Professor Alisson de Souza

Teoria dos conjuntos

1. Noções de conjuntos

2. Representação de um conjunto

3. Representação de um conjunto pela nomeação dos seus elementos

4. Representação de um conjunto pela propriedade que caracteriza seus elementos:

5 relação de pertinência

6 relação de inclusão

7. Operações com conjuntos

8. União de conjuntos

9. Diferença de conjuntos

10. Aplicação das operações entre conjuntos na resolução de problemas

Conjunto é toda coleção de objetos, de animais ou de qualquer outra coisa.

O que é um CONJUNTO?

a) conjunto dos signos do Zodíaco b) O conjunto de todos os brasileiros. c) O conjunto de todos os números naturais. d) O conjunto de todos os números reais tal que x² - 4=0. e) conjunto de alimentos ricos em vitamina C.

Exemplo :

Em geral, um conjunto é denotado (escrito) por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z

a) Áries é um elemento do conjunto dos signos.

b) José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros.

c) 1 é um elemento do conjunto dos números naturais.

d) - 2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x² - 4=0, pois substituindo -2 no local do x teremos que

- 2² - 4 =

4 – 4 = 0

Cada componente contido em um conjunto, chamamos de elemento.

Exemplo:

Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z

Existe várias maneiras de representar um conjunto. Podemos representá-lo por

1) diagramas:

2) Pela nomeação de seus elementos:

Ex: Conjunto D das letras da palavra “carnaval” Representação - D = {c, a, r, n, v, l}

Ex: Conjunto F das fases da lua

Representação: F = { nova, crescente, minguante, cheia}

3) Pela propriedade característica de seus elementos.

Ex: a)

C = {verde, amarelo, azul, branco}A propriedade que caracteriza esses elementos é o fato de serem as cores da bandeira brasileira. Logo, podemos escrever:

C = {cores da bandeira brasileira}

Ex: b)

N = {São Luiz, Teresina, Fortaleza, Natal, João Pessoa, Recife, Maceió, Aracaju, Salvador}

A propriedade que caracteriza esses elementos é o fato deles serem capitais dos estados da Região Nordeste do Brasil. Logo, podemos escrever:

N = { capitais dos estados da Região Nordeste do Brasil}

/

Pertinência: característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto.

Exemplo:a. José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros.

b. 1 pertence ao conjunto dos números naturais. c. -2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x² - 4 = 0.

Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo Є que se lê: "pertence".

Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1 pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos: 1 Є N Para afirmar que 0 não é um número natural ou que 0 não pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:

0 Є N Um símbolo matemático muito usado para a negação é a barra / traçada sobre o símbolo normal.

Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por:

A B, se todos os elementos de A também estiverem em B.

ex: A = { l, o, u, c, a} e B = {m, a, l, u, c, o}

Observe que todo elemento do conjunto A pertence também ao conjunto B. Nesse caso dizemos que A está contido em B (A B) , ou A é subconjunto de B, ou A é parte de B.

Podemos dizer que B contém A e escrevemos B A.

Essa relação entre conjunto com conjunto chama-se relação de inclusão.

Algumas vezes diremos que um conjunto A está propriamente contido em B, quando o conjunto B, além de conter os elementos de A, conterem também outros elementos.

U

U

U

OPERAÇOES COM CONJUNTOS

- Intersecção de conjuntos

Considere os conjuntos: A = {1, 2, 3, 5, 7} e B = {3, 5, 7, 8, 9, 10} . Vamos determinar o conjunto C formado pelos elementos que pertencem tanto ao conjunto A como ao conjunto B:

C = {3, 5, 7}

A essa operação dá-se o nome de intersecção. O símbolo indica a operação intersecção. Usando esse símbolo, vamos indicar a operação realizada: A B = C ou {1, 2, 3, 5, 7} {3, 5, 7, 8, 9, 10} = {3, 5, 7} . O resultado da operação, {3, 5, 7}, chama-se conjunto intersecção.

- União de conjuntos

Considere os conjuntos: A = {1, 2, 3, 5, 7} e B = {3, 5, 7, 8, 9, 10}. Vamos determinar o conjunto C formado por todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B:

c = {1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10}.

A essa operação dá-se o nome de união ou reunião. O símbolo U indica a operação união.

U

U U

- Diferença de conjuntos

Considere os conjuntos: A = {1, 2, 3, 5, 7, 8} e B = {3, 5, 7, 9}. Vamos determinar o conjunto C formado por todos os elementos que pertencem ao conjunto A, mas, não pertencem ao conjunto B: C ={1, 2, 8}. A essa operação dá-se o nome de diferença de conjuntos.

9. APLICAÇÃO DAS OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Ex: A professora de Português da 4ª série com uma classe de 30 alunos, interessada em saber se as crianças gostavam dos livros de Monteiro Lobato, fez uma pesquisa com elas e verificou o seguinte: 21 alunos já tinham lido Caçados de Pedrinho, 19 leram Reinações de Narizinho e 12 já tinham lido as duas obras.

a) Quantos alunos leram apenas “Caçados de Pedrinho”? 9 alunos

b) Quantos alunos leram apenas “Reinações de Narizinho”? 7 alunos

c) Quantos alunos não haviam lido nenhuma das obras de Monteiro Lobato? 2 alunos

Resposta: Utilizamos um diagrama para responder essa questão

DADOS: 12 já tinham lido as duas obras

12

21 alunos já tinham lido Caçados de Pedrinho

9

19 leram Reinações de Narizinho

7

Quantos alunos não haviam lido nenhuma das obras de Monteiro Lobato?Basta somar todos os valores 9 + 12 + 7 = 28

Mas no inicio da questão ele diz: uma classe de 30 alunos, 30 – 28 = 2

2) Numa cidade são consumidos três produtos A, B e C. Feito um levantamento do mercado sobre o consumo desses produtos, obteve-se o seguinte resultado disposto na tabela abaixo:

ProdutosNúmero de Consumidores A = 150 B = 200 C = 250 A e B = 70 A e C = 90 B e C = 80 A, B e C = 60Nenhum dos três 180

Quantas pessoas foram consultadas?a) 300 b) 350 c) 470 d) 540 e) 600

602030

1050 110

140

140+110+50+10+60+20+30+ (180 que não usam o produto) = 600Letra e

3) Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações:Helena,Senhora e A Moreninha. Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas:600 leram A Moreninha;

400 leram Helena; 300 leram Senhora; 200 leram A Moreninha e Helena; 150 leram A Moreninha e Senhora; 100 leram Senhora e Helena; 20 leram as três obras.

20

80

130180

120 70

270

Qual o número de pessoas que não leu nenhuma das três obras?

Somando tudo teremos um valor igual a 870, mas ele diz no inicio que 1000 pessoas foram consultadas1000 – 870 = 130

4) Se o conjunto A tem cinco elementos e o conjunto B tem três elementos, podemos afirmar que, certamente:

a) A ∩ B tem pelo menos três elementos;

b) B é subconjunto de A;

c) A U B tem no máximo oito elementos;

d) A ∩ B tem três elementos

e) todo elemento de A e de B

6. Os conjuntos A e B são tais que: o número de elementos de A é 35, do conjunto B é 40 e do conjunto A U B é 65. O conjunto A B tem:

a) 30 elementos

b) 25 elementos

c) 35 elementos

d) 10 elementos

e) 15 elementos A = 35 B = 40

A U B = 65

A ∩ B = 10

3025 10

7. Numa classe , foi proposta a resolução de dois problemas. O primeiro foi resolvido por 32 alunos, o segundo, por 28 alunos, os dois, por 22 alunos, e 2 não conseguiram resolver nenhum dos problemas. Quantos alunos há nessa classe?

a) 38

b) 40

c) 42

d) 55

e) 60

2210 6

2 QUE NÃO RESOLVERAM NENHUMA

Somando tudo teremos 10 + 22 + 6 + 2 = 40 alunos

8) Se A= {a, b, c}, B = {b, c, d} e C = {a, b, c, d}, então (A U B) – (A ∩ C) é igual a :

a) {a, b, c}

b) {a}

c) {b}

d) {d}

e) { }

A U B = { a,b,c,d}

A ∩ C = {a,b,c}

(A U B) – (A ∩ C) = d

9) Se A = {a, b, c}, B = {b, c, d} e C = {a, b, c, d}, podemos afirmar que:

a) A B

b) B A

c) A C

d) C A

e) A = B

∩∩

∩∩

Porque de acordo com relação de inclusão, todos os elementos do conjunto A pertence também ao conjunto B.

Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por: A B, se todos os elementos de A também estiverem em B.∩

10) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 2000 pessoas usam os produtos A ou B. O produto B é usado por 800 pessoas, e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto A?

a) 320

b) 1520

c) 890

d) 1840

e) 2030 320 4801200

A questão afirma que 800 usam o produto B, mas se já existem 320 que usam o B. só precisamos colocar mais 480 que usam só o B para então completar os 800.SE ao todo, 2000 pessoas usam ou A ou B.usam Somente o produto A = 2000 - 800 = 1200

Mas a pergunta é: Quantas pessoas usam o produto A?

Então a resposta é 1200 + 320 = 1520

a) 320b) 1520c) 890d) 1840e) 2030

Questões extras:

11) (PUC) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esporte (E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas.

Através desses dados verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é:

(A) 200  

(C) 900  

(B) os dados do problema estão incorretos.

(D) 100                 

 (E) n.d.a.

Programas E N H E e N E e H N e H E,N e H NenhumNÚMERO de telespectadores

400 1220 1080 220 180 800   100 x

 100

E

N

H

70080

220

200

100 300

Solução: No diagrama de Venn-Euler colocamos a quantidade de elementos dos conjuntos, começando sempre pela interseção que tem 100 elementos.

Então, 100 + 120 + 100 + 80 +700 + 200 + 300 + x = 1800. Segue que, 1600 + x = 1800. Logo, o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é: x = 1800 - 1600 = 200. Assim, (A) é a opção correta.

12) Em uma prova discursiva de álgebra com apenas duas questões, 470 alunos acertaram somente uma das questões e 260 acertaram a segunda. Sendo que 90 alunos acertaram as duas e 210 alunos erraram a primeira questão. Quantos alunos fizeram a prova?

Solução: Temos que 90 acertaram as duas questões. Se 260 acertaram a segunda, então, 260 - 90 = 170 acertaram apenas a segunda questão. Se 470 acertaram somente uma das questões e 170 acertaram apenas a segunda, segue que, 470 - 170 = 300 acertaram somente a primeira. Como 210 erraram a primeira, incluindo os 170 que também erraram a primeira, temos que, 210 - 170 = 40 erraram as duas. Assim podemos montar o diagrama de Venn-Euler, onde: P1 é o conjunto dos que acertaram a primeira questão; P2 é o conjunto dos que acertaram a segunda e N é o conjunto dos que erraram as duas. Observe a interseção P1Ç P2 é o conjunto dos que acertaram as duas questões.

Logo, o número de alunos que fizeram a prova é: 300 + 90 + 170 + 40 = 600.