Conjuntos

George Darmiton da Cunha CavalcantiCIn - UFPE

Introdução

• Conjunto– Coleção de objetos não ordenada.

• Os objetos de um conjunto são chamados de elementos ou membros do conjunto.

• Diz-se que um conjunto A contém seus elementos.

∈e∉

• ∈ (Pertence)– Escreve-se a∈A para denotar que a e um

elemento de A;

• ∉ (Não pertence)– E a∉A para denotar que a não e um elemento

de A.

Descrevendo Conjuntos

• Existem várias maneiras de se descrever um conjunto:

– Listando seus elementos: • V = {a, e, i, o, u}

– Definindo uma propriedade: • V = (x | x é vogal}

– Definição recursiva:a) 2 ∈ Ab) Se x ∈ A então (x + 2) ∈ A

Descrevendo Conjuntos

• Diagrama de Venn (John Venn(1881)):– Um conjunto U, universo, que

contém todos os objetos sob consideração: retângulo;

– Dentro do retângulo: círculos (ou outras figuras geométricas) que representam conjuntos;

– Pontos são usados para representar elementos particulares dos conjuntos.

U

AB

U

Va e

i

ou

Conjuntos conhecidos

• N = {0, 1, 2, 3, ...} – o conjunto dos números naturais

• Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} – O conjuntos dos números inteiros

• Z+ = {1, 2, 3, ...} – O conjuntos dos números inteiros positivos

• Q = {p/q | p∈Z, q∈Z, q≠0}– O conjuntos dos números racionais

• R, o conjuntos dos números reais

Exemplos

Mais Exemplos

Igualdade entre Conjuntos

• Diz-se que dois conjuntos são iguais se e somente se eles contém os mesmos elementos.

• Exemplo:– {a,b,c} = {c,b,a} = {a ,a, a, b, b, c, c, c, c}

Subconjunto

• Um conjunto A e subconjunto de B se e somente se todo elemento de A for também elemento de B.

• A notação A ⊆ B e usada para denotar que A é subconjunto de B.

Subconjunto

• A ⊆ B: ∀x(x∈A → x∈B)• ∅ ⊆ A, qualquer que seja A• A ⊆ A, qualquer que seja A• Se A ⊆ B e B ⊆ A então A=B

• Subconjunto Próprio– Se A≠B e A é subconjunto de B então A⊂B

Exemplos

A = {1, 2}B = {x∈R | x2-3x+2 = 0}Então A = B

A = {1, 2}C = {x∈N | x é divisor de 12}Então A⊂C

Conjunto das Partes

• Dado um conjunto S, o conjunto das partes de S e o conjunto de todos os subconjuntos de S.

• O conjunto das partes de S é denotado por P(S).

• Se um conjunto S possui n elementos então o seu conjunto das partes possui 2n elementos.

Conjunto das Partes: exemplo

A = {1, 2, 3}

P(A) = P({1,2,3})

P({1,2,3}) = {∅,{1},{2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}

n-tuplas ordenadas

• A ordem dos elementos em uma coleção é freqüentemente importante.

• Sabendo que conjuntos não possuem ordem, uma estrutura diferente é necessária.

• Isso é conseguido por n-tuplas ordenadas

n-tupla ordenada

• n-tupla ordenada– A n-tupla ordenada (a1, a2, ..., an) é a coleção ordenada

que possui a1 como primeiro elemento, a2 como segundo elemento, ..., e an como n-ésimo elemento.

• 2-tuplas são chamadas de pares ordenados;

• (a, b) ≠ (b, a), a menos que a seja igual a b.

• n-tuplas ordenadas são iguais:– (a1, a2, ..., an) = (b1, b2, ..., bn) quando ai = bi,

i=1,2,3,...,n.

Produto Cartesiano

• Sejam A e B conjuntos arbitrários, o produto cartesiano de A e B, denotado por A×B, é o conjunto de todos os pares ordenados a, b, sabendo que a∈A e b∈B.

• A×B = {(a,b) | a∈A e b∈B}

• A×B = B×A?

Produto Cartesiano

• Produto cartesiano com mais de 2 conjuntos.

• O Produto cartesiano dos conjuntos A1, A2, ..., An denotado por A1×A2 ×...×An, é o conjunto das n-tuplas ordenadas (a1, a2, ..., an) sabendo que ai∈Ai para i = 1, 2, 3, ..., n.

Operações com Conjuntos

• União– Sejam A e B dois conjuntos arbitrários. A união

dos conjuntos A e B, denotada por A∪B, é o conjunto que contém aqueles elementos que estão ou em A ou em B, ou em ambos.

– A∪B = {x | x∈A ou x∈B}

Operações com Conjuntos

• Interseção– Sejam A e B dois conjuntos arbitrários. A

interseção dos conjuntos A e B, denotada por A∩B, é o conjunto que contém aqueles elementos que estão em A e em B ao mesmo tempo.

– A ∩ B = {x | x∈A e x∈B}

Operações com Conjuntos

• Diferença– Sejam A e B dois conjuntos arbitrários. A

diferença entre A e B, denotada por A–B, é o conjunto que contém aqueles elementos que estão em A mas não estão em B.

– A diferença de A e B também é chamada de complemento de B em relação a A.

– A–B = {x | x∈A e x∉B}

Operações com Conjuntos

• Complemento– Seja U o conjunto universo. O complemento do

conjunto A, denotado por � ou por A’, é o complemento de A em relação a U.

– Em outras palavras, o complemento do conjunto A e U–A.

– � = {x | x∉A}

Operações com Conjuntos

A B

U

�

A B

UA∪B

A B

UA∩B

A B

UA–B

A B

U(A–B)∪(B–A)

Operações com Conjuntos

Propriedades das operações

IdempotênciaA∪A = AA∩A = A

A∪∅ = AA∩∅ = ∅

Se A ⊆ B entãoA∪B = BA∩B = A

Comutatividade A∪B = B∪AA∩B = B∩A

Propriedades das operações

Associatividade (A∪B)∪C = A∪(B∪C)(A∩B)∩C = A∩(B∩C)

Distributividade(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)(A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C)

Propriedades das operações

De Morgan (A∪B)’ = A’∩B’(A∩B)’ = A’∪B’

Absorção(A∪B)∩A = A(A∩B)∪A = A

Exemplo

• Prove que (A∩B)’ = A’∪B’

1. Suponha que x ∈ (A∩B)’.2. De 1. tem-se que x ∉ A∩B.3. De 2. tem-se que x∉A ou x∉B.4. De 3. tem-se que x∈A’ ou x∈B’. Assim, x∈(A’∪B’).5. Foi provado que (A∩B)’ ⊆ (A’∪B’).

Exemplo

• Continuação da prova: (A∩B)’ = A’∪B’

6. Suponha que x ∈ A’∪B’7. De 6. tem-se que x∈A’ ou x∈B’8. De 7. tem-se que x∉A ou x∉B.9. De 8. tem-se que x∉(A∩B). Assim, x∈(A ∩ B)’.10. Foi provado que (A’∪B’) ⊆ (A∩B)’.

Exemplo

Use as identidades entre conjuntos para provar que (A∪(B∩C))’ = (C’∪B’)∩A’

1. Pela lei de De Morgan infere-se que (A∪(B∩C))’ = A’∩(B∩C)’.2. = A’∩(B’ ∪ C’) (lei de De Morgan).3. = (B’ ∪ C’) ∩ A’ (comutatividade da interseção)4. = (C’ ∪B’) ∩ A’ (comutatividade da união)

Generalizando união e interseção

• Os conceitos de união e interseção entre conjuntos podem ser aplicados a uma coleção de conjuntos.

• Nesse caso, a notação utilizada é definida como:

A A A An ii

n

1 21

∪ ∪ ∪ ==

� �

A A A An ii

n

1 21

∩ ∩ ∩ ==

� �

Cardinalidade

• Seja S um conjunto. Se existem exatamente n elementos distintos em S, sabendo que n é um inteiro não negativo, diz-se que S e um conjunto finito e n é a cardinalidade de S.

• A cardinalidade de S e denotada por |S|.

• Um conjunto e dito infinito se ele não é finito.

Cardinalidade: exemplo

• Sejam A, B dois conjuntos finitos tais que A∩B=∅; (ou seja, A, B são disjuntos), assim:– |A∪B| = |A| + |B|

BA

Cardinalidade: exemplo

• Sejam A e B dois conjuntos finitos. • Então, |A–B| = |A| – |A∩B|

• Demonstração– Sabendo que (A–B)∩(A∩B)=∅ e que – A = (A–B)∪(A∩B)– Logo, pelo exemplo anterior– |A| = |A–B| + |A∩B|– Logo– |A–B| = |A| – |A∩B|

Conjuntosdisjuntos

Cardinalidade: exemplo

• Sejam A e B dois conjuntos finitos.• Então, |A∪B| = |A| + |B| – |A∩B|

• Demonstração– Uma vez que A–B, B–A e A∩B são disjuntos dois a dois e a sua

união é A∪B, usando as definições anteriores,|A∪B| = |(A–B) ∪ [(B–A) ∪ (A∩B)]|

= |A–B| + |(B–A) ∪ (A∩B)|= |A–B| + |B–A| + |A∩B|= |A| – |A ∩ B| + |B| – |A ∩ B| + |A∩B|= |A| + |B| – |A ∩ B|

Cardinalidade: exemplo

• Sejam A, B e C conjuntos finitos.• Então,• |A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| – |A∩B| – |A∩C| – |B∩C| + |A∩B∩C|

• Demonstração• Usando o resultado anterior, tem-se,

|A∪B∪C| = |A∪(B∪C)|= |A| + |(B∪C)| – |A∩(B∪C)|= |A| + |B| + |C| – |B∩C| – |(A∩B)∪(A∩C)|= |A| + |B| + |C| – |B∩C| – |A∩B| – |A∩C| + |A∩B∩C|

Cardinalidade: exemplo

• Numa sala de aula, dos 100 alunos pelo menos 75 falavam inglês, pelo menos 70 falavam francês e pelo menos 65 falavam alemão. Quantos são, no mínimo, os participantes que falam as três línguas?

Sejam I, F e A os conjuntos dos participantes que falam respectivamente inglês, francês e alemão.Assim, |I∩F| = |I| + |F| – |I∪F| ≥ 75+70-100 = 45

|I∩A| = |I| + |A| – |I∪A| ≥ 75+65-100 = 40|F∩A| = |F| + |A| – |F∪A| ≥ 70+65-100 = 35

Cardinalidade: exemplo

Então,|I∩F∩A| = |I∩(F∩A)|

= |I| + |F∩A| – |I∪(F∩A)|≥ 75 + 35 – 100 = 10

Portanto, pelo menos 10 falam as três línguas.

Cardinalidade: exemplo

• Utilizando o diagrama de Venn, tem-se

I F

A

0 0

0

30 25

35

10

Cardinalidade: exemplo

• Caso nos informassem que existe um participante de cada nacionalidade que fala unicamente a sua língua, tem-se:

|I∪A| ≤ 99

|I∪F| ≤ 99|F∪A| ≤ 99

Neste caso, Assim, |I∩F| = |I| + |F| – |I∪F| ≥ 75+70-99 = 46

|I∩A| = |I| + |A| – |I∪A| ≥ 75+65-99 = 41|F∩A| = |F| + |A| – |F∪A| ≥ 70+65-99 = 36

Cardinalidade: exemplo

Como apenas 1 fala francês, 1 inglês e 1 alemão,|I∪(F∩A)| ≤ 98

Conseqüentemente,|I∩F∩A| = |I∩(F∩A)|

= |I| + |F∩A| – |I∪(F∩A)|≥ 75 + 36 – 98 = 13

I F

A

1 1

1

1328

33

23

Representando conjuntos nos computadores

• Existem várias maneiras de representar conjuntos no computador.

• Uma delas é armazenas os elementos dos conjuntos de maneira desordenada.

• Entretanto, essa maneira é bastante custosa, em termos de tempo de processamento, para realizar operações como união, interseção ou diferença.

Representando conjuntos nos computadores

• Seja U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} um conjunto em ordem crescente.

• Uma representação utilizando uma cadeia de bits para representar um subconjunto de U.

– Os números ímpares de U• {1,3,5,7,9}• Representação – 10 1010 1010

– Os números pares de U• {2,4,6,8,10}• Representação – 01 0101 0101

Representando conjuntos nos computadores

– Os números U menores que 6• {1,2,3,4,5}• Representação – 11 1110 0000

– Complemento dos número pares de U• Números pares de U: {2,4,6,8,10}• Representação – 01 0101 0101• Complemento – 10 1010 1010 (número ímpares)

Representando conjuntos nos computadores

– União e interseção• Números ímpares de U: {1,3,5,7,9}• Representação – 10 1010 1010

• Números menores que 6 de U: {1,2,3,4,5}• Representação – 11 1110 0000

• União• 10 1010 1010 ∨ 11 1110 0000 = 11 1110 1010• Conjunto = {1,2,3,4,5,7,9}

• Interseção• 10 1010 1010 ∧ 11 1110 0000 = 10 1010 000• Conjunto = {1,3,5}