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ÁLGEBRA

AULA 1 _ Conjuntos

Professor Luciano Nóbrega

Maria Auxiliadora

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Pode-se dizer que a Teoria dos Conjuntos é, emgrande parte, trabalho de um único matemático:Georg Cantor (1845-1918).

A noção de conjunto não é suscetível de definiçãoprecisa a partir de noções mais simples, ou seja, éuma noção primitiva.

A Teoria dos Conjuntos é de fundamental importância para várias áreas da ciência da computação.

Teoria dos Conjuntos

CONCEITOS PRIMITIVOS1º) Conjuntos – Um conjunto é uma coleção não-ordenada de objetos. USAMOS LETRAS MAIÚSCULAS PARA REPRESNTÁ-LOS.Exemplos:• Conjunto de livros na biblioteca (conj. finito);• Conjunto dos números naturais (conj. infinito);• Conjunto de dinossauros vivos (conj. vazio, {}, Ø).

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CONCEITOS PRIMITIVOS2º) Elementos – Os objetos que constituem um conjunto denominam-se elementos do conjunto.*usamos letras minúsculas.Exemplos:Eu, sou um elemento do conjunto de Matemáticos;“1” é um elemento do conjunto dos Números Naturais.“-2” é elemento do conjunto solução da equação x2 – 4 = 0.

3º) Pertinência – Notação: ∈ (pertence) ou ∉ (não pertence)

Qualquer objeto que seja elemento de um conjunto édito pertencer aquele conjunto.

LEMBRE-SE: A relação de pertinência, ∈ ou ∉ , é utilizada

somente para relacionar elementos com conjuntos.

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CONCEITOS PRIMITIVOS

4º) Continência – Notação: ⊂ (contido) ou ⊄ (não está contido)

Quando um conjunto estiver inserido em outro conjunto, dizemos que o primeiro conjunto está contido no segundo conjunto.

LEMBRE-SE: A relação de continência, ⊂ ou ⊄, é utilizada somente

para relacionar conjunto com conjunto.Exemplo: Utilize, corretamente, um dos quatro símbolos:a) 4/11 ___ N b) N ___ Ir c) N ___ R d) √5 ___ R e) -4,7 ___ Z

5º) Conjunto Universo – Notação: UChama-se Conjunto Universo a todos os entes que sãoconsiderados como elementos.Exemplo: em geometria o Universo é o conjunto de todos os pontos.

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CARACTERÍSTICAS DOS CONJUNTOS

A ordem em que os elementos são listados e a repetição dos elementos em um conjunto é irrelevante. Sendo assim:{3, 2, 1} = {1, 2, 3} e {1, 1, 1, 3, 2, 2} = {1, 2, 3}

MANEIRAS DE DESCREVER UM CONJUNTO

– De maneira explícita. Ex: A = {água, terra, fogo, ar}– Indicando um padrão: Ex: P = {2, 4, 6, 8, ...}– Através de uma propriedade que os elementos doconjunto tenham em comum. Ex: L = {x|x é um inteiro e 3 < x < 7}– Através de um Diagrama de Venn.– Com a notação de intervalos.Ex: [3, 7] ; ] –9, 0 [

fechado aberto

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CONJUNTOS ESPECIAIS – Os conjuntos numéricos

N: conjunto dos números naturais: {0, 1, 2, 3, ...}Z: conjunto dos números inteiros: {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}Q: conjunto dos números racionais: {x|x = a/b ; a, b ∈ Z , b ≠ 0}I: conjunto dos números irracionais: {x|x ∉ Q}R: conjunto dos nos reais: {x | x ∈ (Q ⋃ I)}

OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

Para facilitar o entendimento, sejam os conjuntos: A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6}.

UNIÃO: Se “A” e “B” são conjuntos, a união de “A” e “B”, denotada por A ⋃ B, é o conjunto que contém aqueles elementos que estão

em “A”, ou em “B”, ou em ambos.Ex: A ⋃ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

INTERSEÇÃO: Se “A” e “B” são conjuntos, a interseção de “A” e “B”, denotada por A ⋂ B, é o

conjunto que contém aqueles elementos que estão em “A” e em “B” ao mesmo tempo.Ex: A ⋂ B = {3, 4}

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Para facilitar o entendimento, sejam os conjuntos: A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6}.

DIFERENÇA:Se “A” e “B” são conjuntos, a diferença de “A” e “B”, denotada por A – B, é o conjunto que contém aqueles elementos que estão em “A” mas não estão em “B”.Ex: A – B = {1, 2} ; B – A = {5, 6}

COMPLEMENTO:Se “U” é o conjunto Universo, U – A é chamadode complemento de “A” e é denotado por “ Ā ”.Ex: Ā = U – A = {5, 6} PRODUTO CARTESIANO:O produto cartesiano de dois conjuntos é o conjunto de todos os pares ordenados dos elementos do primeiro conjunto que pode-se formar com os elementos do segundo conjunto.Ex: A x B = {(1,3);(1,4);(1,5);(1,6); (2,3);(2,4);(2,5);(2,6);

(3,3);(3,4);(3,5);(3,6); (4,3);(4,4);(4,5);(4,6)}

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Igualdade de Conjuntos:Dois conjuntos “A” e “B” são iguais quando todoelemento de “A” pertence também a “B” e,reciprocamente, todo elemento de “B” pertencer à “A”.

Subconjuntos:Quando todos os elementos de um conjunto “A” pertencem a um outro conjunto “B”, diz-se, então, que “A” é um subconjunto de “B”, ou seja A ⊂ B.

Observações:• Todo o conjunto “A” é subconjunto dele próprio; • O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

Ex: Seja o conjunto A = {1, 2, 3, 4}, então todos os subconjuntos de “A” são:P(A) = ( {1}; {2}; {3}; {4};{1, 2}; {1, 3}; {1, 4}; {2, 3}; {2, 4}; {3, 4};

{1, 2, 3}; {1, 2, 4}; {1, 3, 4}; {2, 3, 4}; A; Ø})

OBS 1: O número de elementos de P(A) é dado por 2n , onde “n” é o número de elementos de “A”.

RQZN

OBS 2:

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NÚMERO DE ELEMENTOS DA REUNIÃO DE CONJUNTOS

Consideremos o conjunto “A” como o conjunto dos números ímpares entre 0 e 10, e o conjunto “B” dos números primos entre 0 e 10. Então, se n(A) representa a quantidade de elementos do conjunto “A”, temos:

A = {1, 3, 5, 7, 9} n(A) = 5

B = {2, 3, 5, 7} n(A) = 4

Vejamos o que acontece quando estudamos a interseção e a união dos conjuntos:A ⋃ B = {1, 2, 3, 5, 7, 9} n(A ⋃ B) = 6

A ⋂ B = {3, 5, 7} n(A ⋂ B) = 3

Observe que n(A ⋃ B) ≠ n(A) + n(B). Na verdade, temos: n(A ⋃ B) = n(A) + n(B) – n(A ⋂ B)

6 = 5 + 4 – 3

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NÚMERO DE ELEMENTOS DA REUNIÃO DE CONJUNTOS

É possível provar que n(A ⋃ B) = n(A) + n(B) – n(A ⋂ B), vejamos:

A B

A

+

B

–

A U B

1º) Geometricamente:

2º) Algebricamente:n(A ⋃ B) = [n(A) – n(A ⋂ B)] + n(A ⋂ B) + [n(B) – n(A ⋂ B)]

n(A ⋃ B) = n(A) – n(A ⋂ B) + n(A ⋂ B) + n(B) – n(A ⋂ B)

n(A ⋃ B) = n(A) + n(B) – n(A ⋂ B)

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Resumo n(A ⋃ B) = n(A) + n(B) – n(A ⋂ B)

O número de elementos de P(A) é dado por 2n , onde “n” é o número de elementos de “A”.

LEMBRE-SE: A relação de pertinência, ∈ ou ∉ , é utilizada

somente para relacionar elementos com conjuntos.

LEMBRE-SE: A relação de continência, ⊂ ou ⊄, é utilizada

somente para relacionar conjunto com conjunto.

n(A ⋃ B ⋃ C) = n(A) + n(B) + n(C)– n(A ⋂ B) – n(A ⋂ C) – n(B ⋂ C)+ n(A ⋂ B ⋂C)

PROPRIEDADES:P1: A = P2: A B = B AP3: (A B) C = A (B C)P4: A A = AP5: A = AP6: A B = B AP7: (A B) C = A (B C)

Generalizando: )A(n2222)...))))A(P(...(P(P(P(n

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1 – (lista_questão 1) – Seja o conjunto A = {1, 2, 3, {3}, {4}, {2, 5}}. Classifique as afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F).a) 2 A h) A

b) {2} A i) {3} A

c) 3 A j) {4} A

d) {3} A k) {{4}} A

e) A l) {2, 5} A

f) {5} A m) {{2, 5}} A

g) {2, 5} A n) {1, 2, 3} A

TESTANDO OS CONHECIMENTOS

OBS: Como foi dito na nossa preleção, minhas aulas terão vários exercícios resolvidos e outros tantos à resolver. Nesta aula, não tivemos nenhum exercício resolvido pelo fato de vocês já estarem de posse de uma lista com uns 50 exercícios.

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2 – (lista_questão 4) – (Cesgranrio – RJ) O número de conjuntos X que satisfazem {1, 2} {1, 2, 3, 4} é:a) 3b) 4c) 5d) 6


3 – (lista_questão 7) – Sejam A = {x /x é número par compreendido entre 3 e 15}, B = {x /x é um número par menor que 15} e C = {x /x é um número par diferente de 2}. Usando os símbolos ou , relacione entre si os conjuntos:a) A e B

b) A e C

c) B e C

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4 – (lista_questão 10) – (Unifor – CE) Se A = {a, 3, }, então o número de elementos de P(P(A)) possui:a) 8 elementosb) 16 elementosc) 256 elementos d) 512 elementos


5 – (lista_questão 16) – Numa pesquisa sobre a preferência em relação a dois jornais, foram consultadas 630 pessoas e o resultado foi o seguinte: 350 delas lêem o jornal A, 210 lêem o jornal B e 90 lêem os jornais A e B.Pergunta-se:a) quantas pessoas lêem apenas o jornal A?

b) quantas pessoas lêem apenas o jornal B?

c) quantas pessoas lêem jornais?

d) quantas pessoas não lêem jornais?

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6 – (lista_questão 19) – Numa escola mista existem 42 meninas, 24 crianças ruivas, 13 meninos são ruivos e 9 meninas ruivas. Pergunta-se:a) Quantas crianças existem na escola?

b) Quantas crianças são meninas ou são ruivas?


7 – (lista_questão 21) – O quadro abaixo mostra o resultado de uma pesquisa sobre as revistas que os estudantes do Ensino Médio costumam ler:

Revistas Leitores

A 150

B 200

C 250

A e B 70

A e C 90

B e C 80

A, B e C 60

Nenhuma 180

Pergunta-se:a) Quantos foram os estudantes consultados?

b) Quantos estudantes lêem apenas a revista A?c) Quantos estudantes lêem a revista B e não lêem a C?d) Quantos estudantes não lêem a revista A?e) Quantos estudantes lêem a revista A ou a revista C?

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8 – (lista_questão 27) – (UFRN) Indique a opção sempre verdadeira, quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, de modo que A B.a) A B C b) A C c) B C d) A C B


9 – (lista_questão 32) – (UFRN) As figuras abaixo representam diagramas de Venn dos conjuntos X, Y e Z. Marque a opção em que a região hachuradarepresenta o conjunto Y Z – X.

10 – (lista_questão 35) – (UFRN) Se A, B e C são conjuntos tais que n[A – (B C)] = 15, n[B – (A C)] = 20, n[C – (A B)] = 35 e n(A B C) = 120. Então n[(A B) (A C) (B C)] é igual a:a) 40 b) 50 c) 60 d) 70

11 – (lista_questão 37) – (UFRN) Uma pesquisa de opinião, realizada num bairro de Natal, apresentou o resultado seguinte: 65% dos entrevistados freqüentavam a praia de Ponta Negra, 55% freqüentavam a praia do Meio e 15% não iam a praia. De acordo com essa pesquisa, o percentual dos entrevistados que freqüentavam ambas as praias era de: a) 20% b) 35% c) 40% d) 25%

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