07 emadeirai-apresentacao flexao simples
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SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE TECNOLOGIA
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL FEC/ITEC/UFPa
GRUPO DE ANÁLISE EXPERIMENTAL DE ESTRUTURAS E MATERIAIS
Prof. Dr. Alcebíades Negrão Macêdo
1 Estados Limites Últimos devido ao Momento Fletor
a) Flexão Simples Reta
-NBR 7190/97 recomenda que se adote para o vão teórico (L) o menor dos
valores apresentados a seguir:
-Para as peças de madeira submetidas a momento fletor devem ser feitas
as seguintes verificações de segurança:
cm. 10 quemaior acréscimo doconsideran
se não mas vão,do meio no seção da altura da acrescido livre vãoo -
apoios; dos eixos entre distância
L
d,0c
c
sd
d,cf
W
M
d,0t
t
sd
d,tf
W
M
c,d e t,d - tensões atuantes de cálculo nas bordas comprida e tracionada da seção considerada, conforme fig. 1.
e módulos de resistência da seção transversal da peça:
I - o momento de inércia.fcd e ftd - são as resistências de cálculo à compressão e à tração.
Figura 1 - Flexão
c
c y
IW
t
t yI
W
d,cd,t
Ct
Ct
Ct
WW
y
I
y
I
yy
Seção retangular
b) Flexão Simples Oblíqua
-Verificação feita para as seções submetidas a um momento fletor cujo plano de
ação não contém um dos seus eixos principais de inércia.
Mx,d e My,d - tensões máximas devidas as componentes de flexão.
fwd - a resistência de cálculo (tração ou à compressão).
kM - coeficiente de forma geométrica da seção considerada:
* Retangular: kM = 0,5
*Outras seções: kM = 1,0
1f
σk
f
σ
wd
dMy,
M
wd
dMx,
1f
σ
f
σk
wd
dMy,
wd
dMx,
M
c) Estado Limite Último de Instabilidade Lateral
- Deve ser verificada por teoria com validade comprovada
experimentalmente;
- A NBR 7190/97 não apresenta nenhum critério comprovado
experimentalmente;
- No caso de vigas de seção retangular pode-se dispensar esta
verificação quando:
• Os apoios de extremidade da viga impedirem a rotação de suas seções
extremas em torno do eixo longitudinal da peça;
• Existir um conjunto de elementos de travamento ao longo do
comprimento L da viga, afastados de uma distância L1;
• Atender a condição:
d0cM
ef,0c
0
1
b f
E
b
L
•L1 - distância entre os elementos de travamento
•b - largura da seção transversal da viga.
•M - coeficiente de correção, expresso por:
•h - altura da seção transversal da viga.
•E - coeficiente de correção.
•wc - coeficiente de ponderação de resistência à compressão (1,4).
•*Para wc = 1,4 e E = 4, a NBR 7190/97 fornece os valores de M:
2
1
2
3
wc
E
M
63,0bh
bh
26,0
1
bh / bh /
Para também se dispensa a verificação do estado limite último de
instabilidade lateral, desde que sejam satisfeitas as exigências da flexão
simples reta, com:
0b λλ
Mb
ef,0c
cd
E
2 Estados Limites Últimos para Solicitações Tangenciais
2.1 Estado Limite Último para Esforço Cortante na Flexão Simples Reta
A condição de segurança em relação às tensões cisalhantes é:
d - máxima tensão de cisalhamento atuando no ponto mais solicitado da peça
fv0,d - a resistência ao cisalhamento paralelo às fibras.
Para seção retangular de largura b e altura h, d é expresso por:
Vd - esforço cortante de cálculo
*A NBR 7190/97 apresenta considerações especiais no caso do cisalhamento,
variando com o tipo de carregamento e com a variação da seção transversal.
bh
V
2
3d
d
d,0vdf
a) Cargas concentradas próximo à região dos apoios
- Seções próximas aos apoios, os esforços de cisalhamento podem ser reduzidos até
a distância de 2h. Assim, o cálculo de d utiliza um valor reduzido:
onde: a - distância do ponto de aplicação da carga ao eixo do apoio.
b) Vigas entalhadas
- Em vigas cuja seção transversal sofra bruscas variações decorrentes de entalhes,
deve ser feita a majoração dos valores de d, levando-se em consideração a relação
(h/h1).
onde: h1 - altura da seção enfraquecida.
h/h1 - fator de amplificação para d .
h/h1 4/3.
h2
aVV
red
11
d
d h
h
bh
V
2
3h1
hh1
h
1a Situação: h1 > 0,75 h
FIGURA – Variação de seção (Fonte: NBR 7190/97).
2a Situação: h1 < 0,75 h
- Nesta situação a NBR 7190/97 recomenda a utilização de parafusos verticais
dimensionados à tração axial obtida pela totalidade do esforço cisalhante a ser
transmitido;
- Ou adotar variações de seção através do emprego de mísulas cujo comprimento seja
maior ou igual a três vezes a altura do entalhe, respeitando o limite h/h1 2.
FIGURA – Utilização de parafusos verticais ou mísula (Fonte: NBR 7190/97).
h1h
h1h
hh1 h
3(h-h )
1
1
h
2.2) Estado Limite Último para Esforço Cortante na Flexão Oblíqua
- Recomenda-se, neste caso, determinar para o mesmo ponto as tensões
cisalhantes para cada componente de esforço cortante Vdx e Vdy, de acordo
com fórmula de Zuravischi, calculando em seguida a tensão tangencial
resultante:
tI
SV
y
ydx
dx
2
dy
2
dxd
hb
V
2
3dx
dx
hb
V
23 dy
dy
- Seção Retangular
tI
SV
x
xdy
dy
3 Estados Limites de Utilização
3.1 Estados limites de deformações
a) Deformações limites para as construções correntes
- É verificado o estado limite de deformações excessivas que possam afetar a
utilização normal da construção ou seu aspecto estético.
- Para as ações permanentes, as flechas podem ser compensadas por contra-
flechas, dadas na construção.
- A flecha efetiva obtida com a combinação de ações deve atender as seguintes
limitações:
* No caso de flexão oblíqua, permite-se atender os limites anteriores para cada plano
de flexão isoladamente.
balanço do ocompriment do
100
1
vão do 200
1
df
b) Deformações limites para a construção com materiais frágeis não
estruturais
É verificado o estado limite de deformações que possam causar danos aos
materiais frágeis não estruturais ligados a estrutura. Nesta situação, as
flechas totais incluindo o efeito da fluência, tem seus valores limitados por:
-As flechas correspondentes apenas às ações variáveis tem seus limites
fixados em:
balanço do ocompriment do
175
1
vão do350
1
f
cm 1,5
balanço do ocompriment do 150
1
vão do 300
1
f
c) Deformações limites para construções especiais
-Estas deformações têm seus limites estabelecidos pelo proprietário da
construção ou por normas especiais referentes às mesmas.
3.2 Estados Limites de Vibrações
- Devem ser evitadas as vibrações excessivas nas estruturas através das
disposições construtivas adequadas, de modo a assegurar o conforto e a
segurança dos usuários.
- Em estruturas regularmente utilizadas, tais como pisos de residências e de
escritórios, deve ser obedecido o limite de freqüência natural de vibração
8Hz.
- Em construções correntes, tal condição é satisfeita se a aplicação do
carregamento correspondente à combinação de curta duração resultar
numa flecha 1,5cm.
Exemplo 1 – Flexao simples reta
a) MLC em piso de Bibliotecab) G = 550daN/mc) S = 350daN/md) Q = 300daN/me) Dicotiledônea (Amb. Seco)f) L = 30m; L1 = 6mg) b = 30cm; h = x10cm e cf = 8cmSolução
-Resistências e rigidez de cálculo.
Kmod = Kmod1.Kmod2.Kmod3 = 0,7.1,0.1,0 =0,7
fc0,d = Kmod.fc0,k / wc = 0,7.40 / 1,4 = 20MPa = 200daN/cm²
fv0,d = Kmod.fv0,k / wv = 0,7.6 / 1,8 = 2,33MPa = 23,3daN/cm²
Ec0,ef = Kmod.Ec0,m = 0,7.19.500 = 13.650MPa = 136.500daN/cm²-Solicitações de cálculo.
n
1i
m
2jk,Qjj0k,1QQk,GiGd
FFFF
m/daN582.1)3508,0300(4,15504,1)SQ(Gq
m/daN596.1)3008,0350(4,15504,1)QS(Gq
S,0QGd
Q,0QGd
daN940.232
30596.1
2
LqV
cmdaN10179550mdaN550.1798
30596.1
8
LqM
d
sd
2
22
d
sd
-Condição de Segurança (momento).
W = bh²/6 = 30h²/6 = 5h²d,0c
sd
d,td,cf
W
M
cm134h200h5
²101795502
)adotado(cm140h
-Condição de Segurança (instabilidade).
d0cM
ef,0c
0
1
b f
E
b
L
I = bh³/12 = 30.140³/12 = 6.860.000cm4
55,17
63,030
140
30140
4,1
4
26,0
1
63,0bh
bh
26,0
1
2
1
23
2
1
23
wc
E
M
9,382055,17
650.13
f
E20
30
600
b
L
d0cM
ef,0c
0
1
b
ok
-Condição de Segurança (Cortante).
²cm/daN55,814030
940.23
2
3
bh
V
2
3d
d
d,0vd
f
²cm/daN3,23f²cm/daN55,8d,0vd ok
-Estados Limites de Utilização (longa duração - estruturas correntes).
m
1jk,Qjj2
n
1ik,Giutil,d
FFF
m/daN9403006,03506,0550QSGqQ,2S,2d
cm6,10000.860.6500.136384
300040,95
IE384
Lq5f
4
ef,0c
4
d
d
cm15200
3000200
Lfcm60,286,10cfff
limdef,d OK!
Exemplo 2 – Flexão Simples Oblíqua
a) MLC (Conífera C30)
b) G = 140daN/m (vertical)
c) P = 80daN (vertical)
d) Q = 40daN/m (plano do telhado)
e) Ambiente Seco
f) L = 4m; L1 = 2m
g) b = 15cm; h = 40cm
A = 15.40 = 600cm²
Ix=bh³/12 = 15.40³/12 = 80.000cm4
Iy=b³h/12 = 15³.40/12 = 11.250cm4
Wx=bh²/6 = 15.40²/6 = 4.000cm³
Wy=b²h/6 = 15².40/6 = 1.500cm³-Resistências e rigidez de cálculo.
Kmod = Kmod1.Kmod2.Kmod3 = 0,7.1,0.1,0 =0,7
fc0,d = Kmod.fc0,k / wc = 0,7.30 / 1,4 = 15MPa = 150daN/cm²
fv0,d = Kmod.fv0,k / wv = 0,7.6 / 1,8 = 2,33MPa = 23,3daN/cm²
Ec0,ef = Kmod.Ec0,m = 0,7.14.500 = 10.150MPa = 101.500daN/cm²
-Solicitações de cálculo.
n
1i
m
2jk,Qjj0k,1QQk,GiGd
FFFF
= 80dan.m
- x-x.
mdaN7,487M
)805,05,72(4,12543,1M
)MM(MM
d,x
d,x
Q,xQ,0P,xQG,xGd,x
mdaN8,454M
)5,724,08075.0(4,12543,1M
)MM75,0(MM
d,x
d,x
P,xP,0Q,xQG,xGd,x
daN95,436V
)805,025,36(4,12543,1V
)VV(VV
d,y
d,y
Q,yQ,0P,yQG,yGd,y
daN5,434V
)25,364,08075.0(4,12543,1V
)MV75,0(VV
d,y
d,y
P,yP,0Q,yQG,yGd,y
-Solicitações de cálculo.
n
1i
m
2jk,Qjj0k,1QQk,GiGd
FFFF
= 80dan.m
- y-y.
mdaN12,201M
81,334,13,1183,1M
MMM
d,y
d,y
P,yQG,yGd,y
daN45,177V
9,164,13,1183,1V
VVV
d,x
d,x
P,xQG,xGd,x
-Condição de segurança (momentos).
1f
σk
f
σ
wd
dMy,
M
wd
dMx,
1f
σ
f
σk
wd
dMy,
wd
dMx,
M
1f
σk
f
σ
dc0,
dMy,
M
dc0,
dMx,
1f
σ
f
σk
dc0,
dMy,
dc0,
dMx,
M
²cm
daN19,12
000.4
770.48
W
Mσ
x
d,x
dMx,
²cm
daN41,13
500.1
112.20
W
Mσ
y
d,y
dMy,
1126,0150
13,415,0
150
12,19 113,0
150
13,41
150
12,195,0 OK!
-Condição de Segurança (instabilidade).
d0cM
ef,0c
0
1
b f
E
b
L
68,10
63,01540
1540
4,1
4
26,0
1
63,0bh
bh
26,0
1
2
1
2
3
2
1
2
3
wc
E
M
36,631568,10
150.10
f
E3,13
15
200
b
L
d0cM
ef,0c
0
1
b
OK!
-Condição de Segurança (Cortante).
²cm/daN44,04015
45,177
2
3
bh
V
2
3 d,x
d,x
d,0vdf
²cm/daN3,23f²cm/daN85,0d,0vd
²cm/daN73,04015
95,436
2
3
bh
V
2
3 d,y
d,y
²cm/daN85,073,044,0 222
d,y
2
d,xd
OK!
-Estados Limites de Utilização (longa duração - estruturas correntes).
m
1jk,Qjj2
n
1ik,Giutil,d
FFF
cm052,0000.80500.101384
400269,15
IE384
L)25cos(G5f
4
xef,0c
4o
G,x
0 e 2,0Q2P2
- x-x. Q,xQ2P,xP2G,xd,xffff
cm012,0000.80500.10148
4005,72
IE48
L)25cos(Pf
3
xef,0c
3o
P,x
cm2200
Lfcm544,0012,02,0052,0fff
limP,xP2G,xd,x OK!
cm173,0250.11500.101384
4005917,05
IE384
L)25(senG5f
4
yef,0c
4o
G,y
- y-y. P,xP2G,yd,yfff
cm04,0250.11500.10148
40081,33
IE48
L)25(senPf
3
yef,0c
3o
P,y
cm2200
Lfcm18,004,02,0173,0fff
limP,yP2G,yd,y OK!