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Revisão do conceito de matrizes
Pesquisa Operacional
Prof(a) Leila Jane Brum Lage Sena Guimarães
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Tema da aula 02
Pesquisa Operacional:
Álgebra Linear – revisão de matrizes.
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Matrizes - conceituação
A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa:
Química InglêsLiteratur
aEspanho
l
A 8 7 9 8
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Para saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o número que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela.
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Matrizes - conceituação
Representação matricial das notas do exemplo anterior.
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de 0) são denominadas matrizes m x n. Na tabela temos, portanto, uma matriz de dimensão 4 x 4.
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Matrizes - conceituação
Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita.
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Matrizes - conceituação
Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:
ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa.
Por exemplo, na matriz notas, a33 é o elemento da 3ª linha e da 3ª coluna (aluno C, Literatura, nota 5).
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Matrizes - conceituação
Representar a matriz A (2 x 3) conforme a equação aij = 2i + j. :
a11 = 2 . 1 + 1 a21 = 2 . 2 + 1 a11 = 3 a21 = 5
a12 = 2 . 1 + 2 a22 = 2 . 2 + 2 a12 = 4 a22 = 6
a13 = 2 . 1 + 3 a23 = 2 . 2 + 3 a13= 5 a23 = 7
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Soma de matrizes
O resultado da soma será uma matriz com a mesma dimensão das matrizes originais.
Duas matrizes podem ser adicionadas se e somente se elas forem da mesma ordem.
Soma de matrizes = somar seus elementos individualmente.
Simbolicamente, temos que, se C = A + B, então cij = aij + bij, para todo i e j.
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Soma de matrizes
Exemplo:
Somar: A + B; C + A; B + C e A + D.
A + D não pode ser efetuada pois as dimensões são diferentes.
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Subtração de matrizes
O resultado da subtração será uma matriz com a mesma dimensão das matrizes originais.
Duas matrizes podem ser subtraídas se e somente se elas forem da mesma ordem.
Subtração de matrizes = subtrair seus elementos individualmente.
Simbolicamente, temos que, se C = A - B, então cij = aij - bij, para todo i e j.
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Subtração de matrizes
Uma matriz pode ser multiplicada por um escalar, multiplicando-se cada elemento da matriz por este escalar.
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Subtração de matrizes
Subtração entre duas matrizes é equivalente a somar a primeira com o produto da segunda pelo escalar -1.
Então E - F = E + (-F). Por exemplo.
F multiplicada por -1
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Subtração de matrizes
Exemplo:
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Produto de duas matrizes
O produto de duas matrizes tem o número de linhas da matriz à esquerda e o número de colunas da matriz à direita. Ou seja, sendo C = AB, se A é m x n e B é n x p, C é m x p.
O produto de duas matrizes somente pode ser efetuado se o número de colunas da matriz à esquerda for igual ao número de linhas da matriz à direita.
O produto de matrizes é, em geral, não comutativo, ou seja, dadas duas matrizes A e B e seu produto, AB, o produto BA pode não existir e, se existir, pode não ser igual a AB.
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Produto de duas matrizes
Exemplo:
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Produto de duas matrizes
Exemplo:
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Produto de duas matrizes
Exemplo:
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Produto de duas matrizes
Exemplo:
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Produto de duas matrizes
Exemplo:
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Produto de duas matrizes
Exemplo:
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Produto de duas matrizes
Exemplo:
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Produto de duas matrizes
Exemplo:
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Produto de duas matrizes
Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B:
A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n):
Colunas de A diferente
Linhas de B
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Exercícios propostos
Sejam as matrizes:
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Exercícios propostos
Sejam as matrizes:
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Memória de aula
1. Conceitue uma matriz.2. Quais são regras para adição e subtração de
matrizes?3. Como podemos subtrair duas matrizes utilizando um
produto escalar?4. Quais são regras para produto de matrizes?
5. Posso efetuar o produto da matriz A3x2 e B2x5?
6. Posso efetuar o produto da matriz A3x3 e B2x2? Justifique sua
resposta.
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Bibliografia indicada
ANDRADE, Eduardo Leopoldino de. Introdução à Pesquisa Operacional: métodos e modelos para a análise de decisão. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2005. pg. 244 a 248
LISBOA, Erico Fagundes Anicet. Rio de Janeiro, 2002. versão digital disponível na Internet (http://www.ericolisboa.eng.br).