Raciocínio LógicoR

aci

ocí

nio

Ló

gic

o

Ma

tem

áti

co

1) (FEPESE, 2014)Considere como conjunto universo o conjunto dos números inteiros positivos menores ou iguais a vinte e quatro.Neste universo, assinale o conjunto verdade da sentença aberta: x2 < 30 ou x - 1 é divisor de 30

Te

ori

a d

os

Co

nju

nto

s

(FEPESE, 2014)a) V = {1, 2, 4, 5, 6, 11, 16}b) V = {2, 3, 4, 6, 7, 11, 16}c) V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 16}d) V = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 15, 30}e) V = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 16}

Te

ori

a d

os

Co

nju

nto

s

2) Considere os conjuntos A = { 1, 2, {2}, ∅} e B = {1,2} complete as lacunas usando os símbolos adequados:

Te

ori

a d

os

Co

nju

nto

s

a) 3 Ab) 1 Bc) ∅ Ad) 4 Ae) B Af) {1,4} Ag) ∅ B

Te

ori

a d

os

Co

nju

nto

s

3) Considerando os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5, 6}, determine o resultado de: a) L = A U Bb) M = A ∩ B c) N = A – B d) O = B – A

Te

ori

a d

os

Co

nju

nto

s

4) Dois conjuntos A e B têm exatamente a mesma quantidade de elementos. A união deles tem 2015 elementos e a interseção deles tem 1515 elementos. O número de elementos do conjunto A é:a) 250b) 500c) 1015d) 1765e) 1845

Te

ori

a d

os

Co

nju

nto

s

5) Ano: 2019 Banca: IDECAN Órgão: AGU Luna é uma menina muito esperta e possui 27 colegas meninos e 34 colegas meninas. Todas essas crianças juntas formam uma turma de alunos muito diferente, pois cada aluno ou adora matemática ou adora português. Sabendo que, nessa turma, 21 meninas adoram matemática e um total de 38 alunos adoram português, o número de meninos que adoram matemática éA) 1.B) 2.C) 3.D) 4.E) 5T

eo

ria

do

s C

on

jun

tos

6) (CESPE,2016) Situação hipotética: A ANVISA realizará inspeções em estabelecimentos comerciais que são classificados como Bar ou Restaurante e naqueles que são considerados ao mesmo tempo Bar e Restaurante.

Te

ori

a d

os

Co

nju

nto

s

Sabe-se que, ao todo, são 96 estabelecimentos a serem visitados, dos quais 49 são classificados como Bar e 60 são classificados como Restaurante. Assertiva: Nessa situação, há mais de 15 estabelecimentos que são classificados como Bar e como Restaurante ao mesmo tempo. ( ) Certo ( ) Errado

Te

ori

a d

os

Co

nju

nto

s

7) O administrador de uma sorveteria quis saber a preferência de seus clientes sobre três sabores: morango, chocolate e abacaxi. Para isso, elaborou uma ficha em que cada cliente marcaria com um X quais sabores eram de sua preferência, podendo marcar quantos sabores quisesse. O resultado foi o seguinte: 27 clientes marcaram os três sabores, 50 marcaram os sabores morango e chocolate, 48 marcaram chocolate e abacaxi, 52 marcaram morango e abacaxi, 80 marcaram abacaxi, 78 marcaram morango e 82 marcaram chocolate. Se todos os clientes marcaram pelo menos um sabor e preencheram somente uma ficha cada, então o total de clientes consultados foi:a) 417b) 390c) 117d) 286e) 142T

eo

ria

do

s C

on

jun

tos

LógicaProposicional

Ra

cio

cín

io L

óg

ico

M

ate

má

tico

Denomina-se proposição a toda frase declarativa, expressa em palavras ou símbolos, que exprima um juízo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de dois valores lógicos possíveis: verdadeiro ou falso.

Pro

po

siçõ

es

Ló

gic

as

Não são proposições:1) frases interrogativas: “Qual é o seu nome?”2) frases exclamativas: “Que prova complicada!”3) frases imperativas: “Fique calado.”4) frases sem verbo: “O livro de receita.”

Pro

po

siçõ

es

Ló

gic

as

5) sentenças abertas (o valor lógico da sentença depende do valor (do nome) atribuído a variável)Exemplos“x é maior que 2”;“x + y = 10”; “Z é a capital do Brasil”.

Pro

po

siçõ

es

Ló

gic

as

ExercícioAssinale quais das sentenças abaixo são proposições lógicas:a) O TRT publicou o edital do concurso.b) A prova foi cancelada.c) Bom dia!d) Que horas são?

Pro

po

siçõ

es

Ló

gic

as

e) Prova fácil.f) Não fume.g) 2+2 = 5h) x + y = 5i) x é um planeta. j) A Terra é um planeta

Pro

po

siçõ

es

Ló

gic

as

PROPOSIÇÃO

SIMPLES COMPOSTA

A Democracia é o poder do povo.

A Democracia é o poder do povo e o voto é facultativo.

LÓGICA PROPOSICIONAL

LÓGICA PROPOSICIONAL

p: O IESES será a banca examinadora do concurso.

~ p: O IESES não será a banca examinadora do concurso.

~ p: Não é verdade que o IESES será a banca examinadora do concurso.

~ p: É falso que o IESES será a banca examinadora do concurso.

NEGAÇÃO PROPOSIÇÃO SIMPLES

1º CASO: proposição do tipo ‘nenhum’ , ‘nenhuma’ ou ‘ninguém’.

NENHUM.....................ÁLGUM

NENHUMA...................ÁLGUMA

NINGUÉM................... ÁLGUEM

Ne

ga

ç ão

de

Pro

po

siçõ

es

Sim

ple

s

Exemplos:1)Nenhum candidato será impedido de realizar a prova.

Algum candidato será impedido de realizar a prova.

Ne

ga

ç ão

de

Pro

po

siçõ

es

Sim

ple

s

2) Nenhuma questão será anulada.

Alguma questão será anulada.

Ne

ga

ç ão

de

Pro

po

siçõ

es

Sim

ple

s

3) Ninguém gosta de quiabo.

Alguém gosta de quiabo.Existe quem gosta de quiabo.Pelo menos uma pessoa gosta de quiabo.

Ne

ga

ç ão

de

Pro

po

siçõ

es

Sim

ple

s

2º CASO: proposição do tipo ‘todo(a)’ ou ‘todos(as)’.

TODO(A)....................ÁLGUM...NÃO

TODOS(AS)................ ÁLGUNS...NÃO

Ne

ga

ç ão

de

Pro

po

siçõ

es

Sim

ple

s

Exemplos1) Todos os processos da repartição serão finalizados pelos funcionários não efetivos.

Alguns processos da repartição não serão finalizados pelos funcionários não efetivos.

Algum processo da repartição não será finalizado pelos funcionários não efetivos.

Ne

ga

ç ão

de

Pro

po

siçõ

es

Sim

ple

s

Existe processo da repartição que nãoserá finalizado pelos funcionários não efetivos.Pelo menos um processo da repartição não será finalizado pelos funcionários não efetivos.

Algum processo da repartição não será finalizado pelos funcionários não efetivos.

Ne

ga

ç ão

de

Pro

po

siçõ

es

Sim

ple

s

(FGV) João e José conversam. João diz: - Todo país que realiza eleições é democrático. José diz: - Essa frase é falsa. O que José disse significa que:

Ne

ga

ç ão

de

Pro

po

siçõ

es

Sim

ple

s

a) algum país não realiza eleições e édemocrático; b) se um país não realiza eleições então não édemocrático; c) algum país realiza eleições e não édemocrático; d) se um país não é democrático então não realiza eleições; e) todo país que realiza eleições não édemocrático.

Ne

ga

ç ão

de

Pro

po

siçõ

es

Sim

ple

s

ExercícioA negação da sentença: “Ninguém conseguiu resolver a questão” é:

Ne

ga

ç ão

de

Pro

po

siçõ

es

Sim

ple

s

a) Todos conseguiram resolver a questão. b) Não é verdade que alguém conseguiu resolver a questão. c) Algumas pessoas não conseguiram resolver a questão. d) Pelo menos uma pessoa conseguiu resolver a questão. e) A questão poderia ter sido resolvida por alguém.

Ne

ga

ç ão

de

Pro

po

siçõ

es

Sim

ple

s

Importante A negação de :a) 3 + 5 = 8 é 3 + 5 8 b) x > 3 é x 3c) x < 3 é x 3 d) 5 7 é 5 7

≠

≤

≥

≤ >

Ne

ga

ç ão

de

Pro

po

siçõ

es

Sim

ple

s

Exemplo:Escreva a negação da frase:“Todo número x tal que x + 1 > 2”

Algum número x tal que x + 1 ≤ 2

Ne

ga

ç ão

de

Pro

po

siçõ

es

Sim

ple

s

Conectivo Notação Símbolo

Disjunção não exclusiva ou V

Disjunção exclusiva ou...ou V

Conjunção e^

Condicional se...então →

Bicondicional se e somente se ↔

Pro

po

siçã

o C

om

po

sta

Exercícios1) (CESPE) Julgue o item seguinte:A proposição “João viajou para Paris e Roberto viajou para Roma” é um exemplo de proposição formada por duas proposições simples relacionadas por um conectivo de conjunção.

Pro

po

siçã

o C

om

po

sta

2) (CESPE) Considere as proposições:A: a vítima estava feridaB: a arma foi encontradaC: o criminoso errou o alvo

Pro

po

siçã

o C

om

po

sta

A proposição “Se a vítima não estava ferida ou a arma foi encontrada, então o criminoso errou o alvo” fica corretamente simbolizada na forma (¬A) ˅ B → C.

Pro

po

siçã

o C

om

po

sta

p q p V q p V q p ^ q p → q p ↔ q

ou ... é verdadeira quando pelo menos uma das proposições for verdadeira.

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

ou ... ou é verdadeira quando apenas uma das proposições for verdadeira.

F

V

V

F

e .... é verdadeira quando as duas(todas) proposições for verdadeira.

V

F

F

F

se ....então é falsa quando a 1ª for V e a 2ª F , nos demais casos será verdadeira

V

F

V

V

se e somente se .. verdadeira quando as proposições tem o mesmo valor lógico

V

F

F

V

Ta

be

la V

erd

ad

e

LÓGICA PROPOSICIONAL Determine o valor lógico de cada sentença:I) 5 é um número primo ou o Brasil é um pais da América do Norte.( )

II) Ou A capital de Santa Catarina é Florianópolis ou 2 é

um número par ( )

V

F

Ta

be

la V

erd

ad

e

LÓGICA PROPOSICIONAL Determine o valor lógico de cada sentença:III) O Tribunal de Justiça é um órgão do poder

judiciário e a água do mar é doce. ( )

IV) Se 16 é divisível por 4 então 5 < 4. ( )

V) 3 + 4 = 7 se e somente se 40 é um número inteiro. ( )

V

F

V

Ta

be

la V

erd

ad

e

(ESAF) Ana é artista ou Carlos é carioca. Se Jorge é juiz, então Breno não é bonito. Se Carlos é carioca, então Breno é bonito. Ora, Jorge é juiz. Logo:

Imp

lica

ção

Ló

gic

a

a) Jorge é juiz e Breno é bonito; b) Carlos é carioca ou Breno é bonito; c) Breno é bonito e Ana é artista; d) Ana não é artista e Carlos é carioca; e) Ana é artista e Carlos não é carioca.

Imp

lica

ção

Ló

gic

a

Ano: 2014 Banca: FEPESE Maria, João e Felipe trabalham juntos. Sabe-se que se Maria for despedida, então João e Felipe serão promovidos. Ainda, se João for promovido, então Felipe ganhará um bônus. Sabe-se que Felipe não ganhará um bônus. Logo, podemos afirmar corretamente que:a) Maria será despedidab) Maria não será despedidac) Maria será despedida e João não será promovido.d) Maria não será despedida e João será promovidoe) Felipe será promovido.Im

pli

caçã

o L

óg

ica

LÓGICA PROPOSICIONAL EQUIVALÊNCIA LÓGICADiz-se que uma proposição P élogicamente equivalente ou apenas equivalente a uma proposição Q se as tabelas-verdade destas duas proposições são idênticas.Indica-se que a proposição P ≡ Q. Veja as equivalências mais importantes:

Eq

uiv

alê

nci

a L

óg

ica

LÓGICA PROPOSICIONAL I) Condicional ( Se...então...)A) Contrapositiva A →B = ¬ B → ¬ A

Se A, então B ≡ Se não B, então não A.

B) “Bastardinha” A → B = ¬ A v B Se A, então B ≡ Não A ou B

Imp

lica

ção

Ló

gic

a

LÓGICA PROPOSICIONAL Se a operação lava-jato for interrompida os corruptos não serão punidos.

Se os corruptos forem punidos a operação lava-jato não será interrompida

A operação lava-jato não será interrompida ou os corruptos não serão punidos.

Eq

uiv

alê

nci

a L

óg

ica

LÓGICA PROPOSICIONAL II) Disjunção não exclusiva (...ou...)A V B = ¬ A → B A ou B ≡ se não A, então B

“um servidor é concursado ou não tem estabilidade”.

“Se um servidor não é concursado então não tem estabilidade.

Eq

uiv

alê

nci

a L

óg

ica

Exercício (FGV)Considere a proposição:“toda pessoa gorda come muito”. Écorreto concluir que:

Eq

uiv

alê

nci

a L

óg

ica

a)Se uma pessoa come muito então é gorda.b)Se uma pessoa não é gorda então não come muito.c)Se uma pessoa não come muito então não égorda.d)Existe uma pessoa gorda que não come muito.e)Não existe pessoa que coma muito e não seja gorda.E

qu

iva

lên

cia

Ló

gic

a

Exercício (CESPE) Considerando as regras da lógica sentencial, julgue os itens a seguir. A proposição “um papel é rascunho ou não tem mais serventia para o desenvolvimento dos trabalhos” éequivalente a “se um papel tem serventia para o desenvolvimento dos trabalhos, então é um rascunho”.

Eq

uiv

alê

nci

a L

óg

ica

Exercício (CESPE) Considerando as regras da lógica sentencial, julgue os itens a seguir. A proposição “um papel é rascunho ou não tem mais serventia para o desenvolvimento dos trabalhos” éequivalente a “se um papel tem serventia para o desenvolvimento dos trabalhos, então é um rascunho”.

Eq

uiv

alê

nci

a L

óg

ica

Proposição Negação

¬ (A V B ) ¬ A ^ ¬ B

¬ (A ^ B ) ¬ A V ¬ B

¬ (A → B) A ^ ¬ B

¬ (A ↔B) A V B

¬ (A V B) A ↔ B

Ne

ga

ç ão

–P

rop

osi

çõe

s C

om

po

sta

s

Exemplos : construa a negação das proposições.a) Gosto de frutas ou verdura.

b) Pratico esportes e estudo.

Ne

ga

ç ão

–P

rop

osi

çõe

s C

om

po

sta

s

Exemplos : construa a negação das proposições.c) Se receber o salário então vou viajar.

d) Ou presto atenção ou copio a matéria do quadro.

Ne

ga

ç ão

–P

rop

osi

çõe

s C

om

po

sta

s

(TRT 17ª Região/CESPE) Julgue os itens a seguir. 1. A proposição “A Constituição brasileira é

moderna ou precisa ser refeita” será V quando a proposição “A Constituição brasileira não é moderna nem precisa ser refeita” for F, e vice-versa.

Ne

ga

ç ão

–P

rop

osi

çõe

s C

om

po

sta

s

(TRT 17ª Região/CESPE) Julgue os itens a seguir. 2. A proposição “Carlos é juiz e é muito

competente” tem como negação a proposição “Carlos não é juiz nem é muito competente”.

Ne

ga

ç ão

–P

rop

osi

çõe

s C

om

po

sta

s

A negação da afirmação condicional: “Se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva” é:

Ne

ga

ç ão

–P

rop

osi

çõe

s C

om

po

sta

s

a) Se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva. b) Não esta chovendo e eu levo o guarda-chuva. c) Não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva. d) Se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva. e) Está chovendo e eu não levo o guarda-chuva. N

eg

aç ã

o –

Pro

po

siçõ

es

Co

mp

ost

as

(CESPE)A negativa da sentença “ se a inflação existe então os salários devem ser corrigidos”é “ a inflação existe e os salários devem ser corrigidos”.

Ne

ga

ç ão

–P

rop

osi

çõe

s C

om

po

sta

s

ARGUMENTOÉ um conjunto de proposições formado por premissa(s) e uma conclusão.Notação:P1P2PnC

Ló

gic

a d

e A

rgu

me

nta

ção

ExemploP1- Se estudo, obtenho boas notas. P2- Se me alimento bem, me sinto disposto. P3- Ontem estudei e não me senti disposto. C- Obterei boas notas mas não me alimentei

bem.

Ló

gic

a d

e A

rgu

me

nta

ção

Um argumento pode ser : válido (bem construido) ou inválido(mal construido).

Para um argumento ser válido a conclusão deve estar de acordo com as premissas ou seja a conclusão deve ser consequência das premissas.

Ló

gic

a d

e A

rgu

me

nta

ção

(CESPE ) Assinale a opção que apresenta um argumento válido.

I) Se estudo, obtenho boas notas. Se me alimento bem, me sinto disposto. Ontem estudei e não me senti disposto, logo obterei boas notas mas não me alimentei bem.

Ló

gic

a d

e A

rgu

me

nta

ção

II) Se ontem choveu e estamos em Junho, então hoje fará frio. Ontem choveu e hoje faz frio. Logo, estamos em Junho.

Ló

gic

a d

e A

rgu

me

nta

ção

III) Choveu ontem ou segunda-feira éferiado. Como não choveu ontem, logo segunda-feira não será feriado

Ló

gic

a d

e A

rgu

me

nta

ção

IV) Quando chove, as árvores ficam verdinhas. As árvores estão verdinhas, logo choveu.

Ló

gic

a d

e A

rgu

me

nta

ção

LÓGICA PROPOSICIONAL Tautologia: é uma proposição cujo valor lógico ésempre verdadeiro.ExemploVerifique se as proposições abaixo representam uma tautologia:a) p V ~p

b) (p Λ q) → (p → q)

Ta

uto

log

ia –

Co

ntr

ad

ição

LÓGICA PROPOSICIONAL Contradição: é uma proposição cujo valor lógico

é sempre falso.

ExemploVerifique se as proposições abaixo representam uma contradição:a) p Λ ~p

b) ~(p ∨ ~(p ∧ q))

Ta

uto

log

ia –

Co

ntr

ad

ição

LÓGICA PROPOSICIONAL Contingência é uma proposição cujo valor lógico

pode ser verdadeiro ou falso.

ExemploVerifique se a proposição (p Λ~q) → ~p representam uma contingência:

Importante: também chamada de proposição

indeterminada.

Ta

uto

log

ia –

Co

ntr

ad

ição

LÓGICA PROPOSICIONAL São proposições (categóricas) do tipo:1- Todo A é B.2- Algum A é B.3- Algum A não é B.4- Nenhum A é B.As proposições categóricas podem ser representadas através de diagramas lógicos.

Qu

an

tifi

cad

ore

s

LÓGICA PROPOSICIONAL 1- Todo A é B.Exemplo: todo mamífero é um animal.

Mamífero

Animal Ta

uto

log

ia –

Co

ntr

ad

ição

LÓGICA PROPOSICIONAL 2- Algum A é B.Exemplo: algum número par é primo.

Qu

an

tifi

cad

ore

s

LÓGICA PROPOSICIONAL 3- “ Algum A não é B “. Exemplo: algum pesquisador não éprofessor.

Qu

an

tifi

cad

ore

s

LÓGICA PROPOSICIONAL 4- “ Nenhum A é B“.Exemplo: nenhum número par é impar.

Qu

an

tifi

cad

ore

s

LÓGICA PROPOSICIONAL Ano: 2018 Banca: VUNESP Órgão: PC-SP Considere falsa a afirmação (I) e verdadeira a afirmação (II). I. Todos os alunos estudam. II. Alguns professores estudam. Sendo assim, é correto concluir queA) os alunos que estudam são professores.B) qualquer professor que estuda é aluno.C) existe aluno que não estuda.D) todos os professores estudam.E) qualquer aluno estuda.

Qu

an

tifi

cad

ore

s

LÓGICA PROPOSICIONAL Ano: 2018 Banca: FUNDATEC Órgão: PC-RS Supondo a verdade da sentença aberta: Alguns investigados são advogados mas nem todos os investigados têm domicílio conhecido. Podemos deduzir a verdade da alternativa:A) Todos investigados são advogados e têm domicílio conhecido.B) Todos investigados são advogados e não têm domicílio conhecido.C) Alguns investigados são advogados e têm domicílio conhecido.D) Alguns investigados são advogados e alguns investigados têm domicílio conhecido.E) Alguns investigados são advogados e alguns investigados não têm domicílio conhecido.

Qu

an

tifi

cad

ore

s

Observe o argumento abaixo e julgue os itens Algumas cobras não são perigosas e ratos não são cobras. Assim, ao menos um rato não é perigoso. I - O argumento é válido, embora a veracidade das premissas e da conclusão seja questionável.

Qu

an

tifi

cad

ore

s

II- O argumento é inválido, e pelo menos uma das proposições citadas é verdadeira.

III- Se a palavra cobras fosse substituída pela palavra pedras , no argumento acima, sua validade não seria alterada.

IV - Em uma falácia, a conclusão é sempre falsa.

Qu

an

tifi

cad

ore

s

Considere como verdadeira a proposição: “nenhum matemático é não dialético”. Laura enuncia que tal proposição implica:

Qu

an

tifi

cad

ore

s

Raciocínio LógicoR

aci

ocí

nio

Ló

gic

o

Ma

tem

áti

co