conjuntos numÉricos · o conjunto dos irracionais é um conjunto disjunto do conjunto dos números...

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Ano: 2016

CONJUNTOS

NUMÉRICOS Aulas 01 a 06

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos

Sumário CONJUNTOS NUMÉRICOS ....................................................................................................................................... 2

Conjunto dos números Naturais ......................................................................................................................... 2

Conjunto dos números Inteiros .......................................................................................................................... 2

Conjunto dos números Racionais ....................................................................................................................... 2

Conjunto dos números Irracionais ...................................................................................................................... 2

Conjunto dos números Reais .............................................................................................................................. 2

RELAÇÃO DE INCLUSÃO .......................................................................................................................................... 2

SUBCONJUNTOS ...................................................................................................................................................... 3

OBSERVAÇÕES ......................................................................................................................................................... 3

INVERSO E OPOSTO DE UM RACIONAL ................................................................................................................... 3

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3

FECHAMENTO ......................................................................................................................................................... 3

MÚLTIPLO E DIVISOR DE UM NÚMERO INTEIRO .................................................................................................... 4

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) ..................................................................................................................... 4

MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) ......................................................................................................................... 4


O VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO ................................................................................................................... 4

Módulo de um número (definição formal) ............................................................................................................. 5


CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS ................................................................................................................. 5

FRAÇÃO GERATRIZ .................................................................................................................................................. 5


CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS .............................................................................................................. 6


CONJUNTO DOS REAIS ............................................................................................................................................ 6

REAIS E A RETA NUMÉRICA ..................................................................................................................................... 6

INTERVALOS REAIS .................................................................................................................................................. 7

PRELIMINAR 1 ..................................................................................................................................................... 7

PRELIMINAR 2 ..................................................................................................................................................... 7

INTERVALOS REAIS .................................................................................................................................................. 7

REPRESENTAÇÃO DOS INTERVALOS ....................................................................................................................... 7


OPERAÇÕES ENTRE INTERVALOS ............................................................................................................................ 8


Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 1

QUESTÕES EXTRAS .............................................................................................................................................. 8


AULA 01

CONJUNTOS NUMÉRICOS Alguns conjuntos numéricos já foram estudados em

anos anteriores. São eles:

Conjunto dos números Naturais Surgiu a partir da necessidade de contagem –

importante passo no desenvolvimento da

matemática.

em que representa um número natural genérico.

Conjunto dos números Inteiros Surgiu a partir da necessidade gerada pela operação

diferença.

Conjunto dos números Racionais O conjunto dos racionais surge da necessidade de

representar algumas razões não exatas.

e

Exemplo 1.1

Conjunto dos números Irracionais Esse conjunto surgiu a partir da necessidade de

calcular o comprimento da diagonal de um quadrado

de lado com medida 1. (PITAGÓRICOS)

O conjunto dos irracionais é um conjunto disjunto do

conjunto dos números racionais e tem como

elementos apenas as dízimas não-periódicas.

Exemplo 1.2

é irracional é irracional ;

é irracional

Conjunto dos números Reais É o conjunto formado pela união do conjunto dos

números racionais com o conjunto dos números

irracionais.

Note que, o conjunto dos números irracionais pode

ser representado por “ ”.

RELAÇÃO DE INCLUSÃO A relação de inclusão entre os conjuntos estudados

pode ser ilustrada pelos diagramas de Venn a seguir.

Temos a seguinte cadeia de inclusão: .

Os números inteiros;

Os decimais exatos (aqueles que, na sua

representação decimal, têm parte decimal

finita); Exemplos:

As dízimas periódicas (aqueles que, na sua


infinita e com repetição de um "bloco" formado

por um ou mais algarismos). Exemplo:

Não. Há alguns “tipos” de números que não são

racionais, entre eles:

As dízimas não-periódicas (aqueles que, na sua


infinita e SEM repetição de um "bloco" formado

por um ou mais algarismos); e

As raízes que têm índice par e radicando

negativo.

Quais números podem ser escritos na forma

mencionada?

Mas, pode-se dizer que o conjunto dos números

racionais contém todos os números conhecidos?


SUBCONJUNTOS

OBSERVAÇÕES Obs.1: O sucessor de um número natural é o número

natural que vem imediatamente após o número em

questão.

Exemplo 1.3:

a) . b) .

c) .

d) 0 (zero) não é sucessor de nenhum número

natural.

Obs.2: Os conjuntos estudados são infinitos.

Obs.3: Há uma forma para se representar números

pares e ímpares de maneira genérica:

PARES

Se é par, então para algum .

ÍMPARES

Se é ímpar, então para algum .

Obs.4: Podemos descrever cada número inteiro como

um ponto na reta ordenada.

Obs.5: O oposto de um número é dado por – .

Na reta ordenada, dois números opostos são

equidistantes da origem.

INVERSO E OPOSTO DE UM RACIONAL

Dado

, temos

Seu oposto:

Seu inverso:

, onde

Exemplo 1.4

Tomando o número racional

, temos

seu oposto:

seu inverso:

Obs.6: Uma fração

é dita irredutível quando

.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. Dados e números naturais, tais que

e , determine:

a)

b)

1.2. Determine natural, tal que .

1.3. Sabendo que a soma de três números

consecutivos é 63, determine esses números.

AULA 02 FECHAMENTO

Considere um conjunto A e quaisquer dois de

seus elementos. Se o resultado de uma operação feita

com esses dois elementos também for elemento de A,

então é dito que A é fechado para essa operação.

Exemplo 2.1: O conjunto dos números naturais é

fechado para as operações de adição e multiplicação.

Isto é,

TAREFA 2: Ler, na página 4, o tópico “As

propriedades fundamentais da adição e da

multiplicação em ” e o exercício 5. Além disso, fazer

os PRATICANDO EM SALA (PSA) 2, 3, 4, 5 e 6.

TAREFA 1 – Ler: na página 3 e 11, os tópicos “Alguns

subconjuntos especiais do conjunto dos números

naturais” e “Alguns subconjuntos especiais do conjunto

dos números inteiros”; e na página 43, as observações

21 e 22.

Após a leitura recomendada, você deve ter

observado que

um * na parte superior à direita do símbolo do

conjunto exclui o zero do conjunto.

um + na parte inferior à direita do símbolo do

conjunto mantém somente o 0 e os positivos

no conjunto.

um – na parte inferior à direita do símbolo do

conjunto mantém somente o 0 e os negativos

no conjunto.

Qual é o padrão na escrita dos subconjuntos?


Note que na operação diferença isto nem sempre

acontece,

no entanto .

Veja, na tabela a seguir, para quais operações cada

conjunto numérico estudado é fechado.

Operação

Adição X X X X Multiplicação X X X X Subtração X X X Divisão X X

Obs.1: Quando se trata do fechamento da operação

divisão é evidente que estamos tratando dos

respectivos conjuntos sem o elemento “0 (zero)”, pois

a divisão por zero não está definida.

MÚLTIPLO E DIVISOR DE UM

NÚMERO INTEIRO Considere os números ,a b .

Diz-se que a é divisor de b, ou que b é múltiplo de a, se

existe um número inteiro c tal que b a c .

Exemplo 2.2: O número 26 é múltiplo de 13, pois

26 13 2 , pode-se dizer ainda que 13 é um divisor do

26.

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) Considere os números ,a b .

O mínimo múltiplo comum de a e b é o menor c

que é múltiplo de a e de b.

O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números

pode ser obtido por fatoração simultânea como

podemos observar no exemplo a seguir.

Exemplo 2.3: Vamos determinar o 24, 30mmc .

Observe que vamos dividir pelos fatores dos dois

números até que eles fiquem iguais a 1.

3

224, 30

212, 15

26, 15

33, 15

51, 5

1, 1 2 3 5

Assim temos que 24, 30 120mmc

Obs.2: Todos os múltiplos comuns de a e b são

múltiplos do mmc de a e b.

MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) Considere os números ,a b .

O máximo divisor comum de a e b é o maior c que

é divisor de a e de b.

O máximo comum de dois ou mais números pode ser

obtido por fatoração simultânea como podemos

observar no exemplo a seguir.

Exemplo 2.4: Vamos determinar o 24, 30mdc .

Observe que vamos dividir apenas pelos fatores que

dividem simultaneamente os dois números.

24, 30 2

12, 15 3

6, 5 2 3

Assim temos que 24, 30 6mdc

Obs.3: Todos os divisores comuns de a e b são

divisores do mdc de a e b.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1. Dois corredores partem juntos numa pista

circular no mesmo sentido. Sabendo que o primeiro

completa uma volta a cada 12 minutos e o segundo

uma volta a cada 15 minutos, determine o tempo

mínimo para eles se encontrarem na linha de

chegada.

O VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO Considere que, em uma reta ordenada, a abscissa

(zero) esteja associada a um ponto (origem) e um

ponto qualquer tenha sua abscissa denominada .

O módulo ou valor absoluto do número inteiro ,

denotado por , é um valor (necessariamente

positivo) que nos diz a distância entre os pontos e .

Se está à direita de , então sua abscissa é

um número inteiro positivo e, desse modo, seu

valor absoluto é igual a ele mesmo.

Em símbolos:

.


Exemplo 2.5

, então

Se está à esquerda de , então sua abscissa é

um valor inteiro negativo e, desse modo, seu

valor absoluto é igual ao seu oposto (que é

positivo).

Em símbolos:

, então .

Exemplo 2.6

então

Módulo de um número (definição

formal) O módulo ou valor absoluto do número inteiro ,

denotado por , é o quanto ele dista da origem na

reta real. Temos que,

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.2. Determine o valor ou simplifique as expressões

a seguir:

a)

b) , se

AULA 03 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS Vimos que os decimais exatos e as dízimas periódicas

podem ser representados na forma

, com e

inteiros e .

Exemplo 3.1

FRAÇÃO GERATRIZ Como já foi dito, uma dízima periódica pode ser

representada como uma fração de dois números

inteiros (com denominador não nulo). A essa fração é

dado o nome de fração geratriz.

Obs.1: Em uma dízima periódica, a menor sequência

de algarismos que se repete é denominada período.

Destacamos o período de uma dízima periódica

colocando um “–“ sobre ele. Veja:

Exemplo 3.2

Determinar a fração geratriz de 2,03333.

I)

II)

III)

IV)

Logo,

Exemplo 3.3

TAREFA 3 – Ler, nas páginas 3 a 5 do tablet, “O valor

absoluto de um número inteiro” e fazer o PSA 7, 30 e 31.

Como retirar o módulo de um expressão?

Note que o resultado do módulo depende do sinal

da expressão “dentro” dele. Logo, para retirar o

módulo de uma expressão, faça o seguinte:

1º) Avalie o sinal da expressão “dentro” do módulo. Em geral, para avaliar o sinal das expressões algébricas,

basta substituir alguns valores do intervalo ao qual pertence.

2º) Se for positiva, apenas elimine o módulo e

reescreva a expressão, sem alterá-la; se for negativa,

elimine o módulo e escreva o oposto da expressão

(isto é, troque os sinais de todos os seus termos).

Este processo é relevante quando temos

incógnitas dentro do módulo.


Para determinar a fração geratriz ( ) de ,

basta utilizar o seguinte método:

i) Escreva a dízima destacando o período,

conforme a Obs.1 e iguale-a a .

ii) Se entre a vírgula e o período não houver

nenhum algarismo, vá para o passo iii).

Caso haja, conte o número de algarismos

entre a vírgula e o período e multiplique

ambos os lados da equação pela potência

de 10 correspondente.

Não há algarismos entre a vírgula e o

período, logo continuamos com .

iii) Conte o número de algarismos que

formam o período (no caso, ) e

multiplique a equação obtida em i) pela

potência de 10 correspondente.

iv) Subtraia ii) de iv) e resolva a equação

resultante.

Logo,

.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

3.1. Sejam p e q, primos entre si, tais que

.

Determine a diferença .

3.2. Encontre a fração geratriz, em cada caso a seguir.

a)

b)

c)

3.3. Escreva em ordem crescente as frações

,

e

.

AULA 04

CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS Vimos que o conjunto dos irracionais abrange todas as

dízimas não periódicas.

Exemplo 4.1

Obs.1: É importante lembrar que o conjunto dos

números irracionais não é fechado para as operações

básicas, entre elas diferença e soma. Isto é, nem toda

soma de irracionais é irracional.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

4.1. Prove que não é racional.

DESAFIO: Prove que não é racional.

CONJUNTO DOS REAIS Já vimos que,

Em outras palavras, o conjunto dos números reais é

dado pela união de racionais e irracionais.

REAIS E A RETA NUMÉRICA Para cada número real está associado um único ponto

da reta. Reciprocamente, à cada ponto da reta está

associado um único número real. Isto é, temos uma

relação biunívoca entre a reta numérica e os números

reais.

TAREFA 4 – Ler, no tablet, a parte teórica 4 exercício 25

TAREFA 5 – Ler, no tablet, a parte teórica 4 e fazer os

PROPOSTOS 35, 36, 37, 39, 40(a, d, f) e 41(a, b, c)

E

Os números reais e a reta numérica

É importante observar que os reais conseguem

completar uma reta, ou seja, você consegue associar

a cada ponto da reta um número real sem deixar

nenhum “buraco” na reta.

Note que, os conjuntos e não são capazes de

completar a reta. As suas representações na reta

numérica deixam “buracos” (pontos sem número).

Essa associação será muito importante quando

formos tratar os subconjuntos de .

TAREFA 6 – Ler, no tablet, nas páginas 42 a 45,

“Conjunto dos números reais” e “Representação dos

números reais na reta numérica”. E FAZER o PSA 42


AULA 05

INTERVALOS REAIS Até agora, realizamos operações apenas entre

conjuntos finitos. Será iniciado o estudo de uma nova

classe de conjuntos, os intervalos. Estes, de modo

geral, possuem infinitos elementos.

PRELIMINAR 1 Dados os conjuntos e

, determine .

e

Logo,

Note que

os dois conjuntos são finitos; e

para realizar a operação união, primeiro

alteramos a representação dos conjuntos para a

forma tabular.

Obs.1: A representação dos conjuntos pode ser

fundamental para facilitar a realização das operações

entre conjuntos.

PRELIMINAR 2 Dados os conjuntos e

, tente determinar .

Note que

os dois conjuntos são infinitos; e

é “complicado” realizar a operação com a

representação atual, e também não é possível

representá-los na forma tabular.

Portanto, ainda não sabemos como determinar .

INTERVALOS REAIS Os intervalos são subconjuntos de que podem ser

expressos por meio de desigualdades.

Exemplo 5.1

O conjunto é um intervalo

real.

REPRESENTAÇÃO DOS INTERVALOS Para representar os intervalos reais de maneira mais

“visual” utilizaremos pedaços de retas.

Exemplo 5.2

O conjunto pode ser

representado da seguinte forma?

(onde a parte pintada representa os elementos de )

A representação apresentada é boa, porém, note que

não fica claro se os extremos, e , pertencem ou

não ao intervalo. Para deixar claro quando os

extremos pertencem ou não ao intervalo, será usada a

notação explicada no quadro a seguir.

Logo, o conjunto (do exemplo 5.2) seria

corretamente representado por

Assim, para representar qualquer intervalo de

números reais, basta seguir o seguinte passo-a-passo:

i. Desenhe uma reta (com a seta para a direita).

ii. Coloque os elementos dos extremos.

iii. Pinte a parte que representa os elementos do

intervalo.

iv. Avalie se os extremos pertencem ou não ao

intervalo.

v. Represente as “bolinhas”, deixando claro se

estão fechadas ou abertas.

Exemplo 5.3

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Extremos do intervalo

“Bolinha” fechada: quando o extremo pertencer ao

intervalo, utilizaremos uma “bolinha” fechada para

representá-lo. A ideia é mostrar que o ponto do

extremo também está pintado. Evidenciando, desse

modo, que ele também é elemento do intervalo.

“Bolinha” aberta: quando o extremo não pertencer

ao intervalo, utilizaremos uma “bolinha” aberta para

representá-lo. A ideia é mostrar que o ponto do

extremo não está pintado. Evidenciando, desse

modo, que ele não é elemento do intervalo.


O conjunto pode ser

representado por

Exemplo 5.4

O conjunto pode ser também

escrito na forma

Obs.1: ou não são números Reais, portanto,

nunca usamos qualquer notação que indique a ideia

de fechado junto aos símbolos ou .

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 5.1. Represente cada intervalo a seguir, em seu

caderno, utilizando as três notações estudadas:

parênteses ou colchetes, pela propriedade e,

também, na reta numérica.

a)

b)

c)

d)

e)

AULA 06

OPERAÇÕES ENTRE INTERVALOS Visto que os intervalos são conjuntos, podemos

efetuar, entre eles, as operações união, interseção,

diferença e complementar.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 6.1. Dado o conjunto ,

, e determine os conjuntos a

seguir.

a)

b)

c)

d)

e)

EXTRA

QUESTÕES EXTRAS

1. Sendo 1, 6A , 0, 8B e , 10C , tem-se

que o conjunto B A B C é igual a

(A) .

(B) 8, 10 .

(C) 6, 10 .

(D) 6, 8 .

(E) , 6 8, 10 .

2. Sejam x e y número primos entre si, tais que

1

11

11

1 1,23

x

y

.

A soma x y é igual a

(A) 67.

(B) 37.

(C) 30.

1

1

1

1

1

1

1

TAREFA 7 – Ler, no tablet, na página 46, a tabela

“Intervalos com descrição, notação e representação”.

Parêntese e colchete

Após a leitura recomendada, você deve ter observado

que podemos representar os intervalos utilizando

parênteses ou colchetes.

Colchete no sentido normal [ ] : utilizado para

denotar extremos fechados.

Colchete no sentido contrário ] [ : utilizado para

denotar extremos abertos.

Parêntese: utilizado para denotar extremos

abertos.

TAREFA 8 – Fazer os PSA 44 e 45(a, d)

TAREFA 9 – Ler, nas 45 a 50, “Os intervalos” e fazer os PSA

46, 47 e 48

EXTRA: Exercícios CONHECENDO AVALIAÇÕES 15,

18.


(D) 23.

(E) 7.

3. Sendo x , com 0 4x , tem-se que a

expressão 2 8 5 12 3 30x x x é igual a

(A) 16 98x .

(B)16 82x .

(C) 18 38x .

(D)12 38x .

(E)12 22x .

4. Sejam , e .

Represente, por meio de uma propriedade que

caracterize seus elementos, o conjunto

.

5. Calcule o valor numérico da expressão a seguir.

6. Uma rodoviária possui duas linhas de ônibus. Um

ônibus da linha sai da rodoviária a cada minutos

e um ônibus da linha sai a cada minutos. Dado

que às h saem juntos, da rodoviária, um ônibus de

cada linha, determine o primeiro horário, após as h,

no qual os ônibus das linhas e sairão juntos

novamente.

7. Dados os conjuntos ,

e , uma representação gráfica

do conjunto é

8. Em algumas famílias de uma comunidade carente

foram distribuídos 240 cadernos, 576 lápis e 1080

borrachas. A distribuição foi feita de tal modo que o

maior número de famílias fosse contemplado e que

cada família recebesse a mesma quantidade de

lápis, a mesma quantidade de cadernos e a mesma

quantidade de borrachas. Nessas condições, a

quantidade de borrachas que cada família recebeu

foi igual a

a) 24.

b) 28.

c) 36.

d) 40.

e) 45.

GABARITO

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. a) 120 b) 60

1.2. 5n

1.3. 20, 21, 22

2.1. 60 minutos

2.2. a) 16 b) 2 4 6x x

3.1. 9

3.2. a) 1

3 b)

7

3 c)

23

99

3.3. 1 15 2 7

5 30 3 5

4.1. Demonstração

5.1. A representação por reta será feita em sala.

a) 2, 5 b) 3, c) |1 4x x

d) | 1 3x x e) |0 4x x

6.1. a) 1, 5 b) 0, 3 c) 1, 0 d) 3, 5 e) 1, 0

QUESTÕES EXTRAS 1. D

2. A

3. E

4. | 10 3 ou 4<x<10x x

5. 1

256

6. 12h15

7. C

8. E

conjuntos numÉricos · o conjunto dos irracionais é um conjunto disjunto do conjunto dos números...

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