Trabalho Computacional 2

Questo 5.114 (Incropera)

Olga Pinheiro

3 de dezembro de 2013

Universidade Federal de Pernambuco

PEM1009 - Fenmenos de Transporte Computacional - Programa de Ps-graduao em Engenharia Mecnica

Prof.: Rita de Cssia Fernandes Lima

Sumrio

1 Problema Proposto 3

2 Metodologia 3

2.1 Esquema e Obteno de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Diferenas Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Mtodo Numrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Resultados 11

3.1 Resposta ao enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3 Renamento da Malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Referncias Bibliogrcas 16

2

1 Problema Proposto

Um basto de tantlio, com 3 mm de dimetro e comprimento de 120 mm, sustentado por dois eletrodos

no interios de um grande recipiente onde h vcuo. Inicialmente, o basto est em equilbrio com os ele-

trodos e com a sua vizinhana, que so mantidos a 300 K. Subitamente, uma corrente eltrica, I = 80A, passada atravs do basto. Considere a emissividade do basto igual a 0,1 e a resistividade eltrica igual a

95 108 m. Utilize a Tabela A.1 para obter as outras propriedades termofsicas necessrias para a suasoluo. Use um mtodo de diferenas nitas com um incremento espacial de 10 mm.

Figura 1: Esquema do problema 5.114. Adaptado de: Incropera et al. (2008)

(a) Calcule o tempo necessrio para o ponto na metade do comprimento do basto atingir 1000 K.

(b) Determine a distribuio de temperaturas em regime estacionrio e calcule, aproximadamente, quanto

tempo ser necessrio para se atingir essa condio.

2 Metodologia

A questo 4.71 foi resolvida seguindo uma metodologia geral para modelagem computacional. De forma

resumida, foram seguidos os seguintes passos:

1. Esquema: O problema foi esquematizado, j de forma discretizada, identicando suas principais incg-

nitas e parmetros.

2. Diferenas Finitas: Foram escritas as equaes nodais a partir do mtodo das diferenas nitas.

3

3. Mtodo Numrico: O problema foi desenvolvido na forma de um cdigo computacional na linguagem

do software MatLab.

4. Validao do Mtodo: A coerncia fsica dos resultados foi avaliada, alm de comparar os valores

numricos obtidos com a soluo disponvel no Solutions Manual do livro texto. Alguns problemas

foram percebidos, de forma que retornou-se aos itens 2 e 3 para revisar as equaes, o mtodo numrico

e o cdigo.

2.1 Esquema e Obteno de Dados

Levando em considerao a simetria do basto, para reduzir a quantidade de clculos necessrios, o problema

foi resolvido apenas para metade do basto. Desta forma, dependendo do x escolhido, o nmero de nsser dado por m = L2x , como pode ser visto no esquema da discretizao (Figura 2).

Figura 2: Esquema da discretizao do problema proposto.

O passo no tempo dever ser escolhido de acordo com o critrio de estabilidade, que ser calculado

posteriormente.

4

Da Tabela A.1 para o tantlio, considerando uma temperatura mdia no problema de Tmed =300+1000

2 =650K, obtm-se:

= 16600 kg/m3

c = 147 J/kg K k = 58.8 W/m K

2.2 Diferenas Finitas

Fazendo um balano de energia para um n interno, seguindo a nomenclatura da Figura 2, obtm-se:

k A 2T

x2+ q + qrad

P

A= c

T

t(1)

Onde:

D = dimetro do basto

A = piD2/4 = rea da seo transversal do basto;

P = piD = permetro da seo transversal

e = resistividade eltrica do basto

q =RI2

Ax= calor gerado pela passagem de corrente eltrica por unidade de volume

R =ex

A

qrad = [T 4 T 4viz

]= uxo de calor entre o basto e a vizinhana

Utilizando diferenas nitas explcitas no tempo, a Equao 1 pode ser aproximada como:

k

(Tni1 2Tni + Tni+1

x2

)+

RI2

Ax [(Tni )4 T 4viz] PA = cTn+1i TnitOu, isolando Tn+1i :

Tn+1i =k

c

t

x2(Tni1 + T

ni+1

)+

(1 2 k

c

t

x2

)Tni1

Pt

Ac

[(Tni )

4 T 4viz]

+RI2t

Acx

Sabendo que a difusividade trmica = kc e o Nmero de Fourier dado por Fo =tx2 , obtm-se as

equaes nodais para os ns internos, n central, e n `m' (ltimo n antes do eletrodo).

Ns Internos i = 2 at m-1

Tn+1i = Fo(Tni1 + T

ni+1

)+ (1 2Fo)Tni

Px2

AkFo

[(Tni )

4 T 4viz]

+eI

2x2

AkFo (2)

5

N Central i = 1

Para o n central, Tni1 = Tni+1 = T

n2 .

Tn+1i = Fo(2Tni+1

)+ (1 2Fo)Tni

Px2

AkFo

[(Tni )

4 T 4viz]

+eI

2x2

AkFo (3)

N `m' i = m

Neste caso, Tni+1 = TL = temperatura no eletrodo. Assim:

Tn+1i = Fo(Tni1 + TL

)+ (1 2Fo)Tni

Px2

AkFo

[(Tni )

4 T 4viz]

+eI

2x2

AkFo (4)

2.3 Estabilidade

Para garantir a estabilidade numrica, necessrio que o coeciente de Tni nas equaes nodais (Equaes 2a 4) seja sempre maior ou igual a zero. Colocando Tni em evidncia, observa-se que seu coeciente sempredado pela Equao 5.

Coeficiente de Tni =

(1 2Fo Px

2

AkFo(Tni )

3

)(5)

Vale observar que o coeciente de Tni depende de sua terceira potncia. Portanto, alm de determinarum valor mximo de Fourier, o mtodo ser estvel apenas at um valor mximo de temperatura.

1 2Fo Px2

AkFo(Tni )

3 0

Chamando G =Px2

A k:

G Fo (Tni )3 1 2Fo

Como so utilizadas temperaturas absolutas, o termo esquerda sempre positivo, de forma que uma

primeira condio para a estabilidade a Equao 6.

1 2Fo 0 = Fo 12(6)

Escolhido um valor de Fourier que satisfaa primeira condio, o mtodo ser estvel enquanto todas

as temperaturas do basto satiszerem Equao 7.

Tni (

1 2FoG Fo

)1/3(7)

2.4 Mtodo Numrico

O problema um conjunto de equaes progressivas no tempo, que foram compiladas no software MatLab,

gerando os resultados que sero discutidos na prxima seo.

6

Cdigo-Fonte

%Fenmenos de Transporte Computacional

%Trabalho Computacional - Problema 5.114 do Incropera

clc

clear all

%% Parmetros do problema

epsilon = 0.1; %emissividade da barra

sigma = 5.67*10^(-8); %Constante de Stefan-Boltzmann

rho_e = 95*10^(-8); %ohm*m, resistividade eltrica do basto;

I = 80; %A, corrente eltrica

D = 3*10^(-3); %m, dimetro do basto

P = pi*D; %m, permetro seo transversal, caso cilindro

A = (pi*D^2)/4; %m^2, rea seo transversal, caso cilindro

k = 58.8; %W/m.K, condutividade do basto

rho = 16600; %kg/m^3, densidade da parede

c = 147; %J/(kg.K), calor especfico

alpha = k/(rho*c); %m^2/s, difusividade trmica

%alpha = 1.5*10^(-6); %m^2/s, difusividade trmica

L = 0.12/2; %m, comprimento de metade do basto

fprintf('%s\n %s\n', 'MTODO EXPLCITO', 'Qual o comprimento de cada n (m)?');

dx = input('Delta x = '); %comprimento de cada volume de controle

m = L/dx; %nmero de ns em metade do basto

fprintf('%s\n', 'Critrio de estabilidade: Fo

Tinicial = input('Tinicial = f(x) = ', 's');

for i=1:m

x = i*dx;

T(i,1) = eval(Tinicial); %Temperatura inicial em cada n

end

%% Condies de Contorno

fprintf('%s\n', 'Qual a temperatura nos eletrodos (K)?');

TL = input('T(x=L) = ');

%% Temperatura da vizinhana

fprintf('%s\n', 'Qual a temperatura da vizinhana (K)?');

Tviz = input('Tviz = ');

%% Impresso dos resultados em tabela

fprintf('%s\n %s\n',...

'Devido simetria, os resultados sero exibidos para metade do basto', '');

fprintf('%s\n','----------------------------------------------------------------');

fprintf('%s\n',' RESULTADOS ');

fprintf('%s\n','----------------------------------------------------------------');

fprintf('%s%s\t%s\t%s\t\t%s\t\t%s\t\t%s\t\t%s\n', 'Tempo(s)', 'T(1)',...

'', 'T(2)', 'T(3)', 'T(4)','T(5)', 'T(6)');

tj=0;

%Temperaturas no tempo inicial

fprintf('%2.2f\t%2.2f\t%s\t%2.2f\t\t%2.2f\t\t%2.2f\t\t%2.2f\t\t%2.2f\n',...

tj,T(1,1),'',T(2,1),T(3,1),T(4,1),T(5,1),T(6,1));

%% Iteraes progressivas no tempo

tj=0;

j=0;

absdT=10;

while (max(absdT)>=0.01 & tfinal==0) | (tj

*sigma*(dx^2/(A*k))*Fo*((T(i,1))^4-Tviz^4)...

+rho_e*(I^2)*dx^2*Fo/(k*A^2);

elseif i==m %n prximo extremidade

T(i,2) = Fo*(T(i-1,1)+TL) + (1-2*Fo)*T(i,1) - P*epsilon...

*sigma*(dx^2/(A*k))*Fo*((T(i,1))^4-Tviz^4)...

+rho_e*(I^2)*dx^2*Fo/(k*A^2);

else %ns internos

T(i,2) = Fo*(T(i-1,1)+T(i+1,1)) + (1-2*Fo)*T(i,1)- P*epsilon...

*sigma*(dx^2/(A*k))*Fo*((T(i,1))^4-Tviz^4)...

+rho_e*(I^2)*dx^2*Fo/(k*A^2);

end

end

dT = T(:,2) - T(:,1); %Diferena de temperaturas no tempo

absdT = abs(dT);

tj = j*dt;

%Temperaturas no tempo tj

fprintf('%2.2f\t%2.2f\t%s\t%2.2f\t\t%2.2f\t\t%2.2f\t\t%2.2f\t\t%2.2f\n',...

tj,T(1,2),'',T(2,2),T(3,2),T(4,2),T(5,2),T(6,2));

%Registro da evoluo temporal

if tj == 1*dt

Ttempo(:,1) = T(:,2);

end

if tj == 5*dt

Ttempo(:,2) = T(:,2);

end

if tj == 10*dt

Ttempo(:,3) = T(:,2);

end

if tj == 15*dt

Ttempo(:,4) = T(:,2);

end

T(:,1) = T(:,2);

Tgraf(j,1) = T(1,2);

Tgraf(j,2) = T(fix(m/2),2);

Tgraf(j,3) = T(m,2);

end

Ttempo(:,5) = T(:,2); %Distribuio de temperaturas no tempo final

%% ORGANIZAO DOS RESULTADOS

%Tempo final atingido

9

fprintf('\n%s %2.2f %s\n', 'Tempo final = ', tj, 's');

t = zeros(j,1);

for i=1:j

t(i) = i*dt;

end

%Posio no basto

x = zeros(2*m+1,1);

for i=1:(2*m+1)

x(i) = (i-1)*dx;

end

%Temperaturas no basto (de -L a L)

Tj = zeros(2*m+1,1);

Tj(1) = TL; %temperatura no eletrodo superior

for i=m+1:2*m %temperatura na segunda metade do basto

Tj(i) = T(i-m,2);

end

for i=1:m-1 %temperatura na primeira metade do basto

Tj(m+1-i) = Tj(m+1+i);

end

Tj(2*m+1,1)=TL; %temperatura no eletrodo inferior

%% Grficos

figure(1)

plot(x,Tj,'*--')

title('Distribuio Final de Temperaturas no basto');

xlabel('Posio no basto (m)');

ylabel('Temperatura (K)');

legend('Soluo Numrica')%,'Soluo Analtica');

figure(2)

plot(t,Tgraf(:,1),t,Tgraf(:,2),t,Tgraf(:,3),'--')

title('Evoluo da temperatura com o tempo em alguns pontos');

xlabel('Instante de tempo (s)');

ylabel('Temperatura (K)');

legend('x1 = Centro do basto','x2 = 1/4 do basto', 'x3 = Extremidade');

% figure(3)

% plot(x,[T0;Ttempo(:,1);T0],x,[T0;Ttempo(:,2);T0],x,Tj)

% title('Distribuio de Temperaturas no basto para diferentes tempos');

% xlabel('Posio no basto (m)');

% ylabel('Temperatura (K)');

% legend('dt','100dt','tfinal');

10

3 Resultados

3.1 Resposta ao enunciado

Tempo necessrio para o ponto na metade do comprimento do basto atingir 1000 K. Com o

nmero de ns no basto sendo igual a 6 como proposto no enunciado, obtm-se os resultados da Tabela 1.

Tabela 1: Resultados ao utilizar uma malha com seis ns e Fo = 0,45

Tempo(s) T(1) T(2) T(3) T(4) T(5) T(6) (K)

0,00 300,00 300,00 300,00 300,00 300,00 300,00

1,87 393,13 393,13 393,13 393,13 393,13 393,13

3,74 486,16 486,16 486,16 486,16 486,16 444,25

5,60 579,01 579,01 579,01 579,01 560,15 491,15

7,47 671,54 671,54 671,54 663,05 630,19 529,02

9,34 763,53 763,53 759,71 744,14 691,71 564,21

11,21 854,74 853,02 845,67 818,95 749,78 595,28

13,07 943,28 940,60 927,17 890,42 802,73 624,37

14,94 1029,46 1024,41 1005,57 957,03 852,70 650,96

16,81 1111,59 1105,01 1079,46 1020,24 898,98 675,95

O ponto central (ponto 1) atinge a temperatura de 1000 K entre os instantes 13,07 e 14,94. O programa

foi executado mais algumas vezes, reduzindo o passo no tempo para encontrar o instante com maior preciso.

Obteve-se t = 14, 48 s.

Tempo necessrio para atingir o estado estacionrio e distribuio de temperaturas nal. O

programa foi executado at atingir aproximadamente o estado estacionrio: as iteraes progressivas no

tempo foram interrompidas quando a mxima diferena entre as temperaturas no tempo nal e no tempo

inicial de uma iterao foi menor que 0,01 K. Ou seja, quando max(|Tn+1i Tni |) < 0, 01. Utilizando osmesmos parmetros da simulao anterior, esta condio foi alcanada para t 130 s. Reduzindo o passono tempo para t = 0, 02 s, que garante maior preciso como ser discutido nas prximas sees, o temponecessrio para atingir o estado estacionrio foi de t = 80 s.

Gracamente, o alcance do estado estacionrio pode ser observado na Figura 3(a), que mostra a evoluo

da temperatura em trs ns especcos: no centro do basto, em x = L4 e no n mais prximo ao eletrodo.Pode-se observar que a temperatura dos trs ns se tornou aproximadamente constante aps certo tempo,

o que caracteriza o estado estacionrio. A distribuio de temperaturas neste momento pode ser vista na

Figura 3(b).

11

(a) Evoluo da temperatura com o tempo em trs ns

especcos: no centro do basto, a um quarto do basto e

prximo ao eletrodo.

(b) Distribuio de temperaturas no estado estacionrio.

Figura 3: Simulao at o estado estacionrio utilizando x = 0, 01m e Fo = 0, 0045.

Como os pontos prximos ao centro do basto atingem temperaturas acima de 1800 K (no ponto central

a temperatura obtida foi de 1882, 43 K), a estimativa utilizada para as propriedades do tantlio na simu-lao anterior pode no ser to boa (eram utilizadas as propriedades na temperatura mdia de 650 K).

A temperatura mdia para uma simulao que atinja o estado estacionrio ser melhor aproximada por

Tmed (1900 + 300)/2 = 1100 K. Neste caso, novamente pela Tabela A.1 (INCROPERA, 2008):

= 16600 kg/m3

c = 153, 5 J/kg K k = 60, 6 W/m K

Realizando uma simulao com a nova aproximao para os parmetros termofsicos, o tempo necessrio

para atingir o estado estacionrio foi t 137 s. A temperatura nal no centro do basto foi de 1877, 65 K,mostrando que a aproximao utilizada para o valor dos parmetros termofsicos no exerce uma inun-

cia signicativa no resultado nal (erro relativo de 0,25% na temperatura e de aproximadamente 5% no

tempo necessrio). Assim, em todas as simulaes a seguir sero utilizadas as aproximaes iniciais para os

parmetros termofsicos, exceto quando explicitamente mencionado.

3.2 Estabilidade

Como explicado na Seo 2.3, necessrio que o mtodo atenda a um critrio de estabilidade para evitar a

oscilao dos resultados numricos.

O programa desenvolvido foi executado para diversos valores do nmero de Fourier, mantendo xo x =0, 01 m, para observar na prtica a estabilidade do mtodo. Como pode ser visto na Figura 4, os resultadosda simulao so coerentes com o que foi calculado anteriormente.

12

(a) Fo = 0, 45, t = 130 s, estvel para T < 2585, 52 K. (b) Fo = 0, 49, t = 130 s, estvel para T < 1469, 70 K.

(c) Fo = 0, 5, t = 130 s, instvel. (d) Fo = 0, 6, t = 50 s, instvel.

Figura 4: Estabilidade do mtodo para diversos valores do nmero de Fourier.

13

3.3 Renamento da Malha

Foram realizadas algumas simulaes variando x e mantendo xos os parmetros termofsicos, as tempe-raturas e outras caractersticas do basto. Em um conjunto de simulaes, manteve-se o nmero de Fourier

xo (Tabela 2), enquanto em outro grupo o passo no tempo (t) foi mantido constante (Tabela 3).

possvel perceber que a temperatura nal no centro do basto tende ao valor de 1878, 86 K ao reduzirbastante o incremento espacial, tanto na Tabela 2 quanto na Tabela 3. Vale ressaltar que, na Tabela 2, ao

manter o nmero de Fourier constante e variar a malha, o incremento temporal varia consideravelmente.

Como o erro de truncamento do mtodo aumenta com t e x, mantendo t constante ao variar a malha(Tabela 3) o resultado converge muito mais rpido para o desejado, tanto no que diz respeito temperatura

no centro do basto, quanto ao tempo nal para alcanar o estado estacionrio.

Tabela 2: Temperatura no centro do basto e tempo nal ao simular para diferentes valores de x at oestado estacionrio, Fo = 0, 45 xo.

x (m) Temperatura no centro do basto (K) Tempo nal (s)0,02 1873,71 790,16

0,01 1882,43 130,73

0,005 1884,44 118,12

0,001 1878,87 80,0

Tabela 3: Temperatura no centro do basto e tempo nal ao simular para diferentes valores de x at oestado estacionrio, t = 0, 02 s xo.

x (m) Temperatura no centro do basto (K) Tempo nal (s)0,02 1867.07 80.97

0,01 1875.92 80.25

0,005 1878.15 80.06

0,001 1878.86 80,0

Comparando agora a distribuio de temperaturas no estado estacionrio para diferentes valores de x,com t = 0, 02 s, ca ainda mais clara a importncia de utilizar uma malha sucientemente renada, comum passo de tempo que garanta boa preciso dos resultados.

Na Figura 5, evidente a necessidade de reduo do incremento temporal para que seja possvel obter

uma distribuio de temperaturas mais prxima de uma soluo contnua. J a Figura 3(a) mostra que,

apesar da temperatura do centro do basto no sofrer variaes muito grandes, as temperaturas em outros

pontos do bsato podem ser bastante afetadas pelos erros causados pela utilizao de uma malha pouco

renada ou de um incremento temporal grande demais.

14

(a) x = 0, 02 m (b) x = 0, 01 m

(c) x = 0, 005 m (d) x = 0, 001 m

Figura 5: Distribuio nal de temperaturas no basto para diferentes malhas e mesmo incremento temporal.

.

15

(a) x = 0, 02 m (b) x = 0, 01 m

(c) x = 0, 005 m (d) x = 0, 001 m

Figura 6: Evoluo temporal das temperaturas em diferentes pontos do basto para diversas malhas e mesmo

incremento temporal.

4 Referncias Bibliogrcas

INCROPERA, Frank, et al. Fundamentos de transferncia de calor e de massa, 6.ed. Rio de Janeiro: LTC,

2013.

16