32 = 60 colunas para esquerda quando se quer
recuperar o primeiro instante e 60 colunas para direita no caso do segundo
Para o primeiro instante a correccedilatildeo mostra-se eficaz reconstruindo por completo a
distribuiccedilatildeo no primeiro instante de tempo Figura 67
A distribuiccedilatildeo no segundo instante eacute reconstruiacuteda com um pouco de ruiacutedo Figura 68
Figura 67 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempoImagem Meacutedia
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30Imagem Meacutedia
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
82
A situaccedilatildeo com translado horizontal eacute ilustrada na Figura 69 e Figura 70 A
reconstruccedilatildeo no primeiro instante de tempo mostra-se mais precisa Figura 69 Quatro vistas foram
utilizados por quadro com um deslocamento de 5 pixels entre eles O deslocamento de colunas eacute
realizado com o mesmo nuacutemero
Para o segundo instante Figura 70
A simulaccedilatildeo com duas vistas por frame resulta em quatro distribuiccedilotildees Figura 71
Figura 72 Figura 73 A imagem tem 64x64 pixels e o deslocamento foi vertical de 5 pixels
resultando em um deslocamento de 5 x 64 = 320 para as colunas
Figura 69 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Figura 70 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o segundo instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30
5
10
15
20
25
30
83
Para o primeiro instante de tempo temos
Para o segundo instante
Figura 71 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 72 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
20 40 60
10
20
30
40
50
60
84
e para o terceiro instante
O ruiacutedo aumenta
Ocorre o aparecimento de ruiacutedo nas reconstruccedilotildees com o aumento do tempo Este
efeito eacute devido a extrapolaccedilatildeo do deslocamento nos elementos proacuteximo as bordas da matriz de
pesos
Figura 73 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
85
5 CONCLUSOtildeES
As simulaccedilotildees analiacuteticas de primitivas matemaacuteticas foram validadas com ecircxito
quando comparadas com as mesmas realizadas por MCNPX As aquisiccedilotildees tomograacuteficas foram
simuladas mostrando a superioridade da tomografia de 5ordf geraccedilatildeo (8 vistas por frame) quando
comparada agrave de 3ordf geraccedilatildeo (uma duas e quatro vistas por frame) seccedilotildees 41 e 42 As reconstruccedilotildees
ficam mais proacuteximas da imagem meacutedia porque todas as vistas satildeo adquiridas ao mesmo tempo
durante todo o processo O FBP perde a definiccedilatildeo dos discos e forma um artefato central vertical O
MART reconstroacutei perfeitamente o disco nas oito posiccedilotildees mostrando a sua preferecircncia para um
nuacutemero limitado de dados (8 vistas) O FBP eacute bastante utilizado em tomografias meacutedicas (360
vistas ou mais) devido a baixa complexidade computacional quando comparado aos meacutetodos
algeacutebricos
Tanto o disco transladando quanto o crescente apresentam melhor performance com
o aumento do nuacutemero de vistas por distribuiccedilatildeo como pode ser visto na seccedilatildeo 41 A situaccedilatildeo em
que foi simulada uma vista por frame apresenta um artefato de movimento indicando o sentido de
rotaccedilatildeo do arranjo simulado
Os oito perfis encontrados nas simulaccedilotildees com ciacuterculo crescente mostram o aumento
do disco seccedilatildeo 413 e 414 As simulaccedilotildees para este caso reconstroem uma distribuiccedilatildeo central
distorcida pela incompatibilidade das projeccedilotildees (adquiridas em diferentes instantes de tempo) As
reconstruccedilotildees com FBP mostram-se inferiores ao MART formando artefatos de Moireacute (artefatos
estrela) em todas as reconstruccedilotildees Confirmando que estes artefatos satildeo comuns quando se utiliza o
FBP com um nuacutemero limitado de dados
Os testes com vistas alternadas mostram que essa configuraccedilatildeo eacute superior ao arranjo
sucessivo pois cobre uma aacuterea maior em um tempo menor capturando mais informaccedilotildees relativas
ao movimento (seccedilatildeo 42)
A reconstruccedilatildeo RGB inova porque mostra a evoluccedilatildeo temporal do processo com
aacutereas mais claras (vermelho claro) indicando proximidade temporal enquanto que aacutereas mais
escuras indicam tempo passado O meacutetodo mostra o clareamento no vermelho em regiotildees da figura
indicando que ocorreu movimento neste sentido Os testes com ciacuterculo transladando mostram
coerecircncia quando indicam com o vermelho mais claro as regiotildees correspondentes aos uacuteltimos
quadros O mesmo resultado eacute obtido com os dados do CFD para simulaccedilatildeo da TC de 5ordf geraccedilatildeo O
86
lado direito da imagem tem valores maiores para o vermelho coincidindo com a sequecircncia de
distribuiccedilotildees utilizada onde ocorre mudanccedila na concentraccedilatildeo do lado esquerdo para o direito Para o
ciacuterculo crescente a eficaacutecia do meacutetodo pode ser questionada pois ocorre superposiccedilatildeo das regiotildees
centrais de cada disco A aplicaccedilatildeo a dados do CFD com apenas uma vista por frame eacute ineficiente
pois a reconstruccedilatildeo RGB natildeo consegue mostrar tendecircncia de movimento A reconstruccedilatildeo tradicional
MART tambeacutem natildeo coincide com a meacutedia dos frames ou seja como o meacutetodo proposto utiliza esta
distribuiccedilatildeo espacial natildeo pode-se afirmar que a ineficiecircncia do processo seja devido unicamente a
reconstruccedilatildeo RGB
O MCNPX foi utilizado com ecircxito nas duas simulaccedilotildees propostas Sinogramas e
tomogramas satildeo coincidentes com exceccedilatildeo da escala com os mesmos encontrados por teacutecnicas
analiacuteticas
A reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento foi utilizada com ecircxito para
determinaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo no instante inicial de tempo Ocorre aparecimento de ruiacutedo com o
aumento do tempo Este efeito eacute devido a extrapolaccedilatildeo do deslocamento nos elementos proacuteximo as
bordas da matriz de pesos Salienta-se que o vetor deslocamento deve ser conhecido ou calculado
previamente Este trabalho utiliza valores jaacute determinados anteriormente nas simulaccedilotildees (distacircncia
entre discos)
O trabalho contribui para tomografia industrial porque utiliza casos comuns agrave aacuterea
como o disco transladando que eacute simulador de bolhas em colunas industriais e imagens do CFD
como phantoms para predileccedilatildeo dos perfis experimentais Contribui tambeacutem para a otimizaccedilatildeo de
paracircmetros de operaccedilatildeo tomograacutefica quando simula as aquisiccedilotildees prevendo resultados para o
experimento Indica o MART como superior ao FBP neste conjunto de dados As simulaccedilotildees
analiacuteticas de sinogramas foram validadas com ecircxito pelo MCNPX ou seja ambas podem ser
utilizadas para simulaccedilatildeo de fenocircmenos industriais Sugere tambeacutem que a TC com vistas alternadas
corresponde mais a realidade dinacircmica de uma distribuiccedilatildeo Propotildee um novo meacutetodo a
reconstruccedilatildeo RGB obtendo bons resultados apenas nas situaccedilotildees em que natildeo ocorre coincidecircncia
entre as distribuiccedilotildees de diferentes instantes de tempo
Um estudo mais detalhado dos valores empiacutericos deve ser feito para um
entendimento maior da penalizaccedilatildeo das projeccedilotildees e das situaccedilotildees em que ocorra superposiccedilatildeo de
distribuiccedilotildees
A baixa performance do FBP esperada para um baixo nuacutemero de aquisiccedilotildees indica
que testes com um nuacutemero maior de vistas devem ser realizados para o estudo dos meacutetodos
87
propostos nestas situaccedilotildees
Outro trabalho futuro eacute utilizar soluccedilotildees jaacute propostas na literatura meacutedica para
diminuiccedilatildeo de ruiacutedos e artefatos na reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento identificando o vetor
deslocamento durante o processo
Espera-se dar continuidade ao trabalho validando tambeacutem experimentalmente as
simulaccedilotildees com translado do disco (Laboratoacuterio de Radioquiacutemica ndash DEN ndash UFPE)
88
6 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
ALEXANDER B DIMITRY V VITALY V KISELEV AN Algebraic reconstruction and
post-processing in incomplete data computed tomography From X-rays to Laser Beams Jun
2007
ANDERSEN AH Algebraic reconstruction in CT from limited views IEEE transactions on
medical imaging v 8(1) p50ndash55 Jan1989
ANGELI S EFSTAHIOS S An Accelerated Algebraic Reconstruction Technique based on
the Newton-Raphson Scheme Ieee Nuclear Science Symposium Conference Record 23382ndash
3387 2009
AZZI M TULIER P BERNARD J R GARNERO L Mapping Solid Concentration in a
Circulating Fluid Bed Using Gammametry Powder Technology p27-36 1991
BENDER R GORDON R HERMAN GT Algebraic reconstruction techniques(art) for
three dimensional electron microscopy and x-ray photography J Theor Biol v29 p759ndash768
1971
BROOKS RA CHIRO G Principles of Computer Assisted Tomography ( CAT ) in
Radiographic and Radioisotopic Imaging Phis Med Biol v21 N 5 p689-732 1976
BUTALA M D KAMALABADI F FRAZIN R A Chen YldquoDynamic tomographic imaging
of the solar coronardquo IEEE J Sel Topics Signal Process vol 2 pp 755ndash7662008
CENSOR Y Finite Series-Expansion Reconstruction Methods proceedings of the ieee p71
1983
CEZARO A CEZARO FT Problemas Inversos e a matemaacutetica da tomografia
computadorizada V Bienal da SBM - Sociedade Brasileira de Matemaacutetica 2010
CRUVINEL P E Mini tomoacutegrafo de raio-x e raio gama computadorizado para aplicaccedilotildees
multidisciplinares PhD thesis Unicamp 1987
DANTAS CC MELOSM OLIVEIRA E F MAGALHAtildeES F P SANTOS M G
Measurement of density distribution of a cracking catalyst in experimental riser with a
sampling procedure for gamma ray tomography Nuclear Instruments amp Methods in Physics
Research Section B Beam Interactions with Materials and Atoms (Print) v 266 p 841-848
2008
89
DE PIERRO A R Problemas Matemaacuteticos em Tomografia por Emissatildeo Notas UNICAMP
2004
DESBAT L RIT S CLACKDOYLE R MENNESSIER C PROMAYON E
NTALAMPEKI S ldquoAlgebraic and analytic reconstruction methods for dynamic
tomography rdquo Proceedings of the 29th Annual International Conference of the IEEE EMBS Citeacute
Internationale Lyon France August 23-26 2007 ThP2B11 2007 pp 726-730
DESBAT L ROUX S GRANGEAT P ldquoCompensation of some time dependent
deformations in tomography 2 Deformations preserving the projection geometryrdquo IEEE
transactions on medical imaging vol 26 2007 pp 1-20
EARLY D S LONG DG Image Reconstruction and Enhanced Resolution Imaging from
Irregular Samples IEEE trasactions on geosciences and remote sensing 3v9(2)291ndash302 2001
FARIN G Curves and Surfaces for CAGD a Practical Guide 4th edition Academic Press-
1996
FORSYTHE GE Solving linear algebraic equations can be interesting Bulletin of the
American Mathematical Society v59(4) P299ndash330 Jul 1953
GORDON R A tutorial on art (algebraic reconstruction techniques) IEEE Trans Nucl Sci v
NS-21 p78ndash93 1974
GORDON R GUAN H A projection acess order for speedy convergence of art a multilevel
scheme for computed tomography Physics in medicine and biology p39 1994
GUAN H HERMAN G T ZHU Y Combining various projection access schemes with the
algebraic reconstruction technique for low-contrast detection in computed tomography
Physics in medicine and biology 43(8)2413ndash21 August 1998
HANSON K M WECKSONG GVW Local basis approach to computed tomography
ApplOpt v24 p4028-2039 1985
HERFFERNAN P B Robb A R Difference image reconstruction from a few projections for
nondestructive materials inspection Applied optics
HERMAN G T Iterative reconstruction algorithms Comput Biol Med v6 p273 ndash 294 1976
HERMAN G T GORDON R Reconstruction of pictures from their projections Commun
Assoc Comput Mach v14 p759ndash768 1971
HERMAN GT MEYER L B Algebraic Reconstruction Techniques Can Be Made
90
Computationally Efficient IEEE transactions on medical imaging v 12(3) 1993
IAEA-TECDOC-1589 INDUSTRIAL PROCESS GAMMA TOMOGRAPHY Final report of a
coordinated research project 2003ndash2007 May 2008
KACZMARZ S Angenaherte auflosung von systemen linearer gleichungen Bull Acad Pol
Sci Lett A vol 6-8A pp 355-357 1937
KAKA C SLANEY M Principles of Computerized tomographic imaging IEEE PRESS
1999
KALAGA D V KULKARNI A V ACHARYA R KUMAR U SINGH G JOSHI JB
Some industrial applications of gamma-ray tomography Journal of the Taiwan Institute of
Chemical Engineers 40 (2009) 602ndash612 wwwelseviercomlocatejtice
KNOLL G F Nuclear Counters Radiation-Measurement Book 2006
LUTZ PH Relaxation Methods for Image Reconstruction Communications of the ACM
v21(2) p282ndash288 1978
MARTINEZ AG Detecccedilatildeo de descontinuidades e reconstruccedilatildeo de funccedilotildees a partir de dados
espectrais filtros splines e metodos iterativos tese - UNICAMP 2006
MELO SM DANTAS CC OLIVEIRA EAL MAGALHAtildeES FP OLIVEIRA EF A FCC
catalyst gamma ray tomographic reconstruction by using non negative non parametric bezier
triangles Proceedings In 4 th International Symposion on Process Tomography in Poland p 165
Washaw 2006
MESQUITA J MATELA N OLIVEIRA N MARTINS M V Choosing the ART relaxation
parameter for Clear-PEM 2D image reconstruction Computer methods and programs in
biomedicine May 2010
MYERS G R KINGSTON A M VARSLOT T K TURNER M L SHEPPARD A
P ldquoDynamic tomography with a priori informationrdquo Applied Optics vol 50 2011 pp 3685-
3690
OLIVEIRA EF DANTAS CC MELO S B VASCONCELOS D A A ldquoCOMPARISON
AMONG TOMOGRAPHIC RECONSTRUCTION ALGORITHMSrdquo internetional nuclear
conference-INAC2011
OLIVEIRA EF DANTAS C MELO S B VASCONCELOS D A A ldquoTOMOGRAPHIC
RECONSTRUCTION WITH B-SPLINES SURFACESrdquo internetional nuclear conference-
INAC2011
91
RAMACHANDRAM G N LAKSHMINARAYANAN A V Three-dimensional
reconstruction from radiographs and electron micrographs II application of convolutions
instead of Fourier transforms Proc Natl Acad Sci US v68 p2236-2240 1971
KACZMARZ S Angenaherte auflosung von systemen linearer gleichungen Acad Pol Sci
Lett v 6-8A p355ndash357 1937
SALINA F V MASCARENHAS NDA CRUVINEL PE A Comparison of POCS
Algorithms for Tomographic Reconstruction Under Noise and Limited View Computer
Graphics and Image Processing 2002
SALVADOR P A V Anaacutelise de sistemas multifaacutesicos utilizando tomografia computadorizada
gama monoenergeacutetica e polienergeacutetica Tese IPEN-USP 2008
SERGIO N QUORIN R Diagnoacutestico de defeitos em madeira por tomografia de raios x PhD
thesis UFPR 2004
SUBBARAO P M V MUNSHI P MURALIDHAR K Performance of iterative tomographic
algorithms applied to non-destructive evaluation with limited data NDT amp Internacional
v30(6) p359ndash370 1997
TANABE K Projection method for solving a singular system Numer Math 17203ndash214 1971
TIRUNELVELI G HERMAN G T Comparison of Square-Pixel and Hexagonal-Pixel
Resolution in Image Processing Test pages 867ndash872 2002
VERHOEVEN D Limited-data computed tomography algorithms for the physical sciences
Applied Optics jul1993
WENKAI L Adaptive algebraic reconstruction technique Image (Rochester NY) v31(12)
p3222ndash3230 2004
92
ANEXO ndash I
ROTINAS DESENVOLVIDAS NO MATLAB
Rotina responsaacutevel por criar os phantoms e calcular o sinograma Tambeacutem reconstroacutei
clear
d=64Nproj=8Ntraj=dNpixel=dr=02Nit=30display(MART)chute=1I0=10^8x=1fig3=(zeros(d))teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)inc=3cont=1z=zeros(NprojNtraj1)zt=zzt1=zzt2=zztgb=zcont=1c=0teta=[teta teta]clear fig
vpf=1raio=3inc=7c=5vpf=2raio=4inc=8c=5vpf=4raio=5inc=17c=10 vpf=8raio=1inc=4vpf=4inc=1cc=0inc2=25c=10vpf=4raio=3inc=15c=0 fator=(1Nproj)(1Nproj)1fator=flipud(fator)fator=linspace(00509Nproj)a=0for n=1Nproj a=a+1 circ(n)=Circulo(d(d2)(d2)(1+c))if a==vpfa=0c=c+incend crescente circ(n)=Circulo(d5+c(d2)raio)if a==vpfa=0c=c+incend translado vertical fig=circ(n) [z]=sinograma(fig teta(n)) zr=radon(fig teta(n)Ntraj) fig3=(fig3+fig) Itred(cont)=(I0exp(-zx))n((Nproj+inc+1)-n)(nNproj)olhar sempre It(cont)=I0exp(-zx) Ir(cont)=I0exp(-zr) cont=cont+1endfig3=fig3(max(max(fig3))Nproj)tira a sobreposiccedilatildeosinot=log((I0)It)importante retirar fator caso seja utilizado tomo de 3ordfsinot=(ZeraNeg(sinot))rect=Mart2(MatparaCol(real(sinot))teta102)[c d]=size(rect)rect=ColparaMat(rect(d)NpixelNpixel)figure subplot(131)imagesc(fig3)title(Imagem Meacutedia) subplot(132)imagesc(rect)title(MART Vistas Sucessivas) subplot(133)imagesc(rect)title(MART Vistas Alternadas)
93
Rotina para Testes com reconstruccedilotildees
clear load meialuanotubo2load dadosdinamicoload dadosdinamico2dados2=dados3[Ntraj Nproj]=size(dados2) for a=1Nproj for b=1Ntraj if dados2(ab)gt1 || dados2(ab)lt10^-2 dados2(ab)=1 end endend sinograma=-(102)log(dados2)sinograma=ZeraNeg(sinograma)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj) display(FBP)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)z=sinogramarecfbp=iradon(ztetaNtraj)x=164figsino(xdados2) figsino(xsinograma) figureimagesc(sinograma)title(Sinograma MCNPX - 1 vista por frame) xlabel(Vistas)ylabel(Projeccedilotildees)
_________________________MART___________________________________________ x=[02] Nit=20r=1recmart=zeros(Npixel^2Nitlength(x)) display(MART com pesos)display(x) z=MatparaCol(sinograma) [ix iy]=GridAlg(NprojNtrajNtrajpi) [A]=pesosart(ixiyNprojNtrajNtraj) rec=Art(AzNprojNtraj5002) figure imagesc(rec)title(ART) end recfinal=ColparaMat(recmart(Nit)NpixelNpixel) figuresurf(recfinal)figureimagesc(recfinal)colorbartitle(Mart) durou=etime(clockliga)60save phantomacrilicoMart x durou recmart A _________________________ART____________________________________________ x=[02] Nit=10r=1recart=zeros(Npixel) display(ART com pesos)display(x) z=MatparaCol(sinograma) rec=Mart(AzNprojNtrajNitx) recart=ColparaMat(rec(Nit)NpixelNpixel)r=r+1 figureimagesc(recart)colorbartitle(art) __________________________________________________________________________
94
rotina para caacutelculo do sinograma
function [matriz]=sinograma(fig teta)
[a b]=size(fig)Ntraj=aNproj=size(teta2)sino=zeros(NtrajNproj)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)for i=1Nproj for j=1b sino(ji)=Project(figteta(i)j) endendmatriz=sino
function [bijtemp erromat]=Mart2(ztetachuterelax)
[a b]=size(z)Nproj=size(teta2)Ntraj=aNprojNpixel=Ntrajbijtemp=ones(Npixel^250)bijtemp(1)=chute pij=ones(size(sino))Ite=50erro=1cont=1erromat=zeros(149)for Nitera=1Ite if Nitera==25 Nitera end for i=1Nproj W=Wproj(teta(i)Npixel) pij=Wbijtemp(Nitera) for j=1Ntraj cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pij(j))pij(j) if (pij(j)==0)cor=0000000001end ind=find(W(j)) cor=correlax bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corbijtemp(indNitera)W(jind)) end end if errolt=005break end if Niteragt=2 erro=100sqrt(sum(sum(((bijtemp(Nitera)-bijtemp(Nitera-1))^2))))sum(sum(bijtemp(Nitera))) erromat(cont)=errocont=cont+1 end if (Nitera ~= Ite)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)endendbijtemp=bijtemp(1Nitera)erro
function [bijtemp erromat]=Mart2(ztetachuterelax)
[a b]=size(z)Nproj=size(teta2)Ntraj=aNprojNpixel=Ntrajbijtemp=ones(Npixel^250)bijtemp(1)=chute
95
pij=ones(size(sino))Ite=50erro=1cont=1erromat=zeros(149)for Nitera=1Ite if Nitera==25 Nitera end for i=1Nproj W=Wproj(teta(i)Npixel) pij=Wbijtemp(Nitera) for j=1Ntraj cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pij(j))pij(j) if (pij(j)==0)cor=0000000001end ind=find(W(j)) cor=correlax(i) bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corbijtemp(indNitera)W(jind)) end end if errolt=005break end if Niteragt=2 erro=100sqrt(sum(sum(((bijtemp(Nitera)-bijtemp(Nitera-1))^2))))sum(sum(bijtemp(Nitera))) erromat(cont)=errocont=cont+1 end if (Nitera ~= Ite)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)endendbijtemp=bijtemp(1Nitera)erro
function [figtemp]=BP(NprojNtrajNpixelzinterXinterYfigura)
Back projection
c=max(size(figura))
Ntraj=c
Npixel=caumenta a dimenssatildeo da figura para eliminar artefatos de rotaccedilatildeo
figtemp=zeros(c)
inter=ones(22(Npixel+1))696969
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
inter(1)=interX(((i-1)Npixel)+j)
inter(2)=interY(((i-1)Npixel)+j)
for a=12(Npixel+1)
if (inter(1a)gt=0 ampamp inter(1a)ltNpixel) ampamp (inter(2a)gt=0 ampamp
inter(2a)ltNpixel) ampamp (inter(1a+1)gt=0 ampamp inter(1a+1)lt=Npixel) ampamp
(inter(2a+1)gt=0 ampamp inter(2a+1)lt=Npixel)
dist=sqrt(((inter(1a+1)-inter(1a))^2)+((inter(2a+1)-
inter(2a))^2))
x=fix(inter(1a))y=fix(inter(2a))
if (figura(x+1y+1))gt 10^-1
figtemp(x+1y+1)=figtemp(x+1y+1)+z(Ntraj(i-1)+j)dist
end
end
end
end
end
function [bijtemp]=Art(AzNprojNtrajNitrelax)
ART aditivo com opccedilatildeo de relaxaccedilatildeo
96
[c d]=size(A)a=sqrt(d)b=a
bijtemp=zeros(b^2Nit)10
pij=zeros(b1)pijtemp=zeros(Ntraj1)convergencia=zeros(1Nit)
Projection=Nproj
for Nitera=1Nit
interaction=Nitera
for i=1Nproj
pijtemp=A((Ntraj(i-1)+1)(Ntraj(i-1)+Ntraj))bijtemp(Nitera)
for j=1Ntraj
soma=sum(A(Ntraj(i-1)+j)^2)
cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pijtemp(j))
ind=find(A(Ntraj(i-1)+j))
cor=correlaxsoma
bijtemp(indNitera)=(bijtemp(indNitera) + corA(Ntraj(i-
1)+jind))
for ii=ind
if bijtemp(iiNitera)lt0bijtemp(iiNitera)=0end
end
end
end
if (Nitera ~= Nit)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)end
if (Nitera ~= 1)convergencia(Nit)=sqrt(sum(sum(bijtemp(Nitera-1)^2
-bijtemp(Nitera)^2))sum(sum(bijtemp(Nitera)^2)))end
end
function [bijtemp]=Artfast(AzNprojNtrajNitrelax)
ART aditivo com opccedilatildeo de relaxaccedilatildeo
[c d]=size(A)a=sqrt(d)b=a
bijtemp=ones(b^2Nit)
pij=zeros(b1)pijtemp=zeros(Ntraj1)
Projection=Nproj
for Nitera=1Nit
Nitera
for i=1Nproj
pijtemp=A((Ntraj(i-1)+1)(Ntraj(i-1)+Ntraj))bijtemp(Nitera)
for j=1Ntraj
soma=sum(A(Ntraj(i-1)+j)^2)
cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pijtemp(j))
ind=find(A(Ntraj(i-1)+j))
cor=correlaxsoma
bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corA(Ntraj(i-
1)+jind))
for ii=ind
if bijtemp(iiNitera)lt0bijtemp(iiNitera)=0end
end
end
end
if (Nitera ~= Nit)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)end
end
function [interX interY]=GridAlg(NprojNtrajNpixelRangeAngular)
RangeAngular=pi
display(vc olhou pi)
rxvetor=zeros(Nproj1)
ryvetor=zeros(Nproj1)
rxpontos=zeros(NtrajNproj)
97
rypontos=zeros(NtrajNproj)
rxpontos(1)=linspace(0+(NpixelNtraj)2Npixel-(NpixelNtraj)2Ntraj)
rypontos=flipud(rypontos)
rypontos(1)=0
rxvetor(1)=0
ryvetor(1)=1
teta=RangeAngularNproj
rot=[cos(teta) -sin(teta)sin(teta) cos(teta)]
for b=2Nproj
vet=rot[rxvetor(b-1) ryvetor(b-1)]
rxvetor(b)=vet(1)
ryvetor(b)=vet(2)
end
for b=2Nproj
for a=1Ntraj
pontos=rot[rxpontos(ab-1)-(Npixel2)rypontos(ab-1)-(Npixel2)]
rxpontos(ab)=pontos(1)+(Npixel2)
rypontos(ab)=pontos(2)+(Npixel2)
end
end
clear FIG
interX=zeros(NtrajNproj2(Npixel+1))interY=interX
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
ind=1
inter=ones(22(Npixel+1))696969
if rxvetor(i)lt-10^-5 || rxvetor(i)gt10^-5
for x=0Npixel
inter(2x+1)=(ryvetor(i)rxvetor(i))(x-rxpontos(ji))
+rypontos(ji)
inter(1x+1)=x
ind=ind+1
end
end
if rxvetor(i)gt=-10^-5 ampamp rxvetor(i)lt=10^-5x=-1end
if ryvetor(i)lt-10^-5 || ryvetor(i)gt10^-5
for y=0Npixel
inter(1x+2+y)=(rxvetor(i)ryvetor(i))(y-rypontos(ji))
+rxpontos(ji)
inter(2x+2+y)=y
ind=ind+1
end
end
[inter(1) B]=sort(inter(1))
inter(2)=inter(2B)
interX(((i-1)Ntraj)+j)=inter(1)
interY(((i-1)Ntraj)+j)=inter(2)
end
end
function [A]=pesosart(interXinterYNprojNpixelNtraj)
(NprojNtraj)x(Npixel^2)lt=70000000 out of memory with space free 560000000
98
[a b]=size(interX)
Atemp=sparse(zeros(NtrajNpixel^2))
inter=ones(22(Npixel+1))696969
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
inter(1)=interX(((i-1)Ntraj)+j)
inter(2)=interY(((i-1)Ntraj)+j)
for a=12(Npixel+1)
if (inter(1a)gt=0 ampamp inter(1a)ltNpixel) ampamp (inter(2a)gt=0 ampamp
inter(2a)ltNpixel) ampamp (inter(1a+1)gt=0 ampamp inter(1a+1)lt=Npixel) ampamp
(inter(2a+1)gt=0 ampamp inter(2a+1)lt=Npixel)
dist=sqrt(((inter(1a+1)-inter(1a))^2)+((inter(2a+1)-
inter(2a))^2))
if inter(2a+1)ltinter(2a)
y=fix(inter(2a+1))
else
y=fix(inter(2a))
end
x=fix(inter(1a))
Atemp(jNpixel(Npixel-y-1)+x+1)=dist
end
end
end
if i==1
A=Atemp
else
A=[AAtemp]
end
Atemp=sparse(zeros(NtrajNpixel^2))
end
AGRADECIMENTOS
Agradeccedilo aos professores orientadores Dr Carlos Costa Dantas e Dr Siacutelvio Barros
Melo que me orientam desde dos tempos de iniciaccedilatildeo cientiacutefica contribuindo significativamente
para minha formaccedilatildeo
A Drordf Margarida Hamada e o Dr Carlos Mesquita pela orientaccedilatildeo e ajuda no iniacutecio
deste trabalho
A Comissatildeo Nacional de Pesquisa Nuclear- CNEN pelo financiamento da pesquisa
E a todos que de alguma forma contribuiacuteram para realizaccedilatildeo deste trabalho
RESUMO
O estado da arte dos meacutetodos aplicados para processos industriais eacute atualmentebaseado em princiacutepios de reconstruccedilotildees tomograacuteficas claacutessicas desenvolvidos para padrotildeestomograacuteficos de distribuiccedilotildees estaacuteticas ou seja satildeo limitados a processos de pouca variabilidadeRuiacutedos e artefatos de movimento satildeo os principais problemas causados pela incompatibilidade nosdados gerada pelo movimento Aleacutem disso em processos tomograacuteficos industriais eacute comum umnuacutemero limitado de dados podendo produzir ruiacutedo artefatos e natildeo concordacircncia com a distribuiccedilatildeoem estudo Um dos objetivos do presente trabalho eacute discutir as dificuldades que surgem daimplementaccedilatildeo de algoritmos de reconstruccedilatildeo em tomografia dinacircmica que foram originalmentedesenvolvidos para distribuiccedilotildees estaacuteticas Outro objetivo eacute propor soluccedilotildees que visam reduzir aperda de informaccedilatildeo temporal devido a utilizaccedilatildeo de teacutecnicas estaacuteticas em processos dinacircmicos Noque diz respeito agrave reconstruccedilatildeo de imagem dinacircmica foi realizada uma comparaccedilatildeo entre diferentesmeacutetodos de reconstruccedilatildeo estaacuteticos como MART e FBP quando usado para cenaacuterios dinacircmicosEsta comparaccedilatildeo foi baseada em simulaccedilotildees por MCNPX e tambeacutem analiticamente de um cilindrode alumiacutenio que se move durante o processo de aquisiccedilatildeo e tambeacutem com base em imagens decortes transversais de teacutecnicas de CFD Outra contribuiccedilatildeo foi aproveitar o canal triplo de coresnecessaacuterio para exibir imagens coloridas na maioria dos monitores de modo que dimensionandoadequadamente os valores adquiridos de cada vista no sistema linear de reconstruccedilatildeo foi possiacutevelimprimir traccedilos temporais na imagem tradicionalmente reconstruiacuteda Finalmente uma teacutecnica decorreccedilatildeo de movimento usado no campo da medicina foi proposto para aplicaccedilotildees industriaisconsiderando-se que a distribuiccedilatildeo de densidade nestes cenaacuterios pode apresentar variaccedilotildeescompatiacuteveis com movimentos riacutegidos ou alteraccedilotildees na escala de certos objetos A ideia eacute usar dadosconhecidos a priori ou durante o processo como vetor deslocamento e entatildeo usar essasinformaccedilotildees para melhorar a qualidade da reconstruccedilatildeo Isto eacute feito atraveacutes da manipulaccedilatildeoadequada da matriz peso no meacutetodo algeacutebrico isto eacute ajustando-se os valores para refletir omovimento objeto do previsto ou deformaccedilatildeo Os resultados de todas essas teacutecnicas aplicadas emvaacuterios experimentos e simulaccedilotildees satildeo discutidos neste trabalho
PALAVRAS-CHAVE Reconstruccedilatildeo Tomograacutefica Reconstruccedilatildeo Dinacircmica Tomografia CFD
MCNP
ABSTRACT
The state of the art methods applied to industrial processes is currently based on the principles ofclassical tomographic reconstructions developed for tomographic patterns of static distributions oris limited to cases of low variability of the density distribution function of the tomographed objectNoise and motion artifacts are the main problems caused by a mismatch in the data from viewsacquired in different instants All of these add to the known fact that using a limited amount of datacan result in the presence of noise artifacts and some inconsistencies with the distribution understudy One of the objectives of the present work is to discuss the difficulties that arise fromimplementing reconstruction algorithms in dynamic tomography that were originally developed forstatic distributions Another objective is to propose solutions that aim at reducing a temporal type ofinformation loss caused by employing regular acquisition systems to dynamic processes Withrespect to dynamic image reconstruction it was conducted a comparison between different staticreconstruction methods like MART and FBP when used for dynamic scenarios This comparisonwas based on a MCNPx simulation as well as an analytical setup of an aluminum cylinder thatmoves along the section of a riser during the process of acquisition and also based on cross sectionimages from CFD techniques As for the adaptation of current tomographic acquisition systems fordynamic processes this work established a sequence of tomographic views in a just-in-time fashionfor visualization purposes a form of visually disposing density information as soon as it becomesamenable to image reconstruction A third contribution was to take advantage of the triple colorchannel necessary to display colored images in most displays so that by appropriately scaling theacquired values of each view in the linear system of the reconstruction it was possible to imprint atemporal trace into the regularly reconstructed image where the temporal trace utilizes a channeland the regular reconstruction utilizes a different one Finally a motion correction technique used inthe medical field was proposed for industrial applications considering that the density distributionin these scenarios may present variations compatible with rigid motions or changes in scale ofcertain objects The idea is to identify in some configurations of the temporarily distributed dataclues of the type of motion or deformation suffered by the object during the data acquisition andthen use this information to improve the quality of the reconstruction This is done by appropriatelymanipulating the weight matrix in the algebraic method ie by adjusting the values to reflect thepredicted object motion or deformation The results of all these techniques applied in severalexperiments and simulations are discussed in this work
Keywords Industrial Dynamic Tomography Flow Dynamics Dynamic Process SimulationDynamic Tomographic Reconstruction
Lista de Figuras
Figura 1 Atenuaccedilatildeo da Radiaccedilatildeo pela mateacuteria16Figura 2 Discretizaccedilatildeo de l18Figura 3 Sinograma constituiacutedo de 180 vistas (construiacutedo com a funccedilatildeo radon do matlab)19Figura 4 Discretizaccedilatildeo da secccedilatildeo irradiada22Figura 5 Geraccedilotildees Tomograacuteficas27Figura 6 Geraccedilotildees Tomograacuteficas28Figura 7 Phantom de Sheep-Logan29Figura 8 Discretizaccedilatildeo da secccedilatildeo irradiada30Figura 9 Distribuiccedilatildeo de velocidades e de fraccedilatildeo de soacutelido para diferentes alturas32Figura 10 Secccedilatildeo com distribuiccedilatildeo de soacutelido que seraacute utilizada como Phantom Matemaacutetico33Figura 11 Visatildeo 3D de uma distribuiccedilatildeo de fraccedilatildeo de soacutelido feito por CFD33 Figura 12Sistema RGB35Figura 13 Sistema de Coordenadas39Figura 14 reta r sendo mapeada por39Figura 15 Projeccedilotildees 1D sem mudanccedila de frame43Figura 16 Projeccedilotildees 1D com mudanccedila de frame44Figura 17 Mais de uma vista por frame45Figura 18 Mais de um frame por vista46Figura 19 Mais de um frame durante a aquisiccedilatildeo46Figura 20 Software Desenvolvido50Figura 21 8 frames - ciacuterculo transladando - 1 vista por frame52Figura 22 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames52Figura 23 Tomograma e sinograma ndash circulo transladando ndash 1 vista por frame53Figura 24 Sinogramascirculo transladando ndash 1 vista por frame54Figura 25 Reconstruccedilotildees circulo transladando ndash 1 vista por frame54Figura 26 Tomograma e Sinograma - disco transladando - 8 vistas por frame55Figura 27 Sinogramas Ciacuterculo Transladando -Oito vistas por frame56Figura 28 Reconstruccedilotildees Ciacuterculo Transladando -Oito vistas por frame56Figura 29 8 frames - circulo crescente - 1 vista por frame57Figura 30 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames57Figura 31 Tomograma e sinograma - ciacuterculo crescente - 1 vista por frame58Figura 32 Imagem do sinograma - ciacuterculo crescente - 1 vista por frame59Figura 33 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 1 vista por frame59Figura 34 Tomograma e sinograma - circulo crescente - 8 vista por frame60Figura 35 Sinogramas circulo crescente ndash 8 vistas por frame61Figura 36 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 8 vistas por frame61Figura 37 Reconstruccedilotildees disco transladando - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas e alternadas62Figura 38 Reconstruccedilotildees disco transladando - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas e alternadas 63Figura 39 Reconstruccedilotildees disco transladando - 4 Vistas por frame - Vistas sucessivas e alternadas 64Figura 40 Reconstruccedilotildees disco crescente - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas e alternadas64Figura 41 Reconstruccedilotildees disco crescente - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas e alternadas65Figura 42 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 1 vista por frame66Figura 43 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frame67Figura 44 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frame68Figura 45 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frame68Figura 46 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frame69Figura 47 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo crescente - 2 vistas por frame69Figura 48 Geometria Circulo Transladando - 1 vista por frame71
Figura 49 Tomograma via MCNPX - 1 Vista por frame71Figura 50 Sinograma MCNPX - 1 vista por frame72Figura 51 Imagem de sinograma MCNPX - 1 vista por frame72Figura 52 Reconstruccedilotildees MART e FBP ndash MCNPX ndash 1 vista por frame73Figura 53 Geometria circulo transladando - 2 vistas por frame73Figura 54 Tomograma MCNPX - 2 vistas por frame74Figura 55 Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame74Figura 56 Imagem de sinograma MCNPX ndash 2 vistas por frame75Figura 57 Reconstruccedilatildeo MART - MCNPX - 2 vistas por frame75Figura 58 Reduccedilatildeo na resoluccedilatildeo 899x999 para 64x6476Figura 59 CFD - Frames 1 ao 877Figura 60 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames77Figura 61 Sinogramas CFD ndash 1 vista por frame78Figura 62 Reconstruccedilotildees CFD ndash 1 vista por frame78Figura 63 Frames 1 ao 8 CFD ndash 8 vistas por frame79Figura 64 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames79Figura 65 Sinogramas CFD - 8 vistas por frame80Figura 66 Reconstruccedilotildees CFD - 8 vistas por frame80Figura 67 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo81Figura 68 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o segundo instante de tempo81Figura 69 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo82Figura 70 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o segundo instante de tempo82Figura 71 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo83Figura 72 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo83Figura 73 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo84
LISTA DE TABELAS
Tabela 1
Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 1 vista por framehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip62
Tabela 2
Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 2 vistas por framehelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip63
Tabela 3
Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 4 vistas por framehelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip63
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
DEN ndash Departamento de Energia Nuclear
UFPE ndash Universidade Federal de Pernambuco
TC ndash Tomografia Computadorizada
ART ndash Algebraic Reconstruction Techinique
MART ndash Multiplicative Algebraic Reconstruction Techinique
SIRT ndash Simultaneous Iterative Reconstruction Technique
FBP ndash Filtered Back Projection
AM ndash Alternating Minimization
CFD ndash Computer Fluid Dynamics
MCNP - Monte Carlo N-Particle
PET - Positron Emission Tomography
SPECT - Single Photon Emission Tomography
CST ndash Central Slice Theorem
Sumaacuterio
1 INTRODUCcedilAtildeO132 TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA16
21 A Lei de Beer-Lambert16
22 Algoriacutetmos de Reconstruccedilatildeo20
221 Filtered Back Projection (FBP)20222 ART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica)21223 MART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica com Correccedilatildeo Multiplicativa)23
23 O Caso Dinacircmico24
24 Reconstruccedilatildeo com Correccedilatildeo de Movimento25
25 Geraccedilotildees de Tomoacutegrafos26
26 Simulaccedilatildeo de Sinogramas28
27 Fluidodinacircmica Computacional - CFD31
28 Tempo de Aquisiccedilatildeo ou Integraccedilatildeo33
29 Sistema de cores RGB33
21 0MCNP35
3 METODOLOGIA3731 A Transformada de Radon Temporal38
32 Lei de Beer-Lambert temporal41
33 Simulaccedilatildeo de aquisiccedilotildees Tomograacuteficas42
331 Aquisiccedilatildeo por Tomografia de 1ordf Geraccedilatildeo42332 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 3ordf geraccedilatildeo45333 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 5ordf geraccedilatildeo46
34 Posicionamento angular47
35 Utilizaccedilatildeo de um canal de cores para visualizar a dinacircmica do processo Reconstruccedilatildeo RGB47
36 Reconstruccedilatildeo utilizando dados do CFD48
37 Avaliaccedilatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo com RMSE49
38 Algoritmos e Software Desenvolvidos50
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO5141 Resultados das Reconstruccedilotildees MART e FBP51
411 Primitiva Ciacuterculo Transladando 1 vista por frame51412 Primitiva Ciacuterculo Transladando Oito vistas por frame55413 Primitiva Circulo Crescente Uma vista por frame57414 Primitiva Circulo Crescente Oito vistas por frame60
42 Vistas Alternadas62
43 Resultados com RGB65
44 Simulaccedilotildees com MCNPX70
441 Circulo Transladando ndash 1vista por frame70
442 Circulo Transladando ndash 2 vistas por frame7345 Resultados com CFD76
451 CFD-1 vista por frame76452 CFD-8 vistas por frame79
46 Reconstruccedilotildees com correccedilatildeo de movimento81
5 CONCLUSOtildeES856 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS88ANEXO ndash I92
13
1 INTRODUCcedilAtildeO
A Tomografia Computadorizada (TC) consiste em duas etapas
a) O objeto eacute verificado (escaneado) com relaccedilatildeo a alguma propriedade como
densidade capacitacircncia resistividade eleacutetrica ressonacircncia magneacutetica etc
b) A propriedade eacute entatildeo reconstruiacuteda por meio de uma teacutecnica de reconstruccedilatildeo
adequada
Dessa forma a tomografia tem como objetivo reconstruir os detalhes geomeacutetricos do
objeto subjacente e tambeacutem obter os valores da propriedade escolhida Normalmente eacute classificada
como uma teacutecnica de ensaios natildeo destrutivos (END) e portanto eacute de uso imenso em
colunasreatores industriais para detectar a distribuiccedilatildeo de fases ou qualquer tipo de natildeo
uniformidade no interior do objeto
Para o registro de qualquer mudanccedila no objeto otimiza-se o sistema em alta
resoluccedilatildeo temporal (baixo tempo de aquisiccedilatildeo) ou seja permitir vaacuterias imagens resultando em
centenas de quadros por segundo A tomografia que concretiza essa configuraccedilatildeo de aquisiccedilatildeo eacute
chamada de instantacircnea ou de 5ordf geraccedilatildeo onde vaacuterias fontes satildeo arranjadas diametralmente opostas
a um leque de detetores de radiaccedilatildeo e consequentemente a colimaccedilatildeo de uma fonte eacute limitada por
outra reduzindo a resoluccedilatildeo espacial do sistema
Quando a distribuiccedilatildeo tem baixa variabilidade ao longo do tempo ou quando
limitaccedilotildees teacutecnicas impedem o uso da tomografia instantacircnea propotildee-se a tomografia com baixa
resoluccedilatildeo temporal com tomoacutegrafos de 1ordf e 3ordf geraccedilotildees O alto tempo de aquisiccedilatildeo destes
tomoacutegrafos prejudica a reconstruccedilatildeo quando o objeto em estudo muda suas propriedades no
decorrer do tempo Esta foi classificada por vaacuterios autores como reconstruccedilatildeo dinacircmica
(ARTEMIEV V M NAUMOV A O 2006) (BUTALA 2009) (DESBAT L et al 2006) Jaacute eacute
uma aacuterea muito ativa em medicina nuclear onde movimentos do paciente devem ser tomados em
consideraccedilatildeo Tais como em SPECT ou PET mas tambeacutem em tomografia computadorizada (TC de
transmissatildeo) para oacutergatildeos de movimento raacutepido como o coraccedilatildeo (GRAMEL BM et al 2012)
De um modo geral o imageamento dinacircmico TC tem como objetivo reconstruir
sequecircncias de imagens em que a natureza dinacircmica do objeto tomografado eacute de interesse primaacuterio
permitindo o registro de mudanccedilas temporais na distribuiccedilatildeo do coeficiente de atenuaccedilatildeo linear
podendo identificar o estado inicial e o final do processo
O estado da arte dos meacutetodos aplicados para processos industriais eacute atualmente
baseado em princiacutepios de reconstruccedilotildees tomograacuteficas claacutessicas desenvolvidos para padrotildees TC de
distribuiccedilotildees estaacuteticas como pode ser visto em diversos artigos da aacuterea de tomografia industrial
14
(DAHAN A et al 2007 DUDUKOVIC 2007 HALE et al 2007 JOHANSEN et al 2005
KUMAR et al 1997 DANTAS CC et al 2007 SALVADOR P A V 2010 MESQUITA C et
al 2011) Essas abordagens assumem que as propriedades da imagem satildeo constantes durante o
processo de aquisiccedilatildeo Os algoritmos de reconstruccedilatildeo mais comuns ao contexto satildeo os iterativos
onde se destacam teacutecnicas de reconstruccedilatildeo algeacutebrica (ART SIRT MART SMART) e teacutecnicas de
reconstruccedilatildeo estatiacutesticas como o de Minimizaccedilatildeo Alternante (AM) e o Esperanccedila - Maximizaccedilatildeo
(EM) A imagem reconstruiacuteda passa a ser uma aproximaccedilatildeo das propriedades ao longo do tempo A
aproximaccedilatildeo eacute devida a projeccedilotildees natildeo compatiacuteveis no sinograma (BONNET S 2003) As
projeccedilotildees tornam-se incompatiacuteveis devido as diferentes distribuiccedilotildees que ocorreram durante o
intervalo de tempo utilizado para coleta de dados Ruiacutedos e artefatos de movimento satildeo os
principais problemas causados pela incompatibilidade
Aleacutem disso em processos tomograacuteficos industriais eacute comum um nuacutemero limitado de
dados devido a inviabilidades teacutecnicas como arranjar todo um aparato de fontes e detetores ao redor
de uma coluna industrial Um baixo nuacutemero de dados pode produzir ruiacutedo artefatos e natildeo
concordacircncia com a distribuiccedilatildeo em estudo
Por estes motivos eacute necessaacuterio um estudo dos melhores meacutetodos de reconstruccedilatildeo e
tambeacutem o desenvolvimento de novas taacuteticas ou a utilizaccedilatildeo de meacutetodos jaacute consagrados em outros
contextos como a aacuterea meacutedica
Este trabalho inova quando discute um tema jaacute comum agrave aacuterea meacutedica em um
contexto tomograacutefico industrial
O meacutetodo proposto consiste em descobrir inicialmente as limitaccedilotildees oriundas da
aplicaccedilatildeo de algoritmos de reconstruccedilatildeo que foram desenvolvidos para distribuiccedilotildees estaacuteticas e satildeo
utilizados em tomografia dinacircmica Estas podem aparecer em forma de ruiacutedo artefatos estrela eou
de movimento Para alcanccedilar tais propoacutesitos foram utilizados dados simulados analiticamente e por
MCNPX de um cilindro de alumiacutenio transladando durante o processo aquisiccedilatildeo e imagens da secccedilatildeo
transversal de um rise piloto por meio da teacutecnica CFD (Computational Fluid Dynamics) O cilindro
ou ciacuterculo para uma secccedilatildeo eacute uma escolha pautada na literatura industrial pois simula bolhas em
reatores e tambeacutem distribuiccedilotildees agrupadas em forma de nuacutecleo por exemplo (DUDUKOVIC M et
al 1997) (AZZI M 1991) Com os dados simulados foram realizadas e comparadas as
reconstruccedilotildees pelos meacutetodos FBP (Filtered Back Projection) e MART (Multiplicative Algebraic
Reconstruction Technique)
Descobertas as limitaccedilotildees novas estrateacutegias satildeo apresentadas como a escolha da
ordem do posicionamento angular (vistas alternadas ou sucessivas) o desenvolvimento de um
15
meacutetodo para a visualizaccedilatildeo temporal do processo (Reconstruccedilatildeo RGB) e a correccedilatildeo de movimento
A reconstruccedilatildeo RGB foi desenvolvida com o propoacutesito de visualizar a evoluccedilatildeo
temporal do processo Consiste em uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens tomograacuteficas de
processos dinacircmicos pois utiliza o canal red do sistema de cores RGB para visualizar a evoluccedilatildeo do
movimento Uma nova reconstruccedilatildeo eacute realizada utilizando dados penalizados com o tempo e
associada ao canal R Aos outros canais eacute associada a reconstruccedilatildeo tradicional para posterior
visualizaccedilatildeo do conjunto
Tambeacutem eacute proposta uma teacutecnica de correccedilatildeo de movimento utilizada na aacuterea meacutedica
que manipula a matriz de pesos do meacutetodo algeacutebrico deslocando seus elementos com a mesma
quantidade de movimento identificada Neste trabalho eacute definido o vetor deslocamento a priori
O Capiacutetulo dois trata da revisatildeo bibliograacutefica da tese Conteacutem a lei de Beer-Lambert
a formaccedilatildeo de dados tomograacuteficos para posterior reconstruccedilatildeo Explica os algoritmos algeacutebricos a
visualizaccedilatildeo RGB dados do CFD e geraccedilotildees tomograacuteficas No Capiacutetulo trecircs satildeo expostos os
meacutetodos desenvolvidos como aquisiccedilotildees simuladas analiticamente de 1ordf e 5ordf geraccedilotildees
tomograacuteficas simulaccedilotildees tomograacuteficas por MCNPX reconstruccedilatildeo RGB correccedilatildeo de movimento
algoritmos implementados e desenvolvidos No capiacutetulo quatro satildeo mostrados os resultados de
todos os meacutetodos propostos
Espera-se que esse trabalho contribua para uma anaacutelise mais efetiva de tomografias
dinacircmicas industriais bem como o diagnoacutestico de problemas de otimizaccedilatildeo de operaccedilatildeo de
tomoacutegrafos e obtenccedilatildeo de dados para novos projetos bem como contribuir com novos algoritmos de
reconstruccedilatildeo especiacuteficos para esta aplicaccedilatildeo
16
2 TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA
21 A Lei de Beer-Lambert
A medida da probabilidade por unidade de percusso do feixe de radiaccedilatildeo interagir
com a mateacuteria (efeito fotoeleacutetrico efeito Compton e produccedilatildeo de pares) eacute denominado coeficiente
de atenuaccedilatildeo total ou linear do material ( ) Encontrar a funccedilatildeo que represente a distribuiccedilatildeo das
atenuaccedilotildees dentro de uma regiatildeo de interesse eacute o objetivo da tomografia Ao atravessar um material
a intensidade da radiaccedilatildeo sofre uma queda exponencial descrita pela relaccedilatildeo de Beer-Lambert
Entende-se como intensidade de radiaccedilatildeo neste caso como o nuacutemero de contagens registrado pelo
detetor em uma faixa de energia de interesse para um certo intervalo de tempo
Entende-se como caso estaacutetico a situaccedilatildeo em que o objeto tem distribuiccedilatildeo de
atenuaccedilotildees fixa na regiatildeo de estudo ao longo do tempo ou seja
(1)
O processo unidimensional para determinaccedilatildeo da atenuaccedilatildeo linear pode ser resumido
em um detetor de radiaccedilatildeo diametralmente oposto a uma fonte de radiaccedilatildeo onde
bull Estabelece-se um tempo para o intervalo de contagens Figura 21
bull ) do background sem
objeto algum entre fonte e detetor
bull Coloca-se um objeto de comprimento fixo l com distribuiccedilatildeo de atenuaccedilotildees desconhecida
mas com valores fixos ao longo de l
bull Afere-se o nuacutemero de contagens ( com o objeto presente
Figura 1 Atenuaccedilatildeo daRadiaccedilatildeo pela mateacuteria
l
If
para Δt
I0
para Δt
17
A lei de Beer-Lambert mostra que a absorccedilatildeo mais precisamente a atenuaccedilatildeo da
radiaccedilatildeo mede a queda da intensidade quando a radiaccedilatildeo passa pela mateacuteria A transmissatildeo T
Taxa de contagem inicial Taxa de contagem apoacutes o absorvedor
(2)
caracteriza a permeabilidade do material absorvente para a radiaccedilatildeo Quanto maior for a
transmissatildeo menor eacute o efeito atenuante A transmissatildeo depende da espessura l do absorvedor Se a
espessura l eacute reforccedilada pela pequena quantidade dl o T de transmissatildeo eacute diminuiacuteda pela pequena
quantidade dT A diminuiccedilatildeo relativa da transmissatildeo eacute proporcional ao aumento absoluto da
espessura
(3)
O fator de proporcionalidade eacute chamado o coeficiente de atenuaccedilatildeo linear mu A
integraccedilatildeo da equaccedilatildeo 24 conduz agrave lei de Beer-Lambert
(4)
Para facilitar a notaccedilatildeo em desenvolvimentos adiante chamamos de que eacute o
coeficiente de atenuaccedilatildeo linear meacutedio e l a distacircncia percorrida pelo raio no absorvedor Entatildeo eacute
determinado por
18
(5)
independente de l E para um
detalhamento maior das atenuaccedilotildees ao longo do feixe discretiza-se l O somatoacuterio dos produtos das
atenuaccedilotildees com as distacircncias surge da discretizaccedilatildeo de l assumindo que todas as particcedilotildees atenuam
o feixe no Esta condiccedilatildeo implica tambeacutem no particionamento de
Fazendo com que a intensidade final de uma particcedilatildeo i seja a inicial
da subsequente i+1 Ou seja natildeo eacute estabelecida uma discretizaccedilatildeo do tempo
(6)
De maneira geral a soma na Equaccedilatildeo 6 torna-se uma integral e definindo o eixo x ao
longo da trajetoacuteria do feixe l torna-se o elemento de linha onde o coeficiente de atenuaccedilatildeo eacute
funccedilatildeo da trajetoacuteria da linha
(7)
A integral ao longo da linha eacute conhecida como projeccedilatildeo unidimensional da
distribuiccedilatildeo de densidades definida matematicamente por Johann Radon em 1917 e
Figura 2 Discretizaccedilatildeo de l
l1
μ1
l2
μ2
ln
μn
l3
μ3
I 1 pa
ra Δ
t 0f
I 2 pa
ra Δ
t 0f
I f pa
ra Δ
t 0f
I 0 pa
ra Δ
t 0f
19
conhecida como a transformada de Radon da funccedilatildeo
Como as projeccedilotildees satildeo o resultado das transformadas de Radon ao longo dos
caminhos dos feixes pode-se dizer que o objetivo da tomografia eacute obter a sua inversa ou seja a
imagem reconstruiacuteda ou como no caso unidimensional a curva
(8)
Os diversos modelos utilizados para encontrar a inversa satildeo chamados de algoritmos
de reconstruccedilatildeo e como todos operam com as projeccedilotildees como entrada de dados um estudo mais
detalhado da transformada de Radon temporal e como essas projeccedilotildees variam deve ser realizado
para os casos em que a distribuiccedilatildeo de coeficientes de atenuaccedilatildeo varia tambeacutem com o tempo (caso
dinacircmico seccedilatildeo )
eacute a projeccedilatildeo bidimensional
geralmente chamada de perfil ou vista do corte O processo de aquisiccedilatildeo dos perfis eacute
chamado de escaneamento ou varredura e o conjunto de projeccedilotildees adquiridas eacute denominado
sinograma a Erro Origem da referecircncia natildeo encontrada representa o sinograma de uma imagem de
teste com um disco central
O escaneamento pode ser feito atraveacutes de aquisiccedilotildees paralelas de um uacutenico feixe
Figura 3 Sinograma constituiacutedo de 180 vistas (construiacutedo com a funccedilatildeo radon do
matlab)
20
(Parallel Beam) ou com as trajetoacuterias em forma de leque (Fan Beam) Como o sinograma eacute
resultado das transformadas de Radon ao longo dos raios pode-se dizer que o objetivo da
tomografia eacute obter a sua inversa ou seja a imagem reconstruiacuteda
representa todas as projeccedilotildees (9)
Imagem Original
22 Algoriacutetmos de Reconstruccedilatildeo
221 Filtered Back Projection (FBP)
Bracewell e Riddle em 1967 introduziram o meacutetodo chamado retroprojeccedilatildeo filtrada
(FBP) meacutetodo baseado na transformada de Fourier O FBP eacute muito utilizado devido ao baixo tempo
de processamento O teorema das projeccedilotildees tambeacutem chamado de teorema do corte central (Central
Slice Theorem - CST) facilita o processo Esse diz que uma transformada 1D de Fourier da
transformada de Radon da funccedilatildeo corresponde agrave transformada 2D de Fourier da funccedilatildeo Ou seja
realizando a transformada de Fourier das projeccedilotildees chega-se ao espaccedilo de frequecircncias da
distribuiccedilatildeo de densidades que se desejam descobrir No espaccedilo de frequecircncias satildeo realizadas as
operaccedilotildees de filtragem e a transformada 2D inversa retorna a imagem reconstruiacuteda O FBP eacute
resumido nos seguintes passos
1 Calcular a transformada de Fourier unidimensional das projeccedilotildees chegando ao domiacutenio de
frequecircncias
2 Filtrar as projeccedilotildees transformadas com um filtro passa baixa (Shepp-Logan Hann
Hamming etc)
3 Colocar as projeccedilotildees filtradas em um grid polar Cada projeccedilatildeo em seu acircngulo
correspondente
4 Reamostrar estas em um grid cartesiano com interpolaccedilatildeo (linear nearest Splines etc)
5 Calcular a transformada 2D de Fourier inversa chegando-se agrave imagem reconstruiacuteda
21
222 ART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica)
Os primeiros estudos sobre teacutecnicas algeacutebricas em TC foram feitos por Gordon e
Herman (HERMAN G T GORDON R 1971) Apesar de ser mais intuitiva e simples que os
meacutetodos de transformada essa teacutecnica deixa a desejar no que se refere a precisatildeo e tempo de
processamento Fazendo com que os meacutetodos de transformada fossem inicialmente mais utilizados
principalmente na aacuterea meacutedica onde um grande nuacutemero de dados eacute processado No entanto para
experimentos em que o nuacutemero de projeccedilotildees eacute limitado ou tenha uma distribuiccedilatildeo natildeo uniforme o
meacutetodo de transformada torna-se inviaacutevel
Meacutetodos algeacutebricos ou de expansatildeo de seacuteries discretizam a secccedilatildeo irradiada em uma
matriz de incoacutegnitas (pixels) que representam a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de densidades μ (x y) como
ilustra a Figura 4 Apoacutes as varreduras um sistema de equaccedilotildees resultantes da relaccedilatildeo de Beer-
Lambert eacute criado e sua resoluccedilatildeo corresponde agrave inversa de Radon Devido agraves caracteriacutesticas desse
sistema meacutetodos indiretos satildeo aconselhados e dentre os indiretos o meacutetodo das projeccedilotildees de
Kaczmarz tem convergecircncia garantida (KACZMARZ 1937) As teacutecnicas iterativas satildeo resumidas
basicamente em quatro passos criaccedilatildeo da imagem inicial caacutelculo das correccedilotildees aplicaccedilatildeo das
correccedilotildees e o teste de convergecircncia Estes algoritmos diferem na maneira como as correccedilotildees satildeo
calculadas e aplicadas (SUBBARAO 1997) Neste trabalho eacute utilizada a teacutecnica algeacutebrica ART
Nessa representaccedilatildeo um raio corresponde a uma faixa com largura que na maioria das vezes
coincide com a largura de um pixel
22
O processo pode ser resumido em
1) Criar uma matriz imagem inicial com N elementos parametrizados em geralmente aleatoacuterios
ou nulos Esse eacute o iniacutecio da 1ordf iteraccedilatildeo ( =1)
2) Calcular as projeccedilotildees para todos os raios atraveacutes da foacutermula
(10)
3) Para cada raio calcular a diferenccedila entre a projeccedilatildeo original e a reconstruiacuteda 4)
Calcular o somatoacuterio de todos pesos ao longo de cada raio
(11)
5) Obter a correccedilatildeo para cada raio
23
(12)
6) Aplicar a correccedilatildeo a cada ceacutelula
(13)
onde eacute um paracircmetro de relaxaccedilatildeo entre 0 e 2
7) Repetir os passos 2 ao 6 para todos os raios
8) Achar a soma da convergecircncia de todos os pixels da imagem
(14)
9) Finalizar a iteraccedilatildeo
As iteraccedilotildees satildeo finalizadas quando chegar a um valor preacute - estabelecido Muitos autores
estabelecem um criteacuterio de Caso o criteacuterio natildeo tenha sido cumprido uma nova
iteraccedilatildeo eacute iniciada no passo 2
O ART frequentemente sofre de ruiacutedos tipo sal e pimenta (salt and pepper noise)
causados pelas inconsistecircncias introduzidas no conjunto de equaccedilotildees por aproximaccedilotildees nos O
efeito eacute exacerbado porque cada pixel ao longo de um raio eacute alterado assim que a projeccedilatildeo eacute
calculada mudando seus valores antes que outro raio o faccedila Tanto o ruiacutedo quando a taxa de
convergecircncia do meacutetodo dependem do paracircmetro de relaxaccedilatildeo utilizado escolhido empiricamente
(geralmente entre 0 e 2) (KAK 1989)
223 MART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica com Correccedilatildeo Multiplicativa)
Vaacuterios estudos apontam o meacutetodo como raacutepido mais flexiacutevel e de melhor acuraacutecia
que o ART Sendo indicado principalmente para casos de um nuacutemero limitado de dados
(VERHOEVEN 1993) A teacutecnica eacute semelhante ao ART com mudanccedila apenas no fator de correccedilatildeo
24
expresso pela equaccedilatildeo 15
(15)
23 O Caso Dinacircmico
De um modo geral imagiologia dinacircmica CT tem como objetivo reconstruir sequecircncias de
imagens em que a natureza dinacircmica do objeto tomografado eacute de interesse primaacuterio permitindo o
registro de mudanccedilas temporais na distribuiccedilatildeo do coeficiente de atenuaccedilatildeo linear Entende-se como
caso estaacutetico a situaccedilatildeo em que o objeto tem distribuiccedilatildeo de atenuaccedilotildees fixa na regiatildeo de
estudo ao longo do tempo Algoritmos de reconstruccedilatildeo tomograacutefica utilizam como dados de entrada
as projeccedilotildees unidimensionais tomograacuteficas Cada projeccedilatildeo eacute adquirida atraveacutes das aquisiccedilotildees de
intensidades inicial e final ao longo do raio na direccedilatildeo
O escaneamento pode ser feito atraveacutes de aquisiccedilotildees paralelas de um uacutenico feixe (Parallel
Beam) ou com as trajetoacuterias em forma de leque (Fan Beam) Como o sinograma eacute resultado das
transformadas de Radon ao longo dos raios pode-se dizer que o objetivo da tomografia eacute obter a
sua inversa ou seja a imagem reconstruiacuteda ou como no caso unidimensional a curva
(KAK A C SLANEY M 1999)
(16)
Historicamente a CT dinacircmica no contexto meacutedico refere-se a algoritmos de imagem que
tentam corrigir movimentos formando uma imagem de alta qualidade estaacutetica atraveacutes da remoccedilatildeo
do componente dinacircmico Diferentemente da aacuterea meacutedica as imagens reconstruiacutedas de fluxos
multifaacutesicos oriundas de relativa baixa resoluccedilatildeo temporal trazem informaccedilotildees importantes da
mudanccedila do fluxo ao longo do tempo (MyersG R Kingston A M 2011) O objetivo da
tomografia neste caso eacute determinar a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de atenuaccedilatildeo
No caso CT de 1ordf 3ordf geraccedilotildees aplicados a distribuiccedilotildees dinacircmicas uma uacutenica imagem
representativa de todo o processo (reconstruiacuteda por processos desenvolvidos para distribuiccedilotildees
25
estaacuteticas) eacute o resultado final da tomografia (BARTHOLOMEW CASAGRANDE 1957) (AZZI et
al 1991) (YIN et al 2002)(DAHAN A et al 2007) (DUDUKOVIC 2007) (DANTAS CC et
al 2007) (SALVADOR P A V 2010) (MESQUITA C et al 2011) A funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de
atenuaccedilotildees passa a ser uma aproximaccedilatildeo
Esta aproximaccedilatildeo eacute devido a projeccedilotildees natildeo compatiacuteveis no sinograma (tambeacutem chamado de
) (BONNET S 2003) As projeccedilotildees agora tornam-se incompatiacuteveis
devido as diferentes distribuiccedilotildees que ocorreram durante o intervalo de tempo [0 t]
24 Reconstruccedilatildeo com Correccedilatildeo de Movimento
A reduccedilatildeo de artefatos de movimento em imagens tomograacuteficas eacute um problema
crucial em oacutergatildeos de um forte caraacuteter dinacircmico como por exemplo os pulmotildees ou o coraccedilatildeo Uma
maneira simples de reduzir esses artefatos eacute limitar o tempo de aquisiccedilatildeo usando tomografia ultra ndash
raacutepida (5ordf geraccedilatildeo)
Aqui considera-se uma outra abordagem em que os modelos de movimento satildeo
integrados diretamente ao processo de reconstruccedilatildeo e onde a resoluccedilatildeo temporal pode assim ser
significativamente aumentada Os meacutetodos podem ser algeacutebricos (GILLAND et al 2002 1996 DE
MURCIA BLONDE et al 2003) ou analiacuteticos ( BONNET et al 2003)
A teacutecnica de compensaccedilatildeo de movimento utilizada neste estudo utiliza um modelo
de transformaccedilatildeo da matriz de pesos A dividindo-a em submatrizes tendo suas colunas deslocadas
adequadamente de acordo com o modelo de movimento obtido a cada projeccedilatildeo (PENGPAN et al
2011) Por esse motivo o vetor deslocamento do movimento deve ser calculado a cada projeccedilatildeo
Para uma grande quantidade de dados necessaacuterios em estudos dinacircmicos na aacuterea
meacutedica abordagens analiacuteticas que levam a algoritmos de reconstruccedilatildeo diretos satildeo mais apropriadas
Alguns meacutetodos satildeo aproximaccedilotildees adaptadas para uso geral do tipo de movimento mas amplitude
moderada (RITCHIE et al 1996 GRANGEAT et al 2002)
No trabalho desenvolvido foca-se a situaccedilatildeo em que um pequeno nuacutemero de dados eacute
26
disponibilizado devido a natureza da aplicaccedilatildeo Salienta-se que a compensaccedilatildeo de movimento
ocorre com a aplicaccedilatildeo da mesma quantidade de movimento (obtida previamente ou durante a
reconstruccedilatildeo) agrave matriz A
A funccedilatildeo em um instante de tempo t pode ser encontrada com a aplicaccedilatildeo da
deformaccedilatildeo agrave seu valor inicial
(17)
A deformaccedilatildeo pode apresentar rotaccedilatildeo e translaccedilatildeo
(18)
25 Geraccedilotildees de Tomoacutegrafos
A primeira geraccedilatildeo de tomoacutegrafos foi produzida pela EMI Mark em 1973 tendo
como desenvolvedor o engenheiro Hounsfield O sistema era composto por um uacutenico tubo de raios
X o qual produzia um uacutenico feixe ciliacutendrico que atravessava o objeto em estudo o paciente
atingindo o uacutenico detector que media a intensidade do mesmo O sistema ainda contava com um par
de colimadores (dois pequenos tubos metaacutelicos colocados apoacutes o feixe deixar a fonte e antes do
mesmo atingir o detector) para minimizar o espalhamento do feixe A fonte de raios X e o detector
se movem em sincronia e em lados opostos do paciente executando um escaneamento linear sobre a
seccedilatildeo em estudo seguido de uma rotaccedilatildeo de 1 grau e um novo escaneamento linear eacute efetuado
como ilustra a Figura 3 a)
Os tomoacutegrafos de segunda geraccedilatildeo foram desenvolvidos visando reduzir o tempo de
escaneamento minimizando a exposiccedilatildeo do paciente agrave radiaccedilatildeo e ampliando a gama de oacutergatildeos que
podem ter a seccedilatildeo transversal reconstruiacuteda Os tomoacutegrafos ainda mantiveram o movimento de
varredura linear seguida de uma rotaccedilatildeo Entretanto o feixe de raios X deixou de ser ciliacutendrico e
passou a ter formato de leque Ao inveacutes de um uacutenico detector o sistema passou a contar com vaacuterios
27
detectores alinhados de forma que possam receber todos os raios do feixe Dessa maneira o tempo
de obtenccedilatildeo de dados de uma seccedilatildeo foi reduzido de acordo
com o nuacutemero de detectores e com o acircngulo de abertura empregado como pode ser visto na Figura
3b) A terceira geraccedilatildeo de aparelhos abandonou de vez os movimentos de translaccedilatildeo do tubo de
raios X e dos detectores e passou a contar com um leque com um acircngulo maior e uma base de
detectores mais ampla em formato semi-circular O sistema passou a efetuar um movimento de 360
graus em torno da seccedilatildeo Tambeacutem eram usados colimadores antes do feixe atingir os detectores a
fim de minimizar o espalhamento dos raios X e garantir a qualidade das imagens O tempo de cada
varredura em alguns modelos comerciais passou a ser de apenas meio segundo ilustrado pela
Figura 3 c)
A quarta geraccedilatildeo de aparelhos passou a contar com um anel de detectores que
circundam toda a seccedilatildeo que possibilitou aumentar mais ainda o acircngulo do feixe de radiaccedilatildeo Os
detectores satildeo fixos e a fonte de radiaccedilatildeo rotaciona dentro do anel de detectores e ao redor do corpo
irradiado Um problema desta geraccedilatildeo diz respeito agrave recepccedilatildeo dos feixes que natildeo satildeo fixos e
dependendo do acircngulo um feixe pode atingir dois detectores ou acertar um detector apenas em uma
fraccedilatildeo ilustrado pela Figura 6d)
Como o tempo despendido para realizaccedilatildeo de movimentos mecacircnicos eacute a principal
28
limitaccedilatildeo para reduzir ainda mais os tempos de escaneamento a quinta geraccedilatildeo de aparelhos acabou
com os movimentos de translaccedilatildeo e rotaccedilatildeo da fonte e dos detectores Rachid Maad em MAAD R
2009 evita utilizar essa classificaccedilatildeo para tomoacutegrafos sem rotaccedilatildeo e translaccedilatildeo utilizados
industrialmente ficando essa classificaccedilatildeo mais utilizada em aplicaccedilotildees meacutedicas Esse utiliza o
termo geraccedilatildeo de tomografia instantacircnea para tais aparelhos representados na Figura 6e)
Na configuraccedilatildeo instantacircnea um anel de detectores estacionaacuterios e as fontes de
radiaccedilatildeo rodeiam o objeto fornecendo um arranjo fixo (sem varreduras) e mediccedilotildees instantacircneas1
Esta teacutecnica eacute muito raacutepida e pode ser usada na geraccedilatildeo de imagens em tempo real A desvantagem
eacute o custo e o problema da radiaccedilatildeo dispersa causada pela presenccedila de muacuteltiplas fontes
26 Simulaccedilatildeo de Sinogramas
Phantoms matemaacuteticos ou imagens de teste satildeo frequentemente utilizados para
avaliar a precisatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo Satildeo descritos precisamente por funccedilotildees
matemaacuteticas e suas transformadas de Radon simulam as projeccedilotildees tomograacuteficas Seus pixels satildeo as
regiotildees discretizadas e seus valores ou cores representam as densidades ou coeficientes de
atenuaccedilatildeo linear A imagem de teste (phantom) mais conhecida em reconstruccedilatildeo tomograacutefica eacute o
1 O termo instantacircneo aqui utilizado negligencia o tempo de aquisiccedilatildeo para as contagens de intensidade de radiaccedilatildeo devido ao seu baixo valor deacutecimos de segundo
29
phantom de Sheep ndash Logan Figura 7
Para calcular a projeccedilatildeo simulada somam-se os produtos das distacircncias percorridas
pelo raio em cada pixel pelo seu valor Paracircmetros do experimento tomograacutefico que se deseja
simular como a aacuterea a ser varrida densidades reais adiccedilatildeo de ruiacutedo e fotos da secccedilatildeo do objeto
podem ser incorporadas para dar mais realidade ao modelo (SUBBARAO PMV et al 1997) O
ruiacutedo obedece ao desvio padratildeo de Poisson (IAEA-TECDOC-1589 2008)
A secccedilatildeo irradiada eacute representada por uma matriz de incoacutegnitas que representam a
distribuiccedilatildeo de densidades que se deseja descobrir As incoacutegnitas satildeo os pixels da imagem
reconstruiacuteda como ilustrado na Figura 8
Nessa representaccedilatildeo um raio corresponde a uma faixa com largura que na maioria
das vezes coincide com a largura de um pixel
Figura 7 Phantom de Sheep-Logan
50 100 150 200 250
50
100
150
200
2500
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
30
Parametrizando os pixels com j variando de 1 a N e os raios com i de 1 a M podemos
escrever a transformada de Radon ao longo do raio i como
(19)
onde eacute o peso que diz o percentual de contribuiccedilatildeo de um pixel j para o raio i definido como
(20)
Uma boa aproximaccedilatildeo eacute o modelo em que a largura do feixe eacute reduzida a uma linha
reta fazendo a distacircncia percorrida por este feixe dentro do pixel
Para calcular a intensidade final para uma projeccedilatildeo i faz-se
31
(21)
Com calculado da figura e de meacutedia fixa variando a cada projeccedilatildeo
com o desvio padratildeo de Poisson para todas as projeccedilotildees
O sinograma simulado eacute construiacutedo fazendo cada elemento de sua matriz igual a
27 Fluidodinacircmica Computacional - CFD
Fluidodinacircmica computacional (Computational Fluid Dynamics - CFD) eacute o termo
dado ao grupo de teacutecnicas matemaacuteticas numeacutericas e computacionais usadas para obter visualizar e
interpretar soluccedilotildees para as equaccedilotildees de conservaccedilatildeo de grandezas fiacutesicas de interesse em um dado
escoamento A origem destas equaccedilotildees de conservaccedilatildeo eacute a teoria de Fenocircmenos de Transporte
Assim pode-se resumir CFD como o conjunto das teacutecnicas de simulaccedilatildeo computacional usadas
para predizer os fenocircmenos fiacutesicos ou fiacutesico-quiacutemicos que ocorrem em escoamentos
A Fluidodinacircmica computacional eacute uma aacuterea de grande interesse para a soluccedilatildeo de
muitos problemas praacuteticos Como exemplo podem ser citados problemas de aerodinacircmica
termodinacircmica hidraacuteulica dentre outros As anaacutelises nesta aacuterea de pesquisa podem ser
desenvolvidas com base em experimentos bem como em meacutetodos teoacutericos Dentro dos meacutetodos
teoacutericos destacam-se os meacutetodos computacionais utilizados para simulaccedilatildeo numeacuterica aplicada agrave
Dinacircmica dos Fluidos (HERCKERT M G R)
Para os escoamentos de fluidos o modelo matemaacutetico eacute estabelecido com base nas
equaccedilotildees de conservaccedilatildeo da quantidade de movimento da massa e da energia Estas equaccedilotildees
quando submetidas a condiccedilotildees de contorno e iniciais apropriadas representam matematicamente
um problema particular (SHAMES I H 1973) A soluccedilatildeo analiacutetica destas equaccedilotildees somente eacute
possiacutevel para escoamentos muito simples Para se analisar problemas reais lanccedila-se matildeo do uso dos
chamados meacutetodos numeacutericos
Nos casos de escoamentos laminares os modelos satildeo relativamente simples pois as
32
equaccedilotildees de Navier-Stokes2 conservaccedilatildeo da massa e conservaccedilatildeo de energia satildeo resolvidas
Contudo como a maioria dos escoamentos que acontecem na natureza e no meio industrial satildeo
turbulentos estes tem um alto grau de complexidade e portanto deve-se lanccedilar matildeo de modelos
matemaacuteticos de turbulecircncia acrescentando termos as equaccedilotildees anteriormente citadas Os modelos
de turbulecircncia levam em conta variaacuteveis estatiacutesticas pois escoamentos turbulentos satildeo altamente
caoacuteticos e com isto haacute a necessidade de ferramentas estatiacutesticas para representar os escoamentos
turbulentos
A Figura 9 mostra campos de velocidade e distribuiccedilatildeo de soacutelido dentro do riser com
o regime de fluxo feito por CFD (ARMSTRONG L M 2010) Uma uacutenica velocidade de injeccedilatildeo e
diferentes alturas ao longo do riser Outros exemplos satildeo ilustrados nas Figuras 10 e 11
2 satildeo equaccedilotildees diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos Permitem determinar os
campos de velocidade e de pressatildeo num escoamento
Figura 9 Distribuiccedilatildeo de velocidades e defraccedilatildeo de soacutelido para diferentes alturas
33
28 Tempo de Aquisiccedilatildeo ou Integraccedilatildeo
Detectores de radiaccedilatildeo precisam sempre de um certo tempo (tempo de integraccedilatildeo)
para obter sinal razoaacutevel dos foacutetons incidentes Isto eacute devido agrave estatiacutestica de Poisson que regula o
processo de contagem de foacutetons e pode aumentar consideravelmente a incerteza do sinal detectado
no caso de um tempo de integraccedilatildeo baixo No domiacutenio da frequecircncia a mediccedilatildeo de sinal com um
tempo de integraccedilatildeo eacute aproximadamente equivalente a multiplicar o sinal original por um filtro
passa - baixa Quando uma amostra estaacute em repouso no interior do tomoacutegrafo eacute vantajosa a
utilizaccedilatildeo de um tempo de integraccedilatildeo alto para rejeitar ruiacutedo de alta frequecircncia Para a escolha do
tempo de integraccedilatildeo ideal deve-se estabelecer um equiliacutebrio entre a velocidade da amostra e o ruiacutedo
Poisson (MAAD 2009)
29 Sistema de cores RGB
RGB eacute a abreviatura do sistema de cores aditivas formado por Vermelho (Red)
Verde (Green) e Azul (Blue) O propoacutesito principal do sistema RGB eacute a reproduccedilatildeo de cores em
dispositivos eletrocircnicos como monitores de TV e computador datashows scanners e cacircmeras
digitais assim como na fotografia tradicional Em contraposiccedilatildeo impressoras utilizam o modelo
Figura 11 Visatildeo 3D de uma distribuiccedilatildeo de fraccedilatildeode soacutelido feito por CFD
Figura 10 Secccedilatildeo comdistribuiccedilatildeo de soacutelido que
seraacute utilizada como PhantomMatemaacutetico
34
CMYK de cores subtrativas Modelos aditivos de luzes satildeo combinados de vaacuterias maneiras para
reproduzir outras cores
O modelo de cores RGB eacute baseado na teoria de visatildeo colorida tricromaacutetica de
Young-Helmholtz e no triacircngulo de cores de Maxwell O uso do modelo RGB como padratildeo para
apresentaccedilatildeo de cores na Internet tem suas raiacutezes nos padrotildees de cores de televisotildees RCA de 1953 e
no uso do padratildeo RGB nas cacircmeras LandPolaroid poacutes Edwin Land
Estas trecircs cores natildeo devem ser confundidas com os pigmentos primaacuterios Ciano
Magenta e Amarelo conhecidos no mundo das artes como ldquocores primaacuteriasrdquo jaacute que se combinam
baseadas na reflexatildeo e absorccedilatildeo de foacutetons visto que o RGB depende da emissatildeo de foacutetons de um
componente excitado a um estado de energia mais elevado (fonte emissora por exemplo o tubo de
raios catoacutedicos)
O modelo de cores RGB por si soacute natildeo define o que significa ldquovermelhordquo ldquoverderdquo ou ldquoazulrdquo
(espectroscopicamente) e entatildeo os resultados de misturaacute-los natildeo satildeo tatildeo exatos (e sim relativos na
meacutedia da percepccedilatildeo do olho humano)
Uma cor no modelo de cores RGB pode ser descrita pela indicaccedilatildeo da quantidade de
vermelho verde e azul que conteacutem Cada uma pode variar entre o miacutenimo (completamente escuro)
e maacuteximo (completamente intenso) Quando todas as cores estatildeo no miacutenimo o resultado eacute preto Se
todas estatildeo no maacuteximo o resultado eacute branco (GONZALES 2014)
Uma das representaccedilotildees mais usuais para as cores eacute a utilizaccedilatildeo da escala de 0 agrave 255
bastante encontrada na computaccedilatildeo pela conveniecircncia de se guardar cada valor de cor em 1 byte (8
bits) Assim o vermelho completamente intenso eacute representado por 255 0 0
Branco - RGB (255 255 255) Azul - RGB (0 0 255) Vermelho - RGB (255 0 0)
Verde - RGB (0 255 0)Amarelo - RGB (2552550)Magenta - RGB (2550255)
Ciano - RGB (0 255 255) Preto - RGB (0 0 0)
35
As cores satildeo complementares agraves do sistema CMYK - Ciano (Cyan) Magenta
(Magenta) Amarelo (Yellow) e Preto (blacKKey) - e a sua mistura forma a cor branca
210 MCNP
O meacutetodo Monte Carlo eacute um algoritmo numeacuterico capaz de resolver problemas fiacutesicos e
matemaacuteticos por meio de simulaccedilatildeo de variaacuteveis aleatoacuterias (SOBOL 1994 BIELAJEW 1998)
Hoje em dia o MCNP eacute uma ferramenta matemaacutetica comumente utilizada em diversos segmentos
da ciecircncia e da engenharia para simular problemas que podem ser representados por processos
estocaacutesticos Simulaccedilotildees do transporte de radiaccedilatildeo por meio deste meacutetodo e em particular na Fiacutesica
Meacutedica tecircm passado por um raacutepido crescimento nas uacuteltimas deacutecadas (YORIYAZ 2009)
O processo Monte Carlo pode ser compreendido como um meacutetodo de geraccedilatildeo de nuacutemeros
aleatoacuterios (ROBERT amp CASELLA 2004) Um gerador uniforme de nuacutemeros pseudoaleatoacuterios eacute
um algoritmo que comeccedilando com um valor inicial e uma transformaccedilatildeo produz uma sequecircncia de
valores no intervalo [0 1] tendo esta sequecircncia um comportamento de uma variaacutevel aleatoacuteria
uniforme quando comparada com um conjunto de testes aleacutem de ser independente e identicamente
distribuiacuteda (ROBERT amp CASELLA 2004) Em termos de transporte de radiaccedilatildeo o processo
estocaacutestico pode ser visto como uma famiacutelia de partiacuteculas cujas coordenadas individuais soacute mudam
aleatoriamente em cada colisatildeo O comportamento meacutedio dessas partiacuteculas eacute descrito em termos de
Figura 12Sistema RGB
36
grandezas macroscoacutepicas como fluxo ou densidade de partiacuteculas (YORIYAZ 2009)
O Monte Carlo N Particle ndash MCNP - foi criado desde a deacutecada de 50 nos Estados
Unidos sendo desenvolvido por meio do laboratoacuterio Los Alamos National Laboratory O MCNP
continua ateacute hoje sendo aperfeiccediloado tornando-se assim mais confiaacutevel e usado por muitos
pesquisadores no mundo inteiro Eacute um coacutedigo que realiza o transporte de partiacuteculas utilizando o
meacutetodo Monte Carlo com capacidade para simular necircutrons com energias entre 10-11 MeV a 20
MeV enquanto que a faixa de energia para os foacutetons e eleacutetrons vai de 1 keV a 1000 MeV
(BRIESMEISTER 2000) O coacutedigo MCNP tem a capacidade de simular sistemas com geometrias
que vatildeo de superfiacutecies preacute-determinadas como esferas planos paraboloacuteides de revoluccedilatildeo cilindros
elipsoacuteides ateacute superfiacutecies bem elaboradas utilizando conjunto de pontos no espaccedilo
O pesquisador ao utilizar o MCNP constroacutei um arquivo de entrada no coacutedigo que
pode ser organizado em blocos descrevendo regiotildees envolvidas no modelo especificaccedilatildeo da
geometria por meio de superfiacutecies geomeacutetricas e suas intersecccedilotildees posiccedilatildeo e distribuiccedilatildeo energeacutetica
da fonte descriccedilatildeo dos materiais e todos os paracircmetros fiacutesicos agregados com algumas teacutecnicas de
reduccedilatildeo de variacircncia para melhorar a eficiecircncia e obter melhores resultados (BRIESMEISTER
2000) A versatilidade somado ao aspecto funcional do coacutedigo MCNP para diferentes tipos de
problemas faz com que este seja bem aceito na comunidade cientiacutefica que trabalham com transporte
de radiaccedilotildees e caacutelculos de dose
37
3 METODOLOGIA
Para descobrir ateacute onde processos tomograacuteficos de baixa resoluccedilatildeo temporal aliados
a algoritmos de reconstruccedilatildeo estaacutetica satildeo compatiacuteveis com o regime em estudo foram avaliadas
aquisiccedilotildees simuladas de 1ordf 3ordf e 5ordf geraccedilotildees tomograacuteficas A variaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo de densidades
durante a aquisiccedilatildeo faz necessaacuterio o desenvolvimento de uma versatildeo da lei de Beer-Lambert para
casos dinacircmicos seguida de sua aplicaccedilatildeo para realizar as simulaccedilotildees O meacutetodo eacute separado em duas
fases
1ordf Fase
A metodologia desenvolvida aplica primeiro o modelo de simulaccedilatildeo de sinogramas
desenvolvida analiticamente agrave primitivas matemaacuteticas e posteriormente a dados do MCNPX e CFD
1) Eacute criado um modelo de simulaccedilatildeo de sinogramas para distribuiccedilotildees
dinacircmicas utilizando a versatildeo temporal desenvolvida da lei de Beer-Lambert e da transformada de
Radon tambeacutem temporal
2) A simulaccedilatildeo eacute testada com primitivas matemaacuteticas dinacircmicas como um
ciacuterculo crescente ou transladando ou ambos A escolha eacute pautada em sua representaccedilatildeo precisa por
funccedilotildees matemaacuteticas e por representar diversos processos industriais(A simulaccedilatildeo com o disco
representa a secccedilatildeo de um cilindro ou bolha)
3) Os resultados satildeo apresentados em forma de imagens e graacuteficos A
visualizaccedilatildeo do sinograma eacute bastante utilizada para determinaccedilatildeo de caracteriacutesticas do objeto
4) O modelo de simulaccedilatildeo eacute ao aplicado a dados do CFD
2ordf Fase
O meacutetodo desenvolvido propotildee uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens
tomograacuteficas de processos dinacircmicos pois utiliza canais de cores para mostrar a evoluccedilatildeo temporal
do processo O algoriacutetmo de reconstruccedilatildeo utilizado eacute o MART devido a sua boa performance com
nuacutemero limitado de dados
Nesta fase eacute realizada a reconstruccedilatildeo tradicional que eacute associada aos canais verde (G)
e azul (B) enquanto que o canal vermelho (R) fica responsaacutevel pela evoluccedilatildeo temporal do processo
O meacutetodo eacute descrito na seccedilatildeo 33
38
A reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento eacute utilizada com conhecimento do vetor
deslocamento meacutedio ou sua estimativa O meacutetodo escolhido modifica a matriz de pesos do
algoritmo algeacutebrico deslocando suas colunas de acordo com o modelo de movimento estimado
(ARTEMIEV V M NAUMOV A O 2006) (BUTALA 2009) (DESBAT L et al 2006)
Com o resultado das simulaccedilotildees o sistema tomograacutefico pode ser otimizado
(diminuiccedilatildeo do nuacutemero de projeccedilotildees e vistas)
31 A Transformada de Radon Temporal
regiatildeo (espaccedilo de medida) na qual seraacute feita a aquisiccedilatildeo de dados
considere a funccedilatildeo densidade onde
Neste sistema um ponto pode ser
mapeado por como
complemento unitaacuterio perpendicular a
ao longo da reta eacute dada por
(22)
39
depende natildeo apenas de x e y mas de com sendo a
variaacutevel tempo Definimos entatildeo
(23)
onde e o tempo final da mesma medida
Lema 1 ou seja se eacute
estaacutetico ao longo do tempo a transformada dinacircmica reduz-se a convencional
Demostraccedilatildeo
Figura 13 Sistema de Coordenadas
θ
x
y
ξξ
s
x (xy
)
40
Lema 2 e portanto se a
leitura for ldquoraacutepidardquo o caso dinacircmico mais uma vez reduz-se ao caso estaacutetico
Demostraccedilatildeo
Pelo teorema do valor meacutedio integral (TVMI) temos que se f eacute contiacutenua entatildeo
para algum tal que
usando o TVMI
K(γ)
41
32 Lei de Beer-Lambert temporal
Como a natureza da lei exige que os tempos de contagens sejam iguais para que estas
sejam comparadas apenas a variaccedilatildeo da intensidade da radiaccedilatildeo com a distacircncia eacute geralmente
explorada Sabendo que esses intervalos de tempo de contagem satildeo despreziacuteveis em relaccedilatildeo ao
tempo de meia vida da fonte e que a probabilidade de emissatildeo se manteacutem constante ao longo do
mesmo tempo pode-se supor que a intensidade seja diretamente proporcional ao tempo Ou seja
(24)
Neste caso a distribuiccedilatildeo de coeficientes de atenuaccedilotildees varia tambeacutem com o tempo
ou seja torna-se
(25)
ou
(26)
O modelo discreto aplica a lei de Beer-Lambert em sua forma estaacutetica para cada
particcedilatildeo de tempo assumindo que durante o infinitesimal de tempo o coeficiente e a distacircncia
percorrida permanecem constantes
(27)
42
(28)
33 Simulaccedilatildeo de aquisiccedilotildees Tomograacuteficas
O processo de aquisiccedilatildeo tomograacutefica consiste em coletar intensidades iniciais e finais
em determinados caminhos percorridos pelos feixes de radiaccedilatildeo Os dados podem ser tratados com
filtros etc Optou-se em natildeo realizar tratamento para natildeo inserir mais variaacuteveis ao processo
garantindo que os resultados sejam alcanccedilados soacute pelo meacutetodo proposto
Como jaacute foi dito na seccedilatildeo 26 para calcular a intensidade final para um caminho i
faz-se
(29)
A funccedilatildeo eacute representada pelas imagens de testes chamadas neste trabalho de
quadros ou frames configurados pela distribuiccedilatildeo de densidades escolhida Em todos os casos
optou-se por densidades unitaacuterias para qualquer distribuiccedilatildeo ou seja dois valores satildeo possiacuteveis em
uma imagem de teste 0 ou 1 Um pixel com valor 0 corresponde a uma regiatildeo sem atenuaccedilatildeo e os
pixels que compotildeem o objeto simulado tem valor 1
Com calculado da figura e de meacutedia fixa variando a cada projeccedilatildeo
com o desvio padratildeo de Poisson para todas as projeccedilotildees as projeccedilotildees satildeo calculadas com
O conjunto de todas as projeccedilotildees eacute ordenado em uma matriz chamada de sinograma
331 Aquisiccedilatildeo por Tomografia de 1ordf Geraccedilatildeo
Dois tipos de situaccedilotildees podem ocorrer
1) Uma uacutenica projeccedilatildeo 1D eacute realizada e durante todo o tempo de integraccedilatildeo nenhuma
mudanccedila ocorre na distribuiccedilatildeo ao longo do raio podendo mais de uma aquisiccedilatildeo 1D ser aferida
para mesma distribuiccedilatildeo ou frame Neste caso a intensidade final eacute calculada utilizando a lei de
43
Beer-Lambert durante todo o tempo de integraccedilatildeo para cada raio como ilustrado na Figura 15
Para calcular a intensidade final para uma projeccedilatildeo i faz-se
(30)
2) Durante a aquisiccedilatildeo ocorre mudanccedila na distribuiccedilatildeo de densidades ao longo do
feixe Como foi exposto na seccedilatildeo 31 o somatoacuterio de intensidades finais do raio em cada quadro
(frame) retorna a intensidade final total para um certo tempo de aquisiccedilatildeo Figura 16
Figura 15 Projeccedilotildees 1D sem mudanccedila de frame
44
Entatildeo para cada frame eacute feita
e para a discretizaccedilatildeo de um intervalo de tempo
No exemplo ilustrado na Figura 16 a intensidade final depois do tempo de integraccedilatildeo
correspondente ao frame b fica
3) Natildeo ocorre mudanccedila na distribuiccedilatildeo durante toda a coleta de aquisiccedilotildees 1D em uma vista
4) Natildeo ocorre mudanccedila durante a aquisiccedilatildeo de todas as vistas Neste caso a distribuiccedilatildeo pode
ser tratada como estaacutetica
Figura 16 Projeccedilotildees 1D com mudanccedila de frame
1ordf aquisiccedilatildeo - Quadro a 1ordf aquisiccedilatildeo - Quadro b
45
332 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 3ordf geraccedilatildeo
A vantagem do meacutetodo eacute adquirir vaacuterias projeccedilotildees 1D ao mesmo tempo
Possibilitando um maior volume de dados em um tempo menor quando comparado ao de 1ordf
geraccedilatildeo Dois casos satildeo possiacuteveis
1) O tempo de integraccedilatildeo eacute suficiente para realizar uma vista completa ou mais por
quadro ou frame Figura 17
Figura 17 Mais de uma vista por frame
46
2) Mais de um quadro por vista Figura 18
333 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 5ordf geraccedilatildeo
Nesta situaccedilatildeo vaacuterias vistas satildeo adquiridas durante a mudanccedila da distribuiccedilatildeo Figura 19
Figura 19 Mais de um frame durante a aquisiccedilatildeo
Figura 18 Mais de um frame por vista
47
34 Posicionamento angular
O posicionamento angular tradicionalmente eacute feito com um conjunto de acircngulos
igualmente espaccedilados ordenados de forma crescente cobrindo o intervalo de 0ordm a 180ordm ou 360ordm A
ordem em que as projeccedilotildees ou vistas satildeo adquiridas natildeo importa porque o objeto em estudo eacute
estaacutetico
A proposta para tomografia dinacircmica de 1ordf e 3ordf geraccedilotildees eacute que o posicionamento seja
feito em subconjuntos que completem um ciclo Por exemplo o conjunto de vistas posicionadas
consecutivamente em 0ordm 45ordm 90ordm 135ordm 180ordm 225ordm 270ordm 315ordm pode ser reordenada em ciclos como
0ordm 90ordm 180ordm 270ordm Primeiro ciclo
45ordm 135ordm 225ordm 315ordm Segundo ciclo
A vantagem desse arranjo eacute que num determinado momento ao se preferir um
sinograma completo mas esparso em contraposiccedilatildeo a um sinograma incompleto mas denso eacute que as
informaccedilotildees vatildeo ser disponibilizadas na forma de imagem reconstruiacuteda mais cedo durante o
processo facilitando a interpretaccedilatildeo das informaccedilotildees Eacute uma escolha entre anaacutelise global esparsa
versus anaacutelise local densa
A nova ordenaccedilatildeo gera uma imagem reconstruiacuteda mais proacutexima do objeto dinacircmico e
abre a possibilidade de reconstruccedilotildees parciais com os subconjuntos de dados mais consistentes com
a dinacircmica do processo
35 Utilizaccedilatildeo de um canal de cores para visualizar a dinacircmica do processo Reconstruccedilatildeo RGB
Uma caracteriacutestica da imagem reconstruiacuteda tradicionalmente em processos
industriais dinacircmicos eacute a falta de informaccedilatildeo temporal ou seja obtecircm-se informaccedilotildees da meacutedia da
distribuiccedilatildeo mas natildeo se sabe em que tempo ocorreram as mudanccedilas de padratildeo de fluxo A proposta
desenvolvida neste trabalho pondera cada perfil adquirido com um fator dependente do tempo
criando esta distinccedilatildeo
O meacutetodo desenvolvido propotildee uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens
tomograacuteficas de processos dinacircmicos pois utiliza canais de cores para mostrar a evoluccedilatildeo temporal
do processo Nesta fase eacute realizada a reconstruccedilatildeo tradicional e a mesma eacute associada aos canais
verde (G) e azul (B) enquanto que ao canal vermelho (R) eacute associada a evoluccedilatildeo temporal do
processo Uma cor no modelo de cores RGB pode ser descrita pela indicaccedilatildeo da quantidade de
48
vermelho verde e azul que conteacutem Cada uma pode variar entre o miacutenimo (completamente escuro)
e maacuteximo (completamente intenso) Quando todas as cores estatildeo no miacutenimo o resultado eacute preto Se
todas estatildeo no maacuteximo o resultado eacute branco Uma das representaccedilotildees mais usuais para os canais eacute a
utilizaccedilatildeo da escala de 0 agrave 255 (GONZALES 2014)
O meacutetodo consiste em
1) Simular as projeccedilotildees que equivalem na utilizaccedilatildeo real de um experimento agrave
coleta de dados de intensidades finais e iniciais pelo detetor
2) Reconstruir com esses dados a distribuiccedilatildeo de densidades Foi utilizado o MART
com relaxaccedilatildeo 02 e criteacuterio de parada 1
3) Associar esta reconstruccedilatildeo aos canais G e B
4) Binarizar a imagem reconstruiacuteda entre 0 e 150 O limiar (threshold) utilizado foi
empiacuterico e de 50 do maior valor da imagem
5) Penalizar as projeccedilotildees da primeira agrave uacuteltima com um fator empiacuterico crescente com
o tempo Normalizar as projeccedilotildees de cada vista por 105
6) Realizar a retroprojeccedilatildeo nos pixels com suas respectivas projeccedilotildees
7) Associar ao canal R
8) Juntar todos os canais em uma uacutenica imagem A reconstruccedilatildeo tradicional e a
reconstruccedilatildeo RGB satildeo visualizadas em uma uacutenica imagem onde os tons de vermelho correspondem
agrave evoluccedilatildeo temporal da dinacircmica do processo
36 Reconstruccedilatildeo utilizando dados do CFD
Dados da simulaccedilatildeo de fluxo bifaacutesico satildeo gerados em forma de imagens 2D da distribuiccedilatildeo
em secccedilotildees transversais ao longo do tubo Os dados satildeo coletados para uma uacutenica altura ou seja
secccedilatildeo As diversas imagens de uma uacutenica secccedilatildeo representam a evoluccedilatildeo temporal do fluxo
naquela regiatildeo O conjunto de 8 imagens exemplificam o comportamento do fluxo em intervalos
de tempo de 00025s
A altura da secccedilatildeo em m o tipo de injetor a vazatildeo volumeacutetrica em Lmim e o fluxo de
catalisador satildeo dados de entrada na simulaccedilatildeo do CFD mas natildeo fazem parte das simulaccedilotildees de
aquisiccedilotildees tomograacuteficas utilizadas nesse estudo As imagens portam as informaccedilotildees que seratildeo
utilizadas nas simulaccedilotildees de aquisiccedilatildeo das projeccedilotildees
49
37 Avaliaccedilatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo com RMSE
As teacutecnicas de avaliaccedilatildeo de algoritmos de reconstruccedilatildeo mais utilizadas na literatura
satildeo raiz do erro quadraacutetico meacutedio erro meacutedio relativo absoluto e erros baseados em entropia Para
o caso de simulaccedilotildees com figuras de testes bem definidas (phantoms matemaacuteticos) as teacutecnicas
podem ser aplicadas comparando a imagem reconstruiacuteda com a imagem original O mesmo
procedimento repete-se para phantoms reais onde a distribuiccedilatildeo de densidades eacute bem conhecida Os
sinogramas tambeacutem podem ser avaliados
Gordon e Herman (GORDON 1974 HERMAN 1973 HERMAN 1976) usaram a
raiz do erro quadraacutetico meacutedio para avaliar o quanto a figura reconstruiacuteda aproxima-se da original A
definiccedilatildeo do erro eacute
(31)
Onde
eacute o valor original do pixel
o pixel reconstruiacutedo
o nuacutemero total de pixels da imagem ou sinograma
50
38 Algoritmos e Software Desenvolvidos
Diversas rotinas foram implementadas no Matlab Suas funccedilotildees satildeo para calculo de
projeccedilotildees sinogramas resoluccedilatildeo por ART MART calculo da Matriz de pesos resoluccedilatildeo de
sistemas Aleacutem das jaacute disponiacuteveis no programa como Resoluccedilatildeo por FBP filtros de imagem
operaccedilatildeo com matrizes visualizaccedilatildeo de graacuteficos etc As rotinas estatildeo disponiacuteveis no Anexo-I
Devido agrave grande dimensatildeo da matriz de pesos nos algoritmos algeacutebricos ficou
inviaacutevel sua operaccedilatildeo em alguns casos no Matlab O software Tomography Workstation-TW foi
desenvolvido em C com este propoacutesito Apresenta opccedilotildees de reconstruccedilatildeo ART MART SIRT e
SART Figura 39 Tambeacutem tem as funccedilotildees para carregar tomogramas e sinogramas
Figura 20 Software Desenvolvido
51
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO
Os resultados foram divididos nas seguintes seccedilotildees
bull Aumento do nuacutemero de iteraccedilotildees na Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica Dinacircmica
bull Resultados das reconstruccedilotildees MART e FBP
bull Escolha do posicionamento angular (vistas alternadas)
bull Resultados com reconstruccedilatildeo RGB
bull Simulaccedilotildees com MCNP
bull Reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento
bull Simulaccedilotildees tomograacuteficas a partir do CFD
41 Resultados das Reconstruccedilotildees MART e FBP
As imagens de teste (phantoms) foram utilizadas para avaliar os resultados das
reconstruccedilotildees MART e FBP
411 Primitiva Ciacuterculo Transladando 1 vista por frame
A simulaccedilatildeo consiste em oito distribuiccedilotildees representadas por imagens (quadros ou
frames) de 64x64 pixels com um disco de densidade unitaacuteria e raio fixo Natildeo ocorre mudanccedila
durante a simulaccedilatildeo de uma aquisiccedilatildeo ou varredura Esta aplicaccedilatildeo simula as tomografias de 1ordf e 3ordf
geraccedilatildeo
O disco Raio = 2 pixels deslocamento de 7 pixels entre os centros dos discos de
quadros consecutivos A imagem eacute reconstruiacuteda por FBP e MART
Os frames satildeo ilustrados na Figura 21 e a meacutedia dos oito na Figura 22 Cada imagem
eacute ilustrada na escala de 64 x 64 pixels
52
Figura 21 8 frames - ciacuterculo transladando - 1 vista por frame
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 22 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
53
Os oito picos do sinograma Figura 23 ilustram a captura do disco em diferentes
posiccedilotildees
A Figura 24 ilustra o sinograma em forma de imagem onde cada valor de pixel eacute
convertido para uma escala de cor O eixo vertical (linhas do sinograma) representa a passo linear
(posiccedilatildeo das trajetoacuterias dos feixes) e o horizontal o passo angular (Nuacutemero de vistas)
Figura 23 Tomograma e sinograma ndash circulo transladando ndash 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
05
1
15
2
25
3
35
4
45
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 700
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
54
Os resultados das reconstruccedilotildees FBP e MART satildeo ilustrados na Figura 25
A reconstruccedilatildeo por FBP mostra diversos artefatos natildeo dando para identificar o
nuacutecleo nem a tendecircncia de movimento Os artefatos formam oito faixas um para cada vista ou
projeccedilatildeo Estes artefatos em faixa satildeo comuns no FBP para um baixo nuacutemero de vistas
O MART difere da imagem meacutedia mostrando um arqueamento para direita devido ao
movimento simulado e o sentido anti-horaacuterio das aquisiccedilotildees Eacute um artefato de movimento
Figura 25 Reconstruccedilotildees circulo transladando ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Figura 24 Sinogramascirculo transladando ndash 1 vista por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
55
412 Primitiva Ciacuterculo Transladando Oito vistas por frame
O objetivo desta simulaccedilatildeo eacute descobrir como se comportam os algoritmos em uma
tomografia de 5ordf geraccedilatildeo onde todas as aquisiccedilotildees satildeo realizadas ao mesmo tempo Nesta situaccedilatildeo
as oito vistas satildeo realizadas simultaneamente enquanto ocorre a mudanccedila das distribuiccedilotildees (Figura
19) Figuras com 64x64 pixels raio fixo de 2 pixels deslocamento de 5 pixels
Figura 26 Tomograma e Sinograma - disco transladando - 8 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
05
1
15
2
25
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 7001
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
56
Os resultados das reconstruccedilotildees satildeo ilustrados na Figura 28
As reconstruccedilotildees ficam mais proacuteximas da imagem meacutedia porque todas as vistas satildeo
adquiridas ao mesmo tempo durante todo o processo O FBP perde a definiccedilatildeo dos discos e forma
um artefato central vertical O MART reconstroacutei o disco nas oito posiccedilotildees Cada disco eacute
reconstruiacutedo ilustrando os oito instantes de tempo que foram simulados
Figura 27 Sinogramas CiacuterculoTransladando -Oito vistas por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Figura 28 Reconstruccedilotildees Ciacuterculo Transladando -Oito vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
57
413 Primitiva Circulo Crescente Uma vista por frame
A simulaccedilatildeo consiste em oito distribuiccedilotildees em forma de ciacuterculo concecircntricas com um
aumento 2 pixels entre distribuiccedilotildees consecutivas (Figura 29) Oito vistas satildeo adquiridas
simultaneamente para simular a tomografia de 5ordf geraccedilatildeo
Abaixo a imagem meacutedia aritmeacutetica das oito distribuiccedilotildees eacute ilustrada na Figura 29 A
aacuterea central eacute mais escura porque eacute coincidente para os oito ciacuterculos
Figura 30 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Figura 29 8 frames - circulo crescente - 1 vista por frame
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
58
Tanto o sinograma quanto o tomograma ilustram o crescimento do disco Figura
411
Figura 31 Tomograma e sinograma - ciacuterculo crescente - 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 700
10
20
30
40
50
60
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
59
O sinograma em forma de imagem eacute mostrado abaixo (Figura 32)
O aumento vertical das faixas eacute devido ao crescimento do disco
As duas reconstruccedilotildees apresentam artefatos de rotaccedilatildeo que dificultam a identificaccedilatildeo
da tendecircncia de movimento ou da distribuiccedilatildeo espacial dos discos (Figura 33)
Figura 32 Imagem do sinograma -ciacuterculo crescente - 1 vista por frame
Sinograma
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
Figura 33 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
60
414 Primitiva Circulo Crescente Oito vistas por frame
Neste caso ocorre mudanccedila de frame com a vista Para cada distribuiccedilatildeo tem-se uma
vista diferente Figura 34
Figura 34 Tomograma e sinograma - circulo crescente - 8 vista por frame
29 30 31 32 33 340
05
1
15
2
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3701
02
03
04
05
06
07
08
09
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
61
A posiccedilatildeo central que eacute comum a todos os frames eacute reconstruiacuteda nos dois casos O
FBP mostra a presenccedila de artefatos de Moireacute (Figura 36) O MART mostra poucos artefatos e
mostra uma regiatildeo borrada ao redor do ciacuterculo central indicando os discos maiores
Figura 35 Sinogramas circulo crescente ndash 8vistas por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Figura 36 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 8 vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
62
42 Vistas Alternadas
Alguns testes foram realizados para estudar o posicionamento angular quando
ordenado de forma sequencial e alternada O conjunto de vistas posicionadas consecutivamente em
0ordm 45ordm 90ordm 135ordm 180ordm 225ordm 270ordm 315ordm foram reordenadas em dois ciclos
0ordm 90ordm 180ordm 270ordm para o primeiro ciclo
45ordm 135ordm 225ordm 315ordm para o segundo ciclo
As seguintes situaccedilotildees foram exploradas
Disco transladando - 1 Vista por frame
Cada distribuiccedilatildeo (quadro) eacute capturado em um instante de tempo diferente Os
acircngulos utilizados em cada quadro satildeo apresentados na Tabela 1
Tabela 1 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 1 vista por frame
Quadro 1ordm 2ordm 3ordm 4ordm 5ordm 6ordm 7ordm 8ordm
Vista 0ordm 90ordm 180ordm 270ordm 45ordm 135ordm 225ordm 315ordm
Reconstruccedilotildees
Figura 37 Reconstruccedilotildees disco transladando - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
63
Dois ciclos satildeo suficientes para natildeo formaccedilatildeo do artefato de rotaccedilatildeo (arqueamento)
A reconstruccedilatildeo com vistas alternadas mostra-se mais coerente com a imagem meacutedia (Figura 37)
Disco transladando - 2 Vistas por frame
Com duas vistas por quadro totaliza-se quatro quadros A associaccedilatildeo eacute ilustrada na
Tabela 2
Tabela 2 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 2 vistas por frame
Quadro 1ordm 2ordm 3ordm 4ordm
Vista 0ordm e 45ordm 90ordm e 135ordm 180ordm e 225ordm 270ordm e 315ordm
A reconstruccedilatildeo encontra-se mais proacutexima da imagem meacutedia do que na situaccedilatildeo com
vista sucessivas (Figura 38)
Disco Transladando - 4 Vistas por frame
Apenas dois quadros satildeo suficientes Tabela 3
Tabela 3 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 4 vistas por frame
Quadro 1ordm 2ordm
Vista 0ordm 90ordm 180ordm e 270ordm 45ordm 135ordm 225ordm 315ordm
Figura 38 Reconstruccedilotildees disco transladando - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
64
Reconstruccedilotildees
Disco crescente - 1 Vista por frame
A configuraccedilatildeo das vistas eacute a mesma utilizada na Tabela 1 uma vista por frame
A reconstruccedilatildeo com vistas alternadas Figura 40 apresenta uma reduccedilatildeo nos artefatos
de rotaccedilatildeo mostrando uma distribuiccedilatildeo espacial mais proacutexima da imagem meacutedia (Figura 40)
Disco crescente - 2 Vistas por frame
A configuraccedilatildeo das vistas eacute mesma da Tabela-2
Figura 39 Reconstruccedilotildees disco transladando - 4 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Figura 40 Reconstruccedilotildees disco crescente - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
65
Com o aumento do nuacutemero de vistas a distribuiccedilatildeo torna-se mais central
aproximando-se da imagem meacutedia (Figura 41)
43 Resultados com RGB
As situaccedilotildees jaacute utilizadas nas seccedilotildees 41 e 42 satildeo testadas com visualizaccedilatildeo RGB
Para todos os casos a primeira reconstruccedilatildeo (MART) eacute realizada com matriz inicial de valores
unitaacuterios relaxaccedilatildeo 02 e nuacutemero de iteraccedilotildees definido pela convergecircncia de 05 e em seguida a
normalizada por 150
Os sinogramas satildeo ponderados pelo conjunto de fatores que variam de 01 a 09
linearmente espaccedilados Os valores foram escolhidos empiricamente
Em seguida eacute realizada a reconstruccedilatildeo com o sinograma jaacute ponderado e seus valores
normalizados no intervalo de 150 a 255
Figura 41 Reconstruccedilotildees disco crescente - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
66
bull Ciacuterculo transladando ndash 1 Vista por frame
Um disco para cada instante de tempo totalizando oito distribuiccedilotildees Figura 42
Para o ciacuterculo transladando verticalmente com 1 vista por frame temos um
clareamento na parte inferior da distribuiccedilatildeo indicando que esta regiatildeo traz informaccedilotildees mais
recentes (Figura 42)
A reconstruccedilatildeo com MART RGB por usar como base a distribuiccedilatildeo espacial da
reconstruccedilatildeo MART mostra o clareamento vermelho na parte inferior da figura indicando que
ocorreu movimento nesse sentido
bull Ciacuterculo transladando ndash 2 Vistas por frame
Satildeo quatro distribuiccedilotildees uma para cada instante de tempo configurando duas vistas
por frame
Figura 42 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 1 vista por frame
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
67
O clareamento do vermelho na reconstruccedilatildeo RGB indica que a parte inferior da
reconstruccedilatildeo corresponde ao uacuteltimo instante de tempo
bull Ciacuterculo transladando ndash 4 Vistas por frame
Quatro vistas por frame foram utilizadas na configuraccedilatildeo das proacuteximas trecircs situaccedilotildees
(Figura 44 Figura 45 Figura 46) O deslocamento para o disco vertical eacute utilizado com trecircs valores
distintos
A primeira situaccedilatildeo ilustra dois instantes de tempo com dois diacircmetros de distacircncia
entre os centros dos discos Figura 44
Figura 43 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
68
A proacutexima situaccedilatildeo eacute criada com 4 diacircmetros de distacircncia entre centros entre o
primeiro e segundo instantes de tempo Figura 45 Cada disco corresponde a distribuiccedilatildeo exata em
um instante
Figura 44 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 45 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
69
A terceira situaccedilatildeo visa estudar o comportamento da reconstruccedilatildeo proposta quando
haacute coincidecircncia em parte da distribuiccedilatildeo espacial Satildeo quatro instantes de tempo e uma distacircncia
com menos de um diacircmetro de distacircncia entre centros consecutivos Figura 46
bull Ciacuterculo crescente ndash duas vistas por frame
A simulaccedilatildeo totaliza 4 frames e oito vistas consecutivas Duas por frame
Apesar da situaccedilatildeo com ciacuterculo crescente e duas vistas por frame natildeo mostrar boa
reconstruccedilatildeo a imagem reconstruiacuteda difere bastante da original como jaacute mostrado na seccedilatildeo 413
tambeacutem mostra concordacircncia com os outros resultados RGB pois mostra uma regiatildeo central com
Figura 46 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 47 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo crescente - 2 vistas por frame
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
70
vermelho mais claro O clareamento deve-se a regiatildeo que eacute coincidente para todos os ciacuterculos
O problema que surge eacute que para esta situaccedilatildeo o clareamento para o vermelho criado
pela reconstruccedilatildeo RGB se confunde com a superposiccedilatildeo dos ciacuterculos da reconstruccedilatildeo tradicional
criado na regiatildeo central
44 Simulaccedilotildees com MCNPX
Os frames que anteriormente foram obtidos analiticamente com o objetivo de
encontrar as projeccedilotildees agora satildeo representados por cartotildees de entrada para o MCNPX A simulaccedilatildeo
gera como saiacuteda a intensidade relativa Foram criadas as situaccedilotildees jaacute expostas na seccedilatildeo 41 A
configuraccedilatildeo das simulaccedilotildees eacute
bull Objeto Cilindro Raio = 5cm Material Al = 000746 cm-1
bull Fonte 137Cs Atividade 5 mCi
bull Colimaccedilatildeo Pb fonte - detetor 5vmm
bull Nuacutemero de histoacuterias 100000
441 Circulo Transladando ndash 1vista por frame
Oito geometrias foram simuladas com o objetivo de encontras as projeccedilotildees
equivalentes as 8 vistas Cada vista captura o disco em um instante de tempo diferente totalizando
oito frames Na Figura 48 ilustra-se o disco (em amarelo) em diferentes posiccedilotildees com e as
respectivas a posiccedilotildees da fonte colimada indicando mudanccedila angular (em roxo e azul)
71
O meacutetodo retorna o (relaccedilatildeo entre Ifinal e o Iinicial) A matriz de intensidades relativas eacute
denominada tomograma e tem as suas colunas ordenadas por vista(Figura 49)
As projeccedilotildees satildeo encontradas fazendo e o conjunto de vistas
ordenadas em colunas eacute denominado sinograma(Figura 50)
Figura 49 Tomograma via MCNPX - 1 Vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 70
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma Por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 48 Geometria Circulo Transladando - 1 vista por frame
72
A apresentaccedilatildeo do sinograma em forma de imagem eacute ilustrada na Figura 51
Figura 50 Sinograma MCNPX - 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
1
2
3
4
5
6
Posicionamento Linear
Sinograma por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 51 Imagem de sinograma MCNPX -1 vista por frame
Sinograma MCNPX - 1 vista por frame
Vistas
Projeccedilotildees
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
73
As reconstruccedilotildees apresentaram-se similares as feitas analiticamente na seccedilatildeo 41
Formaccedilatildeo de oito artefatos em faixa no FBP e o arqueamento para esquerda indicando o sentido da
rotaccedilatildeo do tomoacutegrafo (Figura 52)
442 Circulo Transladando ndash 2 vistas por frame
Oito geometrias foram simuladas com mudanccedila no posicionamento angular apenas
quando o disco muda de posiccedilatildeo Duas vistas capturam o disco na mesma posiccedilatildeo A geometria
simulada no MCNPX eacute mostrada na Figura 53
Figura 53 Geometria circulo transladando - 2 vistas por frame
Figura 52 Reconstruccedilotildees MART e FBP ndash MCNPX ndash 1 vista por frame
FBP
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60 -06
-04
-02
0
02
04
MART
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
74
A simulaccedilatildeo retorna o seguinte tomograma Figura 54
Calculando as projeccedilotildees temos o sinograma ilustrado na Figura 55
Que visualizado em formato de imagem fica ilustrado na Figura 56
Figura 54 Tomograma MCNPX - 2 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 70
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma Por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 55 Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
1
2
3
4
5
6
Posicionamento Linear
Sinograma por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
75
As reconstruccedilotildees corresponderam as expectativas quando coincidem com as
reconstruccedilotildees simuladas analiticamente(Figura 57)
Figura 57 Reconstruccedilatildeo MART - MCNPX - 2 vistas por frameMART
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
FBP
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60 -04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
06
Figura 56 Imagem de sinograma MCNPX ndash 2vistas por frame
Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame
Vistas
Projeccedilotildees
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
76
45 Resultados com CFD
As condiccedilotildees da simulaccedilatildeo foram vazatildeo volumeacutetrica de ar eacute 500 Lmin e o fluxo de
catalisador eacute de180 kg(m2s-1) O tempo de processo foi de 10 segundos com passo de 00025
segundos
O local de leituras da fraccedilatildeo volumeacutetrica foi se encontra a uma altura de 0650
metros da base do riser feita a cada 00375 segundos durante o tempo de processo de fluidizaccedilatildeo
resultando em 268 imagens Seacuteries de oito a nove imagens da secccedilatildeo transversal satildeo utilizadas
Devido a alta resoluccedilatildeo das imagens vindas do CFD uma reduccedilatildeo foi realizada para
figuras com 64x64 pixels Figura 58
451 CFD-1 vista por frame
A sequecircncia de oito imagens em intervalos de tempos consecutivos eacute ilustrada na
Figura 59 e a imagem meacutedia na Figura 60
Figura 58 Reduccedilatildeo na resoluccedilatildeo 899x999 para 64x64
20 40 60
10
20
30
40
50
60
200 400 600 800
100
200
300
400
500
600
700
800
77
Figura 60 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
Figura 59 CFD - Frames 1 ao 8
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
78
Reconstruccedilotildees
As reconstruccedilotildees para uma vista por frame natildeo correspondem agrave realidade prevista
Figura 61 Sinogramas CFD ndash 1 vista por frame
Figura 62 Reconstruccedilotildees CFD ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo RGB
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Sinograma com Pesos
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo Mart Red
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
79
pelo CFD O pequeno nuacutemero de vistas aliado a complexidade da figura dificultam a reconstruccedilatildeo
452 CFD-8 vistas por frame
A sequecircncia de oito imagens em intervalos de tempo consecutivos eacute ilustrada na
Figura 63
A meacutedia das oito imagens Figura 63
O sinograma simulado e o mesmo ponderado satildeo mostrados na Figura 65
Figura 64 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
Figura 63 Frames 1 ao 8 CFD ndash 8 vistas por frame
80
As reconstruccedilotildees concordam com as distribuiccedilotildees quando apresentam maior
concentraccedilatildeo de soacutelido do lado direito da imagem A maior concentraccedilatildeo de pigmentaccedilatildeo vermelha
Figura 65 Sinogramas CFD - 8 vistas por frame
Figura 66 Reconstruccedilotildees CFD - 8 vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Sinograma com Pesos
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart Red
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
81
do lado direito da imagem reconstruiacuteda em RGB mostra que a distribuiccedilatildeo nesta regiatildeo eacute mais
recente O resultado tem concordacircncia com a mudanccedila de lado da distribuiccedilatildeo ao longo dos oito
frames
46 Reconstruccedilotildees com correccedilatildeo de movimento
Como a reconstruccedilatildeo com vistas alternadas eacute superior a tradicional com vistas
sucessivas utilizou-se para todas as simulaccedilotildees com correccedilatildeo de movimento o posicionamento
angular sucessivo O objetivo da escolha eacute verificar os resultados gerados soacute por correccedilatildeo da matriz
de pesos As simulaccedilotildees foram ordenadas de acordo com as situaccedilotildees jaacute exploradas e para um
instante de tempo especiacutefico
Abaixo (Figura 67 Figura 68) tem-se a configuraccedilatildeo de 4 vistas por frame
resultando em dois quadros cada um com o disco em uma posiccedilatildeo diferente A imagem tem 32x32
pixels e o deslocamento foi vertical de 5 pixels Como o nuacutemero de colunas da matriz de pesos eacute
definido pela resoluccedilatildeo da imagem o deslocamento na matriz de pesos corresponde ao vertical x
nuacutemero de elementos em uma linhaentatildeo 5 x 32 = 60 colunas para esquerda quando se quer
recuperar o primeiro instante e 60 colunas para direita no caso do segundo
Para o primeiro instante a correccedilatildeo mostra-se eficaz reconstruindo por completo a
distribuiccedilatildeo no primeiro instante de tempo Figura 67
A distribuiccedilatildeo no segundo instante eacute reconstruiacuteda com um pouco de ruiacutedo Figura 68
Figura 67 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempoImagem Meacutedia
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30Imagem Meacutedia
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
82
A situaccedilatildeo com translado horizontal eacute ilustrada na Figura 69 e Figura 70 A
reconstruccedilatildeo no primeiro instante de tempo mostra-se mais precisa Figura 69 Quatro vistas foram
utilizados por quadro com um deslocamento de 5 pixels entre eles O deslocamento de colunas eacute
realizado com o mesmo nuacutemero
Para o segundo instante Figura 70
A simulaccedilatildeo com duas vistas por frame resulta em quatro distribuiccedilotildees Figura 71
Figura 72 Figura 73 A imagem tem 64x64 pixels e o deslocamento foi vertical de 5 pixels
resultando em um deslocamento de 5 x 64 = 320 para as colunas
Figura 69 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Figura 70 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o segundo instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30
5
10
15
20
25
30
83
Para o primeiro instante de tempo temos
Para o segundo instante
Figura 71 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 72 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
20 40 60
10
20
30
40
50
60
84
e para o terceiro instante
O ruiacutedo aumenta
Ocorre o aparecimento de ruiacutedo nas reconstruccedilotildees com o aumento do tempo Este
efeito eacute devido a extrapolaccedilatildeo do deslocamento nos elementos proacuteximo as bordas da matriz de
pesos
Figura 73 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
85
5 CONCLUSOtildeES
As simulaccedilotildees analiacuteticas de primitivas matemaacuteticas foram validadas com ecircxito
quando comparadas com as mesmas realizadas por MCNPX As aquisiccedilotildees tomograacuteficas foram
simuladas mostrando a superioridade da tomografia de 5ordf geraccedilatildeo (8 vistas por frame) quando
comparada agrave de 3ordf geraccedilatildeo (uma duas e quatro vistas por frame) seccedilotildees 41 e 42 As reconstruccedilotildees
ficam mais proacuteximas da imagem meacutedia porque todas as vistas satildeo adquiridas ao mesmo tempo
durante todo o processo O FBP perde a definiccedilatildeo dos discos e forma um artefato central vertical O
MART reconstroacutei perfeitamente o disco nas oito posiccedilotildees mostrando a sua preferecircncia para um
nuacutemero limitado de dados (8 vistas) O FBP eacute bastante utilizado em tomografias meacutedicas (360
vistas ou mais) devido a baixa complexidade computacional quando comparado aos meacutetodos
algeacutebricos
Tanto o disco transladando quanto o crescente apresentam melhor performance com
o aumento do nuacutemero de vistas por distribuiccedilatildeo como pode ser visto na seccedilatildeo 41 A situaccedilatildeo em
que foi simulada uma vista por frame apresenta um artefato de movimento indicando o sentido de
rotaccedilatildeo do arranjo simulado
Os oito perfis encontrados nas simulaccedilotildees com ciacuterculo crescente mostram o aumento
do disco seccedilatildeo 413 e 414 As simulaccedilotildees para este caso reconstroem uma distribuiccedilatildeo central
distorcida pela incompatibilidade das projeccedilotildees (adquiridas em diferentes instantes de tempo) As
reconstruccedilotildees com FBP mostram-se inferiores ao MART formando artefatos de Moireacute (artefatos
estrela) em todas as reconstruccedilotildees Confirmando que estes artefatos satildeo comuns quando se utiliza o
FBP com um nuacutemero limitado de dados
Os testes com vistas alternadas mostram que essa configuraccedilatildeo eacute superior ao arranjo
sucessivo pois cobre uma aacuterea maior em um tempo menor capturando mais informaccedilotildees relativas
ao movimento (seccedilatildeo 42)
A reconstruccedilatildeo RGB inova porque mostra a evoluccedilatildeo temporal do processo com
aacutereas mais claras (vermelho claro) indicando proximidade temporal enquanto que aacutereas mais
escuras indicam tempo passado O meacutetodo mostra o clareamento no vermelho em regiotildees da figura
indicando que ocorreu movimento neste sentido Os testes com ciacuterculo transladando mostram
coerecircncia quando indicam com o vermelho mais claro as regiotildees correspondentes aos uacuteltimos
quadros O mesmo resultado eacute obtido com os dados do CFD para simulaccedilatildeo da TC de 5ordf geraccedilatildeo O
86
lado direito da imagem tem valores maiores para o vermelho coincidindo com a sequecircncia de
distribuiccedilotildees utilizada onde ocorre mudanccedila na concentraccedilatildeo do lado esquerdo para o direito Para o
ciacuterculo crescente a eficaacutecia do meacutetodo pode ser questionada pois ocorre superposiccedilatildeo das regiotildees
centrais de cada disco A aplicaccedilatildeo a dados do CFD com apenas uma vista por frame eacute ineficiente
pois a reconstruccedilatildeo RGB natildeo consegue mostrar tendecircncia de movimento A reconstruccedilatildeo tradicional
MART tambeacutem natildeo coincide com a meacutedia dos frames ou seja como o meacutetodo proposto utiliza esta
distribuiccedilatildeo espacial natildeo pode-se afirmar que a ineficiecircncia do processo seja devido unicamente a
reconstruccedilatildeo RGB
O MCNPX foi utilizado com ecircxito nas duas simulaccedilotildees propostas Sinogramas e
tomogramas satildeo coincidentes com exceccedilatildeo da escala com os mesmos encontrados por teacutecnicas
analiacuteticas
A reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento foi utilizada com ecircxito para
determinaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo no instante inicial de tempo Ocorre aparecimento de ruiacutedo com o
aumento do tempo Este efeito eacute devido a extrapolaccedilatildeo do deslocamento nos elementos proacuteximo as
bordas da matriz de pesos Salienta-se que o vetor deslocamento deve ser conhecido ou calculado
previamente Este trabalho utiliza valores jaacute determinados anteriormente nas simulaccedilotildees (distacircncia
entre discos)
O trabalho contribui para tomografia industrial porque utiliza casos comuns agrave aacuterea
como o disco transladando que eacute simulador de bolhas em colunas industriais e imagens do CFD
como phantoms para predileccedilatildeo dos perfis experimentais Contribui tambeacutem para a otimizaccedilatildeo de
paracircmetros de operaccedilatildeo tomograacutefica quando simula as aquisiccedilotildees prevendo resultados para o
experimento Indica o MART como superior ao FBP neste conjunto de dados As simulaccedilotildees
analiacuteticas de sinogramas foram validadas com ecircxito pelo MCNPX ou seja ambas podem ser
utilizadas para simulaccedilatildeo de fenocircmenos industriais Sugere tambeacutem que a TC com vistas alternadas
corresponde mais a realidade dinacircmica de uma distribuiccedilatildeo Propotildee um novo meacutetodo a
reconstruccedilatildeo RGB obtendo bons resultados apenas nas situaccedilotildees em que natildeo ocorre coincidecircncia
entre as distribuiccedilotildees de diferentes instantes de tempo
Um estudo mais detalhado dos valores empiacutericos deve ser feito para um
entendimento maior da penalizaccedilatildeo das projeccedilotildees e das situaccedilotildees em que ocorra superposiccedilatildeo de
distribuiccedilotildees
A baixa performance do FBP esperada para um baixo nuacutemero de aquisiccedilotildees indica
que testes com um nuacutemero maior de vistas devem ser realizados para o estudo dos meacutetodos
87
propostos nestas situaccedilotildees
Outro trabalho futuro eacute utilizar soluccedilotildees jaacute propostas na literatura meacutedica para
diminuiccedilatildeo de ruiacutedos e artefatos na reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento identificando o vetor
deslocamento durante o processo
Espera-se dar continuidade ao trabalho validando tambeacutem experimentalmente as
simulaccedilotildees com translado do disco (Laboratoacuterio de Radioquiacutemica ndash DEN ndash UFPE)
88
6 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
ALEXANDER B DIMITRY V VITALY V KISELEV AN Algebraic reconstruction and
post-processing in incomplete data computed tomography From X-rays to Laser Beams Jun
2007
ANDERSEN AH Algebraic reconstruction in CT from limited views IEEE transactions on
medical imaging v 8(1) p50ndash55 Jan1989
ANGELI S EFSTAHIOS S An Accelerated Algebraic Reconstruction Technique based on
the Newton-Raphson Scheme Ieee Nuclear Science Symposium Conference Record 23382ndash
3387 2009
AZZI M TULIER P BERNARD J R GARNERO L Mapping Solid Concentration in a
Circulating Fluid Bed Using Gammametry Powder Technology p27-36 1991
BENDER R GORDON R HERMAN GT Algebraic reconstruction techniques(art) for
three dimensional electron microscopy and x-ray photography J Theor Biol v29 p759ndash768
1971
BROOKS RA CHIRO G Principles of Computer Assisted Tomography ( CAT ) in
Radiographic and Radioisotopic Imaging Phis Med Biol v21 N 5 p689-732 1976
BUTALA M D KAMALABADI F FRAZIN R A Chen YldquoDynamic tomographic imaging
of the solar coronardquo IEEE J Sel Topics Signal Process vol 2 pp 755ndash7662008
CENSOR Y Finite Series-Expansion Reconstruction Methods proceedings of the ieee p71
1983
CEZARO A CEZARO FT Problemas Inversos e a matemaacutetica da tomografia
computadorizada V Bienal da SBM - Sociedade Brasileira de Matemaacutetica 2010
CRUVINEL P E Mini tomoacutegrafo de raio-x e raio gama computadorizado para aplicaccedilotildees
multidisciplinares PhD thesis Unicamp 1987
DANTAS CC MELOSM OLIVEIRA E F MAGALHAtildeES F P SANTOS M G
Measurement of density distribution of a cracking catalyst in experimental riser with a
sampling procedure for gamma ray tomography Nuclear Instruments amp Methods in Physics
Research Section B Beam Interactions with Materials and Atoms (Print) v 266 p 841-848
2008
89
DE PIERRO A R Problemas Matemaacuteticos em Tomografia por Emissatildeo Notas UNICAMP
2004
DESBAT L RIT S CLACKDOYLE R MENNESSIER C PROMAYON E
NTALAMPEKI S ldquoAlgebraic and analytic reconstruction methods for dynamic
tomography rdquo Proceedings of the 29th Annual International Conference of the IEEE EMBS Citeacute
Internationale Lyon France August 23-26 2007 ThP2B11 2007 pp 726-730
DESBAT L ROUX S GRANGEAT P ldquoCompensation of some time dependent
deformations in tomography 2 Deformations preserving the projection geometryrdquo IEEE
transactions on medical imaging vol 26 2007 pp 1-20
EARLY D S LONG DG Image Reconstruction and Enhanced Resolution Imaging from
Irregular Samples IEEE trasactions on geosciences and remote sensing 3v9(2)291ndash302 2001
FARIN G Curves and Surfaces for CAGD a Practical Guide 4th edition Academic Press-
1996
FORSYTHE GE Solving linear algebraic equations can be interesting Bulletin of the
American Mathematical Society v59(4) P299ndash330 Jul 1953
GORDON R A tutorial on art (algebraic reconstruction techniques) IEEE Trans Nucl Sci v
NS-21 p78ndash93 1974
GORDON R GUAN H A projection acess order for speedy convergence of art a multilevel
scheme for computed tomography Physics in medicine and biology p39 1994
GUAN H HERMAN G T ZHU Y Combining various projection access schemes with the
algebraic reconstruction technique for low-contrast detection in computed tomography
Physics in medicine and biology 43(8)2413ndash21 August 1998
HANSON K M WECKSONG GVW Local basis approach to computed tomography
ApplOpt v24 p4028-2039 1985
HERFFERNAN P B Robb A R Difference image reconstruction from a few projections for
nondestructive materials inspection Applied optics
HERMAN G T Iterative reconstruction algorithms Comput Biol Med v6 p273 ndash 294 1976
HERMAN G T GORDON R Reconstruction of pictures from their projections Commun
Assoc Comput Mach v14 p759ndash768 1971
HERMAN GT MEYER L B Algebraic Reconstruction Techniques Can Be Made
90
Computationally Efficient IEEE transactions on medical imaging v 12(3) 1993
IAEA-TECDOC-1589 INDUSTRIAL PROCESS GAMMA TOMOGRAPHY Final report of a
coordinated research project 2003ndash2007 May 2008
KACZMARZ S Angenaherte auflosung von systemen linearer gleichungen Bull Acad Pol
Sci Lett A vol 6-8A pp 355-357 1937
KAKA C SLANEY M Principles of Computerized tomographic imaging IEEE PRESS
1999
KALAGA D V KULKARNI A V ACHARYA R KUMAR U SINGH G JOSHI JB
Some industrial applications of gamma-ray tomography Journal of the Taiwan Institute of
Chemical Engineers 40 (2009) 602ndash612 wwwelseviercomlocatejtice
KNOLL G F Nuclear Counters Radiation-Measurement Book 2006
LUTZ PH Relaxation Methods for Image Reconstruction Communications of the ACM
v21(2) p282ndash288 1978
MARTINEZ AG Detecccedilatildeo de descontinuidades e reconstruccedilatildeo de funccedilotildees a partir de dados
espectrais filtros splines e metodos iterativos tese - UNICAMP 2006
MELO SM DANTAS CC OLIVEIRA EAL MAGALHAtildeES FP OLIVEIRA EF A FCC
catalyst gamma ray tomographic reconstruction by using non negative non parametric bezier
triangles Proceedings In 4 th International Symposion on Process Tomography in Poland p 165
Washaw 2006
MESQUITA J MATELA N OLIVEIRA N MARTINS M V Choosing the ART relaxation
parameter for Clear-PEM 2D image reconstruction Computer methods and programs in
biomedicine May 2010
MYERS G R KINGSTON A M VARSLOT T K TURNER M L SHEPPARD A
P ldquoDynamic tomography with a priori informationrdquo Applied Optics vol 50 2011 pp 3685-
3690
OLIVEIRA EF DANTAS CC MELO S B VASCONCELOS D A A ldquoCOMPARISON
AMONG TOMOGRAPHIC RECONSTRUCTION ALGORITHMSrdquo internetional nuclear
conference-INAC2011
OLIVEIRA EF DANTAS C MELO S B VASCONCELOS D A A ldquoTOMOGRAPHIC
RECONSTRUCTION WITH B-SPLINES SURFACESrdquo internetional nuclear conference-
INAC2011
91
RAMACHANDRAM G N LAKSHMINARAYANAN A V Three-dimensional
reconstruction from radiographs and electron micrographs II application of convolutions
instead of Fourier transforms Proc Natl Acad Sci US v68 p2236-2240 1971
KACZMARZ S Angenaherte auflosung von systemen linearer gleichungen Acad Pol Sci
Lett v 6-8A p355ndash357 1937
SALINA F V MASCARENHAS NDA CRUVINEL PE A Comparison of POCS
Algorithms for Tomographic Reconstruction Under Noise and Limited View Computer
Graphics and Image Processing 2002
SALVADOR P A V Anaacutelise de sistemas multifaacutesicos utilizando tomografia computadorizada
gama monoenergeacutetica e polienergeacutetica Tese IPEN-USP 2008
SERGIO N QUORIN R Diagnoacutestico de defeitos em madeira por tomografia de raios x PhD
thesis UFPR 2004
SUBBARAO P M V MUNSHI P MURALIDHAR K Performance of iterative tomographic
algorithms applied to non-destructive evaluation with limited data NDT amp Internacional
v30(6) p359ndash370 1997
TANABE K Projection method for solving a singular system Numer Math 17203ndash214 1971
TIRUNELVELI G HERMAN G T Comparison of Square-Pixel and Hexagonal-Pixel
Resolution in Image Processing Test pages 867ndash872 2002
VERHOEVEN D Limited-data computed tomography algorithms for the physical sciences
Applied Optics jul1993
WENKAI L Adaptive algebraic reconstruction technique Image (Rochester NY) v31(12)
p3222ndash3230 2004
92
ANEXO ndash I
ROTINAS DESENVOLVIDAS NO MATLAB
Rotina responsaacutevel por criar os phantoms e calcular o sinograma Tambeacutem reconstroacutei
clear
d=64Nproj=8Ntraj=dNpixel=dr=02Nit=30display(MART)chute=1I0=10^8x=1fig3=(zeros(d))teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)inc=3cont=1z=zeros(NprojNtraj1)zt=zzt1=zzt2=zztgb=zcont=1c=0teta=[teta teta]clear fig
vpf=1raio=3inc=7c=5vpf=2raio=4inc=8c=5vpf=4raio=5inc=17c=10 vpf=8raio=1inc=4vpf=4inc=1cc=0inc2=25c=10vpf=4raio=3inc=15c=0 fator=(1Nproj)(1Nproj)1fator=flipud(fator)fator=linspace(00509Nproj)a=0for n=1Nproj a=a+1 circ(n)=Circulo(d(d2)(d2)(1+c))if a==vpfa=0c=c+incend crescente circ(n)=Circulo(d5+c(d2)raio)if a==vpfa=0c=c+incend translado vertical fig=circ(n) [z]=sinograma(fig teta(n)) zr=radon(fig teta(n)Ntraj) fig3=(fig3+fig) Itred(cont)=(I0exp(-zx))n((Nproj+inc+1)-n)(nNproj)olhar sempre It(cont)=I0exp(-zx) Ir(cont)=I0exp(-zr) cont=cont+1endfig3=fig3(max(max(fig3))Nproj)tira a sobreposiccedilatildeosinot=log((I0)It)importante retirar fator caso seja utilizado tomo de 3ordfsinot=(ZeraNeg(sinot))rect=Mart2(MatparaCol(real(sinot))teta102)[c d]=size(rect)rect=ColparaMat(rect(d)NpixelNpixel)figure subplot(131)imagesc(fig3)title(Imagem Meacutedia) subplot(132)imagesc(rect)title(MART Vistas Sucessivas) subplot(133)imagesc(rect)title(MART Vistas Alternadas)
93
Rotina para Testes com reconstruccedilotildees
clear load meialuanotubo2load dadosdinamicoload dadosdinamico2dados2=dados3[Ntraj Nproj]=size(dados2) for a=1Nproj for b=1Ntraj if dados2(ab)gt1 || dados2(ab)lt10^-2 dados2(ab)=1 end endend sinograma=-(102)log(dados2)sinograma=ZeraNeg(sinograma)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj) display(FBP)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)z=sinogramarecfbp=iradon(ztetaNtraj)x=164figsino(xdados2) figsino(xsinograma) figureimagesc(sinograma)title(Sinograma MCNPX - 1 vista por frame) xlabel(Vistas)ylabel(Projeccedilotildees)
_________________________MART___________________________________________ x=[02] Nit=20r=1recmart=zeros(Npixel^2Nitlength(x)) display(MART com pesos)display(x) z=MatparaCol(sinograma) [ix iy]=GridAlg(NprojNtrajNtrajpi) [A]=pesosart(ixiyNprojNtrajNtraj) rec=Art(AzNprojNtraj5002) figure imagesc(rec)title(ART) end recfinal=ColparaMat(recmart(Nit)NpixelNpixel) figuresurf(recfinal)figureimagesc(recfinal)colorbartitle(Mart) durou=etime(clockliga)60save phantomacrilicoMart x durou recmart A _________________________ART____________________________________________ x=[02] Nit=10r=1recart=zeros(Npixel) display(ART com pesos)display(x) z=MatparaCol(sinograma) rec=Mart(AzNprojNtrajNitx) recart=ColparaMat(rec(Nit)NpixelNpixel)r=r+1 figureimagesc(recart)colorbartitle(art) __________________________________________________________________________
94
rotina para caacutelculo do sinograma
function [matriz]=sinograma(fig teta)
[a b]=size(fig)Ntraj=aNproj=size(teta2)sino=zeros(NtrajNproj)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)for i=1Nproj for j=1b sino(ji)=Project(figteta(i)j) endendmatriz=sino
function [bijtemp erromat]=Mart2(ztetachuterelax)
[a b]=size(z)Nproj=size(teta2)Ntraj=aNprojNpixel=Ntrajbijtemp=ones(Npixel^250)bijtemp(1)=chute pij=ones(size(sino))Ite=50erro=1cont=1erromat=zeros(149)for Nitera=1Ite if Nitera==25 Nitera end for i=1Nproj W=Wproj(teta(i)Npixel) pij=Wbijtemp(Nitera) for j=1Ntraj cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pij(j))pij(j) if (pij(j)==0)cor=0000000001end ind=find(W(j)) cor=correlax bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corbijtemp(indNitera)W(jind)) end end if errolt=005break end if Niteragt=2 erro=100sqrt(sum(sum(((bijtemp(Nitera)-bijtemp(Nitera-1))^2))))sum(sum(bijtemp(Nitera))) erromat(cont)=errocont=cont+1 end if (Nitera ~= Ite)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)endendbijtemp=bijtemp(1Nitera)erro
function [bijtemp erromat]=Mart2(ztetachuterelax)
[a b]=size(z)Nproj=size(teta2)Ntraj=aNprojNpixel=Ntrajbijtemp=ones(Npixel^250)bijtemp(1)=chute
95
pij=ones(size(sino))Ite=50erro=1cont=1erromat=zeros(149)for Nitera=1Ite if Nitera==25 Nitera end for i=1Nproj W=Wproj(teta(i)Npixel) pij=Wbijtemp(Nitera) for j=1Ntraj cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pij(j))pij(j) if (pij(j)==0)cor=0000000001end ind=find(W(j)) cor=correlax(i) bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corbijtemp(indNitera)W(jind)) end end if errolt=005break end if Niteragt=2 erro=100sqrt(sum(sum(((bijtemp(Nitera)-bijtemp(Nitera-1))^2))))sum(sum(bijtemp(Nitera))) erromat(cont)=errocont=cont+1 end if (Nitera ~= Ite)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)endendbijtemp=bijtemp(1Nitera)erro
function [figtemp]=BP(NprojNtrajNpixelzinterXinterYfigura)
Back projection
c=max(size(figura))
Ntraj=c
Npixel=caumenta a dimenssatildeo da figura para eliminar artefatos de rotaccedilatildeo
figtemp=zeros(c)
inter=ones(22(Npixel+1))696969
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
inter(1)=interX(((i-1)Npixel)+j)
inter(2)=interY(((i-1)Npixel)+j)
for a=12(Npixel+1)
if (inter(1a)gt=0 ampamp inter(1a)ltNpixel) ampamp (inter(2a)gt=0 ampamp
inter(2a)ltNpixel) ampamp (inter(1a+1)gt=0 ampamp inter(1a+1)lt=Npixel) ampamp
(inter(2a+1)gt=0 ampamp inter(2a+1)lt=Npixel)
dist=sqrt(((inter(1a+1)-inter(1a))^2)+((inter(2a+1)-
inter(2a))^2))
x=fix(inter(1a))y=fix(inter(2a))
if (figura(x+1y+1))gt 10^-1
figtemp(x+1y+1)=figtemp(x+1y+1)+z(Ntraj(i-1)+j)dist
end
end
end
end
end
function [bijtemp]=Art(AzNprojNtrajNitrelax)
ART aditivo com opccedilatildeo de relaxaccedilatildeo
96
[c d]=size(A)a=sqrt(d)b=a
bijtemp=zeros(b^2Nit)10
pij=zeros(b1)pijtemp=zeros(Ntraj1)convergencia=zeros(1Nit)
Projection=Nproj
for Nitera=1Nit
interaction=Nitera
for i=1Nproj
pijtemp=A((Ntraj(i-1)+1)(Ntraj(i-1)+Ntraj))bijtemp(Nitera)
for j=1Ntraj
soma=sum(A(Ntraj(i-1)+j)^2)
cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pijtemp(j))
ind=find(A(Ntraj(i-1)+j))
cor=correlaxsoma
bijtemp(indNitera)=(bijtemp(indNitera) + corA(Ntraj(i-
1)+jind))
for ii=ind
if bijtemp(iiNitera)lt0bijtemp(iiNitera)=0end
end
end
end
if (Nitera ~= Nit)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)end
if (Nitera ~= 1)convergencia(Nit)=sqrt(sum(sum(bijtemp(Nitera-1)^2
-bijtemp(Nitera)^2))sum(sum(bijtemp(Nitera)^2)))end
end
function [bijtemp]=Artfast(AzNprojNtrajNitrelax)
ART aditivo com opccedilatildeo de relaxaccedilatildeo
[c d]=size(A)a=sqrt(d)b=a
bijtemp=ones(b^2Nit)
pij=zeros(b1)pijtemp=zeros(Ntraj1)
Projection=Nproj
for Nitera=1Nit
Nitera
for i=1Nproj
pijtemp=A((Ntraj(i-1)+1)(Ntraj(i-1)+Ntraj))bijtemp(Nitera)
for j=1Ntraj
soma=sum(A(Ntraj(i-1)+j)^2)
cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pijtemp(j))
ind=find(A(Ntraj(i-1)+j))
cor=correlaxsoma
bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corA(Ntraj(i-
1)+jind))
for ii=ind
if bijtemp(iiNitera)lt0bijtemp(iiNitera)=0end
end
end
end
if (Nitera ~= Nit)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)end
end
function [interX interY]=GridAlg(NprojNtrajNpixelRangeAngular)
RangeAngular=pi
display(vc olhou pi)
rxvetor=zeros(Nproj1)
ryvetor=zeros(Nproj1)
rxpontos=zeros(NtrajNproj)
97
rypontos=zeros(NtrajNproj)
rxpontos(1)=linspace(0+(NpixelNtraj)2Npixel-(NpixelNtraj)2Ntraj)
rypontos=flipud(rypontos)
rypontos(1)=0
rxvetor(1)=0
ryvetor(1)=1
teta=RangeAngularNproj
rot=[cos(teta) -sin(teta)sin(teta) cos(teta)]
for b=2Nproj
vet=rot[rxvetor(b-1) ryvetor(b-1)]
rxvetor(b)=vet(1)
ryvetor(b)=vet(2)
end
for b=2Nproj
for a=1Ntraj
pontos=rot[rxpontos(ab-1)-(Npixel2)rypontos(ab-1)-(Npixel2)]
rxpontos(ab)=pontos(1)+(Npixel2)
rypontos(ab)=pontos(2)+(Npixel2)
end
end
clear FIG
interX=zeros(NtrajNproj2(Npixel+1))interY=interX
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
ind=1
inter=ones(22(Npixel+1))696969
if rxvetor(i)lt-10^-5 || rxvetor(i)gt10^-5
for x=0Npixel
inter(2x+1)=(ryvetor(i)rxvetor(i))(x-rxpontos(ji))
+rypontos(ji)
inter(1x+1)=x
ind=ind+1
end
end
if rxvetor(i)gt=-10^-5 ampamp rxvetor(i)lt=10^-5x=-1end
if ryvetor(i)lt-10^-5 || ryvetor(i)gt10^-5
for y=0Npixel
inter(1x+2+y)=(rxvetor(i)ryvetor(i))(y-rypontos(ji))
+rxpontos(ji)
inter(2x+2+y)=y
ind=ind+1
end
end
[inter(1) B]=sort(inter(1))
inter(2)=inter(2B)
interX(((i-1)Ntraj)+j)=inter(1)
interY(((i-1)Ntraj)+j)=inter(2)
end
end
function [A]=pesosart(interXinterYNprojNpixelNtraj)
(NprojNtraj)x(Npixel^2)lt=70000000 out of memory with space free 560000000
98
[a b]=size(interX)
Atemp=sparse(zeros(NtrajNpixel^2))
inter=ones(22(Npixel+1))696969
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
inter(1)=interX(((i-1)Ntraj)+j)
inter(2)=interY(((i-1)Ntraj)+j)
for a=12(Npixel+1)
if (inter(1a)gt=0 ampamp inter(1a)ltNpixel) ampamp (inter(2a)gt=0 ampamp
inter(2a)ltNpixel) ampamp (inter(1a+1)gt=0 ampamp inter(1a+1)lt=Npixel) ampamp
(inter(2a+1)gt=0 ampamp inter(2a+1)lt=Npixel)
dist=sqrt(((inter(1a+1)-inter(1a))^2)+((inter(2a+1)-
inter(2a))^2))
if inter(2a+1)ltinter(2a)
y=fix(inter(2a+1))
else
y=fix(inter(2a))
end
x=fix(inter(1a))
Atemp(jNpixel(Npixel-y-1)+x+1)=dist
end
end
end
if i==1
A=Atemp
else
A=[AAtemp]
end
Atemp=sparse(zeros(NtrajNpixel^2))
end
RESUMO
O estado da arte dos meacutetodos aplicados para processos industriais eacute atualmentebaseado em princiacutepios de reconstruccedilotildees tomograacuteficas claacutessicas desenvolvidos para padrotildeestomograacuteficos de distribuiccedilotildees estaacuteticas ou seja satildeo limitados a processos de pouca variabilidadeRuiacutedos e artefatos de movimento satildeo os principais problemas causados pela incompatibilidade nosdados gerada pelo movimento Aleacutem disso em processos tomograacuteficos industriais eacute comum umnuacutemero limitado de dados podendo produzir ruiacutedo artefatos e natildeo concordacircncia com a distribuiccedilatildeoem estudo Um dos objetivos do presente trabalho eacute discutir as dificuldades que surgem daimplementaccedilatildeo de algoritmos de reconstruccedilatildeo em tomografia dinacircmica que foram originalmentedesenvolvidos para distribuiccedilotildees estaacuteticas Outro objetivo eacute propor soluccedilotildees que visam reduzir aperda de informaccedilatildeo temporal devido a utilizaccedilatildeo de teacutecnicas estaacuteticas em processos dinacircmicos Noque diz respeito agrave reconstruccedilatildeo de imagem dinacircmica foi realizada uma comparaccedilatildeo entre diferentesmeacutetodos de reconstruccedilatildeo estaacuteticos como MART e FBP quando usado para cenaacuterios dinacircmicosEsta comparaccedilatildeo foi baseada em simulaccedilotildees por MCNPX e tambeacutem analiticamente de um cilindrode alumiacutenio que se move durante o processo de aquisiccedilatildeo e tambeacutem com base em imagens decortes transversais de teacutecnicas de CFD Outra contribuiccedilatildeo foi aproveitar o canal triplo de coresnecessaacuterio para exibir imagens coloridas na maioria dos monitores de modo que dimensionandoadequadamente os valores adquiridos de cada vista no sistema linear de reconstruccedilatildeo foi possiacutevelimprimir traccedilos temporais na imagem tradicionalmente reconstruiacuteda Finalmente uma teacutecnica decorreccedilatildeo de movimento usado no campo da medicina foi proposto para aplicaccedilotildees industriaisconsiderando-se que a distribuiccedilatildeo de densidade nestes cenaacuterios pode apresentar variaccedilotildeescompatiacuteveis com movimentos riacutegidos ou alteraccedilotildees na escala de certos objetos A ideia eacute usar dadosconhecidos a priori ou durante o processo como vetor deslocamento e entatildeo usar essasinformaccedilotildees para melhorar a qualidade da reconstruccedilatildeo Isto eacute feito atraveacutes da manipulaccedilatildeoadequada da matriz peso no meacutetodo algeacutebrico isto eacute ajustando-se os valores para refletir omovimento objeto do previsto ou deformaccedilatildeo Os resultados de todas essas teacutecnicas aplicadas emvaacuterios experimentos e simulaccedilotildees satildeo discutidos neste trabalho
PALAVRAS-CHAVE Reconstruccedilatildeo Tomograacutefica Reconstruccedilatildeo Dinacircmica Tomografia CFD
MCNP
ABSTRACT
The state of the art methods applied to industrial processes is currently based on the principles ofclassical tomographic reconstructions developed for tomographic patterns of static distributions oris limited to cases of low variability of the density distribution function of the tomographed objectNoise and motion artifacts are the main problems caused by a mismatch in the data from viewsacquired in different instants All of these add to the known fact that using a limited amount of datacan result in the presence of noise artifacts and some inconsistencies with the distribution understudy One of the objectives of the present work is to discuss the difficulties that arise fromimplementing reconstruction algorithms in dynamic tomography that were originally developed forstatic distributions Another objective is to propose solutions that aim at reducing a temporal type ofinformation loss caused by employing regular acquisition systems to dynamic processes Withrespect to dynamic image reconstruction it was conducted a comparison between different staticreconstruction methods like MART and FBP when used for dynamic scenarios This comparisonwas based on a MCNPx simulation as well as an analytical setup of an aluminum cylinder thatmoves along the section of a riser during the process of acquisition and also based on cross sectionimages from CFD techniques As for the adaptation of current tomographic acquisition systems fordynamic processes this work established a sequence of tomographic views in a just-in-time fashionfor visualization purposes a form of visually disposing density information as soon as it becomesamenable to image reconstruction A third contribution was to take advantage of the triple colorchannel necessary to display colored images in most displays so that by appropriately scaling theacquired values of each view in the linear system of the reconstruction it was possible to imprint atemporal trace into the regularly reconstructed image where the temporal trace utilizes a channeland the regular reconstruction utilizes a different one Finally a motion correction technique used inthe medical field was proposed for industrial applications considering that the density distributionin these scenarios may present variations compatible with rigid motions or changes in scale ofcertain objects The idea is to identify in some configurations of the temporarily distributed dataclues of the type of motion or deformation suffered by the object during the data acquisition andthen use this information to improve the quality of the reconstruction This is done by appropriatelymanipulating the weight matrix in the algebraic method ie by adjusting the values to reflect thepredicted object motion or deformation The results of all these techniques applied in severalexperiments and simulations are discussed in this work
Keywords Industrial Dynamic Tomography Flow Dynamics Dynamic Process SimulationDynamic Tomographic Reconstruction
Lista de Figuras
Figura 1 Atenuaccedilatildeo da Radiaccedilatildeo pela mateacuteria16Figura 2 Discretizaccedilatildeo de l18Figura 3 Sinograma constituiacutedo de 180 vistas (construiacutedo com a funccedilatildeo radon do matlab)19Figura 4 Discretizaccedilatildeo da secccedilatildeo irradiada22Figura 5 Geraccedilotildees Tomograacuteficas27Figura 6 Geraccedilotildees Tomograacuteficas28Figura 7 Phantom de Sheep-Logan29Figura 8 Discretizaccedilatildeo da secccedilatildeo irradiada30Figura 9 Distribuiccedilatildeo de velocidades e de fraccedilatildeo de soacutelido para diferentes alturas32Figura 10 Secccedilatildeo com distribuiccedilatildeo de soacutelido que seraacute utilizada como Phantom Matemaacutetico33Figura 11 Visatildeo 3D de uma distribuiccedilatildeo de fraccedilatildeo de soacutelido feito por CFD33 Figura 12Sistema RGB35Figura 13 Sistema de Coordenadas39Figura 14 reta r sendo mapeada por39Figura 15 Projeccedilotildees 1D sem mudanccedila de frame43Figura 16 Projeccedilotildees 1D com mudanccedila de frame44Figura 17 Mais de uma vista por frame45Figura 18 Mais de um frame por vista46Figura 19 Mais de um frame durante a aquisiccedilatildeo46Figura 20 Software Desenvolvido50Figura 21 8 frames - ciacuterculo transladando - 1 vista por frame52Figura 22 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames52Figura 23 Tomograma e sinograma ndash circulo transladando ndash 1 vista por frame53Figura 24 Sinogramascirculo transladando ndash 1 vista por frame54Figura 25 Reconstruccedilotildees circulo transladando ndash 1 vista por frame54Figura 26 Tomograma e Sinograma - disco transladando - 8 vistas por frame55Figura 27 Sinogramas Ciacuterculo Transladando -Oito vistas por frame56Figura 28 Reconstruccedilotildees Ciacuterculo Transladando -Oito vistas por frame56Figura 29 8 frames - circulo crescente - 1 vista por frame57Figura 30 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames57Figura 31 Tomograma e sinograma - ciacuterculo crescente - 1 vista por frame58Figura 32 Imagem do sinograma - ciacuterculo crescente - 1 vista por frame59Figura 33 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 1 vista por frame59Figura 34 Tomograma e sinograma - circulo crescente - 8 vista por frame60Figura 35 Sinogramas circulo crescente ndash 8 vistas por frame61Figura 36 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 8 vistas por frame61Figura 37 Reconstruccedilotildees disco transladando - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas e alternadas62Figura 38 Reconstruccedilotildees disco transladando - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas e alternadas 63Figura 39 Reconstruccedilotildees disco transladando - 4 Vistas por frame - Vistas sucessivas e alternadas 64Figura 40 Reconstruccedilotildees disco crescente - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas e alternadas64Figura 41 Reconstruccedilotildees disco crescente - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas e alternadas65Figura 42 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 1 vista por frame66Figura 43 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frame67Figura 44 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frame68Figura 45 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frame68Figura 46 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frame69Figura 47 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo crescente - 2 vistas por frame69Figura 48 Geometria Circulo Transladando - 1 vista por frame71
Figura 49 Tomograma via MCNPX - 1 Vista por frame71Figura 50 Sinograma MCNPX - 1 vista por frame72Figura 51 Imagem de sinograma MCNPX - 1 vista por frame72Figura 52 Reconstruccedilotildees MART e FBP ndash MCNPX ndash 1 vista por frame73Figura 53 Geometria circulo transladando - 2 vistas por frame73Figura 54 Tomograma MCNPX - 2 vistas por frame74Figura 55 Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame74Figura 56 Imagem de sinograma MCNPX ndash 2 vistas por frame75Figura 57 Reconstruccedilatildeo MART - MCNPX - 2 vistas por frame75Figura 58 Reduccedilatildeo na resoluccedilatildeo 899x999 para 64x6476Figura 59 CFD - Frames 1 ao 877Figura 60 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames77Figura 61 Sinogramas CFD ndash 1 vista por frame78Figura 62 Reconstruccedilotildees CFD ndash 1 vista por frame78Figura 63 Frames 1 ao 8 CFD ndash 8 vistas por frame79Figura 64 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames79Figura 65 Sinogramas CFD - 8 vistas por frame80Figura 66 Reconstruccedilotildees CFD - 8 vistas por frame80Figura 67 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo81Figura 68 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o segundo instante de tempo81Figura 69 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo82Figura 70 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o segundo instante de tempo82Figura 71 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo83Figura 72 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo83Figura 73 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo84
LISTA DE TABELAS
Tabela 1
Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 1 vista por framehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip62
Tabela 2
Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 2 vistas por framehelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip63
Tabela 3
Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 4 vistas por framehelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip63
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
DEN ndash Departamento de Energia Nuclear
UFPE ndash Universidade Federal de Pernambuco
TC ndash Tomografia Computadorizada
ART ndash Algebraic Reconstruction Techinique
MART ndash Multiplicative Algebraic Reconstruction Techinique
SIRT ndash Simultaneous Iterative Reconstruction Technique
FBP ndash Filtered Back Projection
AM ndash Alternating Minimization
CFD ndash Computer Fluid Dynamics
MCNP - Monte Carlo N-Particle
PET - Positron Emission Tomography
SPECT - Single Photon Emission Tomography
CST ndash Central Slice Theorem
Sumaacuterio
1 INTRODUCcedilAtildeO132 TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA16
21 A Lei de Beer-Lambert16
22 Algoriacutetmos de Reconstruccedilatildeo20
221 Filtered Back Projection (FBP)20222 ART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica)21223 MART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica com Correccedilatildeo Multiplicativa)23
23 O Caso Dinacircmico24
24 Reconstruccedilatildeo com Correccedilatildeo de Movimento25
25 Geraccedilotildees de Tomoacutegrafos26
26 Simulaccedilatildeo de Sinogramas28
27 Fluidodinacircmica Computacional - CFD31
28 Tempo de Aquisiccedilatildeo ou Integraccedilatildeo33
29 Sistema de cores RGB33
21 0MCNP35
3 METODOLOGIA3731 A Transformada de Radon Temporal38
32 Lei de Beer-Lambert temporal41
33 Simulaccedilatildeo de aquisiccedilotildees Tomograacuteficas42
331 Aquisiccedilatildeo por Tomografia de 1ordf Geraccedilatildeo42332 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 3ordf geraccedilatildeo45333 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 5ordf geraccedilatildeo46
34 Posicionamento angular47
35 Utilizaccedilatildeo de um canal de cores para visualizar a dinacircmica do processo Reconstruccedilatildeo RGB47
36 Reconstruccedilatildeo utilizando dados do CFD48
37 Avaliaccedilatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo com RMSE49
38 Algoritmos e Software Desenvolvidos50
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO5141 Resultados das Reconstruccedilotildees MART e FBP51
411 Primitiva Ciacuterculo Transladando 1 vista por frame51412 Primitiva Ciacuterculo Transladando Oito vistas por frame55413 Primitiva Circulo Crescente Uma vista por frame57414 Primitiva Circulo Crescente Oito vistas por frame60
42 Vistas Alternadas62
43 Resultados com RGB65
44 Simulaccedilotildees com MCNPX70
441 Circulo Transladando ndash 1vista por frame70
442 Circulo Transladando ndash 2 vistas por frame7345 Resultados com CFD76
451 CFD-1 vista por frame76452 CFD-8 vistas por frame79
46 Reconstruccedilotildees com correccedilatildeo de movimento81
5 CONCLUSOtildeES856 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS88ANEXO ndash I92
13
1 INTRODUCcedilAtildeO
A Tomografia Computadorizada (TC) consiste em duas etapas
a) O objeto eacute verificado (escaneado) com relaccedilatildeo a alguma propriedade como
densidade capacitacircncia resistividade eleacutetrica ressonacircncia magneacutetica etc
b) A propriedade eacute entatildeo reconstruiacuteda por meio de uma teacutecnica de reconstruccedilatildeo
adequada
Dessa forma a tomografia tem como objetivo reconstruir os detalhes geomeacutetricos do
objeto subjacente e tambeacutem obter os valores da propriedade escolhida Normalmente eacute classificada
como uma teacutecnica de ensaios natildeo destrutivos (END) e portanto eacute de uso imenso em
colunasreatores industriais para detectar a distribuiccedilatildeo de fases ou qualquer tipo de natildeo
uniformidade no interior do objeto
Para o registro de qualquer mudanccedila no objeto otimiza-se o sistema em alta
resoluccedilatildeo temporal (baixo tempo de aquisiccedilatildeo) ou seja permitir vaacuterias imagens resultando em
centenas de quadros por segundo A tomografia que concretiza essa configuraccedilatildeo de aquisiccedilatildeo eacute
chamada de instantacircnea ou de 5ordf geraccedilatildeo onde vaacuterias fontes satildeo arranjadas diametralmente opostas
a um leque de detetores de radiaccedilatildeo e consequentemente a colimaccedilatildeo de uma fonte eacute limitada por
outra reduzindo a resoluccedilatildeo espacial do sistema
Quando a distribuiccedilatildeo tem baixa variabilidade ao longo do tempo ou quando
limitaccedilotildees teacutecnicas impedem o uso da tomografia instantacircnea propotildee-se a tomografia com baixa
resoluccedilatildeo temporal com tomoacutegrafos de 1ordf e 3ordf geraccedilotildees O alto tempo de aquisiccedilatildeo destes
tomoacutegrafos prejudica a reconstruccedilatildeo quando o objeto em estudo muda suas propriedades no
decorrer do tempo Esta foi classificada por vaacuterios autores como reconstruccedilatildeo dinacircmica
(ARTEMIEV V M NAUMOV A O 2006) (BUTALA 2009) (DESBAT L et al 2006) Jaacute eacute
uma aacuterea muito ativa em medicina nuclear onde movimentos do paciente devem ser tomados em
consideraccedilatildeo Tais como em SPECT ou PET mas tambeacutem em tomografia computadorizada (TC de
transmissatildeo) para oacutergatildeos de movimento raacutepido como o coraccedilatildeo (GRAMEL BM et al 2012)
De um modo geral o imageamento dinacircmico TC tem como objetivo reconstruir
sequecircncias de imagens em que a natureza dinacircmica do objeto tomografado eacute de interesse primaacuterio
permitindo o registro de mudanccedilas temporais na distribuiccedilatildeo do coeficiente de atenuaccedilatildeo linear
podendo identificar o estado inicial e o final do processo
O estado da arte dos meacutetodos aplicados para processos industriais eacute atualmente
baseado em princiacutepios de reconstruccedilotildees tomograacuteficas claacutessicas desenvolvidos para padrotildees TC de
distribuiccedilotildees estaacuteticas como pode ser visto em diversos artigos da aacuterea de tomografia industrial
14
(DAHAN A et al 2007 DUDUKOVIC 2007 HALE et al 2007 JOHANSEN et al 2005
KUMAR et al 1997 DANTAS CC et al 2007 SALVADOR P A V 2010 MESQUITA C et
al 2011) Essas abordagens assumem que as propriedades da imagem satildeo constantes durante o
processo de aquisiccedilatildeo Os algoritmos de reconstruccedilatildeo mais comuns ao contexto satildeo os iterativos
onde se destacam teacutecnicas de reconstruccedilatildeo algeacutebrica (ART SIRT MART SMART) e teacutecnicas de
reconstruccedilatildeo estatiacutesticas como o de Minimizaccedilatildeo Alternante (AM) e o Esperanccedila - Maximizaccedilatildeo
(EM) A imagem reconstruiacuteda passa a ser uma aproximaccedilatildeo das propriedades ao longo do tempo A
aproximaccedilatildeo eacute devida a projeccedilotildees natildeo compatiacuteveis no sinograma (BONNET S 2003) As
projeccedilotildees tornam-se incompatiacuteveis devido as diferentes distribuiccedilotildees que ocorreram durante o
intervalo de tempo utilizado para coleta de dados Ruiacutedos e artefatos de movimento satildeo os
principais problemas causados pela incompatibilidade
Aleacutem disso em processos tomograacuteficos industriais eacute comum um nuacutemero limitado de
dados devido a inviabilidades teacutecnicas como arranjar todo um aparato de fontes e detetores ao redor
de uma coluna industrial Um baixo nuacutemero de dados pode produzir ruiacutedo artefatos e natildeo
concordacircncia com a distribuiccedilatildeo em estudo
Por estes motivos eacute necessaacuterio um estudo dos melhores meacutetodos de reconstruccedilatildeo e
tambeacutem o desenvolvimento de novas taacuteticas ou a utilizaccedilatildeo de meacutetodos jaacute consagrados em outros
contextos como a aacuterea meacutedica
Este trabalho inova quando discute um tema jaacute comum agrave aacuterea meacutedica em um
contexto tomograacutefico industrial
O meacutetodo proposto consiste em descobrir inicialmente as limitaccedilotildees oriundas da
aplicaccedilatildeo de algoritmos de reconstruccedilatildeo que foram desenvolvidos para distribuiccedilotildees estaacuteticas e satildeo
utilizados em tomografia dinacircmica Estas podem aparecer em forma de ruiacutedo artefatos estrela eou
de movimento Para alcanccedilar tais propoacutesitos foram utilizados dados simulados analiticamente e por
MCNPX de um cilindro de alumiacutenio transladando durante o processo aquisiccedilatildeo e imagens da secccedilatildeo
transversal de um rise piloto por meio da teacutecnica CFD (Computational Fluid Dynamics) O cilindro
ou ciacuterculo para uma secccedilatildeo eacute uma escolha pautada na literatura industrial pois simula bolhas em
reatores e tambeacutem distribuiccedilotildees agrupadas em forma de nuacutecleo por exemplo (DUDUKOVIC M et
al 1997) (AZZI M 1991) Com os dados simulados foram realizadas e comparadas as
reconstruccedilotildees pelos meacutetodos FBP (Filtered Back Projection) e MART (Multiplicative Algebraic
Reconstruction Technique)
Descobertas as limitaccedilotildees novas estrateacutegias satildeo apresentadas como a escolha da
ordem do posicionamento angular (vistas alternadas ou sucessivas) o desenvolvimento de um
15
meacutetodo para a visualizaccedilatildeo temporal do processo (Reconstruccedilatildeo RGB) e a correccedilatildeo de movimento
A reconstruccedilatildeo RGB foi desenvolvida com o propoacutesito de visualizar a evoluccedilatildeo
temporal do processo Consiste em uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens tomograacuteficas de
processos dinacircmicos pois utiliza o canal red do sistema de cores RGB para visualizar a evoluccedilatildeo do
movimento Uma nova reconstruccedilatildeo eacute realizada utilizando dados penalizados com o tempo e
associada ao canal R Aos outros canais eacute associada a reconstruccedilatildeo tradicional para posterior
visualizaccedilatildeo do conjunto
Tambeacutem eacute proposta uma teacutecnica de correccedilatildeo de movimento utilizada na aacuterea meacutedica
que manipula a matriz de pesos do meacutetodo algeacutebrico deslocando seus elementos com a mesma
quantidade de movimento identificada Neste trabalho eacute definido o vetor deslocamento a priori
O Capiacutetulo dois trata da revisatildeo bibliograacutefica da tese Conteacutem a lei de Beer-Lambert
a formaccedilatildeo de dados tomograacuteficos para posterior reconstruccedilatildeo Explica os algoritmos algeacutebricos a
visualizaccedilatildeo RGB dados do CFD e geraccedilotildees tomograacuteficas No Capiacutetulo trecircs satildeo expostos os
meacutetodos desenvolvidos como aquisiccedilotildees simuladas analiticamente de 1ordf e 5ordf geraccedilotildees
tomograacuteficas simulaccedilotildees tomograacuteficas por MCNPX reconstruccedilatildeo RGB correccedilatildeo de movimento
algoritmos implementados e desenvolvidos No capiacutetulo quatro satildeo mostrados os resultados de
todos os meacutetodos propostos
Espera-se que esse trabalho contribua para uma anaacutelise mais efetiva de tomografias
dinacircmicas industriais bem como o diagnoacutestico de problemas de otimizaccedilatildeo de operaccedilatildeo de
tomoacutegrafos e obtenccedilatildeo de dados para novos projetos bem como contribuir com novos algoritmos de
reconstruccedilatildeo especiacuteficos para esta aplicaccedilatildeo
16
2 TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA
21 A Lei de Beer-Lambert
A medida da probabilidade por unidade de percusso do feixe de radiaccedilatildeo interagir
com a mateacuteria (efeito fotoeleacutetrico efeito Compton e produccedilatildeo de pares) eacute denominado coeficiente
de atenuaccedilatildeo total ou linear do material ( ) Encontrar a funccedilatildeo que represente a distribuiccedilatildeo das
atenuaccedilotildees dentro de uma regiatildeo de interesse eacute o objetivo da tomografia Ao atravessar um material
a intensidade da radiaccedilatildeo sofre uma queda exponencial descrita pela relaccedilatildeo de Beer-Lambert
Entende-se como intensidade de radiaccedilatildeo neste caso como o nuacutemero de contagens registrado pelo
detetor em uma faixa de energia de interesse para um certo intervalo de tempo
Entende-se como caso estaacutetico a situaccedilatildeo em que o objeto tem distribuiccedilatildeo de
atenuaccedilotildees fixa na regiatildeo de estudo ao longo do tempo ou seja
(1)
O processo unidimensional para determinaccedilatildeo da atenuaccedilatildeo linear pode ser resumido
em um detetor de radiaccedilatildeo diametralmente oposto a uma fonte de radiaccedilatildeo onde
bull Estabelece-se um tempo para o intervalo de contagens Figura 21
bull ) do background sem
objeto algum entre fonte e detetor
bull Coloca-se um objeto de comprimento fixo l com distribuiccedilatildeo de atenuaccedilotildees desconhecida
mas com valores fixos ao longo de l
bull Afere-se o nuacutemero de contagens ( com o objeto presente
Figura 1 Atenuaccedilatildeo daRadiaccedilatildeo pela mateacuteria
l
If
para Δt
I0
para Δt
17
A lei de Beer-Lambert mostra que a absorccedilatildeo mais precisamente a atenuaccedilatildeo da
radiaccedilatildeo mede a queda da intensidade quando a radiaccedilatildeo passa pela mateacuteria A transmissatildeo T
Taxa de contagem inicial Taxa de contagem apoacutes o absorvedor
(2)
caracteriza a permeabilidade do material absorvente para a radiaccedilatildeo Quanto maior for a
transmissatildeo menor eacute o efeito atenuante A transmissatildeo depende da espessura l do absorvedor Se a
espessura l eacute reforccedilada pela pequena quantidade dl o T de transmissatildeo eacute diminuiacuteda pela pequena
quantidade dT A diminuiccedilatildeo relativa da transmissatildeo eacute proporcional ao aumento absoluto da
espessura
(3)
O fator de proporcionalidade eacute chamado o coeficiente de atenuaccedilatildeo linear mu A
integraccedilatildeo da equaccedilatildeo 24 conduz agrave lei de Beer-Lambert
(4)
Para facilitar a notaccedilatildeo em desenvolvimentos adiante chamamos de que eacute o
coeficiente de atenuaccedilatildeo linear meacutedio e l a distacircncia percorrida pelo raio no absorvedor Entatildeo eacute
determinado por
18
(5)
independente de l E para um
detalhamento maior das atenuaccedilotildees ao longo do feixe discretiza-se l O somatoacuterio dos produtos das
atenuaccedilotildees com as distacircncias surge da discretizaccedilatildeo de l assumindo que todas as particcedilotildees atenuam
o feixe no Esta condiccedilatildeo implica tambeacutem no particionamento de
Fazendo com que a intensidade final de uma particcedilatildeo i seja a inicial
da subsequente i+1 Ou seja natildeo eacute estabelecida uma discretizaccedilatildeo do tempo
(6)
De maneira geral a soma na Equaccedilatildeo 6 torna-se uma integral e definindo o eixo x ao
longo da trajetoacuteria do feixe l torna-se o elemento de linha onde o coeficiente de atenuaccedilatildeo eacute
funccedilatildeo da trajetoacuteria da linha
(7)
A integral ao longo da linha eacute conhecida como projeccedilatildeo unidimensional da
distribuiccedilatildeo de densidades definida matematicamente por Johann Radon em 1917 e
Figura 2 Discretizaccedilatildeo de l
l1
μ1
l2
μ2
ln
μn
l3
μ3
I 1 pa
ra Δ
t 0f
I 2 pa
ra Δ
t 0f
I f pa
ra Δ
t 0f
I 0 pa
ra Δ
t 0f
19
conhecida como a transformada de Radon da funccedilatildeo
Como as projeccedilotildees satildeo o resultado das transformadas de Radon ao longo dos
caminhos dos feixes pode-se dizer que o objetivo da tomografia eacute obter a sua inversa ou seja a
imagem reconstruiacuteda ou como no caso unidimensional a curva
(8)
Os diversos modelos utilizados para encontrar a inversa satildeo chamados de algoritmos
de reconstruccedilatildeo e como todos operam com as projeccedilotildees como entrada de dados um estudo mais
detalhado da transformada de Radon temporal e como essas projeccedilotildees variam deve ser realizado
para os casos em que a distribuiccedilatildeo de coeficientes de atenuaccedilatildeo varia tambeacutem com o tempo (caso
dinacircmico seccedilatildeo )
eacute a projeccedilatildeo bidimensional
geralmente chamada de perfil ou vista do corte O processo de aquisiccedilatildeo dos perfis eacute
chamado de escaneamento ou varredura e o conjunto de projeccedilotildees adquiridas eacute denominado
sinograma a Erro Origem da referecircncia natildeo encontrada representa o sinograma de uma imagem de
teste com um disco central
O escaneamento pode ser feito atraveacutes de aquisiccedilotildees paralelas de um uacutenico feixe
Figura 3 Sinograma constituiacutedo de 180 vistas (construiacutedo com a funccedilatildeo radon do
matlab)
20
(Parallel Beam) ou com as trajetoacuterias em forma de leque (Fan Beam) Como o sinograma eacute
resultado das transformadas de Radon ao longo dos raios pode-se dizer que o objetivo da
tomografia eacute obter a sua inversa ou seja a imagem reconstruiacuteda
representa todas as projeccedilotildees (9)
Imagem Original
22 Algoriacutetmos de Reconstruccedilatildeo
221 Filtered Back Projection (FBP)
Bracewell e Riddle em 1967 introduziram o meacutetodo chamado retroprojeccedilatildeo filtrada
(FBP) meacutetodo baseado na transformada de Fourier O FBP eacute muito utilizado devido ao baixo tempo
de processamento O teorema das projeccedilotildees tambeacutem chamado de teorema do corte central (Central
Slice Theorem - CST) facilita o processo Esse diz que uma transformada 1D de Fourier da
transformada de Radon da funccedilatildeo corresponde agrave transformada 2D de Fourier da funccedilatildeo Ou seja
realizando a transformada de Fourier das projeccedilotildees chega-se ao espaccedilo de frequecircncias da
distribuiccedilatildeo de densidades que se desejam descobrir No espaccedilo de frequecircncias satildeo realizadas as
operaccedilotildees de filtragem e a transformada 2D inversa retorna a imagem reconstruiacuteda O FBP eacute
resumido nos seguintes passos
1 Calcular a transformada de Fourier unidimensional das projeccedilotildees chegando ao domiacutenio de
frequecircncias
2 Filtrar as projeccedilotildees transformadas com um filtro passa baixa (Shepp-Logan Hann
Hamming etc)
3 Colocar as projeccedilotildees filtradas em um grid polar Cada projeccedilatildeo em seu acircngulo
correspondente
4 Reamostrar estas em um grid cartesiano com interpolaccedilatildeo (linear nearest Splines etc)
5 Calcular a transformada 2D de Fourier inversa chegando-se agrave imagem reconstruiacuteda
21
222 ART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica)
Os primeiros estudos sobre teacutecnicas algeacutebricas em TC foram feitos por Gordon e
Herman (HERMAN G T GORDON R 1971) Apesar de ser mais intuitiva e simples que os
meacutetodos de transformada essa teacutecnica deixa a desejar no que se refere a precisatildeo e tempo de
processamento Fazendo com que os meacutetodos de transformada fossem inicialmente mais utilizados
principalmente na aacuterea meacutedica onde um grande nuacutemero de dados eacute processado No entanto para
experimentos em que o nuacutemero de projeccedilotildees eacute limitado ou tenha uma distribuiccedilatildeo natildeo uniforme o
meacutetodo de transformada torna-se inviaacutevel
Meacutetodos algeacutebricos ou de expansatildeo de seacuteries discretizam a secccedilatildeo irradiada em uma
matriz de incoacutegnitas (pixels) que representam a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de densidades μ (x y) como
ilustra a Figura 4 Apoacutes as varreduras um sistema de equaccedilotildees resultantes da relaccedilatildeo de Beer-
Lambert eacute criado e sua resoluccedilatildeo corresponde agrave inversa de Radon Devido agraves caracteriacutesticas desse
sistema meacutetodos indiretos satildeo aconselhados e dentre os indiretos o meacutetodo das projeccedilotildees de
Kaczmarz tem convergecircncia garantida (KACZMARZ 1937) As teacutecnicas iterativas satildeo resumidas
basicamente em quatro passos criaccedilatildeo da imagem inicial caacutelculo das correccedilotildees aplicaccedilatildeo das
correccedilotildees e o teste de convergecircncia Estes algoritmos diferem na maneira como as correccedilotildees satildeo
calculadas e aplicadas (SUBBARAO 1997) Neste trabalho eacute utilizada a teacutecnica algeacutebrica ART
Nessa representaccedilatildeo um raio corresponde a uma faixa com largura que na maioria das vezes
coincide com a largura de um pixel
22
O processo pode ser resumido em
1) Criar uma matriz imagem inicial com N elementos parametrizados em geralmente aleatoacuterios
ou nulos Esse eacute o iniacutecio da 1ordf iteraccedilatildeo ( =1)
2) Calcular as projeccedilotildees para todos os raios atraveacutes da foacutermula
(10)
3) Para cada raio calcular a diferenccedila entre a projeccedilatildeo original e a reconstruiacuteda 4)
Calcular o somatoacuterio de todos pesos ao longo de cada raio
(11)
5) Obter a correccedilatildeo para cada raio
23
(12)
6) Aplicar a correccedilatildeo a cada ceacutelula
(13)
onde eacute um paracircmetro de relaxaccedilatildeo entre 0 e 2
7) Repetir os passos 2 ao 6 para todos os raios
8) Achar a soma da convergecircncia de todos os pixels da imagem
(14)
9) Finalizar a iteraccedilatildeo
As iteraccedilotildees satildeo finalizadas quando chegar a um valor preacute - estabelecido Muitos autores
estabelecem um criteacuterio de Caso o criteacuterio natildeo tenha sido cumprido uma nova
iteraccedilatildeo eacute iniciada no passo 2
O ART frequentemente sofre de ruiacutedos tipo sal e pimenta (salt and pepper noise)
causados pelas inconsistecircncias introduzidas no conjunto de equaccedilotildees por aproximaccedilotildees nos O
efeito eacute exacerbado porque cada pixel ao longo de um raio eacute alterado assim que a projeccedilatildeo eacute
calculada mudando seus valores antes que outro raio o faccedila Tanto o ruiacutedo quando a taxa de
convergecircncia do meacutetodo dependem do paracircmetro de relaxaccedilatildeo utilizado escolhido empiricamente
(geralmente entre 0 e 2) (KAK 1989)
223 MART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica com Correccedilatildeo Multiplicativa)
Vaacuterios estudos apontam o meacutetodo como raacutepido mais flexiacutevel e de melhor acuraacutecia
que o ART Sendo indicado principalmente para casos de um nuacutemero limitado de dados
(VERHOEVEN 1993) A teacutecnica eacute semelhante ao ART com mudanccedila apenas no fator de correccedilatildeo
24
expresso pela equaccedilatildeo 15
(15)
23 O Caso Dinacircmico
De um modo geral imagiologia dinacircmica CT tem como objetivo reconstruir sequecircncias de
imagens em que a natureza dinacircmica do objeto tomografado eacute de interesse primaacuterio permitindo o
registro de mudanccedilas temporais na distribuiccedilatildeo do coeficiente de atenuaccedilatildeo linear Entende-se como
caso estaacutetico a situaccedilatildeo em que o objeto tem distribuiccedilatildeo de atenuaccedilotildees fixa na regiatildeo de
estudo ao longo do tempo Algoritmos de reconstruccedilatildeo tomograacutefica utilizam como dados de entrada
as projeccedilotildees unidimensionais tomograacuteficas Cada projeccedilatildeo eacute adquirida atraveacutes das aquisiccedilotildees de
intensidades inicial e final ao longo do raio na direccedilatildeo
O escaneamento pode ser feito atraveacutes de aquisiccedilotildees paralelas de um uacutenico feixe (Parallel
Beam) ou com as trajetoacuterias em forma de leque (Fan Beam) Como o sinograma eacute resultado das
transformadas de Radon ao longo dos raios pode-se dizer que o objetivo da tomografia eacute obter a
sua inversa ou seja a imagem reconstruiacuteda ou como no caso unidimensional a curva
(KAK A C SLANEY M 1999)
(16)
Historicamente a CT dinacircmica no contexto meacutedico refere-se a algoritmos de imagem que
tentam corrigir movimentos formando uma imagem de alta qualidade estaacutetica atraveacutes da remoccedilatildeo
do componente dinacircmico Diferentemente da aacuterea meacutedica as imagens reconstruiacutedas de fluxos
multifaacutesicos oriundas de relativa baixa resoluccedilatildeo temporal trazem informaccedilotildees importantes da
mudanccedila do fluxo ao longo do tempo (MyersG R Kingston A M 2011) O objetivo da
tomografia neste caso eacute determinar a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de atenuaccedilatildeo
No caso CT de 1ordf 3ordf geraccedilotildees aplicados a distribuiccedilotildees dinacircmicas uma uacutenica imagem
representativa de todo o processo (reconstruiacuteda por processos desenvolvidos para distribuiccedilotildees
25
estaacuteticas) eacute o resultado final da tomografia (BARTHOLOMEW CASAGRANDE 1957) (AZZI et
al 1991) (YIN et al 2002)(DAHAN A et al 2007) (DUDUKOVIC 2007) (DANTAS CC et
al 2007) (SALVADOR P A V 2010) (MESQUITA C et al 2011) A funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de
atenuaccedilotildees passa a ser uma aproximaccedilatildeo
Esta aproximaccedilatildeo eacute devido a projeccedilotildees natildeo compatiacuteveis no sinograma (tambeacutem chamado de
) (BONNET S 2003) As projeccedilotildees agora tornam-se incompatiacuteveis
devido as diferentes distribuiccedilotildees que ocorreram durante o intervalo de tempo [0 t]
24 Reconstruccedilatildeo com Correccedilatildeo de Movimento
A reduccedilatildeo de artefatos de movimento em imagens tomograacuteficas eacute um problema
crucial em oacutergatildeos de um forte caraacuteter dinacircmico como por exemplo os pulmotildees ou o coraccedilatildeo Uma
maneira simples de reduzir esses artefatos eacute limitar o tempo de aquisiccedilatildeo usando tomografia ultra ndash
raacutepida (5ordf geraccedilatildeo)
Aqui considera-se uma outra abordagem em que os modelos de movimento satildeo
integrados diretamente ao processo de reconstruccedilatildeo e onde a resoluccedilatildeo temporal pode assim ser
significativamente aumentada Os meacutetodos podem ser algeacutebricos (GILLAND et al 2002 1996 DE
MURCIA BLONDE et al 2003) ou analiacuteticos ( BONNET et al 2003)
A teacutecnica de compensaccedilatildeo de movimento utilizada neste estudo utiliza um modelo
de transformaccedilatildeo da matriz de pesos A dividindo-a em submatrizes tendo suas colunas deslocadas
adequadamente de acordo com o modelo de movimento obtido a cada projeccedilatildeo (PENGPAN et al
2011) Por esse motivo o vetor deslocamento do movimento deve ser calculado a cada projeccedilatildeo
Para uma grande quantidade de dados necessaacuterios em estudos dinacircmicos na aacuterea
meacutedica abordagens analiacuteticas que levam a algoritmos de reconstruccedilatildeo diretos satildeo mais apropriadas
Alguns meacutetodos satildeo aproximaccedilotildees adaptadas para uso geral do tipo de movimento mas amplitude
moderada (RITCHIE et al 1996 GRANGEAT et al 2002)
No trabalho desenvolvido foca-se a situaccedilatildeo em que um pequeno nuacutemero de dados eacute
26
disponibilizado devido a natureza da aplicaccedilatildeo Salienta-se que a compensaccedilatildeo de movimento
ocorre com a aplicaccedilatildeo da mesma quantidade de movimento (obtida previamente ou durante a
reconstruccedilatildeo) agrave matriz A
A funccedilatildeo em um instante de tempo t pode ser encontrada com a aplicaccedilatildeo da
deformaccedilatildeo agrave seu valor inicial
(17)
A deformaccedilatildeo pode apresentar rotaccedilatildeo e translaccedilatildeo
(18)
25 Geraccedilotildees de Tomoacutegrafos
A primeira geraccedilatildeo de tomoacutegrafos foi produzida pela EMI Mark em 1973 tendo
como desenvolvedor o engenheiro Hounsfield O sistema era composto por um uacutenico tubo de raios
X o qual produzia um uacutenico feixe ciliacutendrico que atravessava o objeto em estudo o paciente
atingindo o uacutenico detector que media a intensidade do mesmo O sistema ainda contava com um par
de colimadores (dois pequenos tubos metaacutelicos colocados apoacutes o feixe deixar a fonte e antes do
mesmo atingir o detector) para minimizar o espalhamento do feixe A fonte de raios X e o detector
se movem em sincronia e em lados opostos do paciente executando um escaneamento linear sobre a
seccedilatildeo em estudo seguido de uma rotaccedilatildeo de 1 grau e um novo escaneamento linear eacute efetuado
como ilustra a Figura 3 a)
Os tomoacutegrafos de segunda geraccedilatildeo foram desenvolvidos visando reduzir o tempo de
escaneamento minimizando a exposiccedilatildeo do paciente agrave radiaccedilatildeo e ampliando a gama de oacutergatildeos que
podem ter a seccedilatildeo transversal reconstruiacuteda Os tomoacutegrafos ainda mantiveram o movimento de
varredura linear seguida de uma rotaccedilatildeo Entretanto o feixe de raios X deixou de ser ciliacutendrico e
passou a ter formato de leque Ao inveacutes de um uacutenico detector o sistema passou a contar com vaacuterios
27
detectores alinhados de forma que possam receber todos os raios do feixe Dessa maneira o tempo
de obtenccedilatildeo de dados de uma seccedilatildeo foi reduzido de acordo
com o nuacutemero de detectores e com o acircngulo de abertura empregado como pode ser visto na Figura
3b) A terceira geraccedilatildeo de aparelhos abandonou de vez os movimentos de translaccedilatildeo do tubo de
raios X e dos detectores e passou a contar com um leque com um acircngulo maior e uma base de
detectores mais ampla em formato semi-circular O sistema passou a efetuar um movimento de 360
graus em torno da seccedilatildeo Tambeacutem eram usados colimadores antes do feixe atingir os detectores a
fim de minimizar o espalhamento dos raios X e garantir a qualidade das imagens O tempo de cada
varredura em alguns modelos comerciais passou a ser de apenas meio segundo ilustrado pela
Figura 3 c)
A quarta geraccedilatildeo de aparelhos passou a contar com um anel de detectores que
circundam toda a seccedilatildeo que possibilitou aumentar mais ainda o acircngulo do feixe de radiaccedilatildeo Os
detectores satildeo fixos e a fonte de radiaccedilatildeo rotaciona dentro do anel de detectores e ao redor do corpo
irradiado Um problema desta geraccedilatildeo diz respeito agrave recepccedilatildeo dos feixes que natildeo satildeo fixos e
dependendo do acircngulo um feixe pode atingir dois detectores ou acertar um detector apenas em uma
fraccedilatildeo ilustrado pela Figura 6d)
Como o tempo despendido para realizaccedilatildeo de movimentos mecacircnicos eacute a principal
28
limitaccedilatildeo para reduzir ainda mais os tempos de escaneamento a quinta geraccedilatildeo de aparelhos acabou
com os movimentos de translaccedilatildeo e rotaccedilatildeo da fonte e dos detectores Rachid Maad em MAAD R
2009 evita utilizar essa classificaccedilatildeo para tomoacutegrafos sem rotaccedilatildeo e translaccedilatildeo utilizados
industrialmente ficando essa classificaccedilatildeo mais utilizada em aplicaccedilotildees meacutedicas Esse utiliza o
termo geraccedilatildeo de tomografia instantacircnea para tais aparelhos representados na Figura 6e)
Na configuraccedilatildeo instantacircnea um anel de detectores estacionaacuterios e as fontes de
radiaccedilatildeo rodeiam o objeto fornecendo um arranjo fixo (sem varreduras) e mediccedilotildees instantacircneas1
Esta teacutecnica eacute muito raacutepida e pode ser usada na geraccedilatildeo de imagens em tempo real A desvantagem
eacute o custo e o problema da radiaccedilatildeo dispersa causada pela presenccedila de muacuteltiplas fontes
26 Simulaccedilatildeo de Sinogramas
Phantoms matemaacuteticos ou imagens de teste satildeo frequentemente utilizados para
avaliar a precisatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo Satildeo descritos precisamente por funccedilotildees
matemaacuteticas e suas transformadas de Radon simulam as projeccedilotildees tomograacuteficas Seus pixels satildeo as
regiotildees discretizadas e seus valores ou cores representam as densidades ou coeficientes de
atenuaccedilatildeo linear A imagem de teste (phantom) mais conhecida em reconstruccedilatildeo tomograacutefica eacute o
1 O termo instantacircneo aqui utilizado negligencia o tempo de aquisiccedilatildeo para as contagens de intensidade de radiaccedilatildeo devido ao seu baixo valor deacutecimos de segundo
29
phantom de Sheep ndash Logan Figura 7
Para calcular a projeccedilatildeo simulada somam-se os produtos das distacircncias percorridas
pelo raio em cada pixel pelo seu valor Paracircmetros do experimento tomograacutefico que se deseja
simular como a aacuterea a ser varrida densidades reais adiccedilatildeo de ruiacutedo e fotos da secccedilatildeo do objeto
podem ser incorporadas para dar mais realidade ao modelo (SUBBARAO PMV et al 1997) O
ruiacutedo obedece ao desvio padratildeo de Poisson (IAEA-TECDOC-1589 2008)
A secccedilatildeo irradiada eacute representada por uma matriz de incoacutegnitas que representam a
distribuiccedilatildeo de densidades que se deseja descobrir As incoacutegnitas satildeo os pixels da imagem
reconstruiacuteda como ilustrado na Figura 8
Nessa representaccedilatildeo um raio corresponde a uma faixa com largura que na maioria
das vezes coincide com a largura de um pixel
Figura 7 Phantom de Sheep-Logan
50 100 150 200 250
50
100
150
200
2500
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
30
Parametrizando os pixels com j variando de 1 a N e os raios com i de 1 a M podemos
escrever a transformada de Radon ao longo do raio i como
(19)
onde eacute o peso que diz o percentual de contribuiccedilatildeo de um pixel j para o raio i definido como
(20)
Uma boa aproximaccedilatildeo eacute o modelo em que a largura do feixe eacute reduzida a uma linha
reta fazendo a distacircncia percorrida por este feixe dentro do pixel
Para calcular a intensidade final para uma projeccedilatildeo i faz-se
31
(21)
Com calculado da figura e de meacutedia fixa variando a cada projeccedilatildeo
com o desvio padratildeo de Poisson para todas as projeccedilotildees
O sinograma simulado eacute construiacutedo fazendo cada elemento de sua matriz igual a
27 Fluidodinacircmica Computacional - CFD
Fluidodinacircmica computacional (Computational Fluid Dynamics - CFD) eacute o termo
dado ao grupo de teacutecnicas matemaacuteticas numeacutericas e computacionais usadas para obter visualizar e
interpretar soluccedilotildees para as equaccedilotildees de conservaccedilatildeo de grandezas fiacutesicas de interesse em um dado
escoamento A origem destas equaccedilotildees de conservaccedilatildeo eacute a teoria de Fenocircmenos de Transporte
Assim pode-se resumir CFD como o conjunto das teacutecnicas de simulaccedilatildeo computacional usadas
para predizer os fenocircmenos fiacutesicos ou fiacutesico-quiacutemicos que ocorrem em escoamentos
A Fluidodinacircmica computacional eacute uma aacuterea de grande interesse para a soluccedilatildeo de
muitos problemas praacuteticos Como exemplo podem ser citados problemas de aerodinacircmica
termodinacircmica hidraacuteulica dentre outros As anaacutelises nesta aacuterea de pesquisa podem ser
desenvolvidas com base em experimentos bem como em meacutetodos teoacutericos Dentro dos meacutetodos
teoacutericos destacam-se os meacutetodos computacionais utilizados para simulaccedilatildeo numeacuterica aplicada agrave
Dinacircmica dos Fluidos (HERCKERT M G R)
Para os escoamentos de fluidos o modelo matemaacutetico eacute estabelecido com base nas
equaccedilotildees de conservaccedilatildeo da quantidade de movimento da massa e da energia Estas equaccedilotildees
quando submetidas a condiccedilotildees de contorno e iniciais apropriadas representam matematicamente
um problema particular (SHAMES I H 1973) A soluccedilatildeo analiacutetica destas equaccedilotildees somente eacute
possiacutevel para escoamentos muito simples Para se analisar problemas reais lanccedila-se matildeo do uso dos
chamados meacutetodos numeacutericos
Nos casos de escoamentos laminares os modelos satildeo relativamente simples pois as
32
equaccedilotildees de Navier-Stokes2 conservaccedilatildeo da massa e conservaccedilatildeo de energia satildeo resolvidas
Contudo como a maioria dos escoamentos que acontecem na natureza e no meio industrial satildeo
turbulentos estes tem um alto grau de complexidade e portanto deve-se lanccedilar matildeo de modelos
matemaacuteticos de turbulecircncia acrescentando termos as equaccedilotildees anteriormente citadas Os modelos
de turbulecircncia levam em conta variaacuteveis estatiacutesticas pois escoamentos turbulentos satildeo altamente
caoacuteticos e com isto haacute a necessidade de ferramentas estatiacutesticas para representar os escoamentos
turbulentos
A Figura 9 mostra campos de velocidade e distribuiccedilatildeo de soacutelido dentro do riser com
o regime de fluxo feito por CFD (ARMSTRONG L M 2010) Uma uacutenica velocidade de injeccedilatildeo e
diferentes alturas ao longo do riser Outros exemplos satildeo ilustrados nas Figuras 10 e 11
2 satildeo equaccedilotildees diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos Permitem determinar os
campos de velocidade e de pressatildeo num escoamento
Figura 9 Distribuiccedilatildeo de velocidades e defraccedilatildeo de soacutelido para diferentes alturas
33
28 Tempo de Aquisiccedilatildeo ou Integraccedilatildeo
Detectores de radiaccedilatildeo precisam sempre de um certo tempo (tempo de integraccedilatildeo)
para obter sinal razoaacutevel dos foacutetons incidentes Isto eacute devido agrave estatiacutestica de Poisson que regula o
processo de contagem de foacutetons e pode aumentar consideravelmente a incerteza do sinal detectado
no caso de um tempo de integraccedilatildeo baixo No domiacutenio da frequecircncia a mediccedilatildeo de sinal com um
tempo de integraccedilatildeo eacute aproximadamente equivalente a multiplicar o sinal original por um filtro
passa - baixa Quando uma amostra estaacute em repouso no interior do tomoacutegrafo eacute vantajosa a
utilizaccedilatildeo de um tempo de integraccedilatildeo alto para rejeitar ruiacutedo de alta frequecircncia Para a escolha do
tempo de integraccedilatildeo ideal deve-se estabelecer um equiliacutebrio entre a velocidade da amostra e o ruiacutedo
Poisson (MAAD 2009)
29 Sistema de cores RGB
RGB eacute a abreviatura do sistema de cores aditivas formado por Vermelho (Red)
Verde (Green) e Azul (Blue) O propoacutesito principal do sistema RGB eacute a reproduccedilatildeo de cores em
dispositivos eletrocircnicos como monitores de TV e computador datashows scanners e cacircmeras
digitais assim como na fotografia tradicional Em contraposiccedilatildeo impressoras utilizam o modelo
Figura 11 Visatildeo 3D de uma distribuiccedilatildeo de fraccedilatildeode soacutelido feito por CFD
Figura 10 Secccedilatildeo comdistribuiccedilatildeo de soacutelido que
seraacute utilizada como PhantomMatemaacutetico
34
CMYK de cores subtrativas Modelos aditivos de luzes satildeo combinados de vaacuterias maneiras para
reproduzir outras cores
O modelo de cores RGB eacute baseado na teoria de visatildeo colorida tricromaacutetica de
Young-Helmholtz e no triacircngulo de cores de Maxwell O uso do modelo RGB como padratildeo para
apresentaccedilatildeo de cores na Internet tem suas raiacutezes nos padrotildees de cores de televisotildees RCA de 1953 e
no uso do padratildeo RGB nas cacircmeras LandPolaroid poacutes Edwin Land
Estas trecircs cores natildeo devem ser confundidas com os pigmentos primaacuterios Ciano
Magenta e Amarelo conhecidos no mundo das artes como ldquocores primaacuteriasrdquo jaacute que se combinam
baseadas na reflexatildeo e absorccedilatildeo de foacutetons visto que o RGB depende da emissatildeo de foacutetons de um
componente excitado a um estado de energia mais elevado (fonte emissora por exemplo o tubo de
raios catoacutedicos)
O modelo de cores RGB por si soacute natildeo define o que significa ldquovermelhordquo ldquoverderdquo ou ldquoazulrdquo
(espectroscopicamente) e entatildeo os resultados de misturaacute-los natildeo satildeo tatildeo exatos (e sim relativos na
meacutedia da percepccedilatildeo do olho humano)
Uma cor no modelo de cores RGB pode ser descrita pela indicaccedilatildeo da quantidade de
vermelho verde e azul que conteacutem Cada uma pode variar entre o miacutenimo (completamente escuro)
e maacuteximo (completamente intenso) Quando todas as cores estatildeo no miacutenimo o resultado eacute preto Se
todas estatildeo no maacuteximo o resultado eacute branco (GONZALES 2014)
Uma das representaccedilotildees mais usuais para as cores eacute a utilizaccedilatildeo da escala de 0 agrave 255
bastante encontrada na computaccedilatildeo pela conveniecircncia de se guardar cada valor de cor em 1 byte (8
bits) Assim o vermelho completamente intenso eacute representado por 255 0 0
Branco - RGB (255 255 255) Azul - RGB (0 0 255) Vermelho - RGB (255 0 0)
Verde - RGB (0 255 0)Amarelo - RGB (2552550)Magenta - RGB (2550255)
Ciano - RGB (0 255 255) Preto - RGB (0 0 0)
35
As cores satildeo complementares agraves do sistema CMYK - Ciano (Cyan) Magenta
(Magenta) Amarelo (Yellow) e Preto (blacKKey) - e a sua mistura forma a cor branca
210 MCNP
O meacutetodo Monte Carlo eacute um algoritmo numeacuterico capaz de resolver problemas fiacutesicos e
matemaacuteticos por meio de simulaccedilatildeo de variaacuteveis aleatoacuterias (SOBOL 1994 BIELAJEW 1998)
Hoje em dia o MCNP eacute uma ferramenta matemaacutetica comumente utilizada em diversos segmentos
da ciecircncia e da engenharia para simular problemas que podem ser representados por processos
estocaacutesticos Simulaccedilotildees do transporte de radiaccedilatildeo por meio deste meacutetodo e em particular na Fiacutesica
Meacutedica tecircm passado por um raacutepido crescimento nas uacuteltimas deacutecadas (YORIYAZ 2009)
O processo Monte Carlo pode ser compreendido como um meacutetodo de geraccedilatildeo de nuacutemeros
aleatoacuterios (ROBERT amp CASELLA 2004) Um gerador uniforme de nuacutemeros pseudoaleatoacuterios eacute
um algoritmo que comeccedilando com um valor inicial e uma transformaccedilatildeo produz uma sequecircncia de
valores no intervalo [0 1] tendo esta sequecircncia um comportamento de uma variaacutevel aleatoacuteria
uniforme quando comparada com um conjunto de testes aleacutem de ser independente e identicamente
distribuiacuteda (ROBERT amp CASELLA 2004) Em termos de transporte de radiaccedilatildeo o processo
estocaacutestico pode ser visto como uma famiacutelia de partiacuteculas cujas coordenadas individuais soacute mudam
aleatoriamente em cada colisatildeo O comportamento meacutedio dessas partiacuteculas eacute descrito em termos de
Figura 12Sistema RGB
36
grandezas macroscoacutepicas como fluxo ou densidade de partiacuteculas (YORIYAZ 2009)
O Monte Carlo N Particle ndash MCNP - foi criado desde a deacutecada de 50 nos Estados
Unidos sendo desenvolvido por meio do laboratoacuterio Los Alamos National Laboratory O MCNP
continua ateacute hoje sendo aperfeiccediloado tornando-se assim mais confiaacutevel e usado por muitos
pesquisadores no mundo inteiro Eacute um coacutedigo que realiza o transporte de partiacuteculas utilizando o
meacutetodo Monte Carlo com capacidade para simular necircutrons com energias entre 10-11 MeV a 20
MeV enquanto que a faixa de energia para os foacutetons e eleacutetrons vai de 1 keV a 1000 MeV
(BRIESMEISTER 2000) O coacutedigo MCNP tem a capacidade de simular sistemas com geometrias
que vatildeo de superfiacutecies preacute-determinadas como esferas planos paraboloacuteides de revoluccedilatildeo cilindros
elipsoacuteides ateacute superfiacutecies bem elaboradas utilizando conjunto de pontos no espaccedilo
O pesquisador ao utilizar o MCNP constroacutei um arquivo de entrada no coacutedigo que
pode ser organizado em blocos descrevendo regiotildees envolvidas no modelo especificaccedilatildeo da
geometria por meio de superfiacutecies geomeacutetricas e suas intersecccedilotildees posiccedilatildeo e distribuiccedilatildeo energeacutetica
da fonte descriccedilatildeo dos materiais e todos os paracircmetros fiacutesicos agregados com algumas teacutecnicas de
reduccedilatildeo de variacircncia para melhorar a eficiecircncia e obter melhores resultados (BRIESMEISTER
2000) A versatilidade somado ao aspecto funcional do coacutedigo MCNP para diferentes tipos de
problemas faz com que este seja bem aceito na comunidade cientiacutefica que trabalham com transporte
de radiaccedilotildees e caacutelculos de dose
37
3 METODOLOGIA
Para descobrir ateacute onde processos tomograacuteficos de baixa resoluccedilatildeo temporal aliados
a algoritmos de reconstruccedilatildeo estaacutetica satildeo compatiacuteveis com o regime em estudo foram avaliadas
aquisiccedilotildees simuladas de 1ordf 3ordf e 5ordf geraccedilotildees tomograacuteficas A variaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo de densidades
durante a aquisiccedilatildeo faz necessaacuterio o desenvolvimento de uma versatildeo da lei de Beer-Lambert para
casos dinacircmicos seguida de sua aplicaccedilatildeo para realizar as simulaccedilotildees O meacutetodo eacute separado em duas
fases
1ordf Fase
A metodologia desenvolvida aplica primeiro o modelo de simulaccedilatildeo de sinogramas
desenvolvida analiticamente agrave primitivas matemaacuteticas e posteriormente a dados do MCNPX e CFD
1) Eacute criado um modelo de simulaccedilatildeo de sinogramas para distribuiccedilotildees
dinacircmicas utilizando a versatildeo temporal desenvolvida da lei de Beer-Lambert e da transformada de
Radon tambeacutem temporal
2) A simulaccedilatildeo eacute testada com primitivas matemaacuteticas dinacircmicas como um
ciacuterculo crescente ou transladando ou ambos A escolha eacute pautada em sua representaccedilatildeo precisa por
funccedilotildees matemaacuteticas e por representar diversos processos industriais(A simulaccedilatildeo com o disco
representa a secccedilatildeo de um cilindro ou bolha)
3) Os resultados satildeo apresentados em forma de imagens e graacuteficos A
visualizaccedilatildeo do sinograma eacute bastante utilizada para determinaccedilatildeo de caracteriacutesticas do objeto
4) O modelo de simulaccedilatildeo eacute ao aplicado a dados do CFD
2ordf Fase
O meacutetodo desenvolvido propotildee uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens
tomograacuteficas de processos dinacircmicos pois utiliza canais de cores para mostrar a evoluccedilatildeo temporal
do processo O algoriacutetmo de reconstruccedilatildeo utilizado eacute o MART devido a sua boa performance com
nuacutemero limitado de dados
Nesta fase eacute realizada a reconstruccedilatildeo tradicional que eacute associada aos canais verde (G)
e azul (B) enquanto que o canal vermelho (R) fica responsaacutevel pela evoluccedilatildeo temporal do processo
O meacutetodo eacute descrito na seccedilatildeo 33
38
A reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento eacute utilizada com conhecimento do vetor
deslocamento meacutedio ou sua estimativa O meacutetodo escolhido modifica a matriz de pesos do
algoritmo algeacutebrico deslocando suas colunas de acordo com o modelo de movimento estimado
(ARTEMIEV V M NAUMOV A O 2006) (BUTALA 2009) (DESBAT L et al 2006)
Com o resultado das simulaccedilotildees o sistema tomograacutefico pode ser otimizado
(diminuiccedilatildeo do nuacutemero de projeccedilotildees e vistas)
31 A Transformada de Radon Temporal
regiatildeo (espaccedilo de medida) na qual seraacute feita a aquisiccedilatildeo de dados
considere a funccedilatildeo densidade onde
Neste sistema um ponto pode ser
mapeado por como
complemento unitaacuterio perpendicular a
ao longo da reta eacute dada por
(22)
39
depende natildeo apenas de x e y mas de com sendo a
variaacutevel tempo Definimos entatildeo
(23)
onde e o tempo final da mesma medida
Lema 1 ou seja se eacute
estaacutetico ao longo do tempo a transformada dinacircmica reduz-se a convencional
Demostraccedilatildeo
Figura 13 Sistema de Coordenadas
θ
x
y
ξξ
s
x (xy
)
40
Lema 2 e portanto se a
leitura for ldquoraacutepidardquo o caso dinacircmico mais uma vez reduz-se ao caso estaacutetico
Demostraccedilatildeo
Pelo teorema do valor meacutedio integral (TVMI) temos que se f eacute contiacutenua entatildeo
para algum tal que
usando o TVMI
K(γ)
41
32 Lei de Beer-Lambert temporal
Como a natureza da lei exige que os tempos de contagens sejam iguais para que estas
sejam comparadas apenas a variaccedilatildeo da intensidade da radiaccedilatildeo com a distacircncia eacute geralmente
explorada Sabendo que esses intervalos de tempo de contagem satildeo despreziacuteveis em relaccedilatildeo ao
tempo de meia vida da fonte e que a probabilidade de emissatildeo se manteacutem constante ao longo do
mesmo tempo pode-se supor que a intensidade seja diretamente proporcional ao tempo Ou seja
(24)
Neste caso a distribuiccedilatildeo de coeficientes de atenuaccedilotildees varia tambeacutem com o tempo
ou seja torna-se
(25)
ou
(26)
O modelo discreto aplica a lei de Beer-Lambert em sua forma estaacutetica para cada
particcedilatildeo de tempo assumindo que durante o infinitesimal de tempo o coeficiente e a distacircncia
percorrida permanecem constantes
(27)
42
(28)
33 Simulaccedilatildeo de aquisiccedilotildees Tomograacuteficas
O processo de aquisiccedilatildeo tomograacutefica consiste em coletar intensidades iniciais e finais
em determinados caminhos percorridos pelos feixes de radiaccedilatildeo Os dados podem ser tratados com
filtros etc Optou-se em natildeo realizar tratamento para natildeo inserir mais variaacuteveis ao processo
garantindo que os resultados sejam alcanccedilados soacute pelo meacutetodo proposto
Como jaacute foi dito na seccedilatildeo 26 para calcular a intensidade final para um caminho i
faz-se
(29)
A funccedilatildeo eacute representada pelas imagens de testes chamadas neste trabalho de
quadros ou frames configurados pela distribuiccedilatildeo de densidades escolhida Em todos os casos
optou-se por densidades unitaacuterias para qualquer distribuiccedilatildeo ou seja dois valores satildeo possiacuteveis em
uma imagem de teste 0 ou 1 Um pixel com valor 0 corresponde a uma regiatildeo sem atenuaccedilatildeo e os
pixels que compotildeem o objeto simulado tem valor 1
Com calculado da figura e de meacutedia fixa variando a cada projeccedilatildeo
com o desvio padratildeo de Poisson para todas as projeccedilotildees as projeccedilotildees satildeo calculadas com
O conjunto de todas as projeccedilotildees eacute ordenado em uma matriz chamada de sinograma
331 Aquisiccedilatildeo por Tomografia de 1ordf Geraccedilatildeo
Dois tipos de situaccedilotildees podem ocorrer
1) Uma uacutenica projeccedilatildeo 1D eacute realizada e durante todo o tempo de integraccedilatildeo nenhuma
mudanccedila ocorre na distribuiccedilatildeo ao longo do raio podendo mais de uma aquisiccedilatildeo 1D ser aferida
para mesma distribuiccedilatildeo ou frame Neste caso a intensidade final eacute calculada utilizando a lei de
43
Beer-Lambert durante todo o tempo de integraccedilatildeo para cada raio como ilustrado na Figura 15
Para calcular a intensidade final para uma projeccedilatildeo i faz-se
(30)
2) Durante a aquisiccedilatildeo ocorre mudanccedila na distribuiccedilatildeo de densidades ao longo do
feixe Como foi exposto na seccedilatildeo 31 o somatoacuterio de intensidades finais do raio em cada quadro
(frame) retorna a intensidade final total para um certo tempo de aquisiccedilatildeo Figura 16
Figura 15 Projeccedilotildees 1D sem mudanccedila de frame
44
Entatildeo para cada frame eacute feita
e para a discretizaccedilatildeo de um intervalo de tempo
No exemplo ilustrado na Figura 16 a intensidade final depois do tempo de integraccedilatildeo
correspondente ao frame b fica
3) Natildeo ocorre mudanccedila na distribuiccedilatildeo durante toda a coleta de aquisiccedilotildees 1D em uma vista
4) Natildeo ocorre mudanccedila durante a aquisiccedilatildeo de todas as vistas Neste caso a distribuiccedilatildeo pode
ser tratada como estaacutetica
Figura 16 Projeccedilotildees 1D com mudanccedila de frame
1ordf aquisiccedilatildeo - Quadro a 1ordf aquisiccedilatildeo - Quadro b
45
332 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 3ordf geraccedilatildeo
A vantagem do meacutetodo eacute adquirir vaacuterias projeccedilotildees 1D ao mesmo tempo
Possibilitando um maior volume de dados em um tempo menor quando comparado ao de 1ordf
geraccedilatildeo Dois casos satildeo possiacuteveis
1) O tempo de integraccedilatildeo eacute suficiente para realizar uma vista completa ou mais por
quadro ou frame Figura 17
Figura 17 Mais de uma vista por frame
46
2) Mais de um quadro por vista Figura 18
333 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 5ordf geraccedilatildeo
Nesta situaccedilatildeo vaacuterias vistas satildeo adquiridas durante a mudanccedila da distribuiccedilatildeo Figura 19
Figura 19 Mais de um frame durante a aquisiccedilatildeo
Figura 18 Mais de um frame por vista
47
34 Posicionamento angular
O posicionamento angular tradicionalmente eacute feito com um conjunto de acircngulos
igualmente espaccedilados ordenados de forma crescente cobrindo o intervalo de 0ordm a 180ordm ou 360ordm A
ordem em que as projeccedilotildees ou vistas satildeo adquiridas natildeo importa porque o objeto em estudo eacute
estaacutetico
A proposta para tomografia dinacircmica de 1ordf e 3ordf geraccedilotildees eacute que o posicionamento seja
feito em subconjuntos que completem um ciclo Por exemplo o conjunto de vistas posicionadas
consecutivamente em 0ordm 45ordm 90ordm 135ordm 180ordm 225ordm 270ordm 315ordm pode ser reordenada em ciclos como
0ordm 90ordm 180ordm 270ordm Primeiro ciclo
45ordm 135ordm 225ordm 315ordm Segundo ciclo
A vantagem desse arranjo eacute que num determinado momento ao se preferir um
sinograma completo mas esparso em contraposiccedilatildeo a um sinograma incompleto mas denso eacute que as
informaccedilotildees vatildeo ser disponibilizadas na forma de imagem reconstruiacuteda mais cedo durante o
processo facilitando a interpretaccedilatildeo das informaccedilotildees Eacute uma escolha entre anaacutelise global esparsa
versus anaacutelise local densa
A nova ordenaccedilatildeo gera uma imagem reconstruiacuteda mais proacutexima do objeto dinacircmico e
abre a possibilidade de reconstruccedilotildees parciais com os subconjuntos de dados mais consistentes com
a dinacircmica do processo
35 Utilizaccedilatildeo de um canal de cores para visualizar a dinacircmica do processo Reconstruccedilatildeo RGB
Uma caracteriacutestica da imagem reconstruiacuteda tradicionalmente em processos
industriais dinacircmicos eacute a falta de informaccedilatildeo temporal ou seja obtecircm-se informaccedilotildees da meacutedia da
distribuiccedilatildeo mas natildeo se sabe em que tempo ocorreram as mudanccedilas de padratildeo de fluxo A proposta
desenvolvida neste trabalho pondera cada perfil adquirido com um fator dependente do tempo
criando esta distinccedilatildeo
O meacutetodo desenvolvido propotildee uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens
tomograacuteficas de processos dinacircmicos pois utiliza canais de cores para mostrar a evoluccedilatildeo temporal
do processo Nesta fase eacute realizada a reconstruccedilatildeo tradicional e a mesma eacute associada aos canais
verde (G) e azul (B) enquanto que ao canal vermelho (R) eacute associada a evoluccedilatildeo temporal do
processo Uma cor no modelo de cores RGB pode ser descrita pela indicaccedilatildeo da quantidade de
48
vermelho verde e azul que conteacutem Cada uma pode variar entre o miacutenimo (completamente escuro)
e maacuteximo (completamente intenso) Quando todas as cores estatildeo no miacutenimo o resultado eacute preto Se
todas estatildeo no maacuteximo o resultado eacute branco Uma das representaccedilotildees mais usuais para os canais eacute a
utilizaccedilatildeo da escala de 0 agrave 255 (GONZALES 2014)
O meacutetodo consiste em
1) Simular as projeccedilotildees que equivalem na utilizaccedilatildeo real de um experimento agrave
coleta de dados de intensidades finais e iniciais pelo detetor
2) Reconstruir com esses dados a distribuiccedilatildeo de densidades Foi utilizado o MART
com relaxaccedilatildeo 02 e criteacuterio de parada 1
3) Associar esta reconstruccedilatildeo aos canais G e B
4) Binarizar a imagem reconstruiacuteda entre 0 e 150 O limiar (threshold) utilizado foi
empiacuterico e de 50 do maior valor da imagem
5) Penalizar as projeccedilotildees da primeira agrave uacuteltima com um fator empiacuterico crescente com
o tempo Normalizar as projeccedilotildees de cada vista por 105
6) Realizar a retroprojeccedilatildeo nos pixels com suas respectivas projeccedilotildees
7) Associar ao canal R
8) Juntar todos os canais em uma uacutenica imagem A reconstruccedilatildeo tradicional e a
reconstruccedilatildeo RGB satildeo visualizadas em uma uacutenica imagem onde os tons de vermelho correspondem
agrave evoluccedilatildeo temporal da dinacircmica do processo
36 Reconstruccedilatildeo utilizando dados do CFD
Dados da simulaccedilatildeo de fluxo bifaacutesico satildeo gerados em forma de imagens 2D da distribuiccedilatildeo
em secccedilotildees transversais ao longo do tubo Os dados satildeo coletados para uma uacutenica altura ou seja
secccedilatildeo As diversas imagens de uma uacutenica secccedilatildeo representam a evoluccedilatildeo temporal do fluxo
naquela regiatildeo O conjunto de 8 imagens exemplificam o comportamento do fluxo em intervalos
de tempo de 00025s
A altura da secccedilatildeo em m o tipo de injetor a vazatildeo volumeacutetrica em Lmim e o fluxo de
catalisador satildeo dados de entrada na simulaccedilatildeo do CFD mas natildeo fazem parte das simulaccedilotildees de
aquisiccedilotildees tomograacuteficas utilizadas nesse estudo As imagens portam as informaccedilotildees que seratildeo
utilizadas nas simulaccedilotildees de aquisiccedilatildeo das projeccedilotildees
49
37 Avaliaccedilatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo com RMSE
As teacutecnicas de avaliaccedilatildeo de algoritmos de reconstruccedilatildeo mais utilizadas na literatura
satildeo raiz do erro quadraacutetico meacutedio erro meacutedio relativo absoluto e erros baseados em entropia Para
o caso de simulaccedilotildees com figuras de testes bem definidas (phantoms matemaacuteticos) as teacutecnicas
podem ser aplicadas comparando a imagem reconstruiacuteda com a imagem original O mesmo
procedimento repete-se para phantoms reais onde a distribuiccedilatildeo de densidades eacute bem conhecida Os
sinogramas tambeacutem podem ser avaliados
Gordon e Herman (GORDON 1974 HERMAN 1973 HERMAN 1976) usaram a
raiz do erro quadraacutetico meacutedio para avaliar o quanto a figura reconstruiacuteda aproxima-se da original A
definiccedilatildeo do erro eacute
(31)
Onde
eacute o valor original do pixel
o pixel reconstruiacutedo
o nuacutemero total de pixels da imagem ou sinograma
50
38 Algoritmos e Software Desenvolvidos
Diversas rotinas foram implementadas no Matlab Suas funccedilotildees satildeo para calculo de
projeccedilotildees sinogramas resoluccedilatildeo por ART MART calculo da Matriz de pesos resoluccedilatildeo de
sistemas Aleacutem das jaacute disponiacuteveis no programa como Resoluccedilatildeo por FBP filtros de imagem
operaccedilatildeo com matrizes visualizaccedilatildeo de graacuteficos etc As rotinas estatildeo disponiacuteveis no Anexo-I
Devido agrave grande dimensatildeo da matriz de pesos nos algoritmos algeacutebricos ficou
inviaacutevel sua operaccedilatildeo em alguns casos no Matlab O software Tomography Workstation-TW foi
desenvolvido em C com este propoacutesito Apresenta opccedilotildees de reconstruccedilatildeo ART MART SIRT e
SART Figura 39 Tambeacutem tem as funccedilotildees para carregar tomogramas e sinogramas
Figura 20 Software Desenvolvido
51
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO
Os resultados foram divididos nas seguintes seccedilotildees
bull Aumento do nuacutemero de iteraccedilotildees na Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica Dinacircmica
bull Resultados das reconstruccedilotildees MART e FBP
bull Escolha do posicionamento angular (vistas alternadas)
bull Resultados com reconstruccedilatildeo RGB
bull Simulaccedilotildees com MCNP
bull Reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento
bull Simulaccedilotildees tomograacuteficas a partir do CFD
41 Resultados das Reconstruccedilotildees MART e FBP
As imagens de teste (phantoms) foram utilizadas para avaliar os resultados das
reconstruccedilotildees MART e FBP
411 Primitiva Ciacuterculo Transladando 1 vista por frame
A simulaccedilatildeo consiste em oito distribuiccedilotildees representadas por imagens (quadros ou
frames) de 64x64 pixels com um disco de densidade unitaacuteria e raio fixo Natildeo ocorre mudanccedila
durante a simulaccedilatildeo de uma aquisiccedilatildeo ou varredura Esta aplicaccedilatildeo simula as tomografias de 1ordf e 3ordf
geraccedilatildeo
O disco Raio = 2 pixels deslocamento de 7 pixels entre os centros dos discos de
quadros consecutivos A imagem eacute reconstruiacuteda por FBP e MART
Os frames satildeo ilustrados na Figura 21 e a meacutedia dos oito na Figura 22 Cada imagem
eacute ilustrada na escala de 64 x 64 pixels
52
Figura 21 8 frames - ciacuterculo transladando - 1 vista por frame
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 22 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
53
Os oito picos do sinograma Figura 23 ilustram a captura do disco em diferentes
posiccedilotildees
A Figura 24 ilustra o sinograma em forma de imagem onde cada valor de pixel eacute
convertido para uma escala de cor O eixo vertical (linhas do sinograma) representa a passo linear
(posiccedilatildeo das trajetoacuterias dos feixes) e o horizontal o passo angular (Nuacutemero de vistas)
Figura 23 Tomograma e sinograma ndash circulo transladando ndash 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
05
1
15
2
25
3
35
4
45
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 700
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
54
Os resultados das reconstruccedilotildees FBP e MART satildeo ilustrados na Figura 25
A reconstruccedilatildeo por FBP mostra diversos artefatos natildeo dando para identificar o
nuacutecleo nem a tendecircncia de movimento Os artefatos formam oito faixas um para cada vista ou
projeccedilatildeo Estes artefatos em faixa satildeo comuns no FBP para um baixo nuacutemero de vistas
O MART difere da imagem meacutedia mostrando um arqueamento para direita devido ao
movimento simulado e o sentido anti-horaacuterio das aquisiccedilotildees Eacute um artefato de movimento
Figura 25 Reconstruccedilotildees circulo transladando ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Figura 24 Sinogramascirculo transladando ndash 1 vista por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
55
412 Primitiva Ciacuterculo Transladando Oito vistas por frame
O objetivo desta simulaccedilatildeo eacute descobrir como se comportam os algoritmos em uma
tomografia de 5ordf geraccedilatildeo onde todas as aquisiccedilotildees satildeo realizadas ao mesmo tempo Nesta situaccedilatildeo
as oito vistas satildeo realizadas simultaneamente enquanto ocorre a mudanccedila das distribuiccedilotildees (Figura
19) Figuras com 64x64 pixels raio fixo de 2 pixels deslocamento de 5 pixels
Figura 26 Tomograma e Sinograma - disco transladando - 8 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
05
1
15
2
25
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 7001
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
56
Os resultados das reconstruccedilotildees satildeo ilustrados na Figura 28
As reconstruccedilotildees ficam mais proacuteximas da imagem meacutedia porque todas as vistas satildeo
adquiridas ao mesmo tempo durante todo o processo O FBP perde a definiccedilatildeo dos discos e forma
um artefato central vertical O MART reconstroacutei o disco nas oito posiccedilotildees Cada disco eacute
reconstruiacutedo ilustrando os oito instantes de tempo que foram simulados
Figura 27 Sinogramas CiacuterculoTransladando -Oito vistas por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Figura 28 Reconstruccedilotildees Ciacuterculo Transladando -Oito vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
57
413 Primitiva Circulo Crescente Uma vista por frame
A simulaccedilatildeo consiste em oito distribuiccedilotildees em forma de ciacuterculo concecircntricas com um
aumento 2 pixels entre distribuiccedilotildees consecutivas (Figura 29) Oito vistas satildeo adquiridas
simultaneamente para simular a tomografia de 5ordf geraccedilatildeo
Abaixo a imagem meacutedia aritmeacutetica das oito distribuiccedilotildees eacute ilustrada na Figura 29 A
aacuterea central eacute mais escura porque eacute coincidente para os oito ciacuterculos
Figura 30 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Figura 29 8 frames - circulo crescente - 1 vista por frame
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
58
Tanto o sinograma quanto o tomograma ilustram o crescimento do disco Figura
411
Figura 31 Tomograma e sinograma - ciacuterculo crescente - 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 700
10
20
30
40
50
60
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
59
O sinograma em forma de imagem eacute mostrado abaixo (Figura 32)
O aumento vertical das faixas eacute devido ao crescimento do disco
As duas reconstruccedilotildees apresentam artefatos de rotaccedilatildeo que dificultam a identificaccedilatildeo
da tendecircncia de movimento ou da distribuiccedilatildeo espacial dos discos (Figura 33)
Figura 32 Imagem do sinograma -ciacuterculo crescente - 1 vista por frame
Sinograma
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
Figura 33 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
60
414 Primitiva Circulo Crescente Oito vistas por frame
Neste caso ocorre mudanccedila de frame com a vista Para cada distribuiccedilatildeo tem-se uma
vista diferente Figura 34
Figura 34 Tomograma e sinograma - circulo crescente - 8 vista por frame
29 30 31 32 33 340
05
1
15
2
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3701
02
03
04
05
06
07
08
09
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
61
A posiccedilatildeo central que eacute comum a todos os frames eacute reconstruiacuteda nos dois casos O
FBP mostra a presenccedila de artefatos de Moireacute (Figura 36) O MART mostra poucos artefatos e
mostra uma regiatildeo borrada ao redor do ciacuterculo central indicando os discos maiores
Figura 35 Sinogramas circulo crescente ndash 8vistas por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Figura 36 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 8 vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
62
42 Vistas Alternadas
Alguns testes foram realizados para estudar o posicionamento angular quando
ordenado de forma sequencial e alternada O conjunto de vistas posicionadas consecutivamente em
0ordm 45ordm 90ordm 135ordm 180ordm 225ordm 270ordm 315ordm foram reordenadas em dois ciclos
0ordm 90ordm 180ordm 270ordm para o primeiro ciclo
45ordm 135ordm 225ordm 315ordm para o segundo ciclo
As seguintes situaccedilotildees foram exploradas
Disco transladando - 1 Vista por frame
Cada distribuiccedilatildeo (quadro) eacute capturado em um instante de tempo diferente Os
acircngulos utilizados em cada quadro satildeo apresentados na Tabela 1
Tabela 1 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 1 vista por frame
Quadro 1ordm 2ordm 3ordm 4ordm 5ordm 6ordm 7ordm 8ordm
Vista 0ordm 90ordm 180ordm 270ordm 45ordm 135ordm 225ordm 315ordm
Reconstruccedilotildees
Figura 37 Reconstruccedilotildees disco transladando - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
63
Dois ciclos satildeo suficientes para natildeo formaccedilatildeo do artefato de rotaccedilatildeo (arqueamento)
A reconstruccedilatildeo com vistas alternadas mostra-se mais coerente com a imagem meacutedia (Figura 37)
Disco transladando - 2 Vistas por frame
Com duas vistas por quadro totaliza-se quatro quadros A associaccedilatildeo eacute ilustrada na
Tabela 2
Tabela 2 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 2 vistas por frame
Quadro 1ordm 2ordm 3ordm 4ordm
Vista 0ordm e 45ordm 90ordm e 135ordm 180ordm e 225ordm 270ordm e 315ordm
A reconstruccedilatildeo encontra-se mais proacutexima da imagem meacutedia do que na situaccedilatildeo com
vista sucessivas (Figura 38)
Disco Transladando - 4 Vistas por frame
Apenas dois quadros satildeo suficientes Tabela 3
Tabela 3 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 4 vistas por frame
Quadro 1ordm 2ordm
Vista 0ordm 90ordm 180ordm e 270ordm 45ordm 135ordm 225ordm 315ordm
Figura 38 Reconstruccedilotildees disco transladando - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
64
Reconstruccedilotildees
Disco crescente - 1 Vista por frame
A configuraccedilatildeo das vistas eacute a mesma utilizada na Tabela 1 uma vista por frame
A reconstruccedilatildeo com vistas alternadas Figura 40 apresenta uma reduccedilatildeo nos artefatos
de rotaccedilatildeo mostrando uma distribuiccedilatildeo espacial mais proacutexima da imagem meacutedia (Figura 40)
Disco crescente - 2 Vistas por frame
A configuraccedilatildeo das vistas eacute mesma da Tabela-2
Figura 39 Reconstruccedilotildees disco transladando - 4 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Figura 40 Reconstruccedilotildees disco crescente - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
65
Com o aumento do nuacutemero de vistas a distribuiccedilatildeo torna-se mais central
aproximando-se da imagem meacutedia (Figura 41)
43 Resultados com RGB
As situaccedilotildees jaacute utilizadas nas seccedilotildees 41 e 42 satildeo testadas com visualizaccedilatildeo RGB
Para todos os casos a primeira reconstruccedilatildeo (MART) eacute realizada com matriz inicial de valores
unitaacuterios relaxaccedilatildeo 02 e nuacutemero de iteraccedilotildees definido pela convergecircncia de 05 e em seguida a
normalizada por 150
Os sinogramas satildeo ponderados pelo conjunto de fatores que variam de 01 a 09
linearmente espaccedilados Os valores foram escolhidos empiricamente
Em seguida eacute realizada a reconstruccedilatildeo com o sinograma jaacute ponderado e seus valores
normalizados no intervalo de 150 a 255
Figura 41 Reconstruccedilotildees disco crescente - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
66
bull Ciacuterculo transladando ndash 1 Vista por frame
Um disco para cada instante de tempo totalizando oito distribuiccedilotildees Figura 42
Para o ciacuterculo transladando verticalmente com 1 vista por frame temos um
clareamento na parte inferior da distribuiccedilatildeo indicando que esta regiatildeo traz informaccedilotildees mais
recentes (Figura 42)
A reconstruccedilatildeo com MART RGB por usar como base a distribuiccedilatildeo espacial da
reconstruccedilatildeo MART mostra o clareamento vermelho na parte inferior da figura indicando que
ocorreu movimento nesse sentido
bull Ciacuterculo transladando ndash 2 Vistas por frame
Satildeo quatro distribuiccedilotildees uma para cada instante de tempo configurando duas vistas
por frame
Figura 42 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 1 vista por frame
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
67
O clareamento do vermelho na reconstruccedilatildeo RGB indica que a parte inferior da
reconstruccedilatildeo corresponde ao uacuteltimo instante de tempo
bull Ciacuterculo transladando ndash 4 Vistas por frame
Quatro vistas por frame foram utilizadas na configuraccedilatildeo das proacuteximas trecircs situaccedilotildees
(Figura 44 Figura 45 Figura 46) O deslocamento para o disco vertical eacute utilizado com trecircs valores
distintos
A primeira situaccedilatildeo ilustra dois instantes de tempo com dois diacircmetros de distacircncia
entre os centros dos discos Figura 44
Figura 43 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
68
A proacutexima situaccedilatildeo eacute criada com 4 diacircmetros de distacircncia entre centros entre o
primeiro e segundo instantes de tempo Figura 45 Cada disco corresponde a distribuiccedilatildeo exata em
um instante
Figura 44 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 45 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
69
A terceira situaccedilatildeo visa estudar o comportamento da reconstruccedilatildeo proposta quando
haacute coincidecircncia em parte da distribuiccedilatildeo espacial Satildeo quatro instantes de tempo e uma distacircncia
com menos de um diacircmetro de distacircncia entre centros consecutivos Figura 46
bull Ciacuterculo crescente ndash duas vistas por frame
A simulaccedilatildeo totaliza 4 frames e oito vistas consecutivas Duas por frame
Apesar da situaccedilatildeo com ciacuterculo crescente e duas vistas por frame natildeo mostrar boa
reconstruccedilatildeo a imagem reconstruiacuteda difere bastante da original como jaacute mostrado na seccedilatildeo 413
tambeacutem mostra concordacircncia com os outros resultados RGB pois mostra uma regiatildeo central com
Figura 46 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 47 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo crescente - 2 vistas por frame
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
70
vermelho mais claro O clareamento deve-se a regiatildeo que eacute coincidente para todos os ciacuterculos
O problema que surge eacute que para esta situaccedilatildeo o clareamento para o vermelho criado
pela reconstruccedilatildeo RGB se confunde com a superposiccedilatildeo dos ciacuterculos da reconstruccedilatildeo tradicional
criado na regiatildeo central
44 Simulaccedilotildees com MCNPX
Os frames que anteriormente foram obtidos analiticamente com o objetivo de
encontrar as projeccedilotildees agora satildeo representados por cartotildees de entrada para o MCNPX A simulaccedilatildeo
gera como saiacuteda a intensidade relativa Foram criadas as situaccedilotildees jaacute expostas na seccedilatildeo 41 A
configuraccedilatildeo das simulaccedilotildees eacute
bull Objeto Cilindro Raio = 5cm Material Al = 000746 cm-1
bull Fonte 137Cs Atividade 5 mCi
bull Colimaccedilatildeo Pb fonte - detetor 5vmm
bull Nuacutemero de histoacuterias 100000
441 Circulo Transladando ndash 1vista por frame
Oito geometrias foram simuladas com o objetivo de encontras as projeccedilotildees
equivalentes as 8 vistas Cada vista captura o disco em um instante de tempo diferente totalizando
oito frames Na Figura 48 ilustra-se o disco (em amarelo) em diferentes posiccedilotildees com e as
respectivas a posiccedilotildees da fonte colimada indicando mudanccedila angular (em roxo e azul)
71
O meacutetodo retorna o (relaccedilatildeo entre Ifinal e o Iinicial) A matriz de intensidades relativas eacute
denominada tomograma e tem as suas colunas ordenadas por vista(Figura 49)
As projeccedilotildees satildeo encontradas fazendo e o conjunto de vistas
ordenadas em colunas eacute denominado sinograma(Figura 50)
Figura 49 Tomograma via MCNPX - 1 Vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 70
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma Por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 48 Geometria Circulo Transladando - 1 vista por frame
72
A apresentaccedilatildeo do sinograma em forma de imagem eacute ilustrada na Figura 51
Figura 50 Sinograma MCNPX - 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
1
2
3
4
5
6
Posicionamento Linear
Sinograma por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 51 Imagem de sinograma MCNPX -1 vista por frame
Sinograma MCNPX - 1 vista por frame
Vistas
Projeccedilotildees
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
73
As reconstruccedilotildees apresentaram-se similares as feitas analiticamente na seccedilatildeo 41
Formaccedilatildeo de oito artefatos em faixa no FBP e o arqueamento para esquerda indicando o sentido da
rotaccedilatildeo do tomoacutegrafo (Figura 52)
442 Circulo Transladando ndash 2 vistas por frame
Oito geometrias foram simuladas com mudanccedila no posicionamento angular apenas
quando o disco muda de posiccedilatildeo Duas vistas capturam o disco na mesma posiccedilatildeo A geometria
simulada no MCNPX eacute mostrada na Figura 53
Figura 53 Geometria circulo transladando - 2 vistas por frame
Figura 52 Reconstruccedilotildees MART e FBP ndash MCNPX ndash 1 vista por frame
FBP
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60 -06
-04
-02
0
02
04
MART
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
74
A simulaccedilatildeo retorna o seguinte tomograma Figura 54
Calculando as projeccedilotildees temos o sinograma ilustrado na Figura 55
Que visualizado em formato de imagem fica ilustrado na Figura 56
Figura 54 Tomograma MCNPX - 2 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 70
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma Por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 55 Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
1
2
3
4
5
6
Posicionamento Linear
Sinograma por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
75
As reconstruccedilotildees corresponderam as expectativas quando coincidem com as
reconstruccedilotildees simuladas analiticamente(Figura 57)
Figura 57 Reconstruccedilatildeo MART - MCNPX - 2 vistas por frameMART
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
FBP
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60 -04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
06
Figura 56 Imagem de sinograma MCNPX ndash 2vistas por frame
Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame
Vistas
Projeccedilotildees
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
76
45 Resultados com CFD
As condiccedilotildees da simulaccedilatildeo foram vazatildeo volumeacutetrica de ar eacute 500 Lmin e o fluxo de
catalisador eacute de180 kg(m2s-1) O tempo de processo foi de 10 segundos com passo de 00025
segundos
O local de leituras da fraccedilatildeo volumeacutetrica foi se encontra a uma altura de 0650
metros da base do riser feita a cada 00375 segundos durante o tempo de processo de fluidizaccedilatildeo
resultando em 268 imagens Seacuteries de oito a nove imagens da secccedilatildeo transversal satildeo utilizadas
Devido a alta resoluccedilatildeo das imagens vindas do CFD uma reduccedilatildeo foi realizada para
figuras com 64x64 pixels Figura 58
451 CFD-1 vista por frame
A sequecircncia de oito imagens em intervalos de tempos consecutivos eacute ilustrada na
Figura 59 e a imagem meacutedia na Figura 60
Figura 58 Reduccedilatildeo na resoluccedilatildeo 899x999 para 64x64
20 40 60
10
20
30
40
50
60
200 400 600 800
100
200
300
400
500
600
700
800
77
Figura 60 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
Figura 59 CFD - Frames 1 ao 8
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
78
Reconstruccedilotildees
As reconstruccedilotildees para uma vista por frame natildeo correspondem agrave realidade prevista
Figura 61 Sinogramas CFD ndash 1 vista por frame
Figura 62 Reconstruccedilotildees CFD ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo RGB
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Sinograma com Pesos
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo Mart Red
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
79
pelo CFD O pequeno nuacutemero de vistas aliado a complexidade da figura dificultam a reconstruccedilatildeo
452 CFD-8 vistas por frame
A sequecircncia de oito imagens em intervalos de tempo consecutivos eacute ilustrada na
Figura 63
A meacutedia das oito imagens Figura 63
O sinograma simulado e o mesmo ponderado satildeo mostrados na Figura 65
Figura 64 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
Figura 63 Frames 1 ao 8 CFD ndash 8 vistas por frame
80
As reconstruccedilotildees concordam com as distribuiccedilotildees quando apresentam maior
concentraccedilatildeo de soacutelido do lado direito da imagem A maior concentraccedilatildeo de pigmentaccedilatildeo vermelha
Figura 65 Sinogramas CFD - 8 vistas por frame
Figura 66 Reconstruccedilotildees CFD - 8 vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Sinograma com Pesos
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart Red
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
81
do lado direito da imagem reconstruiacuteda em RGB mostra que a distribuiccedilatildeo nesta regiatildeo eacute mais
recente O resultado tem concordacircncia com a mudanccedila de lado da distribuiccedilatildeo ao longo dos oito
frames
46 Reconstruccedilotildees com correccedilatildeo de movimento
Como a reconstruccedilatildeo com vistas alternadas eacute superior a tradicional com vistas
sucessivas utilizou-se para todas as simulaccedilotildees com correccedilatildeo de movimento o posicionamento
angular sucessivo O objetivo da escolha eacute verificar os resultados gerados soacute por correccedilatildeo da matriz
de pesos As simulaccedilotildees foram ordenadas de acordo com as situaccedilotildees jaacute exploradas e para um
instante de tempo especiacutefico
Abaixo (Figura 67 Figura 68) tem-se a configuraccedilatildeo de 4 vistas por frame
resultando em dois quadros cada um com o disco em uma posiccedilatildeo diferente A imagem tem 32x32
pixels e o deslocamento foi vertical de 5 pixels Como o nuacutemero de colunas da matriz de pesos eacute
definido pela resoluccedilatildeo da imagem o deslocamento na matriz de pesos corresponde ao vertical x
nuacutemero de elementos em uma linhaentatildeo 5 x 32 = 60 colunas para esquerda quando se quer
recuperar o primeiro instante e 60 colunas para direita no caso do segundo
Para o primeiro instante a correccedilatildeo mostra-se eficaz reconstruindo por completo a
distribuiccedilatildeo no primeiro instante de tempo Figura 67
A distribuiccedilatildeo no segundo instante eacute reconstruiacuteda com um pouco de ruiacutedo Figura 68
Figura 67 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempoImagem Meacutedia
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30Imagem Meacutedia
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
82
A situaccedilatildeo com translado horizontal eacute ilustrada na Figura 69 e Figura 70 A
reconstruccedilatildeo no primeiro instante de tempo mostra-se mais precisa Figura 69 Quatro vistas foram
utilizados por quadro com um deslocamento de 5 pixels entre eles O deslocamento de colunas eacute
realizado com o mesmo nuacutemero
Para o segundo instante Figura 70
A simulaccedilatildeo com duas vistas por frame resulta em quatro distribuiccedilotildees Figura 71
Figura 72 Figura 73 A imagem tem 64x64 pixels e o deslocamento foi vertical de 5 pixels
resultando em um deslocamento de 5 x 64 = 320 para as colunas
Figura 69 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Figura 70 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o segundo instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30
5
10
15
20
25
30
83
Para o primeiro instante de tempo temos
Para o segundo instante
Figura 71 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 72 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
20 40 60
10
20
30
40
50
60
84
e para o terceiro instante
O ruiacutedo aumenta
Ocorre o aparecimento de ruiacutedo nas reconstruccedilotildees com o aumento do tempo Este
efeito eacute devido a extrapolaccedilatildeo do deslocamento nos elementos proacuteximo as bordas da matriz de
pesos
Figura 73 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
85
5 CONCLUSOtildeES
As simulaccedilotildees analiacuteticas de primitivas matemaacuteticas foram validadas com ecircxito
quando comparadas com as mesmas realizadas por MCNPX As aquisiccedilotildees tomograacuteficas foram
simuladas mostrando a superioridade da tomografia de 5ordf geraccedilatildeo (8 vistas por frame) quando
comparada agrave de 3ordf geraccedilatildeo (uma duas e quatro vistas por frame) seccedilotildees 41 e 42 As reconstruccedilotildees
ficam mais proacuteximas da imagem meacutedia porque todas as vistas satildeo adquiridas ao mesmo tempo
durante todo o processo O FBP perde a definiccedilatildeo dos discos e forma um artefato central vertical O
MART reconstroacutei perfeitamente o disco nas oito posiccedilotildees mostrando a sua preferecircncia para um
nuacutemero limitado de dados (8 vistas) O FBP eacute bastante utilizado em tomografias meacutedicas (360
vistas ou mais) devido a baixa complexidade computacional quando comparado aos meacutetodos
algeacutebricos
Tanto o disco transladando quanto o crescente apresentam melhor performance com
o aumento do nuacutemero de vistas por distribuiccedilatildeo como pode ser visto na seccedilatildeo 41 A situaccedilatildeo em
que foi simulada uma vista por frame apresenta um artefato de movimento indicando o sentido de
rotaccedilatildeo do arranjo simulado
Os oito perfis encontrados nas simulaccedilotildees com ciacuterculo crescente mostram o aumento
do disco seccedilatildeo 413 e 414 As simulaccedilotildees para este caso reconstroem uma distribuiccedilatildeo central
distorcida pela incompatibilidade das projeccedilotildees (adquiridas em diferentes instantes de tempo) As
reconstruccedilotildees com FBP mostram-se inferiores ao MART formando artefatos de Moireacute (artefatos
estrela) em todas as reconstruccedilotildees Confirmando que estes artefatos satildeo comuns quando se utiliza o
FBP com um nuacutemero limitado de dados
Os testes com vistas alternadas mostram que essa configuraccedilatildeo eacute superior ao arranjo
sucessivo pois cobre uma aacuterea maior em um tempo menor capturando mais informaccedilotildees relativas
ao movimento (seccedilatildeo 42)
A reconstruccedilatildeo RGB inova porque mostra a evoluccedilatildeo temporal do processo com
aacutereas mais claras (vermelho claro) indicando proximidade temporal enquanto que aacutereas mais
escuras indicam tempo passado O meacutetodo mostra o clareamento no vermelho em regiotildees da figura
indicando que ocorreu movimento neste sentido Os testes com ciacuterculo transladando mostram
coerecircncia quando indicam com o vermelho mais claro as regiotildees correspondentes aos uacuteltimos
quadros O mesmo resultado eacute obtido com os dados do CFD para simulaccedilatildeo da TC de 5ordf geraccedilatildeo O
86
lado direito da imagem tem valores maiores para o vermelho coincidindo com a sequecircncia de
distribuiccedilotildees utilizada onde ocorre mudanccedila na concentraccedilatildeo do lado esquerdo para o direito Para o
ciacuterculo crescente a eficaacutecia do meacutetodo pode ser questionada pois ocorre superposiccedilatildeo das regiotildees
centrais de cada disco A aplicaccedilatildeo a dados do CFD com apenas uma vista por frame eacute ineficiente
pois a reconstruccedilatildeo RGB natildeo consegue mostrar tendecircncia de movimento A reconstruccedilatildeo tradicional
MART tambeacutem natildeo coincide com a meacutedia dos frames ou seja como o meacutetodo proposto utiliza esta
distribuiccedilatildeo espacial natildeo pode-se afirmar que a ineficiecircncia do processo seja devido unicamente a
reconstruccedilatildeo RGB
O MCNPX foi utilizado com ecircxito nas duas simulaccedilotildees propostas Sinogramas e
tomogramas satildeo coincidentes com exceccedilatildeo da escala com os mesmos encontrados por teacutecnicas
analiacuteticas
A reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento foi utilizada com ecircxito para
determinaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo no instante inicial de tempo Ocorre aparecimento de ruiacutedo com o
aumento do tempo Este efeito eacute devido a extrapolaccedilatildeo do deslocamento nos elementos proacuteximo as
bordas da matriz de pesos Salienta-se que o vetor deslocamento deve ser conhecido ou calculado
previamente Este trabalho utiliza valores jaacute determinados anteriormente nas simulaccedilotildees (distacircncia
entre discos)
O trabalho contribui para tomografia industrial porque utiliza casos comuns agrave aacuterea
como o disco transladando que eacute simulador de bolhas em colunas industriais e imagens do CFD
como phantoms para predileccedilatildeo dos perfis experimentais Contribui tambeacutem para a otimizaccedilatildeo de
paracircmetros de operaccedilatildeo tomograacutefica quando simula as aquisiccedilotildees prevendo resultados para o
experimento Indica o MART como superior ao FBP neste conjunto de dados As simulaccedilotildees
analiacuteticas de sinogramas foram validadas com ecircxito pelo MCNPX ou seja ambas podem ser
utilizadas para simulaccedilatildeo de fenocircmenos industriais Sugere tambeacutem que a TC com vistas alternadas
corresponde mais a realidade dinacircmica de uma distribuiccedilatildeo Propotildee um novo meacutetodo a
reconstruccedilatildeo RGB obtendo bons resultados apenas nas situaccedilotildees em que natildeo ocorre coincidecircncia
entre as distribuiccedilotildees de diferentes instantes de tempo
Um estudo mais detalhado dos valores empiacutericos deve ser feito para um
entendimento maior da penalizaccedilatildeo das projeccedilotildees e das situaccedilotildees em que ocorra superposiccedilatildeo de
distribuiccedilotildees
A baixa performance do FBP esperada para um baixo nuacutemero de aquisiccedilotildees indica
que testes com um nuacutemero maior de vistas devem ser realizados para o estudo dos meacutetodos
87
propostos nestas situaccedilotildees
Outro trabalho futuro eacute utilizar soluccedilotildees jaacute propostas na literatura meacutedica para
diminuiccedilatildeo de ruiacutedos e artefatos na reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento identificando o vetor
deslocamento durante o processo
Espera-se dar continuidade ao trabalho validando tambeacutem experimentalmente as
simulaccedilotildees com translado do disco (Laboratoacuterio de Radioquiacutemica ndash DEN ndash UFPE)
88
6 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
ALEXANDER B DIMITRY V VITALY V KISELEV AN Algebraic reconstruction and
post-processing in incomplete data computed tomography From X-rays to Laser Beams Jun
2007
ANDERSEN AH Algebraic reconstruction in CT from limited views IEEE transactions on
medical imaging v 8(1) p50ndash55 Jan1989
ANGELI S EFSTAHIOS S An Accelerated Algebraic Reconstruction Technique based on
the Newton-Raphson Scheme Ieee Nuclear Science Symposium Conference Record 23382ndash
3387 2009
AZZI M TULIER P BERNARD J R GARNERO L Mapping Solid Concentration in a
Circulating Fluid Bed Using Gammametry Powder Technology p27-36 1991
BENDER R GORDON R HERMAN GT Algebraic reconstruction techniques(art) for
three dimensional electron microscopy and x-ray photography J Theor Biol v29 p759ndash768
1971
BROOKS RA CHIRO G Principles of Computer Assisted Tomography ( CAT ) in
Radiographic and Radioisotopic Imaging Phis Med Biol v21 N 5 p689-732 1976
BUTALA M D KAMALABADI F FRAZIN R A Chen YldquoDynamic tomographic imaging
of the solar coronardquo IEEE J Sel Topics Signal Process vol 2 pp 755ndash7662008
CENSOR Y Finite Series-Expansion Reconstruction Methods proceedings of the ieee p71
1983
CEZARO A CEZARO FT Problemas Inversos e a matemaacutetica da tomografia
computadorizada V Bienal da SBM - Sociedade Brasileira de Matemaacutetica 2010
CRUVINEL P E Mini tomoacutegrafo de raio-x e raio gama computadorizado para aplicaccedilotildees
multidisciplinares PhD thesis Unicamp 1987
DANTAS CC MELOSM OLIVEIRA E F MAGALHAtildeES F P SANTOS M G
Measurement of density distribution of a cracking catalyst in experimental riser with a
sampling procedure for gamma ray tomography Nuclear Instruments amp Methods in Physics
Research Section B Beam Interactions with Materials and Atoms (Print) v 266 p 841-848
2008
89
DE PIERRO A R Problemas Matemaacuteticos em Tomografia por Emissatildeo Notas UNICAMP
2004
DESBAT L RIT S CLACKDOYLE R MENNESSIER C PROMAYON E
NTALAMPEKI S ldquoAlgebraic and analytic reconstruction methods for dynamic
tomography rdquo Proceedings of the 29th Annual International Conference of the IEEE EMBS Citeacute
Internationale Lyon France August 23-26 2007 ThP2B11 2007 pp 726-730
DESBAT L ROUX S GRANGEAT P ldquoCompensation of some time dependent
deformations in tomography 2 Deformations preserving the projection geometryrdquo IEEE
transactions on medical imaging vol 26 2007 pp 1-20
EARLY D S LONG DG Image Reconstruction and Enhanced Resolution Imaging from
Irregular Samples IEEE trasactions on geosciences and remote sensing 3v9(2)291ndash302 2001
FARIN G Curves and Surfaces for CAGD a Practical Guide 4th edition Academic Press-
1996
FORSYTHE GE Solving linear algebraic equations can be interesting Bulletin of the
American Mathematical Society v59(4) P299ndash330 Jul 1953
GORDON R A tutorial on art (algebraic reconstruction techniques) IEEE Trans Nucl Sci v
NS-21 p78ndash93 1974
GORDON R GUAN H A projection acess order for speedy convergence of art a multilevel
scheme for computed tomography Physics in medicine and biology p39 1994
GUAN H HERMAN G T ZHU Y Combining various projection access schemes with the
algebraic reconstruction technique for low-contrast detection in computed tomography
Physics in medicine and biology 43(8)2413ndash21 August 1998
HANSON K M WECKSONG GVW Local basis approach to computed tomography
ApplOpt v24 p4028-2039 1985
HERFFERNAN P B Robb A R Difference image reconstruction from a few projections for
nondestructive materials inspection Applied optics
HERMAN G T Iterative reconstruction algorithms Comput Biol Med v6 p273 ndash 294 1976
HERMAN G T GORDON R Reconstruction of pictures from their projections Commun
Assoc Comput Mach v14 p759ndash768 1971
HERMAN GT MEYER L B Algebraic Reconstruction Techniques Can Be Made
90
Computationally Efficient IEEE transactions on medical imaging v 12(3) 1993
IAEA-TECDOC-1589 INDUSTRIAL PROCESS GAMMA TOMOGRAPHY Final report of a
coordinated research project 2003ndash2007 May 2008
KACZMARZ S Angenaherte auflosung von systemen linearer gleichungen Bull Acad Pol
Sci Lett A vol 6-8A pp 355-357 1937
KAKA C SLANEY M Principles of Computerized tomographic imaging IEEE PRESS
1999
KALAGA D V KULKARNI A V ACHARYA R KUMAR U SINGH G JOSHI JB
Some industrial applications of gamma-ray tomography Journal of the Taiwan Institute of
Chemical Engineers 40 (2009) 602ndash612 wwwelseviercomlocatejtice
KNOLL G F Nuclear Counters Radiation-Measurement Book 2006
LUTZ PH Relaxation Methods for Image Reconstruction Communications of the ACM
v21(2) p282ndash288 1978
MARTINEZ AG Detecccedilatildeo de descontinuidades e reconstruccedilatildeo de funccedilotildees a partir de dados
espectrais filtros splines e metodos iterativos tese - UNICAMP 2006
MELO SM DANTAS CC OLIVEIRA EAL MAGALHAtildeES FP OLIVEIRA EF A FCC
catalyst gamma ray tomographic reconstruction by using non negative non parametric bezier
triangles Proceedings In 4 th International Symposion on Process Tomography in Poland p 165
Washaw 2006
MESQUITA J MATELA N OLIVEIRA N MARTINS M V Choosing the ART relaxation
parameter for Clear-PEM 2D image reconstruction Computer methods and programs in
biomedicine May 2010
MYERS G R KINGSTON A M VARSLOT T K TURNER M L SHEPPARD A
P ldquoDynamic tomography with a priori informationrdquo Applied Optics vol 50 2011 pp 3685-
3690
OLIVEIRA EF DANTAS CC MELO S B VASCONCELOS D A A ldquoCOMPARISON
AMONG TOMOGRAPHIC RECONSTRUCTION ALGORITHMSrdquo internetional nuclear
conference-INAC2011
OLIVEIRA EF DANTAS C MELO S B VASCONCELOS D A A ldquoTOMOGRAPHIC
RECONSTRUCTION WITH B-SPLINES SURFACESrdquo internetional nuclear conference-
INAC2011
91
RAMACHANDRAM G N LAKSHMINARAYANAN A V Three-dimensional
reconstruction from radiographs and electron micrographs II application of convolutions
instead of Fourier transforms Proc Natl Acad Sci US v68 p2236-2240 1971
KACZMARZ S Angenaherte auflosung von systemen linearer gleichungen Acad Pol Sci
Lett v 6-8A p355ndash357 1937
SALINA F V MASCARENHAS NDA CRUVINEL PE A Comparison of POCS
Algorithms for Tomographic Reconstruction Under Noise and Limited View Computer
Graphics and Image Processing 2002
SALVADOR P A V Anaacutelise de sistemas multifaacutesicos utilizando tomografia computadorizada
gama monoenergeacutetica e polienergeacutetica Tese IPEN-USP 2008
SERGIO N QUORIN R Diagnoacutestico de defeitos em madeira por tomografia de raios x PhD
thesis UFPR 2004
SUBBARAO P M V MUNSHI P MURALIDHAR K Performance of iterative tomographic
algorithms applied to non-destructive evaluation with limited data NDT amp Internacional
v30(6) p359ndash370 1997
TANABE K Projection method for solving a singular system Numer Math 17203ndash214 1971
TIRUNELVELI G HERMAN G T Comparison of Square-Pixel and Hexagonal-Pixel
Resolution in Image Processing Test pages 867ndash872 2002
VERHOEVEN D Limited-data computed tomography algorithms for the physical sciences
Applied Optics jul1993
WENKAI L Adaptive algebraic reconstruction technique Image (Rochester NY) v31(12)
p3222ndash3230 2004
92
ANEXO ndash I
ROTINAS DESENVOLVIDAS NO MATLAB
Rotina responsaacutevel por criar os phantoms e calcular o sinograma Tambeacutem reconstroacutei
clear
d=64Nproj=8Ntraj=dNpixel=dr=02Nit=30display(MART)chute=1I0=10^8x=1fig3=(zeros(d))teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)inc=3cont=1z=zeros(NprojNtraj1)zt=zzt1=zzt2=zztgb=zcont=1c=0teta=[teta teta]clear fig
vpf=1raio=3inc=7c=5vpf=2raio=4inc=8c=5vpf=4raio=5inc=17c=10 vpf=8raio=1inc=4vpf=4inc=1cc=0inc2=25c=10vpf=4raio=3inc=15c=0 fator=(1Nproj)(1Nproj)1fator=flipud(fator)fator=linspace(00509Nproj)a=0for n=1Nproj a=a+1 circ(n)=Circulo(d(d2)(d2)(1+c))if a==vpfa=0c=c+incend crescente circ(n)=Circulo(d5+c(d2)raio)if a==vpfa=0c=c+incend translado vertical fig=circ(n) [z]=sinograma(fig teta(n)) zr=radon(fig teta(n)Ntraj) fig3=(fig3+fig) Itred(cont)=(I0exp(-zx))n((Nproj+inc+1)-n)(nNproj)olhar sempre It(cont)=I0exp(-zx) Ir(cont)=I0exp(-zr) cont=cont+1endfig3=fig3(max(max(fig3))Nproj)tira a sobreposiccedilatildeosinot=log((I0)It)importante retirar fator caso seja utilizado tomo de 3ordfsinot=(ZeraNeg(sinot))rect=Mart2(MatparaCol(real(sinot))teta102)[c d]=size(rect)rect=ColparaMat(rect(d)NpixelNpixel)figure subplot(131)imagesc(fig3)title(Imagem Meacutedia) subplot(132)imagesc(rect)title(MART Vistas Sucessivas) subplot(133)imagesc(rect)title(MART Vistas Alternadas)
93
Rotina para Testes com reconstruccedilotildees
clear load meialuanotubo2load dadosdinamicoload dadosdinamico2dados2=dados3[Ntraj Nproj]=size(dados2) for a=1Nproj for b=1Ntraj if dados2(ab)gt1 || dados2(ab)lt10^-2 dados2(ab)=1 end endend sinograma=-(102)log(dados2)sinograma=ZeraNeg(sinograma)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj) display(FBP)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)z=sinogramarecfbp=iradon(ztetaNtraj)x=164figsino(xdados2) figsino(xsinograma) figureimagesc(sinograma)title(Sinograma MCNPX - 1 vista por frame) xlabel(Vistas)ylabel(Projeccedilotildees)
_________________________MART___________________________________________ x=[02] Nit=20r=1recmart=zeros(Npixel^2Nitlength(x)) display(MART com pesos)display(x) z=MatparaCol(sinograma) [ix iy]=GridAlg(NprojNtrajNtrajpi) [A]=pesosart(ixiyNprojNtrajNtraj) rec=Art(AzNprojNtraj5002) figure imagesc(rec)title(ART) end recfinal=ColparaMat(recmart(Nit)NpixelNpixel) figuresurf(recfinal)figureimagesc(recfinal)colorbartitle(Mart) durou=etime(clockliga)60save phantomacrilicoMart x durou recmart A _________________________ART____________________________________________ x=[02] Nit=10r=1recart=zeros(Npixel) display(ART com pesos)display(x) z=MatparaCol(sinograma) rec=Mart(AzNprojNtrajNitx) recart=ColparaMat(rec(Nit)NpixelNpixel)r=r+1 figureimagesc(recart)colorbartitle(art) __________________________________________________________________________
94
rotina para caacutelculo do sinograma
function [matriz]=sinograma(fig teta)
[a b]=size(fig)Ntraj=aNproj=size(teta2)sino=zeros(NtrajNproj)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)for i=1Nproj for j=1b sino(ji)=Project(figteta(i)j) endendmatriz=sino
function [bijtemp erromat]=Mart2(ztetachuterelax)
[a b]=size(z)Nproj=size(teta2)Ntraj=aNprojNpixel=Ntrajbijtemp=ones(Npixel^250)bijtemp(1)=chute pij=ones(size(sino))Ite=50erro=1cont=1erromat=zeros(149)for Nitera=1Ite if Nitera==25 Nitera end for i=1Nproj W=Wproj(teta(i)Npixel) pij=Wbijtemp(Nitera) for j=1Ntraj cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pij(j))pij(j) if (pij(j)==0)cor=0000000001end ind=find(W(j)) cor=correlax bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corbijtemp(indNitera)W(jind)) end end if errolt=005break end if Niteragt=2 erro=100sqrt(sum(sum(((bijtemp(Nitera)-bijtemp(Nitera-1))^2))))sum(sum(bijtemp(Nitera))) erromat(cont)=errocont=cont+1 end if (Nitera ~= Ite)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)endendbijtemp=bijtemp(1Nitera)erro
function [bijtemp erromat]=Mart2(ztetachuterelax)
[a b]=size(z)Nproj=size(teta2)Ntraj=aNprojNpixel=Ntrajbijtemp=ones(Npixel^250)bijtemp(1)=chute
95
pij=ones(size(sino))Ite=50erro=1cont=1erromat=zeros(149)for Nitera=1Ite if Nitera==25 Nitera end for i=1Nproj W=Wproj(teta(i)Npixel) pij=Wbijtemp(Nitera) for j=1Ntraj cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pij(j))pij(j) if (pij(j)==0)cor=0000000001end ind=find(W(j)) cor=correlax(i) bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corbijtemp(indNitera)W(jind)) end end if errolt=005break end if Niteragt=2 erro=100sqrt(sum(sum(((bijtemp(Nitera)-bijtemp(Nitera-1))^2))))sum(sum(bijtemp(Nitera))) erromat(cont)=errocont=cont+1 end if (Nitera ~= Ite)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)endendbijtemp=bijtemp(1Nitera)erro
function [figtemp]=BP(NprojNtrajNpixelzinterXinterYfigura)
Back projection
c=max(size(figura))
Ntraj=c
Npixel=caumenta a dimenssatildeo da figura para eliminar artefatos de rotaccedilatildeo
figtemp=zeros(c)
inter=ones(22(Npixel+1))696969
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
inter(1)=interX(((i-1)Npixel)+j)
inter(2)=interY(((i-1)Npixel)+j)
for a=12(Npixel+1)
if (inter(1a)gt=0 ampamp inter(1a)ltNpixel) ampamp (inter(2a)gt=0 ampamp
inter(2a)ltNpixel) ampamp (inter(1a+1)gt=0 ampamp inter(1a+1)lt=Npixel) ampamp
(inter(2a+1)gt=0 ampamp inter(2a+1)lt=Npixel)
dist=sqrt(((inter(1a+1)-inter(1a))^2)+((inter(2a+1)-
inter(2a))^2))
x=fix(inter(1a))y=fix(inter(2a))
if (figura(x+1y+1))gt 10^-1
figtemp(x+1y+1)=figtemp(x+1y+1)+z(Ntraj(i-1)+j)dist
end
end
end
end
end
function [bijtemp]=Art(AzNprojNtrajNitrelax)
ART aditivo com opccedilatildeo de relaxaccedilatildeo
96
[c d]=size(A)a=sqrt(d)b=a
bijtemp=zeros(b^2Nit)10
pij=zeros(b1)pijtemp=zeros(Ntraj1)convergencia=zeros(1Nit)
Projection=Nproj
for Nitera=1Nit
interaction=Nitera
for i=1Nproj
pijtemp=A((Ntraj(i-1)+1)(Ntraj(i-1)+Ntraj))bijtemp(Nitera)
for j=1Ntraj
soma=sum(A(Ntraj(i-1)+j)^2)
cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pijtemp(j))
ind=find(A(Ntraj(i-1)+j))
cor=correlaxsoma
bijtemp(indNitera)=(bijtemp(indNitera) + corA(Ntraj(i-
1)+jind))
for ii=ind
if bijtemp(iiNitera)lt0bijtemp(iiNitera)=0end
end
end
end
if (Nitera ~= Nit)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)end
if (Nitera ~= 1)convergencia(Nit)=sqrt(sum(sum(bijtemp(Nitera-1)^2
-bijtemp(Nitera)^2))sum(sum(bijtemp(Nitera)^2)))end
end
function [bijtemp]=Artfast(AzNprojNtrajNitrelax)
ART aditivo com opccedilatildeo de relaxaccedilatildeo
[c d]=size(A)a=sqrt(d)b=a
bijtemp=ones(b^2Nit)
pij=zeros(b1)pijtemp=zeros(Ntraj1)
Projection=Nproj
for Nitera=1Nit
Nitera
for i=1Nproj
pijtemp=A((Ntraj(i-1)+1)(Ntraj(i-1)+Ntraj))bijtemp(Nitera)
for j=1Ntraj
soma=sum(A(Ntraj(i-1)+j)^2)
cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pijtemp(j))
ind=find(A(Ntraj(i-1)+j))
cor=correlaxsoma
bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corA(Ntraj(i-
1)+jind))
for ii=ind
if bijtemp(iiNitera)lt0bijtemp(iiNitera)=0end
end
end
end
if (Nitera ~= Nit)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)end
end
function [interX interY]=GridAlg(NprojNtrajNpixelRangeAngular)
RangeAngular=pi
display(vc olhou pi)
rxvetor=zeros(Nproj1)
ryvetor=zeros(Nproj1)
rxpontos=zeros(NtrajNproj)
97
rypontos=zeros(NtrajNproj)
rxpontos(1)=linspace(0+(NpixelNtraj)2Npixel-(NpixelNtraj)2Ntraj)
rypontos=flipud(rypontos)
rypontos(1)=0
rxvetor(1)=0
ryvetor(1)=1
teta=RangeAngularNproj
rot=[cos(teta) -sin(teta)sin(teta) cos(teta)]
for b=2Nproj
vet=rot[rxvetor(b-1) ryvetor(b-1)]
rxvetor(b)=vet(1)
ryvetor(b)=vet(2)
end
for b=2Nproj
for a=1Ntraj
pontos=rot[rxpontos(ab-1)-(Npixel2)rypontos(ab-1)-(Npixel2)]
rxpontos(ab)=pontos(1)+(Npixel2)
rypontos(ab)=pontos(2)+(Npixel2)
end
end
clear FIG
interX=zeros(NtrajNproj2(Npixel+1))interY=interX
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
ind=1
inter=ones(22(Npixel+1))696969
if rxvetor(i)lt-10^-5 || rxvetor(i)gt10^-5
for x=0Npixel
inter(2x+1)=(ryvetor(i)rxvetor(i))(x-rxpontos(ji))
+rypontos(ji)
inter(1x+1)=x
ind=ind+1
end
end
if rxvetor(i)gt=-10^-5 ampamp rxvetor(i)lt=10^-5x=-1end
if ryvetor(i)lt-10^-5 || ryvetor(i)gt10^-5
for y=0Npixel
inter(1x+2+y)=(rxvetor(i)ryvetor(i))(y-rypontos(ji))
+rxpontos(ji)
inter(2x+2+y)=y
ind=ind+1
end
end
[inter(1) B]=sort(inter(1))
inter(2)=inter(2B)
interX(((i-1)Ntraj)+j)=inter(1)
interY(((i-1)Ntraj)+j)=inter(2)
end
end
function [A]=pesosart(interXinterYNprojNpixelNtraj)
(NprojNtraj)x(Npixel^2)lt=70000000 out of memory with space free 560000000
98
[a b]=size(interX)
Atemp=sparse(zeros(NtrajNpixel^2))
inter=ones(22(Npixel+1))696969
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
inter(1)=interX(((i-1)Ntraj)+j)
inter(2)=interY(((i-1)Ntraj)+j)
for a=12(Npixel+1)
if (inter(1a)gt=0 ampamp inter(1a)ltNpixel) ampamp (inter(2a)gt=0 ampamp
inter(2a)ltNpixel) ampamp (inter(1a+1)gt=0 ampamp inter(1a+1)lt=Npixel) ampamp
(inter(2a+1)gt=0 ampamp inter(2a+1)lt=Npixel)
dist=sqrt(((inter(1a+1)-inter(1a))^2)+((inter(2a+1)-
inter(2a))^2))
if inter(2a+1)ltinter(2a)
y=fix(inter(2a+1))
else
y=fix(inter(2a))
end
x=fix(inter(1a))
Atemp(jNpixel(Npixel-y-1)+x+1)=dist
end
end
end
if i==1
A=Atemp
else
A=[AAtemp]
end
Atemp=sparse(zeros(NtrajNpixel^2))
end
ABSTRACT
The state of the art methods applied to industrial processes is currently based on the principles ofclassical tomographic reconstructions developed for tomographic patterns of static distributions oris limited to cases of low variability of the density distribution function of the tomographed objectNoise and motion artifacts are the main problems caused by a mismatch in the data from viewsacquired in different instants All of these add to the known fact that using a limited amount of datacan result in the presence of noise artifacts and some inconsistencies with the distribution understudy One of the objectives of the present work is to discuss the difficulties that arise fromimplementing reconstruction algorithms in dynamic tomography that were originally developed forstatic distributions Another objective is to propose solutions that aim at reducing a temporal type ofinformation loss caused by employing regular acquisition systems to dynamic processes Withrespect to dynamic image reconstruction it was conducted a comparison between different staticreconstruction methods like MART and FBP when used for dynamic scenarios This comparisonwas based on a MCNPx simulation as well as an analytical setup of an aluminum cylinder thatmoves along the section of a riser during the process of acquisition and also based on cross sectionimages from CFD techniques As for the adaptation of current tomographic acquisition systems fordynamic processes this work established a sequence of tomographic views in a just-in-time fashionfor visualization purposes a form of visually disposing density information as soon as it becomesamenable to image reconstruction A third contribution was to take advantage of the triple colorchannel necessary to display colored images in most displays so that by appropriately scaling theacquired values of each view in the linear system of the reconstruction it was possible to imprint atemporal trace into the regularly reconstructed image where the temporal trace utilizes a channeland the regular reconstruction utilizes a different one Finally a motion correction technique used inthe medical field was proposed for industrial applications considering that the density distributionin these scenarios may present variations compatible with rigid motions or changes in scale ofcertain objects The idea is to identify in some configurations of the temporarily distributed dataclues of the type of motion or deformation suffered by the object during the data acquisition andthen use this information to improve the quality of the reconstruction This is done by appropriatelymanipulating the weight matrix in the algebraic method ie by adjusting the values to reflect thepredicted object motion or deformation The results of all these techniques applied in severalexperiments and simulations are discussed in this work
Keywords Industrial Dynamic Tomography Flow Dynamics Dynamic Process SimulationDynamic Tomographic Reconstruction
Lista de Figuras
Figura 1 Atenuaccedilatildeo da Radiaccedilatildeo pela mateacuteria16Figura 2 Discretizaccedilatildeo de l18Figura 3 Sinograma constituiacutedo de 180 vistas (construiacutedo com a funccedilatildeo radon do matlab)19Figura 4 Discretizaccedilatildeo da secccedilatildeo irradiada22Figura 5 Geraccedilotildees Tomograacuteficas27Figura 6 Geraccedilotildees Tomograacuteficas28Figura 7 Phantom de Sheep-Logan29Figura 8 Discretizaccedilatildeo da secccedilatildeo irradiada30Figura 9 Distribuiccedilatildeo de velocidades e de fraccedilatildeo de soacutelido para diferentes alturas32Figura 10 Secccedilatildeo com distribuiccedilatildeo de soacutelido que seraacute utilizada como Phantom Matemaacutetico33Figura 11 Visatildeo 3D de uma distribuiccedilatildeo de fraccedilatildeo de soacutelido feito por CFD33 Figura 12Sistema RGB35Figura 13 Sistema de Coordenadas39Figura 14 reta r sendo mapeada por39Figura 15 Projeccedilotildees 1D sem mudanccedila de frame43Figura 16 Projeccedilotildees 1D com mudanccedila de frame44Figura 17 Mais de uma vista por frame45Figura 18 Mais de um frame por vista46Figura 19 Mais de um frame durante a aquisiccedilatildeo46Figura 20 Software Desenvolvido50Figura 21 8 frames - ciacuterculo transladando - 1 vista por frame52Figura 22 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames52Figura 23 Tomograma e sinograma ndash circulo transladando ndash 1 vista por frame53Figura 24 Sinogramascirculo transladando ndash 1 vista por frame54Figura 25 Reconstruccedilotildees circulo transladando ndash 1 vista por frame54Figura 26 Tomograma e Sinograma - disco transladando - 8 vistas por frame55Figura 27 Sinogramas Ciacuterculo Transladando -Oito vistas por frame56Figura 28 Reconstruccedilotildees Ciacuterculo Transladando -Oito vistas por frame56Figura 29 8 frames - circulo crescente - 1 vista por frame57Figura 30 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames57Figura 31 Tomograma e sinograma - ciacuterculo crescente - 1 vista por frame58Figura 32 Imagem do sinograma - ciacuterculo crescente - 1 vista por frame59Figura 33 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 1 vista por frame59Figura 34 Tomograma e sinograma - circulo crescente - 8 vista por frame60Figura 35 Sinogramas circulo crescente ndash 8 vistas por frame61Figura 36 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 8 vistas por frame61Figura 37 Reconstruccedilotildees disco transladando - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas e alternadas62Figura 38 Reconstruccedilotildees disco transladando - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas e alternadas 63Figura 39 Reconstruccedilotildees disco transladando - 4 Vistas por frame - Vistas sucessivas e alternadas 64Figura 40 Reconstruccedilotildees disco crescente - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas e alternadas64Figura 41 Reconstruccedilotildees disco crescente - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas e alternadas65Figura 42 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 1 vista por frame66Figura 43 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frame67Figura 44 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frame68Figura 45 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frame68Figura 46 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frame69Figura 47 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo crescente - 2 vistas por frame69Figura 48 Geometria Circulo Transladando - 1 vista por frame71
Figura 49 Tomograma via MCNPX - 1 Vista por frame71Figura 50 Sinograma MCNPX - 1 vista por frame72Figura 51 Imagem de sinograma MCNPX - 1 vista por frame72Figura 52 Reconstruccedilotildees MART e FBP ndash MCNPX ndash 1 vista por frame73Figura 53 Geometria circulo transladando - 2 vistas por frame73Figura 54 Tomograma MCNPX - 2 vistas por frame74Figura 55 Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame74Figura 56 Imagem de sinograma MCNPX ndash 2 vistas por frame75Figura 57 Reconstruccedilatildeo MART - MCNPX - 2 vistas por frame75Figura 58 Reduccedilatildeo na resoluccedilatildeo 899x999 para 64x6476Figura 59 CFD - Frames 1 ao 877Figura 60 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames77Figura 61 Sinogramas CFD ndash 1 vista por frame78Figura 62 Reconstruccedilotildees CFD ndash 1 vista por frame78Figura 63 Frames 1 ao 8 CFD ndash 8 vistas por frame79Figura 64 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames79Figura 65 Sinogramas CFD - 8 vistas por frame80Figura 66 Reconstruccedilotildees CFD - 8 vistas por frame80Figura 67 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo81Figura 68 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o segundo instante de tempo81Figura 69 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo82Figura 70 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o segundo instante de tempo82Figura 71 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo83Figura 72 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo83Figura 73 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo84
LISTA DE TABELAS
Tabela 1
Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 1 vista por framehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip62
Tabela 2
Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 2 vistas por framehelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip63
Tabela 3
Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 4 vistas por framehelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip63
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
DEN ndash Departamento de Energia Nuclear
UFPE ndash Universidade Federal de Pernambuco
TC ndash Tomografia Computadorizada
ART ndash Algebraic Reconstruction Techinique
MART ndash Multiplicative Algebraic Reconstruction Techinique
SIRT ndash Simultaneous Iterative Reconstruction Technique
FBP ndash Filtered Back Projection
AM ndash Alternating Minimization
CFD ndash Computer Fluid Dynamics
MCNP - Monte Carlo N-Particle
PET - Positron Emission Tomography
SPECT - Single Photon Emission Tomography
CST ndash Central Slice Theorem
Sumaacuterio
1 INTRODUCcedilAtildeO132 TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA16
21 A Lei de Beer-Lambert16
22 Algoriacutetmos de Reconstruccedilatildeo20
221 Filtered Back Projection (FBP)20222 ART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica)21223 MART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica com Correccedilatildeo Multiplicativa)23
23 O Caso Dinacircmico24
24 Reconstruccedilatildeo com Correccedilatildeo de Movimento25
25 Geraccedilotildees de Tomoacutegrafos26
26 Simulaccedilatildeo de Sinogramas28
27 Fluidodinacircmica Computacional - CFD31
28 Tempo de Aquisiccedilatildeo ou Integraccedilatildeo33
29 Sistema de cores RGB33
21 0MCNP35
3 METODOLOGIA3731 A Transformada de Radon Temporal38
32 Lei de Beer-Lambert temporal41
33 Simulaccedilatildeo de aquisiccedilotildees Tomograacuteficas42
331 Aquisiccedilatildeo por Tomografia de 1ordf Geraccedilatildeo42332 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 3ordf geraccedilatildeo45333 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 5ordf geraccedilatildeo46
34 Posicionamento angular47
35 Utilizaccedilatildeo de um canal de cores para visualizar a dinacircmica do processo Reconstruccedilatildeo RGB47
36 Reconstruccedilatildeo utilizando dados do CFD48
37 Avaliaccedilatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo com RMSE49
38 Algoritmos e Software Desenvolvidos50
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO5141 Resultados das Reconstruccedilotildees MART e FBP51
411 Primitiva Ciacuterculo Transladando 1 vista por frame51412 Primitiva Ciacuterculo Transladando Oito vistas por frame55413 Primitiva Circulo Crescente Uma vista por frame57414 Primitiva Circulo Crescente Oito vistas por frame60
42 Vistas Alternadas62
43 Resultados com RGB65
44 Simulaccedilotildees com MCNPX70
441 Circulo Transladando ndash 1vista por frame70
442 Circulo Transladando ndash 2 vistas por frame7345 Resultados com CFD76
451 CFD-1 vista por frame76452 CFD-8 vistas por frame79
46 Reconstruccedilotildees com correccedilatildeo de movimento81
5 CONCLUSOtildeES856 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS88ANEXO ndash I92
13
1 INTRODUCcedilAtildeO
A Tomografia Computadorizada (TC) consiste em duas etapas
a) O objeto eacute verificado (escaneado) com relaccedilatildeo a alguma propriedade como
densidade capacitacircncia resistividade eleacutetrica ressonacircncia magneacutetica etc
b) A propriedade eacute entatildeo reconstruiacuteda por meio de uma teacutecnica de reconstruccedilatildeo
adequada
Dessa forma a tomografia tem como objetivo reconstruir os detalhes geomeacutetricos do
objeto subjacente e tambeacutem obter os valores da propriedade escolhida Normalmente eacute classificada
como uma teacutecnica de ensaios natildeo destrutivos (END) e portanto eacute de uso imenso em
colunasreatores industriais para detectar a distribuiccedilatildeo de fases ou qualquer tipo de natildeo
uniformidade no interior do objeto
Para o registro de qualquer mudanccedila no objeto otimiza-se o sistema em alta
resoluccedilatildeo temporal (baixo tempo de aquisiccedilatildeo) ou seja permitir vaacuterias imagens resultando em
centenas de quadros por segundo A tomografia que concretiza essa configuraccedilatildeo de aquisiccedilatildeo eacute
chamada de instantacircnea ou de 5ordf geraccedilatildeo onde vaacuterias fontes satildeo arranjadas diametralmente opostas
a um leque de detetores de radiaccedilatildeo e consequentemente a colimaccedilatildeo de uma fonte eacute limitada por
outra reduzindo a resoluccedilatildeo espacial do sistema
Quando a distribuiccedilatildeo tem baixa variabilidade ao longo do tempo ou quando
limitaccedilotildees teacutecnicas impedem o uso da tomografia instantacircnea propotildee-se a tomografia com baixa
resoluccedilatildeo temporal com tomoacutegrafos de 1ordf e 3ordf geraccedilotildees O alto tempo de aquisiccedilatildeo destes
tomoacutegrafos prejudica a reconstruccedilatildeo quando o objeto em estudo muda suas propriedades no
decorrer do tempo Esta foi classificada por vaacuterios autores como reconstruccedilatildeo dinacircmica
(ARTEMIEV V M NAUMOV A O 2006) (BUTALA 2009) (DESBAT L et al 2006) Jaacute eacute
uma aacuterea muito ativa em medicina nuclear onde movimentos do paciente devem ser tomados em
consideraccedilatildeo Tais como em SPECT ou PET mas tambeacutem em tomografia computadorizada (TC de
transmissatildeo) para oacutergatildeos de movimento raacutepido como o coraccedilatildeo (GRAMEL BM et al 2012)
De um modo geral o imageamento dinacircmico TC tem como objetivo reconstruir
sequecircncias de imagens em que a natureza dinacircmica do objeto tomografado eacute de interesse primaacuterio
permitindo o registro de mudanccedilas temporais na distribuiccedilatildeo do coeficiente de atenuaccedilatildeo linear
podendo identificar o estado inicial e o final do processo
O estado da arte dos meacutetodos aplicados para processos industriais eacute atualmente
baseado em princiacutepios de reconstruccedilotildees tomograacuteficas claacutessicas desenvolvidos para padrotildees TC de
distribuiccedilotildees estaacuteticas como pode ser visto em diversos artigos da aacuterea de tomografia industrial
14
(DAHAN A et al 2007 DUDUKOVIC 2007 HALE et al 2007 JOHANSEN et al 2005
KUMAR et al 1997 DANTAS CC et al 2007 SALVADOR P A V 2010 MESQUITA C et
al 2011) Essas abordagens assumem que as propriedades da imagem satildeo constantes durante o
processo de aquisiccedilatildeo Os algoritmos de reconstruccedilatildeo mais comuns ao contexto satildeo os iterativos
onde se destacam teacutecnicas de reconstruccedilatildeo algeacutebrica (ART SIRT MART SMART) e teacutecnicas de
reconstruccedilatildeo estatiacutesticas como o de Minimizaccedilatildeo Alternante (AM) e o Esperanccedila - Maximizaccedilatildeo
(EM) A imagem reconstruiacuteda passa a ser uma aproximaccedilatildeo das propriedades ao longo do tempo A
aproximaccedilatildeo eacute devida a projeccedilotildees natildeo compatiacuteveis no sinograma (BONNET S 2003) As
projeccedilotildees tornam-se incompatiacuteveis devido as diferentes distribuiccedilotildees que ocorreram durante o
intervalo de tempo utilizado para coleta de dados Ruiacutedos e artefatos de movimento satildeo os
principais problemas causados pela incompatibilidade
Aleacutem disso em processos tomograacuteficos industriais eacute comum um nuacutemero limitado de
dados devido a inviabilidades teacutecnicas como arranjar todo um aparato de fontes e detetores ao redor
de uma coluna industrial Um baixo nuacutemero de dados pode produzir ruiacutedo artefatos e natildeo
concordacircncia com a distribuiccedilatildeo em estudo
Por estes motivos eacute necessaacuterio um estudo dos melhores meacutetodos de reconstruccedilatildeo e
tambeacutem o desenvolvimento de novas taacuteticas ou a utilizaccedilatildeo de meacutetodos jaacute consagrados em outros
contextos como a aacuterea meacutedica
Este trabalho inova quando discute um tema jaacute comum agrave aacuterea meacutedica em um
contexto tomograacutefico industrial
O meacutetodo proposto consiste em descobrir inicialmente as limitaccedilotildees oriundas da
aplicaccedilatildeo de algoritmos de reconstruccedilatildeo que foram desenvolvidos para distribuiccedilotildees estaacuteticas e satildeo
utilizados em tomografia dinacircmica Estas podem aparecer em forma de ruiacutedo artefatos estrela eou
de movimento Para alcanccedilar tais propoacutesitos foram utilizados dados simulados analiticamente e por
MCNPX de um cilindro de alumiacutenio transladando durante o processo aquisiccedilatildeo e imagens da secccedilatildeo
transversal de um rise piloto por meio da teacutecnica CFD (Computational Fluid Dynamics) O cilindro
ou ciacuterculo para uma secccedilatildeo eacute uma escolha pautada na literatura industrial pois simula bolhas em
reatores e tambeacutem distribuiccedilotildees agrupadas em forma de nuacutecleo por exemplo (DUDUKOVIC M et
al 1997) (AZZI M 1991) Com os dados simulados foram realizadas e comparadas as
reconstruccedilotildees pelos meacutetodos FBP (Filtered Back Projection) e MART (Multiplicative Algebraic
Reconstruction Technique)
Descobertas as limitaccedilotildees novas estrateacutegias satildeo apresentadas como a escolha da
ordem do posicionamento angular (vistas alternadas ou sucessivas) o desenvolvimento de um
15
meacutetodo para a visualizaccedilatildeo temporal do processo (Reconstruccedilatildeo RGB) e a correccedilatildeo de movimento
A reconstruccedilatildeo RGB foi desenvolvida com o propoacutesito de visualizar a evoluccedilatildeo
temporal do processo Consiste em uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens tomograacuteficas de
processos dinacircmicos pois utiliza o canal red do sistema de cores RGB para visualizar a evoluccedilatildeo do
movimento Uma nova reconstruccedilatildeo eacute realizada utilizando dados penalizados com o tempo e
associada ao canal R Aos outros canais eacute associada a reconstruccedilatildeo tradicional para posterior
visualizaccedilatildeo do conjunto
Tambeacutem eacute proposta uma teacutecnica de correccedilatildeo de movimento utilizada na aacuterea meacutedica
que manipula a matriz de pesos do meacutetodo algeacutebrico deslocando seus elementos com a mesma
quantidade de movimento identificada Neste trabalho eacute definido o vetor deslocamento a priori
O Capiacutetulo dois trata da revisatildeo bibliograacutefica da tese Conteacutem a lei de Beer-Lambert
a formaccedilatildeo de dados tomograacuteficos para posterior reconstruccedilatildeo Explica os algoritmos algeacutebricos a
visualizaccedilatildeo RGB dados do CFD e geraccedilotildees tomograacuteficas No Capiacutetulo trecircs satildeo expostos os
meacutetodos desenvolvidos como aquisiccedilotildees simuladas analiticamente de 1ordf e 5ordf geraccedilotildees
tomograacuteficas simulaccedilotildees tomograacuteficas por MCNPX reconstruccedilatildeo RGB correccedilatildeo de movimento
algoritmos implementados e desenvolvidos No capiacutetulo quatro satildeo mostrados os resultados de
todos os meacutetodos propostos
Espera-se que esse trabalho contribua para uma anaacutelise mais efetiva de tomografias
dinacircmicas industriais bem como o diagnoacutestico de problemas de otimizaccedilatildeo de operaccedilatildeo de
tomoacutegrafos e obtenccedilatildeo de dados para novos projetos bem como contribuir com novos algoritmos de
reconstruccedilatildeo especiacuteficos para esta aplicaccedilatildeo
16
2 TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA
21 A Lei de Beer-Lambert
A medida da probabilidade por unidade de percusso do feixe de radiaccedilatildeo interagir
com a mateacuteria (efeito fotoeleacutetrico efeito Compton e produccedilatildeo de pares) eacute denominado coeficiente
de atenuaccedilatildeo total ou linear do material ( ) Encontrar a funccedilatildeo que represente a distribuiccedilatildeo das
atenuaccedilotildees dentro de uma regiatildeo de interesse eacute o objetivo da tomografia Ao atravessar um material
a intensidade da radiaccedilatildeo sofre uma queda exponencial descrita pela relaccedilatildeo de Beer-Lambert
Entende-se como intensidade de radiaccedilatildeo neste caso como o nuacutemero de contagens registrado pelo
detetor em uma faixa de energia de interesse para um certo intervalo de tempo
Entende-se como caso estaacutetico a situaccedilatildeo em que o objeto tem distribuiccedilatildeo de
atenuaccedilotildees fixa na regiatildeo de estudo ao longo do tempo ou seja
(1)
O processo unidimensional para determinaccedilatildeo da atenuaccedilatildeo linear pode ser resumido
em um detetor de radiaccedilatildeo diametralmente oposto a uma fonte de radiaccedilatildeo onde
bull Estabelece-se um tempo para o intervalo de contagens Figura 21
bull ) do background sem
objeto algum entre fonte e detetor
bull Coloca-se um objeto de comprimento fixo l com distribuiccedilatildeo de atenuaccedilotildees desconhecida
mas com valores fixos ao longo de l
bull Afere-se o nuacutemero de contagens ( com o objeto presente
Figura 1 Atenuaccedilatildeo daRadiaccedilatildeo pela mateacuteria
l
If
para Δt
I0
para Δt
17
A lei de Beer-Lambert mostra que a absorccedilatildeo mais precisamente a atenuaccedilatildeo da
radiaccedilatildeo mede a queda da intensidade quando a radiaccedilatildeo passa pela mateacuteria A transmissatildeo T
Taxa de contagem inicial Taxa de contagem apoacutes o absorvedor
(2)
caracteriza a permeabilidade do material absorvente para a radiaccedilatildeo Quanto maior for a
transmissatildeo menor eacute o efeito atenuante A transmissatildeo depende da espessura l do absorvedor Se a
espessura l eacute reforccedilada pela pequena quantidade dl o T de transmissatildeo eacute diminuiacuteda pela pequena
quantidade dT A diminuiccedilatildeo relativa da transmissatildeo eacute proporcional ao aumento absoluto da
espessura
(3)
O fator de proporcionalidade eacute chamado o coeficiente de atenuaccedilatildeo linear mu A
integraccedilatildeo da equaccedilatildeo 24 conduz agrave lei de Beer-Lambert
(4)
Para facilitar a notaccedilatildeo em desenvolvimentos adiante chamamos de que eacute o
coeficiente de atenuaccedilatildeo linear meacutedio e l a distacircncia percorrida pelo raio no absorvedor Entatildeo eacute
determinado por
18
(5)
independente de l E para um
detalhamento maior das atenuaccedilotildees ao longo do feixe discretiza-se l O somatoacuterio dos produtos das
atenuaccedilotildees com as distacircncias surge da discretizaccedilatildeo de l assumindo que todas as particcedilotildees atenuam
o feixe no Esta condiccedilatildeo implica tambeacutem no particionamento de
Fazendo com que a intensidade final de uma particcedilatildeo i seja a inicial
da subsequente i+1 Ou seja natildeo eacute estabelecida uma discretizaccedilatildeo do tempo
(6)
De maneira geral a soma na Equaccedilatildeo 6 torna-se uma integral e definindo o eixo x ao
longo da trajetoacuteria do feixe l torna-se o elemento de linha onde o coeficiente de atenuaccedilatildeo eacute
funccedilatildeo da trajetoacuteria da linha
(7)
A integral ao longo da linha eacute conhecida como projeccedilatildeo unidimensional da
distribuiccedilatildeo de densidades definida matematicamente por Johann Radon em 1917 e
Figura 2 Discretizaccedilatildeo de l
l1
μ1
l2
μ2
ln
μn
l3
μ3
I 1 pa
ra Δ
t 0f
I 2 pa
ra Δ
t 0f
I f pa
ra Δ
t 0f
I 0 pa
ra Δ
t 0f
19
conhecida como a transformada de Radon da funccedilatildeo
Como as projeccedilotildees satildeo o resultado das transformadas de Radon ao longo dos
caminhos dos feixes pode-se dizer que o objetivo da tomografia eacute obter a sua inversa ou seja a
imagem reconstruiacuteda ou como no caso unidimensional a curva
(8)
Os diversos modelos utilizados para encontrar a inversa satildeo chamados de algoritmos
de reconstruccedilatildeo e como todos operam com as projeccedilotildees como entrada de dados um estudo mais
detalhado da transformada de Radon temporal e como essas projeccedilotildees variam deve ser realizado
para os casos em que a distribuiccedilatildeo de coeficientes de atenuaccedilatildeo varia tambeacutem com o tempo (caso
dinacircmico seccedilatildeo )
eacute a projeccedilatildeo bidimensional
geralmente chamada de perfil ou vista do corte O processo de aquisiccedilatildeo dos perfis eacute
chamado de escaneamento ou varredura e o conjunto de projeccedilotildees adquiridas eacute denominado
sinograma a Erro Origem da referecircncia natildeo encontrada representa o sinograma de uma imagem de
teste com um disco central
O escaneamento pode ser feito atraveacutes de aquisiccedilotildees paralelas de um uacutenico feixe
Figura 3 Sinograma constituiacutedo de 180 vistas (construiacutedo com a funccedilatildeo radon do
matlab)
20
(Parallel Beam) ou com as trajetoacuterias em forma de leque (Fan Beam) Como o sinograma eacute
resultado das transformadas de Radon ao longo dos raios pode-se dizer que o objetivo da
tomografia eacute obter a sua inversa ou seja a imagem reconstruiacuteda
representa todas as projeccedilotildees (9)
Imagem Original
22 Algoriacutetmos de Reconstruccedilatildeo
221 Filtered Back Projection (FBP)
Bracewell e Riddle em 1967 introduziram o meacutetodo chamado retroprojeccedilatildeo filtrada
(FBP) meacutetodo baseado na transformada de Fourier O FBP eacute muito utilizado devido ao baixo tempo
de processamento O teorema das projeccedilotildees tambeacutem chamado de teorema do corte central (Central
Slice Theorem - CST) facilita o processo Esse diz que uma transformada 1D de Fourier da
transformada de Radon da funccedilatildeo corresponde agrave transformada 2D de Fourier da funccedilatildeo Ou seja
realizando a transformada de Fourier das projeccedilotildees chega-se ao espaccedilo de frequecircncias da
distribuiccedilatildeo de densidades que se desejam descobrir No espaccedilo de frequecircncias satildeo realizadas as
operaccedilotildees de filtragem e a transformada 2D inversa retorna a imagem reconstruiacuteda O FBP eacute
resumido nos seguintes passos
1 Calcular a transformada de Fourier unidimensional das projeccedilotildees chegando ao domiacutenio de
frequecircncias
2 Filtrar as projeccedilotildees transformadas com um filtro passa baixa (Shepp-Logan Hann
Hamming etc)
3 Colocar as projeccedilotildees filtradas em um grid polar Cada projeccedilatildeo em seu acircngulo
correspondente
4 Reamostrar estas em um grid cartesiano com interpolaccedilatildeo (linear nearest Splines etc)
5 Calcular a transformada 2D de Fourier inversa chegando-se agrave imagem reconstruiacuteda
21
222 ART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica)
Os primeiros estudos sobre teacutecnicas algeacutebricas em TC foram feitos por Gordon e
Herman (HERMAN G T GORDON R 1971) Apesar de ser mais intuitiva e simples que os
meacutetodos de transformada essa teacutecnica deixa a desejar no que se refere a precisatildeo e tempo de
processamento Fazendo com que os meacutetodos de transformada fossem inicialmente mais utilizados
principalmente na aacuterea meacutedica onde um grande nuacutemero de dados eacute processado No entanto para
experimentos em que o nuacutemero de projeccedilotildees eacute limitado ou tenha uma distribuiccedilatildeo natildeo uniforme o
meacutetodo de transformada torna-se inviaacutevel
Meacutetodos algeacutebricos ou de expansatildeo de seacuteries discretizam a secccedilatildeo irradiada em uma
matriz de incoacutegnitas (pixels) que representam a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de densidades μ (x y) como
ilustra a Figura 4 Apoacutes as varreduras um sistema de equaccedilotildees resultantes da relaccedilatildeo de Beer-
Lambert eacute criado e sua resoluccedilatildeo corresponde agrave inversa de Radon Devido agraves caracteriacutesticas desse
sistema meacutetodos indiretos satildeo aconselhados e dentre os indiretos o meacutetodo das projeccedilotildees de
Kaczmarz tem convergecircncia garantida (KACZMARZ 1937) As teacutecnicas iterativas satildeo resumidas
basicamente em quatro passos criaccedilatildeo da imagem inicial caacutelculo das correccedilotildees aplicaccedilatildeo das
correccedilotildees e o teste de convergecircncia Estes algoritmos diferem na maneira como as correccedilotildees satildeo
calculadas e aplicadas (SUBBARAO 1997) Neste trabalho eacute utilizada a teacutecnica algeacutebrica ART
Nessa representaccedilatildeo um raio corresponde a uma faixa com largura que na maioria das vezes
coincide com a largura de um pixel
22
O processo pode ser resumido em
1) Criar uma matriz imagem inicial com N elementos parametrizados em geralmente aleatoacuterios
ou nulos Esse eacute o iniacutecio da 1ordf iteraccedilatildeo ( =1)
2) Calcular as projeccedilotildees para todos os raios atraveacutes da foacutermula
(10)
3) Para cada raio calcular a diferenccedila entre a projeccedilatildeo original e a reconstruiacuteda 4)
Calcular o somatoacuterio de todos pesos ao longo de cada raio
(11)
5) Obter a correccedilatildeo para cada raio
23
(12)
6) Aplicar a correccedilatildeo a cada ceacutelula
(13)
onde eacute um paracircmetro de relaxaccedilatildeo entre 0 e 2
7) Repetir os passos 2 ao 6 para todos os raios
8) Achar a soma da convergecircncia de todos os pixels da imagem
(14)
9) Finalizar a iteraccedilatildeo
As iteraccedilotildees satildeo finalizadas quando chegar a um valor preacute - estabelecido Muitos autores
estabelecem um criteacuterio de Caso o criteacuterio natildeo tenha sido cumprido uma nova
iteraccedilatildeo eacute iniciada no passo 2
O ART frequentemente sofre de ruiacutedos tipo sal e pimenta (salt and pepper noise)
causados pelas inconsistecircncias introduzidas no conjunto de equaccedilotildees por aproximaccedilotildees nos O
efeito eacute exacerbado porque cada pixel ao longo de um raio eacute alterado assim que a projeccedilatildeo eacute
calculada mudando seus valores antes que outro raio o faccedila Tanto o ruiacutedo quando a taxa de
convergecircncia do meacutetodo dependem do paracircmetro de relaxaccedilatildeo utilizado escolhido empiricamente
(geralmente entre 0 e 2) (KAK 1989)
223 MART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica com Correccedilatildeo Multiplicativa)
Vaacuterios estudos apontam o meacutetodo como raacutepido mais flexiacutevel e de melhor acuraacutecia
que o ART Sendo indicado principalmente para casos de um nuacutemero limitado de dados
(VERHOEVEN 1993) A teacutecnica eacute semelhante ao ART com mudanccedila apenas no fator de correccedilatildeo
24
expresso pela equaccedilatildeo 15
(15)
23 O Caso Dinacircmico
De um modo geral imagiologia dinacircmica CT tem como objetivo reconstruir sequecircncias de
imagens em que a natureza dinacircmica do objeto tomografado eacute de interesse primaacuterio permitindo o
registro de mudanccedilas temporais na distribuiccedilatildeo do coeficiente de atenuaccedilatildeo linear Entende-se como
caso estaacutetico a situaccedilatildeo em que o objeto tem distribuiccedilatildeo de atenuaccedilotildees fixa na regiatildeo de
estudo ao longo do tempo Algoritmos de reconstruccedilatildeo tomograacutefica utilizam como dados de entrada
as projeccedilotildees unidimensionais tomograacuteficas Cada projeccedilatildeo eacute adquirida atraveacutes das aquisiccedilotildees de
intensidades inicial e final ao longo do raio na direccedilatildeo
O escaneamento pode ser feito atraveacutes de aquisiccedilotildees paralelas de um uacutenico feixe (Parallel
Beam) ou com as trajetoacuterias em forma de leque (Fan Beam) Como o sinograma eacute resultado das
transformadas de Radon ao longo dos raios pode-se dizer que o objetivo da tomografia eacute obter a
sua inversa ou seja a imagem reconstruiacuteda ou como no caso unidimensional a curva
(KAK A C SLANEY M 1999)
(16)
Historicamente a CT dinacircmica no contexto meacutedico refere-se a algoritmos de imagem que
tentam corrigir movimentos formando uma imagem de alta qualidade estaacutetica atraveacutes da remoccedilatildeo
do componente dinacircmico Diferentemente da aacuterea meacutedica as imagens reconstruiacutedas de fluxos
multifaacutesicos oriundas de relativa baixa resoluccedilatildeo temporal trazem informaccedilotildees importantes da
mudanccedila do fluxo ao longo do tempo (MyersG R Kingston A M 2011) O objetivo da
tomografia neste caso eacute determinar a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de atenuaccedilatildeo
No caso CT de 1ordf 3ordf geraccedilotildees aplicados a distribuiccedilotildees dinacircmicas uma uacutenica imagem
representativa de todo o processo (reconstruiacuteda por processos desenvolvidos para distribuiccedilotildees
25
estaacuteticas) eacute o resultado final da tomografia (BARTHOLOMEW CASAGRANDE 1957) (AZZI et
al 1991) (YIN et al 2002)(DAHAN A et al 2007) (DUDUKOVIC 2007) (DANTAS CC et
al 2007) (SALVADOR P A V 2010) (MESQUITA C et al 2011) A funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de
atenuaccedilotildees passa a ser uma aproximaccedilatildeo
Esta aproximaccedilatildeo eacute devido a projeccedilotildees natildeo compatiacuteveis no sinograma (tambeacutem chamado de
) (BONNET S 2003) As projeccedilotildees agora tornam-se incompatiacuteveis
devido as diferentes distribuiccedilotildees que ocorreram durante o intervalo de tempo [0 t]
24 Reconstruccedilatildeo com Correccedilatildeo de Movimento
A reduccedilatildeo de artefatos de movimento em imagens tomograacuteficas eacute um problema
crucial em oacutergatildeos de um forte caraacuteter dinacircmico como por exemplo os pulmotildees ou o coraccedilatildeo Uma
maneira simples de reduzir esses artefatos eacute limitar o tempo de aquisiccedilatildeo usando tomografia ultra ndash
raacutepida (5ordf geraccedilatildeo)
Aqui considera-se uma outra abordagem em que os modelos de movimento satildeo
integrados diretamente ao processo de reconstruccedilatildeo e onde a resoluccedilatildeo temporal pode assim ser
significativamente aumentada Os meacutetodos podem ser algeacutebricos (GILLAND et al 2002 1996 DE
MURCIA BLONDE et al 2003) ou analiacuteticos ( BONNET et al 2003)
A teacutecnica de compensaccedilatildeo de movimento utilizada neste estudo utiliza um modelo
de transformaccedilatildeo da matriz de pesos A dividindo-a em submatrizes tendo suas colunas deslocadas
adequadamente de acordo com o modelo de movimento obtido a cada projeccedilatildeo (PENGPAN et al
2011) Por esse motivo o vetor deslocamento do movimento deve ser calculado a cada projeccedilatildeo
Para uma grande quantidade de dados necessaacuterios em estudos dinacircmicos na aacuterea
meacutedica abordagens analiacuteticas que levam a algoritmos de reconstruccedilatildeo diretos satildeo mais apropriadas
Alguns meacutetodos satildeo aproximaccedilotildees adaptadas para uso geral do tipo de movimento mas amplitude
moderada (RITCHIE et al 1996 GRANGEAT et al 2002)
No trabalho desenvolvido foca-se a situaccedilatildeo em que um pequeno nuacutemero de dados eacute
26
disponibilizado devido a natureza da aplicaccedilatildeo Salienta-se que a compensaccedilatildeo de movimento
ocorre com a aplicaccedilatildeo da mesma quantidade de movimento (obtida previamente ou durante a
reconstruccedilatildeo) agrave matriz A
A funccedilatildeo em um instante de tempo t pode ser encontrada com a aplicaccedilatildeo da
deformaccedilatildeo agrave seu valor inicial
(17)
A deformaccedilatildeo pode apresentar rotaccedilatildeo e translaccedilatildeo
(18)
25 Geraccedilotildees de Tomoacutegrafos
A primeira geraccedilatildeo de tomoacutegrafos foi produzida pela EMI Mark em 1973 tendo
como desenvolvedor o engenheiro Hounsfield O sistema era composto por um uacutenico tubo de raios
X o qual produzia um uacutenico feixe ciliacutendrico que atravessava o objeto em estudo o paciente
atingindo o uacutenico detector que media a intensidade do mesmo O sistema ainda contava com um par
de colimadores (dois pequenos tubos metaacutelicos colocados apoacutes o feixe deixar a fonte e antes do
mesmo atingir o detector) para minimizar o espalhamento do feixe A fonte de raios X e o detector
se movem em sincronia e em lados opostos do paciente executando um escaneamento linear sobre a
seccedilatildeo em estudo seguido de uma rotaccedilatildeo de 1 grau e um novo escaneamento linear eacute efetuado
como ilustra a Figura 3 a)
Os tomoacutegrafos de segunda geraccedilatildeo foram desenvolvidos visando reduzir o tempo de
escaneamento minimizando a exposiccedilatildeo do paciente agrave radiaccedilatildeo e ampliando a gama de oacutergatildeos que
podem ter a seccedilatildeo transversal reconstruiacuteda Os tomoacutegrafos ainda mantiveram o movimento de
varredura linear seguida de uma rotaccedilatildeo Entretanto o feixe de raios X deixou de ser ciliacutendrico e
passou a ter formato de leque Ao inveacutes de um uacutenico detector o sistema passou a contar com vaacuterios
27
detectores alinhados de forma que possam receber todos os raios do feixe Dessa maneira o tempo
de obtenccedilatildeo de dados de uma seccedilatildeo foi reduzido de acordo
com o nuacutemero de detectores e com o acircngulo de abertura empregado como pode ser visto na Figura
3b) A terceira geraccedilatildeo de aparelhos abandonou de vez os movimentos de translaccedilatildeo do tubo de
raios X e dos detectores e passou a contar com um leque com um acircngulo maior e uma base de
detectores mais ampla em formato semi-circular O sistema passou a efetuar um movimento de 360
graus em torno da seccedilatildeo Tambeacutem eram usados colimadores antes do feixe atingir os detectores a
fim de minimizar o espalhamento dos raios X e garantir a qualidade das imagens O tempo de cada
varredura em alguns modelos comerciais passou a ser de apenas meio segundo ilustrado pela
Figura 3 c)
A quarta geraccedilatildeo de aparelhos passou a contar com um anel de detectores que
circundam toda a seccedilatildeo que possibilitou aumentar mais ainda o acircngulo do feixe de radiaccedilatildeo Os
detectores satildeo fixos e a fonte de radiaccedilatildeo rotaciona dentro do anel de detectores e ao redor do corpo
irradiado Um problema desta geraccedilatildeo diz respeito agrave recepccedilatildeo dos feixes que natildeo satildeo fixos e
dependendo do acircngulo um feixe pode atingir dois detectores ou acertar um detector apenas em uma
fraccedilatildeo ilustrado pela Figura 6d)
Como o tempo despendido para realizaccedilatildeo de movimentos mecacircnicos eacute a principal
28
limitaccedilatildeo para reduzir ainda mais os tempos de escaneamento a quinta geraccedilatildeo de aparelhos acabou
com os movimentos de translaccedilatildeo e rotaccedilatildeo da fonte e dos detectores Rachid Maad em MAAD R
2009 evita utilizar essa classificaccedilatildeo para tomoacutegrafos sem rotaccedilatildeo e translaccedilatildeo utilizados
industrialmente ficando essa classificaccedilatildeo mais utilizada em aplicaccedilotildees meacutedicas Esse utiliza o
termo geraccedilatildeo de tomografia instantacircnea para tais aparelhos representados na Figura 6e)
Na configuraccedilatildeo instantacircnea um anel de detectores estacionaacuterios e as fontes de
radiaccedilatildeo rodeiam o objeto fornecendo um arranjo fixo (sem varreduras) e mediccedilotildees instantacircneas1
Esta teacutecnica eacute muito raacutepida e pode ser usada na geraccedilatildeo de imagens em tempo real A desvantagem
eacute o custo e o problema da radiaccedilatildeo dispersa causada pela presenccedila de muacuteltiplas fontes
26 Simulaccedilatildeo de Sinogramas
Phantoms matemaacuteticos ou imagens de teste satildeo frequentemente utilizados para
avaliar a precisatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo Satildeo descritos precisamente por funccedilotildees
matemaacuteticas e suas transformadas de Radon simulam as projeccedilotildees tomograacuteficas Seus pixels satildeo as
regiotildees discretizadas e seus valores ou cores representam as densidades ou coeficientes de
atenuaccedilatildeo linear A imagem de teste (phantom) mais conhecida em reconstruccedilatildeo tomograacutefica eacute o
1 O termo instantacircneo aqui utilizado negligencia o tempo de aquisiccedilatildeo para as contagens de intensidade de radiaccedilatildeo devido ao seu baixo valor deacutecimos de segundo
29
phantom de Sheep ndash Logan Figura 7
Para calcular a projeccedilatildeo simulada somam-se os produtos das distacircncias percorridas
pelo raio em cada pixel pelo seu valor Paracircmetros do experimento tomograacutefico que se deseja
simular como a aacuterea a ser varrida densidades reais adiccedilatildeo de ruiacutedo e fotos da secccedilatildeo do objeto
podem ser incorporadas para dar mais realidade ao modelo (SUBBARAO PMV et al 1997) O
ruiacutedo obedece ao desvio padratildeo de Poisson (IAEA-TECDOC-1589 2008)
A secccedilatildeo irradiada eacute representada por uma matriz de incoacutegnitas que representam a
distribuiccedilatildeo de densidades que se deseja descobrir As incoacutegnitas satildeo os pixels da imagem
reconstruiacuteda como ilustrado na Figura 8
Nessa representaccedilatildeo um raio corresponde a uma faixa com largura que na maioria
das vezes coincide com a largura de um pixel
Figura 7 Phantom de Sheep-Logan
50 100 150 200 250
50
100
150
200
2500
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
30
Parametrizando os pixels com j variando de 1 a N e os raios com i de 1 a M podemos
escrever a transformada de Radon ao longo do raio i como
(19)
onde eacute o peso que diz o percentual de contribuiccedilatildeo de um pixel j para o raio i definido como
(20)
Uma boa aproximaccedilatildeo eacute o modelo em que a largura do feixe eacute reduzida a uma linha
reta fazendo a distacircncia percorrida por este feixe dentro do pixel
Para calcular a intensidade final para uma projeccedilatildeo i faz-se
31
(21)
Com calculado da figura e de meacutedia fixa variando a cada projeccedilatildeo
com o desvio padratildeo de Poisson para todas as projeccedilotildees
O sinograma simulado eacute construiacutedo fazendo cada elemento de sua matriz igual a
27 Fluidodinacircmica Computacional - CFD
Fluidodinacircmica computacional (Computational Fluid Dynamics - CFD) eacute o termo
dado ao grupo de teacutecnicas matemaacuteticas numeacutericas e computacionais usadas para obter visualizar e
interpretar soluccedilotildees para as equaccedilotildees de conservaccedilatildeo de grandezas fiacutesicas de interesse em um dado
escoamento A origem destas equaccedilotildees de conservaccedilatildeo eacute a teoria de Fenocircmenos de Transporte
Assim pode-se resumir CFD como o conjunto das teacutecnicas de simulaccedilatildeo computacional usadas
para predizer os fenocircmenos fiacutesicos ou fiacutesico-quiacutemicos que ocorrem em escoamentos
A Fluidodinacircmica computacional eacute uma aacuterea de grande interesse para a soluccedilatildeo de
muitos problemas praacuteticos Como exemplo podem ser citados problemas de aerodinacircmica
termodinacircmica hidraacuteulica dentre outros As anaacutelises nesta aacuterea de pesquisa podem ser
desenvolvidas com base em experimentos bem como em meacutetodos teoacutericos Dentro dos meacutetodos
teoacutericos destacam-se os meacutetodos computacionais utilizados para simulaccedilatildeo numeacuterica aplicada agrave
Dinacircmica dos Fluidos (HERCKERT M G R)
Para os escoamentos de fluidos o modelo matemaacutetico eacute estabelecido com base nas
equaccedilotildees de conservaccedilatildeo da quantidade de movimento da massa e da energia Estas equaccedilotildees
quando submetidas a condiccedilotildees de contorno e iniciais apropriadas representam matematicamente
um problema particular (SHAMES I H 1973) A soluccedilatildeo analiacutetica destas equaccedilotildees somente eacute
possiacutevel para escoamentos muito simples Para se analisar problemas reais lanccedila-se matildeo do uso dos
chamados meacutetodos numeacutericos
Nos casos de escoamentos laminares os modelos satildeo relativamente simples pois as
32
equaccedilotildees de Navier-Stokes2 conservaccedilatildeo da massa e conservaccedilatildeo de energia satildeo resolvidas
Contudo como a maioria dos escoamentos que acontecem na natureza e no meio industrial satildeo
turbulentos estes tem um alto grau de complexidade e portanto deve-se lanccedilar matildeo de modelos
matemaacuteticos de turbulecircncia acrescentando termos as equaccedilotildees anteriormente citadas Os modelos
de turbulecircncia levam em conta variaacuteveis estatiacutesticas pois escoamentos turbulentos satildeo altamente
caoacuteticos e com isto haacute a necessidade de ferramentas estatiacutesticas para representar os escoamentos
turbulentos
A Figura 9 mostra campos de velocidade e distribuiccedilatildeo de soacutelido dentro do riser com
o regime de fluxo feito por CFD (ARMSTRONG L M 2010) Uma uacutenica velocidade de injeccedilatildeo e
diferentes alturas ao longo do riser Outros exemplos satildeo ilustrados nas Figuras 10 e 11
2 satildeo equaccedilotildees diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos Permitem determinar os
campos de velocidade e de pressatildeo num escoamento
Figura 9 Distribuiccedilatildeo de velocidades e defraccedilatildeo de soacutelido para diferentes alturas
33
28 Tempo de Aquisiccedilatildeo ou Integraccedilatildeo
Detectores de radiaccedilatildeo precisam sempre de um certo tempo (tempo de integraccedilatildeo)
para obter sinal razoaacutevel dos foacutetons incidentes Isto eacute devido agrave estatiacutestica de Poisson que regula o
processo de contagem de foacutetons e pode aumentar consideravelmente a incerteza do sinal detectado
no caso de um tempo de integraccedilatildeo baixo No domiacutenio da frequecircncia a mediccedilatildeo de sinal com um
tempo de integraccedilatildeo eacute aproximadamente equivalente a multiplicar o sinal original por um filtro
passa - baixa Quando uma amostra estaacute em repouso no interior do tomoacutegrafo eacute vantajosa a
utilizaccedilatildeo de um tempo de integraccedilatildeo alto para rejeitar ruiacutedo de alta frequecircncia Para a escolha do
tempo de integraccedilatildeo ideal deve-se estabelecer um equiliacutebrio entre a velocidade da amostra e o ruiacutedo
Poisson (MAAD 2009)
29 Sistema de cores RGB
RGB eacute a abreviatura do sistema de cores aditivas formado por Vermelho (Red)
Verde (Green) e Azul (Blue) O propoacutesito principal do sistema RGB eacute a reproduccedilatildeo de cores em
dispositivos eletrocircnicos como monitores de TV e computador datashows scanners e cacircmeras
digitais assim como na fotografia tradicional Em contraposiccedilatildeo impressoras utilizam o modelo
Figura 11 Visatildeo 3D de uma distribuiccedilatildeo de fraccedilatildeode soacutelido feito por CFD
Figura 10 Secccedilatildeo comdistribuiccedilatildeo de soacutelido que
seraacute utilizada como PhantomMatemaacutetico
34
CMYK de cores subtrativas Modelos aditivos de luzes satildeo combinados de vaacuterias maneiras para
reproduzir outras cores
O modelo de cores RGB eacute baseado na teoria de visatildeo colorida tricromaacutetica de
Young-Helmholtz e no triacircngulo de cores de Maxwell O uso do modelo RGB como padratildeo para
apresentaccedilatildeo de cores na Internet tem suas raiacutezes nos padrotildees de cores de televisotildees RCA de 1953 e
no uso do padratildeo RGB nas cacircmeras LandPolaroid poacutes Edwin Land
Estas trecircs cores natildeo devem ser confundidas com os pigmentos primaacuterios Ciano
Magenta e Amarelo conhecidos no mundo das artes como ldquocores primaacuteriasrdquo jaacute que se combinam
baseadas na reflexatildeo e absorccedilatildeo de foacutetons visto que o RGB depende da emissatildeo de foacutetons de um
componente excitado a um estado de energia mais elevado (fonte emissora por exemplo o tubo de
raios catoacutedicos)
O modelo de cores RGB por si soacute natildeo define o que significa ldquovermelhordquo ldquoverderdquo ou ldquoazulrdquo
(espectroscopicamente) e entatildeo os resultados de misturaacute-los natildeo satildeo tatildeo exatos (e sim relativos na
meacutedia da percepccedilatildeo do olho humano)
Uma cor no modelo de cores RGB pode ser descrita pela indicaccedilatildeo da quantidade de
vermelho verde e azul que conteacutem Cada uma pode variar entre o miacutenimo (completamente escuro)
e maacuteximo (completamente intenso) Quando todas as cores estatildeo no miacutenimo o resultado eacute preto Se
todas estatildeo no maacuteximo o resultado eacute branco (GONZALES 2014)
Uma das representaccedilotildees mais usuais para as cores eacute a utilizaccedilatildeo da escala de 0 agrave 255
bastante encontrada na computaccedilatildeo pela conveniecircncia de se guardar cada valor de cor em 1 byte (8
bits) Assim o vermelho completamente intenso eacute representado por 255 0 0
Branco - RGB (255 255 255) Azul - RGB (0 0 255) Vermelho - RGB (255 0 0)
Verde - RGB (0 255 0)Amarelo - RGB (2552550)Magenta - RGB (2550255)
Ciano - RGB (0 255 255) Preto - RGB (0 0 0)
35
As cores satildeo complementares agraves do sistema CMYK - Ciano (Cyan) Magenta
(Magenta) Amarelo (Yellow) e Preto (blacKKey) - e a sua mistura forma a cor branca
210 MCNP
O meacutetodo Monte Carlo eacute um algoritmo numeacuterico capaz de resolver problemas fiacutesicos e
matemaacuteticos por meio de simulaccedilatildeo de variaacuteveis aleatoacuterias (SOBOL 1994 BIELAJEW 1998)
Hoje em dia o MCNP eacute uma ferramenta matemaacutetica comumente utilizada em diversos segmentos
da ciecircncia e da engenharia para simular problemas que podem ser representados por processos
estocaacutesticos Simulaccedilotildees do transporte de radiaccedilatildeo por meio deste meacutetodo e em particular na Fiacutesica
Meacutedica tecircm passado por um raacutepido crescimento nas uacuteltimas deacutecadas (YORIYAZ 2009)
O processo Monte Carlo pode ser compreendido como um meacutetodo de geraccedilatildeo de nuacutemeros
aleatoacuterios (ROBERT amp CASELLA 2004) Um gerador uniforme de nuacutemeros pseudoaleatoacuterios eacute
um algoritmo que comeccedilando com um valor inicial e uma transformaccedilatildeo produz uma sequecircncia de
valores no intervalo [0 1] tendo esta sequecircncia um comportamento de uma variaacutevel aleatoacuteria
uniforme quando comparada com um conjunto de testes aleacutem de ser independente e identicamente
distribuiacuteda (ROBERT amp CASELLA 2004) Em termos de transporte de radiaccedilatildeo o processo
estocaacutestico pode ser visto como uma famiacutelia de partiacuteculas cujas coordenadas individuais soacute mudam
aleatoriamente em cada colisatildeo O comportamento meacutedio dessas partiacuteculas eacute descrito em termos de
Figura 12Sistema RGB
36
grandezas macroscoacutepicas como fluxo ou densidade de partiacuteculas (YORIYAZ 2009)
O Monte Carlo N Particle ndash MCNP - foi criado desde a deacutecada de 50 nos Estados
Unidos sendo desenvolvido por meio do laboratoacuterio Los Alamos National Laboratory O MCNP
continua ateacute hoje sendo aperfeiccediloado tornando-se assim mais confiaacutevel e usado por muitos
pesquisadores no mundo inteiro Eacute um coacutedigo que realiza o transporte de partiacuteculas utilizando o
meacutetodo Monte Carlo com capacidade para simular necircutrons com energias entre 10-11 MeV a 20
MeV enquanto que a faixa de energia para os foacutetons e eleacutetrons vai de 1 keV a 1000 MeV
(BRIESMEISTER 2000) O coacutedigo MCNP tem a capacidade de simular sistemas com geometrias
que vatildeo de superfiacutecies preacute-determinadas como esferas planos paraboloacuteides de revoluccedilatildeo cilindros
elipsoacuteides ateacute superfiacutecies bem elaboradas utilizando conjunto de pontos no espaccedilo
O pesquisador ao utilizar o MCNP constroacutei um arquivo de entrada no coacutedigo que
pode ser organizado em blocos descrevendo regiotildees envolvidas no modelo especificaccedilatildeo da
geometria por meio de superfiacutecies geomeacutetricas e suas intersecccedilotildees posiccedilatildeo e distribuiccedilatildeo energeacutetica
da fonte descriccedilatildeo dos materiais e todos os paracircmetros fiacutesicos agregados com algumas teacutecnicas de
reduccedilatildeo de variacircncia para melhorar a eficiecircncia e obter melhores resultados (BRIESMEISTER
2000) A versatilidade somado ao aspecto funcional do coacutedigo MCNP para diferentes tipos de
problemas faz com que este seja bem aceito na comunidade cientiacutefica que trabalham com transporte
de radiaccedilotildees e caacutelculos de dose
37
3 METODOLOGIA
Para descobrir ateacute onde processos tomograacuteficos de baixa resoluccedilatildeo temporal aliados
a algoritmos de reconstruccedilatildeo estaacutetica satildeo compatiacuteveis com o regime em estudo foram avaliadas
aquisiccedilotildees simuladas de 1ordf 3ordf e 5ordf geraccedilotildees tomograacuteficas A variaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo de densidades
durante a aquisiccedilatildeo faz necessaacuterio o desenvolvimento de uma versatildeo da lei de Beer-Lambert para
casos dinacircmicos seguida de sua aplicaccedilatildeo para realizar as simulaccedilotildees O meacutetodo eacute separado em duas
fases
1ordf Fase
A metodologia desenvolvida aplica primeiro o modelo de simulaccedilatildeo de sinogramas
desenvolvida analiticamente agrave primitivas matemaacuteticas e posteriormente a dados do MCNPX e CFD
1) Eacute criado um modelo de simulaccedilatildeo de sinogramas para distribuiccedilotildees
dinacircmicas utilizando a versatildeo temporal desenvolvida da lei de Beer-Lambert e da transformada de
Radon tambeacutem temporal
2) A simulaccedilatildeo eacute testada com primitivas matemaacuteticas dinacircmicas como um
ciacuterculo crescente ou transladando ou ambos A escolha eacute pautada em sua representaccedilatildeo precisa por
funccedilotildees matemaacuteticas e por representar diversos processos industriais(A simulaccedilatildeo com o disco
representa a secccedilatildeo de um cilindro ou bolha)
3) Os resultados satildeo apresentados em forma de imagens e graacuteficos A
visualizaccedilatildeo do sinograma eacute bastante utilizada para determinaccedilatildeo de caracteriacutesticas do objeto
4) O modelo de simulaccedilatildeo eacute ao aplicado a dados do CFD
2ordf Fase
O meacutetodo desenvolvido propotildee uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens
tomograacuteficas de processos dinacircmicos pois utiliza canais de cores para mostrar a evoluccedilatildeo temporal
do processo O algoriacutetmo de reconstruccedilatildeo utilizado eacute o MART devido a sua boa performance com
nuacutemero limitado de dados
Nesta fase eacute realizada a reconstruccedilatildeo tradicional que eacute associada aos canais verde (G)
e azul (B) enquanto que o canal vermelho (R) fica responsaacutevel pela evoluccedilatildeo temporal do processo
O meacutetodo eacute descrito na seccedilatildeo 33
38
A reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento eacute utilizada com conhecimento do vetor
deslocamento meacutedio ou sua estimativa O meacutetodo escolhido modifica a matriz de pesos do
algoritmo algeacutebrico deslocando suas colunas de acordo com o modelo de movimento estimado
(ARTEMIEV V M NAUMOV A O 2006) (BUTALA 2009) (DESBAT L et al 2006)
Com o resultado das simulaccedilotildees o sistema tomograacutefico pode ser otimizado
(diminuiccedilatildeo do nuacutemero de projeccedilotildees e vistas)
31 A Transformada de Radon Temporal
regiatildeo (espaccedilo de medida) na qual seraacute feita a aquisiccedilatildeo de dados
considere a funccedilatildeo densidade onde
Neste sistema um ponto pode ser
mapeado por como
complemento unitaacuterio perpendicular a
ao longo da reta eacute dada por
(22)
39
depende natildeo apenas de x e y mas de com sendo a
variaacutevel tempo Definimos entatildeo
(23)
onde e o tempo final da mesma medida
Lema 1 ou seja se eacute
estaacutetico ao longo do tempo a transformada dinacircmica reduz-se a convencional
Demostraccedilatildeo
Figura 13 Sistema de Coordenadas
θ
x
y
ξξ
s
x (xy
)
40
Lema 2 e portanto se a
leitura for ldquoraacutepidardquo o caso dinacircmico mais uma vez reduz-se ao caso estaacutetico
Demostraccedilatildeo
Pelo teorema do valor meacutedio integral (TVMI) temos que se f eacute contiacutenua entatildeo
para algum tal que
usando o TVMI
K(γ)
41
32 Lei de Beer-Lambert temporal
Como a natureza da lei exige que os tempos de contagens sejam iguais para que estas
sejam comparadas apenas a variaccedilatildeo da intensidade da radiaccedilatildeo com a distacircncia eacute geralmente
explorada Sabendo que esses intervalos de tempo de contagem satildeo despreziacuteveis em relaccedilatildeo ao
tempo de meia vida da fonte e que a probabilidade de emissatildeo se manteacutem constante ao longo do
mesmo tempo pode-se supor que a intensidade seja diretamente proporcional ao tempo Ou seja
(24)
Neste caso a distribuiccedilatildeo de coeficientes de atenuaccedilotildees varia tambeacutem com o tempo
ou seja torna-se
(25)
ou
(26)
O modelo discreto aplica a lei de Beer-Lambert em sua forma estaacutetica para cada
particcedilatildeo de tempo assumindo que durante o infinitesimal de tempo o coeficiente e a distacircncia
percorrida permanecem constantes
(27)
42
(28)
33 Simulaccedilatildeo de aquisiccedilotildees Tomograacuteficas
O processo de aquisiccedilatildeo tomograacutefica consiste em coletar intensidades iniciais e finais
em determinados caminhos percorridos pelos feixes de radiaccedilatildeo Os dados podem ser tratados com
filtros etc Optou-se em natildeo realizar tratamento para natildeo inserir mais variaacuteveis ao processo
garantindo que os resultados sejam alcanccedilados soacute pelo meacutetodo proposto
Como jaacute foi dito na seccedilatildeo 26 para calcular a intensidade final para um caminho i
faz-se
(29)
A funccedilatildeo eacute representada pelas imagens de testes chamadas neste trabalho de
quadros ou frames configurados pela distribuiccedilatildeo de densidades escolhida Em todos os casos
optou-se por densidades unitaacuterias para qualquer distribuiccedilatildeo ou seja dois valores satildeo possiacuteveis em
uma imagem de teste 0 ou 1 Um pixel com valor 0 corresponde a uma regiatildeo sem atenuaccedilatildeo e os
pixels que compotildeem o objeto simulado tem valor 1
Com calculado da figura e de meacutedia fixa variando a cada projeccedilatildeo
com o desvio padratildeo de Poisson para todas as projeccedilotildees as projeccedilotildees satildeo calculadas com
O conjunto de todas as projeccedilotildees eacute ordenado em uma matriz chamada de sinograma
331 Aquisiccedilatildeo por Tomografia de 1ordf Geraccedilatildeo
Dois tipos de situaccedilotildees podem ocorrer
1) Uma uacutenica projeccedilatildeo 1D eacute realizada e durante todo o tempo de integraccedilatildeo nenhuma
mudanccedila ocorre na distribuiccedilatildeo ao longo do raio podendo mais de uma aquisiccedilatildeo 1D ser aferida
para mesma distribuiccedilatildeo ou frame Neste caso a intensidade final eacute calculada utilizando a lei de
43
Beer-Lambert durante todo o tempo de integraccedilatildeo para cada raio como ilustrado na Figura 15
Para calcular a intensidade final para uma projeccedilatildeo i faz-se
(30)
2) Durante a aquisiccedilatildeo ocorre mudanccedila na distribuiccedilatildeo de densidades ao longo do
feixe Como foi exposto na seccedilatildeo 31 o somatoacuterio de intensidades finais do raio em cada quadro
(frame) retorna a intensidade final total para um certo tempo de aquisiccedilatildeo Figura 16
Figura 15 Projeccedilotildees 1D sem mudanccedila de frame
44
Entatildeo para cada frame eacute feita
e para a discretizaccedilatildeo de um intervalo de tempo
No exemplo ilustrado na Figura 16 a intensidade final depois do tempo de integraccedilatildeo
correspondente ao frame b fica
3) Natildeo ocorre mudanccedila na distribuiccedilatildeo durante toda a coleta de aquisiccedilotildees 1D em uma vista
4) Natildeo ocorre mudanccedila durante a aquisiccedilatildeo de todas as vistas Neste caso a distribuiccedilatildeo pode
ser tratada como estaacutetica
Figura 16 Projeccedilotildees 1D com mudanccedila de frame
1ordf aquisiccedilatildeo - Quadro a 1ordf aquisiccedilatildeo - Quadro b
45
332 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 3ordf geraccedilatildeo
A vantagem do meacutetodo eacute adquirir vaacuterias projeccedilotildees 1D ao mesmo tempo
Possibilitando um maior volume de dados em um tempo menor quando comparado ao de 1ordf
geraccedilatildeo Dois casos satildeo possiacuteveis
1) O tempo de integraccedilatildeo eacute suficiente para realizar uma vista completa ou mais por
quadro ou frame Figura 17
Figura 17 Mais de uma vista por frame
46
2) Mais de um quadro por vista Figura 18
333 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 5ordf geraccedilatildeo
Nesta situaccedilatildeo vaacuterias vistas satildeo adquiridas durante a mudanccedila da distribuiccedilatildeo Figura 19
Figura 19 Mais de um frame durante a aquisiccedilatildeo
Figura 18 Mais de um frame por vista
47
34 Posicionamento angular
O posicionamento angular tradicionalmente eacute feito com um conjunto de acircngulos
igualmente espaccedilados ordenados de forma crescente cobrindo o intervalo de 0ordm a 180ordm ou 360ordm A
ordem em que as projeccedilotildees ou vistas satildeo adquiridas natildeo importa porque o objeto em estudo eacute
estaacutetico
A proposta para tomografia dinacircmica de 1ordf e 3ordf geraccedilotildees eacute que o posicionamento seja
feito em subconjuntos que completem um ciclo Por exemplo o conjunto de vistas posicionadas
consecutivamente em 0ordm 45ordm 90ordm 135ordm 180ordm 225ordm 270ordm 315ordm pode ser reordenada em ciclos como
0ordm 90ordm 180ordm 270ordm Primeiro ciclo
45ordm 135ordm 225ordm 315ordm Segundo ciclo
A vantagem desse arranjo eacute que num determinado momento ao se preferir um
sinograma completo mas esparso em contraposiccedilatildeo a um sinograma incompleto mas denso eacute que as
informaccedilotildees vatildeo ser disponibilizadas na forma de imagem reconstruiacuteda mais cedo durante o
processo facilitando a interpretaccedilatildeo das informaccedilotildees Eacute uma escolha entre anaacutelise global esparsa
versus anaacutelise local densa
A nova ordenaccedilatildeo gera uma imagem reconstruiacuteda mais proacutexima do objeto dinacircmico e
abre a possibilidade de reconstruccedilotildees parciais com os subconjuntos de dados mais consistentes com
a dinacircmica do processo
35 Utilizaccedilatildeo de um canal de cores para visualizar a dinacircmica do processo Reconstruccedilatildeo RGB
Uma caracteriacutestica da imagem reconstruiacuteda tradicionalmente em processos
industriais dinacircmicos eacute a falta de informaccedilatildeo temporal ou seja obtecircm-se informaccedilotildees da meacutedia da
distribuiccedilatildeo mas natildeo se sabe em que tempo ocorreram as mudanccedilas de padratildeo de fluxo A proposta
desenvolvida neste trabalho pondera cada perfil adquirido com um fator dependente do tempo
criando esta distinccedilatildeo
O meacutetodo desenvolvido propotildee uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens
tomograacuteficas de processos dinacircmicos pois utiliza canais de cores para mostrar a evoluccedilatildeo temporal
do processo Nesta fase eacute realizada a reconstruccedilatildeo tradicional e a mesma eacute associada aos canais
verde (G) e azul (B) enquanto que ao canal vermelho (R) eacute associada a evoluccedilatildeo temporal do
processo Uma cor no modelo de cores RGB pode ser descrita pela indicaccedilatildeo da quantidade de
48
vermelho verde e azul que conteacutem Cada uma pode variar entre o miacutenimo (completamente escuro)
e maacuteximo (completamente intenso) Quando todas as cores estatildeo no miacutenimo o resultado eacute preto Se
todas estatildeo no maacuteximo o resultado eacute branco Uma das representaccedilotildees mais usuais para os canais eacute a
utilizaccedilatildeo da escala de 0 agrave 255 (GONZALES 2014)
O meacutetodo consiste em
1) Simular as projeccedilotildees que equivalem na utilizaccedilatildeo real de um experimento agrave
coleta de dados de intensidades finais e iniciais pelo detetor
2) Reconstruir com esses dados a distribuiccedilatildeo de densidades Foi utilizado o MART
com relaxaccedilatildeo 02 e criteacuterio de parada 1
3) Associar esta reconstruccedilatildeo aos canais G e B
4) Binarizar a imagem reconstruiacuteda entre 0 e 150 O limiar (threshold) utilizado foi
empiacuterico e de 50 do maior valor da imagem
5) Penalizar as projeccedilotildees da primeira agrave uacuteltima com um fator empiacuterico crescente com
o tempo Normalizar as projeccedilotildees de cada vista por 105
6) Realizar a retroprojeccedilatildeo nos pixels com suas respectivas projeccedilotildees
7) Associar ao canal R
8) Juntar todos os canais em uma uacutenica imagem A reconstruccedilatildeo tradicional e a
reconstruccedilatildeo RGB satildeo visualizadas em uma uacutenica imagem onde os tons de vermelho correspondem
agrave evoluccedilatildeo temporal da dinacircmica do processo
36 Reconstruccedilatildeo utilizando dados do CFD
Dados da simulaccedilatildeo de fluxo bifaacutesico satildeo gerados em forma de imagens 2D da distribuiccedilatildeo
em secccedilotildees transversais ao longo do tubo Os dados satildeo coletados para uma uacutenica altura ou seja
secccedilatildeo As diversas imagens de uma uacutenica secccedilatildeo representam a evoluccedilatildeo temporal do fluxo
naquela regiatildeo O conjunto de 8 imagens exemplificam o comportamento do fluxo em intervalos
de tempo de 00025s
A altura da secccedilatildeo em m o tipo de injetor a vazatildeo volumeacutetrica em Lmim e o fluxo de
catalisador satildeo dados de entrada na simulaccedilatildeo do CFD mas natildeo fazem parte das simulaccedilotildees de
aquisiccedilotildees tomograacuteficas utilizadas nesse estudo As imagens portam as informaccedilotildees que seratildeo
utilizadas nas simulaccedilotildees de aquisiccedilatildeo das projeccedilotildees
49
37 Avaliaccedilatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo com RMSE
As teacutecnicas de avaliaccedilatildeo de algoritmos de reconstruccedilatildeo mais utilizadas na literatura
satildeo raiz do erro quadraacutetico meacutedio erro meacutedio relativo absoluto e erros baseados em entropia Para
o caso de simulaccedilotildees com figuras de testes bem definidas (phantoms matemaacuteticos) as teacutecnicas
podem ser aplicadas comparando a imagem reconstruiacuteda com a imagem original O mesmo
procedimento repete-se para phantoms reais onde a distribuiccedilatildeo de densidades eacute bem conhecida Os
sinogramas tambeacutem podem ser avaliados
Gordon e Herman (GORDON 1974 HERMAN 1973 HERMAN 1976) usaram a
raiz do erro quadraacutetico meacutedio para avaliar o quanto a figura reconstruiacuteda aproxima-se da original A
definiccedilatildeo do erro eacute
(31)
Onde
eacute o valor original do pixel
o pixel reconstruiacutedo
o nuacutemero total de pixels da imagem ou sinograma
50
38 Algoritmos e Software Desenvolvidos
Diversas rotinas foram implementadas no Matlab Suas funccedilotildees satildeo para calculo de
projeccedilotildees sinogramas resoluccedilatildeo por ART MART calculo da Matriz de pesos resoluccedilatildeo de
sistemas Aleacutem das jaacute disponiacuteveis no programa como Resoluccedilatildeo por FBP filtros de imagem
operaccedilatildeo com matrizes visualizaccedilatildeo de graacuteficos etc As rotinas estatildeo disponiacuteveis no Anexo-I
Devido agrave grande dimensatildeo da matriz de pesos nos algoritmos algeacutebricos ficou
inviaacutevel sua operaccedilatildeo em alguns casos no Matlab O software Tomography Workstation-TW foi
desenvolvido em C com este propoacutesito Apresenta opccedilotildees de reconstruccedilatildeo ART MART SIRT e
SART Figura 39 Tambeacutem tem as funccedilotildees para carregar tomogramas e sinogramas
Figura 20 Software Desenvolvido
51
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO
Os resultados foram divididos nas seguintes seccedilotildees
bull Aumento do nuacutemero de iteraccedilotildees na Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica Dinacircmica
bull Resultados das reconstruccedilotildees MART e FBP
bull Escolha do posicionamento angular (vistas alternadas)
bull Resultados com reconstruccedilatildeo RGB
bull Simulaccedilotildees com MCNP
bull Reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento
bull Simulaccedilotildees tomograacuteficas a partir do CFD
41 Resultados das Reconstruccedilotildees MART e FBP
As imagens de teste (phantoms) foram utilizadas para avaliar os resultados das
reconstruccedilotildees MART e FBP
411 Primitiva Ciacuterculo Transladando 1 vista por frame
A simulaccedilatildeo consiste em oito distribuiccedilotildees representadas por imagens (quadros ou
frames) de 64x64 pixels com um disco de densidade unitaacuteria e raio fixo Natildeo ocorre mudanccedila
durante a simulaccedilatildeo de uma aquisiccedilatildeo ou varredura Esta aplicaccedilatildeo simula as tomografias de 1ordf e 3ordf
geraccedilatildeo
O disco Raio = 2 pixels deslocamento de 7 pixels entre os centros dos discos de
quadros consecutivos A imagem eacute reconstruiacuteda por FBP e MART
Os frames satildeo ilustrados na Figura 21 e a meacutedia dos oito na Figura 22 Cada imagem
eacute ilustrada na escala de 64 x 64 pixels
52
Figura 21 8 frames - ciacuterculo transladando - 1 vista por frame
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 22 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
53
Os oito picos do sinograma Figura 23 ilustram a captura do disco em diferentes
posiccedilotildees
A Figura 24 ilustra o sinograma em forma de imagem onde cada valor de pixel eacute
convertido para uma escala de cor O eixo vertical (linhas do sinograma) representa a passo linear
(posiccedilatildeo das trajetoacuterias dos feixes) e o horizontal o passo angular (Nuacutemero de vistas)
Figura 23 Tomograma e sinograma ndash circulo transladando ndash 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
05
1
15
2
25
3
35
4
45
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 700
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
54
Os resultados das reconstruccedilotildees FBP e MART satildeo ilustrados na Figura 25
A reconstruccedilatildeo por FBP mostra diversos artefatos natildeo dando para identificar o
nuacutecleo nem a tendecircncia de movimento Os artefatos formam oito faixas um para cada vista ou
projeccedilatildeo Estes artefatos em faixa satildeo comuns no FBP para um baixo nuacutemero de vistas
O MART difere da imagem meacutedia mostrando um arqueamento para direita devido ao
movimento simulado e o sentido anti-horaacuterio das aquisiccedilotildees Eacute um artefato de movimento
Figura 25 Reconstruccedilotildees circulo transladando ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Figura 24 Sinogramascirculo transladando ndash 1 vista por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
55
412 Primitiva Ciacuterculo Transladando Oito vistas por frame
O objetivo desta simulaccedilatildeo eacute descobrir como se comportam os algoritmos em uma
tomografia de 5ordf geraccedilatildeo onde todas as aquisiccedilotildees satildeo realizadas ao mesmo tempo Nesta situaccedilatildeo
as oito vistas satildeo realizadas simultaneamente enquanto ocorre a mudanccedila das distribuiccedilotildees (Figura
19) Figuras com 64x64 pixels raio fixo de 2 pixels deslocamento de 5 pixels
Figura 26 Tomograma e Sinograma - disco transladando - 8 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
05
1
15
2
25
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 7001
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
56
Os resultados das reconstruccedilotildees satildeo ilustrados na Figura 28
As reconstruccedilotildees ficam mais proacuteximas da imagem meacutedia porque todas as vistas satildeo
adquiridas ao mesmo tempo durante todo o processo O FBP perde a definiccedilatildeo dos discos e forma
um artefato central vertical O MART reconstroacutei o disco nas oito posiccedilotildees Cada disco eacute
reconstruiacutedo ilustrando os oito instantes de tempo que foram simulados
Figura 27 Sinogramas CiacuterculoTransladando -Oito vistas por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Figura 28 Reconstruccedilotildees Ciacuterculo Transladando -Oito vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
57
413 Primitiva Circulo Crescente Uma vista por frame
A simulaccedilatildeo consiste em oito distribuiccedilotildees em forma de ciacuterculo concecircntricas com um
aumento 2 pixels entre distribuiccedilotildees consecutivas (Figura 29) Oito vistas satildeo adquiridas
simultaneamente para simular a tomografia de 5ordf geraccedilatildeo
Abaixo a imagem meacutedia aritmeacutetica das oito distribuiccedilotildees eacute ilustrada na Figura 29 A
aacuterea central eacute mais escura porque eacute coincidente para os oito ciacuterculos
Figura 30 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Figura 29 8 frames - circulo crescente - 1 vista por frame
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
58
Tanto o sinograma quanto o tomograma ilustram o crescimento do disco Figura
411
Figura 31 Tomograma e sinograma - ciacuterculo crescente - 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 700
10
20
30
40
50
60
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
59
O sinograma em forma de imagem eacute mostrado abaixo (Figura 32)
O aumento vertical das faixas eacute devido ao crescimento do disco
As duas reconstruccedilotildees apresentam artefatos de rotaccedilatildeo que dificultam a identificaccedilatildeo
da tendecircncia de movimento ou da distribuiccedilatildeo espacial dos discos (Figura 33)
Figura 32 Imagem do sinograma -ciacuterculo crescente - 1 vista por frame
Sinograma
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
Figura 33 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
60
414 Primitiva Circulo Crescente Oito vistas por frame
Neste caso ocorre mudanccedila de frame com a vista Para cada distribuiccedilatildeo tem-se uma
vista diferente Figura 34
Figura 34 Tomograma e sinograma - circulo crescente - 8 vista por frame
29 30 31 32 33 340
05
1
15
2
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3701
02
03
04
05
06
07
08
09
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
61
A posiccedilatildeo central que eacute comum a todos os frames eacute reconstruiacuteda nos dois casos O
FBP mostra a presenccedila de artefatos de Moireacute (Figura 36) O MART mostra poucos artefatos e
mostra uma regiatildeo borrada ao redor do ciacuterculo central indicando os discos maiores
Figura 35 Sinogramas circulo crescente ndash 8vistas por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Figura 36 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 8 vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
62
42 Vistas Alternadas
Alguns testes foram realizados para estudar o posicionamento angular quando
ordenado de forma sequencial e alternada O conjunto de vistas posicionadas consecutivamente em
0ordm 45ordm 90ordm 135ordm 180ordm 225ordm 270ordm 315ordm foram reordenadas em dois ciclos
0ordm 90ordm 180ordm 270ordm para o primeiro ciclo
45ordm 135ordm 225ordm 315ordm para o segundo ciclo
As seguintes situaccedilotildees foram exploradas
Disco transladando - 1 Vista por frame
Cada distribuiccedilatildeo (quadro) eacute capturado em um instante de tempo diferente Os
acircngulos utilizados em cada quadro satildeo apresentados na Tabela 1
Tabela 1 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 1 vista por frame
Quadro 1ordm 2ordm 3ordm 4ordm 5ordm 6ordm 7ordm 8ordm
Vista 0ordm 90ordm 180ordm 270ordm 45ordm 135ordm 225ordm 315ordm
Reconstruccedilotildees
Figura 37 Reconstruccedilotildees disco transladando - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
63
Dois ciclos satildeo suficientes para natildeo formaccedilatildeo do artefato de rotaccedilatildeo (arqueamento)
A reconstruccedilatildeo com vistas alternadas mostra-se mais coerente com a imagem meacutedia (Figura 37)
Disco transladando - 2 Vistas por frame
Com duas vistas por quadro totaliza-se quatro quadros A associaccedilatildeo eacute ilustrada na
Tabela 2
Tabela 2 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 2 vistas por frame
Quadro 1ordm 2ordm 3ordm 4ordm
Vista 0ordm e 45ordm 90ordm e 135ordm 180ordm e 225ordm 270ordm e 315ordm
A reconstruccedilatildeo encontra-se mais proacutexima da imagem meacutedia do que na situaccedilatildeo com
vista sucessivas (Figura 38)
Disco Transladando - 4 Vistas por frame
Apenas dois quadros satildeo suficientes Tabela 3
Tabela 3 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 4 vistas por frame
Quadro 1ordm 2ordm
Vista 0ordm 90ordm 180ordm e 270ordm 45ordm 135ordm 225ordm 315ordm
Figura 38 Reconstruccedilotildees disco transladando - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
64
Reconstruccedilotildees
Disco crescente - 1 Vista por frame
A configuraccedilatildeo das vistas eacute a mesma utilizada na Tabela 1 uma vista por frame
A reconstruccedilatildeo com vistas alternadas Figura 40 apresenta uma reduccedilatildeo nos artefatos
de rotaccedilatildeo mostrando uma distribuiccedilatildeo espacial mais proacutexima da imagem meacutedia (Figura 40)
Disco crescente - 2 Vistas por frame
A configuraccedilatildeo das vistas eacute mesma da Tabela-2
Figura 39 Reconstruccedilotildees disco transladando - 4 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Figura 40 Reconstruccedilotildees disco crescente - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
65
Com o aumento do nuacutemero de vistas a distribuiccedilatildeo torna-se mais central
aproximando-se da imagem meacutedia (Figura 41)
43 Resultados com RGB
As situaccedilotildees jaacute utilizadas nas seccedilotildees 41 e 42 satildeo testadas com visualizaccedilatildeo RGB
Para todos os casos a primeira reconstruccedilatildeo (MART) eacute realizada com matriz inicial de valores
unitaacuterios relaxaccedilatildeo 02 e nuacutemero de iteraccedilotildees definido pela convergecircncia de 05 e em seguida a
normalizada por 150
Os sinogramas satildeo ponderados pelo conjunto de fatores que variam de 01 a 09
linearmente espaccedilados Os valores foram escolhidos empiricamente
Em seguida eacute realizada a reconstruccedilatildeo com o sinograma jaacute ponderado e seus valores
normalizados no intervalo de 150 a 255
Figura 41 Reconstruccedilotildees disco crescente - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
66
bull Ciacuterculo transladando ndash 1 Vista por frame
Um disco para cada instante de tempo totalizando oito distribuiccedilotildees Figura 42
Para o ciacuterculo transladando verticalmente com 1 vista por frame temos um
clareamento na parte inferior da distribuiccedilatildeo indicando que esta regiatildeo traz informaccedilotildees mais
recentes (Figura 42)
A reconstruccedilatildeo com MART RGB por usar como base a distribuiccedilatildeo espacial da
reconstruccedilatildeo MART mostra o clareamento vermelho na parte inferior da figura indicando que
ocorreu movimento nesse sentido
bull Ciacuterculo transladando ndash 2 Vistas por frame
Satildeo quatro distribuiccedilotildees uma para cada instante de tempo configurando duas vistas
por frame
Figura 42 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 1 vista por frame
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
67
O clareamento do vermelho na reconstruccedilatildeo RGB indica que a parte inferior da
reconstruccedilatildeo corresponde ao uacuteltimo instante de tempo
bull Ciacuterculo transladando ndash 4 Vistas por frame
Quatro vistas por frame foram utilizadas na configuraccedilatildeo das proacuteximas trecircs situaccedilotildees
(Figura 44 Figura 45 Figura 46) O deslocamento para o disco vertical eacute utilizado com trecircs valores
distintos
A primeira situaccedilatildeo ilustra dois instantes de tempo com dois diacircmetros de distacircncia
entre os centros dos discos Figura 44
Figura 43 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
68
A proacutexima situaccedilatildeo eacute criada com 4 diacircmetros de distacircncia entre centros entre o
primeiro e segundo instantes de tempo Figura 45 Cada disco corresponde a distribuiccedilatildeo exata em
um instante
Figura 44 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 45 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
69
A terceira situaccedilatildeo visa estudar o comportamento da reconstruccedilatildeo proposta quando
haacute coincidecircncia em parte da distribuiccedilatildeo espacial Satildeo quatro instantes de tempo e uma distacircncia
com menos de um diacircmetro de distacircncia entre centros consecutivos Figura 46
bull Ciacuterculo crescente ndash duas vistas por frame
A simulaccedilatildeo totaliza 4 frames e oito vistas consecutivas Duas por frame
Apesar da situaccedilatildeo com ciacuterculo crescente e duas vistas por frame natildeo mostrar boa
reconstruccedilatildeo a imagem reconstruiacuteda difere bastante da original como jaacute mostrado na seccedilatildeo 413
tambeacutem mostra concordacircncia com os outros resultados RGB pois mostra uma regiatildeo central com
Figura 46 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 47 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo crescente - 2 vistas por frame
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
70
vermelho mais claro O clareamento deve-se a regiatildeo que eacute coincidente para todos os ciacuterculos
O problema que surge eacute que para esta situaccedilatildeo o clareamento para o vermelho criado
pela reconstruccedilatildeo RGB se confunde com a superposiccedilatildeo dos ciacuterculos da reconstruccedilatildeo tradicional
criado na regiatildeo central
44 Simulaccedilotildees com MCNPX
Os frames que anteriormente foram obtidos analiticamente com o objetivo de
encontrar as projeccedilotildees agora satildeo representados por cartotildees de entrada para o MCNPX A simulaccedilatildeo
gera como saiacuteda a intensidade relativa Foram criadas as situaccedilotildees jaacute expostas na seccedilatildeo 41 A
configuraccedilatildeo das simulaccedilotildees eacute
bull Objeto Cilindro Raio = 5cm Material Al = 000746 cm-1
bull Fonte 137Cs Atividade 5 mCi
bull Colimaccedilatildeo Pb fonte - detetor 5vmm
bull Nuacutemero de histoacuterias 100000
441 Circulo Transladando ndash 1vista por frame
Oito geometrias foram simuladas com o objetivo de encontras as projeccedilotildees
equivalentes as 8 vistas Cada vista captura o disco em um instante de tempo diferente totalizando
oito frames Na Figura 48 ilustra-se o disco (em amarelo) em diferentes posiccedilotildees com e as
respectivas a posiccedilotildees da fonte colimada indicando mudanccedila angular (em roxo e azul)
71
O meacutetodo retorna o (relaccedilatildeo entre Ifinal e o Iinicial) A matriz de intensidades relativas eacute
denominada tomograma e tem as suas colunas ordenadas por vista(Figura 49)
As projeccedilotildees satildeo encontradas fazendo e o conjunto de vistas
ordenadas em colunas eacute denominado sinograma(Figura 50)
Figura 49 Tomograma via MCNPX - 1 Vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 70
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma Por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 48 Geometria Circulo Transladando - 1 vista por frame
72
A apresentaccedilatildeo do sinograma em forma de imagem eacute ilustrada na Figura 51
Figura 50 Sinograma MCNPX - 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
1
2
3
4
5
6
Posicionamento Linear
Sinograma por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 51 Imagem de sinograma MCNPX -1 vista por frame
Sinograma MCNPX - 1 vista por frame
Vistas
Projeccedilotildees
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
73
As reconstruccedilotildees apresentaram-se similares as feitas analiticamente na seccedilatildeo 41
Formaccedilatildeo de oito artefatos em faixa no FBP e o arqueamento para esquerda indicando o sentido da
rotaccedilatildeo do tomoacutegrafo (Figura 52)
442 Circulo Transladando ndash 2 vistas por frame
Oito geometrias foram simuladas com mudanccedila no posicionamento angular apenas
quando o disco muda de posiccedilatildeo Duas vistas capturam o disco na mesma posiccedilatildeo A geometria
simulada no MCNPX eacute mostrada na Figura 53
Figura 53 Geometria circulo transladando - 2 vistas por frame
Figura 52 Reconstruccedilotildees MART e FBP ndash MCNPX ndash 1 vista por frame
FBP
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60 -06
-04
-02
0
02
04
MART
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
74
A simulaccedilatildeo retorna o seguinte tomograma Figura 54
Calculando as projeccedilotildees temos o sinograma ilustrado na Figura 55
Que visualizado em formato de imagem fica ilustrado na Figura 56
Figura 54 Tomograma MCNPX - 2 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 70
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma Por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 55 Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
1
2
3
4
5
6
Posicionamento Linear
Sinograma por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
75
As reconstruccedilotildees corresponderam as expectativas quando coincidem com as
reconstruccedilotildees simuladas analiticamente(Figura 57)
Figura 57 Reconstruccedilatildeo MART - MCNPX - 2 vistas por frameMART
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
FBP
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60 -04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
06
Figura 56 Imagem de sinograma MCNPX ndash 2vistas por frame
Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame
Vistas
Projeccedilotildees
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
76
45 Resultados com CFD
As condiccedilotildees da simulaccedilatildeo foram vazatildeo volumeacutetrica de ar eacute 500 Lmin e o fluxo de
catalisador eacute de180 kg(m2s-1) O tempo de processo foi de 10 segundos com passo de 00025
segundos
O local de leituras da fraccedilatildeo volumeacutetrica foi se encontra a uma altura de 0650
metros da base do riser feita a cada 00375 segundos durante o tempo de processo de fluidizaccedilatildeo
resultando em 268 imagens Seacuteries de oito a nove imagens da secccedilatildeo transversal satildeo utilizadas
Devido a alta resoluccedilatildeo das imagens vindas do CFD uma reduccedilatildeo foi realizada para
figuras com 64x64 pixels Figura 58
451 CFD-1 vista por frame
A sequecircncia de oito imagens em intervalos de tempos consecutivos eacute ilustrada na
Figura 59 e a imagem meacutedia na Figura 60
Figura 58 Reduccedilatildeo na resoluccedilatildeo 899x999 para 64x64
20 40 60
10
20
30
40
50
60
200 400 600 800
100
200
300
400
500
600
700
800
77
Figura 60 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
Figura 59 CFD - Frames 1 ao 8
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
78
Reconstruccedilotildees
As reconstruccedilotildees para uma vista por frame natildeo correspondem agrave realidade prevista
Figura 61 Sinogramas CFD ndash 1 vista por frame
Figura 62 Reconstruccedilotildees CFD ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo RGB
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Sinograma com Pesos
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo Mart Red
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
79
pelo CFD O pequeno nuacutemero de vistas aliado a complexidade da figura dificultam a reconstruccedilatildeo
452 CFD-8 vistas por frame
A sequecircncia de oito imagens em intervalos de tempo consecutivos eacute ilustrada na
Figura 63
A meacutedia das oito imagens Figura 63
O sinograma simulado e o mesmo ponderado satildeo mostrados na Figura 65
Figura 64 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
Figura 63 Frames 1 ao 8 CFD ndash 8 vistas por frame
80
As reconstruccedilotildees concordam com as distribuiccedilotildees quando apresentam maior
concentraccedilatildeo de soacutelido do lado direito da imagem A maior concentraccedilatildeo de pigmentaccedilatildeo vermelha
Figura 65 Sinogramas CFD - 8 vistas por frame
Figura 66 Reconstruccedilotildees CFD - 8 vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Sinograma com Pesos
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart Red
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
81
do lado direito da imagem reconstruiacuteda em RGB mostra que a distribuiccedilatildeo nesta regiatildeo eacute mais
recente O resultado tem concordacircncia com a mudanccedila de lado da distribuiccedilatildeo ao longo dos oito
frames
46 Reconstruccedilotildees com correccedilatildeo de movimento
Como a reconstruccedilatildeo com vistas alternadas eacute superior a tradicional com vistas
sucessivas utilizou-se para todas as simulaccedilotildees com correccedilatildeo de movimento o posicionamento
angular sucessivo O objetivo da escolha eacute verificar os resultados gerados soacute por correccedilatildeo da matriz
de pesos As simulaccedilotildees foram ordenadas de acordo com as situaccedilotildees jaacute exploradas e para um
instante de tempo especiacutefico
Abaixo (Figura 67 Figura 68) tem-se a configuraccedilatildeo de 4 vistas por frame
resultando em dois quadros cada um com o disco em uma posiccedilatildeo diferente A imagem tem 32x32
pixels e o deslocamento foi vertical de 5 pixels Como o nuacutemero de colunas da matriz de pesos eacute
definido pela resoluccedilatildeo da imagem o deslocamento na matriz de pesos corresponde ao vertical x
nuacutemero de elementos em uma linhaentatildeo 5 x 32 = 60 colunas para esquerda quando se quer
recuperar o primeiro instante e 60 colunas para direita no caso do segundo
Para o primeiro instante a correccedilatildeo mostra-se eficaz reconstruindo por completo a
distribuiccedilatildeo no primeiro instante de tempo Figura 67
A distribuiccedilatildeo no segundo instante eacute reconstruiacuteda com um pouco de ruiacutedo Figura 68
Figura 67 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempoImagem Meacutedia
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30Imagem Meacutedia
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
82
A situaccedilatildeo com translado horizontal eacute ilustrada na Figura 69 e Figura 70 A
reconstruccedilatildeo no primeiro instante de tempo mostra-se mais precisa Figura 69 Quatro vistas foram
utilizados por quadro com um deslocamento de 5 pixels entre eles O deslocamento de colunas eacute
realizado com o mesmo nuacutemero
Para o segundo instante Figura 70
A simulaccedilatildeo com duas vistas por frame resulta em quatro distribuiccedilotildees Figura 71
Figura 72 Figura 73 A imagem tem 64x64 pixels e o deslocamento foi vertical de 5 pixels
resultando em um deslocamento de 5 x 64 = 320 para as colunas
Figura 69 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Figura 70 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o segundo instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30
5
10
15
20
25
30
83
Para o primeiro instante de tempo temos
Para o segundo instante
Figura 71 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 72 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
20 40 60
10
20
30
40
50
60
84
e para o terceiro instante
O ruiacutedo aumenta
Ocorre o aparecimento de ruiacutedo nas reconstruccedilotildees com o aumento do tempo Este
efeito eacute devido a extrapolaccedilatildeo do deslocamento nos elementos proacuteximo as bordas da matriz de
pesos
Figura 73 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
85
5 CONCLUSOtildeES
As simulaccedilotildees analiacuteticas de primitivas matemaacuteticas foram validadas com ecircxito
quando comparadas com as mesmas realizadas por MCNPX As aquisiccedilotildees tomograacuteficas foram
simuladas mostrando a superioridade da tomografia de 5ordf geraccedilatildeo (8 vistas por frame) quando
comparada agrave de 3ordf geraccedilatildeo (uma duas e quatro vistas por frame) seccedilotildees 41 e 42 As reconstruccedilotildees
ficam mais proacuteximas da imagem meacutedia porque todas as vistas satildeo adquiridas ao mesmo tempo
durante todo o processo O FBP perde a definiccedilatildeo dos discos e forma um artefato central vertical O
MART reconstroacutei perfeitamente o disco nas oito posiccedilotildees mostrando a sua preferecircncia para um
nuacutemero limitado de dados (8 vistas) O FBP eacute bastante utilizado em tomografias meacutedicas (360
vistas ou mais) devido a baixa complexidade computacional quando comparado aos meacutetodos
algeacutebricos
Tanto o disco transladando quanto o crescente apresentam melhor performance com
o aumento do nuacutemero de vistas por distribuiccedilatildeo como pode ser visto na seccedilatildeo 41 A situaccedilatildeo em
que foi simulada uma vista por frame apresenta um artefato de movimento indicando o sentido de
rotaccedilatildeo do arranjo simulado
Os oito perfis encontrados nas simulaccedilotildees com ciacuterculo crescente mostram o aumento
do disco seccedilatildeo 413 e 414 As simulaccedilotildees para este caso reconstroem uma distribuiccedilatildeo central
distorcida pela incompatibilidade das projeccedilotildees (adquiridas em diferentes instantes de tempo) As
reconstruccedilotildees com FBP mostram-se inferiores ao MART formando artefatos de Moireacute (artefatos
estrela) em todas as reconstruccedilotildees Confirmando que estes artefatos satildeo comuns quando se utiliza o
FBP com um nuacutemero limitado de dados
Os testes com vistas alternadas mostram que essa configuraccedilatildeo eacute superior ao arranjo
sucessivo pois cobre uma aacuterea maior em um tempo menor capturando mais informaccedilotildees relativas
ao movimento (seccedilatildeo 42)
A reconstruccedilatildeo RGB inova porque mostra a evoluccedilatildeo temporal do processo com
aacutereas mais claras (vermelho claro) indicando proximidade temporal enquanto que aacutereas mais
escuras indicam tempo passado O meacutetodo mostra o clareamento no vermelho em regiotildees da figura
indicando que ocorreu movimento neste sentido Os testes com ciacuterculo transladando mostram
coerecircncia quando indicam com o vermelho mais claro as regiotildees correspondentes aos uacuteltimos
quadros O mesmo resultado eacute obtido com os dados do CFD para simulaccedilatildeo da TC de 5ordf geraccedilatildeo O
86
lado direito da imagem tem valores maiores para o vermelho coincidindo com a sequecircncia de
distribuiccedilotildees utilizada onde ocorre mudanccedila na concentraccedilatildeo do lado esquerdo para o direito Para o
ciacuterculo crescente a eficaacutecia do meacutetodo pode ser questionada pois ocorre superposiccedilatildeo das regiotildees
centrais de cada disco A aplicaccedilatildeo a dados do CFD com apenas uma vista por frame eacute ineficiente
pois a reconstruccedilatildeo RGB natildeo consegue mostrar tendecircncia de movimento A reconstruccedilatildeo tradicional
MART tambeacutem natildeo coincide com a meacutedia dos frames ou seja como o meacutetodo proposto utiliza esta
distribuiccedilatildeo espacial natildeo pode-se afirmar que a ineficiecircncia do processo seja devido unicamente a
reconstruccedilatildeo RGB
O MCNPX foi utilizado com ecircxito nas duas simulaccedilotildees propostas Sinogramas e
tomogramas satildeo coincidentes com exceccedilatildeo da escala com os mesmos encontrados por teacutecnicas
analiacuteticas
A reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento foi utilizada com ecircxito para
determinaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo no instante inicial de tempo Ocorre aparecimento de ruiacutedo com o
aumento do tempo Este efeito eacute devido a extrapolaccedilatildeo do deslocamento nos elementos proacuteximo as
bordas da matriz de pesos Salienta-se que o vetor deslocamento deve ser conhecido ou calculado
previamente Este trabalho utiliza valores jaacute determinados anteriormente nas simulaccedilotildees (distacircncia
entre discos)
O trabalho contribui para tomografia industrial porque utiliza casos comuns agrave aacuterea
como o disco transladando que eacute simulador de bolhas em colunas industriais e imagens do CFD
como phantoms para predileccedilatildeo dos perfis experimentais Contribui tambeacutem para a otimizaccedilatildeo de
paracircmetros de operaccedilatildeo tomograacutefica quando simula as aquisiccedilotildees prevendo resultados para o
experimento Indica o MART como superior ao FBP neste conjunto de dados As simulaccedilotildees
analiacuteticas de sinogramas foram validadas com ecircxito pelo MCNPX ou seja ambas podem ser
utilizadas para simulaccedilatildeo de fenocircmenos industriais Sugere tambeacutem que a TC com vistas alternadas
corresponde mais a realidade dinacircmica de uma distribuiccedilatildeo Propotildee um novo meacutetodo a
reconstruccedilatildeo RGB obtendo bons resultados apenas nas situaccedilotildees em que natildeo ocorre coincidecircncia
entre as distribuiccedilotildees de diferentes instantes de tempo
Um estudo mais detalhado dos valores empiacutericos deve ser feito para um
entendimento maior da penalizaccedilatildeo das projeccedilotildees e das situaccedilotildees em que ocorra superposiccedilatildeo de
distribuiccedilotildees
A baixa performance do FBP esperada para um baixo nuacutemero de aquisiccedilotildees indica
que testes com um nuacutemero maior de vistas devem ser realizados para o estudo dos meacutetodos
87
propostos nestas situaccedilotildees
Outro trabalho futuro eacute utilizar soluccedilotildees jaacute propostas na literatura meacutedica para
diminuiccedilatildeo de ruiacutedos e artefatos na reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento identificando o vetor
deslocamento durante o processo
Espera-se dar continuidade ao trabalho validando tambeacutem experimentalmente as
simulaccedilotildees com translado do disco (Laboratoacuterio de Radioquiacutemica ndash DEN ndash UFPE)
88
6 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
ALEXANDER B DIMITRY V VITALY V KISELEV AN Algebraic reconstruction and
post-processing in incomplete data computed tomography From X-rays to Laser Beams Jun
2007
ANDERSEN AH Algebraic reconstruction in CT from limited views IEEE transactions on
medical imaging v 8(1) p50ndash55 Jan1989
ANGELI S EFSTAHIOS S An Accelerated Algebraic Reconstruction Technique based on
the Newton-Raphson Scheme Ieee Nuclear Science Symposium Conference Record 23382ndash
3387 2009
AZZI M TULIER P BERNARD J R GARNERO L Mapping Solid Concentration in a
Circulating Fluid Bed Using Gammametry Powder Technology p27-36 1991
BENDER R GORDON R HERMAN GT Algebraic reconstruction techniques(art) for
three dimensional electron microscopy and x-ray photography J Theor Biol v29 p759ndash768
1971
BROOKS RA CHIRO G Principles of Computer Assisted Tomography ( CAT ) in
Radiographic and Radioisotopic Imaging Phis Med Biol v21 N 5 p689-732 1976
BUTALA M D KAMALABADI F FRAZIN R A Chen YldquoDynamic tomographic imaging
of the solar coronardquo IEEE J Sel Topics Signal Process vol 2 pp 755ndash7662008
CENSOR Y Finite Series-Expansion Reconstruction Methods proceedings of the ieee p71
1983
CEZARO A CEZARO FT Problemas Inversos e a matemaacutetica da tomografia
computadorizada V Bienal da SBM - Sociedade Brasileira de Matemaacutetica 2010
CRUVINEL P E Mini tomoacutegrafo de raio-x e raio gama computadorizado para aplicaccedilotildees
multidisciplinares PhD thesis Unicamp 1987
DANTAS CC MELOSM OLIVEIRA E F MAGALHAtildeES F P SANTOS M G
Measurement of density distribution of a cracking catalyst in experimental riser with a
sampling procedure for gamma ray tomography Nuclear Instruments amp Methods in Physics
Research Section B Beam Interactions with Materials and Atoms (Print) v 266 p 841-848
2008
89
DE PIERRO A R Problemas Matemaacuteticos em Tomografia por Emissatildeo Notas UNICAMP
2004
DESBAT L RIT S CLACKDOYLE R MENNESSIER C PROMAYON E
NTALAMPEKI S ldquoAlgebraic and analytic reconstruction methods for dynamic
tomography rdquo Proceedings of the 29th Annual International Conference of the IEEE EMBS Citeacute
Internationale Lyon France August 23-26 2007 ThP2B11 2007 pp 726-730
DESBAT L ROUX S GRANGEAT P ldquoCompensation of some time dependent
deformations in tomography 2 Deformations preserving the projection geometryrdquo IEEE
transactions on medical imaging vol 26 2007 pp 1-20
EARLY D S LONG DG Image Reconstruction and Enhanced Resolution Imaging from
Irregular Samples IEEE trasactions on geosciences and remote sensing 3v9(2)291ndash302 2001
FARIN G Curves and Surfaces for CAGD a Practical Guide 4th edition Academic Press-
1996
FORSYTHE GE Solving linear algebraic equations can be interesting Bulletin of the
American Mathematical Society v59(4) P299ndash330 Jul 1953
GORDON R A tutorial on art (algebraic reconstruction techniques) IEEE Trans Nucl Sci v
NS-21 p78ndash93 1974
GORDON R GUAN H A projection acess order for speedy convergence of art a multilevel
scheme for computed tomography Physics in medicine and biology p39 1994
GUAN H HERMAN G T ZHU Y Combining various projection access schemes with the
algebraic reconstruction technique for low-contrast detection in computed tomography
Physics in medicine and biology 43(8)2413ndash21 August 1998
HANSON K M WECKSONG GVW Local basis approach to computed tomography
ApplOpt v24 p4028-2039 1985
HERFFERNAN P B Robb A R Difference image reconstruction from a few projections for
nondestructive materials inspection Applied optics
HERMAN G T Iterative reconstruction algorithms Comput Biol Med v6 p273 ndash 294 1976
HERMAN G T GORDON R Reconstruction of pictures from their projections Commun
Assoc Comput Mach v14 p759ndash768 1971
HERMAN GT MEYER L B Algebraic Reconstruction Techniques Can Be Made
90
Computationally Efficient IEEE transactions on medical imaging v 12(3) 1993
IAEA-TECDOC-1589 INDUSTRIAL PROCESS GAMMA TOMOGRAPHY Final report of a
coordinated research project 2003ndash2007 May 2008
KACZMARZ S Angenaherte auflosung von systemen linearer gleichungen Bull Acad Pol
Sci Lett A vol 6-8A pp 355-357 1937
KAKA C SLANEY M Principles of Computerized tomographic imaging IEEE PRESS
1999
KALAGA D V KULKARNI A V ACHARYA R KUMAR U SINGH G JOSHI JB
Some industrial applications of gamma-ray tomography Journal of the Taiwan Institute of
Chemical Engineers 40 (2009) 602ndash612 wwwelseviercomlocatejtice
KNOLL G F Nuclear Counters Radiation-Measurement Book 2006
LUTZ PH Relaxation Methods for Image Reconstruction Communications of the ACM
v21(2) p282ndash288 1978
MARTINEZ AG Detecccedilatildeo de descontinuidades e reconstruccedilatildeo de funccedilotildees a partir de dados
espectrais filtros splines e metodos iterativos tese - UNICAMP 2006
MELO SM DANTAS CC OLIVEIRA EAL MAGALHAtildeES FP OLIVEIRA EF A FCC
catalyst gamma ray tomographic reconstruction by using non negative non parametric bezier
triangles Proceedings In 4 th International Symposion on Process Tomography in Poland p 165
Washaw 2006
MESQUITA J MATELA N OLIVEIRA N MARTINS M V Choosing the ART relaxation
parameter for Clear-PEM 2D image reconstruction Computer methods and programs in
biomedicine May 2010
MYERS G R KINGSTON A M VARSLOT T K TURNER M L SHEPPARD A
P ldquoDynamic tomography with a priori informationrdquo Applied Optics vol 50 2011 pp 3685-
3690
OLIVEIRA EF DANTAS CC MELO S B VASCONCELOS D A A ldquoCOMPARISON
AMONG TOMOGRAPHIC RECONSTRUCTION ALGORITHMSrdquo internetional nuclear
conference-INAC2011
OLIVEIRA EF DANTAS C MELO S B VASCONCELOS D A A ldquoTOMOGRAPHIC
RECONSTRUCTION WITH B-SPLINES SURFACESrdquo internetional nuclear conference-
INAC2011
91
RAMACHANDRAM G N LAKSHMINARAYANAN A V Three-dimensional
reconstruction from radiographs and electron micrographs II application of convolutions
instead of Fourier transforms Proc Natl Acad Sci US v68 p2236-2240 1971
KACZMARZ S Angenaherte auflosung von systemen linearer gleichungen Acad Pol Sci
Lett v 6-8A p355ndash357 1937
SALINA F V MASCARENHAS NDA CRUVINEL PE A Comparison of POCS
Algorithms for Tomographic Reconstruction Under Noise and Limited View Computer
Graphics and Image Processing 2002
SALVADOR P A V Anaacutelise de sistemas multifaacutesicos utilizando tomografia computadorizada
gama monoenergeacutetica e polienergeacutetica Tese IPEN-USP 2008
SERGIO N QUORIN R Diagnoacutestico de defeitos em madeira por tomografia de raios x PhD
thesis UFPR 2004
SUBBARAO P M V MUNSHI P MURALIDHAR K Performance of iterative tomographic
algorithms applied to non-destructive evaluation with limited data NDT amp Internacional
v30(6) p359ndash370 1997
TANABE K Projection method for solving a singular system Numer Math 17203ndash214 1971
TIRUNELVELI G HERMAN G T Comparison of Square-Pixel and Hexagonal-Pixel
Resolution in Image Processing Test pages 867ndash872 2002
VERHOEVEN D Limited-data computed tomography algorithms for the physical sciences
Applied Optics jul1993
WENKAI L Adaptive algebraic reconstruction technique Image (Rochester NY) v31(12)
p3222ndash3230 2004
92
ANEXO ndash I
ROTINAS DESENVOLVIDAS NO MATLAB
Rotina responsaacutevel por criar os phantoms e calcular o sinograma Tambeacutem reconstroacutei
clear
d=64Nproj=8Ntraj=dNpixel=dr=02Nit=30display(MART)chute=1I0=10^8x=1fig3=(zeros(d))teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)inc=3cont=1z=zeros(NprojNtraj1)zt=zzt1=zzt2=zztgb=zcont=1c=0teta=[teta teta]clear fig
vpf=1raio=3inc=7c=5vpf=2raio=4inc=8c=5vpf=4raio=5inc=17c=10 vpf=8raio=1inc=4vpf=4inc=1cc=0inc2=25c=10vpf=4raio=3inc=15c=0 fator=(1Nproj)(1Nproj)1fator=flipud(fator)fator=linspace(00509Nproj)a=0for n=1Nproj a=a+1 circ(n)=Circulo(d(d2)(d2)(1+c))if a==vpfa=0c=c+incend crescente circ(n)=Circulo(d5+c(d2)raio)if a==vpfa=0c=c+incend translado vertical fig=circ(n) [z]=sinograma(fig teta(n)) zr=radon(fig teta(n)Ntraj) fig3=(fig3+fig) Itred(cont)=(I0exp(-zx))n((Nproj+inc+1)-n)(nNproj)olhar sempre It(cont)=I0exp(-zx) Ir(cont)=I0exp(-zr) cont=cont+1endfig3=fig3(max(max(fig3))Nproj)tira a sobreposiccedilatildeosinot=log((I0)It)importante retirar fator caso seja utilizado tomo de 3ordfsinot=(ZeraNeg(sinot))rect=Mart2(MatparaCol(real(sinot))teta102)[c d]=size(rect)rect=ColparaMat(rect(d)NpixelNpixel)figure subplot(131)imagesc(fig3)title(Imagem Meacutedia) subplot(132)imagesc(rect)title(MART Vistas Sucessivas) subplot(133)imagesc(rect)title(MART Vistas Alternadas)
93
Rotina para Testes com reconstruccedilotildees
clear load meialuanotubo2load dadosdinamicoload dadosdinamico2dados2=dados3[Ntraj Nproj]=size(dados2) for a=1Nproj for b=1Ntraj if dados2(ab)gt1 || dados2(ab)lt10^-2 dados2(ab)=1 end endend sinograma=-(102)log(dados2)sinograma=ZeraNeg(sinograma)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj) display(FBP)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)z=sinogramarecfbp=iradon(ztetaNtraj)x=164figsino(xdados2) figsino(xsinograma) figureimagesc(sinograma)title(Sinograma MCNPX - 1 vista por frame) xlabel(Vistas)ylabel(Projeccedilotildees)
_________________________MART___________________________________________ x=[02] Nit=20r=1recmart=zeros(Npixel^2Nitlength(x)) display(MART com pesos)display(x) z=MatparaCol(sinograma) [ix iy]=GridAlg(NprojNtrajNtrajpi) [A]=pesosart(ixiyNprojNtrajNtraj) rec=Art(AzNprojNtraj5002) figure imagesc(rec)title(ART) end recfinal=ColparaMat(recmart(Nit)NpixelNpixel) figuresurf(recfinal)figureimagesc(recfinal)colorbartitle(Mart) durou=etime(clockliga)60save phantomacrilicoMart x durou recmart A _________________________ART____________________________________________ x=[02] Nit=10r=1recart=zeros(Npixel) display(ART com pesos)display(x) z=MatparaCol(sinograma) rec=Mart(AzNprojNtrajNitx) recart=ColparaMat(rec(Nit)NpixelNpixel)r=r+1 figureimagesc(recart)colorbartitle(art) __________________________________________________________________________
94
rotina para caacutelculo do sinograma
function [matriz]=sinograma(fig teta)
[a b]=size(fig)Ntraj=aNproj=size(teta2)sino=zeros(NtrajNproj)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)for i=1Nproj for j=1b sino(ji)=Project(figteta(i)j) endendmatriz=sino
function [bijtemp erromat]=Mart2(ztetachuterelax)
[a b]=size(z)Nproj=size(teta2)Ntraj=aNprojNpixel=Ntrajbijtemp=ones(Npixel^250)bijtemp(1)=chute pij=ones(size(sino))Ite=50erro=1cont=1erromat=zeros(149)for Nitera=1Ite if Nitera==25 Nitera end for i=1Nproj W=Wproj(teta(i)Npixel) pij=Wbijtemp(Nitera) for j=1Ntraj cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pij(j))pij(j) if (pij(j)==0)cor=0000000001end ind=find(W(j)) cor=correlax bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corbijtemp(indNitera)W(jind)) end end if errolt=005break end if Niteragt=2 erro=100sqrt(sum(sum(((bijtemp(Nitera)-bijtemp(Nitera-1))^2))))sum(sum(bijtemp(Nitera))) erromat(cont)=errocont=cont+1 end if (Nitera ~= Ite)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)endendbijtemp=bijtemp(1Nitera)erro
function [bijtemp erromat]=Mart2(ztetachuterelax)
[a b]=size(z)Nproj=size(teta2)Ntraj=aNprojNpixel=Ntrajbijtemp=ones(Npixel^250)bijtemp(1)=chute
95
pij=ones(size(sino))Ite=50erro=1cont=1erromat=zeros(149)for Nitera=1Ite if Nitera==25 Nitera end for i=1Nproj W=Wproj(teta(i)Npixel) pij=Wbijtemp(Nitera) for j=1Ntraj cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pij(j))pij(j) if (pij(j)==0)cor=0000000001end ind=find(W(j)) cor=correlax(i) bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corbijtemp(indNitera)W(jind)) end end if errolt=005break end if Niteragt=2 erro=100sqrt(sum(sum(((bijtemp(Nitera)-bijtemp(Nitera-1))^2))))sum(sum(bijtemp(Nitera))) erromat(cont)=errocont=cont+1 end if (Nitera ~= Ite)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)endendbijtemp=bijtemp(1Nitera)erro
function [figtemp]=BP(NprojNtrajNpixelzinterXinterYfigura)
Back projection
c=max(size(figura))
Ntraj=c
Npixel=caumenta a dimenssatildeo da figura para eliminar artefatos de rotaccedilatildeo
figtemp=zeros(c)
inter=ones(22(Npixel+1))696969
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
inter(1)=interX(((i-1)Npixel)+j)
inter(2)=interY(((i-1)Npixel)+j)
for a=12(Npixel+1)
if (inter(1a)gt=0 ampamp inter(1a)ltNpixel) ampamp (inter(2a)gt=0 ampamp
inter(2a)ltNpixel) ampamp (inter(1a+1)gt=0 ampamp inter(1a+1)lt=Npixel) ampamp
(inter(2a+1)gt=0 ampamp inter(2a+1)lt=Npixel)
dist=sqrt(((inter(1a+1)-inter(1a))^2)+((inter(2a+1)-
inter(2a))^2))
x=fix(inter(1a))y=fix(inter(2a))
if (figura(x+1y+1))gt 10^-1
figtemp(x+1y+1)=figtemp(x+1y+1)+z(Ntraj(i-1)+j)dist
end
end
end
end
end
function [bijtemp]=Art(AzNprojNtrajNitrelax)
ART aditivo com opccedilatildeo de relaxaccedilatildeo
96
[c d]=size(A)a=sqrt(d)b=a
bijtemp=zeros(b^2Nit)10
pij=zeros(b1)pijtemp=zeros(Ntraj1)convergencia=zeros(1Nit)
Projection=Nproj
for Nitera=1Nit
interaction=Nitera
for i=1Nproj
pijtemp=A((Ntraj(i-1)+1)(Ntraj(i-1)+Ntraj))bijtemp(Nitera)
for j=1Ntraj
soma=sum(A(Ntraj(i-1)+j)^2)
cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pijtemp(j))
ind=find(A(Ntraj(i-1)+j))
cor=correlaxsoma
bijtemp(indNitera)=(bijtemp(indNitera) + corA(Ntraj(i-
1)+jind))
for ii=ind
if bijtemp(iiNitera)lt0bijtemp(iiNitera)=0end
end
end
end
if (Nitera ~= Nit)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)end
if (Nitera ~= 1)convergencia(Nit)=sqrt(sum(sum(bijtemp(Nitera-1)^2
-bijtemp(Nitera)^2))sum(sum(bijtemp(Nitera)^2)))end
end
function [bijtemp]=Artfast(AzNprojNtrajNitrelax)
ART aditivo com opccedilatildeo de relaxaccedilatildeo
[c d]=size(A)a=sqrt(d)b=a
bijtemp=ones(b^2Nit)
pij=zeros(b1)pijtemp=zeros(Ntraj1)
Projection=Nproj
for Nitera=1Nit
Nitera
for i=1Nproj
pijtemp=A((Ntraj(i-1)+1)(Ntraj(i-1)+Ntraj))bijtemp(Nitera)
for j=1Ntraj
soma=sum(A(Ntraj(i-1)+j)^2)
cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pijtemp(j))
ind=find(A(Ntraj(i-1)+j))
cor=correlaxsoma
bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corA(Ntraj(i-
1)+jind))
for ii=ind
if bijtemp(iiNitera)lt0bijtemp(iiNitera)=0end
end
end
end
if (Nitera ~= Nit)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)end
end
function [interX interY]=GridAlg(NprojNtrajNpixelRangeAngular)
RangeAngular=pi
display(vc olhou pi)
rxvetor=zeros(Nproj1)
ryvetor=zeros(Nproj1)
rxpontos=zeros(NtrajNproj)
97
rypontos=zeros(NtrajNproj)
rxpontos(1)=linspace(0+(NpixelNtraj)2Npixel-(NpixelNtraj)2Ntraj)
rypontos=flipud(rypontos)
rypontos(1)=0
rxvetor(1)=0
ryvetor(1)=1
teta=RangeAngularNproj
rot=[cos(teta) -sin(teta)sin(teta) cos(teta)]
for b=2Nproj
vet=rot[rxvetor(b-1) ryvetor(b-1)]
rxvetor(b)=vet(1)
ryvetor(b)=vet(2)
end
for b=2Nproj
for a=1Ntraj
pontos=rot[rxpontos(ab-1)-(Npixel2)rypontos(ab-1)-(Npixel2)]
rxpontos(ab)=pontos(1)+(Npixel2)
rypontos(ab)=pontos(2)+(Npixel2)
end
end
clear FIG
interX=zeros(NtrajNproj2(Npixel+1))interY=interX
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
ind=1
inter=ones(22(Npixel+1))696969
if rxvetor(i)lt-10^-5 || rxvetor(i)gt10^-5
for x=0Npixel
inter(2x+1)=(ryvetor(i)rxvetor(i))(x-rxpontos(ji))
+rypontos(ji)
inter(1x+1)=x
ind=ind+1
end
end
if rxvetor(i)gt=-10^-5 ampamp rxvetor(i)lt=10^-5x=-1end
if ryvetor(i)lt-10^-5 || ryvetor(i)gt10^-5
for y=0Npixel
inter(1x+2+y)=(rxvetor(i)ryvetor(i))(y-rypontos(ji))
+rxpontos(ji)
inter(2x+2+y)=y
ind=ind+1
end
end
[inter(1) B]=sort(inter(1))
inter(2)=inter(2B)
interX(((i-1)Ntraj)+j)=inter(1)
interY(((i-1)Ntraj)+j)=inter(2)
end
end
function [A]=pesosart(interXinterYNprojNpixelNtraj)
(NprojNtraj)x(Npixel^2)lt=70000000 out of memory with space free 560000000
98
[a b]=size(interX)
Atemp=sparse(zeros(NtrajNpixel^2))
inter=ones(22(Npixel+1))696969
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
inter(1)=interX(((i-1)Ntraj)+j)
inter(2)=interY(((i-1)Ntraj)+j)
for a=12(Npixel+1)
if (inter(1a)gt=0 ampamp inter(1a)ltNpixel) ampamp (inter(2a)gt=0 ampamp
inter(2a)ltNpixel) ampamp (inter(1a+1)gt=0 ampamp inter(1a+1)lt=Npixel) ampamp
(inter(2a+1)gt=0 ampamp inter(2a+1)lt=Npixel)
dist=sqrt(((inter(1a+1)-inter(1a))^2)+((inter(2a+1)-
inter(2a))^2))
if inter(2a+1)ltinter(2a)
y=fix(inter(2a+1))
else
y=fix(inter(2a))
end
x=fix(inter(1a))
Atemp(jNpixel(Npixel-y-1)+x+1)=dist
end
end
end
if i==1
A=Atemp
else
A=[AAtemp]
end
Atemp=sparse(zeros(NtrajNpixel^2))
end
Lista de Figuras
Figura 1 Atenuaccedilatildeo da Radiaccedilatildeo pela mateacuteria16Figura 2 Discretizaccedilatildeo de l18Figura 3 Sinograma constituiacutedo de 180 vistas (construiacutedo com a funccedilatildeo radon do matlab)19Figura 4 Discretizaccedilatildeo da secccedilatildeo irradiada22Figura 5 Geraccedilotildees Tomograacuteficas27Figura 6 Geraccedilotildees Tomograacuteficas28Figura 7 Phantom de Sheep-Logan29Figura 8 Discretizaccedilatildeo da secccedilatildeo irradiada30Figura 9 Distribuiccedilatildeo de velocidades e de fraccedilatildeo de soacutelido para diferentes alturas32Figura 10 Secccedilatildeo com distribuiccedilatildeo de soacutelido que seraacute utilizada como Phantom Matemaacutetico33Figura 11 Visatildeo 3D de uma distribuiccedilatildeo de fraccedilatildeo de soacutelido feito por CFD33 Figura 12Sistema RGB35Figura 13 Sistema de Coordenadas39Figura 14 reta r sendo mapeada por39Figura 15 Projeccedilotildees 1D sem mudanccedila de frame43Figura 16 Projeccedilotildees 1D com mudanccedila de frame44Figura 17 Mais de uma vista por frame45Figura 18 Mais de um frame por vista46Figura 19 Mais de um frame durante a aquisiccedilatildeo46Figura 20 Software Desenvolvido50Figura 21 8 frames - ciacuterculo transladando - 1 vista por frame52Figura 22 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames52Figura 23 Tomograma e sinograma ndash circulo transladando ndash 1 vista por frame53Figura 24 Sinogramascirculo transladando ndash 1 vista por frame54Figura 25 Reconstruccedilotildees circulo transladando ndash 1 vista por frame54Figura 26 Tomograma e Sinograma - disco transladando - 8 vistas por frame55Figura 27 Sinogramas Ciacuterculo Transladando -Oito vistas por frame56Figura 28 Reconstruccedilotildees Ciacuterculo Transladando -Oito vistas por frame56Figura 29 8 frames - circulo crescente - 1 vista por frame57Figura 30 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames57Figura 31 Tomograma e sinograma - ciacuterculo crescente - 1 vista por frame58Figura 32 Imagem do sinograma - ciacuterculo crescente - 1 vista por frame59Figura 33 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 1 vista por frame59Figura 34 Tomograma e sinograma - circulo crescente - 8 vista por frame60Figura 35 Sinogramas circulo crescente ndash 8 vistas por frame61Figura 36 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 8 vistas por frame61Figura 37 Reconstruccedilotildees disco transladando - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas e alternadas62Figura 38 Reconstruccedilotildees disco transladando - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas e alternadas 63Figura 39 Reconstruccedilotildees disco transladando - 4 Vistas por frame - Vistas sucessivas e alternadas 64Figura 40 Reconstruccedilotildees disco crescente - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas e alternadas64Figura 41 Reconstruccedilotildees disco crescente - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas e alternadas65Figura 42 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 1 vista por frame66Figura 43 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frame67Figura 44 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frame68Figura 45 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frame68Figura 46 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frame69Figura 47 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo crescente - 2 vistas por frame69Figura 48 Geometria Circulo Transladando - 1 vista por frame71
Figura 49 Tomograma via MCNPX - 1 Vista por frame71Figura 50 Sinograma MCNPX - 1 vista por frame72Figura 51 Imagem de sinograma MCNPX - 1 vista por frame72Figura 52 Reconstruccedilotildees MART e FBP ndash MCNPX ndash 1 vista por frame73Figura 53 Geometria circulo transladando - 2 vistas por frame73Figura 54 Tomograma MCNPX - 2 vistas por frame74Figura 55 Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame74Figura 56 Imagem de sinograma MCNPX ndash 2 vistas por frame75Figura 57 Reconstruccedilatildeo MART - MCNPX - 2 vistas por frame75Figura 58 Reduccedilatildeo na resoluccedilatildeo 899x999 para 64x6476Figura 59 CFD - Frames 1 ao 877Figura 60 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames77Figura 61 Sinogramas CFD ndash 1 vista por frame78Figura 62 Reconstruccedilotildees CFD ndash 1 vista por frame78Figura 63 Frames 1 ao 8 CFD ndash 8 vistas por frame79Figura 64 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames79Figura 65 Sinogramas CFD - 8 vistas por frame80Figura 66 Reconstruccedilotildees CFD - 8 vistas por frame80Figura 67 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo81Figura 68 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o segundo instante de tempo81Figura 69 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo82Figura 70 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o segundo instante de tempo82Figura 71 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo83Figura 72 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo83Figura 73 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo84
LISTA DE TABELAS
Tabela 1
Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 1 vista por framehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip62
Tabela 2
Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 2 vistas por framehelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip63
Tabela 3
Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 4 vistas por framehelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip63
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
DEN ndash Departamento de Energia Nuclear
UFPE ndash Universidade Federal de Pernambuco
TC ndash Tomografia Computadorizada
ART ndash Algebraic Reconstruction Techinique
MART ndash Multiplicative Algebraic Reconstruction Techinique
SIRT ndash Simultaneous Iterative Reconstruction Technique
FBP ndash Filtered Back Projection
AM ndash Alternating Minimization
CFD ndash Computer Fluid Dynamics
MCNP - Monte Carlo N-Particle
PET - Positron Emission Tomography
SPECT - Single Photon Emission Tomography
CST ndash Central Slice Theorem
Sumaacuterio
1 INTRODUCcedilAtildeO132 TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA16
21 A Lei de Beer-Lambert16
22 Algoriacutetmos de Reconstruccedilatildeo20
221 Filtered Back Projection (FBP)20222 ART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica)21223 MART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica com Correccedilatildeo Multiplicativa)23
23 O Caso Dinacircmico24
24 Reconstruccedilatildeo com Correccedilatildeo de Movimento25
25 Geraccedilotildees de Tomoacutegrafos26
26 Simulaccedilatildeo de Sinogramas28
27 Fluidodinacircmica Computacional - CFD31
28 Tempo de Aquisiccedilatildeo ou Integraccedilatildeo33
29 Sistema de cores RGB33
21 0MCNP35
3 METODOLOGIA3731 A Transformada de Radon Temporal38
32 Lei de Beer-Lambert temporal41
33 Simulaccedilatildeo de aquisiccedilotildees Tomograacuteficas42
331 Aquisiccedilatildeo por Tomografia de 1ordf Geraccedilatildeo42332 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 3ordf geraccedilatildeo45333 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 5ordf geraccedilatildeo46
34 Posicionamento angular47
35 Utilizaccedilatildeo de um canal de cores para visualizar a dinacircmica do processo Reconstruccedilatildeo RGB47
36 Reconstruccedilatildeo utilizando dados do CFD48
37 Avaliaccedilatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo com RMSE49
38 Algoritmos e Software Desenvolvidos50
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO5141 Resultados das Reconstruccedilotildees MART e FBP51
411 Primitiva Ciacuterculo Transladando 1 vista por frame51412 Primitiva Ciacuterculo Transladando Oito vistas por frame55413 Primitiva Circulo Crescente Uma vista por frame57414 Primitiva Circulo Crescente Oito vistas por frame60
42 Vistas Alternadas62
43 Resultados com RGB65
44 Simulaccedilotildees com MCNPX70
441 Circulo Transladando ndash 1vista por frame70
442 Circulo Transladando ndash 2 vistas por frame7345 Resultados com CFD76
451 CFD-1 vista por frame76452 CFD-8 vistas por frame79
46 Reconstruccedilotildees com correccedilatildeo de movimento81
5 CONCLUSOtildeES856 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS88ANEXO ndash I92
13
1 INTRODUCcedilAtildeO
A Tomografia Computadorizada (TC) consiste em duas etapas
a) O objeto eacute verificado (escaneado) com relaccedilatildeo a alguma propriedade como
densidade capacitacircncia resistividade eleacutetrica ressonacircncia magneacutetica etc
b) A propriedade eacute entatildeo reconstruiacuteda por meio de uma teacutecnica de reconstruccedilatildeo
adequada
Dessa forma a tomografia tem como objetivo reconstruir os detalhes geomeacutetricos do
objeto subjacente e tambeacutem obter os valores da propriedade escolhida Normalmente eacute classificada
como uma teacutecnica de ensaios natildeo destrutivos (END) e portanto eacute de uso imenso em
colunasreatores industriais para detectar a distribuiccedilatildeo de fases ou qualquer tipo de natildeo
uniformidade no interior do objeto
Para o registro de qualquer mudanccedila no objeto otimiza-se o sistema em alta
resoluccedilatildeo temporal (baixo tempo de aquisiccedilatildeo) ou seja permitir vaacuterias imagens resultando em
centenas de quadros por segundo A tomografia que concretiza essa configuraccedilatildeo de aquisiccedilatildeo eacute
chamada de instantacircnea ou de 5ordf geraccedilatildeo onde vaacuterias fontes satildeo arranjadas diametralmente opostas
a um leque de detetores de radiaccedilatildeo e consequentemente a colimaccedilatildeo de uma fonte eacute limitada por
outra reduzindo a resoluccedilatildeo espacial do sistema
Quando a distribuiccedilatildeo tem baixa variabilidade ao longo do tempo ou quando
limitaccedilotildees teacutecnicas impedem o uso da tomografia instantacircnea propotildee-se a tomografia com baixa
resoluccedilatildeo temporal com tomoacutegrafos de 1ordf e 3ordf geraccedilotildees O alto tempo de aquisiccedilatildeo destes
tomoacutegrafos prejudica a reconstruccedilatildeo quando o objeto em estudo muda suas propriedades no
decorrer do tempo Esta foi classificada por vaacuterios autores como reconstruccedilatildeo dinacircmica
(ARTEMIEV V M NAUMOV A O 2006) (BUTALA 2009) (DESBAT L et al 2006) Jaacute eacute
uma aacuterea muito ativa em medicina nuclear onde movimentos do paciente devem ser tomados em
consideraccedilatildeo Tais como em SPECT ou PET mas tambeacutem em tomografia computadorizada (TC de
transmissatildeo) para oacutergatildeos de movimento raacutepido como o coraccedilatildeo (GRAMEL BM et al 2012)
De um modo geral o imageamento dinacircmico TC tem como objetivo reconstruir
sequecircncias de imagens em que a natureza dinacircmica do objeto tomografado eacute de interesse primaacuterio
permitindo o registro de mudanccedilas temporais na distribuiccedilatildeo do coeficiente de atenuaccedilatildeo linear
podendo identificar o estado inicial e o final do processo
O estado da arte dos meacutetodos aplicados para processos industriais eacute atualmente
baseado em princiacutepios de reconstruccedilotildees tomograacuteficas claacutessicas desenvolvidos para padrotildees TC de
distribuiccedilotildees estaacuteticas como pode ser visto em diversos artigos da aacuterea de tomografia industrial
14
(DAHAN A et al 2007 DUDUKOVIC 2007 HALE et al 2007 JOHANSEN et al 2005
KUMAR et al 1997 DANTAS CC et al 2007 SALVADOR P A V 2010 MESQUITA C et
al 2011) Essas abordagens assumem que as propriedades da imagem satildeo constantes durante o
processo de aquisiccedilatildeo Os algoritmos de reconstruccedilatildeo mais comuns ao contexto satildeo os iterativos
onde se destacam teacutecnicas de reconstruccedilatildeo algeacutebrica (ART SIRT MART SMART) e teacutecnicas de
reconstruccedilatildeo estatiacutesticas como o de Minimizaccedilatildeo Alternante (AM) e o Esperanccedila - Maximizaccedilatildeo
(EM) A imagem reconstruiacuteda passa a ser uma aproximaccedilatildeo das propriedades ao longo do tempo A
aproximaccedilatildeo eacute devida a projeccedilotildees natildeo compatiacuteveis no sinograma (BONNET S 2003) As
projeccedilotildees tornam-se incompatiacuteveis devido as diferentes distribuiccedilotildees que ocorreram durante o
intervalo de tempo utilizado para coleta de dados Ruiacutedos e artefatos de movimento satildeo os
principais problemas causados pela incompatibilidade
Aleacutem disso em processos tomograacuteficos industriais eacute comum um nuacutemero limitado de
dados devido a inviabilidades teacutecnicas como arranjar todo um aparato de fontes e detetores ao redor
de uma coluna industrial Um baixo nuacutemero de dados pode produzir ruiacutedo artefatos e natildeo
concordacircncia com a distribuiccedilatildeo em estudo
Por estes motivos eacute necessaacuterio um estudo dos melhores meacutetodos de reconstruccedilatildeo e
tambeacutem o desenvolvimento de novas taacuteticas ou a utilizaccedilatildeo de meacutetodos jaacute consagrados em outros
contextos como a aacuterea meacutedica
Este trabalho inova quando discute um tema jaacute comum agrave aacuterea meacutedica em um
contexto tomograacutefico industrial
O meacutetodo proposto consiste em descobrir inicialmente as limitaccedilotildees oriundas da
aplicaccedilatildeo de algoritmos de reconstruccedilatildeo que foram desenvolvidos para distribuiccedilotildees estaacuteticas e satildeo
utilizados em tomografia dinacircmica Estas podem aparecer em forma de ruiacutedo artefatos estrela eou
de movimento Para alcanccedilar tais propoacutesitos foram utilizados dados simulados analiticamente e por
MCNPX de um cilindro de alumiacutenio transladando durante o processo aquisiccedilatildeo e imagens da secccedilatildeo
transversal de um rise piloto por meio da teacutecnica CFD (Computational Fluid Dynamics) O cilindro
ou ciacuterculo para uma secccedilatildeo eacute uma escolha pautada na literatura industrial pois simula bolhas em
reatores e tambeacutem distribuiccedilotildees agrupadas em forma de nuacutecleo por exemplo (DUDUKOVIC M et
al 1997) (AZZI M 1991) Com os dados simulados foram realizadas e comparadas as
reconstruccedilotildees pelos meacutetodos FBP (Filtered Back Projection) e MART (Multiplicative Algebraic
Reconstruction Technique)
Descobertas as limitaccedilotildees novas estrateacutegias satildeo apresentadas como a escolha da
ordem do posicionamento angular (vistas alternadas ou sucessivas) o desenvolvimento de um
15
meacutetodo para a visualizaccedilatildeo temporal do processo (Reconstruccedilatildeo RGB) e a correccedilatildeo de movimento
A reconstruccedilatildeo RGB foi desenvolvida com o propoacutesito de visualizar a evoluccedilatildeo
temporal do processo Consiste em uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens tomograacuteficas de
processos dinacircmicos pois utiliza o canal red do sistema de cores RGB para visualizar a evoluccedilatildeo do
movimento Uma nova reconstruccedilatildeo eacute realizada utilizando dados penalizados com o tempo e
associada ao canal R Aos outros canais eacute associada a reconstruccedilatildeo tradicional para posterior
visualizaccedilatildeo do conjunto
Tambeacutem eacute proposta uma teacutecnica de correccedilatildeo de movimento utilizada na aacuterea meacutedica
que manipula a matriz de pesos do meacutetodo algeacutebrico deslocando seus elementos com a mesma
quantidade de movimento identificada Neste trabalho eacute definido o vetor deslocamento a priori
O Capiacutetulo dois trata da revisatildeo bibliograacutefica da tese Conteacutem a lei de Beer-Lambert
a formaccedilatildeo de dados tomograacuteficos para posterior reconstruccedilatildeo Explica os algoritmos algeacutebricos a
visualizaccedilatildeo RGB dados do CFD e geraccedilotildees tomograacuteficas No Capiacutetulo trecircs satildeo expostos os
meacutetodos desenvolvidos como aquisiccedilotildees simuladas analiticamente de 1ordf e 5ordf geraccedilotildees
tomograacuteficas simulaccedilotildees tomograacuteficas por MCNPX reconstruccedilatildeo RGB correccedilatildeo de movimento
algoritmos implementados e desenvolvidos No capiacutetulo quatro satildeo mostrados os resultados de
todos os meacutetodos propostos
Espera-se que esse trabalho contribua para uma anaacutelise mais efetiva de tomografias
dinacircmicas industriais bem como o diagnoacutestico de problemas de otimizaccedilatildeo de operaccedilatildeo de
tomoacutegrafos e obtenccedilatildeo de dados para novos projetos bem como contribuir com novos algoritmos de
reconstruccedilatildeo especiacuteficos para esta aplicaccedilatildeo
16
2 TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA
21 A Lei de Beer-Lambert
A medida da probabilidade por unidade de percusso do feixe de radiaccedilatildeo interagir
com a mateacuteria (efeito fotoeleacutetrico efeito Compton e produccedilatildeo de pares) eacute denominado coeficiente
de atenuaccedilatildeo total ou linear do material ( ) Encontrar a funccedilatildeo que represente a distribuiccedilatildeo das
atenuaccedilotildees dentro de uma regiatildeo de interesse eacute o objetivo da tomografia Ao atravessar um material
a intensidade da radiaccedilatildeo sofre uma queda exponencial descrita pela relaccedilatildeo de Beer-Lambert
Entende-se como intensidade de radiaccedilatildeo neste caso como o nuacutemero de contagens registrado pelo
detetor em uma faixa de energia de interesse para um certo intervalo de tempo
Entende-se como caso estaacutetico a situaccedilatildeo em que o objeto tem distribuiccedilatildeo de
atenuaccedilotildees fixa na regiatildeo de estudo ao longo do tempo ou seja
(1)
O processo unidimensional para determinaccedilatildeo da atenuaccedilatildeo linear pode ser resumido
em um detetor de radiaccedilatildeo diametralmente oposto a uma fonte de radiaccedilatildeo onde
bull Estabelece-se um tempo para o intervalo de contagens Figura 21
bull ) do background sem
objeto algum entre fonte e detetor
bull Coloca-se um objeto de comprimento fixo l com distribuiccedilatildeo de atenuaccedilotildees desconhecida
mas com valores fixos ao longo de l
bull Afere-se o nuacutemero de contagens ( com o objeto presente
Figura 1 Atenuaccedilatildeo daRadiaccedilatildeo pela mateacuteria
l
If
para Δt
I0
para Δt
17
A lei de Beer-Lambert mostra que a absorccedilatildeo mais precisamente a atenuaccedilatildeo da
radiaccedilatildeo mede a queda da intensidade quando a radiaccedilatildeo passa pela mateacuteria A transmissatildeo T
Taxa de contagem inicial Taxa de contagem apoacutes o absorvedor
(2)
caracteriza a permeabilidade do material absorvente para a radiaccedilatildeo Quanto maior for a
transmissatildeo menor eacute o efeito atenuante A transmissatildeo depende da espessura l do absorvedor Se a
espessura l eacute reforccedilada pela pequena quantidade dl o T de transmissatildeo eacute diminuiacuteda pela pequena
quantidade dT A diminuiccedilatildeo relativa da transmissatildeo eacute proporcional ao aumento absoluto da
espessura
(3)
O fator de proporcionalidade eacute chamado o coeficiente de atenuaccedilatildeo linear mu A
integraccedilatildeo da equaccedilatildeo 24 conduz agrave lei de Beer-Lambert
(4)
Para facilitar a notaccedilatildeo em desenvolvimentos adiante chamamos de que eacute o
coeficiente de atenuaccedilatildeo linear meacutedio e l a distacircncia percorrida pelo raio no absorvedor Entatildeo eacute
determinado por
18
(5)
independente de l E para um
detalhamento maior das atenuaccedilotildees ao longo do feixe discretiza-se l O somatoacuterio dos produtos das
atenuaccedilotildees com as distacircncias surge da discretizaccedilatildeo de l assumindo que todas as particcedilotildees atenuam
o feixe no Esta condiccedilatildeo implica tambeacutem no particionamento de
Fazendo com que a intensidade final de uma particcedilatildeo i seja a inicial
da subsequente i+1 Ou seja natildeo eacute estabelecida uma discretizaccedilatildeo do tempo
(6)
De maneira geral a soma na Equaccedilatildeo 6 torna-se uma integral e definindo o eixo x ao
longo da trajetoacuteria do feixe l torna-se o elemento de linha onde o coeficiente de atenuaccedilatildeo eacute
funccedilatildeo da trajetoacuteria da linha
(7)
A integral ao longo da linha eacute conhecida como projeccedilatildeo unidimensional da
distribuiccedilatildeo de densidades definida matematicamente por Johann Radon em 1917 e
Figura 2 Discretizaccedilatildeo de l
l1
μ1
l2
μ2
ln
μn
l3
μ3
I 1 pa
ra Δ
t 0f
I 2 pa
ra Δ
t 0f
I f pa
ra Δ
t 0f
I 0 pa
ra Δ
t 0f
19
conhecida como a transformada de Radon da funccedilatildeo
Como as projeccedilotildees satildeo o resultado das transformadas de Radon ao longo dos
caminhos dos feixes pode-se dizer que o objetivo da tomografia eacute obter a sua inversa ou seja a
imagem reconstruiacuteda ou como no caso unidimensional a curva
(8)
Os diversos modelos utilizados para encontrar a inversa satildeo chamados de algoritmos
de reconstruccedilatildeo e como todos operam com as projeccedilotildees como entrada de dados um estudo mais
detalhado da transformada de Radon temporal e como essas projeccedilotildees variam deve ser realizado
para os casos em que a distribuiccedilatildeo de coeficientes de atenuaccedilatildeo varia tambeacutem com o tempo (caso
dinacircmico seccedilatildeo )
eacute a projeccedilatildeo bidimensional
geralmente chamada de perfil ou vista do corte O processo de aquisiccedilatildeo dos perfis eacute
chamado de escaneamento ou varredura e o conjunto de projeccedilotildees adquiridas eacute denominado
sinograma a Erro Origem da referecircncia natildeo encontrada representa o sinograma de uma imagem de
teste com um disco central
O escaneamento pode ser feito atraveacutes de aquisiccedilotildees paralelas de um uacutenico feixe
Figura 3 Sinograma constituiacutedo de 180 vistas (construiacutedo com a funccedilatildeo radon do
matlab)
20
(Parallel Beam) ou com as trajetoacuterias em forma de leque (Fan Beam) Como o sinograma eacute
resultado das transformadas de Radon ao longo dos raios pode-se dizer que o objetivo da
tomografia eacute obter a sua inversa ou seja a imagem reconstruiacuteda
representa todas as projeccedilotildees (9)
Imagem Original
22 Algoriacutetmos de Reconstruccedilatildeo
221 Filtered Back Projection (FBP)
Bracewell e Riddle em 1967 introduziram o meacutetodo chamado retroprojeccedilatildeo filtrada
(FBP) meacutetodo baseado na transformada de Fourier O FBP eacute muito utilizado devido ao baixo tempo
de processamento O teorema das projeccedilotildees tambeacutem chamado de teorema do corte central (Central
Slice Theorem - CST) facilita o processo Esse diz que uma transformada 1D de Fourier da
transformada de Radon da funccedilatildeo corresponde agrave transformada 2D de Fourier da funccedilatildeo Ou seja
realizando a transformada de Fourier das projeccedilotildees chega-se ao espaccedilo de frequecircncias da
distribuiccedilatildeo de densidades que se desejam descobrir No espaccedilo de frequecircncias satildeo realizadas as
operaccedilotildees de filtragem e a transformada 2D inversa retorna a imagem reconstruiacuteda O FBP eacute
resumido nos seguintes passos
1 Calcular a transformada de Fourier unidimensional das projeccedilotildees chegando ao domiacutenio de
frequecircncias
2 Filtrar as projeccedilotildees transformadas com um filtro passa baixa (Shepp-Logan Hann
Hamming etc)
3 Colocar as projeccedilotildees filtradas em um grid polar Cada projeccedilatildeo em seu acircngulo
correspondente
4 Reamostrar estas em um grid cartesiano com interpolaccedilatildeo (linear nearest Splines etc)
5 Calcular a transformada 2D de Fourier inversa chegando-se agrave imagem reconstruiacuteda
21
222 ART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica)
Os primeiros estudos sobre teacutecnicas algeacutebricas em TC foram feitos por Gordon e
Herman (HERMAN G T GORDON R 1971) Apesar de ser mais intuitiva e simples que os
meacutetodos de transformada essa teacutecnica deixa a desejar no que se refere a precisatildeo e tempo de
processamento Fazendo com que os meacutetodos de transformada fossem inicialmente mais utilizados
principalmente na aacuterea meacutedica onde um grande nuacutemero de dados eacute processado No entanto para
experimentos em que o nuacutemero de projeccedilotildees eacute limitado ou tenha uma distribuiccedilatildeo natildeo uniforme o
meacutetodo de transformada torna-se inviaacutevel
Meacutetodos algeacutebricos ou de expansatildeo de seacuteries discretizam a secccedilatildeo irradiada em uma
matriz de incoacutegnitas (pixels) que representam a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de densidades μ (x y) como
ilustra a Figura 4 Apoacutes as varreduras um sistema de equaccedilotildees resultantes da relaccedilatildeo de Beer-
Lambert eacute criado e sua resoluccedilatildeo corresponde agrave inversa de Radon Devido agraves caracteriacutesticas desse
sistema meacutetodos indiretos satildeo aconselhados e dentre os indiretos o meacutetodo das projeccedilotildees de
Kaczmarz tem convergecircncia garantida (KACZMARZ 1937) As teacutecnicas iterativas satildeo resumidas
basicamente em quatro passos criaccedilatildeo da imagem inicial caacutelculo das correccedilotildees aplicaccedilatildeo das
correccedilotildees e o teste de convergecircncia Estes algoritmos diferem na maneira como as correccedilotildees satildeo
calculadas e aplicadas (SUBBARAO 1997) Neste trabalho eacute utilizada a teacutecnica algeacutebrica ART
Nessa representaccedilatildeo um raio corresponde a uma faixa com largura que na maioria das vezes
coincide com a largura de um pixel
22
O processo pode ser resumido em
1) Criar uma matriz imagem inicial com N elementos parametrizados em geralmente aleatoacuterios
ou nulos Esse eacute o iniacutecio da 1ordf iteraccedilatildeo ( =1)
2) Calcular as projeccedilotildees para todos os raios atraveacutes da foacutermula
(10)
3) Para cada raio calcular a diferenccedila entre a projeccedilatildeo original e a reconstruiacuteda 4)
Calcular o somatoacuterio de todos pesos ao longo de cada raio
(11)
5) Obter a correccedilatildeo para cada raio
23
(12)
6) Aplicar a correccedilatildeo a cada ceacutelula
(13)
onde eacute um paracircmetro de relaxaccedilatildeo entre 0 e 2
7) Repetir os passos 2 ao 6 para todos os raios
8) Achar a soma da convergecircncia de todos os pixels da imagem
(14)
9) Finalizar a iteraccedilatildeo
As iteraccedilotildees satildeo finalizadas quando chegar a um valor preacute - estabelecido Muitos autores
estabelecem um criteacuterio de Caso o criteacuterio natildeo tenha sido cumprido uma nova
iteraccedilatildeo eacute iniciada no passo 2
O ART frequentemente sofre de ruiacutedos tipo sal e pimenta (salt and pepper noise)
causados pelas inconsistecircncias introduzidas no conjunto de equaccedilotildees por aproximaccedilotildees nos O
efeito eacute exacerbado porque cada pixel ao longo de um raio eacute alterado assim que a projeccedilatildeo eacute
calculada mudando seus valores antes que outro raio o faccedila Tanto o ruiacutedo quando a taxa de
convergecircncia do meacutetodo dependem do paracircmetro de relaxaccedilatildeo utilizado escolhido empiricamente
(geralmente entre 0 e 2) (KAK 1989)
223 MART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica com Correccedilatildeo Multiplicativa)
Vaacuterios estudos apontam o meacutetodo como raacutepido mais flexiacutevel e de melhor acuraacutecia
que o ART Sendo indicado principalmente para casos de um nuacutemero limitado de dados
(VERHOEVEN 1993) A teacutecnica eacute semelhante ao ART com mudanccedila apenas no fator de correccedilatildeo
24
expresso pela equaccedilatildeo 15
(15)
23 O Caso Dinacircmico
De um modo geral imagiologia dinacircmica CT tem como objetivo reconstruir sequecircncias de
imagens em que a natureza dinacircmica do objeto tomografado eacute de interesse primaacuterio permitindo o
registro de mudanccedilas temporais na distribuiccedilatildeo do coeficiente de atenuaccedilatildeo linear Entende-se como
caso estaacutetico a situaccedilatildeo em que o objeto tem distribuiccedilatildeo de atenuaccedilotildees fixa na regiatildeo de
estudo ao longo do tempo Algoritmos de reconstruccedilatildeo tomograacutefica utilizam como dados de entrada
as projeccedilotildees unidimensionais tomograacuteficas Cada projeccedilatildeo eacute adquirida atraveacutes das aquisiccedilotildees de
intensidades inicial e final ao longo do raio na direccedilatildeo
O escaneamento pode ser feito atraveacutes de aquisiccedilotildees paralelas de um uacutenico feixe (Parallel
Beam) ou com as trajetoacuterias em forma de leque (Fan Beam) Como o sinograma eacute resultado das
transformadas de Radon ao longo dos raios pode-se dizer que o objetivo da tomografia eacute obter a
sua inversa ou seja a imagem reconstruiacuteda ou como no caso unidimensional a curva
(KAK A C SLANEY M 1999)
(16)
Historicamente a CT dinacircmica no contexto meacutedico refere-se a algoritmos de imagem que
tentam corrigir movimentos formando uma imagem de alta qualidade estaacutetica atraveacutes da remoccedilatildeo
do componente dinacircmico Diferentemente da aacuterea meacutedica as imagens reconstruiacutedas de fluxos
multifaacutesicos oriundas de relativa baixa resoluccedilatildeo temporal trazem informaccedilotildees importantes da
mudanccedila do fluxo ao longo do tempo (MyersG R Kingston A M 2011) O objetivo da
tomografia neste caso eacute determinar a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de atenuaccedilatildeo
No caso CT de 1ordf 3ordf geraccedilotildees aplicados a distribuiccedilotildees dinacircmicas uma uacutenica imagem
representativa de todo o processo (reconstruiacuteda por processos desenvolvidos para distribuiccedilotildees
25
estaacuteticas) eacute o resultado final da tomografia (BARTHOLOMEW CASAGRANDE 1957) (AZZI et
al 1991) (YIN et al 2002)(DAHAN A et al 2007) (DUDUKOVIC 2007) (DANTAS CC et
al 2007) (SALVADOR P A V 2010) (MESQUITA C et al 2011) A funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de
atenuaccedilotildees passa a ser uma aproximaccedilatildeo
Esta aproximaccedilatildeo eacute devido a projeccedilotildees natildeo compatiacuteveis no sinograma (tambeacutem chamado de
) (BONNET S 2003) As projeccedilotildees agora tornam-se incompatiacuteveis
devido as diferentes distribuiccedilotildees que ocorreram durante o intervalo de tempo [0 t]
24 Reconstruccedilatildeo com Correccedilatildeo de Movimento
A reduccedilatildeo de artefatos de movimento em imagens tomograacuteficas eacute um problema
crucial em oacutergatildeos de um forte caraacuteter dinacircmico como por exemplo os pulmotildees ou o coraccedilatildeo Uma
maneira simples de reduzir esses artefatos eacute limitar o tempo de aquisiccedilatildeo usando tomografia ultra ndash
raacutepida (5ordf geraccedilatildeo)
Aqui considera-se uma outra abordagem em que os modelos de movimento satildeo
integrados diretamente ao processo de reconstruccedilatildeo e onde a resoluccedilatildeo temporal pode assim ser
significativamente aumentada Os meacutetodos podem ser algeacutebricos (GILLAND et al 2002 1996 DE
MURCIA BLONDE et al 2003) ou analiacuteticos ( BONNET et al 2003)
A teacutecnica de compensaccedilatildeo de movimento utilizada neste estudo utiliza um modelo
de transformaccedilatildeo da matriz de pesos A dividindo-a em submatrizes tendo suas colunas deslocadas
adequadamente de acordo com o modelo de movimento obtido a cada projeccedilatildeo (PENGPAN et al
2011) Por esse motivo o vetor deslocamento do movimento deve ser calculado a cada projeccedilatildeo
Para uma grande quantidade de dados necessaacuterios em estudos dinacircmicos na aacuterea
meacutedica abordagens analiacuteticas que levam a algoritmos de reconstruccedilatildeo diretos satildeo mais apropriadas
Alguns meacutetodos satildeo aproximaccedilotildees adaptadas para uso geral do tipo de movimento mas amplitude
moderada (RITCHIE et al 1996 GRANGEAT et al 2002)
No trabalho desenvolvido foca-se a situaccedilatildeo em que um pequeno nuacutemero de dados eacute
26
disponibilizado devido a natureza da aplicaccedilatildeo Salienta-se que a compensaccedilatildeo de movimento
ocorre com a aplicaccedilatildeo da mesma quantidade de movimento (obtida previamente ou durante a
reconstruccedilatildeo) agrave matriz A
A funccedilatildeo em um instante de tempo t pode ser encontrada com a aplicaccedilatildeo da
deformaccedilatildeo agrave seu valor inicial
(17)
A deformaccedilatildeo pode apresentar rotaccedilatildeo e translaccedilatildeo
(18)
25 Geraccedilotildees de Tomoacutegrafos
A primeira geraccedilatildeo de tomoacutegrafos foi produzida pela EMI Mark em 1973 tendo
como desenvolvedor o engenheiro Hounsfield O sistema era composto por um uacutenico tubo de raios
X o qual produzia um uacutenico feixe ciliacutendrico que atravessava o objeto em estudo o paciente
atingindo o uacutenico detector que media a intensidade do mesmo O sistema ainda contava com um par
de colimadores (dois pequenos tubos metaacutelicos colocados apoacutes o feixe deixar a fonte e antes do
mesmo atingir o detector) para minimizar o espalhamento do feixe A fonte de raios X e o detector
se movem em sincronia e em lados opostos do paciente executando um escaneamento linear sobre a
seccedilatildeo em estudo seguido de uma rotaccedilatildeo de 1 grau e um novo escaneamento linear eacute efetuado
como ilustra a Figura 3 a)
Os tomoacutegrafos de segunda geraccedilatildeo foram desenvolvidos visando reduzir o tempo de
escaneamento minimizando a exposiccedilatildeo do paciente agrave radiaccedilatildeo e ampliando a gama de oacutergatildeos que
podem ter a seccedilatildeo transversal reconstruiacuteda Os tomoacutegrafos ainda mantiveram o movimento de
varredura linear seguida de uma rotaccedilatildeo Entretanto o feixe de raios X deixou de ser ciliacutendrico e
passou a ter formato de leque Ao inveacutes de um uacutenico detector o sistema passou a contar com vaacuterios
27
detectores alinhados de forma que possam receber todos os raios do feixe Dessa maneira o tempo
de obtenccedilatildeo de dados de uma seccedilatildeo foi reduzido de acordo
com o nuacutemero de detectores e com o acircngulo de abertura empregado como pode ser visto na Figura
3b) A terceira geraccedilatildeo de aparelhos abandonou de vez os movimentos de translaccedilatildeo do tubo de
raios X e dos detectores e passou a contar com um leque com um acircngulo maior e uma base de
detectores mais ampla em formato semi-circular O sistema passou a efetuar um movimento de 360
graus em torno da seccedilatildeo Tambeacutem eram usados colimadores antes do feixe atingir os detectores a
fim de minimizar o espalhamento dos raios X e garantir a qualidade das imagens O tempo de cada
varredura em alguns modelos comerciais passou a ser de apenas meio segundo ilustrado pela
Figura 3 c)
A quarta geraccedilatildeo de aparelhos passou a contar com um anel de detectores que
circundam toda a seccedilatildeo que possibilitou aumentar mais ainda o acircngulo do feixe de radiaccedilatildeo Os
detectores satildeo fixos e a fonte de radiaccedilatildeo rotaciona dentro do anel de detectores e ao redor do corpo
irradiado Um problema desta geraccedilatildeo diz respeito agrave recepccedilatildeo dos feixes que natildeo satildeo fixos e
dependendo do acircngulo um feixe pode atingir dois detectores ou acertar um detector apenas em uma
fraccedilatildeo ilustrado pela Figura 6d)
Como o tempo despendido para realizaccedilatildeo de movimentos mecacircnicos eacute a principal
28
limitaccedilatildeo para reduzir ainda mais os tempos de escaneamento a quinta geraccedilatildeo de aparelhos acabou
com os movimentos de translaccedilatildeo e rotaccedilatildeo da fonte e dos detectores Rachid Maad em MAAD R
2009 evita utilizar essa classificaccedilatildeo para tomoacutegrafos sem rotaccedilatildeo e translaccedilatildeo utilizados
industrialmente ficando essa classificaccedilatildeo mais utilizada em aplicaccedilotildees meacutedicas Esse utiliza o
termo geraccedilatildeo de tomografia instantacircnea para tais aparelhos representados na Figura 6e)
Na configuraccedilatildeo instantacircnea um anel de detectores estacionaacuterios e as fontes de
radiaccedilatildeo rodeiam o objeto fornecendo um arranjo fixo (sem varreduras) e mediccedilotildees instantacircneas1
Esta teacutecnica eacute muito raacutepida e pode ser usada na geraccedilatildeo de imagens em tempo real A desvantagem
eacute o custo e o problema da radiaccedilatildeo dispersa causada pela presenccedila de muacuteltiplas fontes
26 Simulaccedilatildeo de Sinogramas
Phantoms matemaacuteticos ou imagens de teste satildeo frequentemente utilizados para
avaliar a precisatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo Satildeo descritos precisamente por funccedilotildees
matemaacuteticas e suas transformadas de Radon simulam as projeccedilotildees tomograacuteficas Seus pixels satildeo as
regiotildees discretizadas e seus valores ou cores representam as densidades ou coeficientes de
atenuaccedilatildeo linear A imagem de teste (phantom) mais conhecida em reconstruccedilatildeo tomograacutefica eacute o
1 O termo instantacircneo aqui utilizado negligencia o tempo de aquisiccedilatildeo para as contagens de intensidade de radiaccedilatildeo devido ao seu baixo valor deacutecimos de segundo
29
phantom de Sheep ndash Logan Figura 7
Para calcular a projeccedilatildeo simulada somam-se os produtos das distacircncias percorridas
pelo raio em cada pixel pelo seu valor Paracircmetros do experimento tomograacutefico que se deseja
simular como a aacuterea a ser varrida densidades reais adiccedilatildeo de ruiacutedo e fotos da secccedilatildeo do objeto
podem ser incorporadas para dar mais realidade ao modelo (SUBBARAO PMV et al 1997) O
ruiacutedo obedece ao desvio padratildeo de Poisson (IAEA-TECDOC-1589 2008)
A secccedilatildeo irradiada eacute representada por uma matriz de incoacutegnitas que representam a
distribuiccedilatildeo de densidades que se deseja descobrir As incoacutegnitas satildeo os pixels da imagem
reconstruiacuteda como ilustrado na Figura 8
Nessa representaccedilatildeo um raio corresponde a uma faixa com largura que na maioria
das vezes coincide com a largura de um pixel
Figura 7 Phantom de Sheep-Logan
50 100 150 200 250
50
100
150
200
2500
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
30
Parametrizando os pixels com j variando de 1 a N e os raios com i de 1 a M podemos
escrever a transformada de Radon ao longo do raio i como
(19)
onde eacute o peso que diz o percentual de contribuiccedilatildeo de um pixel j para o raio i definido como
(20)
Uma boa aproximaccedilatildeo eacute o modelo em que a largura do feixe eacute reduzida a uma linha
reta fazendo a distacircncia percorrida por este feixe dentro do pixel
Para calcular a intensidade final para uma projeccedilatildeo i faz-se
31
(21)
Com calculado da figura e de meacutedia fixa variando a cada projeccedilatildeo
com o desvio padratildeo de Poisson para todas as projeccedilotildees
O sinograma simulado eacute construiacutedo fazendo cada elemento de sua matriz igual a
27 Fluidodinacircmica Computacional - CFD
Fluidodinacircmica computacional (Computational Fluid Dynamics - CFD) eacute o termo
dado ao grupo de teacutecnicas matemaacuteticas numeacutericas e computacionais usadas para obter visualizar e
interpretar soluccedilotildees para as equaccedilotildees de conservaccedilatildeo de grandezas fiacutesicas de interesse em um dado
escoamento A origem destas equaccedilotildees de conservaccedilatildeo eacute a teoria de Fenocircmenos de Transporte
Assim pode-se resumir CFD como o conjunto das teacutecnicas de simulaccedilatildeo computacional usadas
para predizer os fenocircmenos fiacutesicos ou fiacutesico-quiacutemicos que ocorrem em escoamentos
A Fluidodinacircmica computacional eacute uma aacuterea de grande interesse para a soluccedilatildeo de
muitos problemas praacuteticos Como exemplo podem ser citados problemas de aerodinacircmica
termodinacircmica hidraacuteulica dentre outros As anaacutelises nesta aacuterea de pesquisa podem ser
desenvolvidas com base em experimentos bem como em meacutetodos teoacutericos Dentro dos meacutetodos
teoacutericos destacam-se os meacutetodos computacionais utilizados para simulaccedilatildeo numeacuterica aplicada agrave
Dinacircmica dos Fluidos (HERCKERT M G R)
Para os escoamentos de fluidos o modelo matemaacutetico eacute estabelecido com base nas
equaccedilotildees de conservaccedilatildeo da quantidade de movimento da massa e da energia Estas equaccedilotildees
quando submetidas a condiccedilotildees de contorno e iniciais apropriadas representam matematicamente
um problema particular (SHAMES I H 1973) A soluccedilatildeo analiacutetica destas equaccedilotildees somente eacute
possiacutevel para escoamentos muito simples Para se analisar problemas reais lanccedila-se matildeo do uso dos
chamados meacutetodos numeacutericos
Nos casos de escoamentos laminares os modelos satildeo relativamente simples pois as
32
equaccedilotildees de Navier-Stokes2 conservaccedilatildeo da massa e conservaccedilatildeo de energia satildeo resolvidas
Contudo como a maioria dos escoamentos que acontecem na natureza e no meio industrial satildeo
turbulentos estes tem um alto grau de complexidade e portanto deve-se lanccedilar matildeo de modelos
matemaacuteticos de turbulecircncia acrescentando termos as equaccedilotildees anteriormente citadas Os modelos
de turbulecircncia levam em conta variaacuteveis estatiacutesticas pois escoamentos turbulentos satildeo altamente
caoacuteticos e com isto haacute a necessidade de ferramentas estatiacutesticas para representar os escoamentos
turbulentos
A Figura 9 mostra campos de velocidade e distribuiccedilatildeo de soacutelido dentro do riser com
o regime de fluxo feito por CFD (ARMSTRONG L M 2010) Uma uacutenica velocidade de injeccedilatildeo e
diferentes alturas ao longo do riser Outros exemplos satildeo ilustrados nas Figuras 10 e 11
2 satildeo equaccedilotildees diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos Permitem determinar os
campos de velocidade e de pressatildeo num escoamento
Figura 9 Distribuiccedilatildeo de velocidades e defraccedilatildeo de soacutelido para diferentes alturas
33
28 Tempo de Aquisiccedilatildeo ou Integraccedilatildeo
Detectores de radiaccedilatildeo precisam sempre de um certo tempo (tempo de integraccedilatildeo)
para obter sinal razoaacutevel dos foacutetons incidentes Isto eacute devido agrave estatiacutestica de Poisson que regula o
processo de contagem de foacutetons e pode aumentar consideravelmente a incerteza do sinal detectado
no caso de um tempo de integraccedilatildeo baixo No domiacutenio da frequecircncia a mediccedilatildeo de sinal com um
tempo de integraccedilatildeo eacute aproximadamente equivalente a multiplicar o sinal original por um filtro
passa - baixa Quando uma amostra estaacute em repouso no interior do tomoacutegrafo eacute vantajosa a
utilizaccedilatildeo de um tempo de integraccedilatildeo alto para rejeitar ruiacutedo de alta frequecircncia Para a escolha do
tempo de integraccedilatildeo ideal deve-se estabelecer um equiliacutebrio entre a velocidade da amostra e o ruiacutedo
Poisson (MAAD 2009)
29 Sistema de cores RGB
RGB eacute a abreviatura do sistema de cores aditivas formado por Vermelho (Red)
Verde (Green) e Azul (Blue) O propoacutesito principal do sistema RGB eacute a reproduccedilatildeo de cores em
dispositivos eletrocircnicos como monitores de TV e computador datashows scanners e cacircmeras
digitais assim como na fotografia tradicional Em contraposiccedilatildeo impressoras utilizam o modelo
Figura 11 Visatildeo 3D de uma distribuiccedilatildeo de fraccedilatildeode soacutelido feito por CFD
Figura 10 Secccedilatildeo comdistribuiccedilatildeo de soacutelido que
seraacute utilizada como PhantomMatemaacutetico
34
CMYK de cores subtrativas Modelos aditivos de luzes satildeo combinados de vaacuterias maneiras para
reproduzir outras cores
O modelo de cores RGB eacute baseado na teoria de visatildeo colorida tricromaacutetica de
Young-Helmholtz e no triacircngulo de cores de Maxwell O uso do modelo RGB como padratildeo para
apresentaccedilatildeo de cores na Internet tem suas raiacutezes nos padrotildees de cores de televisotildees RCA de 1953 e
no uso do padratildeo RGB nas cacircmeras LandPolaroid poacutes Edwin Land
Estas trecircs cores natildeo devem ser confundidas com os pigmentos primaacuterios Ciano
Magenta e Amarelo conhecidos no mundo das artes como ldquocores primaacuteriasrdquo jaacute que se combinam
baseadas na reflexatildeo e absorccedilatildeo de foacutetons visto que o RGB depende da emissatildeo de foacutetons de um
componente excitado a um estado de energia mais elevado (fonte emissora por exemplo o tubo de
raios catoacutedicos)
O modelo de cores RGB por si soacute natildeo define o que significa ldquovermelhordquo ldquoverderdquo ou ldquoazulrdquo
(espectroscopicamente) e entatildeo os resultados de misturaacute-los natildeo satildeo tatildeo exatos (e sim relativos na
meacutedia da percepccedilatildeo do olho humano)
Uma cor no modelo de cores RGB pode ser descrita pela indicaccedilatildeo da quantidade de
vermelho verde e azul que conteacutem Cada uma pode variar entre o miacutenimo (completamente escuro)
e maacuteximo (completamente intenso) Quando todas as cores estatildeo no miacutenimo o resultado eacute preto Se
todas estatildeo no maacuteximo o resultado eacute branco (GONZALES 2014)
Uma das representaccedilotildees mais usuais para as cores eacute a utilizaccedilatildeo da escala de 0 agrave 255
bastante encontrada na computaccedilatildeo pela conveniecircncia de se guardar cada valor de cor em 1 byte (8
bits) Assim o vermelho completamente intenso eacute representado por 255 0 0
Branco - RGB (255 255 255) Azul - RGB (0 0 255) Vermelho - RGB (255 0 0)
Verde - RGB (0 255 0)Amarelo - RGB (2552550)Magenta - RGB (2550255)
Ciano - RGB (0 255 255) Preto - RGB (0 0 0)
35
As cores satildeo complementares agraves do sistema CMYK - Ciano (Cyan) Magenta
(Magenta) Amarelo (Yellow) e Preto (blacKKey) - e a sua mistura forma a cor branca
210 MCNP
O meacutetodo Monte Carlo eacute um algoritmo numeacuterico capaz de resolver problemas fiacutesicos e
matemaacuteticos por meio de simulaccedilatildeo de variaacuteveis aleatoacuterias (SOBOL 1994 BIELAJEW 1998)
Hoje em dia o MCNP eacute uma ferramenta matemaacutetica comumente utilizada em diversos segmentos
da ciecircncia e da engenharia para simular problemas que podem ser representados por processos
estocaacutesticos Simulaccedilotildees do transporte de radiaccedilatildeo por meio deste meacutetodo e em particular na Fiacutesica
Meacutedica tecircm passado por um raacutepido crescimento nas uacuteltimas deacutecadas (YORIYAZ 2009)
O processo Monte Carlo pode ser compreendido como um meacutetodo de geraccedilatildeo de nuacutemeros
aleatoacuterios (ROBERT amp CASELLA 2004) Um gerador uniforme de nuacutemeros pseudoaleatoacuterios eacute
um algoritmo que comeccedilando com um valor inicial e uma transformaccedilatildeo produz uma sequecircncia de
valores no intervalo [0 1] tendo esta sequecircncia um comportamento de uma variaacutevel aleatoacuteria
uniforme quando comparada com um conjunto de testes aleacutem de ser independente e identicamente
distribuiacuteda (ROBERT amp CASELLA 2004) Em termos de transporte de radiaccedilatildeo o processo
estocaacutestico pode ser visto como uma famiacutelia de partiacuteculas cujas coordenadas individuais soacute mudam
aleatoriamente em cada colisatildeo O comportamento meacutedio dessas partiacuteculas eacute descrito em termos de
Figura 12Sistema RGB
36
grandezas macroscoacutepicas como fluxo ou densidade de partiacuteculas (YORIYAZ 2009)
O Monte Carlo N Particle ndash MCNP - foi criado desde a deacutecada de 50 nos Estados
Unidos sendo desenvolvido por meio do laboratoacuterio Los Alamos National Laboratory O MCNP
continua ateacute hoje sendo aperfeiccediloado tornando-se assim mais confiaacutevel e usado por muitos
pesquisadores no mundo inteiro Eacute um coacutedigo que realiza o transporte de partiacuteculas utilizando o
meacutetodo Monte Carlo com capacidade para simular necircutrons com energias entre 10-11 MeV a 20
MeV enquanto que a faixa de energia para os foacutetons e eleacutetrons vai de 1 keV a 1000 MeV
(BRIESMEISTER 2000) O coacutedigo MCNP tem a capacidade de simular sistemas com geometrias
que vatildeo de superfiacutecies preacute-determinadas como esferas planos paraboloacuteides de revoluccedilatildeo cilindros
elipsoacuteides ateacute superfiacutecies bem elaboradas utilizando conjunto de pontos no espaccedilo
O pesquisador ao utilizar o MCNP constroacutei um arquivo de entrada no coacutedigo que
pode ser organizado em blocos descrevendo regiotildees envolvidas no modelo especificaccedilatildeo da
geometria por meio de superfiacutecies geomeacutetricas e suas intersecccedilotildees posiccedilatildeo e distribuiccedilatildeo energeacutetica
da fonte descriccedilatildeo dos materiais e todos os paracircmetros fiacutesicos agregados com algumas teacutecnicas de
reduccedilatildeo de variacircncia para melhorar a eficiecircncia e obter melhores resultados (BRIESMEISTER
2000) A versatilidade somado ao aspecto funcional do coacutedigo MCNP para diferentes tipos de
problemas faz com que este seja bem aceito na comunidade cientiacutefica que trabalham com transporte
de radiaccedilotildees e caacutelculos de dose
37
3 METODOLOGIA
Para descobrir ateacute onde processos tomograacuteficos de baixa resoluccedilatildeo temporal aliados
a algoritmos de reconstruccedilatildeo estaacutetica satildeo compatiacuteveis com o regime em estudo foram avaliadas
aquisiccedilotildees simuladas de 1ordf 3ordf e 5ordf geraccedilotildees tomograacuteficas A variaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo de densidades
durante a aquisiccedilatildeo faz necessaacuterio o desenvolvimento de uma versatildeo da lei de Beer-Lambert para
casos dinacircmicos seguida de sua aplicaccedilatildeo para realizar as simulaccedilotildees O meacutetodo eacute separado em duas
fases
1ordf Fase
A metodologia desenvolvida aplica primeiro o modelo de simulaccedilatildeo de sinogramas
desenvolvida analiticamente agrave primitivas matemaacuteticas e posteriormente a dados do MCNPX e CFD
1) Eacute criado um modelo de simulaccedilatildeo de sinogramas para distribuiccedilotildees
dinacircmicas utilizando a versatildeo temporal desenvolvida da lei de Beer-Lambert e da transformada de
Radon tambeacutem temporal
2) A simulaccedilatildeo eacute testada com primitivas matemaacuteticas dinacircmicas como um
ciacuterculo crescente ou transladando ou ambos A escolha eacute pautada em sua representaccedilatildeo precisa por
funccedilotildees matemaacuteticas e por representar diversos processos industriais(A simulaccedilatildeo com o disco
representa a secccedilatildeo de um cilindro ou bolha)
3) Os resultados satildeo apresentados em forma de imagens e graacuteficos A
visualizaccedilatildeo do sinograma eacute bastante utilizada para determinaccedilatildeo de caracteriacutesticas do objeto
4) O modelo de simulaccedilatildeo eacute ao aplicado a dados do CFD
2ordf Fase
O meacutetodo desenvolvido propotildee uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens
tomograacuteficas de processos dinacircmicos pois utiliza canais de cores para mostrar a evoluccedilatildeo temporal
do processo O algoriacutetmo de reconstruccedilatildeo utilizado eacute o MART devido a sua boa performance com
nuacutemero limitado de dados
Nesta fase eacute realizada a reconstruccedilatildeo tradicional que eacute associada aos canais verde (G)
e azul (B) enquanto que o canal vermelho (R) fica responsaacutevel pela evoluccedilatildeo temporal do processo
O meacutetodo eacute descrito na seccedilatildeo 33
38
A reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento eacute utilizada com conhecimento do vetor
deslocamento meacutedio ou sua estimativa O meacutetodo escolhido modifica a matriz de pesos do
algoritmo algeacutebrico deslocando suas colunas de acordo com o modelo de movimento estimado
(ARTEMIEV V M NAUMOV A O 2006) (BUTALA 2009) (DESBAT L et al 2006)
Com o resultado das simulaccedilotildees o sistema tomograacutefico pode ser otimizado
(diminuiccedilatildeo do nuacutemero de projeccedilotildees e vistas)
31 A Transformada de Radon Temporal
regiatildeo (espaccedilo de medida) na qual seraacute feita a aquisiccedilatildeo de dados
considere a funccedilatildeo densidade onde
Neste sistema um ponto pode ser
mapeado por como
complemento unitaacuterio perpendicular a
ao longo da reta eacute dada por
(22)
39
depende natildeo apenas de x e y mas de com sendo a
variaacutevel tempo Definimos entatildeo
(23)
onde e o tempo final da mesma medida
Lema 1 ou seja se eacute
estaacutetico ao longo do tempo a transformada dinacircmica reduz-se a convencional
Demostraccedilatildeo
Figura 13 Sistema de Coordenadas
θ
x
y
ξξ
s
x (xy
)
40
Lema 2 e portanto se a
leitura for ldquoraacutepidardquo o caso dinacircmico mais uma vez reduz-se ao caso estaacutetico
Demostraccedilatildeo
Pelo teorema do valor meacutedio integral (TVMI) temos que se f eacute contiacutenua entatildeo
para algum tal que
usando o TVMI
K(γ)
41
32 Lei de Beer-Lambert temporal
Como a natureza da lei exige que os tempos de contagens sejam iguais para que estas
sejam comparadas apenas a variaccedilatildeo da intensidade da radiaccedilatildeo com a distacircncia eacute geralmente
explorada Sabendo que esses intervalos de tempo de contagem satildeo despreziacuteveis em relaccedilatildeo ao
tempo de meia vida da fonte e que a probabilidade de emissatildeo se manteacutem constante ao longo do
mesmo tempo pode-se supor que a intensidade seja diretamente proporcional ao tempo Ou seja
(24)
Neste caso a distribuiccedilatildeo de coeficientes de atenuaccedilotildees varia tambeacutem com o tempo
ou seja torna-se
(25)
ou
(26)
O modelo discreto aplica a lei de Beer-Lambert em sua forma estaacutetica para cada
particcedilatildeo de tempo assumindo que durante o infinitesimal de tempo o coeficiente e a distacircncia
percorrida permanecem constantes
(27)
42
(28)
33 Simulaccedilatildeo de aquisiccedilotildees Tomograacuteficas
O processo de aquisiccedilatildeo tomograacutefica consiste em coletar intensidades iniciais e finais
em determinados caminhos percorridos pelos feixes de radiaccedilatildeo Os dados podem ser tratados com
filtros etc Optou-se em natildeo realizar tratamento para natildeo inserir mais variaacuteveis ao processo
garantindo que os resultados sejam alcanccedilados soacute pelo meacutetodo proposto
Como jaacute foi dito na seccedilatildeo 26 para calcular a intensidade final para um caminho i
faz-se
(29)
A funccedilatildeo eacute representada pelas imagens de testes chamadas neste trabalho de
quadros ou frames configurados pela distribuiccedilatildeo de densidades escolhida Em todos os casos
optou-se por densidades unitaacuterias para qualquer distribuiccedilatildeo ou seja dois valores satildeo possiacuteveis em
uma imagem de teste 0 ou 1 Um pixel com valor 0 corresponde a uma regiatildeo sem atenuaccedilatildeo e os
pixels que compotildeem o objeto simulado tem valor 1
Com calculado da figura e de meacutedia fixa variando a cada projeccedilatildeo
com o desvio padratildeo de Poisson para todas as projeccedilotildees as projeccedilotildees satildeo calculadas com
O conjunto de todas as projeccedilotildees eacute ordenado em uma matriz chamada de sinograma
331 Aquisiccedilatildeo por Tomografia de 1ordf Geraccedilatildeo
Dois tipos de situaccedilotildees podem ocorrer
1) Uma uacutenica projeccedilatildeo 1D eacute realizada e durante todo o tempo de integraccedilatildeo nenhuma
mudanccedila ocorre na distribuiccedilatildeo ao longo do raio podendo mais de uma aquisiccedilatildeo 1D ser aferida
para mesma distribuiccedilatildeo ou frame Neste caso a intensidade final eacute calculada utilizando a lei de
43
Beer-Lambert durante todo o tempo de integraccedilatildeo para cada raio como ilustrado na Figura 15
Para calcular a intensidade final para uma projeccedilatildeo i faz-se
(30)
2) Durante a aquisiccedilatildeo ocorre mudanccedila na distribuiccedilatildeo de densidades ao longo do
feixe Como foi exposto na seccedilatildeo 31 o somatoacuterio de intensidades finais do raio em cada quadro
(frame) retorna a intensidade final total para um certo tempo de aquisiccedilatildeo Figura 16
Figura 15 Projeccedilotildees 1D sem mudanccedila de frame
44
Entatildeo para cada frame eacute feita
e para a discretizaccedilatildeo de um intervalo de tempo
No exemplo ilustrado na Figura 16 a intensidade final depois do tempo de integraccedilatildeo
correspondente ao frame b fica
3) Natildeo ocorre mudanccedila na distribuiccedilatildeo durante toda a coleta de aquisiccedilotildees 1D em uma vista
4) Natildeo ocorre mudanccedila durante a aquisiccedilatildeo de todas as vistas Neste caso a distribuiccedilatildeo pode
ser tratada como estaacutetica
Figura 16 Projeccedilotildees 1D com mudanccedila de frame
1ordf aquisiccedilatildeo - Quadro a 1ordf aquisiccedilatildeo - Quadro b
45
332 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 3ordf geraccedilatildeo
A vantagem do meacutetodo eacute adquirir vaacuterias projeccedilotildees 1D ao mesmo tempo
Possibilitando um maior volume de dados em um tempo menor quando comparado ao de 1ordf
geraccedilatildeo Dois casos satildeo possiacuteveis
1) O tempo de integraccedilatildeo eacute suficiente para realizar uma vista completa ou mais por
quadro ou frame Figura 17
Figura 17 Mais de uma vista por frame
46
2) Mais de um quadro por vista Figura 18
333 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 5ordf geraccedilatildeo
Nesta situaccedilatildeo vaacuterias vistas satildeo adquiridas durante a mudanccedila da distribuiccedilatildeo Figura 19
Figura 19 Mais de um frame durante a aquisiccedilatildeo
Figura 18 Mais de um frame por vista
47
34 Posicionamento angular
O posicionamento angular tradicionalmente eacute feito com um conjunto de acircngulos
igualmente espaccedilados ordenados de forma crescente cobrindo o intervalo de 0ordm a 180ordm ou 360ordm A
ordem em que as projeccedilotildees ou vistas satildeo adquiridas natildeo importa porque o objeto em estudo eacute
estaacutetico
A proposta para tomografia dinacircmica de 1ordf e 3ordf geraccedilotildees eacute que o posicionamento seja
feito em subconjuntos que completem um ciclo Por exemplo o conjunto de vistas posicionadas
consecutivamente em 0ordm 45ordm 90ordm 135ordm 180ordm 225ordm 270ordm 315ordm pode ser reordenada em ciclos como
0ordm 90ordm 180ordm 270ordm Primeiro ciclo
45ordm 135ordm 225ordm 315ordm Segundo ciclo
A vantagem desse arranjo eacute que num determinado momento ao se preferir um
sinograma completo mas esparso em contraposiccedilatildeo a um sinograma incompleto mas denso eacute que as
informaccedilotildees vatildeo ser disponibilizadas na forma de imagem reconstruiacuteda mais cedo durante o
processo facilitando a interpretaccedilatildeo das informaccedilotildees Eacute uma escolha entre anaacutelise global esparsa
versus anaacutelise local densa
A nova ordenaccedilatildeo gera uma imagem reconstruiacuteda mais proacutexima do objeto dinacircmico e
abre a possibilidade de reconstruccedilotildees parciais com os subconjuntos de dados mais consistentes com
a dinacircmica do processo
35 Utilizaccedilatildeo de um canal de cores para visualizar a dinacircmica do processo Reconstruccedilatildeo RGB
Uma caracteriacutestica da imagem reconstruiacuteda tradicionalmente em processos
industriais dinacircmicos eacute a falta de informaccedilatildeo temporal ou seja obtecircm-se informaccedilotildees da meacutedia da
distribuiccedilatildeo mas natildeo se sabe em que tempo ocorreram as mudanccedilas de padratildeo de fluxo A proposta
desenvolvida neste trabalho pondera cada perfil adquirido com um fator dependente do tempo
criando esta distinccedilatildeo
O meacutetodo desenvolvido propotildee uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens
tomograacuteficas de processos dinacircmicos pois utiliza canais de cores para mostrar a evoluccedilatildeo temporal
do processo Nesta fase eacute realizada a reconstruccedilatildeo tradicional e a mesma eacute associada aos canais
verde (G) e azul (B) enquanto que ao canal vermelho (R) eacute associada a evoluccedilatildeo temporal do
processo Uma cor no modelo de cores RGB pode ser descrita pela indicaccedilatildeo da quantidade de
48
vermelho verde e azul que conteacutem Cada uma pode variar entre o miacutenimo (completamente escuro)
e maacuteximo (completamente intenso) Quando todas as cores estatildeo no miacutenimo o resultado eacute preto Se
todas estatildeo no maacuteximo o resultado eacute branco Uma das representaccedilotildees mais usuais para os canais eacute a
utilizaccedilatildeo da escala de 0 agrave 255 (GONZALES 2014)
O meacutetodo consiste em
1) Simular as projeccedilotildees que equivalem na utilizaccedilatildeo real de um experimento agrave
coleta de dados de intensidades finais e iniciais pelo detetor
2) Reconstruir com esses dados a distribuiccedilatildeo de densidades Foi utilizado o MART
com relaxaccedilatildeo 02 e criteacuterio de parada 1
3) Associar esta reconstruccedilatildeo aos canais G e B
4) Binarizar a imagem reconstruiacuteda entre 0 e 150 O limiar (threshold) utilizado foi
empiacuterico e de 50 do maior valor da imagem
5) Penalizar as projeccedilotildees da primeira agrave uacuteltima com um fator empiacuterico crescente com
o tempo Normalizar as projeccedilotildees de cada vista por 105
6) Realizar a retroprojeccedilatildeo nos pixels com suas respectivas projeccedilotildees
7) Associar ao canal R
8) Juntar todos os canais em uma uacutenica imagem A reconstruccedilatildeo tradicional e a
reconstruccedilatildeo RGB satildeo visualizadas em uma uacutenica imagem onde os tons de vermelho correspondem
agrave evoluccedilatildeo temporal da dinacircmica do processo
36 Reconstruccedilatildeo utilizando dados do CFD
Dados da simulaccedilatildeo de fluxo bifaacutesico satildeo gerados em forma de imagens 2D da distribuiccedilatildeo
em secccedilotildees transversais ao longo do tubo Os dados satildeo coletados para uma uacutenica altura ou seja
secccedilatildeo As diversas imagens de uma uacutenica secccedilatildeo representam a evoluccedilatildeo temporal do fluxo
naquela regiatildeo O conjunto de 8 imagens exemplificam o comportamento do fluxo em intervalos
de tempo de 00025s
A altura da secccedilatildeo em m o tipo de injetor a vazatildeo volumeacutetrica em Lmim e o fluxo de
catalisador satildeo dados de entrada na simulaccedilatildeo do CFD mas natildeo fazem parte das simulaccedilotildees de
aquisiccedilotildees tomograacuteficas utilizadas nesse estudo As imagens portam as informaccedilotildees que seratildeo
utilizadas nas simulaccedilotildees de aquisiccedilatildeo das projeccedilotildees
49
37 Avaliaccedilatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo com RMSE
As teacutecnicas de avaliaccedilatildeo de algoritmos de reconstruccedilatildeo mais utilizadas na literatura
satildeo raiz do erro quadraacutetico meacutedio erro meacutedio relativo absoluto e erros baseados em entropia Para
o caso de simulaccedilotildees com figuras de testes bem definidas (phantoms matemaacuteticos) as teacutecnicas
podem ser aplicadas comparando a imagem reconstruiacuteda com a imagem original O mesmo
procedimento repete-se para phantoms reais onde a distribuiccedilatildeo de densidades eacute bem conhecida Os
sinogramas tambeacutem podem ser avaliados
Gordon e Herman (GORDON 1974 HERMAN 1973 HERMAN 1976) usaram a
raiz do erro quadraacutetico meacutedio para avaliar o quanto a figura reconstruiacuteda aproxima-se da original A
definiccedilatildeo do erro eacute
(31)
Onde
eacute o valor original do pixel
o pixel reconstruiacutedo
o nuacutemero total de pixels da imagem ou sinograma
50
38 Algoritmos e Software Desenvolvidos
Diversas rotinas foram implementadas no Matlab Suas funccedilotildees satildeo para calculo de
projeccedilotildees sinogramas resoluccedilatildeo por ART MART calculo da Matriz de pesos resoluccedilatildeo de
sistemas Aleacutem das jaacute disponiacuteveis no programa como Resoluccedilatildeo por FBP filtros de imagem
operaccedilatildeo com matrizes visualizaccedilatildeo de graacuteficos etc As rotinas estatildeo disponiacuteveis no Anexo-I
Devido agrave grande dimensatildeo da matriz de pesos nos algoritmos algeacutebricos ficou
inviaacutevel sua operaccedilatildeo em alguns casos no Matlab O software Tomography Workstation-TW foi
desenvolvido em C com este propoacutesito Apresenta opccedilotildees de reconstruccedilatildeo ART MART SIRT e
SART Figura 39 Tambeacutem tem as funccedilotildees para carregar tomogramas e sinogramas
Figura 20 Software Desenvolvido
51
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO
Os resultados foram divididos nas seguintes seccedilotildees
bull Aumento do nuacutemero de iteraccedilotildees na Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica Dinacircmica
bull Resultados das reconstruccedilotildees MART e FBP
bull Escolha do posicionamento angular (vistas alternadas)
bull Resultados com reconstruccedilatildeo RGB
bull Simulaccedilotildees com MCNP
bull Reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento
bull Simulaccedilotildees tomograacuteficas a partir do CFD
41 Resultados das Reconstruccedilotildees MART e FBP
As imagens de teste (phantoms) foram utilizadas para avaliar os resultados das
reconstruccedilotildees MART e FBP
411 Primitiva Ciacuterculo Transladando 1 vista por frame
A simulaccedilatildeo consiste em oito distribuiccedilotildees representadas por imagens (quadros ou
frames) de 64x64 pixels com um disco de densidade unitaacuteria e raio fixo Natildeo ocorre mudanccedila
durante a simulaccedilatildeo de uma aquisiccedilatildeo ou varredura Esta aplicaccedilatildeo simula as tomografias de 1ordf e 3ordf
geraccedilatildeo
O disco Raio = 2 pixels deslocamento de 7 pixels entre os centros dos discos de
quadros consecutivos A imagem eacute reconstruiacuteda por FBP e MART
Os frames satildeo ilustrados na Figura 21 e a meacutedia dos oito na Figura 22 Cada imagem
eacute ilustrada na escala de 64 x 64 pixels
52
Figura 21 8 frames - ciacuterculo transladando - 1 vista por frame
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 22 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
53
Os oito picos do sinograma Figura 23 ilustram a captura do disco em diferentes
posiccedilotildees
A Figura 24 ilustra o sinograma em forma de imagem onde cada valor de pixel eacute
convertido para uma escala de cor O eixo vertical (linhas do sinograma) representa a passo linear
(posiccedilatildeo das trajetoacuterias dos feixes) e o horizontal o passo angular (Nuacutemero de vistas)
Figura 23 Tomograma e sinograma ndash circulo transladando ndash 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
05
1
15
2
25
3
35
4
45
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 700
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
54
Os resultados das reconstruccedilotildees FBP e MART satildeo ilustrados na Figura 25
A reconstruccedilatildeo por FBP mostra diversos artefatos natildeo dando para identificar o
nuacutecleo nem a tendecircncia de movimento Os artefatos formam oito faixas um para cada vista ou
projeccedilatildeo Estes artefatos em faixa satildeo comuns no FBP para um baixo nuacutemero de vistas
O MART difere da imagem meacutedia mostrando um arqueamento para direita devido ao
movimento simulado e o sentido anti-horaacuterio das aquisiccedilotildees Eacute um artefato de movimento
Figura 25 Reconstruccedilotildees circulo transladando ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Figura 24 Sinogramascirculo transladando ndash 1 vista por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
55
412 Primitiva Ciacuterculo Transladando Oito vistas por frame
O objetivo desta simulaccedilatildeo eacute descobrir como se comportam os algoritmos em uma
tomografia de 5ordf geraccedilatildeo onde todas as aquisiccedilotildees satildeo realizadas ao mesmo tempo Nesta situaccedilatildeo
as oito vistas satildeo realizadas simultaneamente enquanto ocorre a mudanccedila das distribuiccedilotildees (Figura
19) Figuras com 64x64 pixels raio fixo de 2 pixels deslocamento de 5 pixels
Figura 26 Tomograma e Sinograma - disco transladando - 8 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
05
1
15
2
25
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 7001
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
56
Os resultados das reconstruccedilotildees satildeo ilustrados na Figura 28
As reconstruccedilotildees ficam mais proacuteximas da imagem meacutedia porque todas as vistas satildeo
adquiridas ao mesmo tempo durante todo o processo O FBP perde a definiccedilatildeo dos discos e forma
um artefato central vertical O MART reconstroacutei o disco nas oito posiccedilotildees Cada disco eacute
reconstruiacutedo ilustrando os oito instantes de tempo que foram simulados
Figura 27 Sinogramas CiacuterculoTransladando -Oito vistas por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Figura 28 Reconstruccedilotildees Ciacuterculo Transladando -Oito vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
57
413 Primitiva Circulo Crescente Uma vista por frame
A simulaccedilatildeo consiste em oito distribuiccedilotildees em forma de ciacuterculo concecircntricas com um
aumento 2 pixels entre distribuiccedilotildees consecutivas (Figura 29) Oito vistas satildeo adquiridas
simultaneamente para simular a tomografia de 5ordf geraccedilatildeo
Abaixo a imagem meacutedia aritmeacutetica das oito distribuiccedilotildees eacute ilustrada na Figura 29 A
aacuterea central eacute mais escura porque eacute coincidente para os oito ciacuterculos
Figura 30 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Figura 29 8 frames - circulo crescente - 1 vista por frame
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
58
Tanto o sinograma quanto o tomograma ilustram o crescimento do disco Figura
411
Figura 31 Tomograma e sinograma - ciacuterculo crescente - 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 700
10
20
30
40
50
60
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
59
O sinograma em forma de imagem eacute mostrado abaixo (Figura 32)
O aumento vertical das faixas eacute devido ao crescimento do disco
As duas reconstruccedilotildees apresentam artefatos de rotaccedilatildeo que dificultam a identificaccedilatildeo
da tendecircncia de movimento ou da distribuiccedilatildeo espacial dos discos (Figura 33)
Figura 32 Imagem do sinograma -ciacuterculo crescente - 1 vista por frame
Sinograma
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
Figura 33 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
60
414 Primitiva Circulo Crescente Oito vistas por frame
Neste caso ocorre mudanccedila de frame com a vista Para cada distribuiccedilatildeo tem-se uma
vista diferente Figura 34
Figura 34 Tomograma e sinograma - circulo crescente - 8 vista por frame
29 30 31 32 33 340
05
1
15
2
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3701
02
03
04
05
06
07
08
09
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
61
A posiccedilatildeo central que eacute comum a todos os frames eacute reconstruiacuteda nos dois casos O
FBP mostra a presenccedila de artefatos de Moireacute (Figura 36) O MART mostra poucos artefatos e
mostra uma regiatildeo borrada ao redor do ciacuterculo central indicando os discos maiores
Figura 35 Sinogramas circulo crescente ndash 8vistas por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Figura 36 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 8 vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
62
42 Vistas Alternadas
Alguns testes foram realizados para estudar o posicionamento angular quando
ordenado de forma sequencial e alternada O conjunto de vistas posicionadas consecutivamente em
0ordm 45ordm 90ordm 135ordm 180ordm 225ordm 270ordm 315ordm foram reordenadas em dois ciclos
0ordm 90ordm 180ordm 270ordm para o primeiro ciclo
45ordm 135ordm 225ordm 315ordm para o segundo ciclo
As seguintes situaccedilotildees foram exploradas
Disco transladando - 1 Vista por frame
Cada distribuiccedilatildeo (quadro) eacute capturado em um instante de tempo diferente Os
acircngulos utilizados em cada quadro satildeo apresentados na Tabela 1
Tabela 1 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 1 vista por frame
Quadro 1ordm 2ordm 3ordm 4ordm 5ordm 6ordm 7ordm 8ordm
Vista 0ordm 90ordm 180ordm 270ordm 45ordm 135ordm 225ordm 315ordm
Reconstruccedilotildees
Figura 37 Reconstruccedilotildees disco transladando - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
63
Dois ciclos satildeo suficientes para natildeo formaccedilatildeo do artefato de rotaccedilatildeo (arqueamento)
A reconstruccedilatildeo com vistas alternadas mostra-se mais coerente com a imagem meacutedia (Figura 37)
Disco transladando - 2 Vistas por frame
Com duas vistas por quadro totaliza-se quatro quadros A associaccedilatildeo eacute ilustrada na
Tabela 2
Tabela 2 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 2 vistas por frame
Quadro 1ordm 2ordm 3ordm 4ordm
Vista 0ordm e 45ordm 90ordm e 135ordm 180ordm e 225ordm 270ordm e 315ordm
A reconstruccedilatildeo encontra-se mais proacutexima da imagem meacutedia do que na situaccedilatildeo com
vista sucessivas (Figura 38)
Disco Transladando - 4 Vistas por frame
Apenas dois quadros satildeo suficientes Tabela 3
Tabela 3 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 4 vistas por frame
Quadro 1ordm 2ordm
Vista 0ordm 90ordm 180ordm e 270ordm 45ordm 135ordm 225ordm 315ordm
Figura 38 Reconstruccedilotildees disco transladando - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
64
Reconstruccedilotildees
Disco crescente - 1 Vista por frame
A configuraccedilatildeo das vistas eacute a mesma utilizada na Tabela 1 uma vista por frame
A reconstruccedilatildeo com vistas alternadas Figura 40 apresenta uma reduccedilatildeo nos artefatos
de rotaccedilatildeo mostrando uma distribuiccedilatildeo espacial mais proacutexima da imagem meacutedia (Figura 40)
Disco crescente - 2 Vistas por frame
A configuraccedilatildeo das vistas eacute mesma da Tabela-2
Figura 39 Reconstruccedilotildees disco transladando - 4 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Figura 40 Reconstruccedilotildees disco crescente - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
65
Com o aumento do nuacutemero de vistas a distribuiccedilatildeo torna-se mais central
aproximando-se da imagem meacutedia (Figura 41)
43 Resultados com RGB
As situaccedilotildees jaacute utilizadas nas seccedilotildees 41 e 42 satildeo testadas com visualizaccedilatildeo RGB
Para todos os casos a primeira reconstruccedilatildeo (MART) eacute realizada com matriz inicial de valores
unitaacuterios relaxaccedilatildeo 02 e nuacutemero de iteraccedilotildees definido pela convergecircncia de 05 e em seguida a
normalizada por 150
Os sinogramas satildeo ponderados pelo conjunto de fatores que variam de 01 a 09
linearmente espaccedilados Os valores foram escolhidos empiricamente
Em seguida eacute realizada a reconstruccedilatildeo com o sinograma jaacute ponderado e seus valores
normalizados no intervalo de 150 a 255
Figura 41 Reconstruccedilotildees disco crescente - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
66
bull Ciacuterculo transladando ndash 1 Vista por frame
Um disco para cada instante de tempo totalizando oito distribuiccedilotildees Figura 42
Para o ciacuterculo transladando verticalmente com 1 vista por frame temos um
clareamento na parte inferior da distribuiccedilatildeo indicando que esta regiatildeo traz informaccedilotildees mais
recentes (Figura 42)
A reconstruccedilatildeo com MART RGB por usar como base a distribuiccedilatildeo espacial da
reconstruccedilatildeo MART mostra o clareamento vermelho na parte inferior da figura indicando que
ocorreu movimento nesse sentido
bull Ciacuterculo transladando ndash 2 Vistas por frame
Satildeo quatro distribuiccedilotildees uma para cada instante de tempo configurando duas vistas
por frame
Figura 42 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 1 vista por frame
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
67
O clareamento do vermelho na reconstruccedilatildeo RGB indica que a parte inferior da
reconstruccedilatildeo corresponde ao uacuteltimo instante de tempo
bull Ciacuterculo transladando ndash 4 Vistas por frame
Quatro vistas por frame foram utilizadas na configuraccedilatildeo das proacuteximas trecircs situaccedilotildees
(Figura 44 Figura 45 Figura 46) O deslocamento para o disco vertical eacute utilizado com trecircs valores
distintos
A primeira situaccedilatildeo ilustra dois instantes de tempo com dois diacircmetros de distacircncia
entre os centros dos discos Figura 44
Figura 43 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
68
A proacutexima situaccedilatildeo eacute criada com 4 diacircmetros de distacircncia entre centros entre o
primeiro e segundo instantes de tempo Figura 45 Cada disco corresponde a distribuiccedilatildeo exata em
um instante
Figura 44 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 45 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
69
A terceira situaccedilatildeo visa estudar o comportamento da reconstruccedilatildeo proposta quando
haacute coincidecircncia em parte da distribuiccedilatildeo espacial Satildeo quatro instantes de tempo e uma distacircncia
com menos de um diacircmetro de distacircncia entre centros consecutivos Figura 46
bull Ciacuterculo crescente ndash duas vistas por frame
A simulaccedilatildeo totaliza 4 frames e oito vistas consecutivas Duas por frame
Apesar da situaccedilatildeo com ciacuterculo crescente e duas vistas por frame natildeo mostrar boa
reconstruccedilatildeo a imagem reconstruiacuteda difere bastante da original como jaacute mostrado na seccedilatildeo 413
tambeacutem mostra concordacircncia com os outros resultados RGB pois mostra uma regiatildeo central com
Figura 46 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 47 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo crescente - 2 vistas por frame
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
70
vermelho mais claro O clareamento deve-se a regiatildeo que eacute coincidente para todos os ciacuterculos
O problema que surge eacute que para esta situaccedilatildeo o clareamento para o vermelho criado
pela reconstruccedilatildeo RGB se confunde com a superposiccedilatildeo dos ciacuterculos da reconstruccedilatildeo tradicional
criado na regiatildeo central
44 Simulaccedilotildees com MCNPX
Os frames que anteriormente foram obtidos analiticamente com o objetivo de
encontrar as projeccedilotildees agora satildeo representados por cartotildees de entrada para o MCNPX A simulaccedilatildeo
gera como saiacuteda a intensidade relativa Foram criadas as situaccedilotildees jaacute expostas na seccedilatildeo 41 A
configuraccedilatildeo das simulaccedilotildees eacute
bull Objeto Cilindro Raio = 5cm Material Al = 000746 cm-1
bull Fonte 137Cs Atividade 5 mCi
bull Colimaccedilatildeo Pb fonte - detetor 5vmm
bull Nuacutemero de histoacuterias 100000
441 Circulo Transladando ndash 1vista por frame
Oito geometrias foram simuladas com o objetivo de encontras as projeccedilotildees
equivalentes as 8 vistas Cada vista captura o disco em um instante de tempo diferente totalizando
oito frames Na Figura 48 ilustra-se o disco (em amarelo) em diferentes posiccedilotildees com e as
respectivas a posiccedilotildees da fonte colimada indicando mudanccedila angular (em roxo e azul)
71
O meacutetodo retorna o (relaccedilatildeo entre Ifinal e o Iinicial) A matriz de intensidades relativas eacute
denominada tomograma e tem as suas colunas ordenadas por vista(Figura 49)
As projeccedilotildees satildeo encontradas fazendo e o conjunto de vistas
ordenadas em colunas eacute denominado sinograma(Figura 50)
Figura 49 Tomograma via MCNPX - 1 Vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 70
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma Por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 48 Geometria Circulo Transladando - 1 vista por frame
72
A apresentaccedilatildeo do sinograma em forma de imagem eacute ilustrada na Figura 51
Figura 50 Sinograma MCNPX - 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
1
2
3
4
5
6
Posicionamento Linear
Sinograma por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 51 Imagem de sinograma MCNPX -1 vista por frame
Sinograma MCNPX - 1 vista por frame
Vistas
Projeccedilotildees
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
73
As reconstruccedilotildees apresentaram-se similares as feitas analiticamente na seccedilatildeo 41
Formaccedilatildeo de oito artefatos em faixa no FBP e o arqueamento para esquerda indicando o sentido da
rotaccedilatildeo do tomoacutegrafo (Figura 52)
442 Circulo Transladando ndash 2 vistas por frame
Oito geometrias foram simuladas com mudanccedila no posicionamento angular apenas
quando o disco muda de posiccedilatildeo Duas vistas capturam o disco na mesma posiccedilatildeo A geometria
simulada no MCNPX eacute mostrada na Figura 53
Figura 53 Geometria circulo transladando - 2 vistas por frame
Figura 52 Reconstruccedilotildees MART e FBP ndash MCNPX ndash 1 vista por frame
FBP
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60 -06
-04
-02
0
02
04
MART
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
74
A simulaccedilatildeo retorna o seguinte tomograma Figura 54
Calculando as projeccedilotildees temos o sinograma ilustrado na Figura 55
Que visualizado em formato de imagem fica ilustrado na Figura 56
Figura 54 Tomograma MCNPX - 2 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 70
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma Por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 55 Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
1
2
3
4
5
6
Posicionamento Linear
Sinograma por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
75
As reconstruccedilotildees corresponderam as expectativas quando coincidem com as
reconstruccedilotildees simuladas analiticamente(Figura 57)
Figura 57 Reconstruccedilatildeo MART - MCNPX - 2 vistas por frameMART
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
FBP
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60 -04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
06
Figura 56 Imagem de sinograma MCNPX ndash 2vistas por frame
Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame
Vistas
Projeccedilotildees
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
76
45 Resultados com CFD
As condiccedilotildees da simulaccedilatildeo foram vazatildeo volumeacutetrica de ar eacute 500 Lmin e o fluxo de
catalisador eacute de180 kg(m2s-1) O tempo de processo foi de 10 segundos com passo de 00025
segundos
O local de leituras da fraccedilatildeo volumeacutetrica foi se encontra a uma altura de 0650
metros da base do riser feita a cada 00375 segundos durante o tempo de processo de fluidizaccedilatildeo
resultando em 268 imagens Seacuteries de oito a nove imagens da secccedilatildeo transversal satildeo utilizadas
Devido a alta resoluccedilatildeo das imagens vindas do CFD uma reduccedilatildeo foi realizada para
figuras com 64x64 pixels Figura 58
451 CFD-1 vista por frame
A sequecircncia de oito imagens em intervalos de tempos consecutivos eacute ilustrada na
Figura 59 e a imagem meacutedia na Figura 60
Figura 58 Reduccedilatildeo na resoluccedilatildeo 899x999 para 64x64
20 40 60
10
20
30
40
50
60
200 400 600 800
100
200
300
400
500
600
700
800
77
Figura 60 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
Figura 59 CFD - Frames 1 ao 8
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
78
Reconstruccedilotildees
As reconstruccedilotildees para uma vista por frame natildeo correspondem agrave realidade prevista
Figura 61 Sinogramas CFD ndash 1 vista por frame
Figura 62 Reconstruccedilotildees CFD ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo RGB
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Sinograma com Pesos
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo Mart Red
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
79
pelo CFD O pequeno nuacutemero de vistas aliado a complexidade da figura dificultam a reconstruccedilatildeo
452 CFD-8 vistas por frame
A sequecircncia de oito imagens em intervalos de tempo consecutivos eacute ilustrada na
Figura 63
A meacutedia das oito imagens Figura 63
O sinograma simulado e o mesmo ponderado satildeo mostrados na Figura 65
Figura 64 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
Figura 63 Frames 1 ao 8 CFD ndash 8 vistas por frame
80
As reconstruccedilotildees concordam com as distribuiccedilotildees quando apresentam maior
concentraccedilatildeo de soacutelido do lado direito da imagem A maior concentraccedilatildeo de pigmentaccedilatildeo vermelha
Figura 65 Sinogramas CFD - 8 vistas por frame
Figura 66 Reconstruccedilotildees CFD - 8 vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Sinograma com Pesos
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart Red
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
81
do lado direito da imagem reconstruiacuteda em RGB mostra que a distribuiccedilatildeo nesta regiatildeo eacute mais
recente O resultado tem concordacircncia com a mudanccedila de lado da distribuiccedilatildeo ao longo dos oito
frames
46 Reconstruccedilotildees com correccedilatildeo de movimento
Como a reconstruccedilatildeo com vistas alternadas eacute superior a tradicional com vistas
sucessivas utilizou-se para todas as simulaccedilotildees com correccedilatildeo de movimento o posicionamento
angular sucessivo O objetivo da escolha eacute verificar os resultados gerados soacute por correccedilatildeo da matriz
de pesos As simulaccedilotildees foram ordenadas de acordo com as situaccedilotildees jaacute exploradas e para um
instante de tempo especiacutefico
Abaixo (Figura 67 Figura 68) tem-se a configuraccedilatildeo de 4 vistas por frame
resultando em dois quadros cada um com o disco em uma posiccedilatildeo diferente A imagem tem 32x32
pixels e o deslocamento foi vertical de 5 pixels Como o nuacutemero de colunas da matriz de pesos eacute
definido pela resoluccedilatildeo da imagem o deslocamento na matriz de pesos corresponde ao vertical x
nuacutemero de elementos em uma linhaentatildeo 5 x 32 = 60 colunas para esquerda quando se quer
recuperar o primeiro instante e 60 colunas para direita no caso do segundo
Para o primeiro instante a correccedilatildeo mostra-se eficaz reconstruindo por completo a
distribuiccedilatildeo no primeiro instante de tempo Figura 67
A distribuiccedilatildeo no segundo instante eacute reconstruiacuteda com um pouco de ruiacutedo Figura 68
Figura 67 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempoImagem Meacutedia
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30Imagem Meacutedia
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
82
A situaccedilatildeo com translado horizontal eacute ilustrada na Figura 69 e Figura 70 A
reconstruccedilatildeo no primeiro instante de tempo mostra-se mais precisa Figura 69 Quatro vistas foram
utilizados por quadro com um deslocamento de 5 pixels entre eles O deslocamento de colunas eacute
realizado com o mesmo nuacutemero
Para o segundo instante Figura 70
A simulaccedilatildeo com duas vistas por frame resulta em quatro distribuiccedilotildees Figura 71
Figura 72 Figura 73 A imagem tem 64x64 pixels e o deslocamento foi vertical de 5 pixels
resultando em um deslocamento de 5 x 64 = 320 para as colunas
Figura 69 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Figura 70 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o segundo instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30
5
10
15
20
25
30
83
Para o primeiro instante de tempo temos
Para o segundo instante
Figura 71 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 72 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
20 40 60
10
20
30
40
50
60
84
e para o terceiro instante
O ruiacutedo aumenta
Ocorre o aparecimento de ruiacutedo nas reconstruccedilotildees com o aumento do tempo Este
efeito eacute devido a extrapolaccedilatildeo do deslocamento nos elementos proacuteximo as bordas da matriz de
pesos
Figura 73 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
85
5 CONCLUSOtildeES
As simulaccedilotildees analiacuteticas de primitivas matemaacuteticas foram validadas com ecircxito
quando comparadas com as mesmas realizadas por MCNPX As aquisiccedilotildees tomograacuteficas foram
simuladas mostrando a superioridade da tomografia de 5ordf geraccedilatildeo (8 vistas por frame) quando
comparada agrave de 3ordf geraccedilatildeo (uma duas e quatro vistas por frame) seccedilotildees 41 e 42 As reconstruccedilotildees
ficam mais proacuteximas da imagem meacutedia porque todas as vistas satildeo adquiridas ao mesmo tempo
durante todo o processo O FBP perde a definiccedilatildeo dos discos e forma um artefato central vertical O
MART reconstroacutei perfeitamente o disco nas oito posiccedilotildees mostrando a sua preferecircncia para um
nuacutemero limitado de dados (8 vistas) O FBP eacute bastante utilizado em tomografias meacutedicas (360
vistas ou mais) devido a baixa complexidade computacional quando comparado aos meacutetodos
algeacutebricos
Tanto o disco transladando quanto o crescente apresentam melhor performance com
o aumento do nuacutemero de vistas por distribuiccedilatildeo como pode ser visto na seccedilatildeo 41 A situaccedilatildeo em
que foi simulada uma vista por frame apresenta um artefato de movimento indicando o sentido de
rotaccedilatildeo do arranjo simulado
Os oito perfis encontrados nas simulaccedilotildees com ciacuterculo crescente mostram o aumento
do disco seccedilatildeo 413 e 414 As simulaccedilotildees para este caso reconstroem uma distribuiccedilatildeo central
distorcida pela incompatibilidade das projeccedilotildees (adquiridas em diferentes instantes de tempo) As
reconstruccedilotildees com FBP mostram-se inferiores ao MART formando artefatos de Moireacute (artefatos
estrela) em todas as reconstruccedilotildees Confirmando que estes artefatos satildeo comuns quando se utiliza o
FBP com um nuacutemero limitado de dados
Os testes com vistas alternadas mostram que essa configuraccedilatildeo eacute superior ao arranjo
sucessivo pois cobre uma aacuterea maior em um tempo menor capturando mais informaccedilotildees relativas
ao movimento (seccedilatildeo 42)
A reconstruccedilatildeo RGB inova porque mostra a evoluccedilatildeo temporal do processo com
aacutereas mais claras (vermelho claro) indicando proximidade temporal enquanto que aacutereas mais
escuras indicam tempo passado O meacutetodo mostra o clareamento no vermelho em regiotildees da figura
indicando que ocorreu movimento neste sentido Os testes com ciacuterculo transladando mostram
coerecircncia quando indicam com o vermelho mais claro as regiotildees correspondentes aos uacuteltimos
quadros O mesmo resultado eacute obtido com os dados do CFD para simulaccedilatildeo da TC de 5ordf geraccedilatildeo O
86
lado direito da imagem tem valores maiores para o vermelho coincidindo com a sequecircncia de
distribuiccedilotildees utilizada onde ocorre mudanccedila na concentraccedilatildeo do lado esquerdo para o direito Para o
ciacuterculo crescente a eficaacutecia do meacutetodo pode ser questionada pois ocorre superposiccedilatildeo das regiotildees
centrais de cada disco A aplicaccedilatildeo a dados do CFD com apenas uma vista por frame eacute ineficiente
pois a reconstruccedilatildeo RGB natildeo consegue mostrar tendecircncia de movimento A reconstruccedilatildeo tradicional
MART tambeacutem natildeo coincide com a meacutedia dos frames ou seja como o meacutetodo proposto utiliza esta
distribuiccedilatildeo espacial natildeo pode-se afirmar que a ineficiecircncia do processo seja devido unicamente a
reconstruccedilatildeo RGB
O MCNPX foi utilizado com ecircxito nas duas simulaccedilotildees propostas Sinogramas e
tomogramas satildeo coincidentes com exceccedilatildeo da escala com os mesmos encontrados por teacutecnicas
analiacuteticas
A reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento foi utilizada com ecircxito para
determinaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo no instante inicial de tempo Ocorre aparecimento de ruiacutedo com o
aumento do tempo Este efeito eacute devido a extrapolaccedilatildeo do deslocamento nos elementos proacuteximo as
bordas da matriz de pesos Salienta-se que o vetor deslocamento deve ser conhecido ou calculado
previamente Este trabalho utiliza valores jaacute determinados anteriormente nas simulaccedilotildees (distacircncia
entre discos)
O trabalho contribui para tomografia industrial porque utiliza casos comuns agrave aacuterea
como o disco transladando que eacute simulador de bolhas em colunas industriais e imagens do CFD
como phantoms para predileccedilatildeo dos perfis experimentais Contribui tambeacutem para a otimizaccedilatildeo de
paracircmetros de operaccedilatildeo tomograacutefica quando simula as aquisiccedilotildees prevendo resultados para o
experimento Indica o MART como superior ao FBP neste conjunto de dados As simulaccedilotildees
analiacuteticas de sinogramas foram validadas com ecircxito pelo MCNPX ou seja ambas podem ser
utilizadas para simulaccedilatildeo de fenocircmenos industriais Sugere tambeacutem que a TC com vistas alternadas
corresponde mais a realidade dinacircmica de uma distribuiccedilatildeo Propotildee um novo meacutetodo a
reconstruccedilatildeo RGB obtendo bons resultados apenas nas situaccedilotildees em que natildeo ocorre coincidecircncia
entre as distribuiccedilotildees de diferentes instantes de tempo
Um estudo mais detalhado dos valores empiacutericos deve ser feito para um
entendimento maior da penalizaccedilatildeo das projeccedilotildees e das situaccedilotildees em que ocorra superposiccedilatildeo de
distribuiccedilotildees
A baixa performance do FBP esperada para um baixo nuacutemero de aquisiccedilotildees indica
que testes com um nuacutemero maior de vistas devem ser realizados para o estudo dos meacutetodos
87
propostos nestas situaccedilotildees
Outro trabalho futuro eacute utilizar soluccedilotildees jaacute propostas na literatura meacutedica para
diminuiccedilatildeo de ruiacutedos e artefatos na reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento identificando o vetor
deslocamento durante o processo
Espera-se dar continuidade ao trabalho validando tambeacutem experimentalmente as
simulaccedilotildees com translado do disco (Laboratoacuterio de Radioquiacutemica ndash DEN ndash UFPE)
88
6 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
ALEXANDER B DIMITRY V VITALY V KISELEV AN Algebraic reconstruction and
post-processing in incomplete data computed tomography From X-rays to Laser Beams Jun
2007
ANDERSEN AH Algebraic reconstruction in CT from limited views IEEE transactions on
medical imaging v 8(1) p50ndash55 Jan1989
ANGELI S EFSTAHIOS S An Accelerated Algebraic Reconstruction Technique based on
the Newton-Raphson Scheme Ieee Nuclear Science Symposium Conference Record 23382ndash
3387 2009
AZZI M TULIER P BERNARD J R GARNERO L Mapping Solid Concentration in a
Circulating Fluid Bed Using Gammametry Powder Technology p27-36 1991
BENDER R GORDON R HERMAN GT Algebraic reconstruction techniques(art) for
three dimensional electron microscopy and x-ray photography J Theor Biol v29 p759ndash768
1971
BROOKS RA CHIRO G Principles of Computer Assisted Tomography ( CAT ) in
Radiographic and Radioisotopic Imaging Phis Med Biol v21 N 5 p689-732 1976
BUTALA M D KAMALABADI F FRAZIN R A Chen YldquoDynamic tomographic imaging
of the solar coronardquo IEEE J Sel Topics Signal Process vol 2 pp 755ndash7662008
CENSOR Y Finite Series-Expansion Reconstruction Methods proceedings of the ieee p71
1983
CEZARO A CEZARO FT Problemas Inversos e a matemaacutetica da tomografia
computadorizada V Bienal da SBM - Sociedade Brasileira de Matemaacutetica 2010
CRUVINEL P E Mini tomoacutegrafo de raio-x e raio gama computadorizado para aplicaccedilotildees
multidisciplinares PhD thesis Unicamp 1987
DANTAS CC MELOSM OLIVEIRA E F MAGALHAtildeES F P SANTOS M G
Measurement of density distribution of a cracking catalyst in experimental riser with a
sampling procedure for gamma ray tomography Nuclear Instruments amp Methods in Physics
Research Section B Beam Interactions with Materials and Atoms (Print) v 266 p 841-848
2008
89
DE PIERRO A R Problemas Matemaacuteticos em Tomografia por Emissatildeo Notas UNICAMP
2004
DESBAT L RIT S CLACKDOYLE R MENNESSIER C PROMAYON E
NTALAMPEKI S ldquoAlgebraic and analytic reconstruction methods for dynamic
tomography rdquo Proceedings of the 29th Annual International Conference of the IEEE EMBS Citeacute
Internationale Lyon France August 23-26 2007 ThP2B11 2007 pp 726-730
DESBAT L ROUX S GRANGEAT P ldquoCompensation of some time dependent
deformations in tomography 2 Deformations preserving the projection geometryrdquo IEEE
transactions on medical imaging vol 26 2007 pp 1-20
EARLY D S LONG DG Image Reconstruction and Enhanced Resolution Imaging from
Irregular Samples IEEE trasactions on geosciences and remote sensing 3v9(2)291ndash302 2001
FARIN G Curves and Surfaces for CAGD a Practical Guide 4th edition Academic Press-
1996
FORSYTHE GE Solving linear algebraic equations can be interesting Bulletin of the
American Mathematical Society v59(4) P299ndash330 Jul 1953
GORDON R A tutorial on art (algebraic reconstruction techniques) IEEE Trans Nucl Sci v
NS-21 p78ndash93 1974
GORDON R GUAN H A projection acess order for speedy convergence of art a multilevel
scheme for computed tomography Physics in medicine and biology p39 1994
GUAN H HERMAN G T ZHU Y Combining various projection access schemes with the
algebraic reconstruction technique for low-contrast detection in computed tomography
Physics in medicine and biology 43(8)2413ndash21 August 1998
HANSON K M WECKSONG GVW Local basis approach to computed tomography
ApplOpt v24 p4028-2039 1985
HERFFERNAN P B Robb A R Difference image reconstruction from a few projections for
nondestructive materials inspection Applied optics
HERMAN G T Iterative reconstruction algorithms Comput Biol Med v6 p273 ndash 294 1976
HERMAN G T GORDON R Reconstruction of pictures from their projections Commun
Assoc Comput Mach v14 p759ndash768 1971
HERMAN GT MEYER L B Algebraic Reconstruction Techniques Can Be Made
90
Computationally Efficient IEEE transactions on medical imaging v 12(3) 1993
IAEA-TECDOC-1589 INDUSTRIAL PROCESS GAMMA TOMOGRAPHY Final report of a
coordinated research project 2003ndash2007 May 2008
KACZMARZ S Angenaherte auflosung von systemen linearer gleichungen Bull Acad Pol
Sci Lett A vol 6-8A pp 355-357 1937
KAKA C SLANEY M Principles of Computerized tomographic imaging IEEE PRESS
1999
KALAGA D V KULKARNI A V ACHARYA R KUMAR U SINGH G JOSHI JB
Some industrial applications of gamma-ray tomography Journal of the Taiwan Institute of
Chemical Engineers 40 (2009) 602ndash612 wwwelseviercomlocatejtice
KNOLL G F Nuclear Counters Radiation-Measurement Book 2006
LUTZ PH Relaxation Methods for Image Reconstruction Communications of the ACM
v21(2) p282ndash288 1978
MARTINEZ AG Detecccedilatildeo de descontinuidades e reconstruccedilatildeo de funccedilotildees a partir de dados
espectrais filtros splines e metodos iterativos tese - UNICAMP 2006
MELO SM DANTAS CC OLIVEIRA EAL MAGALHAtildeES FP OLIVEIRA EF A FCC
catalyst gamma ray tomographic reconstruction by using non negative non parametric bezier
triangles Proceedings In 4 th International Symposion on Process Tomography in Poland p 165
Washaw 2006
MESQUITA J MATELA N OLIVEIRA N MARTINS M V Choosing the ART relaxation
parameter for Clear-PEM 2D image reconstruction Computer methods and programs in
biomedicine May 2010
MYERS G R KINGSTON A M VARSLOT T K TURNER M L SHEPPARD A
P ldquoDynamic tomography with a priori informationrdquo Applied Optics vol 50 2011 pp 3685-
3690
OLIVEIRA EF DANTAS CC MELO S B VASCONCELOS D A A ldquoCOMPARISON
AMONG TOMOGRAPHIC RECONSTRUCTION ALGORITHMSrdquo internetional nuclear
conference-INAC2011
OLIVEIRA EF DANTAS C MELO S B VASCONCELOS D A A ldquoTOMOGRAPHIC
RECONSTRUCTION WITH B-SPLINES SURFACESrdquo internetional nuclear conference-
INAC2011
91
RAMACHANDRAM G N LAKSHMINARAYANAN A V Three-dimensional
reconstruction from radiographs and electron micrographs II application of convolutions
instead of Fourier transforms Proc Natl Acad Sci US v68 p2236-2240 1971
KACZMARZ S Angenaherte auflosung von systemen linearer gleichungen Acad Pol Sci
Lett v 6-8A p355ndash357 1937
SALINA F V MASCARENHAS NDA CRUVINEL PE A Comparison of POCS
Algorithms for Tomographic Reconstruction Under Noise and Limited View Computer
Graphics and Image Processing 2002
SALVADOR P A V Anaacutelise de sistemas multifaacutesicos utilizando tomografia computadorizada
gama monoenergeacutetica e polienergeacutetica Tese IPEN-USP 2008
SERGIO N QUORIN R Diagnoacutestico de defeitos em madeira por tomografia de raios x PhD
thesis UFPR 2004
SUBBARAO P M V MUNSHI P MURALIDHAR K Performance of iterative tomographic
algorithms applied to non-destructive evaluation with limited data NDT amp Internacional
v30(6) p359ndash370 1997
TANABE K Projection method for solving a singular system Numer Math 17203ndash214 1971
TIRUNELVELI G HERMAN G T Comparison of Square-Pixel and Hexagonal-Pixel
Resolution in Image Processing Test pages 867ndash872 2002
VERHOEVEN D Limited-data computed tomography algorithms for the physical sciences
Applied Optics jul1993
WENKAI L Adaptive algebraic reconstruction technique Image (Rochester NY) v31(12)
p3222ndash3230 2004
92
ANEXO ndash I
ROTINAS DESENVOLVIDAS NO MATLAB
Rotina responsaacutevel por criar os phantoms e calcular o sinograma Tambeacutem reconstroacutei
clear
d=64Nproj=8Ntraj=dNpixel=dr=02Nit=30display(MART)chute=1I0=10^8x=1fig3=(zeros(d))teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)inc=3cont=1z=zeros(NprojNtraj1)zt=zzt1=zzt2=zztgb=zcont=1c=0teta=[teta teta]clear fig
vpf=1raio=3inc=7c=5vpf=2raio=4inc=8c=5vpf=4raio=5inc=17c=10 vpf=8raio=1inc=4vpf=4inc=1cc=0inc2=25c=10vpf=4raio=3inc=15c=0 fator=(1Nproj)(1Nproj)1fator=flipud(fator)fator=linspace(00509Nproj)a=0for n=1Nproj a=a+1 circ(n)=Circulo(d(d2)(d2)(1+c))if a==vpfa=0c=c+incend crescente circ(n)=Circulo(d5+c(d2)raio)if a==vpfa=0c=c+incend translado vertical fig=circ(n) [z]=sinograma(fig teta(n)) zr=radon(fig teta(n)Ntraj) fig3=(fig3+fig) Itred(cont)=(I0exp(-zx))n((Nproj+inc+1)-n)(nNproj)olhar sempre It(cont)=I0exp(-zx) Ir(cont)=I0exp(-zr) cont=cont+1endfig3=fig3(max(max(fig3))Nproj)tira a sobreposiccedilatildeosinot=log((I0)It)importante retirar fator caso seja utilizado tomo de 3ordfsinot=(ZeraNeg(sinot))rect=Mart2(MatparaCol(real(sinot))teta102)[c d]=size(rect)rect=ColparaMat(rect(d)NpixelNpixel)figure subplot(131)imagesc(fig3)title(Imagem Meacutedia) subplot(132)imagesc(rect)title(MART Vistas Sucessivas) subplot(133)imagesc(rect)title(MART Vistas Alternadas)
93
Rotina para Testes com reconstruccedilotildees
clear load meialuanotubo2load dadosdinamicoload dadosdinamico2dados2=dados3[Ntraj Nproj]=size(dados2) for a=1Nproj for b=1Ntraj if dados2(ab)gt1 || dados2(ab)lt10^-2 dados2(ab)=1 end endend sinograma=-(102)log(dados2)sinograma=ZeraNeg(sinograma)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj) display(FBP)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)z=sinogramarecfbp=iradon(ztetaNtraj)x=164figsino(xdados2) figsino(xsinograma) figureimagesc(sinograma)title(Sinograma MCNPX - 1 vista por frame) xlabel(Vistas)ylabel(Projeccedilotildees)
_________________________MART___________________________________________ x=[02] Nit=20r=1recmart=zeros(Npixel^2Nitlength(x)) display(MART com pesos)display(x) z=MatparaCol(sinograma) [ix iy]=GridAlg(NprojNtrajNtrajpi) [A]=pesosart(ixiyNprojNtrajNtraj) rec=Art(AzNprojNtraj5002) figure imagesc(rec)title(ART) end recfinal=ColparaMat(recmart(Nit)NpixelNpixel) figuresurf(recfinal)figureimagesc(recfinal)colorbartitle(Mart) durou=etime(clockliga)60save phantomacrilicoMart x durou recmart A _________________________ART____________________________________________ x=[02] Nit=10r=1recart=zeros(Npixel) display(ART com pesos)display(x) z=MatparaCol(sinograma) rec=Mart(AzNprojNtrajNitx) recart=ColparaMat(rec(Nit)NpixelNpixel)r=r+1 figureimagesc(recart)colorbartitle(art) __________________________________________________________________________
94
rotina para caacutelculo do sinograma
function [matriz]=sinograma(fig teta)
[a b]=size(fig)Ntraj=aNproj=size(teta2)sino=zeros(NtrajNproj)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)for i=1Nproj for j=1b sino(ji)=Project(figteta(i)j) endendmatriz=sino
function [bijtemp erromat]=Mart2(ztetachuterelax)
[a b]=size(z)Nproj=size(teta2)Ntraj=aNprojNpixel=Ntrajbijtemp=ones(Npixel^250)bijtemp(1)=chute pij=ones(size(sino))Ite=50erro=1cont=1erromat=zeros(149)for Nitera=1Ite if Nitera==25 Nitera end for i=1Nproj W=Wproj(teta(i)Npixel) pij=Wbijtemp(Nitera) for j=1Ntraj cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pij(j))pij(j) if (pij(j)==0)cor=0000000001end ind=find(W(j)) cor=correlax bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corbijtemp(indNitera)W(jind)) end end if errolt=005break end if Niteragt=2 erro=100sqrt(sum(sum(((bijtemp(Nitera)-bijtemp(Nitera-1))^2))))sum(sum(bijtemp(Nitera))) erromat(cont)=errocont=cont+1 end if (Nitera ~= Ite)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)endendbijtemp=bijtemp(1Nitera)erro
function [bijtemp erromat]=Mart2(ztetachuterelax)
[a b]=size(z)Nproj=size(teta2)Ntraj=aNprojNpixel=Ntrajbijtemp=ones(Npixel^250)bijtemp(1)=chute
95
pij=ones(size(sino))Ite=50erro=1cont=1erromat=zeros(149)for Nitera=1Ite if Nitera==25 Nitera end for i=1Nproj W=Wproj(teta(i)Npixel) pij=Wbijtemp(Nitera) for j=1Ntraj cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pij(j))pij(j) if (pij(j)==0)cor=0000000001end ind=find(W(j)) cor=correlax(i) bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corbijtemp(indNitera)W(jind)) end end if errolt=005break end if Niteragt=2 erro=100sqrt(sum(sum(((bijtemp(Nitera)-bijtemp(Nitera-1))^2))))sum(sum(bijtemp(Nitera))) erromat(cont)=errocont=cont+1 end if (Nitera ~= Ite)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)endendbijtemp=bijtemp(1Nitera)erro
function [figtemp]=BP(NprojNtrajNpixelzinterXinterYfigura)
Back projection
c=max(size(figura))
Ntraj=c
Npixel=caumenta a dimenssatildeo da figura para eliminar artefatos de rotaccedilatildeo
figtemp=zeros(c)
inter=ones(22(Npixel+1))696969
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
inter(1)=interX(((i-1)Npixel)+j)
inter(2)=interY(((i-1)Npixel)+j)
for a=12(Npixel+1)
if (inter(1a)gt=0 ampamp inter(1a)ltNpixel) ampamp (inter(2a)gt=0 ampamp
inter(2a)ltNpixel) ampamp (inter(1a+1)gt=0 ampamp inter(1a+1)lt=Npixel) ampamp
(inter(2a+1)gt=0 ampamp inter(2a+1)lt=Npixel)
dist=sqrt(((inter(1a+1)-inter(1a))^2)+((inter(2a+1)-
inter(2a))^2))
x=fix(inter(1a))y=fix(inter(2a))
if (figura(x+1y+1))gt 10^-1
figtemp(x+1y+1)=figtemp(x+1y+1)+z(Ntraj(i-1)+j)dist
end
end
end
end
end
function [bijtemp]=Art(AzNprojNtrajNitrelax)
ART aditivo com opccedilatildeo de relaxaccedilatildeo
96
[c d]=size(A)a=sqrt(d)b=a
bijtemp=zeros(b^2Nit)10
pij=zeros(b1)pijtemp=zeros(Ntraj1)convergencia=zeros(1Nit)
Projection=Nproj
for Nitera=1Nit
interaction=Nitera
for i=1Nproj
pijtemp=A((Ntraj(i-1)+1)(Ntraj(i-1)+Ntraj))bijtemp(Nitera)
for j=1Ntraj
soma=sum(A(Ntraj(i-1)+j)^2)
cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pijtemp(j))
ind=find(A(Ntraj(i-1)+j))
cor=correlaxsoma
bijtemp(indNitera)=(bijtemp(indNitera) + corA(Ntraj(i-
1)+jind))
for ii=ind
if bijtemp(iiNitera)lt0bijtemp(iiNitera)=0end
end
end
end
if (Nitera ~= Nit)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)end
if (Nitera ~= 1)convergencia(Nit)=sqrt(sum(sum(bijtemp(Nitera-1)^2
-bijtemp(Nitera)^2))sum(sum(bijtemp(Nitera)^2)))end
end
function [bijtemp]=Artfast(AzNprojNtrajNitrelax)
ART aditivo com opccedilatildeo de relaxaccedilatildeo
[c d]=size(A)a=sqrt(d)b=a
bijtemp=ones(b^2Nit)
pij=zeros(b1)pijtemp=zeros(Ntraj1)
Projection=Nproj
for Nitera=1Nit
Nitera
for i=1Nproj
pijtemp=A((Ntraj(i-1)+1)(Ntraj(i-1)+Ntraj))bijtemp(Nitera)
for j=1Ntraj
soma=sum(A(Ntraj(i-1)+j)^2)
cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pijtemp(j))
ind=find(A(Ntraj(i-1)+j))
cor=correlaxsoma
bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corA(Ntraj(i-
1)+jind))
for ii=ind
if bijtemp(iiNitera)lt0bijtemp(iiNitera)=0end
end
end
end
if (Nitera ~= Nit)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)end
end
function [interX interY]=GridAlg(NprojNtrajNpixelRangeAngular)
RangeAngular=pi
display(vc olhou pi)
rxvetor=zeros(Nproj1)
ryvetor=zeros(Nproj1)
rxpontos=zeros(NtrajNproj)
97
rypontos=zeros(NtrajNproj)
rxpontos(1)=linspace(0+(NpixelNtraj)2Npixel-(NpixelNtraj)2Ntraj)
rypontos=flipud(rypontos)
rypontos(1)=0
rxvetor(1)=0
ryvetor(1)=1
teta=RangeAngularNproj
rot=[cos(teta) -sin(teta)sin(teta) cos(teta)]
for b=2Nproj
vet=rot[rxvetor(b-1) ryvetor(b-1)]
rxvetor(b)=vet(1)
ryvetor(b)=vet(2)
end
for b=2Nproj
for a=1Ntraj
pontos=rot[rxpontos(ab-1)-(Npixel2)rypontos(ab-1)-(Npixel2)]
rxpontos(ab)=pontos(1)+(Npixel2)
rypontos(ab)=pontos(2)+(Npixel2)
end
end
clear FIG
interX=zeros(NtrajNproj2(Npixel+1))interY=interX
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
ind=1
inter=ones(22(Npixel+1))696969
if rxvetor(i)lt-10^-5 || rxvetor(i)gt10^-5
for x=0Npixel
inter(2x+1)=(ryvetor(i)rxvetor(i))(x-rxpontos(ji))
+rypontos(ji)
inter(1x+1)=x
ind=ind+1
end
end
if rxvetor(i)gt=-10^-5 ampamp rxvetor(i)lt=10^-5x=-1end
if ryvetor(i)lt-10^-5 || ryvetor(i)gt10^-5
for y=0Npixel
inter(1x+2+y)=(rxvetor(i)ryvetor(i))(y-rypontos(ji))
+rxpontos(ji)
inter(2x+2+y)=y
ind=ind+1
end
end
[inter(1) B]=sort(inter(1))
inter(2)=inter(2B)
interX(((i-1)Ntraj)+j)=inter(1)
interY(((i-1)Ntraj)+j)=inter(2)
end
end
function [A]=pesosart(interXinterYNprojNpixelNtraj)
(NprojNtraj)x(Npixel^2)lt=70000000 out of memory with space free 560000000
98
[a b]=size(interX)
Atemp=sparse(zeros(NtrajNpixel^2))
inter=ones(22(Npixel+1))696969
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
inter(1)=interX(((i-1)Ntraj)+j)
inter(2)=interY(((i-1)Ntraj)+j)
for a=12(Npixel+1)
if (inter(1a)gt=0 ampamp inter(1a)ltNpixel) ampamp (inter(2a)gt=0 ampamp
inter(2a)ltNpixel) ampamp (inter(1a+1)gt=0 ampamp inter(1a+1)lt=Npixel) ampamp
(inter(2a+1)gt=0 ampamp inter(2a+1)lt=Npixel)
dist=sqrt(((inter(1a+1)-inter(1a))^2)+((inter(2a+1)-
inter(2a))^2))
if inter(2a+1)ltinter(2a)
y=fix(inter(2a+1))
else
y=fix(inter(2a))
end
x=fix(inter(1a))
Atemp(jNpixel(Npixel-y-1)+x+1)=dist
end
end
end
if i==1
A=Atemp
else
A=[AAtemp]
end
Atemp=sparse(zeros(NtrajNpixel^2))
end
Figura 49 Tomograma via MCNPX - 1 Vista por frame71Figura 50 Sinograma MCNPX - 1 vista por frame72Figura 51 Imagem de sinograma MCNPX - 1 vista por frame72Figura 52 Reconstruccedilotildees MART e FBP ndash MCNPX ndash 1 vista por frame73Figura 53 Geometria circulo transladando - 2 vistas por frame73Figura 54 Tomograma MCNPX - 2 vistas por frame74Figura 55 Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame74Figura 56 Imagem de sinograma MCNPX ndash 2 vistas por frame75Figura 57 Reconstruccedilatildeo MART - MCNPX - 2 vistas por frame75Figura 58 Reduccedilatildeo na resoluccedilatildeo 899x999 para 64x6476Figura 59 CFD - Frames 1 ao 877Figura 60 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames77Figura 61 Sinogramas CFD ndash 1 vista por frame78Figura 62 Reconstruccedilotildees CFD ndash 1 vista por frame78Figura 63 Frames 1 ao 8 CFD ndash 8 vistas por frame79Figura 64 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames79Figura 65 Sinogramas CFD - 8 vistas por frame80Figura 66 Reconstruccedilotildees CFD - 8 vistas por frame80Figura 67 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo81Figura 68 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o segundo instante de tempo81Figura 69 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo82Figura 70 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o segundo instante de tempo82Figura 71 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo83Figura 72 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo83Figura 73 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo84
LISTA DE TABELAS
Tabela 1
Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 1 vista por framehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip62
Tabela 2
Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 2 vistas por framehelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip63
Tabela 3
Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 4 vistas por framehelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip63
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
DEN ndash Departamento de Energia Nuclear
UFPE ndash Universidade Federal de Pernambuco
TC ndash Tomografia Computadorizada
ART ndash Algebraic Reconstruction Techinique
MART ndash Multiplicative Algebraic Reconstruction Techinique
SIRT ndash Simultaneous Iterative Reconstruction Technique
FBP ndash Filtered Back Projection
AM ndash Alternating Minimization
CFD ndash Computer Fluid Dynamics
MCNP - Monte Carlo N-Particle
PET - Positron Emission Tomography
SPECT - Single Photon Emission Tomography
CST ndash Central Slice Theorem
Sumaacuterio
1 INTRODUCcedilAtildeO132 TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA16
21 A Lei de Beer-Lambert16
22 Algoriacutetmos de Reconstruccedilatildeo20
221 Filtered Back Projection (FBP)20222 ART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica)21223 MART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica com Correccedilatildeo Multiplicativa)23
23 O Caso Dinacircmico24
24 Reconstruccedilatildeo com Correccedilatildeo de Movimento25
25 Geraccedilotildees de Tomoacutegrafos26
26 Simulaccedilatildeo de Sinogramas28
27 Fluidodinacircmica Computacional - CFD31
28 Tempo de Aquisiccedilatildeo ou Integraccedilatildeo33
29 Sistema de cores RGB33
21 0MCNP35
3 METODOLOGIA3731 A Transformada de Radon Temporal38
32 Lei de Beer-Lambert temporal41
33 Simulaccedilatildeo de aquisiccedilotildees Tomograacuteficas42
331 Aquisiccedilatildeo por Tomografia de 1ordf Geraccedilatildeo42332 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 3ordf geraccedilatildeo45333 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 5ordf geraccedilatildeo46
34 Posicionamento angular47
35 Utilizaccedilatildeo de um canal de cores para visualizar a dinacircmica do processo Reconstruccedilatildeo RGB47
36 Reconstruccedilatildeo utilizando dados do CFD48
37 Avaliaccedilatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo com RMSE49
38 Algoritmos e Software Desenvolvidos50
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO5141 Resultados das Reconstruccedilotildees MART e FBP51
411 Primitiva Ciacuterculo Transladando 1 vista por frame51412 Primitiva Ciacuterculo Transladando Oito vistas por frame55413 Primitiva Circulo Crescente Uma vista por frame57414 Primitiva Circulo Crescente Oito vistas por frame60
42 Vistas Alternadas62
43 Resultados com RGB65
44 Simulaccedilotildees com MCNPX70
441 Circulo Transladando ndash 1vista por frame70
442 Circulo Transladando ndash 2 vistas por frame7345 Resultados com CFD76
451 CFD-1 vista por frame76452 CFD-8 vistas por frame79
46 Reconstruccedilotildees com correccedilatildeo de movimento81
5 CONCLUSOtildeES856 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS88ANEXO ndash I92
13
1 INTRODUCcedilAtildeO
A Tomografia Computadorizada (TC) consiste em duas etapas
a) O objeto eacute verificado (escaneado) com relaccedilatildeo a alguma propriedade como
densidade capacitacircncia resistividade eleacutetrica ressonacircncia magneacutetica etc
b) A propriedade eacute entatildeo reconstruiacuteda por meio de uma teacutecnica de reconstruccedilatildeo
adequada
Dessa forma a tomografia tem como objetivo reconstruir os detalhes geomeacutetricos do
objeto subjacente e tambeacutem obter os valores da propriedade escolhida Normalmente eacute classificada
como uma teacutecnica de ensaios natildeo destrutivos (END) e portanto eacute de uso imenso em
colunasreatores industriais para detectar a distribuiccedilatildeo de fases ou qualquer tipo de natildeo
uniformidade no interior do objeto
Para o registro de qualquer mudanccedila no objeto otimiza-se o sistema em alta
resoluccedilatildeo temporal (baixo tempo de aquisiccedilatildeo) ou seja permitir vaacuterias imagens resultando em
centenas de quadros por segundo A tomografia que concretiza essa configuraccedilatildeo de aquisiccedilatildeo eacute
chamada de instantacircnea ou de 5ordf geraccedilatildeo onde vaacuterias fontes satildeo arranjadas diametralmente opostas
a um leque de detetores de radiaccedilatildeo e consequentemente a colimaccedilatildeo de uma fonte eacute limitada por
outra reduzindo a resoluccedilatildeo espacial do sistema
Quando a distribuiccedilatildeo tem baixa variabilidade ao longo do tempo ou quando
limitaccedilotildees teacutecnicas impedem o uso da tomografia instantacircnea propotildee-se a tomografia com baixa
resoluccedilatildeo temporal com tomoacutegrafos de 1ordf e 3ordf geraccedilotildees O alto tempo de aquisiccedilatildeo destes
tomoacutegrafos prejudica a reconstruccedilatildeo quando o objeto em estudo muda suas propriedades no
decorrer do tempo Esta foi classificada por vaacuterios autores como reconstruccedilatildeo dinacircmica
(ARTEMIEV V M NAUMOV A O 2006) (BUTALA 2009) (DESBAT L et al 2006) Jaacute eacute
uma aacuterea muito ativa em medicina nuclear onde movimentos do paciente devem ser tomados em
consideraccedilatildeo Tais como em SPECT ou PET mas tambeacutem em tomografia computadorizada (TC de
transmissatildeo) para oacutergatildeos de movimento raacutepido como o coraccedilatildeo (GRAMEL BM et al 2012)
De um modo geral o imageamento dinacircmico TC tem como objetivo reconstruir
sequecircncias de imagens em que a natureza dinacircmica do objeto tomografado eacute de interesse primaacuterio
permitindo o registro de mudanccedilas temporais na distribuiccedilatildeo do coeficiente de atenuaccedilatildeo linear
podendo identificar o estado inicial e o final do processo
O estado da arte dos meacutetodos aplicados para processos industriais eacute atualmente
baseado em princiacutepios de reconstruccedilotildees tomograacuteficas claacutessicas desenvolvidos para padrotildees TC de
distribuiccedilotildees estaacuteticas como pode ser visto em diversos artigos da aacuterea de tomografia industrial
14
(DAHAN A et al 2007 DUDUKOVIC 2007 HALE et al 2007 JOHANSEN et al 2005
KUMAR et al 1997 DANTAS CC et al 2007 SALVADOR P A V 2010 MESQUITA C et
al 2011) Essas abordagens assumem que as propriedades da imagem satildeo constantes durante o
processo de aquisiccedilatildeo Os algoritmos de reconstruccedilatildeo mais comuns ao contexto satildeo os iterativos
onde se destacam teacutecnicas de reconstruccedilatildeo algeacutebrica (ART SIRT MART SMART) e teacutecnicas de
reconstruccedilatildeo estatiacutesticas como o de Minimizaccedilatildeo Alternante (AM) e o Esperanccedila - Maximizaccedilatildeo
(EM) A imagem reconstruiacuteda passa a ser uma aproximaccedilatildeo das propriedades ao longo do tempo A
aproximaccedilatildeo eacute devida a projeccedilotildees natildeo compatiacuteveis no sinograma (BONNET S 2003) As
projeccedilotildees tornam-se incompatiacuteveis devido as diferentes distribuiccedilotildees que ocorreram durante o
intervalo de tempo utilizado para coleta de dados Ruiacutedos e artefatos de movimento satildeo os
principais problemas causados pela incompatibilidade
Aleacutem disso em processos tomograacuteficos industriais eacute comum um nuacutemero limitado de
dados devido a inviabilidades teacutecnicas como arranjar todo um aparato de fontes e detetores ao redor
de uma coluna industrial Um baixo nuacutemero de dados pode produzir ruiacutedo artefatos e natildeo
concordacircncia com a distribuiccedilatildeo em estudo
Por estes motivos eacute necessaacuterio um estudo dos melhores meacutetodos de reconstruccedilatildeo e
tambeacutem o desenvolvimento de novas taacuteticas ou a utilizaccedilatildeo de meacutetodos jaacute consagrados em outros
contextos como a aacuterea meacutedica
Este trabalho inova quando discute um tema jaacute comum agrave aacuterea meacutedica em um
contexto tomograacutefico industrial
O meacutetodo proposto consiste em descobrir inicialmente as limitaccedilotildees oriundas da
aplicaccedilatildeo de algoritmos de reconstruccedilatildeo que foram desenvolvidos para distribuiccedilotildees estaacuteticas e satildeo
utilizados em tomografia dinacircmica Estas podem aparecer em forma de ruiacutedo artefatos estrela eou
de movimento Para alcanccedilar tais propoacutesitos foram utilizados dados simulados analiticamente e por
MCNPX de um cilindro de alumiacutenio transladando durante o processo aquisiccedilatildeo e imagens da secccedilatildeo
transversal de um rise piloto por meio da teacutecnica CFD (Computational Fluid Dynamics) O cilindro
ou ciacuterculo para uma secccedilatildeo eacute uma escolha pautada na literatura industrial pois simula bolhas em
reatores e tambeacutem distribuiccedilotildees agrupadas em forma de nuacutecleo por exemplo (DUDUKOVIC M et
al 1997) (AZZI M 1991) Com os dados simulados foram realizadas e comparadas as
reconstruccedilotildees pelos meacutetodos FBP (Filtered Back Projection) e MART (Multiplicative Algebraic
Reconstruction Technique)
Descobertas as limitaccedilotildees novas estrateacutegias satildeo apresentadas como a escolha da
ordem do posicionamento angular (vistas alternadas ou sucessivas) o desenvolvimento de um
15
meacutetodo para a visualizaccedilatildeo temporal do processo (Reconstruccedilatildeo RGB) e a correccedilatildeo de movimento
A reconstruccedilatildeo RGB foi desenvolvida com o propoacutesito de visualizar a evoluccedilatildeo
temporal do processo Consiste em uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens tomograacuteficas de
processos dinacircmicos pois utiliza o canal red do sistema de cores RGB para visualizar a evoluccedilatildeo do
movimento Uma nova reconstruccedilatildeo eacute realizada utilizando dados penalizados com o tempo e
associada ao canal R Aos outros canais eacute associada a reconstruccedilatildeo tradicional para posterior
visualizaccedilatildeo do conjunto
Tambeacutem eacute proposta uma teacutecnica de correccedilatildeo de movimento utilizada na aacuterea meacutedica
que manipula a matriz de pesos do meacutetodo algeacutebrico deslocando seus elementos com a mesma
quantidade de movimento identificada Neste trabalho eacute definido o vetor deslocamento a priori
O Capiacutetulo dois trata da revisatildeo bibliograacutefica da tese Conteacutem a lei de Beer-Lambert
a formaccedilatildeo de dados tomograacuteficos para posterior reconstruccedilatildeo Explica os algoritmos algeacutebricos a
visualizaccedilatildeo RGB dados do CFD e geraccedilotildees tomograacuteficas No Capiacutetulo trecircs satildeo expostos os
meacutetodos desenvolvidos como aquisiccedilotildees simuladas analiticamente de 1ordf e 5ordf geraccedilotildees
tomograacuteficas simulaccedilotildees tomograacuteficas por MCNPX reconstruccedilatildeo RGB correccedilatildeo de movimento
algoritmos implementados e desenvolvidos No capiacutetulo quatro satildeo mostrados os resultados de
todos os meacutetodos propostos
Espera-se que esse trabalho contribua para uma anaacutelise mais efetiva de tomografias
dinacircmicas industriais bem como o diagnoacutestico de problemas de otimizaccedilatildeo de operaccedilatildeo de
tomoacutegrafos e obtenccedilatildeo de dados para novos projetos bem como contribuir com novos algoritmos de
reconstruccedilatildeo especiacuteficos para esta aplicaccedilatildeo
16
2 TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA
21 A Lei de Beer-Lambert
A medida da probabilidade por unidade de percusso do feixe de radiaccedilatildeo interagir
com a mateacuteria (efeito fotoeleacutetrico efeito Compton e produccedilatildeo de pares) eacute denominado coeficiente
de atenuaccedilatildeo total ou linear do material ( ) Encontrar a funccedilatildeo que represente a distribuiccedilatildeo das
atenuaccedilotildees dentro de uma regiatildeo de interesse eacute o objetivo da tomografia Ao atravessar um material
a intensidade da radiaccedilatildeo sofre uma queda exponencial descrita pela relaccedilatildeo de Beer-Lambert
Entende-se como intensidade de radiaccedilatildeo neste caso como o nuacutemero de contagens registrado pelo
detetor em uma faixa de energia de interesse para um certo intervalo de tempo
Entende-se como caso estaacutetico a situaccedilatildeo em que o objeto tem distribuiccedilatildeo de
atenuaccedilotildees fixa na regiatildeo de estudo ao longo do tempo ou seja
(1)
O processo unidimensional para determinaccedilatildeo da atenuaccedilatildeo linear pode ser resumido
em um detetor de radiaccedilatildeo diametralmente oposto a uma fonte de radiaccedilatildeo onde
bull Estabelece-se um tempo para o intervalo de contagens Figura 21
bull ) do background sem
objeto algum entre fonte e detetor
bull Coloca-se um objeto de comprimento fixo l com distribuiccedilatildeo de atenuaccedilotildees desconhecida
mas com valores fixos ao longo de l
bull Afere-se o nuacutemero de contagens ( com o objeto presente
Figura 1 Atenuaccedilatildeo daRadiaccedilatildeo pela mateacuteria
l
If
para Δt
I0
para Δt
17
A lei de Beer-Lambert mostra que a absorccedilatildeo mais precisamente a atenuaccedilatildeo da
radiaccedilatildeo mede a queda da intensidade quando a radiaccedilatildeo passa pela mateacuteria A transmissatildeo T
Taxa de contagem inicial Taxa de contagem apoacutes o absorvedor
(2)
caracteriza a permeabilidade do material absorvente para a radiaccedilatildeo Quanto maior for a
transmissatildeo menor eacute o efeito atenuante A transmissatildeo depende da espessura l do absorvedor Se a
espessura l eacute reforccedilada pela pequena quantidade dl o T de transmissatildeo eacute diminuiacuteda pela pequena
quantidade dT A diminuiccedilatildeo relativa da transmissatildeo eacute proporcional ao aumento absoluto da
espessura
(3)
O fator de proporcionalidade eacute chamado o coeficiente de atenuaccedilatildeo linear mu A
integraccedilatildeo da equaccedilatildeo 24 conduz agrave lei de Beer-Lambert
(4)
Para facilitar a notaccedilatildeo em desenvolvimentos adiante chamamos de que eacute o
coeficiente de atenuaccedilatildeo linear meacutedio e l a distacircncia percorrida pelo raio no absorvedor Entatildeo eacute
determinado por
18
(5)
independente de l E para um
detalhamento maior das atenuaccedilotildees ao longo do feixe discretiza-se l O somatoacuterio dos produtos das
atenuaccedilotildees com as distacircncias surge da discretizaccedilatildeo de l assumindo que todas as particcedilotildees atenuam
o feixe no Esta condiccedilatildeo implica tambeacutem no particionamento de
Fazendo com que a intensidade final de uma particcedilatildeo i seja a inicial
da subsequente i+1 Ou seja natildeo eacute estabelecida uma discretizaccedilatildeo do tempo
(6)
De maneira geral a soma na Equaccedilatildeo 6 torna-se uma integral e definindo o eixo x ao
longo da trajetoacuteria do feixe l torna-se o elemento de linha onde o coeficiente de atenuaccedilatildeo eacute
funccedilatildeo da trajetoacuteria da linha
(7)
A integral ao longo da linha eacute conhecida como projeccedilatildeo unidimensional da
distribuiccedilatildeo de densidades definida matematicamente por Johann Radon em 1917 e
Figura 2 Discretizaccedilatildeo de l
l1
μ1
l2
μ2
ln
μn
l3
μ3
I 1 pa
ra Δ
t 0f
I 2 pa
ra Δ
t 0f
I f pa
ra Δ
t 0f
I 0 pa
ra Δ
t 0f
19
conhecida como a transformada de Radon da funccedilatildeo
Como as projeccedilotildees satildeo o resultado das transformadas de Radon ao longo dos
caminhos dos feixes pode-se dizer que o objetivo da tomografia eacute obter a sua inversa ou seja a
imagem reconstruiacuteda ou como no caso unidimensional a curva
(8)
Os diversos modelos utilizados para encontrar a inversa satildeo chamados de algoritmos
de reconstruccedilatildeo e como todos operam com as projeccedilotildees como entrada de dados um estudo mais
detalhado da transformada de Radon temporal e como essas projeccedilotildees variam deve ser realizado
para os casos em que a distribuiccedilatildeo de coeficientes de atenuaccedilatildeo varia tambeacutem com o tempo (caso
dinacircmico seccedilatildeo )
eacute a projeccedilatildeo bidimensional
geralmente chamada de perfil ou vista do corte O processo de aquisiccedilatildeo dos perfis eacute
chamado de escaneamento ou varredura e o conjunto de projeccedilotildees adquiridas eacute denominado
sinograma a Erro Origem da referecircncia natildeo encontrada representa o sinograma de uma imagem de
teste com um disco central
O escaneamento pode ser feito atraveacutes de aquisiccedilotildees paralelas de um uacutenico feixe
Figura 3 Sinograma constituiacutedo de 180 vistas (construiacutedo com a funccedilatildeo radon do
matlab)
20
(Parallel Beam) ou com as trajetoacuterias em forma de leque (Fan Beam) Como o sinograma eacute
resultado das transformadas de Radon ao longo dos raios pode-se dizer que o objetivo da
tomografia eacute obter a sua inversa ou seja a imagem reconstruiacuteda
representa todas as projeccedilotildees (9)
Imagem Original
22 Algoriacutetmos de Reconstruccedilatildeo
221 Filtered Back Projection (FBP)
Bracewell e Riddle em 1967 introduziram o meacutetodo chamado retroprojeccedilatildeo filtrada
(FBP) meacutetodo baseado na transformada de Fourier O FBP eacute muito utilizado devido ao baixo tempo
de processamento O teorema das projeccedilotildees tambeacutem chamado de teorema do corte central (Central
Slice Theorem - CST) facilita o processo Esse diz que uma transformada 1D de Fourier da
transformada de Radon da funccedilatildeo corresponde agrave transformada 2D de Fourier da funccedilatildeo Ou seja
realizando a transformada de Fourier das projeccedilotildees chega-se ao espaccedilo de frequecircncias da
distribuiccedilatildeo de densidades que se desejam descobrir No espaccedilo de frequecircncias satildeo realizadas as
operaccedilotildees de filtragem e a transformada 2D inversa retorna a imagem reconstruiacuteda O FBP eacute
resumido nos seguintes passos
1 Calcular a transformada de Fourier unidimensional das projeccedilotildees chegando ao domiacutenio de
frequecircncias
2 Filtrar as projeccedilotildees transformadas com um filtro passa baixa (Shepp-Logan Hann
Hamming etc)
3 Colocar as projeccedilotildees filtradas em um grid polar Cada projeccedilatildeo em seu acircngulo
correspondente
4 Reamostrar estas em um grid cartesiano com interpolaccedilatildeo (linear nearest Splines etc)
5 Calcular a transformada 2D de Fourier inversa chegando-se agrave imagem reconstruiacuteda
21
222 ART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica)
Os primeiros estudos sobre teacutecnicas algeacutebricas em TC foram feitos por Gordon e
Herman (HERMAN G T GORDON R 1971) Apesar de ser mais intuitiva e simples que os
meacutetodos de transformada essa teacutecnica deixa a desejar no que se refere a precisatildeo e tempo de
processamento Fazendo com que os meacutetodos de transformada fossem inicialmente mais utilizados
principalmente na aacuterea meacutedica onde um grande nuacutemero de dados eacute processado No entanto para
experimentos em que o nuacutemero de projeccedilotildees eacute limitado ou tenha uma distribuiccedilatildeo natildeo uniforme o
meacutetodo de transformada torna-se inviaacutevel
Meacutetodos algeacutebricos ou de expansatildeo de seacuteries discretizam a secccedilatildeo irradiada em uma
matriz de incoacutegnitas (pixels) que representam a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de densidades μ (x y) como
ilustra a Figura 4 Apoacutes as varreduras um sistema de equaccedilotildees resultantes da relaccedilatildeo de Beer-
Lambert eacute criado e sua resoluccedilatildeo corresponde agrave inversa de Radon Devido agraves caracteriacutesticas desse
sistema meacutetodos indiretos satildeo aconselhados e dentre os indiretos o meacutetodo das projeccedilotildees de
Kaczmarz tem convergecircncia garantida (KACZMARZ 1937) As teacutecnicas iterativas satildeo resumidas
basicamente em quatro passos criaccedilatildeo da imagem inicial caacutelculo das correccedilotildees aplicaccedilatildeo das
correccedilotildees e o teste de convergecircncia Estes algoritmos diferem na maneira como as correccedilotildees satildeo
calculadas e aplicadas (SUBBARAO 1997) Neste trabalho eacute utilizada a teacutecnica algeacutebrica ART
Nessa representaccedilatildeo um raio corresponde a uma faixa com largura que na maioria das vezes
coincide com a largura de um pixel
22
O processo pode ser resumido em
1) Criar uma matriz imagem inicial com N elementos parametrizados em geralmente aleatoacuterios
ou nulos Esse eacute o iniacutecio da 1ordf iteraccedilatildeo ( =1)
2) Calcular as projeccedilotildees para todos os raios atraveacutes da foacutermula
(10)
3) Para cada raio calcular a diferenccedila entre a projeccedilatildeo original e a reconstruiacuteda 4)
Calcular o somatoacuterio de todos pesos ao longo de cada raio
(11)
5) Obter a correccedilatildeo para cada raio
23
(12)
6) Aplicar a correccedilatildeo a cada ceacutelula
(13)
onde eacute um paracircmetro de relaxaccedilatildeo entre 0 e 2
7) Repetir os passos 2 ao 6 para todos os raios
8) Achar a soma da convergecircncia de todos os pixels da imagem
(14)
9) Finalizar a iteraccedilatildeo
As iteraccedilotildees satildeo finalizadas quando chegar a um valor preacute - estabelecido Muitos autores
estabelecem um criteacuterio de Caso o criteacuterio natildeo tenha sido cumprido uma nova
iteraccedilatildeo eacute iniciada no passo 2
O ART frequentemente sofre de ruiacutedos tipo sal e pimenta (salt and pepper noise)
causados pelas inconsistecircncias introduzidas no conjunto de equaccedilotildees por aproximaccedilotildees nos O
efeito eacute exacerbado porque cada pixel ao longo de um raio eacute alterado assim que a projeccedilatildeo eacute
calculada mudando seus valores antes que outro raio o faccedila Tanto o ruiacutedo quando a taxa de
convergecircncia do meacutetodo dependem do paracircmetro de relaxaccedilatildeo utilizado escolhido empiricamente
(geralmente entre 0 e 2) (KAK 1989)
223 MART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica com Correccedilatildeo Multiplicativa)
Vaacuterios estudos apontam o meacutetodo como raacutepido mais flexiacutevel e de melhor acuraacutecia
que o ART Sendo indicado principalmente para casos de um nuacutemero limitado de dados
(VERHOEVEN 1993) A teacutecnica eacute semelhante ao ART com mudanccedila apenas no fator de correccedilatildeo
24
expresso pela equaccedilatildeo 15
(15)
23 O Caso Dinacircmico
De um modo geral imagiologia dinacircmica CT tem como objetivo reconstruir sequecircncias de
imagens em que a natureza dinacircmica do objeto tomografado eacute de interesse primaacuterio permitindo o
registro de mudanccedilas temporais na distribuiccedilatildeo do coeficiente de atenuaccedilatildeo linear Entende-se como
caso estaacutetico a situaccedilatildeo em que o objeto tem distribuiccedilatildeo de atenuaccedilotildees fixa na regiatildeo de
estudo ao longo do tempo Algoritmos de reconstruccedilatildeo tomograacutefica utilizam como dados de entrada
as projeccedilotildees unidimensionais tomograacuteficas Cada projeccedilatildeo eacute adquirida atraveacutes das aquisiccedilotildees de
intensidades inicial e final ao longo do raio na direccedilatildeo
O escaneamento pode ser feito atraveacutes de aquisiccedilotildees paralelas de um uacutenico feixe (Parallel
Beam) ou com as trajetoacuterias em forma de leque (Fan Beam) Como o sinograma eacute resultado das
transformadas de Radon ao longo dos raios pode-se dizer que o objetivo da tomografia eacute obter a
sua inversa ou seja a imagem reconstruiacuteda ou como no caso unidimensional a curva
(KAK A C SLANEY M 1999)
(16)
Historicamente a CT dinacircmica no contexto meacutedico refere-se a algoritmos de imagem que
tentam corrigir movimentos formando uma imagem de alta qualidade estaacutetica atraveacutes da remoccedilatildeo
do componente dinacircmico Diferentemente da aacuterea meacutedica as imagens reconstruiacutedas de fluxos
multifaacutesicos oriundas de relativa baixa resoluccedilatildeo temporal trazem informaccedilotildees importantes da
mudanccedila do fluxo ao longo do tempo (MyersG R Kingston A M 2011) O objetivo da
tomografia neste caso eacute determinar a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de atenuaccedilatildeo
No caso CT de 1ordf 3ordf geraccedilotildees aplicados a distribuiccedilotildees dinacircmicas uma uacutenica imagem
representativa de todo o processo (reconstruiacuteda por processos desenvolvidos para distribuiccedilotildees
25
estaacuteticas) eacute o resultado final da tomografia (BARTHOLOMEW CASAGRANDE 1957) (AZZI et
al 1991) (YIN et al 2002)(DAHAN A et al 2007) (DUDUKOVIC 2007) (DANTAS CC et
al 2007) (SALVADOR P A V 2010) (MESQUITA C et al 2011) A funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de
atenuaccedilotildees passa a ser uma aproximaccedilatildeo
Esta aproximaccedilatildeo eacute devido a projeccedilotildees natildeo compatiacuteveis no sinograma (tambeacutem chamado de
) (BONNET S 2003) As projeccedilotildees agora tornam-se incompatiacuteveis
devido as diferentes distribuiccedilotildees que ocorreram durante o intervalo de tempo [0 t]
24 Reconstruccedilatildeo com Correccedilatildeo de Movimento
A reduccedilatildeo de artefatos de movimento em imagens tomograacuteficas eacute um problema
crucial em oacutergatildeos de um forte caraacuteter dinacircmico como por exemplo os pulmotildees ou o coraccedilatildeo Uma
maneira simples de reduzir esses artefatos eacute limitar o tempo de aquisiccedilatildeo usando tomografia ultra ndash
raacutepida (5ordf geraccedilatildeo)
Aqui considera-se uma outra abordagem em que os modelos de movimento satildeo
integrados diretamente ao processo de reconstruccedilatildeo e onde a resoluccedilatildeo temporal pode assim ser
significativamente aumentada Os meacutetodos podem ser algeacutebricos (GILLAND et al 2002 1996 DE
MURCIA BLONDE et al 2003) ou analiacuteticos ( BONNET et al 2003)
A teacutecnica de compensaccedilatildeo de movimento utilizada neste estudo utiliza um modelo
de transformaccedilatildeo da matriz de pesos A dividindo-a em submatrizes tendo suas colunas deslocadas
adequadamente de acordo com o modelo de movimento obtido a cada projeccedilatildeo (PENGPAN et al
2011) Por esse motivo o vetor deslocamento do movimento deve ser calculado a cada projeccedilatildeo
Para uma grande quantidade de dados necessaacuterios em estudos dinacircmicos na aacuterea
meacutedica abordagens analiacuteticas que levam a algoritmos de reconstruccedilatildeo diretos satildeo mais apropriadas
Alguns meacutetodos satildeo aproximaccedilotildees adaptadas para uso geral do tipo de movimento mas amplitude
moderada (RITCHIE et al 1996 GRANGEAT et al 2002)
No trabalho desenvolvido foca-se a situaccedilatildeo em que um pequeno nuacutemero de dados eacute
26
disponibilizado devido a natureza da aplicaccedilatildeo Salienta-se que a compensaccedilatildeo de movimento
ocorre com a aplicaccedilatildeo da mesma quantidade de movimento (obtida previamente ou durante a
reconstruccedilatildeo) agrave matriz A
A funccedilatildeo em um instante de tempo t pode ser encontrada com a aplicaccedilatildeo da
deformaccedilatildeo agrave seu valor inicial
(17)
A deformaccedilatildeo pode apresentar rotaccedilatildeo e translaccedilatildeo
(18)
25 Geraccedilotildees de Tomoacutegrafos
A primeira geraccedilatildeo de tomoacutegrafos foi produzida pela EMI Mark em 1973 tendo
como desenvolvedor o engenheiro Hounsfield O sistema era composto por um uacutenico tubo de raios
X o qual produzia um uacutenico feixe ciliacutendrico que atravessava o objeto em estudo o paciente
atingindo o uacutenico detector que media a intensidade do mesmo O sistema ainda contava com um par
de colimadores (dois pequenos tubos metaacutelicos colocados apoacutes o feixe deixar a fonte e antes do
mesmo atingir o detector) para minimizar o espalhamento do feixe A fonte de raios X e o detector
se movem em sincronia e em lados opostos do paciente executando um escaneamento linear sobre a
seccedilatildeo em estudo seguido de uma rotaccedilatildeo de 1 grau e um novo escaneamento linear eacute efetuado
como ilustra a Figura 3 a)
Os tomoacutegrafos de segunda geraccedilatildeo foram desenvolvidos visando reduzir o tempo de
escaneamento minimizando a exposiccedilatildeo do paciente agrave radiaccedilatildeo e ampliando a gama de oacutergatildeos que
podem ter a seccedilatildeo transversal reconstruiacuteda Os tomoacutegrafos ainda mantiveram o movimento de
varredura linear seguida de uma rotaccedilatildeo Entretanto o feixe de raios X deixou de ser ciliacutendrico e
passou a ter formato de leque Ao inveacutes de um uacutenico detector o sistema passou a contar com vaacuterios
27
detectores alinhados de forma que possam receber todos os raios do feixe Dessa maneira o tempo
de obtenccedilatildeo de dados de uma seccedilatildeo foi reduzido de acordo
com o nuacutemero de detectores e com o acircngulo de abertura empregado como pode ser visto na Figura
3b) A terceira geraccedilatildeo de aparelhos abandonou de vez os movimentos de translaccedilatildeo do tubo de
raios X e dos detectores e passou a contar com um leque com um acircngulo maior e uma base de
detectores mais ampla em formato semi-circular O sistema passou a efetuar um movimento de 360
graus em torno da seccedilatildeo Tambeacutem eram usados colimadores antes do feixe atingir os detectores a
fim de minimizar o espalhamento dos raios X e garantir a qualidade das imagens O tempo de cada
varredura em alguns modelos comerciais passou a ser de apenas meio segundo ilustrado pela
Figura 3 c)
A quarta geraccedilatildeo de aparelhos passou a contar com um anel de detectores que
circundam toda a seccedilatildeo que possibilitou aumentar mais ainda o acircngulo do feixe de radiaccedilatildeo Os
detectores satildeo fixos e a fonte de radiaccedilatildeo rotaciona dentro do anel de detectores e ao redor do corpo
irradiado Um problema desta geraccedilatildeo diz respeito agrave recepccedilatildeo dos feixes que natildeo satildeo fixos e
dependendo do acircngulo um feixe pode atingir dois detectores ou acertar um detector apenas em uma
fraccedilatildeo ilustrado pela Figura 6d)
Como o tempo despendido para realizaccedilatildeo de movimentos mecacircnicos eacute a principal
28
limitaccedilatildeo para reduzir ainda mais os tempos de escaneamento a quinta geraccedilatildeo de aparelhos acabou
com os movimentos de translaccedilatildeo e rotaccedilatildeo da fonte e dos detectores Rachid Maad em MAAD R
2009 evita utilizar essa classificaccedilatildeo para tomoacutegrafos sem rotaccedilatildeo e translaccedilatildeo utilizados
industrialmente ficando essa classificaccedilatildeo mais utilizada em aplicaccedilotildees meacutedicas Esse utiliza o
termo geraccedilatildeo de tomografia instantacircnea para tais aparelhos representados na Figura 6e)
Na configuraccedilatildeo instantacircnea um anel de detectores estacionaacuterios e as fontes de
radiaccedilatildeo rodeiam o objeto fornecendo um arranjo fixo (sem varreduras) e mediccedilotildees instantacircneas1
Esta teacutecnica eacute muito raacutepida e pode ser usada na geraccedilatildeo de imagens em tempo real A desvantagem
eacute o custo e o problema da radiaccedilatildeo dispersa causada pela presenccedila de muacuteltiplas fontes
26 Simulaccedilatildeo de Sinogramas
Phantoms matemaacuteticos ou imagens de teste satildeo frequentemente utilizados para
avaliar a precisatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo Satildeo descritos precisamente por funccedilotildees
matemaacuteticas e suas transformadas de Radon simulam as projeccedilotildees tomograacuteficas Seus pixels satildeo as
regiotildees discretizadas e seus valores ou cores representam as densidades ou coeficientes de
atenuaccedilatildeo linear A imagem de teste (phantom) mais conhecida em reconstruccedilatildeo tomograacutefica eacute o
1 O termo instantacircneo aqui utilizado negligencia o tempo de aquisiccedilatildeo para as contagens de intensidade de radiaccedilatildeo devido ao seu baixo valor deacutecimos de segundo
29
phantom de Sheep ndash Logan Figura 7
Para calcular a projeccedilatildeo simulada somam-se os produtos das distacircncias percorridas
pelo raio em cada pixel pelo seu valor Paracircmetros do experimento tomograacutefico que se deseja
simular como a aacuterea a ser varrida densidades reais adiccedilatildeo de ruiacutedo e fotos da secccedilatildeo do objeto
podem ser incorporadas para dar mais realidade ao modelo (SUBBARAO PMV et al 1997) O
ruiacutedo obedece ao desvio padratildeo de Poisson (IAEA-TECDOC-1589 2008)
A secccedilatildeo irradiada eacute representada por uma matriz de incoacutegnitas que representam a
distribuiccedilatildeo de densidades que se deseja descobrir As incoacutegnitas satildeo os pixels da imagem
reconstruiacuteda como ilustrado na Figura 8
Nessa representaccedilatildeo um raio corresponde a uma faixa com largura que na maioria
das vezes coincide com a largura de um pixel
Figura 7 Phantom de Sheep-Logan
50 100 150 200 250
50
100
150
200
2500
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
30
Parametrizando os pixels com j variando de 1 a N e os raios com i de 1 a M podemos
escrever a transformada de Radon ao longo do raio i como
(19)
onde eacute o peso que diz o percentual de contribuiccedilatildeo de um pixel j para o raio i definido como
(20)
Uma boa aproximaccedilatildeo eacute o modelo em que a largura do feixe eacute reduzida a uma linha
reta fazendo a distacircncia percorrida por este feixe dentro do pixel
Para calcular a intensidade final para uma projeccedilatildeo i faz-se
31
(21)
Com calculado da figura e de meacutedia fixa variando a cada projeccedilatildeo
com o desvio padratildeo de Poisson para todas as projeccedilotildees
O sinograma simulado eacute construiacutedo fazendo cada elemento de sua matriz igual a
27 Fluidodinacircmica Computacional - CFD
Fluidodinacircmica computacional (Computational Fluid Dynamics - CFD) eacute o termo
dado ao grupo de teacutecnicas matemaacuteticas numeacutericas e computacionais usadas para obter visualizar e
interpretar soluccedilotildees para as equaccedilotildees de conservaccedilatildeo de grandezas fiacutesicas de interesse em um dado
escoamento A origem destas equaccedilotildees de conservaccedilatildeo eacute a teoria de Fenocircmenos de Transporte
Assim pode-se resumir CFD como o conjunto das teacutecnicas de simulaccedilatildeo computacional usadas
para predizer os fenocircmenos fiacutesicos ou fiacutesico-quiacutemicos que ocorrem em escoamentos
A Fluidodinacircmica computacional eacute uma aacuterea de grande interesse para a soluccedilatildeo de
muitos problemas praacuteticos Como exemplo podem ser citados problemas de aerodinacircmica
termodinacircmica hidraacuteulica dentre outros As anaacutelises nesta aacuterea de pesquisa podem ser
desenvolvidas com base em experimentos bem como em meacutetodos teoacutericos Dentro dos meacutetodos
teoacutericos destacam-se os meacutetodos computacionais utilizados para simulaccedilatildeo numeacuterica aplicada agrave
Dinacircmica dos Fluidos (HERCKERT M G R)
Para os escoamentos de fluidos o modelo matemaacutetico eacute estabelecido com base nas
equaccedilotildees de conservaccedilatildeo da quantidade de movimento da massa e da energia Estas equaccedilotildees
quando submetidas a condiccedilotildees de contorno e iniciais apropriadas representam matematicamente
um problema particular (SHAMES I H 1973) A soluccedilatildeo analiacutetica destas equaccedilotildees somente eacute
possiacutevel para escoamentos muito simples Para se analisar problemas reais lanccedila-se matildeo do uso dos
chamados meacutetodos numeacutericos
Nos casos de escoamentos laminares os modelos satildeo relativamente simples pois as
32
equaccedilotildees de Navier-Stokes2 conservaccedilatildeo da massa e conservaccedilatildeo de energia satildeo resolvidas
Contudo como a maioria dos escoamentos que acontecem na natureza e no meio industrial satildeo
turbulentos estes tem um alto grau de complexidade e portanto deve-se lanccedilar matildeo de modelos
matemaacuteticos de turbulecircncia acrescentando termos as equaccedilotildees anteriormente citadas Os modelos
de turbulecircncia levam em conta variaacuteveis estatiacutesticas pois escoamentos turbulentos satildeo altamente
caoacuteticos e com isto haacute a necessidade de ferramentas estatiacutesticas para representar os escoamentos
turbulentos
A Figura 9 mostra campos de velocidade e distribuiccedilatildeo de soacutelido dentro do riser com
o regime de fluxo feito por CFD (ARMSTRONG L M 2010) Uma uacutenica velocidade de injeccedilatildeo e
diferentes alturas ao longo do riser Outros exemplos satildeo ilustrados nas Figuras 10 e 11
2 satildeo equaccedilotildees diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos Permitem determinar os
campos de velocidade e de pressatildeo num escoamento
Figura 9 Distribuiccedilatildeo de velocidades e defraccedilatildeo de soacutelido para diferentes alturas
33
28 Tempo de Aquisiccedilatildeo ou Integraccedilatildeo
Detectores de radiaccedilatildeo precisam sempre de um certo tempo (tempo de integraccedilatildeo)
para obter sinal razoaacutevel dos foacutetons incidentes Isto eacute devido agrave estatiacutestica de Poisson que regula o
processo de contagem de foacutetons e pode aumentar consideravelmente a incerteza do sinal detectado
no caso de um tempo de integraccedilatildeo baixo No domiacutenio da frequecircncia a mediccedilatildeo de sinal com um
tempo de integraccedilatildeo eacute aproximadamente equivalente a multiplicar o sinal original por um filtro
passa - baixa Quando uma amostra estaacute em repouso no interior do tomoacutegrafo eacute vantajosa a
utilizaccedilatildeo de um tempo de integraccedilatildeo alto para rejeitar ruiacutedo de alta frequecircncia Para a escolha do
tempo de integraccedilatildeo ideal deve-se estabelecer um equiliacutebrio entre a velocidade da amostra e o ruiacutedo
Poisson (MAAD 2009)
29 Sistema de cores RGB
RGB eacute a abreviatura do sistema de cores aditivas formado por Vermelho (Red)
Verde (Green) e Azul (Blue) O propoacutesito principal do sistema RGB eacute a reproduccedilatildeo de cores em
dispositivos eletrocircnicos como monitores de TV e computador datashows scanners e cacircmeras
digitais assim como na fotografia tradicional Em contraposiccedilatildeo impressoras utilizam o modelo
Figura 11 Visatildeo 3D de uma distribuiccedilatildeo de fraccedilatildeode soacutelido feito por CFD
Figura 10 Secccedilatildeo comdistribuiccedilatildeo de soacutelido que
seraacute utilizada como PhantomMatemaacutetico
34
CMYK de cores subtrativas Modelos aditivos de luzes satildeo combinados de vaacuterias maneiras para
reproduzir outras cores
O modelo de cores RGB eacute baseado na teoria de visatildeo colorida tricromaacutetica de
Young-Helmholtz e no triacircngulo de cores de Maxwell O uso do modelo RGB como padratildeo para
apresentaccedilatildeo de cores na Internet tem suas raiacutezes nos padrotildees de cores de televisotildees RCA de 1953 e
no uso do padratildeo RGB nas cacircmeras LandPolaroid poacutes Edwin Land
Estas trecircs cores natildeo devem ser confundidas com os pigmentos primaacuterios Ciano
Magenta e Amarelo conhecidos no mundo das artes como ldquocores primaacuteriasrdquo jaacute que se combinam
baseadas na reflexatildeo e absorccedilatildeo de foacutetons visto que o RGB depende da emissatildeo de foacutetons de um
componente excitado a um estado de energia mais elevado (fonte emissora por exemplo o tubo de
raios catoacutedicos)
O modelo de cores RGB por si soacute natildeo define o que significa ldquovermelhordquo ldquoverderdquo ou ldquoazulrdquo
(espectroscopicamente) e entatildeo os resultados de misturaacute-los natildeo satildeo tatildeo exatos (e sim relativos na
meacutedia da percepccedilatildeo do olho humano)
Uma cor no modelo de cores RGB pode ser descrita pela indicaccedilatildeo da quantidade de
vermelho verde e azul que conteacutem Cada uma pode variar entre o miacutenimo (completamente escuro)
e maacuteximo (completamente intenso) Quando todas as cores estatildeo no miacutenimo o resultado eacute preto Se
todas estatildeo no maacuteximo o resultado eacute branco (GONZALES 2014)
Uma das representaccedilotildees mais usuais para as cores eacute a utilizaccedilatildeo da escala de 0 agrave 255
bastante encontrada na computaccedilatildeo pela conveniecircncia de se guardar cada valor de cor em 1 byte (8
bits) Assim o vermelho completamente intenso eacute representado por 255 0 0
Branco - RGB (255 255 255) Azul - RGB (0 0 255) Vermelho - RGB (255 0 0)
Verde - RGB (0 255 0)Amarelo - RGB (2552550)Magenta - RGB (2550255)
Ciano - RGB (0 255 255) Preto - RGB (0 0 0)
35
As cores satildeo complementares agraves do sistema CMYK - Ciano (Cyan) Magenta
(Magenta) Amarelo (Yellow) e Preto (blacKKey) - e a sua mistura forma a cor branca
210 MCNP
O meacutetodo Monte Carlo eacute um algoritmo numeacuterico capaz de resolver problemas fiacutesicos e
matemaacuteticos por meio de simulaccedilatildeo de variaacuteveis aleatoacuterias (SOBOL 1994 BIELAJEW 1998)
Hoje em dia o MCNP eacute uma ferramenta matemaacutetica comumente utilizada em diversos segmentos
da ciecircncia e da engenharia para simular problemas que podem ser representados por processos
estocaacutesticos Simulaccedilotildees do transporte de radiaccedilatildeo por meio deste meacutetodo e em particular na Fiacutesica
Meacutedica tecircm passado por um raacutepido crescimento nas uacuteltimas deacutecadas (YORIYAZ 2009)
O processo Monte Carlo pode ser compreendido como um meacutetodo de geraccedilatildeo de nuacutemeros
aleatoacuterios (ROBERT amp CASELLA 2004) Um gerador uniforme de nuacutemeros pseudoaleatoacuterios eacute
um algoritmo que comeccedilando com um valor inicial e uma transformaccedilatildeo produz uma sequecircncia de
valores no intervalo [0 1] tendo esta sequecircncia um comportamento de uma variaacutevel aleatoacuteria
uniforme quando comparada com um conjunto de testes aleacutem de ser independente e identicamente
distribuiacuteda (ROBERT amp CASELLA 2004) Em termos de transporte de radiaccedilatildeo o processo
estocaacutestico pode ser visto como uma famiacutelia de partiacuteculas cujas coordenadas individuais soacute mudam
aleatoriamente em cada colisatildeo O comportamento meacutedio dessas partiacuteculas eacute descrito em termos de
Figura 12Sistema RGB
36
grandezas macroscoacutepicas como fluxo ou densidade de partiacuteculas (YORIYAZ 2009)
O Monte Carlo N Particle ndash MCNP - foi criado desde a deacutecada de 50 nos Estados
Unidos sendo desenvolvido por meio do laboratoacuterio Los Alamos National Laboratory O MCNP
continua ateacute hoje sendo aperfeiccediloado tornando-se assim mais confiaacutevel e usado por muitos
pesquisadores no mundo inteiro Eacute um coacutedigo que realiza o transporte de partiacuteculas utilizando o
meacutetodo Monte Carlo com capacidade para simular necircutrons com energias entre 10-11 MeV a 20
MeV enquanto que a faixa de energia para os foacutetons e eleacutetrons vai de 1 keV a 1000 MeV
(BRIESMEISTER 2000) O coacutedigo MCNP tem a capacidade de simular sistemas com geometrias
que vatildeo de superfiacutecies preacute-determinadas como esferas planos paraboloacuteides de revoluccedilatildeo cilindros
elipsoacuteides ateacute superfiacutecies bem elaboradas utilizando conjunto de pontos no espaccedilo
O pesquisador ao utilizar o MCNP constroacutei um arquivo de entrada no coacutedigo que
pode ser organizado em blocos descrevendo regiotildees envolvidas no modelo especificaccedilatildeo da
geometria por meio de superfiacutecies geomeacutetricas e suas intersecccedilotildees posiccedilatildeo e distribuiccedilatildeo energeacutetica
da fonte descriccedilatildeo dos materiais e todos os paracircmetros fiacutesicos agregados com algumas teacutecnicas de
reduccedilatildeo de variacircncia para melhorar a eficiecircncia e obter melhores resultados (BRIESMEISTER
2000) A versatilidade somado ao aspecto funcional do coacutedigo MCNP para diferentes tipos de
problemas faz com que este seja bem aceito na comunidade cientiacutefica que trabalham com transporte
de radiaccedilotildees e caacutelculos de dose
37
3 METODOLOGIA
Para descobrir ateacute onde processos tomograacuteficos de baixa resoluccedilatildeo temporal aliados
a algoritmos de reconstruccedilatildeo estaacutetica satildeo compatiacuteveis com o regime em estudo foram avaliadas
aquisiccedilotildees simuladas de 1ordf 3ordf e 5ordf geraccedilotildees tomograacuteficas A variaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo de densidades
durante a aquisiccedilatildeo faz necessaacuterio o desenvolvimento de uma versatildeo da lei de Beer-Lambert para
casos dinacircmicos seguida de sua aplicaccedilatildeo para realizar as simulaccedilotildees O meacutetodo eacute separado em duas
fases
1ordf Fase
A metodologia desenvolvida aplica primeiro o modelo de simulaccedilatildeo de sinogramas
desenvolvida analiticamente agrave primitivas matemaacuteticas e posteriormente a dados do MCNPX e CFD
1) Eacute criado um modelo de simulaccedilatildeo de sinogramas para distribuiccedilotildees
dinacircmicas utilizando a versatildeo temporal desenvolvida da lei de Beer-Lambert e da transformada de
Radon tambeacutem temporal
2) A simulaccedilatildeo eacute testada com primitivas matemaacuteticas dinacircmicas como um
ciacuterculo crescente ou transladando ou ambos A escolha eacute pautada em sua representaccedilatildeo precisa por
funccedilotildees matemaacuteticas e por representar diversos processos industriais(A simulaccedilatildeo com o disco
representa a secccedilatildeo de um cilindro ou bolha)
3) Os resultados satildeo apresentados em forma de imagens e graacuteficos A
visualizaccedilatildeo do sinograma eacute bastante utilizada para determinaccedilatildeo de caracteriacutesticas do objeto
4) O modelo de simulaccedilatildeo eacute ao aplicado a dados do CFD
2ordf Fase
O meacutetodo desenvolvido propotildee uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens
tomograacuteficas de processos dinacircmicos pois utiliza canais de cores para mostrar a evoluccedilatildeo temporal
do processo O algoriacutetmo de reconstruccedilatildeo utilizado eacute o MART devido a sua boa performance com
nuacutemero limitado de dados
Nesta fase eacute realizada a reconstruccedilatildeo tradicional que eacute associada aos canais verde (G)
e azul (B) enquanto que o canal vermelho (R) fica responsaacutevel pela evoluccedilatildeo temporal do processo
O meacutetodo eacute descrito na seccedilatildeo 33
38
A reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento eacute utilizada com conhecimento do vetor
deslocamento meacutedio ou sua estimativa O meacutetodo escolhido modifica a matriz de pesos do
algoritmo algeacutebrico deslocando suas colunas de acordo com o modelo de movimento estimado
(ARTEMIEV V M NAUMOV A O 2006) (BUTALA 2009) (DESBAT L et al 2006)
Com o resultado das simulaccedilotildees o sistema tomograacutefico pode ser otimizado
(diminuiccedilatildeo do nuacutemero de projeccedilotildees e vistas)
31 A Transformada de Radon Temporal
regiatildeo (espaccedilo de medida) na qual seraacute feita a aquisiccedilatildeo de dados
considere a funccedilatildeo densidade onde
Neste sistema um ponto pode ser
mapeado por como
complemento unitaacuterio perpendicular a
ao longo da reta eacute dada por
(22)
39
depende natildeo apenas de x e y mas de com sendo a
variaacutevel tempo Definimos entatildeo
(23)
onde e o tempo final da mesma medida
Lema 1 ou seja se eacute
estaacutetico ao longo do tempo a transformada dinacircmica reduz-se a convencional
Demostraccedilatildeo
Figura 13 Sistema de Coordenadas
θ
x
y
ξξ
s
x (xy
)
40
Lema 2 e portanto se a
leitura for ldquoraacutepidardquo o caso dinacircmico mais uma vez reduz-se ao caso estaacutetico
Demostraccedilatildeo
Pelo teorema do valor meacutedio integral (TVMI) temos que se f eacute contiacutenua entatildeo
para algum tal que
usando o TVMI
K(γ)
41
32 Lei de Beer-Lambert temporal
Como a natureza da lei exige que os tempos de contagens sejam iguais para que estas
sejam comparadas apenas a variaccedilatildeo da intensidade da radiaccedilatildeo com a distacircncia eacute geralmente
explorada Sabendo que esses intervalos de tempo de contagem satildeo despreziacuteveis em relaccedilatildeo ao
tempo de meia vida da fonte e que a probabilidade de emissatildeo se manteacutem constante ao longo do
mesmo tempo pode-se supor que a intensidade seja diretamente proporcional ao tempo Ou seja
(24)
Neste caso a distribuiccedilatildeo de coeficientes de atenuaccedilotildees varia tambeacutem com o tempo
ou seja torna-se
(25)
ou
(26)
O modelo discreto aplica a lei de Beer-Lambert em sua forma estaacutetica para cada
particcedilatildeo de tempo assumindo que durante o infinitesimal de tempo o coeficiente e a distacircncia
percorrida permanecem constantes
(27)
42
(28)
33 Simulaccedilatildeo de aquisiccedilotildees Tomograacuteficas
O processo de aquisiccedilatildeo tomograacutefica consiste em coletar intensidades iniciais e finais
em determinados caminhos percorridos pelos feixes de radiaccedilatildeo Os dados podem ser tratados com
filtros etc Optou-se em natildeo realizar tratamento para natildeo inserir mais variaacuteveis ao processo
garantindo que os resultados sejam alcanccedilados soacute pelo meacutetodo proposto
Como jaacute foi dito na seccedilatildeo 26 para calcular a intensidade final para um caminho i
faz-se
(29)
A funccedilatildeo eacute representada pelas imagens de testes chamadas neste trabalho de
quadros ou frames configurados pela distribuiccedilatildeo de densidades escolhida Em todos os casos
optou-se por densidades unitaacuterias para qualquer distribuiccedilatildeo ou seja dois valores satildeo possiacuteveis em
uma imagem de teste 0 ou 1 Um pixel com valor 0 corresponde a uma regiatildeo sem atenuaccedilatildeo e os
pixels que compotildeem o objeto simulado tem valor 1
Com calculado da figura e de meacutedia fixa variando a cada projeccedilatildeo
com o desvio padratildeo de Poisson para todas as projeccedilotildees as projeccedilotildees satildeo calculadas com
O conjunto de todas as projeccedilotildees eacute ordenado em uma matriz chamada de sinograma
331 Aquisiccedilatildeo por Tomografia de 1ordf Geraccedilatildeo
Dois tipos de situaccedilotildees podem ocorrer
1) Uma uacutenica projeccedilatildeo 1D eacute realizada e durante todo o tempo de integraccedilatildeo nenhuma
mudanccedila ocorre na distribuiccedilatildeo ao longo do raio podendo mais de uma aquisiccedilatildeo 1D ser aferida
para mesma distribuiccedilatildeo ou frame Neste caso a intensidade final eacute calculada utilizando a lei de
43
Beer-Lambert durante todo o tempo de integraccedilatildeo para cada raio como ilustrado na Figura 15
Para calcular a intensidade final para uma projeccedilatildeo i faz-se
(30)
2) Durante a aquisiccedilatildeo ocorre mudanccedila na distribuiccedilatildeo de densidades ao longo do
feixe Como foi exposto na seccedilatildeo 31 o somatoacuterio de intensidades finais do raio em cada quadro
(frame) retorna a intensidade final total para um certo tempo de aquisiccedilatildeo Figura 16
Figura 15 Projeccedilotildees 1D sem mudanccedila de frame
44
Entatildeo para cada frame eacute feita
e para a discretizaccedilatildeo de um intervalo de tempo
No exemplo ilustrado na Figura 16 a intensidade final depois do tempo de integraccedilatildeo
correspondente ao frame b fica
3) Natildeo ocorre mudanccedila na distribuiccedilatildeo durante toda a coleta de aquisiccedilotildees 1D em uma vista
4) Natildeo ocorre mudanccedila durante a aquisiccedilatildeo de todas as vistas Neste caso a distribuiccedilatildeo pode
ser tratada como estaacutetica
Figura 16 Projeccedilotildees 1D com mudanccedila de frame
1ordf aquisiccedilatildeo - Quadro a 1ordf aquisiccedilatildeo - Quadro b
45
332 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 3ordf geraccedilatildeo
A vantagem do meacutetodo eacute adquirir vaacuterias projeccedilotildees 1D ao mesmo tempo
Possibilitando um maior volume de dados em um tempo menor quando comparado ao de 1ordf
geraccedilatildeo Dois casos satildeo possiacuteveis
1) O tempo de integraccedilatildeo eacute suficiente para realizar uma vista completa ou mais por
quadro ou frame Figura 17
Figura 17 Mais de uma vista por frame
46
2) Mais de um quadro por vista Figura 18
333 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 5ordf geraccedilatildeo
Nesta situaccedilatildeo vaacuterias vistas satildeo adquiridas durante a mudanccedila da distribuiccedilatildeo Figura 19
Figura 19 Mais de um frame durante a aquisiccedilatildeo
Figura 18 Mais de um frame por vista
47
34 Posicionamento angular
O posicionamento angular tradicionalmente eacute feito com um conjunto de acircngulos
igualmente espaccedilados ordenados de forma crescente cobrindo o intervalo de 0ordm a 180ordm ou 360ordm A
ordem em que as projeccedilotildees ou vistas satildeo adquiridas natildeo importa porque o objeto em estudo eacute
estaacutetico
A proposta para tomografia dinacircmica de 1ordf e 3ordf geraccedilotildees eacute que o posicionamento seja
feito em subconjuntos que completem um ciclo Por exemplo o conjunto de vistas posicionadas
consecutivamente em 0ordm 45ordm 90ordm 135ordm 180ordm 225ordm 270ordm 315ordm pode ser reordenada em ciclos como
0ordm 90ordm 180ordm 270ordm Primeiro ciclo
45ordm 135ordm 225ordm 315ordm Segundo ciclo
A vantagem desse arranjo eacute que num determinado momento ao se preferir um
sinograma completo mas esparso em contraposiccedilatildeo a um sinograma incompleto mas denso eacute que as
informaccedilotildees vatildeo ser disponibilizadas na forma de imagem reconstruiacuteda mais cedo durante o
processo facilitando a interpretaccedilatildeo das informaccedilotildees Eacute uma escolha entre anaacutelise global esparsa
versus anaacutelise local densa
A nova ordenaccedilatildeo gera uma imagem reconstruiacuteda mais proacutexima do objeto dinacircmico e
abre a possibilidade de reconstruccedilotildees parciais com os subconjuntos de dados mais consistentes com
a dinacircmica do processo
35 Utilizaccedilatildeo de um canal de cores para visualizar a dinacircmica do processo Reconstruccedilatildeo RGB
Uma caracteriacutestica da imagem reconstruiacuteda tradicionalmente em processos
industriais dinacircmicos eacute a falta de informaccedilatildeo temporal ou seja obtecircm-se informaccedilotildees da meacutedia da
distribuiccedilatildeo mas natildeo se sabe em que tempo ocorreram as mudanccedilas de padratildeo de fluxo A proposta
desenvolvida neste trabalho pondera cada perfil adquirido com um fator dependente do tempo
criando esta distinccedilatildeo
O meacutetodo desenvolvido propotildee uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens
tomograacuteficas de processos dinacircmicos pois utiliza canais de cores para mostrar a evoluccedilatildeo temporal
do processo Nesta fase eacute realizada a reconstruccedilatildeo tradicional e a mesma eacute associada aos canais
verde (G) e azul (B) enquanto que ao canal vermelho (R) eacute associada a evoluccedilatildeo temporal do
processo Uma cor no modelo de cores RGB pode ser descrita pela indicaccedilatildeo da quantidade de
48
vermelho verde e azul que conteacutem Cada uma pode variar entre o miacutenimo (completamente escuro)
e maacuteximo (completamente intenso) Quando todas as cores estatildeo no miacutenimo o resultado eacute preto Se
todas estatildeo no maacuteximo o resultado eacute branco Uma das representaccedilotildees mais usuais para os canais eacute a
utilizaccedilatildeo da escala de 0 agrave 255 (GONZALES 2014)
O meacutetodo consiste em
1) Simular as projeccedilotildees que equivalem na utilizaccedilatildeo real de um experimento agrave
coleta de dados de intensidades finais e iniciais pelo detetor
2) Reconstruir com esses dados a distribuiccedilatildeo de densidades Foi utilizado o MART
com relaxaccedilatildeo 02 e criteacuterio de parada 1
3) Associar esta reconstruccedilatildeo aos canais G e B
4) Binarizar a imagem reconstruiacuteda entre 0 e 150 O limiar (threshold) utilizado foi
empiacuterico e de 50 do maior valor da imagem
5) Penalizar as projeccedilotildees da primeira agrave uacuteltima com um fator empiacuterico crescente com
o tempo Normalizar as projeccedilotildees de cada vista por 105
6) Realizar a retroprojeccedilatildeo nos pixels com suas respectivas projeccedilotildees
7) Associar ao canal R
8) Juntar todos os canais em uma uacutenica imagem A reconstruccedilatildeo tradicional e a
reconstruccedilatildeo RGB satildeo visualizadas em uma uacutenica imagem onde os tons de vermelho correspondem
agrave evoluccedilatildeo temporal da dinacircmica do processo
36 Reconstruccedilatildeo utilizando dados do CFD
Dados da simulaccedilatildeo de fluxo bifaacutesico satildeo gerados em forma de imagens 2D da distribuiccedilatildeo
em secccedilotildees transversais ao longo do tubo Os dados satildeo coletados para uma uacutenica altura ou seja
secccedilatildeo As diversas imagens de uma uacutenica secccedilatildeo representam a evoluccedilatildeo temporal do fluxo
naquela regiatildeo O conjunto de 8 imagens exemplificam o comportamento do fluxo em intervalos
de tempo de 00025s
A altura da secccedilatildeo em m o tipo de injetor a vazatildeo volumeacutetrica em Lmim e o fluxo de
catalisador satildeo dados de entrada na simulaccedilatildeo do CFD mas natildeo fazem parte das simulaccedilotildees de
aquisiccedilotildees tomograacuteficas utilizadas nesse estudo As imagens portam as informaccedilotildees que seratildeo
utilizadas nas simulaccedilotildees de aquisiccedilatildeo das projeccedilotildees
49
37 Avaliaccedilatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo com RMSE
As teacutecnicas de avaliaccedilatildeo de algoritmos de reconstruccedilatildeo mais utilizadas na literatura
satildeo raiz do erro quadraacutetico meacutedio erro meacutedio relativo absoluto e erros baseados em entropia Para
o caso de simulaccedilotildees com figuras de testes bem definidas (phantoms matemaacuteticos) as teacutecnicas
podem ser aplicadas comparando a imagem reconstruiacuteda com a imagem original O mesmo
procedimento repete-se para phantoms reais onde a distribuiccedilatildeo de densidades eacute bem conhecida Os
sinogramas tambeacutem podem ser avaliados
Gordon e Herman (GORDON 1974 HERMAN 1973 HERMAN 1976) usaram a
raiz do erro quadraacutetico meacutedio para avaliar o quanto a figura reconstruiacuteda aproxima-se da original A
definiccedilatildeo do erro eacute
(31)
Onde
eacute o valor original do pixel
o pixel reconstruiacutedo
o nuacutemero total de pixels da imagem ou sinograma
50
38 Algoritmos e Software Desenvolvidos
Diversas rotinas foram implementadas no Matlab Suas funccedilotildees satildeo para calculo de
projeccedilotildees sinogramas resoluccedilatildeo por ART MART calculo da Matriz de pesos resoluccedilatildeo de
sistemas Aleacutem das jaacute disponiacuteveis no programa como Resoluccedilatildeo por FBP filtros de imagem
operaccedilatildeo com matrizes visualizaccedilatildeo de graacuteficos etc As rotinas estatildeo disponiacuteveis no Anexo-I
Devido agrave grande dimensatildeo da matriz de pesos nos algoritmos algeacutebricos ficou
inviaacutevel sua operaccedilatildeo em alguns casos no Matlab O software Tomography Workstation-TW foi
desenvolvido em C com este propoacutesito Apresenta opccedilotildees de reconstruccedilatildeo ART MART SIRT e
SART Figura 39 Tambeacutem tem as funccedilotildees para carregar tomogramas e sinogramas
Figura 20 Software Desenvolvido
51
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO
Os resultados foram divididos nas seguintes seccedilotildees
bull Aumento do nuacutemero de iteraccedilotildees na Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica Dinacircmica
bull Resultados das reconstruccedilotildees MART e FBP
bull Escolha do posicionamento angular (vistas alternadas)
bull Resultados com reconstruccedilatildeo RGB
bull Simulaccedilotildees com MCNP
bull Reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento
bull Simulaccedilotildees tomograacuteficas a partir do CFD
41 Resultados das Reconstruccedilotildees MART e FBP
As imagens de teste (phantoms) foram utilizadas para avaliar os resultados das
reconstruccedilotildees MART e FBP
411 Primitiva Ciacuterculo Transladando 1 vista por frame
A simulaccedilatildeo consiste em oito distribuiccedilotildees representadas por imagens (quadros ou
frames) de 64x64 pixels com um disco de densidade unitaacuteria e raio fixo Natildeo ocorre mudanccedila
durante a simulaccedilatildeo de uma aquisiccedilatildeo ou varredura Esta aplicaccedilatildeo simula as tomografias de 1ordf e 3ordf
geraccedilatildeo
O disco Raio = 2 pixels deslocamento de 7 pixels entre os centros dos discos de
quadros consecutivos A imagem eacute reconstruiacuteda por FBP e MART
Os frames satildeo ilustrados na Figura 21 e a meacutedia dos oito na Figura 22 Cada imagem
eacute ilustrada na escala de 64 x 64 pixels
52
Figura 21 8 frames - ciacuterculo transladando - 1 vista por frame
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 22 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
53
Os oito picos do sinograma Figura 23 ilustram a captura do disco em diferentes
posiccedilotildees
A Figura 24 ilustra o sinograma em forma de imagem onde cada valor de pixel eacute
convertido para uma escala de cor O eixo vertical (linhas do sinograma) representa a passo linear
(posiccedilatildeo das trajetoacuterias dos feixes) e o horizontal o passo angular (Nuacutemero de vistas)
Figura 23 Tomograma e sinograma ndash circulo transladando ndash 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
05
1
15
2
25
3
35
4
45
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 700
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
54
Os resultados das reconstruccedilotildees FBP e MART satildeo ilustrados na Figura 25
A reconstruccedilatildeo por FBP mostra diversos artefatos natildeo dando para identificar o
nuacutecleo nem a tendecircncia de movimento Os artefatos formam oito faixas um para cada vista ou
projeccedilatildeo Estes artefatos em faixa satildeo comuns no FBP para um baixo nuacutemero de vistas
O MART difere da imagem meacutedia mostrando um arqueamento para direita devido ao
movimento simulado e o sentido anti-horaacuterio das aquisiccedilotildees Eacute um artefato de movimento
Figura 25 Reconstruccedilotildees circulo transladando ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Figura 24 Sinogramascirculo transladando ndash 1 vista por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
55
412 Primitiva Ciacuterculo Transladando Oito vistas por frame
O objetivo desta simulaccedilatildeo eacute descobrir como se comportam os algoritmos em uma
tomografia de 5ordf geraccedilatildeo onde todas as aquisiccedilotildees satildeo realizadas ao mesmo tempo Nesta situaccedilatildeo
as oito vistas satildeo realizadas simultaneamente enquanto ocorre a mudanccedila das distribuiccedilotildees (Figura
19) Figuras com 64x64 pixels raio fixo de 2 pixels deslocamento de 5 pixels
Figura 26 Tomograma e Sinograma - disco transladando - 8 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
05
1
15
2
25
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 7001
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
56
Os resultados das reconstruccedilotildees satildeo ilustrados na Figura 28
As reconstruccedilotildees ficam mais proacuteximas da imagem meacutedia porque todas as vistas satildeo
adquiridas ao mesmo tempo durante todo o processo O FBP perde a definiccedilatildeo dos discos e forma
um artefato central vertical O MART reconstroacutei o disco nas oito posiccedilotildees Cada disco eacute
reconstruiacutedo ilustrando os oito instantes de tempo que foram simulados
Figura 27 Sinogramas CiacuterculoTransladando -Oito vistas por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Figura 28 Reconstruccedilotildees Ciacuterculo Transladando -Oito vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
57
413 Primitiva Circulo Crescente Uma vista por frame
A simulaccedilatildeo consiste em oito distribuiccedilotildees em forma de ciacuterculo concecircntricas com um
aumento 2 pixels entre distribuiccedilotildees consecutivas (Figura 29) Oito vistas satildeo adquiridas
simultaneamente para simular a tomografia de 5ordf geraccedilatildeo
Abaixo a imagem meacutedia aritmeacutetica das oito distribuiccedilotildees eacute ilustrada na Figura 29 A
aacuterea central eacute mais escura porque eacute coincidente para os oito ciacuterculos
Figura 30 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Figura 29 8 frames - circulo crescente - 1 vista por frame
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
58
Tanto o sinograma quanto o tomograma ilustram o crescimento do disco Figura
411
Figura 31 Tomograma e sinograma - ciacuterculo crescente - 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 700
10
20
30
40
50
60
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
59
O sinograma em forma de imagem eacute mostrado abaixo (Figura 32)
O aumento vertical das faixas eacute devido ao crescimento do disco
As duas reconstruccedilotildees apresentam artefatos de rotaccedilatildeo que dificultam a identificaccedilatildeo
da tendecircncia de movimento ou da distribuiccedilatildeo espacial dos discos (Figura 33)
Figura 32 Imagem do sinograma -ciacuterculo crescente - 1 vista por frame
Sinograma
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
Figura 33 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
60
414 Primitiva Circulo Crescente Oito vistas por frame
Neste caso ocorre mudanccedila de frame com a vista Para cada distribuiccedilatildeo tem-se uma
vista diferente Figura 34
Figura 34 Tomograma e sinograma - circulo crescente - 8 vista por frame
29 30 31 32 33 340
05
1
15
2
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3701
02
03
04
05
06
07
08
09
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
61
A posiccedilatildeo central que eacute comum a todos os frames eacute reconstruiacuteda nos dois casos O
FBP mostra a presenccedila de artefatos de Moireacute (Figura 36) O MART mostra poucos artefatos e
mostra uma regiatildeo borrada ao redor do ciacuterculo central indicando os discos maiores
Figura 35 Sinogramas circulo crescente ndash 8vistas por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Figura 36 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 8 vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
62
42 Vistas Alternadas
Alguns testes foram realizados para estudar o posicionamento angular quando
ordenado de forma sequencial e alternada O conjunto de vistas posicionadas consecutivamente em
0ordm 45ordm 90ordm 135ordm 180ordm 225ordm 270ordm 315ordm foram reordenadas em dois ciclos
0ordm 90ordm 180ordm 270ordm para o primeiro ciclo
45ordm 135ordm 225ordm 315ordm para o segundo ciclo
As seguintes situaccedilotildees foram exploradas
Disco transladando - 1 Vista por frame
Cada distribuiccedilatildeo (quadro) eacute capturado em um instante de tempo diferente Os
acircngulos utilizados em cada quadro satildeo apresentados na Tabela 1
Tabela 1 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 1 vista por frame
Quadro 1ordm 2ordm 3ordm 4ordm 5ordm 6ordm 7ordm 8ordm
Vista 0ordm 90ordm 180ordm 270ordm 45ordm 135ordm 225ordm 315ordm
Reconstruccedilotildees
Figura 37 Reconstruccedilotildees disco transladando - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
63
Dois ciclos satildeo suficientes para natildeo formaccedilatildeo do artefato de rotaccedilatildeo (arqueamento)
A reconstruccedilatildeo com vistas alternadas mostra-se mais coerente com a imagem meacutedia (Figura 37)
Disco transladando - 2 Vistas por frame
Com duas vistas por quadro totaliza-se quatro quadros A associaccedilatildeo eacute ilustrada na
Tabela 2
Tabela 2 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 2 vistas por frame
Quadro 1ordm 2ordm 3ordm 4ordm
Vista 0ordm e 45ordm 90ordm e 135ordm 180ordm e 225ordm 270ordm e 315ordm
A reconstruccedilatildeo encontra-se mais proacutexima da imagem meacutedia do que na situaccedilatildeo com
vista sucessivas (Figura 38)
Disco Transladando - 4 Vistas por frame
Apenas dois quadros satildeo suficientes Tabela 3
Tabela 3 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 4 vistas por frame
Quadro 1ordm 2ordm
Vista 0ordm 90ordm 180ordm e 270ordm 45ordm 135ordm 225ordm 315ordm
Figura 38 Reconstruccedilotildees disco transladando - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
64
Reconstruccedilotildees
Disco crescente - 1 Vista por frame
A configuraccedilatildeo das vistas eacute a mesma utilizada na Tabela 1 uma vista por frame
A reconstruccedilatildeo com vistas alternadas Figura 40 apresenta uma reduccedilatildeo nos artefatos
de rotaccedilatildeo mostrando uma distribuiccedilatildeo espacial mais proacutexima da imagem meacutedia (Figura 40)
Disco crescente - 2 Vistas por frame
A configuraccedilatildeo das vistas eacute mesma da Tabela-2
Figura 39 Reconstruccedilotildees disco transladando - 4 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Figura 40 Reconstruccedilotildees disco crescente - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
65
Com o aumento do nuacutemero de vistas a distribuiccedilatildeo torna-se mais central
aproximando-se da imagem meacutedia (Figura 41)
43 Resultados com RGB
As situaccedilotildees jaacute utilizadas nas seccedilotildees 41 e 42 satildeo testadas com visualizaccedilatildeo RGB
Para todos os casos a primeira reconstruccedilatildeo (MART) eacute realizada com matriz inicial de valores
unitaacuterios relaxaccedilatildeo 02 e nuacutemero de iteraccedilotildees definido pela convergecircncia de 05 e em seguida a
normalizada por 150
Os sinogramas satildeo ponderados pelo conjunto de fatores que variam de 01 a 09
linearmente espaccedilados Os valores foram escolhidos empiricamente
Em seguida eacute realizada a reconstruccedilatildeo com o sinograma jaacute ponderado e seus valores
normalizados no intervalo de 150 a 255
Figura 41 Reconstruccedilotildees disco crescente - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
66
bull Ciacuterculo transladando ndash 1 Vista por frame
Um disco para cada instante de tempo totalizando oito distribuiccedilotildees Figura 42
Para o ciacuterculo transladando verticalmente com 1 vista por frame temos um
clareamento na parte inferior da distribuiccedilatildeo indicando que esta regiatildeo traz informaccedilotildees mais
recentes (Figura 42)
A reconstruccedilatildeo com MART RGB por usar como base a distribuiccedilatildeo espacial da
reconstruccedilatildeo MART mostra o clareamento vermelho na parte inferior da figura indicando que
ocorreu movimento nesse sentido
bull Ciacuterculo transladando ndash 2 Vistas por frame
Satildeo quatro distribuiccedilotildees uma para cada instante de tempo configurando duas vistas
por frame
Figura 42 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 1 vista por frame
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
67
O clareamento do vermelho na reconstruccedilatildeo RGB indica que a parte inferior da
reconstruccedilatildeo corresponde ao uacuteltimo instante de tempo
bull Ciacuterculo transladando ndash 4 Vistas por frame
Quatro vistas por frame foram utilizadas na configuraccedilatildeo das proacuteximas trecircs situaccedilotildees
(Figura 44 Figura 45 Figura 46) O deslocamento para o disco vertical eacute utilizado com trecircs valores
distintos
A primeira situaccedilatildeo ilustra dois instantes de tempo com dois diacircmetros de distacircncia
entre os centros dos discos Figura 44
Figura 43 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
68
A proacutexima situaccedilatildeo eacute criada com 4 diacircmetros de distacircncia entre centros entre o
primeiro e segundo instantes de tempo Figura 45 Cada disco corresponde a distribuiccedilatildeo exata em
um instante
Figura 44 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 45 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
69
A terceira situaccedilatildeo visa estudar o comportamento da reconstruccedilatildeo proposta quando
haacute coincidecircncia em parte da distribuiccedilatildeo espacial Satildeo quatro instantes de tempo e uma distacircncia
com menos de um diacircmetro de distacircncia entre centros consecutivos Figura 46
bull Ciacuterculo crescente ndash duas vistas por frame
A simulaccedilatildeo totaliza 4 frames e oito vistas consecutivas Duas por frame
Apesar da situaccedilatildeo com ciacuterculo crescente e duas vistas por frame natildeo mostrar boa
reconstruccedilatildeo a imagem reconstruiacuteda difere bastante da original como jaacute mostrado na seccedilatildeo 413
tambeacutem mostra concordacircncia com os outros resultados RGB pois mostra uma regiatildeo central com
Figura 46 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 47 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo crescente - 2 vistas por frame
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
70
vermelho mais claro O clareamento deve-se a regiatildeo que eacute coincidente para todos os ciacuterculos
O problema que surge eacute que para esta situaccedilatildeo o clareamento para o vermelho criado
pela reconstruccedilatildeo RGB se confunde com a superposiccedilatildeo dos ciacuterculos da reconstruccedilatildeo tradicional
criado na regiatildeo central
44 Simulaccedilotildees com MCNPX
Os frames que anteriormente foram obtidos analiticamente com o objetivo de
encontrar as projeccedilotildees agora satildeo representados por cartotildees de entrada para o MCNPX A simulaccedilatildeo
gera como saiacuteda a intensidade relativa Foram criadas as situaccedilotildees jaacute expostas na seccedilatildeo 41 A
configuraccedilatildeo das simulaccedilotildees eacute
bull Objeto Cilindro Raio = 5cm Material Al = 000746 cm-1
bull Fonte 137Cs Atividade 5 mCi
bull Colimaccedilatildeo Pb fonte - detetor 5vmm
bull Nuacutemero de histoacuterias 100000
441 Circulo Transladando ndash 1vista por frame
Oito geometrias foram simuladas com o objetivo de encontras as projeccedilotildees
equivalentes as 8 vistas Cada vista captura o disco em um instante de tempo diferente totalizando
oito frames Na Figura 48 ilustra-se o disco (em amarelo) em diferentes posiccedilotildees com e as
respectivas a posiccedilotildees da fonte colimada indicando mudanccedila angular (em roxo e azul)
71
O meacutetodo retorna o (relaccedilatildeo entre Ifinal e o Iinicial) A matriz de intensidades relativas eacute
denominada tomograma e tem as suas colunas ordenadas por vista(Figura 49)
As projeccedilotildees satildeo encontradas fazendo e o conjunto de vistas
ordenadas em colunas eacute denominado sinograma(Figura 50)
Figura 49 Tomograma via MCNPX - 1 Vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 70
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma Por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 48 Geometria Circulo Transladando - 1 vista por frame
72
A apresentaccedilatildeo do sinograma em forma de imagem eacute ilustrada na Figura 51
Figura 50 Sinograma MCNPX - 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
1
2
3
4
5
6
Posicionamento Linear
Sinograma por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 51 Imagem de sinograma MCNPX -1 vista por frame
Sinograma MCNPX - 1 vista por frame
Vistas
Projeccedilotildees
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
73
As reconstruccedilotildees apresentaram-se similares as feitas analiticamente na seccedilatildeo 41
Formaccedilatildeo de oito artefatos em faixa no FBP e o arqueamento para esquerda indicando o sentido da
rotaccedilatildeo do tomoacutegrafo (Figura 52)
442 Circulo Transladando ndash 2 vistas por frame
Oito geometrias foram simuladas com mudanccedila no posicionamento angular apenas
quando o disco muda de posiccedilatildeo Duas vistas capturam o disco na mesma posiccedilatildeo A geometria
simulada no MCNPX eacute mostrada na Figura 53
Figura 53 Geometria circulo transladando - 2 vistas por frame
Figura 52 Reconstruccedilotildees MART e FBP ndash MCNPX ndash 1 vista por frame
FBP
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60 -06
-04
-02
0
02
04
MART
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
74
A simulaccedilatildeo retorna o seguinte tomograma Figura 54
Calculando as projeccedilotildees temos o sinograma ilustrado na Figura 55
Que visualizado em formato de imagem fica ilustrado na Figura 56
Figura 54 Tomograma MCNPX - 2 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 70
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma Por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 55 Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
1
2
3
4
5
6
Posicionamento Linear
Sinograma por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
75
As reconstruccedilotildees corresponderam as expectativas quando coincidem com as
reconstruccedilotildees simuladas analiticamente(Figura 57)
Figura 57 Reconstruccedilatildeo MART - MCNPX - 2 vistas por frameMART
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
FBP
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60 -04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
06
Figura 56 Imagem de sinograma MCNPX ndash 2vistas por frame
Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame
Vistas
Projeccedilotildees
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
76
45 Resultados com CFD
As condiccedilotildees da simulaccedilatildeo foram vazatildeo volumeacutetrica de ar eacute 500 Lmin e o fluxo de
catalisador eacute de180 kg(m2s-1) O tempo de processo foi de 10 segundos com passo de 00025
segundos
O local de leituras da fraccedilatildeo volumeacutetrica foi se encontra a uma altura de 0650
metros da base do riser feita a cada 00375 segundos durante o tempo de processo de fluidizaccedilatildeo
resultando em 268 imagens Seacuteries de oito a nove imagens da secccedilatildeo transversal satildeo utilizadas
Devido a alta resoluccedilatildeo das imagens vindas do CFD uma reduccedilatildeo foi realizada para
figuras com 64x64 pixels Figura 58
451 CFD-1 vista por frame
A sequecircncia de oito imagens em intervalos de tempos consecutivos eacute ilustrada na
Figura 59 e a imagem meacutedia na Figura 60
Figura 58 Reduccedilatildeo na resoluccedilatildeo 899x999 para 64x64
20 40 60
10
20
30
40
50
60
200 400 600 800
100
200
300
400
500
600
700
800
77
Figura 60 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
Figura 59 CFD - Frames 1 ao 8
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
78
Reconstruccedilotildees
As reconstruccedilotildees para uma vista por frame natildeo correspondem agrave realidade prevista
Figura 61 Sinogramas CFD ndash 1 vista por frame
Figura 62 Reconstruccedilotildees CFD ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo RGB
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Sinograma com Pesos
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo Mart Red
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
79
pelo CFD O pequeno nuacutemero de vistas aliado a complexidade da figura dificultam a reconstruccedilatildeo
452 CFD-8 vistas por frame
A sequecircncia de oito imagens em intervalos de tempo consecutivos eacute ilustrada na
Figura 63
A meacutedia das oito imagens Figura 63
O sinograma simulado e o mesmo ponderado satildeo mostrados na Figura 65
Figura 64 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
Figura 63 Frames 1 ao 8 CFD ndash 8 vistas por frame
80
As reconstruccedilotildees concordam com as distribuiccedilotildees quando apresentam maior
concentraccedilatildeo de soacutelido do lado direito da imagem A maior concentraccedilatildeo de pigmentaccedilatildeo vermelha
Figura 65 Sinogramas CFD - 8 vistas por frame
Figura 66 Reconstruccedilotildees CFD - 8 vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Sinograma com Pesos
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart Red
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
81
do lado direito da imagem reconstruiacuteda em RGB mostra que a distribuiccedilatildeo nesta regiatildeo eacute mais
recente O resultado tem concordacircncia com a mudanccedila de lado da distribuiccedilatildeo ao longo dos oito
frames
46 Reconstruccedilotildees com correccedilatildeo de movimento
Como a reconstruccedilatildeo com vistas alternadas eacute superior a tradicional com vistas
sucessivas utilizou-se para todas as simulaccedilotildees com correccedilatildeo de movimento o posicionamento
angular sucessivo O objetivo da escolha eacute verificar os resultados gerados soacute por correccedilatildeo da matriz
de pesos As simulaccedilotildees foram ordenadas de acordo com as situaccedilotildees jaacute exploradas e para um
instante de tempo especiacutefico
Abaixo (Figura 67 Figura 68) tem-se a configuraccedilatildeo de 4 vistas por frame
resultando em dois quadros cada um com o disco em uma posiccedilatildeo diferente A imagem tem 32x32
pixels e o deslocamento foi vertical de 5 pixels Como o nuacutemero de colunas da matriz de pesos eacute
definido pela resoluccedilatildeo da imagem o deslocamento na matriz de pesos corresponde ao vertical x
nuacutemero de elementos em uma linhaentatildeo 5 x 32 = 60 colunas para esquerda quando se quer
recuperar o primeiro instante e 60 colunas para direita no caso do segundo
Para o primeiro instante a correccedilatildeo mostra-se eficaz reconstruindo por completo a
distribuiccedilatildeo no primeiro instante de tempo Figura 67
A distribuiccedilatildeo no segundo instante eacute reconstruiacuteda com um pouco de ruiacutedo Figura 68
Figura 67 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempoImagem Meacutedia
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30Imagem Meacutedia
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
82
A situaccedilatildeo com translado horizontal eacute ilustrada na Figura 69 e Figura 70 A
reconstruccedilatildeo no primeiro instante de tempo mostra-se mais precisa Figura 69 Quatro vistas foram
utilizados por quadro com um deslocamento de 5 pixels entre eles O deslocamento de colunas eacute
realizado com o mesmo nuacutemero
Para o segundo instante Figura 70
A simulaccedilatildeo com duas vistas por frame resulta em quatro distribuiccedilotildees Figura 71
Figura 72 Figura 73 A imagem tem 64x64 pixels e o deslocamento foi vertical de 5 pixels
resultando em um deslocamento de 5 x 64 = 320 para as colunas
Figura 69 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Figura 70 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o segundo instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30
5
10
15
20
25
30
83
Para o primeiro instante de tempo temos
Para o segundo instante
Figura 71 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 72 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
20 40 60
10
20
30
40
50
60
84
e para o terceiro instante
O ruiacutedo aumenta
Ocorre o aparecimento de ruiacutedo nas reconstruccedilotildees com o aumento do tempo Este
efeito eacute devido a extrapolaccedilatildeo do deslocamento nos elementos proacuteximo as bordas da matriz de
pesos
Figura 73 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
85
5 CONCLUSOtildeES
As simulaccedilotildees analiacuteticas de primitivas matemaacuteticas foram validadas com ecircxito
quando comparadas com as mesmas realizadas por MCNPX As aquisiccedilotildees tomograacuteficas foram
simuladas mostrando a superioridade da tomografia de 5ordf geraccedilatildeo (8 vistas por frame) quando
comparada agrave de 3ordf geraccedilatildeo (uma duas e quatro vistas por frame) seccedilotildees 41 e 42 As reconstruccedilotildees
ficam mais proacuteximas da imagem meacutedia porque todas as vistas satildeo adquiridas ao mesmo tempo
durante todo o processo O FBP perde a definiccedilatildeo dos discos e forma um artefato central vertical O
MART reconstroacutei perfeitamente o disco nas oito posiccedilotildees mostrando a sua preferecircncia para um
nuacutemero limitado de dados (8 vistas) O FBP eacute bastante utilizado em tomografias meacutedicas (360
vistas ou mais) devido a baixa complexidade computacional quando comparado aos meacutetodos
algeacutebricos
Tanto o disco transladando quanto o crescente apresentam melhor performance com
o aumento do nuacutemero de vistas por distribuiccedilatildeo como pode ser visto na seccedilatildeo 41 A situaccedilatildeo em
que foi simulada uma vista por frame apresenta um artefato de movimento indicando o sentido de
rotaccedilatildeo do arranjo simulado
Os oito perfis encontrados nas simulaccedilotildees com ciacuterculo crescente mostram o aumento
do disco seccedilatildeo 413 e 414 As simulaccedilotildees para este caso reconstroem uma distribuiccedilatildeo central
distorcida pela incompatibilidade das projeccedilotildees (adquiridas em diferentes instantes de tempo) As
reconstruccedilotildees com FBP mostram-se inferiores ao MART formando artefatos de Moireacute (artefatos
estrela) em todas as reconstruccedilotildees Confirmando que estes artefatos satildeo comuns quando se utiliza o
FBP com um nuacutemero limitado de dados
Os testes com vistas alternadas mostram que essa configuraccedilatildeo eacute superior ao arranjo
sucessivo pois cobre uma aacuterea maior em um tempo menor capturando mais informaccedilotildees relativas
ao movimento (seccedilatildeo 42)
A reconstruccedilatildeo RGB inova porque mostra a evoluccedilatildeo temporal do processo com
aacutereas mais claras (vermelho claro) indicando proximidade temporal enquanto que aacutereas mais
escuras indicam tempo passado O meacutetodo mostra o clareamento no vermelho em regiotildees da figura
indicando que ocorreu movimento neste sentido Os testes com ciacuterculo transladando mostram
coerecircncia quando indicam com o vermelho mais claro as regiotildees correspondentes aos uacuteltimos
quadros O mesmo resultado eacute obtido com os dados do CFD para simulaccedilatildeo da TC de 5ordf geraccedilatildeo O
86
lado direito da imagem tem valores maiores para o vermelho coincidindo com a sequecircncia de
distribuiccedilotildees utilizada onde ocorre mudanccedila na concentraccedilatildeo do lado esquerdo para o direito Para o
ciacuterculo crescente a eficaacutecia do meacutetodo pode ser questionada pois ocorre superposiccedilatildeo das regiotildees
centrais de cada disco A aplicaccedilatildeo a dados do CFD com apenas uma vista por frame eacute ineficiente
pois a reconstruccedilatildeo RGB natildeo consegue mostrar tendecircncia de movimento A reconstruccedilatildeo tradicional
MART tambeacutem natildeo coincide com a meacutedia dos frames ou seja como o meacutetodo proposto utiliza esta
distribuiccedilatildeo espacial natildeo pode-se afirmar que a ineficiecircncia do processo seja devido unicamente a
reconstruccedilatildeo RGB
O MCNPX foi utilizado com ecircxito nas duas simulaccedilotildees propostas Sinogramas e
tomogramas satildeo coincidentes com exceccedilatildeo da escala com os mesmos encontrados por teacutecnicas
analiacuteticas
A reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento foi utilizada com ecircxito para
determinaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo no instante inicial de tempo Ocorre aparecimento de ruiacutedo com o
aumento do tempo Este efeito eacute devido a extrapolaccedilatildeo do deslocamento nos elementos proacuteximo as
bordas da matriz de pesos Salienta-se que o vetor deslocamento deve ser conhecido ou calculado
previamente Este trabalho utiliza valores jaacute determinados anteriormente nas simulaccedilotildees (distacircncia
entre discos)
O trabalho contribui para tomografia industrial porque utiliza casos comuns agrave aacuterea
como o disco transladando que eacute simulador de bolhas em colunas industriais e imagens do CFD
como phantoms para predileccedilatildeo dos perfis experimentais Contribui tambeacutem para a otimizaccedilatildeo de
paracircmetros de operaccedilatildeo tomograacutefica quando simula as aquisiccedilotildees prevendo resultados para o
experimento Indica o MART como superior ao FBP neste conjunto de dados As simulaccedilotildees
analiacuteticas de sinogramas foram validadas com ecircxito pelo MCNPX ou seja ambas podem ser
utilizadas para simulaccedilatildeo de fenocircmenos industriais Sugere tambeacutem que a TC com vistas alternadas
corresponde mais a realidade dinacircmica de uma distribuiccedilatildeo Propotildee um novo meacutetodo a
reconstruccedilatildeo RGB obtendo bons resultados apenas nas situaccedilotildees em que natildeo ocorre coincidecircncia
entre as distribuiccedilotildees de diferentes instantes de tempo
Um estudo mais detalhado dos valores empiacutericos deve ser feito para um
entendimento maior da penalizaccedilatildeo das projeccedilotildees e das situaccedilotildees em que ocorra superposiccedilatildeo de
distribuiccedilotildees
A baixa performance do FBP esperada para um baixo nuacutemero de aquisiccedilotildees indica
que testes com um nuacutemero maior de vistas devem ser realizados para o estudo dos meacutetodos
87
propostos nestas situaccedilotildees
Outro trabalho futuro eacute utilizar soluccedilotildees jaacute propostas na literatura meacutedica para
diminuiccedilatildeo de ruiacutedos e artefatos na reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento identificando o vetor
deslocamento durante o processo
Espera-se dar continuidade ao trabalho validando tambeacutem experimentalmente as
simulaccedilotildees com translado do disco (Laboratoacuterio de Radioquiacutemica ndash DEN ndash UFPE)
88
6 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
ALEXANDER B DIMITRY V VITALY V KISELEV AN Algebraic reconstruction and
post-processing in incomplete data computed tomography From X-rays to Laser Beams Jun
2007
ANDERSEN AH Algebraic reconstruction in CT from limited views IEEE transactions on
medical imaging v 8(1) p50ndash55 Jan1989
ANGELI S EFSTAHIOS S An Accelerated Algebraic Reconstruction Technique based on
the Newton-Raphson Scheme Ieee Nuclear Science Symposium Conference Record 23382ndash
3387 2009
AZZI M TULIER P BERNARD J R GARNERO L Mapping Solid Concentration in a
Circulating Fluid Bed Using Gammametry Powder Technology p27-36 1991
BENDER R GORDON R HERMAN GT Algebraic reconstruction techniques(art) for
three dimensional electron microscopy and x-ray photography J Theor Biol v29 p759ndash768
1971
BROOKS RA CHIRO G Principles of Computer Assisted Tomography ( CAT ) in
Radiographic and Radioisotopic Imaging Phis Med Biol v21 N 5 p689-732 1976
BUTALA M D KAMALABADI F FRAZIN R A Chen YldquoDynamic tomographic imaging
of the solar coronardquo IEEE J Sel Topics Signal Process vol 2 pp 755ndash7662008
CENSOR Y Finite Series-Expansion Reconstruction Methods proceedings of the ieee p71
1983
CEZARO A CEZARO FT Problemas Inversos e a matemaacutetica da tomografia
computadorizada V Bienal da SBM - Sociedade Brasileira de Matemaacutetica 2010
CRUVINEL P E Mini tomoacutegrafo de raio-x e raio gama computadorizado para aplicaccedilotildees
multidisciplinares PhD thesis Unicamp 1987
DANTAS CC MELOSM OLIVEIRA E F MAGALHAtildeES F P SANTOS M G
Measurement of density distribution of a cracking catalyst in experimental riser with a
sampling procedure for gamma ray tomography Nuclear Instruments amp Methods in Physics
Research Section B Beam Interactions with Materials and Atoms (Print) v 266 p 841-848
2008
89
DE PIERRO A R Problemas Matemaacuteticos em Tomografia por Emissatildeo Notas UNICAMP
2004
DESBAT L RIT S CLACKDOYLE R MENNESSIER C PROMAYON E
NTALAMPEKI S ldquoAlgebraic and analytic reconstruction methods for dynamic
tomography rdquo Proceedings of the 29th Annual International Conference of the IEEE EMBS Citeacute
Internationale Lyon France August 23-26 2007 ThP2B11 2007 pp 726-730
DESBAT L ROUX S GRANGEAT P ldquoCompensation of some time dependent
deformations in tomography 2 Deformations preserving the projection geometryrdquo IEEE
transactions on medical imaging vol 26 2007 pp 1-20
EARLY D S LONG DG Image Reconstruction and Enhanced Resolution Imaging from
Irregular Samples IEEE trasactions on geosciences and remote sensing 3v9(2)291ndash302 2001
FARIN G Curves and Surfaces for CAGD a Practical Guide 4th edition Academic Press-
1996
FORSYTHE GE Solving linear algebraic equations can be interesting Bulletin of the
American Mathematical Society v59(4) P299ndash330 Jul 1953
GORDON R A tutorial on art (algebraic reconstruction techniques) IEEE Trans Nucl Sci v
NS-21 p78ndash93 1974
GORDON R GUAN H A projection acess order for speedy convergence of art a multilevel
scheme for computed tomography Physics in medicine and biology p39 1994
GUAN H HERMAN G T ZHU Y Combining various projection access schemes with the
algebraic reconstruction technique for low-contrast detection in computed tomography
Physics in medicine and biology 43(8)2413ndash21 August 1998
HANSON K M WECKSONG GVW Local basis approach to computed tomography
ApplOpt v24 p4028-2039 1985
HERFFERNAN P B Robb A R Difference image reconstruction from a few projections for
nondestructive materials inspection Applied optics
HERMAN G T Iterative reconstruction algorithms Comput Biol Med v6 p273 ndash 294 1976
HERMAN G T GORDON R Reconstruction of pictures from their projections Commun
Assoc Comput Mach v14 p759ndash768 1971
HERMAN GT MEYER L B Algebraic Reconstruction Techniques Can Be Made
90
Computationally Efficient IEEE transactions on medical imaging v 12(3) 1993
IAEA-TECDOC-1589 INDUSTRIAL PROCESS GAMMA TOMOGRAPHY Final report of a
coordinated research project 2003ndash2007 May 2008
KACZMARZ S Angenaherte auflosung von systemen linearer gleichungen Bull Acad Pol
Sci Lett A vol 6-8A pp 355-357 1937
KAKA C SLANEY M Principles of Computerized tomographic imaging IEEE PRESS
1999
KALAGA D V KULKARNI A V ACHARYA R KUMAR U SINGH G JOSHI JB
Some industrial applications of gamma-ray tomography Journal of the Taiwan Institute of
Chemical Engineers 40 (2009) 602ndash612 wwwelseviercomlocatejtice
KNOLL G F Nuclear Counters Radiation-Measurement Book 2006
LUTZ PH Relaxation Methods for Image Reconstruction Communications of the ACM
v21(2) p282ndash288 1978
MARTINEZ AG Detecccedilatildeo de descontinuidades e reconstruccedilatildeo de funccedilotildees a partir de dados
espectrais filtros splines e metodos iterativos tese - UNICAMP 2006
MELO SM DANTAS CC OLIVEIRA EAL MAGALHAtildeES FP OLIVEIRA EF A FCC
catalyst gamma ray tomographic reconstruction by using non negative non parametric bezier
triangles Proceedings In 4 th International Symposion on Process Tomography in Poland p 165
Washaw 2006
MESQUITA J MATELA N OLIVEIRA N MARTINS M V Choosing the ART relaxation
parameter for Clear-PEM 2D image reconstruction Computer methods and programs in
biomedicine May 2010
MYERS G R KINGSTON A M VARSLOT T K TURNER M L SHEPPARD A
P ldquoDynamic tomography with a priori informationrdquo Applied Optics vol 50 2011 pp 3685-
3690
OLIVEIRA EF DANTAS CC MELO S B VASCONCELOS D A A ldquoCOMPARISON
AMONG TOMOGRAPHIC RECONSTRUCTION ALGORITHMSrdquo internetional nuclear
conference-INAC2011
OLIVEIRA EF DANTAS C MELO S B VASCONCELOS D A A ldquoTOMOGRAPHIC
RECONSTRUCTION WITH B-SPLINES SURFACESrdquo internetional nuclear conference-
INAC2011
91
RAMACHANDRAM G N LAKSHMINARAYANAN A V Three-dimensional
reconstruction from radiographs and electron micrographs II application of convolutions
instead of Fourier transforms Proc Natl Acad Sci US v68 p2236-2240 1971
KACZMARZ S Angenaherte auflosung von systemen linearer gleichungen Acad Pol Sci
Lett v 6-8A p355ndash357 1937
SALINA F V MASCARENHAS NDA CRUVINEL PE A Comparison of POCS
Algorithms for Tomographic Reconstruction Under Noise and Limited View Computer
Graphics and Image Processing 2002
SALVADOR P A V Anaacutelise de sistemas multifaacutesicos utilizando tomografia computadorizada
gama monoenergeacutetica e polienergeacutetica Tese IPEN-USP 2008
SERGIO N QUORIN R Diagnoacutestico de defeitos em madeira por tomografia de raios x PhD
thesis UFPR 2004
SUBBARAO P M V MUNSHI P MURALIDHAR K Performance of iterative tomographic
algorithms applied to non-destructive evaluation with limited data NDT amp Internacional
v30(6) p359ndash370 1997
TANABE K Projection method for solving a singular system Numer Math 17203ndash214 1971
TIRUNELVELI G HERMAN G T Comparison of Square-Pixel and Hexagonal-Pixel
Resolution in Image Processing Test pages 867ndash872 2002
VERHOEVEN D Limited-data computed tomography algorithms for the physical sciences
Applied Optics jul1993
WENKAI L Adaptive algebraic reconstruction technique Image (Rochester NY) v31(12)
p3222ndash3230 2004
92
ANEXO ndash I
ROTINAS DESENVOLVIDAS NO MATLAB
Rotina responsaacutevel por criar os phantoms e calcular o sinograma Tambeacutem reconstroacutei
clear
d=64Nproj=8Ntraj=dNpixel=dr=02Nit=30display(MART)chute=1I0=10^8x=1fig3=(zeros(d))teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)inc=3cont=1z=zeros(NprojNtraj1)zt=zzt1=zzt2=zztgb=zcont=1c=0teta=[teta teta]clear fig
vpf=1raio=3inc=7c=5vpf=2raio=4inc=8c=5vpf=4raio=5inc=17c=10 vpf=8raio=1inc=4vpf=4inc=1cc=0inc2=25c=10vpf=4raio=3inc=15c=0 fator=(1Nproj)(1Nproj)1fator=flipud(fator)fator=linspace(00509Nproj)a=0for n=1Nproj a=a+1 circ(n)=Circulo(d(d2)(d2)(1+c))if a==vpfa=0c=c+incend crescente circ(n)=Circulo(d5+c(d2)raio)if a==vpfa=0c=c+incend translado vertical fig=circ(n) [z]=sinograma(fig teta(n)) zr=radon(fig teta(n)Ntraj) fig3=(fig3+fig) Itred(cont)=(I0exp(-zx))n((Nproj+inc+1)-n)(nNproj)olhar sempre It(cont)=I0exp(-zx) Ir(cont)=I0exp(-zr) cont=cont+1endfig3=fig3(max(max(fig3))Nproj)tira a sobreposiccedilatildeosinot=log((I0)It)importante retirar fator caso seja utilizado tomo de 3ordfsinot=(ZeraNeg(sinot))rect=Mart2(MatparaCol(real(sinot))teta102)[c d]=size(rect)rect=ColparaMat(rect(d)NpixelNpixel)figure subplot(131)imagesc(fig3)title(Imagem Meacutedia) subplot(132)imagesc(rect)title(MART Vistas Sucessivas) subplot(133)imagesc(rect)title(MART Vistas Alternadas)
93
Rotina para Testes com reconstruccedilotildees
clear load meialuanotubo2load dadosdinamicoload dadosdinamico2dados2=dados3[Ntraj Nproj]=size(dados2) for a=1Nproj for b=1Ntraj if dados2(ab)gt1 || dados2(ab)lt10^-2 dados2(ab)=1 end endend sinograma=-(102)log(dados2)sinograma=ZeraNeg(sinograma)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj) display(FBP)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)z=sinogramarecfbp=iradon(ztetaNtraj)x=164figsino(xdados2) figsino(xsinograma) figureimagesc(sinograma)title(Sinograma MCNPX - 1 vista por frame) xlabel(Vistas)ylabel(Projeccedilotildees)
_________________________MART___________________________________________ x=[02] Nit=20r=1recmart=zeros(Npixel^2Nitlength(x)) display(MART com pesos)display(x) z=MatparaCol(sinograma) [ix iy]=GridAlg(NprojNtrajNtrajpi) [A]=pesosart(ixiyNprojNtrajNtraj) rec=Art(AzNprojNtraj5002) figure imagesc(rec)title(ART) end recfinal=ColparaMat(recmart(Nit)NpixelNpixel) figuresurf(recfinal)figureimagesc(recfinal)colorbartitle(Mart) durou=etime(clockliga)60save phantomacrilicoMart x durou recmart A _________________________ART____________________________________________ x=[02] Nit=10r=1recart=zeros(Npixel) display(ART com pesos)display(x) z=MatparaCol(sinograma) rec=Mart(AzNprojNtrajNitx) recart=ColparaMat(rec(Nit)NpixelNpixel)r=r+1 figureimagesc(recart)colorbartitle(art) __________________________________________________________________________
94
rotina para caacutelculo do sinograma
function [matriz]=sinograma(fig teta)
[a b]=size(fig)Ntraj=aNproj=size(teta2)sino=zeros(NtrajNproj)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)for i=1Nproj for j=1b sino(ji)=Project(figteta(i)j) endendmatriz=sino
function [bijtemp erromat]=Mart2(ztetachuterelax)
[a b]=size(z)Nproj=size(teta2)Ntraj=aNprojNpixel=Ntrajbijtemp=ones(Npixel^250)bijtemp(1)=chute pij=ones(size(sino))Ite=50erro=1cont=1erromat=zeros(149)for Nitera=1Ite if Nitera==25 Nitera end for i=1Nproj W=Wproj(teta(i)Npixel) pij=Wbijtemp(Nitera) for j=1Ntraj cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pij(j))pij(j) if (pij(j)==0)cor=0000000001end ind=find(W(j)) cor=correlax bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corbijtemp(indNitera)W(jind)) end end if errolt=005break end if Niteragt=2 erro=100sqrt(sum(sum(((bijtemp(Nitera)-bijtemp(Nitera-1))^2))))sum(sum(bijtemp(Nitera))) erromat(cont)=errocont=cont+1 end if (Nitera ~= Ite)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)endendbijtemp=bijtemp(1Nitera)erro
function [bijtemp erromat]=Mart2(ztetachuterelax)
[a b]=size(z)Nproj=size(teta2)Ntraj=aNprojNpixel=Ntrajbijtemp=ones(Npixel^250)bijtemp(1)=chute
95
pij=ones(size(sino))Ite=50erro=1cont=1erromat=zeros(149)for Nitera=1Ite if Nitera==25 Nitera end for i=1Nproj W=Wproj(teta(i)Npixel) pij=Wbijtemp(Nitera) for j=1Ntraj cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pij(j))pij(j) if (pij(j)==0)cor=0000000001end ind=find(W(j)) cor=correlax(i) bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corbijtemp(indNitera)W(jind)) end end if errolt=005break end if Niteragt=2 erro=100sqrt(sum(sum(((bijtemp(Nitera)-bijtemp(Nitera-1))^2))))sum(sum(bijtemp(Nitera))) erromat(cont)=errocont=cont+1 end if (Nitera ~= Ite)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)endendbijtemp=bijtemp(1Nitera)erro
function [figtemp]=BP(NprojNtrajNpixelzinterXinterYfigura)
Back projection
c=max(size(figura))
Ntraj=c
Npixel=caumenta a dimenssatildeo da figura para eliminar artefatos de rotaccedilatildeo
figtemp=zeros(c)
inter=ones(22(Npixel+1))696969
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
inter(1)=interX(((i-1)Npixel)+j)
inter(2)=interY(((i-1)Npixel)+j)
for a=12(Npixel+1)
if (inter(1a)gt=0 ampamp inter(1a)ltNpixel) ampamp (inter(2a)gt=0 ampamp
inter(2a)ltNpixel) ampamp (inter(1a+1)gt=0 ampamp inter(1a+1)lt=Npixel) ampamp
(inter(2a+1)gt=0 ampamp inter(2a+1)lt=Npixel)
dist=sqrt(((inter(1a+1)-inter(1a))^2)+((inter(2a+1)-
inter(2a))^2))
x=fix(inter(1a))y=fix(inter(2a))
if (figura(x+1y+1))gt 10^-1
figtemp(x+1y+1)=figtemp(x+1y+1)+z(Ntraj(i-1)+j)dist
end
end
end
end
end
function [bijtemp]=Art(AzNprojNtrajNitrelax)
ART aditivo com opccedilatildeo de relaxaccedilatildeo
96
[c d]=size(A)a=sqrt(d)b=a
bijtemp=zeros(b^2Nit)10
pij=zeros(b1)pijtemp=zeros(Ntraj1)convergencia=zeros(1Nit)
Projection=Nproj
for Nitera=1Nit
interaction=Nitera
for i=1Nproj
pijtemp=A((Ntraj(i-1)+1)(Ntraj(i-1)+Ntraj))bijtemp(Nitera)
for j=1Ntraj
soma=sum(A(Ntraj(i-1)+j)^2)
cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pijtemp(j))
ind=find(A(Ntraj(i-1)+j))
cor=correlaxsoma
bijtemp(indNitera)=(bijtemp(indNitera) + corA(Ntraj(i-
1)+jind))
for ii=ind
if bijtemp(iiNitera)lt0bijtemp(iiNitera)=0end
end
end
end
if (Nitera ~= Nit)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)end
if (Nitera ~= 1)convergencia(Nit)=sqrt(sum(sum(bijtemp(Nitera-1)^2
-bijtemp(Nitera)^2))sum(sum(bijtemp(Nitera)^2)))end
end
function [bijtemp]=Artfast(AzNprojNtrajNitrelax)
ART aditivo com opccedilatildeo de relaxaccedilatildeo
[c d]=size(A)a=sqrt(d)b=a
bijtemp=ones(b^2Nit)
pij=zeros(b1)pijtemp=zeros(Ntraj1)
Projection=Nproj
for Nitera=1Nit
Nitera
for i=1Nproj
pijtemp=A((Ntraj(i-1)+1)(Ntraj(i-1)+Ntraj))bijtemp(Nitera)
for j=1Ntraj
soma=sum(A(Ntraj(i-1)+j)^2)
cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pijtemp(j))
ind=find(A(Ntraj(i-1)+j))
cor=correlaxsoma
bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corA(Ntraj(i-
1)+jind))
for ii=ind
if bijtemp(iiNitera)lt0bijtemp(iiNitera)=0end
end
end
end
if (Nitera ~= Nit)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)end
end
function [interX interY]=GridAlg(NprojNtrajNpixelRangeAngular)
RangeAngular=pi
display(vc olhou pi)
rxvetor=zeros(Nproj1)
ryvetor=zeros(Nproj1)
rxpontos=zeros(NtrajNproj)
97
rypontos=zeros(NtrajNproj)
rxpontos(1)=linspace(0+(NpixelNtraj)2Npixel-(NpixelNtraj)2Ntraj)
rypontos=flipud(rypontos)
rypontos(1)=0
rxvetor(1)=0
ryvetor(1)=1
teta=RangeAngularNproj
rot=[cos(teta) -sin(teta)sin(teta) cos(teta)]
for b=2Nproj
vet=rot[rxvetor(b-1) ryvetor(b-1)]
rxvetor(b)=vet(1)
ryvetor(b)=vet(2)
end
for b=2Nproj
for a=1Ntraj
pontos=rot[rxpontos(ab-1)-(Npixel2)rypontos(ab-1)-(Npixel2)]
rxpontos(ab)=pontos(1)+(Npixel2)
rypontos(ab)=pontos(2)+(Npixel2)
end
end
clear FIG
interX=zeros(NtrajNproj2(Npixel+1))interY=interX
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
ind=1
inter=ones(22(Npixel+1))696969
if rxvetor(i)lt-10^-5 || rxvetor(i)gt10^-5
for x=0Npixel
inter(2x+1)=(ryvetor(i)rxvetor(i))(x-rxpontos(ji))
+rypontos(ji)
inter(1x+1)=x
ind=ind+1
end
end
if rxvetor(i)gt=-10^-5 ampamp rxvetor(i)lt=10^-5x=-1end
if ryvetor(i)lt-10^-5 || ryvetor(i)gt10^-5
for y=0Npixel
inter(1x+2+y)=(rxvetor(i)ryvetor(i))(y-rypontos(ji))
+rxpontos(ji)
inter(2x+2+y)=y
ind=ind+1
end
end
[inter(1) B]=sort(inter(1))
inter(2)=inter(2B)
interX(((i-1)Ntraj)+j)=inter(1)
interY(((i-1)Ntraj)+j)=inter(2)
end
end
function [A]=pesosart(interXinterYNprojNpixelNtraj)
(NprojNtraj)x(Npixel^2)lt=70000000 out of memory with space free 560000000
98
[a b]=size(interX)
Atemp=sparse(zeros(NtrajNpixel^2))
inter=ones(22(Npixel+1))696969
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
inter(1)=interX(((i-1)Ntraj)+j)
inter(2)=interY(((i-1)Ntraj)+j)
for a=12(Npixel+1)
if (inter(1a)gt=0 ampamp inter(1a)ltNpixel) ampamp (inter(2a)gt=0 ampamp
inter(2a)ltNpixel) ampamp (inter(1a+1)gt=0 ampamp inter(1a+1)lt=Npixel) ampamp
(inter(2a+1)gt=0 ampamp inter(2a+1)lt=Npixel)
dist=sqrt(((inter(1a+1)-inter(1a))^2)+((inter(2a+1)-
inter(2a))^2))
if inter(2a+1)ltinter(2a)
y=fix(inter(2a+1))
else
y=fix(inter(2a))
end
x=fix(inter(1a))
Atemp(jNpixel(Npixel-y-1)+x+1)=dist
end
end
end
if i==1
A=Atemp
else
A=[AAtemp]
end
Atemp=sparse(zeros(NtrajNpixel^2))
end
LISTA DE TABELAS
Tabela 1
Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 1 vista por framehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip62
Tabela 2
Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 2 vistas por framehelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip63
Tabela 3
Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 4 vistas por framehelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip63
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
DEN ndash Departamento de Energia Nuclear
UFPE ndash Universidade Federal de Pernambuco
TC ndash Tomografia Computadorizada
ART ndash Algebraic Reconstruction Techinique
MART ndash Multiplicative Algebraic Reconstruction Techinique
SIRT ndash Simultaneous Iterative Reconstruction Technique
FBP ndash Filtered Back Projection
AM ndash Alternating Minimization
CFD ndash Computer Fluid Dynamics
MCNP - Monte Carlo N-Particle
PET - Positron Emission Tomography
SPECT - Single Photon Emission Tomography
CST ndash Central Slice Theorem
Sumaacuterio
1 INTRODUCcedilAtildeO132 TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA16
21 A Lei de Beer-Lambert16
22 Algoriacutetmos de Reconstruccedilatildeo20
221 Filtered Back Projection (FBP)20222 ART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica)21223 MART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica com Correccedilatildeo Multiplicativa)23
23 O Caso Dinacircmico24
24 Reconstruccedilatildeo com Correccedilatildeo de Movimento25
25 Geraccedilotildees de Tomoacutegrafos26
26 Simulaccedilatildeo de Sinogramas28
27 Fluidodinacircmica Computacional - CFD31
28 Tempo de Aquisiccedilatildeo ou Integraccedilatildeo33
29 Sistema de cores RGB33
21 0MCNP35
3 METODOLOGIA3731 A Transformada de Radon Temporal38
32 Lei de Beer-Lambert temporal41
33 Simulaccedilatildeo de aquisiccedilotildees Tomograacuteficas42
331 Aquisiccedilatildeo por Tomografia de 1ordf Geraccedilatildeo42332 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 3ordf geraccedilatildeo45333 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 5ordf geraccedilatildeo46
34 Posicionamento angular47
35 Utilizaccedilatildeo de um canal de cores para visualizar a dinacircmica do processo Reconstruccedilatildeo RGB47
36 Reconstruccedilatildeo utilizando dados do CFD48
37 Avaliaccedilatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo com RMSE49
38 Algoritmos e Software Desenvolvidos50
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO5141 Resultados das Reconstruccedilotildees MART e FBP51
411 Primitiva Ciacuterculo Transladando 1 vista por frame51412 Primitiva Ciacuterculo Transladando Oito vistas por frame55413 Primitiva Circulo Crescente Uma vista por frame57414 Primitiva Circulo Crescente Oito vistas por frame60
42 Vistas Alternadas62
43 Resultados com RGB65
44 Simulaccedilotildees com MCNPX70
441 Circulo Transladando ndash 1vista por frame70
442 Circulo Transladando ndash 2 vistas por frame7345 Resultados com CFD76
451 CFD-1 vista por frame76452 CFD-8 vistas por frame79
46 Reconstruccedilotildees com correccedilatildeo de movimento81
5 CONCLUSOtildeES856 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS88ANEXO ndash I92
13
1 INTRODUCcedilAtildeO
A Tomografia Computadorizada (TC) consiste em duas etapas
a) O objeto eacute verificado (escaneado) com relaccedilatildeo a alguma propriedade como
densidade capacitacircncia resistividade eleacutetrica ressonacircncia magneacutetica etc
b) A propriedade eacute entatildeo reconstruiacuteda por meio de uma teacutecnica de reconstruccedilatildeo
adequada
Dessa forma a tomografia tem como objetivo reconstruir os detalhes geomeacutetricos do
objeto subjacente e tambeacutem obter os valores da propriedade escolhida Normalmente eacute classificada
como uma teacutecnica de ensaios natildeo destrutivos (END) e portanto eacute de uso imenso em
colunasreatores industriais para detectar a distribuiccedilatildeo de fases ou qualquer tipo de natildeo
uniformidade no interior do objeto
Para o registro de qualquer mudanccedila no objeto otimiza-se o sistema em alta
resoluccedilatildeo temporal (baixo tempo de aquisiccedilatildeo) ou seja permitir vaacuterias imagens resultando em
centenas de quadros por segundo A tomografia que concretiza essa configuraccedilatildeo de aquisiccedilatildeo eacute
chamada de instantacircnea ou de 5ordf geraccedilatildeo onde vaacuterias fontes satildeo arranjadas diametralmente opostas
a um leque de detetores de radiaccedilatildeo e consequentemente a colimaccedilatildeo de uma fonte eacute limitada por
outra reduzindo a resoluccedilatildeo espacial do sistema
Quando a distribuiccedilatildeo tem baixa variabilidade ao longo do tempo ou quando
limitaccedilotildees teacutecnicas impedem o uso da tomografia instantacircnea propotildee-se a tomografia com baixa
resoluccedilatildeo temporal com tomoacutegrafos de 1ordf e 3ordf geraccedilotildees O alto tempo de aquisiccedilatildeo destes
tomoacutegrafos prejudica a reconstruccedilatildeo quando o objeto em estudo muda suas propriedades no
decorrer do tempo Esta foi classificada por vaacuterios autores como reconstruccedilatildeo dinacircmica
(ARTEMIEV V M NAUMOV A O 2006) (BUTALA 2009) (DESBAT L et al 2006) Jaacute eacute
uma aacuterea muito ativa em medicina nuclear onde movimentos do paciente devem ser tomados em
consideraccedilatildeo Tais como em SPECT ou PET mas tambeacutem em tomografia computadorizada (TC de
transmissatildeo) para oacutergatildeos de movimento raacutepido como o coraccedilatildeo (GRAMEL BM et al 2012)
De um modo geral o imageamento dinacircmico TC tem como objetivo reconstruir
sequecircncias de imagens em que a natureza dinacircmica do objeto tomografado eacute de interesse primaacuterio
permitindo o registro de mudanccedilas temporais na distribuiccedilatildeo do coeficiente de atenuaccedilatildeo linear
podendo identificar o estado inicial e o final do processo
O estado da arte dos meacutetodos aplicados para processos industriais eacute atualmente
baseado em princiacutepios de reconstruccedilotildees tomograacuteficas claacutessicas desenvolvidos para padrotildees TC de
distribuiccedilotildees estaacuteticas como pode ser visto em diversos artigos da aacuterea de tomografia industrial
14
(DAHAN A et al 2007 DUDUKOVIC 2007 HALE et al 2007 JOHANSEN et al 2005
KUMAR et al 1997 DANTAS CC et al 2007 SALVADOR P A V 2010 MESQUITA C et
al 2011) Essas abordagens assumem que as propriedades da imagem satildeo constantes durante o
processo de aquisiccedilatildeo Os algoritmos de reconstruccedilatildeo mais comuns ao contexto satildeo os iterativos
onde se destacam teacutecnicas de reconstruccedilatildeo algeacutebrica (ART SIRT MART SMART) e teacutecnicas de
reconstruccedilatildeo estatiacutesticas como o de Minimizaccedilatildeo Alternante (AM) e o Esperanccedila - Maximizaccedilatildeo
(EM) A imagem reconstruiacuteda passa a ser uma aproximaccedilatildeo das propriedades ao longo do tempo A
aproximaccedilatildeo eacute devida a projeccedilotildees natildeo compatiacuteveis no sinograma (BONNET S 2003) As
projeccedilotildees tornam-se incompatiacuteveis devido as diferentes distribuiccedilotildees que ocorreram durante o
intervalo de tempo utilizado para coleta de dados Ruiacutedos e artefatos de movimento satildeo os
principais problemas causados pela incompatibilidade
Aleacutem disso em processos tomograacuteficos industriais eacute comum um nuacutemero limitado de
dados devido a inviabilidades teacutecnicas como arranjar todo um aparato de fontes e detetores ao redor
de uma coluna industrial Um baixo nuacutemero de dados pode produzir ruiacutedo artefatos e natildeo
concordacircncia com a distribuiccedilatildeo em estudo
Por estes motivos eacute necessaacuterio um estudo dos melhores meacutetodos de reconstruccedilatildeo e
tambeacutem o desenvolvimento de novas taacuteticas ou a utilizaccedilatildeo de meacutetodos jaacute consagrados em outros
contextos como a aacuterea meacutedica
Este trabalho inova quando discute um tema jaacute comum agrave aacuterea meacutedica em um
contexto tomograacutefico industrial
O meacutetodo proposto consiste em descobrir inicialmente as limitaccedilotildees oriundas da
aplicaccedilatildeo de algoritmos de reconstruccedilatildeo que foram desenvolvidos para distribuiccedilotildees estaacuteticas e satildeo
utilizados em tomografia dinacircmica Estas podem aparecer em forma de ruiacutedo artefatos estrela eou
de movimento Para alcanccedilar tais propoacutesitos foram utilizados dados simulados analiticamente e por
MCNPX de um cilindro de alumiacutenio transladando durante o processo aquisiccedilatildeo e imagens da secccedilatildeo
transversal de um rise piloto por meio da teacutecnica CFD (Computational Fluid Dynamics) O cilindro
ou ciacuterculo para uma secccedilatildeo eacute uma escolha pautada na literatura industrial pois simula bolhas em
reatores e tambeacutem distribuiccedilotildees agrupadas em forma de nuacutecleo por exemplo (DUDUKOVIC M et
al 1997) (AZZI M 1991) Com os dados simulados foram realizadas e comparadas as
reconstruccedilotildees pelos meacutetodos FBP (Filtered Back Projection) e MART (Multiplicative Algebraic
Reconstruction Technique)
Descobertas as limitaccedilotildees novas estrateacutegias satildeo apresentadas como a escolha da
ordem do posicionamento angular (vistas alternadas ou sucessivas) o desenvolvimento de um
15
meacutetodo para a visualizaccedilatildeo temporal do processo (Reconstruccedilatildeo RGB) e a correccedilatildeo de movimento
A reconstruccedilatildeo RGB foi desenvolvida com o propoacutesito de visualizar a evoluccedilatildeo
temporal do processo Consiste em uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens tomograacuteficas de
processos dinacircmicos pois utiliza o canal red do sistema de cores RGB para visualizar a evoluccedilatildeo do
movimento Uma nova reconstruccedilatildeo eacute realizada utilizando dados penalizados com o tempo e
associada ao canal R Aos outros canais eacute associada a reconstruccedilatildeo tradicional para posterior
visualizaccedilatildeo do conjunto
Tambeacutem eacute proposta uma teacutecnica de correccedilatildeo de movimento utilizada na aacuterea meacutedica
que manipula a matriz de pesos do meacutetodo algeacutebrico deslocando seus elementos com a mesma
quantidade de movimento identificada Neste trabalho eacute definido o vetor deslocamento a priori
O Capiacutetulo dois trata da revisatildeo bibliograacutefica da tese Conteacutem a lei de Beer-Lambert
a formaccedilatildeo de dados tomograacuteficos para posterior reconstruccedilatildeo Explica os algoritmos algeacutebricos a
visualizaccedilatildeo RGB dados do CFD e geraccedilotildees tomograacuteficas No Capiacutetulo trecircs satildeo expostos os
meacutetodos desenvolvidos como aquisiccedilotildees simuladas analiticamente de 1ordf e 5ordf geraccedilotildees
tomograacuteficas simulaccedilotildees tomograacuteficas por MCNPX reconstruccedilatildeo RGB correccedilatildeo de movimento
algoritmos implementados e desenvolvidos No capiacutetulo quatro satildeo mostrados os resultados de
todos os meacutetodos propostos
Espera-se que esse trabalho contribua para uma anaacutelise mais efetiva de tomografias
dinacircmicas industriais bem como o diagnoacutestico de problemas de otimizaccedilatildeo de operaccedilatildeo de
tomoacutegrafos e obtenccedilatildeo de dados para novos projetos bem como contribuir com novos algoritmos de
reconstruccedilatildeo especiacuteficos para esta aplicaccedilatildeo
16
2 TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA
21 A Lei de Beer-Lambert
A medida da probabilidade por unidade de percusso do feixe de radiaccedilatildeo interagir
com a mateacuteria (efeito fotoeleacutetrico efeito Compton e produccedilatildeo de pares) eacute denominado coeficiente
de atenuaccedilatildeo total ou linear do material ( ) Encontrar a funccedilatildeo que represente a distribuiccedilatildeo das
atenuaccedilotildees dentro de uma regiatildeo de interesse eacute o objetivo da tomografia Ao atravessar um material
a intensidade da radiaccedilatildeo sofre uma queda exponencial descrita pela relaccedilatildeo de Beer-Lambert
Entende-se como intensidade de radiaccedilatildeo neste caso como o nuacutemero de contagens registrado pelo
detetor em uma faixa de energia de interesse para um certo intervalo de tempo
Entende-se como caso estaacutetico a situaccedilatildeo em que o objeto tem distribuiccedilatildeo de
atenuaccedilotildees fixa na regiatildeo de estudo ao longo do tempo ou seja
(1)
O processo unidimensional para determinaccedilatildeo da atenuaccedilatildeo linear pode ser resumido
em um detetor de radiaccedilatildeo diametralmente oposto a uma fonte de radiaccedilatildeo onde
bull Estabelece-se um tempo para o intervalo de contagens Figura 21
bull ) do background sem
objeto algum entre fonte e detetor
bull Coloca-se um objeto de comprimento fixo l com distribuiccedilatildeo de atenuaccedilotildees desconhecida
mas com valores fixos ao longo de l
bull Afere-se o nuacutemero de contagens ( com o objeto presente
Figura 1 Atenuaccedilatildeo daRadiaccedilatildeo pela mateacuteria
l
If
para Δt
I0
para Δt
17
A lei de Beer-Lambert mostra que a absorccedilatildeo mais precisamente a atenuaccedilatildeo da
radiaccedilatildeo mede a queda da intensidade quando a radiaccedilatildeo passa pela mateacuteria A transmissatildeo T
Taxa de contagem inicial Taxa de contagem apoacutes o absorvedor
(2)
caracteriza a permeabilidade do material absorvente para a radiaccedilatildeo Quanto maior for a
transmissatildeo menor eacute o efeito atenuante A transmissatildeo depende da espessura l do absorvedor Se a
espessura l eacute reforccedilada pela pequena quantidade dl o T de transmissatildeo eacute diminuiacuteda pela pequena
quantidade dT A diminuiccedilatildeo relativa da transmissatildeo eacute proporcional ao aumento absoluto da
espessura
(3)
O fator de proporcionalidade eacute chamado o coeficiente de atenuaccedilatildeo linear mu A
integraccedilatildeo da equaccedilatildeo 24 conduz agrave lei de Beer-Lambert
(4)
Para facilitar a notaccedilatildeo em desenvolvimentos adiante chamamos de que eacute o
coeficiente de atenuaccedilatildeo linear meacutedio e l a distacircncia percorrida pelo raio no absorvedor Entatildeo eacute
determinado por
18
(5)
independente de l E para um
detalhamento maior das atenuaccedilotildees ao longo do feixe discretiza-se l O somatoacuterio dos produtos das
atenuaccedilotildees com as distacircncias surge da discretizaccedilatildeo de l assumindo que todas as particcedilotildees atenuam
o feixe no Esta condiccedilatildeo implica tambeacutem no particionamento de
Fazendo com que a intensidade final de uma particcedilatildeo i seja a inicial
da subsequente i+1 Ou seja natildeo eacute estabelecida uma discretizaccedilatildeo do tempo
(6)
De maneira geral a soma na Equaccedilatildeo 6 torna-se uma integral e definindo o eixo x ao
longo da trajetoacuteria do feixe l torna-se o elemento de linha onde o coeficiente de atenuaccedilatildeo eacute
funccedilatildeo da trajetoacuteria da linha
(7)
A integral ao longo da linha eacute conhecida como projeccedilatildeo unidimensional da
distribuiccedilatildeo de densidades definida matematicamente por Johann Radon em 1917 e
Figura 2 Discretizaccedilatildeo de l
l1
μ1
l2
μ2
ln
μn
l3
μ3
I 1 pa
ra Δ
t 0f
I 2 pa
ra Δ
t 0f
I f pa
ra Δ
t 0f
I 0 pa
ra Δ
t 0f
19
conhecida como a transformada de Radon da funccedilatildeo
Como as projeccedilotildees satildeo o resultado das transformadas de Radon ao longo dos
caminhos dos feixes pode-se dizer que o objetivo da tomografia eacute obter a sua inversa ou seja a
imagem reconstruiacuteda ou como no caso unidimensional a curva
(8)
Os diversos modelos utilizados para encontrar a inversa satildeo chamados de algoritmos
de reconstruccedilatildeo e como todos operam com as projeccedilotildees como entrada de dados um estudo mais
detalhado da transformada de Radon temporal e como essas projeccedilotildees variam deve ser realizado
para os casos em que a distribuiccedilatildeo de coeficientes de atenuaccedilatildeo varia tambeacutem com o tempo (caso
dinacircmico seccedilatildeo )
eacute a projeccedilatildeo bidimensional
geralmente chamada de perfil ou vista do corte O processo de aquisiccedilatildeo dos perfis eacute
chamado de escaneamento ou varredura e o conjunto de projeccedilotildees adquiridas eacute denominado
sinograma a Erro Origem da referecircncia natildeo encontrada representa o sinograma de uma imagem de
teste com um disco central
O escaneamento pode ser feito atraveacutes de aquisiccedilotildees paralelas de um uacutenico feixe
Figura 3 Sinograma constituiacutedo de 180 vistas (construiacutedo com a funccedilatildeo radon do
matlab)
20
(Parallel Beam) ou com as trajetoacuterias em forma de leque (Fan Beam) Como o sinograma eacute
resultado das transformadas de Radon ao longo dos raios pode-se dizer que o objetivo da
tomografia eacute obter a sua inversa ou seja a imagem reconstruiacuteda
representa todas as projeccedilotildees (9)
Imagem Original
22 Algoriacutetmos de Reconstruccedilatildeo
221 Filtered Back Projection (FBP)
Bracewell e Riddle em 1967 introduziram o meacutetodo chamado retroprojeccedilatildeo filtrada
(FBP) meacutetodo baseado na transformada de Fourier O FBP eacute muito utilizado devido ao baixo tempo
de processamento O teorema das projeccedilotildees tambeacutem chamado de teorema do corte central (Central
Slice Theorem - CST) facilita o processo Esse diz que uma transformada 1D de Fourier da
transformada de Radon da funccedilatildeo corresponde agrave transformada 2D de Fourier da funccedilatildeo Ou seja
realizando a transformada de Fourier das projeccedilotildees chega-se ao espaccedilo de frequecircncias da
distribuiccedilatildeo de densidades que se desejam descobrir No espaccedilo de frequecircncias satildeo realizadas as
operaccedilotildees de filtragem e a transformada 2D inversa retorna a imagem reconstruiacuteda O FBP eacute
resumido nos seguintes passos
1 Calcular a transformada de Fourier unidimensional das projeccedilotildees chegando ao domiacutenio de
frequecircncias
2 Filtrar as projeccedilotildees transformadas com um filtro passa baixa (Shepp-Logan Hann
Hamming etc)
3 Colocar as projeccedilotildees filtradas em um grid polar Cada projeccedilatildeo em seu acircngulo
correspondente
4 Reamostrar estas em um grid cartesiano com interpolaccedilatildeo (linear nearest Splines etc)
5 Calcular a transformada 2D de Fourier inversa chegando-se agrave imagem reconstruiacuteda
21
222 ART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica)
Os primeiros estudos sobre teacutecnicas algeacutebricas em TC foram feitos por Gordon e
Herman (HERMAN G T GORDON R 1971) Apesar de ser mais intuitiva e simples que os
meacutetodos de transformada essa teacutecnica deixa a desejar no que se refere a precisatildeo e tempo de
processamento Fazendo com que os meacutetodos de transformada fossem inicialmente mais utilizados
principalmente na aacuterea meacutedica onde um grande nuacutemero de dados eacute processado No entanto para
experimentos em que o nuacutemero de projeccedilotildees eacute limitado ou tenha uma distribuiccedilatildeo natildeo uniforme o
meacutetodo de transformada torna-se inviaacutevel
Meacutetodos algeacutebricos ou de expansatildeo de seacuteries discretizam a secccedilatildeo irradiada em uma
matriz de incoacutegnitas (pixels) que representam a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de densidades μ (x y) como
ilustra a Figura 4 Apoacutes as varreduras um sistema de equaccedilotildees resultantes da relaccedilatildeo de Beer-
Lambert eacute criado e sua resoluccedilatildeo corresponde agrave inversa de Radon Devido agraves caracteriacutesticas desse
sistema meacutetodos indiretos satildeo aconselhados e dentre os indiretos o meacutetodo das projeccedilotildees de
Kaczmarz tem convergecircncia garantida (KACZMARZ 1937) As teacutecnicas iterativas satildeo resumidas
basicamente em quatro passos criaccedilatildeo da imagem inicial caacutelculo das correccedilotildees aplicaccedilatildeo das
correccedilotildees e o teste de convergecircncia Estes algoritmos diferem na maneira como as correccedilotildees satildeo
calculadas e aplicadas (SUBBARAO 1997) Neste trabalho eacute utilizada a teacutecnica algeacutebrica ART
Nessa representaccedilatildeo um raio corresponde a uma faixa com largura que na maioria das vezes
coincide com a largura de um pixel
22
O processo pode ser resumido em
1) Criar uma matriz imagem inicial com N elementos parametrizados em geralmente aleatoacuterios
ou nulos Esse eacute o iniacutecio da 1ordf iteraccedilatildeo ( =1)
2) Calcular as projeccedilotildees para todos os raios atraveacutes da foacutermula
(10)
3) Para cada raio calcular a diferenccedila entre a projeccedilatildeo original e a reconstruiacuteda 4)
Calcular o somatoacuterio de todos pesos ao longo de cada raio
(11)
5) Obter a correccedilatildeo para cada raio
23
(12)
6) Aplicar a correccedilatildeo a cada ceacutelula
(13)
onde eacute um paracircmetro de relaxaccedilatildeo entre 0 e 2
7) Repetir os passos 2 ao 6 para todos os raios
8) Achar a soma da convergecircncia de todos os pixels da imagem
(14)
9) Finalizar a iteraccedilatildeo
As iteraccedilotildees satildeo finalizadas quando chegar a um valor preacute - estabelecido Muitos autores
estabelecem um criteacuterio de Caso o criteacuterio natildeo tenha sido cumprido uma nova
iteraccedilatildeo eacute iniciada no passo 2
O ART frequentemente sofre de ruiacutedos tipo sal e pimenta (salt and pepper noise)
causados pelas inconsistecircncias introduzidas no conjunto de equaccedilotildees por aproximaccedilotildees nos O
efeito eacute exacerbado porque cada pixel ao longo de um raio eacute alterado assim que a projeccedilatildeo eacute
calculada mudando seus valores antes que outro raio o faccedila Tanto o ruiacutedo quando a taxa de
convergecircncia do meacutetodo dependem do paracircmetro de relaxaccedilatildeo utilizado escolhido empiricamente
(geralmente entre 0 e 2) (KAK 1989)
223 MART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica com Correccedilatildeo Multiplicativa)
Vaacuterios estudos apontam o meacutetodo como raacutepido mais flexiacutevel e de melhor acuraacutecia
que o ART Sendo indicado principalmente para casos de um nuacutemero limitado de dados
(VERHOEVEN 1993) A teacutecnica eacute semelhante ao ART com mudanccedila apenas no fator de correccedilatildeo
24
expresso pela equaccedilatildeo 15
(15)
23 O Caso Dinacircmico
De um modo geral imagiologia dinacircmica CT tem como objetivo reconstruir sequecircncias de
imagens em que a natureza dinacircmica do objeto tomografado eacute de interesse primaacuterio permitindo o
registro de mudanccedilas temporais na distribuiccedilatildeo do coeficiente de atenuaccedilatildeo linear Entende-se como
caso estaacutetico a situaccedilatildeo em que o objeto tem distribuiccedilatildeo de atenuaccedilotildees fixa na regiatildeo de
estudo ao longo do tempo Algoritmos de reconstruccedilatildeo tomograacutefica utilizam como dados de entrada
as projeccedilotildees unidimensionais tomograacuteficas Cada projeccedilatildeo eacute adquirida atraveacutes das aquisiccedilotildees de
intensidades inicial e final ao longo do raio na direccedilatildeo
O escaneamento pode ser feito atraveacutes de aquisiccedilotildees paralelas de um uacutenico feixe (Parallel
Beam) ou com as trajetoacuterias em forma de leque (Fan Beam) Como o sinograma eacute resultado das
transformadas de Radon ao longo dos raios pode-se dizer que o objetivo da tomografia eacute obter a
sua inversa ou seja a imagem reconstruiacuteda ou como no caso unidimensional a curva
(KAK A C SLANEY M 1999)
(16)
Historicamente a CT dinacircmica no contexto meacutedico refere-se a algoritmos de imagem que
tentam corrigir movimentos formando uma imagem de alta qualidade estaacutetica atraveacutes da remoccedilatildeo
do componente dinacircmico Diferentemente da aacuterea meacutedica as imagens reconstruiacutedas de fluxos
multifaacutesicos oriundas de relativa baixa resoluccedilatildeo temporal trazem informaccedilotildees importantes da
mudanccedila do fluxo ao longo do tempo (MyersG R Kingston A M 2011) O objetivo da
tomografia neste caso eacute determinar a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de atenuaccedilatildeo
No caso CT de 1ordf 3ordf geraccedilotildees aplicados a distribuiccedilotildees dinacircmicas uma uacutenica imagem
representativa de todo o processo (reconstruiacuteda por processos desenvolvidos para distribuiccedilotildees
25
estaacuteticas) eacute o resultado final da tomografia (BARTHOLOMEW CASAGRANDE 1957) (AZZI et
al 1991) (YIN et al 2002)(DAHAN A et al 2007) (DUDUKOVIC 2007) (DANTAS CC et
al 2007) (SALVADOR P A V 2010) (MESQUITA C et al 2011) A funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de
atenuaccedilotildees passa a ser uma aproximaccedilatildeo
Esta aproximaccedilatildeo eacute devido a projeccedilotildees natildeo compatiacuteveis no sinograma (tambeacutem chamado de
) (BONNET S 2003) As projeccedilotildees agora tornam-se incompatiacuteveis
devido as diferentes distribuiccedilotildees que ocorreram durante o intervalo de tempo [0 t]
24 Reconstruccedilatildeo com Correccedilatildeo de Movimento
A reduccedilatildeo de artefatos de movimento em imagens tomograacuteficas eacute um problema
crucial em oacutergatildeos de um forte caraacuteter dinacircmico como por exemplo os pulmotildees ou o coraccedilatildeo Uma
maneira simples de reduzir esses artefatos eacute limitar o tempo de aquisiccedilatildeo usando tomografia ultra ndash
raacutepida (5ordf geraccedilatildeo)
Aqui considera-se uma outra abordagem em que os modelos de movimento satildeo
integrados diretamente ao processo de reconstruccedilatildeo e onde a resoluccedilatildeo temporal pode assim ser
significativamente aumentada Os meacutetodos podem ser algeacutebricos (GILLAND et al 2002 1996 DE
MURCIA BLONDE et al 2003) ou analiacuteticos ( BONNET et al 2003)
A teacutecnica de compensaccedilatildeo de movimento utilizada neste estudo utiliza um modelo
de transformaccedilatildeo da matriz de pesos A dividindo-a em submatrizes tendo suas colunas deslocadas
adequadamente de acordo com o modelo de movimento obtido a cada projeccedilatildeo (PENGPAN et al
2011) Por esse motivo o vetor deslocamento do movimento deve ser calculado a cada projeccedilatildeo
Para uma grande quantidade de dados necessaacuterios em estudos dinacircmicos na aacuterea
meacutedica abordagens analiacuteticas que levam a algoritmos de reconstruccedilatildeo diretos satildeo mais apropriadas
Alguns meacutetodos satildeo aproximaccedilotildees adaptadas para uso geral do tipo de movimento mas amplitude
moderada (RITCHIE et al 1996 GRANGEAT et al 2002)
No trabalho desenvolvido foca-se a situaccedilatildeo em que um pequeno nuacutemero de dados eacute
26
disponibilizado devido a natureza da aplicaccedilatildeo Salienta-se que a compensaccedilatildeo de movimento
ocorre com a aplicaccedilatildeo da mesma quantidade de movimento (obtida previamente ou durante a
reconstruccedilatildeo) agrave matriz A
A funccedilatildeo em um instante de tempo t pode ser encontrada com a aplicaccedilatildeo da
deformaccedilatildeo agrave seu valor inicial
(17)
A deformaccedilatildeo pode apresentar rotaccedilatildeo e translaccedilatildeo
(18)
25 Geraccedilotildees de Tomoacutegrafos
A primeira geraccedilatildeo de tomoacutegrafos foi produzida pela EMI Mark em 1973 tendo
como desenvolvedor o engenheiro Hounsfield O sistema era composto por um uacutenico tubo de raios
X o qual produzia um uacutenico feixe ciliacutendrico que atravessava o objeto em estudo o paciente
atingindo o uacutenico detector que media a intensidade do mesmo O sistema ainda contava com um par
de colimadores (dois pequenos tubos metaacutelicos colocados apoacutes o feixe deixar a fonte e antes do
mesmo atingir o detector) para minimizar o espalhamento do feixe A fonte de raios X e o detector
se movem em sincronia e em lados opostos do paciente executando um escaneamento linear sobre a
seccedilatildeo em estudo seguido de uma rotaccedilatildeo de 1 grau e um novo escaneamento linear eacute efetuado
como ilustra a Figura 3 a)
Os tomoacutegrafos de segunda geraccedilatildeo foram desenvolvidos visando reduzir o tempo de
escaneamento minimizando a exposiccedilatildeo do paciente agrave radiaccedilatildeo e ampliando a gama de oacutergatildeos que
podem ter a seccedilatildeo transversal reconstruiacuteda Os tomoacutegrafos ainda mantiveram o movimento de
varredura linear seguida de uma rotaccedilatildeo Entretanto o feixe de raios X deixou de ser ciliacutendrico e
passou a ter formato de leque Ao inveacutes de um uacutenico detector o sistema passou a contar com vaacuterios
27
detectores alinhados de forma que possam receber todos os raios do feixe Dessa maneira o tempo
de obtenccedilatildeo de dados de uma seccedilatildeo foi reduzido de acordo
com o nuacutemero de detectores e com o acircngulo de abertura empregado como pode ser visto na Figura
3b) A terceira geraccedilatildeo de aparelhos abandonou de vez os movimentos de translaccedilatildeo do tubo de
raios X e dos detectores e passou a contar com um leque com um acircngulo maior e uma base de
detectores mais ampla em formato semi-circular O sistema passou a efetuar um movimento de 360
graus em torno da seccedilatildeo Tambeacutem eram usados colimadores antes do feixe atingir os detectores a
fim de minimizar o espalhamento dos raios X e garantir a qualidade das imagens O tempo de cada
varredura em alguns modelos comerciais passou a ser de apenas meio segundo ilustrado pela
Figura 3 c)
A quarta geraccedilatildeo de aparelhos passou a contar com um anel de detectores que
circundam toda a seccedilatildeo que possibilitou aumentar mais ainda o acircngulo do feixe de radiaccedilatildeo Os
detectores satildeo fixos e a fonte de radiaccedilatildeo rotaciona dentro do anel de detectores e ao redor do corpo
irradiado Um problema desta geraccedilatildeo diz respeito agrave recepccedilatildeo dos feixes que natildeo satildeo fixos e
dependendo do acircngulo um feixe pode atingir dois detectores ou acertar um detector apenas em uma
fraccedilatildeo ilustrado pela Figura 6d)
Como o tempo despendido para realizaccedilatildeo de movimentos mecacircnicos eacute a principal
28
limitaccedilatildeo para reduzir ainda mais os tempos de escaneamento a quinta geraccedilatildeo de aparelhos acabou
com os movimentos de translaccedilatildeo e rotaccedilatildeo da fonte e dos detectores Rachid Maad em MAAD R
2009 evita utilizar essa classificaccedilatildeo para tomoacutegrafos sem rotaccedilatildeo e translaccedilatildeo utilizados
industrialmente ficando essa classificaccedilatildeo mais utilizada em aplicaccedilotildees meacutedicas Esse utiliza o
termo geraccedilatildeo de tomografia instantacircnea para tais aparelhos representados na Figura 6e)
Na configuraccedilatildeo instantacircnea um anel de detectores estacionaacuterios e as fontes de
radiaccedilatildeo rodeiam o objeto fornecendo um arranjo fixo (sem varreduras) e mediccedilotildees instantacircneas1
Esta teacutecnica eacute muito raacutepida e pode ser usada na geraccedilatildeo de imagens em tempo real A desvantagem
eacute o custo e o problema da radiaccedilatildeo dispersa causada pela presenccedila de muacuteltiplas fontes
26 Simulaccedilatildeo de Sinogramas
Phantoms matemaacuteticos ou imagens de teste satildeo frequentemente utilizados para
avaliar a precisatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo Satildeo descritos precisamente por funccedilotildees
matemaacuteticas e suas transformadas de Radon simulam as projeccedilotildees tomograacuteficas Seus pixels satildeo as
regiotildees discretizadas e seus valores ou cores representam as densidades ou coeficientes de
atenuaccedilatildeo linear A imagem de teste (phantom) mais conhecida em reconstruccedilatildeo tomograacutefica eacute o
1 O termo instantacircneo aqui utilizado negligencia o tempo de aquisiccedilatildeo para as contagens de intensidade de radiaccedilatildeo devido ao seu baixo valor deacutecimos de segundo
29
phantom de Sheep ndash Logan Figura 7
Para calcular a projeccedilatildeo simulada somam-se os produtos das distacircncias percorridas
pelo raio em cada pixel pelo seu valor Paracircmetros do experimento tomograacutefico que se deseja
simular como a aacuterea a ser varrida densidades reais adiccedilatildeo de ruiacutedo e fotos da secccedilatildeo do objeto
podem ser incorporadas para dar mais realidade ao modelo (SUBBARAO PMV et al 1997) O
ruiacutedo obedece ao desvio padratildeo de Poisson (IAEA-TECDOC-1589 2008)
A secccedilatildeo irradiada eacute representada por uma matriz de incoacutegnitas que representam a
distribuiccedilatildeo de densidades que se deseja descobrir As incoacutegnitas satildeo os pixels da imagem
reconstruiacuteda como ilustrado na Figura 8
Nessa representaccedilatildeo um raio corresponde a uma faixa com largura que na maioria
das vezes coincide com a largura de um pixel
Figura 7 Phantom de Sheep-Logan
50 100 150 200 250
50
100
150
200
2500
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
30
Parametrizando os pixels com j variando de 1 a N e os raios com i de 1 a M podemos
escrever a transformada de Radon ao longo do raio i como
(19)
onde eacute o peso que diz o percentual de contribuiccedilatildeo de um pixel j para o raio i definido como
(20)
Uma boa aproximaccedilatildeo eacute o modelo em que a largura do feixe eacute reduzida a uma linha
reta fazendo a distacircncia percorrida por este feixe dentro do pixel
Para calcular a intensidade final para uma projeccedilatildeo i faz-se
31
(21)
Com calculado da figura e de meacutedia fixa variando a cada projeccedilatildeo
com o desvio padratildeo de Poisson para todas as projeccedilotildees
O sinograma simulado eacute construiacutedo fazendo cada elemento de sua matriz igual a
27 Fluidodinacircmica Computacional - CFD
Fluidodinacircmica computacional (Computational Fluid Dynamics - CFD) eacute o termo
dado ao grupo de teacutecnicas matemaacuteticas numeacutericas e computacionais usadas para obter visualizar e
interpretar soluccedilotildees para as equaccedilotildees de conservaccedilatildeo de grandezas fiacutesicas de interesse em um dado
escoamento A origem destas equaccedilotildees de conservaccedilatildeo eacute a teoria de Fenocircmenos de Transporte
Assim pode-se resumir CFD como o conjunto das teacutecnicas de simulaccedilatildeo computacional usadas
para predizer os fenocircmenos fiacutesicos ou fiacutesico-quiacutemicos que ocorrem em escoamentos
A Fluidodinacircmica computacional eacute uma aacuterea de grande interesse para a soluccedilatildeo de
muitos problemas praacuteticos Como exemplo podem ser citados problemas de aerodinacircmica
termodinacircmica hidraacuteulica dentre outros As anaacutelises nesta aacuterea de pesquisa podem ser
desenvolvidas com base em experimentos bem como em meacutetodos teoacutericos Dentro dos meacutetodos
teoacutericos destacam-se os meacutetodos computacionais utilizados para simulaccedilatildeo numeacuterica aplicada agrave
Dinacircmica dos Fluidos (HERCKERT M G R)
Para os escoamentos de fluidos o modelo matemaacutetico eacute estabelecido com base nas
equaccedilotildees de conservaccedilatildeo da quantidade de movimento da massa e da energia Estas equaccedilotildees
quando submetidas a condiccedilotildees de contorno e iniciais apropriadas representam matematicamente
um problema particular (SHAMES I H 1973) A soluccedilatildeo analiacutetica destas equaccedilotildees somente eacute
possiacutevel para escoamentos muito simples Para se analisar problemas reais lanccedila-se matildeo do uso dos
chamados meacutetodos numeacutericos
Nos casos de escoamentos laminares os modelos satildeo relativamente simples pois as
32
equaccedilotildees de Navier-Stokes2 conservaccedilatildeo da massa e conservaccedilatildeo de energia satildeo resolvidas
Contudo como a maioria dos escoamentos que acontecem na natureza e no meio industrial satildeo
turbulentos estes tem um alto grau de complexidade e portanto deve-se lanccedilar matildeo de modelos
matemaacuteticos de turbulecircncia acrescentando termos as equaccedilotildees anteriormente citadas Os modelos
de turbulecircncia levam em conta variaacuteveis estatiacutesticas pois escoamentos turbulentos satildeo altamente
caoacuteticos e com isto haacute a necessidade de ferramentas estatiacutesticas para representar os escoamentos
turbulentos
A Figura 9 mostra campos de velocidade e distribuiccedilatildeo de soacutelido dentro do riser com
o regime de fluxo feito por CFD (ARMSTRONG L M 2010) Uma uacutenica velocidade de injeccedilatildeo e
diferentes alturas ao longo do riser Outros exemplos satildeo ilustrados nas Figuras 10 e 11
2 satildeo equaccedilotildees diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos Permitem determinar os
campos de velocidade e de pressatildeo num escoamento
Figura 9 Distribuiccedilatildeo de velocidades e defraccedilatildeo de soacutelido para diferentes alturas
33
28 Tempo de Aquisiccedilatildeo ou Integraccedilatildeo
Detectores de radiaccedilatildeo precisam sempre de um certo tempo (tempo de integraccedilatildeo)
para obter sinal razoaacutevel dos foacutetons incidentes Isto eacute devido agrave estatiacutestica de Poisson que regula o
processo de contagem de foacutetons e pode aumentar consideravelmente a incerteza do sinal detectado
no caso de um tempo de integraccedilatildeo baixo No domiacutenio da frequecircncia a mediccedilatildeo de sinal com um
tempo de integraccedilatildeo eacute aproximadamente equivalente a multiplicar o sinal original por um filtro
passa - baixa Quando uma amostra estaacute em repouso no interior do tomoacutegrafo eacute vantajosa a
utilizaccedilatildeo de um tempo de integraccedilatildeo alto para rejeitar ruiacutedo de alta frequecircncia Para a escolha do
tempo de integraccedilatildeo ideal deve-se estabelecer um equiliacutebrio entre a velocidade da amostra e o ruiacutedo
Poisson (MAAD 2009)
29 Sistema de cores RGB
RGB eacute a abreviatura do sistema de cores aditivas formado por Vermelho (Red)
Verde (Green) e Azul (Blue) O propoacutesito principal do sistema RGB eacute a reproduccedilatildeo de cores em
dispositivos eletrocircnicos como monitores de TV e computador datashows scanners e cacircmeras
digitais assim como na fotografia tradicional Em contraposiccedilatildeo impressoras utilizam o modelo
Figura 11 Visatildeo 3D de uma distribuiccedilatildeo de fraccedilatildeode soacutelido feito por CFD
Figura 10 Secccedilatildeo comdistribuiccedilatildeo de soacutelido que
seraacute utilizada como PhantomMatemaacutetico
34
CMYK de cores subtrativas Modelos aditivos de luzes satildeo combinados de vaacuterias maneiras para
reproduzir outras cores
O modelo de cores RGB eacute baseado na teoria de visatildeo colorida tricromaacutetica de
Young-Helmholtz e no triacircngulo de cores de Maxwell O uso do modelo RGB como padratildeo para
apresentaccedilatildeo de cores na Internet tem suas raiacutezes nos padrotildees de cores de televisotildees RCA de 1953 e
no uso do padratildeo RGB nas cacircmeras LandPolaroid poacutes Edwin Land
Estas trecircs cores natildeo devem ser confundidas com os pigmentos primaacuterios Ciano
Magenta e Amarelo conhecidos no mundo das artes como ldquocores primaacuteriasrdquo jaacute que se combinam
baseadas na reflexatildeo e absorccedilatildeo de foacutetons visto que o RGB depende da emissatildeo de foacutetons de um
componente excitado a um estado de energia mais elevado (fonte emissora por exemplo o tubo de
raios catoacutedicos)
O modelo de cores RGB por si soacute natildeo define o que significa ldquovermelhordquo ldquoverderdquo ou ldquoazulrdquo
(espectroscopicamente) e entatildeo os resultados de misturaacute-los natildeo satildeo tatildeo exatos (e sim relativos na
meacutedia da percepccedilatildeo do olho humano)
Uma cor no modelo de cores RGB pode ser descrita pela indicaccedilatildeo da quantidade de
vermelho verde e azul que conteacutem Cada uma pode variar entre o miacutenimo (completamente escuro)
e maacuteximo (completamente intenso) Quando todas as cores estatildeo no miacutenimo o resultado eacute preto Se
todas estatildeo no maacuteximo o resultado eacute branco (GONZALES 2014)
Uma das representaccedilotildees mais usuais para as cores eacute a utilizaccedilatildeo da escala de 0 agrave 255
bastante encontrada na computaccedilatildeo pela conveniecircncia de se guardar cada valor de cor em 1 byte (8
bits) Assim o vermelho completamente intenso eacute representado por 255 0 0
Branco - RGB (255 255 255) Azul - RGB (0 0 255) Vermelho - RGB (255 0 0)
Verde - RGB (0 255 0)Amarelo - RGB (2552550)Magenta - RGB (2550255)
Ciano - RGB (0 255 255) Preto - RGB (0 0 0)
35
As cores satildeo complementares agraves do sistema CMYK - Ciano (Cyan) Magenta
(Magenta) Amarelo (Yellow) e Preto (blacKKey) - e a sua mistura forma a cor branca
210 MCNP
O meacutetodo Monte Carlo eacute um algoritmo numeacuterico capaz de resolver problemas fiacutesicos e
matemaacuteticos por meio de simulaccedilatildeo de variaacuteveis aleatoacuterias (SOBOL 1994 BIELAJEW 1998)
Hoje em dia o MCNP eacute uma ferramenta matemaacutetica comumente utilizada em diversos segmentos
da ciecircncia e da engenharia para simular problemas que podem ser representados por processos
estocaacutesticos Simulaccedilotildees do transporte de radiaccedilatildeo por meio deste meacutetodo e em particular na Fiacutesica
Meacutedica tecircm passado por um raacutepido crescimento nas uacuteltimas deacutecadas (YORIYAZ 2009)
O processo Monte Carlo pode ser compreendido como um meacutetodo de geraccedilatildeo de nuacutemeros
aleatoacuterios (ROBERT amp CASELLA 2004) Um gerador uniforme de nuacutemeros pseudoaleatoacuterios eacute
um algoritmo que comeccedilando com um valor inicial e uma transformaccedilatildeo produz uma sequecircncia de
valores no intervalo [0 1] tendo esta sequecircncia um comportamento de uma variaacutevel aleatoacuteria
uniforme quando comparada com um conjunto de testes aleacutem de ser independente e identicamente
distribuiacuteda (ROBERT amp CASELLA 2004) Em termos de transporte de radiaccedilatildeo o processo
estocaacutestico pode ser visto como uma famiacutelia de partiacuteculas cujas coordenadas individuais soacute mudam
aleatoriamente em cada colisatildeo O comportamento meacutedio dessas partiacuteculas eacute descrito em termos de
Figura 12Sistema RGB
36
grandezas macroscoacutepicas como fluxo ou densidade de partiacuteculas (YORIYAZ 2009)
O Monte Carlo N Particle ndash MCNP - foi criado desde a deacutecada de 50 nos Estados
Unidos sendo desenvolvido por meio do laboratoacuterio Los Alamos National Laboratory O MCNP
continua ateacute hoje sendo aperfeiccediloado tornando-se assim mais confiaacutevel e usado por muitos
pesquisadores no mundo inteiro Eacute um coacutedigo que realiza o transporte de partiacuteculas utilizando o
meacutetodo Monte Carlo com capacidade para simular necircutrons com energias entre 10-11 MeV a 20
MeV enquanto que a faixa de energia para os foacutetons e eleacutetrons vai de 1 keV a 1000 MeV
(BRIESMEISTER 2000) O coacutedigo MCNP tem a capacidade de simular sistemas com geometrias
que vatildeo de superfiacutecies preacute-determinadas como esferas planos paraboloacuteides de revoluccedilatildeo cilindros
elipsoacuteides ateacute superfiacutecies bem elaboradas utilizando conjunto de pontos no espaccedilo
O pesquisador ao utilizar o MCNP constroacutei um arquivo de entrada no coacutedigo que
pode ser organizado em blocos descrevendo regiotildees envolvidas no modelo especificaccedilatildeo da
geometria por meio de superfiacutecies geomeacutetricas e suas intersecccedilotildees posiccedilatildeo e distribuiccedilatildeo energeacutetica
da fonte descriccedilatildeo dos materiais e todos os paracircmetros fiacutesicos agregados com algumas teacutecnicas de
reduccedilatildeo de variacircncia para melhorar a eficiecircncia e obter melhores resultados (BRIESMEISTER
2000) A versatilidade somado ao aspecto funcional do coacutedigo MCNP para diferentes tipos de
problemas faz com que este seja bem aceito na comunidade cientiacutefica que trabalham com transporte
de radiaccedilotildees e caacutelculos de dose
37
3 METODOLOGIA
Para descobrir ateacute onde processos tomograacuteficos de baixa resoluccedilatildeo temporal aliados
a algoritmos de reconstruccedilatildeo estaacutetica satildeo compatiacuteveis com o regime em estudo foram avaliadas
aquisiccedilotildees simuladas de 1ordf 3ordf e 5ordf geraccedilotildees tomograacuteficas A variaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo de densidades
durante a aquisiccedilatildeo faz necessaacuterio o desenvolvimento de uma versatildeo da lei de Beer-Lambert para
casos dinacircmicos seguida de sua aplicaccedilatildeo para realizar as simulaccedilotildees O meacutetodo eacute separado em duas
fases
1ordf Fase
A metodologia desenvolvida aplica primeiro o modelo de simulaccedilatildeo de sinogramas
desenvolvida analiticamente agrave primitivas matemaacuteticas e posteriormente a dados do MCNPX e CFD
1) Eacute criado um modelo de simulaccedilatildeo de sinogramas para distribuiccedilotildees
dinacircmicas utilizando a versatildeo temporal desenvolvida da lei de Beer-Lambert e da transformada de
Radon tambeacutem temporal
2) A simulaccedilatildeo eacute testada com primitivas matemaacuteticas dinacircmicas como um
ciacuterculo crescente ou transladando ou ambos A escolha eacute pautada em sua representaccedilatildeo precisa por
funccedilotildees matemaacuteticas e por representar diversos processos industriais(A simulaccedilatildeo com o disco
representa a secccedilatildeo de um cilindro ou bolha)
3) Os resultados satildeo apresentados em forma de imagens e graacuteficos A
visualizaccedilatildeo do sinograma eacute bastante utilizada para determinaccedilatildeo de caracteriacutesticas do objeto
4) O modelo de simulaccedilatildeo eacute ao aplicado a dados do CFD
2ordf Fase
O meacutetodo desenvolvido propotildee uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens
tomograacuteficas de processos dinacircmicos pois utiliza canais de cores para mostrar a evoluccedilatildeo temporal
do processo O algoriacutetmo de reconstruccedilatildeo utilizado eacute o MART devido a sua boa performance com
nuacutemero limitado de dados
Nesta fase eacute realizada a reconstruccedilatildeo tradicional que eacute associada aos canais verde (G)
e azul (B) enquanto que o canal vermelho (R) fica responsaacutevel pela evoluccedilatildeo temporal do processo
O meacutetodo eacute descrito na seccedilatildeo 33
38
A reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento eacute utilizada com conhecimento do vetor
deslocamento meacutedio ou sua estimativa O meacutetodo escolhido modifica a matriz de pesos do
algoritmo algeacutebrico deslocando suas colunas de acordo com o modelo de movimento estimado
(ARTEMIEV V M NAUMOV A O 2006) (BUTALA 2009) (DESBAT L et al 2006)
Com o resultado das simulaccedilotildees o sistema tomograacutefico pode ser otimizado
(diminuiccedilatildeo do nuacutemero de projeccedilotildees e vistas)
31 A Transformada de Radon Temporal
regiatildeo (espaccedilo de medida) na qual seraacute feita a aquisiccedilatildeo de dados
considere a funccedilatildeo densidade onde
Neste sistema um ponto pode ser
mapeado por como
complemento unitaacuterio perpendicular a
ao longo da reta eacute dada por
(22)
39
depende natildeo apenas de x e y mas de com sendo a
variaacutevel tempo Definimos entatildeo
(23)
onde e o tempo final da mesma medida
Lema 1 ou seja se eacute
estaacutetico ao longo do tempo a transformada dinacircmica reduz-se a convencional
Demostraccedilatildeo
Figura 13 Sistema de Coordenadas
θ
x
y
ξξ
s
x (xy
)
40
Lema 2 e portanto se a
leitura for ldquoraacutepidardquo o caso dinacircmico mais uma vez reduz-se ao caso estaacutetico
Demostraccedilatildeo
Pelo teorema do valor meacutedio integral (TVMI) temos que se f eacute contiacutenua entatildeo
para algum tal que
usando o TVMI
K(γ)
41
32 Lei de Beer-Lambert temporal
Como a natureza da lei exige que os tempos de contagens sejam iguais para que estas
sejam comparadas apenas a variaccedilatildeo da intensidade da radiaccedilatildeo com a distacircncia eacute geralmente
explorada Sabendo que esses intervalos de tempo de contagem satildeo despreziacuteveis em relaccedilatildeo ao
tempo de meia vida da fonte e que a probabilidade de emissatildeo se manteacutem constante ao longo do
mesmo tempo pode-se supor que a intensidade seja diretamente proporcional ao tempo Ou seja
(24)
Neste caso a distribuiccedilatildeo de coeficientes de atenuaccedilotildees varia tambeacutem com o tempo
ou seja torna-se
(25)
ou
(26)
O modelo discreto aplica a lei de Beer-Lambert em sua forma estaacutetica para cada
particcedilatildeo de tempo assumindo que durante o infinitesimal de tempo o coeficiente e a distacircncia
percorrida permanecem constantes
(27)
42
(28)
33 Simulaccedilatildeo de aquisiccedilotildees Tomograacuteficas
O processo de aquisiccedilatildeo tomograacutefica consiste em coletar intensidades iniciais e finais
em determinados caminhos percorridos pelos feixes de radiaccedilatildeo Os dados podem ser tratados com
filtros etc Optou-se em natildeo realizar tratamento para natildeo inserir mais variaacuteveis ao processo
garantindo que os resultados sejam alcanccedilados soacute pelo meacutetodo proposto
Como jaacute foi dito na seccedilatildeo 26 para calcular a intensidade final para um caminho i
faz-se
(29)
A funccedilatildeo eacute representada pelas imagens de testes chamadas neste trabalho de
quadros ou frames configurados pela distribuiccedilatildeo de densidades escolhida Em todos os casos
optou-se por densidades unitaacuterias para qualquer distribuiccedilatildeo ou seja dois valores satildeo possiacuteveis em
uma imagem de teste 0 ou 1 Um pixel com valor 0 corresponde a uma regiatildeo sem atenuaccedilatildeo e os
pixels que compotildeem o objeto simulado tem valor 1
Com calculado da figura e de meacutedia fixa variando a cada projeccedilatildeo
com o desvio padratildeo de Poisson para todas as projeccedilotildees as projeccedilotildees satildeo calculadas com
O conjunto de todas as projeccedilotildees eacute ordenado em uma matriz chamada de sinograma
331 Aquisiccedilatildeo por Tomografia de 1ordf Geraccedilatildeo
Dois tipos de situaccedilotildees podem ocorrer
1) Uma uacutenica projeccedilatildeo 1D eacute realizada e durante todo o tempo de integraccedilatildeo nenhuma
mudanccedila ocorre na distribuiccedilatildeo ao longo do raio podendo mais de uma aquisiccedilatildeo 1D ser aferida
para mesma distribuiccedilatildeo ou frame Neste caso a intensidade final eacute calculada utilizando a lei de
43
Beer-Lambert durante todo o tempo de integraccedilatildeo para cada raio como ilustrado na Figura 15
Para calcular a intensidade final para uma projeccedilatildeo i faz-se
(30)
2) Durante a aquisiccedilatildeo ocorre mudanccedila na distribuiccedilatildeo de densidades ao longo do
feixe Como foi exposto na seccedilatildeo 31 o somatoacuterio de intensidades finais do raio em cada quadro
(frame) retorna a intensidade final total para um certo tempo de aquisiccedilatildeo Figura 16
Figura 15 Projeccedilotildees 1D sem mudanccedila de frame
44
Entatildeo para cada frame eacute feita
e para a discretizaccedilatildeo de um intervalo de tempo
No exemplo ilustrado na Figura 16 a intensidade final depois do tempo de integraccedilatildeo
correspondente ao frame b fica
3) Natildeo ocorre mudanccedila na distribuiccedilatildeo durante toda a coleta de aquisiccedilotildees 1D em uma vista
4) Natildeo ocorre mudanccedila durante a aquisiccedilatildeo de todas as vistas Neste caso a distribuiccedilatildeo pode
ser tratada como estaacutetica
Figura 16 Projeccedilotildees 1D com mudanccedila de frame
1ordf aquisiccedilatildeo - Quadro a 1ordf aquisiccedilatildeo - Quadro b
45
332 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 3ordf geraccedilatildeo
A vantagem do meacutetodo eacute adquirir vaacuterias projeccedilotildees 1D ao mesmo tempo
Possibilitando um maior volume de dados em um tempo menor quando comparado ao de 1ordf
geraccedilatildeo Dois casos satildeo possiacuteveis
1) O tempo de integraccedilatildeo eacute suficiente para realizar uma vista completa ou mais por
quadro ou frame Figura 17
Figura 17 Mais de uma vista por frame
46
2) Mais de um quadro por vista Figura 18
333 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 5ordf geraccedilatildeo
Nesta situaccedilatildeo vaacuterias vistas satildeo adquiridas durante a mudanccedila da distribuiccedilatildeo Figura 19
Figura 19 Mais de um frame durante a aquisiccedilatildeo
Figura 18 Mais de um frame por vista
47
34 Posicionamento angular
O posicionamento angular tradicionalmente eacute feito com um conjunto de acircngulos
igualmente espaccedilados ordenados de forma crescente cobrindo o intervalo de 0ordm a 180ordm ou 360ordm A
ordem em que as projeccedilotildees ou vistas satildeo adquiridas natildeo importa porque o objeto em estudo eacute
estaacutetico
A proposta para tomografia dinacircmica de 1ordf e 3ordf geraccedilotildees eacute que o posicionamento seja
feito em subconjuntos que completem um ciclo Por exemplo o conjunto de vistas posicionadas
consecutivamente em 0ordm 45ordm 90ordm 135ordm 180ordm 225ordm 270ordm 315ordm pode ser reordenada em ciclos como
0ordm 90ordm 180ordm 270ordm Primeiro ciclo
45ordm 135ordm 225ordm 315ordm Segundo ciclo
A vantagem desse arranjo eacute que num determinado momento ao se preferir um
sinograma completo mas esparso em contraposiccedilatildeo a um sinograma incompleto mas denso eacute que as
informaccedilotildees vatildeo ser disponibilizadas na forma de imagem reconstruiacuteda mais cedo durante o
processo facilitando a interpretaccedilatildeo das informaccedilotildees Eacute uma escolha entre anaacutelise global esparsa
versus anaacutelise local densa
A nova ordenaccedilatildeo gera uma imagem reconstruiacuteda mais proacutexima do objeto dinacircmico e
abre a possibilidade de reconstruccedilotildees parciais com os subconjuntos de dados mais consistentes com
a dinacircmica do processo
35 Utilizaccedilatildeo de um canal de cores para visualizar a dinacircmica do processo Reconstruccedilatildeo RGB
Uma caracteriacutestica da imagem reconstruiacuteda tradicionalmente em processos
industriais dinacircmicos eacute a falta de informaccedilatildeo temporal ou seja obtecircm-se informaccedilotildees da meacutedia da
distribuiccedilatildeo mas natildeo se sabe em que tempo ocorreram as mudanccedilas de padratildeo de fluxo A proposta
desenvolvida neste trabalho pondera cada perfil adquirido com um fator dependente do tempo
criando esta distinccedilatildeo
O meacutetodo desenvolvido propotildee uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens
tomograacuteficas de processos dinacircmicos pois utiliza canais de cores para mostrar a evoluccedilatildeo temporal
do processo Nesta fase eacute realizada a reconstruccedilatildeo tradicional e a mesma eacute associada aos canais
verde (G) e azul (B) enquanto que ao canal vermelho (R) eacute associada a evoluccedilatildeo temporal do
processo Uma cor no modelo de cores RGB pode ser descrita pela indicaccedilatildeo da quantidade de
48
vermelho verde e azul que conteacutem Cada uma pode variar entre o miacutenimo (completamente escuro)
e maacuteximo (completamente intenso) Quando todas as cores estatildeo no miacutenimo o resultado eacute preto Se
todas estatildeo no maacuteximo o resultado eacute branco Uma das representaccedilotildees mais usuais para os canais eacute a
utilizaccedilatildeo da escala de 0 agrave 255 (GONZALES 2014)
O meacutetodo consiste em
1) Simular as projeccedilotildees que equivalem na utilizaccedilatildeo real de um experimento agrave
coleta de dados de intensidades finais e iniciais pelo detetor
2) Reconstruir com esses dados a distribuiccedilatildeo de densidades Foi utilizado o MART
com relaxaccedilatildeo 02 e criteacuterio de parada 1
3) Associar esta reconstruccedilatildeo aos canais G e B
4) Binarizar a imagem reconstruiacuteda entre 0 e 150 O limiar (threshold) utilizado foi
empiacuterico e de 50 do maior valor da imagem
5) Penalizar as projeccedilotildees da primeira agrave uacuteltima com um fator empiacuterico crescente com
o tempo Normalizar as projeccedilotildees de cada vista por 105
6) Realizar a retroprojeccedilatildeo nos pixels com suas respectivas projeccedilotildees
7) Associar ao canal R
8) Juntar todos os canais em uma uacutenica imagem A reconstruccedilatildeo tradicional e a
reconstruccedilatildeo RGB satildeo visualizadas em uma uacutenica imagem onde os tons de vermelho correspondem
agrave evoluccedilatildeo temporal da dinacircmica do processo
36 Reconstruccedilatildeo utilizando dados do CFD
Dados da simulaccedilatildeo de fluxo bifaacutesico satildeo gerados em forma de imagens 2D da distribuiccedilatildeo
em secccedilotildees transversais ao longo do tubo Os dados satildeo coletados para uma uacutenica altura ou seja
secccedilatildeo As diversas imagens de uma uacutenica secccedilatildeo representam a evoluccedilatildeo temporal do fluxo
naquela regiatildeo O conjunto de 8 imagens exemplificam o comportamento do fluxo em intervalos
de tempo de 00025s
A altura da secccedilatildeo em m o tipo de injetor a vazatildeo volumeacutetrica em Lmim e o fluxo de
catalisador satildeo dados de entrada na simulaccedilatildeo do CFD mas natildeo fazem parte das simulaccedilotildees de
aquisiccedilotildees tomograacuteficas utilizadas nesse estudo As imagens portam as informaccedilotildees que seratildeo
utilizadas nas simulaccedilotildees de aquisiccedilatildeo das projeccedilotildees
49
37 Avaliaccedilatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo com RMSE
As teacutecnicas de avaliaccedilatildeo de algoritmos de reconstruccedilatildeo mais utilizadas na literatura
satildeo raiz do erro quadraacutetico meacutedio erro meacutedio relativo absoluto e erros baseados em entropia Para
o caso de simulaccedilotildees com figuras de testes bem definidas (phantoms matemaacuteticos) as teacutecnicas
podem ser aplicadas comparando a imagem reconstruiacuteda com a imagem original O mesmo
procedimento repete-se para phantoms reais onde a distribuiccedilatildeo de densidades eacute bem conhecida Os
sinogramas tambeacutem podem ser avaliados
Gordon e Herman (GORDON 1974 HERMAN 1973 HERMAN 1976) usaram a
raiz do erro quadraacutetico meacutedio para avaliar o quanto a figura reconstruiacuteda aproxima-se da original A
definiccedilatildeo do erro eacute
(31)
Onde
eacute o valor original do pixel
o pixel reconstruiacutedo
o nuacutemero total de pixels da imagem ou sinograma
50
38 Algoritmos e Software Desenvolvidos
Diversas rotinas foram implementadas no Matlab Suas funccedilotildees satildeo para calculo de
projeccedilotildees sinogramas resoluccedilatildeo por ART MART calculo da Matriz de pesos resoluccedilatildeo de
sistemas Aleacutem das jaacute disponiacuteveis no programa como Resoluccedilatildeo por FBP filtros de imagem
operaccedilatildeo com matrizes visualizaccedilatildeo de graacuteficos etc As rotinas estatildeo disponiacuteveis no Anexo-I
Devido agrave grande dimensatildeo da matriz de pesos nos algoritmos algeacutebricos ficou
inviaacutevel sua operaccedilatildeo em alguns casos no Matlab O software Tomography Workstation-TW foi
desenvolvido em C com este propoacutesito Apresenta opccedilotildees de reconstruccedilatildeo ART MART SIRT e
SART Figura 39 Tambeacutem tem as funccedilotildees para carregar tomogramas e sinogramas
Figura 20 Software Desenvolvido
51
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO
Os resultados foram divididos nas seguintes seccedilotildees
bull Aumento do nuacutemero de iteraccedilotildees na Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica Dinacircmica
bull Resultados das reconstruccedilotildees MART e FBP
bull Escolha do posicionamento angular (vistas alternadas)
bull Resultados com reconstruccedilatildeo RGB
bull Simulaccedilotildees com MCNP
bull Reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento
bull Simulaccedilotildees tomograacuteficas a partir do CFD
41 Resultados das Reconstruccedilotildees MART e FBP
As imagens de teste (phantoms) foram utilizadas para avaliar os resultados das
reconstruccedilotildees MART e FBP
411 Primitiva Ciacuterculo Transladando 1 vista por frame
A simulaccedilatildeo consiste em oito distribuiccedilotildees representadas por imagens (quadros ou
frames) de 64x64 pixels com um disco de densidade unitaacuteria e raio fixo Natildeo ocorre mudanccedila
durante a simulaccedilatildeo de uma aquisiccedilatildeo ou varredura Esta aplicaccedilatildeo simula as tomografias de 1ordf e 3ordf
geraccedilatildeo
O disco Raio = 2 pixels deslocamento de 7 pixels entre os centros dos discos de
quadros consecutivos A imagem eacute reconstruiacuteda por FBP e MART
Os frames satildeo ilustrados na Figura 21 e a meacutedia dos oito na Figura 22 Cada imagem
eacute ilustrada na escala de 64 x 64 pixels
52
Figura 21 8 frames - ciacuterculo transladando - 1 vista por frame
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 22 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
53
Os oito picos do sinograma Figura 23 ilustram a captura do disco em diferentes
posiccedilotildees
A Figura 24 ilustra o sinograma em forma de imagem onde cada valor de pixel eacute
convertido para uma escala de cor O eixo vertical (linhas do sinograma) representa a passo linear
(posiccedilatildeo das trajetoacuterias dos feixes) e o horizontal o passo angular (Nuacutemero de vistas)
Figura 23 Tomograma e sinograma ndash circulo transladando ndash 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
05
1
15
2
25
3
35
4
45
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 700
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
54
Os resultados das reconstruccedilotildees FBP e MART satildeo ilustrados na Figura 25
A reconstruccedilatildeo por FBP mostra diversos artefatos natildeo dando para identificar o
nuacutecleo nem a tendecircncia de movimento Os artefatos formam oito faixas um para cada vista ou
projeccedilatildeo Estes artefatos em faixa satildeo comuns no FBP para um baixo nuacutemero de vistas
O MART difere da imagem meacutedia mostrando um arqueamento para direita devido ao
movimento simulado e o sentido anti-horaacuterio das aquisiccedilotildees Eacute um artefato de movimento
Figura 25 Reconstruccedilotildees circulo transladando ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Figura 24 Sinogramascirculo transladando ndash 1 vista por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
55
412 Primitiva Ciacuterculo Transladando Oito vistas por frame
O objetivo desta simulaccedilatildeo eacute descobrir como se comportam os algoritmos em uma
tomografia de 5ordf geraccedilatildeo onde todas as aquisiccedilotildees satildeo realizadas ao mesmo tempo Nesta situaccedilatildeo
as oito vistas satildeo realizadas simultaneamente enquanto ocorre a mudanccedila das distribuiccedilotildees (Figura
19) Figuras com 64x64 pixels raio fixo de 2 pixels deslocamento de 5 pixels
Figura 26 Tomograma e Sinograma - disco transladando - 8 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
05
1
15
2
25
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 7001
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
56
Os resultados das reconstruccedilotildees satildeo ilustrados na Figura 28
As reconstruccedilotildees ficam mais proacuteximas da imagem meacutedia porque todas as vistas satildeo
adquiridas ao mesmo tempo durante todo o processo O FBP perde a definiccedilatildeo dos discos e forma
um artefato central vertical O MART reconstroacutei o disco nas oito posiccedilotildees Cada disco eacute
reconstruiacutedo ilustrando os oito instantes de tempo que foram simulados
Figura 27 Sinogramas CiacuterculoTransladando -Oito vistas por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Figura 28 Reconstruccedilotildees Ciacuterculo Transladando -Oito vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
57
413 Primitiva Circulo Crescente Uma vista por frame
A simulaccedilatildeo consiste em oito distribuiccedilotildees em forma de ciacuterculo concecircntricas com um
aumento 2 pixels entre distribuiccedilotildees consecutivas (Figura 29) Oito vistas satildeo adquiridas
simultaneamente para simular a tomografia de 5ordf geraccedilatildeo
Abaixo a imagem meacutedia aritmeacutetica das oito distribuiccedilotildees eacute ilustrada na Figura 29 A
aacuterea central eacute mais escura porque eacute coincidente para os oito ciacuterculos
Figura 30 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Figura 29 8 frames - circulo crescente - 1 vista por frame
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
58
Tanto o sinograma quanto o tomograma ilustram o crescimento do disco Figura
411
Figura 31 Tomograma e sinograma - ciacuterculo crescente - 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 700
10
20
30
40
50
60
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
59
O sinograma em forma de imagem eacute mostrado abaixo (Figura 32)
O aumento vertical das faixas eacute devido ao crescimento do disco
As duas reconstruccedilotildees apresentam artefatos de rotaccedilatildeo que dificultam a identificaccedilatildeo
da tendecircncia de movimento ou da distribuiccedilatildeo espacial dos discos (Figura 33)
Figura 32 Imagem do sinograma -ciacuterculo crescente - 1 vista por frame
Sinograma
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
Figura 33 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
60
414 Primitiva Circulo Crescente Oito vistas por frame
Neste caso ocorre mudanccedila de frame com a vista Para cada distribuiccedilatildeo tem-se uma
vista diferente Figura 34
Figura 34 Tomograma e sinograma - circulo crescente - 8 vista por frame
29 30 31 32 33 340
05
1
15
2
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3701
02
03
04
05
06
07
08
09
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
61
A posiccedilatildeo central que eacute comum a todos os frames eacute reconstruiacuteda nos dois casos O
FBP mostra a presenccedila de artefatos de Moireacute (Figura 36) O MART mostra poucos artefatos e
mostra uma regiatildeo borrada ao redor do ciacuterculo central indicando os discos maiores
Figura 35 Sinogramas circulo crescente ndash 8vistas por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Figura 36 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 8 vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
62
42 Vistas Alternadas
Alguns testes foram realizados para estudar o posicionamento angular quando
ordenado de forma sequencial e alternada O conjunto de vistas posicionadas consecutivamente em
0ordm 45ordm 90ordm 135ordm 180ordm 225ordm 270ordm 315ordm foram reordenadas em dois ciclos
0ordm 90ordm 180ordm 270ordm para o primeiro ciclo
45ordm 135ordm 225ordm 315ordm para o segundo ciclo
As seguintes situaccedilotildees foram exploradas
Disco transladando - 1 Vista por frame
Cada distribuiccedilatildeo (quadro) eacute capturado em um instante de tempo diferente Os
acircngulos utilizados em cada quadro satildeo apresentados na Tabela 1
Tabela 1 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 1 vista por frame
Quadro 1ordm 2ordm 3ordm 4ordm 5ordm 6ordm 7ordm 8ordm
Vista 0ordm 90ordm 180ordm 270ordm 45ordm 135ordm 225ordm 315ordm
Reconstruccedilotildees
Figura 37 Reconstruccedilotildees disco transladando - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
63
Dois ciclos satildeo suficientes para natildeo formaccedilatildeo do artefato de rotaccedilatildeo (arqueamento)
A reconstruccedilatildeo com vistas alternadas mostra-se mais coerente com a imagem meacutedia (Figura 37)
Disco transladando - 2 Vistas por frame
Com duas vistas por quadro totaliza-se quatro quadros A associaccedilatildeo eacute ilustrada na
Tabela 2
Tabela 2 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 2 vistas por frame
Quadro 1ordm 2ordm 3ordm 4ordm
Vista 0ordm e 45ordm 90ordm e 135ordm 180ordm e 225ordm 270ordm e 315ordm
A reconstruccedilatildeo encontra-se mais proacutexima da imagem meacutedia do que na situaccedilatildeo com
vista sucessivas (Figura 38)
Disco Transladando - 4 Vistas por frame
Apenas dois quadros satildeo suficientes Tabela 3
Tabela 3 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 4 vistas por frame
Quadro 1ordm 2ordm
Vista 0ordm 90ordm 180ordm e 270ordm 45ordm 135ordm 225ordm 315ordm
Figura 38 Reconstruccedilotildees disco transladando - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
64
Reconstruccedilotildees
Disco crescente - 1 Vista por frame
A configuraccedilatildeo das vistas eacute a mesma utilizada na Tabela 1 uma vista por frame
A reconstruccedilatildeo com vistas alternadas Figura 40 apresenta uma reduccedilatildeo nos artefatos
de rotaccedilatildeo mostrando uma distribuiccedilatildeo espacial mais proacutexima da imagem meacutedia (Figura 40)
Disco crescente - 2 Vistas por frame
A configuraccedilatildeo das vistas eacute mesma da Tabela-2
Figura 39 Reconstruccedilotildees disco transladando - 4 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Figura 40 Reconstruccedilotildees disco crescente - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
65
Com o aumento do nuacutemero de vistas a distribuiccedilatildeo torna-se mais central
aproximando-se da imagem meacutedia (Figura 41)
43 Resultados com RGB
As situaccedilotildees jaacute utilizadas nas seccedilotildees 41 e 42 satildeo testadas com visualizaccedilatildeo RGB
Para todos os casos a primeira reconstruccedilatildeo (MART) eacute realizada com matriz inicial de valores
unitaacuterios relaxaccedilatildeo 02 e nuacutemero de iteraccedilotildees definido pela convergecircncia de 05 e em seguida a
normalizada por 150
Os sinogramas satildeo ponderados pelo conjunto de fatores que variam de 01 a 09
linearmente espaccedilados Os valores foram escolhidos empiricamente
Em seguida eacute realizada a reconstruccedilatildeo com o sinograma jaacute ponderado e seus valores
normalizados no intervalo de 150 a 255
Figura 41 Reconstruccedilotildees disco crescente - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
66
bull Ciacuterculo transladando ndash 1 Vista por frame
Um disco para cada instante de tempo totalizando oito distribuiccedilotildees Figura 42
Para o ciacuterculo transladando verticalmente com 1 vista por frame temos um
clareamento na parte inferior da distribuiccedilatildeo indicando que esta regiatildeo traz informaccedilotildees mais
recentes (Figura 42)
A reconstruccedilatildeo com MART RGB por usar como base a distribuiccedilatildeo espacial da
reconstruccedilatildeo MART mostra o clareamento vermelho na parte inferior da figura indicando que
ocorreu movimento nesse sentido
bull Ciacuterculo transladando ndash 2 Vistas por frame
Satildeo quatro distribuiccedilotildees uma para cada instante de tempo configurando duas vistas
por frame
Figura 42 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 1 vista por frame
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
67
O clareamento do vermelho na reconstruccedilatildeo RGB indica que a parte inferior da
reconstruccedilatildeo corresponde ao uacuteltimo instante de tempo
bull Ciacuterculo transladando ndash 4 Vistas por frame
Quatro vistas por frame foram utilizadas na configuraccedilatildeo das proacuteximas trecircs situaccedilotildees
(Figura 44 Figura 45 Figura 46) O deslocamento para o disco vertical eacute utilizado com trecircs valores
distintos
A primeira situaccedilatildeo ilustra dois instantes de tempo com dois diacircmetros de distacircncia
entre os centros dos discos Figura 44
Figura 43 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
68
A proacutexima situaccedilatildeo eacute criada com 4 diacircmetros de distacircncia entre centros entre o
primeiro e segundo instantes de tempo Figura 45 Cada disco corresponde a distribuiccedilatildeo exata em
um instante
Figura 44 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 45 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
69
A terceira situaccedilatildeo visa estudar o comportamento da reconstruccedilatildeo proposta quando
haacute coincidecircncia em parte da distribuiccedilatildeo espacial Satildeo quatro instantes de tempo e uma distacircncia
com menos de um diacircmetro de distacircncia entre centros consecutivos Figura 46
bull Ciacuterculo crescente ndash duas vistas por frame
A simulaccedilatildeo totaliza 4 frames e oito vistas consecutivas Duas por frame
Apesar da situaccedilatildeo com ciacuterculo crescente e duas vistas por frame natildeo mostrar boa
reconstruccedilatildeo a imagem reconstruiacuteda difere bastante da original como jaacute mostrado na seccedilatildeo 413
tambeacutem mostra concordacircncia com os outros resultados RGB pois mostra uma regiatildeo central com
Figura 46 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 47 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo crescente - 2 vistas por frame
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
70
vermelho mais claro O clareamento deve-se a regiatildeo que eacute coincidente para todos os ciacuterculos
O problema que surge eacute que para esta situaccedilatildeo o clareamento para o vermelho criado
pela reconstruccedilatildeo RGB se confunde com a superposiccedilatildeo dos ciacuterculos da reconstruccedilatildeo tradicional
criado na regiatildeo central
44 Simulaccedilotildees com MCNPX
Os frames que anteriormente foram obtidos analiticamente com o objetivo de
encontrar as projeccedilotildees agora satildeo representados por cartotildees de entrada para o MCNPX A simulaccedilatildeo
gera como saiacuteda a intensidade relativa Foram criadas as situaccedilotildees jaacute expostas na seccedilatildeo 41 A
configuraccedilatildeo das simulaccedilotildees eacute
bull Objeto Cilindro Raio = 5cm Material Al = 000746 cm-1
bull Fonte 137Cs Atividade 5 mCi
bull Colimaccedilatildeo Pb fonte - detetor 5vmm
bull Nuacutemero de histoacuterias 100000
441 Circulo Transladando ndash 1vista por frame
Oito geometrias foram simuladas com o objetivo de encontras as projeccedilotildees
equivalentes as 8 vistas Cada vista captura o disco em um instante de tempo diferente totalizando
oito frames Na Figura 48 ilustra-se o disco (em amarelo) em diferentes posiccedilotildees com e as
respectivas a posiccedilotildees da fonte colimada indicando mudanccedila angular (em roxo e azul)
71
O meacutetodo retorna o (relaccedilatildeo entre Ifinal e o Iinicial) A matriz de intensidades relativas eacute
denominada tomograma e tem as suas colunas ordenadas por vista(Figura 49)
As projeccedilotildees satildeo encontradas fazendo e o conjunto de vistas
ordenadas em colunas eacute denominado sinograma(Figura 50)
Figura 49 Tomograma via MCNPX - 1 Vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 70
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma Por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 48 Geometria Circulo Transladando - 1 vista por frame
72
A apresentaccedilatildeo do sinograma em forma de imagem eacute ilustrada na Figura 51
Figura 50 Sinograma MCNPX - 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
1
2
3
4
5
6
Posicionamento Linear
Sinograma por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 51 Imagem de sinograma MCNPX -1 vista por frame
Sinograma MCNPX - 1 vista por frame
Vistas
Projeccedilotildees
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
73
As reconstruccedilotildees apresentaram-se similares as feitas analiticamente na seccedilatildeo 41
Formaccedilatildeo de oito artefatos em faixa no FBP e o arqueamento para esquerda indicando o sentido da
rotaccedilatildeo do tomoacutegrafo (Figura 52)
442 Circulo Transladando ndash 2 vistas por frame
Oito geometrias foram simuladas com mudanccedila no posicionamento angular apenas
quando o disco muda de posiccedilatildeo Duas vistas capturam o disco na mesma posiccedilatildeo A geometria
simulada no MCNPX eacute mostrada na Figura 53
Figura 53 Geometria circulo transladando - 2 vistas por frame
Figura 52 Reconstruccedilotildees MART e FBP ndash MCNPX ndash 1 vista por frame
FBP
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60 -06
-04
-02
0
02
04
MART
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
74
A simulaccedilatildeo retorna o seguinte tomograma Figura 54
Calculando as projeccedilotildees temos o sinograma ilustrado na Figura 55
Que visualizado em formato de imagem fica ilustrado na Figura 56
Figura 54 Tomograma MCNPX - 2 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 70
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma Por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 55 Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
1
2
3
4
5
6
Posicionamento Linear
Sinograma por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
75
As reconstruccedilotildees corresponderam as expectativas quando coincidem com as
reconstruccedilotildees simuladas analiticamente(Figura 57)
Figura 57 Reconstruccedilatildeo MART - MCNPX - 2 vistas por frameMART
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
FBP
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60 -04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
06
Figura 56 Imagem de sinograma MCNPX ndash 2vistas por frame
Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame
Vistas
Projeccedilotildees
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
76
45 Resultados com CFD
As condiccedilotildees da simulaccedilatildeo foram vazatildeo volumeacutetrica de ar eacute 500 Lmin e o fluxo de
catalisador eacute de180 kg(m2s-1) O tempo de processo foi de 10 segundos com passo de 00025
segundos
O local de leituras da fraccedilatildeo volumeacutetrica foi se encontra a uma altura de 0650
metros da base do riser feita a cada 00375 segundos durante o tempo de processo de fluidizaccedilatildeo
resultando em 268 imagens Seacuteries de oito a nove imagens da secccedilatildeo transversal satildeo utilizadas
Devido a alta resoluccedilatildeo das imagens vindas do CFD uma reduccedilatildeo foi realizada para
figuras com 64x64 pixels Figura 58
451 CFD-1 vista por frame
A sequecircncia de oito imagens em intervalos de tempos consecutivos eacute ilustrada na
Figura 59 e a imagem meacutedia na Figura 60
Figura 58 Reduccedilatildeo na resoluccedilatildeo 899x999 para 64x64
20 40 60
10
20
30
40
50
60
200 400 600 800
100
200
300
400
500
600
700
800
77
Figura 60 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
Figura 59 CFD - Frames 1 ao 8
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
78
Reconstruccedilotildees
As reconstruccedilotildees para uma vista por frame natildeo correspondem agrave realidade prevista
Figura 61 Sinogramas CFD ndash 1 vista por frame
Figura 62 Reconstruccedilotildees CFD ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo RGB
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Sinograma com Pesos
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo Mart Red
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
79
pelo CFD O pequeno nuacutemero de vistas aliado a complexidade da figura dificultam a reconstruccedilatildeo
452 CFD-8 vistas por frame
A sequecircncia de oito imagens em intervalos de tempo consecutivos eacute ilustrada na
Figura 63
A meacutedia das oito imagens Figura 63
O sinograma simulado e o mesmo ponderado satildeo mostrados na Figura 65
Figura 64 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
Figura 63 Frames 1 ao 8 CFD ndash 8 vistas por frame
80
As reconstruccedilotildees concordam com as distribuiccedilotildees quando apresentam maior
concentraccedilatildeo de soacutelido do lado direito da imagem A maior concentraccedilatildeo de pigmentaccedilatildeo vermelha
Figura 65 Sinogramas CFD - 8 vistas por frame
Figura 66 Reconstruccedilotildees CFD - 8 vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Sinograma com Pesos
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart Red
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
81
do lado direito da imagem reconstruiacuteda em RGB mostra que a distribuiccedilatildeo nesta regiatildeo eacute mais
recente O resultado tem concordacircncia com a mudanccedila de lado da distribuiccedilatildeo ao longo dos oito
frames
46 Reconstruccedilotildees com correccedilatildeo de movimento
Como a reconstruccedilatildeo com vistas alternadas eacute superior a tradicional com vistas
sucessivas utilizou-se para todas as simulaccedilotildees com correccedilatildeo de movimento o posicionamento
angular sucessivo O objetivo da escolha eacute verificar os resultados gerados soacute por correccedilatildeo da matriz
de pesos As simulaccedilotildees foram ordenadas de acordo com as situaccedilotildees jaacute exploradas e para um
instante de tempo especiacutefico
Abaixo (Figura 67 Figura 68) tem-se a configuraccedilatildeo de 4 vistas por frame
resultando em dois quadros cada um com o disco em uma posiccedilatildeo diferente A imagem tem 32x32
pixels e o deslocamento foi vertical de 5 pixels Como o nuacutemero de colunas da matriz de pesos eacute
definido pela resoluccedilatildeo da imagem o deslocamento na matriz de pesos corresponde ao vertical x
nuacutemero de elementos em uma linhaentatildeo 5 x 32 = 60 colunas para esquerda quando se quer
recuperar o primeiro instante e 60 colunas para direita no caso do segundo
Para o primeiro instante a correccedilatildeo mostra-se eficaz reconstruindo por completo a
distribuiccedilatildeo no primeiro instante de tempo Figura 67
A distribuiccedilatildeo no segundo instante eacute reconstruiacuteda com um pouco de ruiacutedo Figura 68
Figura 67 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempoImagem Meacutedia
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30Imagem Meacutedia
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
82
A situaccedilatildeo com translado horizontal eacute ilustrada na Figura 69 e Figura 70 A
reconstruccedilatildeo no primeiro instante de tempo mostra-se mais precisa Figura 69 Quatro vistas foram
utilizados por quadro com um deslocamento de 5 pixels entre eles O deslocamento de colunas eacute
realizado com o mesmo nuacutemero
Para o segundo instante Figura 70
A simulaccedilatildeo com duas vistas por frame resulta em quatro distribuiccedilotildees Figura 71
Figura 72 Figura 73 A imagem tem 64x64 pixels e o deslocamento foi vertical de 5 pixels
resultando em um deslocamento de 5 x 64 = 320 para as colunas
Figura 69 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Figura 70 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o segundo instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30
5
10
15
20
25
30
83
Para o primeiro instante de tempo temos
Para o segundo instante
Figura 71 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 72 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
20 40 60
10
20
30
40
50
60
84
e para o terceiro instante
O ruiacutedo aumenta
Ocorre o aparecimento de ruiacutedo nas reconstruccedilotildees com o aumento do tempo Este
efeito eacute devido a extrapolaccedilatildeo do deslocamento nos elementos proacuteximo as bordas da matriz de
pesos
Figura 73 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
85
5 CONCLUSOtildeES
As simulaccedilotildees analiacuteticas de primitivas matemaacuteticas foram validadas com ecircxito
quando comparadas com as mesmas realizadas por MCNPX As aquisiccedilotildees tomograacuteficas foram
simuladas mostrando a superioridade da tomografia de 5ordf geraccedilatildeo (8 vistas por frame) quando
comparada agrave de 3ordf geraccedilatildeo (uma duas e quatro vistas por frame) seccedilotildees 41 e 42 As reconstruccedilotildees
ficam mais proacuteximas da imagem meacutedia porque todas as vistas satildeo adquiridas ao mesmo tempo
durante todo o processo O FBP perde a definiccedilatildeo dos discos e forma um artefato central vertical O
MART reconstroacutei perfeitamente o disco nas oito posiccedilotildees mostrando a sua preferecircncia para um
nuacutemero limitado de dados (8 vistas) O FBP eacute bastante utilizado em tomografias meacutedicas (360
vistas ou mais) devido a baixa complexidade computacional quando comparado aos meacutetodos
algeacutebricos
Tanto o disco transladando quanto o crescente apresentam melhor performance com
o aumento do nuacutemero de vistas por distribuiccedilatildeo como pode ser visto na seccedilatildeo 41 A situaccedilatildeo em
que foi simulada uma vista por frame apresenta um artefato de movimento indicando o sentido de
rotaccedilatildeo do arranjo simulado
Os oito perfis encontrados nas simulaccedilotildees com ciacuterculo crescente mostram o aumento
do disco seccedilatildeo 413 e 414 As simulaccedilotildees para este caso reconstroem uma distribuiccedilatildeo central
distorcida pela incompatibilidade das projeccedilotildees (adquiridas em diferentes instantes de tempo) As
reconstruccedilotildees com FBP mostram-se inferiores ao MART formando artefatos de Moireacute (artefatos
estrela) em todas as reconstruccedilotildees Confirmando que estes artefatos satildeo comuns quando se utiliza o
FBP com um nuacutemero limitado de dados
Os testes com vistas alternadas mostram que essa configuraccedilatildeo eacute superior ao arranjo
sucessivo pois cobre uma aacuterea maior em um tempo menor capturando mais informaccedilotildees relativas
ao movimento (seccedilatildeo 42)
A reconstruccedilatildeo RGB inova porque mostra a evoluccedilatildeo temporal do processo com
aacutereas mais claras (vermelho claro) indicando proximidade temporal enquanto que aacutereas mais
escuras indicam tempo passado O meacutetodo mostra o clareamento no vermelho em regiotildees da figura
indicando que ocorreu movimento neste sentido Os testes com ciacuterculo transladando mostram
coerecircncia quando indicam com o vermelho mais claro as regiotildees correspondentes aos uacuteltimos
quadros O mesmo resultado eacute obtido com os dados do CFD para simulaccedilatildeo da TC de 5ordf geraccedilatildeo O
86
lado direito da imagem tem valores maiores para o vermelho coincidindo com a sequecircncia de
distribuiccedilotildees utilizada onde ocorre mudanccedila na concentraccedilatildeo do lado esquerdo para o direito Para o
ciacuterculo crescente a eficaacutecia do meacutetodo pode ser questionada pois ocorre superposiccedilatildeo das regiotildees
centrais de cada disco A aplicaccedilatildeo a dados do CFD com apenas uma vista por frame eacute ineficiente
pois a reconstruccedilatildeo RGB natildeo consegue mostrar tendecircncia de movimento A reconstruccedilatildeo tradicional
MART tambeacutem natildeo coincide com a meacutedia dos frames ou seja como o meacutetodo proposto utiliza esta
distribuiccedilatildeo espacial natildeo pode-se afirmar que a ineficiecircncia do processo seja devido unicamente a
reconstruccedilatildeo RGB
O MCNPX foi utilizado com ecircxito nas duas simulaccedilotildees propostas Sinogramas e
tomogramas satildeo coincidentes com exceccedilatildeo da escala com os mesmos encontrados por teacutecnicas
analiacuteticas
A reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento foi utilizada com ecircxito para
determinaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo no instante inicial de tempo Ocorre aparecimento de ruiacutedo com o
aumento do tempo Este efeito eacute devido a extrapolaccedilatildeo do deslocamento nos elementos proacuteximo as
bordas da matriz de pesos Salienta-se que o vetor deslocamento deve ser conhecido ou calculado
previamente Este trabalho utiliza valores jaacute determinados anteriormente nas simulaccedilotildees (distacircncia
entre discos)
O trabalho contribui para tomografia industrial porque utiliza casos comuns agrave aacuterea
como o disco transladando que eacute simulador de bolhas em colunas industriais e imagens do CFD
como phantoms para predileccedilatildeo dos perfis experimentais Contribui tambeacutem para a otimizaccedilatildeo de
paracircmetros de operaccedilatildeo tomograacutefica quando simula as aquisiccedilotildees prevendo resultados para o
experimento Indica o MART como superior ao FBP neste conjunto de dados As simulaccedilotildees
analiacuteticas de sinogramas foram validadas com ecircxito pelo MCNPX ou seja ambas podem ser
utilizadas para simulaccedilatildeo de fenocircmenos industriais Sugere tambeacutem que a TC com vistas alternadas
corresponde mais a realidade dinacircmica de uma distribuiccedilatildeo Propotildee um novo meacutetodo a
reconstruccedilatildeo RGB obtendo bons resultados apenas nas situaccedilotildees em que natildeo ocorre coincidecircncia
entre as distribuiccedilotildees de diferentes instantes de tempo
Um estudo mais detalhado dos valores empiacutericos deve ser feito para um
entendimento maior da penalizaccedilatildeo das projeccedilotildees e das situaccedilotildees em que ocorra superposiccedilatildeo de
distribuiccedilotildees
A baixa performance do FBP esperada para um baixo nuacutemero de aquisiccedilotildees indica
que testes com um nuacutemero maior de vistas devem ser realizados para o estudo dos meacutetodos
87
propostos nestas situaccedilotildees
Outro trabalho futuro eacute utilizar soluccedilotildees jaacute propostas na literatura meacutedica para
diminuiccedilatildeo de ruiacutedos e artefatos na reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento identificando o vetor
deslocamento durante o processo
Espera-se dar continuidade ao trabalho validando tambeacutem experimentalmente as
simulaccedilotildees com translado do disco (Laboratoacuterio de Radioquiacutemica ndash DEN ndash UFPE)
88
6 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
ALEXANDER B DIMITRY V VITALY V KISELEV AN Algebraic reconstruction and
post-processing in incomplete data computed tomography From X-rays to Laser Beams Jun
2007
ANDERSEN AH Algebraic reconstruction in CT from limited views IEEE transactions on
medical imaging v 8(1) p50ndash55 Jan1989
ANGELI S EFSTAHIOS S An Accelerated Algebraic Reconstruction Technique based on
the Newton-Raphson Scheme Ieee Nuclear Science Symposium Conference Record 23382ndash
3387 2009
AZZI M TULIER P BERNARD J R GARNERO L Mapping Solid Concentration in a
Circulating Fluid Bed Using Gammametry Powder Technology p27-36 1991
BENDER R GORDON R HERMAN GT Algebraic reconstruction techniques(art) for
three dimensional electron microscopy and x-ray photography J Theor Biol v29 p759ndash768
1971
BROOKS RA CHIRO G Principles of Computer Assisted Tomography ( CAT ) in
Radiographic and Radioisotopic Imaging Phis Med Biol v21 N 5 p689-732 1976
BUTALA M D KAMALABADI F FRAZIN R A Chen YldquoDynamic tomographic imaging
of the solar coronardquo IEEE J Sel Topics Signal Process vol 2 pp 755ndash7662008
CENSOR Y Finite Series-Expansion Reconstruction Methods proceedings of the ieee p71
1983
CEZARO A CEZARO FT Problemas Inversos e a matemaacutetica da tomografia
computadorizada V Bienal da SBM - Sociedade Brasileira de Matemaacutetica 2010
CRUVINEL P E Mini tomoacutegrafo de raio-x e raio gama computadorizado para aplicaccedilotildees
multidisciplinares PhD thesis Unicamp 1987
DANTAS CC MELOSM OLIVEIRA E F MAGALHAtildeES F P SANTOS M G
Measurement of density distribution of a cracking catalyst in experimental riser with a
sampling procedure for gamma ray tomography Nuclear Instruments amp Methods in Physics
Research Section B Beam Interactions with Materials and Atoms (Print) v 266 p 841-848
2008
89
DE PIERRO A R Problemas Matemaacuteticos em Tomografia por Emissatildeo Notas UNICAMP
2004
DESBAT L RIT S CLACKDOYLE R MENNESSIER C PROMAYON E
NTALAMPEKI S ldquoAlgebraic and analytic reconstruction methods for dynamic
tomography rdquo Proceedings of the 29th Annual International Conference of the IEEE EMBS Citeacute
Internationale Lyon France August 23-26 2007 ThP2B11 2007 pp 726-730
DESBAT L ROUX S GRANGEAT P ldquoCompensation of some time dependent
deformations in tomography 2 Deformations preserving the projection geometryrdquo IEEE
transactions on medical imaging vol 26 2007 pp 1-20
EARLY D S LONG DG Image Reconstruction and Enhanced Resolution Imaging from
Irregular Samples IEEE trasactions on geosciences and remote sensing 3v9(2)291ndash302 2001
FARIN G Curves and Surfaces for CAGD a Practical Guide 4th edition Academic Press-
1996
FORSYTHE GE Solving linear algebraic equations can be interesting Bulletin of the
American Mathematical Society v59(4) P299ndash330 Jul 1953
GORDON R A tutorial on art (algebraic reconstruction techniques) IEEE Trans Nucl Sci v
NS-21 p78ndash93 1974
GORDON R GUAN H A projection acess order for speedy convergence of art a multilevel
scheme for computed tomography Physics in medicine and biology p39 1994
GUAN H HERMAN G T ZHU Y Combining various projection access schemes with the
algebraic reconstruction technique for low-contrast detection in computed tomography
Physics in medicine and biology 43(8)2413ndash21 August 1998
HANSON K M WECKSONG GVW Local basis approach to computed tomography
ApplOpt v24 p4028-2039 1985
HERFFERNAN P B Robb A R Difference image reconstruction from a few projections for
nondestructive materials inspection Applied optics
HERMAN G T Iterative reconstruction algorithms Comput Biol Med v6 p273 ndash 294 1976
HERMAN G T GORDON R Reconstruction of pictures from their projections Commun
Assoc Comput Mach v14 p759ndash768 1971
HERMAN GT MEYER L B Algebraic Reconstruction Techniques Can Be Made
90
Computationally Efficient IEEE transactions on medical imaging v 12(3) 1993
IAEA-TECDOC-1589 INDUSTRIAL PROCESS GAMMA TOMOGRAPHY Final report of a
coordinated research project 2003ndash2007 May 2008
KACZMARZ S Angenaherte auflosung von systemen linearer gleichungen Bull Acad Pol
Sci Lett A vol 6-8A pp 355-357 1937
KAKA C SLANEY M Principles of Computerized tomographic imaging IEEE PRESS
1999
KALAGA D V KULKARNI A V ACHARYA R KUMAR U SINGH G JOSHI JB
Some industrial applications of gamma-ray tomography Journal of the Taiwan Institute of
Chemical Engineers 40 (2009) 602ndash612 wwwelseviercomlocatejtice
KNOLL G F Nuclear Counters Radiation-Measurement Book 2006
LUTZ PH Relaxation Methods for Image Reconstruction Communications of the ACM
v21(2) p282ndash288 1978
MARTINEZ AG Detecccedilatildeo de descontinuidades e reconstruccedilatildeo de funccedilotildees a partir de dados
espectrais filtros splines e metodos iterativos tese - UNICAMP 2006
MELO SM DANTAS CC OLIVEIRA EAL MAGALHAtildeES FP OLIVEIRA EF A FCC
catalyst gamma ray tomographic reconstruction by using non negative non parametric bezier
triangles Proceedings In 4 th International Symposion on Process Tomography in Poland p 165
Washaw 2006
MESQUITA J MATELA N OLIVEIRA N MARTINS M V Choosing the ART relaxation
parameter for Clear-PEM 2D image reconstruction Computer methods and programs in
biomedicine May 2010
MYERS G R KINGSTON A M VARSLOT T K TURNER M L SHEPPARD A
P ldquoDynamic tomography with a priori informationrdquo Applied Optics vol 50 2011 pp 3685-
3690
OLIVEIRA EF DANTAS CC MELO S B VASCONCELOS D A A ldquoCOMPARISON
AMONG TOMOGRAPHIC RECONSTRUCTION ALGORITHMSrdquo internetional nuclear
conference-INAC2011
OLIVEIRA EF DANTAS C MELO S B VASCONCELOS D A A ldquoTOMOGRAPHIC
RECONSTRUCTION WITH B-SPLINES SURFACESrdquo internetional nuclear conference-
INAC2011
91
RAMACHANDRAM G N LAKSHMINARAYANAN A V Three-dimensional
reconstruction from radiographs and electron micrographs II application of convolutions
instead of Fourier transforms Proc Natl Acad Sci US v68 p2236-2240 1971
KACZMARZ S Angenaherte auflosung von systemen linearer gleichungen Acad Pol Sci
Lett v 6-8A p355ndash357 1937
SALINA F V MASCARENHAS NDA CRUVINEL PE A Comparison of POCS
Algorithms for Tomographic Reconstruction Under Noise and Limited View Computer
Graphics and Image Processing 2002
SALVADOR P A V Anaacutelise de sistemas multifaacutesicos utilizando tomografia computadorizada
gama monoenergeacutetica e polienergeacutetica Tese IPEN-USP 2008
SERGIO N QUORIN R Diagnoacutestico de defeitos em madeira por tomografia de raios x PhD
thesis UFPR 2004
SUBBARAO P M V MUNSHI P MURALIDHAR K Performance of iterative tomographic
algorithms applied to non-destructive evaluation with limited data NDT amp Internacional
v30(6) p359ndash370 1997
TANABE K Projection method for solving a singular system Numer Math 17203ndash214 1971
TIRUNELVELI G HERMAN G T Comparison of Square-Pixel and Hexagonal-Pixel
Resolution in Image Processing Test pages 867ndash872 2002
VERHOEVEN D Limited-data computed tomography algorithms for the physical sciences
Applied Optics jul1993
WENKAI L Adaptive algebraic reconstruction technique Image (Rochester NY) v31(12)
p3222ndash3230 2004
92
ANEXO ndash I
ROTINAS DESENVOLVIDAS NO MATLAB
Rotina responsaacutevel por criar os phantoms e calcular o sinograma Tambeacutem reconstroacutei
clear
d=64Nproj=8Ntraj=dNpixel=dr=02Nit=30display(MART)chute=1I0=10^8x=1fig3=(zeros(d))teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)inc=3cont=1z=zeros(NprojNtraj1)zt=zzt1=zzt2=zztgb=zcont=1c=0teta=[teta teta]clear fig
vpf=1raio=3inc=7c=5vpf=2raio=4inc=8c=5vpf=4raio=5inc=17c=10 vpf=8raio=1inc=4vpf=4inc=1cc=0inc2=25c=10vpf=4raio=3inc=15c=0 fator=(1Nproj)(1Nproj)1fator=flipud(fator)fator=linspace(00509Nproj)a=0for n=1Nproj a=a+1 circ(n)=Circulo(d(d2)(d2)(1+c))if a==vpfa=0c=c+incend crescente circ(n)=Circulo(d5+c(d2)raio)if a==vpfa=0c=c+incend translado vertical fig=circ(n) [z]=sinograma(fig teta(n)) zr=radon(fig teta(n)Ntraj) fig3=(fig3+fig) Itred(cont)=(I0exp(-zx))n((Nproj+inc+1)-n)(nNproj)olhar sempre It(cont)=I0exp(-zx) Ir(cont)=I0exp(-zr) cont=cont+1endfig3=fig3(max(max(fig3))Nproj)tira a sobreposiccedilatildeosinot=log((I0)It)importante retirar fator caso seja utilizado tomo de 3ordfsinot=(ZeraNeg(sinot))rect=Mart2(MatparaCol(real(sinot))teta102)[c d]=size(rect)rect=ColparaMat(rect(d)NpixelNpixel)figure subplot(131)imagesc(fig3)title(Imagem Meacutedia) subplot(132)imagesc(rect)title(MART Vistas Sucessivas) subplot(133)imagesc(rect)title(MART Vistas Alternadas)
93
Rotina para Testes com reconstruccedilotildees
clear load meialuanotubo2load dadosdinamicoload dadosdinamico2dados2=dados3[Ntraj Nproj]=size(dados2) for a=1Nproj for b=1Ntraj if dados2(ab)gt1 || dados2(ab)lt10^-2 dados2(ab)=1 end endend sinograma=-(102)log(dados2)sinograma=ZeraNeg(sinograma)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj) display(FBP)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)z=sinogramarecfbp=iradon(ztetaNtraj)x=164figsino(xdados2) figsino(xsinograma) figureimagesc(sinograma)title(Sinograma MCNPX - 1 vista por frame) xlabel(Vistas)ylabel(Projeccedilotildees)
_________________________MART___________________________________________ x=[02] Nit=20r=1recmart=zeros(Npixel^2Nitlength(x)) display(MART com pesos)display(x) z=MatparaCol(sinograma) [ix iy]=GridAlg(NprojNtrajNtrajpi) [A]=pesosart(ixiyNprojNtrajNtraj) rec=Art(AzNprojNtraj5002) figure imagesc(rec)title(ART) end recfinal=ColparaMat(recmart(Nit)NpixelNpixel) figuresurf(recfinal)figureimagesc(recfinal)colorbartitle(Mart) durou=etime(clockliga)60save phantomacrilicoMart x durou recmart A _________________________ART____________________________________________ x=[02] Nit=10r=1recart=zeros(Npixel) display(ART com pesos)display(x) z=MatparaCol(sinograma) rec=Mart(AzNprojNtrajNitx) recart=ColparaMat(rec(Nit)NpixelNpixel)r=r+1 figureimagesc(recart)colorbartitle(art) __________________________________________________________________________
94
rotina para caacutelculo do sinograma
function [matriz]=sinograma(fig teta)
[a b]=size(fig)Ntraj=aNproj=size(teta2)sino=zeros(NtrajNproj)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)for i=1Nproj for j=1b sino(ji)=Project(figteta(i)j) endendmatriz=sino
function [bijtemp erromat]=Mart2(ztetachuterelax)
[a b]=size(z)Nproj=size(teta2)Ntraj=aNprojNpixel=Ntrajbijtemp=ones(Npixel^250)bijtemp(1)=chute pij=ones(size(sino))Ite=50erro=1cont=1erromat=zeros(149)for Nitera=1Ite if Nitera==25 Nitera end for i=1Nproj W=Wproj(teta(i)Npixel) pij=Wbijtemp(Nitera) for j=1Ntraj cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pij(j))pij(j) if (pij(j)==0)cor=0000000001end ind=find(W(j)) cor=correlax bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corbijtemp(indNitera)W(jind)) end end if errolt=005break end if Niteragt=2 erro=100sqrt(sum(sum(((bijtemp(Nitera)-bijtemp(Nitera-1))^2))))sum(sum(bijtemp(Nitera))) erromat(cont)=errocont=cont+1 end if (Nitera ~= Ite)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)endendbijtemp=bijtemp(1Nitera)erro
function [bijtemp erromat]=Mart2(ztetachuterelax)
[a b]=size(z)Nproj=size(teta2)Ntraj=aNprojNpixel=Ntrajbijtemp=ones(Npixel^250)bijtemp(1)=chute
95
pij=ones(size(sino))Ite=50erro=1cont=1erromat=zeros(149)for Nitera=1Ite if Nitera==25 Nitera end for i=1Nproj W=Wproj(teta(i)Npixel) pij=Wbijtemp(Nitera) for j=1Ntraj cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pij(j))pij(j) if (pij(j)==0)cor=0000000001end ind=find(W(j)) cor=correlax(i) bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corbijtemp(indNitera)W(jind)) end end if errolt=005break end if Niteragt=2 erro=100sqrt(sum(sum(((bijtemp(Nitera)-bijtemp(Nitera-1))^2))))sum(sum(bijtemp(Nitera))) erromat(cont)=errocont=cont+1 end if (Nitera ~= Ite)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)endendbijtemp=bijtemp(1Nitera)erro
function [figtemp]=BP(NprojNtrajNpixelzinterXinterYfigura)
Back projection
c=max(size(figura))
Ntraj=c
Npixel=caumenta a dimenssatildeo da figura para eliminar artefatos de rotaccedilatildeo
figtemp=zeros(c)
inter=ones(22(Npixel+1))696969
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
inter(1)=interX(((i-1)Npixel)+j)
inter(2)=interY(((i-1)Npixel)+j)
for a=12(Npixel+1)
if (inter(1a)gt=0 ampamp inter(1a)ltNpixel) ampamp (inter(2a)gt=0 ampamp
inter(2a)ltNpixel) ampamp (inter(1a+1)gt=0 ampamp inter(1a+1)lt=Npixel) ampamp
(inter(2a+1)gt=0 ampamp inter(2a+1)lt=Npixel)
dist=sqrt(((inter(1a+1)-inter(1a))^2)+((inter(2a+1)-
inter(2a))^2))
x=fix(inter(1a))y=fix(inter(2a))
if (figura(x+1y+1))gt 10^-1
figtemp(x+1y+1)=figtemp(x+1y+1)+z(Ntraj(i-1)+j)dist
end
end
end
end
end
function [bijtemp]=Art(AzNprojNtrajNitrelax)
ART aditivo com opccedilatildeo de relaxaccedilatildeo
96
[c d]=size(A)a=sqrt(d)b=a
bijtemp=zeros(b^2Nit)10
pij=zeros(b1)pijtemp=zeros(Ntraj1)convergencia=zeros(1Nit)
Projection=Nproj
for Nitera=1Nit
interaction=Nitera
for i=1Nproj
pijtemp=A((Ntraj(i-1)+1)(Ntraj(i-1)+Ntraj))bijtemp(Nitera)
for j=1Ntraj
soma=sum(A(Ntraj(i-1)+j)^2)
cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pijtemp(j))
ind=find(A(Ntraj(i-1)+j))
cor=correlaxsoma
bijtemp(indNitera)=(bijtemp(indNitera) + corA(Ntraj(i-
1)+jind))
for ii=ind
if bijtemp(iiNitera)lt0bijtemp(iiNitera)=0end
end
end
end
if (Nitera ~= Nit)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)end
if (Nitera ~= 1)convergencia(Nit)=sqrt(sum(sum(bijtemp(Nitera-1)^2
-bijtemp(Nitera)^2))sum(sum(bijtemp(Nitera)^2)))end
end
function [bijtemp]=Artfast(AzNprojNtrajNitrelax)
ART aditivo com opccedilatildeo de relaxaccedilatildeo
[c d]=size(A)a=sqrt(d)b=a
bijtemp=ones(b^2Nit)
pij=zeros(b1)pijtemp=zeros(Ntraj1)
Projection=Nproj
for Nitera=1Nit
Nitera
for i=1Nproj
pijtemp=A((Ntraj(i-1)+1)(Ntraj(i-1)+Ntraj))bijtemp(Nitera)
for j=1Ntraj
soma=sum(A(Ntraj(i-1)+j)^2)
cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pijtemp(j))
ind=find(A(Ntraj(i-1)+j))
cor=correlaxsoma
bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corA(Ntraj(i-
1)+jind))
for ii=ind
if bijtemp(iiNitera)lt0bijtemp(iiNitera)=0end
end
end
end
if (Nitera ~= Nit)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)end
end
function [interX interY]=GridAlg(NprojNtrajNpixelRangeAngular)
RangeAngular=pi
display(vc olhou pi)
rxvetor=zeros(Nproj1)
ryvetor=zeros(Nproj1)
rxpontos=zeros(NtrajNproj)
97
rypontos=zeros(NtrajNproj)
rxpontos(1)=linspace(0+(NpixelNtraj)2Npixel-(NpixelNtraj)2Ntraj)
rypontos=flipud(rypontos)
rypontos(1)=0
rxvetor(1)=0
ryvetor(1)=1
teta=RangeAngularNproj
rot=[cos(teta) -sin(teta)sin(teta) cos(teta)]
for b=2Nproj
vet=rot[rxvetor(b-1) ryvetor(b-1)]
rxvetor(b)=vet(1)
ryvetor(b)=vet(2)
end
for b=2Nproj
for a=1Ntraj
pontos=rot[rxpontos(ab-1)-(Npixel2)rypontos(ab-1)-(Npixel2)]
rxpontos(ab)=pontos(1)+(Npixel2)
rypontos(ab)=pontos(2)+(Npixel2)
end
end
clear FIG
interX=zeros(NtrajNproj2(Npixel+1))interY=interX
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
ind=1
inter=ones(22(Npixel+1))696969
if rxvetor(i)lt-10^-5 || rxvetor(i)gt10^-5
for x=0Npixel
inter(2x+1)=(ryvetor(i)rxvetor(i))(x-rxpontos(ji))
+rypontos(ji)
inter(1x+1)=x
ind=ind+1
end
end
if rxvetor(i)gt=-10^-5 ampamp rxvetor(i)lt=10^-5x=-1end
if ryvetor(i)lt-10^-5 || ryvetor(i)gt10^-5
for y=0Npixel
inter(1x+2+y)=(rxvetor(i)ryvetor(i))(y-rypontos(ji))
+rxpontos(ji)
inter(2x+2+y)=y
ind=ind+1
end
end
[inter(1) B]=sort(inter(1))
inter(2)=inter(2B)
interX(((i-1)Ntraj)+j)=inter(1)
interY(((i-1)Ntraj)+j)=inter(2)
end
end
function [A]=pesosart(interXinterYNprojNpixelNtraj)
(NprojNtraj)x(Npixel^2)lt=70000000 out of memory with space free 560000000
98
[a b]=size(interX)
Atemp=sparse(zeros(NtrajNpixel^2))
inter=ones(22(Npixel+1))696969
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
inter(1)=interX(((i-1)Ntraj)+j)
inter(2)=interY(((i-1)Ntraj)+j)
for a=12(Npixel+1)
if (inter(1a)gt=0 ampamp inter(1a)ltNpixel) ampamp (inter(2a)gt=0 ampamp
inter(2a)ltNpixel) ampamp (inter(1a+1)gt=0 ampamp inter(1a+1)lt=Npixel) ampamp
(inter(2a+1)gt=0 ampamp inter(2a+1)lt=Npixel)
dist=sqrt(((inter(1a+1)-inter(1a))^2)+((inter(2a+1)-
inter(2a))^2))
if inter(2a+1)ltinter(2a)
y=fix(inter(2a+1))
else
y=fix(inter(2a))
end
x=fix(inter(1a))
Atemp(jNpixel(Npixel-y-1)+x+1)=dist
end
end
end
if i==1
A=Atemp
else
A=[AAtemp]
end
Atemp=sparse(zeros(NtrajNpixel^2))
end
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
DEN ndash Departamento de Energia Nuclear
UFPE ndash Universidade Federal de Pernambuco
TC ndash Tomografia Computadorizada
ART ndash Algebraic Reconstruction Techinique
MART ndash Multiplicative Algebraic Reconstruction Techinique
SIRT ndash Simultaneous Iterative Reconstruction Technique
FBP ndash Filtered Back Projection
AM ndash Alternating Minimization
CFD ndash Computer Fluid Dynamics
MCNP - Monte Carlo N-Particle
PET - Positron Emission Tomography
SPECT - Single Photon Emission Tomography
CST ndash Central Slice Theorem
Sumaacuterio
1 INTRODUCcedilAtildeO132 TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA16
21 A Lei de Beer-Lambert16
22 Algoriacutetmos de Reconstruccedilatildeo20
221 Filtered Back Projection (FBP)20222 ART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica)21223 MART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica com Correccedilatildeo Multiplicativa)23
23 O Caso Dinacircmico24
24 Reconstruccedilatildeo com Correccedilatildeo de Movimento25
25 Geraccedilotildees de Tomoacutegrafos26
26 Simulaccedilatildeo de Sinogramas28
27 Fluidodinacircmica Computacional - CFD31
28 Tempo de Aquisiccedilatildeo ou Integraccedilatildeo33
29 Sistema de cores RGB33
21 0MCNP35
3 METODOLOGIA3731 A Transformada de Radon Temporal38
32 Lei de Beer-Lambert temporal41
33 Simulaccedilatildeo de aquisiccedilotildees Tomograacuteficas42
331 Aquisiccedilatildeo por Tomografia de 1ordf Geraccedilatildeo42332 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 3ordf geraccedilatildeo45333 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 5ordf geraccedilatildeo46
34 Posicionamento angular47
35 Utilizaccedilatildeo de um canal de cores para visualizar a dinacircmica do processo Reconstruccedilatildeo RGB47
36 Reconstruccedilatildeo utilizando dados do CFD48
37 Avaliaccedilatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo com RMSE49
38 Algoritmos e Software Desenvolvidos50
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO5141 Resultados das Reconstruccedilotildees MART e FBP51
411 Primitiva Ciacuterculo Transladando 1 vista por frame51412 Primitiva Ciacuterculo Transladando Oito vistas por frame55413 Primitiva Circulo Crescente Uma vista por frame57414 Primitiva Circulo Crescente Oito vistas por frame60
42 Vistas Alternadas62
43 Resultados com RGB65
44 Simulaccedilotildees com MCNPX70
441 Circulo Transladando ndash 1vista por frame70
442 Circulo Transladando ndash 2 vistas por frame7345 Resultados com CFD76
451 CFD-1 vista por frame76452 CFD-8 vistas por frame79
46 Reconstruccedilotildees com correccedilatildeo de movimento81
5 CONCLUSOtildeES856 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS88ANEXO ndash I92
13
1 INTRODUCcedilAtildeO
A Tomografia Computadorizada (TC) consiste em duas etapas
a) O objeto eacute verificado (escaneado) com relaccedilatildeo a alguma propriedade como
densidade capacitacircncia resistividade eleacutetrica ressonacircncia magneacutetica etc
b) A propriedade eacute entatildeo reconstruiacuteda por meio de uma teacutecnica de reconstruccedilatildeo
adequada
Dessa forma a tomografia tem como objetivo reconstruir os detalhes geomeacutetricos do
objeto subjacente e tambeacutem obter os valores da propriedade escolhida Normalmente eacute classificada
como uma teacutecnica de ensaios natildeo destrutivos (END) e portanto eacute de uso imenso em
colunasreatores industriais para detectar a distribuiccedilatildeo de fases ou qualquer tipo de natildeo
uniformidade no interior do objeto
Para o registro de qualquer mudanccedila no objeto otimiza-se o sistema em alta
resoluccedilatildeo temporal (baixo tempo de aquisiccedilatildeo) ou seja permitir vaacuterias imagens resultando em
centenas de quadros por segundo A tomografia que concretiza essa configuraccedilatildeo de aquisiccedilatildeo eacute
chamada de instantacircnea ou de 5ordf geraccedilatildeo onde vaacuterias fontes satildeo arranjadas diametralmente opostas
a um leque de detetores de radiaccedilatildeo e consequentemente a colimaccedilatildeo de uma fonte eacute limitada por
outra reduzindo a resoluccedilatildeo espacial do sistema
Quando a distribuiccedilatildeo tem baixa variabilidade ao longo do tempo ou quando
limitaccedilotildees teacutecnicas impedem o uso da tomografia instantacircnea propotildee-se a tomografia com baixa
resoluccedilatildeo temporal com tomoacutegrafos de 1ordf e 3ordf geraccedilotildees O alto tempo de aquisiccedilatildeo destes
tomoacutegrafos prejudica a reconstruccedilatildeo quando o objeto em estudo muda suas propriedades no
decorrer do tempo Esta foi classificada por vaacuterios autores como reconstruccedilatildeo dinacircmica
(ARTEMIEV V M NAUMOV A O 2006) (BUTALA 2009) (DESBAT L et al 2006) Jaacute eacute
uma aacuterea muito ativa em medicina nuclear onde movimentos do paciente devem ser tomados em
consideraccedilatildeo Tais como em SPECT ou PET mas tambeacutem em tomografia computadorizada (TC de
transmissatildeo) para oacutergatildeos de movimento raacutepido como o coraccedilatildeo (GRAMEL BM et al 2012)
De um modo geral o imageamento dinacircmico TC tem como objetivo reconstruir
sequecircncias de imagens em que a natureza dinacircmica do objeto tomografado eacute de interesse primaacuterio
permitindo o registro de mudanccedilas temporais na distribuiccedilatildeo do coeficiente de atenuaccedilatildeo linear
podendo identificar o estado inicial e o final do processo
O estado da arte dos meacutetodos aplicados para processos industriais eacute atualmente
baseado em princiacutepios de reconstruccedilotildees tomograacuteficas claacutessicas desenvolvidos para padrotildees TC de
distribuiccedilotildees estaacuteticas como pode ser visto em diversos artigos da aacuterea de tomografia industrial
14
(DAHAN A et al 2007 DUDUKOVIC 2007 HALE et al 2007 JOHANSEN et al 2005
KUMAR et al 1997 DANTAS CC et al 2007 SALVADOR P A V 2010 MESQUITA C et
al 2011) Essas abordagens assumem que as propriedades da imagem satildeo constantes durante o
processo de aquisiccedilatildeo Os algoritmos de reconstruccedilatildeo mais comuns ao contexto satildeo os iterativos
onde se destacam teacutecnicas de reconstruccedilatildeo algeacutebrica (ART SIRT MART SMART) e teacutecnicas de
reconstruccedilatildeo estatiacutesticas como o de Minimizaccedilatildeo Alternante (AM) e o Esperanccedila - Maximizaccedilatildeo
(EM) A imagem reconstruiacuteda passa a ser uma aproximaccedilatildeo das propriedades ao longo do tempo A
aproximaccedilatildeo eacute devida a projeccedilotildees natildeo compatiacuteveis no sinograma (BONNET S 2003) As
projeccedilotildees tornam-se incompatiacuteveis devido as diferentes distribuiccedilotildees que ocorreram durante o
intervalo de tempo utilizado para coleta de dados Ruiacutedos e artefatos de movimento satildeo os
principais problemas causados pela incompatibilidade
Aleacutem disso em processos tomograacuteficos industriais eacute comum um nuacutemero limitado de
dados devido a inviabilidades teacutecnicas como arranjar todo um aparato de fontes e detetores ao redor
de uma coluna industrial Um baixo nuacutemero de dados pode produzir ruiacutedo artefatos e natildeo
concordacircncia com a distribuiccedilatildeo em estudo
Por estes motivos eacute necessaacuterio um estudo dos melhores meacutetodos de reconstruccedilatildeo e
tambeacutem o desenvolvimento de novas taacuteticas ou a utilizaccedilatildeo de meacutetodos jaacute consagrados em outros
contextos como a aacuterea meacutedica
Este trabalho inova quando discute um tema jaacute comum agrave aacuterea meacutedica em um
contexto tomograacutefico industrial
O meacutetodo proposto consiste em descobrir inicialmente as limitaccedilotildees oriundas da
aplicaccedilatildeo de algoritmos de reconstruccedilatildeo que foram desenvolvidos para distribuiccedilotildees estaacuteticas e satildeo
utilizados em tomografia dinacircmica Estas podem aparecer em forma de ruiacutedo artefatos estrela eou
de movimento Para alcanccedilar tais propoacutesitos foram utilizados dados simulados analiticamente e por
MCNPX de um cilindro de alumiacutenio transladando durante o processo aquisiccedilatildeo e imagens da secccedilatildeo
transversal de um rise piloto por meio da teacutecnica CFD (Computational Fluid Dynamics) O cilindro
ou ciacuterculo para uma secccedilatildeo eacute uma escolha pautada na literatura industrial pois simula bolhas em
reatores e tambeacutem distribuiccedilotildees agrupadas em forma de nuacutecleo por exemplo (DUDUKOVIC M et
al 1997) (AZZI M 1991) Com os dados simulados foram realizadas e comparadas as
reconstruccedilotildees pelos meacutetodos FBP (Filtered Back Projection) e MART (Multiplicative Algebraic
Reconstruction Technique)
Descobertas as limitaccedilotildees novas estrateacutegias satildeo apresentadas como a escolha da
ordem do posicionamento angular (vistas alternadas ou sucessivas) o desenvolvimento de um
15
meacutetodo para a visualizaccedilatildeo temporal do processo (Reconstruccedilatildeo RGB) e a correccedilatildeo de movimento
A reconstruccedilatildeo RGB foi desenvolvida com o propoacutesito de visualizar a evoluccedilatildeo
temporal do processo Consiste em uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens tomograacuteficas de
processos dinacircmicos pois utiliza o canal red do sistema de cores RGB para visualizar a evoluccedilatildeo do
movimento Uma nova reconstruccedilatildeo eacute realizada utilizando dados penalizados com o tempo e
associada ao canal R Aos outros canais eacute associada a reconstruccedilatildeo tradicional para posterior
visualizaccedilatildeo do conjunto
Tambeacutem eacute proposta uma teacutecnica de correccedilatildeo de movimento utilizada na aacuterea meacutedica
que manipula a matriz de pesos do meacutetodo algeacutebrico deslocando seus elementos com a mesma
quantidade de movimento identificada Neste trabalho eacute definido o vetor deslocamento a priori
O Capiacutetulo dois trata da revisatildeo bibliograacutefica da tese Conteacutem a lei de Beer-Lambert
a formaccedilatildeo de dados tomograacuteficos para posterior reconstruccedilatildeo Explica os algoritmos algeacutebricos a
visualizaccedilatildeo RGB dados do CFD e geraccedilotildees tomograacuteficas No Capiacutetulo trecircs satildeo expostos os
meacutetodos desenvolvidos como aquisiccedilotildees simuladas analiticamente de 1ordf e 5ordf geraccedilotildees
tomograacuteficas simulaccedilotildees tomograacuteficas por MCNPX reconstruccedilatildeo RGB correccedilatildeo de movimento
algoritmos implementados e desenvolvidos No capiacutetulo quatro satildeo mostrados os resultados de
todos os meacutetodos propostos
Espera-se que esse trabalho contribua para uma anaacutelise mais efetiva de tomografias
dinacircmicas industriais bem como o diagnoacutestico de problemas de otimizaccedilatildeo de operaccedilatildeo de
tomoacutegrafos e obtenccedilatildeo de dados para novos projetos bem como contribuir com novos algoritmos de
reconstruccedilatildeo especiacuteficos para esta aplicaccedilatildeo
16
2 TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA
21 A Lei de Beer-Lambert
A medida da probabilidade por unidade de percusso do feixe de radiaccedilatildeo interagir
com a mateacuteria (efeito fotoeleacutetrico efeito Compton e produccedilatildeo de pares) eacute denominado coeficiente
de atenuaccedilatildeo total ou linear do material ( ) Encontrar a funccedilatildeo que represente a distribuiccedilatildeo das
atenuaccedilotildees dentro de uma regiatildeo de interesse eacute o objetivo da tomografia Ao atravessar um material
a intensidade da radiaccedilatildeo sofre uma queda exponencial descrita pela relaccedilatildeo de Beer-Lambert
Entende-se como intensidade de radiaccedilatildeo neste caso como o nuacutemero de contagens registrado pelo
detetor em uma faixa de energia de interesse para um certo intervalo de tempo
Entende-se como caso estaacutetico a situaccedilatildeo em que o objeto tem distribuiccedilatildeo de
atenuaccedilotildees fixa na regiatildeo de estudo ao longo do tempo ou seja
(1)
O processo unidimensional para determinaccedilatildeo da atenuaccedilatildeo linear pode ser resumido
em um detetor de radiaccedilatildeo diametralmente oposto a uma fonte de radiaccedilatildeo onde
bull Estabelece-se um tempo para o intervalo de contagens Figura 21
bull ) do background sem
objeto algum entre fonte e detetor
bull Coloca-se um objeto de comprimento fixo l com distribuiccedilatildeo de atenuaccedilotildees desconhecida
mas com valores fixos ao longo de l
bull Afere-se o nuacutemero de contagens ( com o objeto presente
Figura 1 Atenuaccedilatildeo daRadiaccedilatildeo pela mateacuteria
l
If
para Δt
I0
para Δt
17
A lei de Beer-Lambert mostra que a absorccedilatildeo mais precisamente a atenuaccedilatildeo da
radiaccedilatildeo mede a queda da intensidade quando a radiaccedilatildeo passa pela mateacuteria A transmissatildeo T
Taxa de contagem inicial Taxa de contagem apoacutes o absorvedor
(2)
caracteriza a permeabilidade do material absorvente para a radiaccedilatildeo Quanto maior for a
transmissatildeo menor eacute o efeito atenuante A transmissatildeo depende da espessura l do absorvedor Se a
espessura l eacute reforccedilada pela pequena quantidade dl o T de transmissatildeo eacute diminuiacuteda pela pequena
quantidade dT A diminuiccedilatildeo relativa da transmissatildeo eacute proporcional ao aumento absoluto da
espessura
(3)
O fator de proporcionalidade eacute chamado o coeficiente de atenuaccedilatildeo linear mu A
integraccedilatildeo da equaccedilatildeo 24 conduz agrave lei de Beer-Lambert
(4)
Para facilitar a notaccedilatildeo em desenvolvimentos adiante chamamos de que eacute o
coeficiente de atenuaccedilatildeo linear meacutedio e l a distacircncia percorrida pelo raio no absorvedor Entatildeo eacute
determinado por
18
(5)
independente de l E para um
detalhamento maior das atenuaccedilotildees ao longo do feixe discretiza-se l O somatoacuterio dos produtos das
atenuaccedilotildees com as distacircncias surge da discretizaccedilatildeo de l assumindo que todas as particcedilotildees atenuam
o feixe no Esta condiccedilatildeo implica tambeacutem no particionamento de
Fazendo com que a intensidade final de uma particcedilatildeo i seja a inicial
da subsequente i+1 Ou seja natildeo eacute estabelecida uma discretizaccedilatildeo do tempo
(6)
De maneira geral a soma na Equaccedilatildeo 6 torna-se uma integral e definindo o eixo x ao
longo da trajetoacuteria do feixe l torna-se o elemento de linha onde o coeficiente de atenuaccedilatildeo eacute
funccedilatildeo da trajetoacuteria da linha
(7)
A integral ao longo da linha eacute conhecida como projeccedilatildeo unidimensional da
distribuiccedilatildeo de densidades definida matematicamente por Johann Radon em 1917 e
Figura 2 Discretizaccedilatildeo de l
l1
μ1
l2
μ2
ln
μn
l3
μ3
I 1 pa
ra Δ
t 0f
I 2 pa
ra Δ
t 0f
I f pa
ra Δ
t 0f
I 0 pa
ra Δ
t 0f
19
conhecida como a transformada de Radon da funccedilatildeo
Como as projeccedilotildees satildeo o resultado das transformadas de Radon ao longo dos
caminhos dos feixes pode-se dizer que o objetivo da tomografia eacute obter a sua inversa ou seja a
imagem reconstruiacuteda ou como no caso unidimensional a curva
(8)
Os diversos modelos utilizados para encontrar a inversa satildeo chamados de algoritmos
de reconstruccedilatildeo e como todos operam com as projeccedilotildees como entrada de dados um estudo mais
detalhado da transformada de Radon temporal e como essas projeccedilotildees variam deve ser realizado
para os casos em que a distribuiccedilatildeo de coeficientes de atenuaccedilatildeo varia tambeacutem com o tempo (caso
dinacircmico seccedilatildeo )
eacute a projeccedilatildeo bidimensional
geralmente chamada de perfil ou vista do corte O processo de aquisiccedilatildeo dos perfis eacute
chamado de escaneamento ou varredura e o conjunto de projeccedilotildees adquiridas eacute denominado
sinograma a Erro Origem da referecircncia natildeo encontrada representa o sinograma de uma imagem de
teste com um disco central
O escaneamento pode ser feito atraveacutes de aquisiccedilotildees paralelas de um uacutenico feixe
Figura 3 Sinograma constituiacutedo de 180 vistas (construiacutedo com a funccedilatildeo radon do
matlab)
20
(Parallel Beam) ou com as trajetoacuterias em forma de leque (Fan Beam) Como o sinograma eacute
resultado das transformadas de Radon ao longo dos raios pode-se dizer que o objetivo da
tomografia eacute obter a sua inversa ou seja a imagem reconstruiacuteda
representa todas as projeccedilotildees (9)
Imagem Original
22 Algoriacutetmos de Reconstruccedilatildeo
221 Filtered Back Projection (FBP)
Bracewell e Riddle em 1967 introduziram o meacutetodo chamado retroprojeccedilatildeo filtrada
(FBP) meacutetodo baseado na transformada de Fourier O FBP eacute muito utilizado devido ao baixo tempo
de processamento O teorema das projeccedilotildees tambeacutem chamado de teorema do corte central (Central
Slice Theorem - CST) facilita o processo Esse diz que uma transformada 1D de Fourier da
transformada de Radon da funccedilatildeo corresponde agrave transformada 2D de Fourier da funccedilatildeo Ou seja
realizando a transformada de Fourier das projeccedilotildees chega-se ao espaccedilo de frequecircncias da
distribuiccedilatildeo de densidades que se desejam descobrir No espaccedilo de frequecircncias satildeo realizadas as
operaccedilotildees de filtragem e a transformada 2D inversa retorna a imagem reconstruiacuteda O FBP eacute
resumido nos seguintes passos
1 Calcular a transformada de Fourier unidimensional das projeccedilotildees chegando ao domiacutenio de
frequecircncias
2 Filtrar as projeccedilotildees transformadas com um filtro passa baixa (Shepp-Logan Hann
Hamming etc)
3 Colocar as projeccedilotildees filtradas em um grid polar Cada projeccedilatildeo em seu acircngulo
correspondente
4 Reamostrar estas em um grid cartesiano com interpolaccedilatildeo (linear nearest Splines etc)
5 Calcular a transformada 2D de Fourier inversa chegando-se agrave imagem reconstruiacuteda
21
222 ART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica)
Os primeiros estudos sobre teacutecnicas algeacutebricas em TC foram feitos por Gordon e
Herman (HERMAN G T GORDON R 1971) Apesar de ser mais intuitiva e simples que os
meacutetodos de transformada essa teacutecnica deixa a desejar no que se refere a precisatildeo e tempo de
processamento Fazendo com que os meacutetodos de transformada fossem inicialmente mais utilizados
principalmente na aacuterea meacutedica onde um grande nuacutemero de dados eacute processado No entanto para
experimentos em que o nuacutemero de projeccedilotildees eacute limitado ou tenha uma distribuiccedilatildeo natildeo uniforme o
meacutetodo de transformada torna-se inviaacutevel
Meacutetodos algeacutebricos ou de expansatildeo de seacuteries discretizam a secccedilatildeo irradiada em uma
matriz de incoacutegnitas (pixels) que representam a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de densidades μ (x y) como
ilustra a Figura 4 Apoacutes as varreduras um sistema de equaccedilotildees resultantes da relaccedilatildeo de Beer-
Lambert eacute criado e sua resoluccedilatildeo corresponde agrave inversa de Radon Devido agraves caracteriacutesticas desse
sistema meacutetodos indiretos satildeo aconselhados e dentre os indiretos o meacutetodo das projeccedilotildees de
Kaczmarz tem convergecircncia garantida (KACZMARZ 1937) As teacutecnicas iterativas satildeo resumidas
basicamente em quatro passos criaccedilatildeo da imagem inicial caacutelculo das correccedilotildees aplicaccedilatildeo das
correccedilotildees e o teste de convergecircncia Estes algoritmos diferem na maneira como as correccedilotildees satildeo
calculadas e aplicadas (SUBBARAO 1997) Neste trabalho eacute utilizada a teacutecnica algeacutebrica ART
Nessa representaccedilatildeo um raio corresponde a uma faixa com largura que na maioria das vezes
coincide com a largura de um pixel
22
O processo pode ser resumido em
1) Criar uma matriz imagem inicial com N elementos parametrizados em geralmente aleatoacuterios
ou nulos Esse eacute o iniacutecio da 1ordf iteraccedilatildeo ( =1)
2) Calcular as projeccedilotildees para todos os raios atraveacutes da foacutermula
(10)
3) Para cada raio calcular a diferenccedila entre a projeccedilatildeo original e a reconstruiacuteda 4)
Calcular o somatoacuterio de todos pesos ao longo de cada raio
(11)
5) Obter a correccedilatildeo para cada raio
23
(12)
6) Aplicar a correccedilatildeo a cada ceacutelula
(13)
onde eacute um paracircmetro de relaxaccedilatildeo entre 0 e 2
7) Repetir os passos 2 ao 6 para todos os raios
8) Achar a soma da convergecircncia de todos os pixels da imagem
(14)
9) Finalizar a iteraccedilatildeo
As iteraccedilotildees satildeo finalizadas quando chegar a um valor preacute - estabelecido Muitos autores
estabelecem um criteacuterio de Caso o criteacuterio natildeo tenha sido cumprido uma nova
iteraccedilatildeo eacute iniciada no passo 2
O ART frequentemente sofre de ruiacutedos tipo sal e pimenta (salt and pepper noise)
causados pelas inconsistecircncias introduzidas no conjunto de equaccedilotildees por aproximaccedilotildees nos O
efeito eacute exacerbado porque cada pixel ao longo de um raio eacute alterado assim que a projeccedilatildeo eacute
calculada mudando seus valores antes que outro raio o faccedila Tanto o ruiacutedo quando a taxa de
convergecircncia do meacutetodo dependem do paracircmetro de relaxaccedilatildeo utilizado escolhido empiricamente
(geralmente entre 0 e 2) (KAK 1989)
223 MART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica com Correccedilatildeo Multiplicativa)
Vaacuterios estudos apontam o meacutetodo como raacutepido mais flexiacutevel e de melhor acuraacutecia
que o ART Sendo indicado principalmente para casos de um nuacutemero limitado de dados
(VERHOEVEN 1993) A teacutecnica eacute semelhante ao ART com mudanccedila apenas no fator de correccedilatildeo
24
expresso pela equaccedilatildeo 15
(15)
23 O Caso Dinacircmico
De um modo geral imagiologia dinacircmica CT tem como objetivo reconstruir sequecircncias de
imagens em que a natureza dinacircmica do objeto tomografado eacute de interesse primaacuterio permitindo o
registro de mudanccedilas temporais na distribuiccedilatildeo do coeficiente de atenuaccedilatildeo linear Entende-se como
caso estaacutetico a situaccedilatildeo em que o objeto tem distribuiccedilatildeo de atenuaccedilotildees fixa na regiatildeo de
estudo ao longo do tempo Algoritmos de reconstruccedilatildeo tomograacutefica utilizam como dados de entrada
as projeccedilotildees unidimensionais tomograacuteficas Cada projeccedilatildeo eacute adquirida atraveacutes das aquisiccedilotildees de
intensidades inicial e final ao longo do raio na direccedilatildeo
O escaneamento pode ser feito atraveacutes de aquisiccedilotildees paralelas de um uacutenico feixe (Parallel
Beam) ou com as trajetoacuterias em forma de leque (Fan Beam) Como o sinograma eacute resultado das
transformadas de Radon ao longo dos raios pode-se dizer que o objetivo da tomografia eacute obter a
sua inversa ou seja a imagem reconstruiacuteda ou como no caso unidimensional a curva
(KAK A C SLANEY M 1999)
(16)
Historicamente a CT dinacircmica no contexto meacutedico refere-se a algoritmos de imagem que
tentam corrigir movimentos formando uma imagem de alta qualidade estaacutetica atraveacutes da remoccedilatildeo
do componente dinacircmico Diferentemente da aacuterea meacutedica as imagens reconstruiacutedas de fluxos
multifaacutesicos oriundas de relativa baixa resoluccedilatildeo temporal trazem informaccedilotildees importantes da
mudanccedila do fluxo ao longo do tempo (MyersG R Kingston A M 2011) O objetivo da
tomografia neste caso eacute determinar a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de atenuaccedilatildeo
No caso CT de 1ordf 3ordf geraccedilotildees aplicados a distribuiccedilotildees dinacircmicas uma uacutenica imagem
representativa de todo o processo (reconstruiacuteda por processos desenvolvidos para distribuiccedilotildees
25
estaacuteticas) eacute o resultado final da tomografia (BARTHOLOMEW CASAGRANDE 1957) (AZZI et
al 1991) (YIN et al 2002)(DAHAN A et al 2007) (DUDUKOVIC 2007) (DANTAS CC et
al 2007) (SALVADOR P A V 2010) (MESQUITA C et al 2011) A funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de
atenuaccedilotildees passa a ser uma aproximaccedilatildeo
Esta aproximaccedilatildeo eacute devido a projeccedilotildees natildeo compatiacuteveis no sinograma (tambeacutem chamado de
) (BONNET S 2003) As projeccedilotildees agora tornam-se incompatiacuteveis
devido as diferentes distribuiccedilotildees que ocorreram durante o intervalo de tempo [0 t]
24 Reconstruccedilatildeo com Correccedilatildeo de Movimento
A reduccedilatildeo de artefatos de movimento em imagens tomograacuteficas eacute um problema
crucial em oacutergatildeos de um forte caraacuteter dinacircmico como por exemplo os pulmotildees ou o coraccedilatildeo Uma
maneira simples de reduzir esses artefatos eacute limitar o tempo de aquisiccedilatildeo usando tomografia ultra ndash
raacutepida (5ordf geraccedilatildeo)
Aqui considera-se uma outra abordagem em que os modelos de movimento satildeo
integrados diretamente ao processo de reconstruccedilatildeo e onde a resoluccedilatildeo temporal pode assim ser
significativamente aumentada Os meacutetodos podem ser algeacutebricos (GILLAND et al 2002 1996 DE
MURCIA BLONDE et al 2003) ou analiacuteticos ( BONNET et al 2003)
A teacutecnica de compensaccedilatildeo de movimento utilizada neste estudo utiliza um modelo
de transformaccedilatildeo da matriz de pesos A dividindo-a em submatrizes tendo suas colunas deslocadas
adequadamente de acordo com o modelo de movimento obtido a cada projeccedilatildeo (PENGPAN et al
2011) Por esse motivo o vetor deslocamento do movimento deve ser calculado a cada projeccedilatildeo
Para uma grande quantidade de dados necessaacuterios em estudos dinacircmicos na aacuterea
meacutedica abordagens analiacuteticas que levam a algoritmos de reconstruccedilatildeo diretos satildeo mais apropriadas
Alguns meacutetodos satildeo aproximaccedilotildees adaptadas para uso geral do tipo de movimento mas amplitude
moderada (RITCHIE et al 1996 GRANGEAT et al 2002)
No trabalho desenvolvido foca-se a situaccedilatildeo em que um pequeno nuacutemero de dados eacute
26
disponibilizado devido a natureza da aplicaccedilatildeo Salienta-se que a compensaccedilatildeo de movimento
ocorre com a aplicaccedilatildeo da mesma quantidade de movimento (obtida previamente ou durante a
reconstruccedilatildeo) agrave matriz A
A funccedilatildeo em um instante de tempo t pode ser encontrada com a aplicaccedilatildeo da
deformaccedilatildeo agrave seu valor inicial
(17)
A deformaccedilatildeo pode apresentar rotaccedilatildeo e translaccedilatildeo
(18)
25 Geraccedilotildees de Tomoacutegrafos
A primeira geraccedilatildeo de tomoacutegrafos foi produzida pela EMI Mark em 1973 tendo
como desenvolvedor o engenheiro Hounsfield O sistema era composto por um uacutenico tubo de raios
X o qual produzia um uacutenico feixe ciliacutendrico que atravessava o objeto em estudo o paciente
atingindo o uacutenico detector que media a intensidade do mesmo O sistema ainda contava com um par
de colimadores (dois pequenos tubos metaacutelicos colocados apoacutes o feixe deixar a fonte e antes do
mesmo atingir o detector) para minimizar o espalhamento do feixe A fonte de raios X e o detector
se movem em sincronia e em lados opostos do paciente executando um escaneamento linear sobre a
seccedilatildeo em estudo seguido de uma rotaccedilatildeo de 1 grau e um novo escaneamento linear eacute efetuado
como ilustra a Figura 3 a)
Os tomoacutegrafos de segunda geraccedilatildeo foram desenvolvidos visando reduzir o tempo de
escaneamento minimizando a exposiccedilatildeo do paciente agrave radiaccedilatildeo e ampliando a gama de oacutergatildeos que
podem ter a seccedilatildeo transversal reconstruiacuteda Os tomoacutegrafos ainda mantiveram o movimento de
varredura linear seguida de uma rotaccedilatildeo Entretanto o feixe de raios X deixou de ser ciliacutendrico e
passou a ter formato de leque Ao inveacutes de um uacutenico detector o sistema passou a contar com vaacuterios
27
detectores alinhados de forma que possam receber todos os raios do feixe Dessa maneira o tempo
de obtenccedilatildeo de dados de uma seccedilatildeo foi reduzido de acordo
com o nuacutemero de detectores e com o acircngulo de abertura empregado como pode ser visto na Figura
3b) A terceira geraccedilatildeo de aparelhos abandonou de vez os movimentos de translaccedilatildeo do tubo de
raios X e dos detectores e passou a contar com um leque com um acircngulo maior e uma base de
detectores mais ampla em formato semi-circular O sistema passou a efetuar um movimento de 360
graus em torno da seccedilatildeo Tambeacutem eram usados colimadores antes do feixe atingir os detectores a
fim de minimizar o espalhamento dos raios X e garantir a qualidade das imagens O tempo de cada
varredura em alguns modelos comerciais passou a ser de apenas meio segundo ilustrado pela
Figura 3 c)
A quarta geraccedilatildeo de aparelhos passou a contar com um anel de detectores que
circundam toda a seccedilatildeo que possibilitou aumentar mais ainda o acircngulo do feixe de radiaccedilatildeo Os
detectores satildeo fixos e a fonte de radiaccedilatildeo rotaciona dentro do anel de detectores e ao redor do corpo
irradiado Um problema desta geraccedilatildeo diz respeito agrave recepccedilatildeo dos feixes que natildeo satildeo fixos e
dependendo do acircngulo um feixe pode atingir dois detectores ou acertar um detector apenas em uma
fraccedilatildeo ilustrado pela Figura 6d)
Como o tempo despendido para realizaccedilatildeo de movimentos mecacircnicos eacute a principal
28
limitaccedilatildeo para reduzir ainda mais os tempos de escaneamento a quinta geraccedilatildeo de aparelhos acabou
com os movimentos de translaccedilatildeo e rotaccedilatildeo da fonte e dos detectores Rachid Maad em MAAD R
2009 evita utilizar essa classificaccedilatildeo para tomoacutegrafos sem rotaccedilatildeo e translaccedilatildeo utilizados
industrialmente ficando essa classificaccedilatildeo mais utilizada em aplicaccedilotildees meacutedicas Esse utiliza o
termo geraccedilatildeo de tomografia instantacircnea para tais aparelhos representados na Figura 6e)
Na configuraccedilatildeo instantacircnea um anel de detectores estacionaacuterios e as fontes de
radiaccedilatildeo rodeiam o objeto fornecendo um arranjo fixo (sem varreduras) e mediccedilotildees instantacircneas1
Esta teacutecnica eacute muito raacutepida e pode ser usada na geraccedilatildeo de imagens em tempo real A desvantagem
eacute o custo e o problema da radiaccedilatildeo dispersa causada pela presenccedila de muacuteltiplas fontes
26 Simulaccedilatildeo de Sinogramas
Phantoms matemaacuteticos ou imagens de teste satildeo frequentemente utilizados para
avaliar a precisatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo Satildeo descritos precisamente por funccedilotildees
matemaacuteticas e suas transformadas de Radon simulam as projeccedilotildees tomograacuteficas Seus pixels satildeo as
regiotildees discretizadas e seus valores ou cores representam as densidades ou coeficientes de
atenuaccedilatildeo linear A imagem de teste (phantom) mais conhecida em reconstruccedilatildeo tomograacutefica eacute o
1 O termo instantacircneo aqui utilizado negligencia o tempo de aquisiccedilatildeo para as contagens de intensidade de radiaccedilatildeo devido ao seu baixo valor deacutecimos de segundo
29
phantom de Sheep ndash Logan Figura 7
Para calcular a projeccedilatildeo simulada somam-se os produtos das distacircncias percorridas
pelo raio em cada pixel pelo seu valor Paracircmetros do experimento tomograacutefico que se deseja
simular como a aacuterea a ser varrida densidades reais adiccedilatildeo de ruiacutedo e fotos da secccedilatildeo do objeto
podem ser incorporadas para dar mais realidade ao modelo (SUBBARAO PMV et al 1997) O
ruiacutedo obedece ao desvio padratildeo de Poisson (IAEA-TECDOC-1589 2008)
A secccedilatildeo irradiada eacute representada por uma matriz de incoacutegnitas que representam a
distribuiccedilatildeo de densidades que se deseja descobrir As incoacutegnitas satildeo os pixels da imagem
reconstruiacuteda como ilustrado na Figura 8
Nessa representaccedilatildeo um raio corresponde a uma faixa com largura que na maioria
das vezes coincide com a largura de um pixel
Figura 7 Phantom de Sheep-Logan
50 100 150 200 250
50
100
150
200
2500
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
30
Parametrizando os pixels com j variando de 1 a N e os raios com i de 1 a M podemos
escrever a transformada de Radon ao longo do raio i como
(19)
onde eacute o peso que diz o percentual de contribuiccedilatildeo de um pixel j para o raio i definido como
(20)
Uma boa aproximaccedilatildeo eacute o modelo em que a largura do feixe eacute reduzida a uma linha
reta fazendo a distacircncia percorrida por este feixe dentro do pixel
Para calcular a intensidade final para uma projeccedilatildeo i faz-se
31
(21)
Com calculado da figura e de meacutedia fixa variando a cada projeccedilatildeo
com o desvio padratildeo de Poisson para todas as projeccedilotildees
O sinograma simulado eacute construiacutedo fazendo cada elemento de sua matriz igual a
27 Fluidodinacircmica Computacional - CFD
Fluidodinacircmica computacional (Computational Fluid Dynamics - CFD) eacute o termo
dado ao grupo de teacutecnicas matemaacuteticas numeacutericas e computacionais usadas para obter visualizar e
interpretar soluccedilotildees para as equaccedilotildees de conservaccedilatildeo de grandezas fiacutesicas de interesse em um dado
escoamento A origem destas equaccedilotildees de conservaccedilatildeo eacute a teoria de Fenocircmenos de Transporte
Assim pode-se resumir CFD como o conjunto das teacutecnicas de simulaccedilatildeo computacional usadas
para predizer os fenocircmenos fiacutesicos ou fiacutesico-quiacutemicos que ocorrem em escoamentos
A Fluidodinacircmica computacional eacute uma aacuterea de grande interesse para a soluccedilatildeo de
muitos problemas praacuteticos Como exemplo podem ser citados problemas de aerodinacircmica
termodinacircmica hidraacuteulica dentre outros As anaacutelises nesta aacuterea de pesquisa podem ser
desenvolvidas com base em experimentos bem como em meacutetodos teoacutericos Dentro dos meacutetodos
teoacutericos destacam-se os meacutetodos computacionais utilizados para simulaccedilatildeo numeacuterica aplicada agrave
Dinacircmica dos Fluidos (HERCKERT M G R)
Para os escoamentos de fluidos o modelo matemaacutetico eacute estabelecido com base nas
equaccedilotildees de conservaccedilatildeo da quantidade de movimento da massa e da energia Estas equaccedilotildees
quando submetidas a condiccedilotildees de contorno e iniciais apropriadas representam matematicamente
um problema particular (SHAMES I H 1973) A soluccedilatildeo analiacutetica destas equaccedilotildees somente eacute
possiacutevel para escoamentos muito simples Para se analisar problemas reais lanccedila-se matildeo do uso dos
chamados meacutetodos numeacutericos
Nos casos de escoamentos laminares os modelos satildeo relativamente simples pois as
32
equaccedilotildees de Navier-Stokes2 conservaccedilatildeo da massa e conservaccedilatildeo de energia satildeo resolvidas
Contudo como a maioria dos escoamentos que acontecem na natureza e no meio industrial satildeo
turbulentos estes tem um alto grau de complexidade e portanto deve-se lanccedilar matildeo de modelos
matemaacuteticos de turbulecircncia acrescentando termos as equaccedilotildees anteriormente citadas Os modelos
de turbulecircncia levam em conta variaacuteveis estatiacutesticas pois escoamentos turbulentos satildeo altamente
caoacuteticos e com isto haacute a necessidade de ferramentas estatiacutesticas para representar os escoamentos
turbulentos
A Figura 9 mostra campos de velocidade e distribuiccedilatildeo de soacutelido dentro do riser com
o regime de fluxo feito por CFD (ARMSTRONG L M 2010) Uma uacutenica velocidade de injeccedilatildeo e
diferentes alturas ao longo do riser Outros exemplos satildeo ilustrados nas Figuras 10 e 11
2 satildeo equaccedilotildees diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos Permitem determinar os
campos de velocidade e de pressatildeo num escoamento
Figura 9 Distribuiccedilatildeo de velocidades e defraccedilatildeo de soacutelido para diferentes alturas
33
28 Tempo de Aquisiccedilatildeo ou Integraccedilatildeo
Detectores de radiaccedilatildeo precisam sempre de um certo tempo (tempo de integraccedilatildeo)
para obter sinal razoaacutevel dos foacutetons incidentes Isto eacute devido agrave estatiacutestica de Poisson que regula o
processo de contagem de foacutetons e pode aumentar consideravelmente a incerteza do sinal detectado
no caso de um tempo de integraccedilatildeo baixo No domiacutenio da frequecircncia a mediccedilatildeo de sinal com um
tempo de integraccedilatildeo eacute aproximadamente equivalente a multiplicar o sinal original por um filtro
passa - baixa Quando uma amostra estaacute em repouso no interior do tomoacutegrafo eacute vantajosa a
utilizaccedilatildeo de um tempo de integraccedilatildeo alto para rejeitar ruiacutedo de alta frequecircncia Para a escolha do
tempo de integraccedilatildeo ideal deve-se estabelecer um equiliacutebrio entre a velocidade da amostra e o ruiacutedo
Poisson (MAAD 2009)
29 Sistema de cores RGB
RGB eacute a abreviatura do sistema de cores aditivas formado por Vermelho (Red)
Verde (Green) e Azul (Blue) O propoacutesito principal do sistema RGB eacute a reproduccedilatildeo de cores em
dispositivos eletrocircnicos como monitores de TV e computador datashows scanners e cacircmeras
digitais assim como na fotografia tradicional Em contraposiccedilatildeo impressoras utilizam o modelo
Figura 11 Visatildeo 3D de uma distribuiccedilatildeo de fraccedilatildeode soacutelido feito por CFD
Figura 10 Secccedilatildeo comdistribuiccedilatildeo de soacutelido que
seraacute utilizada como PhantomMatemaacutetico
34
CMYK de cores subtrativas Modelos aditivos de luzes satildeo combinados de vaacuterias maneiras para
reproduzir outras cores
O modelo de cores RGB eacute baseado na teoria de visatildeo colorida tricromaacutetica de
Young-Helmholtz e no triacircngulo de cores de Maxwell O uso do modelo RGB como padratildeo para
apresentaccedilatildeo de cores na Internet tem suas raiacutezes nos padrotildees de cores de televisotildees RCA de 1953 e
no uso do padratildeo RGB nas cacircmeras LandPolaroid poacutes Edwin Land
Estas trecircs cores natildeo devem ser confundidas com os pigmentos primaacuterios Ciano
Magenta e Amarelo conhecidos no mundo das artes como ldquocores primaacuteriasrdquo jaacute que se combinam
baseadas na reflexatildeo e absorccedilatildeo de foacutetons visto que o RGB depende da emissatildeo de foacutetons de um
componente excitado a um estado de energia mais elevado (fonte emissora por exemplo o tubo de
raios catoacutedicos)
O modelo de cores RGB por si soacute natildeo define o que significa ldquovermelhordquo ldquoverderdquo ou ldquoazulrdquo
(espectroscopicamente) e entatildeo os resultados de misturaacute-los natildeo satildeo tatildeo exatos (e sim relativos na
meacutedia da percepccedilatildeo do olho humano)
Uma cor no modelo de cores RGB pode ser descrita pela indicaccedilatildeo da quantidade de
vermelho verde e azul que conteacutem Cada uma pode variar entre o miacutenimo (completamente escuro)
e maacuteximo (completamente intenso) Quando todas as cores estatildeo no miacutenimo o resultado eacute preto Se
todas estatildeo no maacuteximo o resultado eacute branco (GONZALES 2014)
Uma das representaccedilotildees mais usuais para as cores eacute a utilizaccedilatildeo da escala de 0 agrave 255
bastante encontrada na computaccedilatildeo pela conveniecircncia de se guardar cada valor de cor em 1 byte (8
bits) Assim o vermelho completamente intenso eacute representado por 255 0 0
Branco - RGB (255 255 255) Azul - RGB (0 0 255) Vermelho - RGB (255 0 0)
Verde - RGB (0 255 0)Amarelo - RGB (2552550)Magenta - RGB (2550255)
Ciano - RGB (0 255 255) Preto - RGB (0 0 0)
35
As cores satildeo complementares agraves do sistema CMYK - Ciano (Cyan) Magenta
(Magenta) Amarelo (Yellow) e Preto (blacKKey) - e a sua mistura forma a cor branca
210 MCNP
O meacutetodo Monte Carlo eacute um algoritmo numeacuterico capaz de resolver problemas fiacutesicos e
matemaacuteticos por meio de simulaccedilatildeo de variaacuteveis aleatoacuterias (SOBOL 1994 BIELAJEW 1998)
Hoje em dia o MCNP eacute uma ferramenta matemaacutetica comumente utilizada em diversos segmentos
da ciecircncia e da engenharia para simular problemas que podem ser representados por processos
estocaacutesticos Simulaccedilotildees do transporte de radiaccedilatildeo por meio deste meacutetodo e em particular na Fiacutesica
Meacutedica tecircm passado por um raacutepido crescimento nas uacuteltimas deacutecadas (YORIYAZ 2009)
O processo Monte Carlo pode ser compreendido como um meacutetodo de geraccedilatildeo de nuacutemeros
aleatoacuterios (ROBERT amp CASELLA 2004) Um gerador uniforme de nuacutemeros pseudoaleatoacuterios eacute
um algoritmo que comeccedilando com um valor inicial e uma transformaccedilatildeo produz uma sequecircncia de
valores no intervalo [0 1] tendo esta sequecircncia um comportamento de uma variaacutevel aleatoacuteria
uniforme quando comparada com um conjunto de testes aleacutem de ser independente e identicamente
distribuiacuteda (ROBERT amp CASELLA 2004) Em termos de transporte de radiaccedilatildeo o processo
estocaacutestico pode ser visto como uma famiacutelia de partiacuteculas cujas coordenadas individuais soacute mudam
aleatoriamente em cada colisatildeo O comportamento meacutedio dessas partiacuteculas eacute descrito em termos de
Figura 12Sistema RGB
36
grandezas macroscoacutepicas como fluxo ou densidade de partiacuteculas (YORIYAZ 2009)
O Monte Carlo N Particle ndash MCNP - foi criado desde a deacutecada de 50 nos Estados
Unidos sendo desenvolvido por meio do laboratoacuterio Los Alamos National Laboratory O MCNP
continua ateacute hoje sendo aperfeiccediloado tornando-se assim mais confiaacutevel e usado por muitos
pesquisadores no mundo inteiro Eacute um coacutedigo que realiza o transporte de partiacuteculas utilizando o
meacutetodo Monte Carlo com capacidade para simular necircutrons com energias entre 10-11 MeV a 20
MeV enquanto que a faixa de energia para os foacutetons e eleacutetrons vai de 1 keV a 1000 MeV
(BRIESMEISTER 2000) O coacutedigo MCNP tem a capacidade de simular sistemas com geometrias
que vatildeo de superfiacutecies preacute-determinadas como esferas planos paraboloacuteides de revoluccedilatildeo cilindros
elipsoacuteides ateacute superfiacutecies bem elaboradas utilizando conjunto de pontos no espaccedilo
O pesquisador ao utilizar o MCNP constroacutei um arquivo de entrada no coacutedigo que
pode ser organizado em blocos descrevendo regiotildees envolvidas no modelo especificaccedilatildeo da
geometria por meio de superfiacutecies geomeacutetricas e suas intersecccedilotildees posiccedilatildeo e distribuiccedilatildeo energeacutetica
da fonte descriccedilatildeo dos materiais e todos os paracircmetros fiacutesicos agregados com algumas teacutecnicas de
reduccedilatildeo de variacircncia para melhorar a eficiecircncia e obter melhores resultados (BRIESMEISTER
2000) A versatilidade somado ao aspecto funcional do coacutedigo MCNP para diferentes tipos de
problemas faz com que este seja bem aceito na comunidade cientiacutefica que trabalham com transporte
de radiaccedilotildees e caacutelculos de dose
37
3 METODOLOGIA
Para descobrir ateacute onde processos tomograacuteficos de baixa resoluccedilatildeo temporal aliados
a algoritmos de reconstruccedilatildeo estaacutetica satildeo compatiacuteveis com o regime em estudo foram avaliadas
aquisiccedilotildees simuladas de 1ordf 3ordf e 5ordf geraccedilotildees tomograacuteficas A variaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo de densidades
durante a aquisiccedilatildeo faz necessaacuterio o desenvolvimento de uma versatildeo da lei de Beer-Lambert para
casos dinacircmicos seguida de sua aplicaccedilatildeo para realizar as simulaccedilotildees O meacutetodo eacute separado em duas
fases
1ordf Fase
A metodologia desenvolvida aplica primeiro o modelo de simulaccedilatildeo de sinogramas
desenvolvida analiticamente agrave primitivas matemaacuteticas e posteriormente a dados do MCNPX e CFD
1) Eacute criado um modelo de simulaccedilatildeo de sinogramas para distribuiccedilotildees
dinacircmicas utilizando a versatildeo temporal desenvolvida da lei de Beer-Lambert e da transformada de
Radon tambeacutem temporal
2) A simulaccedilatildeo eacute testada com primitivas matemaacuteticas dinacircmicas como um
ciacuterculo crescente ou transladando ou ambos A escolha eacute pautada em sua representaccedilatildeo precisa por
funccedilotildees matemaacuteticas e por representar diversos processos industriais(A simulaccedilatildeo com o disco
representa a secccedilatildeo de um cilindro ou bolha)
3) Os resultados satildeo apresentados em forma de imagens e graacuteficos A
visualizaccedilatildeo do sinograma eacute bastante utilizada para determinaccedilatildeo de caracteriacutesticas do objeto
4) O modelo de simulaccedilatildeo eacute ao aplicado a dados do CFD
2ordf Fase
O meacutetodo desenvolvido propotildee uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens
tomograacuteficas de processos dinacircmicos pois utiliza canais de cores para mostrar a evoluccedilatildeo temporal
do processo O algoriacutetmo de reconstruccedilatildeo utilizado eacute o MART devido a sua boa performance com
nuacutemero limitado de dados
Nesta fase eacute realizada a reconstruccedilatildeo tradicional que eacute associada aos canais verde (G)
e azul (B) enquanto que o canal vermelho (R) fica responsaacutevel pela evoluccedilatildeo temporal do processo
O meacutetodo eacute descrito na seccedilatildeo 33
38
A reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento eacute utilizada com conhecimento do vetor
deslocamento meacutedio ou sua estimativa O meacutetodo escolhido modifica a matriz de pesos do
algoritmo algeacutebrico deslocando suas colunas de acordo com o modelo de movimento estimado
(ARTEMIEV V M NAUMOV A O 2006) (BUTALA 2009) (DESBAT L et al 2006)
Com o resultado das simulaccedilotildees o sistema tomograacutefico pode ser otimizado
(diminuiccedilatildeo do nuacutemero de projeccedilotildees e vistas)
31 A Transformada de Radon Temporal
regiatildeo (espaccedilo de medida) na qual seraacute feita a aquisiccedilatildeo de dados
considere a funccedilatildeo densidade onde
Neste sistema um ponto pode ser
mapeado por como
complemento unitaacuterio perpendicular a
ao longo da reta eacute dada por
(22)
39
depende natildeo apenas de x e y mas de com sendo a
variaacutevel tempo Definimos entatildeo
(23)
onde e o tempo final da mesma medida
Lema 1 ou seja se eacute
estaacutetico ao longo do tempo a transformada dinacircmica reduz-se a convencional
Demostraccedilatildeo
Figura 13 Sistema de Coordenadas
θ
x
y
ξξ
s
x (xy
)
40
Lema 2 e portanto se a
leitura for ldquoraacutepidardquo o caso dinacircmico mais uma vez reduz-se ao caso estaacutetico
Demostraccedilatildeo
Pelo teorema do valor meacutedio integral (TVMI) temos que se f eacute contiacutenua entatildeo
para algum tal que
usando o TVMI
K(γ)
41
32 Lei de Beer-Lambert temporal
Como a natureza da lei exige que os tempos de contagens sejam iguais para que estas
sejam comparadas apenas a variaccedilatildeo da intensidade da radiaccedilatildeo com a distacircncia eacute geralmente
explorada Sabendo que esses intervalos de tempo de contagem satildeo despreziacuteveis em relaccedilatildeo ao
tempo de meia vida da fonte e que a probabilidade de emissatildeo se manteacutem constante ao longo do
mesmo tempo pode-se supor que a intensidade seja diretamente proporcional ao tempo Ou seja
(24)
Neste caso a distribuiccedilatildeo de coeficientes de atenuaccedilotildees varia tambeacutem com o tempo
ou seja torna-se
(25)
ou
(26)
O modelo discreto aplica a lei de Beer-Lambert em sua forma estaacutetica para cada
particcedilatildeo de tempo assumindo que durante o infinitesimal de tempo o coeficiente e a distacircncia
percorrida permanecem constantes
(27)
42
(28)
33 Simulaccedilatildeo de aquisiccedilotildees Tomograacuteficas
O processo de aquisiccedilatildeo tomograacutefica consiste em coletar intensidades iniciais e finais
em determinados caminhos percorridos pelos feixes de radiaccedilatildeo Os dados podem ser tratados com
filtros etc Optou-se em natildeo realizar tratamento para natildeo inserir mais variaacuteveis ao processo
garantindo que os resultados sejam alcanccedilados soacute pelo meacutetodo proposto
Como jaacute foi dito na seccedilatildeo 26 para calcular a intensidade final para um caminho i
faz-se
(29)
A funccedilatildeo eacute representada pelas imagens de testes chamadas neste trabalho de
quadros ou frames configurados pela distribuiccedilatildeo de densidades escolhida Em todos os casos
optou-se por densidades unitaacuterias para qualquer distribuiccedilatildeo ou seja dois valores satildeo possiacuteveis em
uma imagem de teste 0 ou 1 Um pixel com valor 0 corresponde a uma regiatildeo sem atenuaccedilatildeo e os
pixels que compotildeem o objeto simulado tem valor 1
Com calculado da figura e de meacutedia fixa variando a cada projeccedilatildeo
com o desvio padratildeo de Poisson para todas as projeccedilotildees as projeccedilotildees satildeo calculadas com
O conjunto de todas as projeccedilotildees eacute ordenado em uma matriz chamada de sinograma
331 Aquisiccedilatildeo por Tomografia de 1ordf Geraccedilatildeo
Dois tipos de situaccedilotildees podem ocorrer
1) Uma uacutenica projeccedilatildeo 1D eacute realizada e durante todo o tempo de integraccedilatildeo nenhuma
mudanccedila ocorre na distribuiccedilatildeo ao longo do raio podendo mais de uma aquisiccedilatildeo 1D ser aferida
para mesma distribuiccedilatildeo ou frame Neste caso a intensidade final eacute calculada utilizando a lei de
43
Beer-Lambert durante todo o tempo de integraccedilatildeo para cada raio como ilustrado na Figura 15
Para calcular a intensidade final para uma projeccedilatildeo i faz-se
(30)
2) Durante a aquisiccedilatildeo ocorre mudanccedila na distribuiccedilatildeo de densidades ao longo do
feixe Como foi exposto na seccedilatildeo 31 o somatoacuterio de intensidades finais do raio em cada quadro
(frame) retorna a intensidade final total para um certo tempo de aquisiccedilatildeo Figura 16
Figura 15 Projeccedilotildees 1D sem mudanccedila de frame
44
Entatildeo para cada frame eacute feita
e para a discretizaccedilatildeo de um intervalo de tempo
No exemplo ilustrado na Figura 16 a intensidade final depois do tempo de integraccedilatildeo
correspondente ao frame b fica
3) Natildeo ocorre mudanccedila na distribuiccedilatildeo durante toda a coleta de aquisiccedilotildees 1D em uma vista
4) Natildeo ocorre mudanccedila durante a aquisiccedilatildeo de todas as vistas Neste caso a distribuiccedilatildeo pode
ser tratada como estaacutetica
Figura 16 Projeccedilotildees 1D com mudanccedila de frame
1ordf aquisiccedilatildeo - Quadro a 1ordf aquisiccedilatildeo - Quadro b
45
332 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 3ordf geraccedilatildeo
A vantagem do meacutetodo eacute adquirir vaacuterias projeccedilotildees 1D ao mesmo tempo
Possibilitando um maior volume de dados em um tempo menor quando comparado ao de 1ordf
geraccedilatildeo Dois casos satildeo possiacuteveis
1) O tempo de integraccedilatildeo eacute suficiente para realizar uma vista completa ou mais por
quadro ou frame Figura 17
Figura 17 Mais de uma vista por frame
46
2) Mais de um quadro por vista Figura 18
333 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 5ordf geraccedilatildeo
Nesta situaccedilatildeo vaacuterias vistas satildeo adquiridas durante a mudanccedila da distribuiccedilatildeo Figura 19
Figura 19 Mais de um frame durante a aquisiccedilatildeo
Figura 18 Mais de um frame por vista
47
34 Posicionamento angular
O posicionamento angular tradicionalmente eacute feito com um conjunto de acircngulos
igualmente espaccedilados ordenados de forma crescente cobrindo o intervalo de 0ordm a 180ordm ou 360ordm A
ordem em que as projeccedilotildees ou vistas satildeo adquiridas natildeo importa porque o objeto em estudo eacute
estaacutetico
A proposta para tomografia dinacircmica de 1ordf e 3ordf geraccedilotildees eacute que o posicionamento seja
feito em subconjuntos que completem um ciclo Por exemplo o conjunto de vistas posicionadas
consecutivamente em 0ordm 45ordm 90ordm 135ordm 180ordm 225ordm 270ordm 315ordm pode ser reordenada em ciclos como
0ordm 90ordm 180ordm 270ordm Primeiro ciclo
45ordm 135ordm 225ordm 315ordm Segundo ciclo
A vantagem desse arranjo eacute que num determinado momento ao se preferir um
sinograma completo mas esparso em contraposiccedilatildeo a um sinograma incompleto mas denso eacute que as
informaccedilotildees vatildeo ser disponibilizadas na forma de imagem reconstruiacuteda mais cedo durante o
processo facilitando a interpretaccedilatildeo das informaccedilotildees Eacute uma escolha entre anaacutelise global esparsa
versus anaacutelise local densa
A nova ordenaccedilatildeo gera uma imagem reconstruiacuteda mais proacutexima do objeto dinacircmico e
abre a possibilidade de reconstruccedilotildees parciais com os subconjuntos de dados mais consistentes com
a dinacircmica do processo
35 Utilizaccedilatildeo de um canal de cores para visualizar a dinacircmica do processo Reconstruccedilatildeo RGB
Uma caracteriacutestica da imagem reconstruiacuteda tradicionalmente em processos
industriais dinacircmicos eacute a falta de informaccedilatildeo temporal ou seja obtecircm-se informaccedilotildees da meacutedia da
distribuiccedilatildeo mas natildeo se sabe em que tempo ocorreram as mudanccedilas de padratildeo de fluxo A proposta
desenvolvida neste trabalho pondera cada perfil adquirido com um fator dependente do tempo
criando esta distinccedilatildeo
O meacutetodo desenvolvido propotildee uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens
tomograacuteficas de processos dinacircmicos pois utiliza canais de cores para mostrar a evoluccedilatildeo temporal
do processo Nesta fase eacute realizada a reconstruccedilatildeo tradicional e a mesma eacute associada aos canais
verde (G) e azul (B) enquanto que ao canal vermelho (R) eacute associada a evoluccedilatildeo temporal do
processo Uma cor no modelo de cores RGB pode ser descrita pela indicaccedilatildeo da quantidade de
48
vermelho verde e azul que conteacutem Cada uma pode variar entre o miacutenimo (completamente escuro)
e maacuteximo (completamente intenso) Quando todas as cores estatildeo no miacutenimo o resultado eacute preto Se
todas estatildeo no maacuteximo o resultado eacute branco Uma das representaccedilotildees mais usuais para os canais eacute a
utilizaccedilatildeo da escala de 0 agrave 255 (GONZALES 2014)
O meacutetodo consiste em
1) Simular as projeccedilotildees que equivalem na utilizaccedilatildeo real de um experimento agrave
coleta de dados de intensidades finais e iniciais pelo detetor
2) Reconstruir com esses dados a distribuiccedilatildeo de densidades Foi utilizado o MART
com relaxaccedilatildeo 02 e criteacuterio de parada 1
3) Associar esta reconstruccedilatildeo aos canais G e B
4) Binarizar a imagem reconstruiacuteda entre 0 e 150 O limiar (threshold) utilizado foi
empiacuterico e de 50 do maior valor da imagem
5) Penalizar as projeccedilotildees da primeira agrave uacuteltima com um fator empiacuterico crescente com
o tempo Normalizar as projeccedilotildees de cada vista por 105
6) Realizar a retroprojeccedilatildeo nos pixels com suas respectivas projeccedilotildees
7) Associar ao canal R
8) Juntar todos os canais em uma uacutenica imagem A reconstruccedilatildeo tradicional e a
reconstruccedilatildeo RGB satildeo visualizadas em uma uacutenica imagem onde os tons de vermelho correspondem
agrave evoluccedilatildeo temporal da dinacircmica do processo
36 Reconstruccedilatildeo utilizando dados do CFD
Dados da simulaccedilatildeo de fluxo bifaacutesico satildeo gerados em forma de imagens 2D da distribuiccedilatildeo
em secccedilotildees transversais ao longo do tubo Os dados satildeo coletados para uma uacutenica altura ou seja
secccedilatildeo As diversas imagens de uma uacutenica secccedilatildeo representam a evoluccedilatildeo temporal do fluxo
naquela regiatildeo O conjunto de 8 imagens exemplificam o comportamento do fluxo em intervalos
de tempo de 00025s
A altura da secccedilatildeo em m o tipo de injetor a vazatildeo volumeacutetrica em Lmim e o fluxo de
catalisador satildeo dados de entrada na simulaccedilatildeo do CFD mas natildeo fazem parte das simulaccedilotildees de
aquisiccedilotildees tomograacuteficas utilizadas nesse estudo As imagens portam as informaccedilotildees que seratildeo
utilizadas nas simulaccedilotildees de aquisiccedilatildeo das projeccedilotildees
49
37 Avaliaccedilatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo com RMSE
As teacutecnicas de avaliaccedilatildeo de algoritmos de reconstruccedilatildeo mais utilizadas na literatura
satildeo raiz do erro quadraacutetico meacutedio erro meacutedio relativo absoluto e erros baseados em entropia Para
o caso de simulaccedilotildees com figuras de testes bem definidas (phantoms matemaacuteticos) as teacutecnicas
podem ser aplicadas comparando a imagem reconstruiacuteda com a imagem original O mesmo
procedimento repete-se para phantoms reais onde a distribuiccedilatildeo de densidades eacute bem conhecida Os
sinogramas tambeacutem podem ser avaliados
Gordon e Herman (GORDON 1974 HERMAN 1973 HERMAN 1976) usaram a
raiz do erro quadraacutetico meacutedio para avaliar o quanto a figura reconstruiacuteda aproxima-se da original A
definiccedilatildeo do erro eacute
(31)
Onde
eacute o valor original do pixel
o pixel reconstruiacutedo
o nuacutemero total de pixels da imagem ou sinograma
50
38 Algoritmos e Software Desenvolvidos
Diversas rotinas foram implementadas no Matlab Suas funccedilotildees satildeo para calculo de
projeccedilotildees sinogramas resoluccedilatildeo por ART MART calculo da Matriz de pesos resoluccedilatildeo de
sistemas Aleacutem das jaacute disponiacuteveis no programa como Resoluccedilatildeo por FBP filtros de imagem
operaccedilatildeo com matrizes visualizaccedilatildeo de graacuteficos etc As rotinas estatildeo disponiacuteveis no Anexo-I
Devido agrave grande dimensatildeo da matriz de pesos nos algoritmos algeacutebricos ficou
inviaacutevel sua operaccedilatildeo em alguns casos no Matlab O software Tomography Workstation-TW foi
desenvolvido em C com este propoacutesito Apresenta opccedilotildees de reconstruccedilatildeo ART MART SIRT e
SART Figura 39 Tambeacutem tem as funccedilotildees para carregar tomogramas e sinogramas
Figura 20 Software Desenvolvido
51
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO
Os resultados foram divididos nas seguintes seccedilotildees
bull Aumento do nuacutemero de iteraccedilotildees na Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica Dinacircmica
bull Resultados das reconstruccedilotildees MART e FBP
bull Escolha do posicionamento angular (vistas alternadas)
bull Resultados com reconstruccedilatildeo RGB
bull Simulaccedilotildees com MCNP
bull Reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento
bull Simulaccedilotildees tomograacuteficas a partir do CFD
41 Resultados das Reconstruccedilotildees MART e FBP
As imagens de teste (phantoms) foram utilizadas para avaliar os resultados das
reconstruccedilotildees MART e FBP
411 Primitiva Ciacuterculo Transladando 1 vista por frame
A simulaccedilatildeo consiste em oito distribuiccedilotildees representadas por imagens (quadros ou
frames) de 64x64 pixels com um disco de densidade unitaacuteria e raio fixo Natildeo ocorre mudanccedila
durante a simulaccedilatildeo de uma aquisiccedilatildeo ou varredura Esta aplicaccedilatildeo simula as tomografias de 1ordf e 3ordf
geraccedilatildeo
O disco Raio = 2 pixels deslocamento de 7 pixels entre os centros dos discos de
quadros consecutivos A imagem eacute reconstruiacuteda por FBP e MART
Os frames satildeo ilustrados na Figura 21 e a meacutedia dos oito na Figura 22 Cada imagem
eacute ilustrada na escala de 64 x 64 pixels
52
Figura 21 8 frames - ciacuterculo transladando - 1 vista por frame
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 22 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
53
Os oito picos do sinograma Figura 23 ilustram a captura do disco em diferentes
posiccedilotildees
A Figura 24 ilustra o sinograma em forma de imagem onde cada valor de pixel eacute
convertido para uma escala de cor O eixo vertical (linhas do sinograma) representa a passo linear
(posiccedilatildeo das trajetoacuterias dos feixes) e o horizontal o passo angular (Nuacutemero de vistas)
Figura 23 Tomograma e sinograma ndash circulo transladando ndash 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
05
1
15
2
25
3
35
4
45
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 700
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
54
Os resultados das reconstruccedilotildees FBP e MART satildeo ilustrados na Figura 25
A reconstruccedilatildeo por FBP mostra diversos artefatos natildeo dando para identificar o
nuacutecleo nem a tendecircncia de movimento Os artefatos formam oito faixas um para cada vista ou
projeccedilatildeo Estes artefatos em faixa satildeo comuns no FBP para um baixo nuacutemero de vistas
O MART difere da imagem meacutedia mostrando um arqueamento para direita devido ao
movimento simulado e o sentido anti-horaacuterio das aquisiccedilotildees Eacute um artefato de movimento
Figura 25 Reconstruccedilotildees circulo transladando ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Figura 24 Sinogramascirculo transladando ndash 1 vista por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
55
412 Primitiva Ciacuterculo Transladando Oito vistas por frame
O objetivo desta simulaccedilatildeo eacute descobrir como se comportam os algoritmos em uma
tomografia de 5ordf geraccedilatildeo onde todas as aquisiccedilotildees satildeo realizadas ao mesmo tempo Nesta situaccedilatildeo
as oito vistas satildeo realizadas simultaneamente enquanto ocorre a mudanccedila das distribuiccedilotildees (Figura
19) Figuras com 64x64 pixels raio fixo de 2 pixels deslocamento de 5 pixels
Figura 26 Tomograma e Sinograma - disco transladando - 8 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
05
1
15
2
25
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 7001
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
56
Os resultados das reconstruccedilotildees satildeo ilustrados na Figura 28
As reconstruccedilotildees ficam mais proacuteximas da imagem meacutedia porque todas as vistas satildeo
adquiridas ao mesmo tempo durante todo o processo O FBP perde a definiccedilatildeo dos discos e forma
um artefato central vertical O MART reconstroacutei o disco nas oito posiccedilotildees Cada disco eacute
reconstruiacutedo ilustrando os oito instantes de tempo que foram simulados
Figura 27 Sinogramas CiacuterculoTransladando -Oito vistas por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Figura 28 Reconstruccedilotildees Ciacuterculo Transladando -Oito vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
57
413 Primitiva Circulo Crescente Uma vista por frame
A simulaccedilatildeo consiste em oito distribuiccedilotildees em forma de ciacuterculo concecircntricas com um
aumento 2 pixels entre distribuiccedilotildees consecutivas (Figura 29) Oito vistas satildeo adquiridas
simultaneamente para simular a tomografia de 5ordf geraccedilatildeo
Abaixo a imagem meacutedia aritmeacutetica das oito distribuiccedilotildees eacute ilustrada na Figura 29 A
aacuterea central eacute mais escura porque eacute coincidente para os oito ciacuterculos
Figura 30 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Figura 29 8 frames - circulo crescente - 1 vista por frame
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
58
Tanto o sinograma quanto o tomograma ilustram o crescimento do disco Figura
411
Figura 31 Tomograma e sinograma - ciacuterculo crescente - 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 700
10
20
30
40
50
60
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
59
O sinograma em forma de imagem eacute mostrado abaixo (Figura 32)
O aumento vertical das faixas eacute devido ao crescimento do disco
As duas reconstruccedilotildees apresentam artefatos de rotaccedilatildeo que dificultam a identificaccedilatildeo
da tendecircncia de movimento ou da distribuiccedilatildeo espacial dos discos (Figura 33)
Figura 32 Imagem do sinograma -ciacuterculo crescente - 1 vista por frame
Sinograma
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
Figura 33 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
60
414 Primitiva Circulo Crescente Oito vistas por frame
Neste caso ocorre mudanccedila de frame com a vista Para cada distribuiccedilatildeo tem-se uma
vista diferente Figura 34
Figura 34 Tomograma e sinograma - circulo crescente - 8 vista por frame
29 30 31 32 33 340
05
1
15
2
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3701
02
03
04
05
06
07
08
09
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
61
A posiccedilatildeo central que eacute comum a todos os frames eacute reconstruiacuteda nos dois casos O
FBP mostra a presenccedila de artefatos de Moireacute (Figura 36) O MART mostra poucos artefatos e
mostra uma regiatildeo borrada ao redor do ciacuterculo central indicando os discos maiores
Figura 35 Sinogramas circulo crescente ndash 8vistas por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Figura 36 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 8 vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
62
42 Vistas Alternadas
Alguns testes foram realizados para estudar o posicionamento angular quando
ordenado de forma sequencial e alternada O conjunto de vistas posicionadas consecutivamente em
0ordm 45ordm 90ordm 135ordm 180ordm 225ordm 270ordm 315ordm foram reordenadas em dois ciclos
0ordm 90ordm 180ordm 270ordm para o primeiro ciclo
45ordm 135ordm 225ordm 315ordm para o segundo ciclo
As seguintes situaccedilotildees foram exploradas
Disco transladando - 1 Vista por frame
Cada distribuiccedilatildeo (quadro) eacute capturado em um instante de tempo diferente Os
acircngulos utilizados em cada quadro satildeo apresentados na Tabela 1
Tabela 1 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 1 vista por frame
Quadro 1ordm 2ordm 3ordm 4ordm 5ordm 6ordm 7ordm 8ordm
Vista 0ordm 90ordm 180ordm 270ordm 45ordm 135ordm 225ordm 315ordm
Reconstruccedilotildees
Figura 37 Reconstruccedilotildees disco transladando - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
63
Dois ciclos satildeo suficientes para natildeo formaccedilatildeo do artefato de rotaccedilatildeo (arqueamento)
A reconstruccedilatildeo com vistas alternadas mostra-se mais coerente com a imagem meacutedia (Figura 37)
Disco transladando - 2 Vistas por frame
Com duas vistas por quadro totaliza-se quatro quadros A associaccedilatildeo eacute ilustrada na
Tabela 2
Tabela 2 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 2 vistas por frame
Quadro 1ordm 2ordm 3ordm 4ordm
Vista 0ordm e 45ordm 90ordm e 135ordm 180ordm e 225ordm 270ordm e 315ordm
A reconstruccedilatildeo encontra-se mais proacutexima da imagem meacutedia do que na situaccedilatildeo com
vista sucessivas (Figura 38)
Disco Transladando - 4 Vistas por frame
Apenas dois quadros satildeo suficientes Tabela 3
Tabela 3 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 4 vistas por frame
Quadro 1ordm 2ordm
Vista 0ordm 90ordm 180ordm e 270ordm 45ordm 135ordm 225ordm 315ordm
Figura 38 Reconstruccedilotildees disco transladando - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
64
Reconstruccedilotildees
Disco crescente - 1 Vista por frame
A configuraccedilatildeo das vistas eacute a mesma utilizada na Tabela 1 uma vista por frame
A reconstruccedilatildeo com vistas alternadas Figura 40 apresenta uma reduccedilatildeo nos artefatos
de rotaccedilatildeo mostrando uma distribuiccedilatildeo espacial mais proacutexima da imagem meacutedia (Figura 40)
Disco crescente - 2 Vistas por frame
A configuraccedilatildeo das vistas eacute mesma da Tabela-2
Figura 39 Reconstruccedilotildees disco transladando - 4 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Figura 40 Reconstruccedilotildees disco crescente - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
65
Com o aumento do nuacutemero de vistas a distribuiccedilatildeo torna-se mais central
aproximando-se da imagem meacutedia (Figura 41)
43 Resultados com RGB
As situaccedilotildees jaacute utilizadas nas seccedilotildees 41 e 42 satildeo testadas com visualizaccedilatildeo RGB
Para todos os casos a primeira reconstruccedilatildeo (MART) eacute realizada com matriz inicial de valores
unitaacuterios relaxaccedilatildeo 02 e nuacutemero de iteraccedilotildees definido pela convergecircncia de 05 e em seguida a
normalizada por 150
Os sinogramas satildeo ponderados pelo conjunto de fatores que variam de 01 a 09
linearmente espaccedilados Os valores foram escolhidos empiricamente
Em seguida eacute realizada a reconstruccedilatildeo com o sinograma jaacute ponderado e seus valores
normalizados no intervalo de 150 a 255
Figura 41 Reconstruccedilotildees disco crescente - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
66
bull Ciacuterculo transladando ndash 1 Vista por frame
Um disco para cada instante de tempo totalizando oito distribuiccedilotildees Figura 42
Para o ciacuterculo transladando verticalmente com 1 vista por frame temos um
clareamento na parte inferior da distribuiccedilatildeo indicando que esta regiatildeo traz informaccedilotildees mais
recentes (Figura 42)
A reconstruccedilatildeo com MART RGB por usar como base a distribuiccedilatildeo espacial da
reconstruccedilatildeo MART mostra o clareamento vermelho na parte inferior da figura indicando que
ocorreu movimento nesse sentido
bull Ciacuterculo transladando ndash 2 Vistas por frame
Satildeo quatro distribuiccedilotildees uma para cada instante de tempo configurando duas vistas
por frame
Figura 42 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 1 vista por frame
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
67
O clareamento do vermelho na reconstruccedilatildeo RGB indica que a parte inferior da
reconstruccedilatildeo corresponde ao uacuteltimo instante de tempo
bull Ciacuterculo transladando ndash 4 Vistas por frame
Quatro vistas por frame foram utilizadas na configuraccedilatildeo das proacuteximas trecircs situaccedilotildees
(Figura 44 Figura 45 Figura 46) O deslocamento para o disco vertical eacute utilizado com trecircs valores
distintos
A primeira situaccedilatildeo ilustra dois instantes de tempo com dois diacircmetros de distacircncia
entre os centros dos discos Figura 44
Figura 43 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
68
A proacutexima situaccedilatildeo eacute criada com 4 diacircmetros de distacircncia entre centros entre o
primeiro e segundo instantes de tempo Figura 45 Cada disco corresponde a distribuiccedilatildeo exata em
um instante
Figura 44 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 45 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
69
A terceira situaccedilatildeo visa estudar o comportamento da reconstruccedilatildeo proposta quando
haacute coincidecircncia em parte da distribuiccedilatildeo espacial Satildeo quatro instantes de tempo e uma distacircncia
com menos de um diacircmetro de distacircncia entre centros consecutivos Figura 46
bull Ciacuterculo crescente ndash duas vistas por frame
A simulaccedilatildeo totaliza 4 frames e oito vistas consecutivas Duas por frame
Apesar da situaccedilatildeo com ciacuterculo crescente e duas vistas por frame natildeo mostrar boa
reconstruccedilatildeo a imagem reconstruiacuteda difere bastante da original como jaacute mostrado na seccedilatildeo 413
tambeacutem mostra concordacircncia com os outros resultados RGB pois mostra uma regiatildeo central com
Figura 46 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 47 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo crescente - 2 vistas por frame
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
70
vermelho mais claro O clareamento deve-se a regiatildeo que eacute coincidente para todos os ciacuterculos
O problema que surge eacute que para esta situaccedilatildeo o clareamento para o vermelho criado
pela reconstruccedilatildeo RGB se confunde com a superposiccedilatildeo dos ciacuterculos da reconstruccedilatildeo tradicional
criado na regiatildeo central
44 Simulaccedilotildees com MCNPX
Os frames que anteriormente foram obtidos analiticamente com o objetivo de
encontrar as projeccedilotildees agora satildeo representados por cartotildees de entrada para o MCNPX A simulaccedilatildeo
gera como saiacuteda a intensidade relativa Foram criadas as situaccedilotildees jaacute expostas na seccedilatildeo 41 A
configuraccedilatildeo das simulaccedilotildees eacute
bull Objeto Cilindro Raio = 5cm Material Al = 000746 cm-1
bull Fonte 137Cs Atividade 5 mCi
bull Colimaccedilatildeo Pb fonte - detetor 5vmm
bull Nuacutemero de histoacuterias 100000
441 Circulo Transladando ndash 1vista por frame
Oito geometrias foram simuladas com o objetivo de encontras as projeccedilotildees
equivalentes as 8 vistas Cada vista captura o disco em um instante de tempo diferente totalizando
oito frames Na Figura 48 ilustra-se o disco (em amarelo) em diferentes posiccedilotildees com e as
respectivas a posiccedilotildees da fonte colimada indicando mudanccedila angular (em roxo e azul)
71
O meacutetodo retorna o (relaccedilatildeo entre Ifinal e o Iinicial) A matriz de intensidades relativas eacute
denominada tomograma e tem as suas colunas ordenadas por vista(Figura 49)
As projeccedilotildees satildeo encontradas fazendo e o conjunto de vistas
ordenadas em colunas eacute denominado sinograma(Figura 50)
Figura 49 Tomograma via MCNPX - 1 Vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 70
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma Por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 48 Geometria Circulo Transladando - 1 vista por frame
72
A apresentaccedilatildeo do sinograma em forma de imagem eacute ilustrada na Figura 51
Figura 50 Sinograma MCNPX - 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
1
2
3
4
5
6
Posicionamento Linear
Sinograma por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 51 Imagem de sinograma MCNPX -1 vista por frame
Sinograma MCNPX - 1 vista por frame
Vistas
Projeccedilotildees
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
73
As reconstruccedilotildees apresentaram-se similares as feitas analiticamente na seccedilatildeo 41
Formaccedilatildeo de oito artefatos em faixa no FBP e o arqueamento para esquerda indicando o sentido da
rotaccedilatildeo do tomoacutegrafo (Figura 52)
442 Circulo Transladando ndash 2 vistas por frame
Oito geometrias foram simuladas com mudanccedila no posicionamento angular apenas
quando o disco muda de posiccedilatildeo Duas vistas capturam o disco na mesma posiccedilatildeo A geometria
simulada no MCNPX eacute mostrada na Figura 53
Figura 53 Geometria circulo transladando - 2 vistas por frame
Figura 52 Reconstruccedilotildees MART e FBP ndash MCNPX ndash 1 vista por frame
FBP
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60 -06
-04
-02
0
02
04
MART
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
74
A simulaccedilatildeo retorna o seguinte tomograma Figura 54
Calculando as projeccedilotildees temos o sinograma ilustrado na Figura 55
Que visualizado em formato de imagem fica ilustrado na Figura 56
Figura 54 Tomograma MCNPX - 2 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 70
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma Por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 55 Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
1
2
3
4
5
6
Posicionamento Linear
Sinograma por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
75
As reconstruccedilotildees corresponderam as expectativas quando coincidem com as
reconstruccedilotildees simuladas analiticamente(Figura 57)
Figura 57 Reconstruccedilatildeo MART - MCNPX - 2 vistas por frameMART
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
FBP
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60 -04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
06
Figura 56 Imagem de sinograma MCNPX ndash 2vistas por frame
Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame
Vistas
Projeccedilotildees
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
76
45 Resultados com CFD
As condiccedilotildees da simulaccedilatildeo foram vazatildeo volumeacutetrica de ar eacute 500 Lmin e o fluxo de
catalisador eacute de180 kg(m2s-1) O tempo de processo foi de 10 segundos com passo de 00025
segundos
O local de leituras da fraccedilatildeo volumeacutetrica foi se encontra a uma altura de 0650
metros da base do riser feita a cada 00375 segundos durante o tempo de processo de fluidizaccedilatildeo
resultando em 268 imagens Seacuteries de oito a nove imagens da secccedilatildeo transversal satildeo utilizadas
Devido a alta resoluccedilatildeo das imagens vindas do CFD uma reduccedilatildeo foi realizada para
figuras com 64x64 pixels Figura 58
451 CFD-1 vista por frame
A sequecircncia de oito imagens em intervalos de tempos consecutivos eacute ilustrada na
Figura 59 e a imagem meacutedia na Figura 60
Figura 58 Reduccedilatildeo na resoluccedilatildeo 899x999 para 64x64
20 40 60
10
20
30
40
50
60
200 400 600 800
100
200
300
400
500
600
700
800
77
Figura 60 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
Figura 59 CFD - Frames 1 ao 8
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
78
Reconstruccedilotildees
As reconstruccedilotildees para uma vista por frame natildeo correspondem agrave realidade prevista
Figura 61 Sinogramas CFD ndash 1 vista por frame
Figura 62 Reconstruccedilotildees CFD ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo RGB
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Sinograma com Pesos
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo Mart Red
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
79
pelo CFD O pequeno nuacutemero de vistas aliado a complexidade da figura dificultam a reconstruccedilatildeo
452 CFD-8 vistas por frame
A sequecircncia de oito imagens em intervalos de tempo consecutivos eacute ilustrada na
Figura 63
A meacutedia das oito imagens Figura 63
O sinograma simulado e o mesmo ponderado satildeo mostrados na Figura 65
Figura 64 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
Figura 63 Frames 1 ao 8 CFD ndash 8 vistas por frame
80
As reconstruccedilotildees concordam com as distribuiccedilotildees quando apresentam maior
concentraccedilatildeo de soacutelido do lado direito da imagem A maior concentraccedilatildeo de pigmentaccedilatildeo vermelha
Figura 65 Sinogramas CFD - 8 vistas por frame
Figura 66 Reconstruccedilotildees CFD - 8 vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Sinograma com Pesos
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart Red
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
81
do lado direito da imagem reconstruiacuteda em RGB mostra que a distribuiccedilatildeo nesta regiatildeo eacute mais
recente O resultado tem concordacircncia com a mudanccedila de lado da distribuiccedilatildeo ao longo dos oito
frames
46 Reconstruccedilotildees com correccedilatildeo de movimento
Como a reconstruccedilatildeo com vistas alternadas eacute superior a tradicional com vistas
sucessivas utilizou-se para todas as simulaccedilotildees com correccedilatildeo de movimento o posicionamento
angular sucessivo O objetivo da escolha eacute verificar os resultados gerados soacute por correccedilatildeo da matriz
de pesos As simulaccedilotildees foram ordenadas de acordo com as situaccedilotildees jaacute exploradas e para um
instante de tempo especiacutefico
Abaixo (Figura 67 Figura 68) tem-se a configuraccedilatildeo de 4 vistas por frame
resultando em dois quadros cada um com o disco em uma posiccedilatildeo diferente A imagem tem 32x32
pixels e o deslocamento foi vertical de 5 pixels Como o nuacutemero de colunas da matriz de pesos eacute
definido pela resoluccedilatildeo da imagem o deslocamento na matriz de pesos corresponde ao vertical x
nuacutemero de elementos em uma linhaentatildeo 5 x 32 = 60 colunas para esquerda quando se quer
recuperar o primeiro instante e 60 colunas para direita no caso do segundo
Para o primeiro instante a correccedilatildeo mostra-se eficaz reconstruindo por completo a
distribuiccedilatildeo no primeiro instante de tempo Figura 67
A distribuiccedilatildeo no segundo instante eacute reconstruiacuteda com um pouco de ruiacutedo Figura 68
Figura 67 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempoImagem Meacutedia
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30Imagem Meacutedia
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
82
A situaccedilatildeo com translado horizontal eacute ilustrada na Figura 69 e Figura 70 A
reconstruccedilatildeo no primeiro instante de tempo mostra-se mais precisa Figura 69 Quatro vistas foram
utilizados por quadro com um deslocamento de 5 pixels entre eles O deslocamento de colunas eacute
realizado com o mesmo nuacutemero
Para o segundo instante Figura 70
A simulaccedilatildeo com duas vistas por frame resulta em quatro distribuiccedilotildees Figura 71
Figura 72 Figura 73 A imagem tem 64x64 pixels e o deslocamento foi vertical de 5 pixels
resultando em um deslocamento de 5 x 64 = 320 para as colunas
Figura 69 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Figura 70 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o segundo instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30
5
10
15
20
25
30
83
Para o primeiro instante de tempo temos
Para o segundo instante
Figura 71 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 72 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
20 40 60
10
20
30
40
50
60
84
e para o terceiro instante
O ruiacutedo aumenta
Ocorre o aparecimento de ruiacutedo nas reconstruccedilotildees com o aumento do tempo Este
efeito eacute devido a extrapolaccedilatildeo do deslocamento nos elementos proacuteximo as bordas da matriz de
pesos
Figura 73 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
85
5 CONCLUSOtildeES
As simulaccedilotildees analiacuteticas de primitivas matemaacuteticas foram validadas com ecircxito
quando comparadas com as mesmas realizadas por MCNPX As aquisiccedilotildees tomograacuteficas foram
simuladas mostrando a superioridade da tomografia de 5ordf geraccedilatildeo (8 vistas por frame) quando
comparada agrave de 3ordf geraccedilatildeo (uma duas e quatro vistas por frame) seccedilotildees 41 e 42 As reconstruccedilotildees
ficam mais proacuteximas da imagem meacutedia porque todas as vistas satildeo adquiridas ao mesmo tempo
durante todo o processo O FBP perde a definiccedilatildeo dos discos e forma um artefato central vertical O
MART reconstroacutei perfeitamente o disco nas oito posiccedilotildees mostrando a sua preferecircncia para um
nuacutemero limitado de dados (8 vistas) O FBP eacute bastante utilizado em tomografias meacutedicas (360
vistas ou mais) devido a baixa complexidade computacional quando comparado aos meacutetodos
algeacutebricos
Tanto o disco transladando quanto o crescente apresentam melhor performance com
o aumento do nuacutemero de vistas por distribuiccedilatildeo como pode ser visto na seccedilatildeo 41 A situaccedilatildeo em
que foi simulada uma vista por frame apresenta um artefato de movimento indicando o sentido de
rotaccedilatildeo do arranjo simulado
Os oito perfis encontrados nas simulaccedilotildees com ciacuterculo crescente mostram o aumento
do disco seccedilatildeo 413 e 414 As simulaccedilotildees para este caso reconstroem uma distribuiccedilatildeo central
distorcida pela incompatibilidade das projeccedilotildees (adquiridas em diferentes instantes de tempo) As
reconstruccedilotildees com FBP mostram-se inferiores ao MART formando artefatos de Moireacute (artefatos
estrela) em todas as reconstruccedilotildees Confirmando que estes artefatos satildeo comuns quando se utiliza o
FBP com um nuacutemero limitado de dados
Os testes com vistas alternadas mostram que essa configuraccedilatildeo eacute superior ao arranjo
sucessivo pois cobre uma aacuterea maior em um tempo menor capturando mais informaccedilotildees relativas
ao movimento (seccedilatildeo 42)
A reconstruccedilatildeo RGB inova porque mostra a evoluccedilatildeo temporal do processo com
aacutereas mais claras (vermelho claro) indicando proximidade temporal enquanto que aacutereas mais
escuras indicam tempo passado O meacutetodo mostra o clareamento no vermelho em regiotildees da figura
indicando que ocorreu movimento neste sentido Os testes com ciacuterculo transladando mostram
coerecircncia quando indicam com o vermelho mais claro as regiotildees correspondentes aos uacuteltimos
quadros O mesmo resultado eacute obtido com os dados do CFD para simulaccedilatildeo da TC de 5ordf geraccedilatildeo O
86
lado direito da imagem tem valores maiores para o vermelho coincidindo com a sequecircncia de
distribuiccedilotildees utilizada onde ocorre mudanccedila na concentraccedilatildeo do lado esquerdo para o direito Para o
ciacuterculo crescente a eficaacutecia do meacutetodo pode ser questionada pois ocorre superposiccedilatildeo das regiotildees
centrais de cada disco A aplicaccedilatildeo a dados do CFD com apenas uma vista por frame eacute ineficiente
pois a reconstruccedilatildeo RGB natildeo consegue mostrar tendecircncia de movimento A reconstruccedilatildeo tradicional
MART tambeacutem natildeo coincide com a meacutedia dos frames ou seja como o meacutetodo proposto utiliza esta
distribuiccedilatildeo espacial natildeo pode-se afirmar que a ineficiecircncia do processo seja devido unicamente a
reconstruccedilatildeo RGB
O MCNPX foi utilizado com ecircxito nas duas simulaccedilotildees propostas Sinogramas e
tomogramas satildeo coincidentes com exceccedilatildeo da escala com os mesmos encontrados por teacutecnicas
analiacuteticas
A reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento foi utilizada com ecircxito para
determinaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo no instante inicial de tempo Ocorre aparecimento de ruiacutedo com o
aumento do tempo Este efeito eacute devido a extrapolaccedilatildeo do deslocamento nos elementos proacuteximo as
bordas da matriz de pesos Salienta-se que o vetor deslocamento deve ser conhecido ou calculado
previamente Este trabalho utiliza valores jaacute determinados anteriormente nas simulaccedilotildees (distacircncia
entre discos)
O trabalho contribui para tomografia industrial porque utiliza casos comuns agrave aacuterea
como o disco transladando que eacute simulador de bolhas em colunas industriais e imagens do CFD
como phantoms para predileccedilatildeo dos perfis experimentais Contribui tambeacutem para a otimizaccedilatildeo de
paracircmetros de operaccedilatildeo tomograacutefica quando simula as aquisiccedilotildees prevendo resultados para o
experimento Indica o MART como superior ao FBP neste conjunto de dados As simulaccedilotildees
analiacuteticas de sinogramas foram validadas com ecircxito pelo MCNPX ou seja ambas podem ser
utilizadas para simulaccedilatildeo de fenocircmenos industriais Sugere tambeacutem que a TC com vistas alternadas
corresponde mais a realidade dinacircmica de uma distribuiccedilatildeo Propotildee um novo meacutetodo a
reconstruccedilatildeo RGB obtendo bons resultados apenas nas situaccedilotildees em que natildeo ocorre coincidecircncia
entre as distribuiccedilotildees de diferentes instantes de tempo
Um estudo mais detalhado dos valores empiacutericos deve ser feito para um
entendimento maior da penalizaccedilatildeo das projeccedilotildees e das situaccedilotildees em que ocorra superposiccedilatildeo de
distribuiccedilotildees
A baixa performance do FBP esperada para um baixo nuacutemero de aquisiccedilotildees indica
que testes com um nuacutemero maior de vistas devem ser realizados para o estudo dos meacutetodos
87
propostos nestas situaccedilotildees
Outro trabalho futuro eacute utilizar soluccedilotildees jaacute propostas na literatura meacutedica para
diminuiccedilatildeo de ruiacutedos e artefatos na reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento identificando o vetor
deslocamento durante o processo
Espera-se dar continuidade ao trabalho validando tambeacutem experimentalmente as
simulaccedilotildees com translado do disco (Laboratoacuterio de Radioquiacutemica ndash DEN ndash UFPE)
88
6 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
ALEXANDER B DIMITRY V VITALY V KISELEV AN Algebraic reconstruction and
post-processing in incomplete data computed tomography From X-rays to Laser Beams Jun
2007
ANDERSEN AH Algebraic reconstruction in CT from limited views IEEE transactions on
medical imaging v 8(1) p50ndash55 Jan1989
ANGELI S EFSTAHIOS S An Accelerated Algebraic Reconstruction Technique based on
the Newton-Raphson Scheme Ieee Nuclear Science Symposium Conference Record 23382ndash
3387 2009
AZZI M TULIER P BERNARD J R GARNERO L Mapping Solid Concentration in a
Circulating Fluid Bed Using Gammametry Powder Technology p27-36 1991
BENDER R GORDON R HERMAN GT Algebraic reconstruction techniques(art) for
three dimensional electron microscopy and x-ray photography J Theor Biol v29 p759ndash768
1971
BROOKS RA CHIRO G Principles of Computer Assisted Tomography ( CAT ) in
Radiographic and Radioisotopic Imaging Phis Med Biol v21 N 5 p689-732 1976
BUTALA M D KAMALABADI F FRAZIN R A Chen YldquoDynamic tomographic imaging
of the solar coronardquo IEEE J Sel Topics Signal Process vol 2 pp 755ndash7662008
CENSOR Y Finite Series-Expansion Reconstruction Methods proceedings of the ieee p71
1983
CEZARO A CEZARO FT Problemas Inversos e a matemaacutetica da tomografia
computadorizada V Bienal da SBM - Sociedade Brasileira de Matemaacutetica 2010
CRUVINEL P E Mini tomoacutegrafo de raio-x e raio gama computadorizado para aplicaccedilotildees
multidisciplinares PhD thesis Unicamp 1987
DANTAS CC MELOSM OLIVEIRA E F MAGALHAtildeES F P SANTOS M G
Measurement of density distribution of a cracking catalyst in experimental riser with a
sampling procedure for gamma ray tomography Nuclear Instruments amp Methods in Physics
Research Section B Beam Interactions with Materials and Atoms (Print) v 266 p 841-848
2008
89
DE PIERRO A R Problemas Matemaacuteticos em Tomografia por Emissatildeo Notas UNICAMP
2004
DESBAT L RIT S CLACKDOYLE R MENNESSIER C PROMAYON E
NTALAMPEKI S ldquoAlgebraic and analytic reconstruction methods for dynamic
tomography rdquo Proceedings of the 29th Annual International Conference of the IEEE EMBS Citeacute
Internationale Lyon France August 23-26 2007 ThP2B11 2007 pp 726-730
DESBAT L ROUX S GRANGEAT P ldquoCompensation of some time dependent
deformations in tomography 2 Deformations preserving the projection geometryrdquo IEEE
transactions on medical imaging vol 26 2007 pp 1-20
EARLY D S LONG DG Image Reconstruction and Enhanced Resolution Imaging from
Irregular Samples IEEE trasactions on geosciences and remote sensing 3v9(2)291ndash302 2001
FARIN G Curves and Surfaces for CAGD a Practical Guide 4th edition Academic Press-
1996
FORSYTHE GE Solving linear algebraic equations can be interesting Bulletin of the
American Mathematical Society v59(4) P299ndash330 Jul 1953
GORDON R A tutorial on art (algebraic reconstruction techniques) IEEE Trans Nucl Sci v
NS-21 p78ndash93 1974
GORDON R GUAN H A projection acess order for speedy convergence of art a multilevel
scheme for computed tomography Physics in medicine and biology p39 1994
GUAN H HERMAN G T ZHU Y Combining various projection access schemes with the
algebraic reconstruction technique for low-contrast detection in computed tomography
Physics in medicine and biology 43(8)2413ndash21 August 1998
HANSON K M WECKSONG GVW Local basis approach to computed tomography
ApplOpt v24 p4028-2039 1985
HERFFERNAN P B Robb A R Difference image reconstruction from a few projections for
nondestructive materials inspection Applied optics
HERMAN G T Iterative reconstruction algorithms Comput Biol Med v6 p273 ndash 294 1976
HERMAN G T GORDON R Reconstruction of pictures from their projections Commun
Assoc Comput Mach v14 p759ndash768 1971
HERMAN GT MEYER L B Algebraic Reconstruction Techniques Can Be Made
90
Computationally Efficient IEEE transactions on medical imaging v 12(3) 1993
IAEA-TECDOC-1589 INDUSTRIAL PROCESS GAMMA TOMOGRAPHY Final report of a
coordinated research project 2003ndash2007 May 2008
KACZMARZ S Angenaherte auflosung von systemen linearer gleichungen Bull Acad Pol
Sci Lett A vol 6-8A pp 355-357 1937
KAKA C SLANEY M Principles of Computerized tomographic imaging IEEE PRESS
1999
KALAGA D V KULKARNI A V ACHARYA R KUMAR U SINGH G JOSHI JB
Some industrial applications of gamma-ray tomography Journal of the Taiwan Institute of
Chemical Engineers 40 (2009) 602ndash612 wwwelseviercomlocatejtice
KNOLL G F Nuclear Counters Radiation-Measurement Book 2006
LUTZ PH Relaxation Methods for Image Reconstruction Communications of the ACM
v21(2) p282ndash288 1978
MARTINEZ AG Detecccedilatildeo de descontinuidades e reconstruccedilatildeo de funccedilotildees a partir de dados
espectrais filtros splines e metodos iterativos tese - UNICAMP 2006
MELO SM DANTAS CC OLIVEIRA EAL MAGALHAtildeES FP OLIVEIRA EF A FCC
catalyst gamma ray tomographic reconstruction by using non negative non parametric bezier
triangles Proceedings In 4 th International Symposion on Process Tomography in Poland p 165
Washaw 2006
MESQUITA J MATELA N OLIVEIRA N MARTINS M V Choosing the ART relaxation
parameter for Clear-PEM 2D image reconstruction Computer methods and programs in
biomedicine May 2010
MYERS G R KINGSTON A M VARSLOT T K TURNER M L SHEPPARD A
P ldquoDynamic tomography with a priori informationrdquo Applied Optics vol 50 2011 pp 3685-
3690
OLIVEIRA EF DANTAS CC MELO S B VASCONCELOS D A A ldquoCOMPARISON
AMONG TOMOGRAPHIC RECONSTRUCTION ALGORITHMSrdquo internetional nuclear
conference-INAC2011
OLIVEIRA EF DANTAS C MELO S B VASCONCELOS D A A ldquoTOMOGRAPHIC
RECONSTRUCTION WITH B-SPLINES SURFACESrdquo internetional nuclear conference-
INAC2011
91
RAMACHANDRAM G N LAKSHMINARAYANAN A V Three-dimensional
reconstruction from radiographs and electron micrographs II application of convolutions
instead of Fourier transforms Proc Natl Acad Sci US v68 p2236-2240 1971
KACZMARZ S Angenaherte auflosung von systemen linearer gleichungen Acad Pol Sci
Lett v 6-8A p355ndash357 1937
SALINA F V MASCARENHAS NDA CRUVINEL PE A Comparison of POCS
Algorithms for Tomographic Reconstruction Under Noise and Limited View Computer
Graphics and Image Processing 2002
SALVADOR P A V Anaacutelise de sistemas multifaacutesicos utilizando tomografia computadorizada
gama monoenergeacutetica e polienergeacutetica Tese IPEN-USP 2008
SERGIO N QUORIN R Diagnoacutestico de defeitos em madeira por tomografia de raios x PhD
thesis UFPR 2004
SUBBARAO P M V MUNSHI P MURALIDHAR K Performance of iterative tomographic
algorithms applied to non-destructive evaluation with limited data NDT amp Internacional
v30(6) p359ndash370 1997
TANABE K Projection method for solving a singular system Numer Math 17203ndash214 1971
TIRUNELVELI G HERMAN G T Comparison of Square-Pixel and Hexagonal-Pixel
Resolution in Image Processing Test pages 867ndash872 2002
VERHOEVEN D Limited-data computed tomography algorithms for the physical sciences
Applied Optics jul1993
WENKAI L Adaptive algebraic reconstruction technique Image (Rochester NY) v31(12)
p3222ndash3230 2004
92
ANEXO ndash I
ROTINAS DESENVOLVIDAS NO MATLAB
Rotina responsaacutevel por criar os phantoms e calcular o sinograma Tambeacutem reconstroacutei
clear
d=64Nproj=8Ntraj=dNpixel=dr=02Nit=30display(MART)chute=1I0=10^8x=1fig3=(zeros(d))teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)inc=3cont=1z=zeros(NprojNtraj1)zt=zzt1=zzt2=zztgb=zcont=1c=0teta=[teta teta]clear fig
vpf=1raio=3inc=7c=5vpf=2raio=4inc=8c=5vpf=4raio=5inc=17c=10 vpf=8raio=1inc=4vpf=4inc=1cc=0inc2=25c=10vpf=4raio=3inc=15c=0 fator=(1Nproj)(1Nproj)1fator=flipud(fator)fator=linspace(00509Nproj)a=0for n=1Nproj a=a+1 circ(n)=Circulo(d(d2)(d2)(1+c))if a==vpfa=0c=c+incend crescente circ(n)=Circulo(d5+c(d2)raio)if a==vpfa=0c=c+incend translado vertical fig=circ(n) [z]=sinograma(fig teta(n)) zr=radon(fig teta(n)Ntraj) fig3=(fig3+fig) Itred(cont)=(I0exp(-zx))n((Nproj+inc+1)-n)(nNproj)olhar sempre It(cont)=I0exp(-zx) Ir(cont)=I0exp(-zr) cont=cont+1endfig3=fig3(max(max(fig3))Nproj)tira a sobreposiccedilatildeosinot=log((I0)It)importante retirar fator caso seja utilizado tomo de 3ordfsinot=(ZeraNeg(sinot))rect=Mart2(MatparaCol(real(sinot))teta102)[c d]=size(rect)rect=ColparaMat(rect(d)NpixelNpixel)figure subplot(131)imagesc(fig3)title(Imagem Meacutedia) subplot(132)imagesc(rect)title(MART Vistas Sucessivas) subplot(133)imagesc(rect)title(MART Vistas Alternadas)
93
Rotina para Testes com reconstruccedilotildees
clear load meialuanotubo2load dadosdinamicoload dadosdinamico2dados2=dados3[Ntraj Nproj]=size(dados2) for a=1Nproj for b=1Ntraj if dados2(ab)gt1 || dados2(ab)lt10^-2 dados2(ab)=1 end endend sinograma=-(102)log(dados2)sinograma=ZeraNeg(sinograma)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj) display(FBP)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)z=sinogramarecfbp=iradon(ztetaNtraj)x=164figsino(xdados2) figsino(xsinograma) figureimagesc(sinograma)title(Sinograma MCNPX - 1 vista por frame) xlabel(Vistas)ylabel(Projeccedilotildees)
_________________________MART___________________________________________ x=[02] Nit=20r=1recmart=zeros(Npixel^2Nitlength(x)) display(MART com pesos)display(x) z=MatparaCol(sinograma) [ix iy]=GridAlg(NprojNtrajNtrajpi) [A]=pesosart(ixiyNprojNtrajNtraj) rec=Art(AzNprojNtraj5002) figure imagesc(rec)title(ART) end recfinal=ColparaMat(recmart(Nit)NpixelNpixel) figuresurf(recfinal)figureimagesc(recfinal)colorbartitle(Mart) durou=etime(clockliga)60save phantomacrilicoMart x durou recmart A _________________________ART____________________________________________ x=[02] Nit=10r=1recart=zeros(Npixel) display(ART com pesos)display(x) z=MatparaCol(sinograma) rec=Mart(AzNprojNtrajNitx) recart=ColparaMat(rec(Nit)NpixelNpixel)r=r+1 figureimagesc(recart)colorbartitle(art) __________________________________________________________________________
94
rotina para caacutelculo do sinograma
function [matriz]=sinograma(fig teta)
[a b]=size(fig)Ntraj=aNproj=size(teta2)sino=zeros(NtrajNproj)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)for i=1Nproj for j=1b sino(ji)=Project(figteta(i)j) endendmatriz=sino
function [bijtemp erromat]=Mart2(ztetachuterelax)
[a b]=size(z)Nproj=size(teta2)Ntraj=aNprojNpixel=Ntrajbijtemp=ones(Npixel^250)bijtemp(1)=chute pij=ones(size(sino))Ite=50erro=1cont=1erromat=zeros(149)for Nitera=1Ite if Nitera==25 Nitera end for i=1Nproj W=Wproj(teta(i)Npixel) pij=Wbijtemp(Nitera) for j=1Ntraj cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pij(j))pij(j) if (pij(j)==0)cor=0000000001end ind=find(W(j)) cor=correlax bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corbijtemp(indNitera)W(jind)) end end if errolt=005break end if Niteragt=2 erro=100sqrt(sum(sum(((bijtemp(Nitera)-bijtemp(Nitera-1))^2))))sum(sum(bijtemp(Nitera))) erromat(cont)=errocont=cont+1 end if (Nitera ~= Ite)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)endendbijtemp=bijtemp(1Nitera)erro
function [bijtemp erromat]=Mart2(ztetachuterelax)
[a b]=size(z)Nproj=size(teta2)Ntraj=aNprojNpixel=Ntrajbijtemp=ones(Npixel^250)bijtemp(1)=chute
95
pij=ones(size(sino))Ite=50erro=1cont=1erromat=zeros(149)for Nitera=1Ite if Nitera==25 Nitera end for i=1Nproj W=Wproj(teta(i)Npixel) pij=Wbijtemp(Nitera) for j=1Ntraj cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pij(j))pij(j) if (pij(j)==0)cor=0000000001end ind=find(W(j)) cor=correlax(i) bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corbijtemp(indNitera)W(jind)) end end if errolt=005break end if Niteragt=2 erro=100sqrt(sum(sum(((bijtemp(Nitera)-bijtemp(Nitera-1))^2))))sum(sum(bijtemp(Nitera))) erromat(cont)=errocont=cont+1 end if (Nitera ~= Ite)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)endendbijtemp=bijtemp(1Nitera)erro
function [figtemp]=BP(NprojNtrajNpixelzinterXinterYfigura)
Back projection
c=max(size(figura))
Ntraj=c
Npixel=caumenta a dimenssatildeo da figura para eliminar artefatos de rotaccedilatildeo
figtemp=zeros(c)
inter=ones(22(Npixel+1))696969
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
inter(1)=interX(((i-1)Npixel)+j)
inter(2)=interY(((i-1)Npixel)+j)
for a=12(Npixel+1)
if (inter(1a)gt=0 ampamp inter(1a)ltNpixel) ampamp (inter(2a)gt=0 ampamp
inter(2a)ltNpixel) ampamp (inter(1a+1)gt=0 ampamp inter(1a+1)lt=Npixel) ampamp
(inter(2a+1)gt=0 ampamp inter(2a+1)lt=Npixel)
dist=sqrt(((inter(1a+1)-inter(1a))^2)+((inter(2a+1)-
inter(2a))^2))
x=fix(inter(1a))y=fix(inter(2a))
if (figura(x+1y+1))gt 10^-1
figtemp(x+1y+1)=figtemp(x+1y+1)+z(Ntraj(i-1)+j)dist
end
end
end
end
end
function [bijtemp]=Art(AzNprojNtrajNitrelax)
ART aditivo com opccedilatildeo de relaxaccedilatildeo
96
[c d]=size(A)a=sqrt(d)b=a
bijtemp=zeros(b^2Nit)10
pij=zeros(b1)pijtemp=zeros(Ntraj1)convergencia=zeros(1Nit)
Projection=Nproj
for Nitera=1Nit
interaction=Nitera
for i=1Nproj
pijtemp=A((Ntraj(i-1)+1)(Ntraj(i-1)+Ntraj))bijtemp(Nitera)
for j=1Ntraj
soma=sum(A(Ntraj(i-1)+j)^2)
cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pijtemp(j))
ind=find(A(Ntraj(i-1)+j))
cor=correlaxsoma
bijtemp(indNitera)=(bijtemp(indNitera) + corA(Ntraj(i-
1)+jind))
for ii=ind
if bijtemp(iiNitera)lt0bijtemp(iiNitera)=0end
end
end
end
if (Nitera ~= Nit)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)end
if (Nitera ~= 1)convergencia(Nit)=sqrt(sum(sum(bijtemp(Nitera-1)^2
-bijtemp(Nitera)^2))sum(sum(bijtemp(Nitera)^2)))end
end
function [bijtemp]=Artfast(AzNprojNtrajNitrelax)
ART aditivo com opccedilatildeo de relaxaccedilatildeo
[c d]=size(A)a=sqrt(d)b=a
bijtemp=ones(b^2Nit)
pij=zeros(b1)pijtemp=zeros(Ntraj1)
Projection=Nproj
for Nitera=1Nit
Nitera
for i=1Nproj
pijtemp=A((Ntraj(i-1)+1)(Ntraj(i-1)+Ntraj))bijtemp(Nitera)
for j=1Ntraj
soma=sum(A(Ntraj(i-1)+j)^2)
cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pijtemp(j))
ind=find(A(Ntraj(i-1)+j))
cor=correlaxsoma
bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corA(Ntraj(i-
1)+jind))
for ii=ind
if bijtemp(iiNitera)lt0bijtemp(iiNitera)=0end
end
end
end
if (Nitera ~= Nit)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)end
end
function [interX interY]=GridAlg(NprojNtrajNpixelRangeAngular)
RangeAngular=pi
display(vc olhou pi)
rxvetor=zeros(Nproj1)
ryvetor=zeros(Nproj1)
rxpontos=zeros(NtrajNproj)
97
rypontos=zeros(NtrajNproj)
rxpontos(1)=linspace(0+(NpixelNtraj)2Npixel-(NpixelNtraj)2Ntraj)
rypontos=flipud(rypontos)
rypontos(1)=0
rxvetor(1)=0
ryvetor(1)=1
teta=RangeAngularNproj
rot=[cos(teta) -sin(teta)sin(teta) cos(teta)]
for b=2Nproj
vet=rot[rxvetor(b-1) ryvetor(b-1)]
rxvetor(b)=vet(1)
ryvetor(b)=vet(2)
end
for b=2Nproj
for a=1Ntraj
pontos=rot[rxpontos(ab-1)-(Npixel2)rypontos(ab-1)-(Npixel2)]
rxpontos(ab)=pontos(1)+(Npixel2)
rypontos(ab)=pontos(2)+(Npixel2)
end
end
clear FIG
interX=zeros(NtrajNproj2(Npixel+1))interY=interX
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
ind=1
inter=ones(22(Npixel+1))696969
if rxvetor(i)lt-10^-5 || rxvetor(i)gt10^-5
for x=0Npixel
inter(2x+1)=(ryvetor(i)rxvetor(i))(x-rxpontos(ji))
+rypontos(ji)
inter(1x+1)=x
ind=ind+1
end
end
if rxvetor(i)gt=-10^-5 ampamp rxvetor(i)lt=10^-5x=-1end
if ryvetor(i)lt-10^-5 || ryvetor(i)gt10^-5
for y=0Npixel
inter(1x+2+y)=(rxvetor(i)ryvetor(i))(y-rypontos(ji))
+rxpontos(ji)
inter(2x+2+y)=y
ind=ind+1
end
end
[inter(1) B]=sort(inter(1))
inter(2)=inter(2B)
interX(((i-1)Ntraj)+j)=inter(1)
interY(((i-1)Ntraj)+j)=inter(2)
end
end
function [A]=pesosart(interXinterYNprojNpixelNtraj)
(NprojNtraj)x(Npixel^2)lt=70000000 out of memory with space free 560000000
98
[a b]=size(interX)
Atemp=sparse(zeros(NtrajNpixel^2))
inter=ones(22(Npixel+1))696969
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
inter(1)=interX(((i-1)Ntraj)+j)
inter(2)=interY(((i-1)Ntraj)+j)
for a=12(Npixel+1)
if (inter(1a)gt=0 ampamp inter(1a)ltNpixel) ampamp (inter(2a)gt=0 ampamp
inter(2a)ltNpixel) ampamp (inter(1a+1)gt=0 ampamp inter(1a+1)lt=Npixel) ampamp
(inter(2a+1)gt=0 ampamp inter(2a+1)lt=Npixel)
dist=sqrt(((inter(1a+1)-inter(1a))^2)+((inter(2a+1)-
inter(2a))^2))
if inter(2a+1)ltinter(2a)
y=fix(inter(2a+1))
else
y=fix(inter(2a))
end
x=fix(inter(1a))
Atemp(jNpixel(Npixel-y-1)+x+1)=dist
end
end
end
if i==1
A=Atemp
else
A=[AAtemp]
end
Atemp=sparse(zeros(NtrajNpixel^2))
end
Sumaacuterio
1 INTRODUCcedilAtildeO132 TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA16
21 A Lei de Beer-Lambert16
22 Algoriacutetmos de Reconstruccedilatildeo20
221 Filtered Back Projection (FBP)20222 ART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica)21223 MART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica com Correccedilatildeo Multiplicativa)23
23 O Caso Dinacircmico24
24 Reconstruccedilatildeo com Correccedilatildeo de Movimento25
25 Geraccedilotildees de Tomoacutegrafos26
26 Simulaccedilatildeo de Sinogramas28
27 Fluidodinacircmica Computacional - CFD31
28 Tempo de Aquisiccedilatildeo ou Integraccedilatildeo33
29 Sistema de cores RGB33
21 0MCNP35
3 METODOLOGIA3731 A Transformada de Radon Temporal38
32 Lei de Beer-Lambert temporal41
33 Simulaccedilatildeo de aquisiccedilotildees Tomograacuteficas42
331 Aquisiccedilatildeo por Tomografia de 1ordf Geraccedilatildeo42332 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 3ordf geraccedilatildeo45333 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 5ordf geraccedilatildeo46
34 Posicionamento angular47
35 Utilizaccedilatildeo de um canal de cores para visualizar a dinacircmica do processo Reconstruccedilatildeo RGB47
36 Reconstruccedilatildeo utilizando dados do CFD48
37 Avaliaccedilatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo com RMSE49
38 Algoritmos e Software Desenvolvidos50
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO5141 Resultados das Reconstruccedilotildees MART e FBP51
411 Primitiva Ciacuterculo Transladando 1 vista por frame51412 Primitiva Ciacuterculo Transladando Oito vistas por frame55413 Primitiva Circulo Crescente Uma vista por frame57414 Primitiva Circulo Crescente Oito vistas por frame60
42 Vistas Alternadas62
43 Resultados com RGB65
44 Simulaccedilotildees com MCNPX70
441 Circulo Transladando ndash 1vista por frame70
442 Circulo Transladando ndash 2 vistas por frame7345 Resultados com CFD76
451 CFD-1 vista por frame76452 CFD-8 vistas por frame79
46 Reconstruccedilotildees com correccedilatildeo de movimento81
5 CONCLUSOtildeES856 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS88ANEXO ndash I92
13
1 INTRODUCcedilAtildeO
A Tomografia Computadorizada (TC) consiste em duas etapas
a) O objeto eacute verificado (escaneado) com relaccedilatildeo a alguma propriedade como
densidade capacitacircncia resistividade eleacutetrica ressonacircncia magneacutetica etc
b) A propriedade eacute entatildeo reconstruiacuteda por meio de uma teacutecnica de reconstruccedilatildeo
adequada
Dessa forma a tomografia tem como objetivo reconstruir os detalhes geomeacutetricos do
objeto subjacente e tambeacutem obter os valores da propriedade escolhida Normalmente eacute classificada
como uma teacutecnica de ensaios natildeo destrutivos (END) e portanto eacute de uso imenso em
colunasreatores industriais para detectar a distribuiccedilatildeo de fases ou qualquer tipo de natildeo
uniformidade no interior do objeto
Para o registro de qualquer mudanccedila no objeto otimiza-se o sistema em alta
resoluccedilatildeo temporal (baixo tempo de aquisiccedilatildeo) ou seja permitir vaacuterias imagens resultando em
centenas de quadros por segundo A tomografia que concretiza essa configuraccedilatildeo de aquisiccedilatildeo eacute
chamada de instantacircnea ou de 5ordf geraccedilatildeo onde vaacuterias fontes satildeo arranjadas diametralmente opostas
a um leque de detetores de radiaccedilatildeo e consequentemente a colimaccedilatildeo de uma fonte eacute limitada por
outra reduzindo a resoluccedilatildeo espacial do sistema
Quando a distribuiccedilatildeo tem baixa variabilidade ao longo do tempo ou quando
limitaccedilotildees teacutecnicas impedem o uso da tomografia instantacircnea propotildee-se a tomografia com baixa
resoluccedilatildeo temporal com tomoacutegrafos de 1ordf e 3ordf geraccedilotildees O alto tempo de aquisiccedilatildeo destes
tomoacutegrafos prejudica a reconstruccedilatildeo quando o objeto em estudo muda suas propriedades no
decorrer do tempo Esta foi classificada por vaacuterios autores como reconstruccedilatildeo dinacircmica
(ARTEMIEV V M NAUMOV A O 2006) (BUTALA 2009) (DESBAT L et al 2006) Jaacute eacute
uma aacuterea muito ativa em medicina nuclear onde movimentos do paciente devem ser tomados em
consideraccedilatildeo Tais como em SPECT ou PET mas tambeacutem em tomografia computadorizada (TC de
transmissatildeo) para oacutergatildeos de movimento raacutepido como o coraccedilatildeo (GRAMEL BM et al 2012)
De um modo geral o imageamento dinacircmico TC tem como objetivo reconstruir
sequecircncias de imagens em que a natureza dinacircmica do objeto tomografado eacute de interesse primaacuterio
permitindo o registro de mudanccedilas temporais na distribuiccedilatildeo do coeficiente de atenuaccedilatildeo linear
podendo identificar o estado inicial e o final do processo
O estado da arte dos meacutetodos aplicados para processos industriais eacute atualmente
baseado em princiacutepios de reconstruccedilotildees tomograacuteficas claacutessicas desenvolvidos para padrotildees TC de
distribuiccedilotildees estaacuteticas como pode ser visto em diversos artigos da aacuterea de tomografia industrial
14
(DAHAN A et al 2007 DUDUKOVIC 2007 HALE et al 2007 JOHANSEN et al 2005
KUMAR et al 1997 DANTAS CC et al 2007 SALVADOR P A V 2010 MESQUITA C et
al 2011) Essas abordagens assumem que as propriedades da imagem satildeo constantes durante o
processo de aquisiccedilatildeo Os algoritmos de reconstruccedilatildeo mais comuns ao contexto satildeo os iterativos
onde se destacam teacutecnicas de reconstruccedilatildeo algeacutebrica (ART SIRT MART SMART) e teacutecnicas de
reconstruccedilatildeo estatiacutesticas como o de Minimizaccedilatildeo Alternante (AM) e o Esperanccedila - Maximizaccedilatildeo
(EM) A imagem reconstruiacuteda passa a ser uma aproximaccedilatildeo das propriedades ao longo do tempo A
aproximaccedilatildeo eacute devida a projeccedilotildees natildeo compatiacuteveis no sinograma (BONNET S 2003) As
projeccedilotildees tornam-se incompatiacuteveis devido as diferentes distribuiccedilotildees que ocorreram durante o
intervalo de tempo utilizado para coleta de dados Ruiacutedos e artefatos de movimento satildeo os
principais problemas causados pela incompatibilidade
Aleacutem disso em processos tomograacuteficos industriais eacute comum um nuacutemero limitado de
dados devido a inviabilidades teacutecnicas como arranjar todo um aparato de fontes e detetores ao redor
de uma coluna industrial Um baixo nuacutemero de dados pode produzir ruiacutedo artefatos e natildeo
concordacircncia com a distribuiccedilatildeo em estudo
Por estes motivos eacute necessaacuterio um estudo dos melhores meacutetodos de reconstruccedilatildeo e
tambeacutem o desenvolvimento de novas taacuteticas ou a utilizaccedilatildeo de meacutetodos jaacute consagrados em outros
contextos como a aacuterea meacutedica
Este trabalho inova quando discute um tema jaacute comum agrave aacuterea meacutedica em um
contexto tomograacutefico industrial
O meacutetodo proposto consiste em descobrir inicialmente as limitaccedilotildees oriundas da
aplicaccedilatildeo de algoritmos de reconstruccedilatildeo que foram desenvolvidos para distribuiccedilotildees estaacuteticas e satildeo
utilizados em tomografia dinacircmica Estas podem aparecer em forma de ruiacutedo artefatos estrela eou
de movimento Para alcanccedilar tais propoacutesitos foram utilizados dados simulados analiticamente e por
MCNPX de um cilindro de alumiacutenio transladando durante o processo aquisiccedilatildeo e imagens da secccedilatildeo
transversal de um rise piloto por meio da teacutecnica CFD (Computational Fluid Dynamics) O cilindro
ou ciacuterculo para uma secccedilatildeo eacute uma escolha pautada na literatura industrial pois simula bolhas em
reatores e tambeacutem distribuiccedilotildees agrupadas em forma de nuacutecleo por exemplo (DUDUKOVIC M et
al 1997) (AZZI M 1991) Com os dados simulados foram realizadas e comparadas as
reconstruccedilotildees pelos meacutetodos FBP (Filtered Back Projection) e MART (Multiplicative Algebraic
Reconstruction Technique)
Descobertas as limitaccedilotildees novas estrateacutegias satildeo apresentadas como a escolha da
ordem do posicionamento angular (vistas alternadas ou sucessivas) o desenvolvimento de um
15
meacutetodo para a visualizaccedilatildeo temporal do processo (Reconstruccedilatildeo RGB) e a correccedilatildeo de movimento
A reconstruccedilatildeo RGB foi desenvolvida com o propoacutesito de visualizar a evoluccedilatildeo
temporal do processo Consiste em uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens tomograacuteficas de
processos dinacircmicos pois utiliza o canal red do sistema de cores RGB para visualizar a evoluccedilatildeo do
movimento Uma nova reconstruccedilatildeo eacute realizada utilizando dados penalizados com o tempo e
associada ao canal R Aos outros canais eacute associada a reconstruccedilatildeo tradicional para posterior
visualizaccedilatildeo do conjunto
Tambeacutem eacute proposta uma teacutecnica de correccedilatildeo de movimento utilizada na aacuterea meacutedica
que manipula a matriz de pesos do meacutetodo algeacutebrico deslocando seus elementos com a mesma
quantidade de movimento identificada Neste trabalho eacute definido o vetor deslocamento a priori
O Capiacutetulo dois trata da revisatildeo bibliograacutefica da tese Conteacutem a lei de Beer-Lambert
a formaccedilatildeo de dados tomograacuteficos para posterior reconstruccedilatildeo Explica os algoritmos algeacutebricos a
visualizaccedilatildeo RGB dados do CFD e geraccedilotildees tomograacuteficas No Capiacutetulo trecircs satildeo expostos os
meacutetodos desenvolvidos como aquisiccedilotildees simuladas analiticamente de 1ordf e 5ordf geraccedilotildees
tomograacuteficas simulaccedilotildees tomograacuteficas por MCNPX reconstruccedilatildeo RGB correccedilatildeo de movimento
algoritmos implementados e desenvolvidos No capiacutetulo quatro satildeo mostrados os resultados de
todos os meacutetodos propostos
Espera-se que esse trabalho contribua para uma anaacutelise mais efetiva de tomografias
dinacircmicas industriais bem como o diagnoacutestico de problemas de otimizaccedilatildeo de operaccedilatildeo de
tomoacutegrafos e obtenccedilatildeo de dados para novos projetos bem como contribuir com novos algoritmos de
reconstruccedilatildeo especiacuteficos para esta aplicaccedilatildeo
16
2 TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA
21 A Lei de Beer-Lambert
A medida da probabilidade por unidade de percusso do feixe de radiaccedilatildeo interagir
com a mateacuteria (efeito fotoeleacutetrico efeito Compton e produccedilatildeo de pares) eacute denominado coeficiente
de atenuaccedilatildeo total ou linear do material ( ) Encontrar a funccedilatildeo que represente a distribuiccedilatildeo das
atenuaccedilotildees dentro de uma regiatildeo de interesse eacute o objetivo da tomografia Ao atravessar um material
a intensidade da radiaccedilatildeo sofre uma queda exponencial descrita pela relaccedilatildeo de Beer-Lambert
Entende-se como intensidade de radiaccedilatildeo neste caso como o nuacutemero de contagens registrado pelo
detetor em uma faixa de energia de interesse para um certo intervalo de tempo
Entende-se como caso estaacutetico a situaccedilatildeo em que o objeto tem distribuiccedilatildeo de
atenuaccedilotildees fixa na regiatildeo de estudo ao longo do tempo ou seja
(1)
O processo unidimensional para determinaccedilatildeo da atenuaccedilatildeo linear pode ser resumido
em um detetor de radiaccedilatildeo diametralmente oposto a uma fonte de radiaccedilatildeo onde
bull Estabelece-se um tempo para o intervalo de contagens Figura 21
bull ) do background sem
objeto algum entre fonte e detetor
bull Coloca-se um objeto de comprimento fixo l com distribuiccedilatildeo de atenuaccedilotildees desconhecida
mas com valores fixos ao longo de l
bull Afere-se o nuacutemero de contagens ( com o objeto presente
Figura 1 Atenuaccedilatildeo daRadiaccedilatildeo pela mateacuteria
l
If
para Δt
I0
para Δt
17
A lei de Beer-Lambert mostra que a absorccedilatildeo mais precisamente a atenuaccedilatildeo da
radiaccedilatildeo mede a queda da intensidade quando a radiaccedilatildeo passa pela mateacuteria A transmissatildeo T
Taxa de contagem inicial Taxa de contagem apoacutes o absorvedor
(2)
caracteriza a permeabilidade do material absorvente para a radiaccedilatildeo Quanto maior for a
transmissatildeo menor eacute o efeito atenuante A transmissatildeo depende da espessura l do absorvedor Se a
espessura l eacute reforccedilada pela pequena quantidade dl o T de transmissatildeo eacute diminuiacuteda pela pequena
quantidade dT A diminuiccedilatildeo relativa da transmissatildeo eacute proporcional ao aumento absoluto da
espessura
(3)
O fator de proporcionalidade eacute chamado o coeficiente de atenuaccedilatildeo linear mu A
integraccedilatildeo da equaccedilatildeo 24 conduz agrave lei de Beer-Lambert
(4)
Para facilitar a notaccedilatildeo em desenvolvimentos adiante chamamos de que eacute o
coeficiente de atenuaccedilatildeo linear meacutedio e l a distacircncia percorrida pelo raio no absorvedor Entatildeo eacute
determinado por
18
(5)
independente de l E para um
detalhamento maior das atenuaccedilotildees ao longo do feixe discretiza-se l O somatoacuterio dos produtos das
atenuaccedilotildees com as distacircncias surge da discretizaccedilatildeo de l assumindo que todas as particcedilotildees atenuam
o feixe no Esta condiccedilatildeo implica tambeacutem no particionamento de
Fazendo com que a intensidade final de uma particcedilatildeo i seja a inicial
da subsequente i+1 Ou seja natildeo eacute estabelecida uma discretizaccedilatildeo do tempo
(6)
De maneira geral a soma na Equaccedilatildeo 6 torna-se uma integral e definindo o eixo x ao
longo da trajetoacuteria do feixe l torna-se o elemento de linha onde o coeficiente de atenuaccedilatildeo eacute
funccedilatildeo da trajetoacuteria da linha
(7)
A integral ao longo da linha eacute conhecida como projeccedilatildeo unidimensional da
distribuiccedilatildeo de densidades definida matematicamente por Johann Radon em 1917 e
Figura 2 Discretizaccedilatildeo de l
l1
μ1
l2
μ2
ln
μn
l3
μ3
I 1 pa
ra Δ
t 0f
I 2 pa
ra Δ
t 0f
I f pa
ra Δ
t 0f
I 0 pa
ra Δ
t 0f
19
conhecida como a transformada de Radon da funccedilatildeo
Como as projeccedilotildees satildeo o resultado das transformadas de Radon ao longo dos
caminhos dos feixes pode-se dizer que o objetivo da tomografia eacute obter a sua inversa ou seja a
imagem reconstruiacuteda ou como no caso unidimensional a curva
(8)
Os diversos modelos utilizados para encontrar a inversa satildeo chamados de algoritmos
de reconstruccedilatildeo e como todos operam com as projeccedilotildees como entrada de dados um estudo mais
detalhado da transformada de Radon temporal e como essas projeccedilotildees variam deve ser realizado
para os casos em que a distribuiccedilatildeo de coeficientes de atenuaccedilatildeo varia tambeacutem com o tempo (caso
dinacircmico seccedilatildeo )
eacute a projeccedilatildeo bidimensional
geralmente chamada de perfil ou vista do corte O processo de aquisiccedilatildeo dos perfis eacute
chamado de escaneamento ou varredura e o conjunto de projeccedilotildees adquiridas eacute denominado
sinograma a Erro Origem da referecircncia natildeo encontrada representa o sinograma de uma imagem de
teste com um disco central
O escaneamento pode ser feito atraveacutes de aquisiccedilotildees paralelas de um uacutenico feixe
Figura 3 Sinograma constituiacutedo de 180 vistas (construiacutedo com a funccedilatildeo radon do
matlab)
20
(Parallel Beam) ou com as trajetoacuterias em forma de leque (Fan Beam) Como o sinograma eacute
resultado das transformadas de Radon ao longo dos raios pode-se dizer que o objetivo da
tomografia eacute obter a sua inversa ou seja a imagem reconstruiacuteda
representa todas as projeccedilotildees (9)
Imagem Original
22 Algoriacutetmos de Reconstruccedilatildeo
221 Filtered Back Projection (FBP)
Bracewell e Riddle em 1967 introduziram o meacutetodo chamado retroprojeccedilatildeo filtrada
(FBP) meacutetodo baseado na transformada de Fourier O FBP eacute muito utilizado devido ao baixo tempo
de processamento O teorema das projeccedilotildees tambeacutem chamado de teorema do corte central (Central
Slice Theorem - CST) facilita o processo Esse diz que uma transformada 1D de Fourier da
transformada de Radon da funccedilatildeo corresponde agrave transformada 2D de Fourier da funccedilatildeo Ou seja
realizando a transformada de Fourier das projeccedilotildees chega-se ao espaccedilo de frequecircncias da
distribuiccedilatildeo de densidades que se desejam descobrir No espaccedilo de frequecircncias satildeo realizadas as
operaccedilotildees de filtragem e a transformada 2D inversa retorna a imagem reconstruiacuteda O FBP eacute
resumido nos seguintes passos
1 Calcular a transformada de Fourier unidimensional das projeccedilotildees chegando ao domiacutenio de
frequecircncias
2 Filtrar as projeccedilotildees transformadas com um filtro passa baixa (Shepp-Logan Hann
Hamming etc)
3 Colocar as projeccedilotildees filtradas em um grid polar Cada projeccedilatildeo em seu acircngulo
correspondente
4 Reamostrar estas em um grid cartesiano com interpolaccedilatildeo (linear nearest Splines etc)
5 Calcular a transformada 2D de Fourier inversa chegando-se agrave imagem reconstruiacuteda
21
222 ART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica)
Os primeiros estudos sobre teacutecnicas algeacutebricas em TC foram feitos por Gordon e
Herman (HERMAN G T GORDON R 1971) Apesar de ser mais intuitiva e simples que os
meacutetodos de transformada essa teacutecnica deixa a desejar no que se refere a precisatildeo e tempo de
processamento Fazendo com que os meacutetodos de transformada fossem inicialmente mais utilizados
principalmente na aacuterea meacutedica onde um grande nuacutemero de dados eacute processado No entanto para
experimentos em que o nuacutemero de projeccedilotildees eacute limitado ou tenha uma distribuiccedilatildeo natildeo uniforme o
meacutetodo de transformada torna-se inviaacutevel
Meacutetodos algeacutebricos ou de expansatildeo de seacuteries discretizam a secccedilatildeo irradiada em uma
matriz de incoacutegnitas (pixels) que representam a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de densidades μ (x y) como
ilustra a Figura 4 Apoacutes as varreduras um sistema de equaccedilotildees resultantes da relaccedilatildeo de Beer-
Lambert eacute criado e sua resoluccedilatildeo corresponde agrave inversa de Radon Devido agraves caracteriacutesticas desse
sistema meacutetodos indiretos satildeo aconselhados e dentre os indiretos o meacutetodo das projeccedilotildees de
Kaczmarz tem convergecircncia garantida (KACZMARZ 1937) As teacutecnicas iterativas satildeo resumidas
basicamente em quatro passos criaccedilatildeo da imagem inicial caacutelculo das correccedilotildees aplicaccedilatildeo das
correccedilotildees e o teste de convergecircncia Estes algoritmos diferem na maneira como as correccedilotildees satildeo
calculadas e aplicadas (SUBBARAO 1997) Neste trabalho eacute utilizada a teacutecnica algeacutebrica ART
Nessa representaccedilatildeo um raio corresponde a uma faixa com largura que na maioria das vezes
coincide com a largura de um pixel
22
O processo pode ser resumido em
1) Criar uma matriz imagem inicial com N elementos parametrizados em geralmente aleatoacuterios
ou nulos Esse eacute o iniacutecio da 1ordf iteraccedilatildeo ( =1)
2) Calcular as projeccedilotildees para todos os raios atraveacutes da foacutermula
(10)
3) Para cada raio calcular a diferenccedila entre a projeccedilatildeo original e a reconstruiacuteda 4)
Calcular o somatoacuterio de todos pesos ao longo de cada raio
(11)
5) Obter a correccedilatildeo para cada raio
23
(12)
6) Aplicar a correccedilatildeo a cada ceacutelula
(13)
onde eacute um paracircmetro de relaxaccedilatildeo entre 0 e 2
7) Repetir os passos 2 ao 6 para todos os raios
8) Achar a soma da convergecircncia de todos os pixels da imagem
(14)
9) Finalizar a iteraccedilatildeo
As iteraccedilotildees satildeo finalizadas quando chegar a um valor preacute - estabelecido Muitos autores
estabelecem um criteacuterio de Caso o criteacuterio natildeo tenha sido cumprido uma nova
iteraccedilatildeo eacute iniciada no passo 2
O ART frequentemente sofre de ruiacutedos tipo sal e pimenta (salt and pepper noise)
causados pelas inconsistecircncias introduzidas no conjunto de equaccedilotildees por aproximaccedilotildees nos O
efeito eacute exacerbado porque cada pixel ao longo de um raio eacute alterado assim que a projeccedilatildeo eacute
calculada mudando seus valores antes que outro raio o faccedila Tanto o ruiacutedo quando a taxa de
convergecircncia do meacutetodo dependem do paracircmetro de relaxaccedilatildeo utilizado escolhido empiricamente
(geralmente entre 0 e 2) (KAK 1989)
223 MART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica com Correccedilatildeo Multiplicativa)
Vaacuterios estudos apontam o meacutetodo como raacutepido mais flexiacutevel e de melhor acuraacutecia
que o ART Sendo indicado principalmente para casos de um nuacutemero limitado de dados
(VERHOEVEN 1993) A teacutecnica eacute semelhante ao ART com mudanccedila apenas no fator de correccedilatildeo
24
expresso pela equaccedilatildeo 15
(15)
23 O Caso Dinacircmico
De um modo geral imagiologia dinacircmica CT tem como objetivo reconstruir sequecircncias de
imagens em que a natureza dinacircmica do objeto tomografado eacute de interesse primaacuterio permitindo o
registro de mudanccedilas temporais na distribuiccedilatildeo do coeficiente de atenuaccedilatildeo linear Entende-se como
caso estaacutetico a situaccedilatildeo em que o objeto tem distribuiccedilatildeo de atenuaccedilotildees fixa na regiatildeo de
estudo ao longo do tempo Algoritmos de reconstruccedilatildeo tomograacutefica utilizam como dados de entrada
as projeccedilotildees unidimensionais tomograacuteficas Cada projeccedilatildeo eacute adquirida atraveacutes das aquisiccedilotildees de
intensidades inicial e final ao longo do raio na direccedilatildeo
O escaneamento pode ser feito atraveacutes de aquisiccedilotildees paralelas de um uacutenico feixe (Parallel
Beam) ou com as trajetoacuterias em forma de leque (Fan Beam) Como o sinograma eacute resultado das
transformadas de Radon ao longo dos raios pode-se dizer que o objetivo da tomografia eacute obter a
sua inversa ou seja a imagem reconstruiacuteda ou como no caso unidimensional a curva
(KAK A C SLANEY M 1999)
(16)
Historicamente a CT dinacircmica no contexto meacutedico refere-se a algoritmos de imagem que
tentam corrigir movimentos formando uma imagem de alta qualidade estaacutetica atraveacutes da remoccedilatildeo
do componente dinacircmico Diferentemente da aacuterea meacutedica as imagens reconstruiacutedas de fluxos
multifaacutesicos oriundas de relativa baixa resoluccedilatildeo temporal trazem informaccedilotildees importantes da
mudanccedila do fluxo ao longo do tempo (MyersG R Kingston A M 2011) O objetivo da
tomografia neste caso eacute determinar a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de atenuaccedilatildeo
No caso CT de 1ordf 3ordf geraccedilotildees aplicados a distribuiccedilotildees dinacircmicas uma uacutenica imagem
representativa de todo o processo (reconstruiacuteda por processos desenvolvidos para distribuiccedilotildees
25
estaacuteticas) eacute o resultado final da tomografia (BARTHOLOMEW CASAGRANDE 1957) (AZZI et
al 1991) (YIN et al 2002)(DAHAN A et al 2007) (DUDUKOVIC 2007) (DANTAS CC et
al 2007) (SALVADOR P A V 2010) (MESQUITA C et al 2011) A funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de
atenuaccedilotildees passa a ser uma aproximaccedilatildeo
Esta aproximaccedilatildeo eacute devido a projeccedilotildees natildeo compatiacuteveis no sinograma (tambeacutem chamado de
) (BONNET S 2003) As projeccedilotildees agora tornam-se incompatiacuteveis
devido as diferentes distribuiccedilotildees que ocorreram durante o intervalo de tempo [0 t]
24 Reconstruccedilatildeo com Correccedilatildeo de Movimento
A reduccedilatildeo de artefatos de movimento em imagens tomograacuteficas eacute um problema
crucial em oacutergatildeos de um forte caraacuteter dinacircmico como por exemplo os pulmotildees ou o coraccedilatildeo Uma
maneira simples de reduzir esses artefatos eacute limitar o tempo de aquisiccedilatildeo usando tomografia ultra ndash
raacutepida (5ordf geraccedilatildeo)
Aqui considera-se uma outra abordagem em que os modelos de movimento satildeo
integrados diretamente ao processo de reconstruccedilatildeo e onde a resoluccedilatildeo temporal pode assim ser
significativamente aumentada Os meacutetodos podem ser algeacutebricos (GILLAND et al 2002 1996 DE
MURCIA BLONDE et al 2003) ou analiacuteticos ( BONNET et al 2003)
A teacutecnica de compensaccedilatildeo de movimento utilizada neste estudo utiliza um modelo
de transformaccedilatildeo da matriz de pesos A dividindo-a em submatrizes tendo suas colunas deslocadas
adequadamente de acordo com o modelo de movimento obtido a cada projeccedilatildeo (PENGPAN et al
2011) Por esse motivo o vetor deslocamento do movimento deve ser calculado a cada projeccedilatildeo
Para uma grande quantidade de dados necessaacuterios em estudos dinacircmicos na aacuterea
meacutedica abordagens analiacuteticas que levam a algoritmos de reconstruccedilatildeo diretos satildeo mais apropriadas
Alguns meacutetodos satildeo aproximaccedilotildees adaptadas para uso geral do tipo de movimento mas amplitude
moderada (RITCHIE et al 1996 GRANGEAT et al 2002)
No trabalho desenvolvido foca-se a situaccedilatildeo em que um pequeno nuacutemero de dados eacute
26
disponibilizado devido a natureza da aplicaccedilatildeo Salienta-se que a compensaccedilatildeo de movimento
ocorre com a aplicaccedilatildeo da mesma quantidade de movimento (obtida previamente ou durante a
reconstruccedilatildeo) agrave matriz A
A funccedilatildeo em um instante de tempo t pode ser encontrada com a aplicaccedilatildeo da
deformaccedilatildeo agrave seu valor inicial
(17)
A deformaccedilatildeo pode apresentar rotaccedilatildeo e translaccedilatildeo
(18)
25 Geraccedilotildees de Tomoacutegrafos
A primeira geraccedilatildeo de tomoacutegrafos foi produzida pela EMI Mark em 1973 tendo
como desenvolvedor o engenheiro Hounsfield O sistema era composto por um uacutenico tubo de raios
X o qual produzia um uacutenico feixe ciliacutendrico que atravessava o objeto em estudo o paciente
atingindo o uacutenico detector que media a intensidade do mesmo O sistema ainda contava com um par
de colimadores (dois pequenos tubos metaacutelicos colocados apoacutes o feixe deixar a fonte e antes do
mesmo atingir o detector) para minimizar o espalhamento do feixe A fonte de raios X e o detector
se movem em sincronia e em lados opostos do paciente executando um escaneamento linear sobre a
seccedilatildeo em estudo seguido de uma rotaccedilatildeo de 1 grau e um novo escaneamento linear eacute efetuado
como ilustra a Figura 3 a)
Os tomoacutegrafos de segunda geraccedilatildeo foram desenvolvidos visando reduzir o tempo de
escaneamento minimizando a exposiccedilatildeo do paciente agrave radiaccedilatildeo e ampliando a gama de oacutergatildeos que
podem ter a seccedilatildeo transversal reconstruiacuteda Os tomoacutegrafos ainda mantiveram o movimento de
varredura linear seguida de uma rotaccedilatildeo Entretanto o feixe de raios X deixou de ser ciliacutendrico e
passou a ter formato de leque Ao inveacutes de um uacutenico detector o sistema passou a contar com vaacuterios
27
detectores alinhados de forma que possam receber todos os raios do feixe Dessa maneira o tempo
de obtenccedilatildeo de dados de uma seccedilatildeo foi reduzido de acordo
com o nuacutemero de detectores e com o acircngulo de abertura empregado como pode ser visto na Figura
3b) A terceira geraccedilatildeo de aparelhos abandonou de vez os movimentos de translaccedilatildeo do tubo de
raios X e dos detectores e passou a contar com um leque com um acircngulo maior e uma base de
detectores mais ampla em formato semi-circular O sistema passou a efetuar um movimento de 360
graus em torno da seccedilatildeo Tambeacutem eram usados colimadores antes do feixe atingir os detectores a
fim de minimizar o espalhamento dos raios X e garantir a qualidade das imagens O tempo de cada
varredura em alguns modelos comerciais passou a ser de apenas meio segundo ilustrado pela
Figura 3 c)
A quarta geraccedilatildeo de aparelhos passou a contar com um anel de detectores que
circundam toda a seccedilatildeo que possibilitou aumentar mais ainda o acircngulo do feixe de radiaccedilatildeo Os
detectores satildeo fixos e a fonte de radiaccedilatildeo rotaciona dentro do anel de detectores e ao redor do corpo
irradiado Um problema desta geraccedilatildeo diz respeito agrave recepccedilatildeo dos feixes que natildeo satildeo fixos e
dependendo do acircngulo um feixe pode atingir dois detectores ou acertar um detector apenas em uma
fraccedilatildeo ilustrado pela Figura 6d)
Como o tempo despendido para realizaccedilatildeo de movimentos mecacircnicos eacute a principal
28
limitaccedilatildeo para reduzir ainda mais os tempos de escaneamento a quinta geraccedilatildeo de aparelhos acabou
com os movimentos de translaccedilatildeo e rotaccedilatildeo da fonte e dos detectores Rachid Maad em MAAD R
2009 evita utilizar essa classificaccedilatildeo para tomoacutegrafos sem rotaccedilatildeo e translaccedilatildeo utilizados
industrialmente ficando essa classificaccedilatildeo mais utilizada em aplicaccedilotildees meacutedicas Esse utiliza o
termo geraccedilatildeo de tomografia instantacircnea para tais aparelhos representados na Figura 6e)
Na configuraccedilatildeo instantacircnea um anel de detectores estacionaacuterios e as fontes de
radiaccedilatildeo rodeiam o objeto fornecendo um arranjo fixo (sem varreduras) e mediccedilotildees instantacircneas1
Esta teacutecnica eacute muito raacutepida e pode ser usada na geraccedilatildeo de imagens em tempo real A desvantagem
eacute o custo e o problema da radiaccedilatildeo dispersa causada pela presenccedila de muacuteltiplas fontes
26 Simulaccedilatildeo de Sinogramas
Phantoms matemaacuteticos ou imagens de teste satildeo frequentemente utilizados para
avaliar a precisatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo Satildeo descritos precisamente por funccedilotildees
matemaacuteticas e suas transformadas de Radon simulam as projeccedilotildees tomograacuteficas Seus pixels satildeo as
regiotildees discretizadas e seus valores ou cores representam as densidades ou coeficientes de
atenuaccedilatildeo linear A imagem de teste (phantom) mais conhecida em reconstruccedilatildeo tomograacutefica eacute o
1 O termo instantacircneo aqui utilizado negligencia o tempo de aquisiccedilatildeo para as contagens de intensidade de radiaccedilatildeo devido ao seu baixo valor deacutecimos de segundo
29
phantom de Sheep ndash Logan Figura 7
Para calcular a projeccedilatildeo simulada somam-se os produtos das distacircncias percorridas
pelo raio em cada pixel pelo seu valor Paracircmetros do experimento tomograacutefico que se deseja
simular como a aacuterea a ser varrida densidades reais adiccedilatildeo de ruiacutedo e fotos da secccedilatildeo do objeto
podem ser incorporadas para dar mais realidade ao modelo (SUBBARAO PMV et al 1997) O
ruiacutedo obedece ao desvio padratildeo de Poisson (IAEA-TECDOC-1589 2008)
A secccedilatildeo irradiada eacute representada por uma matriz de incoacutegnitas que representam a
distribuiccedilatildeo de densidades que se deseja descobrir As incoacutegnitas satildeo os pixels da imagem
reconstruiacuteda como ilustrado na Figura 8
Nessa representaccedilatildeo um raio corresponde a uma faixa com largura que na maioria
das vezes coincide com a largura de um pixel
Figura 7 Phantom de Sheep-Logan
50 100 150 200 250
50
100
150
200
2500
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
30
Parametrizando os pixels com j variando de 1 a N e os raios com i de 1 a M podemos
escrever a transformada de Radon ao longo do raio i como
(19)
onde eacute o peso que diz o percentual de contribuiccedilatildeo de um pixel j para o raio i definido como
(20)
Uma boa aproximaccedilatildeo eacute o modelo em que a largura do feixe eacute reduzida a uma linha
reta fazendo a distacircncia percorrida por este feixe dentro do pixel
Para calcular a intensidade final para uma projeccedilatildeo i faz-se
31
(21)
Com calculado da figura e de meacutedia fixa variando a cada projeccedilatildeo
com o desvio padratildeo de Poisson para todas as projeccedilotildees
O sinograma simulado eacute construiacutedo fazendo cada elemento de sua matriz igual a
27 Fluidodinacircmica Computacional - CFD
Fluidodinacircmica computacional (Computational Fluid Dynamics - CFD) eacute o termo
dado ao grupo de teacutecnicas matemaacuteticas numeacutericas e computacionais usadas para obter visualizar e
interpretar soluccedilotildees para as equaccedilotildees de conservaccedilatildeo de grandezas fiacutesicas de interesse em um dado
escoamento A origem destas equaccedilotildees de conservaccedilatildeo eacute a teoria de Fenocircmenos de Transporte
Assim pode-se resumir CFD como o conjunto das teacutecnicas de simulaccedilatildeo computacional usadas
para predizer os fenocircmenos fiacutesicos ou fiacutesico-quiacutemicos que ocorrem em escoamentos
A Fluidodinacircmica computacional eacute uma aacuterea de grande interesse para a soluccedilatildeo de
muitos problemas praacuteticos Como exemplo podem ser citados problemas de aerodinacircmica
termodinacircmica hidraacuteulica dentre outros As anaacutelises nesta aacuterea de pesquisa podem ser
desenvolvidas com base em experimentos bem como em meacutetodos teoacutericos Dentro dos meacutetodos
teoacutericos destacam-se os meacutetodos computacionais utilizados para simulaccedilatildeo numeacuterica aplicada agrave
Dinacircmica dos Fluidos (HERCKERT M G R)
Para os escoamentos de fluidos o modelo matemaacutetico eacute estabelecido com base nas
equaccedilotildees de conservaccedilatildeo da quantidade de movimento da massa e da energia Estas equaccedilotildees
quando submetidas a condiccedilotildees de contorno e iniciais apropriadas representam matematicamente
um problema particular (SHAMES I H 1973) A soluccedilatildeo analiacutetica destas equaccedilotildees somente eacute
possiacutevel para escoamentos muito simples Para se analisar problemas reais lanccedila-se matildeo do uso dos
chamados meacutetodos numeacutericos
Nos casos de escoamentos laminares os modelos satildeo relativamente simples pois as
32
equaccedilotildees de Navier-Stokes2 conservaccedilatildeo da massa e conservaccedilatildeo de energia satildeo resolvidas
Contudo como a maioria dos escoamentos que acontecem na natureza e no meio industrial satildeo
turbulentos estes tem um alto grau de complexidade e portanto deve-se lanccedilar matildeo de modelos
matemaacuteticos de turbulecircncia acrescentando termos as equaccedilotildees anteriormente citadas Os modelos
de turbulecircncia levam em conta variaacuteveis estatiacutesticas pois escoamentos turbulentos satildeo altamente
caoacuteticos e com isto haacute a necessidade de ferramentas estatiacutesticas para representar os escoamentos
turbulentos
A Figura 9 mostra campos de velocidade e distribuiccedilatildeo de soacutelido dentro do riser com
o regime de fluxo feito por CFD (ARMSTRONG L M 2010) Uma uacutenica velocidade de injeccedilatildeo e
diferentes alturas ao longo do riser Outros exemplos satildeo ilustrados nas Figuras 10 e 11
2 satildeo equaccedilotildees diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos Permitem determinar os
campos de velocidade e de pressatildeo num escoamento
Figura 9 Distribuiccedilatildeo de velocidades e defraccedilatildeo de soacutelido para diferentes alturas
33
28 Tempo de Aquisiccedilatildeo ou Integraccedilatildeo
Detectores de radiaccedilatildeo precisam sempre de um certo tempo (tempo de integraccedilatildeo)
para obter sinal razoaacutevel dos foacutetons incidentes Isto eacute devido agrave estatiacutestica de Poisson que regula o
processo de contagem de foacutetons e pode aumentar consideravelmente a incerteza do sinal detectado
no caso de um tempo de integraccedilatildeo baixo No domiacutenio da frequecircncia a mediccedilatildeo de sinal com um
tempo de integraccedilatildeo eacute aproximadamente equivalente a multiplicar o sinal original por um filtro
passa - baixa Quando uma amostra estaacute em repouso no interior do tomoacutegrafo eacute vantajosa a
utilizaccedilatildeo de um tempo de integraccedilatildeo alto para rejeitar ruiacutedo de alta frequecircncia Para a escolha do
tempo de integraccedilatildeo ideal deve-se estabelecer um equiliacutebrio entre a velocidade da amostra e o ruiacutedo
Poisson (MAAD 2009)
29 Sistema de cores RGB
RGB eacute a abreviatura do sistema de cores aditivas formado por Vermelho (Red)
Verde (Green) e Azul (Blue) O propoacutesito principal do sistema RGB eacute a reproduccedilatildeo de cores em
dispositivos eletrocircnicos como monitores de TV e computador datashows scanners e cacircmeras
digitais assim como na fotografia tradicional Em contraposiccedilatildeo impressoras utilizam o modelo
Figura 11 Visatildeo 3D de uma distribuiccedilatildeo de fraccedilatildeode soacutelido feito por CFD
Figura 10 Secccedilatildeo comdistribuiccedilatildeo de soacutelido que
seraacute utilizada como PhantomMatemaacutetico
34
CMYK de cores subtrativas Modelos aditivos de luzes satildeo combinados de vaacuterias maneiras para
reproduzir outras cores
O modelo de cores RGB eacute baseado na teoria de visatildeo colorida tricromaacutetica de
Young-Helmholtz e no triacircngulo de cores de Maxwell O uso do modelo RGB como padratildeo para
apresentaccedilatildeo de cores na Internet tem suas raiacutezes nos padrotildees de cores de televisotildees RCA de 1953 e
no uso do padratildeo RGB nas cacircmeras LandPolaroid poacutes Edwin Land
Estas trecircs cores natildeo devem ser confundidas com os pigmentos primaacuterios Ciano
Magenta e Amarelo conhecidos no mundo das artes como ldquocores primaacuteriasrdquo jaacute que se combinam
baseadas na reflexatildeo e absorccedilatildeo de foacutetons visto que o RGB depende da emissatildeo de foacutetons de um
componente excitado a um estado de energia mais elevado (fonte emissora por exemplo o tubo de
raios catoacutedicos)
O modelo de cores RGB por si soacute natildeo define o que significa ldquovermelhordquo ldquoverderdquo ou ldquoazulrdquo
(espectroscopicamente) e entatildeo os resultados de misturaacute-los natildeo satildeo tatildeo exatos (e sim relativos na
meacutedia da percepccedilatildeo do olho humano)
Uma cor no modelo de cores RGB pode ser descrita pela indicaccedilatildeo da quantidade de
vermelho verde e azul que conteacutem Cada uma pode variar entre o miacutenimo (completamente escuro)
e maacuteximo (completamente intenso) Quando todas as cores estatildeo no miacutenimo o resultado eacute preto Se
todas estatildeo no maacuteximo o resultado eacute branco (GONZALES 2014)
Uma das representaccedilotildees mais usuais para as cores eacute a utilizaccedilatildeo da escala de 0 agrave 255
bastante encontrada na computaccedilatildeo pela conveniecircncia de se guardar cada valor de cor em 1 byte (8
bits) Assim o vermelho completamente intenso eacute representado por 255 0 0
Branco - RGB (255 255 255) Azul - RGB (0 0 255) Vermelho - RGB (255 0 0)
Verde - RGB (0 255 0)Amarelo - RGB (2552550)Magenta - RGB (2550255)
Ciano - RGB (0 255 255) Preto - RGB (0 0 0)
35
As cores satildeo complementares agraves do sistema CMYK - Ciano (Cyan) Magenta
(Magenta) Amarelo (Yellow) e Preto (blacKKey) - e a sua mistura forma a cor branca
210 MCNP
O meacutetodo Monte Carlo eacute um algoritmo numeacuterico capaz de resolver problemas fiacutesicos e
matemaacuteticos por meio de simulaccedilatildeo de variaacuteveis aleatoacuterias (SOBOL 1994 BIELAJEW 1998)
Hoje em dia o MCNP eacute uma ferramenta matemaacutetica comumente utilizada em diversos segmentos
da ciecircncia e da engenharia para simular problemas que podem ser representados por processos
estocaacutesticos Simulaccedilotildees do transporte de radiaccedilatildeo por meio deste meacutetodo e em particular na Fiacutesica
Meacutedica tecircm passado por um raacutepido crescimento nas uacuteltimas deacutecadas (YORIYAZ 2009)
O processo Monte Carlo pode ser compreendido como um meacutetodo de geraccedilatildeo de nuacutemeros
aleatoacuterios (ROBERT amp CASELLA 2004) Um gerador uniforme de nuacutemeros pseudoaleatoacuterios eacute
um algoritmo que comeccedilando com um valor inicial e uma transformaccedilatildeo produz uma sequecircncia de
valores no intervalo [0 1] tendo esta sequecircncia um comportamento de uma variaacutevel aleatoacuteria
uniforme quando comparada com um conjunto de testes aleacutem de ser independente e identicamente
distribuiacuteda (ROBERT amp CASELLA 2004) Em termos de transporte de radiaccedilatildeo o processo
estocaacutestico pode ser visto como uma famiacutelia de partiacuteculas cujas coordenadas individuais soacute mudam
aleatoriamente em cada colisatildeo O comportamento meacutedio dessas partiacuteculas eacute descrito em termos de
Figura 12Sistema RGB
36
grandezas macroscoacutepicas como fluxo ou densidade de partiacuteculas (YORIYAZ 2009)
O Monte Carlo N Particle ndash MCNP - foi criado desde a deacutecada de 50 nos Estados
Unidos sendo desenvolvido por meio do laboratoacuterio Los Alamos National Laboratory O MCNP
continua ateacute hoje sendo aperfeiccediloado tornando-se assim mais confiaacutevel e usado por muitos
pesquisadores no mundo inteiro Eacute um coacutedigo que realiza o transporte de partiacuteculas utilizando o
meacutetodo Monte Carlo com capacidade para simular necircutrons com energias entre 10-11 MeV a 20
MeV enquanto que a faixa de energia para os foacutetons e eleacutetrons vai de 1 keV a 1000 MeV
(BRIESMEISTER 2000) O coacutedigo MCNP tem a capacidade de simular sistemas com geometrias
que vatildeo de superfiacutecies preacute-determinadas como esferas planos paraboloacuteides de revoluccedilatildeo cilindros
elipsoacuteides ateacute superfiacutecies bem elaboradas utilizando conjunto de pontos no espaccedilo
O pesquisador ao utilizar o MCNP constroacutei um arquivo de entrada no coacutedigo que
pode ser organizado em blocos descrevendo regiotildees envolvidas no modelo especificaccedilatildeo da
geometria por meio de superfiacutecies geomeacutetricas e suas intersecccedilotildees posiccedilatildeo e distribuiccedilatildeo energeacutetica
da fonte descriccedilatildeo dos materiais e todos os paracircmetros fiacutesicos agregados com algumas teacutecnicas de
reduccedilatildeo de variacircncia para melhorar a eficiecircncia e obter melhores resultados (BRIESMEISTER
2000) A versatilidade somado ao aspecto funcional do coacutedigo MCNP para diferentes tipos de
problemas faz com que este seja bem aceito na comunidade cientiacutefica que trabalham com transporte
de radiaccedilotildees e caacutelculos de dose
37
3 METODOLOGIA
Para descobrir ateacute onde processos tomograacuteficos de baixa resoluccedilatildeo temporal aliados
a algoritmos de reconstruccedilatildeo estaacutetica satildeo compatiacuteveis com o regime em estudo foram avaliadas
aquisiccedilotildees simuladas de 1ordf 3ordf e 5ordf geraccedilotildees tomograacuteficas A variaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo de densidades
durante a aquisiccedilatildeo faz necessaacuterio o desenvolvimento de uma versatildeo da lei de Beer-Lambert para
casos dinacircmicos seguida de sua aplicaccedilatildeo para realizar as simulaccedilotildees O meacutetodo eacute separado em duas
fases
1ordf Fase
A metodologia desenvolvida aplica primeiro o modelo de simulaccedilatildeo de sinogramas
desenvolvida analiticamente agrave primitivas matemaacuteticas e posteriormente a dados do MCNPX e CFD
1) Eacute criado um modelo de simulaccedilatildeo de sinogramas para distribuiccedilotildees
dinacircmicas utilizando a versatildeo temporal desenvolvida da lei de Beer-Lambert e da transformada de
Radon tambeacutem temporal
2) A simulaccedilatildeo eacute testada com primitivas matemaacuteticas dinacircmicas como um
ciacuterculo crescente ou transladando ou ambos A escolha eacute pautada em sua representaccedilatildeo precisa por
funccedilotildees matemaacuteticas e por representar diversos processos industriais(A simulaccedilatildeo com o disco
representa a secccedilatildeo de um cilindro ou bolha)
3) Os resultados satildeo apresentados em forma de imagens e graacuteficos A
visualizaccedilatildeo do sinograma eacute bastante utilizada para determinaccedilatildeo de caracteriacutesticas do objeto
4) O modelo de simulaccedilatildeo eacute ao aplicado a dados do CFD
2ordf Fase
O meacutetodo desenvolvido propotildee uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens
tomograacuteficas de processos dinacircmicos pois utiliza canais de cores para mostrar a evoluccedilatildeo temporal
do processo O algoriacutetmo de reconstruccedilatildeo utilizado eacute o MART devido a sua boa performance com
nuacutemero limitado de dados
Nesta fase eacute realizada a reconstruccedilatildeo tradicional que eacute associada aos canais verde (G)
e azul (B) enquanto que o canal vermelho (R) fica responsaacutevel pela evoluccedilatildeo temporal do processo
O meacutetodo eacute descrito na seccedilatildeo 33
38
A reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento eacute utilizada com conhecimento do vetor
deslocamento meacutedio ou sua estimativa O meacutetodo escolhido modifica a matriz de pesos do
algoritmo algeacutebrico deslocando suas colunas de acordo com o modelo de movimento estimado
(ARTEMIEV V M NAUMOV A O 2006) (BUTALA 2009) (DESBAT L et al 2006)
Com o resultado das simulaccedilotildees o sistema tomograacutefico pode ser otimizado
(diminuiccedilatildeo do nuacutemero de projeccedilotildees e vistas)
31 A Transformada de Radon Temporal
regiatildeo (espaccedilo de medida) na qual seraacute feita a aquisiccedilatildeo de dados
considere a funccedilatildeo densidade onde
Neste sistema um ponto pode ser
mapeado por como
complemento unitaacuterio perpendicular a
ao longo da reta eacute dada por
(22)
39
depende natildeo apenas de x e y mas de com sendo a
variaacutevel tempo Definimos entatildeo
(23)
onde e o tempo final da mesma medida
Lema 1 ou seja se eacute
estaacutetico ao longo do tempo a transformada dinacircmica reduz-se a convencional
Demostraccedilatildeo
Figura 13 Sistema de Coordenadas
θ
x
y
ξξ
s
x (xy
)
40
Lema 2 e portanto se a
leitura for ldquoraacutepidardquo o caso dinacircmico mais uma vez reduz-se ao caso estaacutetico
Demostraccedilatildeo
Pelo teorema do valor meacutedio integral (TVMI) temos que se f eacute contiacutenua entatildeo
para algum tal que
usando o TVMI
K(γ)
41
32 Lei de Beer-Lambert temporal
Como a natureza da lei exige que os tempos de contagens sejam iguais para que estas
sejam comparadas apenas a variaccedilatildeo da intensidade da radiaccedilatildeo com a distacircncia eacute geralmente
explorada Sabendo que esses intervalos de tempo de contagem satildeo despreziacuteveis em relaccedilatildeo ao
tempo de meia vida da fonte e que a probabilidade de emissatildeo se manteacutem constante ao longo do
mesmo tempo pode-se supor que a intensidade seja diretamente proporcional ao tempo Ou seja
(24)
Neste caso a distribuiccedilatildeo de coeficientes de atenuaccedilotildees varia tambeacutem com o tempo
ou seja torna-se
(25)
ou
(26)
O modelo discreto aplica a lei de Beer-Lambert em sua forma estaacutetica para cada
particcedilatildeo de tempo assumindo que durante o infinitesimal de tempo o coeficiente e a distacircncia
percorrida permanecem constantes
(27)
42
(28)
33 Simulaccedilatildeo de aquisiccedilotildees Tomograacuteficas
O processo de aquisiccedilatildeo tomograacutefica consiste em coletar intensidades iniciais e finais
em determinados caminhos percorridos pelos feixes de radiaccedilatildeo Os dados podem ser tratados com
filtros etc Optou-se em natildeo realizar tratamento para natildeo inserir mais variaacuteveis ao processo
garantindo que os resultados sejam alcanccedilados soacute pelo meacutetodo proposto
Como jaacute foi dito na seccedilatildeo 26 para calcular a intensidade final para um caminho i
faz-se
(29)
A funccedilatildeo eacute representada pelas imagens de testes chamadas neste trabalho de
quadros ou frames configurados pela distribuiccedilatildeo de densidades escolhida Em todos os casos
optou-se por densidades unitaacuterias para qualquer distribuiccedilatildeo ou seja dois valores satildeo possiacuteveis em
uma imagem de teste 0 ou 1 Um pixel com valor 0 corresponde a uma regiatildeo sem atenuaccedilatildeo e os
pixels que compotildeem o objeto simulado tem valor 1
Com calculado da figura e de meacutedia fixa variando a cada projeccedilatildeo
com o desvio padratildeo de Poisson para todas as projeccedilotildees as projeccedilotildees satildeo calculadas com
O conjunto de todas as projeccedilotildees eacute ordenado em uma matriz chamada de sinograma
331 Aquisiccedilatildeo por Tomografia de 1ordf Geraccedilatildeo
Dois tipos de situaccedilotildees podem ocorrer
1) Uma uacutenica projeccedilatildeo 1D eacute realizada e durante todo o tempo de integraccedilatildeo nenhuma
mudanccedila ocorre na distribuiccedilatildeo ao longo do raio podendo mais de uma aquisiccedilatildeo 1D ser aferida
para mesma distribuiccedilatildeo ou frame Neste caso a intensidade final eacute calculada utilizando a lei de
43
Beer-Lambert durante todo o tempo de integraccedilatildeo para cada raio como ilustrado na Figura 15
Para calcular a intensidade final para uma projeccedilatildeo i faz-se
(30)
2) Durante a aquisiccedilatildeo ocorre mudanccedila na distribuiccedilatildeo de densidades ao longo do
feixe Como foi exposto na seccedilatildeo 31 o somatoacuterio de intensidades finais do raio em cada quadro
(frame) retorna a intensidade final total para um certo tempo de aquisiccedilatildeo Figura 16
Figura 15 Projeccedilotildees 1D sem mudanccedila de frame
44
Entatildeo para cada frame eacute feita
e para a discretizaccedilatildeo de um intervalo de tempo
No exemplo ilustrado na Figura 16 a intensidade final depois do tempo de integraccedilatildeo
correspondente ao frame b fica
3) Natildeo ocorre mudanccedila na distribuiccedilatildeo durante toda a coleta de aquisiccedilotildees 1D em uma vista
4) Natildeo ocorre mudanccedila durante a aquisiccedilatildeo de todas as vistas Neste caso a distribuiccedilatildeo pode
ser tratada como estaacutetica
Figura 16 Projeccedilotildees 1D com mudanccedila de frame
1ordf aquisiccedilatildeo - Quadro a 1ordf aquisiccedilatildeo - Quadro b
45
332 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 3ordf geraccedilatildeo
A vantagem do meacutetodo eacute adquirir vaacuterias projeccedilotildees 1D ao mesmo tempo
Possibilitando um maior volume de dados em um tempo menor quando comparado ao de 1ordf
geraccedilatildeo Dois casos satildeo possiacuteveis
1) O tempo de integraccedilatildeo eacute suficiente para realizar uma vista completa ou mais por
quadro ou frame Figura 17
Figura 17 Mais de uma vista por frame
46
2) Mais de um quadro por vista Figura 18
333 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 5ordf geraccedilatildeo
Nesta situaccedilatildeo vaacuterias vistas satildeo adquiridas durante a mudanccedila da distribuiccedilatildeo Figura 19
Figura 19 Mais de um frame durante a aquisiccedilatildeo
Figura 18 Mais de um frame por vista
47
34 Posicionamento angular
O posicionamento angular tradicionalmente eacute feito com um conjunto de acircngulos
igualmente espaccedilados ordenados de forma crescente cobrindo o intervalo de 0ordm a 180ordm ou 360ordm A
ordem em que as projeccedilotildees ou vistas satildeo adquiridas natildeo importa porque o objeto em estudo eacute
estaacutetico
A proposta para tomografia dinacircmica de 1ordf e 3ordf geraccedilotildees eacute que o posicionamento seja
feito em subconjuntos que completem um ciclo Por exemplo o conjunto de vistas posicionadas
consecutivamente em 0ordm 45ordm 90ordm 135ordm 180ordm 225ordm 270ordm 315ordm pode ser reordenada em ciclos como
0ordm 90ordm 180ordm 270ordm Primeiro ciclo
45ordm 135ordm 225ordm 315ordm Segundo ciclo
A vantagem desse arranjo eacute que num determinado momento ao se preferir um
sinograma completo mas esparso em contraposiccedilatildeo a um sinograma incompleto mas denso eacute que as
informaccedilotildees vatildeo ser disponibilizadas na forma de imagem reconstruiacuteda mais cedo durante o
processo facilitando a interpretaccedilatildeo das informaccedilotildees Eacute uma escolha entre anaacutelise global esparsa
versus anaacutelise local densa
A nova ordenaccedilatildeo gera uma imagem reconstruiacuteda mais proacutexima do objeto dinacircmico e
abre a possibilidade de reconstruccedilotildees parciais com os subconjuntos de dados mais consistentes com
a dinacircmica do processo
35 Utilizaccedilatildeo de um canal de cores para visualizar a dinacircmica do processo Reconstruccedilatildeo RGB
Uma caracteriacutestica da imagem reconstruiacuteda tradicionalmente em processos
industriais dinacircmicos eacute a falta de informaccedilatildeo temporal ou seja obtecircm-se informaccedilotildees da meacutedia da
distribuiccedilatildeo mas natildeo se sabe em que tempo ocorreram as mudanccedilas de padratildeo de fluxo A proposta
desenvolvida neste trabalho pondera cada perfil adquirido com um fator dependente do tempo
criando esta distinccedilatildeo
O meacutetodo desenvolvido propotildee uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens
tomograacuteficas de processos dinacircmicos pois utiliza canais de cores para mostrar a evoluccedilatildeo temporal
do processo Nesta fase eacute realizada a reconstruccedilatildeo tradicional e a mesma eacute associada aos canais
verde (G) e azul (B) enquanto que ao canal vermelho (R) eacute associada a evoluccedilatildeo temporal do
processo Uma cor no modelo de cores RGB pode ser descrita pela indicaccedilatildeo da quantidade de
48
vermelho verde e azul que conteacutem Cada uma pode variar entre o miacutenimo (completamente escuro)
e maacuteximo (completamente intenso) Quando todas as cores estatildeo no miacutenimo o resultado eacute preto Se
todas estatildeo no maacuteximo o resultado eacute branco Uma das representaccedilotildees mais usuais para os canais eacute a
utilizaccedilatildeo da escala de 0 agrave 255 (GONZALES 2014)
O meacutetodo consiste em
1) Simular as projeccedilotildees que equivalem na utilizaccedilatildeo real de um experimento agrave
coleta de dados de intensidades finais e iniciais pelo detetor
2) Reconstruir com esses dados a distribuiccedilatildeo de densidades Foi utilizado o MART
com relaxaccedilatildeo 02 e criteacuterio de parada 1
3) Associar esta reconstruccedilatildeo aos canais G e B
4) Binarizar a imagem reconstruiacuteda entre 0 e 150 O limiar (threshold) utilizado foi
empiacuterico e de 50 do maior valor da imagem
5) Penalizar as projeccedilotildees da primeira agrave uacuteltima com um fator empiacuterico crescente com
o tempo Normalizar as projeccedilotildees de cada vista por 105
6) Realizar a retroprojeccedilatildeo nos pixels com suas respectivas projeccedilotildees
7) Associar ao canal R
8) Juntar todos os canais em uma uacutenica imagem A reconstruccedilatildeo tradicional e a
reconstruccedilatildeo RGB satildeo visualizadas em uma uacutenica imagem onde os tons de vermelho correspondem
agrave evoluccedilatildeo temporal da dinacircmica do processo
36 Reconstruccedilatildeo utilizando dados do CFD
Dados da simulaccedilatildeo de fluxo bifaacutesico satildeo gerados em forma de imagens 2D da distribuiccedilatildeo
em secccedilotildees transversais ao longo do tubo Os dados satildeo coletados para uma uacutenica altura ou seja
secccedilatildeo As diversas imagens de uma uacutenica secccedilatildeo representam a evoluccedilatildeo temporal do fluxo
naquela regiatildeo O conjunto de 8 imagens exemplificam o comportamento do fluxo em intervalos
de tempo de 00025s
A altura da secccedilatildeo em m o tipo de injetor a vazatildeo volumeacutetrica em Lmim e o fluxo de
catalisador satildeo dados de entrada na simulaccedilatildeo do CFD mas natildeo fazem parte das simulaccedilotildees de
aquisiccedilotildees tomograacuteficas utilizadas nesse estudo As imagens portam as informaccedilotildees que seratildeo
utilizadas nas simulaccedilotildees de aquisiccedilatildeo das projeccedilotildees
49
37 Avaliaccedilatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo com RMSE
As teacutecnicas de avaliaccedilatildeo de algoritmos de reconstruccedilatildeo mais utilizadas na literatura
satildeo raiz do erro quadraacutetico meacutedio erro meacutedio relativo absoluto e erros baseados em entropia Para
o caso de simulaccedilotildees com figuras de testes bem definidas (phantoms matemaacuteticos) as teacutecnicas
podem ser aplicadas comparando a imagem reconstruiacuteda com a imagem original O mesmo
procedimento repete-se para phantoms reais onde a distribuiccedilatildeo de densidades eacute bem conhecida Os
sinogramas tambeacutem podem ser avaliados
Gordon e Herman (GORDON 1974 HERMAN 1973 HERMAN 1976) usaram a
raiz do erro quadraacutetico meacutedio para avaliar o quanto a figura reconstruiacuteda aproxima-se da original A
definiccedilatildeo do erro eacute
(31)
Onde
eacute o valor original do pixel
o pixel reconstruiacutedo
o nuacutemero total de pixels da imagem ou sinograma
50
38 Algoritmos e Software Desenvolvidos
Diversas rotinas foram implementadas no Matlab Suas funccedilotildees satildeo para calculo de
projeccedilotildees sinogramas resoluccedilatildeo por ART MART calculo da Matriz de pesos resoluccedilatildeo de
sistemas Aleacutem das jaacute disponiacuteveis no programa como Resoluccedilatildeo por FBP filtros de imagem
operaccedilatildeo com matrizes visualizaccedilatildeo de graacuteficos etc As rotinas estatildeo disponiacuteveis no Anexo-I
Devido agrave grande dimensatildeo da matriz de pesos nos algoritmos algeacutebricos ficou
inviaacutevel sua operaccedilatildeo em alguns casos no Matlab O software Tomography Workstation-TW foi
desenvolvido em C com este propoacutesito Apresenta opccedilotildees de reconstruccedilatildeo ART MART SIRT e
SART Figura 39 Tambeacutem tem as funccedilotildees para carregar tomogramas e sinogramas
Figura 20 Software Desenvolvido
51
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO
Os resultados foram divididos nas seguintes seccedilotildees
bull Aumento do nuacutemero de iteraccedilotildees na Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica Dinacircmica
bull Resultados das reconstruccedilotildees MART e FBP
bull Escolha do posicionamento angular (vistas alternadas)
bull Resultados com reconstruccedilatildeo RGB
bull Simulaccedilotildees com MCNP
bull Reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento
bull Simulaccedilotildees tomograacuteficas a partir do CFD
41 Resultados das Reconstruccedilotildees MART e FBP
As imagens de teste (phantoms) foram utilizadas para avaliar os resultados das
reconstruccedilotildees MART e FBP
411 Primitiva Ciacuterculo Transladando 1 vista por frame
A simulaccedilatildeo consiste em oito distribuiccedilotildees representadas por imagens (quadros ou
frames) de 64x64 pixels com um disco de densidade unitaacuteria e raio fixo Natildeo ocorre mudanccedila
durante a simulaccedilatildeo de uma aquisiccedilatildeo ou varredura Esta aplicaccedilatildeo simula as tomografias de 1ordf e 3ordf
geraccedilatildeo
O disco Raio = 2 pixels deslocamento de 7 pixels entre os centros dos discos de
quadros consecutivos A imagem eacute reconstruiacuteda por FBP e MART
Os frames satildeo ilustrados na Figura 21 e a meacutedia dos oito na Figura 22 Cada imagem
eacute ilustrada na escala de 64 x 64 pixels
52
Figura 21 8 frames - ciacuterculo transladando - 1 vista por frame
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 22 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
53
Os oito picos do sinograma Figura 23 ilustram a captura do disco em diferentes
posiccedilotildees
A Figura 24 ilustra o sinograma em forma de imagem onde cada valor de pixel eacute
convertido para uma escala de cor O eixo vertical (linhas do sinograma) representa a passo linear
(posiccedilatildeo das trajetoacuterias dos feixes) e o horizontal o passo angular (Nuacutemero de vistas)
Figura 23 Tomograma e sinograma ndash circulo transladando ndash 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
05
1
15
2
25
3
35
4
45
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 700
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
54
Os resultados das reconstruccedilotildees FBP e MART satildeo ilustrados na Figura 25
A reconstruccedilatildeo por FBP mostra diversos artefatos natildeo dando para identificar o
nuacutecleo nem a tendecircncia de movimento Os artefatos formam oito faixas um para cada vista ou
projeccedilatildeo Estes artefatos em faixa satildeo comuns no FBP para um baixo nuacutemero de vistas
O MART difere da imagem meacutedia mostrando um arqueamento para direita devido ao
movimento simulado e o sentido anti-horaacuterio das aquisiccedilotildees Eacute um artefato de movimento
Figura 25 Reconstruccedilotildees circulo transladando ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Figura 24 Sinogramascirculo transladando ndash 1 vista por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
55
412 Primitiva Ciacuterculo Transladando Oito vistas por frame
O objetivo desta simulaccedilatildeo eacute descobrir como se comportam os algoritmos em uma
tomografia de 5ordf geraccedilatildeo onde todas as aquisiccedilotildees satildeo realizadas ao mesmo tempo Nesta situaccedilatildeo
as oito vistas satildeo realizadas simultaneamente enquanto ocorre a mudanccedila das distribuiccedilotildees (Figura
19) Figuras com 64x64 pixels raio fixo de 2 pixels deslocamento de 5 pixels
Figura 26 Tomograma e Sinograma - disco transladando - 8 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
05
1
15
2
25
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 7001
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
56
Os resultados das reconstruccedilotildees satildeo ilustrados na Figura 28
As reconstruccedilotildees ficam mais proacuteximas da imagem meacutedia porque todas as vistas satildeo
adquiridas ao mesmo tempo durante todo o processo O FBP perde a definiccedilatildeo dos discos e forma
um artefato central vertical O MART reconstroacutei o disco nas oito posiccedilotildees Cada disco eacute
reconstruiacutedo ilustrando os oito instantes de tempo que foram simulados
Figura 27 Sinogramas CiacuterculoTransladando -Oito vistas por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Figura 28 Reconstruccedilotildees Ciacuterculo Transladando -Oito vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
57
413 Primitiva Circulo Crescente Uma vista por frame
A simulaccedilatildeo consiste em oito distribuiccedilotildees em forma de ciacuterculo concecircntricas com um
aumento 2 pixels entre distribuiccedilotildees consecutivas (Figura 29) Oito vistas satildeo adquiridas
simultaneamente para simular a tomografia de 5ordf geraccedilatildeo
Abaixo a imagem meacutedia aritmeacutetica das oito distribuiccedilotildees eacute ilustrada na Figura 29 A
aacuterea central eacute mais escura porque eacute coincidente para os oito ciacuterculos
Figura 30 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Figura 29 8 frames - circulo crescente - 1 vista por frame
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
58
Tanto o sinograma quanto o tomograma ilustram o crescimento do disco Figura
411
Figura 31 Tomograma e sinograma - ciacuterculo crescente - 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 700
10
20
30
40
50
60
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
59
O sinograma em forma de imagem eacute mostrado abaixo (Figura 32)
O aumento vertical das faixas eacute devido ao crescimento do disco
As duas reconstruccedilotildees apresentam artefatos de rotaccedilatildeo que dificultam a identificaccedilatildeo
da tendecircncia de movimento ou da distribuiccedilatildeo espacial dos discos (Figura 33)
Figura 32 Imagem do sinograma -ciacuterculo crescente - 1 vista por frame
Sinograma
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
Figura 33 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
60
414 Primitiva Circulo Crescente Oito vistas por frame
Neste caso ocorre mudanccedila de frame com a vista Para cada distribuiccedilatildeo tem-se uma
vista diferente Figura 34
Figura 34 Tomograma e sinograma - circulo crescente - 8 vista por frame
29 30 31 32 33 340
05
1
15
2
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3701
02
03
04
05
06
07
08
09
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
61
A posiccedilatildeo central que eacute comum a todos os frames eacute reconstruiacuteda nos dois casos O
FBP mostra a presenccedila de artefatos de Moireacute (Figura 36) O MART mostra poucos artefatos e
mostra uma regiatildeo borrada ao redor do ciacuterculo central indicando os discos maiores
Figura 35 Sinogramas circulo crescente ndash 8vistas por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Figura 36 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 8 vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
62
42 Vistas Alternadas
Alguns testes foram realizados para estudar o posicionamento angular quando
ordenado de forma sequencial e alternada O conjunto de vistas posicionadas consecutivamente em
0ordm 45ordm 90ordm 135ordm 180ordm 225ordm 270ordm 315ordm foram reordenadas em dois ciclos
0ordm 90ordm 180ordm 270ordm para o primeiro ciclo
45ordm 135ordm 225ordm 315ordm para o segundo ciclo
As seguintes situaccedilotildees foram exploradas
Disco transladando - 1 Vista por frame
Cada distribuiccedilatildeo (quadro) eacute capturado em um instante de tempo diferente Os
acircngulos utilizados em cada quadro satildeo apresentados na Tabela 1
Tabela 1 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 1 vista por frame
Quadro 1ordm 2ordm 3ordm 4ordm 5ordm 6ordm 7ordm 8ordm
Vista 0ordm 90ordm 180ordm 270ordm 45ordm 135ordm 225ordm 315ordm
Reconstruccedilotildees
Figura 37 Reconstruccedilotildees disco transladando - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
63
Dois ciclos satildeo suficientes para natildeo formaccedilatildeo do artefato de rotaccedilatildeo (arqueamento)
A reconstruccedilatildeo com vistas alternadas mostra-se mais coerente com a imagem meacutedia (Figura 37)
Disco transladando - 2 Vistas por frame
Com duas vistas por quadro totaliza-se quatro quadros A associaccedilatildeo eacute ilustrada na
Tabela 2
Tabela 2 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 2 vistas por frame
Quadro 1ordm 2ordm 3ordm 4ordm
Vista 0ordm e 45ordm 90ordm e 135ordm 180ordm e 225ordm 270ordm e 315ordm
A reconstruccedilatildeo encontra-se mais proacutexima da imagem meacutedia do que na situaccedilatildeo com
vista sucessivas (Figura 38)
Disco Transladando - 4 Vistas por frame
Apenas dois quadros satildeo suficientes Tabela 3
Tabela 3 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 4 vistas por frame
Quadro 1ordm 2ordm
Vista 0ordm 90ordm 180ordm e 270ordm 45ordm 135ordm 225ordm 315ordm
Figura 38 Reconstruccedilotildees disco transladando - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
64
Reconstruccedilotildees
Disco crescente - 1 Vista por frame
A configuraccedilatildeo das vistas eacute a mesma utilizada na Tabela 1 uma vista por frame
A reconstruccedilatildeo com vistas alternadas Figura 40 apresenta uma reduccedilatildeo nos artefatos
de rotaccedilatildeo mostrando uma distribuiccedilatildeo espacial mais proacutexima da imagem meacutedia (Figura 40)
Disco crescente - 2 Vistas por frame
A configuraccedilatildeo das vistas eacute mesma da Tabela-2
Figura 39 Reconstruccedilotildees disco transladando - 4 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Figura 40 Reconstruccedilotildees disco crescente - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
65
Com o aumento do nuacutemero de vistas a distribuiccedilatildeo torna-se mais central
aproximando-se da imagem meacutedia (Figura 41)
43 Resultados com RGB
As situaccedilotildees jaacute utilizadas nas seccedilotildees 41 e 42 satildeo testadas com visualizaccedilatildeo RGB
Para todos os casos a primeira reconstruccedilatildeo (MART) eacute realizada com matriz inicial de valores
unitaacuterios relaxaccedilatildeo 02 e nuacutemero de iteraccedilotildees definido pela convergecircncia de 05 e em seguida a
normalizada por 150
Os sinogramas satildeo ponderados pelo conjunto de fatores que variam de 01 a 09
linearmente espaccedilados Os valores foram escolhidos empiricamente
Em seguida eacute realizada a reconstruccedilatildeo com o sinograma jaacute ponderado e seus valores
normalizados no intervalo de 150 a 255
Figura 41 Reconstruccedilotildees disco crescente - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
66
bull Ciacuterculo transladando ndash 1 Vista por frame
Um disco para cada instante de tempo totalizando oito distribuiccedilotildees Figura 42
Para o ciacuterculo transladando verticalmente com 1 vista por frame temos um
clareamento na parte inferior da distribuiccedilatildeo indicando que esta regiatildeo traz informaccedilotildees mais
recentes (Figura 42)
A reconstruccedilatildeo com MART RGB por usar como base a distribuiccedilatildeo espacial da
reconstruccedilatildeo MART mostra o clareamento vermelho na parte inferior da figura indicando que
ocorreu movimento nesse sentido
bull Ciacuterculo transladando ndash 2 Vistas por frame
Satildeo quatro distribuiccedilotildees uma para cada instante de tempo configurando duas vistas
por frame
Figura 42 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 1 vista por frame
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
67
O clareamento do vermelho na reconstruccedilatildeo RGB indica que a parte inferior da
reconstruccedilatildeo corresponde ao uacuteltimo instante de tempo
bull Ciacuterculo transladando ndash 4 Vistas por frame
Quatro vistas por frame foram utilizadas na configuraccedilatildeo das proacuteximas trecircs situaccedilotildees
(Figura 44 Figura 45 Figura 46) O deslocamento para o disco vertical eacute utilizado com trecircs valores
distintos
A primeira situaccedilatildeo ilustra dois instantes de tempo com dois diacircmetros de distacircncia
entre os centros dos discos Figura 44
Figura 43 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
68
A proacutexima situaccedilatildeo eacute criada com 4 diacircmetros de distacircncia entre centros entre o
primeiro e segundo instantes de tempo Figura 45 Cada disco corresponde a distribuiccedilatildeo exata em
um instante
Figura 44 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 45 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
69
A terceira situaccedilatildeo visa estudar o comportamento da reconstruccedilatildeo proposta quando
haacute coincidecircncia em parte da distribuiccedilatildeo espacial Satildeo quatro instantes de tempo e uma distacircncia
com menos de um diacircmetro de distacircncia entre centros consecutivos Figura 46
bull Ciacuterculo crescente ndash duas vistas por frame
A simulaccedilatildeo totaliza 4 frames e oito vistas consecutivas Duas por frame
Apesar da situaccedilatildeo com ciacuterculo crescente e duas vistas por frame natildeo mostrar boa
reconstruccedilatildeo a imagem reconstruiacuteda difere bastante da original como jaacute mostrado na seccedilatildeo 413
tambeacutem mostra concordacircncia com os outros resultados RGB pois mostra uma regiatildeo central com
Figura 46 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 47 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo crescente - 2 vistas por frame
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
70
vermelho mais claro O clareamento deve-se a regiatildeo que eacute coincidente para todos os ciacuterculos
O problema que surge eacute que para esta situaccedilatildeo o clareamento para o vermelho criado
pela reconstruccedilatildeo RGB se confunde com a superposiccedilatildeo dos ciacuterculos da reconstruccedilatildeo tradicional
criado na regiatildeo central
44 Simulaccedilotildees com MCNPX
Os frames que anteriormente foram obtidos analiticamente com o objetivo de
encontrar as projeccedilotildees agora satildeo representados por cartotildees de entrada para o MCNPX A simulaccedilatildeo
gera como saiacuteda a intensidade relativa Foram criadas as situaccedilotildees jaacute expostas na seccedilatildeo 41 A
configuraccedilatildeo das simulaccedilotildees eacute
bull Objeto Cilindro Raio = 5cm Material Al = 000746 cm-1
bull Fonte 137Cs Atividade 5 mCi
bull Colimaccedilatildeo Pb fonte - detetor 5vmm
bull Nuacutemero de histoacuterias 100000
441 Circulo Transladando ndash 1vista por frame
Oito geometrias foram simuladas com o objetivo de encontras as projeccedilotildees
equivalentes as 8 vistas Cada vista captura o disco em um instante de tempo diferente totalizando
oito frames Na Figura 48 ilustra-se o disco (em amarelo) em diferentes posiccedilotildees com e as
respectivas a posiccedilotildees da fonte colimada indicando mudanccedila angular (em roxo e azul)
71
O meacutetodo retorna o (relaccedilatildeo entre Ifinal e o Iinicial) A matriz de intensidades relativas eacute
denominada tomograma e tem as suas colunas ordenadas por vista(Figura 49)
As projeccedilotildees satildeo encontradas fazendo e o conjunto de vistas
ordenadas em colunas eacute denominado sinograma(Figura 50)
Figura 49 Tomograma via MCNPX - 1 Vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 70
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma Por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 48 Geometria Circulo Transladando - 1 vista por frame
72
A apresentaccedilatildeo do sinograma em forma de imagem eacute ilustrada na Figura 51
Figura 50 Sinograma MCNPX - 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
1
2
3
4
5
6
Posicionamento Linear
Sinograma por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 51 Imagem de sinograma MCNPX -1 vista por frame
Sinograma MCNPX - 1 vista por frame
Vistas
Projeccedilotildees
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
73
As reconstruccedilotildees apresentaram-se similares as feitas analiticamente na seccedilatildeo 41
Formaccedilatildeo de oito artefatos em faixa no FBP e o arqueamento para esquerda indicando o sentido da
rotaccedilatildeo do tomoacutegrafo (Figura 52)
442 Circulo Transladando ndash 2 vistas por frame
Oito geometrias foram simuladas com mudanccedila no posicionamento angular apenas
quando o disco muda de posiccedilatildeo Duas vistas capturam o disco na mesma posiccedilatildeo A geometria
simulada no MCNPX eacute mostrada na Figura 53
Figura 53 Geometria circulo transladando - 2 vistas por frame
Figura 52 Reconstruccedilotildees MART e FBP ndash MCNPX ndash 1 vista por frame
FBP
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60 -06
-04
-02
0
02
04
MART
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
74
A simulaccedilatildeo retorna o seguinte tomograma Figura 54
Calculando as projeccedilotildees temos o sinograma ilustrado na Figura 55
Que visualizado em formato de imagem fica ilustrado na Figura 56
Figura 54 Tomograma MCNPX - 2 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 70
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma Por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 55 Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
1
2
3
4
5
6
Posicionamento Linear
Sinograma por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
75
As reconstruccedilotildees corresponderam as expectativas quando coincidem com as
reconstruccedilotildees simuladas analiticamente(Figura 57)
Figura 57 Reconstruccedilatildeo MART - MCNPX - 2 vistas por frameMART
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
FBP
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60 -04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
06
Figura 56 Imagem de sinograma MCNPX ndash 2vistas por frame
Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame
Vistas
Projeccedilotildees
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
76
45 Resultados com CFD
As condiccedilotildees da simulaccedilatildeo foram vazatildeo volumeacutetrica de ar eacute 500 Lmin e o fluxo de
catalisador eacute de180 kg(m2s-1) O tempo de processo foi de 10 segundos com passo de 00025
segundos
O local de leituras da fraccedilatildeo volumeacutetrica foi se encontra a uma altura de 0650
metros da base do riser feita a cada 00375 segundos durante o tempo de processo de fluidizaccedilatildeo
resultando em 268 imagens Seacuteries de oito a nove imagens da secccedilatildeo transversal satildeo utilizadas
Devido a alta resoluccedilatildeo das imagens vindas do CFD uma reduccedilatildeo foi realizada para
figuras com 64x64 pixels Figura 58
451 CFD-1 vista por frame
A sequecircncia de oito imagens em intervalos de tempos consecutivos eacute ilustrada na
Figura 59 e a imagem meacutedia na Figura 60
Figura 58 Reduccedilatildeo na resoluccedilatildeo 899x999 para 64x64
20 40 60
10
20
30
40
50
60
200 400 600 800
100
200
300
400
500
600
700
800
77
Figura 60 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
Figura 59 CFD - Frames 1 ao 8
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
78
Reconstruccedilotildees
As reconstruccedilotildees para uma vista por frame natildeo correspondem agrave realidade prevista
Figura 61 Sinogramas CFD ndash 1 vista por frame
Figura 62 Reconstruccedilotildees CFD ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo RGB
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Sinograma com Pesos
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo Mart Red
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
79
pelo CFD O pequeno nuacutemero de vistas aliado a complexidade da figura dificultam a reconstruccedilatildeo
452 CFD-8 vistas por frame
A sequecircncia de oito imagens em intervalos de tempo consecutivos eacute ilustrada na
Figura 63
A meacutedia das oito imagens Figura 63
O sinograma simulado e o mesmo ponderado satildeo mostrados na Figura 65
Figura 64 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
Figura 63 Frames 1 ao 8 CFD ndash 8 vistas por frame
80
As reconstruccedilotildees concordam com as distribuiccedilotildees quando apresentam maior
concentraccedilatildeo de soacutelido do lado direito da imagem A maior concentraccedilatildeo de pigmentaccedilatildeo vermelha
Figura 65 Sinogramas CFD - 8 vistas por frame
Figura 66 Reconstruccedilotildees CFD - 8 vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Sinograma com Pesos
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart Red
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
81
do lado direito da imagem reconstruiacuteda em RGB mostra que a distribuiccedilatildeo nesta regiatildeo eacute mais
recente O resultado tem concordacircncia com a mudanccedila de lado da distribuiccedilatildeo ao longo dos oito
frames
46 Reconstruccedilotildees com correccedilatildeo de movimento
Como a reconstruccedilatildeo com vistas alternadas eacute superior a tradicional com vistas
sucessivas utilizou-se para todas as simulaccedilotildees com correccedilatildeo de movimento o posicionamento
angular sucessivo O objetivo da escolha eacute verificar os resultados gerados soacute por correccedilatildeo da matriz
de pesos As simulaccedilotildees foram ordenadas de acordo com as situaccedilotildees jaacute exploradas e para um
instante de tempo especiacutefico
Abaixo (Figura 67 Figura 68) tem-se a configuraccedilatildeo de 4 vistas por frame
resultando em dois quadros cada um com o disco em uma posiccedilatildeo diferente A imagem tem 32x32
pixels e o deslocamento foi vertical de 5 pixels Como o nuacutemero de colunas da matriz de pesos eacute
definido pela resoluccedilatildeo da imagem o deslocamento na matriz de pesos corresponde ao vertical x
nuacutemero de elementos em uma linhaentatildeo 5 x 32 = 60 colunas para esquerda quando se quer
recuperar o primeiro instante e 60 colunas para direita no caso do segundo
Para o primeiro instante a correccedilatildeo mostra-se eficaz reconstruindo por completo a
distribuiccedilatildeo no primeiro instante de tempo Figura 67
A distribuiccedilatildeo no segundo instante eacute reconstruiacuteda com um pouco de ruiacutedo Figura 68
Figura 67 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempoImagem Meacutedia
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30Imagem Meacutedia
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
82
A situaccedilatildeo com translado horizontal eacute ilustrada na Figura 69 e Figura 70 A
reconstruccedilatildeo no primeiro instante de tempo mostra-se mais precisa Figura 69 Quatro vistas foram
utilizados por quadro com um deslocamento de 5 pixels entre eles O deslocamento de colunas eacute
realizado com o mesmo nuacutemero
Para o segundo instante Figura 70
A simulaccedilatildeo com duas vistas por frame resulta em quatro distribuiccedilotildees Figura 71
Figura 72 Figura 73 A imagem tem 64x64 pixels e o deslocamento foi vertical de 5 pixels
resultando em um deslocamento de 5 x 64 = 320 para as colunas
Figura 69 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Figura 70 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o segundo instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30
5
10
15
20
25
30
83
Para o primeiro instante de tempo temos
Para o segundo instante
Figura 71 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 72 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
20 40 60
10
20
30
40
50
60
84
e para o terceiro instante
O ruiacutedo aumenta
Ocorre o aparecimento de ruiacutedo nas reconstruccedilotildees com o aumento do tempo Este
efeito eacute devido a extrapolaccedilatildeo do deslocamento nos elementos proacuteximo as bordas da matriz de
pesos
Figura 73 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
85
5 CONCLUSOtildeES
As simulaccedilotildees analiacuteticas de primitivas matemaacuteticas foram validadas com ecircxito
quando comparadas com as mesmas realizadas por MCNPX As aquisiccedilotildees tomograacuteficas foram
simuladas mostrando a superioridade da tomografia de 5ordf geraccedilatildeo (8 vistas por frame) quando
comparada agrave de 3ordf geraccedilatildeo (uma duas e quatro vistas por frame) seccedilotildees 41 e 42 As reconstruccedilotildees
ficam mais proacuteximas da imagem meacutedia porque todas as vistas satildeo adquiridas ao mesmo tempo
durante todo o processo O FBP perde a definiccedilatildeo dos discos e forma um artefato central vertical O
MART reconstroacutei perfeitamente o disco nas oito posiccedilotildees mostrando a sua preferecircncia para um
nuacutemero limitado de dados (8 vistas) O FBP eacute bastante utilizado em tomografias meacutedicas (360
vistas ou mais) devido a baixa complexidade computacional quando comparado aos meacutetodos
algeacutebricos
Tanto o disco transladando quanto o crescente apresentam melhor performance com
o aumento do nuacutemero de vistas por distribuiccedilatildeo como pode ser visto na seccedilatildeo 41 A situaccedilatildeo em
que foi simulada uma vista por frame apresenta um artefato de movimento indicando o sentido de
rotaccedilatildeo do arranjo simulado
Os oito perfis encontrados nas simulaccedilotildees com ciacuterculo crescente mostram o aumento
do disco seccedilatildeo 413 e 414 As simulaccedilotildees para este caso reconstroem uma distribuiccedilatildeo central
distorcida pela incompatibilidade das projeccedilotildees (adquiridas em diferentes instantes de tempo) As
reconstruccedilotildees com FBP mostram-se inferiores ao MART formando artefatos de Moireacute (artefatos
estrela) em todas as reconstruccedilotildees Confirmando que estes artefatos satildeo comuns quando se utiliza o
FBP com um nuacutemero limitado de dados
Os testes com vistas alternadas mostram que essa configuraccedilatildeo eacute superior ao arranjo
sucessivo pois cobre uma aacuterea maior em um tempo menor capturando mais informaccedilotildees relativas
ao movimento (seccedilatildeo 42)
A reconstruccedilatildeo RGB inova porque mostra a evoluccedilatildeo temporal do processo com
aacutereas mais claras (vermelho claro) indicando proximidade temporal enquanto que aacutereas mais
escuras indicam tempo passado O meacutetodo mostra o clareamento no vermelho em regiotildees da figura
indicando que ocorreu movimento neste sentido Os testes com ciacuterculo transladando mostram
coerecircncia quando indicam com o vermelho mais claro as regiotildees correspondentes aos uacuteltimos
quadros O mesmo resultado eacute obtido com os dados do CFD para simulaccedilatildeo da TC de 5ordf geraccedilatildeo O
86
lado direito da imagem tem valores maiores para o vermelho coincidindo com a sequecircncia de
distribuiccedilotildees utilizada onde ocorre mudanccedila na concentraccedilatildeo do lado esquerdo para o direito Para o
ciacuterculo crescente a eficaacutecia do meacutetodo pode ser questionada pois ocorre superposiccedilatildeo das regiotildees
centrais de cada disco A aplicaccedilatildeo a dados do CFD com apenas uma vista por frame eacute ineficiente
pois a reconstruccedilatildeo RGB natildeo consegue mostrar tendecircncia de movimento A reconstruccedilatildeo tradicional
MART tambeacutem natildeo coincide com a meacutedia dos frames ou seja como o meacutetodo proposto utiliza esta
distribuiccedilatildeo espacial natildeo pode-se afirmar que a ineficiecircncia do processo seja devido unicamente a
reconstruccedilatildeo RGB
O MCNPX foi utilizado com ecircxito nas duas simulaccedilotildees propostas Sinogramas e
tomogramas satildeo coincidentes com exceccedilatildeo da escala com os mesmos encontrados por teacutecnicas
analiacuteticas
A reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento foi utilizada com ecircxito para
determinaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo no instante inicial de tempo Ocorre aparecimento de ruiacutedo com o
aumento do tempo Este efeito eacute devido a extrapolaccedilatildeo do deslocamento nos elementos proacuteximo as
bordas da matriz de pesos Salienta-se que o vetor deslocamento deve ser conhecido ou calculado
previamente Este trabalho utiliza valores jaacute determinados anteriormente nas simulaccedilotildees (distacircncia
entre discos)
O trabalho contribui para tomografia industrial porque utiliza casos comuns agrave aacuterea
como o disco transladando que eacute simulador de bolhas em colunas industriais e imagens do CFD
como phantoms para predileccedilatildeo dos perfis experimentais Contribui tambeacutem para a otimizaccedilatildeo de
paracircmetros de operaccedilatildeo tomograacutefica quando simula as aquisiccedilotildees prevendo resultados para o
experimento Indica o MART como superior ao FBP neste conjunto de dados As simulaccedilotildees
analiacuteticas de sinogramas foram validadas com ecircxito pelo MCNPX ou seja ambas podem ser
utilizadas para simulaccedilatildeo de fenocircmenos industriais Sugere tambeacutem que a TC com vistas alternadas
corresponde mais a realidade dinacircmica de uma distribuiccedilatildeo Propotildee um novo meacutetodo a
reconstruccedilatildeo RGB obtendo bons resultados apenas nas situaccedilotildees em que natildeo ocorre coincidecircncia
entre as distribuiccedilotildees de diferentes instantes de tempo
Um estudo mais detalhado dos valores empiacutericos deve ser feito para um
entendimento maior da penalizaccedilatildeo das projeccedilotildees e das situaccedilotildees em que ocorra superposiccedilatildeo de
distribuiccedilotildees
A baixa performance do FBP esperada para um baixo nuacutemero de aquisiccedilotildees indica
que testes com um nuacutemero maior de vistas devem ser realizados para o estudo dos meacutetodos
87
propostos nestas situaccedilotildees
Outro trabalho futuro eacute utilizar soluccedilotildees jaacute propostas na literatura meacutedica para
diminuiccedilatildeo de ruiacutedos e artefatos na reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento identificando o vetor
deslocamento durante o processo
Espera-se dar continuidade ao trabalho validando tambeacutem experimentalmente as
simulaccedilotildees com translado do disco (Laboratoacuterio de Radioquiacutemica ndash DEN ndash UFPE)
88
6 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
ALEXANDER B DIMITRY V VITALY V KISELEV AN Algebraic reconstruction and
post-processing in incomplete data computed tomography From X-rays to Laser Beams Jun
2007
ANDERSEN AH Algebraic reconstruction in CT from limited views IEEE transactions on
medical imaging v 8(1) p50ndash55 Jan1989
ANGELI S EFSTAHIOS S An Accelerated Algebraic Reconstruction Technique based on
the Newton-Raphson Scheme Ieee Nuclear Science Symposium Conference Record 23382ndash
3387 2009
AZZI M TULIER P BERNARD J R GARNERO L Mapping Solid Concentration in a
Circulating Fluid Bed Using Gammametry Powder Technology p27-36 1991
BENDER R GORDON R HERMAN GT Algebraic reconstruction techniques(art) for
three dimensional electron microscopy and x-ray photography J Theor Biol v29 p759ndash768
1971
BROOKS RA CHIRO G Principles of Computer Assisted Tomography ( CAT ) in
Radiographic and Radioisotopic Imaging Phis Med Biol v21 N 5 p689-732 1976
BUTALA M D KAMALABADI F FRAZIN R A Chen YldquoDynamic tomographic imaging
of the solar coronardquo IEEE J Sel Topics Signal Process vol 2 pp 755ndash7662008
CENSOR Y Finite Series-Expansion Reconstruction Methods proceedings of the ieee p71
1983
CEZARO A CEZARO FT Problemas Inversos e a matemaacutetica da tomografia
computadorizada V Bienal da SBM - Sociedade Brasileira de Matemaacutetica 2010
CRUVINEL P E Mini tomoacutegrafo de raio-x e raio gama computadorizado para aplicaccedilotildees
multidisciplinares PhD thesis Unicamp 1987
DANTAS CC MELOSM OLIVEIRA E F MAGALHAtildeES F P SANTOS M G
Measurement of density distribution of a cracking catalyst in experimental riser with a
sampling procedure for gamma ray tomography Nuclear Instruments amp Methods in Physics
Research Section B Beam Interactions with Materials and Atoms (Print) v 266 p 841-848
2008
89
DE PIERRO A R Problemas Matemaacuteticos em Tomografia por Emissatildeo Notas UNICAMP
2004
DESBAT L RIT S CLACKDOYLE R MENNESSIER C PROMAYON E
NTALAMPEKI S ldquoAlgebraic and analytic reconstruction methods for dynamic
tomography rdquo Proceedings of the 29th Annual International Conference of the IEEE EMBS Citeacute
Internationale Lyon France August 23-26 2007 ThP2B11 2007 pp 726-730
DESBAT L ROUX S GRANGEAT P ldquoCompensation of some time dependent
deformations in tomography 2 Deformations preserving the projection geometryrdquo IEEE
transactions on medical imaging vol 26 2007 pp 1-20
EARLY D S LONG DG Image Reconstruction and Enhanced Resolution Imaging from
Irregular Samples IEEE trasactions on geosciences and remote sensing 3v9(2)291ndash302 2001
FARIN G Curves and Surfaces for CAGD a Practical Guide 4th edition Academic Press-
1996
FORSYTHE GE Solving linear algebraic equations can be interesting Bulletin of the
American Mathematical Society v59(4) P299ndash330 Jul 1953
GORDON R A tutorial on art (algebraic reconstruction techniques) IEEE Trans Nucl Sci v
NS-21 p78ndash93 1974
GORDON R GUAN H A projection acess order for speedy convergence of art a multilevel
scheme for computed tomography Physics in medicine and biology p39 1994
GUAN H HERMAN G T ZHU Y Combining various projection access schemes with the
algebraic reconstruction technique for low-contrast detection in computed tomography
Physics in medicine and biology 43(8)2413ndash21 August 1998
HANSON K M WECKSONG GVW Local basis approach to computed tomography
ApplOpt v24 p4028-2039 1985
HERFFERNAN P B Robb A R Difference image reconstruction from a few projections for
nondestructive materials inspection Applied optics
HERMAN G T Iterative reconstruction algorithms Comput Biol Med v6 p273 ndash 294 1976
HERMAN G T GORDON R Reconstruction of pictures from their projections Commun
Assoc Comput Mach v14 p759ndash768 1971
HERMAN GT MEYER L B Algebraic Reconstruction Techniques Can Be Made
90
Computationally Efficient IEEE transactions on medical imaging v 12(3) 1993
IAEA-TECDOC-1589 INDUSTRIAL PROCESS GAMMA TOMOGRAPHY Final report of a
coordinated research project 2003ndash2007 May 2008
KACZMARZ S Angenaherte auflosung von systemen linearer gleichungen Bull Acad Pol
Sci Lett A vol 6-8A pp 355-357 1937
KAKA C SLANEY M Principles of Computerized tomographic imaging IEEE PRESS
1999
KALAGA D V KULKARNI A V ACHARYA R KUMAR U SINGH G JOSHI JB
Some industrial applications of gamma-ray tomography Journal of the Taiwan Institute of
Chemical Engineers 40 (2009) 602ndash612 wwwelseviercomlocatejtice
KNOLL G F Nuclear Counters Radiation-Measurement Book 2006
LUTZ PH Relaxation Methods for Image Reconstruction Communications of the ACM
v21(2) p282ndash288 1978
MARTINEZ AG Detecccedilatildeo de descontinuidades e reconstruccedilatildeo de funccedilotildees a partir de dados
espectrais filtros splines e metodos iterativos tese - UNICAMP 2006
MELO SM DANTAS CC OLIVEIRA EAL MAGALHAtildeES FP OLIVEIRA EF A FCC
catalyst gamma ray tomographic reconstruction by using non negative non parametric bezier
triangles Proceedings In 4 th International Symposion on Process Tomography in Poland p 165
Washaw 2006
MESQUITA J MATELA N OLIVEIRA N MARTINS M V Choosing the ART relaxation
parameter for Clear-PEM 2D image reconstruction Computer methods and programs in
biomedicine May 2010
MYERS G R KINGSTON A M VARSLOT T K TURNER M L SHEPPARD A
P ldquoDynamic tomography with a priori informationrdquo Applied Optics vol 50 2011 pp 3685-
3690
OLIVEIRA EF DANTAS CC MELO S B VASCONCELOS D A A ldquoCOMPARISON
AMONG TOMOGRAPHIC RECONSTRUCTION ALGORITHMSrdquo internetional nuclear
conference-INAC2011
OLIVEIRA EF DANTAS C MELO S B VASCONCELOS D A A ldquoTOMOGRAPHIC
RECONSTRUCTION WITH B-SPLINES SURFACESrdquo internetional nuclear conference-
INAC2011
91
RAMACHANDRAM G N LAKSHMINARAYANAN A V Three-dimensional
reconstruction from radiographs and electron micrographs II application of convolutions
instead of Fourier transforms Proc Natl Acad Sci US v68 p2236-2240 1971
KACZMARZ S Angenaherte auflosung von systemen linearer gleichungen Acad Pol Sci
Lett v 6-8A p355ndash357 1937
SALINA F V MASCARENHAS NDA CRUVINEL PE A Comparison of POCS
Algorithms for Tomographic Reconstruction Under Noise and Limited View Computer
Graphics and Image Processing 2002
SALVADOR P A V Anaacutelise de sistemas multifaacutesicos utilizando tomografia computadorizada
gama monoenergeacutetica e polienergeacutetica Tese IPEN-USP 2008
SERGIO N QUORIN R Diagnoacutestico de defeitos em madeira por tomografia de raios x PhD
thesis UFPR 2004
SUBBARAO P M V MUNSHI P MURALIDHAR K Performance of iterative tomographic
algorithms applied to non-destructive evaluation with limited data NDT amp Internacional
v30(6) p359ndash370 1997
TANABE K Projection method for solving a singular system Numer Math 17203ndash214 1971
TIRUNELVELI G HERMAN G T Comparison of Square-Pixel and Hexagonal-Pixel
Resolution in Image Processing Test pages 867ndash872 2002
VERHOEVEN D Limited-data computed tomography algorithms for the physical sciences
Applied Optics jul1993
WENKAI L Adaptive algebraic reconstruction technique Image (Rochester NY) v31(12)
p3222ndash3230 2004
92
ANEXO ndash I
ROTINAS DESENVOLVIDAS NO MATLAB
Rotina responsaacutevel por criar os phantoms e calcular o sinograma Tambeacutem reconstroacutei
clear
d=64Nproj=8Ntraj=dNpixel=dr=02Nit=30display(MART)chute=1I0=10^8x=1fig3=(zeros(d))teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)inc=3cont=1z=zeros(NprojNtraj1)zt=zzt1=zzt2=zztgb=zcont=1c=0teta=[teta teta]clear fig
vpf=1raio=3inc=7c=5vpf=2raio=4inc=8c=5vpf=4raio=5inc=17c=10 vpf=8raio=1inc=4vpf=4inc=1cc=0inc2=25c=10vpf=4raio=3inc=15c=0 fator=(1Nproj)(1Nproj)1fator=flipud(fator)fator=linspace(00509Nproj)a=0for n=1Nproj a=a+1 circ(n)=Circulo(d(d2)(d2)(1+c))if a==vpfa=0c=c+incend crescente circ(n)=Circulo(d5+c(d2)raio)if a==vpfa=0c=c+incend translado vertical fig=circ(n) [z]=sinograma(fig teta(n)) zr=radon(fig teta(n)Ntraj) fig3=(fig3+fig) Itred(cont)=(I0exp(-zx))n((Nproj+inc+1)-n)(nNproj)olhar sempre It(cont)=I0exp(-zx) Ir(cont)=I0exp(-zr) cont=cont+1endfig3=fig3(max(max(fig3))Nproj)tira a sobreposiccedilatildeosinot=log((I0)It)importante retirar fator caso seja utilizado tomo de 3ordfsinot=(ZeraNeg(sinot))rect=Mart2(MatparaCol(real(sinot))teta102)[c d]=size(rect)rect=ColparaMat(rect(d)NpixelNpixel)figure subplot(131)imagesc(fig3)title(Imagem Meacutedia) subplot(132)imagesc(rect)title(MART Vistas Sucessivas) subplot(133)imagesc(rect)title(MART Vistas Alternadas)
93
Rotina para Testes com reconstruccedilotildees
clear load meialuanotubo2load dadosdinamicoload dadosdinamico2dados2=dados3[Ntraj Nproj]=size(dados2) for a=1Nproj for b=1Ntraj if dados2(ab)gt1 || dados2(ab)lt10^-2 dados2(ab)=1 end endend sinograma=-(102)log(dados2)sinograma=ZeraNeg(sinograma)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj) display(FBP)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)z=sinogramarecfbp=iradon(ztetaNtraj)x=164figsino(xdados2) figsino(xsinograma) figureimagesc(sinograma)title(Sinograma MCNPX - 1 vista por frame) xlabel(Vistas)ylabel(Projeccedilotildees)
_________________________MART___________________________________________ x=[02] Nit=20r=1recmart=zeros(Npixel^2Nitlength(x)) display(MART com pesos)display(x) z=MatparaCol(sinograma) [ix iy]=GridAlg(NprojNtrajNtrajpi) [A]=pesosart(ixiyNprojNtrajNtraj) rec=Art(AzNprojNtraj5002) figure imagesc(rec)title(ART) end recfinal=ColparaMat(recmart(Nit)NpixelNpixel) figuresurf(recfinal)figureimagesc(recfinal)colorbartitle(Mart) durou=etime(clockliga)60save phantomacrilicoMart x durou recmart A _________________________ART____________________________________________ x=[02] Nit=10r=1recart=zeros(Npixel) display(ART com pesos)display(x) z=MatparaCol(sinograma) rec=Mart(AzNprojNtrajNitx) recart=ColparaMat(rec(Nit)NpixelNpixel)r=r+1 figureimagesc(recart)colorbartitle(art) __________________________________________________________________________
94
rotina para caacutelculo do sinograma
function [matriz]=sinograma(fig teta)
[a b]=size(fig)Ntraj=aNproj=size(teta2)sino=zeros(NtrajNproj)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)for i=1Nproj for j=1b sino(ji)=Project(figteta(i)j) endendmatriz=sino
function [bijtemp erromat]=Mart2(ztetachuterelax)
[a b]=size(z)Nproj=size(teta2)Ntraj=aNprojNpixel=Ntrajbijtemp=ones(Npixel^250)bijtemp(1)=chute pij=ones(size(sino))Ite=50erro=1cont=1erromat=zeros(149)for Nitera=1Ite if Nitera==25 Nitera end for i=1Nproj W=Wproj(teta(i)Npixel) pij=Wbijtemp(Nitera) for j=1Ntraj cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pij(j))pij(j) if (pij(j)==0)cor=0000000001end ind=find(W(j)) cor=correlax bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corbijtemp(indNitera)W(jind)) end end if errolt=005break end if Niteragt=2 erro=100sqrt(sum(sum(((bijtemp(Nitera)-bijtemp(Nitera-1))^2))))sum(sum(bijtemp(Nitera))) erromat(cont)=errocont=cont+1 end if (Nitera ~= Ite)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)endendbijtemp=bijtemp(1Nitera)erro
function [bijtemp erromat]=Mart2(ztetachuterelax)
[a b]=size(z)Nproj=size(teta2)Ntraj=aNprojNpixel=Ntrajbijtemp=ones(Npixel^250)bijtemp(1)=chute
95
pij=ones(size(sino))Ite=50erro=1cont=1erromat=zeros(149)for Nitera=1Ite if Nitera==25 Nitera end for i=1Nproj W=Wproj(teta(i)Npixel) pij=Wbijtemp(Nitera) for j=1Ntraj cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pij(j))pij(j) if (pij(j)==0)cor=0000000001end ind=find(W(j)) cor=correlax(i) bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corbijtemp(indNitera)W(jind)) end end if errolt=005break end if Niteragt=2 erro=100sqrt(sum(sum(((bijtemp(Nitera)-bijtemp(Nitera-1))^2))))sum(sum(bijtemp(Nitera))) erromat(cont)=errocont=cont+1 end if (Nitera ~= Ite)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)endendbijtemp=bijtemp(1Nitera)erro
function [figtemp]=BP(NprojNtrajNpixelzinterXinterYfigura)
Back projection
c=max(size(figura))
Ntraj=c
Npixel=caumenta a dimenssatildeo da figura para eliminar artefatos de rotaccedilatildeo
figtemp=zeros(c)
inter=ones(22(Npixel+1))696969
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
inter(1)=interX(((i-1)Npixel)+j)
inter(2)=interY(((i-1)Npixel)+j)
for a=12(Npixel+1)
if (inter(1a)gt=0 ampamp inter(1a)ltNpixel) ampamp (inter(2a)gt=0 ampamp
inter(2a)ltNpixel) ampamp (inter(1a+1)gt=0 ampamp inter(1a+1)lt=Npixel) ampamp
(inter(2a+1)gt=0 ampamp inter(2a+1)lt=Npixel)
dist=sqrt(((inter(1a+1)-inter(1a))^2)+((inter(2a+1)-
inter(2a))^2))
x=fix(inter(1a))y=fix(inter(2a))
if (figura(x+1y+1))gt 10^-1
figtemp(x+1y+1)=figtemp(x+1y+1)+z(Ntraj(i-1)+j)dist
end
end
end
end
end
function [bijtemp]=Art(AzNprojNtrajNitrelax)
ART aditivo com opccedilatildeo de relaxaccedilatildeo
96
[c d]=size(A)a=sqrt(d)b=a
bijtemp=zeros(b^2Nit)10
pij=zeros(b1)pijtemp=zeros(Ntraj1)convergencia=zeros(1Nit)
Projection=Nproj
for Nitera=1Nit
interaction=Nitera
for i=1Nproj
pijtemp=A((Ntraj(i-1)+1)(Ntraj(i-1)+Ntraj))bijtemp(Nitera)
for j=1Ntraj
soma=sum(A(Ntraj(i-1)+j)^2)
cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pijtemp(j))
ind=find(A(Ntraj(i-1)+j))
cor=correlaxsoma
bijtemp(indNitera)=(bijtemp(indNitera) + corA(Ntraj(i-
1)+jind))
for ii=ind
if bijtemp(iiNitera)lt0bijtemp(iiNitera)=0end
end
end
end
if (Nitera ~= Nit)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)end
if (Nitera ~= 1)convergencia(Nit)=sqrt(sum(sum(bijtemp(Nitera-1)^2
-bijtemp(Nitera)^2))sum(sum(bijtemp(Nitera)^2)))end
end
function [bijtemp]=Artfast(AzNprojNtrajNitrelax)
ART aditivo com opccedilatildeo de relaxaccedilatildeo
[c d]=size(A)a=sqrt(d)b=a
bijtemp=ones(b^2Nit)
pij=zeros(b1)pijtemp=zeros(Ntraj1)
Projection=Nproj
for Nitera=1Nit
Nitera
for i=1Nproj
pijtemp=A((Ntraj(i-1)+1)(Ntraj(i-1)+Ntraj))bijtemp(Nitera)
for j=1Ntraj
soma=sum(A(Ntraj(i-1)+j)^2)
cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pijtemp(j))
ind=find(A(Ntraj(i-1)+j))
cor=correlaxsoma
bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corA(Ntraj(i-
1)+jind))
for ii=ind
if bijtemp(iiNitera)lt0bijtemp(iiNitera)=0end
end
end
end
if (Nitera ~= Nit)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)end
end
function [interX interY]=GridAlg(NprojNtrajNpixelRangeAngular)
RangeAngular=pi
display(vc olhou pi)
rxvetor=zeros(Nproj1)
ryvetor=zeros(Nproj1)
rxpontos=zeros(NtrajNproj)
97
rypontos=zeros(NtrajNproj)
rxpontos(1)=linspace(0+(NpixelNtraj)2Npixel-(NpixelNtraj)2Ntraj)
rypontos=flipud(rypontos)
rypontos(1)=0
rxvetor(1)=0
ryvetor(1)=1
teta=RangeAngularNproj
rot=[cos(teta) -sin(teta)sin(teta) cos(teta)]
for b=2Nproj
vet=rot[rxvetor(b-1) ryvetor(b-1)]
rxvetor(b)=vet(1)
ryvetor(b)=vet(2)
end
for b=2Nproj
for a=1Ntraj
pontos=rot[rxpontos(ab-1)-(Npixel2)rypontos(ab-1)-(Npixel2)]
rxpontos(ab)=pontos(1)+(Npixel2)
rypontos(ab)=pontos(2)+(Npixel2)
end
end
clear FIG
interX=zeros(NtrajNproj2(Npixel+1))interY=interX
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
ind=1
inter=ones(22(Npixel+1))696969
if rxvetor(i)lt-10^-5 || rxvetor(i)gt10^-5
for x=0Npixel
inter(2x+1)=(ryvetor(i)rxvetor(i))(x-rxpontos(ji))
+rypontos(ji)
inter(1x+1)=x
ind=ind+1
end
end
if rxvetor(i)gt=-10^-5 ampamp rxvetor(i)lt=10^-5x=-1end
if ryvetor(i)lt-10^-5 || ryvetor(i)gt10^-5
for y=0Npixel
inter(1x+2+y)=(rxvetor(i)ryvetor(i))(y-rypontos(ji))
+rxpontos(ji)
inter(2x+2+y)=y
ind=ind+1
end
end
[inter(1) B]=sort(inter(1))
inter(2)=inter(2B)
interX(((i-1)Ntraj)+j)=inter(1)
interY(((i-1)Ntraj)+j)=inter(2)
end
end
function [A]=pesosart(interXinterYNprojNpixelNtraj)
(NprojNtraj)x(Npixel^2)lt=70000000 out of memory with space free 560000000
98
[a b]=size(interX)
Atemp=sparse(zeros(NtrajNpixel^2))
inter=ones(22(Npixel+1))696969
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
inter(1)=interX(((i-1)Ntraj)+j)
inter(2)=interY(((i-1)Ntraj)+j)
for a=12(Npixel+1)
if (inter(1a)gt=0 ampamp inter(1a)ltNpixel) ampamp (inter(2a)gt=0 ampamp
inter(2a)ltNpixel) ampamp (inter(1a+1)gt=0 ampamp inter(1a+1)lt=Npixel) ampamp
(inter(2a+1)gt=0 ampamp inter(2a+1)lt=Npixel)
dist=sqrt(((inter(1a+1)-inter(1a))^2)+((inter(2a+1)-
inter(2a))^2))
if inter(2a+1)ltinter(2a)
y=fix(inter(2a+1))
else
y=fix(inter(2a))
end
x=fix(inter(1a))
Atemp(jNpixel(Npixel-y-1)+x+1)=dist
end
end
end
if i==1
A=Atemp
else
A=[AAtemp]
end
Atemp=sparse(zeros(NtrajNpixel^2))
end
442 Circulo Transladando ndash 2 vistas por frame7345 Resultados com CFD76
451 CFD-1 vista por frame76452 CFD-8 vistas por frame79
46 Reconstruccedilotildees com correccedilatildeo de movimento81
5 CONCLUSOtildeES856 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS88ANEXO ndash I92
13
1 INTRODUCcedilAtildeO
A Tomografia Computadorizada (TC) consiste em duas etapas
a) O objeto eacute verificado (escaneado) com relaccedilatildeo a alguma propriedade como
densidade capacitacircncia resistividade eleacutetrica ressonacircncia magneacutetica etc
b) A propriedade eacute entatildeo reconstruiacuteda por meio de uma teacutecnica de reconstruccedilatildeo
adequada
Dessa forma a tomografia tem como objetivo reconstruir os detalhes geomeacutetricos do
objeto subjacente e tambeacutem obter os valores da propriedade escolhida Normalmente eacute classificada
como uma teacutecnica de ensaios natildeo destrutivos (END) e portanto eacute de uso imenso em
colunasreatores industriais para detectar a distribuiccedilatildeo de fases ou qualquer tipo de natildeo
uniformidade no interior do objeto
Para o registro de qualquer mudanccedila no objeto otimiza-se o sistema em alta
resoluccedilatildeo temporal (baixo tempo de aquisiccedilatildeo) ou seja permitir vaacuterias imagens resultando em
centenas de quadros por segundo A tomografia que concretiza essa configuraccedilatildeo de aquisiccedilatildeo eacute
chamada de instantacircnea ou de 5ordf geraccedilatildeo onde vaacuterias fontes satildeo arranjadas diametralmente opostas
a um leque de detetores de radiaccedilatildeo e consequentemente a colimaccedilatildeo de uma fonte eacute limitada por
outra reduzindo a resoluccedilatildeo espacial do sistema
Quando a distribuiccedilatildeo tem baixa variabilidade ao longo do tempo ou quando
limitaccedilotildees teacutecnicas impedem o uso da tomografia instantacircnea propotildee-se a tomografia com baixa
resoluccedilatildeo temporal com tomoacutegrafos de 1ordf e 3ordf geraccedilotildees O alto tempo de aquisiccedilatildeo destes
tomoacutegrafos prejudica a reconstruccedilatildeo quando o objeto em estudo muda suas propriedades no
decorrer do tempo Esta foi classificada por vaacuterios autores como reconstruccedilatildeo dinacircmica
(ARTEMIEV V M NAUMOV A O 2006) (BUTALA 2009) (DESBAT L et al 2006) Jaacute eacute
uma aacuterea muito ativa em medicina nuclear onde movimentos do paciente devem ser tomados em
consideraccedilatildeo Tais como em SPECT ou PET mas tambeacutem em tomografia computadorizada (TC de
transmissatildeo) para oacutergatildeos de movimento raacutepido como o coraccedilatildeo (GRAMEL BM et al 2012)
De um modo geral o imageamento dinacircmico TC tem como objetivo reconstruir
sequecircncias de imagens em que a natureza dinacircmica do objeto tomografado eacute de interesse primaacuterio
permitindo o registro de mudanccedilas temporais na distribuiccedilatildeo do coeficiente de atenuaccedilatildeo linear
podendo identificar o estado inicial e o final do processo
O estado da arte dos meacutetodos aplicados para processos industriais eacute atualmente
baseado em princiacutepios de reconstruccedilotildees tomograacuteficas claacutessicas desenvolvidos para padrotildees TC de
distribuiccedilotildees estaacuteticas como pode ser visto em diversos artigos da aacuterea de tomografia industrial
14
(DAHAN A et al 2007 DUDUKOVIC 2007 HALE et al 2007 JOHANSEN et al 2005
KUMAR et al 1997 DANTAS CC et al 2007 SALVADOR P A V 2010 MESQUITA C et
al 2011) Essas abordagens assumem que as propriedades da imagem satildeo constantes durante o
processo de aquisiccedilatildeo Os algoritmos de reconstruccedilatildeo mais comuns ao contexto satildeo os iterativos
onde se destacam teacutecnicas de reconstruccedilatildeo algeacutebrica (ART SIRT MART SMART) e teacutecnicas de
reconstruccedilatildeo estatiacutesticas como o de Minimizaccedilatildeo Alternante (AM) e o Esperanccedila - Maximizaccedilatildeo
(EM) A imagem reconstruiacuteda passa a ser uma aproximaccedilatildeo das propriedades ao longo do tempo A
aproximaccedilatildeo eacute devida a projeccedilotildees natildeo compatiacuteveis no sinograma (BONNET S 2003) As
projeccedilotildees tornam-se incompatiacuteveis devido as diferentes distribuiccedilotildees que ocorreram durante o
intervalo de tempo utilizado para coleta de dados Ruiacutedos e artefatos de movimento satildeo os
principais problemas causados pela incompatibilidade
Aleacutem disso em processos tomograacuteficos industriais eacute comum um nuacutemero limitado de
dados devido a inviabilidades teacutecnicas como arranjar todo um aparato de fontes e detetores ao redor
de uma coluna industrial Um baixo nuacutemero de dados pode produzir ruiacutedo artefatos e natildeo
concordacircncia com a distribuiccedilatildeo em estudo
Por estes motivos eacute necessaacuterio um estudo dos melhores meacutetodos de reconstruccedilatildeo e
tambeacutem o desenvolvimento de novas taacuteticas ou a utilizaccedilatildeo de meacutetodos jaacute consagrados em outros
contextos como a aacuterea meacutedica
Este trabalho inova quando discute um tema jaacute comum agrave aacuterea meacutedica em um
contexto tomograacutefico industrial
O meacutetodo proposto consiste em descobrir inicialmente as limitaccedilotildees oriundas da
aplicaccedilatildeo de algoritmos de reconstruccedilatildeo que foram desenvolvidos para distribuiccedilotildees estaacuteticas e satildeo
utilizados em tomografia dinacircmica Estas podem aparecer em forma de ruiacutedo artefatos estrela eou
de movimento Para alcanccedilar tais propoacutesitos foram utilizados dados simulados analiticamente e por
MCNPX de um cilindro de alumiacutenio transladando durante o processo aquisiccedilatildeo e imagens da secccedilatildeo
transversal de um rise piloto por meio da teacutecnica CFD (Computational Fluid Dynamics) O cilindro
ou ciacuterculo para uma secccedilatildeo eacute uma escolha pautada na literatura industrial pois simula bolhas em
reatores e tambeacutem distribuiccedilotildees agrupadas em forma de nuacutecleo por exemplo (DUDUKOVIC M et
al 1997) (AZZI M 1991) Com os dados simulados foram realizadas e comparadas as
reconstruccedilotildees pelos meacutetodos FBP (Filtered Back Projection) e MART (Multiplicative Algebraic
Reconstruction Technique)
Descobertas as limitaccedilotildees novas estrateacutegias satildeo apresentadas como a escolha da
ordem do posicionamento angular (vistas alternadas ou sucessivas) o desenvolvimento de um
15
meacutetodo para a visualizaccedilatildeo temporal do processo (Reconstruccedilatildeo RGB) e a correccedilatildeo de movimento
A reconstruccedilatildeo RGB foi desenvolvida com o propoacutesito de visualizar a evoluccedilatildeo
temporal do processo Consiste em uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens tomograacuteficas de
processos dinacircmicos pois utiliza o canal red do sistema de cores RGB para visualizar a evoluccedilatildeo do
movimento Uma nova reconstruccedilatildeo eacute realizada utilizando dados penalizados com o tempo e
associada ao canal R Aos outros canais eacute associada a reconstruccedilatildeo tradicional para posterior
visualizaccedilatildeo do conjunto
Tambeacutem eacute proposta uma teacutecnica de correccedilatildeo de movimento utilizada na aacuterea meacutedica
que manipula a matriz de pesos do meacutetodo algeacutebrico deslocando seus elementos com a mesma
quantidade de movimento identificada Neste trabalho eacute definido o vetor deslocamento a priori
O Capiacutetulo dois trata da revisatildeo bibliograacutefica da tese Conteacutem a lei de Beer-Lambert
a formaccedilatildeo de dados tomograacuteficos para posterior reconstruccedilatildeo Explica os algoritmos algeacutebricos a
visualizaccedilatildeo RGB dados do CFD e geraccedilotildees tomograacuteficas No Capiacutetulo trecircs satildeo expostos os
meacutetodos desenvolvidos como aquisiccedilotildees simuladas analiticamente de 1ordf e 5ordf geraccedilotildees
tomograacuteficas simulaccedilotildees tomograacuteficas por MCNPX reconstruccedilatildeo RGB correccedilatildeo de movimento
algoritmos implementados e desenvolvidos No capiacutetulo quatro satildeo mostrados os resultados de
todos os meacutetodos propostos
Espera-se que esse trabalho contribua para uma anaacutelise mais efetiva de tomografias
dinacircmicas industriais bem como o diagnoacutestico de problemas de otimizaccedilatildeo de operaccedilatildeo de
tomoacutegrafos e obtenccedilatildeo de dados para novos projetos bem como contribuir com novos algoritmos de
reconstruccedilatildeo especiacuteficos para esta aplicaccedilatildeo
16
2 TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA
21 A Lei de Beer-Lambert
A medida da probabilidade por unidade de percusso do feixe de radiaccedilatildeo interagir
com a mateacuteria (efeito fotoeleacutetrico efeito Compton e produccedilatildeo de pares) eacute denominado coeficiente
de atenuaccedilatildeo total ou linear do material ( ) Encontrar a funccedilatildeo que represente a distribuiccedilatildeo das
atenuaccedilotildees dentro de uma regiatildeo de interesse eacute o objetivo da tomografia Ao atravessar um material
a intensidade da radiaccedilatildeo sofre uma queda exponencial descrita pela relaccedilatildeo de Beer-Lambert
Entende-se como intensidade de radiaccedilatildeo neste caso como o nuacutemero de contagens registrado pelo
detetor em uma faixa de energia de interesse para um certo intervalo de tempo
Entende-se como caso estaacutetico a situaccedilatildeo em que o objeto tem distribuiccedilatildeo de
atenuaccedilotildees fixa na regiatildeo de estudo ao longo do tempo ou seja
(1)
O processo unidimensional para determinaccedilatildeo da atenuaccedilatildeo linear pode ser resumido
em um detetor de radiaccedilatildeo diametralmente oposto a uma fonte de radiaccedilatildeo onde
bull Estabelece-se um tempo para o intervalo de contagens Figura 21
bull ) do background sem
objeto algum entre fonte e detetor
bull Coloca-se um objeto de comprimento fixo l com distribuiccedilatildeo de atenuaccedilotildees desconhecida
mas com valores fixos ao longo de l
bull Afere-se o nuacutemero de contagens ( com o objeto presente
Figura 1 Atenuaccedilatildeo daRadiaccedilatildeo pela mateacuteria
l
If
para Δt
I0
para Δt
17
A lei de Beer-Lambert mostra que a absorccedilatildeo mais precisamente a atenuaccedilatildeo da
radiaccedilatildeo mede a queda da intensidade quando a radiaccedilatildeo passa pela mateacuteria A transmissatildeo T
Taxa de contagem inicial Taxa de contagem apoacutes o absorvedor
(2)
caracteriza a permeabilidade do material absorvente para a radiaccedilatildeo Quanto maior for a
transmissatildeo menor eacute o efeito atenuante A transmissatildeo depende da espessura l do absorvedor Se a
espessura l eacute reforccedilada pela pequena quantidade dl o T de transmissatildeo eacute diminuiacuteda pela pequena
quantidade dT A diminuiccedilatildeo relativa da transmissatildeo eacute proporcional ao aumento absoluto da
espessura
(3)
O fator de proporcionalidade eacute chamado o coeficiente de atenuaccedilatildeo linear mu A
integraccedilatildeo da equaccedilatildeo 24 conduz agrave lei de Beer-Lambert
(4)
Para facilitar a notaccedilatildeo em desenvolvimentos adiante chamamos de que eacute o
coeficiente de atenuaccedilatildeo linear meacutedio e l a distacircncia percorrida pelo raio no absorvedor Entatildeo eacute
determinado por
18
(5)
independente de l E para um
detalhamento maior das atenuaccedilotildees ao longo do feixe discretiza-se l O somatoacuterio dos produtos das
atenuaccedilotildees com as distacircncias surge da discretizaccedilatildeo de l assumindo que todas as particcedilotildees atenuam
o feixe no Esta condiccedilatildeo implica tambeacutem no particionamento de
Fazendo com que a intensidade final de uma particcedilatildeo i seja a inicial
da subsequente i+1 Ou seja natildeo eacute estabelecida uma discretizaccedilatildeo do tempo
(6)
De maneira geral a soma na Equaccedilatildeo 6 torna-se uma integral e definindo o eixo x ao
longo da trajetoacuteria do feixe l torna-se o elemento de linha onde o coeficiente de atenuaccedilatildeo eacute
funccedilatildeo da trajetoacuteria da linha
(7)
A integral ao longo da linha eacute conhecida como projeccedilatildeo unidimensional da
distribuiccedilatildeo de densidades definida matematicamente por Johann Radon em 1917 e
Figura 2 Discretizaccedilatildeo de l
l1
μ1
l2
μ2
ln
μn
l3
μ3
I 1 pa
ra Δ
t 0f
I 2 pa
ra Δ
t 0f
I f pa
ra Δ
t 0f
I 0 pa
ra Δ
t 0f
19
conhecida como a transformada de Radon da funccedilatildeo
Como as projeccedilotildees satildeo o resultado das transformadas de Radon ao longo dos
caminhos dos feixes pode-se dizer que o objetivo da tomografia eacute obter a sua inversa ou seja a
imagem reconstruiacuteda ou como no caso unidimensional a curva
(8)
Os diversos modelos utilizados para encontrar a inversa satildeo chamados de algoritmos
de reconstruccedilatildeo e como todos operam com as projeccedilotildees como entrada de dados um estudo mais
detalhado da transformada de Radon temporal e como essas projeccedilotildees variam deve ser realizado
para os casos em que a distribuiccedilatildeo de coeficientes de atenuaccedilatildeo varia tambeacutem com o tempo (caso
dinacircmico seccedilatildeo )
eacute a projeccedilatildeo bidimensional
geralmente chamada de perfil ou vista do corte O processo de aquisiccedilatildeo dos perfis eacute
chamado de escaneamento ou varredura e o conjunto de projeccedilotildees adquiridas eacute denominado
sinograma a Erro Origem da referecircncia natildeo encontrada representa o sinograma de uma imagem de
teste com um disco central
O escaneamento pode ser feito atraveacutes de aquisiccedilotildees paralelas de um uacutenico feixe
Figura 3 Sinograma constituiacutedo de 180 vistas (construiacutedo com a funccedilatildeo radon do
matlab)
20
(Parallel Beam) ou com as trajetoacuterias em forma de leque (Fan Beam) Como o sinograma eacute
resultado das transformadas de Radon ao longo dos raios pode-se dizer que o objetivo da
tomografia eacute obter a sua inversa ou seja a imagem reconstruiacuteda
representa todas as projeccedilotildees (9)
Imagem Original
22 Algoriacutetmos de Reconstruccedilatildeo
221 Filtered Back Projection (FBP)
Bracewell e Riddle em 1967 introduziram o meacutetodo chamado retroprojeccedilatildeo filtrada
(FBP) meacutetodo baseado na transformada de Fourier O FBP eacute muito utilizado devido ao baixo tempo
de processamento O teorema das projeccedilotildees tambeacutem chamado de teorema do corte central (Central
Slice Theorem - CST) facilita o processo Esse diz que uma transformada 1D de Fourier da
transformada de Radon da funccedilatildeo corresponde agrave transformada 2D de Fourier da funccedilatildeo Ou seja
realizando a transformada de Fourier das projeccedilotildees chega-se ao espaccedilo de frequecircncias da
distribuiccedilatildeo de densidades que se desejam descobrir No espaccedilo de frequecircncias satildeo realizadas as
operaccedilotildees de filtragem e a transformada 2D inversa retorna a imagem reconstruiacuteda O FBP eacute
resumido nos seguintes passos
1 Calcular a transformada de Fourier unidimensional das projeccedilotildees chegando ao domiacutenio de
frequecircncias
2 Filtrar as projeccedilotildees transformadas com um filtro passa baixa (Shepp-Logan Hann
Hamming etc)
3 Colocar as projeccedilotildees filtradas em um grid polar Cada projeccedilatildeo em seu acircngulo
correspondente
4 Reamostrar estas em um grid cartesiano com interpolaccedilatildeo (linear nearest Splines etc)
5 Calcular a transformada 2D de Fourier inversa chegando-se agrave imagem reconstruiacuteda
21
222 ART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica)
Os primeiros estudos sobre teacutecnicas algeacutebricas em TC foram feitos por Gordon e
Herman (HERMAN G T GORDON R 1971) Apesar de ser mais intuitiva e simples que os
meacutetodos de transformada essa teacutecnica deixa a desejar no que se refere a precisatildeo e tempo de
processamento Fazendo com que os meacutetodos de transformada fossem inicialmente mais utilizados
principalmente na aacuterea meacutedica onde um grande nuacutemero de dados eacute processado No entanto para
experimentos em que o nuacutemero de projeccedilotildees eacute limitado ou tenha uma distribuiccedilatildeo natildeo uniforme o
meacutetodo de transformada torna-se inviaacutevel
Meacutetodos algeacutebricos ou de expansatildeo de seacuteries discretizam a secccedilatildeo irradiada em uma
matriz de incoacutegnitas (pixels) que representam a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de densidades μ (x y) como
ilustra a Figura 4 Apoacutes as varreduras um sistema de equaccedilotildees resultantes da relaccedilatildeo de Beer-
Lambert eacute criado e sua resoluccedilatildeo corresponde agrave inversa de Radon Devido agraves caracteriacutesticas desse
sistema meacutetodos indiretos satildeo aconselhados e dentre os indiretos o meacutetodo das projeccedilotildees de
Kaczmarz tem convergecircncia garantida (KACZMARZ 1937) As teacutecnicas iterativas satildeo resumidas
basicamente em quatro passos criaccedilatildeo da imagem inicial caacutelculo das correccedilotildees aplicaccedilatildeo das
correccedilotildees e o teste de convergecircncia Estes algoritmos diferem na maneira como as correccedilotildees satildeo
calculadas e aplicadas (SUBBARAO 1997) Neste trabalho eacute utilizada a teacutecnica algeacutebrica ART
Nessa representaccedilatildeo um raio corresponde a uma faixa com largura que na maioria das vezes
coincide com a largura de um pixel
22
O processo pode ser resumido em
1) Criar uma matriz imagem inicial com N elementos parametrizados em geralmente aleatoacuterios
ou nulos Esse eacute o iniacutecio da 1ordf iteraccedilatildeo ( =1)
2) Calcular as projeccedilotildees para todos os raios atraveacutes da foacutermula
(10)
3) Para cada raio calcular a diferenccedila entre a projeccedilatildeo original e a reconstruiacuteda 4)
Calcular o somatoacuterio de todos pesos ao longo de cada raio
(11)
5) Obter a correccedilatildeo para cada raio
23
(12)
6) Aplicar a correccedilatildeo a cada ceacutelula
(13)
onde eacute um paracircmetro de relaxaccedilatildeo entre 0 e 2
7) Repetir os passos 2 ao 6 para todos os raios
8) Achar a soma da convergecircncia de todos os pixels da imagem
(14)
9) Finalizar a iteraccedilatildeo
As iteraccedilotildees satildeo finalizadas quando chegar a um valor preacute - estabelecido Muitos autores
estabelecem um criteacuterio de Caso o criteacuterio natildeo tenha sido cumprido uma nova
iteraccedilatildeo eacute iniciada no passo 2
O ART frequentemente sofre de ruiacutedos tipo sal e pimenta (salt and pepper noise)
causados pelas inconsistecircncias introduzidas no conjunto de equaccedilotildees por aproximaccedilotildees nos O
efeito eacute exacerbado porque cada pixel ao longo de um raio eacute alterado assim que a projeccedilatildeo eacute
calculada mudando seus valores antes que outro raio o faccedila Tanto o ruiacutedo quando a taxa de
convergecircncia do meacutetodo dependem do paracircmetro de relaxaccedilatildeo utilizado escolhido empiricamente
(geralmente entre 0 e 2) (KAK 1989)
223 MART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica com Correccedilatildeo Multiplicativa)
Vaacuterios estudos apontam o meacutetodo como raacutepido mais flexiacutevel e de melhor acuraacutecia
que o ART Sendo indicado principalmente para casos de um nuacutemero limitado de dados
(VERHOEVEN 1993) A teacutecnica eacute semelhante ao ART com mudanccedila apenas no fator de correccedilatildeo
24
expresso pela equaccedilatildeo 15
(15)
23 O Caso Dinacircmico
De um modo geral imagiologia dinacircmica CT tem como objetivo reconstruir sequecircncias de
imagens em que a natureza dinacircmica do objeto tomografado eacute de interesse primaacuterio permitindo o
registro de mudanccedilas temporais na distribuiccedilatildeo do coeficiente de atenuaccedilatildeo linear Entende-se como
caso estaacutetico a situaccedilatildeo em que o objeto tem distribuiccedilatildeo de atenuaccedilotildees fixa na regiatildeo de
estudo ao longo do tempo Algoritmos de reconstruccedilatildeo tomograacutefica utilizam como dados de entrada
as projeccedilotildees unidimensionais tomograacuteficas Cada projeccedilatildeo eacute adquirida atraveacutes das aquisiccedilotildees de
intensidades inicial e final ao longo do raio na direccedilatildeo
O escaneamento pode ser feito atraveacutes de aquisiccedilotildees paralelas de um uacutenico feixe (Parallel
Beam) ou com as trajetoacuterias em forma de leque (Fan Beam) Como o sinograma eacute resultado das
transformadas de Radon ao longo dos raios pode-se dizer que o objetivo da tomografia eacute obter a
sua inversa ou seja a imagem reconstruiacuteda ou como no caso unidimensional a curva
(KAK A C SLANEY M 1999)
(16)
Historicamente a CT dinacircmica no contexto meacutedico refere-se a algoritmos de imagem que
tentam corrigir movimentos formando uma imagem de alta qualidade estaacutetica atraveacutes da remoccedilatildeo
do componente dinacircmico Diferentemente da aacuterea meacutedica as imagens reconstruiacutedas de fluxos
multifaacutesicos oriundas de relativa baixa resoluccedilatildeo temporal trazem informaccedilotildees importantes da
mudanccedila do fluxo ao longo do tempo (MyersG R Kingston A M 2011) O objetivo da
tomografia neste caso eacute determinar a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de atenuaccedilatildeo
No caso CT de 1ordf 3ordf geraccedilotildees aplicados a distribuiccedilotildees dinacircmicas uma uacutenica imagem
representativa de todo o processo (reconstruiacuteda por processos desenvolvidos para distribuiccedilotildees
25
estaacuteticas) eacute o resultado final da tomografia (BARTHOLOMEW CASAGRANDE 1957) (AZZI et
al 1991) (YIN et al 2002)(DAHAN A et al 2007) (DUDUKOVIC 2007) (DANTAS CC et
al 2007) (SALVADOR P A V 2010) (MESQUITA C et al 2011) A funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de
atenuaccedilotildees passa a ser uma aproximaccedilatildeo
Esta aproximaccedilatildeo eacute devido a projeccedilotildees natildeo compatiacuteveis no sinograma (tambeacutem chamado de
) (BONNET S 2003) As projeccedilotildees agora tornam-se incompatiacuteveis
devido as diferentes distribuiccedilotildees que ocorreram durante o intervalo de tempo [0 t]
24 Reconstruccedilatildeo com Correccedilatildeo de Movimento
A reduccedilatildeo de artefatos de movimento em imagens tomograacuteficas eacute um problema
crucial em oacutergatildeos de um forte caraacuteter dinacircmico como por exemplo os pulmotildees ou o coraccedilatildeo Uma
maneira simples de reduzir esses artefatos eacute limitar o tempo de aquisiccedilatildeo usando tomografia ultra ndash
raacutepida (5ordf geraccedilatildeo)
Aqui considera-se uma outra abordagem em que os modelos de movimento satildeo
integrados diretamente ao processo de reconstruccedilatildeo e onde a resoluccedilatildeo temporal pode assim ser
significativamente aumentada Os meacutetodos podem ser algeacutebricos (GILLAND et al 2002 1996 DE
MURCIA BLONDE et al 2003) ou analiacuteticos ( BONNET et al 2003)
A teacutecnica de compensaccedilatildeo de movimento utilizada neste estudo utiliza um modelo
de transformaccedilatildeo da matriz de pesos A dividindo-a em submatrizes tendo suas colunas deslocadas
adequadamente de acordo com o modelo de movimento obtido a cada projeccedilatildeo (PENGPAN et al
2011) Por esse motivo o vetor deslocamento do movimento deve ser calculado a cada projeccedilatildeo
Para uma grande quantidade de dados necessaacuterios em estudos dinacircmicos na aacuterea
meacutedica abordagens analiacuteticas que levam a algoritmos de reconstruccedilatildeo diretos satildeo mais apropriadas
Alguns meacutetodos satildeo aproximaccedilotildees adaptadas para uso geral do tipo de movimento mas amplitude
moderada (RITCHIE et al 1996 GRANGEAT et al 2002)
No trabalho desenvolvido foca-se a situaccedilatildeo em que um pequeno nuacutemero de dados eacute
26
disponibilizado devido a natureza da aplicaccedilatildeo Salienta-se que a compensaccedilatildeo de movimento
ocorre com a aplicaccedilatildeo da mesma quantidade de movimento (obtida previamente ou durante a
reconstruccedilatildeo) agrave matriz A
A funccedilatildeo em um instante de tempo t pode ser encontrada com a aplicaccedilatildeo da
deformaccedilatildeo agrave seu valor inicial
(17)
A deformaccedilatildeo pode apresentar rotaccedilatildeo e translaccedilatildeo
(18)
25 Geraccedilotildees de Tomoacutegrafos
A primeira geraccedilatildeo de tomoacutegrafos foi produzida pela EMI Mark em 1973 tendo
como desenvolvedor o engenheiro Hounsfield O sistema era composto por um uacutenico tubo de raios
X o qual produzia um uacutenico feixe ciliacutendrico que atravessava o objeto em estudo o paciente
atingindo o uacutenico detector que media a intensidade do mesmo O sistema ainda contava com um par
de colimadores (dois pequenos tubos metaacutelicos colocados apoacutes o feixe deixar a fonte e antes do
mesmo atingir o detector) para minimizar o espalhamento do feixe A fonte de raios X e o detector
se movem em sincronia e em lados opostos do paciente executando um escaneamento linear sobre a
seccedilatildeo em estudo seguido de uma rotaccedilatildeo de 1 grau e um novo escaneamento linear eacute efetuado
como ilustra a Figura 3 a)
Os tomoacutegrafos de segunda geraccedilatildeo foram desenvolvidos visando reduzir o tempo de
escaneamento minimizando a exposiccedilatildeo do paciente agrave radiaccedilatildeo e ampliando a gama de oacutergatildeos que
podem ter a seccedilatildeo transversal reconstruiacuteda Os tomoacutegrafos ainda mantiveram o movimento de
varredura linear seguida de uma rotaccedilatildeo Entretanto o feixe de raios X deixou de ser ciliacutendrico e
passou a ter formato de leque Ao inveacutes de um uacutenico detector o sistema passou a contar com vaacuterios
27
detectores alinhados de forma que possam receber todos os raios do feixe Dessa maneira o tempo
de obtenccedilatildeo de dados de uma seccedilatildeo foi reduzido de acordo
com o nuacutemero de detectores e com o acircngulo de abertura empregado como pode ser visto na Figura
3b) A terceira geraccedilatildeo de aparelhos abandonou de vez os movimentos de translaccedilatildeo do tubo de
raios X e dos detectores e passou a contar com um leque com um acircngulo maior e uma base de
detectores mais ampla em formato semi-circular O sistema passou a efetuar um movimento de 360
graus em torno da seccedilatildeo Tambeacutem eram usados colimadores antes do feixe atingir os detectores a
fim de minimizar o espalhamento dos raios X e garantir a qualidade das imagens O tempo de cada
varredura em alguns modelos comerciais passou a ser de apenas meio segundo ilustrado pela
Figura 3 c)
A quarta geraccedilatildeo de aparelhos passou a contar com um anel de detectores que
circundam toda a seccedilatildeo que possibilitou aumentar mais ainda o acircngulo do feixe de radiaccedilatildeo Os
detectores satildeo fixos e a fonte de radiaccedilatildeo rotaciona dentro do anel de detectores e ao redor do corpo
irradiado Um problema desta geraccedilatildeo diz respeito agrave recepccedilatildeo dos feixes que natildeo satildeo fixos e
dependendo do acircngulo um feixe pode atingir dois detectores ou acertar um detector apenas em uma
fraccedilatildeo ilustrado pela Figura 6d)
Como o tempo despendido para realizaccedilatildeo de movimentos mecacircnicos eacute a principal
28
limitaccedilatildeo para reduzir ainda mais os tempos de escaneamento a quinta geraccedilatildeo de aparelhos acabou
com os movimentos de translaccedilatildeo e rotaccedilatildeo da fonte e dos detectores Rachid Maad em MAAD R
2009 evita utilizar essa classificaccedilatildeo para tomoacutegrafos sem rotaccedilatildeo e translaccedilatildeo utilizados
industrialmente ficando essa classificaccedilatildeo mais utilizada em aplicaccedilotildees meacutedicas Esse utiliza o
termo geraccedilatildeo de tomografia instantacircnea para tais aparelhos representados na Figura 6e)
Na configuraccedilatildeo instantacircnea um anel de detectores estacionaacuterios e as fontes de
radiaccedilatildeo rodeiam o objeto fornecendo um arranjo fixo (sem varreduras) e mediccedilotildees instantacircneas1
Esta teacutecnica eacute muito raacutepida e pode ser usada na geraccedilatildeo de imagens em tempo real A desvantagem
eacute o custo e o problema da radiaccedilatildeo dispersa causada pela presenccedila de muacuteltiplas fontes
26 Simulaccedilatildeo de Sinogramas
Phantoms matemaacuteticos ou imagens de teste satildeo frequentemente utilizados para
avaliar a precisatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo Satildeo descritos precisamente por funccedilotildees
matemaacuteticas e suas transformadas de Radon simulam as projeccedilotildees tomograacuteficas Seus pixels satildeo as
regiotildees discretizadas e seus valores ou cores representam as densidades ou coeficientes de
atenuaccedilatildeo linear A imagem de teste (phantom) mais conhecida em reconstruccedilatildeo tomograacutefica eacute o
1 O termo instantacircneo aqui utilizado negligencia o tempo de aquisiccedilatildeo para as contagens de intensidade de radiaccedilatildeo devido ao seu baixo valor deacutecimos de segundo
29
phantom de Sheep ndash Logan Figura 7
Para calcular a projeccedilatildeo simulada somam-se os produtos das distacircncias percorridas
pelo raio em cada pixel pelo seu valor Paracircmetros do experimento tomograacutefico que se deseja
simular como a aacuterea a ser varrida densidades reais adiccedilatildeo de ruiacutedo e fotos da secccedilatildeo do objeto
podem ser incorporadas para dar mais realidade ao modelo (SUBBARAO PMV et al 1997) O
ruiacutedo obedece ao desvio padratildeo de Poisson (IAEA-TECDOC-1589 2008)
A secccedilatildeo irradiada eacute representada por uma matriz de incoacutegnitas que representam a
distribuiccedilatildeo de densidades que se deseja descobrir As incoacutegnitas satildeo os pixels da imagem
reconstruiacuteda como ilustrado na Figura 8
Nessa representaccedilatildeo um raio corresponde a uma faixa com largura que na maioria
das vezes coincide com a largura de um pixel
Figura 7 Phantom de Sheep-Logan
50 100 150 200 250
50
100
150
200
2500
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
30
Parametrizando os pixels com j variando de 1 a N e os raios com i de 1 a M podemos
escrever a transformada de Radon ao longo do raio i como
(19)
onde eacute o peso que diz o percentual de contribuiccedilatildeo de um pixel j para o raio i definido como
(20)
Uma boa aproximaccedilatildeo eacute o modelo em que a largura do feixe eacute reduzida a uma linha
reta fazendo a distacircncia percorrida por este feixe dentro do pixel
Para calcular a intensidade final para uma projeccedilatildeo i faz-se
31
(21)
Com calculado da figura e de meacutedia fixa variando a cada projeccedilatildeo
com o desvio padratildeo de Poisson para todas as projeccedilotildees
O sinograma simulado eacute construiacutedo fazendo cada elemento de sua matriz igual a
27 Fluidodinacircmica Computacional - CFD
Fluidodinacircmica computacional (Computational Fluid Dynamics - CFD) eacute o termo
dado ao grupo de teacutecnicas matemaacuteticas numeacutericas e computacionais usadas para obter visualizar e
interpretar soluccedilotildees para as equaccedilotildees de conservaccedilatildeo de grandezas fiacutesicas de interesse em um dado
escoamento A origem destas equaccedilotildees de conservaccedilatildeo eacute a teoria de Fenocircmenos de Transporte
Assim pode-se resumir CFD como o conjunto das teacutecnicas de simulaccedilatildeo computacional usadas
para predizer os fenocircmenos fiacutesicos ou fiacutesico-quiacutemicos que ocorrem em escoamentos
A Fluidodinacircmica computacional eacute uma aacuterea de grande interesse para a soluccedilatildeo de
muitos problemas praacuteticos Como exemplo podem ser citados problemas de aerodinacircmica
termodinacircmica hidraacuteulica dentre outros As anaacutelises nesta aacuterea de pesquisa podem ser
desenvolvidas com base em experimentos bem como em meacutetodos teoacutericos Dentro dos meacutetodos
teoacutericos destacam-se os meacutetodos computacionais utilizados para simulaccedilatildeo numeacuterica aplicada agrave
Dinacircmica dos Fluidos (HERCKERT M G R)
Para os escoamentos de fluidos o modelo matemaacutetico eacute estabelecido com base nas
equaccedilotildees de conservaccedilatildeo da quantidade de movimento da massa e da energia Estas equaccedilotildees
quando submetidas a condiccedilotildees de contorno e iniciais apropriadas representam matematicamente
um problema particular (SHAMES I H 1973) A soluccedilatildeo analiacutetica destas equaccedilotildees somente eacute
possiacutevel para escoamentos muito simples Para se analisar problemas reais lanccedila-se matildeo do uso dos
chamados meacutetodos numeacutericos
Nos casos de escoamentos laminares os modelos satildeo relativamente simples pois as
32
equaccedilotildees de Navier-Stokes2 conservaccedilatildeo da massa e conservaccedilatildeo de energia satildeo resolvidas
Contudo como a maioria dos escoamentos que acontecem na natureza e no meio industrial satildeo
turbulentos estes tem um alto grau de complexidade e portanto deve-se lanccedilar matildeo de modelos
matemaacuteticos de turbulecircncia acrescentando termos as equaccedilotildees anteriormente citadas Os modelos
de turbulecircncia levam em conta variaacuteveis estatiacutesticas pois escoamentos turbulentos satildeo altamente
caoacuteticos e com isto haacute a necessidade de ferramentas estatiacutesticas para representar os escoamentos
turbulentos
A Figura 9 mostra campos de velocidade e distribuiccedilatildeo de soacutelido dentro do riser com
o regime de fluxo feito por CFD (ARMSTRONG L M 2010) Uma uacutenica velocidade de injeccedilatildeo e
diferentes alturas ao longo do riser Outros exemplos satildeo ilustrados nas Figuras 10 e 11
2 satildeo equaccedilotildees diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos Permitem determinar os
campos de velocidade e de pressatildeo num escoamento
Figura 9 Distribuiccedilatildeo de velocidades e defraccedilatildeo de soacutelido para diferentes alturas
33
28 Tempo de Aquisiccedilatildeo ou Integraccedilatildeo
Detectores de radiaccedilatildeo precisam sempre de um certo tempo (tempo de integraccedilatildeo)
para obter sinal razoaacutevel dos foacutetons incidentes Isto eacute devido agrave estatiacutestica de Poisson que regula o
processo de contagem de foacutetons e pode aumentar consideravelmente a incerteza do sinal detectado
no caso de um tempo de integraccedilatildeo baixo No domiacutenio da frequecircncia a mediccedilatildeo de sinal com um
tempo de integraccedilatildeo eacute aproximadamente equivalente a multiplicar o sinal original por um filtro
passa - baixa Quando uma amostra estaacute em repouso no interior do tomoacutegrafo eacute vantajosa a
utilizaccedilatildeo de um tempo de integraccedilatildeo alto para rejeitar ruiacutedo de alta frequecircncia Para a escolha do
tempo de integraccedilatildeo ideal deve-se estabelecer um equiliacutebrio entre a velocidade da amostra e o ruiacutedo
Poisson (MAAD 2009)
29 Sistema de cores RGB
RGB eacute a abreviatura do sistema de cores aditivas formado por Vermelho (Red)
Verde (Green) e Azul (Blue) O propoacutesito principal do sistema RGB eacute a reproduccedilatildeo de cores em
dispositivos eletrocircnicos como monitores de TV e computador datashows scanners e cacircmeras
digitais assim como na fotografia tradicional Em contraposiccedilatildeo impressoras utilizam o modelo
Figura 11 Visatildeo 3D de uma distribuiccedilatildeo de fraccedilatildeode soacutelido feito por CFD
Figura 10 Secccedilatildeo comdistribuiccedilatildeo de soacutelido que
seraacute utilizada como PhantomMatemaacutetico
34
CMYK de cores subtrativas Modelos aditivos de luzes satildeo combinados de vaacuterias maneiras para
reproduzir outras cores
O modelo de cores RGB eacute baseado na teoria de visatildeo colorida tricromaacutetica de
Young-Helmholtz e no triacircngulo de cores de Maxwell O uso do modelo RGB como padratildeo para
apresentaccedilatildeo de cores na Internet tem suas raiacutezes nos padrotildees de cores de televisotildees RCA de 1953 e
no uso do padratildeo RGB nas cacircmeras LandPolaroid poacutes Edwin Land
Estas trecircs cores natildeo devem ser confundidas com os pigmentos primaacuterios Ciano
Magenta e Amarelo conhecidos no mundo das artes como ldquocores primaacuteriasrdquo jaacute que se combinam
baseadas na reflexatildeo e absorccedilatildeo de foacutetons visto que o RGB depende da emissatildeo de foacutetons de um
componente excitado a um estado de energia mais elevado (fonte emissora por exemplo o tubo de
raios catoacutedicos)
O modelo de cores RGB por si soacute natildeo define o que significa ldquovermelhordquo ldquoverderdquo ou ldquoazulrdquo
(espectroscopicamente) e entatildeo os resultados de misturaacute-los natildeo satildeo tatildeo exatos (e sim relativos na
meacutedia da percepccedilatildeo do olho humano)
Uma cor no modelo de cores RGB pode ser descrita pela indicaccedilatildeo da quantidade de
vermelho verde e azul que conteacutem Cada uma pode variar entre o miacutenimo (completamente escuro)
e maacuteximo (completamente intenso) Quando todas as cores estatildeo no miacutenimo o resultado eacute preto Se
todas estatildeo no maacuteximo o resultado eacute branco (GONZALES 2014)
Uma das representaccedilotildees mais usuais para as cores eacute a utilizaccedilatildeo da escala de 0 agrave 255
bastante encontrada na computaccedilatildeo pela conveniecircncia de se guardar cada valor de cor em 1 byte (8
bits) Assim o vermelho completamente intenso eacute representado por 255 0 0
Branco - RGB (255 255 255) Azul - RGB (0 0 255) Vermelho - RGB (255 0 0)
Verde - RGB (0 255 0)Amarelo - RGB (2552550)Magenta - RGB (2550255)
Ciano - RGB (0 255 255) Preto - RGB (0 0 0)
35
As cores satildeo complementares agraves do sistema CMYK - Ciano (Cyan) Magenta
(Magenta) Amarelo (Yellow) e Preto (blacKKey) - e a sua mistura forma a cor branca
210 MCNP
O meacutetodo Monte Carlo eacute um algoritmo numeacuterico capaz de resolver problemas fiacutesicos e
matemaacuteticos por meio de simulaccedilatildeo de variaacuteveis aleatoacuterias (SOBOL 1994 BIELAJEW 1998)
Hoje em dia o MCNP eacute uma ferramenta matemaacutetica comumente utilizada em diversos segmentos
da ciecircncia e da engenharia para simular problemas que podem ser representados por processos
estocaacutesticos Simulaccedilotildees do transporte de radiaccedilatildeo por meio deste meacutetodo e em particular na Fiacutesica
Meacutedica tecircm passado por um raacutepido crescimento nas uacuteltimas deacutecadas (YORIYAZ 2009)
O processo Monte Carlo pode ser compreendido como um meacutetodo de geraccedilatildeo de nuacutemeros
aleatoacuterios (ROBERT amp CASELLA 2004) Um gerador uniforme de nuacutemeros pseudoaleatoacuterios eacute
um algoritmo que comeccedilando com um valor inicial e uma transformaccedilatildeo produz uma sequecircncia de
valores no intervalo [0 1] tendo esta sequecircncia um comportamento de uma variaacutevel aleatoacuteria
uniforme quando comparada com um conjunto de testes aleacutem de ser independente e identicamente
distribuiacuteda (ROBERT amp CASELLA 2004) Em termos de transporte de radiaccedilatildeo o processo
estocaacutestico pode ser visto como uma famiacutelia de partiacuteculas cujas coordenadas individuais soacute mudam
aleatoriamente em cada colisatildeo O comportamento meacutedio dessas partiacuteculas eacute descrito em termos de
Figura 12Sistema RGB
36
grandezas macroscoacutepicas como fluxo ou densidade de partiacuteculas (YORIYAZ 2009)
O Monte Carlo N Particle ndash MCNP - foi criado desde a deacutecada de 50 nos Estados
Unidos sendo desenvolvido por meio do laboratoacuterio Los Alamos National Laboratory O MCNP
continua ateacute hoje sendo aperfeiccediloado tornando-se assim mais confiaacutevel e usado por muitos
pesquisadores no mundo inteiro Eacute um coacutedigo que realiza o transporte de partiacuteculas utilizando o
meacutetodo Monte Carlo com capacidade para simular necircutrons com energias entre 10-11 MeV a 20
MeV enquanto que a faixa de energia para os foacutetons e eleacutetrons vai de 1 keV a 1000 MeV
(BRIESMEISTER 2000) O coacutedigo MCNP tem a capacidade de simular sistemas com geometrias
que vatildeo de superfiacutecies preacute-determinadas como esferas planos paraboloacuteides de revoluccedilatildeo cilindros
elipsoacuteides ateacute superfiacutecies bem elaboradas utilizando conjunto de pontos no espaccedilo
O pesquisador ao utilizar o MCNP constroacutei um arquivo de entrada no coacutedigo que
pode ser organizado em blocos descrevendo regiotildees envolvidas no modelo especificaccedilatildeo da
geometria por meio de superfiacutecies geomeacutetricas e suas intersecccedilotildees posiccedilatildeo e distribuiccedilatildeo energeacutetica
da fonte descriccedilatildeo dos materiais e todos os paracircmetros fiacutesicos agregados com algumas teacutecnicas de
reduccedilatildeo de variacircncia para melhorar a eficiecircncia e obter melhores resultados (BRIESMEISTER
2000) A versatilidade somado ao aspecto funcional do coacutedigo MCNP para diferentes tipos de
problemas faz com que este seja bem aceito na comunidade cientiacutefica que trabalham com transporte
de radiaccedilotildees e caacutelculos de dose
37
3 METODOLOGIA
Para descobrir ateacute onde processos tomograacuteficos de baixa resoluccedilatildeo temporal aliados
a algoritmos de reconstruccedilatildeo estaacutetica satildeo compatiacuteveis com o regime em estudo foram avaliadas
aquisiccedilotildees simuladas de 1ordf 3ordf e 5ordf geraccedilotildees tomograacuteficas A variaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo de densidades
durante a aquisiccedilatildeo faz necessaacuterio o desenvolvimento de uma versatildeo da lei de Beer-Lambert para
casos dinacircmicos seguida de sua aplicaccedilatildeo para realizar as simulaccedilotildees O meacutetodo eacute separado em duas
fases
1ordf Fase
A metodologia desenvolvida aplica primeiro o modelo de simulaccedilatildeo de sinogramas
desenvolvida analiticamente agrave primitivas matemaacuteticas e posteriormente a dados do MCNPX e CFD
1) Eacute criado um modelo de simulaccedilatildeo de sinogramas para distribuiccedilotildees
dinacircmicas utilizando a versatildeo temporal desenvolvida da lei de Beer-Lambert e da transformada de
Radon tambeacutem temporal
2) A simulaccedilatildeo eacute testada com primitivas matemaacuteticas dinacircmicas como um
ciacuterculo crescente ou transladando ou ambos A escolha eacute pautada em sua representaccedilatildeo precisa por
funccedilotildees matemaacuteticas e por representar diversos processos industriais(A simulaccedilatildeo com o disco
representa a secccedilatildeo de um cilindro ou bolha)
3) Os resultados satildeo apresentados em forma de imagens e graacuteficos A
visualizaccedilatildeo do sinograma eacute bastante utilizada para determinaccedilatildeo de caracteriacutesticas do objeto
4) O modelo de simulaccedilatildeo eacute ao aplicado a dados do CFD
2ordf Fase
O meacutetodo desenvolvido propotildee uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens
tomograacuteficas de processos dinacircmicos pois utiliza canais de cores para mostrar a evoluccedilatildeo temporal
do processo O algoriacutetmo de reconstruccedilatildeo utilizado eacute o MART devido a sua boa performance com
nuacutemero limitado de dados
Nesta fase eacute realizada a reconstruccedilatildeo tradicional que eacute associada aos canais verde (G)
e azul (B) enquanto que o canal vermelho (R) fica responsaacutevel pela evoluccedilatildeo temporal do processo
O meacutetodo eacute descrito na seccedilatildeo 33
38
A reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento eacute utilizada com conhecimento do vetor
deslocamento meacutedio ou sua estimativa O meacutetodo escolhido modifica a matriz de pesos do
algoritmo algeacutebrico deslocando suas colunas de acordo com o modelo de movimento estimado
(ARTEMIEV V M NAUMOV A O 2006) (BUTALA 2009) (DESBAT L et al 2006)
Com o resultado das simulaccedilotildees o sistema tomograacutefico pode ser otimizado
(diminuiccedilatildeo do nuacutemero de projeccedilotildees e vistas)
31 A Transformada de Radon Temporal
regiatildeo (espaccedilo de medida) na qual seraacute feita a aquisiccedilatildeo de dados
considere a funccedilatildeo densidade onde
Neste sistema um ponto pode ser
mapeado por como
complemento unitaacuterio perpendicular a
ao longo da reta eacute dada por
(22)
39
depende natildeo apenas de x e y mas de com sendo a
variaacutevel tempo Definimos entatildeo
(23)
onde e o tempo final da mesma medida
Lema 1 ou seja se eacute
estaacutetico ao longo do tempo a transformada dinacircmica reduz-se a convencional
Demostraccedilatildeo
Figura 13 Sistema de Coordenadas
θ
x
y
ξξ
s
x (xy
)
40
Lema 2 e portanto se a
leitura for ldquoraacutepidardquo o caso dinacircmico mais uma vez reduz-se ao caso estaacutetico
Demostraccedilatildeo
Pelo teorema do valor meacutedio integral (TVMI) temos que se f eacute contiacutenua entatildeo
para algum tal que
usando o TVMI
K(γ)
41
32 Lei de Beer-Lambert temporal
Como a natureza da lei exige que os tempos de contagens sejam iguais para que estas
sejam comparadas apenas a variaccedilatildeo da intensidade da radiaccedilatildeo com a distacircncia eacute geralmente
explorada Sabendo que esses intervalos de tempo de contagem satildeo despreziacuteveis em relaccedilatildeo ao
tempo de meia vida da fonte e que a probabilidade de emissatildeo se manteacutem constante ao longo do
mesmo tempo pode-se supor que a intensidade seja diretamente proporcional ao tempo Ou seja
(24)
Neste caso a distribuiccedilatildeo de coeficientes de atenuaccedilotildees varia tambeacutem com o tempo
ou seja torna-se
(25)
ou
(26)
O modelo discreto aplica a lei de Beer-Lambert em sua forma estaacutetica para cada
particcedilatildeo de tempo assumindo que durante o infinitesimal de tempo o coeficiente e a distacircncia
percorrida permanecem constantes
(27)
42
(28)
33 Simulaccedilatildeo de aquisiccedilotildees Tomograacuteficas
O processo de aquisiccedilatildeo tomograacutefica consiste em coletar intensidades iniciais e finais
em determinados caminhos percorridos pelos feixes de radiaccedilatildeo Os dados podem ser tratados com
filtros etc Optou-se em natildeo realizar tratamento para natildeo inserir mais variaacuteveis ao processo
garantindo que os resultados sejam alcanccedilados soacute pelo meacutetodo proposto
Como jaacute foi dito na seccedilatildeo 26 para calcular a intensidade final para um caminho i
faz-se
(29)
A funccedilatildeo eacute representada pelas imagens de testes chamadas neste trabalho de
quadros ou frames configurados pela distribuiccedilatildeo de densidades escolhida Em todos os casos
optou-se por densidades unitaacuterias para qualquer distribuiccedilatildeo ou seja dois valores satildeo possiacuteveis em
uma imagem de teste 0 ou 1 Um pixel com valor 0 corresponde a uma regiatildeo sem atenuaccedilatildeo e os
pixels que compotildeem o objeto simulado tem valor 1
Com calculado da figura e de meacutedia fixa variando a cada projeccedilatildeo
com o desvio padratildeo de Poisson para todas as projeccedilotildees as projeccedilotildees satildeo calculadas com
O conjunto de todas as projeccedilotildees eacute ordenado em uma matriz chamada de sinograma
331 Aquisiccedilatildeo por Tomografia de 1ordf Geraccedilatildeo
Dois tipos de situaccedilotildees podem ocorrer
1) Uma uacutenica projeccedilatildeo 1D eacute realizada e durante todo o tempo de integraccedilatildeo nenhuma
mudanccedila ocorre na distribuiccedilatildeo ao longo do raio podendo mais de uma aquisiccedilatildeo 1D ser aferida
para mesma distribuiccedilatildeo ou frame Neste caso a intensidade final eacute calculada utilizando a lei de
43
Beer-Lambert durante todo o tempo de integraccedilatildeo para cada raio como ilustrado na Figura 15
Para calcular a intensidade final para uma projeccedilatildeo i faz-se
(30)
2) Durante a aquisiccedilatildeo ocorre mudanccedila na distribuiccedilatildeo de densidades ao longo do
feixe Como foi exposto na seccedilatildeo 31 o somatoacuterio de intensidades finais do raio em cada quadro
(frame) retorna a intensidade final total para um certo tempo de aquisiccedilatildeo Figura 16
Figura 15 Projeccedilotildees 1D sem mudanccedila de frame
44
Entatildeo para cada frame eacute feita
e para a discretizaccedilatildeo de um intervalo de tempo
No exemplo ilustrado na Figura 16 a intensidade final depois do tempo de integraccedilatildeo
correspondente ao frame b fica
3) Natildeo ocorre mudanccedila na distribuiccedilatildeo durante toda a coleta de aquisiccedilotildees 1D em uma vista
4) Natildeo ocorre mudanccedila durante a aquisiccedilatildeo de todas as vistas Neste caso a distribuiccedilatildeo pode
ser tratada como estaacutetica
Figura 16 Projeccedilotildees 1D com mudanccedila de frame
1ordf aquisiccedilatildeo - Quadro a 1ordf aquisiccedilatildeo - Quadro b
45
332 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 3ordf geraccedilatildeo
A vantagem do meacutetodo eacute adquirir vaacuterias projeccedilotildees 1D ao mesmo tempo
Possibilitando um maior volume de dados em um tempo menor quando comparado ao de 1ordf
geraccedilatildeo Dois casos satildeo possiacuteveis
1) O tempo de integraccedilatildeo eacute suficiente para realizar uma vista completa ou mais por
quadro ou frame Figura 17
Figura 17 Mais de uma vista por frame
46
2) Mais de um quadro por vista Figura 18
333 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 5ordf geraccedilatildeo
Nesta situaccedilatildeo vaacuterias vistas satildeo adquiridas durante a mudanccedila da distribuiccedilatildeo Figura 19
Figura 19 Mais de um frame durante a aquisiccedilatildeo
Figura 18 Mais de um frame por vista
47
34 Posicionamento angular
O posicionamento angular tradicionalmente eacute feito com um conjunto de acircngulos
igualmente espaccedilados ordenados de forma crescente cobrindo o intervalo de 0ordm a 180ordm ou 360ordm A
ordem em que as projeccedilotildees ou vistas satildeo adquiridas natildeo importa porque o objeto em estudo eacute
estaacutetico
A proposta para tomografia dinacircmica de 1ordf e 3ordf geraccedilotildees eacute que o posicionamento seja
feito em subconjuntos que completem um ciclo Por exemplo o conjunto de vistas posicionadas
consecutivamente em 0ordm 45ordm 90ordm 135ordm 180ordm 225ordm 270ordm 315ordm pode ser reordenada em ciclos como
0ordm 90ordm 180ordm 270ordm Primeiro ciclo
45ordm 135ordm 225ordm 315ordm Segundo ciclo
A vantagem desse arranjo eacute que num determinado momento ao se preferir um
sinograma completo mas esparso em contraposiccedilatildeo a um sinograma incompleto mas denso eacute que as
informaccedilotildees vatildeo ser disponibilizadas na forma de imagem reconstruiacuteda mais cedo durante o
processo facilitando a interpretaccedilatildeo das informaccedilotildees Eacute uma escolha entre anaacutelise global esparsa
versus anaacutelise local densa
A nova ordenaccedilatildeo gera uma imagem reconstruiacuteda mais proacutexima do objeto dinacircmico e
abre a possibilidade de reconstruccedilotildees parciais com os subconjuntos de dados mais consistentes com
a dinacircmica do processo
35 Utilizaccedilatildeo de um canal de cores para visualizar a dinacircmica do processo Reconstruccedilatildeo RGB
Uma caracteriacutestica da imagem reconstruiacuteda tradicionalmente em processos
industriais dinacircmicos eacute a falta de informaccedilatildeo temporal ou seja obtecircm-se informaccedilotildees da meacutedia da
distribuiccedilatildeo mas natildeo se sabe em que tempo ocorreram as mudanccedilas de padratildeo de fluxo A proposta
desenvolvida neste trabalho pondera cada perfil adquirido com um fator dependente do tempo
criando esta distinccedilatildeo
O meacutetodo desenvolvido propotildee uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens
tomograacuteficas de processos dinacircmicos pois utiliza canais de cores para mostrar a evoluccedilatildeo temporal
do processo Nesta fase eacute realizada a reconstruccedilatildeo tradicional e a mesma eacute associada aos canais
verde (G) e azul (B) enquanto que ao canal vermelho (R) eacute associada a evoluccedilatildeo temporal do
processo Uma cor no modelo de cores RGB pode ser descrita pela indicaccedilatildeo da quantidade de
48
vermelho verde e azul que conteacutem Cada uma pode variar entre o miacutenimo (completamente escuro)
e maacuteximo (completamente intenso) Quando todas as cores estatildeo no miacutenimo o resultado eacute preto Se
todas estatildeo no maacuteximo o resultado eacute branco Uma das representaccedilotildees mais usuais para os canais eacute a
utilizaccedilatildeo da escala de 0 agrave 255 (GONZALES 2014)
O meacutetodo consiste em
1) Simular as projeccedilotildees que equivalem na utilizaccedilatildeo real de um experimento agrave
coleta de dados de intensidades finais e iniciais pelo detetor
2) Reconstruir com esses dados a distribuiccedilatildeo de densidades Foi utilizado o MART
com relaxaccedilatildeo 02 e criteacuterio de parada 1
3) Associar esta reconstruccedilatildeo aos canais G e B
4) Binarizar a imagem reconstruiacuteda entre 0 e 150 O limiar (threshold) utilizado foi
empiacuterico e de 50 do maior valor da imagem
5) Penalizar as projeccedilotildees da primeira agrave uacuteltima com um fator empiacuterico crescente com
o tempo Normalizar as projeccedilotildees de cada vista por 105
6) Realizar a retroprojeccedilatildeo nos pixels com suas respectivas projeccedilotildees
7) Associar ao canal R
8) Juntar todos os canais em uma uacutenica imagem A reconstruccedilatildeo tradicional e a
reconstruccedilatildeo RGB satildeo visualizadas em uma uacutenica imagem onde os tons de vermelho correspondem
agrave evoluccedilatildeo temporal da dinacircmica do processo
36 Reconstruccedilatildeo utilizando dados do CFD
Dados da simulaccedilatildeo de fluxo bifaacutesico satildeo gerados em forma de imagens 2D da distribuiccedilatildeo
em secccedilotildees transversais ao longo do tubo Os dados satildeo coletados para uma uacutenica altura ou seja
secccedilatildeo As diversas imagens de uma uacutenica secccedilatildeo representam a evoluccedilatildeo temporal do fluxo
naquela regiatildeo O conjunto de 8 imagens exemplificam o comportamento do fluxo em intervalos
de tempo de 00025s
A altura da secccedilatildeo em m o tipo de injetor a vazatildeo volumeacutetrica em Lmim e o fluxo de
catalisador satildeo dados de entrada na simulaccedilatildeo do CFD mas natildeo fazem parte das simulaccedilotildees de
aquisiccedilotildees tomograacuteficas utilizadas nesse estudo As imagens portam as informaccedilotildees que seratildeo
utilizadas nas simulaccedilotildees de aquisiccedilatildeo das projeccedilotildees
49
37 Avaliaccedilatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo com RMSE
As teacutecnicas de avaliaccedilatildeo de algoritmos de reconstruccedilatildeo mais utilizadas na literatura
satildeo raiz do erro quadraacutetico meacutedio erro meacutedio relativo absoluto e erros baseados em entropia Para
o caso de simulaccedilotildees com figuras de testes bem definidas (phantoms matemaacuteticos) as teacutecnicas
podem ser aplicadas comparando a imagem reconstruiacuteda com a imagem original O mesmo
procedimento repete-se para phantoms reais onde a distribuiccedilatildeo de densidades eacute bem conhecida Os
sinogramas tambeacutem podem ser avaliados
Gordon e Herman (GORDON 1974 HERMAN 1973 HERMAN 1976) usaram a
raiz do erro quadraacutetico meacutedio para avaliar o quanto a figura reconstruiacuteda aproxima-se da original A
definiccedilatildeo do erro eacute
(31)
Onde
eacute o valor original do pixel
o pixel reconstruiacutedo
o nuacutemero total de pixels da imagem ou sinograma
50
38 Algoritmos e Software Desenvolvidos
Diversas rotinas foram implementadas no Matlab Suas funccedilotildees satildeo para calculo de
projeccedilotildees sinogramas resoluccedilatildeo por ART MART calculo da Matriz de pesos resoluccedilatildeo de
sistemas Aleacutem das jaacute disponiacuteveis no programa como Resoluccedilatildeo por FBP filtros de imagem
operaccedilatildeo com matrizes visualizaccedilatildeo de graacuteficos etc As rotinas estatildeo disponiacuteveis no Anexo-I
Devido agrave grande dimensatildeo da matriz de pesos nos algoritmos algeacutebricos ficou
inviaacutevel sua operaccedilatildeo em alguns casos no Matlab O software Tomography Workstation-TW foi
desenvolvido em C com este propoacutesito Apresenta opccedilotildees de reconstruccedilatildeo ART MART SIRT e
SART Figura 39 Tambeacutem tem as funccedilotildees para carregar tomogramas e sinogramas
Figura 20 Software Desenvolvido
51
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO
Os resultados foram divididos nas seguintes seccedilotildees
bull Aumento do nuacutemero de iteraccedilotildees na Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica Dinacircmica
bull Resultados das reconstruccedilotildees MART e FBP
bull Escolha do posicionamento angular (vistas alternadas)
bull Resultados com reconstruccedilatildeo RGB
bull Simulaccedilotildees com MCNP
bull Reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento
bull Simulaccedilotildees tomograacuteficas a partir do CFD
41 Resultados das Reconstruccedilotildees MART e FBP
As imagens de teste (phantoms) foram utilizadas para avaliar os resultados das
reconstruccedilotildees MART e FBP
411 Primitiva Ciacuterculo Transladando 1 vista por frame
A simulaccedilatildeo consiste em oito distribuiccedilotildees representadas por imagens (quadros ou
frames) de 64x64 pixels com um disco de densidade unitaacuteria e raio fixo Natildeo ocorre mudanccedila
durante a simulaccedilatildeo de uma aquisiccedilatildeo ou varredura Esta aplicaccedilatildeo simula as tomografias de 1ordf e 3ordf
geraccedilatildeo
O disco Raio = 2 pixels deslocamento de 7 pixels entre os centros dos discos de
quadros consecutivos A imagem eacute reconstruiacuteda por FBP e MART
Os frames satildeo ilustrados na Figura 21 e a meacutedia dos oito na Figura 22 Cada imagem
eacute ilustrada na escala de 64 x 64 pixels
52
Figura 21 8 frames - ciacuterculo transladando - 1 vista por frame
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 22 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
53
Os oito picos do sinograma Figura 23 ilustram a captura do disco em diferentes
posiccedilotildees
A Figura 24 ilustra o sinograma em forma de imagem onde cada valor de pixel eacute
convertido para uma escala de cor O eixo vertical (linhas do sinograma) representa a passo linear
(posiccedilatildeo das trajetoacuterias dos feixes) e o horizontal o passo angular (Nuacutemero de vistas)
Figura 23 Tomograma e sinograma ndash circulo transladando ndash 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
05
1
15
2
25
3
35
4
45
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 700
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
54
Os resultados das reconstruccedilotildees FBP e MART satildeo ilustrados na Figura 25
A reconstruccedilatildeo por FBP mostra diversos artefatos natildeo dando para identificar o
nuacutecleo nem a tendecircncia de movimento Os artefatos formam oito faixas um para cada vista ou
projeccedilatildeo Estes artefatos em faixa satildeo comuns no FBP para um baixo nuacutemero de vistas
O MART difere da imagem meacutedia mostrando um arqueamento para direita devido ao
movimento simulado e o sentido anti-horaacuterio das aquisiccedilotildees Eacute um artefato de movimento
Figura 25 Reconstruccedilotildees circulo transladando ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Figura 24 Sinogramascirculo transladando ndash 1 vista por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
55
412 Primitiva Ciacuterculo Transladando Oito vistas por frame
O objetivo desta simulaccedilatildeo eacute descobrir como se comportam os algoritmos em uma
tomografia de 5ordf geraccedilatildeo onde todas as aquisiccedilotildees satildeo realizadas ao mesmo tempo Nesta situaccedilatildeo
as oito vistas satildeo realizadas simultaneamente enquanto ocorre a mudanccedila das distribuiccedilotildees (Figura
19) Figuras com 64x64 pixels raio fixo de 2 pixels deslocamento de 5 pixels
Figura 26 Tomograma e Sinograma - disco transladando - 8 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
05
1
15
2
25
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 7001
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
56
Os resultados das reconstruccedilotildees satildeo ilustrados na Figura 28
As reconstruccedilotildees ficam mais proacuteximas da imagem meacutedia porque todas as vistas satildeo
adquiridas ao mesmo tempo durante todo o processo O FBP perde a definiccedilatildeo dos discos e forma
um artefato central vertical O MART reconstroacutei o disco nas oito posiccedilotildees Cada disco eacute
reconstruiacutedo ilustrando os oito instantes de tempo que foram simulados
Figura 27 Sinogramas CiacuterculoTransladando -Oito vistas por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Figura 28 Reconstruccedilotildees Ciacuterculo Transladando -Oito vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
57
413 Primitiva Circulo Crescente Uma vista por frame
A simulaccedilatildeo consiste em oito distribuiccedilotildees em forma de ciacuterculo concecircntricas com um
aumento 2 pixels entre distribuiccedilotildees consecutivas (Figura 29) Oito vistas satildeo adquiridas
simultaneamente para simular a tomografia de 5ordf geraccedilatildeo
Abaixo a imagem meacutedia aritmeacutetica das oito distribuiccedilotildees eacute ilustrada na Figura 29 A
aacuterea central eacute mais escura porque eacute coincidente para os oito ciacuterculos
Figura 30 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Figura 29 8 frames - circulo crescente - 1 vista por frame
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
58
Tanto o sinograma quanto o tomograma ilustram o crescimento do disco Figura
411
Figura 31 Tomograma e sinograma - ciacuterculo crescente - 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 700
10
20
30
40
50
60
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
59
O sinograma em forma de imagem eacute mostrado abaixo (Figura 32)
O aumento vertical das faixas eacute devido ao crescimento do disco
As duas reconstruccedilotildees apresentam artefatos de rotaccedilatildeo que dificultam a identificaccedilatildeo
da tendecircncia de movimento ou da distribuiccedilatildeo espacial dos discos (Figura 33)
Figura 32 Imagem do sinograma -ciacuterculo crescente - 1 vista por frame
Sinograma
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
Figura 33 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
60
414 Primitiva Circulo Crescente Oito vistas por frame
Neste caso ocorre mudanccedila de frame com a vista Para cada distribuiccedilatildeo tem-se uma
vista diferente Figura 34
Figura 34 Tomograma e sinograma - circulo crescente - 8 vista por frame
29 30 31 32 33 340
05
1
15
2
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3701
02
03
04
05
06
07
08
09
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
61
A posiccedilatildeo central que eacute comum a todos os frames eacute reconstruiacuteda nos dois casos O
FBP mostra a presenccedila de artefatos de Moireacute (Figura 36) O MART mostra poucos artefatos e
mostra uma regiatildeo borrada ao redor do ciacuterculo central indicando os discos maiores
Figura 35 Sinogramas circulo crescente ndash 8vistas por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Figura 36 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 8 vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
62
42 Vistas Alternadas
Alguns testes foram realizados para estudar o posicionamento angular quando
ordenado de forma sequencial e alternada O conjunto de vistas posicionadas consecutivamente em
0ordm 45ordm 90ordm 135ordm 180ordm 225ordm 270ordm 315ordm foram reordenadas em dois ciclos
0ordm 90ordm 180ordm 270ordm para o primeiro ciclo
45ordm 135ordm 225ordm 315ordm para o segundo ciclo
As seguintes situaccedilotildees foram exploradas
Disco transladando - 1 Vista por frame
Cada distribuiccedilatildeo (quadro) eacute capturado em um instante de tempo diferente Os
acircngulos utilizados em cada quadro satildeo apresentados na Tabela 1
Tabela 1 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 1 vista por frame
Quadro 1ordm 2ordm 3ordm 4ordm 5ordm 6ordm 7ordm 8ordm
Vista 0ordm 90ordm 180ordm 270ordm 45ordm 135ordm 225ordm 315ordm
Reconstruccedilotildees
Figura 37 Reconstruccedilotildees disco transladando - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
63
Dois ciclos satildeo suficientes para natildeo formaccedilatildeo do artefato de rotaccedilatildeo (arqueamento)
A reconstruccedilatildeo com vistas alternadas mostra-se mais coerente com a imagem meacutedia (Figura 37)
Disco transladando - 2 Vistas por frame
Com duas vistas por quadro totaliza-se quatro quadros A associaccedilatildeo eacute ilustrada na
Tabela 2
Tabela 2 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 2 vistas por frame
Quadro 1ordm 2ordm 3ordm 4ordm
Vista 0ordm e 45ordm 90ordm e 135ordm 180ordm e 225ordm 270ordm e 315ordm
A reconstruccedilatildeo encontra-se mais proacutexima da imagem meacutedia do que na situaccedilatildeo com
vista sucessivas (Figura 38)
Disco Transladando - 4 Vistas por frame
Apenas dois quadros satildeo suficientes Tabela 3
Tabela 3 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 4 vistas por frame
Quadro 1ordm 2ordm
Vista 0ordm 90ordm 180ordm e 270ordm 45ordm 135ordm 225ordm 315ordm
Figura 38 Reconstruccedilotildees disco transladando - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
64
Reconstruccedilotildees
Disco crescente - 1 Vista por frame
A configuraccedilatildeo das vistas eacute a mesma utilizada na Tabela 1 uma vista por frame
A reconstruccedilatildeo com vistas alternadas Figura 40 apresenta uma reduccedilatildeo nos artefatos
de rotaccedilatildeo mostrando uma distribuiccedilatildeo espacial mais proacutexima da imagem meacutedia (Figura 40)
Disco crescente - 2 Vistas por frame
A configuraccedilatildeo das vistas eacute mesma da Tabela-2
Figura 39 Reconstruccedilotildees disco transladando - 4 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Figura 40 Reconstruccedilotildees disco crescente - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
65
Com o aumento do nuacutemero de vistas a distribuiccedilatildeo torna-se mais central
aproximando-se da imagem meacutedia (Figura 41)
43 Resultados com RGB
As situaccedilotildees jaacute utilizadas nas seccedilotildees 41 e 42 satildeo testadas com visualizaccedilatildeo RGB
Para todos os casos a primeira reconstruccedilatildeo (MART) eacute realizada com matriz inicial de valores
unitaacuterios relaxaccedilatildeo 02 e nuacutemero de iteraccedilotildees definido pela convergecircncia de 05 e em seguida a
normalizada por 150
Os sinogramas satildeo ponderados pelo conjunto de fatores que variam de 01 a 09
linearmente espaccedilados Os valores foram escolhidos empiricamente
Em seguida eacute realizada a reconstruccedilatildeo com o sinograma jaacute ponderado e seus valores
normalizados no intervalo de 150 a 255
Figura 41 Reconstruccedilotildees disco crescente - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
66
bull Ciacuterculo transladando ndash 1 Vista por frame
Um disco para cada instante de tempo totalizando oito distribuiccedilotildees Figura 42
Para o ciacuterculo transladando verticalmente com 1 vista por frame temos um
clareamento na parte inferior da distribuiccedilatildeo indicando que esta regiatildeo traz informaccedilotildees mais
recentes (Figura 42)
A reconstruccedilatildeo com MART RGB por usar como base a distribuiccedilatildeo espacial da
reconstruccedilatildeo MART mostra o clareamento vermelho na parte inferior da figura indicando que
ocorreu movimento nesse sentido
bull Ciacuterculo transladando ndash 2 Vistas por frame
Satildeo quatro distribuiccedilotildees uma para cada instante de tempo configurando duas vistas
por frame
Figura 42 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 1 vista por frame
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
67
O clareamento do vermelho na reconstruccedilatildeo RGB indica que a parte inferior da
reconstruccedilatildeo corresponde ao uacuteltimo instante de tempo
bull Ciacuterculo transladando ndash 4 Vistas por frame
Quatro vistas por frame foram utilizadas na configuraccedilatildeo das proacuteximas trecircs situaccedilotildees
(Figura 44 Figura 45 Figura 46) O deslocamento para o disco vertical eacute utilizado com trecircs valores
distintos
A primeira situaccedilatildeo ilustra dois instantes de tempo com dois diacircmetros de distacircncia
entre os centros dos discos Figura 44
Figura 43 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
68
A proacutexima situaccedilatildeo eacute criada com 4 diacircmetros de distacircncia entre centros entre o
primeiro e segundo instantes de tempo Figura 45 Cada disco corresponde a distribuiccedilatildeo exata em
um instante
Figura 44 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 45 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
69
A terceira situaccedilatildeo visa estudar o comportamento da reconstruccedilatildeo proposta quando
haacute coincidecircncia em parte da distribuiccedilatildeo espacial Satildeo quatro instantes de tempo e uma distacircncia
com menos de um diacircmetro de distacircncia entre centros consecutivos Figura 46
bull Ciacuterculo crescente ndash duas vistas por frame
A simulaccedilatildeo totaliza 4 frames e oito vistas consecutivas Duas por frame
Apesar da situaccedilatildeo com ciacuterculo crescente e duas vistas por frame natildeo mostrar boa
reconstruccedilatildeo a imagem reconstruiacuteda difere bastante da original como jaacute mostrado na seccedilatildeo 413
tambeacutem mostra concordacircncia com os outros resultados RGB pois mostra uma regiatildeo central com
Figura 46 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 47 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo crescente - 2 vistas por frame
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
70
vermelho mais claro O clareamento deve-se a regiatildeo que eacute coincidente para todos os ciacuterculos
O problema que surge eacute que para esta situaccedilatildeo o clareamento para o vermelho criado
pela reconstruccedilatildeo RGB se confunde com a superposiccedilatildeo dos ciacuterculos da reconstruccedilatildeo tradicional
criado na regiatildeo central
44 Simulaccedilotildees com MCNPX
Os frames que anteriormente foram obtidos analiticamente com o objetivo de
encontrar as projeccedilotildees agora satildeo representados por cartotildees de entrada para o MCNPX A simulaccedilatildeo
gera como saiacuteda a intensidade relativa Foram criadas as situaccedilotildees jaacute expostas na seccedilatildeo 41 A
configuraccedilatildeo das simulaccedilotildees eacute
bull Objeto Cilindro Raio = 5cm Material Al = 000746 cm-1
bull Fonte 137Cs Atividade 5 mCi
bull Colimaccedilatildeo Pb fonte - detetor 5vmm
bull Nuacutemero de histoacuterias 100000
441 Circulo Transladando ndash 1vista por frame
Oito geometrias foram simuladas com o objetivo de encontras as projeccedilotildees
equivalentes as 8 vistas Cada vista captura o disco em um instante de tempo diferente totalizando
oito frames Na Figura 48 ilustra-se o disco (em amarelo) em diferentes posiccedilotildees com e as
respectivas a posiccedilotildees da fonte colimada indicando mudanccedila angular (em roxo e azul)
71
O meacutetodo retorna o (relaccedilatildeo entre Ifinal e o Iinicial) A matriz de intensidades relativas eacute
denominada tomograma e tem as suas colunas ordenadas por vista(Figura 49)
As projeccedilotildees satildeo encontradas fazendo e o conjunto de vistas
ordenadas em colunas eacute denominado sinograma(Figura 50)
Figura 49 Tomograma via MCNPX - 1 Vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 70
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma Por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 48 Geometria Circulo Transladando - 1 vista por frame
72
A apresentaccedilatildeo do sinograma em forma de imagem eacute ilustrada na Figura 51
Figura 50 Sinograma MCNPX - 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
1
2
3
4
5
6
Posicionamento Linear
Sinograma por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 51 Imagem de sinograma MCNPX -1 vista por frame
Sinograma MCNPX - 1 vista por frame
Vistas
Projeccedilotildees
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
73
As reconstruccedilotildees apresentaram-se similares as feitas analiticamente na seccedilatildeo 41
Formaccedilatildeo de oito artefatos em faixa no FBP e o arqueamento para esquerda indicando o sentido da
rotaccedilatildeo do tomoacutegrafo (Figura 52)
442 Circulo Transladando ndash 2 vistas por frame
Oito geometrias foram simuladas com mudanccedila no posicionamento angular apenas
quando o disco muda de posiccedilatildeo Duas vistas capturam o disco na mesma posiccedilatildeo A geometria
simulada no MCNPX eacute mostrada na Figura 53
Figura 53 Geometria circulo transladando - 2 vistas por frame
Figura 52 Reconstruccedilotildees MART e FBP ndash MCNPX ndash 1 vista por frame
FBP
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60 -06
-04
-02
0
02
04
MART
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
74
A simulaccedilatildeo retorna o seguinte tomograma Figura 54
Calculando as projeccedilotildees temos o sinograma ilustrado na Figura 55
Que visualizado em formato de imagem fica ilustrado na Figura 56
Figura 54 Tomograma MCNPX - 2 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 70
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma Por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 55 Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
1
2
3
4
5
6
Posicionamento Linear
Sinograma por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
75
As reconstruccedilotildees corresponderam as expectativas quando coincidem com as
reconstruccedilotildees simuladas analiticamente(Figura 57)
Figura 57 Reconstruccedilatildeo MART - MCNPX - 2 vistas por frameMART
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
FBP
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60 -04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
06
Figura 56 Imagem de sinograma MCNPX ndash 2vistas por frame
Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame
Vistas
Projeccedilotildees
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
76
45 Resultados com CFD
As condiccedilotildees da simulaccedilatildeo foram vazatildeo volumeacutetrica de ar eacute 500 Lmin e o fluxo de
catalisador eacute de180 kg(m2s-1) O tempo de processo foi de 10 segundos com passo de 00025
segundos
O local de leituras da fraccedilatildeo volumeacutetrica foi se encontra a uma altura de 0650
metros da base do riser feita a cada 00375 segundos durante o tempo de processo de fluidizaccedilatildeo
resultando em 268 imagens Seacuteries de oito a nove imagens da secccedilatildeo transversal satildeo utilizadas
Devido a alta resoluccedilatildeo das imagens vindas do CFD uma reduccedilatildeo foi realizada para
figuras com 64x64 pixels Figura 58
451 CFD-1 vista por frame
A sequecircncia de oito imagens em intervalos de tempos consecutivos eacute ilustrada na
Figura 59 e a imagem meacutedia na Figura 60
Figura 58 Reduccedilatildeo na resoluccedilatildeo 899x999 para 64x64
20 40 60
10
20
30
40
50
60
200 400 600 800
100
200
300
400
500
600
700
800
77
Figura 60 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
Figura 59 CFD - Frames 1 ao 8
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
78
Reconstruccedilotildees
As reconstruccedilotildees para uma vista por frame natildeo correspondem agrave realidade prevista
Figura 61 Sinogramas CFD ndash 1 vista por frame
Figura 62 Reconstruccedilotildees CFD ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo RGB
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Sinograma com Pesos
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo Mart Red
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
79
pelo CFD O pequeno nuacutemero de vistas aliado a complexidade da figura dificultam a reconstruccedilatildeo
452 CFD-8 vistas por frame
A sequecircncia de oito imagens em intervalos de tempo consecutivos eacute ilustrada na
Figura 63
A meacutedia das oito imagens Figura 63
O sinograma simulado e o mesmo ponderado satildeo mostrados na Figura 65
Figura 64 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
Figura 63 Frames 1 ao 8 CFD ndash 8 vistas por frame
80
As reconstruccedilotildees concordam com as distribuiccedilotildees quando apresentam maior
concentraccedilatildeo de soacutelido do lado direito da imagem A maior concentraccedilatildeo de pigmentaccedilatildeo vermelha
Figura 65 Sinogramas CFD - 8 vistas por frame
Figura 66 Reconstruccedilotildees CFD - 8 vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Sinograma com Pesos
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart Red
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
81
do lado direito da imagem reconstruiacuteda em RGB mostra que a distribuiccedilatildeo nesta regiatildeo eacute mais
recente O resultado tem concordacircncia com a mudanccedila de lado da distribuiccedilatildeo ao longo dos oito
frames
46 Reconstruccedilotildees com correccedilatildeo de movimento
Como a reconstruccedilatildeo com vistas alternadas eacute superior a tradicional com vistas
sucessivas utilizou-se para todas as simulaccedilotildees com correccedilatildeo de movimento o posicionamento
angular sucessivo O objetivo da escolha eacute verificar os resultados gerados soacute por correccedilatildeo da matriz
de pesos As simulaccedilotildees foram ordenadas de acordo com as situaccedilotildees jaacute exploradas e para um
instante de tempo especiacutefico
Abaixo (Figura 67 Figura 68) tem-se a configuraccedilatildeo de 4 vistas por frame
resultando em dois quadros cada um com o disco em uma posiccedilatildeo diferente A imagem tem 32x32
pixels e o deslocamento foi vertical de 5 pixels Como o nuacutemero de colunas da matriz de pesos eacute
definido pela resoluccedilatildeo da imagem o deslocamento na matriz de pesos corresponde ao vertical x
nuacutemero de elementos em uma linhaentatildeo 5 x 32 = 60 colunas para esquerda quando se quer
recuperar o primeiro instante e 60 colunas para direita no caso do segundo
Para o primeiro instante a correccedilatildeo mostra-se eficaz reconstruindo por completo a
distribuiccedilatildeo no primeiro instante de tempo Figura 67
A distribuiccedilatildeo no segundo instante eacute reconstruiacuteda com um pouco de ruiacutedo Figura 68
Figura 67 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempoImagem Meacutedia
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30Imagem Meacutedia
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
82
A situaccedilatildeo com translado horizontal eacute ilustrada na Figura 69 e Figura 70 A
reconstruccedilatildeo no primeiro instante de tempo mostra-se mais precisa Figura 69 Quatro vistas foram
utilizados por quadro com um deslocamento de 5 pixels entre eles O deslocamento de colunas eacute
realizado com o mesmo nuacutemero
Para o segundo instante Figura 70
A simulaccedilatildeo com duas vistas por frame resulta em quatro distribuiccedilotildees Figura 71
Figura 72 Figura 73 A imagem tem 64x64 pixels e o deslocamento foi vertical de 5 pixels
resultando em um deslocamento de 5 x 64 = 320 para as colunas
Figura 69 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Figura 70 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o segundo instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30
5
10
15
20
25
30
83
Para o primeiro instante de tempo temos
Para o segundo instante
Figura 71 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 72 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
20 40 60
10
20
30
40
50
60
84
e para o terceiro instante
O ruiacutedo aumenta
Ocorre o aparecimento de ruiacutedo nas reconstruccedilotildees com o aumento do tempo Este
efeito eacute devido a extrapolaccedilatildeo do deslocamento nos elementos proacuteximo as bordas da matriz de
pesos
Figura 73 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
85
5 CONCLUSOtildeES
As simulaccedilotildees analiacuteticas de primitivas matemaacuteticas foram validadas com ecircxito
quando comparadas com as mesmas realizadas por MCNPX As aquisiccedilotildees tomograacuteficas foram
simuladas mostrando a superioridade da tomografia de 5ordf geraccedilatildeo (8 vistas por frame) quando
comparada agrave de 3ordf geraccedilatildeo (uma duas e quatro vistas por frame) seccedilotildees 41 e 42 As reconstruccedilotildees
ficam mais proacuteximas da imagem meacutedia porque todas as vistas satildeo adquiridas ao mesmo tempo
durante todo o processo O FBP perde a definiccedilatildeo dos discos e forma um artefato central vertical O
MART reconstroacutei perfeitamente o disco nas oito posiccedilotildees mostrando a sua preferecircncia para um
nuacutemero limitado de dados (8 vistas) O FBP eacute bastante utilizado em tomografias meacutedicas (360
vistas ou mais) devido a baixa complexidade computacional quando comparado aos meacutetodos
algeacutebricos
Tanto o disco transladando quanto o crescente apresentam melhor performance com
o aumento do nuacutemero de vistas por distribuiccedilatildeo como pode ser visto na seccedilatildeo 41 A situaccedilatildeo em
que foi simulada uma vista por frame apresenta um artefato de movimento indicando o sentido de
rotaccedilatildeo do arranjo simulado
Os oito perfis encontrados nas simulaccedilotildees com ciacuterculo crescente mostram o aumento
do disco seccedilatildeo 413 e 414 As simulaccedilotildees para este caso reconstroem uma distribuiccedilatildeo central
distorcida pela incompatibilidade das projeccedilotildees (adquiridas em diferentes instantes de tempo) As
reconstruccedilotildees com FBP mostram-se inferiores ao MART formando artefatos de Moireacute (artefatos
estrela) em todas as reconstruccedilotildees Confirmando que estes artefatos satildeo comuns quando se utiliza o
FBP com um nuacutemero limitado de dados
Os testes com vistas alternadas mostram que essa configuraccedilatildeo eacute superior ao arranjo
sucessivo pois cobre uma aacuterea maior em um tempo menor capturando mais informaccedilotildees relativas
ao movimento (seccedilatildeo 42)
A reconstruccedilatildeo RGB inova porque mostra a evoluccedilatildeo temporal do processo com
aacutereas mais claras (vermelho claro) indicando proximidade temporal enquanto que aacutereas mais
escuras indicam tempo passado O meacutetodo mostra o clareamento no vermelho em regiotildees da figura
indicando que ocorreu movimento neste sentido Os testes com ciacuterculo transladando mostram
coerecircncia quando indicam com o vermelho mais claro as regiotildees correspondentes aos uacuteltimos
quadros O mesmo resultado eacute obtido com os dados do CFD para simulaccedilatildeo da TC de 5ordf geraccedilatildeo O
86
lado direito da imagem tem valores maiores para o vermelho coincidindo com a sequecircncia de
distribuiccedilotildees utilizada onde ocorre mudanccedila na concentraccedilatildeo do lado esquerdo para o direito Para o
ciacuterculo crescente a eficaacutecia do meacutetodo pode ser questionada pois ocorre superposiccedilatildeo das regiotildees
centrais de cada disco A aplicaccedilatildeo a dados do CFD com apenas uma vista por frame eacute ineficiente
pois a reconstruccedilatildeo RGB natildeo consegue mostrar tendecircncia de movimento A reconstruccedilatildeo tradicional
MART tambeacutem natildeo coincide com a meacutedia dos frames ou seja como o meacutetodo proposto utiliza esta
distribuiccedilatildeo espacial natildeo pode-se afirmar que a ineficiecircncia do processo seja devido unicamente a
reconstruccedilatildeo RGB
O MCNPX foi utilizado com ecircxito nas duas simulaccedilotildees propostas Sinogramas e
tomogramas satildeo coincidentes com exceccedilatildeo da escala com os mesmos encontrados por teacutecnicas
analiacuteticas
A reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento foi utilizada com ecircxito para
determinaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo no instante inicial de tempo Ocorre aparecimento de ruiacutedo com o
aumento do tempo Este efeito eacute devido a extrapolaccedilatildeo do deslocamento nos elementos proacuteximo as
bordas da matriz de pesos Salienta-se que o vetor deslocamento deve ser conhecido ou calculado
previamente Este trabalho utiliza valores jaacute determinados anteriormente nas simulaccedilotildees (distacircncia
entre discos)
O trabalho contribui para tomografia industrial porque utiliza casos comuns agrave aacuterea
como o disco transladando que eacute simulador de bolhas em colunas industriais e imagens do CFD
como phantoms para predileccedilatildeo dos perfis experimentais Contribui tambeacutem para a otimizaccedilatildeo de
paracircmetros de operaccedilatildeo tomograacutefica quando simula as aquisiccedilotildees prevendo resultados para o
experimento Indica o MART como superior ao FBP neste conjunto de dados As simulaccedilotildees
analiacuteticas de sinogramas foram validadas com ecircxito pelo MCNPX ou seja ambas podem ser
utilizadas para simulaccedilatildeo de fenocircmenos industriais Sugere tambeacutem que a TC com vistas alternadas
corresponde mais a realidade dinacircmica de uma distribuiccedilatildeo Propotildee um novo meacutetodo a
reconstruccedilatildeo RGB obtendo bons resultados apenas nas situaccedilotildees em que natildeo ocorre coincidecircncia
entre as distribuiccedilotildees de diferentes instantes de tempo
Um estudo mais detalhado dos valores empiacutericos deve ser feito para um
entendimento maior da penalizaccedilatildeo das projeccedilotildees e das situaccedilotildees em que ocorra superposiccedilatildeo de
distribuiccedilotildees
A baixa performance do FBP esperada para um baixo nuacutemero de aquisiccedilotildees indica
que testes com um nuacutemero maior de vistas devem ser realizados para o estudo dos meacutetodos
87
propostos nestas situaccedilotildees
Outro trabalho futuro eacute utilizar soluccedilotildees jaacute propostas na literatura meacutedica para
diminuiccedilatildeo de ruiacutedos e artefatos na reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento identificando o vetor
deslocamento durante o processo
Espera-se dar continuidade ao trabalho validando tambeacutem experimentalmente as
simulaccedilotildees com translado do disco (Laboratoacuterio de Radioquiacutemica ndash DEN ndash UFPE)
88
6 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
ALEXANDER B DIMITRY V VITALY V KISELEV AN Algebraic reconstruction and
post-processing in incomplete data computed tomography From X-rays to Laser Beams Jun
2007
ANDERSEN AH Algebraic reconstruction in CT from limited views IEEE transactions on
medical imaging v 8(1) p50ndash55 Jan1989
ANGELI S EFSTAHIOS S An Accelerated Algebraic Reconstruction Technique based on
the Newton-Raphson Scheme Ieee Nuclear Science Symposium Conference Record 23382ndash
3387 2009
AZZI M TULIER P BERNARD J R GARNERO L Mapping Solid Concentration in a
Circulating Fluid Bed Using Gammametry Powder Technology p27-36 1991
BENDER R GORDON R HERMAN GT Algebraic reconstruction techniques(art) for
three dimensional electron microscopy and x-ray photography J Theor Biol v29 p759ndash768
1971
BROOKS RA CHIRO G Principles of Computer Assisted Tomography ( CAT ) in
Radiographic and Radioisotopic Imaging Phis Med Biol v21 N 5 p689-732 1976
BUTALA M D KAMALABADI F FRAZIN R A Chen YldquoDynamic tomographic imaging
of the solar coronardquo IEEE J Sel Topics Signal Process vol 2 pp 755ndash7662008
CENSOR Y Finite Series-Expansion Reconstruction Methods proceedings of the ieee p71
1983
CEZARO A CEZARO FT Problemas Inversos e a matemaacutetica da tomografia
computadorizada V Bienal da SBM - Sociedade Brasileira de Matemaacutetica 2010
CRUVINEL P E Mini tomoacutegrafo de raio-x e raio gama computadorizado para aplicaccedilotildees
multidisciplinares PhD thesis Unicamp 1987
DANTAS CC MELOSM OLIVEIRA E F MAGALHAtildeES F P SANTOS M G
Measurement of density distribution of a cracking catalyst in experimental riser with a
sampling procedure for gamma ray tomography Nuclear Instruments amp Methods in Physics
Research Section B Beam Interactions with Materials and Atoms (Print) v 266 p 841-848
2008
89
DE PIERRO A R Problemas Matemaacuteticos em Tomografia por Emissatildeo Notas UNICAMP
2004
DESBAT L RIT S CLACKDOYLE R MENNESSIER C PROMAYON E
NTALAMPEKI S ldquoAlgebraic and analytic reconstruction methods for dynamic
tomography rdquo Proceedings of the 29th Annual International Conference of the IEEE EMBS Citeacute
Internationale Lyon France August 23-26 2007 ThP2B11 2007 pp 726-730
DESBAT L ROUX S GRANGEAT P ldquoCompensation of some time dependent
deformations in tomography 2 Deformations preserving the projection geometryrdquo IEEE
transactions on medical imaging vol 26 2007 pp 1-20
EARLY D S LONG DG Image Reconstruction and Enhanced Resolution Imaging from
Irregular Samples IEEE trasactions on geosciences and remote sensing 3v9(2)291ndash302 2001
FARIN G Curves and Surfaces for CAGD a Practical Guide 4th edition Academic Press-
1996
FORSYTHE GE Solving linear algebraic equations can be interesting Bulletin of the
American Mathematical Society v59(4) P299ndash330 Jul 1953
GORDON R A tutorial on art (algebraic reconstruction techniques) IEEE Trans Nucl Sci v
NS-21 p78ndash93 1974
GORDON R GUAN H A projection acess order for speedy convergence of art a multilevel
scheme for computed tomography Physics in medicine and biology p39 1994
GUAN H HERMAN G T ZHU Y Combining various projection access schemes with the
algebraic reconstruction technique for low-contrast detection in computed tomography
Physics in medicine and biology 43(8)2413ndash21 August 1998
HANSON K M WECKSONG GVW Local basis approach to computed tomography
ApplOpt v24 p4028-2039 1985
HERFFERNAN P B Robb A R Difference image reconstruction from a few projections for
nondestructive materials inspection Applied optics
HERMAN G T Iterative reconstruction algorithms Comput Biol Med v6 p273 ndash 294 1976
HERMAN G T GORDON R Reconstruction of pictures from their projections Commun
Assoc Comput Mach v14 p759ndash768 1971
HERMAN GT MEYER L B Algebraic Reconstruction Techniques Can Be Made
90
Computationally Efficient IEEE transactions on medical imaging v 12(3) 1993
IAEA-TECDOC-1589 INDUSTRIAL PROCESS GAMMA TOMOGRAPHY Final report of a
coordinated research project 2003ndash2007 May 2008
KACZMARZ S Angenaherte auflosung von systemen linearer gleichungen Bull Acad Pol
Sci Lett A vol 6-8A pp 355-357 1937
KAKA C SLANEY M Principles of Computerized tomographic imaging IEEE PRESS
1999
KALAGA D V KULKARNI A V ACHARYA R KUMAR U SINGH G JOSHI JB
Some industrial applications of gamma-ray tomography Journal of the Taiwan Institute of
Chemical Engineers 40 (2009) 602ndash612 wwwelseviercomlocatejtice
KNOLL G F Nuclear Counters Radiation-Measurement Book 2006
LUTZ PH Relaxation Methods for Image Reconstruction Communications of the ACM
v21(2) p282ndash288 1978
MARTINEZ AG Detecccedilatildeo de descontinuidades e reconstruccedilatildeo de funccedilotildees a partir de dados
espectrais filtros splines e metodos iterativos tese - UNICAMP 2006
MELO SM DANTAS CC OLIVEIRA EAL MAGALHAtildeES FP OLIVEIRA EF A FCC
catalyst gamma ray tomographic reconstruction by using non negative non parametric bezier
triangles Proceedings In 4 th International Symposion on Process Tomography in Poland p 165
Washaw 2006
MESQUITA J MATELA N OLIVEIRA N MARTINS M V Choosing the ART relaxation
parameter for Clear-PEM 2D image reconstruction Computer methods and programs in
biomedicine May 2010
MYERS G R KINGSTON A M VARSLOT T K TURNER M L SHEPPARD A
P ldquoDynamic tomography with a priori informationrdquo Applied Optics vol 50 2011 pp 3685-
3690
OLIVEIRA EF DANTAS CC MELO S B VASCONCELOS D A A ldquoCOMPARISON
AMONG TOMOGRAPHIC RECONSTRUCTION ALGORITHMSrdquo internetional nuclear
conference-INAC2011
OLIVEIRA EF DANTAS C MELO S B VASCONCELOS D A A ldquoTOMOGRAPHIC
RECONSTRUCTION WITH B-SPLINES SURFACESrdquo internetional nuclear conference-
INAC2011
91
RAMACHANDRAM G N LAKSHMINARAYANAN A V Three-dimensional
reconstruction from radiographs and electron micrographs II application of convolutions
instead of Fourier transforms Proc Natl Acad Sci US v68 p2236-2240 1971
KACZMARZ S Angenaherte auflosung von systemen linearer gleichungen Acad Pol Sci
Lett v 6-8A p355ndash357 1937
SALINA F V MASCARENHAS NDA CRUVINEL PE A Comparison of POCS
Algorithms for Tomographic Reconstruction Under Noise and Limited View Computer
Graphics and Image Processing 2002
SALVADOR P A V Anaacutelise de sistemas multifaacutesicos utilizando tomografia computadorizada
gama monoenergeacutetica e polienergeacutetica Tese IPEN-USP 2008
SERGIO N QUORIN R Diagnoacutestico de defeitos em madeira por tomografia de raios x PhD
thesis UFPR 2004
SUBBARAO P M V MUNSHI P MURALIDHAR K Performance of iterative tomographic
algorithms applied to non-destructive evaluation with limited data NDT amp Internacional
v30(6) p359ndash370 1997
TANABE K Projection method for solving a singular system Numer Math 17203ndash214 1971
TIRUNELVELI G HERMAN G T Comparison of Square-Pixel and Hexagonal-Pixel
Resolution in Image Processing Test pages 867ndash872 2002
VERHOEVEN D Limited-data computed tomography algorithms for the physical sciences
Applied Optics jul1993
WENKAI L Adaptive algebraic reconstruction technique Image (Rochester NY) v31(12)
p3222ndash3230 2004
92
ANEXO ndash I
ROTINAS DESENVOLVIDAS NO MATLAB
Rotina responsaacutevel por criar os phantoms e calcular o sinograma Tambeacutem reconstroacutei
clear
d=64Nproj=8Ntraj=dNpixel=dr=02Nit=30display(MART)chute=1I0=10^8x=1fig3=(zeros(d))teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)inc=3cont=1z=zeros(NprojNtraj1)zt=zzt1=zzt2=zztgb=zcont=1c=0teta=[teta teta]clear fig
vpf=1raio=3inc=7c=5vpf=2raio=4inc=8c=5vpf=4raio=5inc=17c=10 vpf=8raio=1inc=4vpf=4inc=1cc=0inc2=25c=10vpf=4raio=3inc=15c=0 fator=(1Nproj)(1Nproj)1fator=flipud(fator)fator=linspace(00509Nproj)a=0for n=1Nproj a=a+1 circ(n)=Circulo(d(d2)(d2)(1+c))if a==vpfa=0c=c+incend crescente circ(n)=Circulo(d5+c(d2)raio)if a==vpfa=0c=c+incend translado vertical fig=circ(n) [z]=sinograma(fig teta(n)) zr=radon(fig teta(n)Ntraj) fig3=(fig3+fig) Itred(cont)=(I0exp(-zx))n((Nproj+inc+1)-n)(nNproj)olhar sempre It(cont)=I0exp(-zx) Ir(cont)=I0exp(-zr) cont=cont+1endfig3=fig3(max(max(fig3))Nproj)tira a sobreposiccedilatildeosinot=log((I0)It)importante retirar fator caso seja utilizado tomo de 3ordfsinot=(ZeraNeg(sinot))rect=Mart2(MatparaCol(real(sinot))teta102)[c d]=size(rect)rect=ColparaMat(rect(d)NpixelNpixel)figure subplot(131)imagesc(fig3)title(Imagem Meacutedia) subplot(132)imagesc(rect)title(MART Vistas Sucessivas) subplot(133)imagesc(rect)title(MART Vistas Alternadas)
93
Rotina para Testes com reconstruccedilotildees
clear load meialuanotubo2load dadosdinamicoload dadosdinamico2dados2=dados3[Ntraj Nproj]=size(dados2) for a=1Nproj for b=1Ntraj if dados2(ab)gt1 || dados2(ab)lt10^-2 dados2(ab)=1 end endend sinograma=-(102)log(dados2)sinograma=ZeraNeg(sinograma)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj) display(FBP)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)z=sinogramarecfbp=iradon(ztetaNtraj)x=164figsino(xdados2) figsino(xsinograma) figureimagesc(sinograma)title(Sinograma MCNPX - 1 vista por frame) xlabel(Vistas)ylabel(Projeccedilotildees)
_________________________MART___________________________________________ x=[02] Nit=20r=1recmart=zeros(Npixel^2Nitlength(x)) display(MART com pesos)display(x) z=MatparaCol(sinograma) [ix iy]=GridAlg(NprojNtrajNtrajpi) [A]=pesosart(ixiyNprojNtrajNtraj) rec=Art(AzNprojNtraj5002) figure imagesc(rec)title(ART) end recfinal=ColparaMat(recmart(Nit)NpixelNpixel) figuresurf(recfinal)figureimagesc(recfinal)colorbartitle(Mart) durou=etime(clockliga)60save phantomacrilicoMart x durou recmart A _________________________ART____________________________________________ x=[02] Nit=10r=1recart=zeros(Npixel) display(ART com pesos)display(x) z=MatparaCol(sinograma) rec=Mart(AzNprojNtrajNitx) recart=ColparaMat(rec(Nit)NpixelNpixel)r=r+1 figureimagesc(recart)colorbartitle(art) __________________________________________________________________________
94
rotina para caacutelculo do sinograma
function [matriz]=sinograma(fig teta)
[a b]=size(fig)Ntraj=aNproj=size(teta2)sino=zeros(NtrajNproj)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)for i=1Nproj for j=1b sino(ji)=Project(figteta(i)j) endendmatriz=sino
function [bijtemp erromat]=Mart2(ztetachuterelax)
[a b]=size(z)Nproj=size(teta2)Ntraj=aNprojNpixel=Ntrajbijtemp=ones(Npixel^250)bijtemp(1)=chute pij=ones(size(sino))Ite=50erro=1cont=1erromat=zeros(149)for Nitera=1Ite if Nitera==25 Nitera end for i=1Nproj W=Wproj(teta(i)Npixel) pij=Wbijtemp(Nitera) for j=1Ntraj cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pij(j))pij(j) if (pij(j)==0)cor=0000000001end ind=find(W(j)) cor=correlax bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corbijtemp(indNitera)W(jind)) end end if errolt=005break end if Niteragt=2 erro=100sqrt(sum(sum(((bijtemp(Nitera)-bijtemp(Nitera-1))^2))))sum(sum(bijtemp(Nitera))) erromat(cont)=errocont=cont+1 end if (Nitera ~= Ite)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)endendbijtemp=bijtemp(1Nitera)erro
function [bijtemp erromat]=Mart2(ztetachuterelax)
[a b]=size(z)Nproj=size(teta2)Ntraj=aNprojNpixel=Ntrajbijtemp=ones(Npixel^250)bijtemp(1)=chute
95
pij=ones(size(sino))Ite=50erro=1cont=1erromat=zeros(149)for Nitera=1Ite if Nitera==25 Nitera end for i=1Nproj W=Wproj(teta(i)Npixel) pij=Wbijtemp(Nitera) for j=1Ntraj cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pij(j))pij(j) if (pij(j)==0)cor=0000000001end ind=find(W(j)) cor=correlax(i) bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corbijtemp(indNitera)W(jind)) end end if errolt=005break end if Niteragt=2 erro=100sqrt(sum(sum(((bijtemp(Nitera)-bijtemp(Nitera-1))^2))))sum(sum(bijtemp(Nitera))) erromat(cont)=errocont=cont+1 end if (Nitera ~= Ite)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)endendbijtemp=bijtemp(1Nitera)erro
function [figtemp]=BP(NprojNtrajNpixelzinterXinterYfigura)
Back projection
c=max(size(figura))
Ntraj=c
Npixel=caumenta a dimenssatildeo da figura para eliminar artefatos de rotaccedilatildeo
figtemp=zeros(c)
inter=ones(22(Npixel+1))696969
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
inter(1)=interX(((i-1)Npixel)+j)
inter(2)=interY(((i-1)Npixel)+j)
for a=12(Npixel+1)
if (inter(1a)gt=0 ampamp inter(1a)ltNpixel) ampamp (inter(2a)gt=0 ampamp
inter(2a)ltNpixel) ampamp (inter(1a+1)gt=0 ampamp inter(1a+1)lt=Npixel) ampamp
(inter(2a+1)gt=0 ampamp inter(2a+1)lt=Npixel)
dist=sqrt(((inter(1a+1)-inter(1a))^2)+((inter(2a+1)-
inter(2a))^2))
x=fix(inter(1a))y=fix(inter(2a))
if (figura(x+1y+1))gt 10^-1
figtemp(x+1y+1)=figtemp(x+1y+1)+z(Ntraj(i-1)+j)dist
end
end
end
end
end
function [bijtemp]=Art(AzNprojNtrajNitrelax)
ART aditivo com opccedilatildeo de relaxaccedilatildeo
96
[c d]=size(A)a=sqrt(d)b=a
bijtemp=zeros(b^2Nit)10
pij=zeros(b1)pijtemp=zeros(Ntraj1)convergencia=zeros(1Nit)
Projection=Nproj
for Nitera=1Nit
interaction=Nitera
for i=1Nproj
pijtemp=A((Ntraj(i-1)+1)(Ntraj(i-1)+Ntraj))bijtemp(Nitera)
for j=1Ntraj
soma=sum(A(Ntraj(i-1)+j)^2)
cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pijtemp(j))
ind=find(A(Ntraj(i-1)+j))
cor=correlaxsoma
bijtemp(indNitera)=(bijtemp(indNitera) + corA(Ntraj(i-
1)+jind))
for ii=ind
if bijtemp(iiNitera)lt0bijtemp(iiNitera)=0end
end
end
end
if (Nitera ~= Nit)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)end
if (Nitera ~= 1)convergencia(Nit)=sqrt(sum(sum(bijtemp(Nitera-1)^2
-bijtemp(Nitera)^2))sum(sum(bijtemp(Nitera)^2)))end
end
function [bijtemp]=Artfast(AzNprojNtrajNitrelax)
ART aditivo com opccedilatildeo de relaxaccedilatildeo
[c d]=size(A)a=sqrt(d)b=a
bijtemp=ones(b^2Nit)
pij=zeros(b1)pijtemp=zeros(Ntraj1)
Projection=Nproj
for Nitera=1Nit
Nitera
for i=1Nproj
pijtemp=A((Ntraj(i-1)+1)(Ntraj(i-1)+Ntraj))bijtemp(Nitera)
for j=1Ntraj
soma=sum(A(Ntraj(i-1)+j)^2)
cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pijtemp(j))
ind=find(A(Ntraj(i-1)+j))
cor=correlaxsoma
bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corA(Ntraj(i-
1)+jind))
for ii=ind
if bijtemp(iiNitera)lt0bijtemp(iiNitera)=0end
end
end
end
if (Nitera ~= Nit)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)end
end
function [interX interY]=GridAlg(NprojNtrajNpixelRangeAngular)
RangeAngular=pi
display(vc olhou pi)
rxvetor=zeros(Nproj1)
ryvetor=zeros(Nproj1)
rxpontos=zeros(NtrajNproj)
97
rypontos=zeros(NtrajNproj)
rxpontos(1)=linspace(0+(NpixelNtraj)2Npixel-(NpixelNtraj)2Ntraj)
rypontos=flipud(rypontos)
rypontos(1)=0
rxvetor(1)=0
ryvetor(1)=1
teta=RangeAngularNproj
rot=[cos(teta) -sin(teta)sin(teta) cos(teta)]
for b=2Nproj
vet=rot[rxvetor(b-1) ryvetor(b-1)]
rxvetor(b)=vet(1)
ryvetor(b)=vet(2)
end
for b=2Nproj
for a=1Ntraj
pontos=rot[rxpontos(ab-1)-(Npixel2)rypontos(ab-1)-(Npixel2)]
rxpontos(ab)=pontos(1)+(Npixel2)
rypontos(ab)=pontos(2)+(Npixel2)
end
end
clear FIG
interX=zeros(NtrajNproj2(Npixel+1))interY=interX
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
ind=1
inter=ones(22(Npixel+1))696969
if rxvetor(i)lt-10^-5 || rxvetor(i)gt10^-5
for x=0Npixel
inter(2x+1)=(ryvetor(i)rxvetor(i))(x-rxpontos(ji))
+rypontos(ji)
inter(1x+1)=x
ind=ind+1
end
end
if rxvetor(i)gt=-10^-5 ampamp rxvetor(i)lt=10^-5x=-1end
if ryvetor(i)lt-10^-5 || ryvetor(i)gt10^-5
for y=0Npixel
inter(1x+2+y)=(rxvetor(i)ryvetor(i))(y-rypontos(ji))
+rxpontos(ji)
inter(2x+2+y)=y
ind=ind+1
end
end
[inter(1) B]=sort(inter(1))
inter(2)=inter(2B)
interX(((i-1)Ntraj)+j)=inter(1)
interY(((i-1)Ntraj)+j)=inter(2)
end
end
function [A]=pesosart(interXinterYNprojNpixelNtraj)
(NprojNtraj)x(Npixel^2)lt=70000000 out of memory with space free 560000000
98
[a b]=size(interX)
Atemp=sparse(zeros(NtrajNpixel^2))
inter=ones(22(Npixel+1))696969
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
inter(1)=interX(((i-1)Ntraj)+j)
inter(2)=interY(((i-1)Ntraj)+j)
for a=12(Npixel+1)
if (inter(1a)gt=0 ampamp inter(1a)ltNpixel) ampamp (inter(2a)gt=0 ampamp
inter(2a)ltNpixel) ampamp (inter(1a+1)gt=0 ampamp inter(1a+1)lt=Npixel) ampamp
(inter(2a+1)gt=0 ampamp inter(2a+1)lt=Npixel)
dist=sqrt(((inter(1a+1)-inter(1a))^2)+((inter(2a+1)-
inter(2a))^2))
if inter(2a+1)ltinter(2a)
y=fix(inter(2a+1))
else
y=fix(inter(2a))
end
x=fix(inter(1a))
Atemp(jNpixel(Npixel-y-1)+x+1)=dist
end
end
end
if i==1
A=Atemp
else
A=[AAtemp]
end
Atemp=sparse(zeros(NtrajNpixel^2))
end
13
1 INTRODUCcedilAtildeO
A Tomografia Computadorizada (TC) consiste em duas etapas
a) O objeto eacute verificado (escaneado) com relaccedilatildeo a alguma propriedade como
densidade capacitacircncia resistividade eleacutetrica ressonacircncia magneacutetica etc
b) A propriedade eacute entatildeo reconstruiacuteda por meio de uma teacutecnica de reconstruccedilatildeo
adequada
Dessa forma a tomografia tem como objetivo reconstruir os detalhes geomeacutetricos do
objeto subjacente e tambeacutem obter os valores da propriedade escolhida Normalmente eacute classificada
como uma teacutecnica de ensaios natildeo destrutivos (END) e portanto eacute de uso imenso em
colunasreatores industriais para detectar a distribuiccedilatildeo de fases ou qualquer tipo de natildeo
uniformidade no interior do objeto
Para o registro de qualquer mudanccedila no objeto otimiza-se o sistema em alta
resoluccedilatildeo temporal (baixo tempo de aquisiccedilatildeo) ou seja permitir vaacuterias imagens resultando em
centenas de quadros por segundo A tomografia que concretiza essa configuraccedilatildeo de aquisiccedilatildeo eacute
chamada de instantacircnea ou de 5ordf geraccedilatildeo onde vaacuterias fontes satildeo arranjadas diametralmente opostas
a um leque de detetores de radiaccedilatildeo e consequentemente a colimaccedilatildeo de uma fonte eacute limitada por
outra reduzindo a resoluccedilatildeo espacial do sistema
Quando a distribuiccedilatildeo tem baixa variabilidade ao longo do tempo ou quando
limitaccedilotildees teacutecnicas impedem o uso da tomografia instantacircnea propotildee-se a tomografia com baixa
resoluccedilatildeo temporal com tomoacutegrafos de 1ordf e 3ordf geraccedilotildees O alto tempo de aquisiccedilatildeo destes
tomoacutegrafos prejudica a reconstruccedilatildeo quando o objeto em estudo muda suas propriedades no
decorrer do tempo Esta foi classificada por vaacuterios autores como reconstruccedilatildeo dinacircmica
(ARTEMIEV V M NAUMOV A O 2006) (BUTALA 2009) (DESBAT L et al 2006) Jaacute eacute
uma aacuterea muito ativa em medicina nuclear onde movimentos do paciente devem ser tomados em
consideraccedilatildeo Tais como em SPECT ou PET mas tambeacutem em tomografia computadorizada (TC de
transmissatildeo) para oacutergatildeos de movimento raacutepido como o coraccedilatildeo (GRAMEL BM et al 2012)
De um modo geral o imageamento dinacircmico TC tem como objetivo reconstruir
sequecircncias de imagens em que a natureza dinacircmica do objeto tomografado eacute de interesse primaacuterio
permitindo o registro de mudanccedilas temporais na distribuiccedilatildeo do coeficiente de atenuaccedilatildeo linear
podendo identificar o estado inicial e o final do processo
O estado da arte dos meacutetodos aplicados para processos industriais eacute atualmente
baseado em princiacutepios de reconstruccedilotildees tomograacuteficas claacutessicas desenvolvidos para padrotildees TC de
distribuiccedilotildees estaacuteticas como pode ser visto em diversos artigos da aacuterea de tomografia industrial
14
(DAHAN A et al 2007 DUDUKOVIC 2007 HALE et al 2007 JOHANSEN et al 2005
KUMAR et al 1997 DANTAS CC et al 2007 SALVADOR P A V 2010 MESQUITA C et
al 2011) Essas abordagens assumem que as propriedades da imagem satildeo constantes durante o
processo de aquisiccedilatildeo Os algoritmos de reconstruccedilatildeo mais comuns ao contexto satildeo os iterativos
onde se destacam teacutecnicas de reconstruccedilatildeo algeacutebrica (ART SIRT MART SMART) e teacutecnicas de
reconstruccedilatildeo estatiacutesticas como o de Minimizaccedilatildeo Alternante (AM) e o Esperanccedila - Maximizaccedilatildeo
(EM) A imagem reconstruiacuteda passa a ser uma aproximaccedilatildeo das propriedades ao longo do tempo A
aproximaccedilatildeo eacute devida a projeccedilotildees natildeo compatiacuteveis no sinograma (BONNET S 2003) As
projeccedilotildees tornam-se incompatiacuteveis devido as diferentes distribuiccedilotildees que ocorreram durante o
intervalo de tempo utilizado para coleta de dados Ruiacutedos e artefatos de movimento satildeo os
principais problemas causados pela incompatibilidade
Aleacutem disso em processos tomograacuteficos industriais eacute comum um nuacutemero limitado de
dados devido a inviabilidades teacutecnicas como arranjar todo um aparato de fontes e detetores ao redor
de uma coluna industrial Um baixo nuacutemero de dados pode produzir ruiacutedo artefatos e natildeo
concordacircncia com a distribuiccedilatildeo em estudo
Por estes motivos eacute necessaacuterio um estudo dos melhores meacutetodos de reconstruccedilatildeo e
tambeacutem o desenvolvimento de novas taacuteticas ou a utilizaccedilatildeo de meacutetodos jaacute consagrados em outros
contextos como a aacuterea meacutedica
Este trabalho inova quando discute um tema jaacute comum agrave aacuterea meacutedica em um
contexto tomograacutefico industrial
O meacutetodo proposto consiste em descobrir inicialmente as limitaccedilotildees oriundas da
aplicaccedilatildeo de algoritmos de reconstruccedilatildeo que foram desenvolvidos para distribuiccedilotildees estaacuteticas e satildeo
utilizados em tomografia dinacircmica Estas podem aparecer em forma de ruiacutedo artefatos estrela eou
de movimento Para alcanccedilar tais propoacutesitos foram utilizados dados simulados analiticamente e por
MCNPX de um cilindro de alumiacutenio transladando durante o processo aquisiccedilatildeo e imagens da secccedilatildeo
transversal de um rise piloto por meio da teacutecnica CFD (Computational Fluid Dynamics) O cilindro
ou ciacuterculo para uma secccedilatildeo eacute uma escolha pautada na literatura industrial pois simula bolhas em
reatores e tambeacutem distribuiccedilotildees agrupadas em forma de nuacutecleo por exemplo (DUDUKOVIC M et
al 1997) (AZZI M 1991) Com os dados simulados foram realizadas e comparadas as
reconstruccedilotildees pelos meacutetodos FBP (Filtered Back Projection) e MART (Multiplicative Algebraic
Reconstruction Technique)
Descobertas as limitaccedilotildees novas estrateacutegias satildeo apresentadas como a escolha da
ordem do posicionamento angular (vistas alternadas ou sucessivas) o desenvolvimento de um
15
meacutetodo para a visualizaccedilatildeo temporal do processo (Reconstruccedilatildeo RGB) e a correccedilatildeo de movimento
A reconstruccedilatildeo RGB foi desenvolvida com o propoacutesito de visualizar a evoluccedilatildeo
temporal do processo Consiste em uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens tomograacuteficas de
processos dinacircmicos pois utiliza o canal red do sistema de cores RGB para visualizar a evoluccedilatildeo do
movimento Uma nova reconstruccedilatildeo eacute realizada utilizando dados penalizados com o tempo e
associada ao canal R Aos outros canais eacute associada a reconstruccedilatildeo tradicional para posterior
visualizaccedilatildeo do conjunto
Tambeacutem eacute proposta uma teacutecnica de correccedilatildeo de movimento utilizada na aacuterea meacutedica
que manipula a matriz de pesos do meacutetodo algeacutebrico deslocando seus elementos com a mesma
quantidade de movimento identificada Neste trabalho eacute definido o vetor deslocamento a priori
O Capiacutetulo dois trata da revisatildeo bibliograacutefica da tese Conteacutem a lei de Beer-Lambert
a formaccedilatildeo de dados tomograacuteficos para posterior reconstruccedilatildeo Explica os algoritmos algeacutebricos a
visualizaccedilatildeo RGB dados do CFD e geraccedilotildees tomograacuteficas No Capiacutetulo trecircs satildeo expostos os
meacutetodos desenvolvidos como aquisiccedilotildees simuladas analiticamente de 1ordf e 5ordf geraccedilotildees
tomograacuteficas simulaccedilotildees tomograacuteficas por MCNPX reconstruccedilatildeo RGB correccedilatildeo de movimento
algoritmos implementados e desenvolvidos No capiacutetulo quatro satildeo mostrados os resultados de
todos os meacutetodos propostos
Espera-se que esse trabalho contribua para uma anaacutelise mais efetiva de tomografias
dinacircmicas industriais bem como o diagnoacutestico de problemas de otimizaccedilatildeo de operaccedilatildeo de
tomoacutegrafos e obtenccedilatildeo de dados para novos projetos bem como contribuir com novos algoritmos de
reconstruccedilatildeo especiacuteficos para esta aplicaccedilatildeo
16
2 TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA
21 A Lei de Beer-Lambert
A medida da probabilidade por unidade de percusso do feixe de radiaccedilatildeo interagir
com a mateacuteria (efeito fotoeleacutetrico efeito Compton e produccedilatildeo de pares) eacute denominado coeficiente
de atenuaccedilatildeo total ou linear do material ( ) Encontrar a funccedilatildeo que represente a distribuiccedilatildeo das
atenuaccedilotildees dentro de uma regiatildeo de interesse eacute o objetivo da tomografia Ao atravessar um material
a intensidade da radiaccedilatildeo sofre uma queda exponencial descrita pela relaccedilatildeo de Beer-Lambert
Entende-se como intensidade de radiaccedilatildeo neste caso como o nuacutemero de contagens registrado pelo
detetor em uma faixa de energia de interesse para um certo intervalo de tempo
Entende-se como caso estaacutetico a situaccedilatildeo em que o objeto tem distribuiccedilatildeo de
atenuaccedilotildees fixa na regiatildeo de estudo ao longo do tempo ou seja
(1)
O processo unidimensional para determinaccedilatildeo da atenuaccedilatildeo linear pode ser resumido
em um detetor de radiaccedilatildeo diametralmente oposto a uma fonte de radiaccedilatildeo onde
bull Estabelece-se um tempo para o intervalo de contagens Figura 21
bull ) do background sem
objeto algum entre fonte e detetor
bull Coloca-se um objeto de comprimento fixo l com distribuiccedilatildeo de atenuaccedilotildees desconhecida
mas com valores fixos ao longo de l
bull Afere-se o nuacutemero de contagens ( com o objeto presente
Figura 1 Atenuaccedilatildeo daRadiaccedilatildeo pela mateacuteria
l
If
para Δt
I0
para Δt
17
A lei de Beer-Lambert mostra que a absorccedilatildeo mais precisamente a atenuaccedilatildeo da
radiaccedilatildeo mede a queda da intensidade quando a radiaccedilatildeo passa pela mateacuteria A transmissatildeo T
Taxa de contagem inicial Taxa de contagem apoacutes o absorvedor
(2)
caracteriza a permeabilidade do material absorvente para a radiaccedilatildeo Quanto maior for a
transmissatildeo menor eacute o efeito atenuante A transmissatildeo depende da espessura l do absorvedor Se a
espessura l eacute reforccedilada pela pequena quantidade dl o T de transmissatildeo eacute diminuiacuteda pela pequena
quantidade dT A diminuiccedilatildeo relativa da transmissatildeo eacute proporcional ao aumento absoluto da
espessura
(3)
O fator de proporcionalidade eacute chamado o coeficiente de atenuaccedilatildeo linear mu A
integraccedilatildeo da equaccedilatildeo 24 conduz agrave lei de Beer-Lambert
(4)
Para facilitar a notaccedilatildeo em desenvolvimentos adiante chamamos de que eacute o
coeficiente de atenuaccedilatildeo linear meacutedio e l a distacircncia percorrida pelo raio no absorvedor Entatildeo eacute
determinado por
18
(5)
independente de l E para um
detalhamento maior das atenuaccedilotildees ao longo do feixe discretiza-se l O somatoacuterio dos produtos das
atenuaccedilotildees com as distacircncias surge da discretizaccedilatildeo de l assumindo que todas as particcedilotildees atenuam
o feixe no Esta condiccedilatildeo implica tambeacutem no particionamento de
Fazendo com que a intensidade final de uma particcedilatildeo i seja a inicial
da subsequente i+1 Ou seja natildeo eacute estabelecida uma discretizaccedilatildeo do tempo
(6)
De maneira geral a soma na Equaccedilatildeo 6 torna-se uma integral e definindo o eixo x ao
longo da trajetoacuteria do feixe l torna-se o elemento de linha onde o coeficiente de atenuaccedilatildeo eacute
funccedilatildeo da trajetoacuteria da linha
(7)
A integral ao longo da linha eacute conhecida como projeccedilatildeo unidimensional da
distribuiccedilatildeo de densidades definida matematicamente por Johann Radon em 1917 e
Figura 2 Discretizaccedilatildeo de l
l1
μ1
l2
μ2
ln
μn
l3
μ3
I 1 pa
ra Δ
t 0f
I 2 pa
ra Δ
t 0f
I f pa
ra Δ
t 0f
I 0 pa
ra Δ
t 0f
19
conhecida como a transformada de Radon da funccedilatildeo
Como as projeccedilotildees satildeo o resultado das transformadas de Radon ao longo dos
caminhos dos feixes pode-se dizer que o objetivo da tomografia eacute obter a sua inversa ou seja a
imagem reconstruiacuteda ou como no caso unidimensional a curva
(8)
Os diversos modelos utilizados para encontrar a inversa satildeo chamados de algoritmos
de reconstruccedilatildeo e como todos operam com as projeccedilotildees como entrada de dados um estudo mais
detalhado da transformada de Radon temporal e como essas projeccedilotildees variam deve ser realizado
para os casos em que a distribuiccedilatildeo de coeficientes de atenuaccedilatildeo varia tambeacutem com o tempo (caso
dinacircmico seccedilatildeo )
eacute a projeccedilatildeo bidimensional
geralmente chamada de perfil ou vista do corte O processo de aquisiccedilatildeo dos perfis eacute
chamado de escaneamento ou varredura e o conjunto de projeccedilotildees adquiridas eacute denominado
sinograma a Erro Origem da referecircncia natildeo encontrada representa o sinograma de uma imagem de
teste com um disco central
O escaneamento pode ser feito atraveacutes de aquisiccedilotildees paralelas de um uacutenico feixe
Figura 3 Sinograma constituiacutedo de 180 vistas (construiacutedo com a funccedilatildeo radon do
matlab)
20
(Parallel Beam) ou com as trajetoacuterias em forma de leque (Fan Beam) Como o sinograma eacute
resultado das transformadas de Radon ao longo dos raios pode-se dizer que o objetivo da
tomografia eacute obter a sua inversa ou seja a imagem reconstruiacuteda
representa todas as projeccedilotildees (9)
Imagem Original
22 Algoriacutetmos de Reconstruccedilatildeo
221 Filtered Back Projection (FBP)
Bracewell e Riddle em 1967 introduziram o meacutetodo chamado retroprojeccedilatildeo filtrada
(FBP) meacutetodo baseado na transformada de Fourier O FBP eacute muito utilizado devido ao baixo tempo
de processamento O teorema das projeccedilotildees tambeacutem chamado de teorema do corte central (Central
Slice Theorem - CST) facilita o processo Esse diz que uma transformada 1D de Fourier da
transformada de Radon da funccedilatildeo corresponde agrave transformada 2D de Fourier da funccedilatildeo Ou seja
realizando a transformada de Fourier das projeccedilotildees chega-se ao espaccedilo de frequecircncias da
distribuiccedilatildeo de densidades que se desejam descobrir No espaccedilo de frequecircncias satildeo realizadas as
operaccedilotildees de filtragem e a transformada 2D inversa retorna a imagem reconstruiacuteda O FBP eacute
resumido nos seguintes passos
1 Calcular a transformada de Fourier unidimensional das projeccedilotildees chegando ao domiacutenio de
frequecircncias
2 Filtrar as projeccedilotildees transformadas com um filtro passa baixa (Shepp-Logan Hann
Hamming etc)
3 Colocar as projeccedilotildees filtradas em um grid polar Cada projeccedilatildeo em seu acircngulo
correspondente
4 Reamostrar estas em um grid cartesiano com interpolaccedilatildeo (linear nearest Splines etc)
5 Calcular a transformada 2D de Fourier inversa chegando-se agrave imagem reconstruiacuteda
21
222 ART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica)
Os primeiros estudos sobre teacutecnicas algeacutebricas em TC foram feitos por Gordon e
Herman (HERMAN G T GORDON R 1971) Apesar de ser mais intuitiva e simples que os
meacutetodos de transformada essa teacutecnica deixa a desejar no que se refere a precisatildeo e tempo de
processamento Fazendo com que os meacutetodos de transformada fossem inicialmente mais utilizados
principalmente na aacuterea meacutedica onde um grande nuacutemero de dados eacute processado No entanto para
experimentos em que o nuacutemero de projeccedilotildees eacute limitado ou tenha uma distribuiccedilatildeo natildeo uniforme o
meacutetodo de transformada torna-se inviaacutevel
Meacutetodos algeacutebricos ou de expansatildeo de seacuteries discretizam a secccedilatildeo irradiada em uma
matriz de incoacutegnitas (pixels) que representam a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de densidades μ (x y) como
ilustra a Figura 4 Apoacutes as varreduras um sistema de equaccedilotildees resultantes da relaccedilatildeo de Beer-
Lambert eacute criado e sua resoluccedilatildeo corresponde agrave inversa de Radon Devido agraves caracteriacutesticas desse
sistema meacutetodos indiretos satildeo aconselhados e dentre os indiretos o meacutetodo das projeccedilotildees de
Kaczmarz tem convergecircncia garantida (KACZMARZ 1937) As teacutecnicas iterativas satildeo resumidas
basicamente em quatro passos criaccedilatildeo da imagem inicial caacutelculo das correccedilotildees aplicaccedilatildeo das
correccedilotildees e o teste de convergecircncia Estes algoritmos diferem na maneira como as correccedilotildees satildeo
calculadas e aplicadas (SUBBARAO 1997) Neste trabalho eacute utilizada a teacutecnica algeacutebrica ART
Nessa representaccedilatildeo um raio corresponde a uma faixa com largura que na maioria das vezes
coincide com a largura de um pixel
22
O processo pode ser resumido em
1) Criar uma matriz imagem inicial com N elementos parametrizados em geralmente aleatoacuterios
ou nulos Esse eacute o iniacutecio da 1ordf iteraccedilatildeo ( =1)
2) Calcular as projeccedilotildees para todos os raios atraveacutes da foacutermula
(10)
3) Para cada raio calcular a diferenccedila entre a projeccedilatildeo original e a reconstruiacuteda 4)
Calcular o somatoacuterio de todos pesos ao longo de cada raio
(11)
5) Obter a correccedilatildeo para cada raio
23
(12)
6) Aplicar a correccedilatildeo a cada ceacutelula
(13)
onde eacute um paracircmetro de relaxaccedilatildeo entre 0 e 2
7) Repetir os passos 2 ao 6 para todos os raios
8) Achar a soma da convergecircncia de todos os pixels da imagem
(14)
9) Finalizar a iteraccedilatildeo
As iteraccedilotildees satildeo finalizadas quando chegar a um valor preacute - estabelecido Muitos autores
estabelecem um criteacuterio de Caso o criteacuterio natildeo tenha sido cumprido uma nova
iteraccedilatildeo eacute iniciada no passo 2
O ART frequentemente sofre de ruiacutedos tipo sal e pimenta (salt and pepper noise)
causados pelas inconsistecircncias introduzidas no conjunto de equaccedilotildees por aproximaccedilotildees nos O
efeito eacute exacerbado porque cada pixel ao longo de um raio eacute alterado assim que a projeccedilatildeo eacute
calculada mudando seus valores antes que outro raio o faccedila Tanto o ruiacutedo quando a taxa de
convergecircncia do meacutetodo dependem do paracircmetro de relaxaccedilatildeo utilizado escolhido empiricamente
(geralmente entre 0 e 2) (KAK 1989)
223 MART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica com Correccedilatildeo Multiplicativa)
Vaacuterios estudos apontam o meacutetodo como raacutepido mais flexiacutevel e de melhor acuraacutecia
que o ART Sendo indicado principalmente para casos de um nuacutemero limitado de dados
(VERHOEVEN 1993) A teacutecnica eacute semelhante ao ART com mudanccedila apenas no fator de correccedilatildeo
24
expresso pela equaccedilatildeo 15
(15)
23 O Caso Dinacircmico
De um modo geral imagiologia dinacircmica CT tem como objetivo reconstruir sequecircncias de
imagens em que a natureza dinacircmica do objeto tomografado eacute de interesse primaacuterio permitindo o
registro de mudanccedilas temporais na distribuiccedilatildeo do coeficiente de atenuaccedilatildeo linear Entende-se como
caso estaacutetico a situaccedilatildeo em que o objeto tem distribuiccedilatildeo de atenuaccedilotildees fixa na regiatildeo de
estudo ao longo do tempo Algoritmos de reconstruccedilatildeo tomograacutefica utilizam como dados de entrada
as projeccedilotildees unidimensionais tomograacuteficas Cada projeccedilatildeo eacute adquirida atraveacutes das aquisiccedilotildees de
intensidades inicial e final ao longo do raio na direccedilatildeo
O escaneamento pode ser feito atraveacutes de aquisiccedilotildees paralelas de um uacutenico feixe (Parallel
Beam) ou com as trajetoacuterias em forma de leque (Fan Beam) Como o sinograma eacute resultado das
transformadas de Radon ao longo dos raios pode-se dizer que o objetivo da tomografia eacute obter a
sua inversa ou seja a imagem reconstruiacuteda ou como no caso unidimensional a curva
(KAK A C SLANEY M 1999)
(16)
Historicamente a CT dinacircmica no contexto meacutedico refere-se a algoritmos de imagem que
tentam corrigir movimentos formando uma imagem de alta qualidade estaacutetica atraveacutes da remoccedilatildeo
do componente dinacircmico Diferentemente da aacuterea meacutedica as imagens reconstruiacutedas de fluxos
multifaacutesicos oriundas de relativa baixa resoluccedilatildeo temporal trazem informaccedilotildees importantes da
mudanccedila do fluxo ao longo do tempo (MyersG R Kingston A M 2011) O objetivo da
tomografia neste caso eacute determinar a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de atenuaccedilatildeo
No caso CT de 1ordf 3ordf geraccedilotildees aplicados a distribuiccedilotildees dinacircmicas uma uacutenica imagem
representativa de todo o processo (reconstruiacuteda por processos desenvolvidos para distribuiccedilotildees
25
estaacuteticas) eacute o resultado final da tomografia (BARTHOLOMEW CASAGRANDE 1957) (AZZI et
al 1991) (YIN et al 2002)(DAHAN A et al 2007) (DUDUKOVIC 2007) (DANTAS CC et
al 2007) (SALVADOR P A V 2010) (MESQUITA C et al 2011) A funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de
atenuaccedilotildees passa a ser uma aproximaccedilatildeo
Esta aproximaccedilatildeo eacute devido a projeccedilotildees natildeo compatiacuteveis no sinograma (tambeacutem chamado de
) (BONNET S 2003) As projeccedilotildees agora tornam-se incompatiacuteveis
devido as diferentes distribuiccedilotildees que ocorreram durante o intervalo de tempo [0 t]
24 Reconstruccedilatildeo com Correccedilatildeo de Movimento
A reduccedilatildeo de artefatos de movimento em imagens tomograacuteficas eacute um problema
crucial em oacutergatildeos de um forte caraacuteter dinacircmico como por exemplo os pulmotildees ou o coraccedilatildeo Uma
maneira simples de reduzir esses artefatos eacute limitar o tempo de aquisiccedilatildeo usando tomografia ultra ndash
raacutepida (5ordf geraccedilatildeo)
Aqui considera-se uma outra abordagem em que os modelos de movimento satildeo
integrados diretamente ao processo de reconstruccedilatildeo e onde a resoluccedilatildeo temporal pode assim ser
significativamente aumentada Os meacutetodos podem ser algeacutebricos (GILLAND et al 2002 1996 DE
MURCIA BLONDE et al 2003) ou analiacuteticos ( BONNET et al 2003)
A teacutecnica de compensaccedilatildeo de movimento utilizada neste estudo utiliza um modelo
de transformaccedilatildeo da matriz de pesos A dividindo-a em submatrizes tendo suas colunas deslocadas
adequadamente de acordo com o modelo de movimento obtido a cada projeccedilatildeo (PENGPAN et al
2011) Por esse motivo o vetor deslocamento do movimento deve ser calculado a cada projeccedilatildeo
Para uma grande quantidade de dados necessaacuterios em estudos dinacircmicos na aacuterea
meacutedica abordagens analiacuteticas que levam a algoritmos de reconstruccedilatildeo diretos satildeo mais apropriadas
Alguns meacutetodos satildeo aproximaccedilotildees adaptadas para uso geral do tipo de movimento mas amplitude
moderada (RITCHIE et al 1996 GRANGEAT et al 2002)
No trabalho desenvolvido foca-se a situaccedilatildeo em que um pequeno nuacutemero de dados eacute
26
disponibilizado devido a natureza da aplicaccedilatildeo Salienta-se que a compensaccedilatildeo de movimento
ocorre com a aplicaccedilatildeo da mesma quantidade de movimento (obtida previamente ou durante a
reconstruccedilatildeo) agrave matriz A
A funccedilatildeo em um instante de tempo t pode ser encontrada com a aplicaccedilatildeo da
deformaccedilatildeo agrave seu valor inicial
(17)
A deformaccedilatildeo pode apresentar rotaccedilatildeo e translaccedilatildeo
(18)
25 Geraccedilotildees de Tomoacutegrafos
A primeira geraccedilatildeo de tomoacutegrafos foi produzida pela EMI Mark em 1973 tendo
como desenvolvedor o engenheiro Hounsfield O sistema era composto por um uacutenico tubo de raios
X o qual produzia um uacutenico feixe ciliacutendrico que atravessava o objeto em estudo o paciente
atingindo o uacutenico detector que media a intensidade do mesmo O sistema ainda contava com um par
de colimadores (dois pequenos tubos metaacutelicos colocados apoacutes o feixe deixar a fonte e antes do
mesmo atingir o detector) para minimizar o espalhamento do feixe A fonte de raios X e o detector
se movem em sincronia e em lados opostos do paciente executando um escaneamento linear sobre a
seccedilatildeo em estudo seguido de uma rotaccedilatildeo de 1 grau e um novo escaneamento linear eacute efetuado
como ilustra a Figura 3 a)
Os tomoacutegrafos de segunda geraccedilatildeo foram desenvolvidos visando reduzir o tempo de
escaneamento minimizando a exposiccedilatildeo do paciente agrave radiaccedilatildeo e ampliando a gama de oacutergatildeos que
podem ter a seccedilatildeo transversal reconstruiacuteda Os tomoacutegrafos ainda mantiveram o movimento de
varredura linear seguida de uma rotaccedilatildeo Entretanto o feixe de raios X deixou de ser ciliacutendrico e
passou a ter formato de leque Ao inveacutes de um uacutenico detector o sistema passou a contar com vaacuterios
27
detectores alinhados de forma que possam receber todos os raios do feixe Dessa maneira o tempo
de obtenccedilatildeo de dados de uma seccedilatildeo foi reduzido de acordo
com o nuacutemero de detectores e com o acircngulo de abertura empregado como pode ser visto na Figura
3b) A terceira geraccedilatildeo de aparelhos abandonou de vez os movimentos de translaccedilatildeo do tubo de
raios X e dos detectores e passou a contar com um leque com um acircngulo maior e uma base de
detectores mais ampla em formato semi-circular O sistema passou a efetuar um movimento de 360
graus em torno da seccedilatildeo Tambeacutem eram usados colimadores antes do feixe atingir os detectores a
fim de minimizar o espalhamento dos raios X e garantir a qualidade das imagens O tempo de cada
varredura em alguns modelos comerciais passou a ser de apenas meio segundo ilustrado pela
Figura 3 c)
A quarta geraccedilatildeo de aparelhos passou a contar com um anel de detectores que
circundam toda a seccedilatildeo que possibilitou aumentar mais ainda o acircngulo do feixe de radiaccedilatildeo Os
detectores satildeo fixos e a fonte de radiaccedilatildeo rotaciona dentro do anel de detectores e ao redor do corpo
irradiado Um problema desta geraccedilatildeo diz respeito agrave recepccedilatildeo dos feixes que natildeo satildeo fixos e
dependendo do acircngulo um feixe pode atingir dois detectores ou acertar um detector apenas em uma
fraccedilatildeo ilustrado pela Figura 6d)
Como o tempo despendido para realizaccedilatildeo de movimentos mecacircnicos eacute a principal
28
limitaccedilatildeo para reduzir ainda mais os tempos de escaneamento a quinta geraccedilatildeo de aparelhos acabou
com os movimentos de translaccedilatildeo e rotaccedilatildeo da fonte e dos detectores Rachid Maad em MAAD R
2009 evita utilizar essa classificaccedilatildeo para tomoacutegrafos sem rotaccedilatildeo e translaccedilatildeo utilizados
industrialmente ficando essa classificaccedilatildeo mais utilizada em aplicaccedilotildees meacutedicas Esse utiliza o
termo geraccedilatildeo de tomografia instantacircnea para tais aparelhos representados na Figura 6e)
Na configuraccedilatildeo instantacircnea um anel de detectores estacionaacuterios e as fontes de
radiaccedilatildeo rodeiam o objeto fornecendo um arranjo fixo (sem varreduras) e mediccedilotildees instantacircneas1
Esta teacutecnica eacute muito raacutepida e pode ser usada na geraccedilatildeo de imagens em tempo real A desvantagem
eacute o custo e o problema da radiaccedilatildeo dispersa causada pela presenccedila de muacuteltiplas fontes
26 Simulaccedilatildeo de Sinogramas
Phantoms matemaacuteticos ou imagens de teste satildeo frequentemente utilizados para
avaliar a precisatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo Satildeo descritos precisamente por funccedilotildees
matemaacuteticas e suas transformadas de Radon simulam as projeccedilotildees tomograacuteficas Seus pixels satildeo as
regiotildees discretizadas e seus valores ou cores representam as densidades ou coeficientes de
atenuaccedilatildeo linear A imagem de teste (phantom) mais conhecida em reconstruccedilatildeo tomograacutefica eacute o
1 O termo instantacircneo aqui utilizado negligencia o tempo de aquisiccedilatildeo para as contagens de intensidade de radiaccedilatildeo devido ao seu baixo valor deacutecimos de segundo
29
phantom de Sheep ndash Logan Figura 7
Para calcular a projeccedilatildeo simulada somam-se os produtos das distacircncias percorridas
pelo raio em cada pixel pelo seu valor Paracircmetros do experimento tomograacutefico que se deseja
simular como a aacuterea a ser varrida densidades reais adiccedilatildeo de ruiacutedo e fotos da secccedilatildeo do objeto
podem ser incorporadas para dar mais realidade ao modelo (SUBBARAO PMV et al 1997) O
ruiacutedo obedece ao desvio padratildeo de Poisson (IAEA-TECDOC-1589 2008)
A secccedilatildeo irradiada eacute representada por uma matriz de incoacutegnitas que representam a
distribuiccedilatildeo de densidades que se deseja descobrir As incoacutegnitas satildeo os pixels da imagem
reconstruiacuteda como ilustrado na Figura 8
Nessa representaccedilatildeo um raio corresponde a uma faixa com largura que na maioria
das vezes coincide com a largura de um pixel
Figura 7 Phantom de Sheep-Logan
50 100 150 200 250
50
100
150
200
2500
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
30
Parametrizando os pixels com j variando de 1 a N e os raios com i de 1 a M podemos
escrever a transformada de Radon ao longo do raio i como
(19)
onde eacute o peso que diz o percentual de contribuiccedilatildeo de um pixel j para o raio i definido como
(20)
Uma boa aproximaccedilatildeo eacute o modelo em que a largura do feixe eacute reduzida a uma linha
reta fazendo a distacircncia percorrida por este feixe dentro do pixel
Para calcular a intensidade final para uma projeccedilatildeo i faz-se
31
(21)
Com calculado da figura e de meacutedia fixa variando a cada projeccedilatildeo
com o desvio padratildeo de Poisson para todas as projeccedilotildees
O sinograma simulado eacute construiacutedo fazendo cada elemento de sua matriz igual a
27 Fluidodinacircmica Computacional - CFD
Fluidodinacircmica computacional (Computational Fluid Dynamics - CFD) eacute o termo
dado ao grupo de teacutecnicas matemaacuteticas numeacutericas e computacionais usadas para obter visualizar e
interpretar soluccedilotildees para as equaccedilotildees de conservaccedilatildeo de grandezas fiacutesicas de interesse em um dado
escoamento A origem destas equaccedilotildees de conservaccedilatildeo eacute a teoria de Fenocircmenos de Transporte
Assim pode-se resumir CFD como o conjunto das teacutecnicas de simulaccedilatildeo computacional usadas
para predizer os fenocircmenos fiacutesicos ou fiacutesico-quiacutemicos que ocorrem em escoamentos
A Fluidodinacircmica computacional eacute uma aacuterea de grande interesse para a soluccedilatildeo de
muitos problemas praacuteticos Como exemplo podem ser citados problemas de aerodinacircmica
termodinacircmica hidraacuteulica dentre outros As anaacutelises nesta aacuterea de pesquisa podem ser
desenvolvidas com base em experimentos bem como em meacutetodos teoacutericos Dentro dos meacutetodos
teoacutericos destacam-se os meacutetodos computacionais utilizados para simulaccedilatildeo numeacuterica aplicada agrave
Dinacircmica dos Fluidos (HERCKERT M G R)
Para os escoamentos de fluidos o modelo matemaacutetico eacute estabelecido com base nas
equaccedilotildees de conservaccedilatildeo da quantidade de movimento da massa e da energia Estas equaccedilotildees
quando submetidas a condiccedilotildees de contorno e iniciais apropriadas representam matematicamente
um problema particular (SHAMES I H 1973) A soluccedilatildeo analiacutetica destas equaccedilotildees somente eacute
possiacutevel para escoamentos muito simples Para se analisar problemas reais lanccedila-se matildeo do uso dos
chamados meacutetodos numeacutericos
Nos casos de escoamentos laminares os modelos satildeo relativamente simples pois as
32
equaccedilotildees de Navier-Stokes2 conservaccedilatildeo da massa e conservaccedilatildeo de energia satildeo resolvidas
Contudo como a maioria dos escoamentos que acontecem na natureza e no meio industrial satildeo
turbulentos estes tem um alto grau de complexidade e portanto deve-se lanccedilar matildeo de modelos
matemaacuteticos de turbulecircncia acrescentando termos as equaccedilotildees anteriormente citadas Os modelos
de turbulecircncia levam em conta variaacuteveis estatiacutesticas pois escoamentos turbulentos satildeo altamente
caoacuteticos e com isto haacute a necessidade de ferramentas estatiacutesticas para representar os escoamentos
turbulentos
A Figura 9 mostra campos de velocidade e distribuiccedilatildeo de soacutelido dentro do riser com
o regime de fluxo feito por CFD (ARMSTRONG L M 2010) Uma uacutenica velocidade de injeccedilatildeo e
diferentes alturas ao longo do riser Outros exemplos satildeo ilustrados nas Figuras 10 e 11
2 satildeo equaccedilotildees diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos Permitem determinar os
campos de velocidade e de pressatildeo num escoamento
Figura 9 Distribuiccedilatildeo de velocidades e defraccedilatildeo de soacutelido para diferentes alturas
33
28 Tempo de Aquisiccedilatildeo ou Integraccedilatildeo
Detectores de radiaccedilatildeo precisam sempre de um certo tempo (tempo de integraccedilatildeo)
para obter sinal razoaacutevel dos foacutetons incidentes Isto eacute devido agrave estatiacutestica de Poisson que regula o
processo de contagem de foacutetons e pode aumentar consideravelmente a incerteza do sinal detectado
no caso de um tempo de integraccedilatildeo baixo No domiacutenio da frequecircncia a mediccedilatildeo de sinal com um
tempo de integraccedilatildeo eacute aproximadamente equivalente a multiplicar o sinal original por um filtro
passa - baixa Quando uma amostra estaacute em repouso no interior do tomoacutegrafo eacute vantajosa a
utilizaccedilatildeo de um tempo de integraccedilatildeo alto para rejeitar ruiacutedo de alta frequecircncia Para a escolha do
tempo de integraccedilatildeo ideal deve-se estabelecer um equiliacutebrio entre a velocidade da amostra e o ruiacutedo
Poisson (MAAD 2009)
29 Sistema de cores RGB
RGB eacute a abreviatura do sistema de cores aditivas formado por Vermelho (Red)
Verde (Green) e Azul (Blue) O propoacutesito principal do sistema RGB eacute a reproduccedilatildeo de cores em
dispositivos eletrocircnicos como monitores de TV e computador datashows scanners e cacircmeras
digitais assim como na fotografia tradicional Em contraposiccedilatildeo impressoras utilizam o modelo
Figura 11 Visatildeo 3D de uma distribuiccedilatildeo de fraccedilatildeode soacutelido feito por CFD
Figura 10 Secccedilatildeo comdistribuiccedilatildeo de soacutelido que
seraacute utilizada como PhantomMatemaacutetico
34
CMYK de cores subtrativas Modelos aditivos de luzes satildeo combinados de vaacuterias maneiras para
reproduzir outras cores
O modelo de cores RGB eacute baseado na teoria de visatildeo colorida tricromaacutetica de
Young-Helmholtz e no triacircngulo de cores de Maxwell O uso do modelo RGB como padratildeo para
apresentaccedilatildeo de cores na Internet tem suas raiacutezes nos padrotildees de cores de televisotildees RCA de 1953 e
no uso do padratildeo RGB nas cacircmeras LandPolaroid poacutes Edwin Land
Estas trecircs cores natildeo devem ser confundidas com os pigmentos primaacuterios Ciano
Magenta e Amarelo conhecidos no mundo das artes como ldquocores primaacuteriasrdquo jaacute que se combinam
baseadas na reflexatildeo e absorccedilatildeo de foacutetons visto que o RGB depende da emissatildeo de foacutetons de um
componente excitado a um estado de energia mais elevado (fonte emissora por exemplo o tubo de
raios catoacutedicos)
O modelo de cores RGB por si soacute natildeo define o que significa ldquovermelhordquo ldquoverderdquo ou ldquoazulrdquo
(espectroscopicamente) e entatildeo os resultados de misturaacute-los natildeo satildeo tatildeo exatos (e sim relativos na
meacutedia da percepccedilatildeo do olho humano)
Uma cor no modelo de cores RGB pode ser descrita pela indicaccedilatildeo da quantidade de
vermelho verde e azul que conteacutem Cada uma pode variar entre o miacutenimo (completamente escuro)
e maacuteximo (completamente intenso) Quando todas as cores estatildeo no miacutenimo o resultado eacute preto Se
todas estatildeo no maacuteximo o resultado eacute branco (GONZALES 2014)
Uma das representaccedilotildees mais usuais para as cores eacute a utilizaccedilatildeo da escala de 0 agrave 255
bastante encontrada na computaccedilatildeo pela conveniecircncia de se guardar cada valor de cor em 1 byte (8
bits) Assim o vermelho completamente intenso eacute representado por 255 0 0
Branco - RGB (255 255 255) Azul - RGB (0 0 255) Vermelho - RGB (255 0 0)
Verde - RGB (0 255 0)Amarelo - RGB (2552550)Magenta - RGB (2550255)
Ciano - RGB (0 255 255) Preto - RGB (0 0 0)
35
As cores satildeo complementares agraves do sistema CMYK - Ciano (Cyan) Magenta
(Magenta) Amarelo (Yellow) e Preto (blacKKey) - e a sua mistura forma a cor branca
210 MCNP
O meacutetodo Monte Carlo eacute um algoritmo numeacuterico capaz de resolver problemas fiacutesicos e
matemaacuteticos por meio de simulaccedilatildeo de variaacuteveis aleatoacuterias (SOBOL 1994 BIELAJEW 1998)
Hoje em dia o MCNP eacute uma ferramenta matemaacutetica comumente utilizada em diversos segmentos
da ciecircncia e da engenharia para simular problemas que podem ser representados por processos
estocaacutesticos Simulaccedilotildees do transporte de radiaccedilatildeo por meio deste meacutetodo e em particular na Fiacutesica
Meacutedica tecircm passado por um raacutepido crescimento nas uacuteltimas deacutecadas (YORIYAZ 2009)
O processo Monte Carlo pode ser compreendido como um meacutetodo de geraccedilatildeo de nuacutemeros
aleatoacuterios (ROBERT amp CASELLA 2004) Um gerador uniforme de nuacutemeros pseudoaleatoacuterios eacute
um algoritmo que comeccedilando com um valor inicial e uma transformaccedilatildeo produz uma sequecircncia de
valores no intervalo [0 1] tendo esta sequecircncia um comportamento de uma variaacutevel aleatoacuteria
uniforme quando comparada com um conjunto de testes aleacutem de ser independente e identicamente
distribuiacuteda (ROBERT amp CASELLA 2004) Em termos de transporte de radiaccedilatildeo o processo
estocaacutestico pode ser visto como uma famiacutelia de partiacuteculas cujas coordenadas individuais soacute mudam
aleatoriamente em cada colisatildeo O comportamento meacutedio dessas partiacuteculas eacute descrito em termos de
Figura 12Sistema RGB
36
grandezas macroscoacutepicas como fluxo ou densidade de partiacuteculas (YORIYAZ 2009)
O Monte Carlo N Particle ndash MCNP - foi criado desde a deacutecada de 50 nos Estados
Unidos sendo desenvolvido por meio do laboratoacuterio Los Alamos National Laboratory O MCNP
continua ateacute hoje sendo aperfeiccediloado tornando-se assim mais confiaacutevel e usado por muitos
pesquisadores no mundo inteiro Eacute um coacutedigo que realiza o transporte de partiacuteculas utilizando o
meacutetodo Monte Carlo com capacidade para simular necircutrons com energias entre 10-11 MeV a 20
MeV enquanto que a faixa de energia para os foacutetons e eleacutetrons vai de 1 keV a 1000 MeV
(BRIESMEISTER 2000) O coacutedigo MCNP tem a capacidade de simular sistemas com geometrias
que vatildeo de superfiacutecies preacute-determinadas como esferas planos paraboloacuteides de revoluccedilatildeo cilindros
elipsoacuteides ateacute superfiacutecies bem elaboradas utilizando conjunto de pontos no espaccedilo
O pesquisador ao utilizar o MCNP constroacutei um arquivo de entrada no coacutedigo que
pode ser organizado em blocos descrevendo regiotildees envolvidas no modelo especificaccedilatildeo da
geometria por meio de superfiacutecies geomeacutetricas e suas intersecccedilotildees posiccedilatildeo e distribuiccedilatildeo energeacutetica
da fonte descriccedilatildeo dos materiais e todos os paracircmetros fiacutesicos agregados com algumas teacutecnicas de
reduccedilatildeo de variacircncia para melhorar a eficiecircncia e obter melhores resultados (BRIESMEISTER
2000) A versatilidade somado ao aspecto funcional do coacutedigo MCNP para diferentes tipos de
problemas faz com que este seja bem aceito na comunidade cientiacutefica que trabalham com transporte
de radiaccedilotildees e caacutelculos de dose
37
3 METODOLOGIA
Para descobrir ateacute onde processos tomograacuteficos de baixa resoluccedilatildeo temporal aliados
a algoritmos de reconstruccedilatildeo estaacutetica satildeo compatiacuteveis com o regime em estudo foram avaliadas
aquisiccedilotildees simuladas de 1ordf 3ordf e 5ordf geraccedilotildees tomograacuteficas A variaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo de densidades
durante a aquisiccedilatildeo faz necessaacuterio o desenvolvimento de uma versatildeo da lei de Beer-Lambert para
casos dinacircmicos seguida de sua aplicaccedilatildeo para realizar as simulaccedilotildees O meacutetodo eacute separado em duas
fases
1ordf Fase
A metodologia desenvolvida aplica primeiro o modelo de simulaccedilatildeo de sinogramas
desenvolvida analiticamente agrave primitivas matemaacuteticas e posteriormente a dados do MCNPX e CFD
1) Eacute criado um modelo de simulaccedilatildeo de sinogramas para distribuiccedilotildees
dinacircmicas utilizando a versatildeo temporal desenvolvida da lei de Beer-Lambert e da transformada de
Radon tambeacutem temporal
2) A simulaccedilatildeo eacute testada com primitivas matemaacuteticas dinacircmicas como um
ciacuterculo crescente ou transladando ou ambos A escolha eacute pautada em sua representaccedilatildeo precisa por
funccedilotildees matemaacuteticas e por representar diversos processos industriais(A simulaccedilatildeo com o disco
representa a secccedilatildeo de um cilindro ou bolha)
3) Os resultados satildeo apresentados em forma de imagens e graacuteficos A
visualizaccedilatildeo do sinograma eacute bastante utilizada para determinaccedilatildeo de caracteriacutesticas do objeto
4) O modelo de simulaccedilatildeo eacute ao aplicado a dados do CFD
2ordf Fase
O meacutetodo desenvolvido propotildee uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens
tomograacuteficas de processos dinacircmicos pois utiliza canais de cores para mostrar a evoluccedilatildeo temporal
do processo O algoriacutetmo de reconstruccedilatildeo utilizado eacute o MART devido a sua boa performance com
nuacutemero limitado de dados
Nesta fase eacute realizada a reconstruccedilatildeo tradicional que eacute associada aos canais verde (G)
e azul (B) enquanto que o canal vermelho (R) fica responsaacutevel pela evoluccedilatildeo temporal do processo
O meacutetodo eacute descrito na seccedilatildeo 33
38
A reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento eacute utilizada com conhecimento do vetor
deslocamento meacutedio ou sua estimativa O meacutetodo escolhido modifica a matriz de pesos do
algoritmo algeacutebrico deslocando suas colunas de acordo com o modelo de movimento estimado
(ARTEMIEV V M NAUMOV A O 2006) (BUTALA 2009) (DESBAT L et al 2006)
Com o resultado das simulaccedilotildees o sistema tomograacutefico pode ser otimizado
(diminuiccedilatildeo do nuacutemero de projeccedilotildees e vistas)
31 A Transformada de Radon Temporal
regiatildeo (espaccedilo de medida) na qual seraacute feita a aquisiccedilatildeo de dados
considere a funccedilatildeo densidade onde
Neste sistema um ponto pode ser
mapeado por como
complemento unitaacuterio perpendicular a
ao longo da reta eacute dada por
(22)
39
depende natildeo apenas de x e y mas de com sendo a
variaacutevel tempo Definimos entatildeo
(23)
onde e o tempo final da mesma medida
Lema 1 ou seja se eacute
estaacutetico ao longo do tempo a transformada dinacircmica reduz-se a convencional
Demostraccedilatildeo
Figura 13 Sistema de Coordenadas
θ
x
y
ξξ
s
x (xy
)
40
Lema 2 e portanto se a
leitura for ldquoraacutepidardquo o caso dinacircmico mais uma vez reduz-se ao caso estaacutetico
Demostraccedilatildeo
Pelo teorema do valor meacutedio integral (TVMI) temos que se f eacute contiacutenua entatildeo
para algum tal que
usando o TVMI
K(γ)
41
32 Lei de Beer-Lambert temporal
Como a natureza da lei exige que os tempos de contagens sejam iguais para que estas
sejam comparadas apenas a variaccedilatildeo da intensidade da radiaccedilatildeo com a distacircncia eacute geralmente
explorada Sabendo que esses intervalos de tempo de contagem satildeo despreziacuteveis em relaccedilatildeo ao
tempo de meia vida da fonte e que a probabilidade de emissatildeo se manteacutem constante ao longo do
mesmo tempo pode-se supor que a intensidade seja diretamente proporcional ao tempo Ou seja
(24)
Neste caso a distribuiccedilatildeo de coeficientes de atenuaccedilotildees varia tambeacutem com o tempo
ou seja torna-se
(25)
ou
(26)
O modelo discreto aplica a lei de Beer-Lambert em sua forma estaacutetica para cada
particcedilatildeo de tempo assumindo que durante o infinitesimal de tempo o coeficiente e a distacircncia
percorrida permanecem constantes
(27)
42
(28)
33 Simulaccedilatildeo de aquisiccedilotildees Tomograacuteficas
O processo de aquisiccedilatildeo tomograacutefica consiste em coletar intensidades iniciais e finais
em determinados caminhos percorridos pelos feixes de radiaccedilatildeo Os dados podem ser tratados com
filtros etc Optou-se em natildeo realizar tratamento para natildeo inserir mais variaacuteveis ao processo
garantindo que os resultados sejam alcanccedilados soacute pelo meacutetodo proposto
Como jaacute foi dito na seccedilatildeo 26 para calcular a intensidade final para um caminho i
faz-se
(29)
A funccedilatildeo eacute representada pelas imagens de testes chamadas neste trabalho de
quadros ou frames configurados pela distribuiccedilatildeo de densidades escolhida Em todos os casos
optou-se por densidades unitaacuterias para qualquer distribuiccedilatildeo ou seja dois valores satildeo possiacuteveis em
uma imagem de teste 0 ou 1 Um pixel com valor 0 corresponde a uma regiatildeo sem atenuaccedilatildeo e os
pixels que compotildeem o objeto simulado tem valor 1
Com calculado da figura e de meacutedia fixa variando a cada projeccedilatildeo
com o desvio padratildeo de Poisson para todas as projeccedilotildees as projeccedilotildees satildeo calculadas com
O conjunto de todas as projeccedilotildees eacute ordenado em uma matriz chamada de sinograma
331 Aquisiccedilatildeo por Tomografia de 1ordf Geraccedilatildeo
Dois tipos de situaccedilotildees podem ocorrer
1) Uma uacutenica projeccedilatildeo 1D eacute realizada e durante todo o tempo de integraccedilatildeo nenhuma
mudanccedila ocorre na distribuiccedilatildeo ao longo do raio podendo mais de uma aquisiccedilatildeo 1D ser aferida
para mesma distribuiccedilatildeo ou frame Neste caso a intensidade final eacute calculada utilizando a lei de
43
Beer-Lambert durante todo o tempo de integraccedilatildeo para cada raio como ilustrado na Figura 15
Para calcular a intensidade final para uma projeccedilatildeo i faz-se
(30)
2) Durante a aquisiccedilatildeo ocorre mudanccedila na distribuiccedilatildeo de densidades ao longo do
feixe Como foi exposto na seccedilatildeo 31 o somatoacuterio de intensidades finais do raio em cada quadro
(frame) retorna a intensidade final total para um certo tempo de aquisiccedilatildeo Figura 16
Figura 15 Projeccedilotildees 1D sem mudanccedila de frame
44
Entatildeo para cada frame eacute feita
e para a discretizaccedilatildeo de um intervalo de tempo
No exemplo ilustrado na Figura 16 a intensidade final depois do tempo de integraccedilatildeo
correspondente ao frame b fica
3) Natildeo ocorre mudanccedila na distribuiccedilatildeo durante toda a coleta de aquisiccedilotildees 1D em uma vista
4) Natildeo ocorre mudanccedila durante a aquisiccedilatildeo de todas as vistas Neste caso a distribuiccedilatildeo pode
ser tratada como estaacutetica
Figura 16 Projeccedilotildees 1D com mudanccedila de frame
1ordf aquisiccedilatildeo - Quadro a 1ordf aquisiccedilatildeo - Quadro b
45
332 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 3ordf geraccedilatildeo
A vantagem do meacutetodo eacute adquirir vaacuterias projeccedilotildees 1D ao mesmo tempo
Possibilitando um maior volume de dados em um tempo menor quando comparado ao de 1ordf
geraccedilatildeo Dois casos satildeo possiacuteveis
1) O tempo de integraccedilatildeo eacute suficiente para realizar uma vista completa ou mais por
quadro ou frame Figura 17
Figura 17 Mais de uma vista por frame
46
2) Mais de um quadro por vista Figura 18
333 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 5ordf geraccedilatildeo
Nesta situaccedilatildeo vaacuterias vistas satildeo adquiridas durante a mudanccedila da distribuiccedilatildeo Figura 19
Figura 19 Mais de um frame durante a aquisiccedilatildeo
Figura 18 Mais de um frame por vista
47
34 Posicionamento angular
O posicionamento angular tradicionalmente eacute feito com um conjunto de acircngulos
igualmente espaccedilados ordenados de forma crescente cobrindo o intervalo de 0ordm a 180ordm ou 360ordm A
ordem em que as projeccedilotildees ou vistas satildeo adquiridas natildeo importa porque o objeto em estudo eacute
estaacutetico
A proposta para tomografia dinacircmica de 1ordf e 3ordf geraccedilotildees eacute que o posicionamento seja
feito em subconjuntos que completem um ciclo Por exemplo o conjunto de vistas posicionadas
consecutivamente em 0ordm 45ordm 90ordm 135ordm 180ordm 225ordm 270ordm 315ordm pode ser reordenada em ciclos como
0ordm 90ordm 180ordm 270ordm Primeiro ciclo
45ordm 135ordm 225ordm 315ordm Segundo ciclo
A vantagem desse arranjo eacute que num determinado momento ao se preferir um
sinograma completo mas esparso em contraposiccedilatildeo a um sinograma incompleto mas denso eacute que as
informaccedilotildees vatildeo ser disponibilizadas na forma de imagem reconstruiacuteda mais cedo durante o
processo facilitando a interpretaccedilatildeo das informaccedilotildees Eacute uma escolha entre anaacutelise global esparsa
versus anaacutelise local densa
A nova ordenaccedilatildeo gera uma imagem reconstruiacuteda mais proacutexima do objeto dinacircmico e
abre a possibilidade de reconstruccedilotildees parciais com os subconjuntos de dados mais consistentes com
a dinacircmica do processo
35 Utilizaccedilatildeo de um canal de cores para visualizar a dinacircmica do processo Reconstruccedilatildeo RGB
Uma caracteriacutestica da imagem reconstruiacuteda tradicionalmente em processos
industriais dinacircmicos eacute a falta de informaccedilatildeo temporal ou seja obtecircm-se informaccedilotildees da meacutedia da
distribuiccedilatildeo mas natildeo se sabe em que tempo ocorreram as mudanccedilas de padratildeo de fluxo A proposta
desenvolvida neste trabalho pondera cada perfil adquirido com um fator dependente do tempo
criando esta distinccedilatildeo
O meacutetodo desenvolvido propotildee uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens
tomograacuteficas de processos dinacircmicos pois utiliza canais de cores para mostrar a evoluccedilatildeo temporal
do processo Nesta fase eacute realizada a reconstruccedilatildeo tradicional e a mesma eacute associada aos canais
verde (G) e azul (B) enquanto que ao canal vermelho (R) eacute associada a evoluccedilatildeo temporal do
processo Uma cor no modelo de cores RGB pode ser descrita pela indicaccedilatildeo da quantidade de
48
vermelho verde e azul que conteacutem Cada uma pode variar entre o miacutenimo (completamente escuro)
e maacuteximo (completamente intenso) Quando todas as cores estatildeo no miacutenimo o resultado eacute preto Se
todas estatildeo no maacuteximo o resultado eacute branco Uma das representaccedilotildees mais usuais para os canais eacute a
utilizaccedilatildeo da escala de 0 agrave 255 (GONZALES 2014)
O meacutetodo consiste em
1) Simular as projeccedilotildees que equivalem na utilizaccedilatildeo real de um experimento agrave
coleta de dados de intensidades finais e iniciais pelo detetor
2) Reconstruir com esses dados a distribuiccedilatildeo de densidades Foi utilizado o MART
com relaxaccedilatildeo 02 e criteacuterio de parada 1
3) Associar esta reconstruccedilatildeo aos canais G e B
4) Binarizar a imagem reconstruiacuteda entre 0 e 150 O limiar (threshold) utilizado foi
empiacuterico e de 50 do maior valor da imagem
5) Penalizar as projeccedilotildees da primeira agrave uacuteltima com um fator empiacuterico crescente com
o tempo Normalizar as projeccedilotildees de cada vista por 105
6) Realizar a retroprojeccedilatildeo nos pixels com suas respectivas projeccedilotildees
7) Associar ao canal R
8) Juntar todos os canais em uma uacutenica imagem A reconstruccedilatildeo tradicional e a
reconstruccedilatildeo RGB satildeo visualizadas em uma uacutenica imagem onde os tons de vermelho correspondem
agrave evoluccedilatildeo temporal da dinacircmica do processo
36 Reconstruccedilatildeo utilizando dados do CFD
Dados da simulaccedilatildeo de fluxo bifaacutesico satildeo gerados em forma de imagens 2D da distribuiccedilatildeo
em secccedilotildees transversais ao longo do tubo Os dados satildeo coletados para uma uacutenica altura ou seja
secccedilatildeo As diversas imagens de uma uacutenica secccedilatildeo representam a evoluccedilatildeo temporal do fluxo
naquela regiatildeo O conjunto de 8 imagens exemplificam o comportamento do fluxo em intervalos
de tempo de 00025s
A altura da secccedilatildeo em m o tipo de injetor a vazatildeo volumeacutetrica em Lmim e o fluxo de
catalisador satildeo dados de entrada na simulaccedilatildeo do CFD mas natildeo fazem parte das simulaccedilotildees de
aquisiccedilotildees tomograacuteficas utilizadas nesse estudo As imagens portam as informaccedilotildees que seratildeo
utilizadas nas simulaccedilotildees de aquisiccedilatildeo das projeccedilotildees
49
37 Avaliaccedilatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo com RMSE
As teacutecnicas de avaliaccedilatildeo de algoritmos de reconstruccedilatildeo mais utilizadas na literatura
satildeo raiz do erro quadraacutetico meacutedio erro meacutedio relativo absoluto e erros baseados em entropia Para
o caso de simulaccedilotildees com figuras de testes bem definidas (phantoms matemaacuteticos) as teacutecnicas
podem ser aplicadas comparando a imagem reconstruiacuteda com a imagem original O mesmo
procedimento repete-se para phantoms reais onde a distribuiccedilatildeo de densidades eacute bem conhecida Os
sinogramas tambeacutem podem ser avaliados
Gordon e Herman (GORDON 1974 HERMAN 1973 HERMAN 1976) usaram a
raiz do erro quadraacutetico meacutedio para avaliar o quanto a figura reconstruiacuteda aproxima-se da original A
definiccedilatildeo do erro eacute
(31)
Onde
eacute o valor original do pixel
o pixel reconstruiacutedo
o nuacutemero total de pixels da imagem ou sinograma
50
38 Algoritmos e Software Desenvolvidos
Diversas rotinas foram implementadas no Matlab Suas funccedilotildees satildeo para calculo de
projeccedilotildees sinogramas resoluccedilatildeo por ART MART calculo da Matriz de pesos resoluccedilatildeo de
sistemas Aleacutem das jaacute disponiacuteveis no programa como Resoluccedilatildeo por FBP filtros de imagem
operaccedilatildeo com matrizes visualizaccedilatildeo de graacuteficos etc As rotinas estatildeo disponiacuteveis no Anexo-I
Devido agrave grande dimensatildeo da matriz de pesos nos algoritmos algeacutebricos ficou
inviaacutevel sua operaccedilatildeo em alguns casos no Matlab O software Tomography Workstation-TW foi
desenvolvido em C com este propoacutesito Apresenta opccedilotildees de reconstruccedilatildeo ART MART SIRT e
SART Figura 39 Tambeacutem tem as funccedilotildees para carregar tomogramas e sinogramas
Figura 20 Software Desenvolvido
51
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO
Os resultados foram divididos nas seguintes seccedilotildees
bull Aumento do nuacutemero de iteraccedilotildees na Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica Dinacircmica
bull Resultados das reconstruccedilotildees MART e FBP
bull Escolha do posicionamento angular (vistas alternadas)
bull Resultados com reconstruccedilatildeo RGB
bull Simulaccedilotildees com MCNP
bull Reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento
bull Simulaccedilotildees tomograacuteficas a partir do CFD
41 Resultados das Reconstruccedilotildees MART e FBP
As imagens de teste (phantoms) foram utilizadas para avaliar os resultados das
reconstruccedilotildees MART e FBP
411 Primitiva Ciacuterculo Transladando 1 vista por frame
A simulaccedilatildeo consiste em oito distribuiccedilotildees representadas por imagens (quadros ou
frames) de 64x64 pixels com um disco de densidade unitaacuteria e raio fixo Natildeo ocorre mudanccedila
durante a simulaccedilatildeo de uma aquisiccedilatildeo ou varredura Esta aplicaccedilatildeo simula as tomografias de 1ordf e 3ordf
geraccedilatildeo
O disco Raio = 2 pixels deslocamento de 7 pixels entre os centros dos discos de
quadros consecutivos A imagem eacute reconstruiacuteda por FBP e MART
Os frames satildeo ilustrados na Figura 21 e a meacutedia dos oito na Figura 22 Cada imagem
eacute ilustrada na escala de 64 x 64 pixels
52
Figura 21 8 frames - ciacuterculo transladando - 1 vista por frame
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 22 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
53
Os oito picos do sinograma Figura 23 ilustram a captura do disco em diferentes
posiccedilotildees
A Figura 24 ilustra o sinograma em forma de imagem onde cada valor de pixel eacute
convertido para uma escala de cor O eixo vertical (linhas do sinograma) representa a passo linear
(posiccedilatildeo das trajetoacuterias dos feixes) e o horizontal o passo angular (Nuacutemero de vistas)
Figura 23 Tomograma e sinograma ndash circulo transladando ndash 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
05
1
15
2
25
3
35
4
45
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 700
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
54
Os resultados das reconstruccedilotildees FBP e MART satildeo ilustrados na Figura 25
A reconstruccedilatildeo por FBP mostra diversos artefatos natildeo dando para identificar o
nuacutecleo nem a tendecircncia de movimento Os artefatos formam oito faixas um para cada vista ou
projeccedilatildeo Estes artefatos em faixa satildeo comuns no FBP para um baixo nuacutemero de vistas
O MART difere da imagem meacutedia mostrando um arqueamento para direita devido ao
movimento simulado e o sentido anti-horaacuterio das aquisiccedilotildees Eacute um artefato de movimento
Figura 25 Reconstruccedilotildees circulo transladando ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Figura 24 Sinogramascirculo transladando ndash 1 vista por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
55
412 Primitiva Ciacuterculo Transladando Oito vistas por frame
O objetivo desta simulaccedilatildeo eacute descobrir como se comportam os algoritmos em uma
tomografia de 5ordf geraccedilatildeo onde todas as aquisiccedilotildees satildeo realizadas ao mesmo tempo Nesta situaccedilatildeo
as oito vistas satildeo realizadas simultaneamente enquanto ocorre a mudanccedila das distribuiccedilotildees (Figura
19) Figuras com 64x64 pixels raio fixo de 2 pixels deslocamento de 5 pixels
Figura 26 Tomograma e Sinograma - disco transladando - 8 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
05
1
15
2
25
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 7001
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
56
Os resultados das reconstruccedilotildees satildeo ilustrados na Figura 28
As reconstruccedilotildees ficam mais proacuteximas da imagem meacutedia porque todas as vistas satildeo
adquiridas ao mesmo tempo durante todo o processo O FBP perde a definiccedilatildeo dos discos e forma
um artefato central vertical O MART reconstroacutei o disco nas oito posiccedilotildees Cada disco eacute
reconstruiacutedo ilustrando os oito instantes de tempo que foram simulados
Figura 27 Sinogramas CiacuterculoTransladando -Oito vistas por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Figura 28 Reconstruccedilotildees Ciacuterculo Transladando -Oito vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
57
413 Primitiva Circulo Crescente Uma vista por frame
A simulaccedilatildeo consiste em oito distribuiccedilotildees em forma de ciacuterculo concecircntricas com um
aumento 2 pixels entre distribuiccedilotildees consecutivas (Figura 29) Oito vistas satildeo adquiridas
simultaneamente para simular a tomografia de 5ordf geraccedilatildeo
Abaixo a imagem meacutedia aritmeacutetica das oito distribuiccedilotildees eacute ilustrada na Figura 29 A
aacuterea central eacute mais escura porque eacute coincidente para os oito ciacuterculos
Figura 30 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Figura 29 8 frames - circulo crescente - 1 vista por frame
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
58
Tanto o sinograma quanto o tomograma ilustram o crescimento do disco Figura
411
Figura 31 Tomograma e sinograma - ciacuterculo crescente - 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 700
10
20
30
40
50
60
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
59
O sinograma em forma de imagem eacute mostrado abaixo (Figura 32)
O aumento vertical das faixas eacute devido ao crescimento do disco
As duas reconstruccedilotildees apresentam artefatos de rotaccedilatildeo que dificultam a identificaccedilatildeo
da tendecircncia de movimento ou da distribuiccedilatildeo espacial dos discos (Figura 33)
Figura 32 Imagem do sinograma -ciacuterculo crescente - 1 vista por frame
Sinograma
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
Figura 33 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
60
414 Primitiva Circulo Crescente Oito vistas por frame
Neste caso ocorre mudanccedila de frame com a vista Para cada distribuiccedilatildeo tem-se uma
vista diferente Figura 34
Figura 34 Tomograma e sinograma - circulo crescente - 8 vista por frame
29 30 31 32 33 340
05
1
15
2
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3701
02
03
04
05
06
07
08
09
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
61
A posiccedilatildeo central que eacute comum a todos os frames eacute reconstruiacuteda nos dois casos O
FBP mostra a presenccedila de artefatos de Moireacute (Figura 36) O MART mostra poucos artefatos e
mostra uma regiatildeo borrada ao redor do ciacuterculo central indicando os discos maiores
Figura 35 Sinogramas circulo crescente ndash 8vistas por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Figura 36 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 8 vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
62
42 Vistas Alternadas
Alguns testes foram realizados para estudar o posicionamento angular quando
ordenado de forma sequencial e alternada O conjunto de vistas posicionadas consecutivamente em
0ordm 45ordm 90ordm 135ordm 180ordm 225ordm 270ordm 315ordm foram reordenadas em dois ciclos
0ordm 90ordm 180ordm 270ordm para o primeiro ciclo
45ordm 135ordm 225ordm 315ordm para o segundo ciclo
As seguintes situaccedilotildees foram exploradas
Disco transladando - 1 Vista por frame
Cada distribuiccedilatildeo (quadro) eacute capturado em um instante de tempo diferente Os
acircngulos utilizados em cada quadro satildeo apresentados na Tabela 1
Tabela 1 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 1 vista por frame
Quadro 1ordm 2ordm 3ordm 4ordm 5ordm 6ordm 7ordm 8ordm
Vista 0ordm 90ordm 180ordm 270ordm 45ordm 135ordm 225ordm 315ordm
Reconstruccedilotildees
Figura 37 Reconstruccedilotildees disco transladando - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
63
Dois ciclos satildeo suficientes para natildeo formaccedilatildeo do artefato de rotaccedilatildeo (arqueamento)
A reconstruccedilatildeo com vistas alternadas mostra-se mais coerente com a imagem meacutedia (Figura 37)
Disco transladando - 2 Vistas por frame
Com duas vistas por quadro totaliza-se quatro quadros A associaccedilatildeo eacute ilustrada na
Tabela 2
Tabela 2 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 2 vistas por frame
Quadro 1ordm 2ordm 3ordm 4ordm
Vista 0ordm e 45ordm 90ordm e 135ordm 180ordm e 225ordm 270ordm e 315ordm
A reconstruccedilatildeo encontra-se mais proacutexima da imagem meacutedia do que na situaccedilatildeo com
vista sucessivas (Figura 38)
Disco Transladando - 4 Vistas por frame
Apenas dois quadros satildeo suficientes Tabela 3
Tabela 3 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 4 vistas por frame
Quadro 1ordm 2ordm
Vista 0ordm 90ordm 180ordm e 270ordm 45ordm 135ordm 225ordm 315ordm
Figura 38 Reconstruccedilotildees disco transladando - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
64
Reconstruccedilotildees
Disco crescente - 1 Vista por frame
A configuraccedilatildeo das vistas eacute a mesma utilizada na Tabela 1 uma vista por frame
A reconstruccedilatildeo com vistas alternadas Figura 40 apresenta uma reduccedilatildeo nos artefatos
de rotaccedilatildeo mostrando uma distribuiccedilatildeo espacial mais proacutexima da imagem meacutedia (Figura 40)
Disco crescente - 2 Vistas por frame
A configuraccedilatildeo das vistas eacute mesma da Tabela-2
Figura 39 Reconstruccedilotildees disco transladando - 4 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Figura 40 Reconstruccedilotildees disco crescente - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
65
Com o aumento do nuacutemero de vistas a distribuiccedilatildeo torna-se mais central
aproximando-se da imagem meacutedia (Figura 41)
43 Resultados com RGB
As situaccedilotildees jaacute utilizadas nas seccedilotildees 41 e 42 satildeo testadas com visualizaccedilatildeo RGB
Para todos os casos a primeira reconstruccedilatildeo (MART) eacute realizada com matriz inicial de valores
unitaacuterios relaxaccedilatildeo 02 e nuacutemero de iteraccedilotildees definido pela convergecircncia de 05 e em seguida a
normalizada por 150
Os sinogramas satildeo ponderados pelo conjunto de fatores que variam de 01 a 09
linearmente espaccedilados Os valores foram escolhidos empiricamente
Em seguida eacute realizada a reconstruccedilatildeo com o sinograma jaacute ponderado e seus valores
normalizados no intervalo de 150 a 255
Figura 41 Reconstruccedilotildees disco crescente - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
66
bull Ciacuterculo transladando ndash 1 Vista por frame
Um disco para cada instante de tempo totalizando oito distribuiccedilotildees Figura 42
Para o ciacuterculo transladando verticalmente com 1 vista por frame temos um
clareamento na parte inferior da distribuiccedilatildeo indicando que esta regiatildeo traz informaccedilotildees mais
recentes (Figura 42)
A reconstruccedilatildeo com MART RGB por usar como base a distribuiccedilatildeo espacial da
reconstruccedilatildeo MART mostra o clareamento vermelho na parte inferior da figura indicando que
ocorreu movimento nesse sentido
bull Ciacuterculo transladando ndash 2 Vistas por frame
Satildeo quatro distribuiccedilotildees uma para cada instante de tempo configurando duas vistas
por frame
Figura 42 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 1 vista por frame
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
67
O clareamento do vermelho na reconstruccedilatildeo RGB indica que a parte inferior da
reconstruccedilatildeo corresponde ao uacuteltimo instante de tempo
bull Ciacuterculo transladando ndash 4 Vistas por frame
Quatro vistas por frame foram utilizadas na configuraccedilatildeo das proacuteximas trecircs situaccedilotildees
(Figura 44 Figura 45 Figura 46) O deslocamento para o disco vertical eacute utilizado com trecircs valores
distintos
A primeira situaccedilatildeo ilustra dois instantes de tempo com dois diacircmetros de distacircncia
entre os centros dos discos Figura 44
Figura 43 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
68
A proacutexima situaccedilatildeo eacute criada com 4 diacircmetros de distacircncia entre centros entre o
primeiro e segundo instantes de tempo Figura 45 Cada disco corresponde a distribuiccedilatildeo exata em
um instante
Figura 44 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 45 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
69
A terceira situaccedilatildeo visa estudar o comportamento da reconstruccedilatildeo proposta quando
haacute coincidecircncia em parte da distribuiccedilatildeo espacial Satildeo quatro instantes de tempo e uma distacircncia
com menos de um diacircmetro de distacircncia entre centros consecutivos Figura 46
bull Ciacuterculo crescente ndash duas vistas por frame
A simulaccedilatildeo totaliza 4 frames e oito vistas consecutivas Duas por frame
Apesar da situaccedilatildeo com ciacuterculo crescente e duas vistas por frame natildeo mostrar boa
reconstruccedilatildeo a imagem reconstruiacuteda difere bastante da original como jaacute mostrado na seccedilatildeo 413
tambeacutem mostra concordacircncia com os outros resultados RGB pois mostra uma regiatildeo central com
Figura 46 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 47 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo crescente - 2 vistas por frame
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
70
vermelho mais claro O clareamento deve-se a regiatildeo que eacute coincidente para todos os ciacuterculos
O problema que surge eacute que para esta situaccedilatildeo o clareamento para o vermelho criado
pela reconstruccedilatildeo RGB se confunde com a superposiccedilatildeo dos ciacuterculos da reconstruccedilatildeo tradicional
criado na regiatildeo central
44 Simulaccedilotildees com MCNPX
Os frames que anteriormente foram obtidos analiticamente com o objetivo de
encontrar as projeccedilotildees agora satildeo representados por cartotildees de entrada para o MCNPX A simulaccedilatildeo
gera como saiacuteda a intensidade relativa Foram criadas as situaccedilotildees jaacute expostas na seccedilatildeo 41 A
configuraccedilatildeo das simulaccedilotildees eacute
bull Objeto Cilindro Raio = 5cm Material Al = 000746 cm-1
bull Fonte 137Cs Atividade 5 mCi
bull Colimaccedilatildeo Pb fonte - detetor 5vmm
bull Nuacutemero de histoacuterias 100000
441 Circulo Transladando ndash 1vista por frame
Oito geometrias foram simuladas com o objetivo de encontras as projeccedilotildees
equivalentes as 8 vistas Cada vista captura o disco em um instante de tempo diferente totalizando
oito frames Na Figura 48 ilustra-se o disco (em amarelo) em diferentes posiccedilotildees com e as
respectivas a posiccedilotildees da fonte colimada indicando mudanccedila angular (em roxo e azul)
71
O meacutetodo retorna o (relaccedilatildeo entre Ifinal e o Iinicial) A matriz de intensidades relativas eacute
denominada tomograma e tem as suas colunas ordenadas por vista(Figura 49)
As projeccedilotildees satildeo encontradas fazendo e o conjunto de vistas
ordenadas em colunas eacute denominado sinograma(Figura 50)
Figura 49 Tomograma via MCNPX - 1 Vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 70
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma Por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 48 Geometria Circulo Transladando - 1 vista por frame
72
A apresentaccedilatildeo do sinograma em forma de imagem eacute ilustrada na Figura 51
Figura 50 Sinograma MCNPX - 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
1
2
3
4
5
6
Posicionamento Linear
Sinograma por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 51 Imagem de sinograma MCNPX -1 vista por frame
Sinograma MCNPX - 1 vista por frame
Vistas
Projeccedilotildees
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
73
As reconstruccedilotildees apresentaram-se similares as feitas analiticamente na seccedilatildeo 41
Formaccedilatildeo de oito artefatos em faixa no FBP e o arqueamento para esquerda indicando o sentido da
rotaccedilatildeo do tomoacutegrafo (Figura 52)
442 Circulo Transladando ndash 2 vistas por frame
Oito geometrias foram simuladas com mudanccedila no posicionamento angular apenas
quando o disco muda de posiccedilatildeo Duas vistas capturam o disco na mesma posiccedilatildeo A geometria
simulada no MCNPX eacute mostrada na Figura 53
Figura 53 Geometria circulo transladando - 2 vistas por frame
Figura 52 Reconstruccedilotildees MART e FBP ndash MCNPX ndash 1 vista por frame
FBP
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60 -06
-04
-02
0
02
04
MART
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
74
A simulaccedilatildeo retorna o seguinte tomograma Figura 54
Calculando as projeccedilotildees temos o sinograma ilustrado na Figura 55
Que visualizado em formato de imagem fica ilustrado na Figura 56
Figura 54 Tomograma MCNPX - 2 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 70
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma Por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 55 Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
1
2
3
4
5
6
Posicionamento Linear
Sinograma por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
75
As reconstruccedilotildees corresponderam as expectativas quando coincidem com as
reconstruccedilotildees simuladas analiticamente(Figura 57)
Figura 57 Reconstruccedilatildeo MART - MCNPX - 2 vistas por frameMART
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
FBP
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60 -04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
06
Figura 56 Imagem de sinograma MCNPX ndash 2vistas por frame
Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame
Vistas
Projeccedilotildees
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
76
45 Resultados com CFD
As condiccedilotildees da simulaccedilatildeo foram vazatildeo volumeacutetrica de ar eacute 500 Lmin e o fluxo de
catalisador eacute de180 kg(m2s-1) O tempo de processo foi de 10 segundos com passo de 00025
segundos
O local de leituras da fraccedilatildeo volumeacutetrica foi se encontra a uma altura de 0650
metros da base do riser feita a cada 00375 segundos durante o tempo de processo de fluidizaccedilatildeo
resultando em 268 imagens Seacuteries de oito a nove imagens da secccedilatildeo transversal satildeo utilizadas
Devido a alta resoluccedilatildeo das imagens vindas do CFD uma reduccedilatildeo foi realizada para
figuras com 64x64 pixels Figura 58
451 CFD-1 vista por frame
A sequecircncia de oito imagens em intervalos de tempos consecutivos eacute ilustrada na
Figura 59 e a imagem meacutedia na Figura 60
Figura 58 Reduccedilatildeo na resoluccedilatildeo 899x999 para 64x64
20 40 60
10
20
30
40
50
60
200 400 600 800
100
200
300
400
500
600
700
800
77
Figura 60 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
Figura 59 CFD - Frames 1 ao 8
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
78
Reconstruccedilotildees
As reconstruccedilotildees para uma vista por frame natildeo correspondem agrave realidade prevista
Figura 61 Sinogramas CFD ndash 1 vista por frame
Figura 62 Reconstruccedilotildees CFD ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo RGB
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Sinograma com Pesos
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo Mart Red
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
79
pelo CFD O pequeno nuacutemero de vistas aliado a complexidade da figura dificultam a reconstruccedilatildeo
452 CFD-8 vistas por frame
A sequecircncia de oito imagens em intervalos de tempo consecutivos eacute ilustrada na
Figura 63
A meacutedia das oito imagens Figura 63
O sinograma simulado e o mesmo ponderado satildeo mostrados na Figura 65
Figura 64 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
Figura 63 Frames 1 ao 8 CFD ndash 8 vistas por frame
80
As reconstruccedilotildees concordam com as distribuiccedilotildees quando apresentam maior
concentraccedilatildeo de soacutelido do lado direito da imagem A maior concentraccedilatildeo de pigmentaccedilatildeo vermelha
Figura 65 Sinogramas CFD - 8 vistas por frame
Figura 66 Reconstruccedilotildees CFD - 8 vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Sinograma com Pesos
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart Red
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
81
do lado direito da imagem reconstruiacuteda em RGB mostra que a distribuiccedilatildeo nesta regiatildeo eacute mais
recente O resultado tem concordacircncia com a mudanccedila de lado da distribuiccedilatildeo ao longo dos oito
frames
46 Reconstruccedilotildees com correccedilatildeo de movimento
Como a reconstruccedilatildeo com vistas alternadas eacute superior a tradicional com vistas
sucessivas utilizou-se para todas as simulaccedilotildees com correccedilatildeo de movimento o posicionamento
angular sucessivo O objetivo da escolha eacute verificar os resultados gerados soacute por correccedilatildeo da matriz
de pesos As simulaccedilotildees foram ordenadas de acordo com as situaccedilotildees jaacute exploradas e para um
instante de tempo especiacutefico
Abaixo (Figura 67 Figura 68) tem-se a configuraccedilatildeo de 4 vistas por frame
resultando em dois quadros cada um com o disco em uma posiccedilatildeo diferente A imagem tem 32x32
pixels e o deslocamento foi vertical de 5 pixels Como o nuacutemero de colunas da matriz de pesos eacute
definido pela resoluccedilatildeo da imagem o deslocamento na matriz de pesos corresponde ao vertical x
nuacutemero de elementos em uma linhaentatildeo 5 x 32 = 60 colunas para esquerda quando se quer
recuperar o primeiro instante e 60 colunas para direita no caso do segundo
Para o primeiro instante a correccedilatildeo mostra-se eficaz reconstruindo por completo a
distribuiccedilatildeo no primeiro instante de tempo Figura 67
A distribuiccedilatildeo no segundo instante eacute reconstruiacuteda com um pouco de ruiacutedo Figura 68
Figura 67 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempoImagem Meacutedia
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30Imagem Meacutedia
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
82
A situaccedilatildeo com translado horizontal eacute ilustrada na Figura 69 e Figura 70 A
reconstruccedilatildeo no primeiro instante de tempo mostra-se mais precisa Figura 69 Quatro vistas foram
utilizados por quadro com um deslocamento de 5 pixels entre eles O deslocamento de colunas eacute
realizado com o mesmo nuacutemero
Para o segundo instante Figura 70
A simulaccedilatildeo com duas vistas por frame resulta em quatro distribuiccedilotildees Figura 71
Figura 72 Figura 73 A imagem tem 64x64 pixels e o deslocamento foi vertical de 5 pixels
resultando em um deslocamento de 5 x 64 = 320 para as colunas
Figura 69 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Figura 70 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o segundo instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30
5
10
15
20
25
30
83
Para o primeiro instante de tempo temos
Para o segundo instante
Figura 71 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 72 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
20 40 60
10
20
30
40
50
60
84
e para o terceiro instante
O ruiacutedo aumenta
Ocorre o aparecimento de ruiacutedo nas reconstruccedilotildees com o aumento do tempo Este
efeito eacute devido a extrapolaccedilatildeo do deslocamento nos elementos proacuteximo as bordas da matriz de
pesos
Figura 73 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
85
5 CONCLUSOtildeES
As simulaccedilotildees analiacuteticas de primitivas matemaacuteticas foram validadas com ecircxito
quando comparadas com as mesmas realizadas por MCNPX As aquisiccedilotildees tomograacuteficas foram
simuladas mostrando a superioridade da tomografia de 5ordf geraccedilatildeo (8 vistas por frame) quando
comparada agrave de 3ordf geraccedilatildeo (uma duas e quatro vistas por frame) seccedilotildees 41 e 42 As reconstruccedilotildees
ficam mais proacuteximas da imagem meacutedia porque todas as vistas satildeo adquiridas ao mesmo tempo
durante todo o processo O FBP perde a definiccedilatildeo dos discos e forma um artefato central vertical O
MART reconstroacutei perfeitamente o disco nas oito posiccedilotildees mostrando a sua preferecircncia para um
nuacutemero limitado de dados (8 vistas) O FBP eacute bastante utilizado em tomografias meacutedicas (360
vistas ou mais) devido a baixa complexidade computacional quando comparado aos meacutetodos
algeacutebricos
Tanto o disco transladando quanto o crescente apresentam melhor performance com
o aumento do nuacutemero de vistas por distribuiccedilatildeo como pode ser visto na seccedilatildeo 41 A situaccedilatildeo em
que foi simulada uma vista por frame apresenta um artefato de movimento indicando o sentido de
rotaccedilatildeo do arranjo simulado
Os oito perfis encontrados nas simulaccedilotildees com ciacuterculo crescente mostram o aumento
do disco seccedilatildeo 413 e 414 As simulaccedilotildees para este caso reconstroem uma distribuiccedilatildeo central
distorcida pela incompatibilidade das projeccedilotildees (adquiridas em diferentes instantes de tempo) As
reconstruccedilotildees com FBP mostram-se inferiores ao MART formando artefatos de Moireacute (artefatos
estrela) em todas as reconstruccedilotildees Confirmando que estes artefatos satildeo comuns quando se utiliza o
FBP com um nuacutemero limitado de dados
Os testes com vistas alternadas mostram que essa configuraccedilatildeo eacute superior ao arranjo
sucessivo pois cobre uma aacuterea maior em um tempo menor capturando mais informaccedilotildees relativas
ao movimento (seccedilatildeo 42)
A reconstruccedilatildeo RGB inova porque mostra a evoluccedilatildeo temporal do processo com
aacutereas mais claras (vermelho claro) indicando proximidade temporal enquanto que aacutereas mais
escuras indicam tempo passado O meacutetodo mostra o clareamento no vermelho em regiotildees da figura
indicando que ocorreu movimento neste sentido Os testes com ciacuterculo transladando mostram
coerecircncia quando indicam com o vermelho mais claro as regiotildees correspondentes aos uacuteltimos
quadros O mesmo resultado eacute obtido com os dados do CFD para simulaccedilatildeo da TC de 5ordf geraccedilatildeo O
86
lado direito da imagem tem valores maiores para o vermelho coincidindo com a sequecircncia de
distribuiccedilotildees utilizada onde ocorre mudanccedila na concentraccedilatildeo do lado esquerdo para o direito Para o
ciacuterculo crescente a eficaacutecia do meacutetodo pode ser questionada pois ocorre superposiccedilatildeo das regiotildees
centrais de cada disco A aplicaccedilatildeo a dados do CFD com apenas uma vista por frame eacute ineficiente
pois a reconstruccedilatildeo RGB natildeo consegue mostrar tendecircncia de movimento A reconstruccedilatildeo tradicional
MART tambeacutem natildeo coincide com a meacutedia dos frames ou seja como o meacutetodo proposto utiliza esta
distribuiccedilatildeo espacial natildeo pode-se afirmar que a ineficiecircncia do processo seja devido unicamente a
reconstruccedilatildeo RGB
O MCNPX foi utilizado com ecircxito nas duas simulaccedilotildees propostas Sinogramas e
tomogramas satildeo coincidentes com exceccedilatildeo da escala com os mesmos encontrados por teacutecnicas
analiacuteticas
A reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento foi utilizada com ecircxito para
determinaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo no instante inicial de tempo Ocorre aparecimento de ruiacutedo com o
aumento do tempo Este efeito eacute devido a extrapolaccedilatildeo do deslocamento nos elementos proacuteximo as
bordas da matriz de pesos Salienta-se que o vetor deslocamento deve ser conhecido ou calculado
previamente Este trabalho utiliza valores jaacute determinados anteriormente nas simulaccedilotildees (distacircncia
entre discos)
O trabalho contribui para tomografia industrial porque utiliza casos comuns agrave aacuterea
como o disco transladando que eacute simulador de bolhas em colunas industriais e imagens do CFD
como phantoms para predileccedilatildeo dos perfis experimentais Contribui tambeacutem para a otimizaccedilatildeo de
paracircmetros de operaccedilatildeo tomograacutefica quando simula as aquisiccedilotildees prevendo resultados para o
experimento Indica o MART como superior ao FBP neste conjunto de dados As simulaccedilotildees
analiacuteticas de sinogramas foram validadas com ecircxito pelo MCNPX ou seja ambas podem ser
utilizadas para simulaccedilatildeo de fenocircmenos industriais Sugere tambeacutem que a TC com vistas alternadas
corresponde mais a realidade dinacircmica de uma distribuiccedilatildeo Propotildee um novo meacutetodo a
reconstruccedilatildeo RGB obtendo bons resultados apenas nas situaccedilotildees em que natildeo ocorre coincidecircncia
entre as distribuiccedilotildees de diferentes instantes de tempo
Um estudo mais detalhado dos valores empiacutericos deve ser feito para um
entendimento maior da penalizaccedilatildeo das projeccedilotildees e das situaccedilotildees em que ocorra superposiccedilatildeo de
distribuiccedilotildees
A baixa performance do FBP esperada para um baixo nuacutemero de aquisiccedilotildees indica
que testes com um nuacutemero maior de vistas devem ser realizados para o estudo dos meacutetodos
87
propostos nestas situaccedilotildees
Outro trabalho futuro eacute utilizar soluccedilotildees jaacute propostas na literatura meacutedica para
diminuiccedilatildeo de ruiacutedos e artefatos na reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento identificando o vetor
deslocamento durante o processo
Espera-se dar continuidade ao trabalho validando tambeacutem experimentalmente as
simulaccedilotildees com translado do disco (Laboratoacuterio de Radioquiacutemica ndash DEN ndash UFPE)
88
6 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
ALEXANDER B DIMITRY V VITALY V KISELEV AN Algebraic reconstruction and
post-processing in incomplete data computed tomography From X-rays to Laser Beams Jun
2007
ANDERSEN AH Algebraic reconstruction in CT from limited views IEEE transactions on
medical imaging v 8(1) p50ndash55 Jan1989
ANGELI S EFSTAHIOS S An Accelerated Algebraic Reconstruction Technique based on
the Newton-Raphson Scheme Ieee Nuclear Science Symposium Conference Record 23382ndash
3387 2009
AZZI M TULIER P BERNARD J R GARNERO L Mapping Solid Concentration in a
Circulating Fluid Bed Using Gammametry Powder Technology p27-36 1991
BENDER R GORDON R HERMAN GT Algebraic reconstruction techniques(art) for
three dimensional electron microscopy and x-ray photography J Theor Biol v29 p759ndash768
1971
BROOKS RA CHIRO G Principles of Computer Assisted Tomography ( CAT ) in
Radiographic and Radioisotopic Imaging Phis Med Biol v21 N 5 p689-732 1976
BUTALA M D KAMALABADI F FRAZIN R A Chen YldquoDynamic tomographic imaging
of the solar coronardquo IEEE J Sel Topics Signal Process vol 2 pp 755ndash7662008
CENSOR Y Finite Series-Expansion Reconstruction Methods proceedings of the ieee p71
1983
CEZARO A CEZARO FT Problemas Inversos e a matemaacutetica da tomografia
computadorizada V Bienal da SBM - Sociedade Brasileira de Matemaacutetica 2010
CRUVINEL P E Mini tomoacutegrafo de raio-x e raio gama computadorizado para aplicaccedilotildees
multidisciplinares PhD thesis Unicamp 1987
DANTAS CC MELOSM OLIVEIRA E F MAGALHAtildeES F P SANTOS M G
Measurement of density distribution of a cracking catalyst in experimental riser with a
sampling procedure for gamma ray tomography Nuclear Instruments amp Methods in Physics
Research Section B Beam Interactions with Materials and Atoms (Print) v 266 p 841-848
2008
89
DE PIERRO A R Problemas Matemaacuteticos em Tomografia por Emissatildeo Notas UNICAMP
2004
DESBAT L RIT S CLACKDOYLE R MENNESSIER C PROMAYON E
NTALAMPEKI S ldquoAlgebraic and analytic reconstruction methods for dynamic
tomography rdquo Proceedings of the 29th Annual International Conference of the IEEE EMBS Citeacute
Internationale Lyon France August 23-26 2007 ThP2B11 2007 pp 726-730
DESBAT L ROUX S GRANGEAT P ldquoCompensation of some time dependent
deformations in tomography 2 Deformations preserving the projection geometryrdquo IEEE
transactions on medical imaging vol 26 2007 pp 1-20
EARLY D S LONG DG Image Reconstruction and Enhanced Resolution Imaging from
Irregular Samples IEEE trasactions on geosciences and remote sensing 3v9(2)291ndash302 2001
FARIN G Curves and Surfaces for CAGD a Practical Guide 4th edition Academic Press-
1996
FORSYTHE GE Solving linear algebraic equations can be interesting Bulletin of the
American Mathematical Society v59(4) P299ndash330 Jul 1953
GORDON R A tutorial on art (algebraic reconstruction techniques) IEEE Trans Nucl Sci v
NS-21 p78ndash93 1974
GORDON R GUAN H A projection acess order for speedy convergence of art a multilevel
scheme for computed tomography Physics in medicine and biology p39 1994
GUAN H HERMAN G T ZHU Y Combining various projection access schemes with the
algebraic reconstruction technique for low-contrast detection in computed tomography
Physics in medicine and biology 43(8)2413ndash21 August 1998
HANSON K M WECKSONG GVW Local basis approach to computed tomography
ApplOpt v24 p4028-2039 1985
HERFFERNAN P B Robb A R Difference image reconstruction from a few projections for
nondestructive materials inspection Applied optics
HERMAN G T Iterative reconstruction algorithms Comput Biol Med v6 p273 ndash 294 1976
HERMAN G T GORDON R Reconstruction of pictures from their projections Commun
Assoc Comput Mach v14 p759ndash768 1971
HERMAN GT MEYER L B Algebraic Reconstruction Techniques Can Be Made
90
Computationally Efficient IEEE transactions on medical imaging v 12(3) 1993
IAEA-TECDOC-1589 INDUSTRIAL PROCESS GAMMA TOMOGRAPHY Final report of a
coordinated research project 2003ndash2007 May 2008
KACZMARZ S Angenaherte auflosung von systemen linearer gleichungen Bull Acad Pol
Sci Lett A vol 6-8A pp 355-357 1937
KAKA C SLANEY M Principles of Computerized tomographic imaging IEEE PRESS
1999
KALAGA D V KULKARNI A V ACHARYA R KUMAR U SINGH G JOSHI JB
Some industrial applications of gamma-ray tomography Journal of the Taiwan Institute of
Chemical Engineers 40 (2009) 602ndash612 wwwelseviercomlocatejtice
KNOLL G F Nuclear Counters Radiation-Measurement Book 2006
LUTZ PH Relaxation Methods for Image Reconstruction Communications of the ACM
v21(2) p282ndash288 1978
MARTINEZ AG Detecccedilatildeo de descontinuidades e reconstruccedilatildeo de funccedilotildees a partir de dados
espectrais filtros splines e metodos iterativos tese - UNICAMP 2006
MELO SM DANTAS CC OLIVEIRA EAL MAGALHAtildeES FP OLIVEIRA EF A FCC
catalyst gamma ray tomographic reconstruction by using non negative non parametric bezier
triangles Proceedings In 4 th International Symposion on Process Tomography in Poland p 165
Washaw 2006
MESQUITA J MATELA N OLIVEIRA N MARTINS M V Choosing the ART relaxation
parameter for Clear-PEM 2D image reconstruction Computer methods and programs in
biomedicine May 2010
MYERS G R KINGSTON A M VARSLOT T K TURNER M L SHEPPARD A
P ldquoDynamic tomography with a priori informationrdquo Applied Optics vol 50 2011 pp 3685-
3690
OLIVEIRA EF DANTAS CC MELO S B VASCONCELOS D A A ldquoCOMPARISON
AMONG TOMOGRAPHIC RECONSTRUCTION ALGORITHMSrdquo internetional nuclear
conference-INAC2011
OLIVEIRA EF DANTAS C MELO S B VASCONCELOS D A A ldquoTOMOGRAPHIC
RECONSTRUCTION WITH B-SPLINES SURFACESrdquo internetional nuclear conference-
INAC2011
91
RAMACHANDRAM G N LAKSHMINARAYANAN A V Three-dimensional
reconstruction from radiographs and electron micrographs II application of convolutions
instead of Fourier transforms Proc Natl Acad Sci US v68 p2236-2240 1971
KACZMARZ S Angenaherte auflosung von systemen linearer gleichungen Acad Pol Sci
Lett v 6-8A p355ndash357 1937
SALINA F V MASCARENHAS NDA CRUVINEL PE A Comparison of POCS
Algorithms for Tomographic Reconstruction Under Noise and Limited View Computer
Graphics and Image Processing 2002
SALVADOR P A V Anaacutelise de sistemas multifaacutesicos utilizando tomografia computadorizada
gama monoenergeacutetica e polienergeacutetica Tese IPEN-USP 2008
SERGIO N QUORIN R Diagnoacutestico de defeitos em madeira por tomografia de raios x PhD
thesis UFPR 2004
SUBBARAO P M V MUNSHI P MURALIDHAR K Performance of iterative tomographic
algorithms applied to non-destructive evaluation with limited data NDT amp Internacional
v30(6) p359ndash370 1997
TANABE K Projection method for solving a singular system Numer Math 17203ndash214 1971
TIRUNELVELI G HERMAN G T Comparison of Square-Pixel and Hexagonal-Pixel
Resolution in Image Processing Test pages 867ndash872 2002
VERHOEVEN D Limited-data computed tomography algorithms for the physical sciences
Applied Optics jul1993
WENKAI L Adaptive algebraic reconstruction technique Image (Rochester NY) v31(12)
p3222ndash3230 2004
92
ANEXO ndash I
ROTINAS DESENVOLVIDAS NO MATLAB
Rotina responsaacutevel por criar os phantoms e calcular o sinograma Tambeacutem reconstroacutei
clear
d=64Nproj=8Ntraj=dNpixel=dr=02Nit=30display(MART)chute=1I0=10^8x=1fig3=(zeros(d))teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)inc=3cont=1z=zeros(NprojNtraj1)zt=zzt1=zzt2=zztgb=zcont=1c=0teta=[teta teta]clear fig
vpf=1raio=3inc=7c=5vpf=2raio=4inc=8c=5vpf=4raio=5inc=17c=10 vpf=8raio=1inc=4vpf=4inc=1cc=0inc2=25c=10vpf=4raio=3inc=15c=0 fator=(1Nproj)(1Nproj)1fator=flipud(fator)fator=linspace(00509Nproj)a=0for n=1Nproj a=a+1 circ(n)=Circulo(d(d2)(d2)(1+c))if a==vpfa=0c=c+incend crescente circ(n)=Circulo(d5+c(d2)raio)if a==vpfa=0c=c+incend translado vertical fig=circ(n) [z]=sinograma(fig teta(n)) zr=radon(fig teta(n)Ntraj) fig3=(fig3+fig) Itred(cont)=(I0exp(-zx))n((Nproj+inc+1)-n)(nNproj)olhar sempre It(cont)=I0exp(-zx) Ir(cont)=I0exp(-zr) cont=cont+1endfig3=fig3(max(max(fig3))Nproj)tira a sobreposiccedilatildeosinot=log((I0)It)importante retirar fator caso seja utilizado tomo de 3ordfsinot=(ZeraNeg(sinot))rect=Mart2(MatparaCol(real(sinot))teta102)[c d]=size(rect)rect=ColparaMat(rect(d)NpixelNpixel)figure subplot(131)imagesc(fig3)title(Imagem Meacutedia) subplot(132)imagesc(rect)title(MART Vistas Sucessivas) subplot(133)imagesc(rect)title(MART Vistas Alternadas)
93
Rotina para Testes com reconstruccedilotildees
clear load meialuanotubo2load dadosdinamicoload dadosdinamico2dados2=dados3[Ntraj Nproj]=size(dados2) for a=1Nproj for b=1Ntraj if dados2(ab)gt1 || dados2(ab)lt10^-2 dados2(ab)=1 end endend sinograma=-(102)log(dados2)sinograma=ZeraNeg(sinograma)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj) display(FBP)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)z=sinogramarecfbp=iradon(ztetaNtraj)x=164figsino(xdados2) figsino(xsinograma) figureimagesc(sinograma)title(Sinograma MCNPX - 1 vista por frame) xlabel(Vistas)ylabel(Projeccedilotildees)
_________________________MART___________________________________________ x=[02] Nit=20r=1recmart=zeros(Npixel^2Nitlength(x)) display(MART com pesos)display(x) z=MatparaCol(sinograma) [ix iy]=GridAlg(NprojNtrajNtrajpi) [A]=pesosart(ixiyNprojNtrajNtraj) rec=Art(AzNprojNtraj5002) figure imagesc(rec)title(ART) end recfinal=ColparaMat(recmart(Nit)NpixelNpixel) figuresurf(recfinal)figureimagesc(recfinal)colorbartitle(Mart) durou=etime(clockliga)60save phantomacrilicoMart x durou recmart A _________________________ART____________________________________________ x=[02] Nit=10r=1recart=zeros(Npixel) display(ART com pesos)display(x) z=MatparaCol(sinograma) rec=Mart(AzNprojNtrajNitx) recart=ColparaMat(rec(Nit)NpixelNpixel)r=r+1 figureimagesc(recart)colorbartitle(art) __________________________________________________________________________
94
rotina para caacutelculo do sinograma
function [matriz]=sinograma(fig teta)
[a b]=size(fig)Ntraj=aNproj=size(teta2)sino=zeros(NtrajNproj)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)for i=1Nproj for j=1b sino(ji)=Project(figteta(i)j) endendmatriz=sino
function [bijtemp erromat]=Mart2(ztetachuterelax)
[a b]=size(z)Nproj=size(teta2)Ntraj=aNprojNpixel=Ntrajbijtemp=ones(Npixel^250)bijtemp(1)=chute pij=ones(size(sino))Ite=50erro=1cont=1erromat=zeros(149)for Nitera=1Ite if Nitera==25 Nitera end for i=1Nproj W=Wproj(teta(i)Npixel) pij=Wbijtemp(Nitera) for j=1Ntraj cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pij(j))pij(j) if (pij(j)==0)cor=0000000001end ind=find(W(j)) cor=correlax bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corbijtemp(indNitera)W(jind)) end end if errolt=005break end if Niteragt=2 erro=100sqrt(sum(sum(((bijtemp(Nitera)-bijtemp(Nitera-1))^2))))sum(sum(bijtemp(Nitera))) erromat(cont)=errocont=cont+1 end if (Nitera ~= Ite)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)endendbijtemp=bijtemp(1Nitera)erro
function [bijtemp erromat]=Mart2(ztetachuterelax)
[a b]=size(z)Nproj=size(teta2)Ntraj=aNprojNpixel=Ntrajbijtemp=ones(Npixel^250)bijtemp(1)=chute
95
pij=ones(size(sino))Ite=50erro=1cont=1erromat=zeros(149)for Nitera=1Ite if Nitera==25 Nitera end for i=1Nproj W=Wproj(teta(i)Npixel) pij=Wbijtemp(Nitera) for j=1Ntraj cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pij(j))pij(j) if (pij(j)==0)cor=0000000001end ind=find(W(j)) cor=correlax(i) bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corbijtemp(indNitera)W(jind)) end end if errolt=005break end if Niteragt=2 erro=100sqrt(sum(sum(((bijtemp(Nitera)-bijtemp(Nitera-1))^2))))sum(sum(bijtemp(Nitera))) erromat(cont)=errocont=cont+1 end if (Nitera ~= Ite)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)endendbijtemp=bijtemp(1Nitera)erro
function [figtemp]=BP(NprojNtrajNpixelzinterXinterYfigura)
Back projection
c=max(size(figura))
Ntraj=c
Npixel=caumenta a dimenssatildeo da figura para eliminar artefatos de rotaccedilatildeo
figtemp=zeros(c)
inter=ones(22(Npixel+1))696969
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
inter(1)=interX(((i-1)Npixel)+j)
inter(2)=interY(((i-1)Npixel)+j)
for a=12(Npixel+1)
if (inter(1a)gt=0 ampamp inter(1a)ltNpixel) ampamp (inter(2a)gt=0 ampamp
inter(2a)ltNpixel) ampamp (inter(1a+1)gt=0 ampamp inter(1a+1)lt=Npixel) ampamp
(inter(2a+1)gt=0 ampamp inter(2a+1)lt=Npixel)
dist=sqrt(((inter(1a+1)-inter(1a))^2)+((inter(2a+1)-
inter(2a))^2))
x=fix(inter(1a))y=fix(inter(2a))
if (figura(x+1y+1))gt 10^-1
figtemp(x+1y+1)=figtemp(x+1y+1)+z(Ntraj(i-1)+j)dist
end
end
end
end
end
function [bijtemp]=Art(AzNprojNtrajNitrelax)
ART aditivo com opccedilatildeo de relaxaccedilatildeo
96
[c d]=size(A)a=sqrt(d)b=a
bijtemp=zeros(b^2Nit)10
pij=zeros(b1)pijtemp=zeros(Ntraj1)convergencia=zeros(1Nit)
Projection=Nproj
for Nitera=1Nit
interaction=Nitera
for i=1Nproj
pijtemp=A((Ntraj(i-1)+1)(Ntraj(i-1)+Ntraj))bijtemp(Nitera)
for j=1Ntraj
soma=sum(A(Ntraj(i-1)+j)^2)
cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pijtemp(j))
ind=find(A(Ntraj(i-1)+j))
cor=correlaxsoma
bijtemp(indNitera)=(bijtemp(indNitera) + corA(Ntraj(i-
1)+jind))
for ii=ind
if bijtemp(iiNitera)lt0bijtemp(iiNitera)=0end
end
end
end
if (Nitera ~= Nit)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)end
if (Nitera ~= 1)convergencia(Nit)=sqrt(sum(sum(bijtemp(Nitera-1)^2
-bijtemp(Nitera)^2))sum(sum(bijtemp(Nitera)^2)))end
end
function [bijtemp]=Artfast(AzNprojNtrajNitrelax)
ART aditivo com opccedilatildeo de relaxaccedilatildeo
[c d]=size(A)a=sqrt(d)b=a
bijtemp=ones(b^2Nit)
pij=zeros(b1)pijtemp=zeros(Ntraj1)
Projection=Nproj
for Nitera=1Nit
Nitera
for i=1Nproj
pijtemp=A((Ntraj(i-1)+1)(Ntraj(i-1)+Ntraj))bijtemp(Nitera)
for j=1Ntraj
soma=sum(A(Ntraj(i-1)+j)^2)
cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pijtemp(j))
ind=find(A(Ntraj(i-1)+j))
cor=correlaxsoma
bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corA(Ntraj(i-
1)+jind))
for ii=ind
if bijtemp(iiNitera)lt0bijtemp(iiNitera)=0end
end
end
end
if (Nitera ~= Nit)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)end
end
function [interX interY]=GridAlg(NprojNtrajNpixelRangeAngular)
RangeAngular=pi
display(vc olhou pi)
rxvetor=zeros(Nproj1)
ryvetor=zeros(Nproj1)
rxpontos=zeros(NtrajNproj)
97
rypontos=zeros(NtrajNproj)
rxpontos(1)=linspace(0+(NpixelNtraj)2Npixel-(NpixelNtraj)2Ntraj)
rypontos=flipud(rypontos)
rypontos(1)=0
rxvetor(1)=0
ryvetor(1)=1
teta=RangeAngularNproj
rot=[cos(teta) -sin(teta)sin(teta) cos(teta)]
for b=2Nproj
vet=rot[rxvetor(b-1) ryvetor(b-1)]
rxvetor(b)=vet(1)
ryvetor(b)=vet(2)
end
for b=2Nproj
for a=1Ntraj
pontos=rot[rxpontos(ab-1)-(Npixel2)rypontos(ab-1)-(Npixel2)]
rxpontos(ab)=pontos(1)+(Npixel2)
rypontos(ab)=pontos(2)+(Npixel2)
end
end
clear FIG
interX=zeros(NtrajNproj2(Npixel+1))interY=interX
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
ind=1
inter=ones(22(Npixel+1))696969
if rxvetor(i)lt-10^-5 || rxvetor(i)gt10^-5
for x=0Npixel
inter(2x+1)=(ryvetor(i)rxvetor(i))(x-rxpontos(ji))
+rypontos(ji)
inter(1x+1)=x
ind=ind+1
end
end
if rxvetor(i)gt=-10^-5 ampamp rxvetor(i)lt=10^-5x=-1end
if ryvetor(i)lt-10^-5 || ryvetor(i)gt10^-5
for y=0Npixel
inter(1x+2+y)=(rxvetor(i)ryvetor(i))(y-rypontos(ji))
+rxpontos(ji)
inter(2x+2+y)=y
ind=ind+1
end
end
[inter(1) B]=sort(inter(1))
inter(2)=inter(2B)
interX(((i-1)Ntraj)+j)=inter(1)
interY(((i-1)Ntraj)+j)=inter(2)
end
end
function [A]=pesosart(interXinterYNprojNpixelNtraj)
(NprojNtraj)x(Npixel^2)lt=70000000 out of memory with space free 560000000
98
[a b]=size(interX)
Atemp=sparse(zeros(NtrajNpixel^2))
inter=ones(22(Npixel+1))696969
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
inter(1)=interX(((i-1)Ntraj)+j)
inter(2)=interY(((i-1)Ntraj)+j)
for a=12(Npixel+1)
if (inter(1a)gt=0 ampamp inter(1a)ltNpixel) ampamp (inter(2a)gt=0 ampamp
inter(2a)ltNpixel) ampamp (inter(1a+1)gt=0 ampamp inter(1a+1)lt=Npixel) ampamp
(inter(2a+1)gt=0 ampamp inter(2a+1)lt=Npixel)
dist=sqrt(((inter(1a+1)-inter(1a))^2)+((inter(2a+1)-
inter(2a))^2))
if inter(2a+1)ltinter(2a)
y=fix(inter(2a+1))
else
y=fix(inter(2a))
end
x=fix(inter(1a))
Atemp(jNpixel(Npixel-y-1)+x+1)=dist
end
end
end
if i==1
A=Atemp
else
A=[AAtemp]
end
Atemp=sparse(zeros(NtrajNpixel^2))
end
14
(DAHAN A et al 2007 DUDUKOVIC 2007 HALE et al 2007 JOHANSEN et al 2005
KUMAR et al 1997 DANTAS CC et al 2007 SALVADOR P A V 2010 MESQUITA C et
al 2011) Essas abordagens assumem que as propriedades da imagem satildeo constantes durante o
processo de aquisiccedilatildeo Os algoritmos de reconstruccedilatildeo mais comuns ao contexto satildeo os iterativos
onde se destacam teacutecnicas de reconstruccedilatildeo algeacutebrica (ART SIRT MART SMART) e teacutecnicas de
reconstruccedilatildeo estatiacutesticas como o de Minimizaccedilatildeo Alternante (AM) e o Esperanccedila - Maximizaccedilatildeo
(EM) A imagem reconstruiacuteda passa a ser uma aproximaccedilatildeo das propriedades ao longo do tempo A
aproximaccedilatildeo eacute devida a projeccedilotildees natildeo compatiacuteveis no sinograma (BONNET S 2003) As
projeccedilotildees tornam-se incompatiacuteveis devido as diferentes distribuiccedilotildees que ocorreram durante o
intervalo de tempo utilizado para coleta de dados Ruiacutedos e artefatos de movimento satildeo os
principais problemas causados pela incompatibilidade
Aleacutem disso em processos tomograacuteficos industriais eacute comum um nuacutemero limitado de
dados devido a inviabilidades teacutecnicas como arranjar todo um aparato de fontes e detetores ao redor
de uma coluna industrial Um baixo nuacutemero de dados pode produzir ruiacutedo artefatos e natildeo
concordacircncia com a distribuiccedilatildeo em estudo
Por estes motivos eacute necessaacuterio um estudo dos melhores meacutetodos de reconstruccedilatildeo e
tambeacutem o desenvolvimento de novas taacuteticas ou a utilizaccedilatildeo de meacutetodos jaacute consagrados em outros
contextos como a aacuterea meacutedica
Este trabalho inova quando discute um tema jaacute comum agrave aacuterea meacutedica em um
contexto tomograacutefico industrial
O meacutetodo proposto consiste em descobrir inicialmente as limitaccedilotildees oriundas da
aplicaccedilatildeo de algoritmos de reconstruccedilatildeo que foram desenvolvidos para distribuiccedilotildees estaacuteticas e satildeo
utilizados em tomografia dinacircmica Estas podem aparecer em forma de ruiacutedo artefatos estrela eou
de movimento Para alcanccedilar tais propoacutesitos foram utilizados dados simulados analiticamente e por
MCNPX de um cilindro de alumiacutenio transladando durante o processo aquisiccedilatildeo e imagens da secccedilatildeo
transversal de um rise piloto por meio da teacutecnica CFD (Computational Fluid Dynamics) O cilindro
ou ciacuterculo para uma secccedilatildeo eacute uma escolha pautada na literatura industrial pois simula bolhas em
reatores e tambeacutem distribuiccedilotildees agrupadas em forma de nuacutecleo por exemplo (DUDUKOVIC M et
al 1997) (AZZI M 1991) Com os dados simulados foram realizadas e comparadas as
reconstruccedilotildees pelos meacutetodos FBP (Filtered Back Projection) e MART (Multiplicative Algebraic
Reconstruction Technique)
Descobertas as limitaccedilotildees novas estrateacutegias satildeo apresentadas como a escolha da
ordem do posicionamento angular (vistas alternadas ou sucessivas) o desenvolvimento de um
15
meacutetodo para a visualizaccedilatildeo temporal do processo (Reconstruccedilatildeo RGB) e a correccedilatildeo de movimento
A reconstruccedilatildeo RGB foi desenvolvida com o propoacutesito de visualizar a evoluccedilatildeo
temporal do processo Consiste em uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens tomograacuteficas de
processos dinacircmicos pois utiliza o canal red do sistema de cores RGB para visualizar a evoluccedilatildeo do
movimento Uma nova reconstruccedilatildeo eacute realizada utilizando dados penalizados com o tempo e
associada ao canal R Aos outros canais eacute associada a reconstruccedilatildeo tradicional para posterior
visualizaccedilatildeo do conjunto
Tambeacutem eacute proposta uma teacutecnica de correccedilatildeo de movimento utilizada na aacuterea meacutedica
que manipula a matriz de pesos do meacutetodo algeacutebrico deslocando seus elementos com a mesma
quantidade de movimento identificada Neste trabalho eacute definido o vetor deslocamento a priori
O Capiacutetulo dois trata da revisatildeo bibliograacutefica da tese Conteacutem a lei de Beer-Lambert
a formaccedilatildeo de dados tomograacuteficos para posterior reconstruccedilatildeo Explica os algoritmos algeacutebricos a
visualizaccedilatildeo RGB dados do CFD e geraccedilotildees tomograacuteficas No Capiacutetulo trecircs satildeo expostos os
meacutetodos desenvolvidos como aquisiccedilotildees simuladas analiticamente de 1ordf e 5ordf geraccedilotildees
tomograacuteficas simulaccedilotildees tomograacuteficas por MCNPX reconstruccedilatildeo RGB correccedilatildeo de movimento
algoritmos implementados e desenvolvidos No capiacutetulo quatro satildeo mostrados os resultados de
todos os meacutetodos propostos
Espera-se que esse trabalho contribua para uma anaacutelise mais efetiva de tomografias
dinacircmicas industriais bem como o diagnoacutestico de problemas de otimizaccedilatildeo de operaccedilatildeo de
tomoacutegrafos e obtenccedilatildeo de dados para novos projetos bem como contribuir com novos algoritmos de
reconstruccedilatildeo especiacuteficos para esta aplicaccedilatildeo
16
2 TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA
21 A Lei de Beer-Lambert
A medida da probabilidade por unidade de percusso do feixe de radiaccedilatildeo interagir
com a mateacuteria (efeito fotoeleacutetrico efeito Compton e produccedilatildeo de pares) eacute denominado coeficiente
de atenuaccedilatildeo total ou linear do material ( ) Encontrar a funccedilatildeo que represente a distribuiccedilatildeo das
atenuaccedilotildees dentro de uma regiatildeo de interesse eacute o objetivo da tomografia Ao atravessar um material
a intensidade da radiaccedilatildeo sofre uma queda exponencial descrita pela relaccedilatildeo de Beer-Lambert
Entende-se como intensidade de radiaccedilatildeo neste caso como o nuacutemero de contagens registrado pelo
detetor em uma faixa de energia de interesse para um certo intervalo de tempo
Entende-se como caso estaacutetico a situaccedilatildeo em que o objeto tem distribuiccedilatildeo de
atenuaccedilotildees fixa na regiatildeo de estudo ao longo do tempo ou seja
(1)
O processo unidimensional para determinaccedilatildeo da atenuaccedilatildeo linear pode ser resumido
em um detetor de radiaccedilatildeo diametralmente oposto a uma fonte de radiaccedilatildeo onde
bull Estabelece-se um tempo para o intervalo de contagens Figura 21
bull ) do background sem
objeto algum entre fonte e detetor
bull Coloca-se um objeto de comprimento fixo l com distribuiccedilatildeo de atenuaccedilotildees desconhecida
mas com valores fixos ao longo de l
bull Afere-se o nuacutemero de contagens ( com o objeto presente
Figura 1 Atenuaccedilatildeo daRadiaccedilatildeo pela mateacuteria
l
If
para Δt
I0
para Δt
17
A lei de Beer-Lambert mostra que a absorccedilatildeo mais precisamente a atenuaccedilatildeo da
radiaccedilatildeo mede a queda da intensidade quando a radiaccedilatildeo passa pela mateacuteria A transmissatildeo T
Taxa de contagem inicial Taxa de contagem apoacutes o absorvedor
(2)
caracteriza a permeabilidade do material absorvente para a radiaccedilatildeo Quanto maior for a
transmissatildeo menor eacute o efeito atenuante A transmissatildeo depende da espessura l do absorvedor Se a
espessura l eacute reforccedilada pela pequena quantidade dl o T de transmissatildeo eacute diminuiacuteda pela pequena
quantidade dT A diminuiccedilatildeo relativa da transmissatildeo eacute proporcional ao aumento absoluto da
espessura
(3)
O fator de proporcionalidade eacute chamado o coeficiente de atenuaccedilatildeo linear mu A
integraccedilatildeo da equaccedilatildeo 24 conduz agrave lei de Beer-Lambert
(4)
Para facilitar a notaccedilatildeo em desenvolvimentos adiante chamamos de que eacute o
coeficiente de atenuaccedilatildeo linear meacutedio e l a distacircncia percorrida pelo raio no absorvedor Entatildeo eacute
determinado por
18
(5)
independente de l E para um
detalhamento maior das atenuaccedilotildees ao longo do feixe discretiza-se l O somatoacuterio dos produtos das
atenuaccedilotildees com as distacircncias surge da discretizaccedilatildeo de l assumindo que todas as particcedilotildees atenuam
o feixe no Esta condiccedilatildeo implica tambeacutem no particionamento de
Fazendo com que a intensidade final de uma particcedilatildeo i seja a inicial
da subsequente i+1 Ou seja natildeo eacute estabelecida uma discretizaccedilatildeo do tempo
(6)
De maneira geral a soma na Equaccedilatildeo 6 torna-se uma integral e definindo o eixo x ao
longo da trajetoacuteria do feixe l torna-se o elemento de linha onde o coeficiente de atenuaccedilatildeo eacute
funccedilatildeo da trajetoacuteria da linha
(7)
A integral ao longo da linha eacute conhecida como projeccedilatildeo unidimensional da
distribuiccedilatildeo de densidades definida matematicamente por Johann Radon em 1917 e
Figura 2 Discretizaccedilatildeo de l
l1
μ1
l2
μ2
ln
μn
l3
μ3
I 1 pa
ra Δ
t 0f
I 2 pa
ra Δ
t 0f
I f pa
ra Δ
t 0f
I 0 pa
ra Δ
t 0f
19
conhecida como a transformada de Radon da funccedilatildeo
Como as projeccedilotildees satildeo o resultado das transformadas de Radon ao longo dos
caminhos dos feixes pode-se dizer que o objetivo da tomografia eacute obter a sua inversa ou seja a
imagem reconstruiacuteda ou como no caso unidimensional a curva
(8)
Os diversos modelos utilizados para encontrar a inversa satildeo chamados de algoritmos
de reconstruccedilatildeo e como todos operam com as projeccedilotildees como entrada de dados um estudo mais
detalhado da transformada de Radon temporal e como essas projeccedilotildees variam deve ser realizado
para os casos em que a distribuiccedilatildeo de coeficientes de atenuaccedilatildeo varia tambeacutem com o tempo (caso
dinacircmico seccedilatildeo )
eacute a projeccedilatildeo bidimensional
geralmente chamada de perfil ou vista do corte O processo de aquisiccedilatildeo dos perfis eacute
chamado de escaneamento ou varredura e o conjunto de projeccedilotildees adquiridas eacute denominado
sinograma a Erro Origem da referecircncia natildeo encontrada representa o sinograma de uma imagem de
teste com um disco central
O escaneamento pode ser feito atraveacutes de aquisiccedilotildees paralelas de um uacutenico feixe
Figura 3 Sinograma constituiacutedo de 180 vistas (construiacutedo com a funccedilatildeo radon do
matlab)
20
(Parallel Beam) ou com as trajetoacuterias em forma de leque (Fan Beam) Como o sinograma eacute
resultado das transformadas de Radon ao longo dos raios pode-se dizer que o objetivo da
tomografia eacute obter a sua inversa ou seja a imagem reconstruiacuteda
representa todas as projeccedilotildees (9)
Imagem Original
22 Algoriacutetmos de Reconstruccedilatildeo
221 Filtered Back Projection (FBP)
Bracewell e Riddle em 1967 introduziram o meacutetodo chamado retroprojeccedilatildeo filtrada
(FBP) meacutetodo baseado na transformada de Fourier O FBP eacute muito utilizado devido ao baixo tempo
de processamento O teorema das projeccedilotildees tambeacutem chamado de teorema do corte central (Central
Slice Theorem - CST) facilita o processo Esse diz que uma transformada 1D de Fourier da
transformada de Radon da funccedilatildeo corresponde agrave transformada 2D de Fourier da funccedilatildeo Ou seja
realizando a transformada de Fourier das projeccedilotildees chega-se ao espaccedilo de frequecircncias da
distribuiccedilatildeo de densidades que se desejam descobrir No espaccedilo de frequecircncias satildeo realizadas as
operaccedilotildees de filtragem e a transformada 2D inversa retorna a imagem reconstruiacuteda O FBP eacute
resumido nos seguintes passos
1 Calcular a transformada de Fourier unidimensional das projeccedilotildees chegando ao domiacutenio de
frequecircncias
2 Filtrar as projeccedilotildees transformadas com um filtro passa baixa (Shepp-Logan Hann
Hamming etc)
3 Colocar as projeccedilotildees filtradas em um grid polar Cada projeccedilatildeo em seu acircngulo
correspondente
4 Reamostrar estas em um grid cartesiano com interpolaccedilatildeo (linear nearest Splines etc)
5 Calcular a transformada 2D de Fourier inversa chegando-se agrave imagem reconstruiacuteda
21
222 ART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica)
Os primeiros estudos sobre teacutecnicas algeacutebricas em TC foram feitos por Gordon e
Herman (HERMAN G T GORDON R 1971) Apesar de ser mais intuitiva e simples que os
meacutetodos de transformada essa teacutecnica deixa a desejar no que se refere a precisatildeo e tempo de
processamento Fazendo com que os meacutetodos de transformada fossem inicialmente mais utilizados
principalmente na aacuterea meacutedica onde um grande nuacutemero de dados eacute processado No entanto para
experimentos em que o nuacutemero de projeccedilotildees eacute limitado ou tenha uma distribuiccedilatildeo natildeo uniforme o
meacutetodo de transformada torna-se inviaacutevel
Meacutetodos algeacutebricos ou de expansatildeo de seacuteries discretizam a secccedilatildeo irradiada em uma
matriz de incoacutegnitas (pixels) que representam a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de densidades μ (x y) como
ilustra a Figura 4 Apoacutes as varreduras um sistema de equaccedilotildees resultantes da relaccedilatildeo de Beer-
Lambert eacute criado e sua resoluccedilatildeo corresponde agrave inversa de Radon Devido agraves caracteriacutesticas desse
sistema meacutetodos indiretos satildeo aconselhados e dentre os indiretos o meacutetodo das projeccedilotildees de
Kaczmarz tem convergecircncia garantida (KACZMARZ 1937) As teacutecnicas iterativas satildeo resumidas
basicamente em quatro passos criaccedilatildeo da imagem inicial caacutelculo das correccedilotildees aplicaccedilatildeo das
correccedilotildees e o teste de convergecircncia Estes algoritmos diferem na maneira como as correccedilotildees satildeo
calculadas e aplicadas (SUBBARAO 1997) Neste trabalho eacute utilizada a teacutecnica algeacutebrica ART
Nessa representaccedilatildeo um raio corresponde a uma faixa com largura que na maioria das vezes
coincide com a largura de um pixel
22
O processo pode ser resumido em
1) Criar uma matriz imagem inicial com N elementos parametrizados em geralmente aleatoacuterios
ou nulos Esse eacute o iniacutecio da 1ordf iteraccedilatildeo ( =1)
2) Calcular as projeccedilotildees para todos os raios atraveacutes da foacutermula
(10)
3) Para cada raio calcular a diferenccedila entre a projeccedilatildeo original e a reconstruiacuteda 4)
Calcular o somatoacuterio de todos pesos ao longo de cada raio
(11)
5) Obter a correccedilatildeo para cada raio
23
(12)
6) Aplicar a correccedilatildeo a cada ceacutelula
(13)
onde eacute um paracircmetro de relaxaccedilatildeo entre 0 e 2
7) Repetir os passos 2 ao 6 para todos os raios
8) Achar a soma da convergecircncia de todos os pixels da imagem
(14)
9) Finalizar a iteraccedilatildeo
As iteraccedilotildees satildeo finalizadas quando chegar a um valor preacute - estabelecido Muitos autores
estabelecem um criteacuterio de Caso o criteacuterio natildeo tenha sido cumprido uma nova
iteraccedilatildeo eacute iniciada no passo 2
O ART frequentemente sofre de ruiacutedos tipo sal e pimenta (salt and pepper noise)
causados pelas inconsistecircncias introduzidas no conjunto de equaccedilotildees por aproximaccedilotildees nos O
efeito eacute exacerbado porque cada pixel ao longo de um raio eacute alterado assim que a projeccedilatildeo eacute
calculada mudando seus valores antes que outro raio o faccedila Tanto o ruiacutedo quando a taxa de
convergecircncia do meacutetodo dependem do paracircmetro de relaxaccedilatildeo utilizado escolhido empiricamente
(geralmente entre 0 e 2) (KAK 1989)
223 MART (Teacutecnica de Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica com Correccedilatildeo Multiplicativa)
Vaacuterios estudos apontam o meacutetodo como raacutepido mais flexiacutevel e de melhor acuraacutecia
que o ART Sendo indicado principalmente para casos de um nuacutemero limitado de dados
(VERHOEVEN 1993) A teacutecnica eacute semelhante ao ART com mudanccedila apenas no fator de correccedilatildeo
24
expresso pela equaccedilatildeo 15
(15)
23 O Caso Dinacircmico
De um modo geral imagiologia dinacircmica CT tem como objetivo reconstruir sequecircncias de
imagens em que a natureza dinacircmica do objeto tomografado eacute de interesse primaacuterio permitindo o
registro de mudanccedilas temporais na distribuiccedilatildeo do coeficiente de atenuaccedilatildeo linear Entende-se como
caso estaacutetico a situaccedilatildeo em que o objeto tem distribuiccedilatildeo de atenuaccedilotildees fixa na regiatildeo de
estudo ao longo do tempo Algoritmos de reconstruccedilatildeo tomograacutefica utilizam como dados de entrada
as projeccedilotildees unidimensionais tomograacuteficas Cada projeccedilatildeo eacute adquirida atraveacutes das aquisiccedilotildees de
intensidades inicial e final ao longo do raio na direccedilatildeo
O escaneamento pode ser feito atraveacutes de aquisiccedilotildees paralelas de um uacutenico feixe (Parallel
Beam) ou com as trajetoacuterias em forma de leque (Fan Beam) Como o sinograma eacute resultado das
transformadas de Radon ao longo dos raios pode-se dizer que o objetivo da tomografia eacute obter a
sua inversa ou seja a imagem reconstruiacuteda ou como no caso unidimensional a curva
(KAK A C SLANEY M 1999)
(16)
Historicamente a CT dinacircmica no contexto meacutedico refere-se a algoritmos de imagem que
tentam corrigir movimentos formando uma imagem de alta qualidade estaacutetica atraveacutes da remoccedilatildeo
do componente dinacircmico Diferentemente da aacuterea meacutedica as imagens reconstruiacutedas de fluxos
multifaacutesicos oriundas de relativa baixa resoluccedilatildeo temporal trazem informaccedilotildees importantes da
mudanccedila do fluxo ao longo do tempo (MyersG R Kingston A M 2011) O objetivo da
tomografia neste caso eacute determinar a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de atenuaccedilatildeo
No caso CT de 1ordf 3ordf geraccedilotildees aplicados a distribuiccedilotildees dinacircmicas uma uacutenica imagem
representativa de todo o processo (reconstruiacuteda por processos desenvolvidos para distribuiccedilotildees
25
estaacuteticas) eacute o resultado final da tomografia (BARTHOLOMEW CASAGRANDE 1957) (AZZI et
al 1991) (YIN et al 2002)(DAHAN A et al 2007) (DUDUKOVIC 2007) (DANTAS CC et
al 2007) (SALVADOR P A V 2010) (MESQUITA C et al 2011) A funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de
atenuaccedilotildees passa a ser uma aproximaccedilatildeo
Esta aproximaccedilatildeo eacute devido a projeccedilotildees natildeo compatiacuteveis no sinograma (tambeacutem chamado de
) (BONNET S 2003) As projeccedilotildees agora tornam-se incompatiacuteveis
devido as diferentes distribuiccedilotildees que ocorreram durante o intervalo de tempo [0 t]
24 Reconstruccedilatildeo com Correccedilatildeo de Movimento
A reduccedilatildeo de artefatos de movimento em imagens tomograacuteficas eacute um problema
crucial em oacutergatildeos de um forte caraacuteter dinacircmico como por exemplo os pulmotildees ou o coraccedilatildeo Uma
maneira simples de reduzir esses artefatos eacute limitar o tempo de aquisiccedilatildeo usando tomografia ultra ndash
raacutepida (5ordf geraccedilatildeo)
Aqui considera-se uma outra abordagem em que os modelos de movimento satildeo
integrados diretamente ao processo de reconstruccedilatildeo e onde a resoluccedilatildeo temporal pode assim ser
significativamente aumentada Os meacutetodos podem ser algeacutebricos (GILLAND et al 2002 1996 DE
MURCIA BLONDE et al 2003) ou analiacuteticos ( BONNET et al 2003)
A teacutecnica de compensaccedilatildeo de movimento utilizada neste estudo utiliza um modelo
de transformaccedilatildeo da matriz de pesos A dividindo-a em submatrizes tendo suas colunas deslocadas
adequadamente de acordo com o modelo de movimento obtido a cada projeccedilatildeo (PENGPAN et al
2011) Por esse motivo o vetor deslocamento do movimento deve ser calculado a cada projeccedilatildeo
Para uma grande quantidade de dados necessaacuterios em estudos dinacircmicos na aacuterea
meacutedica abordagens analiacuteticas que levam a algoritmos de reconstruccedilatildeo diretos satildeo mais apropriadas
Alguns meacutetodos satildeo aproximaccedilotildees adaptadas para uso geral do tipo de movimento mas amplitude
moderada (RITCHIE et al 1996 GRANGEAT et al 2002)
No trabalho desenvolvido foca-se a situaccedilatildeo em que um pequeno nuacutemero de dados eacute
26
disponibilizado devido a natureza da aplicaccedilatildeo Salienta-se que a compensaccedilatildeo de movimento
ocorre com a aplicaccedilatildeo da mesma quantidade de movimento (obtida previamente ou durante a
reconstruccedilatildeo) agrave matriz A
A funccedilatildeo em um instante de tempo t pode ser encontrada com a aplicaccedilatildeo da
deformaccedilatildeo agrave seu valor inicial
(17)
A deformaccedilatildeo pode apresentar rotaccedilatildeo e translaccedilatildeo
(18)
25 Geraccedilotildees de Tomoacutegrafos
A primeira geraccedilatildeo de tomoacutegrafos foi produzida pela EMI Mark em 1973 tendo
como desenvolvedor o engenheiro Hounsfield O sistema era composto por um uacutenico tubo de raios
X o qual produzia um uacutenico feixe ciliacutendrico que atravessava o objeto em estudo o paciente
atingindo o uacutenico detector que media a intensidade do mesmo O sistema ainda contava com um par
de colimadores (dois pequenos tubos metaacutelicos colocados apoacutes o feixe deixar a fonte e antes do
mesmo atingir o detector) para minimizar o espalhamento do feixe A fonte de raios X e o detector
se movem em sincronia e em lados opostos do paciente executando um escaneamento linear sobre a
seccedilatildeo em estudo seguido de uma rotaccedilatildeo de 1 grau e um novo escaneamento linear eacute efetuado
como ilustra a Figura 3 a)
Os tomoacutegrafos de segunda geraccedilatildeo foram desenvolvidos visando reduzir o tempo de
escaneamento minimizando a exposiccedilatildeo do paciente agrave radiaccedilatildeo e ampliando a gama de oacutergatildeos que
podem ter a seccedilatildeo transversal reconstruiacuteda Os tomoacutegrafos ainda mantiveram o movimento de
varredura linear seguida de uma rotaccedilatildeo Entretanto o feixe de raios X deixou de ser ciliacutendrico e
passou a ter formato de leque Ao inveacutes de um uacutenico detector o sistema passou a contar com vaacuterios
27
detectores alinhados de forma que possam receber todos os raios do feixe Dessa maneira o tempo
de obtenccedilatildeo de dados de uma seccedilatildeo foi reduzido de acordo
com o nuacutemero de detectores e com o acircngulo de abertura empregado como pode ser visto na Figura
3b) A terceira geraccedilatildeo de aparelhos abandonou de vez os movimentos de translaccedilatildeo do tubo de
raios X e dos detectores e passou a contar com um leque com um acircngulo maior e uma base de
detectores mais ampla em formato semi-circular O sistema passou a efetuar um movimento de 360
graus em torno da seccedilatildeo Tambeacutem eram usados colimadores antes do feixe atingir os detectores a
fim de minimizar o espalhamento dos raios X e garantir a qualidade das imagens O tempo de cada
varredura em alguns modelos comerciais passou a ser de apenas meio segundo ilustrado pela
Figura 3 c)
A quarta geraccedilatildeo de aparelhos passou a contar com um anel de detectores que
circundam toda a seccedilatildeo que possibilitou aumentar mais ainda o acircngulo do feixe de radiaccedilatildeo Os
detectores satildeo fixos e a fonte de radiaccedilatildeo rotaciona dentro do anel de detectores e ao redor do corpo
irradiado Um problema desta geraccedilatildeo diz respeito agrave recepccedilatildeo dos feixes que natildeo satildeo fixos e
dependendo do acircngulo um feixe pode atingir dois detectores ou acertar um detector apenas em uma
fraccedilatildeo ilustrado pela Figura 6d)
Como o tempo despendido para realizaccedilatildeo de movimentos mecacircnicos eacute a principal
28
limitaccedilatildeo para reduzir ainda mais os tempos de escaneamento a quinta geraccedilatildeo de aparelhos acabou
com os movimentos de translaccedilatildeo e rotaccedilatildeo da fonte e dos detectores Rachid Maad em MAAD R
2009 evita utilizar essa classificaccedilatildeo para tomoacutegrafos sem rotaccedilatildeo e translaccedilatildeo utilizados
industrialmente ficando essa classificaccedilatildeo mais utilizada em aplicaccedilotildees meacutedicas Esse utiliza o
termo geraccedilatildeo de tomografia instantacircnea para tais aparelhos representados na Figura 6e)
Na configuraccedilatildeo instantacircnea um anel de detectores estacionaacuterios e as fontes de
radiaccedilatildeo rodeiam o objeto fornecendo um arranjo fixo (sem varreduras) e mediccedilotildees instantacircneas1
Esta teacutecnica eacute muito raacutepida e pode ser usada na geraccedilatildeo de imagens em tempo real A desvantagem
eacute o custo e o problema da radiaccedilatildeo dispersa causada pela presenccedila de muacuteltiplas fontes
26 Simulaccedilatildeo de Sinogramas
Phantoms matemaacuteticos ou imagens de teste satildeo frequentemente utilizados para
avaliar a precisatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo Satildeo descritos precisamente por funccedilotildees
matemaacuteticas e suas transformadas de Radon simulam as projeccedilotildees tomograacuteficas Seus pixels satildeo as
regiotildees discretizadas e seus valores ou cores representam as densidades ou coeficientes de
atenuaccedilatildeo linear A imagem de teste (phantom) mais conhecida em reconstruccedilatildeo tomograacutefica eacute o
1 O termo instantacircneo aqui utilizado negligencia o tempo de aquisiccedilatildeo para as contagens de intensidade de radiaccedilatildeo devido ao seu baixo valor deacutecimos de segundo
29
phantom de Sheep ndash Logan Figura 7
Para calcular a projeccedilatildeo simulada somam-se os produtos das distacircncias percorridas
pelo raio em cada pixel pelo seu valor Paracircmetros do experimento tomograacutefico que se deseja
simular como a aacuterea a ser varrida densidades reais adiccedilatildeo de ruiacutedo e fotos da secccedilatildeo do objeto
podem ser incorporadas para dar mais realidade ao modelo (SUBBARAO PMV et al 1997) O
ruiacutedo obedece ao desvio padratildeo de Poisson (IAEA-TECDOC-1589 2008)
A secccedilatildeo irradiada eacute representada por uma matriz de incoacutegnitas que representam a
distribuiccedilatildeo de densidades que se deseja descobrir As incoacutegnitas satildeo os pixels da imagem
reconstruiacuteda como ilustrado na Figura 8
Nessa representaccedilatildeo um raio corresponde a uma faixa com largura que na maioria
das vezes coincide com a largura de um pixel
Figura 7 Phantom de Sheep-Logan
50 100 150 200 250
50
100
150
200
2500
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
30
Parametrizando os pixels com j variando de 1 a N e os raios com i de 1 a M podemos
escrever a transformada de Radon ao longo do raio i como
(19)
onde eacute o peso que diz o percentual de contribuiccedilatildeo de um pixel j para o raio i definido como
(20)
Uma boa aproximaccedilatildeo eacute o modelo em que a largura do feixe eacute reduzida a uma linha
reta fazendo a distacircncia percorrida por este feixe dentro do pixel
Para calcular a intensidade final para uma projeccedilatildeo i faz-se
31
(21)
Com calculado da figura e de meacutedia fixa variando a cada projeccedilatildeo
com o desvio padratildeo de Poisson para todas as projeccedilotildees
O sinograma simulado eacute construiacutedo fazendo cada elemento de sua matriz igual a
27 Fluidodinacircmica Computacional - CFD
Fluidodinacircmica computacional (Computational Fluid Dynamics - CFD) eacute o termo
dado ao grupo de teacutecnicas matemaacuteticas numeacutericas e computacionais usadas para obter visualizar e
interpretar soluccedilotildees para as equaccedilotildees de conservaccedilatildeo de grandezas fiacutesicas de interesse em um dado
escoamento A origem destas equaccedilotildees de conservaccedilatildeo eacute a teoria de Fenocircmenos de Transporte
Assim pode-se resumir CFD como o conjunto das teacutecnicas de simulaccedilatildeo computacional usadas
para predizer os fenocircmenos fiacutesicos ou fiacutesico-quiacutemicos que ocorrem em escoamentos
A Fluidodinacircmica computacional eacute uma aacuterea de grande interesse para a soluccedilatildeo de
muitos problemas praacuteticos Como exemplo podem ser citados problemas de aerodinacircmica
termodinacircmica hidraacuteulica dentre outros As anaacutelises nesta aacuterea de pesquisa podem ser
desenvolvidas com base em experimentos bem como em meacutetodos teoacutericos Dentro dos meacutetodos
teoacutericos destacam-se os meacutetodos computacionais utilizados para simulaccedilatildeo numeacuterica aplicada agrave
Dinacircmica dos Fluidos (HERCKERT M G R)
Para os escoamentos de fluidos o modelo matemaacutetico eacute estabelecido com base nas
equaccedilotildees de conservaccedilatildeo da quantidade de movimento da massa e da energia Estas equaccedilotildees
quando submetidas a condiccedilotildees de contorno e iniciais apropriadas representam matematicamente
um problema particular (SHAMES I H 1973) A soluccedilatildeo analiacutetica destas equaccedilotildees somente eacute
possiacutevel para escoamentos muito simples Para se analisar problemas reais lanccedila-se matildeo do uso dos
chamados meacutetodos numeacutericos
Nos casos de escoamentos laminares os modelos satildeo relativamente simples pois as
32
equaccedilotildees de Navier-Stokes2 conservaccedilatildeo da massa e conservaccedilatildeo de energia satildeo resolvidas
Contudo como a maioria dos escoamentos que acontecem na natureza e no meio industrial satildeo
turbulentos estes tem um alto grau de complexidade e portanto deve-se lanccedilar matildeo de modelos
matemaacuteticos de turbulecircncia acrescentando termos as equaccedilotildees anteriormente citadas Os modelos
de turbulecircncia levam em conta variaacuteveis estatiacutesticas pois escoamentos turbulentos satildeo altamente
caoacuteticos e com isto haacute a necessidade de ferramentas estatiacutesticas para representar os escoamentos
turbulentos
A Figura 9 mostra campos de velocidade e distribuiccedilatildeo de soacutelido dentro do riser com
o regime de fluxo feito por CFD (ARMSTRONG L M 2010) Uma uacutenica velocidade de injeccedilatildeo e
diferentes alturas ao longo do riser Outros exemplos satildeo ilustrados nas Figuras 10 e 11
2 satildeo equaccedilotildees diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos Permitem determinar os
campos de velocidade e de pressatildeo num escoamento
Figura 9 Distribuiccedilatildeo de velocidades e defraccedilatildeo de soacutelido para diferentes alturas
33
28 Tempo de Aquisiccedilatildeo ou Integraccedilatildeo
Detectores de radiaccedilatildeo precisam sempre de um certo tempo (tempo de integraccedilatildeo)
para obter sinal razoaacutevel dos foacutetons incidentes Isto eacute devido agrave estatiacutestica de Poisson que regula o
processo de contagem de foacutetons e pode aumentar consideravelmente a incerteza do sinal detectado
no caso de um tempo de integraccedilatildeo baixo No domiacutenio da frequecircncia a mediccedilatildeo de sinal com um
tempo de integraccedilatildeo eacute aproximadamente equivalente a multiplicar o sinal original por um filtro
passa - baixa Quando uma amostra estaacute em repouso no interior do tomoacutegrafo eacute vantajosa a
utilizaccedilatildeo de um tempo de integraccedilatildeo alto para rejeitar ruiacutedo de alta frequecircncia Para a escolha do
tempo de integraccedilatildeo ideal deve-se estabelecer um equiliacutebrio entre a velocidade da amostra e o ruiacutedo
Poisson (MAAD 2009)
29 Sistema de cores RGB
RGB eacute a abreviatura do sistema de cores aditivas formado por Vermelho (Red)
Verde (Green) e Azul (Blue) O propoacutesito principal do sistema RGB eacute a reproduccedilatildeo de cores em
dispositivos eletrocircnicos como monitores de TV e computador datashows scanners e cacircmeras
digitais assim como na fotografia tradicional Em contraposiccedilatildeo impressoras utilizam o modelo
Figura 11 Visatildeo 3D de uma distribuiccedilatildeo de fraccedilatildeode soacutelido feito por CFD
Figura 10 Secccedilatildeo comdistribuiccedilatildeo de soacutelido que
seraacute utilizada como PhantomMatemaacutetico
34
CMYK de cores subtrativas Modelos aditivos de luzes satildeo combinados de vaacuterias maneiras para
reproduzir outras cores
O modelo de cores RGB eacute baseado na teoria de visatildeo colorida tricromaacutetica de
Young-Helmholtz e no triacircngulo de cores de Maxwell O uso do modelo RGB como padratildeo para
apresentaccedilatildeo de cores na Internet tem suas raiacutezes nos padrotildees de cores de televisotildees RCA de 1953 e
no uso do padratildeo RGB nas cacircmeras LandPolaroid poacutes Edwin Land
Estas trecircs cores natildeo devem ser confundidas com os pigmentos primaacuterios Ciano
Magenta e Amarelo conhecidos no mundo das artes como ldquocores primaacuteriasrdquo jaacute que se combinam
baseadas na reflexatildeo e absorccedilatildeo de foacutetons visto que o RGB depende da emissatildeo de foacutetons de um
componente excitado a um estado de energia mais elevado (fonte emissora por exemplo o tubo de
raios catoacutedicos)
O modelo de cores RGB por si soacute natildeo define o que significa ldquovermelhordquo ldquoverderdquo ou ldquoazulrdquo
(espectroscopicamente) e entatildeo os resultados de misturaacute-los natildeo satildeo tatildeo exatos (e sim relativos na
meacutedia da percepccedilatildeo do olho humano)
Uma cor no modelo de cores RGB pode ser descrita pela indicaccedilatildeo da quantidade de
vermelho verde e azul que conteacutem Cada uma pode variar entre o miacutenimo (completamente escuro)
e maacuteximo (completamente intenso) Quando todas as cores estatildeo no miacutenimo o resultado eacute preto Se
todas estatildeo no maacuteximo o resultado eacute branco (GONZALES 2014)
Uma das representaccedilotildees mais usuais para as cores eacute a utilizaccedilatildeo da escala de 0 agrave 255
bastante encontrada na computaccedilatildeo pela conveniecircncia de se guardar cada valor de cor em 1 byte (8
bits) Assim o vermelho completamente intenso eacute representado por 255 0 0
Branco - RGB (255 255 255) Azul - RGB (0 0 255) Vermelho - RGB (255 0 0)
Verde - RGB (0 255 0)Amarelo - RGB (2552550)Magenta - RGB (2550255)
Ciano - RGB (0 255 255) Preto - RGB (0 0 0)
35
As cores satildeo complementares agraves do sistema CMYK - Ciano (Cyan) Magenta
(Magenta) Amarelo (Yellow) e Preto (blacKKey) - e a sua mistura forma a cor branca
210 MCNP
O meacutetodo Monte Carlo eacute um algoritmo numeacuterico capaz de resolver problemas fiacutesicos e
matemaacuteticos por meio de simulaccedilatildeo de variaacuteveis aleatoacuterias (SOBOL 1994 BIELAJEW 1998)
Hoje em dia o MCNP eacute uma ferramenta matemaacutetica comumente utilizada em diversos segmentos
da ciecircncia e da engenharia para simular problemas que podem ser representados por processos
estocaacutesticos Simulaccedilotildees do transporte de radiaccedilatildeo por meio deste meacutetodo e em particular na Fiacutesica
Meacutedica tecircm passado por um raacutepido crescimento nas uacuteltimas deacutecadas (YORIYAZ 2009)
O processo Monte Carlo pode ser compreendido como um meacutetodo de geraccedilatildeo de nuacutemeros
aleatoacuterios (ROBERT amp CASELLA 2004) Um gerador uniforme de nuacutemeros pseudoaleatoacuterios eacute
um algoritmo que comeccedilando com um valor inicial e uma transformaccedilatildeo produz uma sequecircncia de
valores no intervalo [0 1] tendo esta sequecircncia um comportamento de uma variaacutevel aleatoacuteria
uniforme quando comparada com um conjunto de testes aleacutem de ser independente e identicamente
distribuiacuteda (ROBERT amp CASELLA 2004) Em termos de transporte de radiaccedilatildeo o processo
estocaacutestico pode ser visto como uma famiacutelia de partiacuteculas cujas coordenadas individuais soacute mudam
aleatoriamente em cada colisatildeo O comportamento meacutedio dessas partiacuteculas eacute descrito em termos de
Figura 12Sistema RGB
36
grandezas macroscoacutepicas como fluxo ou densidade de partiacuteculas (YORIYAZ 2009)
O Monte Carlo N Particle ndash MCNP - foi criado desde a deacutecada de 50 nos Estados
Unidos sendo desenvolvido por meio do laboratoacuterio Los Alamos National Laboratory O MCNP
continua ateacute hoje sendo aperfeiccediloado tornando-se assim mais confiaacutevel e usado por muitos
pesquisadores no mundo inteiro Eacute um coacutedigo que realiza o transporte de partiacuteculas utilizando o
meacutetodo Monte Carlo com capacidade para simular necircutrons com energias entre 10-11 MeV a 20
MeV enquanto que a faixa de energia para os foacutetons e eleacutetrons vai de 1 keV a 1000 MeV
(BRIESMEISTER 2000) O coacutedigo MCNP tem a capacidade de simular sistemas com geometrias
que vatildeo de superfiacutecies preacute-determinadas como esferas planos paraboloacuteides de revoluccedilatildeo cilindros
elipsoacuteides ateacute superfiacutecies bem elaboradas utilizando conjunto de pontos no espaccedilo
O pesquisador ao utilizar o MCNP constroacutei um arquivo de entrada no coacutedigo que
pode ser organizado em blocos descrevendo regiotildees envolvidas no modelo especificaccedilatildeo da
geometria por meio de superfiacutecies geomeacutetricas e suas intersecccedilotildees posiccedilatildeo e distribuiccedilatildeo energeacutetica
da fonte descriccedilatildeo dos materiais e todos os paracircmetros fiacutesicos agregados com algumas teacutecnicas de
reduccedilatildeo de variacircncia para melhorar a eficiecircncia e obter melhores resultados (BRIESMEISTER
2000) A versatilidade somado ao aspecto funcional do coacutedigo MCNP para diferentes tipos de
problemas faz com que este seja bem aceito na comunidade cientiacutefica que trabalham com transporte
de radiaccedilotildees e caacutelculos de dose
37
3 METODOLOGIA
Para descobrir ateacute onde processos tomograacuteficos de baixa resoluccedilatildeo temporal aliados
a algoritmos de reconstruccedilatildeo estaacutetica satildeo compatiacuteveis com o regime em estudo foram avaliadas
aquisiccedilotildees simuladas de 1ordf 3ordf e 5ordf geraccedilotildees tomograacuteficas A variaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo de densidades
durante a aquisiccedilatildeo faz necessaacuterio o desenvolvimento de uma versatildeo da lei de Beer-Lambert para
casos dinacircmicos seguida de sua aplicaccedilatildeo para realizar as simulaccedilotildees O meacutetodo eacute separado em duas
fases
1ordf Fase
A metodologia desenvolvida aplica primeiro o modelo de simulaccedilatildeo de sinogramas
desenvolvida analiticamente agrave primitivas matemaacuteticas e posteriormente a dados do MCNPX e CFD
1) Eacute criado um modelo de simulaccedilatildeo de sinogramas para distribuiccedilotildees
dinacircmicas utilizando a versatildeo temporal desenvolvida da lei de Beer-Lambert e da transformada de
Radon tambeacutem temporal
2) A simulaccedilatildeo eacute testada com primitivas matemaacuteticas dinacircmicas como um
ciacuterculo crescente ou transladando ou ambos A escolha eacute pautada em sua representaccedilatildeo precisa por
funccedilotildees matemaacuteticas e por representar diversos processos industriais(A simulaccedilatildeo com o disco
representa a secccedilatildeo de um cilindro ou bolha)
3) Os resultados satildeo apresentados em forma de imagens e graacuteficos A
visualizaccedilatildeo do sinograma eacute bastante utilizada para determinaccedilatildeo de caracteriacutesticas do objeto
4) O modelo de simulaccedilatildeo eacute ao aplicado a dados do CFD
2ordf Fase
O meacutetodo desenvolvido propotildee uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens
tomograacuteficas de processos dinacircmicos pois utiliza canais de cores para mostrar a evoluccedilatildeo temporal
do processo O algoriacutetmo de reconstruccedilatildeo utilizado eacute o MART devido a sua boa performance com
nuacutemero limitado de dados
Nesta fase eacute realizada a reconstruccedilatildeo tradicional que eacute associada aos canais verde (G)
e azul (B) enquanto que o canal vermelho (R) fica responsaacutevel pela evoluccedilatildeo temporal do processo
O meacutetodo eacute descrito na seccedilatildeo 33
38
A reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento eacute utilizada com conhecimento do vetor
deslocamento meacutedio ou sua estimativa O meacutetodo escolhido modifica a matriz de pesos do
algoritmo algeacutebrico deslocando suas colunas de acordo com o modelo de movimento estimado
(ARTEMIEV V M NAUMOV A O 2006) (BUTALA 2009) (DESBAT L et al 2006)
Com o resultado das simulaccedilotildees o sistema tomograacutefico pode ser otimizado
(diminuiccedilatildeo do nuacutemero de projeccedilotildees e vistas)
31 A Transformada de Radon Temporal
regiatildeo (espaccedilo de medida) na qual seraacute feita a aquisiccedilatildeo de dados
considere a funccedilatildeo densidade onde
Neste sistema um ponto pode ser
mapeado por como
complemento unitaacuterio perpendicular a
ao longo da reta eacute dada por
(22)
39
depende natildeo apenas de x e y mas de com sendo a
variaacutevel tempo Definimos entatildeo
(23)
onde e o tempo final da mesma medida
Lema 1 ou seja se eacute
estaacutetico ao longo do tempo a transformada dinacircmica reduz-se a convencional
Demostraccedilatildeo
Figura 13 Sistema de Coordenadas
θ
x
y
ξξ
s
x (xy
)
40
Lema 2 e portanto se a
leitura for ldquoraacutepidardquo o caso dinacircmico mais uma vez reduz-se ao caso estaacutetico
Demostraccedilatildeo
Pelo teorema do valor meacutedio integral (TVMI) temos que se f eacute contiacutenua entatildeo
para algum tal que
usando o TVMI
K(γ)
41
32 Lei de Beer-Lambert temporal
Como a natureza da lei exige que os tempos de contagens sejam iguais para que estas
sejam comparadas apenas a variaccedilatildeo da intensidade da radiaccedilatildeo com a distacircncia eacute geralmente
explorada Sabendo que esses intervalos de tempo de contagem satildeo despreziacuteveis em relaccedilatildeo ao
tempo de meia vida da fonte e que a probabilidade de emissatildeo se manteacutem constante ao longo do
mesmo tempo pode-se supor que a intensidade seja diretamente proporcional ao tempo Ou seja
(24)
Neste caso a distribuiccedilatildeo de coeficientes de atenuaccedilotildees varia tambeacutem com o tempo
ou seja torna-se
(25)
ou
(26)
O modelo discreto aplica a lei de Beer-Lambert em sua forma estaacutetica para cada
particcedilatildeo de tempo assumindo que durante o infinitesimal de tempo o coeficiente e a distacircncia
percorrida permanecem constantes
(27)
42
(28)
33 Simulaccedilatildeo de aquisiccedilotildees Tomograacuteficas
O processo de aquisiccedilatildeo tomograacutefica consiste em coletar intensidades iniciais e finais
em determinados caminhos percorridos pelos feixes de radiaccedilatildeo Os dados podem ser tratados com
filtros etc Optou-se em natildeo realizar tratamento para natildeo inserir mais variaacuteveis ao processo
garantindo que os resultados sejam alcanccedilados soacute pelo meacutetodo proposto
Como jaacute foi dito na seccedilatildeo 26 para calcular a intensidade final para um caminho i
faz-se
(29)
A funccedilatildeo eacute representada pelas imagens de testes chamadas neste trabalho de
quadros ou frames configurados pela distribuiccedilatildeo de densidades escolhida Em todos os casos
optou-se por densidades unitaacuterias para qualquer distribuiccedilatildeo ou seja dois valores satildeo possiacuteveis em
uma imagem de teste 0 ou 1 Um pixel com valor 0 corresponde a uma regiatildeo sem atenuaccedilatildeo e os
pixels que compotildeem o objeto simulado tem valor 1
Com calculado da figura e de meacutedia fixa variando a cada projeccedilatildeo
com o desvio padratildeo de Poisson para todas as projeccedilotildees as projeccedilotildees satildeo calculadas com
O conjunto de todas as projeccedilotildees eacute ordenado em uma matriz chamada de sinograma
331 Aquisiccedilatildeo por Tomografia de 1ordf Geraccedilatildeo
Dois tipos de situaccedilotildees podem ocorrer
1) Uma uacutenica projeccedilatildeo 1D eacute realizada e durante todo o tempo de integraccedilatildeo nenhuma
mudanccedila ocorre na distribuiccedilatildeo ao longo do raio podendo mais de uma aquisiccedilatildeo 1D ser aferida
para mesma distribuiccedilatildeo ou frame Neste caso a intensidade final eacute calculada utilizando a lei de
43
Beer-Lambert durante todo o tempo de integraccedilatildeo para cada raio como ilustrado na Figura 15
Para calcular a intensidade final para uma projeccedilatildeo i faz-se
(30)
2) Durante a aquisiccedilatildeo ocorre mudanccedila na distribuiccedilatildeo de densidades ao longo do
feixe Como foi exposto na seccedilatildeo 31 o somatoacuterio de intensidades finais do raio em cada quadro
(frame) retorna a intensidade final total para um certo tempo de aquisiccedilatildeo Figura 16
Figura 15 Projeccedilotildees 1D sem mudanccedila de frame
44
Entatildeo para cada frame eacute feita
e para a discretizaccedilatildeo de um intervalo de tempo
No exemplo ilustrado na Figura 16 a intensidade final depois do tempo de integraccedilatildeo
correspondente ao frame b fica
3) Natildeo ocorre mudanccedila na distribuiccedilatildeo durante toda a coleta de aquisiccedilotildees 1D em uma vista
4) Natildeo ocorre mudanccedila durante a aquisiccedilatildeo de todas as vistas Neste caso a distribuiccedilatildeo pode
ser tratada como estaacutetica
Figura 16 Projeccedilotildees 1D com mudanccedila de frame
1ordf aquisiccedilatildeo - Quadro a 1ordf aquisiccedilatildeo - Quadro b
45
332 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 3ordf geraccedilatildeo
A vantagem do meacutetodo eacute adquirir vaacuterias projeccedilotildees 1D ao mesmo tempo
Possibilitando um maior volume de dados em um tempo menor quando comparado ao de 1ordf
geraccedilatildeo Dois casos satildeo possiacuteveis
1) O tempo de integraccedilatildeo eacute suficiente para realizar uma vista completa ou mais por
quadro ou frame Figura 17
Figura 17 Mais de uma vista por frame
46
2) Mais de um quadro por vista Figura 18
333 Aquisiccedilatildeo por tomografia de 5ordf geraccedilatildeo
Nesta situaccedilatildeo vaacuterias vistas satildeo adquiridas durante a mudanccedila da distribuiccedilatildeo Figura 19
Figura 19 Mais de um frame durante a aquisiccedilatildeo
Figura 18 Mais de um frame por vista
47
34 Posicionamento angular
O posicionamento angular tradicionalmente eacute feito com um conjunto de acircngulos
igualmente espaccedilados ordenados de forma crescente cobrindo o intervalo de 0ordm a 180ordm ou 360ordm A
ordem em que as projeccedilotildees ou vistas satildeo adquiridas natildeo importa porque o objeto em estudo eacute
estaacutetico
A proposta para tomografia dinacircmica de 1ordf e 3ordf geraccedilotildees eacute que o posicionamento seja
feito em subconjuntos que completem um ciclo Por exemplo o conjunto de vistas posicionadas
consecutivamente em 0ordm 45ordm 90ordm 135ordm 180ordm 225ordm 270ordm 315ordm pode ser reordenada em ciclos como
0ordm 90ordm 180ordm 270ordm Primeiro ciclo
45ordm 135ordm 225ordm 315ordm Segundo ciclo
A vantagem desse arranjo eacute que num determinado momento ao se preferir um
sinograma completo mas esparso em contraposiccedilatildeo a um sinograma incompleto mas denso eacute que as
informaccedilotildees vatildeo ser disponibilizadas na forma de imagem reconstruiacuteda mais cedo durante o
processo facilitando a interpretaccedilatildeo das informaccedilotildees Eacute uma escolha entre anaacutelise global esparsa
versus anaacutelise local densa
A nova ordenaccedilatildeo gera uma imagem reconstruiacuteda mais proacutexima do objeto dinacircmico e
abre a possibilidade de reconstruccedilotildees parciais com os subconjuntos de dados mais consistentes com
a dinacircmica do processo
35 Utilizaccedilatildeo de um canal de cores para visualizar a dinacircmica do processo Reconstruccedilatildeo RGB
Uma caracteriacutestica da imagem reconstruiacuteda tradicionalmente em processos
industriais dinacircmicos eacute a falta de informaccedilatildeo temporal ou seja obtecircm-se informaccedilotildees da meacutedia da
distribuiccedilatildeo mas natildeo se sabe em que tempo ocorreram as mudanccedilas de padratildeo de fluxo A proposta
desenvolvida neste trabalho pondera cada perfil adquirido com um fator dependente do tempo
criando esta distinccedilatildeo
O meacutetodo desenvolvido propotildee uma inovaccedilatildeo na visualizaccedilatildeo de imagens
tomograacuteficas de processos dinacircmicos pois utiliza canais de cores para mostrar a evoluccedilatildeo temporal
do processo Nesta fase eacute realizada a reconstruccedilatildeo tradicional e a mesma eacute associada aos canais
verde (G) e azul (B) enquanto que ao canal vermelho (R) eacute associada a evoluccedilatildeo temporal do
processo Uma cor no modelo de cores RGB pode ser descrita pela indicaccedilatildeo da quantidade de
48
vermelho verde e azul que conteacutem Cada uma pode variar entre o miacutenimo (completamente escuro)
e maacuteximo (completamente intenso) Quando todas as cores estatildeo no miacutenimo o resultado eacute preto Se
todas estatildeo no maacuteximo o resultado eacute branco Uma das representaccedilotildees mais usuais para os canais eacute a
utilizaccedilatildeo da escala de 0 agrave 255 (GONZALES 2014)
O meacutetodo consiste em
1) Simular as projeccedilotildees que equivalem na utilizaccedilatildeo real de um experimento agrave
coleta de dados de intensidades finais e iniciais pelo detetor
2) Reconstruir com esses dados a distribuiccedilatildeo de densidades Foi utilizado o MART
com relaxaccedilatildeo 02 e criteacuterio de parada 1
3) Associar esta reconstruccedilatildeo aos canais G e B
4) Binarizar a imagem reconstruiacuteda entre 0 e 150 O limiar (threshold) utilizado foi
empiacuterico e de 50 do maior valor da imagem
5) Penalizar as projeccedilotildees da primeira agrave uacuteltima com um fator empiacuterico crescente com
o tempo Normalizar as projeccedilotildees de cada vista por 105
6) Realizar a retroprojeccedilatildeo nos pixels com suas respectivas projeccedilotildees
7) Associar ao canal R
8) Juntar todos os canais em uma uacutenica imagem A reconstruccedilatildeo tradicional e a
reconstruccedilatildeo RGB satildeo visualizadas em uma uacutenica imagem onde os tons de vermelho correspondem
agrave evoluccedilatildeo temporal da dinacircmica do processo
36 Reconstruccedilatildeo utilizando dados do CFD
Dados da simulaccedilatildeo de fluxo bifaacutesico satildeo gerados em forma de imagens 2D da distribuiccedilatildeo
em secccedilotildees transversais ao longo do tubo Os dados satildeo coletados para uma uacutenica altura ou seja
secccedilatildeo As diversas imagens de uma uacutenica secccedilatildeo representam a evoluccedilatildeo temporal do fluxo
naquela regiatildeo O conjunto de 8 imagens exemplificam o comportamento do fluxo em intervalos
de tempo de 00025s
A altura da secccedilatildeo em m o tipo de injetor a vazatildeo volumeacutetrica em Lmim e o fluxo de
catalisador satildeo dados de entrada na simulaccedilatildeo do CFD mas natildeo fazem parte das simulaccedilotildees de
aquisiccedilotildees tomograacuteficas utilizadas nesse estudo As imagens portam as informaccedilotildees que seratildeo
utilizadas nas simulaccedilotildees de aquisiccedilatildeo das projeccedilotildees
49
37 Avaliaccedilatildeo dos algoritmos de reconstruccedilatildeo com RMSE
As teacutecnicas de avaliaccedilatildeo de algoritmos de reconstruccedilatildeo mais utilizadas na literatura
satildeo raiz do erro quadraacutetico meacutedio erro meacutedio relativo absoluto e erros baseados em entropia Para
o caso de simulaccedilotildees com figuras de testes bem definidas (phantoms matemaacuteticos) as teacutecnicas
podem ser aplicadas comparando a imagem reconstruiacuteda com a imagem original O mesmo
procedimento repete-se para phantoms reais onde a distribuiccedilatildeo de densidades eacute bem conhecida Os
sinogramas tambeacutem podem ser avaliados
Gordon e Herman (GORDON 1974 HERMAN 1973 HERMAN 1976) usaram a
raiz do erro quadraacutetico meacutedio para avaliar o quanto a figura reconstruiacuteda aproxima-se da original A
definiccedilatildeo do erro eacute
(31)
Onde
eacute o valor original do pixel
o pixel reconstruiacutedo
o nuacutemero total de pixels da imagem ou sinograma
50
38 Algoritmos e Software Desenvolvidos
Diversas rotinas foram implementadas no Matlab Suas funccedilotildees satildeo para calculo de
projeccedilotildees sinogramas resoluccedilatildeo por ART MART calculo da Matriz de pesos resoluccedilatildeo de
sistemas Aleacutem das jaacute disponiacuteveis no programa como Resoluccedilatildeo por FBP filtros de imagem
operaccedilatildeo com matrizes visualizaccedilatildeo de graacuteficos etc As rotinas estatildeo disponiacuteveis no Anexo-I
Devido agrave grande dimensatildeo da matriz de pesos nos algoritmos algeacutebricos ficou
inviaacutevel sua operaccedilatildeo em alguns casos no Matlab O software Tomography Workstation-TW foi
desenvolvido em C com este propoacutesito Apresenta opccedilotildees de reconstruccedilatildeo ART MART SIRT e
SART Figura 39 Tambeacutem tem as funccedilotildees para carregar tomogramas e sinogramas
Figura 20 Software Desenvolvido
51
4 RESULTADOS E DISCUSSAtildeO
Os resultados foram divididos nas seguintes seccedilotildees
bull Aumento do nuacutemero de iteraccedilotildees na Reconstruccedilatildeo Algeacutebrica Dinacircmica
bull Resultados das reconstruccedilotildees MART e FBP
bull Escolha do posicionamento angular (vistas alternadas)
bull Resultados com reconstruccedilatildeo RGB
bull Simulaccedilotildees com MCNP
bull Reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento
bull Simulaccedilotildees tomograacuteficas a partir do CFD
41 Resultados das Reconstruccedilotildees MART e FBP
As imagens de teste (phantoms) foram utilizadas para avaliar os resultados das
reconstruccedilotildees MART e FBP
411 Primitiva Ciacuterculo Transladando 1 vista por frame
A simulaccedilatildeo consiste em oito distribuiccedilotildees representadas por imagens (quadros ou
frames) de 64x64 pixels com um disco de densidade unitaacuteria e raio fixo Natildeo ocorre mudanccedila
durante a simulaccedilatildeo de uma aquisiccedilatildeo ou varredura Esta aplicaccedilatildeo simula as tomografias de 1ordf e 3ordf
geraccedilatildeo
O disco Raio = 2 pixels deslocamento de 7 pixels entre os centros dos discos de
quadros consecutivos A imagem eacute reconstruiacuteda por FBP e MART
Os frames satildeo ilustrados na Figura 21 e a meacutedia dos oito na Figura 22 Cada imagem
eacute ilustrada na escala de 64 x 64 pixels
52
Figura 21 8 frames - ciacuterculo transladando - 1 vista por frame
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 22 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
53
Os oito picos do sinograma Figura 23 ilustram a captura do disco em diferentes
posiccedilotildees
A Figura 24 ilustra o sinograma em forma de imagem onde cada valor de pixel eacute
convertido para uma escala de cor O eixo vertical (linhas do sinograma) representa a passo linear
(posiccedilatildeo das trajetoacuterias dos feixes) e o horizontal o passo angular (Nuacutemero de vistas)
Figura 23 Tomograma e sinograma ndash circulo transladando ndash 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
05
1
15
2
25
3
35
4
45
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 700
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
54
Os resultados das reconstruccedilotildees FBP e MART satildeo ilustrados na Figura 25
A reconstruccedilatildeo por FBP mostra diversos artefatos natildeo dando para identificar o
nuacutecleo nem a tendecircncia de movimento Os artefatos formam oito faixas um para cada vista ou
projeccedilatildeo Estes artefatos em faixa satildeo comuns no FBP para um baixo nuacutemero de vistas
O MART difere da imagem meacutedia mostrando um arqueamento para direita devido ao
movimento simulado e o sentido anti-horaacuterio das aquisiccedilotildees Eacute um artefato de movimento
Figura 25 Reconstruccedilotildees circulo transladando ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Figura 24 Sinogramascirculo transladando ndash 1 vista por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
55
412 Primitiva Ciacuterculo Transladando Oito vistas por frame
O objetivo desta simulaccedilatildeo eacute descobrir como se comportam os algoritmos em uma
tomografia de 5ordf geraccedilatildeo onde todas as aquisiccedilotildees satildeo realizadas ao mesmo tempo Nesta situaccedilatildeo
as oito vistas satildeo realizadas simultaneamente enquanto ocorre a mudanccedila das distribuiccedilotildees (Figura
19) Figuras com 64x64 pixels raio fixo de 2 pixels deslocamento de 5 pixels
Figura 26 Tomograma e Sinograma - disco transladando - 8 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
05
1
15
2
25
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 7001
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
56
Os resultados das reconstruccedilotildees satildeo ilustrados na Figura 28
As reconstruccedilotildees ficam mais proacuteximas da imagem meacutedia porque todas as vistas satildeo
adquiridas ao mesmo tempo durante todo o processo O FBP perde a definiccedilatildeo dos discos e forma
um artefato central vertical O MART reconstroacutei o disco nas oito posiccedilotildees Cada disco eacute
reconstruiacutedo ilustrando os oito instantes de tempo que foram simulados
Figura 27 Sinogramas CiacuterculoTransladando -Oito vistas por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Figura 28 Reconstruccedilotildees Ciacuterculo Transladando -Oito vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
57
413 Primitiva Circulo Crescente Uma vista por frame
A simulaccedilatildeo consiste em oito distribuiccedilotildees em forma de ciacuterculo concecircntricas com um
aumento 2 pixels entre distribuiccedilotildees consecutivas (Figura 29) Oito vistas satildeo adquiridas
simultaneamente para simular a tomografia de 5ordf geraccedilatildeo
Abaixo a imagem meacutedia aritmeacutetica das oito distribuiccedilotildees eacute ilustrada na Figura 29 A
aacuterea central eacute mais escura porque eacute coincidente para os oito ciacuterculos
Figura 30 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Figura 29 8 frames - circulo crescente - 1 vista por frame
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
58
Tanto o sinograma quanto o tomograma ilustram o crescimento do disco Figura
411
Figura 31 Tomograma e sinograma - ciacuterculo crescente - 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
0 10 20 30 40 50 60 700
10
20
30
40
50
60
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
59
O sinograma em forma de imagem eacute mostrado abaixo (Figura 32)
O aumento vertical das faixas eacute devido ao crescimento do disco
As duas reconstruccedilotildees apresentam artefatos de rotaccedilatildeo que dificultam a identificaccedilatildeo
da tendecircncia de movimento ou da distribuiccedilatildeo espacial dos discos (Figura 33)
Figura 32 Imagem do sinograma -ciacuterculo crescente - 1 vista por frame
Sinograma
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
Figura 33 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
60
414 Primitiva Circulo Crescente Oito vistas por frame
Neste caso ocorre mudanccedila de frame com a vista Para cada distribuiccedilatildeo tem-se uma
vista diferente Figura 34
Figura 34 Tomograma e sinograma - circulo crescente - 8 vista por frame
29 30 31 32 33 340
05
1
15
2
Posicionamento Linear
Sinograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3701
02
03
04
05
06
07
08
09
Posicionamento Linear
Tomograma
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
61
A posiccedilatildeo central que eacute comum a todos os frames eacute reconstruiacuteda nos dois casos O
FBP mostra a presenccedila de artefatos de Moireacute (Figura 36) O MART mostra poucos artefatos e
mostra uma regiatildeo borrada ao redor do ciacuterculo central indicando os discos maiores
Figura 35 Sinogramas circulo crescente ndash 8vistas por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Figura 36 Reconstruccedilotildees circulo crescente ndash 8 vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
62
42 Vistas Alternadas
Alguns testes foram realizados para estudar o posicionamento angular quando
ordenado de forma sequencial e alternada O conjunto de vistas posicionadas consecutivamente em
0ordm 45ordm 90ordm 135ordm 180ordm 225ordm 270ordm 315ordm foram reordenadas em dois ciclos
0ordm 90ordm 180ordm 270ordm para o primeiro ciclo
45ordm 135ordm 225ordm 315ordm para o segundo ciclo
As seguintes situaccedilotildees foram exploradas
Disco transladando - 1 Vista por frame
Cada distribuiccedilatildeo (quadro) eacute capturado em um instante de tempo diferente Os
acircngulos utilizados em cada quadro satildeo apresentados na Tabela 1
Tabela 1 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 1 vista por frame
Quadro 1ordm 2ordm 3ordm 4ordm 5ordm 6ordm 7ordm 8ordm
Vista 0ordm 90ordm 180ordm 270ordm 45ordm 135ordm 225ordm 315ordm
Reconstruccedilotildees
Figura 37 Reconstruccedilotildees disco transladando - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
63
Dois ciclos satildeo suficientes para natildeo formaccedilatildeo do artefato de rotaccedilatildeo (arqueamento)
A reconstruccedilatildeo com vistas alternadas mostra-se mais coerente com a imagem meacutedia (Figura 37)
Disco transladando - 2 Vistas por frame
Com duas vistas por quadro totaliza-se quatro quadros A associaccedilatildeo eacute ilustrada na
Tabela 2
Tabela 2 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 2 vistas por frame
Quadro 1ordm 2ordm 3ordm 4ordm
Vista 0ordm e 45ordm 90ordm e 135ordm 180ordm e 225ordm 270ordm e 315ordm
A reconstruccedilatildeo encontra-se mais proacutexima da imagem meacutedia do que na situaccedilatildeo com
vista sucessivas (Figura 38)
Disco Transladando - 4 Vistas por frame
Apenas dois quadros satildeo suficientes Tabela 3
Tabela 3 Associaccedilatildeo de vistas e quadros para disco transladando com 4 vistas por frame
Quadro 1ordm 2ordm
Vista 0ordm 90ordm 180ordm e 270ordm 45ordm 135ordm 225ordm 315ordm
Figura 38 Reconstruccedilotildees disco transladando - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
64
Reconstruccedilotildees
Disco crescente - 1 Vista por frame
A configuraccedilatildeo das vistas eacute a mesma utilizada na Tabela 1 uma vista por frame
A reconstruccedilatildeo com vistas alternadas Figura 40 apresenta uma reduccedilatildeo nos artefatos
de rotaccedilatildeo mostrando uma distribuiccedilatildeo espacial mais proacutexima da imagem meacutedia (Figura 40)
Disco crescente - 2 Vistas por frame
A configuraccedilatildeo das vistas eacute mesma da Tabela-2
Figura 39 Reconstruccedilotildees disco transladando - 4 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Figura 40 Reconstruccedilotildees disco crescente - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
65
Com o aumento do nuacutemero de vistas a distribuiccedilatildeo torna-se mais central
aproximando-se da imagem meacutedia (Figura 41)
43 Resultados com RGB
As situaccedilotildees jaacute utilizadas nas seccedilotildees 41 e 42 satildeo testadas com visualizaccedilatildeo RGB
Para todos os casos a primeira reconstruccedilatildeo (MART) eacute realizada com matriz inicial de valores
unitaacuterios relaxaccedilatildeo 02 e nuacutemero de iteraccedilotildees definido pela convergecircncia de 05 e em seguida a
normalizada por 150
Os sinogramas satildeo ponderados pelo conjunto de fatores que variam de 01 a 09
linearmente espaccedilados Os valores foram escolhidos empiricamente
Em seguida eacute realizada a reconstruccedilatildeo com o sinograma jaacute ponderado e seus valores
normalizados no intervalo de 150 a 255
Figura 41 Reconstruccedilotildees disco crescente - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
66
bull Ciacuterculo transladando ndash 1 Vista por frame
Um disco para cada instante de tempo totalizando oito distribuiccedilotildees Figura 42
Para o ciacuterculo transladando verticalmente com 1 vista por frame temos um
clareamento na parte inferior da distribuiccedilatildeo indicando que esta regiatildeo traz informaccedilotildees mais
recentes (Figura 42)
A reconstruccedilatildeo com MART RGB por usar como base a distribuiccedilatildeo espacial da
reconstruccedilatildeo MART mostra o clareamento vermelho na parte inferior da figura indicando que
ocorreu movimento nesse sentido
bull Ciacuterculo transladando ndash 2 Vistas por frame
Satildeo quatro distribuiccedilotildees uma para cada instante de tempo configurando duas vistas
por frame
Figura 42 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 1 vista por frame
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
67
O clareamento do vermelho na reconstruccedilatildeo RGB indica que a parte inferior da
reconstruccedilatildeo corresponde ao uacuteltimo instante de tempo
bull Ciacuterculo transladando ndash 4 Vistas por frame
Quatro vistas por frame foram utilizadas na configuraccedilatildeo das proacuteximas trecircs situaccedilotildees
(Figura 44 Figura 45 Figura 46) O deslocamento para o disco vertical eacute utilizado com trecircs valores
distintos
A primeira situaccedilatildeo ilustra dois instantes de tempo com dois diacircmetros de distacircncia
entre os centros dos discos Figura 44
Figura 43 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
68
A proacutexima situaccedilatildeo eacute criada com 4 diacircmetros de distacircncia entre centros entre o
primeiro e segundo instantes de tempo Figura 45 Cada disco corresponde a distribuiccedilatildeo exata em
um instante
Figura 44 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 45 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 4 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
69
A terceira situaccedilatildeo visa estudar o comportamento da reconstruccedilatildeo proposta quando
haacute coincidecircncia em parte da distribuiccedilatildeo espacial Satildeo quatro instantes de tempo e uma distacircncia
com menos de um diacircmetro de distacircncia entre centros consecutivos Figura 46
bull Ciacuterculo crescente ndash duas vistas por frame
A simulaccedilatildeo totaliza 4 frames e oito vistas consecutivas Duas por frame
Apesar da situaccedilatildeo com ciacuterculo crescente e duas vistas por frame natildeo mostrar boa
reconstruccedilatildeo a imagem reconstruiacuteda difere bastante da original como jaacute mostrado na seccedilatildeo 413
tambeacutem mostra concordacircncia com os outros resultados RGB pois mostra uma regiatildeo central com
Figura 46 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo transladando - 2 vistas por frameImagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 47 Reconstruccedilatildeo RGB - Ciacuterculo crescente - 2 vistas por frame
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
20 40 60
10
20
30
40
50
60
70
vermelho mais claro O clareamento deve-se a regiatildeo que eacute coincidente para todos os ciacuterculos
O problema que surge eacute que para esta situaccedilatildeo o clareamento para o vermelho criado
pela reconstruccedilatildeo RGB se confunde com a superposiccedilatildeo dos ciacuterculos da reconstruccedilatildeo tradicional
criado na regiatildeo central
44 Simulaccedilotildees com MCNPX
Os frames que anteriormente foram obtidos analiticamente com o objetivo de
encontrar as projeccedilotildees agora satildeo representados por cartotildees de entrada para o MCNPX A simulaccedilatildeo
gera como saiacuteda a intensidade relativa Foram criadas as situaccedilotildees jaacute expostas na seccedilatildeo 41 A
configuraccedilatildeo das simulaccedilotildees eacute
bull Objeto Cilindro Raio = 5cm Material Al = 000746 cm-1
bull Fonte 137Cs Atividade 5 mCi
bull Colimaccedilatildeo Pb fonte - detetor 5vmm
bull Nuacutemero de histoacuterias 100000
441 Circulo Transladando ndash 1vista por frame
Oito geometrias foram simuladas com o objetivo de encontras as projeccedilotildees
equivalentes as 8 vistas Cada vista captura o disco em um instante de tempo diferente totalizando
oito frames Na Figura 48 ilustra-se o disco (em amarelo) em diferentes posiccedilotildees com e as
respectivas a posiccedilotildees da fonte colimada indicando mudanccedila angular (em roxo e azul)
71
O meacutetodo retorna o (relaccedilatildeo entre Ifinal e o Iinicial) A matriz de intensidades relativas eacute
denominada tomograma e tem as suas colunas ordenadas por vista(Figura 49)
As projeccedilotildees satildeo encontradas fazendo e o conjunto de vistas
ordenadas em colunas eacute denominado sinograma(Figura 50)
Figura 49 Tomograma via MCNPX - 1 Vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 70
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma Por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 48 Geometria Circulo Transladando - 1 vista por frame
72
A apresentaccedilatildeo do sinograma em forma de imagem eacute ilustrada na Figura 51
Figura 50 Sinograma MCNPX - 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
1
2
3
4
5
6
Posicionamento Linear
Sinograma por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 51 Imagem de sinograma MCNPX -1 vista por frame
Sinograma MCNPX - 1 vista por frame
Vistas
Projeccedilotildees
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
73
As reconstruccedilotildees apresentaram-se similares as feitas analiticamente na seccedilatildeo 41
Formaccedilatildeo de oito artefatos em faixa no FBP e o arqueamento para esquerda indicando o sentido da
rotaccedilatildeo do tomoacutegrafo (Figura 52)
442 Circulo Transladando ndash 2 vistas por frame
Oito geometrias foram simuladas com mudanccedila no posicionamento angular apenas
quando o disco muda de posiccedilatildeo Duas vistas capturam o disco na mesma posiccedilatildeo A geometria
simulada no MCNPX eacute mostrada na Figura 53
Figura 53 Geometria circulo transladando - 2 vistas por frame
Figura 52 Reconstruccedilotildees MART e FBP ndash MCNPX ndash 1 vista por frame
FBP
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60 -06
-04
-02
0
02
04
MART
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
74
A simulaccedilatildeo retorna o seguinte tomograma Figura 54
Calculando as projeccedilotildees temos o sinograma ilustrado na Figura 55
Que visualizado em formato de imagem fica ilustrado na Figura 56
Figura 54 Tomograma MCNPX - 2 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 70
04
05
06
07
08
09
1
Posicionamento Linear
Tomograma Por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
Figura 55 Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
1
2
3
4
5
6
Posicionamento Linear
Sinograma por MCNPX
1ordf Vista
2ordf Vista
3ordf Vista
4ordf Vista
5ordf Vista
6ordf Vista
7ordf Vista
8ordf Vista
75
As reconstruccedilotildees corresponderam as expectativas quando coincidem com as
reconstruccedilotildees simuladas analiticamente(Figura 57)
Figura 57 Reconstruccedilatildeo MART - MCNPX - 2 vistas por frameMART
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
FBP
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60 -04
-03
-02
-01
0
01
02
03
04
05
06
Figura 56 Imagem de sinograma MCNPX ndash 2vistas por frame
Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame
Vistas
Projeccedilotildees
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
76
45 Resultados com CFD
As condiccedilotildees da simulaccedilatildeo foram vazatildeo volumeacutetrica de ar eacute 500 Lmin e o fluxo de
catalisador eacute de180 kg(m2s-1) O tempo de processo foi de 10 segundos com passo de 00025
segundos
O local de leituras da fraccedilatildeo volumeacutetrica foi se encontra a uma altura de 0650
metros da base do riser feita a cada 00375 segundos durante o tempo de processo de fluidizaccedilatildeo
resultando em 268 imagens Seacuteries de oito a nove imagens da secccedilatildeo transversal satildeo utilizadas
Devido a alta resoluccedilatildeo das imagens vindas do CFD uma reduccedilatildeo foi realizada para
figuras com 64x64 pixels Figura 58
451 CFD-1 vista por frame
A sequecircncia de oito imagens em intervalos de tempos consecutivos eacute ilustrada na
Figura 59 e a imagem meacutedia na Figura 60
Figura 58 Reduccedilatildeo na resoluccedilatildeo 899x999 para 64x64
20 40 60
10
20
30
40
50
60
200 400 600 800
100
200
300
400
500
600
700
800
77
Figura 60 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
Figura 59 CFD - Frames 1 ao 8
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
78
Reconstruccedilotildees
As reconstruccedilotildees para uma vista por frame natildeo correspondem agrave realidade prevista
Figura 61 Sinogramas CFD ndash 1 vista por frame
Figura 62 Reconstruccedilotildees CFD ndash 1 vista por frame
Reconstruccedilatildeo RGB
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Sinograma com Pesos
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo Mart Red
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
79
pelo CFD O pequeno nuacutemero de vistas aliado a complexidade da figura dificultam a reconstruccedilatildeo
452 CFD-8 vistas por frame
A sequecircncia de oito imagens em intervalos de tempo consecutivos eacute ilustrada na
Figura 63
A meacutedia das oito imagens Figura 63
O sinograma simulado e o mesmo ponderado satildeo mostrados na Figura 65
Figura 64 Meacutedia Aritmeacutetica dos 8 frames
Figura 63 Frames 1 ao 8 CFD ndash 8 vistas por frame
80
As reconstruccedilotildees concordam com as distribuiccedilotildees quando apresentam maior
concentraccedilatildeo de soacutelido do lado direito da imagem A maior concentraccedilatildeo de pigmentaccedilatildeo vermelha
Figura 65 Sinogramas CFD - 8 vistas por frame
Figura 66 Reconstruccedilotildees CFD - 8 vistas por frame
Reconstruccedilatildeo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruccedilatildeo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Sinograma com Pesos
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart Red
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo RGB
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
81
do lado direito da imagem reconstruiacuteda em RGB mostra que a distribuiccedilatildeo nesta regiatildeo eacute mais
recente O resultado tem concordacircncia com a mudanccedila de lado da distribuiccedilatildeo ao longo dos oito
frames
46 Reconstruccedilotildees com correccedilatildeo de movimento
Como a reconstruccedilatildeo com vistas alternadas eacute superior a tradicional com vistas
sucessivas utilizou-se para todas as simulaccedilotildees com correccedilatildeo de movimento o posicionamento
angular sucessivo O objetivo da escolha eacute verificar os resultados gerados soacute por correccedilatildeo da matriz
de pesos As simulaccedilotildees foram ordenadas de acordo com as situaccedilotildees jaacute exploradas e para um
instante de tempo especiacutefico
Abaixo (Figura 67 Figura 68) tem-se a configuraccedilatildeo de 4 vistas por frame
resultando em dois quadros cada um com o disco em uma posiccedilatildeo diferente A imagem tem 32x32
pixels e o deslocamento foi vertical de 5 pixels Como o nuacutemero de colunas da matriz de pesos eacute
definido pela resoluccedilatildeo da imagem o deslocamento na matriz de pesos corresponde ao vertical x
nuacutemero de elementos em uma linhaentatildeo 5 x 32 = 60 colunas para esquerda quando se quer
recuperar o primeiro instante e 60 colunas para direita no caso do segundo
Para o primeiro instante a correccedilatildeo mostra-se eficaz reconstruindo por completo a
distribuiccedilatildeo no primeiro instante de tempo Figura 67
A distribuiccedilatildeo no segundo instante eacute reconstruiacuteda com um pouco de ruiacutedo Figura 68
Figura 67 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempoImagem Meacutedia
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30Imagem Meacutedia
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
82
A situaccedilatildeo com translado horizontal eacute ilustrada na Figura 69 e Figura 70 A
reconstruccedilatildeo no primeiro instante de tempo mostra-se mais precisa Figura 69 Quatro vistas foram
utilizados por quadro com um deslocamento de 5 pixels entre eles O deslocamento de colunas eacute
realizado com o mesmo nuacutemero
Para o segundo instante Figura 70
A simulaccedilatildeo com duas vistas por frame resulta em quatro distribuiccedilotildees Figura 71
Figura 72 Figura 73 A imagem tem 64x64 pixels e o deslocamento foi vertical de 5 pixels
resultando em um deslocamento de 5 x 64 = 320 para as colunas
Figura 69 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Figura 70 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o segundo instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30
5
10
15
20
25
30
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30
5
10
15
20
25
30
83
Para o primeiro instante de tempo temos
Para o segundo instante
Figura 71 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 72 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
20 40 60
10
20
30
40
50
60
84
e para o terceiro instante
O ruiacutedo aumenta
Ocorre o aparecimento de ruiacutedo nas reconstruccedilotildees com o aumento do tempo Este
efeito eacute devido a extrapolaccedilatildeo do deslocamento nos elementos proacuteximo as bordas da matriz de
pesos
Figura 73 Correccedilatildeo de movimento - Reconstruccedilatildeo para o primeiro instante de tempo
Imagem Meacutedia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruccedilatildeo Mart com Correccedilatildeo
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
85
5 CONCLUSOtildeES
As simulaccedilotildees analiacuteticas de primitivas matemaacuteticas foram validadas com ecircxito
quando comparadas com as mesmas realizadas por MCNPX As aquisiccedilotildees tomograacuteficas foram
simuladas mostrando a superioridade da tomografia de 5ordf geraccedilatildeo (8 vistas por frame) quando
comparada agrave de 3ordf geraccedilatildeo (uma duas e quatro vistas por frame) seccedilotildees 41 e 42 As reconstruccedilotildees
ficam mais proacuteximas da imagem meacutedia porque todas as vistas satildeo adquiridas ao mesmo tempo
durante todo o processo O FBP perde a definiccedilatildeo dos discos e forma um artefato central vertical O
MART reconstroacutei perfeitamente o disco nas oito posiccedilotildees mostrando a sua preferecircncia para um
nuacutemero limitado de dados (8 vistas) O FBP eacute bastante utilizado em tomografias meacutedicas (360
vistas ou mais) devido a baixa complexidade computacional quando comparado aos meacutetodos
algeacutebricos
Tanto o disco transladando quanto o crescente apresentam melhor performance com
o aumento do nuacutemero de vistas por distribuiccedilatildeo como pode ser visto na seccedilatildeo 41 A situaccedilatildeo em
que foi simulada uma vista por frame apresenta um artefato de movimento indicando o sentido de
rotaccedilatildeo do arranjo simulado
Os oito perfis encontrados nas simulaccedilotildees com ciacuterculo crescente mostram o aumento
do disco seccedilatildeo 413 e 414 As simulaccedilotildees para este caso reconstroem uma distribuiccedilatildeo central
distorcida pela incompatibilidade das projeccedilotildees (adquiridas em diferentes instantes de tempo) As
reconstruccedilotildees com FBP mostram-se inferiores ao MART formando artefatos de Moireacute (artefatos
estrela) em todas as reconstruccedilotildees Confirmando que estes artefatos satildeo comuns quando se utiliza o
FBP com um nuacutemero limitado de dados
Os testes com vistas alternadas mostram que essa configuraccedilatildeo eacute superior ao arranjo
sucessivo pois cobre uma aacuterea maior em um tempo menor capturando mais informaccedilotildees relativas
ao movimento (seccedilatildeo 42)
A reconstruccedilatildeo RGB inova porque mostra a evoluccedilatildeo temporal do processo com
aacutereas mais claras (vermelho claro) indicando proximidade temporal enquanto que aacutereas mais
escuras indicam tempo passado O meacutetodo mostra o clareamento no vermelho em regiotildees da figura
indicando que ocorreu movimento neste sentido Os testes com ciacuterculo transladando mostram
coerecircncia quando indicam com o vermelho mais claro as regiotildees correspondentes aos uacuteltimos
quadros O mesmo resultado eacute obtido com os dados do CFD para simulaccedilatildeo da TC de 5ordf geraccedilatildeo O
86
lado direito da imagem tem valores maiores para o vermelho coincidindo com a sequecircncia de
distribuiccedilotildees utilizada onde ocorre mudanccedila na concentraccedilatildeo do lado esquerdo para o direito Para o
ciacuterculo crescente a eficaacutecia do meacutetodo pode ser questionada pois ocorre superposiccedilatildeo das regiotildees
centrais de cada disco A aplicaccedilatildeo a dados do CFD com apenas uma vista por frame eacute ineficiente
pois a reconstruccedilatildeo RGB natildeo consegue mostrar tendecircncia de movimento A reconstruccedilatildeo tradicional
MART tambeacutem natildeo coincide com a meacutedia dos frames ou seja como o meacutetodo proposto utiliza esta
distribuiccedilatildeo espacial natildeo pode-se afirmar que a ineficiecircncia do processo seja devido unicamente a
reconstruccedilatildeo RGB
O MCNPX foi utilizado com ecircxito nas duas simulaccedilotildees propostas Sinogramas e
tomogramas satildeo coincidentes com exceccedilatildeo da escala com os mesmos encontrados por teacutecnicas
analiacuteticas
A reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento foi utilizada com ecircxito para
determinaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo no instante inicial de tempo Ocorre aparecimento de ruiacutedo com o
aumento do tempo Este efeito eacute devido a extrapolaccedilatildeo do deslocamento nos elementos proacuteximo as
bordas da matriz de pesos Salienta-se que o vetor deslocamento deve ser conhecido ou calculado
previamente Este trabalho utiliza valores jaacute determinados anteriormente nas simulaccedilotildees (distacircncia
entre discos)
O trabalho contribui para tomografia industrial porque utiliza casos comuns agrave aacuterea
como o disco transladando que eacute simulador de bolhas em colunas industriais e imagens do CFD
como phantoms para predileccedilatildeo dos perfis experimentais Contribui tambeacutem para a otimizaccedilatildeo de
paracircmetros de operaccedilatildeo tomograacutefica quando simula as aquisiccedilotildees prevendo resultados para o
experimento Indica o MART como superior ao FBP neste conjunto de dados As simulaccedilotildees
analiacuteticas de sinogramas foram validadas com ecircxito pelo MCNPX ou seja ambas podem ser
utilizadas para simulaccedilatildeo de fenocircmenos industriais Sugere tambeacutem que a TC com vistas alternadas
corresponde mais a realidade dinacircmica de uma distribuiccedilatildeo Propotildee um novo meacutetodo a
reconstruccedilatildeo RGB obtendo bons resultados apenas nas situaccedilotildees em que natildeo ocorre coincidecircncia
entre as distribuiccedilotildees de diferentes instantes de tempo
Um estudo mais detalhado dos valores empiacutericos deve ser feito para um
entendimento maior da penalizaccedilatildeo das projeccedilotildees e das situaccedilotildees em que ocorra superposiccedilatildeo de
distribuiccedilotildees
A baixa performance do FBP esperada para um baixo nuacutemero de aquisiccedilotildees indica
que testes com um nuacutemero maior de vistas devem ser realizados para o estudo dos meacutetodos
87
propostos nestas situaccedilotildees
Outro trabalho futuro eacute utilizar soluccedilotildees jaacute propostas na literatura meacutedica para
diminuiccedilatildeo de ruiacutedos e artefatos na reconstruccedilatildeo com correccedilatildeo de movimento identificando o vetor
deslocamento durante o processo
Espera-se dar continuidade ao trabalho validando tambeacutem experimentalmente as
simulaccedilotildees com translado do disco (Laboratoacuterio de Radioquiacutemica ndash DEN ndash UFPE)
88
6 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
ALEXANDER B DIMITRY V VITALY V KISELEV AN Algebraic reconstruction and
post-processing in incomplete data computed tomography From X-rays to Laser Beams Jun
2007
ANDERSEN AH Algebraic reconstruction in CT from limited views IEEE transactions on
medical imaging v 8(1) p50ndash55 Jan1989
ANGELI S EFSTAHIOS S An Accelerated Algebraic Reconstruction Technique based on
the Newton-Raphson Scheme Ieee Nuclear Science Symposium Conference Record 23382ndash
3387 2009
AZZI M TULIER P BERNARD J R GARNERO L Mapping Solid Concentration in a
Circulating Fluid Bed Using Gammametry Powder Technology p27-36 1991
BENDER R GORDON R HERMAN GT Algebraic reconstruction techniques(art) for
three dimensional electron microscopy and x-ray photography J Theor Biol v29 p759ndash768
1971
BROOKS RA CHIRO G Principles of Computer Assisted Tomography ( CAT ) in
Radiographic and Radioisotopic Imaging Phis Med Biol v21 N 5 p689-732 1976
BUTALA M D KAMALABADI F FRAZIN R A Chen YldquoDynamic tomographic imaging
of the solar coronardquo IEEE J Sel Topics Signal Process vol 2 pp 755ndash7662008
CENSOR Y Finite Series-Expansion Reconstruction Methods proceedings of the ieee p71
1983
CEZARO A CEZARO FT Problemas Inversos e a matemaacutetica da tomografia
computadorizada V Bienal da SBM - Sociedade Brasileira de Matemaacutetica 2010
CRUVINEL P E Mini tomoacutegrafo de raio-x e raio gama computadorizado para aplicaccedilotildees
multidisciplinares PhD thesis Unicamp 1987
DANTAS CC MELOSM OLIVEIRA E F MAGALHAtildeES F P SANTOS M G
Measurement of density distribution of a cracking catalyst in experimental riser with a
sampling procedure for gamma ray tomography Nuclear Instruments amp Methods in Physics
Research Section B Beam Interactions with Materials and Atoms (Print) v 266 p 841-848
2008
89
DE PIERRO A R Problemas Matemaacuteticos em Tomografia por Emissatildeo Notas UNICAMP
2004
DESBAT L RIT S CLACKDOYLE R MENNESSIER C PROMAYON E
NTALAMPEKI S ldquoAlgebraic and analytic reconstruction methods for dynamic
tomography rdquo Proceedings of the 29th Annual International Conference of the IEEE EMBS Citeacute
Internationale Lyon France August 23-26 2007 ThP2B11 2007 pp 726-730
DESBAT L ROUX S GRANGEAT P ldquoCompensation of some time dependent
deformations in tomography 2 Deformations preserving the projection geometryrdquo IEEE
transactions on medical imaging vol 26 2007 pp 1-20
EARLY D S LONG DG Image Reconstruction and Enhanced Resolution Imaging from
Irregular Samples IEEE trasactions on geosciences and remote sensing 3v9(2)291ndash302 2001
FARIN G Curves and Surfaces for CAGD a Practical Guide 4th edition Academic Press-
1996
FORSYTHE GE Solving linear algebraic equations can be interesting Bulletin of the
American Mathematical Society v59(4) P299ndash330 Jul 1953
GORDON R A tutorial on art (algebraic reconstruction techniques) IEEE Trans Nucl Sci v
NS-21 p78ndash93 1974
GORDON R GUAN H A projection acess order for speedy convergence of art a multilevel
scheme for computed tomography Physics in medicine and biology p39 1994
GUAN H HERMAN G T ZHU Y Combining various projection access schemes with the
algebraic reconstruction technique for low-contrast detection in computed tomography
Physics in medicine and biology 43(8)2413ndash21 August 1998
HANSON K M WECKSONG GVW Local basis approach to computed tomography
ApplOpt v24 p4028-2039 1985
HERFFERNAN P B Robb A R Difference image reconstruction from a few projections for
nondestructive materials inspection Applied optics
HERMAN G T Iterative reconstruction algorithms Comput Biol Med v6 p273 ndash 294 1976
HERMAN G T GORDON R Reconstruction of pictures from their projections Commun
Assoc Comput Mach v14 p759ndash768 1971
HERMAN GT MEYER L B Algebraic Reconstruction Techniques Can Be Made
90
Computationally Efficient IEEE transactions on medical imaging v 12(3) 1993
IAEA-TECDOC-1589 INDUSTRIAL PROCESS GAMMA TOMOGRAPHY Final report of a
coordinated research project 2003ndash2007 May 2008
KACZMARZ S Angenaherte auflosung von systemen linearer gleichungen Bull Acad Pol
Sci Lett A vol 6-8A pp 355-357 1937
KAKA C SLANEY M Principles of Computerized tomographic imaging IEEE PRESS
1999
KALAGA D V KULKARNI A V ACHARYA R KUMAR U SINGH G JOSHI JB
Some industrial applications of gamma-ray tomography Journal of the Taiwan Institute of
Chemical Engineers 40 (2009) 602ndash612 wwwelseviercomlocatejtice
KNOLL G F Nuclear Counters Radiation-Measurement Book 2006
LUTZ PH Relaxation Methods for Image Reconstruction Communications of the ACM
v21(2) p282ndash288 1978
MARTINEZ AG Detecccedilatildeo de descontinuidades e reconstruccedilatildeo de funccedilotildees a partir de dados
espectrais filtros splines e metodos iterativos tese - UNICAMP 2006
MELO SM DANTAS CC OLIVEIRA EAL MAGALHAtildeES FP OLIVEIRA EF A FCC
catalyst gamma ray tomographic reconstruction by using non negative non parametric bezier
triangles Proceedings In 4 th International Symposion on Process Tomography in Poland p 165
Washaw 2006
MESQUITA J MATELA N OLIVEIRA N MARTINS M V Choosing the ART relaxation
parameter for Clear-PEM 2D image reconstruction Computer methods and programs in
biomedicine May 2010
MYERS G R KINGSTON A M VARSLOT T K TURNER M L SHEPPARD A
P ldquoDynamic tomography with a priori informationrdquo Applied Optics vol 50 2011 pp 3685-
3690
OLIVEIRA EF DANTAS CC MELO S B VASCONCELOS D A A ldquoCOMPARISON
AMONG TOMOGRAPHIC RECONSTRUCTION ALGORITHMSrdquo internetional nuclear
conference-INAC2011
OLIVEIRA EF DANTAS C MELO S B VASCONCELOS D A A ldquoTOMOGRAPHIC
RECONSTRUCTION WITH B-SPLINES SURFACESrdquo internetional nuclear conference-
INAC2011
91
RAMACHANDRAM G N LAKSHMINARAYANAN A V Three-dimensional
reconstruction from radiographs and electron micrographs II application of convolutions
instead of Fourier transforms Proc Natl Acad Sci US v68 p2236-2240 1971
KACZMARZ S Angenaherte auflosung von systemen linearer gleichungen Acad Pol Sci
Lett v 6-8A p355ndash357 1937
SALINA F V MASCARENHAS NDA CRUVINEL PE A Comparison of POCS
Algorithms for Tomographic Reconstruction Under Noise and Limited View Computer
Graphics and Image Processing 2002
SALVADOR P A V Anaacutelise de sistemas multifaacutesicos utilizando tomografia computadorizada
gama monoenergeacutetica e polienergeacutetica Tese IPEN-USP 2008
SERGIO N QUORIN R Diagnoacutestico de defeitos em madeira por tomografia de raios x PhD
thesis UFPR 2004
SUBBARAO P M V MUNSHI P MURALIDHAR K Performance of iterative tomographic
algorithms applied to non-destructive evaluation with limited data NDT amp Internacional
v30(6) p359ndash370 1997
TANABE K Projection method for solving a singular system Numer Math 17203ndash214 1971
TIRUNELVELI G HERMAN G T Comparison of Square-Pixel and Hexagonal-Pixel
Resolution in Image Processing Test pages 867ndash872 2002
VERHOEVEN D Limited-data computed tomography algorithms for the physical sciences
Applied Optics jul1993
WENKAI L Adaptive algebraic reconstruction technique Image (Rochester NY) v31(12)
p3222ndash3230 2004
92
ANEXO ndash I
ROTINAS DESENVOLVIDAS NO MATLAB
Rotina responsaacutevel por criar os phantoms e calcular o sinograma Tambeacutem reconstroacutei
clear
d=64Nproj=8Ntraj=dNpixel=dr=02Nit=30display(MART)chute=1I0=10^8x=1fig3=(zeros(d))teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)inc=3cont=1z=zeros(NprojNtraj1)zt=zzt1=zzt2=zztgb=zcont=1c=0teta=[teta teta]clear fig
vpf=1raio=3inc=7c=5vpf=2raio=4inc=8c=5vpf=4raio=5inc=17c=10 vpf=8raio=1inc=4vpf=4inc=1cc=0inc2=25c=10vpf=4raio=3inc=15c=0 fator=(1Nproj)(1Nproj)1fator=flipud(fator)fator=linspace(00509Nproj)a=0for n=1Nproj a=a+1 circ(n)=Circulo(d(d2)(d2)(1+c))if a==vpfa=0c=c+incend crescente circ(n)=Circulo(d5+c(d2)raio)if a==vpfa=0c=c+incend translado vertical fig=circ(n) [z]=sinograma(fig teta(n)) zr=radon(fig teta(n)Ntraj) fig3=(fig3+fig) Itred(cont)=(I0exp(-zx))n((Nproj+inc+1)-n)(nNproj)olhar sempre It(cont)=I0exp(-zx) Ir(cont)=I0exp(-zr) cont=cont+1endfig3=fig3(max(max(fig3))Nproj)tira a sobreposiccedilatildeosinot=log((I0)It)importante retirar fator caso seja utilizado tomo de 3ordfsinot=(ZeraNeg(sinot))rect=Mart2(MatparaCol(real(sinot))teta102)[c d]=size(rect)rect=ColparaMat(rect(d)NpixelNpixel)figure subplot(131)imagesc(fig3)title(Imagem Meacutedia) subplot(132)imagesc(rect)title(MART Vistas Sucessivas) subplot(133)imagesc(rect)title(MART Vistas Alternadas)
93
Rotina para Testes com reconstruccedilotildees
clear load meialuanotubo2load dadosdinamicoload dadosdinamico2dados2=dados3[Ntraj Nproj]=size(dados2) for a=1Nproj for b=1Ntraj if dados2(ab)gt1 || dados2(ab)lt10^-2 dados2(ab)=1 end endend sinograma=-(102)log(dados2)sinograma=ZeraNeg(sinograma)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj) display(FBP)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)z=sinogramarecfbp=iradon(ztetaNtraj)x=164figsino(xdados2) figsino(xsinograma) figureimagesc(sinograma)title(Sinograma MCNPX - 1 vista por frame) xlabel(Vistas)ylabel(Projeccedilotildees)
_________________________MART___________________________________________ x=[02] Nit=20r=1recmart=zeros(Npixel^2Nitlength(x)) display(MART com pesos)display(x) z=MatparaCol(sinograma) [ix iy]=GridAlg(NprojNtrajNtrajpi) [A]=pesosart(ixiyNprojNtrajNtraj) rec=Art(AzNprojNtraj5002) figure imagesc(rec)title(ART) end recfinal=ColparaMat(recmart(Nit)NpixelNpixel) figuresurf(recfinal)figureimagesc(recfinal)colorbartitle(Mart) durou=etime(clockliga)60save phantomacrilicoMart x durou recmart A _________________________ART____________________________________________ x=[02] Nit=10r=1recart=zeros(Npixel) display(ART com pesos)display(x) z=MatparaCol(sinograma) rec=Mart(AzNprojNtrajNitx) recart=ColparaMat(rec(Nit)NpixelNpixel)r=r+1 figureimagesc(recart)colorbartitle(art) __________________________________________________________________________
94
rotina para caacutelculo do sinograma
function [matriz]=sinograma(fig teta)
[a b]=size(fig)Ntraj=aNproj=size(teta2)sino=zeros(NtrajNproj)teta=linspace(0180-(180Nproj)Nproj)for i=1Nproj for j=1b sino(ji)=Project(figteta(i)j) endendmatriz=sino
function [bijtemp erromat]=Mart2(ztetachuterelax)
[a b]=size(z)Nproj=size(teta2)Ntraj=aNprojNpixel=Ntrajbijtemp=ones(Npixel^250)bijtemp(1)=chute pij=ones(size(sino))Ite=50erro=1cont=1erromat=zeros(149)for Nitera=1Ite if Nitera==25 Nitera end for i=1Nproj W=Wproj(teta(i)Npixel) pij=Wbijtemp(Nitera) for j=1Ntraj cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pij(j))pij(j) if (pij(j)==0)cor=0000000001end ind=find(W(j)) cor=correlax bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corbijtemp(indNitera)W(jind)) end end if errolt=005break end if Niteragt=2 erro=100sqrt(sum(sum(((bijtemp(Nitera)-bijtemp(Nitera-1))^2))))sum(sum(bijtemp(Nitera))) erromat(cont)=errocont=cont+1 end if (Nitera ~= Ite)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)endendbijtemp=bijtemp(1Nitera)erro
function [bijtemp erromat]=Mart2(ztetachuterelax)
[a b]=size(z)Nproj=size(teta2)Ntraj=aNprojNpixel=Ntrajbijtemp=ones(Npixel^250)bijtemp(1)=chute
95
pij=ones(size(sino))Ite=50erro=1cont=1erromat=zeros(149)for Nitera=1Ite if Nitera==25 Nitera end for i=1Nproj W=Wproj(teta(i)Npixel) pij=Wbijtemp(Nitera) for j=1Ntraj cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pij(j))pij(j) if (pij(j)==0)cor=0000000001end ind=find(W(j)) cor=correlax(i) bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corbijtemp(indNitera)W(jind)) end end if errolt=005break end if Niteragt=2 erro=100sqrt(sum(sum(((bijtemp(Nitera)-bijtemp(Nitera-1))^2))))sum(sum(bijtemp(Nitera))) erromat(cont)=errocont=cont+1 end if (Nitera ~= Ite)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)endendbijtemp=bijtemp(1Nitera)erro
function [figtemp]=BP(NprojNtrajNpixelzinterXinterYfigura)
Back projection
c=max(size(figura))
Ntraj=c
Npixel=caumenta a dimenssatildeo da figura para eliminar artefatos de rotaccedilatildeo
figtemp=zeros(c)
inter=ones(22(Npixel+1))696969
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
inter(1)=interX(((i-1)Npixel)+j)
inter(2)=interY(((i-1)Npixel)+j)
for a=12(Npixel+1)
if (inter(1a)gt=0 ampamp inter(1a)ltNpixel) ampamp (inter(2a)gt=0 ampamp
inter(2a)ltNpixel) ampamp (inter(1a+1)gt=0 ampamp inter(1a+1)lt=Npixel) ampamp
(inter(2a+1)gt=0 ampamp inter(2a+1)lt=Npixel)
dist=sqrt(((inter(1a+1)-inter(1a))^2)+((inter(2a+1)-
inter(2a))^2))
x=fix(inter(1a))y=fix(inter(2a))
if (figura(x+1y+1))gt 10^-1
figtemp(x+1y+1)=figtemp(x+1y+1)+z(Ntraj(i-1)+j)dist
end
end
end
end
end
function [bijtemp]=Art(AzNprojNtrajNitrelax)
ART aditivo com opccedilatildeo de relaxaccedilatildeo
96
[c d]=size(A)a=sqrt(d)b=a
bijtemp=zeros(b^2Nit)10
pij=zeros(b1)pijtemp=zeros(Ntraj1)convergencia=zeros(1Nit)
Projection=Nproj
for Nitera=1Nit
interaction=Nitera
for i=1Nproj
pijtemp=A((Ntraj(i-1)+1)(Ntraj(i-1)+Ntraj))bijtemp(Nitera)
for j=1Ntraj
soma=sum(A(Ntraj(i-1)+j)^2)
cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pijtemp(j))
ind=find(A(Ntraj(i-1)+j))
cor=correlaxsoma
bijtemp(indNitera)=(bijtemp(indNitera) + corA(Ntraj(i-
1)+jind))
for ii=ind
if bijtemp(iiNitera)lt0bijtemp(iiNitera)=0end
end
end
end
if (Nitera ~= Nit)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)end
if (Nitera ~= 1)convergencia(Nit)=sqrt(sum(sum(bijtemp(Nitera-1)^2
-bijtemp(Nitera)^2))sum(sum(bijtemp(Nitera)^2)))end
end
function [bijtemp]=Artfast(AzNprojNtrajNitrelax)
ART aditivo com opccedilatildeo de relaxaccedilatildeo
[c d]=size(A)a=sqrt(d)b=a
bijtemp=ones(b^2Nit)
pij=zeros(b1)pijtemp=zeros(Ntraj1)
Projection=Nproj
for Nitera=1Nit
Nitera
for i=1Nproj
pijtemp=A((Ntraj(i-1)+1)(Ntraj(i-1)+Ntraj))bijtemp(Nitera)
for j=1Ntraj
soma=sum(A(Ntraj(i-1)+j)^2)
cor=(z(Ntraj(i-1)+j)-pijtemp(j))
ind=find(A(Ntraj(i-1)+j))
cor=correlaxsoma
bijtemp(indNitera)=bijtemp(indNitera) + (corA(Ntraj(i-
1)+jind))
for ii=ind
if bijtemp(iiNitera)lt0bijtemp(iiNitera)=0end
end
end
end
if (Nitera ~= Nit)bijtemp(Nitera+1)=bijtemp(Nitera)end
end
function [interX interY]=GridAlg(NprojNtrajNpixelRangeAngular)
RangeAngular=pi
display(vc olhou pi)
rxvetor=zeros(Nproj1)
ryvetor=zeros(Nproj1)
rxpontos=zeros(NtrajNproj)
97
rypontos=zeros(NtrajNproj)
rxpontos(1)=linspace(0+(NpixelNtraj)2Npixel-(NpixelNtraj)2Ntraj)
rypontos=flipud(rypontos)
rypontos(1)=0
rxvetor(1)=0
ryvetor(1)=1
teta=RangeAngularNproj
rot=[cos(teta) -sin(teta)sin(teta) cos(teta)]
for b=2Nproj
vet=rot[rxvetor(b-1) ryvetor(b-1)]
rxvetor(b)=vet(1)
ryvetor(b)=vet(2)
end
for b=2Nproj
for a=1Ntraj
pontos=rot[rxpontos(ab-1)-(Npixel2)rypontos(ab-1)-(Npixel2)]
rxpontos(ab)=pontos(1)+(Npixel2)
rypontos(ab)=pontos(2)+(Npixel2)
end
end
clear FIG
interX=zeros(NtrajNproj2(Npixel+1))interY=interX
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
ind=1
inter=ones(22(Npixel+1))696969
if rxvetor(i)lt-10^-5 || rxvetor(i)gt10^-5
for x=0Npixel
inter(2x+1)=(ryvetor(i)rxvetor(i))(x-rxpontos(ji))
+rypontos(ji)
inter(1x+1)=x
ind=ind+1
end
end
if rxvetor(i)gt=-10^-5 ampamp rxvetor(i)lt=10^-5x=-1end
if ryvetor(i)lt-10^-5 || ryvetor(i)gt10^-5
for y=0Npixel
inter(1x+2+y)=(rxvetor(i)ryvetor(i))(y-rypontos(ji))
+rxpontos(ji)
inter(2x+2+y)=y
ind=ind+1
end
end
[inter(1) B]=sort(inter(1))
inter(2)=inter(2B)
interX(((i-1)Ntraj)+j)=inter(1)
interY(((i-1)Ntraj)+j)=inter(2)
end
end
function [A]=pesosart(interXinterYNprojNpixelNtraj)
(NprojNtraj)x(Npixel^2)lt=70000000 out of memory with space free 560000000
98
[a b]=size(interX)
Atemp=sparse(zeros(NtrajNpixel^2))
inter=ones(22(Npixel+1))696969
for i=1Nproj
for j=1Ntraj
inter(1)=interX(((i-1)Ntraj)+j)
inter(2)=interY(((i-1)Ntraj)+j)
for a=12(Npixel+1)
if (inter(1a)gt=0 ampamp inter(1a)ltNpixel) ampamp (inter(2a)gt=0 ampamp
inter(2a)ltNpixel) ampamp (inter(1a+1)gt=0 ampamp inter(1a+1)lt=Npixel) ampamp
(inter(2a+1)gt=0 ampamp inter(2a+1)lt=Npixel)
dist=sqrt(((inter(1a+1)-inter(1a))^2)+((inter(2a+1)-
inter(2a))^2))
if inter(2a+1)ltinter(2a)
y=fix(inter(2a+1))
else
y=fix(inter(2a))
end
x=fix(inter(1a))
Atemp(jNpixel(Npixel-y-1)+x+1)=dist
end
end
end
if i==1
A=Atemp
else
A=[AAtemp]
end
Atemp=sparse(zeros(NtrajNpixel^2))
end
