MUniversidade Federal do Rio de Janeiro

INSTITUTO DE MATEMATICA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

Segunda Prova Unicada de Calculo 1 - 2014/2

Engenharia e Engenharia Qumica

25/11/2014

| Todas as respostas dever~ao ser justicadas |

1a Quest~ao: (4.0 pts)

(1) Calcule as seguintes integrais:

(a)

Zepxdx; (b)

Zdx

x2px2 + 1

; (c)

Z 10

ln(x2 + 2x+ 1)

x+ 1dx:

(2) Determine o valor de R tal que Z R1

dx3px+ x

= 1:

2a Quest~ao: (2.0 pts)

Considere a regi~ao Ra delimitada pelas curvas f(x) = x2 e g(x) = x3, para x a.(a) Determine a area da regi~ao Ra no caso a = 1;(b) Determine o valor e a > 0 para que a area de Ra seja o dobro da obtida no item anterior.

3a Quest~ao: (2.0 pts)

Um objeto e esculpido a partir de um tronco cilndrico de madeira macica com dia^metro de 2L

metros e comprimento de 4 metros. O objeto tem a forma do solido de revoluc~ao obtido pela

rotac~ao, em torno do eixo x, da regi~ao limitada pela curva y = Lp2=px2 + x, x 2 [1; 5], e pelo

eixo x. Calcule o volume de madeira desperdicado.

4a Quest~ao: (3.0 pts)

Seja : [0;+1)! R uma func~ao derivavel e considere

F (t) =

Z 2(t)0

sen(x)

xdx:

a) Se (1) =p=2 e 0(1) = 1=2, calcule F 0(1);

b) Se 0(t) = 1 para todo t 2 [0;+1), calcule

limt!+1F

0(t) e limt!0

F 0(t):