programação linear pesquisa operacional profa. leila jane brum lage sena guimarães...

Programação Linear

Pesquisa Operacional

Profa. Leila Jane Brum Lage Sena Guimarã[email protected]

Tema da aula 11

Pesquisa Operacional:Programação Linear

3


Exemplo:

Objetivo: Maximizar o Lucro na Produção de Rádios

Dados: Rádio Standard:

A linha de produção comporta um máximo de 24 pessoasCada rádio consome o trabalho de 1 pessoa por diaLucro na produção de Rádio modelo Standard R$ 30,00

Dados: Rádio Luxo:

A linha de produção comporta um máximo de 32 pessoasCada rádio consome o trabalho de 2 pessoa por diaLucro na produção de Rádio modelo Luxo R$ 40,00

RestriçõesFábrica só dispõe de 40 empregados

4


Modelagem:


Restrições (linha Standard)

A linha de produção comporta um máximo de 24 pessoas

ST ≤ 24n

Cada rádio consome o trabalho de 1 pessoa por dian = 1 ST ≤ 24

Lucro na produção de Rádio modelo Standard R$ 30,00

Lucro = 30ST Lucro Máximo: 30x24 = 720

5


Modelagem:


Restrições (linha Luxo)

A linha de produção comporta um máximo de 32 pessoas

LX ≤ 32n

Cada rádio consome o trabalho de 2 pessoa por dian = 1/2 LX ≤ 32/2 LX ≤ 16

Lucro na produção de Rádio modelo Luxo R$ 40,00

Lucro = 40LX Lucro Máximo: 40x16 = 640,00

6


Modelagem:Objetivo: Maximizar o Lucro na Produção de Rádios

Lucro = 30ST + 40LX

Lucro = 720+ 640Lucro = 1360

RestriçõesA Fábrica só conta com 40 Funcionários e no exemplo acimasão necessários 24(modelo ST) 32 (Luxo ) o que totaliza 56 funcionários!

ST+2LX ≤ 40

ST ≤ 24

LX ≤ 32

Modelo:

Lucro = 30ST + 40LX Função Objetivo

Sujeito a:

ST+2LX ≤ 40

ST ≤ 24 Restrições

LX ≤ 32

Solução ótima :O modelo Standard gera um lucro maior por trabalhador (30) do que o

modelo luxo (40/2). Então Produzir o máximo de Standard (24) e o que sobrar luxo

ST +2LX ≤ 40 24 + 2LX ≤ 40 2LX ≤ 40-24

2LX ≤ 16 LX = 16/2 LX = 8

Lucro = 30 * 24 + 40 * 8 Lucro = 720 +320 Lucro = 1.040

7

8


Modelo:

Função Objetivo Lucro = 30ST + 40LX

Sujeito a:

ST+2LX ≤ 40

ST ≤ 24 Restrições

LX ≤ 32

9


Solução ótima :

O modelo Standard gera um lucro maior por trabalhador (30) do que o modelo luxo (40/2). Então Produzir o máximo de Standard (24) e o que sobrar luxo

ST +2LX ≤ 40 24 + 2LX ≤ 40 2LX ≤ 40-242LX ≤ 16 LX = 16/2 LX = 8

Lucro = 30 * 24 + 40 * 8 Lucro = 720 +320

Lucro = 1.040

ST = 24, LX = 8 e Lucro = 1040

10


Método Gráfico: ST+2LX ≤ 40 ST+2LX = 40LX20

40 ST

ST + 2LX = 40

ST + 2LX 40

40 ST

LX20

ST LX

0 20

40 0

11


ST ≤ 24 LX20

40 ST24

LX20

40 ST

LX ≤ 16

16

Valor máximo paraLX ≤ 20

Valor máximo paraLT ≤ 40

12


Todas as Restrições Juntas

40 ST

LX20

RegiãoSIMPLEX

40 ST

LX20

24

1616

24

13


Função Objetivo:

Lucro = 30ST + 40LX -40LX = 30ST –Lucro

40LX = -30ST + Lucro LX = -30ST + Lucro 40

LX = -30ST + Lucro LX = -3ST + Lucro 40 40 4 40

Y = ax+b (equação da reta)

-3ST Coeficiente Angular Lucro = Coeficiente Linear 4 (Inclinação da reta) 40 (onde encontra o eixo Y)

(Relação entre os Lucros)

14


lucros

LX20

26 ST

Lucro = 800

30ST + 40LX = Lucro

LX = 20 e ST = 0Lucro = 40LXLucro = 40(20)Lucro = 800

LX = 0 e Lucro = 80030ST = 800ST = 800/30ST = 26

15


LX30

20

26 40 ST

Lucro = 800

Lucro =1200

ST = 40 e LX = 0Lucro = 30STLucro = 30(40)Lucro = 1200

ST = 0 e Lucro = 120040LX = 1200LX = 1200/40LX = 30

30ST + 40LX = Lucro

lucros

16


Melhor opção Reta mais longe da origem dentro da região SimplexST = 24, LX = 8 e Lucro = 1040

LX30

26

20

16

24 35 40 ST

Lucro = 800 Lucro = 1040Região Simplex

30ST + 40LX = 1040

LX = 0 e Lucro = 104030ST = 1040ST = 1040/30ST = 35

ST = 0 e Lucro = 104040LX = 1040LX = 1040/40LX = 26

17


Problema de MinimizaçãoProblema de Dosagem ou Blending

Ração de Custo Mínimo.

Suponha dois Ingredientes para a formulação de Ração

Ingredientes Custo por KGA 0,03B 0,04

Necessidade Nutricional por Semana

Vitaminas Minimo 1 502 1003 604 180

Vitaminas Produto A Produto B1 5 252 25 103 10 104 35 20

Composição dos Ingredientes

18


1 Definir as Variáveis do Problema

2 Definir a Função Objetivo

3 Definir o Conjunto de Restrições

19


1Variável a ser Otimizada: Custo (minimização)

Variáveis Básicas : Qtde A, QtdeB.

2Função Objetivo:

Custo = 0,03A + 0,04B

3 Restrições

5A + 25B ≥ 50

25A +10B ≥ 100

10A+ 10B ≥ 60

35A +20B ≥ 180 A, B ≥ 0

20


5A + 25B ≥ 50

B

A10

2

Restrições

A B

0 2

10 0

21


5A + 25B ≥ 50

B B

A A10

2

10

4

25A + 10B ≥ 100 A B

0 10

4 0

Restrições

22


5A + 25B ≥ 50

B B

B

A

A

A102

10

4

6

6

25A + 10B ≥ 100

10A + 10B ≥ 60

Restrições

A B

0 6

6 0

23


5A + 25B ≥ 50

B B

B

A

A

A102

10

4

6

6

25A + 10B ≥ 100

10A + 10B ≥ 60

B

A

9

5

35A + 20B ≥ 180 A B

0 9

5 0

Restrições

24


B

A10

RegiãoSimplex

A

B10

10

10

Restrições

25


Função Objetivo: Custo = 0,03A + 0,04B

Suponha um custo qualquer por exemplo 0,36 (múltiplo de 0,03 e 0,04)

0,36 = 0,03A + 0,04B 36 = 3A +4B -4B = 3A -364B = -3A + 36 B = -3A/4 + 36/4

B = -3A +9 4

A

B

A

B

10

109

12

A B

0 9

12 0

26


A10

9

12

Custo = 0,36

Otimização

10

27


Otimização

A

B

10

9

12

Custo = 0,36

10

28


Otimização

A

B

10

9

12

Custo = 0,36

5

1

Custo = 0,03A + 0,04B

Custo = 0,03x5 +0,04

Custo = 0,19

10

29


Otimização

A

B

10

9

12

Custo = 0,19

5

1

10

30

Memória de aula

1. Formulação de um problema utilizando modelos matemáticos.

2. Determinação das variáveis do modelo.3. Determinação da função objetivo.4. Determine a função objetivo e restrições para o

problema5. Efetuar a resolução gráfica.6. Resolver a lista de exercícios nº 2 de modelagem

matemática que será disponibilizada no site.

31


Caso Esportes Radicais S/A

A Esportes Radicais S/A produz pára-quedas e asa-deltas em duas linhas de montagem.

A primeira linha de montagem tem 100 horas semanais disponíveis para a fabricação dos produtos, e a segunda linha tem um limite de 42 horas semanais.

Cada um dos produtos requer 10 horas de processamento na linha 1, enquanto que na linha 2 o pára-quedas requer 3 horas e a asa-delta requer 7 horas.

32



Sabendo que o mercado está disposto a comprar toda a produção da empresa, bem como que o lucro pela venda de cada pára-quedas é de R$ 60,00 e o lucro para cada asa-delta vendida é R$ 40,00, encontre a programação de produção que maximize o lucro da Esportes Radicais S/A. (resolva pela análise gráfica – deslocamento da função objetivo).

33



Variáveis de Decisão

X1 – Quantidade de Pára-Quedas a serem produzidos

X2 – Quantidade de Asa Deltas a serem produzidos

Função-Objetiva

Max 60x1 + 40x2

34



Restrição de Produção

Linha 1

Linha 2

Restrição de Não Negatividade

100101021

xx

427321

xx

0,21

xx

35



0,4273

10010104006

21

21

21

21

xxxx

xxxxMax

(1)

(2)

36



Z = 600x1 = 10 , x2 = 0

(1)

(2)

Função Objetivo

37



38


1 ) Maximizar 4x1 + 3x2Sujeito a

x1 + 3x2 ≤ 72x1 + 2x2 ≤ 8x1 + x2 ≤ 3x2 ≤ 2x1, x2 ≥ 0

X1 = 3X2 = 0Z = 12

2 ) Maximizar 4x1 + 8x2Sujeito a

3x1 + 2x2 ≤ 18x1 + x2 ≤ 5x1 ≤ 4x1, x2 ≥ 0

X1 = 0X2 = 5Z = 40

39


Caso Alumilâminas S/A

A indústria Alumilâminas S/A iniciou suas operações em janeiro de 2001 e já vem conquistando espaço no mercado de laminados brasileiro, tendo contratos fechados de fornecimento para todos os 3 tipos diferentes de lâminas de alumínio que fabrica: espessura fina, média ou grossa. Toda a produção da companhia é realizada em duas fábricas, uma localizada em São Paulo e a outra no Rio de Janeiro.

Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar 16 toneladas de lâminas finas, 6 toneladas de lâminas médias e 28 toneladas de lâminas grossas.

Devido à qualidade dos produtos da Alumilâminas S/A, há uma demanda extra para cada tipo de lâmina.

40



A fábrica de São Paulo tem um custo de produção de R$ 100.000,00 para uma capacidade produtiva de 8 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 2 toneladas de lâminas grossas por dia.

O custo de produção diário da fábrica do Rio de Janeiro é de R$ 200.000,00 para uma produção de 2 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 7 toneladas de lâminas grossas.

Quantos dias cada uma das fábricas deverá operar para atender os pedidos ao menor custo possível? (resolva pela análise gráfica – deslocamento da função objetivo).

41



Variáveis de Decisão

X1 – Quantos dias de funcionamento da Fábrica de São

Paulo

X2 – Quantos dias de funcionamento da Fábrica do Rio

de Janeiro Função-Objetiva

Minimizar Custo de Produção (mil R$) =

42



Restrições de Demanda Placas Finas

Placas Médias

Placas Grossas

Restrições de Não Negatividade

162821

xx

61121

xx

287221

xx

0,21

xx

43



0,2872

6111628

200100

21

21

21

21

21

xxxx

xxxx

xxMin

44



(2) (1)(3)FunçãoObjetivo

45



Z = 920x1 = 14/5 e x2 = 16/5

(2) (1)(3) FunçãoObjetivo

46


Considere o seguinte o problema de Programação Linear:

Encontre a solução ótima.

0, 2446

1242 ..33

21

21

21

21

xxxxxxrsxxMax

47


(0,0)

1

2

0 1 2 3 4 5 6

3

x2

02 x

01 x x1

(0,3)

(6,0)

1242 21 xx

(4,0)

(0,6)

2446 21 xx5

4

6

7

48


1

2

0 1 2 3 4 5 6

3

x2

x1

5

4

6

7

2446 21 xx

1242 21 xx

O valor máximo de

será no ponto onde

as duas retas se cruzam.

33 21 xx

49


:(1) em se-doSubstituin

:equação 1ª na se-doSubstituin(1)

:sistema o se-Resolvendo

32/66)2/3(26

2/34/664122618122)26(3

26621223

62124212232446

1

2222

22

2121

21

2121

2121

x

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxxxx

50


Z. maximiza que valor o se-Tem

:objetivo função na valores estes se-doSubstituin

:retas duas das cruzamento de ponto o então se-Tem

5,132/99)2/3(3)3(333

2/33

21

2

1

xx Z

xx

51


1

2

0 1 2 3 4 5 6

3

x2

x1

5

4

6

7

21 330 xxZ

21 336 xxZ 21 335,13 xxZ

2446 21 xx

1242 21 xx

4,5

4,5

52


Exercício 2

Max 4x1 + 3x2

s.r.x1 + 3x2 72x1 + 2x2 8x1 + x2 3x2 2x1, x2 0

Resolva utilizando o método gráfico.

53


x2 2

x1 + x2 3

2x1 + 2x2 8

x1 + 3x2 7

x2

x1

4x1 + 3x2

54


Solução Ótima

x2

x1

55


Exercício 3

Max 4x1 + 8x2

s.r.3x1 + 2x2

18x1 + x2 5x1 4x1, x2 0


56


4x1 + 8x2

3x1 + 2x2 18

x1 + x2 5

x1 4

57


Solução Ótima

58


Max 21 3xx s.r.


0,10216

21

21

xxxx

304 21 xx

Exercício 4

59


Sem Soluções Viáveis

30421

xx

10216 21 xx

60


Restrições Redundantes

Uma restrição é dita redundante quando a sua exclusão do conjunto de restrições de um problema não altera o conjunto de soluções viáveis deste.

É uma restrição que não participa da determinação do conjunto de soluções viáveis.

Existe um outro problema sem essa restrição com a mesma solução ótima.

61


Considere o problema

0, 2045 1553

6 5

12 2 ..

106

21

21

21

2

1

21

21

21

xxxxxx

xx

xxxxrs

xxMin

Restrições Redundantes

62


x11086

51 x

42

62 x

221 xx10

14

12

x2

8

6

4

-2

2

-2

1553 21 xx

2045 21 xx

02 x

01 x

12 21 xx

Restrição Redundante

63


Soluções Múltiplas Encontre a solução ótima:

0, 2045 1553

6 5

2 ..106

21

21

21

2

1

21

21

xxxxxx

xx

xxrsxxMin

64


x11086

51 x

42

62 x

221 xx10

14

12

x2

8

6

4

-2

2

-2

1553 21 xx

2045 21 xx

02 x

01 x

SoluçõesMúltiplas

65


Solução Ilimitada Encontre a solução ótima:

0, 2045 1553

6 2 ..

106

21

21

21

2

21

21

xxxxxx

xxxrs

xxMax

66


x1108642

62 x

221 xx10

14

12

x2

8

6

4

-2

2

-2

1553 21 xx

2045 21 xx

02 x

01 x

Cresce indefinidamente

67


Solução Inviável Um problema de programação linear é dito inviável

quando o conjunto de soluções viáveis é vazio.

Considere o problema

0, 20 12 ..

21

21

21

21

xxxxxxtsxxMax

68


2021 xx

-2-2

2

4

6

8

10

12

14

2 4 6 8 10

12 21 xx

x2

x1

Conjunto de Soluções Viáveis é vazio

69

Memória de aula

1. Formulação de um problema utilizando modelos matemáticos.

2. Determinação das variáveis do modelo.3. Determinação da função objetivo.4. Determine a função objetivo e restrições para o

problema5. Efetuar a resolução gráfica.6. Possibilidades de solução

70

Bibliografia indicada

LISBOA, Erico Fagundes Anicet. Rio de Janeiro, 2002. versão digital disponível na Internet (http://www.ericolisboa.eng.br).

ANDRADE, Eduardo Leopoldino de. Introdução à Pesquisa Operacional: métodos e modelos para a análise de decisão. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2005.

LACHTERMACHER, Gerson. Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões: modelagem em Excel. Rio de Janeiro: Editora Elsevier, 2004.

http://www.ericolisboa.eng.br/

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