1 sistemas lineares pesquisa operacional profa. leila jane brum lage sena guimarães...
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Tema da aula 08
Pesquisa Operacional:Sistemas de equações lineares
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Discussão de sistemas de equações
Os sistemas quadrados onde, o nº equações é igual ao nº de incógnitas, podem ser resolvidos pela regra de CRAMER, havendo 3 possibilidades:
D ≠ 0
D = 0 e Di = 0
D = 0 e Di ≠ 0
Sistema possível e determinado(possui apenas uma solução)
Sistema possível e indeterminado(possui infinitas soluções)
Sistema impossível(nenhuma solução)
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Discussão de sistemas de equações
Este tipo de sistema, em que o nº de variáveis é maior que o nº de equações, é chamado sistema indeterminado. Possui mais de uma solução.
Sistemas indeterminados
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Discussão de sistemas de equações
As soluções são obtidas em função de uma hipótese com relação as variáveis excedentes à matriz quadrada. Assim se o sistema for de ordem (m x n), devemos atribuir valores quaisquer a (n – m) variáveis, para depois então encontrar os valores das m variáveis restantes.
Sistemas indeterminados
Ex: Dada a matriz (3 x 4) ( 4 – 3) =1 hipótese
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Discussão de sistemas de equações
Sistemas indeterminadosExemplo:
Hipótese = (4 – 3) = 1 hipótese
Considerando como hipótese x4 = 0
Nº de variáveis para atribuir o valor 0.
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Discussão de sistemas de equações
Sistemas indeterminadosExemplo:
X1 = 4 - 2x2
Se x4 = 0, então na 3ª equação temos:
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Discussão de sistemas de equações
Sistemas indeterminadosExemplo:
Se x4 = 0 e X1 = 4 - 2x2, então na 1ª equação temos:
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Discussão de sistemas de equações
Sistemas indeterminadosExemplo:Se x4 = 0, X1 = 4 - 2x2 e x3 = x2, então na 2ª equação temos:
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Discussão de sistemas de equações
Sistemas indeterminadosExemplo:
Se x4 = 0, X2 = 1 e x3 = 1, então x1 = 4 - 2x2
Solução: x1 = 2; x2 = x3 = 1; x4 = 0
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Discussão de sistemas de equações
Sistemas indeterminadosExemplo 2: seja o seguinte sistema indeterminado
Hipótese = (4 – 2) = 2 hipóteses
Ordem ( 2 x 4 )
Nº de variáveis para atribuir o valor 0.
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Discussão de sistemas de equações
Sistemas indeterminadosExemplo 2:Nº de hipóteses = combinação do número de variáveis tomadas 2 a 2.
(sem repetição)
6 possibilidades de solução
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Discussão de sistemas de equações
Sistemas indeterminadosExemplo 2:Nº de hipóteses possíveis: 6
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Discussão de sistemas de equações
Sistemas indeterminadosExemplo 2:1ª solução para x1 = x2 = 0Substituindo x1 e x2 na 1ª equação
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Discussão de sistemas de equações
Sistemas indeterminadosExemplo 2:1ª solução para x1 = x2 = 0 e x3 = 12Calculando x4 na 2ª equação
x1 = x2 = 0; x3 = x4 = 12;1ª solução
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Discussão de sistemas de equações
Sistemas indeterminadosExemplo 2:2ª solução para x1 = x3 = 0Substituindo x1 e x3 na 1ª equação
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Discussão de sistemas de equações
Sistemas indeterminadosExemplo 2:2ª solução para x1 = x3 = 0 e x2 = 2Calculando x4 na 2ª equação
x1 = x3 = 0; x2 = 2; x4 = 62ª solução
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Discussão de sistemas de equações
Sistemas indeterminadosExemplo 2:3ª solução para x1 = x4 = 0Substituindo x1 e x4 na 1ª equação
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Discussão de sistemas de equações
Sistemas indeterminadosExemplo 2:3ª solução para x1 = x4 = 0 e x3 = 12 – 6x2
Calculando x2 na 2ª equação
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Discussão de sistemas de equações
Sistemas indeterminadosExemplo 2:3ª solução para x1 = x4 = 0, x2 = 4 e x3 = 12 – 6x2
Calculando x3 na equação x3 = 12 – 6x2
x1 = x4 = 0; x2 = 4; x3 = -123ª solução
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Discussão de sistemas de equações
Sistemas indeterminadosExemplo 2:4ª solução para x2 = x3 = 0Substituindo x2 e x3 na 1ª equação
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Discussão de sistemas de equações
Sistemas indeterminadosExemplo 2:
Calculando x4 na 2ª equação4ª solução para x2 = x3 = 0; x1 = 6
x2 = x3 = 0; x1 = 6; x4 = -124ª solução
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Discussão de sistemas de equações
Sistemas indeterminadosExemplo 2:5ª solução para x2 = x4 = 0Substituindo x2 e x4 na 1ª equação
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Discussão de sistemas de equações
Sistemas indeterminadosExemplo 2:5ª solução para x2 = x4 = 0 e x3 = 12 – 2x1
Calculando x1 na equação 2ª equação
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Discussão de sistemas de equações
Sistemas indeterminadosExemplo 2:5ª solução para x2 = x4 = 0, x1 = 3 e x3 = 12 – 2x1
Calculando x3 na equação x3 = 12 – 2x1
x2 = x4 = 0; x1 = 3; x3 = 65ª solução
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Discussão de sistemas de equações
Sistemas indeterminadosExemplo 2:6ª solução para x3 = x4 = 0Substituindo x3 e x4 na 1ª equação
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Discussão de sistemas de equações
Sistemas indeterminadosExemplo 2:6ª solução para x3 = x4 = 0 e x1 = 6 – 3x2
Calculando x2 na equação 2ª equação
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Discussão de sistemas de equações
Sistemas indeterminadosExemplo 2:6ª solução para x3 = x4 = 0, x2 = 4/3 e x1 = 6 – 3x2
Calculando x1 na equação x1 = 6 – 3x2
x3 = x4 = 0; x2 = 4/3; x1 = 26ª solução
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Discussão de sistemas de equações
Sistemas indeterminadosExemplo 2:
1ª solução: x3 = x4 = 12;2ª solução: x2 = 2; x4 = 63ª solução: x2 = 4; x3 = -124ª solução: x1 = 6; x4 = -125ª solução: x1 = 3; x3 = 66ª solução: x2 = 4/3; x1 = 2
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Memória de aula
1. Qual a característica dos sistemas indeterminados considerando o n° de variáveis e o n° de equações?
2. Dada a matriz (2 x 5) determine o n° de variáveis para atribuição do valor 0.
3. Calcule o n° de hipóteses (possibilidades de solução) para a matriz acima. Considere hipóteses sem repetição.
4. Considerando que a matriz acima citada possui as variáveis: x1, x2, x3, x4 e x5, demonstre quais são as possíveis combinações entre elas (sem repetição).
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Bibliografia indicada
LISBOA, Erico Fagundes Anicet. Rio de Janeiro, 2002. versão digital disponível na Internet (http://www.ericolisboa.eng.br).