Conjuntos

Veja os seguintes exemplos:

Jogadores de um time

Lista de compras

Números Inteiros

Alfabeto

Se você está familiarizado com estes exemplos, é claro que você tem a ideia do que é um conjunto,

podemos dizer que:

Um conjunto é uma coleção de objetos e tais objetos são chamados de elementos.

Costumamos representar os conjuntos com letras maiúsculas e seus elementos com

letras minúsculas .

Se é um elemento de escrevemos , se não pertence à , escrevemos .

Descrevendo um conjunto

Se um conjunto possui poucos elementos, então o conjunto pode ser representado, simplesmente

enumerando seus membros, logo é um conjunto cujos elementos são 1, 2 e 3. A ordem

dos elementos não importa, portanto pode ser descrito como ou por

exemplo.

Alguns conjuntos possuem muitos elementos, como por exemplo, os naturais ímpares menores que

100 e podem ser representados desta forma } onde “...” indica os ímpares maiores

que 3 e menores que 99, já outros conjuntos, como os naturais pares, que é infinito, pode ser

representado como agora “...” significa que os elementos continuam

infinitamente.

Se o conjunto não possui elementos representamos por é tal conjunto é chamado de vazio.

Frequentemente conjuntos consistem de elementos que satisfazem alguma condição ou possuem

determinada propriedade, neste caso, podemos definir tais conjuntos como

Exemplos

Na Matemática alguns conjuntos aparecem tão frequentemente que possuem uma notação especial,

estes conjuntos são os dos números:

Naturais representados por ;

Inteiros representados por ;

Racionais representados por ;

Reais representados por ;

Complexos representados por .

Subconjuntos

Um conjunto A é chamado de subconjunto de B, se todo elemento de A também pertencem a B. Se A

é um subconjunto de B, escrevemos

Se um conjunto C não é um subconjunto de D, escrevemos .

Se e então temos .

Qualquer que seja A, temos e .

O conjunto que consiste de todos os subconjuntos de é chamado de conjunto das partes de .

Por exemplo:

Se }, então .

Quando A possui elementos possuirá elementos.

Operaço es entre Conjuntos

A união de dois conjuntos A e B, denotada por , é o conjunto de todos os elementos que

pertencem à ou .

A intersecção de dois conjuntos A e B, denotada por , é o conjunto de todos os elementos

pertencem a ambos A e B.

Se dois conjuntos A e B, não possuem elementos em comum, então e A e b são chamados

de conjuntos disjuntos.

A diferença de dois conjuntos A e B (também denotada por ) é definida por:

Suponha que estejamos trabalhando com certo conjunto universo . O complemento de um

conjunto A, denotado por , é:

A diferença simétrica de dois conjuntos A e B, denotada por , é definida por:

Princí pio da Inclusa o-Exclusa o

A cardinalidade do conjunto, denotada por , é a quantidade de elementos que o elemento possui.

Por exemplo

Se , então ,

Temos que: e

O princípio da Inclusão exclusão é uma fórmula para contar o número de elementos que pertencem

à união de vários conjuntos.

Veremos esta fórmula para dois e três conjuntos:

Sí mbolos

Questo es

01 - Num grupo de 120 pessoas sabe-se que 72 gostam de jogar basquete, 65 gostam de jogar

futebol e 53 gostam dos dois. Nessas circunstâncias, é correto afirmar que:

a) 21 pessoas gostam somente de jogar basquete. b) 14 pessoas gostam de jogar somente futebol. c) O total de pessoas que gostam de somente um dos dois é igual a 33. d) 36 pessoas não gostam nem de basquete e nem de futebol.

02 - Um Órgão ofertou para seus funcionários cursos de Editor de Texto, Planilha Eletrônica e

Editor de Imagem. O resultado das inscrições foi o seguinte:

Quantos funcionários farão, apenas, um curso?

a) 130 b) 149 c) 150 d) 217 e) 243

03 - De um grupo de 42 visitantes em um museu, 35 compraram pinturas, 20, esculturas, e 5 não

compraram nem pintura nem escultura. Quantos compraram, apenas, pinturas?

a) 2 b) 7 c) 15 d) 17 e) 30

04 - Considere os seguintes conjuntos:

A = { pessoas que praticam esportes }

B = { pessoas que são inteligentes }

C = { pessoas que são saudáveis }

A afirmação “toda pessoa que pratica esporte é inteligente e saudável” é mais bem representada

pelo seguinte diagrama:

a)

b)

c)

d)

05 - Em relação aos conjuntos A, B e C e a um total de 58 elementos que pertencem a eles, sabe-se:

que nenhum elemento pertence simultaneamente aos três conjuntos; que 13 elementos pertencem

simultaneamente aos conjuntos A e B; que 3 elementos pertencem simultaneamente aos conjuntos

A e C; que 2 elementos pertencem simultaneamente aos conjuntos B e C; que o número de

elementos que pertencem apenas ao conjunto C é 5 unidades a mais do que aqueles que pertencem

apenas ao conjunto B; que o número de elementos que pertencem apenas ao conjunto A é 1 unidade

a menos do que aqueles que pertencem apenas ao conjunto B.

O número de elementos que pertencem apenas ao conjunto C é igual a

a) 46. b) 31. c) 24. d) 17. e) 12.

06 - Os doutores de Barsan são médicos, advogados ou engenheiros, mas nunca são os três ao

mesmo tempo. São 8 os engenheiros que também são advogados, e um a menos do que esses 8 são

os médicos que também são engenheiros. Três doutores são especialistas em apenas uma das áreas,

um em cada uma das áreas. Sabendo-se que em Barsan há 27 doutores, o número de advogados

supera o número de engenheiros em

a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.

07 - Uma pesquisa sobre o acesso à informação, feita com 999 pessoas de uma cidade, identificou

que 700 usavam rádio, 400, jornal e 250, internet. Entre as pessoas que usavam duas dessas três

fontes de acesso, foi identificado que o número delas era igual nas três combinações possíveis.

Sabendo-se que 50 dessas pessoas não utilizam nenhum dos meios citados, e que 70 pessoas dessa

pesquisa usam os três meios, o número dessas pessoas que acessam informação pelo rádio, mas não

a acessam nem pela internet e nem pelo jornal, é igual a

a) 456. b) 460. c) 474. d) 488. e) 492.

08 - Em um colégio com 300 alunos, 180 estudam inglês e 160 estudam espanhol. Quantos alunos

estudam simultaneamente os dois idiomas?

a) 20. b) 40. c) 60. d) 80.

09 - Em uma pequena cidade, circulam apenas dois jornais diferentes. O jornal A e o jornal B. Uma

pesquisa realizada com os moradores dessa cidade mostrou que 33% lê o jornal A, 45% lê o jornal

B, e 7% leem os jornais A e B. Sendo assim, quantos por cento não leem nenhum dos dois jornais?

a) 15% b) 25% c) 27% d) 29% e) 35%

10 - Em uma escola de 100 alunos, há três recuperações durante o ano, sendo uma em cada

trimestre. Em certo ano, 55 alunos ficaram em recuperação no 1º trimestre, 48 no 2º e 40 no 3º .

Somente com esses dados, é correto concluir que naquele ano, necessariamente,

a) pelo menos 3 alunos ficaram em recuperação no 1º e também no 2º trimestre. b) todos os alunos da escola ficaram em recuperação em, pelo menos, um trimestre. c) 40 alunos ficaram em recuperação em dois trimestres e os demais em um único. d) pelo menos um aluno da escola ficou em recuperação em somente dois trimestres. e) no mínimo 5 e no máximo 40 alunos ficaram em recuperação nos três trimestres.

11 - O total de alunos de uma escola é igual a 1500, que, em uma pesquisa, afirmaram gostar de

matemática ou geografia. Qual é o número de alunos que gostam de matemática, sabendo-se que

800 alunos gostam apenas de geografia e 200 alunos gostam das 2 disciplinas (matemática e

geografia) ao mesmo tempo?

a) 700 b) 500 c) 900 d) 1300 e) 600

12 - Em uma entrevista para saber se as pessoas utilizariam os produtos A, B ou C, chegou-se a

seguinte conclusão: 229 pessoas utilizariam o produto A, 223 utilizariam o produto B, 196 utilizariam

o produto C, 79 utilizariam os produtos A e B, 89 os produtos A e C, 69 os produtos B e C, 37 os três

produtos e 53 nenhum dos três. Nessas condições, é correto afirmar que:

a) 275 pessoas utilizariam somente um dos produtos. b) 112 pessoas utilizariam somente o produto C. c) 225 pessoas utilizariam os produtos A e C, mas não utilizariam o produto B d) 500 pessoas foram entrevistadas

13 - No diagrama, observe os conjuntos A, B e C, as intersecções entre A e B e entre B e C, e a

quantidade de elementos que pertencem a cada uma das intersecções.

Sabe-se que pertence apenas ao conjunto A o dobro do número de elementos que pertencem à

intersecção entre A e B. Sabe-se que pertence, apenas ao conjunto C, o dobro do número de

elementos que pertencem à intersecção entre B e C. Sabe-se que o número de elementos que

pertencem apenas ao conjunto B é igual à metade da soma da quantidade de elementos que

pertencem à intersecção de A e B, com a quantidade de elementos da intersecção entre B e C. Dessa

maneira, pode-se afirmar corretamente que o número total de elementos dos conjuntos A, B e C é

igual a

a) 90. b) 108. c) 126. d) 162. e) 180.

14 - O diagrama a seguir apresenta três conjuntos, A, B e C, assim como suas respectivas

intersecções. Todas as regiões do diagrama estão numeradas e possuem elementos. A região I possui

5 elementos, a região II possui 10 elementos, a região III possui 15 elementos, a região IV possui 20

elementos, a região V possui 25 elementos, a região VI possui 30 elementos e a região VII possui 35

elementos.

O número de elementos de C, que não são elementos de A, supera o número de elementos de A, que

não são elementos de B, em uma quantidade igual a

a) 25. b) 20. c) 15. d) 10. e) 5.

15- O diagrama mostra a distribuição dos amigos de Leônidas, dos amigos do Friaça e dos amigos do

Almir. São 3 os amigos apenas do Almir. São 6 os amigos do Almir que também são amigos do Friaça.

Amigos apenas do Friaça são 3 a mais que todos os amigos do Almir. Amigos do Friaça e do Leônidas

são o dobro daqueles que só são amigos do Friaça.

Amigos apenas do Leônidas são a metade dos amigos que são apenas amigos do Friaça.

Veja a figura.

Com base nessas informações, pode-se afirmar corretamente que

a) Leônidas é o que tem mais amigos. b) os amigos que Friaça tem a mais do que Leônidas são 6. c) a quantidade total desses amigos é de 81. d) a quantidade de amigos apenas do Leônidas é o dobro da quantidade de amigos apenas do Almir. e) a quantidade de todos os amigos do Almir somada com a quantidade de todos os amigos do Leônidas equivale exatamente à metade de todos os amigos do Friaça.

16 - Considere verdadeiras todas as afirmações a seguir sobre os grupos A, B e C de profissionais de

um estabelecimento bancário:

I. O Grupo A tem 12 elementos.

II. O Grupo B tem 11 elementos.

III. O grupo C tem 10 elementos.

IV. Apenas Ana Lúcia faz parte dos três Grupos, e todos os demais profissionais fazem parte

exatamente de um Grupo.

Decorre dessas afirmações que o número total de elementos da união desses três Grupos é

a) 31. b) 33. c) 32. d) 30. e) 34.

17 - Observe os conjuntos abaixo:

A = {1,5,6,7}

B = {2,5,6,8}

C = {1,5,6}

Os conjuntos (A∩B) e (A C) valem, respectivamente:

a) {5,6} e {1,5,6,7} b) {1,5,6} e {1,2,5,6,7} c) {7} e {1,5,6,7} d) {1,5,6,7} e {1,5,7} e) {1,2,5,6,7,8} e {1,5,6}

18 - Foi realizada uma pesquisa, com um grupo de pessoas, envolvendo a preferência por até duas

marcas de carros dentre as marcas C1, C2 e C3. A pesquisa apresentou os seguintes dados:

- 59 preferem a marca C1.

- 40 preferem a marca C2-

- 50 preferem a marca C3.

- 17 preferem as marcas C1 e C2.

- 12 preferem as marcas C1 e C3·

- 23 preferem as marcas C2 e C3·

- 49 não preferem nenhuma das três marcas.

O número de pessoas que preferem apenas a marca C2 é igual a:

a) 0. b) 15. c) 25. d) 40.

19 - Considere-se que os livros X, Y, Z e W foram indicados como referência bibliográfica para a

matéria de raciocínio lógico em determinado concurso. Uma pesquisa realizada com 500 candidatos

que se preparavam para esse concurso mostrou que:

• 40 candidatos usaram apenas o livro X

• 60 candidatos usaram apenas o livro Y

• 75 candidatos usaram apenas o livro Z

• 20 candidatos usaram apenas o livro W

• 70 candidatos usaram os livros X e Y

• 70 candidatos usaram os livros X e Z

• 100 candidatos usaram os livros Y e Z

• 5 candidatos usaram os livros Y e W

• 100 candidatos não usaram nenhum dos 4 livros

Sabendo-se que os candidatos que usaram o livro W não usaram os livros X e Z, então o número de

candidatos que se prepararam utilizando os três livros X, Y e Z é de:

a) 10 b) 15 c) 20 d) 25

20 - Um colégio oferece a seus alunos a prática de um ou mais dos seguintes esportes: futebol,

basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre,

- 20 alunos praticam vôlei e basquete;

- 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete;

- 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei;

- o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número dos alunos que praticam só

vôlei;

- 17 alunos praticam futebol e vôlei;

- 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não praticam vôlei.

O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é igual a

a) 93. b) 110. c) 103. d) 99. e) 114.

Gabarito

01:d 02:c 03:d 04:a 05:d 06:b 07:a 08:b 09:d 10:a 11:a 12:c 13:c 14:d 15:d 16:a 17:a 18:a 19:c 20:d