reconstruÇÃo tomogrÁfica dinÂmica industrial£o... · ruídos e artefatos de movimento são os...
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCODEPARTAMENTO DE ENERGIA NUCLEAR
COMISSO NACIONAL DE ENERGIA NUCLEARCENTRO REGIONAL DE CINCIAS NUCLEARES DO NORDESTE
Programa de Ps-Graduao em Tecnologias Energticas e Nucleares
RECONSTRUO TOMOGRFICA DINMICA
INDUSTRIAL
ERIC FERREIRA DE OLIVEIRA
Orientador: Carlos Costa Dantas
Coorientadores: Silvio Barros Melo
Margarida Mizue Hamada
Recife, PEFevereiro, 2016
ERIC FERREIRA DE OLIVEIRA
RECONSTRUO TOMOGRFICA DINMICA INDUSTRIAL
Tese submetida ao Programa de Ps-Graduao em
Tecnologias Energticas e Nucleares para obteno do
ttulo de Doutor em Cincias, rea de Concentrao:
RADIAES NUCLEARES E SUAS
APLICAES.
Orientador: Carlos Costa Dantas
Coorientadores: Silvio Barros Melo
Margarida Mizue Hamada
Recife, PEFevereiro, 2016
Reconstruo Tomogrfica Dinmica
Industrial
Eric Ferreira de Oliveira
Aprovada em 29.02.2016
Orientador: Prof. Dr. Carlos Costa DantasCo-orientador: Prof. Dr. Silvio de Barros Melo
COMISSO EXAMINADORA:
__________________________________Dr. Carlos Costa Dantas DEN-UFPE
_________________________________________Dr. Aluzio Fausto Ribeiro Araujo CIN-UFPE
_________________________Dr. Jos Wilson Vieira UPE
__________________________________Dr. Emerson Alexandre de Oliveira Lima
_______________________________________Dr. Carlos Alberto Brayner de Oliveira Lira
Visto e permitida a impresso
_________________________Coordenador do PROTEN/DEN/UFPE
Aos meus paisJoo Batista, Vernica Ferreira, Juraci Oliveira, Jos Machado e Isaias Oliveira (in memorian)
Minha homenagem
Dedico.
AGRADECIMENTOS
Agradeo aos professores orientadores, Dr. Carlos Costa Dantas e Dr. Slvio Barros
Melo, que me orientam desde dos tempos de iniciao cientfica, contribuindo significativamente
para minha formao.
A Dr. Margarida Hamada e o Dr. Carlos Mesquita pela orientao e ajuda no incio
deste trabalho.
A Comisso Nacional de Pesquisa Nuclear- CNEN pelo financiamento da pesquisa.
E a todos que de alguma forma contriburam para realizao deste trabalho.
RESUMO
O estado da arte dos mtodos aplicados para processos industriais atualmentebaseado em princpios de reconstrues tomogrficas clssicas desenvolvidos para padrestomogrficos de distribuies estticas, ou seja, so limitados a processos de pouca variabilidade.Rudos e artefatos de movimento so os principais problemas causados pela incompatibilidade nosdados gerada pelo movimento. Alm disso, em processos tomogrficos industriais comum umnmero limitado de dados podendo produzir rudo, artefatos e no concordncia com a distribuioem estudo. Um dos objetivos do presente trabalho discutir as dificuldades que surgem daimplementao de algoritmos de reconstruo em tomografia dinmica que foram originalmentedesenvolvidos para distribuies estticas. Outro objetivo propor solues que visam reduzir aperda de informao temporal devido a utilizao de tcnicas estticas em processos dinmicos. Noque diz respeito reconstruo de imagem dinmica foi realizada uma comparao entre diferentesmtodos de reconstruo estticos, como MART e FBP, quando usado para cenrios dinmicos.Esta comparao foi baseada em simulaes por MCNPX, e tambm analiticamente, de um cilindrode alumnio que se move durante o processo de aquisio, e tambm com base em imagens decortes transversais de tcnicas de CFD. Outra contribuio foi aproveitar o canal triplo de coresnecessrio para exibir imagens coloridas na maioria dos monitores, de modo que, dimensionandoadequadamente os valores adquiridos de cada vista no sistema linear de reconstruo, foi possvelimprimir traos temporais na imagem tradicionalmente reconstruda. Finalmente, uma tcnica decorreo de movimento usado no campo da medicina foi proposto para aplicaes industriais,considerando-se que a distribuio de densidade nestes cenrios pode apresentar variaescompatveis com movimentos rgidos ou alteraes na escala de certos objetos. A ideia usar dadosconhecidos a priori ou durante o processo, como vetor deslocamento, e ento usar essasinformaes para melhorar a qualidade da reconstruo. Isto feito atravs da manipulaoadequada da matriz peso no mtodo algbrico, isto , ajustando-se os valores para refletir omovimento objeto do previsto ou deformao. Os resultados de todas essas tcnicas aplicadas emvrios experimentos e simulaes so discutidos neste trabalho.
PALAVRAS-CHAVE: Reconstruo Tomogrfica, Reconstruo Dinmica, Tomografia, CFD,
MCNP.
ABSTRACT
The state of the art methods applied to industrial processes is currently based on the principles ofclassical tomographic reconstructions developed for tomographic patterns of static distributions, oris limited to cases of low variability of the density distribution function of the tomographed object.Noise and motion artifacts are the main problems caused by a mismatch in the data from viewsacquired in different instants. All of these add to the known fact that using a limited amount of datacan result in the presence of noise, artifacts and some inconsistencies with the distribution understudy. One of the objectives of the present work is to discuss the difficulties that arise fromimplementing reconstruction algorithms in dynamic tomography that were originally developed forstatic distributions. Another objective is to propose solutions that aim at reducing a temporal type ofinformation loss caused by employing regular acquisition systems to dynamic processes. Withrespect to dynamic image reconstruction it was conducted a comparison between different staticreconstruction methods, like MART and FBP, when used for dynamic scenarios. This comparisonwas based on a MCNPx simulation as well as an analytical setup of an aluminum cylinder thatmoves along the section of a riser during the process of acquisition, and also based on cross sectionimages from CFD techniques. As for the adaptation of current tomographic acquisition systems fordynamic processes, this work established a sequence of tomographic views in a just-in-time fashionfor visualization purposes, a form of visually disposing density information as soon as it becomesamenable to image reconstruction. A third contribution was to take advantage of the triple colorchannel necessary to display colored images in most displays, so that, by appropriately scaling theacquired values of each view in the linear system of the reconstruction, it was possible to imprint atemporal trace into the regularly reconstructed image, where the temporal trace utilizes a channeland the regular reconstruction utilizes a different one. Finally, a motion correction technique used inthe medical field was proposed for industrial applications, considering that the density distributionin these scenarios may present variations compatible with rigid motions or changes in scale ofcertain objects. The idea is to identify in some configurations of the temporarily distributed dataclues of the type of motion or deformation suffered by the object during the data acquisition, andthen use this information to improve the quality of the reconstruction. This is done by appropriatelymanipulating the weight matrix in the algebraic method, i.e., by adjusting the values to reflect thepredicted object motion or deformation. The results of all these techniques applied in severalexperiments and simulations are discussed in this work.
Keywords: Industrial Dynamic Tomography, Flow Dynamics, Dynamic Process Simulation,Dynamic Tomographic Reconstruction.
Lista de Figuras
Figura 1: Atenuao da Radiao pela matria..................................................................................16Figura 2: Discretizao de l................................................................................................................18Figura 3: Sinograma constitudo de 180 vistas (construdo com a funo radon do matlab).............19Figura 4: Discretizao da seco irradiada.......................................................................................22Figura 5: Geraes Tomogrficas.......................................................................................................27Figura 6: Geraes Tomogrficas.......................................................................................................28Figura 7: Phantom de Sheep-Logan...................................................................................................29Figura 8: Discretizao da seco irradiada.......................................................................................30Figura 9: Distribuio de velocidades e de frao de slido para diferentes alturas..........................32Figura 10: Seco com distribuio de slido que ser utilizada como Phantom Matemtico..........33Figura 11: Viso 3D de uma distribuio de frao de slido feito por CFD.....................................33 Figura 12:Sistema RGB.....................................................................................................................35Figura 13: Sistema de Coordenadas...................................................................................................39Figura 14: reta r sendo mapeada por..................................................................................................39Figura 15: Projees 1D sem mudana de frame...............................................................................43Figura 16: Projees 1D com mudana de frame...............................................................................44Figura 17: Mais de uma vista por frame.............................................................................................45Figura 18: Mais de um frame por vista..............................................................................................46Figura 19: Mais de um frame durante a aquisio..............................................................................46Figura 20: Software Desenvolvido.....................................................................................................50Figura 21: 8 frames - crculo transladando - 1 vista por frame..........................................................52Figura 22: Mdia Aritmtica dos 8 frames.........................................................................................52Figura 23: Tomograma e sinograma circulo transladando 1 vista por frame...............................53Figura 24: Sinogramas:circulo transladando 1 vista por frame.......................................................54Figura 25: Reconstrues: circulo transladando 1 vista por frame.................................................54Figura 26: Tomograma e Sinograma - disco transladando - 8 vistas por frame.................................55Figura 27: Sinogramas: Crculo Transladando -Oito vistas por frame...............................................56Figura 28: Reconstrues: Crculo Transladando -Oito vistas por frame..........................................56Figura 29: 8 frames - circulo crescente - 1 vista por frame................................................................57Figura 30: Mdia Aritmtica dos 8 frames.........................................................................................57Figura 31: Tomograma e sinograma - crculo crescente - 1 vista por frame......................................58Figura 32: Imagem do sinograma - crculo crescente - 1 vista por frame..........................................59Figura 33: Reconstrues circulo crescente 1 vista por frame........................................................59Figura 34: Tomograma e sinograma - circulo crescente - 8 vista por frame......................................60Figura 35: Sinogramas circulo crescente 8 vistas por frame...........................................................61Figura 36: Reconstrues circulo crescente 8 vistas por frame.......................................................61Figura 37: Reconstrues disco transladando - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas e alternadas...62Figura 38: Reconstrues disco transladando - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas e alternadas. 63Figura 39: Reconstrues disco transladando - 4 Vistas por frame - Vistas sucessivas e alternadas. 64Figura 40: Reconstrues disco crescente - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas e alternadas........64Figura 41: Reconstrues disco crescente - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas e alternadas.......65Figura 42: Reconstruo RGB - Crculo transladando - 1 vista por frame........................................66Figura 43: Reconstruo RGB - Crculo transladando - 2 vistas por frame.......................................67Figura 44: Reconstruo RGB - Crculo transladando - 4 vistas por frame.......................................68Figura 45: Reconstruo RGB - Crculo transladando - 4 vistas por frame.......................................68Figura 46: Reconstruo RGB - Crculo transladando - 2 vistas por frame.......................................69Figura 47: Reconstruo RGB - Crculo crescente - 2 vistas por frame............................................69Figura 48: Geometria Circulo Transladando - 1 vista por frame........................................................71
Figura 49: Tomograma via MCNPX - 1 Vista por frame...................................................................71Figura 50: Sinograma MCNPX - 1 vista por frame...........................................................................72Figura 51: Imagem de sinograma MCNPX - 1 vista por frame.........................................................72Figura 52: Reconstrues MART e FBP MCNPX 1 vista por frame...........................................73Figura 53: Geometria circulo transladando - 2 vistas por frame........................................................73Figura 54: Tomograma MCNPX - 2 vistas por frame........................................................................74Figura 55: Sinograma MCNPX - 2 vistas por frame..........................................................................74Figura 56: Imagem de sinograma MCNPX 2 vistas por frame.......................................................75Figura 57: Reconstruo MART - MCNPX - 2 vistas por frame.......................................................75Figura 58: Reduo na resoluo: 899x999 para 64x64....................................................................76Figura 59: CFD - Frames 1 ao 8.........................................................................................................77Figura 60: Mdia Aritmtica dos 8 frames.........................................................................................77Figura 61: Sinogramas: CFD 1 vista por frame...............................................................................78Figura 62: Reconstrues: CFD 1 vista por frame..........................................................................78Figura 63: Frames 1 ao 8: CFD 8 vistas por frame.........................................................................79Figura 64: Mdia Aritmtica dos 8 frames.........................................................................................79Figura 65: Sinogramas: CFD - 8 vistas por frame..............................................................................80Figura 66: Reconstrues: CFD - 8 vistas por frame.........................................................................80Figura 67: Correo de movimento - Reconstruo para o primeiro instante de tempo....................81Figura 68: Correo de movimento - Reconstruo para o segundo instante de tempo....................81Figura 69: Correo de movimento - Reconstruo para o primeiro instante de tempo....................82Figura 70: Correo de movimento - Reconstruo para o segundo instante de tempo....................82Figura 71: Correo de movimento - Reconstruo para o primeiro instante de tempo....................83Figura 72: Correo de movimento - Reconstruo para o primeiro instante de tempo....................83Figura 73: Correo de movimento - Reconstruo para o primeiro instante de tempo....................84
LISTA DE TABELAS
Tabela 1:
Associao de vistas e quadros para disco transladando com 1 vista por frame62
Tabela 2:
Associao de vistas e quadros para disco transladando com 2 vistas por frame..63
Tabela 3:
Associao de vistas e quadros para disco transladando com 4 vistas por frame..63
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
DEN Departamento de Energia Nuclear.
UFPE Universidade Federal de Pernambuco.
TC Tomografia Computadorizada.
ART Algebraic Reconstruction Techinique.
MART Multiplicative Algebraic Reconstruction Techinique.
SIRT Simultaneous Iterative Reconstruction Technique.
FBP Filtered Back Projection.
AM Alternating Minimization.
CFD Computer Fluid Dynamics.
MCNP - Monte Carlo N-Particle.
PET - Positron Emission Tomography.
SPECT - Single Photon Emission Tomography.
CST Central Slice Theorem.
Sumrio
1. INTRODUO............................................................................................................................132. TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA.................................................................................16
2.1 A Lei de Beer-Lambert..............................................................................................................16
2.2 Algortmos de Reconstruo.....................................................................................................20
2.2.1 Filtered Back Projection (FBP)...........................................................................................202.2.2 ART (Tcnica de Reconstruo Algbrica).........................................................................212.2.3 MART (Tcnica de Reconstruo Algbrica com Correo Multiplicativa)......................23
2.3 O Caso Dinmico......................................................................................................................24
2.4 Reconstruo com Correo de Movimento.............................................................................25
2.5 Geraes de Tomgrafos...........................................................................................................26
2.6 Simulao de Sinogramas.........................................................................................................28
2.7 Fluidodinmica Computacional - CFD.....................................................................................31
2.8 Tempo de Aquisio ou Integrao...........................................................................................33
2.9 Sistema de cores RGB...............................................................................................................33
2.1 0MCNP.....................................................................................................................................35
3. METODOLOGIA.........................................................................................................................373.1 A Transformada de Radon Temporal.........................................................................................38
3.2 Lei de Beer-Lambert temporal..................................................................................................41
3.3 Simulao de aquisies Tomogrficas.....................................................................................42
3.3.1 Aquisio por Tomografia de 1 Gerao...........................................................................423.3.2 Aquisio por tomografia de 3 gerao.............................................................................453.3.3 Aquisio por tomografia de 5 gerao.............................................................................46
3.4 Posicionamento angular............................................................................................................47
3.5 Utilizao de um canal de cores para visualizar a dinmica do processo: Reconstruo RGB47
3.6 Reconstruo utilizando dados do CFD....................................................................................48
3.7 Avaliao dos algoritmos de reconstruo com RMSE............................................................49
3.8 Algoritmos e Software Desenvolvidos......................................................................................50
4. RESULTADOS E DISCUSSO..................................................................................................514.1 Resultados das Reconstrues MART e FBP...........................................................................51
4.1.1 Primitiva Crculo Transladando: 1 vista por frame.............................................................514.1.2 Primitiva Crculo Transladando: Oito vistas por frame......................................................554.1.3 Primitiva Circulo Crescente: Uma vista por frame.............................................................574.1.4 Primitiva Circulo Crescente: Oito vistas por frame............................................................60
4.2 Vistas Alternadas.......................................................................................................................62
4.3 Resultados com RGB................................................................................................................65
4.4 Simulaes com MCNPX.........................................................................................................70
4.4.1 Circulo Transladando 1vista por frame............................................................................70
4.4.2 Circulo Transladando 2 vistas por frame.........................................................................734.5 Resultados com CFD.................................................................................................................76
4.5.1 CFD-1 vista por frame........................................................................................................764.5.2 CFD-8 vistas por frame.......................................................................................................79
4.6 Reconstrues com correo de movimento.............................................................................81
5. CONCLUSES.............................................................................................................................856. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS.......................................................................................88ANEXO I........................................................................................................................................92
13
1. INTRODUO
A Tomografia Computadorizada (TC) consiste em duas etapas:
a) O objeto verificado (escaneado) com relao a alguma propriedade como
densidade, capacitncia, resistividade eltrica, ressonncia magntica, etc;
b) A propriedade ento reconstruda por meio de uma tcnica de reconstruo
adequada.
Dessa forma, a tomografia tem como objetivo reconstruir os detalhes geomtricos do
objeto subjacente e tambm obter os valores da propriedade escolhida. Normalmente, classificada
como uma tcnica de ensaios no destrutivos (END) e, portanto, de uso imenso em
colunas/reatores industriais para detectar a distribuio de fases ou qualquer tipo de no
uniformidade no interior do objeto.
Para o registro de qualquer mudana no objeto, otimiza-se o sistema em alta
resoluo temporal (baixo tempo de aquisio), ou seja, permitir vrias imagens, resultando em
centenas de quadros por segundo. A tomografia que concretiza essa configurao de aquisio
chamada de instantnea ou de 5 gerao onde vrias fontes so arranjadas diametralmente opostas
a um leque de detetores de radiao e, consequentemente, a colimao de uma fonte limitada por
outra, reduzindo a resoluo espacial do sistema.
Quando a distribuio tem baixa variabilidade ao longo do tempo, ou quando
limitaes tcnicas impedem o uso da tomografia instantnea, prope-se a tomografia com baixa
resoluo temporal com tomgrafos de 1 e 3 geraes. O alto tempo de aquisio destes
tomgrafos prejudica a reconstruo quando o objeto em estudo muda suas propriedades no
decorrer do tempo. Esta foi classificada por vrios autores como reconstruo dinmica
(ARTEMIEV, V. M.; NAUMOV, A. O., 2006), (BUTALA, 2009), (DESBAT, L. et al, 2006). J
uma rea muito ativa em medicina nuclear onde movimentos do paciente devem ser tomados em
considerao. Tais como em SPECT ou PET, mas tambm em tomografia computadorizada (TC de
transmisso) para rgos de movimento rpido, como o corao (GRAMEL, B.M. et al, 2012).
De um modo geral, o imageamento dinmico TC tem como objetivo reconstruir
sequncias de imagens em que a natureza dinmica do objeto tomografado de interesse primrio,
permitindo o registro de mudanas temporais na distribuio do coeficiente de atenuao linear
podendo identificar o estado inicial e o final do processo.
O estado da arte dos mtodos aplicados para processos industriais atualmente
baseado em princpios de reconstrues tomogrficas clssicas desenvolvidos para padres TC de
distribuies estticas, como pode ser visto em diversos artigos da rea de tomografia industrial
14
(DAHAN, A. et al, 2007; DUDUKOVIC, 2007; HALE et al, 2007; JOHANSEN et al, 2005;
KUMAR et al, 1997; DANTAS, C.C. et al, 2007; SALVADOR, P. A. V., 2010; MESQUITA, C. et
al 2011). Essas abordagens assumem que as propriedades da imagem so constantes durante o
processo de aquisio. Os algoritmos de reconstruo mais comuns ao contexto so os iterativos,
onde se destacam: tcnicas de reconstruo algbrica (ART, SIRT, MART, SMART) e tcnicas de
reconstruo estatsticas como o de Minimizao Alternante (AM) e o Esperana - Maximizao
(EM). A imagem reconstruda passa a ser uma aproximao das propriedades ao longo do tempo. A
aproximao devida a projees no compatveis no sinograma (BONNET, S., 2003). As
projees tornam-se incompatveis devido as diferentes distribuies que ocorreram durante o
intervalo de tempo utilizado para coleta de dados. Rudos e artefatos de movimento so os
principais problemas causados pela incompatibilidade.
Alm disso, em processos tomogrficos industriais comum um nmero limitado de
dados devido a inviabilidades tcnicas como arranjar todo um aparato de fontes e detetores ao redor
de uma coluna industrial. Um baixo nmero de dados pode produzir rudo, artefatos e no
concordncia com a distribuio em estudo.
Por estes motivos, necessrio um estudo dos melhores mtodos de reconstruo e
tambm o desenvolvimento de novas tticas, ou a utilizao de mtodos j consagrados em outros
contextos como a rea mdica.
Este trabalho inova quando discute um tema j comum rea mdica em um
contexto tomogrfico industrial.
O mtodo proposto consiste em descobrir inicialmente as limitaes oriundas da
aplicao de algoritmos de reconstruo que foram desenvolvidos para distribuies estticas e so
utilizados em tomografia dinmica. Estas podem aparecer em forma de rudo, artefatos estrela e/ou
de movimento. Para alcanar tais propsitos foram utilizados dados simulados analiticamente e por
MCNPX de um cilindro de alumnio transladando durante o processo aquisio e imagens da seco
transversal de um rise piloto por meio da tcnica CFD (Computational Fluid Dynamics). O cilindro,
ou crculo para uma seco, uma escolha pautada na literatura industrial pois simula bolhas em
reatores e tambm distribuies agrupadas em forma de ncleo por exemplo (DUDUKOVIC, M. et
al, 1997), (AZZI, M., 1991). Com os dados simulados foram realizadas e comparadas as
reconstrues pelos mtodos FBP (Filtered Back Projection) e MART (Multiplicative Algebraic
Reconstruction Technique).
Descobertas as limitaes, novas estratgias so apresentadas como: a escolha da
ordem do posicionamento angular (vistas alternadas ou sucessivas), o desenvolvimento de um
15
mtodo para a visualizao temporal do processo (Reconstruo RGB) e a correo de movimento.
A reconstruo RGB foi desenvolvida com o propsito de visualizar a evoluo
temporal do processo. Consiste em uma inovao na visualizao de imagens tomogrficas de
processos dinmicos pois utiliza o canal red do sistema de cores RGB para visualizar a evoluo do
movimento. Uma nova reconstruo realizada utilizando dados penalizados com o tempo e
associada ao canal R. Aos outros canais associada a reconstruo tradicional para posterior
visualizao do conjunto.
Tambm proposta uma tcnica de correo de movimento utilizada na rea mdica
que manipula a matriz de pesos do mtodo algbrico deslocando seus elementos com a mesma
quantidade de movimento identificada. Neste trabalho definido o vetor deslocamento a priori.
O Captulo dois trata da reviso bibliogrfica da tese. Contm a lei de Beer-Lambert,
a formao de dados tomogrficos para posterior reconstruo. Explica os algoritmos algbricos, a
visualizao RGB, dados do CFD e geraes tomogrficas. No Captulo trs so expostos os
mtodos desenvolvidos como: aquisies simuladas analiticamente de 1 e 5 geraes
tomogrficas, simulaes tomogrficas por MCNPX, reconstruo RGB, correo de movimento,
algoritmos implementados e desenvolvidos. No captulo quatro so mostrados os resultados de
todos os mtodos propostos.
Espera-se que esse trabalho contribua para uma anlise mais efetiva de tomografias
dinmicas industriais, bem como o diagnstico de problemas de otimizao de operao de
tomgrafos e obteno de dados para novos projetos bem como contribuir com novos algoritmos de
reconstruo especficos para esta aplicao.
16
2. TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA
2.1 A Lei de Beer-Lambert
A medida da probabilidade por unidade de percusso do feixe de radiao interagir
com a matria (efeito fotoeltrico, efeito Compton e produo de pares) denominado coeficiente
de atenuao total ou linear do material ( ). Encontrar a funo que represente a distribuio das
atenuaes dentro de uma regio de interesse o objetivo da tomografia. Ao atravessar um material,
a intensidade da radiao sofre uma queda exponencial descrita pela relao de Beer-Lambert.
Entende-se como intensidade de radiao neste caso, como o nmero de contagens registrado pelo
detetor em uma faixa de energia de interesse para um certo intervalo de tempo.
Entende-se como caso esttico a situao em que o objeto tem distribuio de
atenuaes fixa na regio de estudo ao longo do tempo, ou seja:
(1)
.
O processo unidimensional para determinao da atenuao linear pode ser resumido
em um detetor de radiao diametralmente oposto a uma fonte de radiao, onde:
Estabelece-se um tempo para o intervalo de contagens, Figura 2.1;
) do background sem
objeto algum entre fonte e detetor;
Coloca-se um objeto de comprimento fixo l com distribuio de atenuaes desconhecida
mas com valores fixos ao longo de l;
Afere-se o nmero de contagens ( com o objeto presente.
Figura 1: Atenuao daRadiao pela matria
l
If
para t
I0
para t
17
A lei de Beer-Lambert mostra que: a absoro, mais precisamente a atenuao da
radiao mede a queda da intensidade quando a radiao passa pela matria. A transmisso T,
: Taxa de contagem inicial, : Taxa de contagem aps o absorvedor
(2)
caracteriza a permeabilidade do material absorvente para a radiao. Quanto maior for a
transmisso, menor o efeito atenuante. A transmisso depende da espessura l do absorvedor. Se a
espessura l reforada pela pequena quantidade dl, o T de transmisso diminuda pela pequena
quantidade dT. A diminuio relativa da transmisso proporcional ao aumento absoluto da
espessura:
(3)
O fator de proporcionalidade chamado o coeficiente de atenuao linear \mu . A
integrao da equao 2.4 conduz lei de Beer-Lambert.
(4)
Para facilitar a notao em desenvolvimentos adiante, chamamos de que o
coeficiente de atenuao linear mdio e l a distncia percorrida pelo raio no absorvedor. Ento
determinado por:
18
(5)
independente de l. E para um
detalhamento maior das atenuaes ao longo do feixe discretiza-se l. O somatrio dos produtos das
atenuaes com as distncias surge da discretizao de l assumindo que todas as parties atenuam
o feixe no . Esta condio implica tambm no particionamento de
. Fazendo com que a intensidade final de uma partio i seja a inicial
da subsequente i+1. Ou seja, no estabelecida uma discretizao do tempo.
(6)
De maneira geral, a soma na Equao 6 torna-se uma integral e, definindo o eixo x ao
longo da trajetria do feixe, l torna-se o elemento de linha , onde o coeficiente de atenuao
funo da trajetria da linha.
(7)
A integral ao longo da linha conhecida como projeo unidimensional da
distribuio de densidades , definida matematicamente por Johann Radon em 1917 e
Figura 2: Discretizao de l
l1,
1
l2,
2
ln,
n
l3,
3
I 1 pa
ra
t 0f
I 2 pa
ra
t 0f
I f pa
ra
t 0f
I 0 pa
ra
t 0f
19
conhecida como a transformada de Radon da funo.
Como as projees so o resultado das transformadas de Radon ao longo dos
caminhos dos feixes, pode-se dizer que o objetivo da tomografia obter a sua inversa, ou seja, a
imagem reconstruda ou, como no caso unidimensional, a curva .
(8)
Os diversos modelos utilizados para encontrar a inversa so chamados de algoritmos
de reconstruo e como todos operam com as projees como entrada de dados, um estudo mais
detalhado da transformada de Radon temporal e como essas projees variam deve ser realizado
para os casos em que a distribuio de coeficientes de atenuao varia tambm com o tempo (caso
dinmico seo ).
a projeo bidimensional
, geralmente chamada de perfil, ou vista do corte. O processo de aquisio dos perfis
chamado de escaneamento ou varredura e o conjunto de projees adquiridas denominado
sinograma, a Erro: Origem da referncia no encontrada representa o sinograma de uma imagem de
teste com um disco central.
O escaneamento pode ser feito atravs de aquisies paralelas de um nico feixe
Figura 3: Sinograma constitudo de 180 vistas (construdo com a funo radon do
matlab)
20
(Parallel Beam) ou com as trajetrias em forma de leque (Fan Beam). Como o sinograma
resultado das transformadas de Radon ao longo dos raios, pode-se dizer que o objetivo da
tomografia obter a sua inversa, ou seja, a imagem reconstruda.
representa todas as projees (9)
Imagem Original
2.2 Algortmos de Reconstruo
2.2.1 Filtered Back Projection (FBP)
Bracewell e Riddle, em 1967, introduziram o mtodo chamado retroprojeo filtrada
(FBP), mtodo baseado na transformada de Fourier. O FBP muito utilizado devido ao baixo tempo
de processamento. O teorema das projees, tambm chamado de teorema do corte central (Central
Slice Theorem - CST) facilita o processo. Esse diz que uma transformada 1D de Fourier da
transformada de Radon da funo corresponde transformada 2D de Fourier da funo. Ou seja,
realizando a transformada de Fourier das projees, chega-se ao espao de frequncias da
distribuio de densidades que se desejam descobrir. No espao de frequncias so realizadas as
operaes de filtragem e a transformada 2D inversa retorna a imagem reconstruda. O FBP
resumido nos seguintes passos:
1. Calcular a transformada de Fourier unidimensional das projees chegando ao domnio de
frequncias;
2. Filtrar as projees transformadas com um filtro passa baixa (Shepp-Logan, Hann,
Hamming, etc.);
3. Colocar as projees filtradas em um grid polar. Cada projeo em seu ngulo
correspondente;
4. Reamostrar estas em um grid cartesiano com interpolao (linear, nearest, Splines, etc.);
5. Calcular a transformada 2D de Fourier inversa, chegando-se imagem reconstruda.
21
2.2.2 ART (Tcnica de Reconstruo Algbrica)
Os primeiros estudos sobre tcnicas algbricas em TC foram feitos por Gordon e
Herman (HERMAN G. T.; GORDON R., 1971). Apesar de ser mais intuitiva e simples que os
mtodos de transformada, essa tcnica deixa a desejar no que se refere a preciso e tempo de
processamento. Fazendo com que os mtodos de transformada fossem inicialmente mais utilizados,
principalmente na rea mdica, onde um grande nmero de dados processado. No entanto, para
experimentos em que o nmero de projees limitado ou tenha uma distribuio no uniforme, o
mtodo de transformada torna-se invivel.
Mtodos algbricos, ou de expanso de sries, discretizam a seco irradiada em uma
matriz de incgnitas (pixels) que representam a funo de distribuio de densidades (x, y), como
ilustra a Figura 4. Aps as varreduras, um sistema de equaes resultantes da relao de Beer-
Lambert criado e sua resoluo corresponde inversa de Radon. Devido s caractersticas desse
sistema, mtodos indiretos so aconselhados, e dentre os indiretos, o mtodo das projees de
Kaczmarz tem convergncia garantida (KACZMARZ, 1937). As tcnicas iterativas so resumidas
basicamente em quatro passos: criao da imagem inicial, clculo das correes, aplicao das
correes e o teste de convergncia. Estes algoritmos diferem na maneira como as correes so
calculadas e aplicadas (SUBBARAO, 1997). Neste trabalho, utilizada a tcnica algbrica ART.
Nessa representao, um raio corresponde a uma faixa com largura que na maioria das vezes
coincide com a largura de um pixel.
22
O processo pode ser resumido em:
1) Criar uma matriz imagem inicial com N elementos parametrizados em , geralmente aleatrios
ou nulos. Esse o incio da 1 iterao ( =1).
2) Calcular as projees para todos os raios atravs da frmula:
(10)
3) Para cada raio calcular a diferena entre a projeo original e a reconstruda . 4)
Calcular o somatrio de todos pesos ao longo de cada raio.
(11)
5) Obter a correo para cada raio .
23
(12)
6) Aplicar a correo a cada clula .
(13)
onde um parmetro de relaxao entre 0 e 2.
7) Repetir os passos 2 ao 6 para todos os raios.
8) Achar a soma da convergncia de todos os pixels da imagem.
(14)
9) Finalizar a iterao .
As iteraes so finalizadas quando chegar a um valor pr - estabelecido. Muitos autores
estabelecem um critrio de . Caso o critrio no tenha sido cumprido, uma nova
iterao iniciada no passo 2.
O ART frequentemente sofre de rudos tipo sal e pimenta (salt and pepper noise),
causados pelas inconsistncias introduzidas no conjunto de equaes por aproximaes nos . O
efeito exacerbado porque cada pixel ao longo de um raio alterado assim que a projeo
calculada, mudando seus valores antes que outro raio o faa. Tanto o rudo, quando a taxa de
convergncia do mtodo, dependem do parmetro de relaxao utilizado, escolhido empiricamente
(geralmente entre 0 e 2) (KAK, 1989).
2.2.3 MART (Tcnica de Reconstruo Algbrica com Correo Multiplicativa)
Vrios estudos apontam o mtodo como rpido, mais flexvel e de melhor acurcia
que o ART. Sendo indicado principalmente para casos de um nmero limitado de dados
(VERHOEVEN, 1993). A tcnica semelhante ao ART, com mudana apenas no fator de correo
24
expresso pela equao 15 .
(15)
2.3 O Caso Dinmico
De um modo geral, imagiologia dinmica CT tem como objetivo reconstruir sequncias de
imagens em que a natureza dinmica do objeto tomografado de interesse primrio, permitindo o
registro de mudanas temporais na distribuio do coeficiente de atenuao linear. Entende-se como
caso esttico a situao em que o objeto tem distribuio de atenuaes fixa na regio de
estudo ao longo do tempo. Algoritmos de reconstruo tomogrfica utilizam como dados de entrada
as projees unidimensionais tomogrficas . Cada projeo adquirida atravs das aquisies de
intensidades inicial e final ao longo do raio na direo :
O escaneamento pode ser feito atravs de aquisies paralelas de um nico feixe (Parallel
Beam) ou com as trajetrias em forma de leque (Fan Beam). Como o sinograma resultado das
transformadas de Radon ao longo dos raios, pode-se dizer que o objetivo da tomografia obter a
sua inversa, ou seja, a imagem reconstruda ou, como no caso unidimensional, a curva
(KAK, A. C.; SLANEY, M., 1999).
(16)
Historicamente, a CT dinmica no contexto mdico refere-se a algoritmos de imagem que
tentam corrigir movimentos, formando uma imagem de alta qualidade esttica atravs da remoo
do componente dinmico. Diferentemente da rea mdica, as imagens reconstrudas de fluxos
multifsicos oriundas de relativa baixa resoluo temporal trazem informaes importantes da
mudana do fluxo ao longo do tempo (Myers,G. R. ,Kingston, A. M., 2011). O objetivo da
tomografia neste caso determinar a funo de distribuio de atenuao .
No caso CT de 1, 3 geraes aplicados a distribuies dinmicas uma nica imagem
representativa de todo o processo (reconstruda por processos desenvolvidos para distribuies
25
estticas) o resultado final da tomografia (BARTHOLOMEW, CASAGRANDE, 1957), (AZZI et
al., 1991), (YIN et al, 2002)(DAHAN, A. et al, 2007), (DUDUKOVIC, 2007); (DANTAS, C.C. et
al, 2007); (SALVADOR, P. A. V., 2010); (MESQUITA, C. et al, 2011). A funo de distribuio de
atenuaes passa a ser uma aproximao.
Esta aproximao devido a projees no compatveis no sinograma (tambm chamado de
) (BONNET, S, 2003). As projees, agora , tornam-se incompatveis
devido as diferentes distribuies que ocorreram durante o intervalo de tempo [0, t].
2.4 Reconstruo com Correo de Movimento
A reduo de artefatos de movimento em imagens tomogrficas um problema
crucial em rgos de um forte carter dinmico, como por exemplo, os pulmes ou o corao. Uma
maneira simples de reduzir esses artefatos limitar o tempo de aquisio usando tomografia ultra
rpida (5 gerao).
Aqui, considera-se uma outra abordagem, em que os modelos de movimento so
integrados diretamente ao processo de reconstruo e onde a resoluo temporal pode, assim, ser
significativamente aumentada. Os mtodos podem ser algbricos (GILLAND et al 2002, 1996 DE
MURCIA, BLONDE et al 2003) ou analticos ( BONNET et al, 2003).
A tcnica de compensao de movimento, utilizada neste estudo, utiliza um modelo
de transformao da matriz de pesos A, dividindo-a em submatrizes, tendo suas colunas deslocadas
adequadamente de acordo com o modelo de movimento obtido a cada projeo (PENGPAN et al.,
2011). Por esse motivo, o vetor deslocamento do movimento deve ser calculado a cada projeo.
Para uma grande quantidade de dados necessrios em estudos dinmicos na rea
mdica, abordagens analticas que levam a algoritmos de reconstruo diretos so mais apropriadas.
Alguns mtodos so aproximaes adaptadas para uso geral do tipo de movimento, mas amplitude
moderada (RITCHIE et al 1996, GRANGEAT et al 2002).
No trabalho desenvolvido, foca-se a situao em que um pequeno nmero de dados
26
disponibilizado devido a natureza da aplicao. Salienta-se que a compensao de movimento
ocorre com a aplicao da mesma quantidade de movimento (obtida previamente ou durante a
reconstruo) matriz A.
A funo em um instante de tempo t pode ser encontrada com a aplicao da
deformao seu valor inicial .
(17)
A deformao pode apresentar rotao e translao:
(18)
2.5 Geraes de Tomgrafos
A primeira gerao de tomgrafos foi produzida pela EMI Mark em 1973, tendo
como desenvolvedor o engenheiro Hounsfield. O sistema era composto por um nico tubo de raios
X, o qual produzia um nico feixe cilndrico que atravessava o objeto em estudo, o paciente,
atingindo o nico detector que media a intensidade do mesmo. O sistema ainda contava com um par
de colimadores (dois pequenos tubos metlicos colocados aps o feixe deixar a fonte e antes do
mesmo atingir o detector) para minimizar o espalhamento do feixe. A fonte de raios X e o detector
se movem em sincronia e em lados opostos do paciente executando um escaneamento linear sobre a
seo em estudo seguido de uma rotao de 1 grau e um novo escaneamento linear efetuado,
como ilustra a Figura 3 a).
Os tomgrafos de segunda gerao foram desenvolvidos visando reduzir o tempo de
escaneamento minimizando a exposio do paciente radiao e ampliando a gama de rgos que
podem ter a seo transversal reconstruda. Os tomgrafos ainda mantiveram o movimento de
varredura linear seguida de uma rotao. Entretanto o feixe de raios X deixou de ser cilndrico e
passou a ter formato de leque. Ao invs de um nico detector o sistema passou a contar com vrios
27
detectores alinhados de forma que possam receber todos os raios do feixe. Dessa maneira, o tempo
de obteno de dados de uma seo foi reduzido de acordo
com o nmero de detectores e com o ngulo de abertura empregado como pode ser visto na Figura
3b). A terceira gerao de aparelhos abandonou de vez os movimentos de translao do tubo de
raios X e dos detectores e passou a contar com um leque com um ngulo maior e uma base de
detectores mais ampla em formato semi-circular. O sistema passou a efetuar um movimento de 360
graus em torno da seo. Tambm eram usados colimadores antes do feixe atingir os detectores a
fim de minimizar o espalhamento dos raios X e garantir a qualidade das imagens. O tempo de cada
varredura em alguns modelos comerciais passou a ser de apenas meio segundo, ilustrado pela
Figura 3 c).
A quarta gerao de aparelhos passou a contar com um anel de detectores que
circundam toda a seo que possibilitou aumentar mais ainda o ngulo do feixe de radiao. Os
detectores so fixos e a fonte de radiao rotaciona dentro do anel de detectores e ao redor do corpo
irradiado. Um problema desta gerao diz respeito recepo dos feixes que no so fixos e
dependendo do ngulo um feixe pode atingir dois detectores ou acertar um detector apenas em uma
frao, ilustrado pela Figura 6d).
Como o tempo despendido para realizao de movimentos mecnicos a principal
28
limitao para reduzir ainda mais os tempos de escaneamento a quinta gerao de aparelhos acabou
com os movimentos de translao e rotao da fonte e dos detectores. Rachid Maad, em MAAD R,
2009, evita utilizar essa classificao para tomgrafos sem rotao e translao utilizados
industrialmente, ficando essa classificao mais utilizada em aplicaes mdicas. Esse utiliza o
termo gerao de tomografia instantnea para tais aparelhos representados na Figura 6e).
Na configurao instantnea um anel de detectores estacionrios e as fontes de
radiao rodeiam o objeto, fornecendo um arranjo fixo (sem varreduras) e medies instantneas1.
Esta tcnica muito rpida e pode ser usada na gerao de imagens em tempo real. A desvantagem
o custo e o problema da radiao dispersa causada pela presena de mltiplas fontes.
2.6 Simulao de Sinogramas
Phantoms matemticos ou imagens de teste so frequentemente utilizados para
avaliar a preciso dos algoritmos de reconstruo. So descritos precisamente por funes
matemticas e suas transformadas de Radon simulam as projees tomogrficas. Seus pixels so as
regies discretizadas e seus valores, ou cores, representam as densidades ou coeficientes de
atenuao linear. A imagem de teste (phantom) mais conhecida em reconstruo tomogrfica o
1 O termo instantneo, aqui utilizado, negligencia o tempo de aquisio para as contagens de intensidade de radiao devido ao seu baixo valor, dcimos de segundo.
29
phantom de Sheep Logan, Figura 7.
Para calcular a projeo simulada, somam-se os produtos das distncias percorridas
pelo raio em cada pixel pelo seu valor. Parmetros do experimento tomogrfico que se deseja
simular, como a rea a ser varrida, densidades reais, adio de rudo e fotos da seco do objeto
podem ser incorporadas para dar mais realidade ao modelo (SUBBARAO P.M.V. et al, 1997). O
rudo obedece ao desvio padro de Poisson. (IAEA-TECDOC-1589, 2008)
A seco irradiada representada por uma matriz de incgnitas que representam a
distribuio de densidades que se deseja descobrir. As incgnitas so os pixels da imagem
reconstruda, como ilustrado na Figura 8.
Nessa representao, um raio corresponde a uma faixa com largura que na maioria
das vezes coincide com a largura de um pixel.
Figura 7 : Phantom de Sheep-Logan
50 100 150 200 250
50
100
150
200
2500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
30
Parametrizando os pixels com j variando de 1 a N e os raios com i de 1 a M, podemos
escrever a transformada de Radon ao longo do raio i como:
, (19)
onde o peso que diz o percentual de contribuio de um pixel j para o raio i, definido como:
, (20)
Uma boa aproximao o modelo em que a largura do feixe reduzida a uma linha
reta fazendo a distncia percorrida por este feixe dentro do pixel.
Para calcular a intensidade final para uma projeo i faz-se:
31
(21)
Com calculado da figura e de mdia fixa variando a cada projeo
com o desvio padro de Poisson para todas as projees.
O sinograma simulado construdo fazendo cada elemento de sua matriz igual a
.
2.7 Fluidodinmica Computacional - CFD
Fluidodinmica computacional (Computational Fluid Dynamics - CFD) o termo
dado ao grupo de tcnicas matemticas, numricas e computacionais usadas para obter, visualizar e
interpretar solues para as equaes de conservao de grandezas fsicas de interesse em um dado
escoamento. A origem destas equaes de conservao a teoria de Fenmenos de Transporte.
Assim, pode-se resumir CFD como o conjunto das tcnicas de simulao computacional usadas
para predizer os fenmenos fsicos ou fsico-qumicos que ocorrem em escoamentos.
A Fluidodinmica computacional uma rea de grande interesse para a soluo de
muitos problemas prticos. Como exemplo, podem ser citados problemas de aerodinmica,
termodinmica, hidrulica, dentre outros. As anlises nesta rea de pesquisa podem ser
desenvolvidas com base em experimentos bem como em mtodos tericos. Dentro dos mtodos
tericos destacam-se os mtodos computacionais utilizados para simulao numrica aplicada
Dinmica dos Fluidos (HERCKERT, M. G. R.).
Para os escoamentos de fluidos, o modelo matemtico estabelecido com base nas
equaes de conservao da quantidade de movimento, da massa e da energia. Estas equaes,
quando submetidas a condies de contorno e iniciais apropriadas, representam, matematicamente,
um problema particular (SHAMES, I. H., 1973). A soluo analtica destas equaes somente
possvel para escoamentos muito simples. Para se analisar problemas reais, lana-se mo do uso dos
chamados mtodos numricos.
Nos casos de escoamentos laminares, os modelos so relativamente simples, pois as
32
equaes de Navier-Stokes2, conservao da massa e conservao de energia so resolvidas.
Contudo, como a maioria dos escoamentos que acontecem na natureza e no meio industrial so
turbulentos, estes tem um alto grau de complexidade, e portanto deve-se lanar mo de modelos
matemticos de turbulncia, acrescentando termos as equaes anteriormente citadas. Os modelos
de turbulncia levam em conta variveis estatsticas, pois escoamentos turbulentos so altamente
caticos, e com isto h a necessidade de ferramentas estatsticas para representar os escoamentos
turbulentos.
A Figura 9, mostra campos de velocidade e distribuio de slido dentro do riser com
o regime de fluxo feito por CFD (ARMSTRONG L, M, 2010). Uma nica velocidade de injeo e
diferentes alturas ao longo do riser. Outros exemplos so ilustrados nas Figuras 10 e 11.
2 so equaes diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos. Permitem determinar os
campos de velocidade e de presso num escoamento.
Figura 9: Distribuio de velocidades e defrao de slido para diferentes alturas
33
2.8 Tempo de Aquisio ou Integrao
Detectores de radiao precisam sempre de um certo tempo (tempo de integrao)
para obter sinal razovel dos ftons incidentes. Isto devido estatstica de Poisson que regula o
processo de contagem de ftons e pode aumentar consideravelmente a incerteza do sinal detectado,
no caso de um tempo de integrao baixo. No domnio da frequncia, a medio de sinal com um
tempo de integrao aproximadamente equivalente a multiplicar o sinal original por um filtro
passa - baixa. Quando uma amostra est em repouso no interior do tomgrafo, vantajosa a
utilizao de um tempo de integrao alto para rejeitar rudo de alta frequncia. Para a escolha do
tempo de integrao ideal deve-se estabelecer um equilbrio entre a velocidade da amostra e o rudo
Poisson (MAAD, 2009).
2.9 Sistema de cores RGB
RGB a abreviatura do sistema de cores aditivas formado por Vermelho (Red),
Verde (Green) e Azul (Blue). O propsito principal do sistema RGB a reproduo de cores em
dispositivos eletrnicos como monitores de TV e computador, datashows, scanners e cmeras
digitais, assim como na fotografia tradicional. Em contraposio, impressoras utilizam o modelo
Figura 11: Viso 3D de uma distribuio de fraode slido feito por CFD
Figura 10: Seco comdistribuio de slido que
ser utilizada como PhantomMatemtico
34
CMYK de cores subtrativas. Modelos aditivos de luzes so combinados de vrias maneiras para
reproduzir outras cores.
O modelo de cores RGB baseado na teoria de viso colorida tricromtica, de
Young-Helmholtz, e no tringulo de cores de Maxwell. O uso do modelo RGB como padro para
apresentao de cores na Internet tem suas razes nos padres de cores de televises RCA de 1953 e
no uso do padro RGB nas cmeras Land/Polaroid, ps Edwin Land.
Estas trs cores no devem ser confundidas com os pigmentos primrios Ciano,
Magenta e Amarelo, conhecidos no mundo das artes como cores primrias, j que se combinam
baseadas na reflexo e absoro de ftons visto que o RGB depende da emisso de ftons de um
componente excitado a um estado de energia mais elevado (fonte emissora, por exemplo, o tubo de
raios catdicos).
O modelo de cores RGB, por si s, no define o que significa vermelho, verde ou azul
(espectroscopicamente), e ento os resultados de mistur-los no so to exatos (e sim relativos, na
mdia da percepo do olho humano).
Uma cor no modelo de cores RGB pode ser descrita pela indicao da quantidade de
vermelho, verde e azul que contm. Cada uma pode variar entre o mnimo (completamente escuro)
e mximo (completamente intenso). Quando todas as cores esto no mnimo, o resultado preto. Se
todas esto no mximo, o resultado branco (GONZALES, 2014).
Uma das representaes mais usuais para as cores a utilizao da escala de 0 255,
bastante encontrada na computao pela convenincia de se guardar cada valor de cor em 1 byte (8
bits). Assim, o vermelho completamente intenso representado por 255, 0, 0.
Branco - RGB (255, 255, 255); Azul - RGB (0, 0, 255); Vermelho - RGB (255, 0, 0);
Verde - RGB (0, 255, 0);Amarelo - RGB (255,255,0);Magenta - RGB (255,0,255);
Ciano - RGB (0, 255, 255); Preto - RGB (0, 0, 0).
35
As cores so complementares s do sistema CMYK - Ciano (Cyan), Magenta
(Magenta), Amarelo (Yellow) e Preto (blacK/Key) - e a sua mistura forma a cor branca.
2.10 MCNP
O mtodo Monte Carlo um algoritmo numrico capaz de resolver problemas fsicos e
matemticos por meio de simulao de variveis aleatrias (SOBOL, 1994; BIELAJEW, 1998).
Hoje em dia, o MCNP uma ferramenta matemtica comumente utilizada em diversos segmentos
da cincia e da engenharia para simular problemas que podem ser representados por processos
estocsticos. Simulaes do transporte de radiao por meio deste mtodo e, em particular, na Fsica
Mdica, tm passado por um rpido crescimento nas ltimas dcadas (YORIYAZ, 2009).
O processo Monte Carlo pode ser compreendido como um mtodo de gerao de nmeros
aleatrios (ROBERT & CASELLA, 2004). Um gerador uniforme de nmeros pseudoaleatrios
um algoritmo que comeando com um valor inicial e uma transformao, produz uma sequncia de
valores no intervalo [0, 1] tendo esta sequncia um comportamento de uma varivel aleatria
uniforme quando comparada com um conjunto de testes, alm de ser independente e identicamente
distribuda (ROBERT & CASELLA, 2004). Em termos de transporte de radiao, o processo
estocstico pode ser visto como uma famlia de partculas cujas coordenadas individuais s mudam
aleatoriamente em cada coliso. O comportamento mdio dessas partculas descrito em termos de
Figura 12:Sistema RGB
36
grandezas macroscpicas, como fluxo ou densidade de partculas (YORIYAZ, 2009).
O Monte Carlo N Particle MCNP - foi criado desde a dcada de 50 nos Estados
Unidos sendo desenvolvido por meio do laboratrio Los Alamos National Laboratory. O MCNP
continua at hoje sendo aperfeioado tornando-se assim mais confivel e usado por muitos
pesquisadores no mundo inteiro. um cdigo que realiza o transporte de partculas utilizando o
mtodo Monte Carlo, com capacidade para simular nutrons com energias entre 10-11 MeV a 20
MeV, enquanto que a faixa de energia para os ftons e eltrons vai de 1 keV a 1000 MeV.
(BRIESMEISTER, 2000). O cdigo MCNP tem a capacidade de simular sistemas com geometrias
que vo de superfcies pr-determinadas como esferas, planos, parabolides de revoluo, cilindros,
elipsides, at superfcies bem elaboradas utilizando conjunto de pontos no espao.
O pesquisador ao utilizar o MCNP constri um arquivo de entrada no cdigo que
pode ser organizado em blocos descrevendo regies envolvidas no modelo; especificao da
geometria por meio de superfcies geomtricas e suas interseces; posio e distribuio energtica
da fonte, descrio dos materiais e todos os parmetros fsicos agregados com algumas tcnicas de
reduo de varincia para melhorar a eficincia e obter melhores resultados (BRIESMEISTER,
2000). A versatilidade somado ao aspecto funcional do cdigo MCNP para diferentes tipos de
problemas faz com que este seja bem aceito na comunidade cientfica que trabalham com transporte
de radiaes e clculos de dose.
37
3. METODOLOGIA
Para descobrir at onde processos tomogrficos de baixa resoluo temporal aliados
a algoritmos de reconstruo esttica so compatveis com o regime em estudo, foram avaliadas
aquisies simuladas de 1, 3 e 5 geraes tomogrficas. A variao da distribuio de densidades
durante a aquisio faz necessrio o desenvolvimento de uma verso da lei de Beer-Lambert para
casos dinmicos seguida de sua aplicao para realizar as simulaes. O mtodo separado em duas
fases:
1 Fase
A metodologia desenvolvida aplica primeiro o modelo de simulao de sinogramas
desenvolvida analiticamente primitivas matemticas e posteriormente a dados do MCNPX e CFD.
1) criado um modelo de simulao de sinogramas para distribuies
dinmicas utilizando a verso temporal desenvolvida da lei de Beer-Lambert e da transformada de
Radon tambm temporal;
2) A simulao testada com primitivas matemticas dinmicas, como um
crculo crescente, ou transladando, ou ambos. A escolha pautada em sua representao precisa por
funes matemticas e por representar diversos processos industriais(A simulao com o disco
representa a seco de um cilindro ou bolha);
3) Os resultados so apresentados em forma de imagens e grficos. A
visualizao do sinograma bastante utilizada para determinao de caractersticas do objeto.
4) O modelo de simulao ao aplicado a dados do CFD;
2 Fase
O mtodo desenvolvido prope uma inovao na visualizao de imagens
tomogrficas de processos dinmicos pois utiliza canais de cores para mostrar a evoluo temporal
do processo. O algortmo de reconstruo utilizado o MART devido a sua boa performance com
nmero limitado de dados.
Nesta fase realizada a reconstruo tradicional que associada aos canais verde (G)
e azul (B) enquanto que o canal vermelho (R) fica responsvel pela evoluo temporal do processo.
O mtodo descrito na seo 3.3.
38
A reconstruo com correo de movimento utilizada com conhecimento do vetor
deslocamento mdio ou sua estimativa. O mtodo escolhido modifica a matriz de pesos do
algoritmo algbrico deslocando suas colunas de acordo com o modelo de movimento estimado
(ARTEMIEV, V. M.; NAUMOV, A. O., 2006), (BUTALA, 2009), (DESBAT, L. et al, 2006).
Com o resultado das simulaes o sistema tomogrfico pode ser otimizado
(diminuio do nmero de projees e vistas).
3.1 A Transformada de Radon Temporal
regio (espao de medida) na qual ser feita a aquisio de dados,
considere a funo densidade onde
. Neste sistema, um ponto pode ser
mapeado por como
complemento unitrio perpendicular a .
ao longo da reta dada por:
(22)
39
depende no apenas de x e y mas de com sendo a
varivel tempo. Definimos ento:
, (23)
onde e o tempo final da mesma medida.
Lema 1: , ou seja, se
esttico ao longo do tempo, a transformada dinmica reduz-se a convencional.
Demostrao:
Figura 13: Sistema de Coordenadas
x
y
'
s
x (x,y
)
40
Lema 2 e, portanto, se a
leitura for rpida, o caso dinmico mais uma vez reduz-se ao caso esttico.
Demostrao:
Pelo teorema do valor mdio integral (TVMI), temos que se f contnua ento:
para algum tal que
,
usando o TVMI:
K()
41
3.2 Lei de Beer-Lambert temporal
Como a natureza da lei exige que os tempos de contagens sejam iguais para que estas
sejam comparadas, apenas a variao da intensidade da radiao com a distncia geralmente
explorada. Sabendo que esses intervalos de tempo de contagem so desprezveis em relao ao
tempo de meia vida da fonte e que a probabilidade de emisso se mantm constante ao longo do
mesmo tempo, pode-se supor que a intensidade seja diretamente proporcional ao tempo. Ou seja,
(24)
Neste caso, a distribuio de coeficientes de atenuaes varia tambm com o tempo,
ou seja, torna-se .
(25)
ou
(26)
O modelo discreto aplica a lei de Beer-Lambert em sua forma esttica para cada
partio de tempo assumindo que, durante o infinitesimal de tempo, o coeficiente e a distncia
percorrida permanecem constantes.
(27)
42
(28)
3.3 Simulao de aquisies Tomogrficas
O processo de aquisio tomogrfica consiste em coletar intensidades iniciais e finais
em determinados caminhos percorridos pelos feixes de radiao. Os dados podem ser tratados com
filtros, etc. Optou-se em no realizar tratamento para no inserir mais variveis ao processo
garantindo que os resultados sejam alcanados s pelo mtodo proposto.
Como j foi dito na seo 2.6, para calcular a intensidade final para um caminho i ,
faz-se:
(29)
A funo representada pelas imagens de testes, chamadas neste trabalho de
quadros ou frames configurados pela distribuio de densidades escolhida. Em todos os casos
optou-se por densidades unitrias para qualquer distribuio, ou seja, dois valores so possveis em
uma imagem de teste: 0 ou 1. Um pixel com valor 0 corresponde a uma regio sem atenuao e os
pixels que compem o objeto simulado tem valor 1.
Com calculado da figura e de mdia fixa variando a cada projeo
com o desvio padro de Poisson para todas as projees, as projees so calculadas com
. O conjunto de todas as projees ordenado em uma matriz chamada de sinograma.
3.3.1 Aquisio por Tomografia de 1 Gerao
Dois tipos de situaes podem ocorrer:
1) Uma nica projeo 1D realizada e durante todo o tempo de integrao nenhuma
mudana ocorre na distribuio ao longo do raio, podendo mais de uma aquisio 1D ser aferida
para mesma distribuio ou frame. Neste caso, a intensidade final calculada utilizando a lei de
43
Beer-Lambert durante todo o tempo de integrao para cada raio, como ilustrado na Figura 15.
Para calcular a intensidade final para uma projeo i faz-se:
(30)
2) Durante a aquisio ocorre mudana na distribuio de densidades ao longo do
feixe. Como foi exposto na seo 3.1, o somatrio de intensidades finais do raio em cada quadro
(frame) retorna a intensidade final total para um certo tempo de aquisio, Figura 16.
Figura 15: Projees 1D sem mudana de frame
44
Ento para cada frame feita:
e para a discretizao de um intervalo de tempo
No exemplo ilustrado na Figura 16 a intensidade final depois do tempo de integrao
correspondente ao frame b fica:
3) No ocorre mudana na distribuio durante toda a coleta de aquisies 1D em uma vista.
4) No ocorre mudana durante a aquisio de todas as vistas. Neste caso, a distribuio pode
ser tratada como esttica.
Figura 16: Projees 1D com mudana de frame
1 aquisio - Quadro a 1 aquisio - Quadro b
45
3.3.2 Aquisio por tomografia de 3 gerao
A vantagem do mtodo adquirir vrias projees 1D ao mesmo tempo.
Possibilitando um maior volume de dados em um tempo menor quando comparado ao de 1
gerao. Dois casos so possveis:
1) O tempo de integrao suficiente para realizar uma vista completa ou mais por
quadro ou frame, Figura 17.
Figura 17: Mais de uma vista por frame
46
2) Mais de um quadro por vista, Figura 18.
3.3.3 Aquisio por tomografia de 5 gerao
Nesta situao, vrias vistas so adquiridas durante a mudana da distribuio, Figura 19.
Figura 19: Mais de um frame durante a aquisio
Figura 18: Mais de um frame por vista
47
3.4 Posicionamento angular
O posicionamento angular tradicionalmente feito com um conjunto de ngulos
igualmente espaados ordenados de forma crescente cobrindo o intervalo de 0 a 180 ou 360. A
ordem em que as projees ou vistas so adquiridas no importa porque o objeto em estudo
esttico.
A proposta para tomografia dinmica de 1 e 3 geraes que o posicionamento seja
feito em subconjuntos que completem um ciclo. Por exemplo: o conjunto de vistas posicionadas
consecutivamente em 0, 45, 90, 135, 180, 225, 270, 315 pode ser reordenada em ciclos como:
0, 90, 180, 270 : Primeiro ciclo.
45, 135, 225, 315: Segundo ciclo.
A vantagem desse arranjo que, num determinado momento, ao se preferir um
sinograma completo mas esparso em contraposio a um sinograma incompleto mas denso, que as
informaes vo ser disponibilizadas na forma de imagem reconstruda mais cedo durante o
processo, facilitando a interpretao das informaes. uma escolha entre anlise global esparsa
versus anlise local densa.
A nova ordenao gera uma imagem reconstruda mais prxima do objeto dinmico e
abre a possibilidade de reconstrues parciais com os subconjuntos de dados mais consistentes com
a dinmica do processo.
3.5 Utilizao de um canal de cores para visualizar a dinmica do processo: Reconstruo RGB
Uma caracterstica da imagem reconstruda tradicionalmente em processos
industriais dinmicos a falta de informao temporal, ou seja, obtm-se informaes da mdia da
distribuio mas no se sabe em que tempo ocorreram as mudanas de padro de fluxo. A proposta
desenvolvida neste trabalho pondera cada perfil adquirido com um fator dependente do tempo
criando esta distino.
O mtodo desenvolvido prope uma inovao na visualizao de imagens
tomogrficas de processos dinmicos pois utiliza canais de cores para mostrar a evoluo temporal
do processo. Nesta fase realizada a reconstruo tradicional e a mesma associada aos canais
verde (G) e azul (B) enquanto que ao canal vermelho (R) associada a evoluo temporal do
processo. Uma cor no modelo de cores RGB pode ser descrita pela indicao da quantidade de
48
vermelho, verde e azul que contm. Cada uma pode variar entre o mnimo (completamente escuro)
e mximo (completamente intenso). Quando todas as cores esto no mnimo, o resultado preto. Se
todas esto no mximo, o resultado branco. Uma das representaes mais usuais para os canais a
utilizao da escala de 0 255 (GONZALES, 2014).
O mtodo consiste em:
1) Simular as projees que equivalem, na utilizao real de um experimento,
coleta de dados de intensidades finais e iniciais pelo detetor;
2) Reconstruir com esses dados a distribuio de densidades. Foi utilizado o MART
com relaxao 0.2 e critrio de parada 1 %;
3) Associar esta reconstruo aos canais G e B;
4) Binarizar a imagem reconstruda entre 0 e 150. O limiar (threshold) utilizado foi
emprico e de 50% do maior valor da imagem;
5) Penalizar as projees da primeira ltima com um fator emprico crescente com
o tempo. Normalizar as projees de cada vista por 105;
6) Realizar a retroprojeo nos pixels com suas respectivas projees;
7) Associar ao canal R.
8) Juntar todos os canais em uma nica imagem. A reconstruo tradicional e a
reconstruo RGB so visualizadas em uma nica imagem onde os tons de vermelho correspondem
evoluo temporal da dinmica do processo.
3.6 Reconstruo utilizando dados do CFD
Dados da simulao de fluxo bifsico so gerados em forma de imagens 2D da distribuio
em seces transversais ao longo do tubo. Os dados so coletados para uma nica altura, ou seja,
seco. As diversas imagens de uma nica seco representam a evoluo temporal do fluxo
naquela regio. O conjunto de 8 imagens exemplificam o comportamento do fluxo em intervalos
de tempo de 0,0025s.
A altura da seco em m, o tipo de injetor, a vazo volumtrica em L/mim e o fluxo de
catalisador so dados de entrada na simulao do CFD mas no fazem parte das simulaes de
aquisies tomogrficas utilizadas nesse estudo. As imagens portam as informaes que sero
utilizadas nas simulaes de aquisio das projees.
49
3.7 Avaliao dos algoritmos de reconstruo com RMSE
As tcnicas de avaliao de algoritmos de reconstruo mais utilizadas na literatura
so: raiz do erro quadrtico mdio, erro mdio relativo absoluto e erros baseados em entropia. Para
o caso de simulaes com figuras de testes bem definidas (phantoms matemticos), as tcnicas
podem ser aplicadas comparando a imagem reconstruda com a imagem original. O mesmo
procedimento repete-se para phantoms reais, onde a distribuio de densidades bem conhecida. Os
sinogramas tambm podem ser avaliados.
Gordon e Herman (GORDON, 1974; HERMAN, 1973; HERMAN, 1976) usaram a
raiz do erro quadrtico mdio para avaliar o quanto a figura reconstruda aproxima-se da original. A
definio do erro :
(31)
Onde:
o valor original do pixel;
o pixel reconstrudo;
o nmero total de pixels da imagem ou sinograma.
50
3.8 Algoritmos e Software Desenvolvidos
Diversas rotinas foram implementadas no Matlab. Suas funes so para calculo de
projees, sinogramas, resoluo por ART, MART, calculo da Matriz de pesos, resoluo de
sistemas. Alm das j disponveis no programa como: Resoluo por FBP, filtros de imagem,
operao com matrizes, visualizao de grficos, etc. As rotinas esto disponveis no Anexo-I.
Devido grande dimenso da matriz de pesos nos algoritmos algbricos, ficou
invivel sua operao em alguns casos no Matlab. O software Tomography Workstation-TW foi
desenvolvido em C# com este propsito. Apresenta opes de reconstruo: ART, MART, SIRT e
SART, Figura 3.9. Tambm tem as funes para carregar tomogramas e sinogramas.
Figura 20: Software Desenvolvido
51
4. RESULTADOS E DISCUSSO
Os resultados foram divididos nas seguintes sees:
Aumento do nmero de iteraes na Reconstruo Algbrica Dinmica;
Resultados das reconstrues MART e FBP;
Escolha do posicionamento angular (vistas alternadas);
Resultados com reconstruo RGB;
Simulaes com MCNP;
Reconstruo com correo de movimento;
Simulaes tomogrficas a partir do CFD.
4.1 Resultados das Reconstrues MART e FBP
As imagens de teste (phantoms) foram utilizadas para avaliar os resultados das
reconstrues MART e FBP.
4.1.1 Primitiva Crculo Transladando: 1 vista por frame
A simulao consiste em oito distribuies representadas por imagens (quadros ou
frames) de 64x64 pixels com um disco de densidade unitria e raio fixo. No ocorre mudana
durante a simulao de uma aquisio ou varredura. Esta aplicao simula as tomografias de 1 e 3
gerao.
O disco Raio = 2 pixels, deslocamento de 7 pixels entre os centros dos discos de
quadros consecutivos. A imagem reconstruda por FBP e MART.
Os frames so ilustrados na Figura 21 e a mdia dos oito na Figura 22. Cada imagem
ilustrada na escala de 64 x 64 pixels.
52
Figura 21: 8 frames - crculo transladando - 1 vista por frame
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
Figura 22: Mdia Aritmtica dos 8 frames
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
53
Os oito picos do sinograma, Figura 23, ilustram a captura do disco em diferentes
posies.
A Figura 24 ilustra o sinograma em forma de imagem onde cada valor de pixel
convertido para uma escala de cor. O eixo vertical (linhas do sinograma) representa a passo linear
(posio das trajetrias dos feixes) e o horizontal o passo angular (Nmero de vistas).
Figura 23: Tomograma e sinograma circulo transladando 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Posicionamento Linear
Sinograma
1 Vista
2 Vista
3 Vista
4 Vista
5 Vista
6 Vista
7 Vista
8 Vista
0 10 20 30 40 50 60 700
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1 Vista
2 Vista
3 Vista
4 Vista
5 Vista
6 Vista
7 Vista
8 Vista
54
Os resultados das reconstrues FBP e MART so ilustrados na Figura 25.
A reconstruo por FBP mostra diversos artefatos, no dando para identificar o
ncleo nem a tendncia de movimento. Os artefatos formam oito faixas, um para cada vista ou
projeo. Estes artefatos em faixa so comuns no FBP para um baixo nmero de vistas
O MART difere da imagem mdia mostrando um arqueamento para direita devido ao
movimento simulado e o sentido anti-horrio das aquisies. um artefato de movimento.
Figura 25: Reconstrues: circulo transladando 1 vista por frame
Reconstruo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Figura 24: Sinogramas:circulo transladando 1 vista por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
55
4.1.2 Primitiva Crculo Transladando: Oito vistas por frame
O objetivo desta simulao descobrir como se comportam os algoritmos em uma
tomografia de 5 gerao onde todas as aquisies so realizadas ao mesmo tempo. Nesta situao
as oito vistas so realizadas simultaneamente enquanto ocorre a mudana das distribuies (Figura
19). Figuras com 64x64 pixels, raio fixo de 2 pixels, deslocamento de 5 pixels.
Figura 26: Tomograma e Sinograma - disco transladando - 8 vistas por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
0.5
1
1.5
2
2.5
Posicionamento Linear
Sinograma
1 Vista
2 Vista
3 Vista
4 Vista
5 Vista
6 Vista
7 Vista
8 Vista
0 10 20 30 40 50 60 700.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1 Vista
2 Vista
3 Vista
4 Vista
5 Vista
6 Vista
7 Vista
8 Vista
56
Os resultados das reconstrues so ilustrados na Figura 28.
As reconstrues ficam mais prximas da imagem mdia porque todas as vistas so
adquiridas ao mesmo tempo durante todo o processo. O FBP perde a definio dos discos e forma
um artefato central vertical. O MART reconstri o disco nas oito posies. Cada disco
reconstrudo ilustrando os oito instantes de tempo que foram simulados.
Figura 27: Sinogramas: CrculoTransladando -Oito vistas por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Figura 28: Reconstrues: Crculo Transladando -Oito vistas por frame
Reconstruo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Reconstruo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
57
4.1.3 Primitiva Circulo Crescente: Uma vista por frame
A simulao consiste em oito distribuies em forma de crculo concntricas com um
aumento 2 pixels entre distribuies consecutivas (Figura 29). Oito vistas so adquiridas
simultaneamente para simular a tomografia de 5 gerao.
Abaixo a imagem mdia aritmtica das oito distribuies ilustrada na Figura 29. A
rea central mais escura porque coincidente para os oito crculos.
Figura 30: Mdia Aritmtica dos 8 frames
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Figura 29: 8 frames - circulo crescente - 1 vista por frame
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
20 40 60
10
20
30
40
50
60
58
Tanto o sinograma quanto o tomograma ilustram o crescimento do disco, Figura
4.11.
Figura 31: Tomograma e sinograma - crculo crescente - 1 vista por frame
0 10 20 30 40 50 60 700
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Posicionamento Linear
Tomograma
1 Vista
2 Vista
3 Vista
4 Vista
5 Vista
6 Vista
7 Vista
8 Vista
0 10 20 30 40 50 60 700
10
20
30
40
50
60
Posicionamento Linear
Sinograma
1 Vista
2 Vista
3 Vista
4 Vista
5 Vista
6 Vista
7 Vista
8 Vista
59
O sinograma em forma de imagem mostrado abaixo (Figura 32).
O aumento vertical das faixas devido ao crescimento do disco.
As duas reconstrues apresentam artefatos de rotao que dificultam a identificao
da tendncia de movimento ou da distribuio espacial dos discos (Figura 33).
Figura 32: Imagem do sinograma -crculo crescente - 1 vista por frame
Sinograma
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
60
Figura 33: Reconstrues circulo crescente 1 vista por frame
Reconstruo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
60
4.1.4 Primitiva Circulo Crescente: Oito vistas por frame
Neste caso ocorre mudana de frame com a vista. Para cada distribuio tem-se uma
vista diferente, Figura 34.
Figura 34: Tomograma e sinograma - circulo crescente - 8 vista por frame
29 30 31 32 33 340
0.5
1
1.5
2
Posicionamento Linear
Sinograma
1 Vista
2 Vista
3 Vista
4 Vista
5 Vista
6 Vista
7 Vista
8 Vista
27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 370.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Posicionamento Linear
Tomograma
1 Vista
2 Vista
3 Vista
4 Vista
5 Vista
6 Vista
7 Vista
8 Vista
61
A posio central, que comum a todos os frames, reconstruda nos dois casos. O
FBP mostra a presena de artefatos de Moir (Figura 36). O MART mostra poucos artefatos e
mostra uma regio borrada ao redor do crculo central indicando os discos maiores.
Figura 35: Sinogramas circulo crescente 8vistas por frame
Sinograma
2 4 6 8
10
20
30
40
50
60
Figura 36: Reconstrues circulo crescente 8 vistas por frame
Reconstruo com FBP
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Reconstruo com Mart
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
62
4.2 Vistas Alternadas
Alguns testes foram realizados para estudar o posicionamento angular quando
ordenado de forma sequencial e alternada. O conjunto de vistas posicionadas consecutivamente em
0, 45, 90, 135, 180, 225, 270, 315 foram reordenadas em dois ciclos:
0, 90, 180, 270: para o primeiro ciclo.
45, 135, 225, 315: para o segundo ciclo.
As seguintes situaes foram exploradas:
Disco transladando - 1 Vista por frame
Cada distribuio (quadro) capturado em um instante de tempo diferente. Os
ngulos utilizados em cada quadro so apresentados na Tabela 1.
Tabela 1: Associao de vistas e quadros para disco transladando com 1 vista por frame.
Quadro 1 2 3 4 5 6 7 8
Vista 0 90 180 270 45 135 225 315
Reconstrues:
Figura 37: Reconstrues disco transladando - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Mdia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
63
Dois ciclos so suficientes para no formao do artefato de rotao (arqueamento).
A reconstruo com vistas alternadas mostra-se mais coerente com a imagem mdia (Figura 37).
Disco transladando - 2 Vistas por frame
Com duas vistas por quadro totaliza-se quatro quadros. A associao ilustrada na
Tabela 2.
Tabela 2: Associao de vistas e quadros para disco transladando com 2 vistas por frame.
Quadro 1 2 3 4
Vista 0 e 45 90 e 135 180 e 225 270 e 315
A reconstruo encontra-se mais prxima da imagem mdia do que na situao com
vista sucessivas (Figura 38).
Disco Transladando - 4 Vistas por frame
Apenas dois quadros so suficientes, Tabela 3.
Tabela 3: Associao de vistas e quadros para disco transladando com 4 vistas por frame.
Quadro 1 2
Vista 0 , 90, 180 e 270 45, 135, 225, 315
Figura 38: Reconstrues disco transladando - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Mdia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
64
Reconstrues:
Disco crescente - 1 Vista por frame
A configurao das vistas a mesma utilizada na Tabela 1, uma vista por frame.
A reconstruo com vistas alternadas, Figura 40, apresenta uma reduo nos artefatos
de rotao mostrando uma distribuio espacial mais prxima da imagem mdia (Figura 40).
Disco crescente - 2 Vistas por frame
A configurao das vistas mesma da Tabela-2.
Figura 39: Reconstrues disco transladando - 4 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Mdia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
Figura 40: Reconstrues disco crescente - 1 Vista por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Mdia
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Sucessivas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
MART - Vistas Alternadas
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
65
Com o aumento do nmero de vistas, a distribuio torna-se mais central
aproximando-se da imagem mdia (Figura 41).
4.3 Resultados com RGB
As situaes j utilizadas nas sees 4.1 e 4.2 so testadas com visualizao RGB.
Para todos os casos, a primeira reconstruo (MART) realizada com matriz inicial de valores
unitrios, relaxao 0.2 e nmero de iteraes definido pela convergncia de 0,5% e em seguida a
normalizada por 150.
Os sinogramas so ponderados pelo conjunto de fatores que variam de 0,1 a 0,9
linearmente espaados. Os valores foram escolhidos empiricamente.
Em seguida realizada a reconstruo com o sinograma j ponderado e seus valores
normalizados no intervalo de 150 a 255.
Figura 41: Reconstrues disco crescente - 2 Vistas por frame - Vistas sucessivas ealternadas
Imagem Mdia
10 20 30 40 50 60