prova p2 calc1 2014 2 eng
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Calculo UFRJTRANSCRIPT
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MUniversidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMATICA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Segunda Prova Unicada de Calculo 1 - 2014/2
Engenharia e Engenharia Qumica
25/11/2014
| Todas as respostas dever~ao ser justicadas |
1a Quest~ao: (4.0 pts)
(1) Calcule as seguintes integrais:
(a)
Zepxdx; (b)
Zdx
x2px2 + 1
; (c)
Z 10
ln(x2 + 2x+ 1)
x+ 1dx:
(2) Determine o valor de R tal que Z R1
dx3px+ x
= 1:
2a Quest~ao: (2.0 pts)
Considere a regi~ao Ra delimitada pelas curvas f(x) = x2 e g(x) = x3, para x a.(a) Determine a area da regi~ao Ra no caso a = 1;(b) Determine o valor e a > 0 para que a area de Ra seja o dobro da obtida no item anterior.
3a Quest~ao: (2.0 pts)
Um objeto e esculpido a partir de um tronco cilndrico de madeira macica com dia^metro de 2L
metros e comprimento de 4 metros. O objeto tem a forma do solido de revoluc~ao obtido pela
rotac~ao, em torno do eixo x, da regi~ao limitada pela curva y = Lp2=px2 + x, x 2 [1; 5], e pelo
eixo x. Calcule o volume de madeira desperdicado.
4a Quest~ao: (3.0 pts)
Seja : [0;+1)! R uma func~ao derivavel e considere
F (t) =
Z 2(t)0
sen(x)
xdx:
a) Se (1) =p=2 e 0(1) = 1=2, calcule F 0(1);
b) Se 0(t) = 1 para todo t 2 [0;+1), calcule
limt!+1F
0(t) e limt!0
F 0(t):