Conjuntos

Prof.: Antonio Carlos

Definição

• É toda coleção de objetos. A esses objetos, damos o nome de elementos.

• O nome do conjunto é dado por uma letra maiúscula.

A = { x é um número primo}B = { x é um número inteiro entre 5 e 10, inclusive}

Relações entre elementos e conjuntos

• Se um elemento está no conjunto, dizemos que ele pertence ao conjunto. Caso não esteja, dizemos que ele não pertence .

• Quando todos os elementos de um conjunto pertencem a um outro conjunto, dizemos que o primeiro conjunto está contido no segundo.

Ex.: A = { -1,0,1 }

B = { -3,-2,-1,0,1,2,3,4 }.

• Conjunto vazio: Não possui elementos. É representado por ou { }.

• Conjunto unitário: Possui apenas um elemento.

• Conjunto infinito: Possui um número ilimitado de elementos.

Conjuntos importantes

Subconjuntos

• Quando um conjunto está contido em outro, dizemos que ele é um subconjunto do maior.

• Todo conjunto é subconjunto dele mesmo.

• O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

• Conjunto das partesÉ o conjunto cujos elementos são os subconjuntos de A. É representado por P(A).

Quantos subconjuntos um conjunto possui?

O total de subconjuntos de um conjunto com n elementos é 2n .

Ex.: O conjunto A = {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} tem 10 elementos. O total de subconjuntos de A é 210=1024.

O conjunto dos números naturais tem infinitos elementos

e é formado pelos números que dão a noção primitiva de

contagem:

Conjuntos numéricos

ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}

Conjunto dos números naturais

Acrescentando os números negativos aos naturais, formamos

o conjunto dos números inteiros, que é representado por:

Conjunto dos números inteiros

ℤ = {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...}

Conjunto dos números racionais

O conjunto dos números racionais é formado por todos os

números que podem ser escritos na forma de uma razão ,

com a ∈ ℤ e b ∈ ℤ*.

Conjuntos numéricos

Há números que não podem ser escritos na forma de fração,

e sua representação é decimal infinita, e não periódica. Esses

números são denominados números irracionais.

Por exemplo: , , , , etc.

Conjuntos numéricos

Conjunto dos números reais

A reunião do conjunto dos números racionais com o dos

números irracionais resulta no conjunto dos números reais,

representados por ℝ.

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Operações entre Conjuntos

União de conjuntos

Dados dois conjuntos, A e B, a união de A e B é o conjunto

formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B.

A ∪ B = {x⎪x ϵ A ou x ϵ B}

União de conjuntos

A = {0, 2, 4, 6}

B = {2, 3, 5, 7}

14243

A ∪ B = {0, 2, 3, 4, 5, 6,

7}

A região hachurada representa A ∪ B.

Intersecção de conjuntos

Dados dois conjuntos, A e B, a intersecção de A e B é o

conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A

e a B.

A ∩ B = {x⎪x ϵ A e x ϵ B}

Interseção de conjuntos

A = {0, 2, 4, 6}

B = {2, 3, 5, 7}

14243

Exercício

Resolução

Exercício

Determinar:

a) (A ∪ B) ∩ C

b) (A ∩ B) ∪ C

2. Considere os conjuntos representados abaixo.

a) Inicialmente, vamos determinar os

elementos pertencentes a cada

conjunto. Assim: A = {1, 2, 3, 4},

B = {1, 2, 6, 7} e C = {1, 3, 5, 7}

Agora, determinamos (A ∪ B):

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 7}

Depois, determinamos a intersecção

desse conjunto com C e obtemos:

(A ∪ B) ∩ C = {1, 3, 7}

Resolução

Exercício

Determinar:

a) (A ∪ B) ∩ C

b) (A ∩ B) ∪ C

2. Considere os conjuntos representados abaixo.

a) Representando em um diagrama

de Venn:

A parte laranja representa (A ∪ B) ∩ C.

Resolução

Exercício

Determinar:

a) (A ∪ B) ∩ C

b) (A ∩ B) ∪ C

2. Considere os conjuntos representados abaixo.

Resolução b) Primeiro, determinamos (A ∩ B):

A ∩ B = {1, 2}

Depois, determinamos a união desse

conjunto com C:

(A ∩ B) ∪ C = {1, 2, 3, 5, 7}

Exercício

Determinar:

a) (A ∪ B) ∩ C

b) (A ∩ B) ∪ C

2. Considere os conjuntos representados abaixo.

Resolução b) Representando em um diagrama

de Venn:

A parte azul representa (A ∩ B) ∪ C.

Operações com conjuntosDiferença de conjuntos

Dados dois conjuntos, A e B, a diferença entre A e B é o

conjunto formado pelos elementos que pertencem a A, mas

não pertencem a B.

A – B = {x⎪x ∈ A e x ∉ B}

Operações com conjuntosDiferença de conjuntos

A = {0, 2, 4, 6}

B = {2, 3, 5, 7}

14243

A – B = {0, 4, 6}

Exercício

3. Determinar A – B sabendo que:

A = {x⎪x é um número natural menor que 10} e

B = {x⎪x é um número natural e está entre 3 e 7}.

Resolução Enumerando os elementos de A e B, temos:

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e B = {4, 5, 6}

Como a diferença de A e B é o conjunto formado pelos

elementos que pertencem a A mas não pertencem a B, temos:

A – B = {0, 1, 2, 3, 7, 8, 9}

Exercício

4. Descrever a parte azul do

diagrama por meio de

operações de conjuntos.

Resolução Observando a figura, vemos que nenhuma parte do conjunto B

está colorida, assim como nenhuma parte do conjunto C.

Devemos observar ainda que somente uma parte do conjunto A

está colorida de azul. Como essa parte representa os elementos de

A que não pertencem a B nem a C, podemos escrever a seguinte

operação para representar a parte azul

da figura: A – B – C ou A – C – B, ou ainda A – (B U C).

Aplicação das operações com conjuntos

A ∪ B

Aplicação das operações com conjuntosO número de elementos de A ∪ B é:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

A ∩ B

O número de elementos de A ∩ B é:

n(A ∩ B) = n(A) + n(B) – n(A ∪ B)