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Caderno RQ1
Teoria dos Conjuntos
Conjuntos Numéricos
Prof. Milton Araujo
INSTITUTO INTEGRAL
Caderno RQ1
Teoria dos Conjuntos
Conjuntos Numéricos
. Milton Araujo
INSTITUTO INTEGRAL | www.institutointegralead.com.br
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Teoria dos Conjuntos
Conjuntos Numéricos
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Sumário
1 INTRODUÇÃO ................................
2 FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUN
2.1 POR ENUMERAÇÃO DOS EL
2.2 POR COMPREENSÃO ................................
2.3 POR DIAGRAMA DE EULER
3 SUBCONJUNTOS ................................
3.1 NÚMERO DE SUBCONJUNTO
4 RELAÇÃO ENTRE ELEMENTO E CONJUNTO
5 RELAÇÃO ENTRE CONJUNTOS
6 OPERAÇÕES ................................
6.1 UNIÃO ................................
6.1.1 Palavras-chave: "ou", "pelo menos"
6.1.2 Símbolo: ∪ ................................
6.2 INTERSEÇÃO ................................
6.2.1 Palavra-chave: "e"
6.2.2 Símbolo: ∩ ................................
6.3 DIFERENÇA ................................
6.3.1 Palavras-chave: "somente", "apen
6.3.2 Símbolo: ................................
6.4 COMPLEMENTO DE UM CON
6.4.1 Símbolo: A' ................................
7 CONJUNTOS NUMÉRICOS ................................
7.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS
7.2 CONJUNTO DOS NÚMEROS
7.2.1 Conjunto dos números Inteiros Não negativos
7.2.2 Conjunto dos números Inteiros Positivos
7.2.3 Conjunto dos números Inteiros Não positivos
7.2.4 Conjunto dos números Inteiros Negativos
7.3 CONJUNTO DOS NÚMEROS
7.3.1 Transformando número decimal em fração decimal
7.3.2 Encontrando a fração geratriz de uma dízima periódica
7.4 CONJUNTO DOS NÚMEROS
7.5 CONJUNTO DOS NÚMEROS
7.6 REPRESENTAÇÃO DOS CONJUNTOS
7.7 OPERAÇÕES ARITMÉTICAS NOS
8 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ................................
9 TÓPICOS ESPECIAIS ................................
9.1 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
9.1.1 Aplicações do MMC
9.2 MÁXIMO DIVISOR COMUM
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................................................................................................................................
ÇÃO DE UM CONJUNTO ................................................................
OR ENUMERAÇÃO DOS ELEMENTOS ................................................................................................
................................................................................................
ULER-VENN ................................................................................................
................................................................................................
ÚMERO DE SUBCONJUNTOS ................................................................................................
TO E CONJUNTO ................................................................
CONJUNTOS ................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
chave: "ou", "pelo menos" ................................................................
..............................................................................................................................
................................................................................................................................
chave: "e" ................................................................................................
..............................................................................................................................
................................................................................................................................
chave: "somente", "apenas" ................................................................
...............................................................................................................................
OMPLEMENTO DE UM CONJUNTO ................................................................................................
............................................................................................................................
................................................................................................
ÚMEROS NATURAIS ................................................................................................
ÚMEROS INTEIROS ................................................................................................
Conjunto dos números Inteiros Não negativos ................................................................
Conjunto dos números Inteiros Positivos ................................................................
Conjunto dos números Inteiros Não positivos ................................................................
Conjunto dos números Inteiros Negativos ................................................................
ÚMEROS RACIONAIS ...............................................................................................
ndo número decimal em fração decimal ............................................................
Encontrando a fração geratriz de uma dízima periódica ................................
ÚMEROS IRRACIONAIS ............................................................................................
ÚMEROS REAIS: ................................................................................................
ONJUNTOS NUMÉRICOS POR DIAGRAMAS DE EULER-VENN ................................
RITMÉTICAS NOS CONJUNTOS NUMÉRICOS................................................................
................................................................................................
................................................................................................
OMUM (MMC) ...............................................................................................
Aplicações do MMC ................................................................................................
OMUM (MDC) ................................................................................................
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9.2.1 Aplicações do MDC
9.3 QUANTIDADE DE DIVISORES
9.4 DIVISIBILIDADE ................................
9.4.1 Por 2 ................................
9.4.2 Por 3 ................................
9.4.3 Por 4 ................................
9.4.4 Por 5 ................................
9.4.5 Por 6 ................................
9.4.6 Por 9 ................................
10 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ................................
11 EXERCÍCIOS PROPOSTOS................................
12 INSTITUTO INTEGRAL EDITORA
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Aplicações do MDC ................................................................................................
IVISORES POSITIVOS DE UM NÚMERO ................................................................
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DITORA - CATÁLOGO ................................................................
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1 Introdução
A Teoria dos conjuntos é o ramo da
Conjuntos são coleções de elementos. Embora qualquer tipo de elemento possa
ser reunido em um conjunto, a teoria dos conjuntos é aplicada na maioria das
vezes a elementos que são relevantes para a matemática. A linguagem da teoria
dos conjuntos pode ser usada nas definições de quase todos os elementos
matemáticos.
O estudo moderno da teoria dos conjuntos foi iniciado por
Richard Dedekind em 1870. Esta
ou teoria intuitiva por causa da descoberta de várias antinomias (ou paradoxos)
associados à ideia central da própria teoria
numerosos sistemas de axiomas no início do século XX.
Atenção! Nosso material didático passa por constantes revisões e atualizações, seja para corrigir erros, seja para melhorar as explicações em alguns tópicos. Isto é fenas centenas de dúvidas e sugestões que recebemos mensalmente. Mantenha seu material didático sempre atualizado! Consulte periodicamente nossa pasta pública, na qual todo o nosso material didático é mantido: http://www.facebook.com/groups/souintegral/ Cadastre-se também aqui http://integral.klicksite.com.br/anpadhttp://mga960.klicksite.com.br/prequentes em primeira mão. Participe do nosso projeto: corrente-do-bem.html
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“Cuidado com quem tem a língua doce e espada na cintura.
Inimigo declarado é perigoso, mas falso amigo é
é o ramo da matemática que estuda conjuntos.
Conjuntos são coleções de elementos. Embora qualquer tipo de elemento possa
reunido em um conjunto, a teoria dos conjuntos é aplicada na maioria das
vezes a elementos que são relevantes para a matemática. A linguagem da teoria
dos conjuntos pode ser usada nas definições de quase todos os elementos
teoria dos conjuntos foi iniciado por Georg Cantor
em 1870. Esta teoria ficou conhecida como "teoria ingênua"
teoria intuitiva por causa da descoberta de várias antinomias (ou paradoxos)
associados à ideia central da própria teoria, que levaram à proposição de
numerosos sistemas de axiomas no início do século XX.
Atenção! Nosso material didático passa por constantes revisões e atualizações, seja para corrigir erros, seja para melhorar as explicações em alguns tópicos. Isto é fenas centenas de dúvidas e sugestões que recebemos mensalmente.
Mantenha seu material didático sempre atualizado!
onsulte periodicamente nossa pasta pública, na qual todo o nosso material didático é http://www.facebook.com/groups/souintegral/.
http://integral.klicksite.com.br/anpad-poa-rs/ ou aquihttp://mga960.klicksite.com.br/pre-anpad-poa-rs/ e receba, via e-mail,
Participe do nosso projeto: http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pay
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língua doce e espada na cintura.
Inimigo declarado é perigoso, mas falso amigo é bem pior.”
[Chinês]
conjuntos.
Conjuntos são coleções de elementos. Embora qualquer tipo de elemento possa
reunido em um conjunto, a teoria dos conjuntos é aplicada na maioria das
vezes a elementos que são relevantes para a matemática. A linguagem da teoria
dos conjuntos pode ser usada nas definições de quase todos os elementos
Georg Cantor e
como "teoria ingênua"
teoria intuitiva por causa da descoberta de várias antinomias (ou paradoxos)
que levaram à proposição de
Atenção! Nosso material didático passa por constantes revisões e atualizações, seja para corrigir erros, seja para melhorar as explicações em alguns tópicos. Isto é feito com base
onsulte periodicamente nossa pasta pública, na qual todo o nosso material didático é
ou aqui mail, informações
http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pay-it-forward-
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2 Formas de Representação de um Conjunto
Um conjunto é nomeado por uma letra maiúscula e deve ser representado por
uma das três formas mostradas a seguir.
2.1 Por enumeração dos elementos
Exemplo: A = 0, 1, 2, 3
2.2 Por compreensão
Exemplo: A = x ∊ N / x
2.3 Por diagrama de Euler
Exemplo:
3 Subconjuntos
Exemplo:
Dado o conjunto: C = a, b, c, tem
; a; b; c; a, b; a, c; b, c; a, b, c
Observações:
(1) O conjunto vazio, representado como ou
conjunto.
(2) O próprio conjunto é subconjunto de si mesmo.
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Formas de Representação de um Conjunto
Um conjunto é nomeado por uma letra maiúscula e deve ser representado por
mostradas a seguir.
Por enumeração dos elementos
Exemplo: A = 0, 1, 2, 3
Por compreensão
≤ 3
Por diagrama de Euler-Venn
Subconjuntos
Dado o conjunto: C = a, b, c, tem-se os seguintes subconjuntos:
; a; b; c; a, b; a, c; b, c; a, b, c
(1) O conjunto vazio, representado como ou ∅ é subconjunto de qualquer
(2) O próprio conjunto é subconjunto de si mesmo.
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Formas de Representação de um Conjunto
Um conjunto é nomeado por uma letra maiúscula e deve ser representado por
é subconjunto de qualquer
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3.1 Número de subconjuntos
O número de subconjuntos
expressão
onde:
k é o número de subconjuntos
n é o número de elementos do conjunto.
Exemplo 1:
Quantos subconjuntos tem o
Solução:
O conjunto C tem 3 elementos, isto é,
2
2 8
Resposta: O conjunto C tem 8 subconjuntos.
Exemplo 2:
Com as frutas abacaxi, banana, maçã, laranja e pera, deseja
de frutas. Quantas saladas distintas se podem fazer, desde que cada uma delas
tenha pelo menos duas frutas distintas?[Fonte: banco de questões do autor]
Solução/Comentários:
São 5 frutas, ou seja, n = 5
Se desejássemos formar todos os subconjuntos (todas as saladas possíveis, com
qualquer quantidade de frutas), teríamos:
2
2 32
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Número de subconjuntos
O número de subconjuntos de um conjunto qualquer sempre será dado pela
2
é o número de subconjuntos, e
é o número de elementos do conjunto.
Quantos subconjuntos tem o conjunto: C = a, b, c?
O conjunto C tem 3 elementos, isto é, n = 3
Resposta: O conjunto C tem 8 subconjuntos.
Com as frutas abacaxi, banana, maçã, laranja e pera, deseja-se preparar saladas
de frutas. Quantas saladas distintas se podem fazer, desde que cada uma delas
duas frutas distintas? [Fonte: banco de questões do autor]
= 5
Se desejássemos formar todos os subconjuntos (todas as saladas possíveis, com
qualquer quantidade de frutas), teríamos:
5
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de um conjunto qualquer sempre será dado pela
se preparar saladas
de frutas. Quantas saladas distintas se podem fazer, desde que cada uma delas
Se desejássemos formar todos os subconjuntos (todas as saladas possíveis, com
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Como o enunciado da questão cita que deve haver pelo menos duas frutas
distintas em cada salada, é necessário retirar do total calculado os seguintes
subconjuntos:
, abacaxi, banana, maçã, laranja, pera
Assim: 32 - 6 = 26.
Resposta: com as cinco frutas disponíveis é possível fazer 26 saladas de frutas
com pelo menos das frutas distintas em cada uma.
Há uma outra forma de se resolver esta questão, que envolve Análise
Combinatória (capítulo que será visto mais adiante).
4 Relação entre elemento e conjunto
A relação entre elemento e conjunto é estabelecida
∈ (pertence)
∉ (não pertence)
Exemplo:
Dado o conjunto C = a, b, c, tem
a ∈ C
b ∈ C
c ∈ C
d ∉ C
5 Relação entre conjuntos
Entre conjuntos, usam-se os símbolos
⊂ (está contido);
⊄ (não está contido);
⊃ (contém);
⊅ (não contém)
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Como o enunciado da questão cita que deve haver pelo menos duas frutas
da salada, é necessário retirar do total calculado os seguintes
, abacaxi, banana, maçã, laranja, pera
Resposta: com as cinco frutas disponíveis é possível fazer 26 saladas de frutas
as distintas em cada uma.
Há uma outra forma de se resolver esta questão, que envolve Análise
Combinatória (capítulo que será visto mais adiante).
lação entre elemento e conjunto
A relação entre elemento e conjunto é estabelecida somente através dos símbolos
Dado o conjunto C = a, b, c, tem-se:
Relação entre conjuntos
se os símbolos
6
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Como o enunciado da questão cita que deve haver pelo menos duas frutas
da salada, é necessário retirar do total calculado os seguintes
Resposta: com as cinco frutas disponíveis é possível fazer 26 saladas de frutas
Há uma outra forma de se resolver esta questão, que envolve Análise
através dos símbolos
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Exemplo:
Dado o conjunto C = a, b, c, tem
a ⊂ C
c ⊂ C
a, b, k ⊄ C
C ⊃ a, b
Observação:
(1) A “boca” dos símbolos
maior conjunto.
6 Operações
6.1 União
Consiste em reunir TODOS os
conjunto.
6.1.1 Palavras-chave: "ou", "pelo menos"
6.1.2 Símbolo: ∪
Exemplo:
Determine a união dos conjuntos:
Solução: A ∪ B = 3, 4, 5, 6, 7
Em diagrama de Euler-Venn:
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Dado o conjunto C = a, b, c, tem-se:
(1) A “boca” dos símbolos mostrados acima sempre ficará aberta para o lado do
Consiste em reunir TODOS os elementos dos conjuntos envolvidos em um só
chave: "ou", "pelo menos"
conjuntos: A = 3, 4, 5, 6 e B = 5, 6, 7.
B = 3, 4, 5, 6, 7
Venn:
7
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acima sempre ficará aberta para o lado do
elementos dos conjuntos envolvidos em um só
.
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A região sombreada na figura identifica a união entre os conjuntos A e B.
outras palavras, na região sombreada da figura acima estão os elementos que
pertencem ao conjunto A
6.2 Interseção
Consiste em se tomar os elementos comuns de todos os
operação.
6.2.1 Palavra-chave: "e"
6.2.2 Símbolo: ∩
Exemplo:
Determine a interseção dos
Solução: A ∩ B = 5, 6
Em diagrama de Euler-Venn:
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sombreada na figura identifica a união entre os conjuntos A e B.
outras palavras, na região sombreada da figura acima estão os elementos que
pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.
Consiste em se tomar os elementos comuns de todos os conjuntos envolvidos na
chave: "e"
dos conjuntos: A = 3, 4, 5, 6 e B = 5, 6, 7
Venn:
8
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sombreada na figura identifica a união entre os conjuntos A e B. Em
outras palavras, na região sombreada da figura acima estão os elementos que
conjuntos envolvidos na
A = 3, 4, 5, 6 e B = 5, 6, 7.
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A região sombreada na figura acima identifica a
e B. Em outras palavras, na região sombreada da figura acima estão os elementos
que pertencem ao conjunto A
6.3 Diferença
Consiste em se tomar elementos que pertencem exclusivamente a um dos
conjuntos envolvidos na operação.
6.3.1 Palavras-chave: "somente", "apenas"
6.3.2 Símbolo:
Exemplo 1:
Dados os conjuntos: A = 3, 4, 5, 6 e B = 5, 6, 7
Solução: A B = 3, 4
Em diagrama de Euler-Venn:
A região sombreada da figura acima identifica a diferença A palavras, na região sombreada da figura acima estão os elementos que pertencem
somente ao conjunto A
Exemplo 2:
Dados os conjuntos: A = 3, 4, 5, 6 e B = 5, 6, 7
Solução: B A = 7
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A região sombreada na figura acima identifica a interseção entre os conjuntos A
Em outras palavras, na região sombreada da figura acima estão os elementos
que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.
Consiste em se tomar elementos que pertencem exclusivamente a um dos
os na operação.
chave: "somente", "apenas"
A = 3, 4, 5, 6 e B = 5, 6, 7. Determine: A B
Venn:
A região sombreada da figura acima identifica a diferença A palavras, na região sombreada da figura acima estão os elementos que pertencem
A = 3, 4, 5, 6 e B = 5, 6, 7. Determine: B A
9
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terseção entre os conjuntos A
Em outras palavras, na região sombreada da figura acima estão os elementos
Consiste em se tomar elementos que pertencem exclusivamente a um dos
A B.
A região sombreada da figura acima identifica a diferença A B. Em outras
palavras, na região sombreada da figura acima estão os elementos que pertencem
B A.
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Em diagrama de Euler-Venn:
A região sombreada da figura acima identifica a diferença B palavras, na região sombreada da figura acima estão os elementos que pertencem
somente ao conjunto B
6.4 Complemento de um conjunto
Tomam-se aqueles elementos que pertencem exclusivamente ao conjunto
universo.
6.4.1 Símbolo: A'
[Nota] O símbolo da operação de Complemento é um
símbolo para representar o complemento de um conjunto, mas não é
pelas bancas do Teste ANPAD.
Observação: A operação de Complemento só estará definida quando o conjunto a
ser complementado for subconjunto de outro. O conjunto que contém aquele que
será complementado é chamado de
Exemplo:
Dados os conjuntos: Ω =
B = 5, 6, 7, determine o complemento do conjunto A (
[Nota] Representou-se o conjunto universo através da letra grega ômega:
Solução:
Primeiro, precisamos verificar se o conjunto A é subconjunto
universo Ω.
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Venn:
A região sombreada da figura acima identifica a diferença B palavras, na região sombreada da figura acima estão os elementos que pertencem
plemento de um conjunto
se aqueles elementos que pertencem exclusivamente ao conjunto
[Nota] O símbolo da operação de Complemento é um apóstrofe
símbolo para representar o complemento de um conjunto, mas não é
pelas bancas do Teste ANPAD.
Observação: A operação de Complemento só estará definida quando o conjunto a
ser complementado for subconjunto de outro. O conjunto que contém aquele que
será complementado é chamado de conjunto universo.
= -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, A = 3, 4, 5, 6 e
, determine o complemento do conjunto A (A’).
se o conjunto universo através da letra grega ômega:
Primeiro, precisamos verificar se o conjunto A é subconjunto
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A região sombreada da figura acima identifica a diferença B A. Em outras
palavras, na região sombreada da figura acima estão os elementos que pertencem
se aqueles elementos que pertencem exclusivamente ao conjunto
apóstrofe. Há outro
símbolo para representar o complemento de um conjunto, mas não é adotado
Observação: A operação de Complemento só estará definida quando o conjunto a
ser complementado for subconjunto de outro. O conjunto que contém aquele que
A = 3, 4, 5, 6 e
se o conjunto universo através da letra grega ômega: Ω
Primeiro, precisamos verificar se o conjunto A é subconjunto do conjunto
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O complemento do conjunto A é dado por:
A’= -3, -2, -1, 0, 1, 2
Em diagrama de Euler-Venn:
A região sombreada na figura acima identifica a operação de complemento
[Nota] Em havendo a operação de complemento, ocorrerá que
Observação: O conjunto B do exemplo acima não tem complemento, visto que
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⊂ Ω
O complemento do conjunto A é dado por:
Ω
Venn:
A região sombreada na figura acima identifica a operação de complemento
[Nota] Em havendo a operação de complemento, ocorrerá que
Observação: O conjunto B do exemplo acima não tem complemento, visto que
⊄
11
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A região sombreada na figura acima identifica a operação de complemento A’.
Ω
Observação: O conjunto B do exemplo acima não tem complemento, visto que
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7 Conjuntos Numéricos
7.1 Conjunto dos Números Naturais
Ν = 0, 1, 2, 3, ...
Ν* = 1, 2, 3, ...
Observação: o asterisco (*)
[Nota] No blog http://profmilton.blogspot.com.br/
título de "Pílulas"). Uma dessas
zero. Vale a pena conferir!
7.2 Conjunto dos N
Ζ = ...,−3, −2, −1, 0, 1, 2,
Ζ* = ..., −3, −2, −1, 1, 2,
[Nota] Ζ* = Ζ −0
7.2.1 Conjunto dos números Inteiros
= 0, 1, 2, 3, ...
7.2.2 Conjunto dos números Inteiros Positivos
∗ = 1, 2, 3, ...
7.2.3 Conjunto dos números Inteiros
= ..., -3, -2, -1, 0
7.2.4 Conjunto dos números Inteiros Negativos
∗ = ..., -3, -2, -1
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Conjuntos Numéricos
Conjunto dos Números Naturais
(*) exclui o zero do conjunto: N* = N− 0
http://profmilton.blogspot.com.br/ há uma seção com dicas (sob o
título de "Pílulas"). Uma dessas Pílulas traz importantes observações sobre o
. Vale a pena conferir!
Conjunto dos Números Inteiros
2, 3, ...
2, 3, ...
Conjunto dos números Inteiros Não negativos
Conjunto dos números Inteiros Positivos
Conjunto dos números Inteiros Não positivos
Conjunto dos números Inteiros Negativos
12
http://profmilton.blogspot.com.br/
0
com dicas (sob o
traz importantes observações sobre o
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7.3 Conjunto dos Números Racionais
, ∈ , ∈ ∗
Observação: um número racional é aquele que pode ser representado por meio de
uma razão matemática números decimais.
Exemplos:
25
0,125
0,131313. .. 27
etc.
7.3.1 Transformando número decimal em fração decimal
Exemplo:
Transformar o número decimal 0,125 em fração decimal.
Solução:
(1) Retire a vírgula do número: 125. Tem
(2) O denominador é formado pelo algarismo "1" seguido de tantos zeros quantas
forem as casas decimais do número. No caso do exemplo, o denominador será
1000, pois o número 0,125 tem três casas decimais;
(3) Simplifique a fração, até torná
0,125 1251000
25200
Resposta: 0,125
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Conjunto dos Números Racionais
um número racional é aquele que pode ser representado por meio de
. Neste conjunto se incluem as dízimas periódicas e os
Transformando número decimal em fração decimal
Transformar o número decimal 0,125 em fração decimal.
(1) Retire a vírgula do número: 125. Tem-se aqui o numerador da fração decimal;
denominador é formado pelo algarismo "1" seguido de tantos zeros quantas
forem as casas decimais do número. No caso do exemplo, o denominador será
1000, pois o número 0,125 tem três casas decimais;
(3) Simplifique a fração, até torná-la irredutível.
540
18
13
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um número racional é aquele que pode ser representado por meio de
. Neste conjunto se incluem as dízimas periódicas e os
Transformando número decimal em fração decimal
se aqui o numerador da fração decimal;
denominador é formado pelo algarismo "1" seguido de tantos zeros quantas
forem as casas decimais do número. No caso do exemplo, o denominador será
Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog:
7.3.2 Encontrando a fração geratriz de uma dízima periódica
Primeiramente, devemos aprender a identificar uma dízima periódica!
Exemplo:
O número 0,131313. .. pontinhos à sua direita. Esta dízima é
pontinhos há um fator (13), chamado de
vezes. Veja que nem toda dízima é periódica! Veremos e
adiante...
Para encontrar a fração geratriz
seguinte modo:
(1) Colocamos o período no numerador da fração geratriz;
(2) No denominador da fração geratriz colocamos um nove para cada algarismo
do período
Assim:
0,131313. . . 1399
Resposta: é a fração geratriz da dízima periódica
Observações:
(1) O número 0,131313 é decimal! Veja que não há nele os três pontinhos, logo,
não pode ser considerado uma dízima...
(2) O número 0,1313... é uma dízima, pois tem os três pontinhos. Entretanto, esta
dízima não é periódica pois, à esquerda dos três pontinhos não há
repita pelo menos três vezes
período da dízima.
Outro exemplo:
Encontrar a fração geratriz da dízima 0,12324324324...
Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
Encontrando a fração geratriz de uma dízima periódica
Primeiramente, devemos aprender a identificar uma dízima periódica!
é uma dízima, pois há nele uma vírgula e os três
pontinhos à sua direita. Esta dízima é periódica, pois, à esquerda dos três
pontinhos há um fator (13), chamado de período, que aparece pelo menos três
. Veja que nem toda dízima é periódica! Veremos essa sutil diferença mais
fração geratriz de uma dízima periódica procedemos do
(1) Colocamos o período no numerador da fração geratriz;
(2) No denominador da fração geratriz colocamos um nove para cada algarismo
é a fração geratriz da dízima periódica 0,131313. ..
(1) O número 0,131313 é decimal! Veja que não há nele os três pontinhos, logo,
não pode ser considerado uma dízima...
(2) O número 0,1313... é uma dízima, pois tem os três pontinhos. Entretanto, esta
dízima não é periódica pois, à esquerda dos três pontinhos não há um fator que se
repita pelo menos três vezes. Em outras palavras, não se pode identificar o
Encontrar a fração geratriz da dízima 0,12324324324...
14
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Encontrando a fração geratriz de uma dízima periódica
Primeiramente, devemos aprender a identificar uma dízima periódica!
é uma dízima, pois há nele uma vírgula e os três
, pois, à esquerda dos três
pelo menos três
ssa sutil diferença mais
procedemos do
(2) No denominador da fração geratriz colocamos um nove para cada algarismo
(1) O número 0,131313 é decimal! Veja que não há nele os três pontinhos, logo,
(2) O número 0,1313... é uma dízima, pois tem os três pontinhos. Entretanto, esta
um fator que se
. Em outras palavras, não se pode identificar o
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Solução:
A dízima é periódica. O período é 324.
Mas há um 12 entre a vírgula e o início da dízima!
O que fazer?
O modo correto para se resolver é o seguinte:
Separe o número: 0,12 + 0,
0,12 12100
0, 324324324. . . 324999
12100
32499900
1231299900
Um atalho para se chegar, rapidamente, à solução
seguinte:
(1) a partir da vírgula selecione o número formado pelo "estranho" ao período e o
período. No exemplo acima seria: 0,
(2) subtraia deste número o "estranho" ao período:
(3) no passo anterior determinamos o numerador da fração
(4) o denominador da fração geratriz e formado por um nove para cada algarismo
do período, seguidos de um zero para cada algarismo do "estranho" ao período.
No exemplo acima: 99900(5) chegamos, assim, à fração geratriz:
1231299900
Lembre-se de que a fração poderá ser simplificável, como é o caso do exemplo,
no qual a resposta final será
307824975
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A dízima é periódica. O período é 324.
Mas há um 12 entre a vírgula e o início da dízima!
O modo correto para se resolver é o seguinte:
0,12 + 0,00324324324...
324999
Um atalho para se chegar, rapidamente, à solução do exemplo
selecione o número formado pelo "estranho" ao período e o
período. No exemplo acima seria: 0,12324324324..., ou seja, 12324deste número o "estranho" ao período: 12324 - 12 = 12312
(3) no passo anterior determinamos o numerador da fração geratriz;
(4) o denominador da fração geratriz e formado por um nove para cada algarismo
do período, seguidos de um zero para cada algarismo do "estranho" ao período.
99900
(5) chegamos, assim, à fração geratriz:
que a fração poderá ser simplificável, como é o caso do exemplo,
no qual a resposta final será:
15
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do exemplo acima é o
selecione o número formado pelo "estranho" ao período e o
12324;
12 = 12312;
geratriz;
(4) o denominador da fração geratriz e formado por um nove para cada algarismo
do período, seguidos de um zero para cada algarismo do "estranho" ao período.
que a fração poderá ser simplificável, como é o caso do exemplo,
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7.4 Conjunto dos Números Irracionais
O conjunto dos números irracionais reúne todas as dízimas
Dízimas não periódicas são as raízes
√2, √5, , , . ..
Observações:
(1) 3,14159265358(2) 2,718281828. .. (3) e é o número de Euler.
(4) Nenhum número irracional pode ser representado na forma
outras palavras, os conjuntos dos númerditos disjuntos.
7.5 Conjunto dos N
O conjunto dos números Reais
Racionais e Irracionais:
7.6 Representação dos Conjuntos Numéricos por
Diagramas de Euler
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Conjunto dos Números Irracionais
O conjunto dos números irracionais reúne todas as dízimas não periódicas
são as raízes não exatas e outros números, tais como
14159265358. ..
é o número de Euler.
Nenhum número irracional pode ser representado na forma
outras palavras, os conjuntos dos números racionais (Q) e irracionais (
∩
Números Reais:
O conjunto dos números Reais surge da união entre os conjuntos dos números
∪
Representação dos Conjuntos Numéricos por
Diagramas de Euler-Venn
16
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não periódicas.
e outros números, tais como:
Nenhum número irracional pode ser representado na forma . Em
) e irracionais (I) são
surge da união entre os conjuntos dos números
Representação dos Conjuntos Numéricos por
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7.7 Operações Aritméticas nos Conjuntos Numéricos
Não abordaremos aqui as operações aritméticas (adição, subtração, multiplicação
e divisão) nos Conjuntos Numéricos, por se tratar de
dominado pelo leitor.
Havendo dúvidas sobre
tratada pontualmente, ou por meio de uma das
assunto, consulte o seguinte link:
http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pilulas
8 Exercícios Resolvidos
1) ANPAD-2004. A Empresa DoenVax
contraíram três tipos de
levantamento realizado na empresa com todos
seguintes resultados:
Doença D1 D2 D3
Número de
funcionários 95 70 200
A porcentagem aproximada de funcionários que contraiu pelo menos uma das
três doenças é
a) 33%
b) 35%
c) 40%
d) 63%
e) 68%
Solução:
Em questões desse tipo, a melhor forma para se resolver é através de diagramas
de Euler-Venn
O preenchimento do diagrama começa pela região sombreada na figura a seguir,
isto é, pela interseção de todos os conjuntos.
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Operações Aritméticas nos Conjuntos Numéricos
Não abordaremos aqui as operações aritméticas (adição, subtração, multiplicação
e divisão) nos Conjuntos Numéricos, por se tratar de assunto conhecido e já
Havendo dúvidas sobre esse assunto, o leitor poderá encaminhá
tratada pontualmente, ou por meio de uma das Pílulas no blog. A propósito deste
assunto, consulte o seguinte link:
http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pilulas-de-raciocinio-quantitativo
Exercícios Resolvidos
A Empresa DoenVax detectou que seus funcionários
doenças, D1, D2 e D3, durante o ano de 2003. Num
levantamento realizado na empresa com todos os funcionários, constataram
D3 D1 e D2 D1 e D3 D2 e D3 D1, D2 e
D3
200 30 40 25 5
A porcentagem aproximada de funcionários que contraiu pelo menos uma das
Em questões desse tipo, a melhor forma para se resolver é através de diagramas
O preenchimento do diagrama começa pela região sombreada na figura a seguir,
isto é, pela interseção de todos os conjuntos.
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Operações Aritméticas nos Conjuntos Numéricos
Não abordaremos aqui as operações aritméticas (adição, subtração, multiplicação
assunto conhecido e já
assunto, o leitor poderá encaminhá-las para ser
no blog. A propósito deste
quantitativo-3.html
detectou que seus funcionários
doenças, D1, D2 e D3, durante o ano de 2003. Num
os funcionários, constataram-se os
D1, D2 e
D3
Nenhuma
das três
5 125
A porcentagem aproximada de funcionários que contraiu pelo menos uma das
Em questões desse tipo, a melhor forma para se resolver é através de diagramas
O preenchimento do diagrama começa pela região sombreada na figura a seguir,
Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog:
Caso essa informação não esteja presente, insere
diagramas. No exemplo dado, este valor
Como ambos os valores foram fornecidos, eles foram inseridos juntos. A cor
vermelha é para dar destaque e para lembrar o lei
solução da questão.
A seguir, preenchem-se as regiões das interseções entre os diagramas. Lembre
o leitor de que já inserimos 5 em todas elas.
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Caso essa informação não esteja presente, insere-se, primeiro o valor externo aos
diagramas. No exemplo dado, este valor é 125.
Como ambos os valores foram fornecidos, eles foram inseridos juntos. A cor
vermelha é para dar destaque e para lembrar o leitor do ponto de partida para a
se as regiões das interseções entre os diagramas. Lembre
o leitor de que já inserimos 5 em todas elas.
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se, primeiro o valor externo aos
Como ambos os valores foram fornecidos, eles foram inseridos juntos. A cor
tor do ponto de partida para a
se as regiões das interseções entre os diagramas. Lembre-se
Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog:
Agora podemos preencher o restante dos diagramas, lembrando sempre de que
há valores inseridos em cada diagrama.
Na união dos diagramas D1, D2 e D3 da figura acima, contam
Somando-se a estes os 125 elementos que estão apenas no diagrama D, tem
total de funcionários da empresa DoenVax, que é 400.
Assim, a resposta da questão será:
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Agora podemos preencher o restante dos diagramas, lembrando sempre de que
há valores inseridos em cada diagrama.
Na união dos diagramas D1, D2 e D3 da figura acima, contam-se 275 elementos.
se a estes os 125 elementos que estão apenas no diagrama D, tem
total de funcionários da empresa DoenVax, que é 400.
sim, a resposta da questão será:
275400 ≅ 68%
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Agora podemos preencher o restante dos diagramas, lembrando sempre de que já
se 275 elementos.
se a estes os 125 elementos que estão apenas no diagrama D, tem-se o
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Resposta: alternativa E.
2) ANPAD-2003. Considere os conjuntos X e Y, e as afirmações a seguir:
I. Se X ∩Y = X , ent
II. X ∪ ∅ = ∅.
III. Se A ⊂ X e A ⊂ Y , então A
O valor lógico de cada afirmação forma, respectivamente, a seguinte sequ
a) V, V, V
b) V, F, V
c) V, F, F
d) F, V, V
e) F, F, V
Solução/Comentários:
I. Se X ∩Y = X , ent
A região sombreada identifica a interseção entre os conjuntos X e Y.
II. X ∪ ∅ = ∅. (FALSO)
Correção: X ∪ ∅ = X.
[Nota] O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
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03. Considere os conjuntos X e Y, e as afirmações a seguir:
Y = X , então X ⊂ Y.
Y , então A ⊂ X ∩Y
afirmação forma, respectivamente, a seguinte sequ
Y = X , então X ⊂ Y. (VERDADEIRO)
A região sombreada identifica a interseção entre os conjuntos X e Y.
(FALSO)
[Nota] O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
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03. Considere os conjuntos X e Y, e as afirmações a seguir:
afirmação forma, respectivamente, a seguinte sequência
A região sombreada identifica a interseção entre os conjuntos X e Y.
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III. Se A ⊂ X e A ⊂ Y , então A
Resposta: Alternativa B.
3) ANPAD-2002. Sejam os conjuntos definidos por:
A = pessoas que trabalham na empresa XX;
B = pessoas que trabalham como diretor na empresa XX;
C = pessoas que trabalham como secretária na empresa XX;
D = pessoas que trabalham somente como faxineira na empresa XX.
Sabendo-se que:
• Maria é faxineira e secretári
• Ricardo é diretor da empresa XX;
• Paula é secretária da empresa XX.
Analise as afirmativas abaixo:
I. Maria ∈ D.
II. Ricardo ⊂ A.
III. B ∩ A = B.
IV. Maria, Paula ⊂ C.
V. Maria ∈ C.
VI. Paula ∉ A.
Sobre a veracidade das afirmativas acima, pode
a) todas são verdadeiras.
b) somente a última é falsa
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Y , então A ⊂ X ∩Y (VERDADEIRO)
Sejam os conjuntos definidos por:
trabalham na empresa XX;
B = pessoas que trabalham como diretor na empresa XX;
C = pessoas que trabalham como secretária na empresa XX;
D = pessoas que trabalham somente como faxineira na empresa XX.
• Maria é faxineira e secretária da empresa XX;
• Ricardo é diretor da empresa XX;
• Paula é secretária da empresa XX.
Analise as afirmativas abaixo:
C.
afirmativas acima, pode-se afirmar que
b) somente a última é falsa
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D = pessoas que trabalham somente como faxineira na empresa XX.
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c) II, IV e VI são falsas
d) III, IV e V são verdadeiras
e) todas são falsas
Solução/Comentários:
I. Maria ∈ D. (FALSO)Justificativa:
D = pessoas que trabalham
• Maria é faxineira e secretár
(Revise as palavras-chave
II. Ricardo ⊂ A. (FALSO)Justificativa: Ricardo é um elemento do conjunto A.
Correção: Ricardo ∈ A.
(Revise os símbolos relacionais
III. B ∩ A = B. (VERDADEIROJustificativa:
A = pessoas que trabalham na empresa XX
B = pessoas que trabalham como diretor na empresa XX
B ⊂ A, logo, B ∩ A = B.
IV. Maria, Paula ⊂ C.
Justificativa:
C = pessoas que trabalham
• Maria é faxineira e secretária da empresa XX.
• Paula é secretária da empresa XX.
V. Maria ∈ C. (VERDADEIRO)Justificativa:
C = pessoas que trabalham
• Maria é faxineira e secretária da empresa XX
VI. Paula ∉ A. (FALSO)Justificativa:
A = pessoas que trabalham na empresa XX
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d) III, IV e V são verdadeiras
(FALSO)
D = pessoas que trabalham somente como faxineira na empresa XX.
• Maria é faxineira e secretária da empresa XX.
chave das operações com conjuntos!)
(FALSO) Justificativa: Ricardo é um elemento do conjunto A.
símbolos relacionais dos tópicos 4 e 5.)
VERDADEIRO)
as que trabalham na empresa XX
ham como diretor na empresa XX
C. (VERDADEIRO)
C = pessoas que trabalham como secretária na empresa XX
eira e secretária da empresa XX.
• Paula é secretária da empresa XX.
(VERDADEIRO)
trabalham como secretária na empresa XX
eira e secretária da empresa XX.
(FALSO)
as que trabalham na empresa XX
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como faxineira na empresa XX.
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• Paula é secretária da empresa XX.
Resposta: Alternativa D.
9 Tópicos Especiais
[Nota] Número primo é aquele que tem apenas dois divisores positivos: 1 e o
próprio número.
Conjunto dos números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...
9.1 Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
Dado um conjunto de números, o menor múltiplo
dado pela decomposição simultânea
Exemplo:
Encontrar o MMC do conjunto
Solução:
O processo é encerrado pela multiplicação de
empregados: 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 5 = 360
Resposta: MMC(24, 30, 36) = 360
9.1.1 Aplicações do MMC
• Aplica-se MMC para se reduzir frações ao mesmo denominador em
operações de adição ou subtração.
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• Paula é secretária da empresa XX.
Tópicos Especiais
[Nota] Número primo é aquele que tem apenas dois divisores positivos: 1 e o
Conjunto dos números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...
Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
Dado um conjunto de números, o menor múltiplo comum desse conjunto
decomposição simultânea desses números em fatores primos.
Encontrar o MMC do conjunto 24, 30; 36
24 30 36 2
12 15 18 2
6 15 9 2
3 15 9 3
1 5 3 3
1 5 1 5
1 1 1 360
O processo é encerrado pela multiplicação de todos os fatores primos
empregados: 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 5 = 360
Resposta: MMC(24, 30, 36) = 360
Aplicações do MMC
se MMC para se reduzir frações ao mesmo denominador em
operações de adição ou subtração.
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[Nota] Número primo é aquele que tem apenas dois divisores positivos: 1 e o
desse conjunto será
em fatores primos.
todos os fatores primos
se MMC para se reduzir frações ao mesmo denominador em
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Exemplo:
13
25
14
MMC(3, 4, 5) = 60
13
25
14
20 24 1560
Operações: divide-se o MMC pelo antigo denominador
multiplica-se o resultado pelo antigo numerador.
• Aplica-se MMC em situações nas quais há "ciclos" (geralmente, de
tempo).
Exemplos:
(1) Uma pessoa precisa tomar
Remédio A: de 2 em 2 horas
Remédio B: de 3 em 3 horas
Remédio C: de 5 em 5 horas
Remédio D: de 6 em 6 horas
Remédio E: de 8 em 8 horas
Se essa pessoa toma todostomará todos juntos novamente?[Fonte: banco de questões do autor
Solução:
MMC(2, 3, 5, 6, 8) = 120 horas = 5 dias
Resposta: A pessoa tomará todos os cinco remédios juntos novamente às 10
horas de domingo.
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15 5960
se o MMC pelo antigo denominador de cada fração
se o resultado pelo antigo numerador.
se MMC em situações nas quais há "ciclos" (geralmente, de
(1) Uma pessoa precisa tomar 5 remédios, da seguinte forma:
Remédio A: de 2 em 2 horas
Remédio B: de 3 em 3 horas
Remédio C: de 5 em 5 horas
Remédio D: de 6 em 6 horas
Remédio E: de 8 em 8 horas
todos os remédios às 10 horas de uma terça
s juntos novamente? [Fonte: banco de questões do autor]
MMC(2, 3, 5, 6, 8) = 120 horas = 5 dias
Resposta: A pessoa tomará todos os cinco remédios juntos novamente às 10
24
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de cada fração e
se MMC em situações nas quais há "ciclos" (geralmente, de
os remédios às 10 horas de uma terça-feira, quando
Resposta: A pessoa tomará todos os cinco remédios juntos novamente às 10
Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog:
(2) Numa estação rodoviária há três ônibus estacionados
prontos para partirem. Do box A parte um ônibus a cada 12 horas; do box B parte
um ônibus a cada 15 horas; do box C parte um ônibus a cada 18 horas. Se os três
partem juntos às 10 horas de uma terça[Fonte: banco de questões do autor]
Solução:
MMC(12, 15, 18) = 180 horas =
Resposta: Os três ônibus partirão juntos novamente
feira.
(3) Numa pista circular de autorama, um carrinho vermelho dá uma volta a cada
72 segundos e um carrinho azul
carrinhos partiram juntos, quantas voltas terá dado o
em que ambos voltarão a estar lado a lado no ponto de partida?
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10 [Fonte: banco de questões do autor]
Solução:
Precisamos encontrar o MMC entre 72 e 80.
MMC(72, 80) = 720
O carrinho mais lento é o
Resposta: Alternativa D.
9.2 Máximo Divisor Comum (MDC)
Dado um conjunto de números, o m
pela decomposição simultânea
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(2) Numa estação rodoviária há três ônibus estacionados nos boxes A, B e C,
prontos para partirem. Do box A parte um ônibus a cada 12 horas; do box B parte
um ônibus a cada 15 horas; do box C parte um ônibus a cada 18 horas. Se os três
partem juntos às 10 horas de uma terça-feira, quando partirão juntos novamen[Fonte: banco de questões do autor]
0 horas = 7,5 dias
Os três ônibus partirão juntos novamente às 22 horas da próxima terça
circular de autorama, um carrinho vermelho dá uma volta a cada
72 segundos e um carrinho azul dá uma volta a cada 80 segundos. Se os dois
carrinhos partiram juntos, quantas voltas terá dado o mais lento até o momento
em que ambos voltarão a estar lado a lado no ponto de partida?
co de questões do autor]
MMC entre 72 e 80.
O carrinho mais lento é o azul. Assim, 720/80 = 9 voltas.
Máximo Divisor Comum (MDC)
Dado um conjunto de números, o maior divisor comum desse conjunto será dado
decomposição simultânea desses números em fatores primos.
25
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nos boxes A, B e C,
prontos para partirem. Do box A parte um ônibus a cada 12 horas; do box B parte
um ônibus a cada 15 horas; do box C parte um ônibus a cada 18 horas. Se os três
feira, quando partirão juntos novamente?
a próxima terça-
circular de autorama, um carrinho vermelho dá uma volta a cada
dá uma volta a cada 80 segundos. Se os dois
mais lento até o momento
desse conjunto será dado
em fatores primos. Neste caso, só
Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog:
podem ser usados fatores primos que dividam todos os números do conjunto,
simultaneamente.
Exemplo:
Encontrar o MDC do conjunto
Solução:
Observação: Como não fator primo que divida simultaneamente os números 4, 5
e 6, encerra-se o processo, multiplicando
Resposta: MDC(48, 60, 72) = 12
9.2.1 Aplicações do MDC
MDC se aplica a toda situação em que se deseja
quantidades em proporções menores e
as quantidades menores sejam de
Exemplos:
(1) Comprou-se um lote de arroz de três qualidades: o primeiro veio em sacas de
60kg; o segundo em sacas de 48 kg; e o terceiro, em sacas de 72 kg. Desejando
embalá-los em sacas menores
sofrer qualquer perda, então
a) 6.
b) 8.
c) 10.
d) 12.
e) 14.
Solução/Comentários:
Note o leitor que destacamos as palavras
Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
podem ser usados fatores primos que dividam todos os números do conjunto,
C do conjunto 48, 60; 72
48 60 72 2
24 30 36 2
12 15 18 3
4 5 6 12
Observação: Como não fator primo que divida simultaneamente os números 4, 5
se o processo, multiplicando-se todos os fatores primos empregados.
Resposta: MDC(48, 60, 72) = 12
Aplicações do MDC
MDC se aplica a toda situação em que se deseja dividir, distribuir, ou separar
quantidades em proporções menores e de mesmo valor, com a exigência de que
as quantidades menores sejam de maior valor possível.
se um lote de arroz de três qualidades: o primeiro veio em sacas de
60kg; o segundo em sacas de 48 kg; e o terceiro, em sacas de 72 kg. Desejando
los em sacas menores, de igual peso, sem misturar as qualidades e sem
, então o maior peso possível para essas sacas é
Note o leitor que destacamos as palavras-chave no enunciado da questão:
26
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podem ser usados fatores primos que dividam todos os números do conjunto,
Observação: Como não fator primo que divida simultaneamente os números 4, 5
se todos os fatores primos empregados.
, distribuir, ou separar
, com a exigência de que
se um lote de arroz de três qualidades: o primeiro veio em sacas de
60kg; o segundo em sacas de 48 kg; e o terceiro, em sacas de 72 kg. Desejando
, sem misturar as qualidades e sem
para essas sacas é
chave no enunciado da questão:
Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog:
embalá-los em sacas menores
de igual peso = comum
o maior peso possível = máximo
Devemos calcular o MDC(48, 60, 72)
Resposta: cada saco terá 12 kg. Alternativa D.
(2) Num orfanato há 35 crianças. Pedro deseja distribuir balas para todas elas. No
supermercado, Pedro encontra pacotes de balas de três marcas: a marca A vem
em pacotes contendo 48 balas, a marca B vem em pacotes com 60 balas, e a
marca C tem pacotes com
pacotes menores, com igual quantidade em cada um e o maior número de balas
possível em cada pacotinho
de cada uma das três marcas.
pacotes de cada uma das [Fonte: banco de questões do autor]
Solução/Comentários:
Observe o leitor que os dados são praticamente os mesmos da questão anterior. A
solução também não ficará longe do que fizemos na
Pedro deverá encontrar o MDC de 48, 60 e 72, a fim de descobrir qual será a
quantidade máxima de balas que cada pacote terá, ou seja,
MDC(48, 60, 72):
Agora Pedro já sabe que cada
outras palavras, cada criança do orfanato receberá um pacotinho com 12 balas.
Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
los em sacas menores = dividir
máximo
Devemos calcular o MDC(48, 60, 72)
48 60 72 2
24 30 36 2
12 15 18 3
4 5 6 12
Resposta: cada saco terá 12 kg. Alternativa D.
(2) Num orfanato há 35 crianças. Pedro deseja distribuir balas para todas elas. No
supermercado, Pedro encontra pacotes de balas de três marcas: a marca A vem
em pacotes contendo 48 balas, a marca B vem em pacotes com 60 balas, e a
marca C tem pacotes com 72 balas. Pedro deverá colocar todas as balas em
pacotes menores, com igual quantidade em cada um e o maior número de balas
pacotinho. Sabe-se que Pedro comprou pelo menos um pacote
de cada uma das três marcas. Para que não faltem nem sobrem balas, quantos
pacotes de cada uma das três marcas ele comprou? [Fonte: banco de questões do autor]
Observe o leitor que os dados são praticamente os mesmos da questão anterior. A
solução também não ficará longe do que fizemos na questão (1) acima.
encontrar o MDC de 48, 60 e 72, a fim de descobrir qual será a
quantidade máxima de balas que cada pacote terá, ou seja,
48 60 72 2
24 30 36 2
12 15 18 3
4 5 6 12
que cada pacotinho de balas conterá 12 balas cada um. Em
outras palavras, cada criança do orfanato receberá um pacotinho com 12 balas.
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(2) Num orfanato há 35 crianças. Pedro deseja distribuir balas para todas elas. No
supermercado, Pedro encontra pacotes de balas de três marcas: a marca A vem
em pacotes contendo 48 balas, a marca B vem em pacotes com 60 balas, e a
72 balas. Pedro deverá colocar todas as balas em
pacotes menores, com igual quantidade em cada um e o maior número de balas
se que Pedro comprou pelo menos um pacote
em balas, quantos
Observe o leitor que os dados são praticamente os mesmos da questão anterior. A
questão (1) acima.
encontrar o MDC de 48, 60 e 72, a fim de descobrir qual será a
pacotinho de balas conterá 12 balas cada um. Em
outras palavras, cada criança do orfanato receberá um pacotinho com 12 balas.
Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog:
O problema é que a situação acima só atende 15 crianças. Senão, vejamos:
Com um pacote da marca A, podemos atender 48/12 = 4
Com um pacote da marca B, podemos atender 60/12 = 5 crianças
Com um pacote da marca C, podemos atender
Mas o orfanato tem 35 crianças...
Se Pedro adquirir 2 pacotes da marca A, 2 da marca B e 2 da marca C,
conseguirá atender 30 crianças. Falta atender mais 5 crianças. Para que não
sobrem nem faltem balas,
Agora Pedro tem a solução para o seu problema
pacotes da marca B e 2 pacotes da marca C será
12 balas para cada criança do orfanato, e não haverá sobras nem faltarão balas.
9.3 Quantidade de
Para se encontrar a quantidade total de divisores positivos de um número natural,
procede-se do seguinte modo:
• decompõe-se o número em fatores primos;
• escreve-se o número sob a forma de potências de números primos;
• soma-se 1 a cada expoente;
• multiplicam-se os resultados encontrados no passo anterior.
Exemplo:
Quantos divisores positivos tem o núme
Solução:
Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
O problema é que a situação acima só atende 15 crianças. Senão, vejamos:
Com um pacote da marca A, podemos atender 48/12 = 4 crianças.
Com um pacote da marca B, podemos atender 60/12 = 5 crianças.
Com um pacote da marca C, podemos atender 72/12 = 6 crianças.
Mas o orfanato tem 35 crianças...
adquirir 2 pacotes da marca A, 2 da marca B e 2 da marca C,
r 30 crianças. Falta atender mais 5 crianças. Para que não
sobrem nem faltem balas, Pedro deverá adquirir mais um pacote da marca B.
gora Pedro tem a solução para o seu problema: com 2 pacotes da marca A, 3
pacotes da marca B e 2 pacotes da marca C será possível dar um pacotinho com
12 balas para cada criança do orfanato, e não haverá sobras nem faltarão balas.
Quantidade de Divisores Positivos de um Número
Para se encontrar a quantidade total de divisores positivos de um número natural,
seguinte modo:
se o número em fatores primos;
se o número sob a forma de potências de números primos;
se 1 a cada expoente;
se os resultados encontrados no passo anterior.
Quantos divisores positivos tem o número 600?
600 2
300 2
150 2
75 3
25 5
5 5
1
28
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O problema é que a situação acima só atende 15 crianças. Senão, vejamos:
adquirir 2 pacotes da marca A, 2 da marca B e 2 da marca C,
r 30 crianças. Falta atender mais 5 crianças. Para que não
mais um pacote da marca B.
: com 2 pacotes da marca A, 3
possível dar um pacotinho com
12 balas para cada criança do orfanato, e não haverá sobras nem faltarão balas.
Divisores Positivos de um Número
Para se encontrar a quantidade total de divisores positivos de um número natural,
se o número sob a forma de potências de números primos;
se os resultados encontrados no passo anterior.
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600 2 ∙ 3 ∙ 5
Os expoentes são: 3, 1 e 2
Somando-se 1 em cada um deles:
(3 + 1) = 4
(1 + 1) = 2
(2 + 1) = 3
Multiplicando-se os resultados encontrados: 4 . 2 . 3 = 24
Resposta: O número 600
9.4 Divisibilidade
9.4.1 Por 2
Todo número par é divisível por 2.
Exemplo: 4832.
9.4.2 Por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é múltipla de 3.
Exemplo: 57324 é divisível por 3, pois 5 + 7 +
múltiplo de 3.
9.4.3 Por 4
Um número é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos formam um
número divisível por 4.
Exemplo: os dois últimos exemplos 48
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Os expoentes são: 3, 1 e 2
se 1 em cada um deles:
se os resultados encontrados: 4 . 2 . 3 = 24
Resposta: O número 600 tem 24 divisores positivos.
Todo número par é divisível por 2.
Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é múltipla de 3.
Exemplo: 57324 é divisível por 3, pois 5 + 7 + 3 + 2 + 4 = 21, que é um número
Um número é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos formam um
Exemplo: os dois últimos exemplos 4832 e 57324 são números divisíveis por 4.
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Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é múltipla de 3.
que é um número
Um número é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos formam um
são números divisíveis por 4.
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9.4.4 Por 5
Um número será divisível por 5 quando
número for 0 ou 5.
Exemplos: 48370, 7835.
9.4.5 Por 6
Um número será divisível por 6 quando for divisível por 2
Exemplo: 57324 é um número par, portanto, é divisível por 2. A
5 + 7 + 3 + 2 + 4 = 21, que é um número múltiplo de 3.
Assim sendo, o número 57324 é divisível por 6.
9.4.6 Por 9
Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos é múltipla de 9.
Exemplo: 45738 é divisível por 9, pois 4 + 5 + 7 + 3 + 8 =
múltiplo de 9.
10 Exercícios Resolvidos
1) O número 88888...8888 é formado por 100 algarismos 8. Dividindo
número por 6, tem-se como resto da divisão
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 5.
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Um número será divisível por 5 quando o algarismo da casa da unidade
Um número será divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3.
Exemplo: 57324 é um número par, portanto, é divisível por 2. Além disto,
, que é um número múltiplo de 3.
Assim sendo, o número 57324 é divisível por 6.
Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos é múltipla de 9.
Exemplo: 45738 é divisível por 9, pois 4 + 5 + 7 + 3 + 8 = 27, que é um número
Exercícios Resolvidos
O número 88888...8888 é formado por 100 algarismos 8. Dividindo
se como resto da divisão
30
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o algarismo da casa da unidade desse
por 3.
lém disto,
Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos é múltipla de 9.
, que é um número
O número 88888...8888 é formado por 100 algarismos 8. Dividindo-se este
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Solução/Comentários:
O número 88888...8888 é par, portanto, é divisível por 2. Entretanto, a soma dos
algarismos é 800, que não é um número múltiplo de 3. Daqui depreende
resto da divisão não é zero.
Note que 8 não é divisível por
88 também não é divisível por 6, pois 8 + 8 = 16, que não é múltiplo de 3.
Mas 888 é divisível por 3, pois 8 + 8 + 8 = 24.
Desse modo, a cada 3 algarismos 8, teremos resto zero na divisão. Como há 33
"trincas" de 8 no número dado, vê
divisão exata. Fica apenas o último 8 para ser dividido, resultando um resto igual
a 2.
Resposta: Alternativa C.
2) Dividindo-se por 9 o número 1234567812345678...12345678
por 10 sequências iguais
a) 0.
b) 1.
c) 3.
d) 5.
e) 8.
Solução/Comentários:
O número 12345678 é divisível por 9, pois 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36,
que é um número múltiplo de 9. Assim, o número dado é divisível por 9 e o resto
da divisão é 0.
Resposta: Alternativa A.
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O número 88888...8888 é par, portanto, é divisível por 2. Entretanto, a soma dos
algarismos é 800, que não é um número múltiplo de 3. Daqui depreende
resto da divisão não é zero.
Note que 8 não é divisível por 6, pois dá resto 2.
88 também não é divisível por 6, pois 8 + 8 = 16, que não é múltiplo de 3.
Mas 888 é divisível por 3, pois 8 + 8 + 8 = 24.
Desse modo, a cada 3 algarismos 8, teremos resto zero na divisão. Como há 33
"trincas" de 8 no número dado, vê-se que até o 99º algarismo 8 tínhamos uma
divisão exata. Fica apenas o último 8 para ser dividido, resultando um resto igual
o número 1234567812345678...12345678, que é formado
por 10 sequências iguais a 12345678, tem-se como resto da divisão
O número 12345678 é divisível por 9, pois 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36,
que é um número múltiplo de 9. Assim, o número dado é divisível por 9 e o resto
31
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O número 88888...8888 é par, portanto, é divisível por 2. Entretanto, a soma dos
algarismos é 800, que não é um número múltiplo de 3. Daqui depreende-se que o
88 também não é divisível por 6, pois 8 + 8 = 16, que não é múltiplo de 3.
Desse modo, a cada 3 algarismos 8, teremos resto zero na divisão. Como há 33
se que até o 99º algarismo 8 tínhamos uma
divisão exata. Fica apenas o último 8 para ser dividido, resultando um resto igual
, que é formado
se como resto da divisão
O número 12345678 é divisível por 9, pois 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36,
que é um número múltiplo de 9. Assim, o número dado é divisível por 9 e o resto
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11 Exercícios Propostos
1) ANPAD-2009. Todos os funcionários da empresa EMGar trabalham em
exatamente dois turnos, não necessariamente consecutivos. Sejam dados os
seguintes conjuntos:
M = x é funcionário da Empresa EMGar
T = x é funcionário da Empresa EMGar
N = x é funcionário da Empresa EMGar
A = x é funcionário da Empresa EMGar
tarde
B = x é funcionário da Empresa EMGar
tarde
Logo, pode-se afirmar que
a) A ∩ B = x é funcionário da Empresa EMGar
b) A – B = x é funcionário da Empresa E
da tarde.
c) M – T = x é funcionário da Empresa EMGar
manhã.
d) M ∪ A = x é funcionário da Empresa EMGar
e da noite.
e) T ∩ A = x é funcionário da Empresa EMGar
da noite.
2) ANPAD-2009. De 100 candidatos que, durante o ano de 2006, solicitaram
emprego de enfermeiro em um hospital, 30 possuíam formação universitária em
Enfermagem, 45 possuíam formação técnica em Enfermagem e 15 possuíam
tanto formação universitária quanto formação técnica em Enfermagem. A
probabilidade de um candidato escolhido aleatoriamente não possuir formação
técnica nem formação universitária em Enfermagem é igual a
a) 40%.
b) 30%.
c) 20%.
d) 10%.
e) 5%.
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Propostos
Todos os funcionários da empresa EMGar trabalham em
exatamente dois turnos, não necessariamente consecutivos. Sejam dados os
M = x é funcionário da Empresa EMGar x trabalha no turno da manh
T = x é funcionário da Empresa EMGar x trabalha no turno da tarde
N = x é funcionário da Empresa EMGar x trabalha no turno da noite
A = x é funcionário da Empresa EMGar x trabalha no turno da noite e da
B = x é funcionário da Empresa EMGar x trabalha no turno da manh
se afirmar que
B = x é funcionário da Empresa EMGar x trabalha no turno da noite.
B = x é funcionário da Empresa EMGar x trabalha no turno da noite e
T = x é funcionário da Empresa EMGar x trabalha somente no turno da
A = x é funcionário da Empresa EMGar x trabalha no turno da manh
A = x é funcionário da Empresa EMGar x trabalha no turno da tarde ou
2009. De 100 candidatos que, durante o ano de 2006, solicitaram
emprego de enfermeiro em um hospital, 30 possuíam formação universitária em
ssuíam formação técnica em Enfermagem e 15 possuíam
tanto formação universitária quanto formação técnica em Enfermagem. A
probabilidade de um candidato escolhido aleatoriamente não possuir formação
técnica nem formação universitária em Enfermagem é igual a
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Todos os funcionários da empresa EMGar trabalham em
exatamente dois turnos, não necessariamente consecutivos. Sejam dados os
x trabalha no turno da manhã
x trabalha no turno da tarde
x trabalha no turno da noite
no turno da noite e da
x trabalha no turno da manhã e da
x trabalha no turno da noite.
x trabalha no turno da noite e
x trabalha somente no turno da
x trabalha no turno da manhã
x trabalha no turno da tarde ou
2009. De 100 candidatos que, durante o ano de 2006, solicitaram
emprego de enfermeiro em um hospital, 30 possuíam formação universitária em
ssuíam formação técnica em Enfermagem e 15 possuíam
tanto formação universitária quanto formação técnica em Enfermagem. A
probabilidade de um candidato escolhido aleatoriamente não possuir formação
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3) ANPAD-2009. Em uma sala com 30 alunos, somente 20 participam das aulas
extras de Raciocínio Lógico, e destes, 17 também participam das aulas extras de
Raciocínio Quantitativo. Logo, pode
a) pelo menos 27 alunos participam das aulas extras de Raciocínio Quantitativo.
b) pelo menos 17 alunos participam das aulas extras de Raciocínio Quantitativo.
c) pelo menos 10 alunos participam somente das aulas extras de Raciocínio
Quantitativo.
d) somente 27 alunos participam ou das aulas extras de Raciocínio Lógico ou de
Raciocínio Quantitativo.
e) somente 17 alunos participam ou das aulas extras de Raciocínio Quantitativo
ou de Raciocínio Lógico.
4) ANPAD-2009. Sobre os conjuntos A, B e C, têm
A, b ∈ A, c ∈ B, f ∈ B, g
#X é o número de elementos de X. Assim, pode
a) os conjuntos A e B são disjuntos.
b) o complemento de A é o conjunto B.
c) o conjunto A está contido no complemento de B.
d) o conjunto C não pode ser escrito como A
e) o conjunto C está contido na união de A com B.
5) ANPAD-2007. Considere as seguintes informações sobre uma prova de
concurso composta de dois problemas, X e Y:
• 923 candidatos acertaram o problema X.
• 581 erraram o problema Y.
• 635 acertaram X e Y.
O número de candidatos que erraram os problemas X e Y é
a) 183.
b) 293.
c) 342.
d) 635.
e) 689.
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Em uma sala com 30 alunos, somente 20 participam das aulas
extras de Raciocínio Lógico, e destes, 17 também participam das aulas extras de
Raciocínio Quantitativo. Logo, pode-se afirmar que
menos 27 alunos participam das aulas extras de Raciocínio Quantitativo.
b) pelo menos 17 alunos participam das aulas extras de Raciocínio Quantitativo.
c) pelo menos 10 alunos participam somente das aulas extras de Raciocínio
unos participam ou das aulas extras de Raciocínio Lógico ou de
e) somente 17 alunos participam ou das aulas extras de Raciocínio Quantitativo
ou de Raciocínio Lógico.
Sobre os conjuntos A, B e C, têm-se algumas afir
g ∈ B, , , , ⊂ C, #A = 5, #B = 8 e #C = 4, em que
#X é o número de elementos de X. Assim, pode-se garantir que
a) os conjuntos A e B são disjuntos.
b) o complemento de A é o conjunto B.
contido no complemento de B.
d) o conjunto C não pode ser escrito como A ⋂ B.
e) o conjunto C está contido na união de A com B.
2007. Considere as seguintes informações sobre uma prova de
concurso composta de dois problemas, X e Y:
candidatos acertaram o problema X.
• 581 erraram o problema Y.
O número de candidatos que erraram os problemas X e Y é
33
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Em uma sala com 30 alunos, somente 20 participam das aulas
extras de Raciocínio Lógico, e destes, 17 também participam das aulas extras de
menos 27 alunos participam das aulas extras de Raciocínio Quantitativo.
b) pelo menos 17 alunos participam das aulas extras de Raciocínio Quantitativo.
c) pelo menos 10 alunos participam somente das aulas extras de Raciocínio
unos participam ou das aulas extras de Raciocínio Lógico ou de
e) somente 17 alunos participam ou das aulas extras de Raciocínio Quantitativo
se algumas afirmações a ∈
C, #A = 5, #B = 8 e #C = 4, em que
2007. Considere as seguintes informações sobre uma prova de
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6) ANPAD-2006. Numa sala de aula que conta com 48 alunos, 30 usam calça
jeans e 13 usam tênis. Se 12 alunos não usam calças jeans nem tênis, o número
de alunos que usam calças jeans e não usam tênis é
a) 5.
b) 17.
c) 18.
d) 23.
e) 30.
7) ANPAD-2006. Num grupo de pessoas, detectou
tomam café e todos os fumantes tomam café. Oito pessoas não têm apetite
porque fumam e outras duas porque só tomam café. O número de pessoas não
fumantes, consumidoras de café e que têm apetite é
a) 8.
b) 16.
c) 18.
d) 21.
e) 37.
8) ANPAD-2005. Os estudantes praticantes
foram classificados, segundo seus hábitos desportivos, em quatro grupos,
identificados pelas letras P, F, V e N, respectivamente. Os que praticam pingue
pongue; os que praticam futebol; os que praticam vôlei; e os que pr
natação. Com essa classificação, obteve
A partir do estudo deste diagrama, pode
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2006. Numa sala de aula que conta com 48 alunos, 30 usam calça
jeans e 13 usam tênis. Se 12 alunos não usam calças jeans nem tênis, o número
de alunos que usam calças jeans e não usam tênis é
06. Num grupo de pessoas, detectou-se que 19 são fumantes, 37
s os fumantes tomam café. Oito pessoas não têm apetite
porque fumam e outras duas porque só tomam café. O número de pessoas não
fumantes, consumidoras de café e que têm apetite é
2005. Os estudantes praticantes de esportes da Escola Aprender (EA)
foram classificados, segundo seus hábitos desportivos, em quatro grupos,
identificados pelas letras P, F, V e N, respectivamente. Os que praticam pingue
pongue; os que praticam futebol; os que praticam vôlei; e os que pr
natação. Com essa classificação, obteve-se o seguinte diagrama:
A partir do estudo deste diagrama, pode-se concluir que
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2006. Numa sala de aula que conta com 48 alunos, 30 usam calças
jeans e 13 usam tênis. Se 12 alunos não usam calças jeans nem tênis, o número
se que 19 são fumantes, 37
s os fumantes tomam café. Oito pessoas não têm apetite
porque fumam e outras duas porque só tomam café. O número de pessoas não
de esportes da Escola Aprender (EA)
foram classificados, segundo seus hábitos desportivos, em quatro grupos,
identificados pelas letras P, F, V e N, respectivamente. Os que praticam pingue-
pongue; os que praticam futebol; os que praticam vôlei; e os que praticam
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a) se a região preenchida por traços representa um conjunto vazio, então nenhum
praticante de futebol é, também, praticante
b) se a sentença “Todo estudante da EA que pratica futebol pratica também
pingue-pongue” for verdadeira, então a região preenchida por quadrados do
diagrama representa um conjunto vazio.
c) se a região do diagrama preenchida por círculos represen
vazio, então todo estudante que pratica futebol e vôlei pratica, também, natação.
d) se as regiões preenchidas por triângulos e por círculos representarem, ambas,
conjuntos nãovazios, então é verdadeira a sentença “Todo estudante que pratic
pingue-pongue pratica, também, vôlei ou natação”.
e) se as regiões preenchidas por triângulos e por círculos representarem, ambas,
conjuntos nãovazios, então algum estudante que pratica natação pratica também
pingue-pongue.
9) ANPAD-2004. Em uma festa,
vinho e cerveja. Sabe-se que havia 55 pessoas, das quais 30 tomaram cerveja, 15
tomaram vinho e 20 tomaram apenas refrigerante. Sabe
uma das três bebidas. Então, o número de pessoas que
tomaram vinho é
a) 5.
b) 10.
c) 15.
d) 20.
e) 25.
10) ANPAD-2004. Uma pesquisa entre 1.000 consumidores, sendo 400 homens e
600 mulheres, mostrou os seguintes resultados:
• Do total de pessoas entrevistadas:
650 assinam o jornal A.
430 têm curso superior.
300 assinam o jornal A e têm curso superior.
• Do total de mulheres entrevistadas:
300 assinam o jornal A.
270 têm curso superior.
150 assinam o jornal A e têm curso superior.
Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
a) se a região preenchida por traços representa um conjunto vazio, então nenhum
praticante de futebol é, também, praticante de vôlei.
b) se a sentença “Todo estudante da EA que pratica futebol pratica também
pongue” for verdadeira, então a região preenchida por quadrados do
diagrama representa um conjunto vazio.
c) se a região do diagrama preenchida por círculos representar um conjunto
vazio, então todo estudante que pratica futebol e vôlei pratica, também, natação.
d) se as regiões preenchidas por triângulos e por círculos representarem, ambas,
conjuntos nãovazios, então é verdadeira a sentença “Todo estudante que pratic
pongue pratica, também, vôlei ou natação”.
e) se as regiões preenchidas por triângulos e por círculos representarem, ambas,
conjuntos nãovazios, então algum estudante que pratica natação pratica também
2004. Em uma festa, foram servidos dois tipos de bebidas alcoólicas:
se que havia 55 pessoas, das quais 30 tomaram cerveja, 15
tomaram vinho e 20 tomaram apenas refrigerante. Sabe-se que todos tomaram
uma das três bebidas. Então, o número de pessoas que tomaram cerveja, mas não
2004. Uma pesquisa entre 1.000 consumidores, sendo 400 homens e
600 mulheres, mostrou os seguintes resultados:
• Do total de pessoas entrevistadas:
300 assinam o jornal A e têm curso superior.
• Do total de mulheres entrevistadas:
150 assinam o jornal A e têm curso superior.
35
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a) se a região preenchida por traços representa um conjunto vazio, então nenhum
b) se a sentença “Todo estudante da EA que pratica futebol pratica também
pongue” for verdadeira, então a região preenchida por quadrados do
tar um conjunto
vazio, então todo estudante que pratica futebol e vôlei pratica, também, natação.
d) se as regiões preenchidas por triângulos e por círculos representarem, ambas,
conjuntos nãovazios, então é verdadeira a sentença “Todo estudante que pratica
e) se as regiões preenchidas por triângulos e por círculos representarem, ambas,
conjuntos nãovazios, então algum estudante que pratica natação pratica também
foram servidos dois tipos de bebidas alcoólicas:
se que havia 55 pessoas, das quais 30 tomaram cerveja, 15
se que todos tomaram
tomaram cerveja, mas não
2004. Uma pesquisa entre 1.000 consumidores, sendo 400 homens e
Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog:
Portanto, o número de homens entrevistados que não
têm curso superior é
a) 40.
b) 80.
c) 120.
d) 180.
e) 200.
11) ANPAD-2003. Se r é o raio de um círculo, então a sua área é dada por
Se o raio de ambos os círculos da figura dada é 6 u. c. (unidades de
comprimento) e a área da interseção dos dois círculos é 26
área), então a área da região hachurada é
a) 10π u. a.
b) 20π u. a.
c) 36π u. a.
d) 46π u. a.
e) 56π u. a.
12) ANPAD-2002. Dados dois conjuntos quaisquer, A e B, é correto afirmar que
a) Se (A ∪ B) = B, então A
b) Se (A ∪ B) = A, então A
c) Se (A ∩ B) = ∅, então (A
d) Se (A ∩ B) = ∅, então A =
e) Se (A ∩ B) = B, então A
13) ANPAD-2002. Num grupo de brasileiros, 65% falam inglês, 50% falam
italiano e 65% falam francês. Se cada elemento do grupo fala pelo menos dois
idiomas, sendo um deles o português, e apenas 10% falam os quatro idiomas,
então posso afirmar que
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Portanto, o número de homens entrevistados que não assinam o jornal A e não
2003. Se r é o raio de um círculo, então a sua área é dada por
Se o raio de ambos os círculos da figura dada é 6 u. c. (unidades de
a da interseção dos dois círculos é 26π u. a. (unidades de
área), então a área da região hachurada é
2002. Dados dois conjuntos quaisquer, A e B, é correto afirmar que
B) = B, então A ⊂ B.
B) = A, então A ⊂ B.
, então (A ∪ B) = ∅.
, então A = ∅ ou B = ∅.
ão A ⊂ B.
2002. Num grupo de brasileiros, 65% falam inglês, 50% falam
65% falam francês. Se cada elemento do grupo fala pelo menos dois
idiomas, sendo um deles o português, e apenas 10% falam os quatro idiomas,
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assinam o jornal A e não
2003. Se r é o raio de um círculo, então a sua área é dada por .
Se o raio de ambos os círculos da figura dada é 6 u. c. (unidades de
π u. a. (unidades de
2002. Dados dois conjuntos quaisquer, A e B, é correto afirmar que
2002. Num grupo de brasileiros, 65% falam inglês, 50% falam
65% falam francês. Se cada elemento do grupo fala pelo menos dois
idiomas, sendo um deles o português, e apenas 10% falam os quatro idiomas,
Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog:
a) exatamente 55% do grupo falam somente português e inglês.
b) no máximo 40% do grupo fa
c) no máximo 5% do grupo falam francês e italiano.
d) exatamente 15% do grupo falam inglês, italiano e francês.
e) no mínimo 55% do grupo falam português e francês.
14) ANPAD-2002. Sendo o conjunto universo
, 0, , 5, √2, 4√2, , 0 ; 5
sentenças:
I. A ∩ B possui elementos que s
II. (A ∪ B) ∩ C possui só elementos que s
III. A − B = 0, π.
IV. (A ∩ C) ∩ (B ∩ C)
Então, a respectiva sequência formada pelos valores verdades (V, se verdadeira;
F, se falsa) dessas sentenças é
a) F, F, F, F.
b) V, F, V, F.
c) F, F, V, V.
d) V, V, V, V.
e) F, F, V, F.
15) ANPAD-2002. Dados os conjuntos A, B e C,
abaixo, e sabendo-se que A’ representa o complementar de A, B’ representa o
complementar de B e C’ o complementar de C.
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a) exatamente 55% do grupo falam somente português e inglês.
b) no máximo 40% do grupo falam somente português e italiano.
c) no máximo 5% do grupo falam francês e italiano.
d) exatamente 15% do grupo falam inglês, italiano e francês.
e) no mínimo 55% do grupo falam português e francês.
2002. Sendo o conjunto universo
;
5, , √2, 4 ; e , 4 ; considere as seguintes
B possui elementos que são números racionais.
∩ C possui só elementos que são números irracionais.
∩ C) , 4
Então, a respectiva sequência formada pelos valores verdades (V, se verdadeira;
F, se falsa) dessas sentenças é
2002. Dados os conjuntos A, B e C, representados pelo diagrama
se que A’ representa o complementar de A, B’ representa o
complementar de B e C’ o complementar de C.
37
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considere as seguintes
ão números irracionais.
Então, a respectiva sequência formada pelos valores verdades (V, se verdadeira;
representados pelo diagrama
se que A’ representa o complementar de A, B’ representa o
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Então a área hachurada representa o conjunto
a) A ∪ B − C.
b) B ∪(A ∩ C).
c) B ∩ A'.
d) A' ∩ B' ∩ C'.
e) (B ∩ C) − A.
16) ANPAD-2002. O número máximo de conjuntos A que satisfazem a condição
1, 2 ⊂ A ⊂1, 2, 3, 4 é
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
17) ANPAD-2002. Considere os conjuntos A e B, não vazios, e as seguintes
proposições:
I. Se A ∩ B = A, ent
II. A ∪ ∅ = ∅
III. Se x ∈ A e x ∈ B, então x
IV. Se y ∈ (A ∪ B), então y
Pode-se afirmar que as proposições VERDADEIRAS são:
a) I e II.
b) III e IV.
c) I e III.
d) I, II e IV.
e) II, III e IV.
18) ANPAD-2002. Cem pessoas responderam um questionário formado por 3
perguntas. Cada pergunta devia ser respondida por sim ou não, sendo que apenas
uma das respostas era correta.
Sabendo que
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Então a área hachurada representa o conjunto
O número máximo de conjuntos A que satisfazem a condição
1, 2, 3, 4 é
2002. Considere os conjuntos A e B, não vazios, e as seguintes
B = A, então A ⊂ B.
B, então x ∈ (A ∩ B).
B), então y ∈ A e y ∈ B.
se afirmar que as proposições VERDADEIRAS são:
Cem pessoas responderam um questionário formado por 3
perguntas. Cada pergunta devia ser respondida por sim ou não, sendo que apenas
uma das respostas era correta.
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O número máximo de conjuntos A que satisfazem a condição
2002. Considere os conjuntos A e B, não vazios, e as seguintes
Cem pessoas responderam um questionário formado por 3
perguntas. Cada pergunta devia ser respondida por sim ou não, sendo que apenas
Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog:
• 8 pessoas responderam corretamente todas as perguntas;
• 9 pessoas responderam corretamente somente a primeira e a segunda;
• 11 pessoas responderam corretamente somente a primeira e a terceira;
• 6 pessoas responderam corretamente somente a segunda e a terceira;
• 55 pessoas responderam corretamente pelo menos a pri
• 32 pessoas responderam corretamente pelo menos a segunda pergunta;
• 49 pessoas responderam corretamente pelo menos a terceira pergunta.
Então o número de pessoas que não responderam corretamente a pergunta
alguma é
a) 0.
b) 6.
c) 8.
d) 16.
e) 26.
19) ANPAD-2003. O máximo divisor comum, o menor divisor comum e o
mínimo múltiplo comum dos números 4, 8 e 12 são, respectivamente,
a) 2, 1 e 12.
b) 4, 2 e 12.
c) 4, 1 e 24.
d) 12, 2 e 24.
e) 12, 4 e 48.
20) ANPAD-2003. Ao corrigir uma prova
professor constatou que dos seus 43 alunos, 28 acertaram a primeira questão, 13
acertaram todas as questões e ninguém acertou somente a segunda questão.
Quantos alunos erraram todas as questões?
a) 2.
b) 8.
c) 15.
d) 28.
e) 30.
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• 8 pessoas responderam corretamente todas as perguntas;
soas responderam corretamente somente a primeira e a segunda;
• 11 pessoas responderam corretamente somente a primeira e a terceira;
• 6 pessoas responderam corretamente somente a segunda e a terceira;
• 55 pessoas responderam corretamente pelo menos a primeira pergunta;
• 32 pessoas responderam corretamente pelo menos a segunda pergunta;
• 49 pessoas responderam corretamente pelo menos a terceira pergunta.
Então o número de pessoas que não responderam corretamente a pergunta
2003. O máximo divisor comum, o menor divisor comum e o
mínimo múltiplo comum dos números 4, 8 e 12 são, respectivamente,
2003. Ao corrigir uma prova com apenas duas questões, um
professor constatou que dos seus 43 alunos, 28 acertaram a primeira questão, 13
acertaram todas as questões e ninguém acertou somente a segunda questão.
Quantos alunos erraram todas as questões?
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soas responderam corretamente somente a primeira e a segunda;
• 11 pessoas responderam corretamente somente a primeira e a terceira;
• 6 pessoas responderam corretamente somente a segunda e a terceira;
meira pergunta;
• 32 pessoas responderam corretamente pelo menos a segunda pergunta;
• 49 pessoas responderam corretamente pelo menos a terceira pergunta.
Então o número de pessoas que não responderam corretamente a pergunta
2003. O máximo divisor comum, o menor divisor comum e o
mínimo múltiplo comum dos números 4, 8 e 12 são, respectivamente,
com apenas duas questões, um
professor constatou que dos seus 43 alunos, 28 acertaram a primeira questão, 13
acertaram todas as questões e ninguém acertou somente a segunda questão.
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21) ANPAD-2002. Num clube de apenas 800 associados, é sabido que 200 deles
jogam basquete, 300 jogam vôlei e 430 não jogam nem basquete nem vôlei.
Quantos associados jogam basquete e
a) 65.
b) 70.
c) 130.
d) 270.
e) 300.
22) ANPAD-2001. Considere as seguintes proposições:
I. Se dois conjuntos V e W são limitados, então a união desses conjuntos é
limitada.
II. Se dois conjuntos V e W são limitados, então a interseção desses conjuntos é
limitada.
II. Se dois conjuntos R e S são ilimitados,
ser limitada.
IV. Se dois conjuntos R e S são ilimitados, então a interseção desses conjuntos é
sempre ilimitada.
A sequência de valores verdades dessas proposições é, respectivamente:
a) F, F, F, F.
b) F, F, V, V.
c) V, V, V, F.
d) V, V, F, V.
e) V, V, F, F.
23) ANPAD-2001. Considere as seguintes proposições sobre conjuntos:
I. Seja A um subconjunto de B . Então a interseção de A com B é precisamente
B .
II. Seja A um subconjunto de B . A união de A com B é
III. Seja A um subconjunto de B . Então o complemento de A , A' é um
subconjunto do complemento de B , B'.
IV. Seja A um subconjunto de B . A união de A e de (B
As proposições VERDADEIRAS são
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02. Num clube de apenas 800 associados, é sabido que 200 deles
300 jogam vôlei e 430 não jogam nem basquete nem vôlei.
Quantos associados jogam basquete e vôlei?
Considere as seguintes proposições:
Se dois conjuntos V e W são limitados, então a união desses conjuntos é
Se dois conjuntos V e W são limitados, então a interseção desses conjuntos é
Se dois conjuntos R e S são ilimitados, então a união desses conjuntos pode
Se dois conjuntos R e S são ilimitados, então a interseção desses conjuntos é
A sequência de valores verdades dessas proposições é, respectivamente:
2001. Considere as seguintes proposições sobre conjuntos:
Seja A um subconjunto de B . Então a interseção de A com B é precisamente
Seja A um subconjunto de B . A união de A com B é precisamente B .
Seja A um subconjunto de B . Então o complemento de A , A' é um
subconjunto do complemento de B , B'.
Seja A um subconjunto de B . A união de A e de (B − A) é precisamente B.
As proposições VERDADEIRAS são
40
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02. Num clube de apenas 800 associados, é sabido que 200 deles
300 jogam vôlei e 430 não jogam nem basquete nem vôlei.
Se dois conjuntos V e W são limitados, então a união desses conjuntos é
Se dois conjuntos V e W são limitados, então a interseção desses conjuntos é
então a união desses conjuntos pode
Se dois conjuntos R e S são ilimitados, então a interseção desses conjuntos é
A sequência de valores verdades dessas proposições é, respectivamente:
2001. Considere as seguintes proposições sobre conjuntos:
Seja A um subconjunto de B . Então a interseção de A com B é precisamente
precisamente B .
Seja A um subconjunto de B . Então o complemento de A , A' é um
− A) é precisamente B.
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a) II e IV.
b) I e III.
c) III e IV.
d) I e IV.
e) II e III.
24) ANPAD-2001. Seja A um subconjunto de B e seja B um subconjunto de C .
Suponha que a ∈ A, b ∈ B e c
Considere as seguintes proposições:
I. a ∈ C.
II. b ∈ A.
III. d ∈ B.
IV. c ∉ A.
V. e ∉ A.
VI. f ∉ A.
A(s) proposição(ões) sempre VERDADEIRA(S) é(são):
a) I, II e V.
b) I, III e VI.
c) II, III e IV.
d) I, V e VI.
e) somente I.
25) ANPAD-2009. Uma empresa está fazendo entrevista para contratar uma
pessoa para o cargo de se
superior em Secretariado Bilíngüe, 180 têm curso de Informática e 120 possuem
os dois, ou seja, têm formação em Secretariado Bilíngüe e em Informática. Se
um, dentre os 500 candidatos, for escolhido ao
não possua nenhum dos dois cursos, isto é, não tenha curso em Secretariado
Bilíngüe nem curso de Informática, é de
a) . b) . c) .
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2001. Seja A um subconjunto de B e seja B um subconjunto de C .
B e c ∈ C, e, ainda, que d ∉ A, e ∉ B , f ∉
Considere as seguintes proposições:
A(s) proposição(ões) sempre VERDADEIRA(S) é(são):
. Uma empresa está fazendo entrevista para contratar uma
pessoa para o cargo de secretário executivo. Dos 500 candidatos, 240 têm curso
superior em Secretariado Bilíngüe, 180 têm curso de Informática e 120 possuem
os dois, ou seja, têm formação em Secretariado Bilíngüe e em Informática. Se
um, dentre os 500 candidatos, for escolhido ao acaso, a probabilidade de que ele
não possua nenhum dos dois cursos, isto é, não tenha curso em Secretariado
Bilíngüe nem curso de Informática, é de
41
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2001. Seja A um subconjunto de B e seja B um subconjunto de C .
∉ C.
. Uma empresa está fazendo entrevista para contratar uma
cretário executivo. Dos 500 candidatos, 240 têm curso
superior em Secretariado Bilíngüe, 180 têm curso de Informática e 120 possuem
os dois, ou seja, têm formação em Secretariado Bilíngüe e em Informática. Se
acaso, a probabilidade de que ele
não possua nenhum dos dois cursos, isto é, não tenha curso em Secretariado
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d) e) .
26) ANPAD-2009. Em uma pesquisa, constatou
pelo Flamengo e 40% são torcedoras do Corinthians. Sabe
torcem pelos dois times. Então, a razão do número de pessoas que não torcem
pelo Flamengo para o número de pessoas que não torcem pelo Corinthians é
a)
b)
c)
d)
e)
27) ANPAD-2010. Sejam os conjuntos dos números Inteiros Z, dos Racionais Q
e dos Reais R. Então, pode
a) igual ao conjunto dos números Irracionais.
b) um conjunto enumerável (contável).
c) um conjunto do qual os Irracionais são subconjuntos.
d) um subconjunto dos Irracionais.
e) igual ao conjunto dos números Inteiros.
28) ANPAD-2004. Deseja
cada um. Se os pedaços de fita devem ser todos de mesmo
maior possível, então a soma da
a) 18.
b) 20.
c) 22.
d) 24.
e) 36.
29) ANPAD-2004. Comprou
veio em sacas de 60kg; o segundo em sacas de 48 kg; e o
kg. Desejando embalá-los em
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Em uma pesquisa, constatou-se que 48% das pessoas torcem
pelo Flamengo e 40% são torcedoras do Corinthians. Sabe-se ainda que 12%
torcem pelos dois times. Então, a razão do número de pessoas que não torcem
pelo Flamengo para o número de pessoas que não torcem pelo Corinthians é
Sejam os conjuntos dos números Inteiros Z, dos Racionais Q
e dos Reais R. Então, pode-se afirmar que o conjunto (R – Q) ∪ Z é
a) igual ao conjunto dos números Irracionais.
b) um conjunto enumerável (contável).
junto do qual os Irracionais são subconjuntos.
d) um subconjunto dos Irracionais.
e) igual ao conjunto dos números Inteiros.
Deseja-se dividir dois rolos de fita medindo 72 m e 104 m,
pedaços de fita devem ser todos de mesmo comprimento e o
maior possível, então a soma da quantidade de pedaços dos dois rolos é
Comprou-se um lote de arroz de três qualidades: o primeiro
60kg; o segundo em sacas de 48 kg; e o terceiro, em sacas de 72
los em sacas menores, de igual peso, sem misturar as
42
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pessoas torcem
se ainda que 12%
torcem pelos dois times. Então, a razão do número de pessoas que não torcem
pelo Flamengo para o número de pessoas que não torcem pelo Corinthians é
Sejam os conjuntos dos números Inteiros Z, dos Racionais Q
Z é
se dividir dois rolos de fita medindo 72 m e 104 m,
comprimento e o
quantidade de pedaços dos dois rolos é
se um lote de arroz de três qualidades: o primeiro
terceiro, em sacas de 72
sacas menores, de igual peso, sem misturar as
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qualidades e sem sofrer qualquer perda, então o
sacas é
a) 6.
b) 8.
c) 10.
d) 12.
e) 14.
30) ANPAD-2003. 03. Hoje A e B estã
tem folga de 6 e 6 dias e B, de 4 em 4 dias e que a folga dos dois coincide a cada
x dias, pode-se concluir que o valor
a) 4.
b) 6.
c) 10.
d) 12.
e) 18.
31) ANPAD-2003. Laura quer decorar toda a parede
4,40 m por 2,75 m, dividindo
número total desses quadrados que
a) 16.
b) 30.
c) 40.
d) 55.
e) 88.
32) ANPAD-2003. Dividir um número por 0,0125 equivale a
a) 1/125.
b) 1/8.
c) 12,5.
d) 80.
e) 125.
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qualidades e sem sofrer qualquer perda, então o maior peso possível para essas
03. Hoje A e B estão de folga do trabalho. Sabendo
dias e B, de 4 em 4 dias e que a folga dos dois coincide a cada
se concluir que o valor de x é
03. Laura quer decorar toda a parede retangular de dimensões
dividindo-a em quadrados de tamanhos iguais. Então o menor
número total desses quadrados que a parede poderá conter é
03. Dividir um número por 0,0125 equivale a multiplicá
43
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maior peso possível para essas
o de folga do trabalho. Sabendo-se que A
dias e B, de 4 em 4 dias e que a folga dos dois coincide a cada
retangular de dimensões
a em quadrados de tamanhos iguais. Então o menor
multiplicá-lo por
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[Nota] Para outras questõespor Assunto no livro "500 questões resolvidas"
Baixe o caderno de provas anteriores da ANPAD no Grupo Sou http://www.facebook.com/groups/souintegral/
Gabarito:
1-B 2-A 3-B 4-
11-D 12-A 13-B 14-
21-C 22-E 23-A 24-D
31-C 32-D
Atenção! Nosso material didático passa por constantes revisões e atualizações, seja para corrigir erros, seja para melhorar as explicações em alguns tópicos. Isto é feito com base nas centenas de dúvidas e sugestões que Mantenha seu material didático sempre atualizado! Participe do nosso projeto: http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pay
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[Nota] Para outras questões sobre esse tópico, consulte o Índice de Questões por Assunto no livro "500 questões resolvidas".
caderno de provas anteriores da ANPAD no Grupo Sou http://www.facebook.com/groups/souintegral/
-E 5-B 6-D 7-B 8-C 9-D 10
-E 15-E 16-D 17-C 18-B 19-C 20
D 25-A 26-E 27-C 28-C 29-D 30
Atenção! Nosso material didático passa por constantes revisões e atualizações, seja para corrigir erros, seja para melhorar as explicações em alguns tópicos. Isto é feito com base nas centenas de dúvidas e sugestões que recebemos mensalmente.
Mantenha seu material didático sempre atualizado!
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, consulte o Índice de Questões
caderno de provas anteriores da ANPAD no Grupo Sou Integral!
10-A
20-C
30-D
Atenção! Nosso material didático passa por constantes revisões e atualizações, seja para corrigir erros, seja para melhorar as explicações em alguns tópicos. Isto é feito com base
-do-bem.html
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12 Instituto Integral Editora
1. Raciocínio Lógico Formal
https://www.facebook.com/groups/souintegral/648
226115228543
3. Caderno RQ1 - Teoria dos Conjuntos
https://www.facebook.com/groups/souintegral/664
452690272552/
5. Caderno RQ3 - Matemática Financeira
https://www.facebook.com/groups/souintegral/809
923325725487/
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Instituto Integral Editora - Catálogo
1. Raciocínio Lógico Formal
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2. Raciocínio Lógico Informal
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Teoria dos Conjuntos
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4. Caderno RQ2 - Proporcionalidade
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Matemática Financeira
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6. Caderno de Testes ANPAD
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45
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2. Raciocínio Lógico Informal
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478483703306/ Proporcionalidade
https://www.facebook.com/groups/souintegral/667
512393299915/ 6. Caderno de Testes ANPAD - Vol. I
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788225172332/
Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog:
7. Caderno de Testes ANPAD
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