Aula 21 – Convecção Natural

UFJF/Departamento de Engenharia de Produção e Mecânica

Prof. Dr. Washington Orlando Irrazabal Bohorquez

Considerações Gerais• A convecção natural tem lugar quando há movimento de um fluido

resultante de forças de impulsão.

• A impulsão tem lugar num fluido onde há gradientes de densidadee uma força mássica (por exemplo, força gravítica) proporcional àdensidade.densidade.

• Em transmissão de calor, os gradientes de densidade são devidosa gradientes de temperatura e a força mássica é a força gravítica.

• Gradientes de temperatura estáveis e instáveis.

Escoamentos sem superfície adjacente (esteira, jato, mistura)

• Ocorre num meio (em princípio, infinito), em repouso(velocidade nula longe da origem do escoamento).

• Plumas e jatos com impulsão:

Escoamentos com superfície adjacente (camada limite)

• Escoamento de camada limite numa superfície quente ou fria induzido por forças de impulsão.

sT T

Placas verticais

Desenvolvimento da camada limite numa placa vertical aquecida

• Escoamento ascendente com velocidade máxima dentro da camada limitee velocidade nula na superfície da placa e na extremidade (y = δ).

• Quais as diferenças relativamente a convecção forçada?

• Quais as diferenças relativamente a uma placa arrefecida (Ts < T) ?

• Equação de balanço de quantidade de movimento na direção x(escoamento laminar)

2

2

u u 1 p uu v g

x y x y

Equações de conservação – Camada limite laminar

2u v g

x y x y

dentro da camada limite fora da camada limite

p p

x x

pg

x

p

1 1

T T T

x

2

2

u u g uu v

x y y

p

2

2

u u uu v g T T

x y y

2

u u uu g T T

Equações de conservação – Camada limite laminar

• Equação de balanço de quantidade de movimento na direção x(escoamento laminar)

2 u u uu g T Tx y y

Forças de inércia

Força de impulsão

Força viscosa

• Dado que u (x,y) depende de T (x,y), a solução desta equação tem deser obtida juntamente com a solução para a equação de camada limiteda energia T (x,y).da energia T (x,y).

2

2 T T Tux y y

– As soluções estão acopladas.

21 1 1

p

p

T TRT

Adimensionalização das equações

xx*

L

yy*

L

uu*

vv*

T TT*

Equações de conservação – Similaridade

o

uu*

u

o

vv*

u

s

T TT*

T T

2s

2 2o L

g T T Lu* u* 1 u *u * v * T *

x * y * u Re y *

2

2L

T * T * 1 T *u * v *

x * y * Re Pr y *

L

2

2 3s so

L 2 2o

Re

g T T L g T T Lu LGr

u

2L2 2

L

u * u * Gr 1 u*u * v * T *

x * y * Re Re y *

impulsãodeForçasLTTgGr s

L ~2

3

Parâmetros adimensionais relevantes

• Número de Grashof:

Equações de conservação – Similaridade

viscosasForçasGrL ~

2

• Líquidos: b Tabelas A.5, A.6 de Incropera e de Witt.

Coeficiente de expansão térmica da superfície (propriedade termodinâmica do fluido)

1

pT

L: dimensão característica da superfície

• Número de Rayleigh:

3

Pr s

L L

g T T LRa Gr

• Gás perfeito: b = 1/T → (K)

• Líquidos: b Tabelas A.5, A.6 de Incropera e de Witt.

Equações de conservação – Similaridade

Quando os efeitos da convecção forçada e natural são comparáveis temos a seguinte análise:

Em resumo:

- Para tem-seL2L

Gr1

Re L LNu f Re ,Pr

- Para tem-seL2L

Gr1

Re

L

- Para tem-seL2L

Gr1

Re

L L LNu f Re ,Gr ,Pr

L LNu f Gr ,Pr

• O sistema de equações deduzido anteriormente:

Convecção natural laminar numa superfície vertical:

Método de Similaridade

• Pode ser resolvido usando condições de contorno na forma:

• Solução das equações envolve umatransformação de variáveis com o uso doseguinte parâmetro de similaridade:

Convecção natural laminar numa superfície vertical:

Método de Similaridade

• E a representação dos componentes develocidade em termos de uma funçãocorrente:

1/4

4

xGry

x

1/4

, 4

xGrx y f

• Com a definição para a função corrente, o componente de velocidadena direção x pode ser expresso como:

, 44

xGrx y f

1/4 1/4

' 1 2 '1 244 4

x x

x

Gr Gru f Gr f

y y x x

Convecção natural laminar numa superfície vertical:

Método de Similaridade

• Definindo uma temperatura adimensional:

1/2

2

x

s

T Tdf xf Gr u Td T T

• As três equações diferenciais parciaisoriginais podem então, ser reduzidas a duasequações diferenciais ordinárias:

2 sd T T

23 2 0 f ff f T

3Pr 0 T fT

• A condição de contorno transformada necessárias para a solução dasequações de momento e de energia tem as formas:

3Pr 0 T fT

Convecção natural laminar numa superfície vertical:

Método de Similaridade

• A integração numérica das equações conduz aos seguintes resultadospara f ’(η) e T*:

• Espessura da camada limite hidrodinâmica 5 para Pr 0.6

1/41/4

1/4Pr 0.6 : 5 7.07

4

x

x

Gr xx xGr

Convecção natural laminar numa superfície vertical:

Método de Similaridade

• Uma correlação de transferência de calor também pode ser obtida. Da leide resfriamento de Newton:

• Usando a lei de Fourier para obter q”s e expressando o gradiente detemperatura na superfície em termos de η e de T*, tem-se que:

Onde:

1/2

1/41/2

0.75 PrPr 0 Pr

0.609 1.221 Pr 1.238 Pr

g

Convecção natural laminar numa superfície vertical:

Método de Similaridade

• O coeficiente convectivo médio em uma superfície de comprimento L,fica:

Integrando, tem se que:

Ou substituindo a equaçãoOu substituindo a equação

• O número de Nusselt médio é dado por:43

L LNu Nu

Efeitos da turbulência

• Instabilidades podem causar a transição para escoamento turbulento.• A transição na camada limite de convecção natural depende da

magnitude relativa das forças de empuxo e das forças viscosas nofluido.

• É comum correlacionar a sua ocorrência em termos do número de• É comum correlacionar a sua ocorrência em termos do número deRayleigh, que é simplesmente o produto do número de Grashof enúmero de Prandtl.

Para placas verticais, o número deRayleigh crítico é:

Correlações empíricas: Convecção naturalem escoamentos externos

• As correlações mais adequadas para a maioria dos cálculos deengenharia tem a forma:

Escoamento Laminar eEscoamento Laminar e

Escoamento Turbulento e

e Note: a condição de contorno atemperatura definida nasuperfície da placa, Ts.

Correlações empíricas: Convecção naturalem escoamentos externos

Placa vertical

• Correlação para todo o intervalo de RaL proposto por Churchill e Chu:

• Uma precisão ligeiramente superior para escoamento laminar pode serobtida por:

1/49

4/9

0.6700.68 ; 10 L

L L

RaNu Ra

2

1/6

4/99/16

0.3870.825

1 0.492 / Pr

LL

RaNu

• Estes resultados são também podem ser válidos para cilindrosverticais com altura L desde que seja muito menor que D, ou seja,quando:

4/99/16

0.68 ; 101 0.492 / Pr

L LNu Ra

1 435L

DL Gr