q- questoes deformacoes na flexao

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Questões de Provas e Testes (Deformações na Flexão) UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE – DEPARTAMENTO DE E NGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS XI - Engenharia Mecânica – Prof. Pamplona 2004-01

L

B

e

A

w

1,0m

2,0m

1,0m

A

B

C

D d=100mm

d=105mm

d=100mm

5,0 kN

5,0 kN

L/2 L/2

d

A

B

C

P

1,0m 1,0m

1,0m 1,0m 6,0kN

1a. Questão - Para a chapa triangular em balanço, submetida a uma carga uniforme w, pede-se calcular a flecha em seu vértice livre A, em função de suas dimensões (B, e, e L), de seu módulo de elasticidade E e da carga distribuída w. (Bônus) Calcule a máxima tensão normal na chapa.

2a. Questão - Para o eixo de aço (E = 200GPa) com diâmetros escalonados como mostrado na figura, pede-se determinar as flechas:

a) nas seções de transição B e C; b) no meio do vão. (Bônus): Calcule a máxima tensão normal no eixo;

3a. Questão - Para o vergalhão de material elástico (módulos de elasticidade E= 2,5 G), diâmetro d e comprimento L, dobrado a meio comprimento (em B), engastado na extremidade A e submetido a uma força P na extremidade livre C (como mostrado na figura), pede-se calcular a flecha nessa extremidade C. (Bônus): calcule a maior tensão tangencial, considerando o estado duplo.

4a. Questão - Para as duas vigas esquematizadas (perfil S 130x22 em aço (σ escoamento =250MPa, E = 200GPa) pede-se: a) traçar os diagramas de momentos fletores; b) calcular a flecha na extremidade A. (Bônus) – calcular o coeficiente de segurança do conjunto para o escoamento.

Perfil S130x22

A

90º

apoio móvel

apoio móvel

Área Altura Ix Wx rx Iy Wy ry

2800 mm2

127 mm

6,33 106mm4

99,7 103mm3

47,5 mm

0,695 106mm4

16,75 103mm3

15,75 mm

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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE – DEPARTAMENTO DE E NGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS XI - Engenharia Mecânica – Prof. Pamplona

L

w

A

2,0m

1,0m

B C

d=110mm d=100mm

5,0 kN

5,0 kN

L/3 L/3

d

A

C

P

1a.Questão - Para a barra chata em balanço, submetida a uma carga linearmente distribuída, de zero a w, pede-se calcular a flecha em seu vértice livre A, em função de suas dimensões (b, h, e L), de seu módulo de elasticidade E e do valor máximo da carga distribuída w. (Bônus) Calcule a máxima tensão normal na barra.

2a. Questão - Para o eixo de aço (E = 200GPa) com diâmetros escalonados como mostrado nafigura, pede-se determinar as flechas:

a) na seção de transição B; b) na extremidade livre C. (Bônus): Calcule a máxima tensão normal no eixo;

3a.Questão - Para o vergalhão de material elástico (módulos de elasticidade E= 2,5 G), diâmetro d e comprimento L, dobrado em três partes iguais (em B e C), engastado na extremidade A e submetido a uma força P na extremidade livre D (como mostrado na figura), pede-se calcular a flecha nessa extremidade. (Bônus): calcule a maior tensão tangencial, considerando o estado duplo.

A

90º

B

1,0m 1,0m

1,0m

6,0kN

Perfil S130x15

b

h

A

L/3

90º

D

2ª avaliação – em 08/07/04

4a.Questão - Para as duas vigas engastadas esquematizadas (perfil S 130x15 em aço, σ escoamento =250MPa, E = 200GPa) pede-se: a) traçar os diagramas de momentos fletores; b) calcular a flecha na extremidade A. (Bônus) – calcular o coeficiente de segurança do conjunto para o escoamento.

Área Altura h Ix Wx rx Iy Wy ry

1884 mm2

127 mm

5,12 106mm4

80,6 103mm3

52,1 mm

0,508 106mm4

13,37 103mm3

16,33 mm

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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE – DEPARTAMENTO DE E NGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS XI - Engenharia Mecânica – Prof. Pamplona 2a. Prova; em 18/11/2004

A 1,0m

2,0m

1,0m

A

B

C

D d=100mm

d=108mm

d=100mm

6,0 kN

6,0 kN

1,0m

1,0m

1,0m

1,0m

6,0kN

1a. Questão - Para a viga de madeira (E = 20GPa) seção retangular (b = 100mm x h = 200 mm), submetida ao carregamento indicado, pede-se calcular a flecha no meio do vão. (Bônus)(0,3 p) Calcule a máxima tensão normal na viga.

2a. Questão - Para o eixo de aço (E = 200GPa) com diâmetros escalonados como mostrado na figura, pede-se determinar as flechas:

a) nas seções de transição B e C; b) no meio do vão. (Bônus): Calcule a máxima tensão normal no eixo;

3a. Questão - Para as duas vigas esquematizadas (perfil S 130x22 em aço (σ escoamento =250MPa, E = 200GPa) pede-se: a) traçar os diagramas de momentos fletores; b) calcular a flecha no meio do vão da viga AB. (Bônus) – calcular o coeficiente de segurança do conjunto para o escoamento.

Perfil S130x22

A

apoio móvel

apoio móvel


2800 mm2

127 mm

6,33 106mm4

99,7 103mm3

47,5 mm

0,695 106mm4

16,75 103mm3

15,75 mm

2,0kN

1,0 kN/m

1m 1m

2m

B

Perfil S130x22

4a. Questão - Mostre que a flecha no meio do vão de uma viga prismática (tendo produto de rigidez EI e comprimento L) submetida a uma carga P concentrada no meio do vão vale:

f = P L3/ 48 EI:

a) utilizando o método da integração; b) utilizando a analogia de Mohr; c) utilizando a energia elástica; d) utilizando o teorema de Castigliano.

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2ª PROVA – Em 17/05/05

2,00m 2,00m 1,00m 1,00m

8,00kN 10,0 kN/m

A B C

1ª Questão – O eixo de aço, com 140mmde diâmetro e 6m de comprimento, apoiado sobre dois mancais B e C, espaçados de 4m e tendo um balanço de 2m, é submetido ao carregamento indicado. Pede-se determinar as flechas na extremidade Ado balanço e no meio do vão BC entre os mancais. Bônus - calcular a maior tensão de cisalhamento no eixo.

3,64m 3,64m

1,82m 1,82m

356kN

254 16

603 x W610x101

2ª Questão - Duas placas de aço (16x254x3640mm3) são aparafusadas como reforço às mesas do perfil W610x101 (com 603mm de altura e Ix = 762x106 mm4), também de aço, conforme indica a figura. Determinar a flecha no meio do vão da viga, para a carga de 356kN. Bônus - calcular a maior tensão normal no perfil.

1,8 m

1,8 m 1,8 m

1,8 m

P=592 N

3ª Questão – Duas barras de aço com 3,6 m de comprimento e seção retangular de 12 x 24 mm2

são montadas ortogonalmente e bi-apoiadas para suportar a carga P = 592 N no meio do vão. A peça superior é posicionada deitada (com a dimensão 24mm na horizontal) enquanto a peça inferior é posicionada com a dimensão 24mm na vertical, uma tocando a outra no meio de seus vãos. Pede-se determinar o maior valor do momento fletor nas duas peças. Bônus - calcular a maior tensão normal nas peças.

P P

a a a a

A B

C 4ª Questão – Traçar o diagrama de momentos fletores para a viga contínua simétrica representada, indicando seus valores extremos, positivo e negativo, bem como as seções em que ocorrem as inversões de seus sinais.

Eaço = 200GPa

d=140mm

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2ª PROVA (B) – Em 24/05/05

1,50m 1,50m 2,00m

12 kN 9,6 kN/m

600

300 180

12

P

600

300 180

12

P

A

A

P

(2/3)L

(1/3)L

1ª QUESTÃO - Traçar o diagrama de momentos fletores para a viga hiperestática esquematizada, indicando os valores extremos alcançados (positivo e negativo) bem como as seções onde ocorrem. Bônus: determinar o módulo de resistência (W) admissível para a seção da viga supondo uma tensão normal de no máximo 100MPa.

2ª QUESTÃO - As duas pranchas de madeira (E=20GPa) mostradas foram montadas aparafusadas (5 parafusos de diâmetro 10mm) e engastadas no reparo fixo A. Pede-se calcular a flecha na extremidade do balanço quando lá for aplicada a carga P = 100 N. Bônus: determinar a máxima tensão de cisalhamento nos parafusos de união das pranchas.

3ª QUESTÃO - As duas pranchas de madeira (E=20GPa) mostradas foram engastadas no reparo fixo A , espaçadas de uma distância d e estando encostadas através de um rolete de diâmetro d, ficando paralelas. Pede-se calcular a flecha na extremidade do balanço quando lá for aplicada a carga P = 100 N. Bônus: determinar a máxima tensão normal nas pranchas.

d

d

4ª QUESTÃO - Deduza a expressão que dá a flecha no meio do vão da viga bi-apoiada submetida à carga P na seção assinalada (a 1/3 do comprimento da viga em ralação a um dos apoios) em função de P, L e do produto de rigidez EI da viga. Bônus: repita a demonstração utilizando outro método.

5 parafusos de diâmetro 10mm

28



A 1,0m

1,0m

A

B

C

D d=80mm

d=90mm

d=80mm

3,0 kN

3,0 kN

apoio móvel

apoio móvel

6,0 kN

1,0m 1,0m

1m 1m

1m 1m

q=360N/m

10 kN 24 kN/m

2,0m 4,0m

1ª QUESTÃO - Traçar o diagrama de momentos fletores para a viga prismática e homogênea esquematizada, indicando os valores extremos (+ e -)

2A. QUESTÃO Para o eixo de aço (E = 200GPa) com diâmetros escalonados como mostrado na figura, pede-se determinar as flechas:

a) nas seções de transição B e C; b) no meio do vão. Bônus: Calcule a máxima tensão tangencial no eixo, considerando o estado duplo de tensões;

3ª Questão – Duas peças de madeira com 2,0 m de comprimento cada e seção retangular de 60 x 180 mm2 são montadas ortogonalmente e bi-apoiadas para suportar a carga distribuída q = 360 N/m ao longo da peça superior, posicionada verticalmente enquanto a peça inferior é posicionada com a dimensão 180mm na horizontal, uma tocando a outra no meio de seus vãos. Pede-se determinar a flecha máxima do conjunto. Bônus - calcular a maior tensão normal nas peças.

B 1,0m 1,0m

1,0m 1,0m 5,0kN VS – 3/8/2004 Para as duas vigas esquematizadas (perfil S 130x22 em aço (σ escoamento =250MPa, E = 200GPa) pede-se: a) traçar os diagramas de momentos fletores; b) calcular o coeficiente de segurança do conjunto para o escoamento.

Perfil S130x22

A


2800 mm2

127 mm

6,33 106mm4

99,7 103mm3

47,5 mm

0,695 106mm4

16,75 103mm3

15,75 mm

29



16 kN / m

15 kN

d = 126 mm

2,00 m 1,00 m 1,00 m

2,00 m

2,00 m 100 kN

250

15

10

10

100

Aba 228 x 14,9 mm2

Alma 573 x 10,5 mm2

1,00 m

1,00 m

L/4 L/4 L/2

P

f

1ª QUESTÃO - Para o eixo de aço maciço esquematizado (d = 126 mm, L = 4,00 m, E = 200GPa), apoiado no mancal A e engastado no flange F, pede-se determinar:

(a) o momento fletor máximo; (b) a flecha no meio do vão, entre o

mancal e o flange.

A

F

2ª QUESTÃO - O perfil de aba larga W610x101, com 4 m de comprimento é engastado e reforçado na metade de sua extensão por duas barras chatas de mesmo material (250 x 15 mm2) soldadas ao longo das abas por 12 cordões como indicado na figura. Para a força de 100 kNaplicada na extremidade em balanço pede-se determinar a flecha máxima. (E = 200GPa) BÔNUS : calcular a tensão tangencial média nos cordões de solda.

3ª QUESTÃO - As duas vigas mostradas são de mesmo material, mesma seção transversal e igual comprimento (2,00 m). Pede-se calcular o maior valor alcançado pelo momento fletor nas duas vigas pela aplicação da força concentrada de 17,0 kN indicada.

1,00 m

1,00 m

17 kN

4ª QUESTÃO - Mostre que a flecha no meio do vão de uma viga, de comprimento L e produto de rigidez EI, submetida a uma força concentrada P aplicada a ¼ L de um dos apoios vale:

f1/2 L = - (11/768) PL3/EI a) utilizando o método da integração; b) utilizando a analogia de Mohr; BÔNUS: c) utilizando o teorema da reciprocidade (Maxwell).

Ix 762 x 106

mm4

30


2,0m

2,0m

B C

d=120mm 100x100 mm2

5,0 kN

5,0 kN 2a. Questão - Para a peça de aço (E = 200 GPa) , pede-se determinar as flechas:

a) na seção de transição B; b) na extremidade livre C. (Bônus): Calcule a máxima tensão normal no eixo;

3a.Questão - Para as duas vigas engastadas esquematizadas (perfil S 130x15 em aço, σ escoamento =250MPa, E = 200GPa) pede-se: a) traçar o diagrama de momentos fletores da viga ABC b) calcular a flecha na extremidade A. (Bônus) – calcular o coeficiente de segurança do conjunto para o escoamento.

A

1,5m 1,5m

1,5m

5,0kN

Área Altura h Ix Wx rx Iy Wy ry

1884 mm2

127 mm

5,12 106mm4

80,6 103mm3

52,1 mm

0,508 106mm4

13,37 103mm3

16,33 mm

A


2,00m 2,00m 1,00m 1,00m

9,00kN 10,0 kN/m

A B C

1ª Questão – O eixo de aço (E = 200 GPa), com 150mm de diâmetro e 6m de comprimento, apoiado sobre o mancal B e engastado em C, tendo um balanço de 2m, é submetido ao carregamento indicado. Pede-se determinar as flechas na extremidade A do balanço e no meio do vão BC. Bônus - calcular a maior tensão de cisalhamento no eixo.

d=150mm

C

B

Questão Extra I – No estudo das tensões despertadas em peças submetidas a cargas dinâmicas (choque), foi dito que, em peças de seção uniforme, quanto maior o seu volume, menor a tensão máxima produzida.

Tal circunstância é aplicada, por exemplo, no fechamento de cilindros pneumáticos, onde são utilizados parafusos longos submetidos à tração (fig. a) ao invés da solução mais simples de parafusos curtos (fig.b). Deve-se, no entanto, analisar com cautela tal propriedade, no caso de peças que têm seção variável. É o caso indicado nas figuras (c) e (d) abaixo: - A máxima tensão alcançada na peça da fig. (d) devido ao choque é 26,5% maior do que aquela atingida na peça da fig. (c), apesar desta ter um menor volume do que aquela.

fig. (a) fig. (b) fig. (c) fig. (d)

Perfil S130x15

d d 2d

L/2 L/2 L

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Solução: ½ Pequiv fdin = U = ½ Pequiv [Pequiv L

3 / 48 EI] = (Pequiv )2 L3/ 96 EI

U = ½ mv2 = mgh portanto, Pequiv = [ 96 EI mgh / L3 ]1/2.

No caso, I = 80 x 1003 / 12 – 60 x 803 / 12 = 4,107 x 106 mm4 = 4,107 x 10-6 m4. Pequiv = [96 x 70 x 109 x 4,107 x 10-6 x 6,0 x 9,81 x 0,200 / 1,83]1/2 = 7,464 kN, A máxima tensão normal, σmáx = [(Peq L/4)/I]ymáx = (7,464 x 103 x 1,8 / 4 x 4,107 x 10 –6 )x 0,050 = = 40,9 MPa A deformação máxima valerá: δdinâmico = Pequiv L

3 / 48 EI = 3,15 mm O fator de ampliação devido ao choque corresponde a 7,464 x 103 / 6 x 9,81 = 127

900

900

200

6kg

80

100 10

QUESTÃO EXTRA II – O duto de alumínio (E = 70 GPa), de seção retangular 100 x 80 mm2 e espessura de parede 10 mm, com um comprimento de 1,80m, está bi-apoiado pelas extremidades, quando recebe o impacto decorrente da queda de uma placa de 6,0 kg de uma altura de 200 mm. Pede-se determinar: 1º) a carga estática equivalente 2º) a máxima tensão normal despertada; 3º) a máxima deflexão produzida.

QUESTÃO EXTRA III – Para os pórticos hiperestáticos representados, de seção uniforme ao longo dos tramos verticais (h) e horizontal (L), sendo h = ββββL , pede-se mostrar que os esforços solicitantes apresentados nos diagramas, correspondem aos valores indicados nas expressões abaixo (foram tomados como referência os valores de momentos fletores correspondentes a uma viga de comprimento L, bi-apoiada e bi-engastada)

h h h h

½ L ½ L ½ L ½ L

P P

P/2 P/2 P/2 P/2

H H H

H

M* M* M* M*

M** M**

M 0 M 0

H = (3/8)[1/(3β+2β2)] (P)

M* = ½ [3β/(3β+2β2)](PL/4)

M**= ½ [( 3β+4β2)/(3β+2β2)](PL/4)

H = (3/8)[1/(2β+β2)] (P)

M0 = [β/(2β+β2)](PL/8)

M* = 2[β/(2β+β2)](PL/8)

M** = 2[( β+β2)/(2β+β2)](PL/8)

M 0 M 0

32


1a. Questão (3,0p) O hélice H de 800 kg, em balanço na extremidade de um eixo de aço de 1,53 toneladas, com 10,0 m de extensão e 160 mm de diâmetro, é apoiado no mancal A e flangeado no mancal de escora B. Pede-se calcular (considerando apenas a flexão): a) – (1,0) a flecha (em mm) na extremidade em balanço H; b) – (1,0) a flecha (em mm) na seção média do eixo entre os mancais A e B; c) – (1,0) a máxima tensão normal no eixo;

A

1,50m

1,2m

0.50m

1,2m

6,0 kN 3a. Questão (3,0p) Para as duas vigas esquematizadas (perfil S 130x22) em aço (σ escoamento = 250 MPa) pede-se: a) (1,0p) traçar os diagramas de momentos fletores; b) (1,0p) calcular a flecha no meio do vão da viga AB. c) (1,0p) a máxima tensão normal.

Perfil S130x22

A


2800 mm2

127 mm

6,33 106mm4

99,7 103mm3

47,5 mm

0,695 106mm4

16,75 103mm3

15,75 mm

B

Perfil S130x22

4a. Questão (2,0p) Demonstre que a flecha na extremidade em balanço de uma viga prismática (tendo produto de rigidez EI e comprimento L), engastada na outra extremidade e submetida a uma carga P concentrada na extremidade em balanço vale:

f = P L3/ 3 EI: e) (0,5p) utilizando o método da integração; f) (0,5p) utilizando a analogia de Mohr; g) (0,5p) utilizando a igualdade entre o trabalho da força e a energia elástica armazenada; h) (0,5p) utilizando o teorema de Castigliano.

3,00m 7,00m

D=160 mm B H

120 kN

254

15

2ª QUESTÃO (2,0 p) A barra retangular de aço (42 x 603 mm2), com 5,0 m de comprimento, é engastada numa extremidadee reforçada na metade de sua extensão por duas barras chatas de mesmo material (254 x 15 mm2) fixadas ao longo da barra por 14 parafusos como indicado na figura. Para a força de 120 kN aplicada na extremidade em balanço pede-se determinar a flecha nesta extremidade.

2,50 m

2,50 m

603

42

Nas 3 questões acima use Eaço = 200 GPa

q- questoes deformacoes na flexao

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