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Capítulo 1: Conjuntos 1.1 Estudando os conjuntos ................................................................................................................... 03 1.2 Relação de pertinência ..................................................................................................................... 03 1.3 Relação de inclusão ......................................................................................................................... 03 1.4 Conjunto vazio .................................................................................................................................. 04 1.5 Conjunto unitário ............................................................................................................................. 04 1.6 Conjunto das partes ......................................................................................................................... 04 1.7 Número de elementos do conjunto das partes ................................................................................ 04 1.8 Igualdade dos conjuntos .................................................................................................................. 05 1.9 Operações com conjuntos ................................................................................................................ 05 1.10 Conjuntos numéricos ...................................................................................................................... 07 1.11 Intervalos reais ............................................................................................................................... 11 1.12 Exercício comentado ...................................................................................................................... 13 1.13 Fixação ........................................................................................................................................... 15 1.14 Pintou no ENEM ............................................................................................................................. 20 1.15 Sessão Leitura ............................................................................................................................... 21 1.16 Referências .................................................................................................................................... 23 Capítulo 2: Funções 2.1 Noção intuitiva24 2.2 A noção de função através de conjuntos ......................................................................................... 25 2.3 Domínio, Imagem e Contradomínio ................................................................................................. 26 2.4 Estudo do domínio de uma função .................................................................................................. 27 2.5 Função Sobrejetora, função injetora e função bijetora .................................................................... 28 2.6 Função par e função ímpar .............................................................................................................. 29 2.7 Função crescente e função decrescente ......................................................................................... 30 2.8 Função composta ............................................................................................................................. 30 2.9 Função inversa ................................................................................................................................. 31 2.10 Exercício comentado ...................................................................................................................... 32 2.11 Fixação ........................................................................................................................................... 32 2.12 Pintou no ENEM ............................................................................................................................. 43 2.13 Sessão Leitura ............................................................................................................................... 46 2.14 Referências .................................................................................................................................... 47
Capítulo 3: Função do 1º Grau ou Função Afim
3.1 Estudando função afim ..................................................................................................................... 48 3.2 Função polinomial de 1º grau ........................................................................................................... 48 3.3 Função constante ............................................................................................................................. 49 3.4 Raiz da função ................................................................................................................................. 49 3.5 Estudo da variação do sinal de y = ax + b ....................................................................................... 50 3.6 Inequações do 1º grau ..................................................................................................................... 51 3.7 Exercício comentado ........................................................................................................................ 53 3.8 Fixação ............................................................................................................................................. 54 3.9 Pintou no Enem ................................................................................................................................ 62 3.10 Sessão leitura ................................................................................................................................. 64 3.11 Referências .................................................................................................................................... 67
Capítulo 4: Função do 2º Grau 4.1 Estudando a função quadrática........................................................................................................ 68 4.2 Definição ........................................................................................................................................... 68 4.3 Gráfico da função ............................................................................................................................. 69 4.4 Raiz da função ................................................................................................................................. 69 4.5 Vértice da função ............................................................................................................................. 70 4.6 Sinal da função ................................................................................................................................. 71 4.7 Método para construção da parábola .............................................................................................. 71 4.8 Inequação do 2º grau ....................................................................................................................... 71 4.9 Exercício comentado ........................................................................................................................ 72 4.10 Fixação ........................................................................................................................................... 72 4.11 Pintou no ENEM ............................................................................................................................. 80 4.12 Sessão leitura ................................................................................................................................. 81 4.13 Referências .................................................................................................................................... 83
Capítulo 5: Função Exponencial 5.1 Estudando Função Exponencial....................................................................................................... 84 5.2 Potências e suas propriedades ........................................................................................................ 84 5.3 Equações exponenciais ................................................................................................................... 85 5.4 Função exponencial ......................................................................................................................... 85 5.5 Gráfico da função exponencial ......................................................................................................... 86 5.6 Principais propriedades da função exponencial............................................................................... 86 5.7 O número e (número de Euler) ........................................................................................................ 87 5.8 Exercício comentado ........................................................................................................................ 87 5.9 Fixação ............................................................................................................................................. 88 5.10 Pintou no ENEM ............................................................................................................................. 93 5.11 Sessão Leitura ............................................................................................................................... 94 5.12 Referências .................................................................................................................................... 95
Capítulo 6: Função Logarítmica 6.1 Estudando Logaritmo ....................................................................................................................... 96 6.2 Definição de Logaritmos ................................................................................................................... 96 6.3 Propriedades .................................................................................................................................... 96 6.4 Logaritmo decimal ............................................................................................................................ 98 6.5 Função logarítmica ........................................................................................................................... 98 6.6 Gráfico de uma função logarítmica .................................................................................................. 98 6.7 Exercício comentado ........................................................................................................................ 99 6.8 Fixação ........................................................................................................................................... 100 6.9 Pintou no ENEM ............................................................................................................................. 105 6.10 Sessão Leitura ............................................................................................................................. 106 6.11 Referências .................................................................................................................................. 107
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1) CONJUNTOS
1.1) Estudando os Conjuntos Ao obter coleções de elementos classificados a partir de certa característica, estamos formando conjuntos. Os animais vertebrados, por exemplo, podem ser divididos em cinco classes: peixes, répteis, anfíbios, mamíferos e aves. Cada uma dessas classes de animais forma um conjunto. Na matemática, a ideia de conjunto é fundamental e está presente em diversos outros conceitos. Admitiremos que um conjunto seja uma coleção de objetos chamados elementos e que cada elemento é um dos componentes do conjunto. Geralmente, para dar nome aos conjuntos, usaremos uma letra maiúscula do nosso alfabeto, e os elementos por letras minúsculas. Para representação de um conjunto, utilizaremos uma das três formas seguintes: - Listagem dos elementos: Nesta representação, todos os elementos do conjunto são apresentados numa lista, envolvidos por um par de chaves e separados por ponto e vírgula ou por vírgula. Ex: Conjunto dos algarismos pares. A={0; 2; 4; 6; 8} - Propriedade dos elementos: Quando, pela quantidade, não for conveniente escrever todos os elementos que formam o conjunto, o descreveremos por uma propriedade possuída por todos os seus elementos. Ex: A={ x I x é um algarismo par menor que 9 } Lê-se: O conjunto A é formado pelos elementos x, tal que x é um algarismo par menor que 9. - Diagrama de Euler – Venn: Representamos o conjunto por um recinto plano limitado por uma curva fechada. Ex:
1.2) Relação de Pertinência A relação de pertinência indica se um determinado elemento pertence ou não a um determinado conjunto. Simbologia: Considerando A={0; 2; 4; 6; 8} , Assim:
SIMBOLOGIA TRADUÇÃO
2A O elemento 2 pertence ao conjunto A.
3A O elemento 3 não pertence ao conjunto A.
Quando fazemos uso da relação de pertinência, estamos, necessariamente, relacionando um elemento a um conjunto, nesta ordem.
“elemento” “conjunto”
Ou
“elemento” “conjunto”
Observação: Um elemento pertence a um conjunto se ele é “visível” ou listado no conjunto. 1.3) Relação de Inclusão A relação de inclusão indica se um determinado conjunto está contido ou não em um outro conjunto.
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Se todos os elementos de um conjunto pertencem a outro, então o primeiro conjunto está contido no segundo. Basta um único elemento do primeiro conjunto não pertencer ao segundo para que o primeiro conjunto não esteja contido no segundo. Simbologia:
SIMBOLOGIA TRADUÇÃO
AB O conjunto A está contido no conjunto B.
DE O conjunto D não está contido no conjunto E.
B A O conjunto B contém o conjunto A.
E D O conjunto E não contém o conjunto D.
Quando fazemos uso da relação de inclusão estamos, necessariamente, relacionando um conjunto a outro conjunto.
“ conjunto” “ conjunto”
“ conjunto” “ conjunto”
“ conjunto” “ conjunto”
“ conjunto” “ conjunto”
Se um conjunto A está contido no conjunto B, dizemos que A é um subconjunto de B. 1.4) Conjunto Vazio O Conjunto vazio é o conjunto que não possui elementos. Para representarmos o conjunto vazio
usaremos os símbolos: { } ou .
Atenção: Quando os símbolos { } ou , aparecerem listados ou visíveis, dentro de um conjunto,
o conjunto vazio deverá ser tratado como elemento desse conjunto especificado.
Ex. : Seja o conjunto A={ ; 1; 2; 3}, é correto afirmar para o conjunto A listado, que A , pois
é um elemento do conjunto A.
Também sempre será verdade que:
i) A para qualquer que seja o conjunto A.
ii) AA para qualquer que seja o conjunto A. 1.5) Conjunto Unitário É o conjunto que possui apenas um elemento. 1.6) Conjunto das Partes O Conjunto das partes de um conjunto A, denotado por P(A), é o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto A. Assim o conjunto das partes é o conjunto dos subconjuntos. Atenção: Lembre-se que dentre os subconjuntos de um dado conjunto, estão o conjunto vazio e o próprio conjunto. Ex.: Seja X = {a, e, i} , encontre P( A ). 1.7) Numero de elementos do conjunto das partes Para indicarmos o número de elementos de um conjunto A, usaremos a notação n(A). E o número de elementos do conjunto das partes será indicado por n[P(A)]. Daí :
)(2)]([ AnAPn
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Assim, um conjunto com 4 elementos, terá 42 elementos o seu conjunto das partes, ou seja, o
conjunto A terá no total 16 subconjuntos. 1.8) Igualdade de Conjuntos Dois ou mais conjuntos são iguais quando apresentam os mesmos elementos, em qualquer ordem, sendo que elementos iguais, num mesmo conjunto, serão considerados uma única vez. Daí, podemos afirmar que é verdadeira a igualdade dada por: A= { a; b; c} = { c; b; a} = { a; a; a; b; b; b; c; c}
Simbolicamente a igualdade entre conjuntos fica definida como: ABeBABA
1.9) Operações com conjuntos a) União de Conjuntos: A união de dois conjuntos A e B, é o conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou B. Indicaremos a união pelo símbolo . Matematicamente:
}|{ BxouaxxBA
No diagrama abaixo BA ,é a região hachurada:
b) Interseção de conjuntos: A interseção de dois conjuntos A e B, é o conjunto formado pelos elementos comuns a A e B. Indicaremos a interseção pelo símbolo . Matematicamente:
}|{ BxeaxxBA
Nos diagramas abaixo BA , é região hachurada:
Quando a interseção de dois conjuntos é o conjunto vazio, eles são chamados de conjuntos disjuntos. c) Diferença de conjuntos:
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A diferença entre dois conjuntos A e B, é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Matematicamente:
}|{ BxeaxxBA
Nos diagramas abaixo BA ,é a região hachurada:
d) Diferença Simétrica : A diferença simétrica entre os conjuntos A e B, é o conjunto dos elementos que pertencem a A e não pertencem a B ou, os elementos que pertencem a B e não pertencem a A. Indicaremos a
diferença simétrica entre A e b por: BA . Daí:
)()(}|{ ABBAABxouBAxxBA
No diagrama abaixo BA , é região hachurada:
e) Número de elementos da união de conjuntos: O número de elementos da união de :
- dois conjuntos A e B será: )()()()( BAnBnAnBAn
- três conjuntos A, B e C será:
)()()()()()()()( CBAnCBnCAnBAnCnBnAnCBAn
Dedução:
zyBn
yBAn
yxAn
Seja
)(
)(
)(
pelo diagrama temos q zyxBAn )( , fazendo as substituições de
x, y e z teremos a fórmula, para o número de elementos da união dos dois conjuntos.
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1.10) Conjuntos Numéricos
Os conjuntos numéricos foram surgindo, à medida que foi se tornando necessário apresentar resultados para algumas operações matemáticas. Com a necessidade de contar quantidades, surgiu o conjunto dos números naturais.
a) Conjunto dos números naturais (N): É o conjunto N = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; ...}. Um subconjunto importante de N é o N*: N* = {1; 2; 3; 4; 5; ...} ou N* = N - { 0 }. Em N é sempre possível efetuar a adição e a multiplicação, ou seja, a soma e o produto de dois números naturais resultam sempre em um número natural. Já a divisão ou subtração entre dois números naturais nem sempre é um número natural; a subtração 2 -3, por exemplo, não é possível em N. Daí a necessidade de ampliar o conjunto N introduzindo os números negativos. “Deus criou os números naturais. O resto é obra dos homens.” Leopold Kronecker b) Conjunto dos números inteiros (Z): Ou conjunto dos números relativos, é o conjunto Z = { ...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...} , Podemos destacar os seguintes subconjuntos de Z:
- N, pois NZ. - Z* = Z – { 0 } ou Z* = { ...; -3; -2; -1; 1; 2; 3; ...}
Geometricamente temos:
Observe que há uma simetria em relação ao zero. O oposto ou simétrico de 3 é –3, oposto ou simétrico de –3 é o 3, valendo 3 + ( - 3) = -3 + 3 = 0. Quando os números têm o mesmo sinal basta conservá-lo e adicionar os números; quando os sinais são contrários subtraímos o menor do maior, e o sinal que prevalece é o deste último. É bom lembrar também que o sinal mais (+) antes de um parêntese não vai alterar o sinal do número que está entre parênteses, ocorrendo o oposto quando o sinal antes do parêntese for o de (–). Se não houver nenhum sinal antes do parêntese estará implícito que o sinal será o de mais (+). Para as operações de multiplicação e divisão que virão logo a seguir vale a seguinte regra: “Números de mesmo sinal dão sempre resultado positivo, enquanto que os de sinais contrários conduzem sempre à resultados negativos”. No conjunto Z, sempre é possível efetuar a adição, a multiplicação e a subtração, ou seja, a soma, o produto e a diferença de dois números inteiros resultam sempre um número inteiro. E todas as propriedades das operações em N continuam válidas em Z. Já da divisão de dois números inteiros nem sempre resulta um número inteiro: (-8) : (+2) = -4 é possível em Z.
(-7) : (+2) = ? não é possível em Z.
Daí a necessidade de ampliar o conjunto Z.
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c) Conjuntos dos números racionais(Q): Ao acrescentarmos as frações não aparentes positivas e negativas ao conjunto Z, obtemos o conjunto dos números racionais Q. Assim, por exemplo, são números racionais:
,...2,3
5,1,
4
3,
2
1,0,
4
1,
2
1,1,
2
3,2
Observe que todo número racional pode ser escrito na forma b
a, com aZ, bZ*. Assim,
escreveremos:
Q =
*, ZbeZacomb
a
Perceba que a restrição *Zb , nos obriga a termos 0b , pois b
a, a divisão de a por b, só tem
significado com 0b . A designação racional, surgiu porque b
a pode ser vista como uma razão
entre os inteiro a e b. A letra Q, que representa o conjunto dos números racionais, é a primeira letra da palavra quociente. Os números racionais podem ser encontrados de três maneiras:
- Número inteiro: Se b = 1, temos Zaa
b
a
1, o que implica que Z é subconjunto de Q. Assim:
QZN
- Número decimal exato: Dado um número racional b
a, a representação decimal desse número é
obtida dividindo-se a por b. Se esse resultado possui uma quantidade finita de casas decimais após a vírgula, este resultado é um número decimal exato. Exemplos:
247,01000
247;8,0
5
4;625,0
8
5;25,0
4
1
- Número decimal periódico ou dízima periódica: É o resultado da divisão b
a, que possui uma
quantidade infinita e periódica de casas decimais após a vírgula. Este resultado é chamado de
dízima periódica, e a fração b
a que gera a dízima, é a fração geratriz. Exemplos: 8
51,2...515151,233
83;781,0...1787878,0
990
177;6,0...666,0
3
2
No conjunto Q, as quatro operações fundamentais são possíveis e valem todas as
propriedades que valem para os inteiros. Certamente devemos nos lembrar de que a divisão por zero é impossível!
Geometricamente temos:
9
Entre dois números inteiros nem sempre existe outro número inteiro. Entre dois racionais sempre
existe outro racional. Por exemplo, entre os racionais 5,02
1 e 75,0
4
3 podemos encontrar
infinitos racionais; entre eles 625,08
5 . Mas isso não significa que os racionais preenchem
toda a reta. Os números racionais são insuficientes para medir todos os segmentos de reta. Por exemplo a medida da hipotenusa, de um triângulo retângulo, de catetos medindo uma unidade, é um número não racional. Embora as quatro operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão por um número diferente de zero) sejam sempre definidas em Q, uma
equação como 22 x não pode ser resolvida em Q, pois não existe racional b
a tal que
2
2
b
a. Surge então a necessidade de outro tipo de número, o número não racional ou
irracional.
d) Conjunto dos números irracionais(I): São os números que não podem ser escrito na forma fracionária, com numerador inteiro e denominador inteiro ( diferente de zero). São as decimais infinitas e não periódicas. Exemplos:
...4142135,12 ; ...7320508,13 ; ...1415926535,3
Representação de alguns irracionais na reta:
e) Conjunto dos números reais(R): Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais obtemos o conjunto dos números reais R. Simbolicamente:
irracionaléxouracionaléxxQRxouQxQRQR |//
Os números racionais não eram suficientes para esgotar os pontos da reta. Por exemplo, os
pontos da reta correspondente aos números 3 , 2 , , , e não eram preenchidos com os
números racionais. Agora, os números reais esgotam todos os pontos da reta, ou seja, a cada
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ponto da reta corresponde um único número real e, reciprocamente, a cada número real corresponde um único ponto da reta. Por isso dizemos que existe uma correspondência biunívoca entre os números reais e os pontos da reta. Temos assim a reta real, que é construída desta forma: numa reta, escolhemos uma origem (e associamos a ela o zero), um sentido de percurso e uma unidade de escala. O diagrama a seguir relaciona os conjuntos numéricos vistos até aqui:
RQZN
RRQ /
RRQQ /
RQQ /
QRRQ /
Assim com os números reais toda equação do tipo ax 2com Na , pode ser resolvida e todos
os segmentos de reta podem ser medidos. Existem outros números além dos reais, a raiz de índice par e radicando negativo é impossível em R, pois, por exemplo, não existe número real que, elevado ao quadrado, dê um
número negativo. Assim, 4 não é um número real; é um número complexo ou imaginário.
Podemos usar as seguintes notações para alguns subconjuntos de R:
R real positivo ou nulo
*
R real positivo
R real negativo ou nulo
*
R real negativo
O mesmo pode ser feito com Z e Q. e) Relação de ordem em R: Sejam dois números reais quaisquer a e b,entre a e b poderá ocorrer uma, e somente uma, das relações: a = b ou a > b ou a < b. A desigualdade representada por a < b significa que o número real a é menor que o número real b.Geometricamente se a < b, então a está situado à esquerda de b na reta real.
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A desigualdade representada por a > b significa que o número real a é maior que o número real b. Geometricamente , se a > b, então a está situado à direita de b na reta real.
Também usaremos a notação:
ba baouba (a é menor que b ou a é igual a b)
ba baouba (a é maior que b ou a é igual a b)
cba
cb
bacbeba
Será muito útil percebermos que se tivermos xR, e escrevermos:
x > 0 x é positivo
x < 0 x é negativo
0x x é não positivo
0x x é não negativo
Algumas propriedades importantes das desigualdades: As simbologias <, >, chamaremos de sentido da desigualdade.Vejamos algumas propriedades muito úteis: 1ª)Podemos adicionar membro a membro, desigualdades de mesmo sentido: -2<x<3 e 1<y<5 -2+1 < x+y < 3+5
2ª) Podemos somar ou subtrair um número real a ambos os membros de uma desigualdade sem alterá-la ou transpor um termo de um membro para o outro, trocando o sinal deste termo. x+7 < 9 x > 9-7 x > 2 que é o mesmo que fazer x+7 < 9 x +7-7 > 9-7 x > 2
3ª) Podemos multiplicar ou dividir ambos os membros de uma desigualdade por um real diferente de zero, mas com o seguinte cuidado: -Se o número for positivo, conservamos o sinal da desigualdade; -Se o número for negativo invertemos o sinal da desigualdade. Observe: -3 < 2 multiplicando por 5 toda a desigualdade -15 < 10. Mas se multiplicarmos por -5, 15 > -10. 1.11) Intervalos Reais
Certos subconjuntos de R, determinados por desigualdades, tem grande importância na Matemática; são os intervalos reais.
Representação na reta real
Sentença matemática
Notações simbólicas
Intervalo aberto:
{xR | a < x < b}
]a,b[
(a,b)
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Intervalo fechado:
{xR | bxa }
[a,b]
[a,b]
Intervalo semi-aberto à direita:
{xR | bxa }
[a,b[
[a,b)
Intervalo semi-aberto à esquerda:
{xR | bxa }
]a,b]
(a,b]
Intervalos “infinitos”:
Representação na reta real
Sentença matemática
Notações simbólicas
{xR | ax }
]a, [
( a, )
{xR | ax }
[a, [
[a, )
{xR | ax }
] ,a[
( ,a)
{xR | ax }
] ,a]
( ,a]
Considera-se como intervalo ] , [ = R.
Observações:
1) A “bolinha fechada” ( ) indica que o extremo do intervalo pertence a ele. A “bolinha aberta” ( ) indica que o extremo do intervalo não pertence a ele. 2) e , simbolizam apenas a ausência de extremidades pela esquerda ou pela direita no
intervalo, sendo sempre abertos. Portanto e não são números reais!
3)Como definimos, intervalos são subconjuntos dos números reais. Assim os seguintes exemplos não são intervalos:
S={xZ | -5< x < 2}; L= {xN | x >3 }; T = {xZ | 13 x }
a) Operações com intervalos Estudamos em tópicos anteriores que algumas operações podem ser realizadas com conjuntos. Como os intervalos reais são subconjuntos de R, também podemos realizar operações com intervalos. Exemplo:
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Dados os conjuntos A = { x R | 23 x } e B = { x R | 80 x }, para efetuar as
operações representamos cada conjunto em retas reais paralelas. Vamos exemplificar as operações de união e interseção, mas as operações de diferença (A – B ou B – A) e de complementar também podem ser efetuadas desta maneira.
BA
BA
1.12) Exercício comentado 1) (Unifap) O dono de um canil vacinou todos os seus cães, sendo que 80% contra parvovirose e 60% contra cinomose. Determine o porcentual de animais que foram vacinados contra as duas doenças. Solução: Sabemos que o total de cães é 100%. Com o auxílio do Diagrama de Venn obtemos: (80% – x) + (x) + (60% – x)= 100% 140% - 2x + x = 100% 40% = x Resposta: 40% dos animais foram vacinados contra as duas doenças.
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2) Sabe-se que numa escola de esportes 47 alunos fazem futebol, 23 fazem natação e 36 fazem atletismo. Ainda sabe-se que 10 alunos estão matriculados nas 3 modalidades, 12 fazem natação e futebol, 10 fazem natação e atletismo, e 15 fazem futebol e atletismo. a) Qual o total de alunos matriculados nesta escola de esportes? b) Quantos alunos fazem futebol e atletismo? c) Quantos alunos fazem somente futebol e atletismo? Solução: Primeiramente vamos preencher o Diagrama de Venn partindo da interseção mais restrita até a menos restrita. Ou seja, vamos preencher o campo de interseção das 3 modalidades, depois de duas modalidades (par a par) e depois preencher o campo dos alunos que só fazem 1 modalidade.
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Observando a evolução no preenchimento do diagrama ( de 1 até 4) devemos ressaltar que, por exemplo, das 37 pessoas que faziam futebol: 20 não faziam outros esportes, 10 faziam os 3 esportes, 12 faziam natação também, 15 faziam atletismo também, 2 faziam somente futebol e natação e 5 faziam somente futebol e atletismo. Com o Diagrama explicitado podemos responder às perguntas iniciais. a) Basta somar todos os campos do diagrama. O diagrama montado nos permite somar as partes
sem somar duas ou três vezes as mesmas pessoas. Total= 69
b) Observando o diagrama 4 percebemos que a quantidade de alunos que fazem futebol e atletismo é: 15
c) A quantidade de alunos que fazem futebol e atletismo, somente, é: 5 1.13) Fixação
1) (CESGRANRIO) Ordenando os números racionais 24
13p ,
3
2q e
6
5r , obtemos:
A) p < r < q B) p < q < r C) r < p < q D) q < r < p E) r < q < p
2) (Unirio) Um engenheiro, ao fazer o levantamento do quadro de pessoal de uma fábrica, obteve os seguintes dados: - 28% dos funcionários são mulheres; - 1/6 dos homens são menores de idade; - 85% dos funcionários são maiores de idade. Qual é a porcentagem dos menores de idade que são mulheres? A) 30% B) 28% C) 25% D) 23% E) 20%
3) (UFJF) Na figura abaixo estão representados geometricamente os números reais 0, x, y e 1. Aposição do número real x.y é:
A) à esquerda do zero B) entre zero e x C) entre x e y D) entre y e 1 E) à direita de 1
4) (UFG) A afirmação "Todo jovem que gosta de matemática adora esportes e festas" pode ser representada segundo o diagrama: M = { jovens que gostam de matemática }; E = { jovens que adoram esportes }; F = { jovens que adoram festas }
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5) (CESESP) Numa universidade são lidos apenas dois jornais X e Y, 80% dos alunos lêem o jornal X e 60 % lêem o jornal Y. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos dois jornais, assinale a alternativa que corresponde ao percentual de alunos que leem ambos. A) 80% B) 14% C) 40% D) 60% E) 48%
6)Sejam A e B subconjuntos de um conjunto X, tais que AX ={0, 1, 5, 6} e BX ={0,4,6}. Se
BA ={2, 3}, o conjunto BA é igual a:
A) {1, 4, 5} B){0, 2, 3, 5} C){1, 2, 3, 4} D){1, 2, 3, 4, 5} E){0, 2, 4, 5, 6} 7) (PUC-SP) Dentre os inscritos em um concurso público, 60% são homens e 40% são mulheres. Já têm emprego 80% dos homens e 30 % das mulheres. Qual a porcentagem dos candidatos que já tem emprego? A) 60% B) 40% C) 30% D) 24% E) 12% 8) (PUCMG) Em uma empresa, 60% dos funcionários lêem a revista A, 80% lêem a revista B, e todo funcionário é leitor de pelo menos uma dessas revistas. O percentual de funcionários que lêem as duas revistas é: A) 20 % B) 40 % C) 60 % D) 75 % E) 140 %
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9) (UFRN) Uma pesquisa de opinião, realizada num bairro de Natal, apresentou o resultado seguinte: 65% dos entrevistados frequentavam a praia de Ponta Negra, 55% frequentavam a praia do Meio e 15% não iam à praia.De acordo com essa pesquisa, o percentual dos entrevistados que freqüentavam ambas as praias era de: A) 20% B) 35% C) 40% D) 25% 10) (USP) Depois de n dias de férias, um estudante observa que: A – Choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde; B – Quando chove de manhã não chove à tarde; C – Houve 5 tardes sem chuva; D - Houve 6 manhãs sem chuva. Então n é igual a: A) 7 B) 9 C) 10 D) 11 E)12 11) Suponha que numa equipe de 10 estudantes, 6 usam óculos e 8 usam relógio. O número de estudantes que usam, ao mesmo tempo, óculos e relógio é? A) exatamente 6. B) exatamente 2. C) no mínimo 6. D) no máximo 5. E) no mínimo 4. 12) (PUC) A região assinalada no diagrama representa:
A) CBA )(
B) )()( CBBA
C) )()( CBCA
D) )()( BCBA
E) )()( CBCA
13) (PUCCAMP) Numa escola de música, 65% das pessoas matriculadas estudam teclado e as restantes estudam violão. Sabe-se que 60% das pessoas matriculadas são do sexo masculino e que as do sexo feminino que estudam violão são apenas 5% do total. Nessas condições,
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escolhendo-se uma matrícula ao acaso qual é a probabilidade de ser a de uma pessoa do sexo masculino e estudante de teclado? A) 2/5 B) 3/10 C) ¼ D) 1/5 E) 1/10
14) (UFRN) Se A, B e C são conjuntos tais que )( BAC ={6, 7} e )( BAC ={4, 5}, então,
C é igual a: A) {4,5} B) {6, 7} C) {4, 5, 6} D) {5, 6, 7} E) {4, 5, 6, 7} 15) (U.Uberaba) No diagrama, a parte hachurada representa:
A) GFE )(
B) )( GE
C) )( FEG
D) )()( GFFE
E) GFE )(
16) (UFSM) Numa prova de vestibular, ao qual concorreram 20000 candidatos, uma questão apresentava as afirmativas A, B e C, e cada candidato devia classificá-las em verdadeira (V) ou falsa (F). Ao analisar os resultados da prova, observou-se que 10200 candidatos assinalaram V na afirmativa A; 6100, na afirmativa B; 7720, na afirmativa C. Observou-se ainda que 3600 candidatos assinalaram V nas afirmativas A e B; 1200, nas afirmativas B e C; 500, nas afirmativas A e C; 200, nas afirmativas A, B e C. Quantos candidatos consideraram falsas as três afirmativas? A) 360 B) 490 C) 720 D) 810 E) 1080 17) (Unirio) Tendo sido feito o levantamento estatístico dos resultados do CENSO POPULACIONAL em uma cidade, descobriu-se, sobre a população, que: I - 44% têm idade superior a 30 anos; II - 68% são homens; III - 37% são homens com mais de 30 anos; IV - 25% são homens solteiros; V - 4% são homens solteiros com mais de 30 anos; VI - 45% são indivíduos solteiros;
19
VII - 6% são indivíduos solteiros com mais de 30 anos. Com base nos dados anteriores, pode-se afirmar que a porcentagem da população desta cidade que representa as mulheres casadas com idade igual ou inferior a 30 anos é de: A) 6% B) 7% C) 8% D) 9% E) 10% 18) (UERJ) Três candidatos, A, B e C, concorrem a um mesmo cargo público de uma determinada comunidade. A tabela a seguir resume o resultado de um levantamento sobre a intenção de voto dos eleitores dessa
comunidade. Pode-se concluir, pelos dados da tabela, que a percentagem de eleitores consultados que não votariam no candidato B é: A) 66,0% B) 70,0% C) 94,5% D) 97,2% 19) (UERJ) Em um posto de saúde foram atendidas, em determinado dia, 160 pessoas com a mesma doença, apresentando, pelo menos, os sintomas diarréia, febre ou dor no corpo, isoladamente ou não. A partir dos dados registrados nas fichas de atendimento dessas pessoas, foi elaborada a tabela abaixo:
Na tabela, X corresponde ao número de pessoas que apresentaram, ao mesmo tempo, os três sintomas. Pode-se concluir que X é igual a: A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 20) Uma indústria lançou um novo modelo de carro que não teve a repercussão esperada. Os técnicos identificaram 3 possíveis problemas: design pouco inovador (D), acabamento pouco luxuoso (A) e o preço mais elevado em relação aos modelos similares do mercado (P). Feita a pesquisa, obtiveram o resultado:
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Problemas Número de votos
D 34
A 66
P 63
D e A 17
D e P 22
A e P 50
D,A e P 10
Sem problemas 16
Qual conclusão é verdadeira: A) Como a quantidade de pessoas que não encontraram problemas é maior do que a daquelas que encontraram os
3 problemas, a maioria dos entrevistados gostou do modelo. B) Mais da metade dos pesquisados achou o preço elevado. C) Foram entrevistadas mais de 250 pessoas. D) Necessariamente, quem encontrou problema em A também encontrou problema em D.
GABARITO
1. B 2.E 3. B 4.C 5.C 6.D 7.A
8.B 9.B 10.D 11.B 12.C 13.D 14.C
15.E 16.E 17.B 18.B 19.A 20.B
1.14) Pintou no ENEM 1) (Enem/2003) Os acidentes de trânsito, no Brasil, em sua maior parte são causados por erro do motorista. Em boa parte deles, o motivo é o fato de dirigir após o consumo de bebida alcoólica. A ingestão de uma lata de cerveja provoca uma concentração de aproximadamente 0,3 g/L de álcool no sangue. A tabela abaixo mostra os efeitos sobre o corpo humano provocado por bebidas alcoólicas em função de níveis de concentração de álcool no sangue:
(Revista Pesquisa FAPESP n o 57, setembro 2000) Uma pessoa que tenha tomado três latas de cerveja provavelmente apresenta A) queda de atenção, de sensibilidade e das reações motoras.
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B) aparente normalidade, mas com alterações clínicas. C) confusão mental e falta de coordenação motora. D) disfunção digestiva e desequilíbrio ao andar. E) estupor e risco de parada respiratória. Solução: A ingestão de 1 lata de cerveja provoca uma concentração de álcool de 0,3 g/L. Logo, a ingestão de 3 latinhas de cerveja provocarão uma concentração de álcool de 0,9 g/L de sangue. Analisando a tabela, conclui-se que a pessoa terá perda da sensibilidade, das reações motoras, queda de atenção, dentre outros sintomas. Sendo assim, a resposta é a alternativa A. 2)(Enem) Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes catálogos de seus produtos, visando a públicos distintos. Como alguns produtos estarão presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com originais de impressão. Os catálogos C1�, C2‚ e C3 terão, respectivamente, 50, 45 e 40 páginas.Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica que C1�e C2‚ terão 10 páginas em comum; C1 e C3 terão 6 páginas em comum; C2 e C3 terão 5 páginas em comum, das quais 4 também estarão em C1. Efetuando os cálculos correspondentes, o fabricante concluiu que, para a montagem dos três catálogos, necessitará de um total de originais de impressão igual a:
A) 135. B) 126. C) 118. D) 114. E) 110. Resposta: C
1.15) Sessão Leitura
O homem que colocou o infinito no bolso O alemão Georg Cantor, no início do século, desafiou o senso comum ao descobrir números que a imaginação matemática ainda não alcançava.
Desde que o homem aprendeu a pensar, poucos conceitos perturbaram tanto o seu espírito quanto o infinito. Um exemplo simples são os números inteiros: 1, 2, 3, 4, 5... e assim por diante. A sequencia nunca termina e não se pode imaginar um número que seja maior que todos os outros — era o que se pensava até o final do século XIX. O fato, porém, é que há números ainda maiores, como se além de um infinito houvesse outros. Esse paradoxo abalou o pensamento matemático e surpreendeu seu próprio autor, o matemático Georg Cantor (1845-1918). Filho de dinamarqueses, nascido na Rússia e radicado na Alemanha, sua pátria por adoção, Cantor era bastante conservador, dizem os historiadores. [...] quando foi atacado por sua descoberta, defendeu-se dizendo sinceramente que fizera tudo para evitá-lo. “Apenas, não vejo como fugir dela”, acrescentou. E estava certo. Seu método, claro como água, consistiu em comparar a lista dos números inteiros com as de outros números. Por exemplo, como os existentes entre 0 e 1, tais como 0,014828910... ou........... 0,999999273... E a comparação era feita como quem vistoria uma sala de cinema: se não há cadeiras vazias e ninguém está de pé, é certo que o número de cadeiras é igual ao de pessoas. Caso contrário, será maior o número do que sobrar, cadeiras ou pessoas. Com essa ideia em mente, Cantor emparelhou os números inteiros com os números menores que 1 e constatou: depois de esgotar a lista dos inteiros, ainda havia menores que 1 a emparelhar. Concluiu que o número desses
22
últimos — apenas entre 0 e 1 — era maior que o infinito número dos inteiros. Nem havia nome para tal quantidade, e coube a Cantor batizá-la. Chamou de álefe-zero ao conjunto de todos os inteiros — o 20 “menor” dos infinitos. Vinha depois o álefe-zero mais 1, e por aí adiante, numa inimaginável hierarquia de infinitos. O mundo ficou pasmo, mas, como quase sempre acontece, grande parte do problema era simples falta de costume com uma ideia nova.
O notável avanço dos fractais Fonte: Wikipédia
E, depois de assimilados, os métodos cantorianos se mostraram perfeitamente práticos e muito úteis. Apenas a título de ilustração, eles serviram de base à recente teoria dos fractais, que representa um notável avanço no conceito de dimensão. Uma casa tem dimensão 3 porque tem altura, largura e comprimento, e uma folha tem dimensão 2 porque só tem largura e comprimento. Mas há objetos difíceis de classificar — como os alvéolos pulmonares. Por serem ramificados como uma árvore, se diz que sua dimensão é fracionária — alguma coisa entre uma área e um volume — e é denotada por algum número entre 2 e 3. Isso, por si só, mostra que Cantor ajudou a ampliar os cálculos que a Matemática é capaz de fazer. Ainda mais importante que esse lado prático, porém, foi uma mudança de fundo na maneira de ver os números. Curiosamente, o melhor caminho para entender a visão moderna é relembrar como os números eram usados na Pré-história — e ainda hoje são usados por pastores nômades que aprenderam a contar com seus ancestrais. Como não sabem dizer quantos animais têm, os pastores colocam pedrinhas numa sacola, uma para cada vaca que sai do curral. Assim, sabem que têm tantos animais quantas pedras há na sacola. Ou seja, quase se pode dizer que a sacola de pedras é o número — e que esses povos carregam seus números no bolso, em lugar de decorá-los.
Colocar pedras abstratas numa sacola infinita
Esse tosco sistema serve apenas para manter o gado sob controle. Mas é mais ou menos isso o que a Matemática moderna entende por número: uma espécie de comparação entre dois conjuntos — o conjunto de pedras e o de vacas, ou de qualquer outra coisa. É fácil perceber que, para contar os infinitos números entre 0 e 1, Cantor repetiu o procedimento daqueles pastores: a diferença básica é que, como pedras, ele usou os números inteiros. Sua sacola era infinita e suas pedras, abstratas, mas seu objetivo, desde o início, era compreender os números comuns. Ou, pelo menos, uma categoria rebelde de números comuns. O exemplo clássico, conhecido desde a Antiguidade, é a raiz de 2. À primeira vista, é um número trivial, para todos os efeitos igual a 1,41. O problema é que 1,41 ao quadrado dá 1,9881 — e não 2, como deveria acontecer se fosse a raiz procurada. A resposta exata, na verdade, nunca poderia ser escrita, e o mesmo vale para a maior parte dos números entre 0 e 1 . Pelo simples motivo de que raiz de 2 tem infinitos algarismos. Existem fórmulas para se calcularem quantos algarismos se queiram. Por exemplo, com dez casas decimais, o número seria 1,4142135623. Mesmo assim, seu quadrado é 1,9999999997. Ainda não alcança o alvo, como se raiz de 2 fosse uma construção eternamente inacabada.
23
Esse fato perturbou profundamente os gregos antigos, que conheciam bem as frações, e muitas delas com infinitos algarismos, como 0,66666666... A diferença é que esse número pode ser abreviado na forma de uma razão: ele vale exatamente 2/3. No entanto, não há razão capaz de simbolizar a raiz de 2 e outros números. Daí porque foram chamados “irracionais”, no século V A.C. (hoje, frações, inteiros e irracionais são todos englobados num só conjunto, o dos números reais). Não por acaso, por volta daquela época, o infinito começou a revelar suas arapucas aos filósofos e matemáticos.
[...] http://super.abril.com.br/cotidiano/georg-cantor-alefe-zero-homem-colocou-infinito-bolso-440970.shtml http://www.thefamouspeople.com/profiles/georg-cantor-519.php Questões:
a) Qual a principal ideia do texto?
b) É possível determinar o menor elemento do conjunto dos números inteiros?
c) De acordo com Cantor, é possível estabelecer um ordenamento entre os infinitos? Justifique.
d) O intervalo [0,1] está contido em qual conjunto numérico: N, Z, Q , I ou R?
e) Cite dois números racionais que, de acordo com o texto, poderiam corresponder à quantidade de dimensões dos alvéolos pulmonares.
Referências:
MELLO,J. L.P. Matemática: Construção e significado. Volume único. 1. Ed. São Paulo: Moderna, 2005. SOUZA, Joamir. Matemática: Novo Olhar. Volume 1. 1 Ed. São Paulo: FTD, 2010 PAIVA, Manoel. Matemática. Volume único. 1 Ed. São Paulo: Moderna, 2005.
24
2) AS FUNÇÕES
2.1) Noção intuitiva
Com frequência em matemática encontramos relações entre duas grandezas variáveis. Observe o exemplo abaixo:
Seja um quadrado cujo lado mede l . Designando por 4P l a medida do perímetro desse quadrado, podemos
estabelecer entre P e l a seguinte relação:
4P l
Notamos então , que a medida P do perímetro depende da medida l do lado do quadrado, o que pode ser
verificado pela seguinte tabela:
Medida do Lado ( l ) Medida do Perímetro ( P )
0,5 2
1 4
1,2 4,8
2 8
3 12
4,5 18
Pela tabela observamos que:
A medida l do lado do quadrado é uma grandeza variável
A medida P do perímetro do quadrado é uma grandeza variável
Todos os valores de l está associado a um valor de P
A cada valor de l está associado um único valor de P
Sendo assim, dizemos então:
A medida P do perímetro do quadrado está dada em função de l
A relação 4P l chama-se lei de associação ou fórmula matemática desta função
Na lei de associação temos que l é a variável independente e P é a variável dependente.
Podemos abordar de outra forma utilizando este outro exemplo: Uma estamparia cobra uma taxa fixa, referente ao trabalho de desenvolvimento da estampa padrão, mais um valor por peça de roupa estampada. Para estampar camisetas de certa encomenda, o orçamento calculado estabelecia uma taxa fixa de R$30,00 mais R$2,50 por camiseta. Observe o quadro:
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Quantidade de camisetas
1 2 10 20 50 ... x
Valor cobrado (R$)
30 + 2,50 32,50
30 + 2.2,50 35
30+10.2,50 55
30+20.2,50 80
30+50.2,50 155
... 30+x.2,50
A relação entre a quantidade de camisetas e o valor cobrado é descrita por uma função, cuja fórmula é dada por: Valor cobrado V=30+2,50x quantidade de camisetas Taxa fixa valor cobrado por camiseta Nesse caso, o valor cobrado está em função da quantidade de camisetas. Assim, dizemos que o “valor cobrado” (v) é a variável dependente e a “quantidade de camisetas” (x), a variável independente da função. 2.2) A Noção de Função através de Conjuntos Vamos agora, estudar função, usando a teoria dos conjuntos, pois as colunas vistas na tabela do item anterior representam conjuntos numéricos. Veja o exemplo:
Dados os conjuntos 0,5,10A e 0,5,10,15,20,25B , seja a relação de A em B expressa pela fórmula
5y x , com ,x A y B .
DEFINIÇÃO: Sendo A e B dois conjuntos não vazios e uma relação f de A em B, essa relação f é uma função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está associado um e somente um elemento y de B. Pode-se escrever:
:f A B (lê-se: f é uma função de A em B).
Observação: Podemos usar a seguinte notação para a lei de associação que define uma função:
5y x ou ( ) 5f x x
A lei da função pode ser indicada de uma forma ou de outra, pois y e ( )f x significam o mesmo na linguagem
matemática.
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EXEMPLO: Observe os diagramas abaixo, que representam relações de A em R, assinale com F aquelas que são funções e com R as que não são funções.
2.3) Domínio, Imagem e Contra – Domínio de uma Função
Sejam os conjuntos 0,1,2A e 0,1,2,3,4,5B ; vamos considerar a função :f A B definida por
1y x ou ( ) 1f x x
Observando o diagrama da função, vamos definir:
O conjunto A é denominado domínio da função, que indicamos por D . No exemplo acima 0,1,2D . O
domínio da função também é chamado campo de definição ou campo de existência da função.
O conjunto 1,2,3 , que é um subconjunto de B, é denominado o conjunto imagem da função e indicamos
por Im 1,2,3
O conjunto B, tal que Im B , é denominado contradomínio da função.
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No exemplo acima: 1 é a imagem de 0 pela função; (0) 1f
2 é a imagem de 1 pela função; (1) 2f
3 é a imagem de 2 pela função; (2) 3f
EXEMPLO
Dados os conjuntos { 2, 1,0,1}A e { 3, 2, 1,0,1,2,3,4}B , determine:
a) o conjunto imagem da função :f A B definida por 2( )f x x
b) o conjunto imagem da função :f A B definida por ( ) 2 2f x x
c) o conjunto imagem da função :f A B definida por 2( ) 1f x x
2.4) Estudo do Domínio de uma Função Quando definimos uma função, o domínio D, que o conjunto de todos os valores possíveis da variável x, pode ser dado explícita ou implicitamente. Assim:
Se é dado apenas ( ) 2 5f x x , sem explicitar o domínio D, está implícito que x pode ser qualquer
número real, ou seja D R .
Se dado ( ) 2 5f x x , com 1 10x , está implícito que o domínio da função dada é
{ ,1 10}D x R x .
Se é dado apenas 2 3
( )2
xf x
x
, sem explicitar o domínio, está implícito que x pode ser qualquer número
real diferente de 2, pois o denominador não pode ser zero, com isso, { , 2}D x R x .
Se é dado apenas ( ) 2f x x , sem explicitar o domínio D, está implícito que 2 0 2x x . Assim
{ ; 2}D x R x
Logo, quando o domínio de uma função não está explícito, devemos considerar para este domínio todos os valores reais em x que tornam possíveis em R as operações indicadas na fórmula matemática que define a função. Veja o Exemplo:
Determinar o domínio da função 1
( ) 42
f x xx
Exemplos:
Determinar o domínio das seguintes funções definidas por:
a) ( )5
xf x
x
b)
2( )
2
xf x
x
c)
2( )
4
xf x
x
d) ( )
2 1
xf x
x
e) 2
1( )
9 20f x
x x
f)
1( )
3
xf x
x x
g)
3
1 2( )
4
x xf x
x x
h) 2
1 1( )
1 9
xf x
x x
i)
2 1( )
xf x
x
j) ( ) 2f x x
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2.5) Função Sobrejetora, Função Injetora, Função Bijetora Vamos considerar os seguintes exemplos:
a) { 2, 1,0,1}A , {0,1,4}B e :f A B definida por 2y x
Função Sobrejetora: Dizemos que uma função é sobrejetora se, e somente se, a imagem for igual ao contradomínio. Em outras palavras, não pode sobrar elementos de B..
f é sobrejetora ( ) ( )Im f fCD
b) { 1,0,1,2}A , {0,1,2,3,4,5}B e :f A B definida por 1y x
Função Injetora: A função é injetora se elementos distintos do domínio tiverem imagens distintas, ou seja, dois elementos não podem ter a mesma imagem. Portanto, não pode ter nenhum elemento do conjunto B que receba duas flechas.
f é injetora 1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x A x x f x f x
c) {0,2,3}, {1,5,7}A B e :f A B definida por 2 1y x
Função Sobrejetora: Você observa que não existe um elemento de B que não seja imagem de um elemento de A (f é sobrejetora); cada elemento de B é imagem de um único elemento de A (f é injetora). Neste caso, quando a função f, é ao mesmo tempo, sobrejetora e injetora, dizemos que f é uma função bijetora.
f é bijetora f é sobrejetora e f é injetora
29
Resumo das funções injetora, sobrejetora e bijetora:
EXEMPLO: Marque V ou F nas sentenças abaixo:
a) A função :f R R definida por 2y x é injetora
b) A função :f R R definida por 1y x é bijetora
c) A função :{0,1,2,3}f R definida por 1y x não é sobrejetora
d) A função :{0,1,2,3}f N definida por 1y x é injetora
e) A função :f R R definida por 2( ) 1f x x é bijetora
f) A função :f N R definida por y x é bijetora.
2.6) Função Par e Função Ímpar
Seja a função :f R R definida por 2( )f x x
Veja que:
( 1) 1 (1); ( 2) 4 (2); ( 2) 2 ( 2)f f f f f f
Qualquer que seja x D ocorre ( ) ( )f x f x ; neste caso, dizemos que a função f é par. Os valores
simétricos devem possuir mesma imagem.
Agora seja a função :f R R definida por ( ) 2f x x
30
Veja que:
1 1(1) 2, ( 1) 2; (2) 4, ( 2) 4; 1, 1
2 2f f f f f f
Para todo x D ocorre ( ) ( )f x f x , neste caso dizemos que f é uma função ímpar. Valores simétricos
possuem imagens simétricas. EXEMPLO: Classifique as funções como pares ou ímpares.
a) ( ) 3f x x b) 2( ) 1f x x c)
3( )f x x
d) 4 1y x e) 47y x f)
1( )f x
x
2.7) Função Crescente e Função Decrescente
Uma função ( )y f x é crescente num conjunto A se, e somente se, para quaisquer 1x e 2x pertencentes ao
conjunto A, com 1 2x x , tivermos 1 2( ) ( )f x f x .
Uma função ( )y f x é decrescente num conjunto A se, e somente se, para quaisquer 1x e 2x pertencentes ao
conjunto A, com 1 2x x , tivermos 1 2( ) ( )f x f x .
2.8) Função Composta
Dados os conjuntos {0,1,2}, {0,1,2,3,4}, {0,1,4,9,16}A B C e as funções : ; ( ) 2f A B f x x e
2: ; ( )f B C f x x
Então:
{(0,0);(1,2);(2,4)}f e {(0,0);(1,1);(2,4);(3,9);(4,16)}g
Observamos que:
31
A cada x A associa-se um único y B tal que 2y x ;
A cada y B associa-se um único z C tal que 2z y ;
A cada x A associa-se um único z C tal que 2 2 2(2 ) 4z y x x .
Então podemos afirmar que vai existir uma função h de A em C definida por 2( ) 4h x x que indicamos por g f
ou ( ( ))g f x (lê-se g composta com f)
Logo: ( ) ( )( ) ( ( )) {(0,0),(1,4),(2,16)}h x g f x g f x ou 2( ) 4h x x
A função ( )h x chama-se composta de g com f.
EXEMPLOS
1) Sendo 2( ) 2f x x e ( ) 3g x x , calcular ( ( ))g f x e ( ( ))f g x
2) Dadas as funções 2( ) 5 6; ( ) 1f x x x g x x , pede-se:
a) Calcular ( ( ))f g x
b) Achar x de modo que ( ( )) 0f g x
3) Dados ( ) 3 1; ( ( )) 6 8f x x f g x x calcular ( )g x .
2.9) Função Inversa
Dados {1,2,3,4}A e {2,4,6,8}B , consideremos as funções:
:f A B definida por 2y x
:g B A definida por 2
xy
Observe que:
A função g pode ser obtida invertendo-se a ordem dos elementos de cada um dos pares ordenados que
pertencem a função f
( ) ( )Imf gD e
( ) ( )Im f gD
As funções f e g são bijetoras.
32
A função g é chamada função inversa da função f
Indica-se função inversa por 1f
Observação importante:
A função ( )y f x define uma correspondência de x para y, isto é, dado o valor de x podemos obter o valor de y
que lhe corresponde através da função f.
A função inversa de f, que é indicada por 1f , define uma correspondência contrária, isto é, de y para x, e
indicamos 1( )x f y
As funções que possuem inversa são chamadas funções inversíveis. Então podemos definir:
Da uma função bijetora :f A B , chama-se função inversa de f a função 1 :f B A tal que
1( , ) ( , )a b f b a f
Processo Algébrico para o cálculo da Função Inversa
a) Achar a expressão que representa a inversa da função 2y x
b) Determinar a função inversa da função 5
( )2 3
xf x
x
, com
3
2x .
2.10) Exercício comentado
As funções f e g associam, a cada número natural, o resto da divisão do número por 3 e por 6, respectivamente. Sendo assim, para todo número natural x, g(f(x)) é igual a:
a) f(x)
b) g(x)
c) 2f(x)
d) 2g(x)
e) f(x) + g(x)
Resolução A função f associa a cada x o resto de sua divisão por 3. Dessa forma, f só assume os valores 0, 1 ou 2. A função g associa a cada x o resto de sua divisão por 6. Assim g(f(x)) é o resto da divisão de 0, 1 ou 2 por 6, logo, os únicos valores possíveis para g(f(x)) são:
f(x) = 0 => g(f(x)) = g(0) = 0
f(x) = 1 => g(f(x)) = g(1) = 1 => g(f(x)) = f(x)
f(2) = 2 => g(f(x)) = g(2) = 2
Resposta: letra A 2.11)Fixação
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1) (ENEM 2014) Para comemorar o aniversário de uma cidade, um artista projetou uma escultura transparente e oca, cujo formato foi inspirado em uma ampulheta. Ela é formada por três partes de mesma altura: duas são troncos de cone iguais e a outra é um cilindro. A figura é a vista frontal dessa escultura.
No topo da escultura foi ligada uma torneira que verte água, para dentro dela, com vazão constante.
O gráfico que expressa a altura (h) da água na escultura em função do tempo (t) decorrido é:
2) (UFCE) O domínio da função é:
a) {x ∈ R / x > 7}
b) {x ∈ R / x ≤ 2}
c) {x ∈ R / 2 ≤ x < 7}
d) {x ∈ R / x ≤ 2 ou x ≥ 7}
e) {x ∈ R / x ≥ 7}
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3) (UFPB) Em uma indústria de autopeças, o custo de produção de peças é de R$ 12,00 fixos mais um custo variável de R$ 0,70 por unidade produzida. Se em um mês foram produzidas x peças, então a lei que representa o custo total dessas x peças é:
a) f(x) = 0,70 – 12x
b) f(x) = 12 – 0,70x
c) f(x) = 12 + 0,70x
d) f(x) = 0,70 + 12x e) f(x) = 12 · 0,70x
4) (FEFISA-SP) O gráfico mostra como o dinheiro gasto (y) por uma empresa de cosméticos na produção de perfume varia com a quantidade de perfume produzida (x).
Assim, podemos afirmar que:
a) quando a empresa não produz não gasta.
b) para produzir três litros de perfume, a empresa gasta R$ 76,00.
c) para produzir dois litros de perfume, a empresa gasta R$ 54,00.
d) se a empresa gastar R$ 170,00, então ela produzirá cinco litros de perfume.
e) para fabricar o terceiro litro de perfume, a empresa gasta menos do que fabricar o quinto litro. 5) Uma fórmula para verificar se uma pessoa do sexo feminino precisa ou não de dieta é m/a2 = I, na qual m é a massa da pessoa, em quilogramas e a é a sua altura, em metros. Se I estiver entre 20 e 50, a pessoa não precisa de dieta. Empregada a fórmula, uma mulher com 51,2 kg obteve I = 20. Qual é a sua altura?
a) 1,60 m d) 1,52 m
b) 1,58 m e) 1,50 m c) 1,55 m
6) (Uel) Um economista, estudando a relação entre o preço da carne bovina (que aumenta na entressafra) e as vendas de carne de frango, encontrou uma função cujo gráfico é esboçado a seguir
De acordo com esse gráfico, é verdade que a) v é diretamente proporcional a p. b) v é inversamente proporcional a p. c) se p cresce, então v também cresce. d) v é sempre maior que p.
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e) o preço da carne de frango é inferior ao da carne bovina.
7) (Ufpe) No gráfico a seguir, temos o nível da água armazenada em uma barragem, ao longo de três anos.
O nível de 40m foi atingido quantas vezes neste período?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
8) (Unesp) O gráfico indica o resultado de uma pesquisa sobre o número de acidentes ocorridos com 42 motoristas de táxi em uma determinada cidade, no período de um ano.
Com base nos dados apresentados no gráfico, e considerando que quaisquer dois motoristas não estão envolvidos num mesmo acidente, pode-se afirmar que: a) cinco motoristas sofreram pelo menos quatro acidentes. b) 30% dos motoristas sofreram exatamente dois acidentes. c) a média de acidentes por motorista foi igual a três. d) o número total de acidentes ocorridos foi igual a 72. e) trinta motoristas sofreram no máximo dois acidentes.
9) (UFMG) Suponha que o número )(xf de funcionários necessários para distribuir, em um dia, contas de luz entre
x por cento de moradores, numa determinada cidade, seja dado pela função x
xxf
150
300)( . Se o número de
funcionários necessários para distribuir, em um dia, as contas de luz foi 75, a porcentagem de moradores que a receberam é: a) 25 b) 30 c) 40 d) 45 e) 50
10) UFTM-MG
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Um termômetro descalibrado indica 10 °C quando a temperatura real é 13 °C. Quando indica 20 °C, a temperatura real é de 21 °C. Porém, mesmo estando descalibrado, a relação entre a temperatura real e a temperatura indicada é linear. Assim sendo, a única temperatura em que a leitura do termômetro descalibrado corresponderá à temperatura real é:
a) 22 °C d) 25 °C b) 23 °C e) 26 °C c) 24 °C
11)(Ibmec-SP)Um dos tanques de uma plataforma petrolífera tem a forma de um cubo de aresta 10 m. Considere que inicialmente o tanque está vazio. Num certo instante, é aberta uma válvula que verte petróleo para o tanque, à taxa de 4 m3 por hora, até este ficar cheio. Qual é a função que fornece a altura (H), em metros, do petróleo no tanque, t horas após a abertura da válvula?
a) H(t) = t/25, 0 ≤ t ≤ 250 b) H(t) = t/50, 0 ≤ t ≤ 1.000 c) H(t) = 25t, 0 ≤ t ≤ 250 d) H(t) = 50t, 0 ≤ t ≤ 1.000 e) H(t) = 4t
3, 0 ≤ t ≤ 10
12) (Unesp)O gráfico, publicado na "Folha de S. Paulo" de 16.08.2001, mostra os gastos (em bilhões de reais) do governo federal com os juros da dívida pública.
Obs.: 2001 - estimativa até dezembro. Pela análise do gráfico, pode-se afirmar que: a) em 1998, o gasto foi de R$ 102,2 bilhões. b) o menor gasto foi em 1996. c) em 1997, houve redução de 20% nos gastos, em relação a 1996. d) a média dos gastos nos anos de 1999 e 2000 foi de R$79,8 bilhões. e)os gastos decresceram de 1997 a 1999. 13) (Puccamp) O gráfico a seguir apresenta os investimentos anuais em transportes, em bilhões de dólares, feitos pelo governo de um certo país, nos anos indicados.
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De acordo com esse gráfico, é verdade que o investimento do governo desse país, em transportes, a) vem crescendo na década de 90. b) diminui, por ano, uma média de 1 bilhão de dólares. c) em 1991 e 1992 totalizou 3,8 bilhões de dólares. d) em 1994 foi o dobro do que foi investido em 1990. e) em 1994 foi menor que a décima parte do que foi investido em 1990 14) (UFRN) O banho de Mafalda. Na hora do banho, Mafalda abriu a torneira da banheira de sua casa e ficou observando o nível da água subir. Deixou-a encher parcialmente para não desperdiçar água. Fechou a torneira, entrou, lavou-se e saiu sem esvaziar a banheira. O gráfico a seguir que mais se aproxima da representação do nível (N) da água na banheira em função do tempo (t) é:
15)(UFMT) O gráfico abaixo apresenta os prejuízos econômicos em consequência de catástrofes naturais, em função da capacidade de reconstrução da economia afetada (representada por um índice).
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(Scientific American Brasil. Edição Especial, n.º 19, p.25.) A partir das informações contidas no gráfico, assinale V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas. ( ) Os prejuízos devidos às catástrofes naturais são diretamente proporcionais à capacidade de reconstrução da economia afetada. ( ) Economias com alta capacidade de reconstrução estão livres dos prejuízos econômicos em consequência de catástrofes naturais. ( ) Economias com capacidade de reconstrução inferior a 2 são mais vulneráveis a prejuízos econômicos causados por catástrofes naturais. Assinale a sequencia correta. A) V, F, F B) V, F, V C) F, V, F D) F, V, V E) F, F, V 16)(UFMG) Observe o gráfico, em que o segmento AB é paralelo ao eixo das abscissas. Esse gráfico representa a relação entre a ingestão de certo composto, em mg/dia, e sua absorção pelo organismo, também em mg/dia.
A única afirmativa FALSA relativa ao gráfico é: a) Para ingestões de até 20 mg/dia, a absorção é proporcional à quantidade ingerida. b) A razão entre a quantidade absorvida e a quantidade ingerida é constante. c) Para ingestões acima de 20 mg/dia, quanto maior a ingestão, menor a porcentagem absorvida do composto ingerido. d) A absorção resultante da ingestão de mais de 20 mg/dia é igual à absorção resultante da ingestão de 20mg/dia. 17)(OBMEC) Uma formiguinha parte do centro de um círculo e percorre uma só vez, com velocidade constante, trajeto ilustrado na figura:
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Qual dos gráficos a seguir representa a distância d da formiguinha ao centro do círculo em função do tempo t ?
18)(UFMS)Para custear seus estudos, um estudante oferece serviços de digitação de textos. O preço a ser pago pela digitação de um texto inclui uma parcela fixa e outra parcela que depende do número de páginas digitadas. Se a parcela fixa for de R$ 4,00 e cada página digitada custar R$ 1,60, então a quantidade de páginas digitadas de um texto, cujo serviço de digitação custou R$ 39,20, será igual a:
a) 29 d) 20
b) 24 e) 22 c) 25
19) (PUCCamp-SP)
Numa certa cidade, as agências de correio cobram R$ 0,30 na postagem de cartas até 20 g, exclusive; R$ 0,50 se o peso variar de 20 g a 50 g e R$ 1,00 se o peso for maior que 50 g. O gráfico da função que ao peso x da carta, em gramas, associa o preço P da postagem, em centavos, da carta é:
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20) Qual das relações de R em R, cujo os gráficos aparecem a seguir, são funções?
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21) (UFRS) O gráfico seguinte representa a evolução do volume de água de um reservatório, durante certo dia.
A vazão de água do reservatório, em litros/hora, nos períodos das 6h às 15h e das 15h às 24h é, nesta ordem, em valor absoluto, aproximadamente: a) 3 e 8 b) 5 e 2 c) 7 e 1 d) 7 e 2 e) 9 e 1 22) (UEL-PR) Uma papelaria faz cópias xerográficas e cobra de acordo com a seguinte tabela de preços:
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Segundo essa tabela, uma pessoa ao fotocopiar, por exemplo, 28 cópias, pagará R$ 0,08 a cópia. Se y for o preço total e x a quantidade de cópias, a função preço pode ser representada pelo gráfico:
23) (UFRN) O triatlo olímpico é uma modalidade de competição que envolve três etapas. Na primeira etapa, os com-petidores enfrentam 1,5 km de natação em mar aberto; na segunda etapa, eles percorrem 40 km de corrida ciclística; e, na terceira etapa, participam de uma meia maratona de 10 km.
O gráfico que melhor representa, aproximadamente, a distância percorrida, em quilômetros, por um atleta que completa a prova durante as duas horas de competição é:
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24) (UERJ) O balanço de cálcio é a diferença entre a quantidade de cálcio ingerida e a quantidade excretada na urina e nas fezes. É usualmente positivo durante o crescimento e a gravidez e negativo na menopausa, quando pode ocorrer a osteoporose, uma doença caracterizada pela diminuição da absorção de cálcio pelo organismo. A baixa concentração de íon cálcio (Ca®®) no sangue estimula as glândulas paratireoides a produzirem hormônio paratireoide (HP). Nesta situação, o hormônio pode promover a remoção de cálcio dos ossos, aumentar sua absorção pelo intestino e reduzir sua excreção pelos rins. (Adaptado de ALBERTS, B. et al., "Urologia “Molecular da Célula(.” Porto Alegre: Artes Médicas, 1997.) Admita que, a partir dos cinquenta anos, a perda da massa óssea ocorra de forma linear conforme mostra o gráfico abaixo.
(Adaptado de "Galileu", janeiro de 1999.) Aos 60 e aos 80 anos, as mulheres têm, respectivamente, 90% e 70% da massa óssea que tinham aos 30 anos. O percentual de massa óssea que as mulheres já perderam aos 76 anos, em relação à massa aos 30 anos, é igual a: a) 14 b) 18 c) 22 d) 26
GABARITO
2.12)Pintou no ENEM
1) (ENEM) O quadro apresenta a produção de algodão de uma cooperativa de agricultores entre 1995 e 1999. O gráfico que melhor representa a área plantada (AP) no período considerado é:
1.D 2.A 3.C 4.C 5.A 6.C 7.B 8.D 9.B
10.D 11.A 12.D 13.E 14.A 15.D 16. B 17.B 18.E
19.A 20.A,D,E 21.E 22.C 23.C 24.D
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Resposta: a 2) (ENEM) A suspeita de que haveria uma relação causal entre tabagismo e câncer de pulmão foi levantada pela primeira vez a partir de observações clínicas. Para testar essa possível associação, foram conduzidos inúmeros estudos epidemiológicos. Dentre esses, houve o estudo do número de casos de câncer em relação ao número de cigarros consumidos por dia, cujos resultados são mostrados no gráfico a seguir.
De acordo com as informações do gráfico, A) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas inversamente proporcionais. B) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que não se relacionam. C) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas diretamente proporcionais. D) uma pessoa não fumante certamente nunca será diagnosticada com câncer de pulmão. E) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que estão relacionadas, mas sem proporcionalidade. Resposta: e 3) (ENEM) Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha. Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de: A) 920kg. B) 800kg.
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C) 720kg. D) 600kg. E) 570kg Resposta: a 4)(ENEM) José Antônio viajarão em seus carros com as respectivas famílias para a cidade de Serra Branca. Com a intenção de seguir viagem juntos, combinam um encontro no marco inicial da rodovia, onde chegarão, de modo independente, ente meio-dia e 1 hora da tarde. Entretanto, como não querem ficar muito tempo esperando um pelo outro, combinam que o primeiro que chegar ao marco inicial esperará pelo outro, no máximo, meio hora; após esse tempo, seguirá viagem sozinho.
Chamando de x o horário de chegada de José e de y o horário de chegada de Antônio, e representando os pares (x; y) em um sistema de eixos cartesianos, a região OPQR a seguir indicada corresponde ao conjunto de todas as possibilidades para o par (x; y): Na região indicada, o conjunto de pontos que representa o evento "José e Antônio chegam ao marco inicial exatamente no mesmo horário" corresponde: a) à diagonal OQ b) à diagonal PR c) ao lado PQ d) ao lado QR e) ao lado OR Resposta: a 5)(ENEM) Para convencer a população local da ineficiência da Companhia Telefônica Vilatel na expansão da oferta de linhas, um político publicou no jornal local o gráfico I, abaixo representado. A Companhia Vilatel respondeu publicando dias depois o gráfico II, onde pretende justificar um grande aumento na oferta de linhas. O fato é que, no período considerado, foram instaladas, efetivamente, 200 novas linhas telefônicas.
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Analisando os gráficos, pode-se concluir que a) o gráfico II representa um crescimento real maior do que o do gráfico I. b) o gráfico I apresenta o crescimento real, sendo o II incorreto. c) o gráfico II apresenta o crescimento real, sendo o I incorreto. d) a aparente diferença de crescimento nos dois gráficos decorre da escolha das diferentes escalas. e) os dois gráficos são incomparáveis, pois usam escalas diferentes. Resposta: d
2.13)Sessão Leitura
Como se descobriu o lugar mais fundo do mar?
Ninguém precisou descer até o fundo da fossa das Marianas, no oceano Pacífico. A profundidade foi descoberta a
partir da superfície da água com um navio inglês de
pesquisa, o HMS Challenger II, em 1951. Comandados pelo
suíço Jacques Piccard, os cientistas da embarcação usaram
um aparelho para emitir um sinal sonoro do casco do barco
até o fundo do oceano. O sinal bateu e voltou na forma de
eco, e os pesquisadores cronometraram quanto tempo durou
essa viagem. Como eles já sabiam a qual velocidade o som
viaja na água, eles usaram uma fórmula simples da física
para calcular a profundidade máxima: 10 900 metros. Em
homenagem ao navio comandado pelo cientista suíço, o
ponto mais baixo foi batizado de Challenger Deep ("o poço
Challenger"). A medida, no entanto, foi alterada na segunda
expedição de Piccard ao local, em 1960. Usando um
47
equipamento mais moderno, o submarino Trieste, Piccard desceu bem perto do fundo da fossa e determinou uma
nova profundidade: 11 034 metros. A tal diferença de 134 metros pode ter ocorrido devido à movimentação das
placas tectônicas: a região das Marianas tem muitos terremotos submarinos, e algum deles pode ter alterado o jeitão
do assoalho oceânico.
Música submarina Sinal sonoro serviu de base para o cálculo dos cientistas
1. Para medir o ponto mais profundo do oceano, os cientistas usaram um aparelho para enviar um sinal sonoro em
direção ao fundo do mar. Na água, o som se propaga a uma velocidade de 1 500 metros por segundo.
2. O sinal sonoro segue até o fundo rochoso e volta. Como o fundo é de pedra, ele devolve um eco bem forte, que
viaja no sentido oposto, rumo à embarcação que está na superfície. Um sensor detecta a chegada do sinal e o
tempo que ele demorou para retornar.
3. Sabendo quanto durou a viagem e a velocidade do som na água, os cientistas aplicaram a fórmula:
distância= velocidade X tempo para determinar a profundidade. Nesse cálculo, eles tomaram o cuidado de dividir
o tempo da viagem por dois, pois queriam saber apenas a distância de ida (metade, portanto) da viagem. http://mundoestranho.abril.com.br/materia/como-se-descobriu-o-lugar-mais-fundo-do-mar Questões: a) Qual a ideia principal do texto? b) Durante quantos anos a medida oficial da maior profundidade marítima foi de 10900m? c) Na primeira medição, em 1951, aproximadamente quantos segundos após a missão o sinal sonoro retornou
à superfície da água? d) Se o mesmo método fosse utilizado em 1960, qual
seria o tempo estimado que o sinal sonoro levaria para chegar até o fundo do mar?
e) Você acredita que a profundidade de 11034m da fossa das Marianas se alterou desde 1960? Justifique
2.14)Referências MELLO,J. L.P. Matemática: Construção e significado. Volume único. 1. Ed. São Paulo: Moderna, 2005. SOUZA, Joamir. Matemática: Novo Olhar. Volume 1. 1 Ed. São Paulo: FTD, 2010. PAIVA,Manoel. Matemática. Volume único. 1 Ed. São Paulo: Moderna, 2005.
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3) Função do 1º Grau ou Função Afim
3.1) Estudando a Função Afim
Um casal resolve utilizar uma viagem ao litoral. Para isso, separa os valores referentes ao combustível e ao pedágio, o que representa R$75,00. A hospedagem, com diária completa (café da manhã, almoço e jantar), sai por R$130,00 o casal. Quanto custará a viagem?
Nessa situação,temos o gasto fixo correspondente ao combustível e ao pedágio, que independente da quantidade de dias que o casal ficará hospedado. E temos um valor variável, correspondente ao número de diárias. Assim,o gasto do casal será composto dessas duas parcelas: Valor gasto = (valor do combustível + valor do pedágio) + valor referente às diárias gasto fixo O valor a ser pago se, por exemplo, o casal se hospedar apenas um final de semana é calculado da seguinte maneira: 75+ 2.130 = 75 + 260 = 335 Portanto, o casal gastará R$335,00 em um final de semana. Percebemos que o valor g(x) gasto na viagem é função da quantidade x de dias hospedados. Assim: g(x) = 75 + 130.x Essa sentença é um exemplo de uma lei de formação de uma função afim.
3.2) Função Polinomial do 1º Grau
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por
uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0. Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente angular e o número b é chamado de coeficiente linear. Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau: f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0
Uma função possui pontos considerados essenciais para a composição correta de seu gráfico, e um desses pontos é dado pelo coeficiente linear da reta representado na função pela letra b, que indica por qual ponto numérico a reta intercepta o eixo das ordenadas (y). Na função a seguir, observe o valor numérico do coeficiente linear e o gráfico representativo da função:
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3.3) Função Constante
É toda função da forma f(x) = ax+b, onde a = 0, então f(x) = b.
Exemplo: f(x) = 2
O gráfico da função f(x) = 2 é uma reta paralela ao eixo x que intercepta o eixo y no ponto (0, 2).
3.4) Raiz da função
As funções do tipo y = ax + b ou f(x) = ax + b, onde a e b assumem valores reais e a ≠ 0 são consideradas funções do 1º grau. Esse modelo de função possui como representação geométrica a figura de uma RETA, sendo a posição dessa reta dependente do valor do coeficiente a.
Calcular o valor da raiz da função é determinar o valor em que a reta cruza o eixo x, para isso consideremos o valor de y = 0, pois no momento em que a reta intersecta o eixo x, y = 0. Observe a representação gráfica a seguir:
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Para encontrar o valor da raiz da função, basta fazer y = 0 e isolando o valor de x (raiz da função). Veja: y = ax + b y = 0 ax + b = 0 ax = – b x = – b/a Portanto, para calcularmos a raiz de uma função do 1º grau, basta utilizar a expressão x = –b/a.
3.5) Estudo da variação do sinal de y = ax + b
Estudar o sinal de uma função y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo. Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz x = - b/a. Há dois casos possíveis:
1º) a > 0 (a função é crescente)
y > 0 ax + b > 0 x > - b/a
y < 0 ax + b < 0 x < - b/a
Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz.
2º) a < 0 (a função é decrescente)
y > 0 ax + b > 0 x < - b/a
y < 0 ax + b < 0 x > - b/a
Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que a raiz.
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3.6) Inequações do 1° Grau
A equação é caracterizada pelo sinal da igualdade (=). A inequação é caracterizada pelos sinais de maior
(>), menor (<), maior ou igual (≥) e menor ou igual (≤).
a) Inequações inteiras do 1° Grau Pode-se resolver qualquer inequação do 1° grau por meio do estudo do sinal de uma função do 1° grau, com o seguinte procedimento:
1. Iguala-se a expressão ax + b a zero; 2. Localiza-se a raiz no eixo x; 3. Estuda-se o sinal conforme o caso.
Exemplo: -2x + 7 > 0 -2x + 7 = 0 x = 7/2
a. Inequações Produto Resolver uma inequação produto consiste em encontrar os valores de x que satisfazem a condição estabelecida pela inequação. Para isso utilizamos o estudo do sinal de uma função. Observe a resolução da seguinte equação produto: (2x + 6)( – 3x + 12) > 0. Vamos estabelecer as seguintes funções: y1 = 2x + 6 e y2 = – 3x + 12. Determinando a raiz da função (y = 0) e a posição da reta (a > 0 crescente e a < 0 decrescente).
Verificando o sinal da inequação produto (2x + 6)(– 3x + 12) > 0. Observe que a inequação produto exige a seguinte condição: os possíveis valores devem ser maiores que zero, isto é, positivo.
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Através do esquema que demonstra os sinais da inequação produto y1 x y2, podemos chegar à seguinte conclusão quanto aos valores de x: x Є R / –3 < x < 4. b) Inequações Quociente Na resolução da inequação quociente utilizamos os mesmos recursos da inequação produto, o que difere é que, ao calcularmos a função do denominador, precisamos adotar valores maiores ou menores que zero e nunca igual a zero. Observe a resolução da seguinte inequação quociente:
Resolver as funções y1 = x + 1 e y2 = 2x – 1, determinando a raiz da função (y = 0) e a posição da reta (a > 0 crescente e a < 0 decrescente).
Com base no jogo de sinal concluímos que x assume os seguintes valores na inequação quociente: x Є R / –1 ≤ x < 1/2.
53
3.7) Exercício comentado (UERJ) Em uma partida, Vasco e Flamengo levaram ao Maracanã 90.000 torcedores. Três portões foram abertos às 12 horas e até as 15 horas entrou um número constante de pessoas por minuto. A partir desse horário, abriram-se mais 3 portões e o fluxo constante de pessoas aumentou. Os pontos que definem o número de pessoas dentro do estádio em função do horário de entrada estão contidos no gráfico abaixo:
Quando o número de torcedores atingiu 45.000, o relógio estava marcando 15 horas e:
(A) 20 min
(B) 30 min
(C) 40 min
(D) 50 min
Solução: Antes das 15 horas temos uma função do primeiro grau que cresce com menor rapidez. A partir das 15 horas o gráfico é uma função do primeiro grau que cresce com maior rapidez.
Para x = 15, y = 30.000. Para x = 17, y = 90.000. Como y = ax + b, temos o sistema:
30000 = 15a + b
90000 = 17a + b
Usando o método da adição, segue:
60.000 = 2a
a = 30.000
Substituindo na primeira:
30.000 = 15(30.000) + b
b = - 420.000
Então a função é y = 30.000x – 420.000.
Quando y = 450.000, temos:
54
45.000 = 30.000x – 420.000
45.000 + 420.000 = 30.000x
x = 465.000 / 30.000 = 15,5 horas = 15 horas + 0,5 horas
x = 15 horas e 30 minutos (alternativa B).
3.8) Fixação
1) (ENEM 2014) O gráfico apresenta as taxas de desemprego durante o ano de 2011 e o primeiro semestre de 2012 na região metropolitana de São Paulo. A taxa de desemprego total é a somas das taxas de desemprego aberto e oculto.
Suponha que a taxa de desemprego oculto do mês de dezembro de 2012 tenha sido a metade da mesma taxa em junho de 2012 e que a taxa de desemprego total em dezembro de 2012 seja igual a essa taxa em dezembro de 2011. Disponível em: www.dieese.org.br. Acesso em: 1 ago. 2012 (fragmento).
Nesse caso, a taxa de desemprego aberto de dezembro de 2012 teria sido, em termos percentuais, de:
A) 1,1
B) 3,5
C) 4,5
D) 6,8
E) 7,9
2)(ENEM 2014) No Brasil há várias operadoras e planos de telefonia celular. Uma pessoa recebeu 5 propostas (A, B, C, D e E) de planos telefônicos. O valor mensal de cada plano está em função do tempo mensal das chamadas, conforme o gráfico.
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Essa pessoa pretende gastar R$ 30,00 por mês com telefone. Dos planos telefônicos apresentados, qual é o mais vantajoso, em tempo de chamada, para o gasto previsto para essa pessoa?
3) (Uel 2006) O gerente de uma agência de turismo promove passeios de bote para descer cachoeiras. Ele percebeu que quando o preço pedido para esse passeio era R$ 25,00, o número médio de passageiros por semana era de 500. Quando o preço era reduzido para R$ 20,00, o número médio de fregueses por semana sofria um acréscimo de 100 passageiros. Considerando que essa demanda seja linear, se o preço for reduzido para R$ 18,00, o número médio de passageiros esperado por semana será: a) 360 b) 540 c) 640 d) 700 e) 1360
4) (Faap 97) Medições realizadas mostram que a temperatura no interior da terra aumenta,
aproximadamente, 3°C a cada 100m de profundidade. Num certo local, a 100m de profundidade, a
temperatura é de 25°C. Nessas condições, podemos afirmar que:
1. A temperatura a 1.500m de profundidade é:
a) 70°C b) 45°C c) 42°C d) 60°C e) 67°C
2. Encontrando-se uma fonte de água mineral a 46°C, a profundidade dela será igual a:
a) 700 m b) 600 m c) 800 m d) 900 m e) 500 m
5) (Fuvest) A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma
mercadoria é:
a) f(x) = x – 3 b) f(x) = 0,97x c) f(x) = 1,3x d) f(x) = -3x e) f(x) = 1,03x
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6) (UERJ) João mediu o comprimento do seu sofá com o auxilio de uma régua:
Colocando 12 vezes a régua na direção do comprimento, sobraram 15 cm de régua; por outro lado,
estendendo 11 vezes, faltaram 5 centímetros para atingir o comprimento total. O comprimento do sofá,
em centímetros, equivale a:
a) 240 b) 235 c)225 d)220
7) (Fuvest-SP) Um estacionamento cobra R$6,00 pela primeira hora de uso, R$3,00 por hora adicional e
tem uma despesa diária de R$320,00. Considere-se um dia em que sejam cobrados, no total, 80 horas
de estacionamento. O número mínimo de usuários necessário para que o estacionamento obtenha lucro
nesse dia é:
a) 25 b) 26 c)27 d)28 e)29
8) (FGV-SP) O maior número inteiro que satisfaz a inequação é:
a) Um múltiplo de 2.
b) Um múltiplo de 5.
c) Um número primo.
d) Divisível por 3.
e) Divisível por 7.
9) (UFMG) Observe o gráfico, em que o segmento AB é paralelo ao eixo das abscissas.
Esse gráfico representa a relação entre a ingestão de certo composto, em mg/dia, e sua absorção pelo organismo, também em mg/dia. A única afirmativa FALSA relativa ao gráfico é: a) Para ingestões de até 20 mg/dia, a absorção é proporcional à quantidade ingerida. b) A razão entre a quantidade absorvida e a quantidade ingerida é constante. c) Para ingestões acima de 20 mg/dia, quanto maior a ingestão, menor a porcentagem absorvida do composto ingerido. d) A absorção resultante da ingestão de mais de 20 mg/dia é igual à absorção resultante da ingestão de 20mg/dia. 10) (UFMG) Em 2000, a porcentagem de indivíduos brancos na população dos Estados Unidos era de 70% e outras etnias - latinos, negros, asiáticos e outros - constituíam os 30% restantes. Projeções do órgão do Governo norte-americano encarregado do censo indicam que, em 2020, a porcentagem de brancos deverá ser de 62%. FONTE: "Newsweek International", 29 abr. 2004.
Admite-se que essas porcentagens variam linearmente com o tempo.
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Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que os brancos serão minoria na população norte-
americana a partir de
a) 2050. b) 2060. c) 2070. d) 2040.
11) Ao usar lupas (ou lentes de aumento) podemos ver detalhes de objetos pequenos. Por exemplo, utilizamos algumas lupas para enxergar melhor uma formiga. O interessante é que o comprimento virtual (ou aparente) da formiga aumenta numa proporção peculiar, de acordo com os dados da tabela:
Aumento da lente 10 x 25 x 50 x
Comprimento virtual 12 mm 30 mm 60 mm
Se o aumento da lente for de 70 x, qual será o comprimento virtual da formiga?
12) Willian Thompson (1824-1907), também conhecido como Lorde Kelvin, verificou ao estudar os gases que, quando se mantém a pressão constante, todos eles (na faixa em que podemos considerá-los ideais) se dilatam numa mesma proporção, em relação ao seu volume inicial. Para realizar esse experimento basta colocar um gás num tubo longo de vidro de 1mm² de seção (área), confinado por uma gota de mercúrio (a gota serve pro gás não escapar e para marcar seu volume a partir da altura). Pode-se perceber a gota de mercúrio subir ou descer quando o tubo é aquecido ou resfriado. Esquema do experimento:
Altura da gota de mercúrio (mm)
73 173 273 373
Temperatura do gás (° C)
-200 -100 0 100
Para qual temperatura o volume do gás será zero?
13) (Unirio)
Considere a figura anterior, onde um dos lados do trapézio retângulo se encontra apoiado sobre o gráfico
de uma função f. Sabendo-se que a área da região sombreada é 9cm², a lei que define f é:
a) y= (7x/6) – 2 b) y= (3x/4) – 1 c) y= (2x/5) + 1 d) y= (5x/2) – 1 e) y= (4x/3) + 1 14)(UERJ) Observe o gráfico: Crepúsculo da garrafa azul
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("Veja")
Os brasileiros estão trocando o vinho branco alemão por produto de melhor qualidade (em milhões de
litros).
Se o consumo de vinho branco alemão, entre 1994 e 1998, sofreu um decréscimo linear, o volume total
desse consumo em 1995, em milhões de litros, corresponde a:
a) 6,585 b) 6,955 c) 7,575 d) 7,875
15) (UFPR) No mês de maio de 2001, os jornais do Brasil divulgaram o plano do governo federal para
diminuir o consumo de energia elétrica nas regiões Sudeste, Nordeste e Centro-Oeste. Conforme um dos
jornais, além de várias regras que estabeleciam multas, bônus e corte de luz, haviam sido criadas faixas
de preços relativas ao consumo mensal: para os primeiros 200 kWh consumidos, o preço de cada kWh é
R$ 0,24; para os 300 kWh seguintes consumidos, o preço de cada kWh é R$ 0,36; o preço de cada kWh
consumido acima de 500 kWh é R$ 0,72.
Sendo p(x) o preço em reais referente ao consumo mensal de x kWh, calculado somente com base
nessas informações sobre as faixas de preços, é correto afirmar:
(01) p(300) = 96.
(02) p(2x) é sempre o dobro de p(x).
(04) Para x maior que 500, uma fórmula para calcular o preço é p(x) = 0,72 (x - 500) + 156.
(08) Se x está entre 0 e 200, então uma fórmula para calcular o preço é p(x) = 0,24x.
(16) Na faixa de 201 a 500 kWh, o preço de 1 kWh é 50% maior que o de 1 kWh na faixa de zero a
200kWh.
Soma ( )
16) (Puccamp 2005) Pesquisas mostram que, em modalidades que exigem bom condicionamento
aeróbico, o coração do atleta dilata, pois precisa trabalhar com grande volume de sangue.
Em um esforço rápido e súbito, como um saque no tênis, uma pessoa normal pode ter o pulso elevado de
70 a 100 batimentos por minuto; para um atleta, pode se elevar de 60 a 120 bpm, como mostra o gráfico
abaixo.
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Com base nesses dados, é correto afirmar que, ao final de
a) 1 segundo, o bpm de um atleta é 80.
b) 1 segundo, o bpm de uma pessoa normal é 80.
c) 2 segundos, o bpm de uma pessoa normal é 90.
d) 3 segundos, o bpm de um atleta é 108.
e) 3 segundos, o bpm de uma pessoa normal é 95
17)(Ufes) Uma produtora pretende lançar um filme em fita de vídeo e prevê uma venda de 20.000 cópias.
O custo fixo de produção do filme foi R$150.000,00 e o custo por unidade foi de R$20,00 (fita virgem,
processo de copiar e embalagem).
Qual o preço mínimo que deverá ser cobrado por fita, para não haver prejuízo?
a) R$ 20,00 b) R$ 22,50 c) R$ 25,00 d) R$ 27,50 e) R$ 35,00
18) (Mackenzie-SP) Uma escola paga pelo aluguel anual do ginásio de esportes de um clube A, uma taxa fixa de R$1000,00 e mais R$50,00 por aluno. Um clube B cobraria pelo aluguel anual do ginásio equivalente uma taxa fixa de R$ 1900,00, mais R$45,00 por aluno. Para que o clube B seja mais vantajoso economicamente para a escola, o menor número N de alunos que a escola deve ter é tal que: a)100≤N<150 b)75≤N<100 c)190≤N<220 d)150≤N<190 e)220≤N<250 19) (Fuvest-SP) Seja f a função que associa a cada número real x o menor dos números x+3 e –x+5.
Assim, o valor máximo de f(x) é:
a) 1 b)2 c)4 d)6 e)7
20) (Vunesp) Um botânico mede o crescimento de uma planta, em centímetros, todos os dias. Mantida
sempre essa relação entre tempo(t) e a altura(h),a planta terá, no trigésimo dia, uma altura igual a:
H(cm) 0 1 2
T(dias) 0 5 10
a) 5 cm b) 6 cm c)3 cm d)15 cm e)30 cm
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21) (Mackenzie-SP) A função f é definida por f(x) = ax +b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(1)=1. O valor de f(3)
é:
a) 0 b) 2 c)-5 d)-3 e)-1
22) (Unicamp-SP) O gráfico da função y=mx +n passa pelos pontos A(1,3) e B(2,8). Pode-se afirmar que:
a) A única raiz da função é 4.
b) f(3)= 10
c) f(4)=12
d) f(x)<0 x<3
e) f(x)>0 x>2/5
23) (UERJ) O balanço de cálcio é a diferença entre a quantidade de cálcio ingerida e a quantidade excretada na urina e nas fezes. É usualmente positivo durante o crescimento e a gravidez e negativo na menopausa,quando pode ocorrer a osteoporose, uma doença caracterizada pela diminuição da absorção de cálcio pelo organismo.A baixa concentração de íon cálcio (Ca ++) no sangue estimula as glândulas paratireóides a produzirem hormônio para tireóideo (HP). Nesta situação, o hormônio pode promover a remoção de cálcio dos ossos, aumentar sua absorção pelo intestino e reduzir sua excreção pelos rins.(Adaptado de ALBERTS, B. et al., "Urologia Molecular da Célula." Porto Alegre: Artes Médicas, 1997.)Admita que, a partir dos cinqüenta anos, a perda da massa óssea ocorra de forma linear .
(Aos 60 e aos 80 anos, as mulheres têm, respectivamente,90% e 70% da massa óssea que tinham aos 30 anos.O percentual de massa óssea que as mulheres já perderam aos 76 anos, em relação à massa aos 30 anos,é igual a : a) 14 c) 22 b) 18 d) 26
24) (Ufpe ) A planta a seguir ilustra as dependências de um apartamento colocado à venda, onde cada
quadrícula mede 0,5cm×0,5cm. Se o preço do m£ de área construída deste apartamento é R$650,00,
calcule o preço do mesmo.
a) R$ 41.600,00 b) R$ 52.650,00 c) R$ 46.800,00 d) R$ 47.125,00 e) R$ 40.950,00
25) (UERJ) Sabedoria egípcia
Há mais de 5.000 anos os egípcios observaram que a sombra no chão provocada pela incidência dos
raios solares de um gnômon (um tipo de vareta) variava de tamanho e de direção. Com medidas feitas
61
sempre ao meio dia, notaram que a sombra, com o passar dos dias, aumentava de tamanho. Depois de
chegar a um comprimento máximo, ela recuava até perto da vareta. As sombras mais longas coincidiam
com dias frios. E as mais curtas, com dias quentes. (Adaptado de Revista "Galileu", janeiro de
2001)
Um estudante fez uma experiência semelhante à descrita no texto, utilizando uma vareta OA de 2 metros
de comprimento. No início do inverno, mediu o comprimento da sombra OB, encontrando 8 metros.
Utilizou, para representar sua experiência, um sistema de coordenadas cartesianas, no qual o eixo das
ordenadas (y) e o eixo das abscissas (x) continham, respectivamente, os segmentos de reta que
representavam a vareta e a sombra que ela determinava no chão. Esse estudante pôde, assim, escrever
a seguinte equação da reta que contém o segmento AB:
a) y = 8 - 4x b) x = 6 - 3y c) x = 8 - 4y d) y = 6 - 3x
26) (PUCSP) Um grupo de amigos "criou" uma nova unidade de medida para temperaturas: o grau
Patota. Estabeleceram, então, uma correspondência entre as medidas de temperaturas em graus Celsius
(°C), já conhecida, e em graus Patota (°P), mostrada na tabela abaixo.
Lembrando que a água ferve a 100°C, então, na unidade Patota ela ferverá a
a) 96° b) 88° c) 78° d) 64° e) 56°
GABARITO
1.E 2.C 3.C 4.E/C 5.B 6.B 7.
8.A 9.B 10.A 11.84mm 12.-273 13.E 14.D
15.28 16.D 17.D 18.D 19.C 20.B 21.E
22.C 23.D 24.D 25. 24. 25.C 26.E
62
3.9) Pintou no ENEM 1) (ENEM) Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada cidade e
constatou que são roubados, em média, 150 carros por ano. O número de carros roubados da marca X é
o dobro do número de carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y juntas respondem por cerca de
60% dos carros roubados.
O número esperado de carros roubados da marca Y é:
a) 20 b) 30 c)40 d)50 e) 60
Resposta: b
2)(ENEM) José Antônio viajarão em seus carros com as respectivas famílias para a cidade de Serra
Branca. Com a intenção de seguir viagem juntos, combinam um encontro no marco inicial da rodovia,
aonde chegarão, de modo independente, ente meio-dia e 1 hora da tarde. Entretanto, como não querem
ficar muito tempo esperando um pelo outro, combinam que o primeiro que chegar ao marco inicial
esperará pelo outro, no máximo, meio hora; após esse tempo, seguirá viagem sozinho.
Chamando de x o horário de chegada de José e de y o horário de chegada de Antônio, e representando
os pares (x; y) em um sistema de eixos cartesianos, a região OPQR a seguir indicada corresponde ao
conjunto de todas as possibilidades para o par (x; y):
Na região indicada, o conjunto de pontos que representa o evento "José e Antônio chegam ao marco
inicial exatamente no mesmo horário" corresponde
a) à diagonal OQ b) à diagonal PR c) ao lado PQ d) ao lado QR e) ao lado OR Resposta: a 3) (ENEM) O jornal de uma pequena cidade publicou a seguinte notícia:
63
CORREIO DA CIDADE
ABASTECIMENTO COMPROMETIDO
O novo pólo agroindustrial em nossa cidade tem atraído um enorme e constante fluxo migratório,
resultando em um aumento da população em torno de 2000 habitantes por ano, conforme dados do
nosso censo:
Esse crescimento tem ameaçado nosso fornecimento de água, pois os mananciais que abastecem a
cidade têm capacidade para fornecer até 6 milhões de litros de água por dia. A prefeitura, preocupada
com essa situação, vai iniciar uma campanha visando estabelecer um consumo médio de 150 litros por
dia, por habitante.
A análise da notícia permite concluir que a medida é oportuna. Mantido esse fluxo migratório e bem
sucedida a campanha, os mananciais serão suficientes para abastecer a cidade até o final de
a) 2005. b) 2006. c) 2007. d) 2008. e) 2009. Resposta: d 4) (ENEM) O excesso de peso pode prejudicar o desempenho de um atleta profissional em corridas de
longa distância como a maratona (42,2km), a meia-maratona (21,1km) ou uma prova de 10km. Para
saber uma aproximação do intervalo de tempo a mais perdido para completar uma corrida devido ao
excesso de peso, muitos atletas utilizam os dados apresentados na tabela e no gráfico:
64
Usando essas informações, um atleta de ossatura grande, pesando 63kg e com altura igual a 1,59m, que tenha corrido uma meia-maratona, pode estimar que, em condições de peso ideal, teria melhorado seu tempo na prova em A) 0,32 minutos. D) 2,68 minutos. B) 0,67 minutos. E) 3,35 minutos. C) 1,60 minutos.
Resposta: E
3.10) Sessão Leitura
No ritmo certo
Fórmula de controle dos batimentos cardíacos usada como padrão no esporte está superada
Gabriela Carelli
Não há esportista ou frequentador de academia que desconheça uma das regras da boa forma mais difundidas na última década: exercício só não basta. Para atingir algum resultado, seja perder peso, melhorar o sistema cardiovascular ou virar atleta de elite, é necessário estar atento aos chamados do coração. Contar quantas vezes o órgão bate por minuto e relacionar o resultado com a idade não só evita infartos fulminantes como é uma das poucas maneiras fáceis e eficientes de diferenciar uma caminhada vigorosa de um passeio no bosque. Até aí, nada de novo para quem faz da atividade física uma rotina. Todos os templos de malhação têm imprimido em aparelhos ergométricos a fórmula para calcular a frequência cardíaca máxima, índice que permite achar as zonas ideais de treinamento. Basta subtrair a idade de 220. Depois, é só adequar o número final aos seguintes padrões: quem quer ativar o sistema cardiovascular deve manter a frequência cardíaca entre 70% e 85% da máxima; quem quer perder peso deve ficar entre 55% e 70%. A novidade: o cálculo acima, há mais de três décadas tido como padrão de boa conduta esportiva em centros de fitness de todo o mundo, está superado.
Num estudo publicado recentemente, pesquisadores da Universidade do Colorado afirmam que o cálculo não deve ser usado para estabelecer a faixa de segurança da frequência cardíaca. Quem segue a fórmula clássica pode errar de duas maneiras. Os mais jovens acabam se exercitando além de seus limites, colocando em risco músculos, articulações e coração. Já as pessoas acima dos 50 anos se exercitam abaixo de seu potencial. Ou seja, gastam sola de tênis em horas de esteira sem nenhum benefício coronário, exatamente o que os que estão nessa faixa etária mais procuram. O cálculo para achar a frequência cardíaca máxima da população média foi rascunhado nos anos 50 pelo cientista americano M.J. Kavornnen e refeito pelos fisiologistas Samuel Fox e William Haskell em 1967. É a primeira vez que ele é questionado de forma tão aberta. Para chegar às novas conclusões, os fisiologistas do Colorado fizeram nada menos que 351 estudos com 492 grupos. Ao todo, 18.712
65
pessoas, com idade entre 18 e 81 anos, foram avaliadas. Na pesquisa realizada em 1967, não havia um indivíduo sequer que tivesse mais de 60 anos. Encabeçada pelos médicos Douglas Seals e Hirofumi Tanaka, a nova teoria ganhou reputação ao ser publicada no Journal of the American College of Cardiology.
Haskell e Fox desenharam sua fórmula apoiados num conceito simples. Depois de avaliar a frequência em repouso e durante exercícios de pessoas das mais variadas idades, chegaram à conclusão de que a cada ano de vida o ser humano perdia um batimento cardíaco por minuto. Não é por acaso, portanto, que o número 220 é a base da fórmula. Ele representa o total de batimentos do coração de um recém-nascido. Subtraindo-se a idade do número se chegaria então ao valor mágico que poderia orientar as atividades físicas. O novo estudo da Universidade do Colorado submeteu os pacientes avaliados a extenuantes testes em esteira realizados em laboratório. Tomou-se o cuidado de excluir do grupo fumantes e pessoas com distúrbios do coração, para não haver erros. Depois de tanta cautela, a fórmula encontrada para achar a frequência cardíaca máxima foi multiplicar a idade por 0,7 e subtraí-la de 208.
O novo cálculo pode não significar nada para a maioria das pessoas e afugentar os que odeiam matemática, mas exemplos simples revelam o que ele representa no dia-a-dia. Pela fórmula antiga, um homem saudável, com seus 70 anos, poderia exercitar-se a no máximo 150 batimentos cardíacos. Pelo novo cálculo, ele pode chegar a 159. Um homem de 80 anos teria sua frequência máxima alterada de 140 para 152. Com um jovem de 20 anos ocorre o contrário. Se levar em consideração o padrão antigo, pode atingir os 200 batimentos, enquanto a nova fórmula propõe 194.
A diferença de batimentos por minuto, apesar de pequena, é significativa. Quando o coração é levado a se esforçar mais do que o suportável, bate tão rápido que não tem tempo de se recuperar entre uma contração e outra. Isso pode acarretar falta de fluxo sanguíneo no miocárdio, a camada mais espessa da parede do órgão. Trata-se de uma agressão poderosa, que pode resultar numa arritmia passageira para quem é saudável ou até num infarto agudo em pessoas debilitadas por hipertensão, diabetes ou outras doenças do coração. "Esses poucos batimentos para mais ou para menos representam riscos sérios, até morte em casos patológicos", diz o professor de fisiologia da Universidade Federal de São Paulo Turíbio Leite de Barros Neto. Ele ressalta que na fórmula padrão já está embutida uma margem de segurança, que contribui, em alguns casos, apenas para piorar a situação. A frequência máxima encontrada pode variar dez batimentos a mais ou a menos. "Um jovem de 33 anos que, usando a forma simplificada, acha o número 187 pode se meter numa enrascada se sua máxima real for 177", diz Turíbio Leite. Ele coordena uma pesquisa semelhante a ser publicada em junho e chegou a resultados próximos dos encontrados pelos cientistas do Colorado. Três mil brasileiros estão sendo avaliados desde 1994. Dos que praticam exercícios cinco vezes por semana e têm idade entre 20 e 29 anos, 71% superestimam seu potencial cardíaco. Entre a população com idade de 60 a 69 anos, 91% trabalham aquém de suas possibilidades. O mesmo ocorre com indivíduos na faixa dos 50 a 59 anos: 60% deles exercitam-se abaixo de seu potencial.
Estudos como o da Universidade do Colorado e do fisiologista brasileiro têm uma outra utilidade, além de sugerirem uma fórmula mais exata para descobrir a frequência cardíaca. Esse subproduto é justamente a busca de uma orientação individualizada. "Qualquer fórmula generalizante está muito longe da ideal", diz o médico esportivo Renato Lotufo, hoje responsável pela preparação do time do Corinthians. Achar uma fórmula de frequência cardíaca que responda com segurança à média da população é um desafio para os fisiologistas. É uma das únicas formas viáveis de atingir um grande público e evitar disparates. Justamente o princípio que manteve o cálculo de Haskell válido até agora. "Quem lida com atividade física precisa afastar os desavisados de um perigo iminente. Entre a fórmula de Haskell e nada, é melhor a primeira opção", diz o personal trainer Roberto Toscano, especializado em fisiologia do exercício. Ele conta que a fórmula de Haskell tornou-se popular em 1985. Era a época da ginástica aeróbica e muitas pessoas se deixavam embalar pela música e pela coreografia das aulas, elevando seu ritmo cardíaco a níveis taquicárdicos sem ter noção do que estavam fazendo. "Por ser simples e fácil, ela trouxe resultados e continua orientando muitas pessoas."
Na tentativa de amenizar as imprecisões das fórmulas generalizadas que os médicos insistem em descobrir, uma corrente da fisiologia se utiliza de outro recurso: relaciona a frequência máxima com outro
66
valor referente aos batimentos cardíacos. A ideia é simples. Não importa somente o limite cardíaco, mas em quanto tempo o organismo se recupera. Uma pesquisa feita pela Cleveland Clinic, nos Estados Unidos, mostrou que, em uma pessoa comum, os batimentos devem cair vinte pontos após um minuto de repouso. Nos atletas, o número deve beirar os cinquenta. Os pesquisadores chegam a afirmar que pessoas que diminuem apenas doze batimentos cardíacos nessas condições sofrem quatro vezes mais riscos de morte por problemas no coração nos próximos seis anos em comparação às que diminuem treze ou mais pontos. Médicos brasileiros discordam em parte das afirmativas. "A recuperação é extremamente importante, mas extrair dessa medição um diagnóstico cardíaco é chute", diz o fisiologista Lotufo. Um dos poucos testes que podem informar fielmente a quantas anda seu coração tem um nome tão complicado quanto a fórmula recentemente prescrita: VO2 Max. Ele verifica o volume máximo do oxigênio consumido pelo organismo a cada minuto, que é proporcional ao peso do corpo e depende da capacidade de bombeamento do coração. Só que para fazê-lo é necessário tempo, dinheiro e disposição.
Enquanto os testes personalizados não se tornam populares e pesquisadores não chegam a um acordo, o melhor é deixar prevalecer o bom senso. "Estudos sobre preparo físico estão sujeitos a mudanças e servem para orientar as pessoas a achar a fórmula mais adequada a seu biotipo e modo de vida", disse a VEJA William Haskell, criador da fórmula mundialmente conhecida. "Não a idealizamos para doentes ou atletas. Aliás, nunca dissemos que era verdade absoluta", comenta Haskell, que disse ter assistido atônito à transformação de seu estudo num dogma. Realmente não há como negar que sua fórmula cumpriu um papel. Desde que a tabela passou a ilustrar as academias de ginástica, as pessoas começaram a se preocupar com algo mais do que a largura das passadas. Nos últimos dois anos, praticantes de atividade física em todo o país passaram a adornar o tórax com os frequencímetros, aparelhos que informam com precisão o número de batidas do coração. A venda desses equipamentos pulou de dez unidades ao mês em 1994, quando chegaram ao Brasil, para 250 numa única loja de São Paulo. Sozinhos eles ajudam pouco. Cada esportista deve, com a ajuda de seu médico, encontrar sua faixa de segurança de frequência cardíaca. Fonte: http://veja.abril.com.br/090501/p_070.html Acessado em 29/04/2013. Questões para discutir com o texto:
1) Qual a ideia principal do texto?
2) Qual foi a principal alteração, exposta no texto, em relação ao cálculo da frequência
cardíaca máxima? O que essa alteração acarreta?
3) Considerando i a idade da pessoa, escreva a função utilizada tradicionalmente para
calcular a frequência cardíaca máxima (fT), e a nova função (fN) proposta.
4) Construa em um mesmo plano cartesiano os gráficos das funções obtidas no item
anterior.
5) Para qual idade as duas funções apresentam a mesma frequência cardíaca máxima?
6) Calcule, pelos dois métodos, qual a sua frequência cardíaca máxima. Qual a diferença
entre os dois valores que você encontrou?
Respostas possíveis:
67
Apresentar uma inovação no cálculo de frequência cardíaca.
No método tradicional, subtraía-se a idade de 220; no novo modelo subtrai-se
70% da idade de 208; para os jovens acarretou a diminuição da frequência
cardíaca máxima, para os idosos, seu aumento.
FT(i)=220-i
FN(i)=208-0,7i
40 anos.
3.11) Referências
MELLO,J. L.P.. Matemática: Construção e significado. Volume único. 1. Ed. São Paulo: Moderna, 2005. SOUZA, Joamir. Matemática: Novo Olhar. Volume 1. 1 Ed. São Paulo: FTD, 2010 PAIVA,Manoel. Matemática. Volume único. 1 Ed. São Paulo: Moderna, 2005.
http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-de-primeiro-grau.htm http://www.infoescola.com/matematica/inequacao-do-primeiro-grau/ http://www.somatematica.com.br/emedio4.php
68
4) Função Quadrática 4.1) Estudando a função quadrática
Eduardo tem em seu sítio uma região retangular que é utilizada para o plantio de morangos. Com o objetivo de aumentar a produção, ele pretende ampliar essa região em uma mesma medida, tanto no comprim ento quanto na largura, como mostra a figura.
Podemos representar a área (f) dessa região após a ampliação em função da medida x indicada.
F(x)= (7+x)(10+x) F(x)= 70 + 7x + 10x + x
2
F(x)= x2 + 17x + 70
A fórmula obtida corresponde à lei da função que expressa a área da região após a ampliação. Esse é um exemplo de uma função denominada função quadrática. Se considerarmos x=3, isto é, se a região for ampliada em 3m na largura e 3m no comprimento, podemos calcular a sua área a partir dessa função.
F(3)=32 + 17.3 + 70 = 9 + 51 + 70 = 130
Portanto, nesse caso a área da região após a ampliação será 130 m
2.
4.2) Definição
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por
uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.
Veja alguns exemplos de função quadrática:
1. f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1.
2. f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1.
3. f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5.
4. f(x) = - x2 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0.
5. f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0
69
4.3) Gráfico da função Uma função do 2º grau é definida pela seguinte lei de formação f(x) = ax² + bx + c ou y = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. Sua representação no plano cartesiano é uma PARÁBOLA que, de acordo com o valor do coeficiente a, possui concavidade voltada para cima ou para baixo. Concavidade voltada para cima Concavidade voltada para baixo
O coeficiente c, na função do 2º grau, é o ponto onde a parábola corta o eixo y. Verifica-se que o valor de c na lei de formação da função corresponde ao valor do eixo y onde a parábola o intersecta.
4.4) Raiz da função
A função do 2º grau assume três possibilidades de resultados ou raízes, que são determinadas quando fazemos f(x) ou y = 0, transformando a função numa equação do 2º grau, que pode vir a ser resolvida por Bháskara.
1º possibilidade → Δ > 0: A função possui duas raízes reais e distintas, isto é,
diferentes. 2º possibilidade → Δ = 0: A função possui raízes reais e iguais. Nesse caso, dizemos que a função possui uma única raiz.
70
3º possibilidade → Δ < 0: A função não possui raízes reais.
4.5) Vértice da função
Para determinarmos os vértices de uma parábola temos que encontrar o par ordenado de pontos que
constituem as coordenadas da parábola. Esse ponto, mais conhecido como vértice da parábola, pode ser
calculado com base nas expressões matemáticas envolvendo os coeficientes da função do 2º grau dada
pela lei de formação y = ax² + bx + c.
O vértice da parábola constitui um ponto importante do gráfico, pois indica o ponto de valor máximo e o ponto de valor mínimo. De acordo com o valor do coeficiente a, os pontos serão definidos, observe:
a) Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V.
b) Quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.
71
4.6) Sinal da função
Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c e determinamos os valores de x para os
quais y é negativo, e os valores de x para os quais y é positivo.
Conforme o sinal de Δ = b2 - 4ac, pode ocorrer os seguintes casos:
4.7) Método para construção da parábola 1° Passo: Determine a concavidade da parábola avaliando o valor de a. 2° Passo: Determinar onde a parábola intercepta o eixo-y, avaliando o valor de c 3° Passo: Determinar onde a parábola intercepta o eixo-x, para tal basta achar suas raízes. 4° Passo: Encontre as coordenadas do Vértice Xv e Yv 5° Passo: Marque as informações obtidas no gráfico 6° Passo: Trace o Gráfico.
4.8) Inequação do 2º grau
As inequações do 2º grau são resolvidas utilizando o teorema de Bháskara. O resultado deve ser comparado ao sinal da inequação, com o objetivo de formular o conjunto solução. Exemplo:
Vamos resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0.
72
Solução: {x R/ -7/3 < x < -1}
4.9) Exercício comentado
(ENEM 2013) A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura. A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei f(x) = 3/2 x² – 6x + C, onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x.
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 6 Resolução: A função do segundo grau f(x) = 3/2 x² – 6x + C apresenta duas raízes reais iguais, visto que seu gráfico corta o eixo x em um único ponto. A condição para que isso aconteça é que o discriminante (∆ = b2 – 4ac) dessa função do segundo grau seja igual à zero. Logo, ∆ = b2 – 4ac = (- 6)² - 4(3/2.C) = 36 – 6C = 0; C=6. Resposta letra E.
4.10) Fixação
1)(ENEM 2014) Um professor, depois de corrigir as provas de sua turma, percebeu que várias questões estavam muito difíceis. Para compensar, decidiu utilizar uma função polinomial f, de grau menor que 3, para alterar as notas x da prova para notas y = f(x), da seguinte maneira:
A nota zero permanece zero;
A nota 10 permanece 10;
A nota passa a ser 6.
73
A expressão da função y = f(x) a ser utilizada pelo professor é:
2)(ENEM 2014) A figura mostra uma criança brincando em um balanço no parque. A corda que prende o
assento do balanço ao topo do suporte mede 2 metros. A criança toma cuidado para não sofrer um
acidente, então se balança de modo que a corda não chegue a alcançar a posição horizontal.
Na figura, considere o plano cartesiano que contém a trajetória do assento do balanço, no qual a origem está localizada no topo do suporte do balanço, o eixo X é o paralelo ao chão do parque, e o eixo Y tem orientação positiva para cima. A curva determinada pela trajetória do assento do balanço é parte do gráfico da função
3) (PUCSP) Um veículo foi submetido a um teste para a verificação do consumo de combustível. O teste consistia em fazer o veículo percorrer, várias vezes, em velocidade constante, uma distância de 100km em estrada plana, cada vez a uma velocidade diferente. Observou-se então que, para velocidades entre 20km/h e 120km/h, o consumo de gasolina, em litros, era função da velocidade, conforme mostra o gráfico seguinte.
74
Se esse gráfico é parte de uma parábola, quantos litros de combustível esse veículo deve ter consumido no teste feito à velocidade de 120km/h? a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28
4) (UERJ) Numa partida de futebol, no instante em que os raios solares incidiam perpendicularmente sobre o gramado, o jogador "Chorão" chutou a bola em direção ao gol, de 2,30m de altura interna. A sombra da bola descreveu uma reta que cruzou a linha do gol. A bola descreveu uma parábola e quando começou a cair da altura máxima de 9 metros, sua sombra se encontrava a 16 metros da linha do gol. Após o chute de "Chorão", nenhum jogador conseguiu tocar na bola em movimento. A representação gráfica do lance em um plano cartesiano está sugerida na figura a seguir:
A equação da parábola era do tipo: y=(-x²/36)+c. O ponto onde a bola tocou pela primeira vez foi:
a) na baliza b) atrás do gol c) dentro do gol d) antes da linha do gol
5) (Faap) A água que está esguichando de um bocal mantido horizontalmente a 4 metros acima do solo
descreve uma curva parabólica com o vértice no bocal. Sabendo-se que a corrente de água desce 1
metro medido na vertical nos primeiros 10 metros de movimento horizontal, conforme a figura a seguir:
Podemos expressar y como função de x:
a) y = -x² + 4x + 10 b) y = x² - 10x + 4 c) y = (-x²/10) + 10
d) y = (-x²/100) + 10x + 4 e) y = (-x²/100) + 4
75
6) (Mackenzie) Se a função real definida por f(x) = - x² + (4 – k²) p
ossui um máximo positivo, então a soma dos possíveis valores inteiros do real k é:
a) - 2. b) - 1. c) 0. d) 1. e) 2.
7) (UFPE) Uma mercearia anuncia a seguinte promoção: "Para compras entre 100 e 600 reais compre (x
+ 100) reais e ganhe (x/10)% de desconto na sua compra". Qual a maior quantia que se pagaria à
mercearia nesta promoção?
a) R$ 300,50 b) R$ 302,50 c) R$ 303,50 d) R$ 304,50 e) R$ 305,50
8) (Unesp) O gráfico da função quadrática definida por y=x²-mx+(m-1), onde m pertence ao conjunto dos
Reais, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Então, o valor de y que essa função
associa a x=2 é:
a) - 2. b) - 1. c) 0. d) 1. e) 2.
9) (Enem) Um boato tem um público-alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez
é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhecem o boato e diretamente
proporcional também ao número de pessoas que não o conhecem. Em outras palavras, sendo R a
rapidez de propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhecem o boato, tem-se:
R(x) = k.x.(P-x), onde k é uma constante positiva característica do boato.
Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44.000 pessoas, então a máxima rapidez
de propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a:
a) 11.000. b) 22.000. c) 33.000. d) 38.000. e) 44.000.
10) (UFSM) Da frieza dos números da pesquisa saíram algumas recomendações. Transformadas em políticas públicas, poderiam reduzir a gravidade e as dimensões da tragédia urbana do trânsito. -A primeira é a adoção de práticas que possam reduzir a gravidade dos acidentes. -A segunda recomendação trata dos motociclistas, cuja frota equivale a 10% do total, mas cujos custos correspondem a 19%. O 'motoboy' ganha R$2 por entrega, a empresa, R$8. É um exército de garotos em disparada. O pedestre forma o contingente mais vulnerável no trânsito e necessita de maior proteção, diz a terceira recomendação da pesquisa. Entre a 0h e às 18h da quinta-feira, as ambulâncias vermelhas do Resgate recolheram 16 atropelados nas ruas de São Paulo.
Fonte: "Folha de São Paulo" (adaptado).
A 100 m de um semáforo, o motorista de um automóvel aplica os freios de modo suave e constante, a fim
de imprimir uma força de frenagem constante até o repouso. Após a freada, foram coletados os seguintes
dados:
Considerando que a distância do automóvel ao semáforo, no instante de tempo t, é dada pela função
quadrática s(t) = (1/2)at² - vt + 100, onde a é a aceleração constante imprimida no instante da freada e v,
a velocidade no instante da freada, o tempo necessário para o automóvel atingir a posição onde está
localizado o semáforo é, em segundos,
a) 4,5 b) 4,6 c) 4,8 d) 4,9 e) 5
76
11) (ITA) Os dados experimentais da tabela a seguir correspondem às concentrações de uma substância
química medida em intervalos de 1 segundo. Assumindo que a linha que passa pelos três pontos
experimentais é uma parábola, tem-se que a concentração (em moles) após 2,5 segundos é:
Tempo (s) Concentração (moles)
1 3,00
2 5,00
3 1,00
a) 3,60 b) 3,65 c) 3,70 d) 3,75 e) 3,80
12) (UFMG) A função f(x) do segundo grau tem raízes -3 e 1. A ordenada do vértice da parábola, gráfico
de f(x), é igual a 8.
A única afirmativa VERDADEIRA sobre f(x) é:
a) f(x) = -2(x-1)(x+3)
b) f(x) = -(x-1)(x+3)
c) f(x) = -2(x+1)(x-3)
d) f(x) = (x-1)(x+3)
e) f(x) = 2(x+1)(x-3)
13) (PUCCAMP) Na figura a seguir tem-se um quadrado inscrito em outro quadrado. Pode-se calcular a
área do quadrado interno, subtraindo-se da área do quadrado externo as áreas dos 4 triângulos. Feito
isso, verifica-se que A é uma função da medida x. O valor mínimo de A é:
a) 16 cm² b) 24 cm² c) 28 cm² d) 32 cm² e) 48 cm² 14) (FEI) Durante o processo de tratamento uma peça de metal sofre uma variação de temperatura descrita pela função: f(t) = 2 + 4t – t², 0 < t < 5. Em que instante t a temperatura atinge seu valor máximo? a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3
15) (Puccamp) O biodiesel resulta da reação química desencadeada por uma mistura de óleo vegetal
(soja, milho, mamona, babaçu e outros) com álcool de cana. O ideal é empregar uma mistura do biodiesel
com diesel de petróleo, cuja proporção ideal ainda será definida. Quantidades exageradas de biodiesel
fazem decair o desempenho do combustível.
77
Seja f a função desempenho do combustível obtido pela mistura de biodiesel com combustível de
petróleo, dada por f(p) = 12p – p², em que p é a porcentagem de biodiesel na mistura, 0 ≤ p ≤ 12. O valor
de p que gera o melhor desempenho é tal que:
a) p < 0,06 b) 0,06 ≤ p < 0,6 c) 0,6 ≤p ≤ 5,8 d) 5,8 < p ≤ 6,2 e) p > 6,2
16) (UFPE) O gráfico da função y=ax²+bx+c é a parábola da figura a seguir. Os valores de a, b e c, são,
respectivamente:
a) 1, - 6 e 0 b) - 5, 30 e 0 c) - 1, 3 e 0
d) - 1, 6 e 0 e) - 2, 9 e 0
17) (PUC-SP) Usando uma unidade monetária conveniente, o lucro obtido com a venda de uma unidade
de certo produto é x-10, sendo x o preço de venda e 10 o preço de custo. A quantidade vendida, a cada
mês, depende do preço de venda e é, aproximadamente, igual a 70-x.
Nas condições dadas, o lucro mensal obtido com a venda do produto é, aproximadamente, uma função
quadrática de x, cujo valor máximo, na unidade monetária usada, é:
a) 1200 b) 1000 c) 900 d) 800 e) 600 18) (UFSC) Assinale a ÚNICA proposição CORRETA. A figura a seguir representa o gráfico de uma
parábola cujo vértice é o ponto V. A equação da reta r é:
a) y = -2x + 2. b) y = x + 2. c) y = 2x + 1.
d) y = 2x + 2. e) y = -2x - 2.
78
19) (Unirio)
Um projétil é lançado do alto de um morro e cai numa praia, conforme mostra a figura anterior. Sabendo-
se que sua trajetória é descrita por h = -d² + 200d + 404, onde h é a sua altitude (em m) e d é o seu
alcance horizontal (em m), a altura do lançamento e a altitude máxima alcançada são, respectivamente:
a) superior a 400m e superior a 10km.
b) superior a 400m e igual a 10km.
c) superior a 400m e inferior a 10km.
d) inferior a 400m e superior a 10km.
20) (UFSM) Um laboratório testou a ação de uma droga em uma amostra de 720 frangos. Constatou-se
que a lei de sobrevivência do lote de frangos era dada pela relação v(t) = at² + b, onde v(t) é o número de
elementos vivos no tempo t (meses). Sabendo-se que o último frango morreu quando t=12 meses após o
início da experiência, a quantidade de frangos que ainda estava viva no 10° mês é:
a) 80 b) 100 c) 120 d) 220 e) 300
21) (UFSM)
A figura mostra um retângulo com dois lados nos eixos cartesianos e um vértice na reta que passa pelos
pontos A(0,12) e B(8,0). As dimensões x e y do retângulo, para que sua área seja máxima, devem ser,
respectivamente, iguais a
a) 4 e 6 b) 5 e 9/2 c) 5 e 7
d) 4 e 7 e) 6 e 3
22) (Fuvest) A função f(x), definida para -3 x 3, tem o seguinte gráfico:
79
Onde as linhas estão ligando (-1,0) a (0,2) e (0,2) a (1,0) são segmentos de reta.
Supondo a 0, para que valores de a o gráfico do polinômio p(x)=a*(x²-4) intercepta o gráfico de f(x) em
exatamente 4 pontos distintos?
a) -1/2 < a < 0 b) -1 < a < -1/2 c) -3/2 < a < -1
d) -2 < a < -3/2 e) a < -2
23) (Unesp) Considere a função f(x) = [1/(4a)]*x² + x + a, onde a é um número real não nulo.
Assinale a alternativa cuja parábola poderia ser o gráfico dessa função.
24) (UFPE) Um caminhoneiro transporta caixas de uvas de 15kg e caixas de maçãs de 20kg. Pelo transporte, ele recebe R$2,00 por caixa de uvas e R$2,50 por caixa de maçãs. O caminhão utilizado tem capacidade para transportar cargas de até 2.500kg. Se são disponíveis 80 caixas de uvas e 80 caixas de maçãs, quantas caixas de maçãs ele deve transportar de forma a receber o máximo possível pela carga transportada? a) 80 b) 75 c) 70 d) 65 e) 60
25) (CESGRANRIO) O diretor de uma orquestra percebeu que, com o ingresso a R$9,00 em média 300
pessoas assistem aos concertos e que, para cada redução de R$1,00 no preço dos ingressos, o público
aumenta de 100 espectadores. Qual deve ser o preço para que a receita seja máxima? a) R$ 9,00 b) R$ 8,00 c) R$ 7,00 d) R$ 6,00 e) R$ 5,00 26) (PUCMG) A temperatura, em graus centígrados, no interior de uma câmara, é dada por f(t) = t² - 7t + A, onde t é medido em minutos e A é constante. Se, no instante t = 0 , a temperatura é de 10°C, o tempo gasto para que a temperatura seja mínima, em minutos, é: a) 3,5 b) 4,0 c) 4,5 d) 6,5 e) 7,5
80
27) (UFSM) Na produção de x unidades mensais de um certo produto, uma fábrica tem um custo, em reais, descrito pela função de 2º grau, representada parcialmente na figura. O custo mínimo é, em reais.
a) 500 b) 645 c) 660 d) 675 e) 690
GABARITO
1 A 2 D 3 D 4 C 5 E 6 C 7B 8 D 9 B 10 E
11 D 12 A 13 D 14 D 15 D 16 D 17 C 18 D 19 A 20 D
21 A 22 B 23 C 24 B 25 D 26 A 27 D
4.11) Pintou no ENEM
(ENEM) Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros. Considerando “x” o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e “V” o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona “V” e ”x” é: A) V = 10.000 + 50x – x². B) V = 10.000 + 50x + x². C) V = 15.000 - 50x - x². D) V = 15.000 + 50x - x². E) V = 15.000 - 50x + x². Resposta: D ENEM/2010) A loja Telas & Molduras cobra 20 reais por metro quadrado de tela, 15 reais por metro linear de moldura, mais uma taxa fixa de entrega de 10 reais. Uma artista plástica precisa encomendar telas e molduras a essa loja, suficientes para 8 quadros retangulares (25 cm x 50 cm). Em seguida, fez uma segunda encomenda, mas agora para 8 quadros retangulares (50 cm x 100 cm). O valor da segunda encomenda será
a) o dobro do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram. b) maior do que o valor da primeira encomenda, mas não o dobro. c) a metade do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram. d) menor do que o valor da primeira encomenda, mas não a metade. e) igual ao valor da primeira encomenda, porque o custo de entrega será o mesmo. Resposta: B (ENEM 2010) Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo de elevação dessa temperatura deve ser controlado, para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo. Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a função:
81
100 tpara ,320t5
16t
125
2
100t 0 para ,20t5
7
)t(T2
em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, decorrido desde o instante em que o forno é ligado. Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for 48 ºC e retirada quando a temperatura for 200 ºC. O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a:
a) 100. b) 108. c) 128. d) 130 . e) 150.
Resposta: D
4.12) Sessão Leitura
Função do 2º grau e o lançamento oblíquo
Ao estudarmos qualquer assunto referente à matemática, nos perguntamos: “Onde isso é aplicado na
vida real?”. Pois bem, veremos um caso de aplicação prática da função de 2º grau, o lançamento oblíquo
de projéteis. O lançamento oblíquo é um movimento bidimensional, composto de dois movimentos
unidimensionais e simultâneos, um vertical e um horizontal. Durante uma partida de futebol, quando o
jogador faz um lançamento para um companheiro, observa-se que a trajetória descrita pela bola é uma
parábola. A altura máxima atingida pela bola é o vértice da parábola e a distância que separa os dois
jogadores é o alcance máximo da bola (ou objeto).
Vamos realizar um exemplo para melhor entendimento.
Exemplo 1. Uma empresa de armamentos bélicos realizará testes sobre um novo tipo de míssil que está
sendo fabricado. A empresa pretende determinar a altura máxima que o míssil atinge após o lançamento
e qual seu alcance máximo. Sabe-se que a trajetória descrita pelo míssil é uma parábola representada
82
pela função y = – x2 + 3x, onde y é a altura atingida pelo míssil (em quilômetros) e x é o alcance (também
em quilômetros). Quais serão os valores encontrados pela empresa?
Solução: Sabemos que a trajetória do míssil descreve uma parábola representada pela função y = – x2 +
3x e que essa parábola tem concavidade para baixo. Assim, a altura máxima que o míssil atinge será
determinada pelo vértice da parábola, uma vez que o vértice é o ponto máximo da função. Teremos
O alcance máximo do míssil será a posição em que ele retornar ao solo novamente (momento em que
atinge o alvo). Pensando no plano cartesiano, será a posição em que o gráfico da parábola intercepta o
eixo x. Sabemos que para determinar os pontos onde a parábola cruza o eixo x basta fazer y = 0 ou –
x2 + 3x = 0. Assim, teremos:
83
Portanto, podemos afirmar que a altura máxima que o míssil atingirá será de 2,25 Km e o alcance
máximo será de 3 km.
Por Marcelo Rigonatto
Equipe Brasil Escola
4.13) Referências
SOUZA, Joamir. Matemática: Novo Olhar. Volume 1. 1 Ed. São Paulo: FTD, 2010. PAIVA,Manoel. Matemática. Volume único. 1 Ed. São Paulo: Moderna, 2005.
http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-2-o-grau-lancamento-obliquo.htm (Acesso em 10/01/2014)
84
5) Função Exponencial 5.1) Estudando Função Exponencial Neste capítulo, iremos estudar as funções exponenciais, um tipo de função que descreve várias situações como, por exemplo, o crescimento populacional de bactérias, os rendimentos obtidos em uma aplicação a juros compostos, entre outras. Veja a seguir uma situação relacionada a uma função exponencial. Durante determinado período de seu desenvolvimento, a altura de certo tipo de planta dobra a cada mês. Sabendo que a altura da planta no início desse período é 1 cm, calcularemos a altura dessa planta ao final do 4º mês. Ao final do:
1º mês, a altura dessa planta será 2 cm, pois 2.1=2
2º mês, a altura dessa planta será 4 cm, pois 2.2=4
3º mês, a altura dessa planta será 8 cm, pois 2.2.2=8
4º mês, a altura dessa planta será 16 cm, pois 2.2.2.2=16 Podemos escrever a altura da planta, a partir do final do 2º mês, da seguinte maneira:
2º mês: 2.2=22=4
2º mês: 2.2=22=4
2º mês: 2.2=22=4
Portanto, a altura da planta ao final do 4º mês será 16 cm. E qual será a altura dessa planta no final do mês x do período? Utilizando um raciocínio semelhante, podemos calcular a altura da planta por meio da fórmula A=2
x.
Observando essa fórmula, note que A é dado em função de x, e que a variável independente está em um expoente. Essa é uma função exponencial. Mas antes de estudarmos as funções exponenciais, bem como as equações e inequações exponenciais, revisaremos o conceito de potenciação. 5.2) Potências e suas propriedades A operação de potenciação corresponde a uma multiplicação de fatores iguais. 5.5.5.5.=5
4=625
Na potenciação podemos destacar os seguintes elementos:
Expoente 5
4=625 Potência
Base
85
Propriedades:
5.3) Equações Exponenciais
São equações que possuem uma incógnita no expoente. São resolvidas fazendo com que suas bases fiquem iguais. A partir daí, é só igualar os expoentes e então, determinar o valor da incógnita. Basta usar as propriedades de potenciação ou de radiciação acima e pronto!
As condições impostas à base de uma função exponencial a tornam uma função bijetora. Desse modo,
se x ya a x y . Esta propriedade nos permite resolver uma série de equações cuja variável aparece no
expoente, e por isso são chamada de equações exponenciais. Para resolver uma equação exponencial tente transformar a equação dada em outra equivalente, da
forma x ya a . Para isso use inicialmente as propriedades da potenciação.
Exemplo: 3
x = 81
Resolução Como 81 = 3
4, podemos escrever 3
x = 3
4
Então, x = 4
5.4) Função Exponencial
A função exponencial é uma das funções matemáticas mais úteis e poderosas em estudos ambientais, aplicável, entre outros exemplos, ao crescimento das populações e das suas necessidades (consumo de recursos) e ao estudo de problemas como a acumulação de poluentes e ainda no crescimento financeiro e suas ações. Podemos observar que a função exponencial possui uma característica peculiar, de que ao longo do tempo, ela tende a duplicar os seus valores (quando crescente) ou reduzirem à metade (quando decrescente).
Toda relação de dependência, em que uma incógnita depende do valor da outra, é denominada função. A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente.
:f R R tal que y = a x, sendo que a > 1 ou 0 < a < 1.
86
Exemplo:
(Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0 * 2
–0,2t, em que v0 é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver
valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada. Temos que v(10) = 12 000, então: v(10) = v0 * 2
–0,2*10
12 000 = v0 * 2
–2
12 000 = v0 * 1/4 12 000 : 1/ 4 = v0 v0 = 12 000 * 4 v0 = 48 000
A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.
5.5) Gráfico da Função Exponencial
:f R R tal que ( ) xf x a
1° Caso: Se a > 0, a função é crescente. 2° Caso: Se 0 < a < 1, a função é decrescente.
Obs.: Veja que no primeiro caso a função é crescente, já no segundo ela decresce. Note ainda que em ambos
os casos o gráfico da função ( ) xf x a não toca o eixo-x e, além disso a exponencial sempre toca o eixo-y no
ponto 1y , isso ocorre pois 0 1a .
5.6) Principais propriedades da Função Exponencial
(I) Domínio: ( )fD R
(II) Imagem: ( )Im f R (ou seja, 0y )
(III) Se 1a então f é crescente
Se 0 1a então f é decrescente
(IV) Não existe x R , tal que 0xa , ou seja a função exponencial não tem raiz. Assim o gráfico
se aproxima do eixo x, mas não o intercepta.
87
(V) A função exponencial é bijetora. Como conseqüência é inversível (admite função inversa).
(VI) A interseção do gráfico da função exponencial com o eixo y é o ponto (0,1).
(VII) A função exponencial é muito útil para descrever fenômenos nos quais os valores a serem
calculados dependem do valor existente em um determinado instante. Assim por exemplo, o crescimento populacional depende do número de indivíduos em um dado momento, a desintegração radioativa depende da quantidade existente de substância num dado instante. A função exponencial é útil na Biologia (produção de bactérias), na Arqueologia (determinação da idade dos fósseis), na Economia (juros compostos), etc.
5.7) O NÚMERO e (número de EULER)
Atribui-se a John Napier (link) a descoberta do número de Neper. É um número irracional e surge como limite, para valores muito grandes de n, da sucessão:
11
n
nan
Se 1n então 1 2a
Se 2n então 2 2,25a
Se 3n então 3 2,3703a
Se 10n então 10 2,5937a
Se 100n então 100 2,7048a
Se 1000n então 1000 2,7181a
Se 10000n então 10000 2,71828a
Quanto n tende para o infinito, o valor de na tende a se estabilizar em um número que representamos por e .
Seu valor aproximado é 2,71828e . O número e é irracional e é bastante utilizado como base da função
exponencial ( ) xf x e
5.8) Exercício comentado
Num laboratório é realizada uma experiência com um material volátil, cuja velocidade de volatilização é medida pela massa, em gramas, que decresce em função do tempo t, em horas, de acordo com a fórmula, m = - 3
2t - 3
2t+ 1 + 108. Assim sendo, o tempo máximo de que os cientistas dispõem para utilizar este material
antes que ele se volatilize totalmente é: a) Inferior a 15 minutos b) Superior a 15 minutos e inferior a 30 minutos c) Superior a 30 minutos e inferior a 60 minutos
88
d) Superior a 60 minutos e inferior a 90 minutos e) Superior a 90 minutos e inferior a 120 minutos
Resolução: Para que o material se volatilize totalmente, temos m > 0, logo: - 3
2t - 3
2t+ 1 + 108 > 0
Aplicando as propriedades de potência, temos: - (3
t)2 - 3
t . 3
1 + 108 > 0
Substituindo 3
t = y, temos:
- y2 - 3y + 108 > 0 x (-1)
y2
+ 3y - 108 < 0 Resolvendo a equação y
2 + 3y - 108 = 0
y’ = - 12 e y” = 9 Analisando o sinal temos:
, logo -12 < y < 9
Voltando na inequação inicial, temos: -12 < 3
t < 9
Logo: 3
t > -12 e
3
t < 9 => 3
t < 3
2 => t < 2h ou t < 120 min
RESPOSTA: E 5.9) Fixação
1) (ENEM 2014) Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão 2
x.5
y.7
z, na qual x, y e z são
números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7.
O número de divisores de N, diferentes de N, é:
2) A temperatura interna de uma geladeira (se ela não for aberta) segue a lei T(t) = 25 . (0,8)
t, onde t é o tempo
(em minutos) em que permanece ligada e T é a temperatura (em graus Celsius). Qual é a temperatura interna
89
da geladeira no instante em que ela foi ligada? Quantos graus Celsius essa temperatura alcançará dois minutos depois que a geladeira começar a funcionar?
a) 200° e 25° b) 25° e 20° c) 20° e 30° d) 25° e 16° e) 16° e 25°
3) (UFRJ) O gráfico que melhor representa a função mostrada na figura adiante, é:
4) Uma reserva florestal possui 10.000 árvores. Determine em quantos anos a quantidade de árvores estará reduzida à oitava parte, se a função que representa a quantidade de árvores por ano é dada por: y (t) =10000.2
-t
a) 2 anos b) 3 anos c) 4 anos d) 5 anos 5) Estima-se que daqui a t anos o valor de uma fazenda seja igual a 500.3
t milhares de reais. Após dois anos, a
valorização (aumento de valor) em relação a hoje será: a) 4 milhões de reais b) 3, 5 milhões de reais c) 2 milhões de reais d) 1, 5 milhão de reais e) 1 milhão de reais
6)(Puccamp) Pesquisadores da Fundação Osvaldo Cruz desenvolveram um sensor a laser capaz de detectar bactérias no ar em até 5 horas, ou seja, 14 vezes mais rápido do que o método tradicional. O equipamento, que aponta a presença de micro-organismos por meio de uma ficha ótica, pode se tornar um grande aliado no combate às infecções hospitalares. Suponha que o crescimento de uma cultura de bactérias obedece à
lei , na qual N representa o número de bactérias no momento t, medido em horas. Se, no momento
inicial, essa cultura tinha 200 bactérias, ao fim de 8 horas o número delas era:
a) 3 600 b) 3 200 c) 3 000 d) 2 700 e) 1 800 7) (Uni-Rio RJ-05) Você deixou sua conta negativa em R$ 100,00 em um banco que cobrava juros de 10% ao mês no cheque especial. Um tempo depois, você recebeu um extrato e observou que sua dívida havia duplicado. Sabe-se que a expressão que determina a dívida(em reais) em relação ao tempo t (em meses) é dada por: X(t) = 100 (1,10)
t
Após quantos meses a sua dívida duplicou?
a) log1,10 2
90
b) log2 1,10 c) log 2 d) log 1,10 e) log 2,10 8) (PUC SP-06) Considere que em julho de 1986 foi constatado que era despejada uma certa quantidade de litros de poluentes em um rio e que, a partir de então, essa quantidade dobrou a cada ano. Se hoje a quantidade de poluentes despejados nesse rio é de 1 milhão de litros, há quantos anos ela era de 250 mil litros?
a) Nada se pode concluir, já que não é dada a quantidade despejada em 1986.
b) Seis.
c) Quatro.
d) Dois.
e) Um.
9) (UFLA) A tabela abaixo fornece os dados simulados do crescimento de uma árvore. A variável X é o tempo
em anos e Y, a altura em dm.O esboço do gráfico que melhor representa os dados da tabela é
10) O preço de um automóvel novo é P0 (em reais). Ele sofre uma desvalorização de 10% ao ano. Expresse a lei que dá o preço P desse automóvel após n anos de uso. a) P = P0 . (0,8)
n
b) P = P0 . (0,81)n
c) P = P0 . (0,1)n
d) P = P0 . (0,9)n
e) P = P0 . (0,5)n
11) Calcule x em :
a) 2 b) – 1 c) 0 d) 1 e) 1
12) (Mackenzie) O gráfico mostra, em função do tempo, a evolução do número de bactérias em certa cultura.
Dentre as alternativas abaixo, decorridos 30 minutos do início das observações, o valor mais próximo desse
número é:
91
a) 18.000 b) 20.000 c) 32.000 d) 14.000 e) 40.000
13) Num certo ano, uma passagem aérea entre São Paulo e Paris custava mil dólares. Dão pra frente, esse preço vem sofrendo reajustes anuais de 10%. Expresse a lei que dá o preço da passagem aérea entre São Paulo e Paris em função do tempo t, em anos. a) P = 1000 . (1,1)
t
b) P = 1000 . (1,001)t
c) P = 1000 . (1,2)t
d) P = 1000 . (1,01)t + 1
e) P = 1000 . (1,01)t
14) (UFSM) Um piscicultor construiu uma represa para criar traíras. Inicialmente, colocou 1.000 traíras na
represa e, por um descuido, soltou 8 lambaris. Suponha-se que o aumento das populações de lambaris e
traíras ocorre, respectivamente, segundo as leis L(t)=L³10 T(t)=T³2 , onde L³ é a população inicial de lambaris,
T³, a população inicial de traíras e t, o número de anos que se conta a partir do ano inicial.
Considerando-se log 2 = 0,3, o número de lambaris será igual ao de traíras depois de quantos anos?
a) 30 b) 18 c) 12 d) 6 e) 3 15) (UFPA PA-06) As unidades de formação da colônia (u.f.c.) de bactérias são dadas em função do tempo t, em horas, pela função C(t)=10
7.(1/5)
5t . Se numa determinada hora t a colônia possui 9766 u.f.c., dez minutos
depois essa colônia terá:
a) sido extinta.
b) atingido seu crescimento máximo.
c) aumentado.
d) diminuído.
e) permanecido constante. 16) Os números inteiros x e y satisfazem 2
x + 1 + 2
x = 3
y + 2 – 3
y. Então x é:
a) – 1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3
92
17) (PUC-SP) Em 1996, uma indústria iniciou a fabricação de 6000 unidades de certo produto e, desde então,
sua produção tem crescido à taxa de 20% ao ano. Nessas condições, em que ano a produção foi igual ao triplo
da de 1996?
(Dados: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48)
a) 1998 b) 1999 c) 2000 d) 2001 e) 2002
18) (UFF ) A população de marlim-azul foi reduzida a 20% da existente há cinquenta anos (em 1953). Considerando que foi constante a razão anual (razão entre a população de um ano e a do ano anterior) com que essa população decresceu durante esse período, conclui-se que a população de marlim-azul, ao final dos primeiros vinte e cinco anos (em 1978), ficou reduzida a aproximadamente: a) 10% da população existente em 1953 b) 20% da população existente em 1953 c) 30% da população existente em 1953 d) 45% da população existente em 1953 e) 65% da população existente em 1953 19) (Mogi-SP) O número N de decibéis e a potência I de um som medida em watts por centímetro quadrado estão relacionados pela fórmula I = 10
-16 . 10
N/10 . O número de decibéis corresponde ao som provocado pelo
tráfego pesado de veículos, cuja potência é estimada em 10-8
watts por centímetro quadrado, é igual a: (a) 40 (b) 80 (c) 60 (d) 120 (e) 200 20) Suponha que, t minutos após injetar-se a primeira dose de uma medicação na veia de um paciente, a quantidade dessa medicação existente na corrente sanguínea seja dada, em ml , pela função Q(t) = 50 .2
-t/180 e
que o paciente deva receber outra dose quando a medicação existente em sua corrente sanguínea for igual a ¼ da quantidade que lhe foi injetada. Nessas condições, o intervalo de tempo, em horas, entre a primeira e a segunda dose da medicação, deverá ser igual a: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 d) 10
21) (PUC-MG) Uma população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas. Assim, o número n de
bactérias após t horas é dado pela função:
Nessas condições, pode-se afirmar que a população será de 51.200 bactérias depois de:
a) 1 dia e 3 horas. b) 1 dia e 9 horas. c) 1 dia e 14 horas. d) 1 dia e 19 horas. 22) (UFSCar SP-07) Para estimar a área da figura ABDO (sombreada no desenho), onde a curva AB é parte da representação gráfica da função f(x) = 2x, João demarcou o retângulo OCBD e, em seguida, usou um programa de computador que plota pontos aleatoriamente no interior desse retângulo. Sabendo que dos 1000 pontos plotado, apenas 540 ficaram no interior da figura ABDO, a área estimada dessa figura, em unidades de área, é igual a:
93
a) 4,32. b) 4,26. c) 3,92. d) 3,84. e) 3,52.
GABARITO
1 E 2 D 3 C 4 B 5 A 6 B 7 A 8 D 9 D 10 D
11 A 12 B 13 A 14 E 15 D 16 C 17 E 18 A 19 B 20 C
21 A 22 D
5.10) Pintou no ENEM (ENEM) A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos.
Suponha que o modelo exponencial y = 363e
0,03x, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao
ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando e
0,3 = 1,35, estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre
A) 490 e 510 milhões. B) 550 e 620 milhões. C) 780 e 800 milhões. D) 810 e 860 milhões. E) 870 e 910 milhões. Resposta: E
94
5.11) Sessão Leitura
Radioatividade
A radioatividade é definida como a capacidade que alguns elementos fisicamente instáveis possuem de emitir
energia sob forma de partículas ou radiação eletromagnética.
A radioatividade foi descoberta no século XIX. Até esse momento predominava a ideia de que os átomos eram
as menores partículas da matéria. Com a descoberta da radiação, os cientistas constataram a existência de
partículas ainda menores que o átomo, tais como: próton, nêutron, elétron. Vamos rever um pouco dessa
história?
- No ano de 1896, o físico francês Antoine-Henri Becquerel (1852-1908) observou que um sal de urânio possuía
a capacidade de sensibilizar um filme fotográfico, recoberto por uma fina lâmina de metal.
- Em 1897, a cientista polonesa Marie Sklodowska Curie (1867-1934) provou que a intensidade da radiação é
sempre proporcional à quantidade do urânio empregado na amostra, concluindo que a radioatividade era um
fenômeno atômico.
Anos se passaram e a ciência foi evoluindo até ser possível produzir a radioatividade em laboratório. Veja a
diferença entre radiação natural e artificial:
• Radioatividade natural ou espontânea: é a que se manifesta nos elementos radioativos e nos isótopos que se
encontram na natureza.
• Radioatividade artificial ou induzida: é aquela produzida por transformações nucleares artificiais.
A radioatividade geralmente provém de isótopos como urânio-235, césio-137, cobalto-60, tório-232, que são
fisicamente instáveis e radioativos, possuindo uma constante e lenta desintegração. Tais isótopos liberam
energia através de ondas eletromagnéticas (raio gama) ou partículas subatômicas em alta velocidade: é o que
chamamos de radiação. O contato da radiação com seres vivos não é o que podemos chamar de uma boa
relação.
Os efeitos da radiação podem ser em longo prazo, curto prazo ou
apresentar problemas aos descendentes da pessoa infectada (filhos,
netos). O indivíduo que recebe a radiação sofre alteração genética, que
pode ser transmitida na gestação. Os raios afetam os átomos que
estão presentes nas células, provocando alterações em sua estrutura.
O resultado? Graves problemas de saúde como a perda das
propriedades características dos músculos e da
capacidade de efetuar as sínteses necessárias à
sobrevivência.
95
A radioatividade pode apresentar benefícios ao homem e por isso é utilizada em diferentes áreas. Na medicina,
ela é empregada no tratamento de tumores cancerígenos; na indústria é utilizada para obter energia nuclear; e
na ciência tem a finalidade de promover o estudo da organização atômica e molecular de outros elementos.
Diversos estudos foram realizados acerca de elementos radioativos. Por meio deles, foi possível constatar que
toda substancia radioativa sobre transmutação, ou seja, um decaimento radioativo, tendo sua quantidade de
átomos, e consequentemente sua massa e atividade, diminuída com o passar do tempo. Para acompanhar
esse decaimento, foi estabelecido como padrão o período necessário para que a quantidade de átomos
radioativos, a massa e a atividade de um elemento sejam reduzidas à metade em relação à quantidade anterior,
o que é designado por meia-vida. Em determinado momento, sua quantidade de átomos radioativos se torna
tão insignificante que não permite mais distinguir suas radiações das presentes no meio ambiente.
http://www.brasilescola.com/quimica/radioatividade
1) Considerando uma amostra com 3g de iodo-131, cuja meia-vida é de 8 dias, quantos gramas de iodo-131 ainda haveria nessa amostra após:
8 dias?
16 dias?
24 dias?
32 dias? 2) Qual das funções determina a quantidade f de iodo-131 na amostra após x dias?
F(x)=3.(1/2)x
F(x)=3.(1/2)x/8
F(x)=3.(1/2)8x
5.12) Referências MELLO,J. L.P. Matemática: Construção e significado. Volume único. 1. Ed. São Paulo: Moderna, 2005. SOUZA, Joamir. Matemática: Novo Olhar. Volume 1. 1 Ed. São Paulo: FTD, 2010. PAIVA,Manoel. Matemática. Volume único. 1 Ed. São Paulo: Moderna, 2005. Joaquim Rodrigues, Função Exponencial, disponível em < http://professorjoaquim.com/ensino-superior/calculo/04-funcao-exponencial-3/> acesso 10/01/2014.
96
6 ) Logaritmo e Função Logarítmica 6.1) Estudando Logaritmo Os logaritmos foram desenvolvidos pelo escocês John Napier (1550 – 1617), no início do século XVIII. Antes do seu desenvolvimento, efetuar cálculos como, por exemplo, 1,45786.2,38761 era, em geral, trabalhoso e demorado. Contudo, após a descoberta de Napier, operações deste tipo puderam ser transformadas em adições e subtrações, o que na maioria dos casos era muito mais simples e rápido. 6.2) Definição de Logaritmo
Chama-se logaritmo de um número x na base a (a > 0 e a ≠ 1), ao número a que é necessário elevar a base a para obter x e escreve-se
loga y = x <=> ax = y,
ou seja, o logaritmo de um número, numa dada base, é o expoente a que é preciso elevar a base para obter o número.
loga y = x <=> ax = y , onde: y > 0, a > 0 e a 1.
a = base do logaritmo; y = logaritmando, y > 0; x = logaritmo. Exemplo: Calcular log3729 Basta igualar a x, assim: log3729 = x, daí, por definição, o logaritmando é igual à base elevado ao resultado x, veja: log3729 = x 729 = 3
x . Fatoramos 729 e encontramos 729 = 3
6 , logo:
log3729 = x 729 = 3x
36 = 3
x e nessa igualdade, temos que se as bases são
iguais, então seus expoentes também são iguais, logo, x = 6. 6.3) Propriedades Decorrem da definição de logaritmo as seguintes prpriedades para:
0 < a 1, N > 0 e R
01loga , pois a0 =1
1aloga , pois a¹ = a
aloga, pois a = a·.
NaNa
log , pois NaNlogNlogNlog
aaa
97
– Logaritmo do produto
Se 0 < a 1, M > 0 e N > 0 então:
NMNM aaa loglog)(log
Ex.: log5(25.625) = log5(25) + log5(625) = log55
2 + log55
4 = 2 + 4 = 6
– Logaritmo do Quociente
Se 0 < a 1, M > 0 e N > 0, então:
NlogMlogN
Mlog aaa
Ex.: log4(1/16) = log41 – log416 = 0 – 2 = -2 – Logaritmo da Potência
Se o < a 1 e N > 0 e m R, então:
Nlogm)N(log am
a
Ex.: log2 3
1/2 = ½ log23
- Mudança de Base Em vários cálculos de logaritmos ou operações envolvendo logaritmos é preciso transformar a base do
logaritmo em outra, para facilitar as operações. Dado o logaritmo loga x = y de base a, para transformar o mesmo logaritmo para a base b, o logaritmo ficará assim: logb x = z. Calculando o valor de cada logaritmo iremos encontrar duas equações exponenciais: loga x = y → x = a
y
logb x = z → x = b
z
Igualando as duas equações teremos: a
y = b
z
Assim, podemos montar o seguinte logaritmo: z = log b a
y → utilizando uma das propriedades operatórias dos logaritmos, temos:
z = y . log b a → substituindo z por log b x, temos: log b x = y . log b a → substituindo y por loga x, temos: log b x = log a x . log b a → isolando o logaritmo de base a, temos:
loga x = log b x
log b a
98
6.4) Logaritmo decimal Chama-se logaritmo decimal aquele de base 10. Indica-se o logaritmo decimal de um número a simplesmente por log a (a base 10 fica subentendida). Exemplo:
Log é o expoente x tal que 10x =
Temos:
10x = 10
x = 10
-3 => x = -3
6.5) Função Logarítmica Toda função definida pela lei de formação f(x) = logax, com a ≠ 1 e a > 0 é denominada função logarítmica de base a. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais.
ylogxay ax ou permutando as variáveis: xlogy a
6.6) O gráfico de uma função logarítmica Uma função logarítmica é crescente se a>1. Sempre que aumentamos os valores de x, os valores
correspondentes de y também aumentam, isto é: 2a1a21 xlogxlogxx0
Uma função logarítmica é decrescente se a > 1. Sempre que aumentamos os valores de x, os valores
correspondentes de y diminuem, isto é: 2a1a21 xlogxlogxx0
99
a) O gráfico da função logarítmica passa sempre pelo ponto (1,0). b) O gráfico nunca toca o eixo y e não ocupa pontos dos quadrantes II e III. c) Quando a > 1, a função logarítmica é crescente (x1 > x2 loga x1 > loga x2). d) Quando 0 < a <1, a função logarítmica é decrescente (x1 > x2 loga x1 < loga x2). 6.7) Exercício comentado
(UERJ) Um lago usado para abastecer uma cidade foi contaminado após um acidente industrial, atingindo o nível de
toxidez T0, correspondente a dez vezes o nível inicial. Leia as informações a seguir.
• A vazão natural do lago permite que 50% de seu volume sejam renovados a cada dez dias.
• O nível de toxidez T(x), após x dias do acidente, pode ser calculado por meio da seguinte equação:
Considere D o menor número de dias de suspensão do abastecimento de água, necessário para que a toxidez retorne ao
nível inicial. Sendo log 2 = 0,3, o valor de D é igual a:
a) 30
b) 32
c) 34
d) 36
RESOLUÇÃO:
Perceba que o nível atingiu T0. E T0 é 10 vezes o valor inicial, que chamaremos de Ti
Assim, T0 = 10Ti
T(i) = T0 . (0,5)0,1i
T(i) = 10Ti . (0,5)0,1
Passando 10Ti para o 1º membro e dividindo,
= (0,5)0,1i
Dividindo T(i) por 10Ti, temos 1/10 e simplificando 0,5 que é o mesmo que escrever ,
temos .
= (0,5)0,1i
Precisamos igualar as bases para operar com os expoentes.
1/10 = (1/2)0,1i
100
O problema é igualar as bases entre 1/10 e 1/2. Vamos transformar para logaritmo e usar a propriedade de
mudança de base dos logaritmos.
1/10 = (1/2)0,1i
fica
, fazando a mudança de base:
Log1/10 é o mesmo que log1 – log 10 e log1/2 é o mesmo que log1 – log2
Log1 = 0, log10 = 1 e log2 = 0,3, então;
A opção mais próxima é 34. Resposta letra C
6.8) Fixação
1) (UFF) A figura representa o gráfico da função f definida por f(x) = 2 :
A medida do segmento PQ é igual a:
a) b) c) log 5 d) 2 e) log 2
2) (Puccamp 2005) No dia 7 de fevereiro de 1984, a uma altura de 100 km acima do Havaí e com uma
velocidade de cerca de 29 000 km/h, Bruce Mc Candless saindo de um ônibus espacial, sem estar preso
por nenhuma corda, tornou-se o primeiro satélite humano. Sabe-se que a força de atração F entre o
astronauta e a Terra é proporcional a (m.M)/r², onde m é a massa do astronauta, M a da Terra, e r a
101
distância entre o astronauta e o centro da Terra.
(Halliday, Resnick e Walker. Fundamentos de Física. v. 2. Rio de Janeiro: LTC, 2002. p.36)
A lei da atração gravitacional, dada pela fórmula F = G [(m . M)/r2] é equivalente a
a) log F = 1/2 (log G + log m + log M - log r)
b) log m = 1/2 (log G + log M + log F - log r)
c) log r = 1/2 (log G + log m + log M - log F)
d) log M = 1/2 (log G + log m + log F - log r)
e) log F = (log G) . (log m) . (log M) - 2 log r
3) (FUVEST) A figura abaixo mostra o gráfico da função logaritmo na base b. O valor de b é:
a) 1/4
b) 2
c) 3
d) 4
e) 10
4) (UFSM) O gráfico mostra o comportamento da função logarítmica na base a. Então o valor de a é:
a) 10 b) 2 c) 1 d) 1/2 e) -2
5) (PUC-PR) Se log (3x+23) – log (2x-3) = log 4, encontrar x.
102
a) 4 b) 3 c) 7 d) 6 e) 5
6) A energia nuclear, derivada de isótopos radiativos, pode ser usada em veículos espaciais para fornecer potência. Fontes de energia nuclear perdem potência gradualmente, no decorrer do tempo. Isso pode ser
descrito pela função exponencial 2500 .
t
ePP
na qual P é a potência instantânea, em watts, de
radioisótopos de um veículo espacial; P 0 é a potência inicial do veículo; t é o intervalo de tempo, em dias, a partir de t 0 = 0; e é a base do sistema de logaritmos neperianos. Nessas condições, quantos dias são necessários, aproximadamente, para que a potência de um veículo espacial se reduza à quarta parte da potência inicial? (Dado: In2=0,693) a) 336 b) 338 c) 340 d) 342 e) 347 7) Os biólogos dizem que há uma alometria entre duas variáveis, x e y, quando é possível determinar duas
constantes, c e n, de maneira que nxcy . . Nos casos de alometria, pode ser conveniente determinar c e
n por meio de dados experimentais. Consideremos uma experiência hipotética na qual se obtiveram os dados da tabela a seguir.
Supondo que haja uma relação de alometria entre x e y e considerando 301,02log , pode-se afirmar
que o valor de n é: a) 0,398 b) 0,699 c) 0,301 d) 0,477
8) (UERJ) Para melhor estudar o Sol, os astrônomos utilizam filtros de luz em seus instrumentos de
observação. Admita um filtro que deixe passar da intensidade da luz que nele incide. Para reduzir essa
intensidade a menos de 10% da original, foi necessário utilizar n filtros. Considerando log 2 = 0,301, o
menor valor de n é igual a:
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12
9) (UFSM) O gráfico mostra o comportamento da função logarítmica na base a.
Então o valor de “a” é:
103
a) 10 b) 2 c) 1 d) ½ e) -2
10) Se log 10 8 = a então log 10 5 vale a) a
3 b) 5a – 1 c) 2a/3 d) 1 + a/3 e) 1 - a/3
11) A soma das raízes da equação 32log 53
2
2
xx é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 12) Nessa figura, está representado o gráfico de f(x) =log n x. O valor de f(128) é: a) 5/2 b) 3 c) 7/2 d) 7 13) (UFSCar SP-01) A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina à produção de madeira, evolui, desde que é plantada, segundo o seguinte modelo matemático: h(t) = 1,5 + log3(t+1), com h(t) em metros e t em anos. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5 m de altura, o tempo (em anos) transcorrido do momento da plantação até o do corte foi de: a) 9. b) 8. c) 5. d) 4. e)3.
14) (MACKENZIE) O pH do sangue humano é calculado por pH = log , sendo X a molaridade dos íons
H3O+. Se essa molaridade for dada por 4,0 .10
-8 e, adotando-se log 2 = 0,30, o valor desse pH será:
a) 7,20 b) 4,60 c) 6,80 d) 4,80 e) 7,40
15) (UERJ) O número, em centenas de indivíduos, de um determinado grupo de animais, x dias após a
liberação de um predador no seu ambiente, é expresso pela seguinte função:
Após cinco dias da liberação do predador, o número de indivíduos desse grupo presentes no ambiente será
igual a:
a) 3 b) 4 c) 300 d) 400
16) Os átomos de um elemento químico radioativo possuem uma tendência a se desintegrarem (emitindo partículas e se transformando em outro elemento). Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade original desse elemento diminui. Suponhamos que certa quantidade de um elemento radioativo com inicialmente 0 m gramas de massa se decomponha segundo a equação matemática: m(t) = m0 . 10
-t/70 , onde
m(t) é a quantidade de massa radioativa no tempo t (em anos). Determine quantos anos demorará para que esse elemento se decomponha até atingir um oitavo da massa inicial.
104
a) 63 anos b) 70 anos c) 8 anos d) 49 anos
e) 20 anos
17) O resultado da expressão é: a) 8 b) 3 c) 7 d)2 e)5
18) O altímetro dos aviões é um instrumento que mede a pressão atmosférica e transforma esse resultado
em altitude. Suponha que a altitude h acima do nível do mar, em quilômetros, detectada pelo altímetro de
um avião seja dada, em função da pressão atmosférica p, em atm, por
Num determinado instante, a pressão atmosférica medida pelo altímetro era 0,4 atm. Considerando a
aproximação log10 2 = 0,3, a altitude do avião nesse instante, em quilômetros, era de:
a) 5
b) 8
c) 9
d) 11
e) 12
19) (Puccamp 2005) O ponto forte das políticas públicas de conservação de água da cidade de Campinas
está relacionado a um amplo programa de educação ambiental, em especial no que diz respeito à
recuperação da qualidade dos cursos d'água urbanos. Na tabela abaixo, têm-se dados sobre a utilização de
água em Campinas no período de 1993 a
2003.
(Adaptado da Revista Saneamento Ambiental. Ano XIV. n. 105. São Paulo: Signus. p. 39)
105
Para a concretização da melhoria da qualidade dos cursos d'água urbanos, obras de ampliação da rede
coletora e de construção de estações de tratamento estão sendo realizadas de modo que, após t anos, a
quantidade de poluentes seja dada por Q = Q0 . 2-n
, em que n é uma constante e Q0 a quantidade de
poluentes observada inicialmente. Se 36% da quantidade de poluentes foram removidos ao fim do segundo
ano, então a porcentagem da poluição restante ao fim de seis anos, em relação a Q0, será
a) 33%
b) 25% Dado:
c) 20% log 2 = 0,30
d) 16%
e) 12%
20) (FUVEST 2010)
A magnitude de um terremoto na escala Richter é proporcional ao logaritmo, na base 10, da energia
liberada pelo abalo sísmico. Analogamente, o pH de uma solução aquosa é dado pelo logaritmo, na base
10, do inverso da concentração de íons H+. Considere as seguintes afirmações:
I. O uso do logaritmo nas escalas mencionadas justificasse pelas variações exponenciais das grandezas
envolvidas.
II. A concentração de íons H+ de uma solução ácida com pH 4 é 10 mil vezes maior que a de uma solução
alcalina com pH 8.
III. Um abalo sísmico de magnitude 6 na escala Richter libera duas vezes mais energia que outro, de
magnitude 3. Está correto o que se afirma somente em:
a) I
b) II
c) III
d) I e II
e) I e III
GABARITO
1 B 2 C 3 D 4 D 5 C 6 E 7 A 8 C 9 D 10 E
11 C 12 A 13 B 14 E 15 C 16 A 17 B 18 B 19 B 20 D
6.9) Pintou no ENEM
A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como Mw), introduzida em 1979 por
Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em
termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para
estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS
é uma escala logarítmica. Mw e M0 se relacionam pela fórmula:
106
Onde M0 é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície,
através dos sismogramas), cuja unidade é o dina.cm.
O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de Janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior
impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude Mw = 7,3.
U.S. GEOLOGICAL SURVEY.Historic Earthquakes.
Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em 1 maio 2010 (adaptado)
U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude Policy.
Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em 1 maio 2010 (adaptado)
Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o
momento sísmico M0 do terremoto de Kobe em (dina.cm)?
a) 10
-5,10 b) 10
-0,73 c) 10
12,00 d) 10
21,65 e) 10
27,00
Resposta: e
6.10) Sessão Leitura
pH
O pH é símbolo para a grandeza físico-química potencial hidrogeniônico que indica a acidez, neutralidade ou alcalinidade de uma solução aquosa. O termo pH foi introduzido, em 1909, pelo bioquímico dinamarquês Søren Peter Lauritz Sørensen (1868-1939) com o objetivo de facilitar seus trabalhos no controle de qualidade de cervejas (na época trabalhava no Laboratório Carlsberg, da cervejaria homônima). O "p" vem do alemão potenz, que significa poder de concentração, e o "H" é para o íon de hidrogênio (H
+).
Wikipédia pH é o log negativo de base 10 da concentração molar de íons hidrogênio (H+) pH: - log [H+] Exemplo: a concentração molar por litro do suco gástrico é: [10
-1] mol/l. Qual seria seu pH?
pH: - log [H+] pH: - log [10
-1]
Dicas sobre logaritmos: • O expoente que esta no número 10 , "cai" • pH = - -1 log [10] • Multiplicando o logaritmo, no caso o –1 do expoente de 10 irá multiplicar o –1 já presente. • pH = + 1 log [10] • Como a base do logaritmo é dez, então: • pH = log [10] = 1 O pH do suco gástrico é 1.
Se o expoente do log for negativo, o pH será positivo pOH
107
pOH é o símbolo para potencial hidroxiiônico. Para encontrar o valor do pOH , calculamos o valor do logaritmo negativo de base 10 da concentração molar de hidroxilas [OH-] da solução pOH: - log [OH-] Escala de pH A escala de pH foi criada pelos químicos, ela é eficaz para classificar as substâncias em ácidas ou básicas. Assim, se soluções a 25 ºC tem pH variando de 0 até um valor inferior a 7 será uma solução ácida, se o pH for um valor superior a 7 e inferior a 14 a solução será uma base e se a soluçao tiver um pH de 7 a solução será neutra. Quando o valor da concentração molar hidrogeniônica da solução: [H+] FOR GRANDE O VALOR DO pH SERÁ PEQUENO. Quando o valor do pH FOR PEQUENO O VALOR DA CONCENTRAÇÃO HDROGENIÔNICA: [H + ] SERÁ GRANDE. Escala de pOH Os valores de pH e pOH somados resultam 14, ou seja: pH + pOH : 14.
6.7) Referências MELLO,J. L.P. Matemática: Construção e significado. Volume único. 1. Ed. São Paulo: Moderna, 2005. SOUZA, Joamir. Matemática: Novo Olhar. Volume 1. 1 Ed. São Paulo: FTD, 2010. PAIVA,Manoel. Matemática. Volume único. 1 Ed. São Paulo: Moderna, 2005. <http://pt.wikipedia.org/wiki/Ph> acessado em 10/01/2015