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Notas de Topologia Geral

Jorge Mujica

Disciplina ministrada no IMECC-UNICAMPdurante o primeiro semestre de 2005

Sumario

1. Teoria de conjuntos................................................................12. Espacos metricos....................................................................43. Espacos topologicos................................................................74. Aderencia e interior de um conjunto......................................95. Sistemas de vizinhancas........................................................126. Bases para os abertos............................................................167. Subespacos............................................................................188. Funcoes contınuas.................................................................209. Produtos infinitos e o axioma da escolha.............................2310. O espaco produto...............................................................2511. O espaco quociente.............................................................2912. Convergencia de sequencias................................................3213. Convergencia de redes........................................................3414. O lema de Zorn e o teorema de Zermelo............................3815. Convergencia de filtros.......................................................4216. Espacos de Hausdor↵..........................................................4717. Espacos regulares................................................................5018. Espacos normais.................................................................5219. Espacos completamente regulares.......................................5820. Primeiro e segundo axioma de enumerabilidade.................6321. Espacos compactos.............................................................6922. Espacos localmente compactos...........................................7623. A compactificacao de Alexandro↵......................................7924. A compactificacao de Stone-Cech.......................................8125. Espacos metrizaveis............................................................8426. Espacos conexos..................................................................8727. Componentes conexas.........................................................9128. Espacos conexos por caminhos............................................9329. Homotopia...........................................................................9630. O grupo fundamental..........................................................9931. O grupo fundamental do cırculo unitario..........................103Bibliografia..............................................................................108

1. Teoria de conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, diremos que A e subconjunto de B, e escreve-remos A ⇢ B, se cada elemento de A pertence a B, ou seja se x 2 A implicax 2 B.

Diremos que A e igual a B, e escreveremos A = B, se A e B tem os mesmoselementos, ou seja se A ⇢ B e B ⇢ A.

A uniao, a intersecao, e a diferenca de dois conjuntos A e B e definida por

A [B = {x : x 2 A ou x 2 B},

A \B = {x : x 2 A e x 2 B},

A \ B = {x : x 2 A e x /2 B}.

Se estamos considerando subconjuntos de um conjunto fixo X, entao o conjuntoX \ A e chamado de complementar de A em X, e e denotado por A

c.A uniao e a intersecao de uma famılia de conjuntos Ai (i 2 I) e definida por

[

i2I

Ai = {x : x 2 Ai para algum i 2 I},

\

i2I

Ai = {x : x 2 Ai para todo i 2 I}.

Dado um conjunto X, P(X) denota o conjunto formado pelos subconjuntosde X, ou seja

P(X) = {A : A ⇢ X}.

; denota o conjunto vazio. N denota o conjunto dos numeros naturais, ouseja o conjunto dos inteiros positivos. Z denota o conjunto dos inteiros. Q

denota o conjunto dos numeros racionais. R denota o conjunto dos numerosreais. C denota o conjunto dos numeros complexos.

O produto cartesiano X⇥Y de dois conjuntos X e Y e o conjunto dos paresordenados (x, y) tais que x 2 X e y 2 Y . O produto cartesiano X1 ⇥ ... ⇥Xn

de n conjuntos X1,...,Xn e o conjunto das n-uplas (x1, ..., xn) tais que xi 2 Xi

para i = 1, ..., n. Escreveremos X

n em lugar de X ⇥ ...⇥X (n vezes).Uma funcao ou aplicacao f de X em Y , denotada por f : X ! Y , e

uma regra que associa a cada elemento x 2 X um unico elemento f(x) 2Y . O conjunto X e chamado de domınio de f . O conjunto Y e chamado decontradomınio de f .

f e dita injetiva se f(x1) = f(x2) implica x1 = x2. f e dita sobrejetiva separa cada y 2 Y existe x 2 X tal que f(x) = y. f e dita bijetiva se e injetiva esobrejetiva. Se f : X ! Y e bijetiva, a funcao inversa f

�1 : Y ! X e definidapor f

�1(y) = x se f(x) = y.O grafico de f e o conjunto

Gf = {(x, y) 2 X ⇥ Y : y = f(x)}.

1

Dados A ⇢ X e B ⇢ Y , a imagem de A e a imagem inversa de B sao osconjuntos

f(A) = {y 2 Y : y = f(x) para algum x 2 A},

f

�1(B) = {x 2 X : f(x) 2 B}.

Dadas duas aplicacoes f : X ! Y e g : Y ! Z, a aplicacao composta

g � f : X ! Z e definida por g � f(x) = g(f(x)) para todo x 2 X.Uma relacao R num conjunto X e um subconjunto R de X ⇥ X. Com

frequencia escreveremos xRy se (x, y) 2 R.Uma relacao R em X e dita reflexiva se xRx para todo x 2 X. R e dita

simetrica se xRy implica yRx. R e dita transitiva se xRy e yRz implicamxRz. Diremos que R e uma relacao de equivalencia se R e reflexiva, simetricae transitiva.

Exercıcios

1.A. Se Ai ⇢ X para cada i 2 I, prove as leis de De Morgan:

(a) X \[

i2I

Ai =\

i2I

(X \ Ai).

(b) X \\

i2I

Ai =[

i2I

(X \ Ai).

1.B. Seja f : X ! Y uma aplicacao. Dados B ⇢ Y e Bi ⇢ Y para cadai 2 I, prove que:

(a) f

�1([

i2I

Bi) =[

i2I

f

�1(Bi).

(b) f

�1(\

i2I

Bi) =\

i2I

f

�1(Bi).

(c) f

�1(Y \ B) = X \ f

�1(B).

1.C. Seja f : X ! Y uma aplicacao. Dados A ⇢ X e Ai ⇢ X para cadai 2 I, prove que:

(a) f([

i2I

Ai) =[

i2I

f(Ai).

(b) f(\

i2I

Ai) ⇢\

i2I

f(Ai), com igualdade se f for injetiva.

(c) f(X \ A) ⇢ Y \ f(A) se f for injetiva.

(c0) f(X \ A) � Y \ f(A) se f for sobrejetiva.

2

1.D. (a) De exemplo de uma aplicacao f : X ! Y e conjuntos A1, A2 ⇢ X

tais que f(A1 \A2) 6= f(A1) \ f(A2).

(b) De exemplo de uma aplicacao f : X ! Y e um conjunto A ⇢ X tal quef(X \ A) 6= Y \ f(A).

1.E. Seja f : X ! Y uma aplicacao. Dados A ⇢ X e B ⇢ Y , prove que:

(a) A ⇢ f

�1(f(A)), com igualdade se f for injetiva.

(b) f(f�1(B)) ⇢ B, com igualdade se f for sobrejetiva.

1.F. (a) De exemplo de uma aplicacao f : X ! Y e um conjunto A ⇢ X talque A 6= f

�1(f(A)).

(b) De exemplo de uma aplicacao f : X ! Y e um conjunto B ⇢ Y tal quef(f�1(B)) 6= B.

1.G. Sejam f : X ! Y e g : Y ! X aplicacoes tais que g � f(x) = x paratodo x 2 X. Prove que f e injetiva e g e sobrejetiva.

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2. Espacos metricos

2.1. Definicao. Seja X um conjunto. Uma funcao d : X ⇥ X ! R echamada de metrica se verifica as seguintes propriedades para x, y, z 2 X:

(a) d(x, y) � 0;(b) d(x, y) = 0 se e so se x = y;(c) d(x, y) = d(y, x);(d) d(x, z) d(x, y) + d(y, z);A desigualdade (d) e chamada de desigualdade triangular. O par (X, d) e

chamado de espaco metrico. Com frequencia falaremos do espaco metrico X emlugar do espaco metrico (X, d).

2.2. Exemplos.

(a) X = R, d(x, y) = |x� y|.

(b) X = R

n, d(x, y) =qPn

j=1(xj � yj)2. Esta e a metrica euclideana.

(c) X = R

n, d(x, y) =Pn

j=1 |xj � yj |.

(d) X = R

n, d(x, y) = max{|x1 � y1|, ..., |xn � yn|}.

Em (b),(c) e (d), x = (x1, ..., xn), y = (y1, ..., yn).

(e) Se X e um conjunto qualquer, entao a metrica d : X ⇥X ! R definidapor d(x, y) = 1 se x 6= y e d(x, y) = 0 se x = y, e chamada de metrica discreta.

(f) Seja (X, d) um espaco metrico, e seja S ⇢ X. Entao S e um espacometrico com a metrica induzida dS , ou seja dS(x, y) = d(x, y) para todo x, y 2 S.

2.3. Definicao. Seja X um espaco metrico. Dados a 2 X e r > 0,consideremos os conjuntos

B(a; r) = {x 2 X : d(x, a) < r},

B[a; r] = {x 2 X : d(x, a) r}.O conjunto B(a; r) e chamado de bola aberta de centro a e raio r. O conjuntoB[a; r] e chamado de bola fechada de centro a e raio r.

2.4. Definicao. Seja X um espaco metrico. Um conjunto U ⇢ X e ditoaberto em X se para cada a 2 U existe r > 0 tal que B(a; r) ⇢ U . Um conjuntoF ⇢ X e dito fechado em X se X \ F e aberto.

2.5. Exemplos. (a) Cada bola aberta e um subconjunto aberto.(b) Cada bola fechada e um subconjunto fechado.

Demonstracao. (a) Seja x 2 B(a; r). Usando a desigualdade triangular efacil verificar que

B(x; r � d(x, a)) ⇢ B(a; r),

e portanto B(a; r) e aberto.

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(b) Para provar que B[a; r] e fechado, basta provar que X \B[a; r] e aberto.Seja x 2 X \B[a; r]. Usando a desigualdade triangular nao e dificil provar, porabsurdo, que

B(x; d(x, a)� r) ⇢ X \ B[a; r],

e portanto X \ B[a; r] e aberto.

2.6. Proposicao. Seja X um espaco metrico. Entao:

(a) ; e X sao abertos.

(b) A uniao de uma famılia arbitraria de abertos e um aberto.

(c) A intersecao de uma famılia finita de abertos e um aberto.

Demonstracao. (a) e claro.(b) Seja Ui aberto em X para cada i 2 I, e seja a 2

Si2I Ui. Entao a 2 Ui0

para algum i0 2 I. Como Ui0 e aberto, existe r > 0 tal que B(a; r) ⇢ Ui0 . LogoB(a; r) ⇢

Si2I Ui e

Si2I Ui e aberto.

(c) Seja Ui aberto em X para cada i 2 I, sendo I finito. Seja a 2T

i2I Ui, ouseja a 2 Ui para cada i 2 I. Para cada i 2 I existe ri > 0 tal que B(a; ri) ⇢ Ui.Seja r = mini2Iri. Segue que B(a; r) ⇢

Ti2I Ui e

Ti2I Ui e aberto.

2.7. Corolario. Seja X um espaco metrico. Entao:

(a) X e ; sao fechados.

(b) A intersecao de uma famılia arbitraria de fechados e um fechado.

(c) A uniao de uma famılia finita de fechados e um fechado.

Demonstracao. Basta aplicar a Proposicao 2.6 e as leis de De Morgan.

2.8. Definicao. Seja f : X ! Y , sendo X e Y espacos metricos. Diremosque f e contınua num ponto a 2 X se dado ✏ > 0, podemos achar � > 0 tal que

dX(x, a) < � implica dY (f(x), f(a)) < ✏,

ou sejaf(BX(a; �)) ⇢ BY (f(a); ✏).

Diremos que f e contınua se for contınua em cada ponto de X. Denotaremospor C(X;Y ) o conjunto de todas as funcoes contınuas f : X ! Y . Se Y = R,escreveremos C(X) em lugar de C(X;R).

2.9. Proposicao. Seja f : X ! Y , sendo X e Y espacos metricos. Entao

f e contınua num ponto a 2 X se e so se, para cada aberto V de Y contendo

f(a), existe um aberto U de X contendo a tal que f(U) ⇢ V .

Demonstracao. ()): Seja V um aberto de Y contendo f(a). Seja ✏ > 0tal que BY (f(a); ✏) ⇢ V . Por hipotese existe � > 0 tal que f(BX(a; �)) ⇢BY (f(a); ✏). Logo basta tomar U = BX(a; �).

((): Dado ✏ > 0, seja V = BY (f(a); ✏). Por hipotese existe um aberto U

de X contendo a tal que f(U) ⇢ V . Seja � > 0 tal que BX(a; �) ⇢ U . Segueque f(BX(a; �)) ⇢ BY (f(a); ✏).

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as seguintes condicoes sao equivalentes:

(a) f e contınua.

(b) f

�1(V ) e aberto em X para cada aberto V de Y .

(c) f

�1(B) e fechado em X para cada fechado B de Y .

Demonstracao. (a) ) (b): Seja V um aberto de Y . Pela Proposicao 2.9,para cada a 2 f

�1(V ), existe um aberto Ua de X contendo a tal que f(Ua) ⇢ V ,ou seja Ua ⇢ f

�1(V ). Segue que

f

�1(V ) =[

{Ua : a 2 f

�1(V )}

e aberto em X.(b) ) (a): Basta provar que f e contınua em cada a 2 X. Seja a 2 X, e

seja V um aberto de Y contendo f(a). Por hipotese f

�1(V ) e um aberto deX contendo a, e f(f�1(V )) ⇢ V pelo Exercıcio 1.G. Pela Proposicao 2.9 f econtınua em a.

A equivalencia (b), (c) e consequencia direta do Exercıcio 1.B(c).

Exercıcios

2.A. Prove que as seguintes funcoes sao metricas em C[a, b]:(a) d(f, g) = sup{|f(x)� g(x)| : a x b}.(b) d(f, g) =

R ba |f(x)� g(x)|dx.

2.B. Seja X um espaco metrico.(a) Prove a desigualdade

|d(x, a)� d(y, a)| d(x, y) para todo x, y, a 2 X.

(b) Prove que, para cada a 2 X a funcao x 2 X ! d(x, a) 2 R e contınua.(c) Prove que a esfera

S(a; r) = {x 2 X : d(x, a) = r}

e um subconjunto fechado.

2.C. Seja X um espaco metrico, e seja S ⇢ X, com a metrica induzida.(a) Dados a 2 S e r > 0, prove que BS(a; r) = S \BX(a; r).(b) Prove que um conjunto U ⇢ S e aberto em S se e so se existe um aberto

V de X tal que U = S \ V .

2.D. Seja X = R, e seja S = Z, com a metrica induzida. Prove que cadasubconjunto de S e aberto em S.

2.E. (a) De exemplo de uma sequencia de abertos de R cuja intersecao naoseja um aberto.

(b) De exemplo de uma sequencia de fechados de R cuja uniao nao seja umfechado.

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3. Espacos topologicos

3.1. Definicao. Seja X um conjunto. Chamaremos de topologia em X

uma famılia ⌧ de subconjuntos de X com as seguintes propriedades:(a) ; e X pertencem a ⌧ .(b) A uniao de uma famılia arbitraria de membros de ⌧ pertence a ⌧ .(c) A intersecao de uma famılia finita de membros de ⌧ pertence a ⌧ .Os membros de ⌧ sao chamados de abertos. O par (X, ⌧) e chamado de

espaco topologico. Com frequencia diremos que X e um espaco topologico.

3.2. Exemplos.

(a) Se (X, d) e um espaco metrico, entao segue da Proposicao 2.6 que osabertos de (X, d) formam uma topologia ⌧d em X.

(b) Se X = R

n, entao a topologia ⌧d dada pela metrica euclideana

d(x, y) =

vuutnX

j=1

(xj � yj)2

e chamada de topologia usual.

(c) Seja X um conjunto qualquer, e seja ⌧ a famılia de todos os subconjuntosde X. Claramente ⌧ e uma topologia em X, chamada de topologia discreta.

(d) Seja X um conjunto qualquer, e seja ⌧ = {;, X}. Claramente ⌧ e umatopologia em X, chamada de topologia trivial.

3.3. Definicao. Diremos que um espaco topologico (X, ⌧) e metrizavel seexistir uma metrica d em X tal que ⌧ = ⌧d.

Notemos que a topologia discreta e sempre metrizavel, e vem dada pelametrica discreta.

3.4. Definicao. Dadas duas topologias ⌧1 e ⌧2 num conjunto X, diremosque ⌧1 e mais fraca que ⌧2, ou que ⌧2 e mais forte que ⌧1, ou que ⌧2 e mais fina

que ⌧1 se ⌧1 ⇢ ⌧2.

A topologia trivial em X e mais fraca que qualquer outra topologia em X.A topologia discreta em X e mais fina que qualquer outra topologia em X.

3.5. Definicao. Seja X um espaco topologico. Diremos que um conjuntoF ⇢ X e fechado se X \ F e aberto.

3.6. Proposicao. Seja X um espaco topologico. Entao:

(a) X e ; sao fechados.

(b) A intersecao de uma famılia arbitraria de fechados e um fechado.

(c) A uniao de uma famılia finita de fechados e um fechado.

Demonstracao. Basta aplicar as leis de de Morgan.

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Reciprocamente temos:

3.7. Proposicao. Seja X um conjunto, e seja F uma famılia de subcon-

juntos de X com as seguintes propriedades:

(a) X e ; pertencem a F .

(b) A intersecao de uma famılia arbitraria de membros de F pertence a F .

(c) A uniao de uma famılia finita de membros de F pertence a F .

Seja ⌧ = {X \ F : F 2 F}. Entao ⌧ e uma topologia em X, e F coincide

com a famılia dos fechados de (X, ⌧).

Demonstracao. Basta aplicar as leis de De Morgan.

Exercıcios

3.A. Prove que as metricas dos Exemplos 2.2(b), 2.2(c) e 2.2(d) definem amesma topologia em R

n.

3.B. Seja X = {a, b}, com a 6= b, e seja

⌧ = {;, {a}, X}.

Prove que ⌧ e uma topologia em X. O espaco (X, ⌧) e chamado de espaco de

Sierpinski.

3.C. Seja X um conjunto, e seja

F = {X} [ {F ⇢ X : F e finito}.

Prove que F e a famılia de fechados de uma topologia em X, conhecida comotopologia cofinita. Voce reconhece esta topologia quando X e finito?

3.D. Seja X um conjunto, e seja

F = {X} [ {F ⇢ X : F e enumeravel}.

Prove que F e a famılia de fechados de uma topologia em X, conhecida comotopologia coenumeravel. Voce reconhece esta topologia quando X e enume-ravel?

3.E. Seja X um conjunto, seja A ⇢ X, e seja

⌧A = {;} [ {U : A ⇢ U ⇢ X}.

(a) Prove que ⌧A e uma topologia em X.(b) Descreva os fechados de (X, ⌧A).(c) Voce reconhece ⌧A quando A = ; e quando A = X?

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4. Aderencia e interior de um conjunto

4.1. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja A ⇢ X. Chamaremos

de aderencia de A o conjunto

A =

\{F ⇢ X : F e fechado e F � A}.

Claramente A e o menor subconjunto fechado de X que contem A.

4.2. Proposicao. Seja X um espaco topologico. Entao a aplicacao A ! Atem as seguintes propriedades:

(a) A ⇢ A.

(b) A = A.

(c) ; = ;.(d) A [B = A [B.

(e) A e fechado se e so se A = A.

Demonstracao. (a) e obvio.

(b) Por (a) A ⇢ A. E como A e um fechado contendo A, segue que A ⇢ A.

(c) Como ; e um fechado contendo ;, segue que ; ⇢ ;.

(d) Antes de provar (d) notemos que

A ⇢ B implica A ⇢ B.

Como A ⇢ A [ B e B ⇢ A [ B, segue que A ⇢ A [B e B ⇢ A [B. Logo

A [ B ⇢ A [B. Por outro lado A [ B e um fechado contendo A [ B. Logo

A [B ⇢ A [B.

(e) e obvio.


4.3. Proposicao. Seja X um conjunto, e seja A 2 P(X) ! A 2 P(X)

uma aplicacao com as seguintes propriedades:

(a) A ⇢ A.

(b) A = A.

(c) ; = ;.(d) A [B = A [B.

Seja F = {A ⇢ X : A = A}. Entao F e a famılia de fechados de uma

topologia ⌧ em X. A e a aderencia de A para cada A ⇢ X.

Demonstracao. Utilizaremos a Proposicao 3.7.

´

E claro que X 2 F . E

segue de (c) que ; 2 F .

Segue de (d) que a uniao de dois membros de F pertence a F .

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Antes de provar que qualquer intersecao de membros de F pertence a F ,

provemos que

(⇤) A ⇢ B implica A ⇢ B.

De fato usando (d) vemos que:

A ⇢ B ) B = A [ (B \ A) ) B = A [ (B \ A) ) B � A.

Seja Ai 2 F para cada i 2 I. Entao

Ti2I Ai ⇢ Ai, e portanto

Ti2I Ai ⇢

Ai = Ai para cada i 2 I. Logo

Ti2I Ai ⇢

Ti2I Ai, e segue que

Ti2I Ai 2 F .

Assim F e a famılia de fechados para uma topologia ⌧ em X. Para provar

que A e a aderencia de A com relacao a ⌧ , fixemos A ⇢ X. Segue de (*) que

A ⇢ F = F para cada F 2 F tal que F � A,

e portanto

A ⇢\

{F 2 F : F � A}.

Por outro lado segue de (a) e (b) que A 2 F e A � A. Logo

\{F 2 F : F � A} ⇢ A.

Isto prova que A e a aderencia de A.

4.4. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja A ⇢ X. Chamaremos

de interior de A o conjunto

A�=

[{U ⇢ X : U e aberto e U ⇢ A}.

Claramente A�e o maior subconjunto aberto de X que esta contido em A. As

vezes escreveremos

�A em lugar de A�

.

4.5. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e seja A ⇢ X. Entao:

X \ A = (X \ A)

�e X \ A�

= (X \ A).

Demonstracao. Basta aplicar as leis de De Morgan.

Deixamos como exercıcio as demonstracoes das duas proposicoes seguintes.

Elas podem ser demonstradas diretamente, ou podem ser deduzidas das Proposicoes

4.2 e 4.3 utilizando a Proposicao 4.5 e as leis de De Morgan.

4.6. Proposicao. Seja X um espaco topologico. Entao a aplicacao A ! A�

tem as seguintes propriedades:

(a) A� ⇢ A.

(b) A��= A�

.

(c) X�= X.

(d) (A \B)

�= A� \B�

.

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(e) A e aberto se e so se A = A�.

4.7. Proposicao. Seja X um conjunto, e seja A 2 P(X) ! A� 2 P(X)

uma aplicacao com as seguintes propriedades:

(a) A� ⇢ A.

(b) A��= A�

.

(c) X�= X.

(d) (A \B)

�= A� \B�

.

Seja ⌧ = {A ⇢ X : A = A�}. Entao ⌧ e uma topologia em X. A�e o

interior de A para cada A ⇢ X.

Exercıcios

4.A. Seja X um espaco topologico, com a topologia cofinita do Exercıcio

3.C.

(a) Descreva A para cada A ⇢ X.

(b) Descreva A�para cada A ⇢ X.

4.B. Seja X um conjunto, seja A ⇢ X, e seja ⌧A a topologia do Exercıcio

3.E.

(a) Descreva B para cada B ⇢ X.

(b) Descreva B�para cada B ⇢ X.

4.C. Seja X um espaco topologico.

(a) Prove que (A \B) ⇢ A \B para todo A,B ⇢ X.

(b) De exemplo de conjuntos A,B ⇢ R tais que (A \B) 6= A \B.

4.D. Seja X um espaco topologico.

(a) Prove que (A [B)

� � A� [B�para todo A,B ⇢ X.

(b) De exemplo de conjuntos A,B ⇢ R tais que (A [B)

� 6= A� [B�.

4.E. Dado A ⇢ X, chamaremos de fronteira de A o conjunto

@A = A \ (X \ A).

(a) Prove que A = A [ @A.

(b) Prove que A�= A \ @A.

4.F. Para cada A ⇢ N seja

A = {kn : n 2 A, k 2 N}.

(a) Prove que a aplicacao A ! A tem as propriedades da Proposicao 4.3, e

define portanto uma topologia ⌧ em N.

(b) Descreva os fechados de (N, ⌧).

(c) Descreva os abertos de (N, ⌧).

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5. Sistemas de vizinhancas

5.1. Definicao. Seja X um espaco topologico nao vazio, e seja x 2 X.

Diremos que um conjunto U ⇢ X e uma vizinhanca de x se x 2 U

�. U

x

denota

o conjunto de todas as vizinhancas de x.

5.2. Proposicao. Seja X um espaco topologico nao vazio. Entao os con-

juntos Ux

tem as seguintes propriedades:

(a) x 2 U para cada U 2 Ux

.

(b) Se U, V 2 Ux

, entao U \ V 2 Ux

.

(c) Dado U 2 Ux

, existe V 2 Ux

, V ⇢ U , tal que U 2 Uy

para cada y 2 V .

(d) Se U 2 Ux

e U ⇢ V ⇢ X, entao V 2 Ux

.

(e) Um conjunto U ⇢ X e aberto se e so se U 2 Ux

para cada x 2 U .

Demonstracao. (a) Se U 2 Ux

, entao x 2 U

� ⇢ U .

(b) Se U, V 2 Ux

, entao x 2 U

� \ V

�= (U \ V )

�. Logo U \ V 2 U

x

.

(c) Dado U 2 Ux

, seja V = U

�. Se y 2 V = U

�, entao U 2 U

y

.

(d) Se U 2 Ux

e U ⇢ V ⇢ X, entao x 2 U

� ⇢ V

�. Logo V 2 U

x

.

(e) Se U e aberto, entao U = U

�. Segue que U 2 U

x

para cada x 2 U .

Reciprocamente suponhamos que U 2 Ux

para cada x 2 U . Segue que U = U

�.

Logo U e aberto.


5.3. Proposicao. Seja X um conjunto nao vazio. Para cada x 2 X seja

Ux

uma famılia nao vazia de subconjuntos de X com as seguintes propriedades:

(a) x 2 U para cada U 2 Ux

.

(b) Se U, V 2 Ux

, entao U \ V 2 Ux

.

(c) Dado U 2 Ux

, existe V 2 Ux

, V ⇢ U , tal que U 2 Uy

para cada y 2 V .

(d) Se U 2 Ux

e U ⇢ V ⇢ X, entao V 2 Ux

.

Seja

⌧ = {U ⇢ X : U 2 Ux

para cada x 2 U}.

Entao ⌧ e uma topologia em X, e Ux

e o sistema de vizinhancas de x em (X, ⌧)

para cada x 2 X.

Demonstracao. Primeiro provaremos que ⌧ e uma topologia em X.

´

E claro que ; 2 ⌧ . Para provar que X 2 ⌧ , seja x 2 X, e seja U 2 Ux

. Como

U ⇢ X, segue de (d) que X 2 Ux

. Logo X 2 ⌧ .

Seja U

i

2 ⌧ para cada i 2 I, e seja x 2S

i2I

U

i

. Entao x 2 U

i

para algum

i 2 I. Como U

i

2 ⌧ , temos que U

i

2 Ux

. Como U

i

⇢S

i2I

U

i

, segue de (d) queSi2I

U

i

2 Ux

. Logo

Si2I

U

i

2 ⌧ .

Sejam U, V 2 ⌧ , e seja x 2 U \ V . Entao U, V 2 Ux

, e segue de (b) que

U \ V 2 Ux

. Logo U \ V 2 ⌧ .

12

A seguir provaremos que cada vizinhanca de x pertence a Ux

. Seja U uma

vizinhanca de x. Entao x 2 U

�. Como U

� 2 ⌧ , segue que U

� 2 Ux

. Como

U

� ⇢ U , segue de (d) que U 2 Ux

.

Finalmente provaremos que cada U 2 Ux

e uma vizinhanca de x. Seja

U 2 Ux

, e seja V = {y 2 U : U 2 Uy

}. Segue de (a) que x 2 U , e como U 2 Ux

,

vemos que x 2 V .

A seguir veremos que V 2 ⌧ . Dado y 2 V , temos que U 2 Uy

. Por (c) existe

W 2 Uy

, W ⇢ U , tal que U 2 Uz

para todo z 2 W . Segue entao de (a) que

W ⇢ V . Segue de (d) que V 2 Uy

. Logo V 2 ⌧ .

Como x 2 V e V 2 ⌧ , segue que x 2 U

�. Logo U e uma vizinhanca de x.

5.4. Definicao. Seja X um espaco topologico nao vazio, e seja x 2 X.

Diremos que uma famılia Bx

⇢ Ux

e uma base de vizinhancas de x se cada

U 2 Ux

contem algum V 2 Bx

.

5.5. Exemplos.

(a) Seja X um espaco topologico, seja x 2 X, e seja

Bx

= {U 2 Ux

: U e aberto}.

Entao Bx

e uma base de vizinhancas de x.

(b) Seja X um espaco metrico, seja x 2 X, e seja

Bx

= {B(x; r) : r > 0}.

Entao Bx


(c) Seja X um espaco metrico, seja x 2 X, e seja

Bx

= {B[x; r] : r > 0}.

Entao Bx


5.6. Proposicao. Seja X um espaco topologico nao vazio, e seja Bx

uma

base de vizinhancas de x, para cada x 2 X. Entao:

(a) x 2 U para cada U 2 Bx

.

(b) Dados U, V 2 Bx

, existe W 2 Bx

tal que W ⇢ U \ V .

(c) Dado U 2 Bx

, existe V 2 Bx

, V ⇢ U , tal que para cada y 2 V existe

W 2 By

tal que W ⇢ U .

(d) Um conjunto U ⇢ X e aberto se e so se para cada x 2 U existe V 2 Bx

tal que V ⇢ U .

Demonstracao. As afirmacoes (a), (b), (c) e (d) seguem diretamente das

afirmacoes (a), (b), (c) e (e) na Proposicao 5.2.


5.7. Proposicao. Seja X um conjunto nao vazio. Para cada x 2 X seja

Bx

uma famılia nao vazia de subconjuntos de X com as seguintes propriedades:

13

(a) x 2 U para cada U 2 Bx

.

(b) Dados U, V 2 Bx

, existe W 2 Bx

tal que W ⇢ U \ V .

(c) Dado U 2 Bx

, existe V 2 Bx

, V ⇢ U , tal que para cada y 2 V existe

W 2 By

tal que W ⇢ U .

Seja

⌧ = {U ⇢ X : para cada x 2 U existe V 2 Bx

tal que V ⇢ U}.

Entao ⌧ e uma topologia em X e Bx

e uma base de vizinhancas de x em

(X, ⌧) para cada x 2 X.

Demonstracao. Para cada x 2 X seja

Ux

= {U ⇢ X : U � V para algum V 2 Bx

}.

´

E claro que as famılias Ux

verificam as propriedades (a), (b), (c) e (d) da

Proposicao 5.3, e que

⌧ = {U ⇢ X : U 2 Ux

para cada x 2 U}.

Pela Proposicao 5.3 ⌧ e uma topologia em X e Ux

e o sistema de vizinhancas

de x em (X, ⌧) para cada x 2 X. Segue que Bx

e uma base de vizinhancas de

x em (X, ⌧) para cada x 2 X.

A proposicao seguinte e muito util. Ela caracteriza abertos, fechados, aderencia

de um conjunto e interior de um conjunto em termos de bases de vizinhancas.

5.8. Proposicao. Seja X um espaco topologico nao vazio, seja A ⇢ X, e

seja Bx

uma base de vizinhancas de x, para cada x 2 X.Entao:

(a) A e aberto se e so se para cada x 2 A existe V 2 Bx

tal que V ⇢ A.

(b) A e fechado se e so se para cada x /2 A, existe V 2 Bx

tal que V \A = ;.(c) A = {x 2 X : V \A 6= ; para cada V 2 B

x

}.(d) A

�= {x 2 X : V ⇢ A para algum V 2 B

x

}.

Demonstraccao. Ja vimos (a) na Proposicao 5.6(d). (b) e consequencia

imediata de (a).

(c) Lembremos que

A =

\{F ⇢ X : F fechado, F � A}.

Se x /2 A, entao por (b) existe V 2 Bx

tal que V \ A = ;. Reciprocamente

suponhamos que exista V 2 Bx

tal que V \A = ;. Entao x 2 V

�e A ⇢ X \V ⇢

X \ V

�. Como X \ V

�e fechado, segue que A ⇢ X \ V

�. Logo x /2 A.

(d) Pela Proposicao 4.5, X \ A

�= (X \A). Se B denota o conjunto da

direita em (d), entao usando (c) segue que

x /2 A

� , x 2 (X \A) , V \ (X \A) 6= ; para cada V 2 Bx

14

, V 6⇢ A para cada V 2 Bx

, x /2 B.

5.9. Definicao. Seja X um espaco topologico. Diremos que X satisfaz

o primeiro axioma de enumerabilidade se cada x 2 X admite uma base de

vizinhancas Bx

que e enumeravel.

5.10. Exemplo. Cada espaco metrico satisfaz o primeiro axioma de enu-

merabilidade.

Exercıcios

5.A. Seja X um espaco topologico, seja A ⇢ X, e seja Bx

uma base de

vizinhancas de x para cada x 2 X. Prove que

@A = {x 2 X : V \A 6= ; e V \ (X \ A) 6= ; para cada V 2 Bx

}.

5.B. Dados f 2 C[a, b] e r > 0, seja

U(f, r) = {g 2 C[a, b] : |g(x)� f(x)| < r para todo x 2 [a, b]}.

Prove que os conjuntos U(f, r), com r > 0 formam uma base de vizinhancas de

f no espaco metrico C[a, b] do Exercıcio 2.A(a).

5.C. Dados f 2 C[a, b], A ⇢ [a, b], A finito, e r > 0, seja

V (f,A, r) = {g 2 C[a, b] : |g(x)� f(x)| < r para todo x 2 A}.

Prove que os conjuntos V (f,A, r), com A ⇢ [a, b], A finito, e r > 0, formam uma

base de vizinhancas de f para uma certa topologia em C[a, b]. Esta topologia e

mais fraca que a topologia do exercıcio anterior.

5.D. Seja X um espaco topologico e seja A ⇢ X. Diremos que um ponto

x 2 X e um ponto de acumulacao de A se dado U 2 Ux

existe a 2 U \ A,

com a 6= x. A

0denota o conjunto dos pontos de acumulacao de A. Prove que

A = A [A

0.

5.E. De exemplo de um conjunto A ⇢ R tal que os seguintes conjuntos

sejam todos diferentes entre si:

A, A,

�A

,

�A,

�A

,

�A,

��A

.

15

6. Bases para os abertos

6.1. Definicao. Seja (X, ⌧) um espaco topologico. Diremos que uma

famılia B ⇢ ⌧ e uma base para ⌧ se dado U 2 ⌧ existe C ⇢ B tal que

U =

[{V : V 2 C}.

6.2. Exemplos.

(a) Os intervalos (a, b), com a < b em R, formam uma base para a topologia

usual em R.

(b) Se (X, d) e um espaco metrico, entao as bolas B(a; r), com a 2 X e

r > 0, formam uma base para a topologia ⌧

d

.

(c) Se (X, ⌧) e um espaco topologico discreto, entao B = {{x} : x 2 X} e

uma base para ⌧ .

6.3. Proposicao. Seja (X, ⌧) um espaco topologico. Uma famılia B ⇢ ⌧

e uma base para ⌧ se e so se, dados U 2 ⌧ e x 2 U , existe V 2 B tal que

x 2 V ⇢ U .

Esta proposicao e consequencia imediata da definicao.

6.4. Proposicao. Seja (X, ⌧) um espaco topologico. Uma famılia B ⇢ ⌧ e

uma base para ⌧ se e so se, para cada x 2 X, a famılia

Bx

= {V 2 B : x 2 V }


Esta proposicao e consequencia facil da proposicao anterior.

6.5. Proposicao. Seja (X, ⌧) um espaco topologico, e seja B uma base

para ⌧ . Entao:

(a) X =

S{V : V 2 B}.

(b) Dados x 2 X e U, V 2 B tais que x 2 U \ V , existe W 2 B tal que

x 2 W ⇢ U \ V .

Demonstracao. (a) e consequencia imediata da definicao de base. (b) e

consequencia da Proposicao 6.4, junto com a Proposicao 5.6.


6.6. Proposicao. Seja X um conjunto, e seja B uma famılia de subcon-

juntos de X com as seguintes propriedades:

(a) X =

S{V : V 2 B}.

(b) Dados x 2 X e U, V 2 B tais que x 2 U \ V , existe W 2 B tal que

x 2 W ⇢ U \ V .

Seja ⌧ a famılia de todos os conjuntos da forma

U =

[{V : V 2 C}, com C ⇢ B.

16

Entao ⌧ e uma topologia em X, e B e uma base para ⌧ .

Demonstracao.

´

E claro que ; =

S{V : V 2 ;} 2 ⌧ . E X 2 ⌧ por (a).

Seja U

i

2 ⌧ para cada i 2 I, ou seja

U

i

=

[{V : V 2 C

i

}, com Ci

⇢ B

para cada i 2 I. Entao

[

i2I

U

i

=

[{V : V 2

[

i2I

Ci

} 2 ⌧.

Finalmente sejam U1, U2 2 ⌧ , ou seja

U1 =

[{V1 : V1 2 C1}, U2 =

[{V2 : V2 2 C2},

com C1, C2 ⇢ B. Entao

U1 \ U2 =

[{V1 \ V2 : V1 2 C1, V2 2 C2}.

Segue de (b) que cada intersecao V1 \ V2 e uniao de membros de B. Segue que

U1 \ U2 2 ⌧ .

Temos provado qur ⌧ e uma topologia em X.

´

E claro que B e uma base para

⌧ .

6.7. Definicao. Seja (X, ⌧) um espaco topologico. Diremos que (X, ⌧)

satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade se existe uma base B para ⌧ que

e enumeravel.

6.8. Exemplo. R satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade: os inter-

valos (a, b) com a < b racionais, formam uma base para os abertos.

Exercıcios

6.A. Prove que o segundo axioma de enumerabilidade implica o primeiro.

6.B. Prove que os intervalos (a,1), com a 2 R, formam uma base para

uma topologia ⌧1 em R, mais fraca que a topologia usual. Prove que (R, ⌧1)

satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade.

6.C. Prove que os intervalos [a, b), com a < b em R, formam uma base para

uma topologia ⌧2 em R, mais fina que a topologia usual. (R, ⌧2) e conhecido

como a reta de Sorgenfrey.

6.D. Seja (X, ⌧) um espaco topologico. Diremos que uma famılia C ⇢ ⌧ e

uma subbase para ⌧ se as intersecoes finitas de membros de C formam uma base

para ⌧ . Prove que os intervalos (a,1), com a 2 R, junto com os intervalos

(�1, b), com b 2 R, formam uma subbase para a topologia usual em R.

17

7. Subespacos

7.1. Definicao. Seja (X, ⌧) um espaco topologico, e seja S ⇢ X.

´

E claro

que a famılia

⌧

S

= {S \ U : U 2 ⌧}

e uma topologia em S, que chamaremos de topologia induzida. Diremos que

(S, ⌧

S

) e um subespaco de (X, ⌧), ou simplesmente que S e um subespaco de X.

7.2. Exemplos.

(a) Z, com a topologia induzida por R, e um espaco topologico discreto.

(b) R e um subespaco de R

2.

7.3. Proposicao. Seja S um subespaco de um espaco topologico X. Entao:

(a) U e aberto em S se e so se U = S \ U1, sendo U1 aberto em X.

(b) F e fechado em S se e so se F = S \ F1, sendo F1 fechado em X.

(c) Se A ⇢ S, entao A

S

= S \A

X

.

(d) Se x 2 S, entao U e vizinhanca de x em S se e so se U = S \U1, sendo

U1 uma vizinhanca de x em X.

Demonstracao. (a) e a propria definicao.

(b) Usando (a) vemos que: F e fechado em S , S \ F e aberto em S ,S \ F = S \ U1, com U1 aberto em X , F = S \ (X \ U1), com U1 aberto em

X , F = S \ F1, com F1 fechado em X.

(c) Usando (b) vemos que:

A

S

=

\{F : F fechado em S, F � A}

=

\{S \ F1 : F1 fechado em X, F1 � A} = S \A

X

.

(d) Seja U1 uma vizinhanca de x em X. Entao existe um aberto V1 em X

tal que x 2 V1 ⇢ U1. Logo x 2 S \ V1 ⇢ S \ U1. Como S \ V1 e aberto em S,

segue que S \ U1 e uma vizinhanca de x em S.

Reciprocamente seja U uma vizinhanca de x em S. Entao existe um aberto

V de S tal que x 2 V ⇢ U . Entao V = S \ V1, com V1 aberto em X. Seja

U1 = V1 [ (U \ V ).

Entao

S \ U1 = V [ (U \ V ) = U.

Como x 2 V1 ⇢ U1, segue que U1 e uma vizinhanca de x em X.

18

Exercıcios

7.A. Seja X um espaco topologico, e seja S um subespaco de X.

(a) Se X tem a topologia discreta, prove que S tambem tem a topologia

discreta.

(b) Se X tem a topologia trivial, prove que S tambem tem a topologia trivial.

7.B. Seja X um espaco topologico, e seja S um subespaco de X. Se X e

metrizavel, prove que S e metrizavel tambem.

Sugestao: Use o Exercıcio 2.C.

7.C. Seja X um espaco topologico, seja S um subespaco de X, e seja x 2 S.

(a) Se Bx

e uma base de vizinhancas de x em X, prove que a famılia {S\U :

U 2 Bx

} e uma base de vizinhancas de x em S.

(b) Se X satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade, prove que S satisfaz

o mesmo axioma.

7.D. Seja X um espaco topologico, e seja S um subespaco de X.

(a) Se B e uma base para a topologia de X, prove que a famılia {S \ U :

U 2 B} e uma base para a topologia de S.

(b) Se X satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade, prove que S satisfaz

o mesmo axioma.

19

8. Funcoes contınuas

8.1. Definicao. Seja f : X ! Y , sendo X e Y espacos topologicos. Diremosque f e contınua num ponto a 2 X se para cada aberto V de Y contendo f(a),existe um aberto U de X contendo a tal que f(U) ⇢ V . Diremos que f econtınua se for contınua em cada pontos de X. Denotaremos por C(X;Y ) oconjunto de todas as funcoes contınuas f : X ! Y . Se Y = R, escreveremosC(X) em lugar de C(X;R).

8.2. Proposicao. Seja f : X ! Y , sendo X e Y espacos topologicos.

Seja Ba uma base de vizinhancas de um ponto a 2 X, e seja Bf(a) uma base de

vizinhancas de f(a). Entao as seguintes condicoes sao equivalentes:

(a) f e contınua em a.

(b) Para cada V 2 Uf(a), existe U 2 Ua tal que f(U) ⇢ V .

(c) Para cada V 2 Bf(a), existe U 2 Ba tal que f(U) ⇢ V .

Demonstracao. (a) ) (b): Seja V 2 Uf(a). Seja V1 um aberto de Y

contendo f(a) tal que V1 ⇢ V . Por (a) existe um aberto U1 de X contendo a

tal que f(U1) ⇢ V1 ⇢ V . E claro que U1 2 Ua.

(b) ) (c): Seja V 2 Bf(a). Por (b) existe U 2 Ua tal que f(U) ⇢ V . SejaU1 2 Ba tal que U1 ⇢ U . Entao f(U1) ⇢ f(U) ⇢ V .

(c) ) (a): Seja V um aberto de Y contendo f(a). Seja V1 2 Bf(a) tal queV1 ⇢ V . Por (c) existe U1 2 Ba tal que f(U1) ⇢ V1. Seja U um aberto de X

contendo a tal que U ⇢ U1. Entao f(U) ⇢ f(U1) ⇢ V1 ⇢ V .


Entao as seguintes condicoes sao equivalentes:

(a) f e contınua.

(b) f

�1(V ) e aberto em X para cada aberto V de Y .

(c) f

�1(B) e fechado em X para cada fechado B de Y .

Demonstracao. Basta repetir a demonstracao da Proposicao 2.10.

8.4. Proposicao. Sejam f : X ! Y e g : Y ! Z, sendo X, Y e Z espacos

topologicos. Se f e contınua num ponto a 2 X e g e contınua em f(a), entao

g � f e contınua em a.

Demonstracao. Utilizaremos a Proposicao 8.2. Seja W 2 Ug�f(a). Comog e contınua em f(a), existe V 2 Uf(a) tal que g(V ) ⇢ W . Como f e contınuaem a, existe U 2 Ua tal que f(U) ⇢ V . Segue que g(f(U)) ⇢ g(V ) ⇢W .

8.5. Corolario. Sejam f : X ! Y e g : Y ! Z, sendo X, Y e Z espacos

topologicos. Se f e g sao contınuas, entao g � f e contınua tambem.

8.6. Proposicao. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja S um subespaco

de X. Se f : X ! Y e contınua, entao a restricao f |S : S ! Y e contınua

tambem.

20

Demonstracao. Seja V um aberto de Y . Como f e contınua, f

�1(V ) eaberto em X. Segue que (f |S)�1(V ) = S \ f

�1(V ) e aberto em S.

8.7. Proposicao. Sejam X e Y espacos topologicos. Suponhamos que X =S1 [ S2, onde S1 e S2 sao ambos abertos ou ambos fechados. Seja f : X ! Y

uma funcao tal que f |S1 : S1 ! Y e f |S2 : S2 ! Y sao contınuas. Entao f e

contınua.

Demonstracao. Suponhamos S1 e S2 abertos. Seja V um aberto de Y .Como f |S1 e contınua, (f |S1)�1(V ) = S1 \ f

�1(V ) e aberto em S1. Como f |S2

e contınua, (f |S2)�1(V ) = S2 \ f

�1(V ) e aberto em S2. Segue que

S1 \ f

�1(V ) = S1 \ U1 e S2 \ f

�1(V ) = S2(V ) \ U2,

sendo U1 e U2 abertos em X. Como X = S1 [ S2, segue que

f

�1(V ) = (S1 \ f

�1(V )) [ (S2 \ f

�1(V )) = (S1 \ U1) [ (S2 \ U2)

e aberto em X.Deixamos como exercıcio a demonstracao do caso em que S1 e S2 sao fecha-

dos.

8.8. Definicao. Sejam X e Y espacos topologicos.(a) Diremos que f : X ! Y e um homeomorfismo se f e bijetiva e f e f

�1

sao contınuas.(b) Diremos que f : X ! Y e um mergulho se f e um homeomorfismo entre

X e o subespaco f(X) de Y .(c) Diremos que f : X ! Y e aberta se f(U) e aberto em Y para cada aberto

U de X.(d) Diremos que f : X ! Y e fechada se f(A) e fechado em Y para cada

fechado A de X.

O resultado seguinte e consequencia facil das definicoes e resultados anteri-ores.

8.9. Proposicao. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja f : X ! Y

uma funcao bijetiva. Entao as seguintes condicoes sao equivalentes:

(a) f e um homeomorfismo.

(b) f e contınua e aberta.

(c) f e contınua e fechada.

Exercıcios

X e Y denotam espacos topologicos.

8.A. Seja B uma base para a topologia de Y . Prove que uma funcao f :X ! Y e contınua se e so se f

�1(V ) e aberto em X para cada V 2 B.

8.B. Prove que uma funcao f : X ! Y e contınua se e so se f(A) ⇢ f(A)para cada A ⇢ X.

21

8.C. Prove que cada funcao constante f : X ! Y e contınua.

8.D. Prove que se f : X ! R e g : X ! R sao contınuas num ponto a 2 X,entao as funcoes f + g e fg sao tambem contınuas em a.

8.E. Dado A ⇢ X, a funcao caracterıstica �A : X ! R e definida por�A(x) = 1 se x 2 A e �A(x) = 0 se x /2 A. Prove que a funcao �A e contınua see so se A e aberto e fechado.

8.F. Seja X = N, com a topologia do Exercıcio 4.F. Prove que uma funcaof : X ! X e contınua se e so se, cada vez que m divide n, tem-se que f(m)divide f(n).

8.G. Diremos que um conjunto D ⇢ X e denso em X se D = X. Sejaf : X ! R uma funcao contınua tal que f(x) = 0 para todo x num subconjuntodenso D ⇢ X. Prove que f(x) = 0 para todo x 2 X.

8.H. Prove que os seguintes pares de intervalos sao homeomorfos entre si:(a) (a, b) e (0, 1).(b) (1,1) e (0, 1).(c) (�⇡/2,⇡/2) e (�1,1).Use (a), (b) e (c) para provar que todos os intervalos abertos de R sao

homeomorfos entre si.

8.I. Seja f : X ! R. Diremos que f e semicontınua inferiormente sef

�1(a,1) e aberto em X para cada a 2 R. Diremos que f e semicontınua

superiormente se f

�1(�1, b) e aberto em X para cada b 2 R. Prove que f econtınua se e so se f e semicontınua inferiormente e semicontınua superiormente.

8.J. Seja A ⇢ X.(a) Prove que �A : X ! R e semicontınua inferiormente se e so se A e

aberto.(b) Prove que �A : X ! R e semicontınua superiormente se e so se A e

fechado.

22

9. Produtos infinitos e o axioma da escolha

9.1. Definicao. Seja {Xi : i 2 I} uma famılia nao vazia de conjuntos.Chamaremos de produto cartesiano da famılia {Xi : i 2 I} o conjunto

Y

i2I

Xi = {x : I ![

i2I

Xi : x(i) 2 Xi para cada i 2 I}.

Escreveremos xi em lugar de x(i) para cada x 2Q

i2I e i 2 I. Para cada j 2 I

a projecao ⇡j e definida por

⇡j : x 2Y

i2I

Xi ! xj 2 Xj .

Cada x 2Q

i2I Xi e usualmente denotado por (xi)i2I .

Mesmo que cada Xi seja nao vazio, nao e claro que o produtoQ

i2I Xi sejanao vazio. Isto e consequencia do axioma seguinte.

9.2. Axioma da escolha. Seja {Xi : i 2 I} uma famılia nao vazia de

conjuntos disjuntos nao vazios. Entao existe uma funcao f : I !S

i2I Xi tal

que f(i) 2 Xi para cada i 2 I. A funcao f e chamada de funcao escolha.

9.3. Proposicao. Seja {Xi : i 2 I} uma famılia nao vazia de conjuntos

nao vazios. Entao o produto cartesiano

Qi2I Xi e nao vazio.

Demonstracao. Se os conjuntos Xi fossem disjuntos, a conclusao seriaconsequencia imediata do axioma da escolha. No caso geral definamos Yi =Xi ⇥ {i} para cada i 2 I. E claro que {Yi : i 2 I} e uma famılia nao vazia deconjuntos disjuntos nao vazios. Pelo axioma da escolha existe uma funcao f :I !

Si2I Yi tal que f(i) 2 Yi para cada i 2 I. Podemos escrever f(i) = (xi, i),

com xi 2 Xi para cada i 2 I. Se definimos x(i) = xi para cada i 2 I, entaox 2

Qi2I Xi.

Temos provado que o axioma da escolha implica a Proposicao 9.3. Mas eclaro que a Proposicao 9.3 implica o axioma da escolha. Assim o axioma daescolha e a Proposicao 9.3 sao equivalentes.

Vamos ilustrar o uso do axioma da escolha com um exemplo do dia a dia.Seja I um conjunto infinito, e seja Xi um par de sapatos para cada i 2 I. Nestecaso nao precisamos do axioma da escolha para garantir que o produto

Qi2I Xi

e nao vazio. Se definimos x(i) como sendo aquele sapato em Xi que correspondeao pe direito para cada i 2 I, entao e claro que a funcao x : I !

Si2I Xi assim

definida pertence aQ

i2I Xi. Por outro lado seja Yi um par de meias paracada i 2 I. Como em geral nao ha como distinguir entre as duas meias de ummesmo par, nao temos como definir uma funcao y : I !

Si2I Yi que pertenca

ao produtoQ

i2I Yi sem usar o axioma da escolha.

23

Exercıcios

9.A. Prove que o axioma da escolha e equivalente a afirmacao seguinte: Seja{Xi : i 2 I} uma famılia nao vazia de conjuntos disjuntos nao vazios. Entaoexiste um conjunto Y ⇢

Si2I Xi tal que Y \Xi contem um unico elemento para

cada i 2 I.

O exercıcio seguinte mostra como conciliar a definicao usual de produtoscartesianos finitos, que vimos na Secao 1, com a definicao de produtos carte-sianos infinitos.

9.B. Sabemos que, dados n conjuntos X1, ..., Xn, o produto cartesiano X1⇥...⇥Xn e dado por

X1 ⇥ ...⇥Xn = {(x1, ..., xn) : xi 2 Xi para i = 1, ..., n}.

Seja

(X1⇥ ...⇥Xn)⇤ = {x : {1, ..., n}! X1 [ ...[Xn : x(i) 2 Xi para i = 1, ..., n}.

Ache uma aplicacao bijetiva entre X1 ⇥ ...⇥Xn e (X1 ⇥ ...⇥Xn)⇤.

24

10. O espaco produto

10.1. Proposicao. Seja {Xi : i 2 I} uma famılia nao vazia de espacos

topologicos nao vazios, e seja X =Q

i2I Xi. Seja

B = {Y

i2I

Ui : Ui e aberto em Xi para cada i 2 I}.

Entao B e base para uma topologia em X, que chamaremos de topologia das

caixas.

Demonstracao. E claro que B verifica as condicoes (a) e (b) da Proposicao6.6.

Se I = {1, ..., n} e Xi = R para cada i 2 I, entao e claro que a topologiadas caixas coincide com a topologia usual em Rn. Mas se I e um conjuntoinfinito, entao a topologia das caixas, mesmo sendo bastante natural, e poucoconveniente. Mais adiante veremos varias propriedades P tais que, embora cadaXi tenha a propriedade P, o produto

Qi2I Xi, com a topologia das caixas, nao

tem a propriedade P. Por essa razao a topologia usual no produtoQ

i2I Xi vemdada pela proposicao seguinte.



i2I Xi. Seja B a famılia de todos os

produtos

Qi2I Ui tais que:

(a) Ui e aberto em Xi para cada i 2 I;

(b) Ui = Xi para cada i 2 I \ J , com J ⇢ I, J finito.

Entao B e base para uma topologia em X, que chamaremos de topologia

produto.

Demonstracao. E facil verificar que B verifica as condicoes (a) e (b) daProposicao 6.6. E conveniente notar que cada U 2 B pode ser escrito na forma

U = (Y

j2J

Uj)⇥ (Y

i2I\J

Xi) =\

j2J

⇡

�1j (Uj).



i2I Xi. A topologia produto e a topologia

mais fraca em X tal que todas as projecoes ⇡j : X ! Xj sao contınuas.

Demonstracao. Seja ⌧p a topologia produto. Se Uj e aberto em Xj , entao⇡

�1j (Uj) pertence a B, e e portanto aberto em (X, ⌧p). Logo ⇡j : X ! Xj e

contınua para cada j 2 I.Seja ⌧ uma topologia em X tal que ⇡j : (X, ⌧) ! Xj e contınua para cada

j 2 I. Provaremos que ⌧p ⇢ ⌧ . Para isso basta provar que cada U 2 B pertencea ⌧ . Se U 2 B, entao

U =\

j2J

⇡

�1j (Uj),

25

com J finito e Uj aberto em Xj para cada j 2 J . Segue que ⇡

�1j (Uj) e aberto

em (X, ⌧) para cada j 2 J , e dai U e aberto em (X, ⌧).

A menos que digamos o contrario, sempre consideraremos o produto carte-siano

Qi2I Xi com a topologia produto.


topologicos, e seja X =Q

i2I Xi. Seja Y um espaco topologico, e seja g : Y !X. Entao a funcao g e contınua se e so se a funcao composta ⇡j � g : Y ! Xj

e contınua para cada j 2 I.

Demonstracao. A implicacao ) e imediata.(() Suponhamos que ⇡j � g : Y ! Xj seja contınua para cada j 2 I. Para

provar que g : Y ! X e contınua, basta provar que g

�1(U) e aberto em Y paracada U 2 B. Se U 2 B, entao

U =\

j2J

⇡

�1j (Uj),

com J finito e Uj aberto em Xj para cada j 2 J . Logo

g

�1(U) =\

j2J

g

�1(⇡�1j (Uj)) =

\

j2J

(⇡j � g)�1(Uj).

Como ⇡j � g : Y ! Xj e contınua para cada j, segue que g

�1(U) e aberto emY .

Os resultados anteriores motivam o conceito seguinte:

10.5. Proposicao. Seja X um conjunto, seja {Xi : i 2 I} uma famılia de

espacos topologicos, e seja fi : X ! Xi para cada i 2 I. Seja

B = {\

j2J

f

�1j (Uj) : J finito, Uj aberto em Xj}.

Entao:

(a) B e base para uma topologia ⌧w em X.

(b) ⌧w e a topologia mais fraca em X tal que fi : X ! Xi e contınua para

cada i 2 I.

(c) Se Y e um espaco topologico, entao uma funcao g : Y ! X e contınua

se e so se fi � g : Y ! Xi e contınua para cada i 2 I.

Diremos que ⌧w e a topologia fraca em X definida pela famılia de funcoes

{fi : i 2 I}.

Demonstracao. Nao e difıcil adaptar as demonstracoes dos resultadosanteriores.

10.6. Proposicao. Seja X um espaco topologico, que tem a topologia

fraca definida por uma famılia de funcoes fi : X ! Xi (i 2 I). Seja S um

26

subespaco topologico de X. Entao S tem a topologia fraca definida pela famılia

de restricoes fi|S : S ! Xi (i 2 I).

Demonstracao. Nos sabemos que

BX = {\

j2J

f

�1j (Uj) : J finito, Uj aberto em Xj}

e base para a topologia de X, e que

BS = {S \\

j2J

f


e base para a topologia de S. Como

S \\

j2J

f

�1j (Uj) =

\

j2J

S \ f

�1j (Uj) =

\

j2J

(fj |S)�1(Uj),

vemos que S tem a topologia fraca definida pela famılia de restricoes fi|S : S !Xi (i 2 I).

10.7. Definicao. Seja fi : X ! Xi para cada i 2 I. Diremos que a famılia{fi : i 2 I} separa os pontos de X se dados x 6= y em X, existe i 2 I tal quefi(x) 6= fi(y).

A proposicao seguinte da condicoes necessarias e suficientes para que umespaco topologico seja homeomorfo a um subespaco de um espaco produto.

10.8. Proposicao. Seja fi : X ! Xi para cada i 2 I, sendo X e cada Xi

espacos topologicos. Seja

✏ : x 2 X ! (fi(x))i2I 2Y

i2I

Xi.

Entao ✏ e um mergulho se e so se se verificam as seguintes condicoes:

(a) A famılia {fi : i 2 I} separa os pontos de X.

(b) X tem a topologia fraca definida pela famılia {fi : i 2 I}.A aplicacao ✏ e chamada de avaliacao.

Demonstracao. Notemos que ⇡i � ✏ = fi, para cada i.

()) Por hipotese ✏ e um homeomorfismo entre X e o subespaco ✏(X) deQi2I Xi.Como ✏ e injetivo, e claro que {fi : i 2 I} separa os pontos de X.Pela Proposicao 10.6 ✏(X) tem a topologia fraca definida pela famılia de

restricoes⇡i|✏(X) : ✏(X) ! Xi.

Como ✏ : X ! ✏(X) e um homeomorfismo, segue que X tem a topologia fracadefinida pela famılia de funcoes

(⇡i|✏(X)) � ✏ = fi : X ! Xi.

27

(() Como {fi : i 2 I} separa os pontos de X, e claro que ✏ e injetivo.Segue de (b) que ⇡i � ✏ = fi : X ! Xi e contınua para cada i 2 I. Logo

✏ : X !Q

i2I Xi e contınua. Para provar que ✏ e um mergulho provaremos que✏ : X ! ✏(X) e aberta. Por (b) a famılia

B = {\

j2J

f


e uma base para X. Seja U =T

j2J f

�1j (Uj) 2 B. Entao

U =\

j2J

(⇡j � ✏)�1(Uj) =\

j2J

✏

�1(⇡�1j (Uj)).

Como ✏ e injetiva,

✏(U) =\

j2J

✏(✏�1(⇡�1j (Uj))) =

\

j2J

✏(X) \ ⇡

�1j (Uj) = ✏(X) \

\

j2J

⇡

�1j (Uj).

Logo ✏(U) e aberto em ✏(X), como querıamos.

Exercıcios

10.A. Seja {Xi : i 2 I} uma famılia de espacos topologicos, e seja X =Qi2I Xi. Prove que cada projecao ⇡i : X ! Xi e uma funcao aberta.

10.B. Prove que as projecoes canonicas em R2 nao sao funcoes fechadas.

10.C. Seja {Xi : i 2 I} uma famılia nao vazia de espacos topologicos naovazios, e seja X =

Qi2I Xi. Prove que cada Xi e homeomorfo a um subespaco

de X.

10.D. Um espaco topologico X e dito nao trivial se tiver pelo menos doispontos, e trivial em caso contrario. Seja {Xi : i 2 I} uma famılia nao vazia deespacos topologicos nao vazios. Suponhamos que exista J , ; 6= J ⇢ I tal queXi e trivial para todo i 2 I \ J . Prove que

Qi2I Xi e homeomorfo a

Qj2J Xj .

10.E. Se ↵i < �i para cada i 2 I, prove que o produtoQ

i2I [↵i,�i] ehomeomorfo ao produto [0, 1]I .

10.F. Seja S um subespaco de um espaco topologico X. Prove que a topolo-gia de S coincide com a topologia fraca definida pela inclusao S ,! X.

28

11. O espaco quociente

11.1. Proposicao. Seja X um espaco topologico, seja Y um conjunto, e

seja ⇡ : X ! Y uma aplicacao sobrejetiva. Entao a colecao

⌧⇡ = {V ⇢ Y : ⇡

�1(V ) e aberto em X}

e uma topologia em Y , que chamaremos de topologia quociente definida por ⇡.

A demonstracao e simples e e deixada como exercıcio.

11.2. Definicao. Diremos que ⇡ : X ! Y e uma aplicacao quociente se

X e um espaco topologico, ⇡ : X ! Y e uma aplicacao sobrejetiva e Y tem a

topologia quociente definida por ⇡.

11.3. Proposicao. Seja ⇡ : X ! Y uma aplicacao quociente. Entao

a topologia quociente e a topologia mais fina em Y tal que a aplicacao ⇡ e

contınua.

A proposicao e consequencia imediata da definicao de ⌧⇡.

11.4. Proposicao. Seja ⇡ : X ! Y uma aplicacao quociente e seja Z um

espaco topologico. Entao uma funcao g : Y ! Z e contınua se e so se a funcao

composta g � ⇡ : X ! Z e contınua.

Demonstracao. A implicacao ) e imediata. Para provar a implicacao

oposta, seja W um aberto de Z. Como g�⇡ e contınua, temos que (g�⇡)

�1(W ) =

⇡

�1(g

�1(W )) e aberto em X. Segue que g

�1(W ) e aberto em Y .

11.5. Proposicao. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja ⇡ : X ! Y

uma aplicacao sobrejetiva e contınua. Se ⇡ e aberta ou fechada, entao a topologia

⌧ de Y coincide com a topologia quociente ⌧⇡.

Demonstracao. Suponhamos que ⇡ seja aberta. Como ⇡ e contınua, e

claro que ⌧ ⇢ ⌧⇡. Para provar que ⌧⇡ ⇢ ⌧ , seja V 2 ⌧⇡. Entao ⇡

�1(V ) e aberto

em X. Como ⇡ e aberta e sobrejetiva, segue que V = ⇡(⇡

�1(V )) 2 ⌧ .

Quando ⇡ e fechada, a demonstracao e parecida.

11.6. Exemplo. Seja

S

1= {(x, y) 2 R2

: x

2+ y

2= 1}

e seja

⇡ : t 2 [0, 2⇡] ! (cost, sent) 2 S

1.

Claramente ⇡ e sobrejetiva e contınua. Usando resultados de compacidade em

Rnnao e difıcil provar que ⇡ e fechada. Logo S

1tem a topologia quociente

definida por ⇡.

11.7. Proposicao. Seja X um espaco topologico. Seja D uma famılia de

subconjuntos disjuntos de X cuja uniao e X. Seja

⌧D = {A ⇢ D :

[{A : A 2 A} e aberto em X}.

29

Entao ⌧D e uma topologia em D. Diremos que D e uma decomposicao de X.

Dado x 2 X seja P (x) o unico elemento de D que contem x. A aplicacao

P : X ! D assim definida e chamada de aplicacao decomposicao.

Demonstracao. ´

E claro que ;,D 2 ⌧D.

Se Ai 2 ⌧D para cada i 2 I, entao

Si2I Ai 2 ⌧D, pois

[{A : A 2

[

i2I

Ai} =

[

i2I

[{A : A 2 Ai}

e aberto em X.

Se A,B 2 ⌧D, entao A \ B 2 ⌧D, pois

[{C : C 2 A \ B} = (

[{A : A 2 A}) \ (

[{B : B 2 B})

e aberto em X. Para provar a igualdade anterior e necessario observar que se

A,B 2 D e A \B 6= ;, entao A = B.

11.8. Proposicao. Toda aplicacao decomposicao P : X ! D e uma

aplicacao quociente.

Demonstracao. Se A ⇢ D, e claro que

P

�1(A) = {x 2 X : P (x) 2 A} =

[{A : A 2 A}.

Segue que

⌧D = {A ⇢ D : P

�1(A) e aberto em X}.

Logo ⌧D e a topologia quociente definida por P .

Reciprocamente temos o resultado seguinte.

11.9. Proposicao. Seja ⇡ : X ! Y uma aplicacao quociente. Entao existe

uma aplicacao decomposicao P : X ! D e existe um homeomorfismo f : Y ! Dtal que f � ⇡ = P .

Demonstracao. Seja

D = {⇡�1(y) : y 2 Y }.

Como ⇡ e sobrejetiva, e claro que D e uma decomposicao de X. Seja P : X ! Da aplicacao canonica. Seja f : Y ! D definida por f(y) = ⇡

�1(y) para cada

y 2 Y .

´

E claro que f e bijetiva. Como f(⇡(x)) = ⇡

�1(⇡(x)) contem x, segue

que f(⇡(x)) = P (x) para cada x 2 X.

Como f � ⇡ = P e contınua, segue que f e contınua. E como f

�1 � P = ⇡ e

contınua, segue que f

�1e contınua.

11.10. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja ⇠ uma relacao de

equivalencia em X. A decomposicao D formada pelas classes de equivalencia

definidas pela relacao ⇠ e denotada por X/ ⇠ e e chamada de espaco de iden-

tificacao de X modulo ⇠.

30

11.11. Exemplos.(a) Ja vimos que o cırculo unitario S

1e um quociente do intervalo [0, 2⇡].

Aqui

D = {{x} : 0 < x < 2⇡} [ {{0, 2⇡}}.

Para x, y 2 [0, 2⇡], tem-se que x ⇠ y se x� y e um multiplo inteiro de 2⇡.

(b) Seja X = [0, 2⇡] ⇥ [0, 2⇡]. Dados (x1, y1), (x2, y2) 2 X, definamos

(x1, y1) ⇠ (x2, y2) se x1 � x2 e um multiplo inteiro de 2⇡ e y1 = y2. Entao

⇠ e uma relacao de equivalencia em X e o espaco de identificacao X/ ⇠ e

homeomorfo ao cilindro S

1 ⇥ [0, 2⇡]. A aplicacao quociente vem dada por

⇡ : (x, y) 2 [0, 2⇡]⇥ [0, 2⇡] ! ((cosx, senx), y) 2 S

1 ⇥ [0, 2⇡].

(c) Seja X = [0, 2⇡]⇥[0, 2⇡]. Dados (x1, y1), (x2, y2) 2 X definamos (x1, y1) ⇠(x2, y2) se x1�x2 e um multiplo inteiro de 2⇡ e y1 = y2 ou se x1 = x2 e y1� y2

e um multiplo inteiro de 2⇡. Neste caso X/ ⇠ e homeomorfo ao toro S

1 ⇥ S

1.

A aplicacao quociente vem dada por

⇡ : (x, y) 2 [0, 2⇡]⇥ [0, 2⇡] ! ((cosx, senx), (cosy, seny)) 2 S

1 ⇥ S

1.

(d) Seja X = [0, 2⇡] ⇥ [0, 2⇡]. Dados (x1, y1), (x2, y2) 2 X definamos

(x1, y1) ⇠ (x2, y2) se x1 � x2 e um multiplo inteiro de 2⇡ e y1 + y2 = 2⇡.

Neste caso X/ ⇠ e homeomorfo a fita de Mobius.

Exercıcios

11.A. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja ⇡ : X ! Y uma aplicacao

sobrejetiva. Prove que e condicao necessaria e suficiente para que ⇡ seja uma

aplicacao quociente que B seja fechado em Y se e so se ⇡

�1(B) e fechado em

X.

11.B. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja ⇡ : X ! Y uma aplicacao

contınua. Se existir uma aplicacao contınua � : Y ! X tal que ⇡ � �(y) = y

para todo y 2 Y , prove que ⇡ e uma aplicacao quociente.

11.C. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja ⇡ : X ! Y uma aplicacao

quociente.

(a) Prove que ⇡ e aberta se e so se ⇡

�1(⇡(U)) e aberto em X para cada

aberto U de X.

(b) Prove que ⇡ e fechada se e so se ⇡

�1(⇡(A)) e fechado em X para cada

fechado A de X.

11.D. Seja X = [0, 1], com a topologia induzida por R. Seja Y = {0, 1}, e

seja ⇡ : X ! Y a funcao caracterıstica do intervalo [1/2, 1].

(a) Prove que a topologia quociente ⌧⇡ em Y vem dada por ⌧⇡ = {;, Y, {0}}.Y e o espaco de Sierpinski, que encontramos no Exercıcio 3.B.

(b) Prove que ⇡ nao e aberta nem fechada.

31

12. Convergencia de sequencias

12.1. Definicao. Seja X um espaco metrico. Diremos que uma sequencia

(x

n

)

1n=1 ⇢ X converge a um ponto x 2 X se dado ✏ > 0 existe n0 2 N tal que

d(x

n

, x) < ✏ para todo n � n0. Neste caso escreveremos x

n

! x.

12.2. Proposicao. Seja X um espaco metrico, e sejam A ⇢ X e x 2 X.

Tem-se que x 2 A se e so se existe uma sequencia (x

n

)

1n=1 ⇢ A que converge a

x.

Demonstracao. Pela Proposicao 5.8 x 2 A se e so se A \B(x; ✏) 6= ; para

cada ✏ > 0.

()) Se x 2 A, entao existe x

n

2 A\B(x; 1/n) para cada n 2 N. Segue que

x

n

! x.

(() Suponhamos que exista (x

n

)

1n=1 ⇢ A tal que x

n

! x. Entao, dado ✏ > 0

existe n0 2 N tal que d(x

n

, x) < ✏ para todo n � n0. Segue que A\B(x; ✏) 6= ;para todo ✏ > 0. Logo x 2 A.

12.3. Corolario. Seja X um espaco metrico, e seja A ⇢ X. Entao A e

fechado se e so se, cada vez que (x

n

)

1n=1 ⇢ A e x

n

! x, entao x 2 A.


f e contınua num ponto a 2 X se e so se, cada vez que x

n

! a em X, entao

f(x

n

)! f(a) em Y .

Demonstracao. ()) Se f e contınua em a, entao, dado ✏ > 0, existe � > 0

tal que f(B(a; �)) ⇢ B(f(a); ✏). Se x

n

! a, existe n0 2 N tal que d(x

n

, a) < �

para todo n � n0. Segue que d(f(x

n

), f(a)) < ✏ para todo n � n0. Logo

f(x

n

)! f(a).

(() Se f nao e contınua em a, entao existe ✏ > 0 tal que para cada � > 0

tem-se que f(B(a; �)) 6⇢ B(f(a); ✏). Em particular para cada n 2 N existe

x

n

2 B(a; 1/n) tal que f(x

n

) /2 B(f(a); ✏). Segue que x

n

! a em X, mas

f(x

n

) 6! f(a) em Y .

12.5. Definicao. Seja X um espaco topologico. Diremos que uma sequencia

(x

n

)

1n=1 ⇢ X converge a um ponto x 2 X se dado U 2 U

x

existe n0 2 N tal

que x

n

2 U para todo n � n0. Neste caso escreveremos x

n

! x.

Na definicao anterior podemos trocar o sistema de vizinhancas Ux

por qual-

quer base de vizinhancas Bx

.

12.6. Definicao. Seja (x

n

)

1n=1 uma sequencia em X. Chamaremos de

subsequencia de (x

n

)

1n=1 qualquer sequencia da forma (x

nk)

1k=1, sendo (n

k

)

1k=1

uma sequencia estritamente crescente em N.

Exercıcios

X e Y denotam espacos topologicos.

12.A. Se (x

n

)

1n=1 converge a x, prove que qualquer subsequencia (x

nk)

1k=1

32

tambem converge a x.

12.B. Seja A ⇢ X.

(a) Prove que, se existir uma sequencia (x

n

)


n

! x, entao

x 2 A.

(b) Suponhamos que X verifique o primeiro axioma de enumerabilidade.

Prove que, se x 2 A, entao existe uma sequencia (x

n

)


n

! x.

12.C. Seja f : X ! Y , e seja a 2 X.

(a) Prove que, se f e contınua em a, entao, cada vez que x

n

! a em X,

tem-se que f(x

n

)! f(a) em Y .

(b) Suponhamos que X verifique o primeiro axioma de enumerabilidade.

Prove que, se cada vez que x

n

! a em X tem-se que f(x

n

)! f(a) em Y , entao

f e contınua em a.

12.D. Seja X =

Qi2I

X

i

o produto cartesiano de uma famılia de espacos

topologicos. Prove que x

n

! x em X se e so se ⇡

i

(x

n

) ! ⇡

i

(x) em X

i

para

cada i 2 I.

12.E. Seja X = R

R

. Prove que f

n

! f em X se e so se f

n

(t) ! f(t) em

R para cada t 2 R.

12.F. Seja X = R

R

e seja M = {�A

: A ⇢ R, A finito} ⇢ X.

(a) Prove que �

R

2M .

(b) Prove que nao existe nenhuma sequencia (�

An)

1n=1 ⇢M tal que �

An !�

R

.

(c) Prove que X nao satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade.

12.G. Seja (x

n

)

1n=1 uma sequencia em X e seja x 2 X. Se cada subsequencia

de (x

n

)

1n=1 admite uma subsequencia que converge a x, prove que (x

n

)

1n=1

converge a x.

33

13. Convergencia de redes

13.1. Definicao. Um conjunto ⇤, junto com uma relacao , e chamado deconjunto dirigido se verifica as seguintes propriedades:

(a) � � para todo � 2 ⇤.(b) Se � µ e µ ⌫, entao � ⌫.(c) Dados �, µ 2 ⇤, existe ⌫ 2 ⇤ tal que ⌫ � � e ⌫ � µ.

13.2. Exemplos.

(a) N, com a relacao de ordem usual, e um conjunto dirigido.

(b) Seja X um espaco topologico, e seja x 2 X. Se definimos U V quandoU � V , entao o sistema de vizinhancas U

x

e um conjunto dirigido. De maneiraanaloga, qualquer base de vizinhancas B

x

e um conjunto dirigido.

13.3. Definicao. Seja X um espaco topologico.(a) Chamaremos de rede em X qualquer funcao da forma x : ⇤ ! X, sendo

⇤ um conjunto dirigido. Escreveremos x

�

em lugar de x(�), e falaremos da rede(x

�

)�2⇤.

(b) Diremos que a rede (x�

)�2⇤ converge a um ponto x 2 X se dada U 2 U

x

,existe �0 2 I tal que x

�

2 U para todo � � �0. Neste caso escreveremos x

�

! x.

E claro que a definicao em (b) nao muda se trocamos o sistema de vizinhancasU

x

por qualquer base de vizinhancas Bx

.

13.4. Exemplos. Seja X um espaco topologico.(a) Cada sequencia em X e uma rede, e a convergencia de redes generaliza

a convergencia de sequencias.

(b) Seja x 2 X. Se escolhemos x

U

2 U para cada U 2 Ux

, entao (xU

)U2U

x

e uma rede em X que converge a x.

(c) Seja x 2 X, e seja Bx

uma base de vizinhancas de x. Se escolhemosx

U

2 U para cada U 2 Bx

, entao (xU

)U2B

x

e uma rede em X que converge a x.

Notemos que, nos Exemplos 13.4(b) e 13.4(c) estamos usando a Proposicao9.3, ou seja o axioma da escolha.

O resultado seguinte generaliza a Proposicao 12.2.

13.5. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e sejam A ⇢ X e x 2 X.

Tem-se que x 2 A se e so se existe uma rede (x�

)�2⇤ ⇢ A que converge a x.

Demonstracao. Pela Proposicao 5.8, x 2 A se e so se U \A 6= ; para cadaU 2 U

x

.()) Se x 2 A, podemos escolher x

U

2 U \ A para cada U 2 Ux

. Entao arede (x

U

)U2U

x

esta contida em A e converge a x.

34

(() Seja (x�

)�2⇤ uma rede em A que converge a x. Dado U 2 U

x

, existe�0 2 ⇤ tal que x

�

2 U para todo � � �0. Em particular x

�0 2 U \ A. Segueque x 2 A.

O resultado seguinte generaliza a Proposicao 12.4.


Entao f e contınua num ponto x 2 X se e so se, para cada rede (x�

)�2⇤ que

converge a x em X, a rede (f(x�

))�2⇤ converge a f(x) em Y .

Demonstracao. Pela Proposicao 8.2, f e contınua em x se e so se, dadoV 2 U

f(x), existe U 2 Ux

tal que f(U) ⇢ V .()) Suponhamos que f seja contınua em x. Seja (x

�

)�2⇤ uma rede em X

que converge a x. Entao, dada V 2 Uf(x), existe U 2 U

x

tal que f(U) ⇢ V .Seja �0 2 ⇤ tal que x

�

2 U para todo � � �0. Entao f(x�

) 2 f(U) ⇢ V paratodo � � �0. Logo f(x

�

) ! f(x).(() Suponhamos que f nao seja contınua em x. Entao existe V 2 U

f(x) talque f(U) 6⇢ V para todo U 2 U

x

. Se escolhemos x

U

2 U tal que f(xU

) /2 V

para cada U 2 Ux

, entao x

U

! x, mas f(xU

) 6! f(x).

13.7. Proposicao. Seja {Xi

: i 2 I} uma famılia nao vazia de espacos


i2I

X

i

. Entao uma rede (x�

)�2⇤ converge

a x em X se e so se a rede (⇡i

(x�

))�2⇤ converge a ⇡

i

(x) em X

i

para cada i 2 I.

Demonstracao. ()) Se x

�

! x em X, entao ⇡

i

(x�

) ! ⇡

i

(x) em X

i

, paracada i 2 I, pois cada ⇡

i

e contınua.(() Suponhamos que ⇡

i

(x�

) ! ⇡

i

(x) para cada i 2 I. Seja U uma vizi-nhanca aberta basica de x em X, ou seja

x 2 U =\

j2J

⇡

�1j

(Uj

), com J finito, U

j

aberto em X

j

.

Para cada j 2 J ⇡

j

(x) 2 U

j

. Logo existe �

j

2 ⇤ tal que

⇡

j

(x�

) 2 U

j

para todo � � �

j

.

Como ⇤ e um conjunto dirigido existe �0 2 ⇤ tal que �0 � �

j

para cada j 2 J .Segue que

x

�

2\

j2J

⇡

�1j

(Uj

) para todo � � �0.

Logo x

�

! x.

13.8. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja (x�

)�2⇤ uma rede

em X. Diremos que x 2 X e um ponto de acumulacao de (x�

)�2⇤ se dados

U 2 Ux

e �0 2 ⇤, existe � 2 ⇤, � � �0, tal que x

�

2 U .

Se (x�

)�2⇤ converge a x, e claro que x e ponto de acumulacao de (x

�

)�2⇤.

35

13.9. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja x : ⇤ ! X umarede em X. Chamaremos de subrede de x : ⇤ ! X qualquer rede da formax �� : M ! X, sendo M um conjunto dirigido, e sendo � : M ! ⇤ uma funcaocom as seguintes propriedades:

(a) µ1 µ2 implica �(µ1) �(µ2) (� e crescente);(b) dado � 2 ⇤, existe µ 2 M tal que �(µ) � � (� e cofinal).A subrede x � � : M ! X sera denotada por (x

�(µ))µ2M

.

13.10. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e seja (x�

)�2⇤ uma

rede em X. Entao x 2 X e um ponto de acumulacao de (x�

)�2⇤ se e so se

existe uma subrede de (x�

)�2⇤ que converge a x.

Demonstracao. (() Seja (x�(µ))µ2M

uma subrede de (x�

)�2⇤ que con-

verge a x. Sejam U 2 Ux

e �0 2 ⇤ dados. Por um lado existe µ1 2 M tal que�(µ1) � �0. Por outro lado existe µ2 2 M tal que x

�(µ) 2 U para todo µ � µ2.Seja µ 2 M tal que µ � µ1 e µ � µ2. Segue que �(µ) � �(µ1) � �0 e x

�(µ) 2 U .Logo x e ponto de acumulacao de (x

�

)�2⇤.

()) Seja x um ponto de acumulacao de (x�

)�2⇤. Seja

M = {(�, U) 2 ⇤⇥ Ux

: x

�

2 U}.

Definamos (�1, U1) (�2, U2) se �1 �2 e U1 � U2. Claramente M e umconjunto dirigido. Definamos � : M ! ⇤ por �(�, U) = �. Claramente(x

�(µ))µ2M

e uma subrede de (x�

)�2⇤. Provaremos que x

�(µ) ! x. SejaU0 2 U

x

. Como x e ponto de acumulacao de (x�

)�2⇤, existe �0 2 ⇤ tal que

x

�0 2 U . Entao (�0, U0) 2 M e e claro que x

�

2 U0 para todo (�, U) 2 M talque (�, U) � (�0, U0). Ou seja x

�(µ) ! x.

13.11. Definicao. Diremos que uma rede (x�

)�2⇤ em X e uma rede

universal ou ultrarede se dado A ⇢ X existe �0 2 ⇤ tal que

{x�

: � � �0} ⇢ A ou {x�

: � � �0} ⇢ X \A.

E claro que toda rede constante e uma rede universal, chamada de rede

universal trivial.

13.12. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e seja (x�

)�2⇤ uma rede

universal em X. Se x e um ponto de acumulacao de (x�

)�2⇤, entao (x

�

)�2⇤

converge a x.

Demonstracao. Seja U 2 Ux

. Como (x�

)�2⇤ e rede universal, existe

�0 2 ⇤ tal que

{x�

: � � �0} ⇢ U ou {x�

: � � �0} ⇢ X \ U.

Como x e ponto de acumulacao de (x�

)�2⇤, existe � � �0 tal que x

�

2 U . Segueque

{x�

: � � �0} ⇢ U.

36

Logo x

�

! x.

Exercıcios

13.A. Se uma rede (x�

)�2⇤ converge a x, prove que qualquer subrede de

(x�

)�2⇤ tambem converge a x.

13.B. Se x e ponto de acumulacao de uma subrede de (x�

)�2⇤, prove que x

e ponto de acumulacao de (x�

)�2⇤.

13.C. Seja x um ponto de acumulacao de uma rede (x�

)�2⇤ no produto

X =Q

i2I

X

i

. Prove que ⇡

i

(x) e ponto de acumulacao da rede (⇡i

(x�

))�2⇤ em

X

i

para cada i 2 I.

13.D. Seja (x�

)�2⇤ uma rede em X, e seja x 2 X. Se cada subrede de

(x�

)�2⇤ admite uma subrede que converge a x, prove que (x

�

)�2⇤ converge a

x.

13.E. Prove que cada subrede de uma rede universal e uma rede universal.

13.F. Seja f : X ! Y . Se (x�

)�2⇤ e uma rede universal em X, prove que

(f(x�

))�2⇤ e uma rede universal em Y .

37

14. O lema de Zorn e o teorema de Zermelo

14.1. Definicao. Chamaremos de relacao de ordem parcial num conjuntoX uma relacao em X com as seguintes propriedades:

(a) x x para todo x 2 X ( e reflexiva);(b) se x y e y x, entao x = y ( e antisimetrica);(c) se x y e y z, entao x z ( e transitiva).Neste caso diremos que X e um conjunto parcialmente ordenado.

Diremos que e uma relacao de ordem total se alem de verificar (a), (b) e(c), tambem verifica

(d) dados x, y 2 X, tem-se que x y ou y x.Neste caso diremos que X e um conjunto totalmente ordenado.

14.2. Exemplos.(a) Se X e um conjunto, entao a relacao de inclusao e uma relacao de ordem

parcial em P(X).

(b) A relacao de ordem usual em R e uma relacao de ordem total.

14.3. Definicao. Seja X um conjunto parcialmente ordenado, e seja A ⇢X.

(a) Se existir a0 2 A tal que a0 a para todo a 2 A, diremos que a0 e oelemento mınimo de A. De maneira analoga definimos elemento maximo.

(b) Se existir a0 2 A tal que a = a0 sempre que a 2 A e a a0, diremosque a0 e um elemento minimal de A. De maneira analoga definimos elementomaximal.

(c) Se existir c 2 X tal que c a para todo a 2 A, diremos que A e limitadoinferiormente e que c e uma cota inferior de A. De maneira analoga definimosconjunto limitado superiormente e cota superior.

(d) Diremos que A e uma cadeia em X se A e totalmente ordenado sob arelacao de ordem parcial induzida por X.

(e) Diremos que A e bem ordenado se cada subconjunto nao vazio de A

possui um elemento mınimo.

14.4. Exemplos.(a) N, com a ordem usual, e um conjunto bem ordenado.(b) R, com a ordem usual, e um conjunto totalmente ordenado, que nao e

bem ordenado: o intervalo aberto (a, b) nao possui elemento mınimo.

14.5. Lema de Zorn. Seja X um conjunto parcialmente ordenado naovazio tal que cada cadeia em X e limitada superiormente. Entao X possui pelomenos um elemento maximal.

14.6. Teorema de Zermelo. Cada conjunto nao vazio pode ser bemordenado.

38

14.7. Teorema. As seguintes afirmacoes sao equivalentes:(a) O axioma da escolha.(b) O lema de Zorn.(c) O teorema de Zermelo.

Demonstracao. (b) ) (c): Seja X um conjunto nao vazio. Seja F a famıliade todos os pares (A,A) tais que ; 6= A ⇢ X e (A,A) e um conjunto bemordenado. E facil verificar que F e um conjunto parcialmente ordenado naovazio se definimos (A,A) (B,B) quando:

(i) A ⇢ B;(ii) se x, y 2 A, entao x A y se e so se x B y;(iii) se x 2 A e y 2 B \A, entao x B y.Provaremos que cada cadeia em F e limitada superiormente. De fato, seja

{(Ai,Ai) : i 2 I} uma cadeia em F , e seja A =S

i2I Ai. Dados x, y 2 A

definamos x A y se x, y 2 Ai e x Ai y. E facil verificar que a relacao A estabem definida, e e uma relacao de ordem parcial em A. Afirmamos que (A,A)e um conjunto bem ordenado. Seja ; 6= B ⇢ A, e seja

J = {j 2 I : B \Aj 6= ;}.

Notemos que A coincide com Ai em Ai para cada i 2 I. Como (Ai,Ai)e bem ordenado para cada i 2 I, segue que todos os conjuntos B \ Aj , comj 2 J , tem o mesmo elemento mınimo, que denotaremos por b0. Segue que b0 eo elemento mınimo de B. Logo (A,A) e bem ordenado, ou seja pertence a F .Agora e claro que (A,A) e uma cota superior da cadeia {(Ai,Ai) : i 2 I}.

Pelo lema de Zorn, F possui pelo menos um elemento maximal (A,A).Segue da maximalidade de (A,A) que A = X. Logo (X,X) e um conjuntobem ordenado.

(c) ) (a): Seja {Xi : i 2 I} uma famılia nao vazia de conjuntos nao vazios.Pelo teorema de Zermelo, existe uma boa ordenacao para

Si2I Xi. Para cada

i 2 I seja f(i) o elemento mınimo de Xi. Entao f 2Q

i2I Xi.

(a) ) (b): Esta e a implicacao mais difıcil de provar. Seja X um conjuntoparcialmente ordenado nao vazio no qual cada cadeia e limitada superiormente.

Seja X a famılia de todas as cadeias de X. Entao X e um conjunto parcial-mente ordenado nao vazio, por inclusao de conjuntos.

A estrategia da demonstracao e trabalhar com a famılia de conjuntos X , quee parcialmente ordenada por inclusao, em lugar de trabalhar com o conjuntoparcialmente ordenado abstrato X. Depois de provar que X possui um elementomaximal, sera facil provar que X possui um elemento maximal.

O primeiro passo e caracterizar os elementos maximais de X . Para cadaC 2 X seja

C = {x 2 X : C [ {x} 2 X}.

E claro que C ⇢ C. Alem disso, C e maximal em X se e so se C = C.

39

Pelo axioma da escolha, existe uma funcao f : P(X) \ {;} ! X tal quef(A) 2 A para cada A 2 P(X) \ {;}.

Seja g : X ! X definida por:

g(C) = C se C = C,

g(C) = C [ {f(C \ C)} se C 6= C.

A funcao g esta bem definida, pois se C 6= C, entao f(C \C) 2 C \C, e portantoC [ {f(C \ C)} 2 X . Alem disso, C e maximal em X se e so se g(C) = C.

Diremos que uma famılia T ⇢ X e uma torre se:(i) ; 2 T ;(ii) se C 2 T , entao g(C) 2 T ;(iii) se C e uma cadeia em T , entao

SC 2 T .

E claro que X e uma torre. E claro que a intersecao de uma famılia de torrese uma torre. Seja T0 a intersecao de todas as torres de X . Entao T0 e a menortorre de X . Nosso proximo objetivo e provar que T0 e uma cadeia em X . Istovai nos dar muito trabalho.

Diremos que C 2 T0 e comparavel se dado D 2 T0, tem-se que C ⇢ D ouD ⇢ C.

Para provar que T0 e cadeia, basta provar que cada C 2 T0 e comparavel.Para provar que cada C 2 T0 e comparavel, basta provar que os conjuntos

comparaveis em T0 formam uma torre.

E claro que ; e comparavel. E claro tambem que se C e uma cadeia deconjuntos comparaveis, entao

SC e comparavel. O mais difıcil vai ser provar

que se C e comparavel, entao g(C) e comparavel tambem.

Fixemos C 2 T0, C comparavel.Afirmamos que se D 2 T0 e D ⇢ C, D 6= C, entao g(D) ⇢ C. Como T0 e

torre, g(D) 2 T0. Como C e comparavel, tem-se que g(D) ⇢ C ou C ⇢ g(D),C 6= g(D). Mas C ⇢ g(D), C 6= g(D) e impossıvel, pois D ⇢ C, D 6= C eg(D) = D ou g(D) = D [ {x}.

SejaU = {D 2 T0 : D ⇢ C ou g(C) ⇢ D}.

Afirmamos que U e uma torre. E claro que ; 2 U . E claro tambem quese D e uma cadeia em U , entao

SD 2 U . Falta provar que se D 2 U , entao

g(D) 2 U . Ha tres possibilidades:(i) D ⇢ C, D 6= C. Neste caso ja sabemos que g(D) ⇢ C, e portanto

g(D) 2 U .(ii) D = C. Neste caso g(D) = g(C), e portanto g(D) 2 U .(iii) g(C) ⇢ D. Neste caso g(D) � D � g(C), e portanto g(D) 2 U .

Como U e torre e U ⇢ T0, segue que U = T0. Logo, dado D 2 T0 = U ,tem-se que D ⇢ C ⇢ g(C) ou g(C) ⇢ D. Logo g(C) e comparavel.

40

Temos provado assim que os conjuntos comparaveis de T0 formam uma torre.Segue que cada C 2 T0 e comparavel, e daı T0 e uma cadeia em X .

Como T0 e torre, temos que C0 :=ST0 2 T0. Como T0 e torre, temos que

g(C0) 2 T0, e portanto g(C0) = C0. Logo C0 e maximal em X .

Por hipotese existe m 2 X tal que c m para todo c 2 C0. Como C0 e umacadeia maximal, e claro que m 2 C0.

Afirmamos que m e um elemento maximal em X. De fato seja n 2 X, comm n. Como C0 e uma cadeia maximal, segue que n 2 C0. Logo n m, eportanto n = m. Isto completa a demonstracao.

Exercıcios.

14.A. Seja X = {n 2 N : n � 2}. Dados m,n 2 X, definamos m n se m

divide n.(a) Prove que e uma relacao de ordem parcial em X.(b) Prove que, dada uma cadeia C ⇢ X e um elemento n 2 C, existe apenas

um numero finito de elementos n1, ..., nk 2 C que dividem n.(c) Prove que cada cadeia C ⇢ X e limitada inferiormente.(d) Identifique os elementos minimais de X.

14.B. Seja (X,) um conjunto totalmente ordenado com pelo menos doiselementos. Dados x, y 2 X, escreveremos x < y se x y e x 6= y.

(a) Prove que os conjuntos {x 2 X : a < x}, com a 2 X, junto com osconjuntos {x 2 X : x < b}, com b 2 X, formam uma sub-base para umatopologia em X, chamada de topologia da ordem.

(b) Prove que a topologia usual em R coincide com a topologia da ordemusual em R.

14.C. Seja E um espaco vetorial, E 6= {0}. Usando o lema de Zorn proveque cada subconjunto linearmente independente de E esta contido em algumabase de E.

14.D. Sejam E e F espacos vetoriais sobre o mesmo corpo, seja E0 umsubespaco vetorial de E, e seja T0 : E0 ! F uma aplicacao linear. Use o lemade Zorn para provar a existencia de uma aplicacao linear T : E ! F tal queTx = T0x para todo x 2 E0.

14.E. Seja A um anel comutativo com elemento unidade. Um conjuntoI ⇢ A e chamado de ideal se verifica as seguintes condicoes:

(a) x� y 2 I para todo x, y 2 I;(b) xy 2 I para todo x 2 I, y 2 A.Um ideal I 6= A e chamado de ideal proprio. Um ideal proprio que nao esta

contido em nenhum outro ideal proprio e chamado de ideal maximal. Use o lemade Zorn para provar que cada ideal proprio de A esta contido em algum idealmaximal.

41

15. Convergencia de filtros

15.1. Definicao. Seja X um conjunto nao vazio. Diremos que uma famılianao vazia F ⇢ P(X) e um filtro em X se verifica as seguintes condicoes:

(a) A 6= ; para todo A 2 F ;(b) se A,B 2 F , entao A \B 2 F ;(c) se A 2 F e A ⇢ B ⇢ X, entao B 2 F .

15.2. Definicao. Seja X um conjunto nao vazio. Diremos que uma famılianao vazia B ⇢ P(X) e uma base de filtro em X se a famılia

F = {A ⇢ X : A � B para algum B 2 B}

e um filtro em X. Neste caso diremos que F e o filtro gerado por B.

E claro que todo filtro em X e uma base de filtro em X.

15.3. Proposicao. Seja X um conjunto nao vazio. Uma famılia nao

vazia B ⇢ P(X) e uma base de filtro em X se e so se se verificam as seguintes

condicoes:

(a) A 6= ; para todo A 2 B;

(b) dados A,B 2 B, existe C 2 B tal que C ⇢ A \B.

Demonstracao. ()) Suponhamos que a famılia


seja um filtro em X. E claro que B ⇢ F , e portanto (a) vale. Para provar (b)sejam A,B 2 B ⇢ F . Entao A \B 2 F , e dai A \B � C para algum C 2 B.

(() Supondo (a) e (b) queremos provar que a famılia


e um filtro em X.Seja A 2 F . Entao A � B para algum B 2 B. Como B 6= ;, segue que

A 6= ;.Sejam A1, A2 2 F . Entao A1 � B1 e A2 � B2, com B1, B2 2 B. Existe

B3 2 B tal que B3 ⇢ B1 \B2. Segue que A1 \A2 � B1 \B2 � B3, e portantoA1 \A2 2 F .

Finalmente sejam A1 2 F e A1 ⇢ A2 ⇢ X. A1 � B1 para algum B1 2 B.Segue que A2 � A1 � B1, e portanto A2 2 F .

15.4. Exemplos.

(a) Seja X um conjunto, seja ; 6= B ⇢ X, e seja B = {B}. E claro que B euma base de filtro em X. O filtro gerado por B e a famılia F = {A : B ⇢ A ⇢X}.

(b) Seja X um espaco topologico, e seja x 2 X. Entao o sistema de vizin-hancas U

x

e um filtro em X. Qualquer base de vizinhancas Bx

e uma base defiltro em X que gera o filtro U

x

.

42

(c) A famılia B = {(a,1) : a 2 R} e uma base de filtro em R.

15.5. Definicao. Uma base de filtro B em X e dita fixa seTB 6= ;, e livre

seTB = ;.

Seja F o filtro gerado por B. E claro que F e fixo se e so se B e fixa.Os filtros ou bases de filtro dos Exemplos 15.4 (a) e 15.4 (b) sao fixos. A

base de filtro do Exemplo 15.4 (c) e livre.

15.6. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja B uma base de filtroem X. Diremos que B converge a um ponto x 2 X, e escreveremos B ! x, sedado U 2 U

x

, existe B 2 B tal que B ⇢ U .

E claro que um filtro F converge a x se e so se Ux

⇢ F . E claro tambem queuma base de filtro B converge a x se e so se o filtro gerado por B converge a x.

Trabalhar com filtros ou com bases de filtro e equivalente. Em geral, escolhe-remos um ou outro, de maneira que os enunciados fiquem maissimples.

15.7. Exemplos. Seja X um espaco topologico, e seja x 2 X. Entaoo sistema de vizinhancas U

x

converge a x. Qualquer base de vizinhancas Bx

converge a x.

15.8. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e sejam E ⇢ X e x 2 X.

Tem-se que x 2 E se e so se existe um filtro F em X tal que E 2 F e F ! x.

Demonstracao. Sabemos que x 2 E se e so se U\E 6= ; para todo U 2 Ux

.(() Seja F um filtro em X tal que E 2 F e F ! x. Como F ! x, tem-se

que Ux

⇢ F . Segue que U \ E 2 F , e portanto U \ E 6= ; para todo U 2 Ux

.Logo x 2 E.

()) Suponhamos que x 2 E. Seja

B = {U \ E : U 2 Ux

}.

E claro que B e uma base de filtro em X, e que B ! x. Seja F o filtro geradopor B. E claro que E 2 F e F ! x.

15.9. Proposicao. Seja B uma base de filtro em X, e seja f : X ! Y uma

funcao qualquer. Entao a famılia

f(B) = {f(B) : B 2 B}

e uma base de filtro em Y .

Demonstracao: exercıcio.

15.10. Proposicao. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja f : X ! Y .

Entao f e contınua num ponto x 2 X se e so se f(B) ! f(x) para cada base

de filtro B em X que converge a x.

43

Demonstracao. Sabemos que f e contınua em x se e so se, dado V 2 Uf(x),

existe U 2 Ux

tal que f(U) ⇢ V .()) Suponhamos que f seja contınua em x, e seja B uma base de filtro em

X que converge a x. Dada V 2 Uf(x), existe U 2 U

x

tal que f(U) ⇢ V . ComoB ! x, existe B 2 B tal que B ⇢ U . Segue que f(B) ⇢ f(U) ⇢ V , e portantof(B)! f(x).

(() Suponhamos que f(B)! f(x) para cada base de filtro B que convergea x. Como em particular U

x

! x, tem-se que f(Ux

) ! f(x). Logo, dadaV 2 U

f(x), existe U 2 Ux

tal que f(U) ⇢ V . Logo f e contınua em x.



topologicos nao vazios, seja X =Q

i2I

X

i

, e seja B uma base de filtro em X.

Entao B converge a x em X se e so se ⇡

i

(B) converge a ⇡

i

(x) em X

i

para cada

i 2 I.

Demonstracao. ()) Se B ! x em X, entao ⇡

i

(B) ! ⇡

i

(x) em X

i

, paracada i 2 I, pois cada ⇡

i

e contınua.(() Suponhamos que ⇡

i

(B) ! ⇡

i

(x) em X

i

para cada i 2 I. Seja U umavizinhanca aberta basica de x em X, ou seja

x 2 U =\

j2J

⇡

�1j

(Uj

), com J finito, U

j

aberto em X

j

.

Como ⇡

j

(B)! ⇡

j

(x), existe B

j

2 B tal que ⇡

j

(Bj

) ⇢ U

j

, para cada j 2 J . SejaB 2 B tal que B ⇢

Tj2J

B

j

. Entao

B ⇢\

j2J

B

j

⇢\

j2J

⇡

�1j

(Uj

) = U.

Logo B ! x.

15.12. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja B uma base defiltro em X. Diremos que x 2 X e um ponto de acumulacao de B se U \B 6= ;para todo U 2 U

x

e B 2 B, ou seja se x 2T{B : B 2 B}.

Se B converge a x, e claro que x e ponto de acumulacao de B. E claro que x

e ponto de acumulacao de B se e so se x e ponto de acumulacao do filtro geradopor B.

15.13. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e seja F um filtro em

X. Entao x e um ponto de acumulacao de F se e so se existe um filtro G � Fque converge a x.

Demonstracao. (() Seja G um filtro em X tal que G � F e G ! x. EntaoU

x

⇢ G, e daı segue que U \A 6= ; para todo U 2 Ux

e A 2 F . Logo x e pontode acumulacao de F .

()) Suponhamos que x seja ponto de acumulacao de F . Seja

B = {U \A : U 2 Ux

, A 2 F}.

44

E claro que B e uma base de filtro em X que converge a x. Seja G o filtro geradopor B. E claro que G � F e G ! x.

15.14. Definicao. Diremos que F e um ultrafiltro em X se F e um filtromaximal em X, ou seja, cada vez que existir um filtro G em X tal que F ⇢ G,tem-se que F = G.

15.15. Proposicao. Um filtro F em X e um ultrafiltro se e so se, dado

E ⇢ X, tem-se que E 2 F ou X \ E 2 F .

Demonstracao. (() Suponhamos que, dado E ⇢ X, tem-se que E 2 Fou X \ E 2 F . Suponhamos que exista um filtro G em X tal que F ⇢ G eF 6= G. Seja E 2 G \ F . Segue que X \E 2 F ⇢ G. Logo ; = E \ (X \E) 2 G,absurdo.

()) Seja F um ultrafiltro em X, e seja E ⇢ X. Dado A 2 F , e claro queA \ E 6= ; ou A \ (X \ E) 6= ;. Consideremos dois casos.

Primeiro suponhamos que A \ E 6= ; para todo A 2 F . Seja

B = {A \ E : A 2 F}.

E claro que B e uma base de filtro em X. Seja G o filtro gerado por B. E claroque F ⇢ G e E 2 G. Como F e ultrafiltro, tem-se que F = G. Segue que E 2 F .

A seguir suponhamos que A0\E = ; para algum A0 2 F . Entao A0 ⇢ X\E,e segue que X \ E 2 F .

15.16. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e seja F um ultrafiltro

em X. Se x e um ponto de acumulacao de F , entao F converge a x.

Demonstracao. Suponhamos que x seja ponto de acumulacao de F , ouseja U \A 6= ; para todo U 2 U

x

e A 2 F .Afirmamos que U

x

⇢ F . De fato, suponhamos que exista U 2 Ux

, comU /2 F . Teriamos que X \ U 2 F , e portanto U \ (X \ U) 6= ;, absurdo. LogoU

x

⇢ F , e portanto F ! x.

15.17. Proposicao. Cada filtro em X esta contido em algum ultrafiltro.

Demonstracao. Seja P a famılia de todos os filtros G em X tais queG � F . P e um conjunto parcialmente ordenado por inclusao de conjuntos.Seja {G

i

: i 2 I} uma cadeia em P. E claro queS

i2I

Gi

e um filtro em X, ee portanto uma cota superior para a cadeia {G

i

: i 2 I}. Pelo lema de Zorn Ppossui pelo menos um elemento maximal G. Segue que G e um ultrafiltro em X

que contem F .

Exercıcios

15.A. Seja B uma base de filtro em X e seja f : X ! Y uma funcaoqualquer. Prove que a famılia

f(B) = {f(B) : B 2 B}

45

e uma base de filtro em Y .

15.B. Seja A uma base de filtro em X e seja B uma base de filtro em Y .(a) Prove que a famılia

C = {A⇥B : A 2 A, B 2 B}

e uma base de filtro em X ⇥ Y .(b) Prove que C ! (x, y) se e so se A! x e B ! y.

15.C. SejaB = {(a,1) : a 2 R}.

Pelo Exercıcio 6.B B e base para uma topologia ⌧ em R. Pelo Exemplo 15.4 Be uma base de filtro em R. Prove que B ! x para cada x 2 R.

15.D. Seja X um conjunto infinito, com a topologia cofinita do Exercıcio3.C. Seja

G = {A ⇢ X : X \A e finito}.

(a) Prove que G e um filtro em X.(b) Prove que G ! x para cada x 2 X.

15.E. Seja (x�

)�2⇤ uma rede em X, e seja B = {B

�

: � 2 ⇤}, onde B

�

={x

µ

: µ � �} para cada � 2 ⇤.(a) Prove que B e uma base de filtro em X, que chamaremos de base de filtro

gerada por (x�

)�2⇤.

(b) Prove que x

�

! x se e so se B ! x.(c) Prove que x e ponto de acumulacao de (x

�

)�2⇤ se e so se x e ponto de

acumulacao de B.(d) Prove que (x

�

)�2⇤ e uma rede universal se e so se o filtro gerado por B

e um ultrafiltro.

15.F. Seja B uma base de filtro em X, e seja

⇤ = {(a,A) : a 2 A 2 B}.

(a) Prove que ⇤ e um conjunto dirigido se definimos (a,A) (b, B) quandoA � B. A rede x : ⇤ ! X definida por x(a,A) = a e chamada de rede gerada

por B, e e denotada por (x�

)�2⇤.

(b) Prove que B ! x se e so se x

�

! x.(c) Prove que x e ponto de acumulacao de B se e so se x e ponto de acu-

mulacao de (x�

)�2⇤.

(d) Prove que o filtro gerado por B e um ultrafiltro se e so se (x�

)�2⇤ e uma

rede universal.

46

16. Espacos de Hausdor↵

16.1. Definicao. Diremos que um espaco topologico X e um espaco T0 sedados dois pontos distintos em X, existe uma vizinhanca de um deles que naocontem o outro.

16.2. Exemplos.(a) Cada espaco topologico discreto e um espaco T0.(b) Seja X um espaco topologico trivial, com pelo menos dois pontos. Entao

X nao e um espaco T0.

16.3. Proposicao. Um espaco topologico X e um espaco T0 se e so se,dados a, b 2 X, com a 6= b, tem-se que {a} 6= {b}.

Demonstracao. ()) Seja X um espaco T0, e sejam a, b 2 X, a 6= b. Seexistir U 2 U

a

tal que b /2 U , entao a 2 {a}, mas a /2 {b}. Se existir V 2 Ub

talque a /2 V , entao b 2 {b}, mas b /2 {a}. Em ambos casos {a} 6= {b}.

(() Suponhamos que X nao seja um espaco T0. Entao existem a, b 2 X,com a 6= b, tais que b 2 U para cada U 2 U

a

, e a 2 V para cada V 2 Ub

. Logoa 2 {b} e b 2 {a}. Segue que {a} = {b}.

16.4. Definicao. Diremos que um espaco topologico X e um espaco T1 sedados dois pontos distintos em X, existe uma vizinhanca de cada um deles quenao contem o outro.

E claro que cada espaco T1 e um espaco T0.

16.5. Exemplos.(a) Cada espaco topologico discreto e um espaco T1.(b) O espaco de Sierpinski e um espaco T0, mas nao e um espaco T1.

16.6. Proposicao. Um espaco topologico X e um espaco T1 se e so se cadasubconjunto unitario de X e fechado.

Demonstracao. ()) Seja X um espaco T1, e seja a 2 X. Para cada b 2 X,com b 6= a, existe V 2 U

b

tal que a /2 V . Segue que X \ {a} e aberto, ou seja{a} e fechado.

(() Suponhamos que {a} seja fechado para cada a 2 X. Dados a, b 2 X,com a 6= b, sejam U = X \ {b} e V = X \ {a}. Entao U e V sao abertos, a 2 U ,b /2 U , b 2 V , a /2 V .

16.7. Definicao. Diremos que um espaco topologico X e um espaco deHausdor↵ ou um espaco T2 se dados a, b 2 X, com a 6= b, existem U 2 U

a

eV 2 U

b

, com U \ V = ;.E claro que cada espaco T2 e um espaco T1.

16.8. Exemplos.(a) Cada espaco topologico discreto e um espaco de Hausdor↵.(b) Cada espaco metrico e um espaco de Hausdor↵.

47

(c) Seja X um conjunto infinito, com a topologia cofinita. Entao X e umespaco T1, mas nao e um espaco T2. Deixamos a demonstracao como exercıcio.

16.9. Proposicao. Para um espaco topologico X as seguintes condicoessao equivalentes:

(a) X e Hausdor↵.(b) Cada rede convergente em X tem um limite unico.(c) Cada filtro convergente em X tem um limite unico.

Demonstracao. (a) ) (b): Suponhamos que X seja Hausdor↵, e seja(x

�

)�2⇤ uma rede em X que converge a x e a y, com x 6= y. Sejam U 2 U

x

eV 2 U

y

, com U \V = ;. Como x

�

! x, existe �1 2 ⇤ tal que x

�

2 U para todo� � �1. Como x

�

! y, existe �2 2 ⇤ tal que x

�

2 V para todo � � �2. Seja� 2 ⇤ tal que � � �1 e � � �2. Entao x

�

2 U \ V , contradicao.(b)) (a): Suponhamos que X nao seja Hausdor↵. Entao existem x, y 2 X,

com x 6= y, tais que U \ V 6= ; para todo U 2 Ux

e V 2 Uy

. Seja x

UV

2 U \ V

para cada U 2 Ux

e V 2 Uy

. Segue que (xUV

)(U,V )2Ux

⇥Uy

e uma rede em X

que converge a x e a y, com x 6= y.(a)) (c): Suponhamos que X seja Hausdor↵, e seja F um filtro em X que

converge a x e a y, com x 6= y. Sejam U 2 Ux

e V 2 Uy

, com U \ V = ;. ComoF ! x, tem-se que U 2 U

x

⇢ F . Como F ! y, tem-se que V 2 Uy

⇢ F . LogoU \ V 2 F , absurdo, pois U \ V = ;.

(c)) (a): Suponhamos que X nao seja Hausdor↵. Entao existem x, y 2 X,com x 6= y, tais que U \ V 6= ; para todo U 2 U

x

e V 2 Uy

. Seja

B = {U \ V : U 2 Ux

, V 2 Uy

}.

E claro que B e uma base de filtro em X. Seja F o filtro gerado por B. E claroque U

x

⇢ F e Uy

⇢ F . Logo F converge a x e a y, com x 6= y.

16.10. Proposicao. Cada subespaco de um espaco de Hausdor↵ e umespaco de Hausdor↵.

Demonstracao. Seja X um espaco de Hausdor↵, e seja S um subespacode X. Sejam a, b 2 S, com a 6= b. Como X e Hausdor↵, existem abertos U1 eV1 em X tais que a 2 U1, b 2 V1 e U1\V1 = ;. Sejam U = S\U1 e V = S\V1.Entao U e V sao abertos em S, a 2 U , b 2 V e U \ V = ;.


: i 2 I} uma famılia nao vazia de espacostopologicos nao vazios. Entao o produto X =

Qi2I

X

i

e Hausdor↵ se e so secada X

i

e Hausdor↵.

Demonstracao. ()) Esta implicacao segue da Proposicao 16.10 e doExercıcio 10.C.

(() Suponhamos que cada X

i

seja Hausdor↵, e sejam a, b 2 X, com a 6= b.Escrevamos a = (a

i

)i2I

, b = (bi

)i2I

. Como a 6= b, existe i 2 I tal que a

i

6= b

i

.Como X

i

e Hausdor↵, existem abertos U

i

e V

i

em X

i

tais que a

i

2 U

i

, b

i

2 V

i

e

48

U

i

\ V

i

= ;. Sejam U = ⇡

�1i

(Ui

) e V = ⇡

�1i

(Vi

). Entao U e V sao abertos emX, a 2 U , b 2 V e U \ V = ;.

16.12. Proposicao. Sejam X e Y espacos topologicos, com Y Hausdor↵.Sejam f e g duas funcoes contınuas de X em Y tais que f(x) = g(x) para todox num subconjunto denso D ⇢ X. Entao f(x) = g(x) para todo x 2 X.

Demonstracao. Como X = D, para cada x 2 X, existe uma rede (xi

)i2I

⇢D tal que x

i

! x. Como f e g sao contınuas, segue que f(xi

)! f(x) e g(xi

)!g(x). Como f(x

i

) = g(xi

) para todo i 2 I, e Y e Hausdor↵, a Proposicao 16.9garante que f(x) = g(x).

Exercıcios

16.A. Seja X = N, com a topologia do Exercıcio 4.F. Prove que X e umespaco T0, mas nao e um espaco T1.

16.B. Prove que cada subespaco de um espaco T0 (resp. T1) e um espacoT0 (resp. T1).

16.C. Seja {Xi

: i 2 I} uma famılia nao vazia de espacos topologicos naovazios. Prove que o produto X =

Qi2I

X

i

e um espaco T0 (resp. T1) se e so secada X

i

e um espaco T0 (resp. T1).

16.D. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja f : X ! Y uma aplicacaosobrejetiva e fechada. Prove que se X e um espaco T1, entao Y tambem e umespaco T1.

16.E. Seja X um conjunto infinito, com a topologia cofinita. Prove que X

e um espaco T1, mas nao e um espaco T2.

16.F. Seja X um espaco de Hausdor↵. Dados n pontos distintos x1, ..., xn

2X, prove que existem n abertos disjuntos U1, ..., Un

⇢ X tais que x

j

2 U

j

paraj = 1, ..., n.

16.G. Seja X um espaco topologico.(a) Prove que X e um espaco T1 se e so se, para cada a 2 X tem-se queT

{U : U 2 Ua

} = {a}.(b) Prove que X e um espaco T2 se e so se, para cada a 2 X tem-se queT

{U : U 2 Ua

} = {a}.

16.H. Prove que um espaco topologico X e Hausdor↵ se e so se o conjuntoD = {(x, x) : x 2 X} e fechado em X ⇥X.

16.I. Sejam X e Y espacos topologicos, com Y Hausdor↵. Sejam f e g duasfuncoes contınuas de X em Y .

(a) Prove que o conjunto {x 2 X : f(x) = g(x)} e fechado em X.(b) Use (a) para dar outra demonstracao da Proposicao 16.12.

49

17. Espacos regulares

17.1. Definicao. Diremos que um espaco topologico X e regular se dadosum fechado A em X e um ponto b /2 A, existem abertos disjuntos U , V em Xtais que A ⇢ U e b 2 V . Diremos que X e um espaco T3 se X e um espaco T1

que e regular.


17.2. Exemplos.

(a) Cada espaco discreto e um espaco T3.

(b) Cada espaco metrico e um espaco T3. A demonstracao e deixada comoexercıcio.

(c) Seja X um espaco topologico trivial, com pelo menos dois pontos. EntaoX e regular, mas nao e um espaco T3.

(d) O espaco de Sierspinski nao e regular. A demonstracao e deixada comoexercıcio.

17.3. Proposicao. Para um espaco topologico X as seguintes condicoes

sao equivalentes:

(a) X e regular.

(b) Dados um aberto U ⇢ X e um ponto a 2 U , existe um aberto V ⇢ X tal

que a 2 V ⇢ V ⇢ U .

(c) Cada ponto de X admite uma base de vizinhancas fechadas.

Demonstracao. (a) ) (b): Seja a 2 U , sendo U aberto em X. Entaoa /2 X \ U , e X \ U e fechado. Como X e regular, existem abertos disjuntos V ,W em X tais que a 2 V e X \U ⇢ W . Logo a 2 V ⇢ X \W ⇢ U . Como X \We fechado, segue que

a 2 V ⇢ V ⇢ X \W ⇢ U.

(b) ) (c): imediato.(c) ) (a): Seja b /2 A, sendo A fechado em X. Entao b 2 X \ A, e X \ A e

aberto. Por (c) existe V 2 Ub, V fechado, tal que b 2 V ⇢ X \A. Segue que

A ⇢ X \ V, b 2 V �, (X \ V ) \ V � = ;.

17.4. Proposicao. Cada subespaco de um espaco regular e um espaco

regular.

Demonstracao. Seja X um espaco regular e seja S um subespaco de X.Seja A um subconjunto fechado de S, e seja b 2 S \A. Sabemos que A = S\A1,sendo A1 um subconjunto fechado de X. Como b /2 A1 e X e regular, existemabertos disjuntos U1, V1 em X tais que A1 ⇢ U1 e b 2 V1. Sejam U = S \ U1 eV = S \ V1. Entao U e V sao dois abertos disjuntos de S, A ⇢ U e b 2 V .

17.5. Corolario. Cada subespaco de um espaco T3 e um espaco T3.

50


topologicos nao vazios. Entao o produto X =Q

i2I Xi e regular se e so se cada

Xi e regular.


(() Suponhamos que cada Xi seja regular, e sejam a 2 X e U 2 Ua. Entao

U �\

j2J

⇡�1j (Uj),

sendo J ⇢ I, J finito, e Uj aberto em Xj para cada j 2 J . Como Xj e regularcada Uj contem uma vizinhanca fechada Vj de ⇡j(a). Segue que

a 2\

j2J

⇡�1j (Vj) ⇢

\

j2J

⇡�1j (Uj) ⇢ U.

Logo X e regular.

17.7. Corolario. Seja {Xi : i 2 I} uma famılia nao vazia de espacos


i2I Xi e um espaco T3 se e so

se cada Xi e um espaco T3.

Exercıcios

17.A. Prove que cada espaco metrico e um espaco T3.

17.B. Prove que o espaco de Sierpinski nao e regular.

17.C. Seja X um conjunto infinito, com a topologia cofinita. Prove que Xnao e regular.

17.D. Prove que a reta de Sorgenfrey do Exercıcio 6.C e um espaco T3.

17.E. (a) Prove que a famılia

B = {(a, b) : a, b 2 R, a < b} [ {(a, b) \Q : a, b 2 R, a < b}

e uma base para uma topologia ⌧ em R.(b) Prove que (R, ⌧) e Hausdor↵.(c) Prove que (R, ⌧) nao e regular.

17.F. Seja X um espaco regular. Prove que, dados um fechado A em Xe um ponto b /2 A, existem abertos U e V em X tais que A ⇢ U , b 2 V eU \ V = ;.

51

18. Espacos normais

18.1. Definicao. Diremos que um espaco topologico X e normal se dadosdois fechados disjuntos A e B em X, existem dois abertos disjuntos U e V emX tais que A ⇢ U e B ⇢ V . Diremos que X e um espaco T4 se X e um espacoT1 que e normal.


18.2. Exemplos.(a) Cada espaco discreto e um espaco T4.

(b) Cada espaco metrico e um espaco T4. A demonstracao e deixada comoexercıcio.

(c) O espaco de Sierpinski e normal, mas nao e regular nem Hausdor↵. Ademonstracao e deixada como exercıcio.

18.3. Proposicao. Um espaco topologico X e normal se e so se, dados um

fechado A e um aberto U , com A ⇢ U , existe um aberto V tal que A ⇢ V ⇢V ⇢ U .

Demonstracao. ()) Suponhamos que A ⇢ U , sendo A fechado e U aberto.Entao A e X \ U sao dois fechados disjuntos de X. Como X e normal, existemabertos disjuntos V e W tais que A ⇢ V e X \U ⇢ W . Logo V ⇢ X \W . ComoX \ W e fechado, segue que

A ⇢ V ⇢ V ⇢ X \ W ⇢ U.

(() Sejam A e B dois fechados disjuntos de X. Entao A ⇢ X \ B, e X \ Be aberto. Por hipotese existe um aberto U tal que

A ⇢ U ⇢ U ⇢ X \ B.

Segue queA ⇢ U, B ⇢ X \ U, U \ (X \ U) = ;.

18.4. Proposicao. Cada subespaco fechado de um espaco normal e

normal.

Demonstracao. Seja X um espaco normal, e seja S um subespaco fechadode X. Sejam A e B dois subconjuntos fechados disjuntos de S. Entao A = S\A1

e B = S\B1, sendo A1 e B1 dois subconjuntos fechados de X. Como S e fechadoem X, vemos que A e B sao fechados em X. Como X e normal, existem abertosU1 e V1 em X tais que

A ⇢ U1, B ⇢ V1, U1 \ V1 = ;.

Seja U = S \ U1 e V = S \ V1. Entao U e V sao abertos em S e

A ⇢ U, B ⇢ V, U \ V = ;.

52

18.5. Corolario. Cada subespaco fechado de um espaco T4 e um espaco

T4.

18.6. Proposicao. A imagem contınua e fechada de um espaco normal e

normal.

Demonstracao. Seja X um espaco normal, seja Y um espaco topologico, eseja f : X ! Y uma aplicacao sobrejetiva, contınua e fechada. Provaremos queY e normal. Sejam B1 e B2 dois fechados disjuntos de Y . Como f e contınua,f�1(B1) e f�1(B2) sao dois fechados disjuntos de X. Como X e normal, existemdois abertos disjuntos U1 e U2 de X tais que f�1(B1) ⇢ U1 e f�1(B2) ⇢ U2.

Sejam V1 e V2 definidos por

Vi = Y \ f(X \ Ui) para i = 1, 2.

Como f e fechada, vemos que cada Vi e aberto em Y .Notemos que

f�1(Vi) = X \ f�1(f(X \ Ui)) ⇢ X \ (X \ Ui) = Ui para i = 1, 2.

Como U1 e U2 sao disjuntos, vemos que f�1(V1) e f�1(V2) sao disjuntos tambem.Dai segue que V1 e V2 sao disjuntos.

Finalmente provaremos que B1 ⇢ V1 e B2 ⇢ V2. Suponhamos que existay 2 Bi tal que y /2 Vi. y /2 Vi implica que y 2 f(X \ Ui), ou seja y = f(x), comx /2 Ui. Por outro lado f(x) = y 2 Bi implica que x 2 f�1(Bi) ⇢ Ui, absurdo.Isto completa a demonstracao.

18.7. Corolario. A imagem contınua e fechada de um espaco T4 e um

espaco T4.

Demonstracao. Basta aplicar a Proposicao 18.6 e o Exercıcio 16.E.

Em um espaco normal, dois fechados disjuntos podem ser separados por meiode abertos. A seguir veremos que dois fechados disjuntos podem ser separadospor meio de funcoes contınuas.

18.8. Lema de separacao de Urysohn. Um espaco topologico X e

normal se e so se, dados dois fechados disjuntos A e B de X, existe uma funcao

contınua f : X ! [0, 1] tal que f(A) ⇢ {0} e f(B) ⇢ {1}.

Demonstracao. (() Sejam A e B dois fechados disjuntos de X, e sejaf : X ! [0, 1] uma funcao contınua tal que f(A) ⇢ {0} e f(B) ⇢ {1}. Sejam

U = f�1([0, 1/2)), V = f�1((1/2, 1]).

Entao U e V sao abertos, A ⇢ U , B ⇢ V e U \ V = ;. Logo X e normal.

()) Seja X um espaco normal, e sejam A e B dois fechados disjuntos de X.Como A ⇢ X \ B, existe um aberto U1/2 tal que

A ⇢ U1/2 ⇢ U1/2 ⇢ X \ B.

53

Logo existem abertos U1/4 e U3/4 tais que

A ⇢ U1/4 ⇢ U1/4 ⇢ U1/2 ⇢ U1/2 ⇢ U3/4 ⇢ U3/4 ⇢ X \ B.

SejaD = {k/2n : n 2 N, k = 1, 2, ..., 2n � 1}.

Notemos que D e denso em [0, 1]. Procedendo por inducao podemos achar, paracada r 2 D um aberto Ur tal que

A ⇢ U1/2n ⇢ U1/2n ⇢ U2/2n ⇢ U2/2n ⇢ ... ⇢ U(2n�1)/2n ⇢ U(2n�1)/2n ⇢ X \ B.

Notemos que:A ⇢ Ur para todo r 2 D,

B ⇢ X \ Us para todo s 2 D,

Us ⇢ Ur para todo s, r 2 D com s < r.

Seja f : X ! [0, 1] definida por

f(x) = inf{r 2 D : x 2 Ur} se x 2[

{Ur : r 2 D},

f(x) = 1 se x /2[

{Ur : r 2 D}.

Notemos que:

f(x) r se x 2 Ur,

f(x) � s se x /2 Us,

s f(x) r se x 2 Ur \ Us.

E claro que0 f(x) 1 para todo x 2 X,

f(x) = 0 para todo x 2 A,

f(x) = 1 para todo x 2 B.

Para completar a demonstracao provaremos que f e contınua em cada pontoa 2 X. Seja ✏ > 0 dado.

Se f(a) = 0, entao a 2 Ur para todo r 2 D. Seja r 2 D tal que r < ✏. Entaopara cada x 2 Ur tem-se que f(x) r < ✏.

Se f(a) = 1, entao a /2 Us para todo s 2 D. Seja s 2 D tal que s > 1 � ✏.Entao para cada x /2 Us tem-se que f(x) � s > 1� ✏.

Se 0 < f(x) < 1, sejam r, s 2 D tais que

f(a)� ✏ < s < f(a) < r < f(a) + ✏.

E facil ver que a 2 Ur \ Us. Alem disso, para cada x 2 Ur \ Us tem-se que

f(a)� ✏ < s f(x) r < f(a) + ✏.

54

Logo f e contınua em cada ponto de X.

18.9. Teorema de extensao de Tietze. Para um espaco topologico Xas seguintes condicoes sao equivalentes:

(a) X e normal.

(b) Dados um conjunto fechado A ⇢ X e uma funcao contınua f : A ! [c, d],com c < d, existe uma funcao contınua F : X ! [c, d] tal que F |A = f .

(c) Dados um conjunto fechado A ⇢ X e uma funcao contınua f : A ! R,

existe uma funcao contınua F : X ! R tal que F |A = f .

Demonstracao. (a) ) (b): Como [c, d] e homeomorfo a [�1, 1], podemossupor que f : A ! [�1, 1]. Sejam

A1 = {x 2 A : f(x) �1/3}, B1 = {x 2 A : f(x) � 1/3}.

Pelo Lema de Urysohn existe uma funcao contınua

f1 : X ! [�1/3, 1/3]

tal quef1(A1) ⇢ {�1/3}, f1(B1) ⇢ {1/3}.

Entao|f(x)� f1(x)| 2/3 para todo x 2 A.

Sejag1 = f � f1 : A ! [�2/3, 2/3],

e sejam

A2 = {x 2 A : g1(x) �2/32}, B2 = {x 2 A : g1(x) � 2/32}.


f2 : X ! [�2/32, 2/32]

tal quef2(A2) ⇢ {�2/32}, f2(B2) ⇢ {2/32}.

Entao|f(x)� f1(x)� f2(x)| (2/3)2 para todo x 2 A.

Sejag2 = f � f1 � f2 : A ! [�(2/3)2, (2/3)2]

e sejam

A3 = {x 2 A : g2(x) �22/33}, B3 = {x 2 A : g2(x) � 22/33}.


f3 : X ! [�22/33, 22/33]

55

tal quef3(A3) ⇢ {�22/33}, f3(B3) ⇢ {22/33}.

Entao

|f(x)� f1(x)� f2(x)� f3(x)| (2/3)3 para todo x 2 A.

Procedendo por inducao vamos achar uma sequencia de funcoes contınuas

fk : X ! [�2k�1/3k, 2k�1/3k]

tais que

(⇤) |f(x)�nX

k=1

fk(x)| (2/3)n para todo x 2 A,n 2 N

Seja

F (x) =1X

k=1

fk(x) para todo x 2 X.

Notemos que

1X

k=1

|fk(x)| 12

1X

k=1

(23)k = 1 para todo x 2 X.

Segue do Exercıcio 18.D que F : X ! [�1, 1] esta bem definida e e contınua. Esegue de (*) que f(x) = F (x) para todo x 2 A.

(b) ) (c): Como R e homeomorfo a (�1, 1), podemos supor que f : A !(�1, 1). Por (b) existe uma funcao contınua G : X ! [�1, 1] tal que G|A = f .Seja

B = {x 2 X : |G(x)| = 1}.

Entao A e B sao dois fechados disjuntos de X. Seja h : A [B ! [0, 1] definidopor

h(x) = 1 para todo x 2 A,

h(x) = 0 para todo x 2 B.

Pela Proposicao 8.7 h e contınua. Por (b) existe uma funcao contınua H : X ![0, 1] tal que H|A [B = h. Seja

F (x) = G(x)H(x) para todo x 2 X.

Entao F e uma funcao contınua de X em (�1, 1) e F |A = f .

(c) ) (a): Sejam A e B dois fechados disjuntos de X. Seja f : A[B ! [0, 1]definida por

f(x) = 0 para todo x 2 A,

f(x) = 1 para todo x 2 B.

56

Pela Proposicao 8.7 f e contınua. Por (c) existe uma funcao contınua F : X ! Rtal que F |A [ B = f . Seja G : X ! [0, 1] definida por G = (F _ 0) ^ 1. PeloExercıcio 18.E G e contınua, e claramente G|A [ B = f . Logo G(x) = 0 paratodo x 2 A e G(x) = 1 para todo x 2 B.

Exercıcios

18.A. Prove que cada espaco metrico e um espaco T4.

18.B. Prove que o espaco de Sierpinski e normal, mas nao e regular nemHausdor↵.

18.C. Seja X um espaco normal. Prove que, dados dois fechados disjuntosA e B em X, existem dois abertos U e V em X tais que A ⇢ U , B ⇢ V eU \ V = ;.

18.D. Seja X um espaco topologico, e seja (fn)1n=1 uma sequencia em C(X)que converge uniformemente a uma funcao f . Prove que f e contınua.

18.E. Seja X um espaco topologico. Dadas f : X ! R e g : X ! R, sejamf _ g : X ! R e f ^ g : X ! R definidas por

(f _ g)(x) = max{f(x), g(x)} para todo x 2 X,

(f ^ g)(x) = min{f(x), g(x)} para todo x 2 X.

Prove que, se f e g sao contınuas, entao f _ g e f ^ g sao contınuas tambem.

18.F. Prove que um espaco topologico X e normal se e so se, dados doisfechados disjuntos A e B em X, existe uma funcao contınua f : X ! R tal quef(A) ⇢ {↵} e f(B) ⇢ {�}, com ↵ 6= �.

18.G. Seja X um espaco metrico, e seja A um subconjunto nao vazio de X.Para cada x 2 X, seja

d(x,A) = infa2Ad(x, a).

(a) Prove que d(x,A) = 0 se e so se x 2 A.(b) Prove que

|d(x, A)� d(y, A)| d(x, y) para todo x, y 2 X.

(c) Prove que a a funcao x 2 X ! d(x, A) 2 R e contınua.

18.H. Seja X um espaco metrico, e sejam A e B dois subconjuntos fechadosdisjuntos de X. Usando o Exercıcio 18.G ache uma funcao contınua f : X ![0, 1] tal que f(x) = 0 para todo x 2 A e f(x) = 1 para todo x 2 B. Isto daoutra demonstracao de que cada espaco metrico e normal.

57

19. Espacos completamente regulares

O Lema de Urysohn motiva a seguinte definicao.

19.1. Definicao. Diremos que um espaco topologico X e completamente

regular se dados um fechado A em X e um ponto b /2 A existe uma funcaocontınua f : X ! [0, 1] tal que f(A) ⇢ {0} e f(b) = 1. Diremos que X e umespaco de Tychono↵ se X e um espaco T1 que e completamente regular.

19.2. Proposicao. Cada espaco T4 e um espaco de Tychono↵.

Demonstracao. Basta aplicar o lema de Urysohn.

19.3. Proposicao. Cada espaco completamente regular e regular.

Demonstracao. Seja X um espaco completamente regular. Dados umfechado A em X e um ponto b /2 A, seja f : X ! [0, 1] uma funcao contınua talque f(A) ⇢ {0} e f(b) = 1. Sejam

U = f�1([0, 1/2)), V = f�1(1/2, 1]).

Entao U e V sao dois abertos disjuntos de X, A ⇢ U e b 2 V . Logo X e regular.

19.4. Corolario. Cada espaco de Tychono↵ e um espaco T3.

19.5. Exemplos.

(a) Cada espaco discreto e um espaco de Tychono↵.

(b) Cada espaco metrico e um espaco de Tychono↵.

(c) O espaco de Sierpinski nao e completamente regular.

19.6. Proposicao. Cada subespaco de um espaco completamente regular e

completamente regular.

Demonstracao. Seja X um espaco completamente regular, e seja S umsubespaco de X. Seja A um fechado de S, e seja b 2 S \ A. Sabemos queA = S \ A1, sendo A1 un fechado de X. Como b /2 A1, e X e completamenteregular, existe uma funcao contınua g : X ! [0, 1] tal que g(A1) ⇢ {0} eg(b) = 1. Seja f = g|S : S ! [0, 1]. Entao f e contınua, f(A) ⇢ {0} e f(b) = 1.

19.7. Corolario. Cada subespaco de um espaco de Tychono↵ e um espaco

de Tychono↵.



i2I Xi e completamente regular

se e so se cada Xi e completamente regular.


58

(() Suponhamos que cada Xi seja completamente regular, e sejam A umfechado de X, e b 2 X \ A. Entao

b 2\

j2J

⇡�1j (Uj) ⇢ X \ A,

sendo J ⇢ I, J finito, e Uj aberto em Xj para cada j 2 J . Notemos que

⇡j(b) 2 Uj para cada j 2 J,

eA ⇢ X \

\

j2J

⇡�1j (Uj) =

[

j2J

(X \ ⇡�1j (Uj)) =

[

j2J

⇡�1j (Xj \ Uj).

Como Xj e completamente regular, para cada j 2 J existe uma funcao contınuagj : Xj ! [0, 1] tal que

gj(Xj \ Uj) ⇢ {0}, gj(⇡j(b)) = 1.

Sejaf = minj2Jgj � ⇡j : X ! [0, 1].

Entao f e contınua, f(A) ⇢ {0} e f(b) = 1.

19.9. Corolario. Seja {Xi : i 2 I} uma famılia nao vazia de espacos


i2I Xi e um espaco de Tychono↵

se e so se cada Xi e um espaco de Tychono↵.

Lembremos que, se X e um espaco topologico, entao C(X) denota o conjuntode todas as funcoes contınuas f : X ! R. Denotaremos por Cb(X) o subcon-junto de todas as f 2 C(X) que sao limitadas, ou seja supx2X |f(x)| < 1.

19.10. Teorema. Um espaco topologico X e completamente regular se e

so se X tem a topologia fraca definida por Cb(X).

Demonstracao. Denotemos por ⌧ a topologia de X e por ⌧w a topologiafraca em X definida por Cb(X). A inclusao ⌧w ⇢ ⌧ vale sempre. Devemosprovar que X e completamente regular se e so se ⌧ ⇢ ⌧w.

()) Sejam U 2 ⌧ e a 2 U . Como X e completamente regular, existe umafuncao contınua fa : X ! [0, 1] tal que fa(a) = 0 e fa(x) = 1 para todox 2 X \ U . Seja

Va = {x 2 X : fa(x) < 1}.

Entao Va 2 ⌧w e a 2 Va ⇢ U . Segue que

U =[

{Va : a 2 U} 2 ⌧w.

(() Seja A um fechado de X, e seja b 2 X \ A. Como ⌧ ⇢ ⌧w, temos que

b 2 V ⇢ X \ A,

59

onde

V =n\

j=1

f�1j (Wj),

com fj 2 Cb(X) e Wj aberto em R para j = 1, ..., n. Como cada aberto deR e uma uniao de intervalos abertos, podemos supor que Wj = (↵j ,�j) paraj = 1, ..., n. Notemos que

f�1j (Wj) = {x 2 X : ↵j < fj(x) < �j}

= {x 2 X : fj(x) > ↵j} \ {x 2 X : �fj(x) > ��j}.

Logo podemos supor que Wj = (↵j ,1) para j = 1, ..., n. Seja

gj = (fj � ↵j) _ 0 para j = 1, ...n.

Entao gj 2 Cb(X), gj � 0 e

f�1j (Wj) = f�1

j ((↵j ,1)) = g�1j ((0,1)).

Logo

b 2 V =n\

j=1

f�1j (Wj) =

n\

j=1

g�1j ((0,1)) ⇢ X \ A.

Seja g = g1g2...gn. Entao g 2 Cb(X) e g � 0. Alem disso,

g(b) = g1(b)g2(b)...gn(b) > 0,

g(x) = g1(x)g2(x)...gn(x) = 0 para todo x 2 A.

Logo X e completamente regular.

19.11. Teorema. Para um espaco topologico X as seguintes condicoes sao

equivalentes:

(a) X e um espaco de Tychono↵.

(b) X e homeomorfo a um subespaco do produto [0, 1]Cb(X).

(c) X e homeomorfo a um subespaco do produto [0, 1]I , para algum I.

Demonstracao.

(a) ) (b): Seja X um espaco de Tychono↵. Para cada f 2 Cb(X) seja If

um intervalo fechado e limitado que contem f(X). Consideremos a aplicacaoavaliacao

✏X : x 2 X ! (f(x))f2Cb(X) 2Y

f2Cb(X)

If .

E claro que Cb(X) separa os pontos de X. Pelo Teorema 19.10 X tem a topologiafraca definida por Cb(X). Pela Proposicao 10.8 a aplicacao ✏X e um mergulho.Pelo Exercıcio 10.E o produto

Qf2Cb(X) If e homeomorfo ao produto [0, 1]Cb(X).

Segue que X e homeomorfo a um subespaco do produto [0, 1]Cb(X).

60

(b) ) (c): obvio.

(c) ) (a): O produto [0, 1]I e um espaco de Tychono↵, e qualquer subespacode [0, 1]I e um espaco de Tychono↵.

Mais adiante vamos precisar de uma versao mais refinada do teorema ante-rior. Com esse proposito introduzimos a seguinte definicao.

19.12. Definicao. Sejam X e Xi (i 2 I) espacos topologicos, e sejafi : X ! Xi para cada i 2 I. Diremos que a famılia {fi : i 2 I} separa pontos

de fechados se dados um fechado A ⇢ X e um ponto b 2 X \ A, existe i 2 I talque fi(b) /2 fi(A).

19.13. Proposicao. Sejam X e Xi (i 2 I) espacos topologicos, e seja

fi : X ! Xi contınua para cada i 2 I. Entao a famılia {fi : i 2 I} separa

pontos de fechados se e so se os conjuntos f�1i (Vi), com i 2 I e Vi aberto em

Xi, formam uma base para a topologia de X.

Demonstracao. ()) Seja U aberto em X, e seja a 2 U . Como a /2 X \ U ,existe i 2 I tal que fi(a) /2 fi(X \ U). Se definimos

Vi = Xi \ fi(X \ U),

entao e facil ver quea 2 f�1

i (Vi) ⇢ U.

(() Seja A fechado em X, e seja b 2 X \ A. Por hipotese temos que

b 2 f�1i (Vi) ⇢ X \ A,

sendo i 2 I e Vi aberto em Xi. Segue que fi(b) 2 Vi e Vi \ fi(A) = ;. Logofi(b) /2 fi(A).

19.14. Corolario. Sejam X e Xi (i 2 I) espacos topologicos, e seja

fi : X ! Xi contınua para cada i 2 I. Se a famılia {fi : i 2 I} separa pontos

de fechados, entao X tem a topologia fraca definida pela famılia {fi : i 2 I}.

Demonstracao. Basta aplicar as Proposicoes 19.13 e 10.5.

19.15. Corolario. Sejam X e Xi (i 2 I) espacos topologicos, e seja

fi : X ! Xi contınua para cada i 2 I. Suponhamos que X seja um espaco T1 e

que a famılia {fi : i 2 I} separe pontos de fechados. Entao a avaliacao

✏ : x 2 X ! (fi(x))i2I 2Y

i2I

Xi

e um mergulho.

Demonstracao. Basta aplicar o Corolario 19.14 e a Proposicao 10.8.

61

Exercıcios

19.A. Se X e um espaco topologico, prove que as seguintes condicoes saoequivalentes:

(a) X e completamente regular.

(b) Dados um fechado A ⇢ X e um ponto b /2 A, existe uma funcao contınuaf : X ! R tal que f(A) ⇢ {↵} e f(b) = {�}, sendo ↵ < �.

(c) Dados um fechado A em X e um ponto b /2 A, existe uma funcao contınuaf : X ! R tal que f(x) ↵ para todo x 2 A e f(b) � �, sendo ↵ < �.

19.B. Seja X um espaco metrico, e seja A ⇢ X. Use a funcao distanciax 2 X ! d(x, A) 2 R para provar diretamente que cada espaco metrico ecompletamente regular.

19.C. Sejam X e Y dois espacos de Tychono↵. Para cada f 2 Cb(X) seja If

um intervalo fechado e limitado que contem f(X). Dada uma funcao contınuah : X ! Y , prove que existe uma funcao contınua

H :Y

f2Cb(X)

If �!Y

g2Cb(Y )

Ig

tal que o seguinte diagrama e comutativo:

Xh�! Y

✏X # # ✏Y

Y

f2Cb(X)

IfH�!

Y

g2Cb(Y )

Ig

62

20. Primeiro e segundo axiomas de enumerabilidade

Lembremos que um espaco topologico X satisfaz o primeiro axioma de enu-

merabilidade se existe uma base enumeravel de vizinhancas de x para cada

x 2 X. Lembremos que X satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade

se existe uma base enumeravel para os abertos de X. Nesta secao estudare-

mos os espacos que satisfazem estes axiomas. Estudaremos tambem os espacos

separaveis e os espacos de Lindelof, que definiremos a seguir.

20.1. Definicao. Um espaco topologico X e dito separavel se existir em X

um subconjunto denso enumeravel.

20.2. Definicao. Seja X um espaco topologico. Diremos que {Ui

: i 2 I}e uma cobertura aberta de X se {U

i

: i 2 I} e uma famılia de abertos de X

tal que

S{U

i

: i 2 I} = X. Diremos que X e um espaco de Lindelof se cada

cobertura aberta de X admite uma subcobertura enumeravel, ou seja, para

cada cobertura aberta {Ui

: i 2 I} de X, existe J ⇢ I, J enumeravel, tal queS{U

i

: i 2 J} = X.

20.3. Proposicao. Seja X um espaco topologico que satisfaz o segundoaxioma de enumerabilidade. Entao:

(a) X satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade.

(b) X e separavel.

(c) X e um espaco de Lindelof.

Demonstracao. Seja B uma base enumeravel para os abertos de X.

(a) Para cada x 2 X seja

Bx

= {V 2 B : x 2 V }.

´

E claro que Bx

e uma base enumeravel de vizinhancas de x.

(b) Seja x

V

2 V para cada V 2 B, e seja

D = {xV

: V 2 B}.

´

E claro que D e um conjunto enumeravel que e denso em X.

(c) Seja U uma cobertura aberta de X. Para cada x 2 X seja U

x

2 U tal

que x 2 U

x

, e seja V

x

2 B tal que x 2 V

x

⇢ U

x

. Seja

B0 = {Vx

: x 2 X}.

Como B0 ⇢ B, B0 e enumeravel. Escrevamos

B0 = {Vn

: n 2 N}.

Para cada n 2 N, seja U

n

2 U tal que V

n

⇢ U

n

. Seja

U 0 = {Un

: n 2 N}.

63

Entao U 0 e um subconjunto enumeravel de U , e

1[

n=1

U

n

�1[

n=1

V

n

= X.

Logo U 0 e uma subcobertura enumeravel de U .

20.4. Proposicao. Para um espaco metrico X, as seguintes condicoes saoequivalentes:

(a) X satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade.

(b) X e separavel.

(c) X e Lindelof.

Demonstracao. Ja sabemos que (a)) (b) e (a)) (c).

(b)) (a): Seja

D = {xm

: m 2 N}

um subconjunto enumeravel denso de X, e seja

B = {B(x

m

; 1/n) : m,n 2 N}.

B e enumeravel. Provaremos que B e uma base para os abertos de X. Seja U

um aberto nao vazio de X, e seja x 2 U . Como U e aberto, existe n 2 N tal que

B(x; 1/n) ⇢ U . Como D e denso em X, existe m 2 N tal que x

m

2 B(x; 1/2n).

Segue que

x 2 B(x

m

; 1/2n) ⇢ B(x; 1/n) ⇢ U.

Logo B e uma base para os abertos de X.

(c)) (a): Para cada n 2 N seja

Un

= {B(x; 1/n) : x 2 X}.

Entao Un

e uma cobertura aberta de X. Como X e Lindelof, Un

admite uma

subcobertura enumeravel Vn

. Seja

B =

[{V

n

: n 2 N}.

B e enumeravel. Provaremos que B e uma base para os abertos de X. Seja U

um aberto nao vazio de X, e seja x 2 U . Como U e aberto, existe n 2 N tal que

B(x; 1/n) ⇢ U . Como V2n

e uma cobertura de X, existe B(a; 1/2n) 2 V2n

⇢ Btal que x 2 B(a; 1/2n). Segue que

x 2 B(a; 1/2n) ⇢ B(x; 1/n) ⇢ U.

Logo B e uma base para os abertos de X.

64

Vimos nos Exercıcios 7.A e 7.B que se um espaco topologico X satisfaz o

primeiro ou o segundo axioma de enumerabilidade, entao cada subespaco de X

satisfaz o mesmo axioma.

Veremos nos Exercıcios 20.A e 20.B que a imagem contınua e aberta de um

espaco topologico que satisfaz o primeiro ou o segundo axioma de enumerabili-

dade, tambem satisfaz o mesmo axioma.


: i 2 I} uma famılia nao vazia de espacosT1 nao triviais. Entao o produto X =

Qi2I

X

i

satisfaz o primeiro axioma deenumerabilidade se e so se cada X

i

satisfaz o mesmo axioma e I e enumeravel.

Demonstracao. ()) Suponhamos que X satisfaz o primeiro axioma de

enumerabilidade. Como cada X

i

e homeomorfo a um subespaco de X, segue

que cada X

i

tambem satisfaz o mesmo axioma.

Suponhamos que I nao seja enumeravel. Seja a = (a

i

)

i2I

2 X, e seja

{Un

: n 2 N} uma base enumeravel de vizinhancas de a em X. Para cada

n 2 N temos que

a 2 V

n

=

\

j2Jn

⇡

�1j

(V

nj

) ⇢ U

n

,

sendo J

n

⇢ I, J

n

finito, e sendo V

nj

uma vizinhanca aberta de a

j

em X

j

para

cada j 2 J

n

.

´

E claro que {Vn

: n 2 N} tambem e uma base de vizinhancas de

a em X. Seja J =

S{J

n

: n 2 N}, e seja k 2 I \ J . Seja b

k

6= a

k

, seja b

i

= a

i

para cada i 6= k, e seja b = (b

i

)

i2I

. Como X

k

e um espaco T1, existe um aberto

W

k

em X

k

tal que a

k

2 W

k

, mas b

k

/2 W

k

. Seja W = ⇡

�1k

(W

k

). Notemos

que b 2 V

n

para cada n 2 N, mas b /2 W . Logo V

n

6⇢ W para cada n 2 N,

contradicao. Logo I e enumeravel.

(() Suponhamos que X

i

satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade

para cada i 2 I, e que I seja enumeravel. Sem perda de generalidade podemos

supor que I = N. Seja a = (a

n

)

n2N 2 X, e seja {Vnk

: k 2 N} uma base

enumeravel decrescente de vizinhancas de a

n

em X

n

para cada n 2 N. Segue

que os conjuntos da forma

N\

n=1

⇡

�1n

(V

n,kn) (N 2 N, k

n

2 N)

formam uma base enumeravel de vizinhancas de a em X.

De maneira analoga podemos provar o resultado seguinte. Deixamos a

demonstracao detalhada como exercıcio.


: i 2 I} uma famılia nao vazia de espacosT1 nao triviais. Entao o produto X =

Qi2I

X

i

satisfaz o segundo axioma deenumerabilidade se e so se cada X

i

satisfaz o mesmo axioma e I e enumeravel.

65

Veremos no Exercıcio 20.C que cada subespaco aberto de um espaco topologico

separavel e separavel. Veremos no Exercıcio 20.E que a imagem contınua de cada

espaco topologico separavel e separavel.


: i 2 I} uma famılia nao vazia de espacos deHausdor↵ nao triviais. Entao o produto X =

Qi2I

X

i

e separavel se e so secada X

i

e separavel e |I| |R|.

Demonstracao. ()) Suponhamos que X seja separavel. Como X

i

= ⇡

i

(X)

para cada i 2 I, segue que cada X

i

e separavel.

Para provar que |I| |R|, seja D um subconjunto denso enumeravel de X.

Para cada i 2 I sejam U

i

e V

i

dois abertos disjuntos nao vazios em X

i

, e seja

D

i

= D \ ⇡

�1i

(U

i

). Como D e denso em X, segue que cada D

i

e nao vazio.

Afirmamos que D

i

6= D

j

sempre que i 6= j. De fato, se i 6= j, e claro que

⇡

�1i

(U

i

) \ ⇡

�1j

(V

j

) 6= ;,

e portanto

D \ ⇡

�1i

(U

i

) \ ⇡

�1j

(V

j

) 6= ;.

Seja

a 2 D \ ⇡

�1i

(U

i

) \ ⇡

�1j

(V

j

) ⇢ D

i

.

Como U

j

\ V

j

= ;, segue que

a /2 D \ ⇡

�1j

(U

j

) = D

j

,

provando a afirmacao.

Logo a aplicacao

f : i 2 I ! D

i

2 P(D)

e injetiva, e portanto

|I| |P(D)| 2

|N|= |R|.


i

seja separavel, e que |I| |R|. Seja D

i

=

{xin

: n 2 N} um subconjunto denso enumeravel de X

i

para cada i 2 I. Como

|I| |R|, podemos supor que I ⇢ R.

Para cada conjunto {T1, ..., Tp

} de intervalos fechados disjuntos com ex-

tremos racionais, e cada conjunto {n1, ..., np

} ⇢ N, definamos um ponto y =

y(T1, ..., Tp

, n1, ..., np

) 2 X da maneira seguinte:

y

i

= x

ink se i 2 T

k

,

y

i

= x

i1 se i /2 T1 [ ... [ T

p

.

Seja D o conjunto formado pelos pontos y = y(T1, ..., Tp

, n1, ..., np

).

´

E claro que

D e enumeravel. Provaremos que D e denso em X. Seja U um aberto basico

em X, ou seja

U =

\

j2J

⇡

�1j

(U

j

),

66

com J ⇢ I, J finito, e U

j

aberto nao vazio em X

j

para cada j 2 J . Para

cada j 2 J seja x

jnj 2 D

j

\ U

j

, e seja T

i

um intervalo fechado, com extremos

racionais, contendo j. Se escrevemos J = {i1, ..., ip}, entao

y = y(T

i1 , ...Tip , n

i1 , ..., nip) 2 U,

pois ⇡

ik(y) = y

ik = x

ik,nik2 U

ik para k = 1, ..., p. Logo D\U 6= ;, completando

a demonstracao.

Veremos no Exercıcio 20.F que cada subespaco fechado de um espaco de

Lindelof e um espaco de Lindelof. Veremos no Exercıcio 20.G que a imagem

contınua de cada espaco de Lindelof e um espaco de Lindelof.

20.8. Teorema. Cada espaco de Lindelof regular e normal.

Demonstracao. Seja X um espaco de Lindelof regular, e sejam A e B dois

fechados disjuntos nao vazios de X. Como X e regular, para cada a 2 A existe

um aberto U

a

tal que a 2 U

a

e U

a

\ B = ;. De maneira analoga, para cada

b 2 B existe um aberto V

b

tal que b 2 V

b

e V

b

\ A = ;. Como A e Lindelof,

a cobertura aberta {Ua

: a 2 A} de A admite uma subcobertura enumeravel

{Uaj : j 2 N}. De maneira analoga, a cobertura aberta {V

b

: b 2 B} de B

admite uma subcobertura enumeravel {Vbk : k 2 N}.

Sejam (C

j

)

1j=1 e (D

k

)

1k=1 duas sequencias de abertos definidos da maneira

seguinte:

C1 = U

a1 , D1 = V

b1 \ C1,

C2 = U

a2 \ D1, D2 = V

b2 \ (C1 [ C2),

C3 = U

a3 \ (D1 [D2), D3 = V

b3 \ (C1 [ C2 [ C3),

..............................................................

Sejam C =

S1j=1 C

j

e D =

S1k=1 D

k

. Para completar a demonstracao provare-

mos que A ⇢ C, B ⇢ D e C \D = ;.Para provar que A ⇢ C, seja a 2 A. Entao a /2 V

bk , e portanto a /2 D

k

para

cada k. Seja j tal que a 2 U

aj . Entao a 2 C

j

⇢ C, e portanto A ⇢ C. De

maneira analoga podemos provar que B ⇢ D.

Para provar que C \D = ;, suponhamos que exista x 2 C

j

\D

k

. Se j > k,

entao x 2 C

j

implica que x /2 D

k

, contradicao. E se j k, entao x 2 D

k

implica que x /2 C

j

, contradicao tambem. Logo C \D = ;.

Exercıcios

20.A. Prove que a imagem contınua e aberta de um espaco topologico

que satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade, tambem satisfaz o mesmo

axioma.

20.B. Prove que a imagem contınua e aberta de um espaco topologico

que satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade, tambem satisfaz o mesmo

axioma.

67

20.C. Prove que cada subespaco aberto de um espaco topologico separavel

e separavel.

20.D. Prove que cada subespaco de um espaco metrico separavel e separavel.

20.E. Prove que a imagem contınua de cada espaco topologico separavel e

separavel.

20.F. Prove que cada subespaco fechado de um espaco de Lindelof e um

espaco de Lindelof.

20.G. Prove que a imagem contınua de cada espaco de Lindelof e um espaco

de Lindelof.

68

21. Espacos compactos

21.1. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja K ⇢ X. Diremosque X e um espaco topologico compacto se cada cobertura aberta de X admiteuma subcobertura finita. Diremos que K e um subconjunto compacto de X seK, com a topologia induzida por X, e um espaco topologico compacto. Diremosque K e um subconjunto relativamente compacto de X se K e um subconjuntocompacto de X.

21.2. Exemplos.(a) R nao e compacto. Deixamos a demonstracao como exercıcio.(b) Se X e um espaco topologico qualquer, entao cada subconjunto finito de

X e compacto. Deixamos a demonstracao como exercıcio.

21.3. Proposicao. Cada intervalo fechado e limitado em R e compacto.

Demonstracao. Seja U uma cobertura aberta de [a, b], com a < b. Seja C

o conjunto dos pontos c 2 [a, b] tais que [a, c] ⇢SV para alguma famılia finita

V ⇢ U . Para completar a demonstracao basta provar que b 2 C.Seja U

a

2 U tal que a 2 U

a

, e seja � > 0 tal que a + 2� < b e

[a, b] \ (a� 2�, a + 2�) ⇢ U

a

.

Isto implica que [a, a + �] ⇢ U

a

, e portanto a + � 2 C.Seja s = supC. Entao s � a + � > a. Seja U

s

2 U tal que s 2 U

s

, e seja✏ > 0 tal que s� 2✏ > a e

[a, b] \ (s� 2✏, s + 2✏) ⇢ U

s

.

Seja c 2 C \ (s� 2✏, s], e seja V ⇢ U , V finita, tal que

[a, c] ⇢[

V.

Segue que[a, s] ⇢ [a, c] [ (s� 2✏, s] ⇢ (

[V) [ U

s

.

Isto prova que s 2 C. Se fosse s < b, poderiamos supor que s+2✏ < b e teriamosque

[a, s + ✏] ⇢ [a, c] [ (s� 2✏, s + 2✏) ⇢ ([

V) [ U

s

.

Mas isto implicaria que s + ✏ 2 C, e s nao seria o supremo de C. Logo s = b, eportanto b 2 C.

21.4. Definicao. Seja X um conjunto nao vazio, e seja A uma famılia naovazia de subconjuntos de X. Diremos que A tem a propriedade da intersecaofinita se

TF 6= ; para cada famılia finita F ⇢ A.

21.5. Exemplos. Seja X um conjunto nao vazio.(a) Cada filtro em X tem a propriedade da intersecao finita.(b) Cada base de filtro em X tem a propriedade da intersecao finita.

69

O teorema seguinte da varias caracterizacoes de espacos compactos.

21.6. Teorema. Seja X um espaco topologico nao vazio. Entao asseguintes condicoes sao equivalentes:

(a) X e compacto.(b) Cada famılia de fechados de X com a propriedade da intersecao finita

tem intersecao nao vazia.(c) Cada filtro em X tem pelo menos um ponto de acumulacao.(d) Cada filtro em X esta contido em algum filtro convergente.(e) Cada ultrafiltro em X e convergente.(f) Cada rede em X tem pelo menos um ponto de acumulacao.(g) Cada rede em X admite uma subrede convergente.(h) Cada rede universal em X e convergente.

Demonstracao. (a) ) (b): Seja X compacto, e seja {Ai

: i 2 I} umafamılia de fechados de X com a propriedade da intersecao finita. Suponhamosque

Ti2I

A

i

= ;. Entao X =S

i2I

(X \ A

i

), e X \ A

i

e aberto para cada i 2 I.Como X e compacto, existe um conjunto finito J ⇢ I tal que X =

Si2J

(X \A

i

).Segue que

Ti2J

A

i

= ;, contradicao. Isto prova queT

i2I

A

i

6= ;.

(b)) (a): Seja {Ui

: i 2 I} uma cobertura aberta de X, e suponhamos queSi2J

U

i

6= X para cada conjunto finito J ⇢ I. Segue que {X \ U

i

: i 2 I} euma famılia de fechados de X tal que

Ti2J

(X \ U

i

) 6= ; para cada conjuntofinito J ⇢ I. Segue de (b) que

Ti2I

(X \U

i

) 6= ;. Isto implica queS

i2I

U

i

6= X,contradicao. Logo existe um conjunto finito J ⇢ I tal que

Si2J

U

i

= X.

(b) ) (c): Seja F um filtro em X. Entao {A : A 2 F} e uma famıliade fechados de X com a propriedade da intersecao finita. Segue de (b) queT{A : A 2 F} 6= ;. Entao cada x 2

T{A : A 2 F} e um ponto de acumulacao

de F .

(c) ) (b): Seja A uma famılia de fechados de X com a propriedade daintersecao finita. Seja B a famılia de todas as intersecoes finitas de membrosde A. E claro que B e uma base de filtro em X. Seja F o filtro gerado porB. Segue de (c) que F tem pelo menos um ponto de acumulacao, ou sejaT{A : A 2 F} 6= ;. Como A ⇢ B ⇢ F , e cada A 2 A e fechado, segue queTA =

T{A : A 2 A} 6= ;.

(c), (d): Basta aplicar a Proposicao 15.13.

(d) , (e): A implicacao (d) ) (e) e imediata, e a implicacao (e) ) (d)segue da Proposicao 15.17.

(b) ) (f): Seja (x�

)�2⇤ uma rede em X. Seja A

�

= {xµ

: µ � �} paracada � 2 ⇤, e seja A = {A

�

: � 2 ⇤}. Entao A e uma famılia de fechadosde X com a propriedade da intersecao finita. Segue de (b) que

TA 6= ;. Se

x 2TA =

T{A

�

: � 2 ⇤}, entao, para cada U 2 Ux

tem-se que U \ A

�

6= ;para cada � 2 ⇤. Logo x e um ponto de acumulacao da rede (x

�

)�2⇤.

70

(f) ) (b): Seja A uma famılia de fechados de X com a propriedade daintersecao finita. Seja B a famılia de todas as intersecoes finitas de membros deA. E claro que B e um conjunto dirigido se definimos A B quando A � B.Seja x

B

2 B para cada B 2 B. Segue de (f) que a rede (xB

)B2B tem pelo menos

um ponto de acumulacao x. Logo, dados U 2 Ux

e A 2 B, existe B 2 B, B ⇢ A,tal que x

B

2 U , e portanto x

B

2 U \B ⇢ U \A. Como A ⇢ B, segue que

x 2\{A : A 2 B} =

\B ⇢

\A.

(f), (g): Basta aplicar a Proposicao 13.10.

(f)) (h): Basta aplicar a Proposicao 13.12.

(h)) (e): Seja F um ultrafiltro em X, e seja

⇤ = {(a,A) : a 2 A 2 F}.

E claro que ⇤ e um conjunto dirigido se definimos (a,A) (b, B) quando A � B.Denotaremos por (x

�

)�2⇤ a rede x : ⇤! X definida por x(a,A) = a para cada

(a,A) 2 ⇤. Afirmamos que (x�

)�2⇤ e uma rede universal. De fato, como F e

um ultrafiltro, dado E ⇢ X, tem-se que E 2 F ou X \ E 2 F . Se E 2 F , sejae 2 E. Entao

{x(a,A) : (a,A) � (e,E)} ⇢ E.

De maneira analoga, se X \ E 2 F , seja d 2 X \ E. Entao

{x(a,A) : (a,A) � (d, X \ E)} ⇢ X \ E.

Logo (x�

)�2⇤ e uma rede universal. Segue de (h) que (x

�

)�2⇤ converge a um

ponto x. Logo dado U 2 Ux

, existe (a,A) 2 ⇤ tal que b = x(b, B) 2 U paratodo (b, B) � (a,A). Segue que U � A, e portanto F converge a x.

21.7. Proposicao. (a) Cada subespaco fechado de um espaco compacto ecompacto.

(b) Cada subespaco compacto de um espaco de Hausdor↵ e fechado.

Demonstracao. (a) Seja X um espaco compacto e seja S um subespacofechado de X. Seja {U

i

: i 2 I} uma cobertura aberta de S. Para cada i 2 I

existe um aberto V

i

de X tal que U

i

= S \ V

i

. Segue que {Vi

: i 2 I}[ {X \ S}e uma cobertura aberta de X. Como X e compacto, existe um conjunto finitoJ ⇢ I tal que X = {X \ S} [

Si2J

V

i

. Segue que S =S

i2J

U

i

, e portanto S ecompacto.

(b) Seja X um espaco de Hausdor↵ e seja S um subespaco compacto deX. Para provar que S e fechado em X, seja x 2 S. Entao existe uma rede(x

�

)�2⇤ ⇢ S que converge a x. Como S e compacto, a rede (x

�

)�2⇤ admite

uma subrede (x�(µ))µ2M

que converge a um ponto y 2 S. Como (x�(µ))µ2M

converge a x tambem, e X e Hausdor↵, segue que x = y 2 S. Logo S e fechadoem X.

71

21.8. Proposicao. A imagem contınua de um espaco compacto e compacto.

Demonstracao. Sejam X e Y espacos topologicos, com X compacto, eseja f : X ! Y uma aplicacao sobrejetiva e contınua. Para provar que Y ecompacto, seja {V

i

: i 2 I} uma cobertura aberta de Y . Entao {f�1(Vi

) : i 2 I}e uma cobertura aberta de X. Como X e compacto, existe um conjunto finitoJ ⇢ I tal que X =

Si2J

f

�1(Vi

). Como f e sobrejetivo, segue que Y =S

i2J

V

i

.Logo Y e compacto.

21.9. Corolario. Seja X um espaco compacto, seja Y um espaco de Haus-dor↵, e seja f uma aplicacao contınua. Entao:

(a) f e fechada.(b) Se f e sobrejetiva, entao f e uma aplicacao quociente.(c) Se f e bijetiva, entao f e um homeomorfismo.

Demonstracao. (a) Seja A fechado em X. Pela Proposicao 21.8 f(A) ecompacto em Y . Pela Proposicao 21.7 f(A) e fechado em Y .

(b) segue de (a) pela Proposicao 11.5.(c) segue de (a) pela Proposicao 8.9.

21.10. Teorema de Tychono↵. Seja {Xi

: i 2 I} uma famılia nao vaziade espacos topologicos nao vazios. Entao o produto X =

Qi2I

X

i

e compacto see so se cada X

i

e compacto.

Demonstracao. ()) Se X e compacto, entao X

i

= ⇡

i

(X) e compacto paracada i 2 I, pela Proposicao 21.8.


i

seja compacto, e seja (x�

)�2⇤ uma rede uni-

versal em X. Pelo Exercıcio 13.F (⇡i

(x�

))�2⇤ e uma rede universal em X

i

, paracada i 2 I. Pelo Teorema 21.6, a rede (⇡

i

(x�

))�2⇤ converge a um ponto x

i

2 X

i

para cada i 2 I. Seja x = (xi

)i2I

2 X. Entao (x�

)�2⇤ converge a x. Pelo

Teorema 21.6 X e compacto.

21.11. Corolario. O produto [0, 1]I e compacto para cada conjunto naovazio I.

21.12. Corolario. Um conjunto K ⇢ Rn e compacto se e so se K efechado e limitado.

Demonstracao. ()) Suponhamos K compacto. Como Rn e Hausdor↵, K

e fechado em Rn, pela Proposicao 21.7. Por outro lado

K ⇢ Rn =1[

j=1

B(0; j).

Como K e compacto, existe k 2 N tal que

K ⇢k[

j=1

B(0; j) = B(0; k).

72

Logo K e limitado.

(() Suponhamos K fechado e limitado. Sendo K limitado, existe k 2 N talque

K ⇢ B(0; k) ⇢ [�k, k]n.

Sendo K fechado em Rn, segue que K e fechado em [�k, k]n. Pelo Corolario21.11 [�k, k]n e compacto. Pela Proposicao 21.7 K e compacto.

21.13. Teorema. Cada espaco de Hausdor↵ compacto e um espaco T4.

Demonstracao. Sabemos que cada espaco de Lindelof regular e normal.Como cada espaco compacto e claramente Lindelof, basta provar que cadaespaco de Hausdor↵ compacto e regular.

Seja X um espaco de Hausdor↵ compacto. Seja A um fechado de X, e sejab /2 A. Para cada a 2 A sejam U

a

e V

a

dois abertos disjuntos de X tais quea 2 U

a

e b 2 V

a

. Como A ⇢S

a2A

U

a

e A e compacto, existem a1, ..., an

2 A

tais que

A ⇢n[

j=1

U

aj .

Sejam

U =n[

j=1

U

aj , V =n\

j=1

V

aj .

Entao U e V sao abertos disjuntos em X, A ⇢ U e b 2 V .

21.14. Corolario. O produto [0, 1]I e um espaco T4 para cada conjuntonao vazio I.

Agora podemos complementar o Teorema 19.11 da maneira seguinte.

21.15. Teorema. Para um espaco topologico X as seguintes condicoes saoequivalentes:

(a) X e um espaco de Tychono↵.(b) X e homeomorfo a um subespaco do produto [0, 1]I , para algum I.(c) X e homeomorfo a um subespaco de um espaco de Hausdor↵ compacto.(d) X e homeomorfo a um subespaco de um espaco T4.

Demonstracao. A implicacao (a) ) (b) segue do Teorema 19.11. A im-plicacao (b) ) (c) segue do Corolario 21.11. A implicacao (c) ) (d) segue doTeorema 21.13. E a implicacao (d)) (a) segue do Corolario 19.7.

Exercıcios

21.A. Seja X um espaco topologico, e seja K ⇢ X. Prove que K e compactose e so se, dada uma famılia {U

i

: i 2 I} de abertos de X tal que K ⇢S{U

i

:i 2 I}, existe uma famılia finita J ⇢ I tal que K ⇢

S{U

i

: i 2 J}.

73

21.B. Prove que R nao e compacto.

21.C. Prove que cada subconjunto finito de um espaco topologico qualquere compacto.

21.D. Prove que um espaco topologico discreto X e compacto se e so se X

e finito.

21.E. Usando a Proposicao 21.8 prove que o cırculo unitario

S

1 = {(x, y) 2 R2 : x

2 + y

2 = 1}

e compacto.

21.F. Seja X um espaco compacto, e seja f : X ! R uma funcao contınua.Prove que existem a, b 2 X tais que f(a) f(x) f(b) para todo x 2 X.

21.G. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja f : X ! Y .(a) Se Y e Hausdor↵, e f e contınua, prove que o grafico de f e fechado em

X ⇥ Y .(b) Se Y e compacto, e o grafico de f e fechado em X ⇥ Y , prove que f e

contınua.

21.H. Seja X um espaco de Hausdor↵.(a) Seja K um subconjunto compacto de X, e seja b /2 K. Prove que existem

abertos disjuntos U e V de X tais que K ⇢ U e b 2 V .(b) Sejam K e L dois subconjuntos compactos disjuntos de X. Prove que

existem abertos disjuntos U e V de X tais que K ⇢ U e L ⇢ V .

21.I. Seja X um espaco de Hausdor↵, seja K um subconjunto compacto deX, e sejam U1 e U2 dois abertos de X tais que K ⇢ U1 [U2. Prove que existemdois subconjuntos compactos K1 e K2 de X tais que K = K1 [K2, K1 ⇢ U1 eK2 ⇢ U2.

Sugestao: Primeiro prove que existem abertos disjuntos V1 e V2 de X taisque K \ U1 ⇢ V1 e K \ U2 ⇢ V2. A seguir defina K1 = K \ V1 e K2 = K \ V2.

21.J. Sejam X e Y espacos topologicos, sejam K e L subconjuntos com-pactos de X e Y , respectivamente, e seja W um aberto de X ⇥ Y tal queK ⇥ L ⇢ W . Prove que existem abertos U ⇢ X e V ⇢ Y tais que K ⇢ U ,L ⇢ V e U ⇥ V ⇢W .

21.K. Sejam X, Y e Z espacos topologicos, e seja f : X ⇥ Y ! Z umaaplicacao contınua. Sejam K e L subconjuntos compactos de X e Y , respecti-vamente, e seja W um aberto de Z tal que f(K ⇥ L) ⇢ W . Prove que existemabertos U ⇢ X e V ⇢ Y tais que K ⇢ U , L ⇢ V e f(U ⇥ V ) ⇢W .

21.L. Seja X um espaco compacto.(a) Prove que a funcao

d(f, g) = sup{|f(x)� g(x)| : x 2 X}

74

e uma metrica em C(X).(b) Prove que uma sequencia (f

n

) converge a f no espaco metrico (C(X), d)se e so se (f

n

) converge a f uniformemente sobre X. Por essa razao a topologia⌧

d

definida pela metrica d e chamada de topologia da convergencia uniforme.

21.M. Seja X um espaco topologico qualquer. Dados f 2 C(X), A ⇢ X

finito e ✏ > 0, seja

V (f,A, ✏) = {g 2 C(X) : |g(x)� f(x)| < ✏ para todo x 2 A}.

(a) Prove que os conjuntos V (f,A, ✏), com A ⇢ X finito e ✏ > 0, formamuma base de vizinhancas de f para uma topologia em C(X), que denotaremospor ⌧

p

.(b) Prove que uma sequencia (f

n

) converge a f em (C(X), ⌧p

) se e so sef

n

(x) ! f(x) para cada x 2 X. Por essa razao a topologia ⌧

p

e chamada detopologia da convergencia pontual.

(c) Prove que a inclusao (C(X), ⌧p

) ,! RX e um mergulho.

21.N. Seja X um espaco topologico qualquer, e seja F ⇢ C(X). Diremosque F e equicontınua num ponto a 2 X se dado ✏ > 0, existe U 2 U

a

tal que|f(x) � f(a)| < ✏ para todo f 2 F e x 2 U . Diremos que F e equicontınua sefor equicontınua em cada ponto de X.

(a) Se F e equicontınua, prove que F⌧p e equicontınua tambem.(b) Se F e equicontınua e X e compacto, prove que as topologias ⌧

p

e ⌧

d

coincidem em F .

21.O. Seja X um espaco topologico qualquer, e seja F ⇢ C(X). Diremosque F e pontualmente limitada se sup{|f(a)| : f 2 F} < 1 para cada a 2 X.Diremos que F e localmente limitada se para cada a 2 X existe U 2 U

a

tal quesup{|f(x)| : f 2 F , x 2 U} <1.

(a) Se F e pontualmente limitada, prove que F⌧p e pontualmente limitadatambem.

(b) Se F e equicontınua e pontualmente limitada, prove que F e localmentelimitada.

21.P. Seja X um espaco compacto, e seja F ⇢ C(X) equicontınua e pon-tualmente limitada. Prove que F e um subconjunto relativamente compacto de(C(X), ⌧

d

). Este e o teorema de Arzela-Ascoli.

75

22. Espacos localmente compactos

22.1. Definicao. Diremos que um espaco topologico X e localmente com-pacto se cada x 2 X admite uma base de vizinhancas compactas.

22.2. Proposicao. Um espaco de Hausdor↵ X e localmente compacto se eso se cada x 2 X tem pelo menos uma vizinhanca compacta.

Demonstracao. Para provar a implicacao nao trivial, seja x 2 X, e seja U0

uma vizinhanca compacta de x. Seja U 2 Ux

, e seja V = (U0 \ U)�. Entao V euma vizinhanca aberta de x em X e V ⇢ U0. Logo V e uma vizinhanca abertade x em U0. Notemos que U0 e um espaco de Hausdor↵ compacto, e portantoregular. Logo existe um subconjunto aberto W de U0 tal que

x 2W ⇢W

U0 ⇢ V ⇢ U.

Temos que W = U0 \W1, sendo W1 aberto em X. Segue que

W = V \W = V \ U0 \W1 = V \W1.

Logo W e aberto em X. Segue que W

U0 e uma vizinhanca compacta de x emX e W

U0 ⇢ U .

22.3. Exemplos.(a) Cada espaco de Hausdor↵ compacto e localmente compacto.(b) Rn e um espaco de Hausdor↵ localmente compacto que nao e compacto.(c) Seja X um conjunto infinito, com a topologia discreta. X e um espaco

de Hausdor↵ localmente compacto que nao e compacto.

Segue da definicao que cada espaco de Hausdor↵ localmente compacto eregular. Mas podemos provar mais.

22.4. Teorema. Cada espaco de Hausdor↵ localmente compacto e umespaco de Tychono↵.

Demonstracao. Seja X um espaco de Hausdor↵ localmente compacto.Provaremos que X e completamente regular. Seja A um fechado de X, e sejab 2 X \ A. Por hipotese X \ A contem uma vizinhanca compacta U de b.Seja V = U

�. Temos que U e um espaco de Hausdor↵ compacto, e portantocompletamente regular. Como V e aberto em U , e b 2 V , existe uma funcaocontınua � : U ! [0, 1] tal que �(U \ V ) ⇢ {0} e �(b) = 1. Notemos queX = U [ (X \ V ). Seja f : X ! [0, 1] definida por f = � em U e f = 0 emX \ V . A funcao f esta bem definida, pois � = 0 em U \ (X \ V ) = U \ V . Afuncao f e contınua, pois U e X \ V sao fechados. E como A ⇢ X \ V , segueque f(A) ⇢ {0} e f(b) = 1.

Nos exercıcios veremos que a intersecao de um subespaco aberto e um sub-espaco fechado de um espaco de Hausdor↵ localmente compacto e um subespacolocalmente compacto. Reciprocamente temos o resultado seguinte.

76

22.5. Proposicao. Seja C um subespaco localmente compacto de um espacode Hausdor↵ X. Entao existem subespacos A e B de X, com A aberto e B

fechado, tais que C = A \B.

A demonstracao esta baseada no lema seguinte.

22.6. Lema. Seja C um subespaco localmente compacto de um espaco deHausdor↵ X. Entao C e aberto em C

X

.

Demonstracao. Seja c 2 C, e seja U uma vizinhanca aberta de c em C talque U

C

e compacto. Seja V um aberto de X tal que U = C \ V . Entao

C \ C \ V

X

= C \ U

X

= U

C

.

Esse conjunto e compacto, e portanto fechado em X. Esse conjunto contemU = C \ V , e portanto C \ V

X

. Logo

C \ V

X ⇢ C \ C \ V

X ⇢ C.

Afirmamos queC

X \ V ⇢ C.

De fato seja x 2 C

X \ V . Logo existe uma rede (x�

)�2⇤ ⇢ C que converge a x.

Como x 2 V , existe �0 2 ⇤ tal que x

�

2 V para todo � � �0. Logo x

�

2 C \ V

para todo � � �0, e dai x 2 C \ V

X ⇢ C.Como C

X \V e aberto em C

X

, segue que C e uma vizinhanca de c em C

X

.Logo C e aberto em C

X

.

Demonstracao da Proposicao 22.5. Pelo Lema 22.6 C e aberto em C

X

.Logo existe um aberto A de X tal que C = A\C

X

. Assim basta tomar B = C

X

para completar a demonstracao.

No Exercıcio 22.F veremos que a imagem contınua e aberta de um espacolocalmente compacto e um espaco localmente compacto.


: i 2 I} uma famılia nao vazia de espacostopologicos nao vazios. Entao o produto X =

Qi2I

X

i

e localmente compacto see so se se verificam as seguintes condicoes:

(a) Cada X

i

e localmente compacto.(b) Existe um conjunto finito J ⇢ I tal que X

i

e compacto para cada i 2 I\J .

Demonstracao. ()) Suponhamos que X seja localmente compacto. EntaoX

i

= ⇡

i

(X) e localmente compacto para cada i 2 I, pelo Exercıcio 22.F. Istoprova (a).

Para provar (b) seja x 2 X e seja U uma vizinhanca compacta de x em X.Entao U contem uma vizinhanca basica V , ou seja

U � V =Y

j2J

V

j

⇥Y

i2I\J

X

i

,

77

sendo J ⇢ I, J finito, e sendo V

j

uma vizinhanca aberta de ⇡

j

(x) em X

j

, paracada j 2 J . Segue que ⇡

i

(U) = X

i

para todo i 2 I \ J , e (b) segue.


i

seja localmente compacto, e que X

i

sejacompacto para cada i 2 I \J , com J finito. Seja x 2 X, e seja U uma vizinhancabasica de x em X. Sem perda de generalidade podemos supor que

U =Y

j2J1

U

j

⇥Y

i2I\J1

X

i

,

sendo J ⇢ J1 ⇢ I, J1 finito, e sendo U

j

uma vizinhanca aberta de ⇡

j

(x) em X

j

para cada j 2 J1. Para cada j 2 J1 seja V

j

uma vizinhanca compacta de ⇡

j

(x)em X

j

, com V

j

⇢ U

j

, e seja

V =Y

j2J1

V

j

⇥Y

i2I\J1

X

i

.

Entao V e uma vizinhanca compacta de x em X, contida em U .

22.8. Corolario. RI e localmente compacto se e so se I e finito.

Exercıcios

22.A. Prove que o conjunto Q dos numeros racionais, com a topologia in-duzida por R, nao e localmente compacto.

22.B. Prove que o conjunto R \Q dos numeros irracionais, com a topologiainduzida por R, nao e localmente compacto.

22.C. Seja X um espaco localmente compacto. Prove que cada subespacoaberto de X e localmente compacto.

22.D. Seja X um espaco localmente compacto. Prove que cada subespacofechado de X e localmente compacto.

22.E. Seja X um espaco de Hausdor↵. Prove que a intersecao de doissubespacos localmente compactos de X e localmente compacto.

22.F. Prove que a imagem contınua e aberta de um espaco localmente com-pacto e um espaco localmente compacto.

22.G. Seja X um espaco localmente compacto, seja Y um espaco de Haus-dor↵, e seja f : X ! Y uma funcao sobrejetiva, contınua e aberta. Prove que,dado um compacto L ⇢ Y , existe um compacto K ⇢ X tal que f(K) = L.

22.H. Seja X um espaco localmente compacto. Prove que um conjuntoA ⇢ X e aberto em X se e so se A \ K e aberto em K para cada compactoK ⇢ X.

78

23. A compactificacao de Alexandro↵

23.1. Definicao. Seja X um espaco de Hausdor↵. Chamaremos de com-pactificacao de X um par (Y, �) tal que:

(a) Y e um espaco de Hausdor↵ compacto;(b) � e um homeomorfismo entre X e um subespaco denso de Y .

23.2. Teorema. Seja X um espaco de Hausdor↵ localmente compacto, quenao e compacto. Seja p /2 X, e seja X

⇤ = X [ {p}. Para cada x 2 X sejaB

x

(X) uma base de vizinhancas abertas de x em X, e seja Bx

(X⇤) = Bx

(X).Seja

Bp

(X⇤) = {{p} [ (X \K) : K e compacto em X}.

Entao:(a) As familias B

x

(X⇤) (x 2 X) e Bp

(X⇤) definem uma topologia em X

⇤

que induz em X a sua topologia original.(b) X

⇤ e um espaco de Hausdor↵ compacto.(c) X e um subespaco aberto denso de X

⇤.

Demonstracao. (a) Para provar (a) devemos verificar as condicoes daProposicao 5.7:

(i) x 2 U para cada U 2 Bx

(X⇤).(ii) Dados U, V 2 B

x

(X⇤), existe W 2 Bx

(X⇤) tal que W ⇢ U \ V .(iii) Dado U 2 B

x

(X⇤), existe V 2 Bx

(X⇤), V ⇢ U , tal que para cada y 2 V

existe W 2 By

(X⇤) tal que W ⇢ U .Se x 2 X, entao B

x

(X) satisfaz (i), (ii) e (iii), pela Proposicao 5.6. LogoB

x

(X⇤) satisfaz (i), (ii) e (iii).Verifiquemos que B

p

(X⇤) satisfaz (i), (ii) e (iii).(i) Se U = {p} [ (X \K), entao p 2 U .(ii) Se U = {p}[(X\K), e V = {p}[(X\L), entao U\V = {p}[(X\(K[L)).(iii) Seja U = {p} [ (X \ K), e seja V = U . Se y = p, seja W = U . Entao

W 2 Bp

(X⇤) e W ⇢ U . Se y 2 V , com y 6= p, entao y 2 X \K. Como X \K eaberto em X, existe W 2 B

y

(X) = By

(X⇤) tal que y 2 W ⇢ X \K ⇢ U .Se U e aberto em X, e claro que U e aberto em X

⇤. Em particular X eaberto em X

⇤. E se V e aberto em X

⇤, e claro que X \ V e aberto em X.(b) Provemos que X

⇤ e Hausdor↵. Dados x, y 2 X, com x 6= y, existem U eV abertos em X, e portanto em X

⇤, tais que x 2 U , y 2 V e U \ V = ;.Dado x 2 X, seja U uma vizinhanca compacta de x em X, e seja V =

{p} [ (X \ U). Entao U 2 Ux

(X⇤), V 2 Up

(X⇤) e U \ V = ;. Logo X

⇤ eHausdor↵.

Para provar que X

⇤ e compacto, seja U uma cobertura aberta de X

⇤. SejaU0 2 U tal que p 2 U0. Entao existe um compacto K ⇢ X tal que

{p} [ (X \K) ⇢ U0.

K e compacto em X, e portanto em X

⇤. Logo existem U1, ..., Un

2 U tais que

K ⇢ U1 [ ... [ U

n

.

79

Segue queX

⇤ = U0 [ U1 [ ... [ U

n

.

Logo X

⇤ e compacto.(c) Ja sabemos que X e aberto em X

⇤. Para provar que X e denso em X

⇤,seja U = {p} [ (X \K) 2 B

p

(X⇤). Como X nao e compacto, X \K 6= ;. Logo

U \X � X \K 6= ;.

Logo X

⇤ e compacto.

23.3. Definicao. Seja X um espaco de Hausdor↵ localmente compacto quenao e compacto. Entao o espaco X

⇤ construıdo no teorema anterior e chamadode compactificacao de Alexandro↵ de X.

Exercıcios

23.A. Seja X um espaco de Hausdor↵. Suponhamos que exista uma com-pactificacao (Y, �) de X tal que Y \ �(X) contem um unico ponto. Prove queX e localmente compacto, mas nao e compacto.

23.B. (a) Prove que o intervalo (0, 1] e um espaco de Hausdor↵ localmentecompacto, que nao e compacto.

(b) Prove que o intervalo [0, 1] e a compactificacao de Alexandor↵ do inter-valo (0, 1].

23.C. (a) Prove que N, com a topologia discreta, e um espaco de Hausdor↵localmente compacto, que nao e compacto.

(b) Prove que a compactificacao de Alexandro↵ de N e homeomorfa aosubespaco S = {1/n : n 2 N} [ {0} de R.

23.D. Seja

S

n = {(x1, ..., xn+1) 2 R

n+1 :n+1X

j=1

x

2j

= 1},

e sejam C = (0, ..., 0, 1/2) e N = (0, ..., 0, 1).(a) Prove que a projecao estereografica

(x1, ..., xn+1) 2 (C +12S

n) \ {N}!✓

x1

1� x

n+1, ...,

x

n

1� x

n+1

◆2 R

n

e um homeomorfismo.(b) Conclua que a compactificacao de Alexandro↵ de R

n e homeomorfa aS

n.

80

24. A compactificacao de Stone-Cech

Se um espaco topologico X admite uma compactificacao, segue do Teorema21.15 que X e um espaco de Tychono↵. A seguir veremos que vale a recıproca.

Seja X um espaco de Tychono↵. Para cada f 2 Cb(X) seja If um intervalofechado e limitado que contem f(X). Segue da demonstracao do Teorema 19.11que a aplicacao

✏X : x 2 X ! (f(x))f2Cb(X) 2Y

f2Cb(X)

If

e um mergulho.

24.1. Definicao. Dado um espaco de Tychono↵ X, denotaremos por �Xa aderencia do conjunto ✏X(X) no produto

Qf2Cb(X) If . E claro que o par

(�X, ✏X) e uma compactificacao de X. Diremos que �X e a compactificacao deStone-Cech de X.

A compactificacao de Stone-Cech tem a seguinte propriedade:

24.2. Teorema. Seja X um espaco de Tychono↵, e seja Y um espaco deHausdor↵ compacto. Entao, para cada funcao contınua h : X ! Y , existe umafuncao contınua h : �X ! Y tal que h = h � ✏X , ou seja o seguinte diagrama ecomutativo:

Xh�! Y

✏X & % h

�X

Demonstracao. Como Y e um espaco de Tychono↵, a aplicacao

✏Y : y 2 Y ! (g(y))g2Cb(Y ) 2Y

g2Cb(Y )

Ig

e um mergulho. Consideremos a aplicacao

H : (⇠f )f2Cb(X) 2Y

f2Cb(X)

If ! (⇠g�h)g2Cb(Y ) 2Y

g2Cb(Y )

Ig.

E facil ver que⇡g �H = ⇡g�h para todo g 2 Cb(Y ),

e portanto H e contınua. E facil ver que

H(✏X(x)) = ✏Y (h(x)) para todo x 2 X,

ou seja o seguinte diagrama e comutativo:

81

Xh�! Y

✏X # # ✏Y

Y

f2Cb(X)

IfH�!

Y

g2Cb(Y )

Ig

Em particularH(✏X(X)) = ✏Y (h(X)) ⇢ ✏Y (Y ).

Como �X = ✏X(X) e Y e compacto, segue que

H(�X) = H(✏X(X)) ⇢ H(✏X(X)) ⇢ ✏Y (Y ) = �Y = ✏Y (Y ).

Assim temos o seguinte diagrama comutativo:

Xh�! Y

✏X # # ✏Y

�XH|�X�! �Y = ✏Y (Y )

Se definimosh = ✏�1

Y � (H|�X) : �X ! Y,

entao e claro que h � ✏X = h.

Exercıcios

24.A. Seja X um espaco de Tychono↵. Prove que, para cada f 2 Cb(X),existe f 2 Cb(�X) tal que f = f � ✏X .

24.B. Considerando a funcao f(t) = sen(1/t) (0 < t 1), prove que ointervalo [0, 1] nao e a compactificacao de Stone-Cech do intervalo (0, 1].

24.C. Seja `1 o conjunto de todas as sequencias (xn) em R que sao limi-tadas. Dadas x = (xn) e y = (yn) em `1, seja d(x, y) = supn|xn � yn|.

(a) Prove que `1 e um espaco vetorial sobre R, e que d e uma metrica em`1

(b) Prove que existe um isomorfismo entre os espacos vetoriais `1 e C(�N),que e tambem uma isometria, ou seja d(T (x), T (y)) = d(x, y) para todo x, y 2`1.

24.D. Seja X um espaco de Tychono↵, e seja (Y, �) uma compactificacao deX.

(a) Se �(X) e aberto em Y , prove que X e localmente compacto.(b) Se x 2 X, e se U e uma vizinhanca compacta de x em X, prove que

�(U) e uma vizinhanca de �(x) em Y .(c) Prove que �(X) e aberto em Y se e so se X e localmente compacto.

82

24.E. Identifiquemos N com sua imagem canonica em �N.(a) Prove que N e aberto em �N.(b) Prove que cada n 2 N e um ponto isolado de �N, ou seja {n} e aberto

em �N.(c) Prove que os unicos pontos isolados de �N sao os pontos de N.

24.F. Seja X um espaco de Tychono↵, e seja (Y,�) uma compactificacao deX tal que, dados um espaco de Hausdor↵ compacto Z, e uma funcao contınuah : X ! Z, existe uma funcao contınua h : Y ! Z tal que h �� = h. Prove queexiste um homeomorfismo � : �X ! Y tal que � � ✏X = �. Isto nos diz que acompactificacao de Stone-Cech esta caracterizada pela propriedade de extensaodada pelo Teorema 24.2.

83

25. Espacos metrizaveis

Lembremos que um espaco topologico X e metrizavel se existe uma metricaem X que define a topologia de X. E claro que cada subespaco de um espacometrizavel e metrizavel.

25.1. Proposicao. Seja {Xi : i 2 I} uma famılia nao vazia de espacostopologicos nao triviais. Entao o produto X =

Qi2I Xi e metrizavel se e so se

cada Xi e metrizavel e I e enumeravel.

Demonstracao. ()) Suponhamos que X seja metrizavel. Como cada Xi

e homeomorfo a um subespaco de X, segue que cada Xi e metrizavel. Como X

satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade, I e enumeravel, pela Proposicao20.5.

(() Suponhamos que cada Xi seja metrizavel, e que I seja enumeravel.Sem perda de generalidade podemos supor que I = N. Para cada n 2 N sejadn uma metrica em Xn que define a topologia de Xn. Pelo Exercıcio 25.Bpodemos supor que cada dn e limitada por 1. Dados x = (xn)1n=1 e y = (yn)1n=1

em X =Q1

n=1 Xn, definamos

d(x, y) =1X

n=1

2�ndn(xn, yn).

E claro que d e uma metrica em X. Provemos que d define a topologia de X.Por um lado, dado ✏ > 0, seja N 2 N tal que

1X

n=N+1

2�n<

✏

2,

e seja

V =NY

n=1

Bdn(xn;✏

2N)⇥

1Y

n=N+1

Xn.

Entao V e uma vizinhanca de x em X e e facil ver que V ⇢ Bd(x; ✏).Por outro lado, seja U uma vizinhanca aberta basica de x em X, ou seja

U =NY

n=1

Bdn(xn; �n)⇥1Y

n=N+1

Xn.

Se definimos� = min{2�n

�n : n = 1, ..., N},

entao e facil verificar que Bd(x; ✏) ⇢ U .

84

25.2. Teorema de metrizabilidade de Urysohn. Para um espaco T1

as seguintes condicoes sao equivalentes:(a) X e metrizavel e separavel.(b) X e regular e satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade.(c) X e homeomorfo a um subespaco do produto [0, 1]N.

Demonstracao. As implicacoes (a) ) (b) e (c) ) (a) sao imediatas. Aprimeira segue da Proposicao 20.4, e a segunda segue das Proposicoes 25.1 e20.7.

Para provar que (b)) (c), seja B uma base enumeravel para a topologia deX, e seja

C = {(U, V ) 2 B ⇥ B : U ⇢ V }.

Pela Proposicao 20.3 X e um espaco de Lindelof. Pelo Teorema 20.8 X eum espaco normal. Daı, para cada (U, V ) 2 C existe uma funcao contınuafUV : X ! [0, 1] tal que

fUV (U) ⇢ {0} e fUV (X \ V ) ⇢ {1}.

SejaF = {fUV : (U, V ) 2 C}.

Afirmamos que F separa pontos de fechados. De fato seja A um fechado em X,e seja b 2 X \A. Seja V 2 B tal que b 2 V ⇢ X \A. Como X e regular, existeum aberto U1 em X tal que

b 2 U1 ⇢ U1 ⇢ V ⇢ X \A.

Seja U 2 B tal que b 2 U ⇢ U1. Segue que

b 2 U ⇢ U ⇢ V ⇢ X \A

e portanto (U, V ) 2 C. Segue que

fUV (b) 2 fUV (U) ⇢ {0} e fUV (A) ⇢ fUV (X \ V ) ⇢ {1}.

Pelo Corolario 19.15 a avaliacao

✏ : x 2 X ! (f(x))f2F 2 [0, 1]F

e um mergulho. Como F e enumeravel, temos provado (c).

25.3. Corolario. A imagem contınua de um espaco metrico compacto emum espaco de Hausdor↵ e metrizavel.

Demonstracao. Seja X um espaco metrico compacto, seja Y um espacode Hausdor↵, e seja f : X ! Y contınua e sobrejetiva. Entao Y e compactoe portanto regular. Pelo Teorema 25.2, para provar que Y e metrizavel, bastaprovar que Y satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade.

85

Seja B uma base enumeravel para a topologia de X. Seja C a famılia dasunioes finitas de membros de B, e seja

D = {Y \ f(X \ U)}.

D e uma famılia enumeravel de abertos de Y . Provaremos queD e uma base paraa topologia de Y . Seja V aberto em Y , e seja y 2 V . Entao f

�1(y) ⇢ f

�1(V ),f

�1(y) e compacto, e f

�1(V ) e aberto em X. Usando a compacidade de f

�1(y)podemos achar U1, ..., Un 2 B tais que

f

�1(y) ⇢ U1 [ ... [ Un ⇢ f

�1(V ).

Seja U = U1 [ ... [ Un. Entao U 2 C e e facil verificar que

y 2 Y \ f(X \ U) ⇢ V.

Logo D e uma base enumeravel para a topologia de Y .

O teorema de Urysohn caracteriza os espacos topologicos que sao metrizaveise separaveis. Ha outro teorema, mais geral, que caracteriza os espacos topologicosque sao apenas metrizaveis. Nao veremos esse teorema aqui.

Exercıcios

25.A. Prove que as seguintes funcoes sao crescentes:

(a) f(t) = t/(1 + t) (t � 0).

(b) g(t) = t/(1� t) (0 t < 1).

25.B. Seja d uma metrica em um conjunto X, e seja d1 : X ⇥ X ! R

definida por

d1(x, y) =d(x, y)

1 + d(x, y).

(a) Prove que d1 e uma metrica em X.

(b) Prove que as metricas d e d1 definem os mesmos abertos em X.

Sugestao: Use o exercıcio anterior.

25.C. Seja X um espaco metrico localmente compacto, e seja X

⇤ acompactificacao de Alexandro↵ de X. Prove que as seguintes condicoes saoequivalentes:

(a) X e separavel.(b) X =

S1n=1 Kn, com Kn compacto e Kn ⇢ (Kn+1)� para cada n.

(c) X

⇤ e metrizavel.

86

26. Espacos conexos

26.1. Definicao. Um espaco topologico X e dito desconexo se existem doisabertos disjuntos nao vazios A e B em X tais que X = A [ B. Caso contrarioX e dito conexo. Um conjunto S ⇢ X e dito desconexo se S, com a topologiainduzida por X, e um espaco desconexo. Caso contrario S e dito conexo.

26.2. Exemplos.(a) Cada espaco topologico discreto, com pelo menos dois pontos, e

desconexo.(b) O espaco de Sierpinski e conexo.

26.3. Proposicao. Cada intervalo fechado e limitado em R e conexo.

Demonstracao. Suponhamos que [a, b] seja desconexo, sendo a < b. Entao[a, b] = A [ B, sendo A e B dois abertos disjuntos nao vazios de [a, b]. Semperda de generalidade podemos supor que b 2 B. Como B e aberto, segue que(b � ✏, b] ⇢ B para algum ✏ > 0. Seja c = supA. Entao c < b e (c, b] ⇢ B. Sec 2 A, entao, como A e aberto, existiria ✏ > 0 tal que [c, c+✏) ⇢ A, absurdo, poisc = supA. Logo c 2 B. Se c > a, entao, como B e aberto, existiria ✏ > 0 tal que(c�✏, c] ⇢ B, absurdo, pois c = supA. Logo c = a, e portanto [a, b] = [c, b] ⇢ B,absurdo de novo. Logo [a, b] e conexo.

Deixamos como exercıcio as demonstracoes dos dois resultados seguintes.

26.4. Proposicao. Um espaco topologico X e conexo se e so se X e ; sao

os unicos subconjuntos de X que sao abertos e fechados.

26.5. Proposicao. A imagem contınua de um espaco conexo e conexo.

26.6. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e seja S um subconjunto

conexo de X. Entao S tambem e conexo.

Demonstracao. Suponhamos que

S = A [B,

sendo A e B dois subconjuntos abertos disjuntos nao vazios de S. Segue que

S = (S \A) [ (S \B),

sendo S \ A e S \B dois subconjuntos abertos disjuntos nao vazios de S. Istoe absurdo, pois S e conexo.

26.7. Corolario. Seja X um espaco topologico, seja S um subconjunto

conexo de X, e seja S ⇢ T ⇢ S. Entao T e conexo.

Demonstracao. Basta aplicar a proposicao anterior com X = T .

26.8. Definicao. Seja X um espaco topologico. Diremos que dois conjuntosA,B ⇢ X sao mutuamente separados se A \B = A \B = ;.

87

26.9. Proposicao. Um espaco topologico X e desconexo se e so se existem

dois conjuntos mutuamente separados nao vazios A e B tais que X = A [B.

Demonstracao. ()) Se X e desconexo, entao existem dois abertos disjun-tos nao vazios A e B tais que X = A [B. Como A e B sao abertos e fechados,e claro que A e B sao mutuamente separados.

(() Suponhamos que X = A[B, sendo A e B dois conjuntos mutuamenteseparados nao vazios. Como

X = A [B e A \B = ;,

vemos que B = X \A e aberto. De maneira analoga segue que A e aberto. LogoX e desconexo.

26.10. Corolario. Seja X um espaco topologico. Um subconjunto S ⇢ X

e desconexo se e so se existem dois conjuntos nao vazios A e B, mutuamente

separados em X, tais que S = A [B.

Demonstracao. (() Suponhamos que S = A [ B, sendo A e B doisconjuntos nao vazios, mutuamente separados em X. Entao e claro que A e B

sao mutuamente separados em S.

()) Suponhamos que S = A [ B, sendo A e B dois conjuntos nao vazios,mutuamente separados em S. Entao

A

X \B = A

X \ S \B = A

S \B = ;.

De maneira similar podemos provar que A \ B

X

= ;. Logo A e B sao mutua-mente separados em X.

26.11. Corolario. Seja X um espaco topologico, sejam A e B dois conjun-

tos mutuamente separados, e seja S um subconjunto conexo de A [ B. Entao

S ⇢ A ou S ⇢ B.

Demonstracao. E claro que

S = (S \A) [ (S \B),

e os conjuntos S \ A e S \ B sao mutuamente separados em S. Como S econexo, segue da proposicao anterior que S \A = ; ou S \B = ;. Logo S ⇢ B

ou S ⇢ A.

26.12. Proposicao. Seja X um espaco topologico. Suponhamos que X =Si2I

S

i

, onde cada S

i

e conexo e

Ti2I

S

i

6= ;. Entao X e conexo.

Demonstracao. Suponhamos que X = A[B, sendo A e B dois conjuntosmutuamente separados. Segue do corolario anterior que S

i

⇢ A ou S

i

⇢ B paracada i 2 I. Seja s 2

Ti2I

S

i

. Se s 2 A, entao S

i

⇢ A para cada i 2 I, e portantoB = ;. De maneira analoga, se s 2 B, entao A = ;. Logo X e conexo.

88

26.13. Proposicao. Seja X um espaco topologico. Suponhamos que cada

par de pontos x, y 2 X pertence a um conjunto conexo S

xy

⇢ X. Entao X e

conexo.

Demonstracao. Fixemos a 2 X. Segue da hipotese que

X =[

x2X

S

ax

e a 2\

x2X

S

ax

.

Pela proposicao anterior X e conexo.

26.14. Proposicao. Seja X um espaco topologico. Suponhamos que X =S1n=1 S

n

, onde cada S

n

e conexo e S

n

\ S

n+1 6= ; para cada n 2 N. Entao X

e conexo.

Demonstracao. Seja T

n

=S

n

k=1 S

k

para cada n 2 N. Usando a Proposicao26.12 e inducao segue que cada T

n

e conexo. Como

X =1[

n=1

T

n

e1\

n=1

T

n

6= ;,

outra aplicacao da Proposicao 26.12 implica que X e conexo.

26.15. Exemplos.

(a) R e conexo pela Proposicao 26.12, pois

R =1[

n=1

[�n, n] e1\

n=1

[�n, n] = [�1, 1].

(b) Rn e conexo pela Proposicao 26.12, pois Rn e a uniao de todas as retasque passam pela origem.




i2I

X

i

e conexo se e so se cada

X

i

e conexo.

Demonstracao. ()) Se X e conexo, entao X

i

= ⇡

i

(X) e conexo para cadai 2 I.

(() Fixemos a 2 X e denotemos por S o conjunto de todos os x 2 X taisque existe um conjunto conexo S

ax

⇢ X contendo a e x. Como

S =[

x2S

S

ax

e a 2\

x2S

S

ax

,

vemos que S e conexo., pela Proposicao 26.12. Pela Proposicao 26.5, para provarque X e conexo basta provar que X = S. Seja b 2 X e seja U um aberto basicocontendo b, ou seja

U =n\

k=1

⇡

�1ik

(Uik),

89

com U

ik aberto em X

ik para k = 1, ..., n. Seja T1,...,Tn

definidos da maneiraseguinte. T

k

e o conjunto dos x = (xi

)i2I

2 X tais que:x

ik 2 X

ik e arbitrario;x

ij = b

ij se j < k;x

ij = a

ij se j > k;x

i

= a

i

se i 6= i1, ...in.

E claro que T

k

e homeomorfo a X

ik , que e conexo, e T

k

\ T

k+1 6= ; parak = 1, ..., n�1. Pela Proposicao 26.14 T =

Sn

k=1 T

k

e conexo. Como a 2 T1 ⇢ T ,segue que T ⇢ S. Por outro lado

S \ U � T \ U � T

n

\ U 6= ;.

Isto prova que b 2 S, e portanto X = S.

Exercıcios

26.A. Prove que um espaco topologico X e conexo se e so se X e ; sao osunicos subconjuntos de X que sao abertos e fechados.

26.B. Prove que a imagem contınua de um espaco conexo e conexo.

26.C. Seja S um subconjunto conexo de R. Prove que, dados a < b em S,tem-se que [a, b] ⇢ S.

26.D. Prove que cada subconjunto enumeravel de R, com pelo menos doispontos, e desconexo.

26.E. Seja X um conjunto infinito, com a topologia cofinita. Prove que X

e conexo.

26.F. Seja f : [0, 1]! [0, 1] uma funcao contınua. Prove que existe x 2 [0, 1]tal que f(x) = x. .

26.G. Prove que o cırculo unitario S

1 e conexo.

26.H. Prove que a esfera

S

n = {(x1, ..., xn+1) 2 Rn+1 :n+1X

j=1

x

2j

= 1}

e conexa para cada n 2 N.

90

27. Componentes conexas

27.1. Definicao. Seja X um espaco topologico. Dado x 2 X, denotaremospor C

x

a uniao dos subconjuntos conexos de X que contem x. Entao C

x

e omaior subconjunto conexo de X que contem x. Diremos que C

x

e a componente

conexa de X que contem x.

27.2. Proposicao. Seja X um espaco topologico. Dados x, y 2 X, tem-se

que C

x

= C

y

ou C

x

\ C

y

= ;.

Demonstracao. Se C

x

\ C

y

6= ;, entao C

x

[ C

y

e conexo, e portanto

C

x

= C

x

[ C

y

= C

y

.

27.3. Proposicao. As componentes conexas de um espaco topologico sao

sempre fechadas.

Demonstracao. Como C

x

e conexo, segue que C

x

e conexo tambem. LogoC

x

= C

x

.

27.4. Definicao. Um espaco topologico X e dito localmente conexo se cadax 2 X admite uma base de vizinhancas abertas e conexas.

27.5. Exemplo. O espaco [0, 1) [ (1, 2] e localmente conexo, mas nao econexo.

27.6. Proposicao. Um espaco topologico X e localmente conexo se e so se

as componentes conexas de cada aberto de X sao abertas em X.

Demonstracao. ()) Suponhamos que X seja localmente conexo. Seja U

um aberto de X, e seja C uma componente conexa de U . Por hipotese para cadax 2 C existe um aberto conexo V tal que x 2 V ⇢ U . Segue que x 2 V ⇢ C, eportanto C e aberto em X.

(() Suponhamos que as componentes conexas de cada aberto de X sejamabertas em X. Seja x 2 X, e seja U uma vizinhanca aberta de x em X. SejaC a componente conexa de U que contem x. Como por hipotese C e aberto emX, concluimos que X e localmente conexo.

27.7. Corolario. As componentes conexas de um espaco localmente conexo

sao abertas e fechadas.

27.8. Proposicao. Cada quociente de um espaco localmente conexo e

localmente conexo.

Demonstracao. Seja X um espaco localmente conexo e seja ⇡ : X ! Y

uma aplicacao quociente. Provaremos que as componentes conexas de cadaaberto de Y sao abertas em Y .

Seja V um aberto nao vazio em Y , e seja D uma componente conexa deV . Para provar que D e aberta em Y basta provar que ⇡

�1(D) e aberto emX. Seja x 2 ⇡

�1(D), e seja C

x

a componente conexa de ⇡

�1(V ) que contem x.

91

⇡(Cx

) e conexo e ⇡(x) 2 ⇡(Cx

) ⇢ V . Como ⇡(x) 2 D, segue que ⇡(Cx

) ⇢ D, eportanto C

x

⇢ ⇡

�1(D). Como C

x

e aberto em X, segue que ⇡

�1(D) e abertoem X, como querıamos.

Exercıcios

27.A. Se X = Q, prove que C

x

= {x} para cada x 2 Q.

27.B. Seja X um espaco topologico discreto, com pelo menos dois pontos.(a) Prove que X e localmente conexo, mas nao e conexo.(b) Prove que C

x

= {x} para cada x 2 X.

27.C. Prove que um espaco topologico X e localmente conexo se e so se atopologia de X admite uma base formada por conjuntos abertos e conexos.

27.D. Se um espaco topologico X e compacto e localmente conexo, proveque X tem apenas um numero finito de componentes conexas.

27.E. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja f : X ! Y uma aplicacaocontınua. Prove que a imagem de cada componente conexa de X esta contidanuma componente conexa de Y .

27.F. Se X e Y sao homeomorfos, prove que cada componente conexa de X

e homeomorfa a uma componente conexa de Y .

92

28. Espacos conexos por caminhos

28.1. Definicao. Um espaco topologico X e dito conexo por caminhos se

dados a, b 2 X, existe uma funcao contınua f : [0, 1] ! X tal que f(0) = a e

f(1) = b. Diremos que f e um caminho em X entre a e b.

28.2. Proposicao. Cada espaco conexo por caminhos e conexo.

Demonstracao. Seja X um espaco conexo por caminhos. Suponhamos que

existam dois abertos disjuntos nao vazios A e B tais que X = A [ B. Sejam

a 2 A e b 2 B, e seja f : [0, 1] ! X um caminho em X entre a e b. Segue que

[0, 1] = f

�1(A) [ f

�1B,

e [0, 1] nao seria conexo.

28.3. Exemplos.

(a) Rne conexo por caminhos. De fato, dados a, b 2 Rn

, seja f : [0, 1] ! Rn

definida por f(t) = (1� t)a + tb.

(b) R2 \ E e conexo por caminhos para cada conjunto enumeravel E ⇢ R2.

De fato, para cada a 2 R2 \ E, existe uma famılia nao enumeravel de retas em

R2 \ E que passam por a. Dai, dados a, b 2 R2 \ E, existem duas retas L1 e

L2 em R2 \E que passam por a e b, respectivamente, e que tem intersecao nao

vazia. Essa retas fornecem um caminho em R2 \ E entre a e b.

(c) Se n � 2, entao Rn \ E e conexo por caminhos para cada conjunto

enumeravel E ⇢ Rn. De fato, dados a, b 2 Rn \ E, seja S um subespaco

vetorial de Rnde dimensao 2 que contem a e b. Segue de (b) que existe um

caminho em S \ (Rn \ E) = S \ (S \ E) entre a e b.

28.4. Definicao. Seja X um espaco topologico, seja f : [0, 1] ! X um

caminho entre a e b, e seja g : [0, 1] ! X um caminho entre b e c. Seja

f ⇤ g : [0, 1] ! X o caminho entre a e c definido por

(f ⇤ g)(t) = f(2t) (0 t 1

2

),

(f ⇤ g)(t) = g(2t� 1) (

1

2

t 1).

28.5. Definicao. Um espaco topologico X e dito localmente conexo por

caminhos se cada x 2 X admite uma base de vizinhancas abertas e conexas por

caminhos.

28.6. Proposicao. Se X e conexo e localmente conexo por caminhos, entao

X e conexo por caminhos.

Demonstracao. Seja a 2 X, e seja S o conjunto dos x 2 X tais que existe

um caminho em X entre a e x. Claramente a 2 S. Para provar que S = X,

basta provar que S e aberto e fechado.

93

Para provar que S e aberto, seja b 2 S, e seja U uma vizinhanca aberta de b

que e conexa por caminhos. Seja f um caminho em X entre a e b, e seja g um

caminho em X entre b e c 2 U . Entao f ⇤ g e um caminho em X entre a e c, e

portanto U ⇢ S. Logo S e aberto.

Para provar que S e fechado, seja c 2 S, e seja U uma vizinhanca aberta de

c que e conexa por caminhos. Seja b 2 U \ S, seja f um caminho em X entre

a e b, e seja g um caminho em X entre b e c. Entao f ⇤ g e um caminho em X

entre a e c, e portanto c 2 S. Logo S e fechado.

Exercıcios

28.A. Um conjunto S ⇢ Rne dito convexo se (1 � t)a + tb 2 S para todo

a, b 2 S e t 2 [0, 1]. Prove que cada conjunto convexo em Rne conexo por

caminhos.

28.B. Prove que a imagem contınua de um espaco conexo por caminhos e

conexo por caminhos.

28.C. Seja {Xi : i 2 I} uma famılia nao vazia de espacos topologicos nao

vazios. Prove que o produto X =

Qi2I Xi e conexo por caminhos se e so se

cada Xi e conexo por caminhos.

28.D. (a) Prove que S

1e conexo por caminhos.

(b) Prove que S

ne conexo por caminhos para cada n 2 N.

28.E. Prove que os espacos R e Rnnao sao homeomorfos se n � 2.

28.F. Prove que os espacos [0, 1] e S

1nao sao homeomorfos.

28.G. Prove que os espacos S

1e S

nnao sao homeomorfos se n � 2.

28.H. Prove que cada subconjunto aberto e conexo de Rne conexo por

caminhos.

28.I. Consideremos os conjuntos

S = {(x, y) 2 R2: 0 < x 1, y = sen(1/x)},

T = S [ {(0, y) : �1 y 1}.

(a) Prove que S e conexo.

(b) Prove que T e conexo.

(c) Prove que S e conexo por caminhos.

(d) Prove que T nao e conexo por caminhos.

Sugestao: Para provar (d) suponha que f = (f1, f2) : [0, 1] ! T seja um

caminho em T entre (0, 0) e (1/⇡, 0). Prove que f1 toma todos os valores 1/n⇡,

com n 2 N. A seguir prove que, em cada vizinhanca de 0 em [0, 1] f2 toma os

valores 1 e �1. Conclua que f2 nao e contınua em 0.

94

28.J. Seja X um espaco topologico, e sejam f , g e h caminhos em X entre

a e b, entre b e c, e entre c e d, respectivamente.

(a) Prove que

[(f ⇤ g) ⇤ h](t) = f(4t) (0 t 1

4

),

[(f ⇤ g) ⇤ h](t) = g(4t� 1) (

1

4

t 1

2

),

[(f ⇤ g) ⇤ h](t) = h(2t� 1) (

1

2

t 1).

(b) Prove que

[f ⇤ (g ⇤ h)](t) = f(2t) (0 t 1

2

),

[f ⇤ (g ⇤ h)](t) = g(4t� 2) (

1

2

t 3

4

),

[f ⇤ (g ⇤ h)](t) = h(4t� 3) (

3

4

t 1).

95

29. Homotopia

29.1. Definicao. Sejam X e Y espacos topologicos, e sejam f, g 2 C(X;Y ).

Diremos que f e g sao homotopicas, e escreveremos f ' g, se existir uma funcao

contınua

H : X ⇥ [0, 1]! Y

tal que

H(x, 0) = f(x) (x 2 X),

H(x, 1) = g(x) (x 2 X).

Diremos que H e uma homotopia entre f e g, e escreveremos H : f ' g.

Se definimos

ft(x) = H(x, t) (x 2 X, 0 t 1).

vemos que H representa uma famılia de funcoes contınuas ft : X ! Y (0 t 1) tais que f0 = f e f1 = g.

29.2. Exemplo. Seja X um espaco topologico qualquer, e seja Y um

subconjunto convexo de Rn. Entao qualquer par de funcoes f, g 2 C(X;Y ) sao

homotopicas entre si. Basta definir

H(x, t) = (1� t)f(x) + tg(x) (x 2 X, 0 t 1).

29.3. Proposicao. A relacao f ' g e uma relacao de equivalencia em

C(X;Y ).

Demonstracao. Se f 2 C(X;Y ), entao H : f ' f , onde

H(x, t) = f(x) (x 2 X, 0 t 1).

Se H1 : f ' g, entao H2 : g ' f , onde

H2(x, t) = H1(x, 1� t) (x 2 X, 0 t 1).

Se H1 : f ' g e H2 : g ' h, entao H3 : f ' h, onde

H3(x, t) = H1(x, 2t) (x 2 X, 0 t 1

2

),

H3(x, t) = H2(x, 2t� 1) (x 2 X,1

2

t 1).

29.4. Proposicao. Sejam X, Y , Z espacos topologicos, e sejam f1, g1 2C(X;Y ) e f2, g2 2 C(Y ;Z). Se f1 ' g1 e f2 ' g2, entao f2 � f1 ' g2 � g1.

Demonstracao. Sejam

H1 : f1 ' g1, H2 : f2 ' g2,

e seja H3 : X ⇥ [0, 1]! Z definida por

H3(x, t) = H2(H1(x, t), t) (x 2 X, 0 t 1).

96

Entao

H3(x, 0) = H2(H1(x, 0), 0) = H2(f1(x), 0) = f2 � f1(x) (x 2 X),

H3(x, 1) = H2(H1(x, 1), 1) = H2(g1(x), 1) = g2 � g1(x) (x 2 X),

e portanto

H3 : f2 � f1 ' g2 � g1.

29.5. Definicao. Um espaco topologico X e dito contratil se a funcao

identidade iX(x) = x e homotopica a uma funcao constante c(x) = x0.

29.6. Proposicao. Um espaco topologico X e contratil se e so se, para cada

espaco topologico Y , qualquer par de funcoes f, g 2 C(Y ;X) sao homotopicas

entre si.

Demonstracao. Para provar a implicacao nao trivial, suponhamos que

X seja contratil, ou seja iX ' c, e sejam f, g 2 C(Y ;X). Entao, usando a

proposicao anterior, segue que

f = iX � f ' c � f = c � g ' iX � g = g.

29.7. Exemplo. Segue do Exemplo 29.2 que cada subconjunto convexo de

Rne contratil.

Sabemos que dois espacos topologicos X e Y sao homeomorfos se e so se

existem f 2 C(X;Y ) e g 2 C(Y ;X) tais que g � f = iX e f � g = iY .

29.8. Definicao. Diremos que dois espacos topologicos X e Y sao ho-

motopicamente equivalentes se existem f 2 C(X;Y ) e g 2 C(Y ;X) tais que

g � f ' iX e f � g ' iY .

Se X e Y sao homeomorfos, e claro que X e Y sao homotopicamente equi-

valentes, mas a recıproca e falsa em geral.

29.9. Proposicao. Um espaco topologico X e contratil se e so se X e

homotopicamente equivalente a um espaco unitario.

Demonstracao. ()) Suponhamos que a identidade em X seja homotopica

a uma funcao constante c(x) = x0. Seja Y = {x0}, e seja j : Y ,! X a aplicacao

inclusao. Entao j � c = c ' iX e c � j = iY .

(() Suponhamos que X seja homotopicamente equivalente a Y = {y0}.Sejam f 2 C(X;Y ) e g 2 C(Y ;X) tais que g � f ' iX e f � g ' iY . Como g � fe uma funcao constante, vemos que X e contratil.

Na proxima secao precisaremos de uma variante da nocao de homotopia,

conhecida como homotopia relativa.

29.10. Definicao. (a) Diremos que (X, A) e um par topologico se X e um

espaco topologico, e A ⇢ X.

97

(b) Diremos que f : (X, A) ! (Y, B) e uma funcao contınua se f : X ! Ye uma funcao contınua tal que f(A) ⇢ B.

(c) Diremos que (X, A) e (Y,B) sao homeomorfos se existem funcoes contınuas

f : (X, A) ! (Y,B) e g : (Y, B) ! (X, A) tais que g � f = iX e f � g = iY .

Notemos que neste caso f : X ! Y e um homeomorfismo e f(A) = B.

(d) Diremos que duas funcoes contınuas f, g : (X, A) ! (Y,B) sao ho-

motopicas se existir uma funcao contınua

H : X ⇥ [0, 1]! Y

tal que

H(x, 0) = f(x) (x 2 X),

H(x, 1) = g(x) (x 2 X),

H(x, t) = f(x) = g(x) (x 2 A, 0 t 1).

Neste caso diremos que H e uma homotopia entre f e g relativa a A, e escreve-

remos H : f ' g[A].

(e) Diremos que (X, A) e (Y, B) sao homotopicamente equivalentes se existem

funcoes contınuas f : (X, A) ! (Y, B) e g : (Y, B) ! (X, A) tais que g � f 'iX [A] e f � g ' iY [B].

Exercıcios

29.A. Prove que cada espaco contratil e conexo por caminhos.

29.B. Prove que a relacao f ' g[A] e uma relacao de equivalencia no con-

junto de todas as funcoes contınuas f : (X, A)! (Y,B).

29.C. Prove que, se (X, A) e (Y,B) sao homotopicamente equivalentes, entao

X e Y sao homotopicamente equivalentes.

29.D. Prove que, se (X, A) e (Y, B) sao homotopicamente equivalentes, entao

A e B sao homeomorfos.

29.E. Seja X um espaco topologico, e sejam a, b, c 2 X. Sejam f1 e g1 dois

caminhos em X entre a e b, e sejam f2 e g2 dois caminhos em X entre b e c. Se

f1 ' g1[{0, 1}] e f2 ' g2[{0, 1}],

prove que

f1 ⇤ f2 ' g1 ⇤ g2[{0, 1}].

98

30. O grupo fundamental

30.1. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja x0 2 X.

(a) Diremos que f : [0, 1] ! X e um laco com base em x0 se f e contınua e

f(0) = f(1) = x0. Denotaremos por ⌦(X, x0) o conjunto de todos os lacos em

X com base em x0.

(b) Diremos que f, g 2 ⌦(X, x0) sao homotopicos se f ' g[{0, 1}]. Neste

caso escreveremos f 'x0 g. Denotaremos por ⇧1(X, x0) o conjunto das classes

de equivalencia em ⌦(X, x0) sob a relacao 'x0 .

30.2. Teorema. O conjunto ⇧1(X, x0), com a operacao

[f ] ⇤ [g] = [f ⇤ g],

e um grupo, chamado de grupo fundamental de X, com base em x0.

Demonstracao. Se f1 'x0 f2 e g1 'x0 g2, segue do Exercıcio 29.E que

f1 ⇤ g1 'x0 f2 ⇤ g2.

Logo a operacao esta bem definida.

Para provar que a operacao e associativa basta provar que

(1) (f ⇤ g) ⇤ h 'x0 f ⇤ (g ⇤ h)

para todo f, g, h 2 ⌦(X, x0). Pelo Exercıcio 28.J, por um lado temos que

[(f ⇤ g) ⇤ h](s) = f(4s) (0 4s 1),

[(f ⇤ g) ⇤ h](s) = g(4s� 1) (1 4s 2),

[(f ⇤ g) ⇤ h](s) = h(2s� 1) (2 4s 4).

E por outro lado

[f ⇤ (g ⇤ h)](s) = f(2s) (0 4s 2),

[f ⇤ (g ⇤ h)](s) = g(4s� 2) (2 4s 3),

[f ⇤ (g ⇤ h)](s) = h(4s� 3) (3 4s 4).

Definamos

H(s, t) = f(

4s

1 + t

) (0 4s 1 + t),

H(s, t) = g(4s� 1� t) (1 + t 4s 2 + t),

H(s, t) = h(

4s� 2� t

2� t

) (2 + t 4s 4).

Nao e difıcil verificar que H e contınua e que

H(s, 0) = [(f ⇤ g) ⇤ h](s) (0 s 1),

99

H(s, 1) = [f ⇤ (g ⇤ h)](s) (0 s 1),

H(0, t) = [(f ⇤ g) ⇤ h](0) = [f ⇤ (g ⇤ h)](0) (0 t 1),

H(1, t) = [(f ⇤ g) ⇤ h](1) = [f ⇤ (g ⇤ h)](1) (0 t 1).

Isto prova (1).

Seja e(s) = x0 para todo s 2 [0, 1]. Para provar que [e] e o elemento

identidade de ⇧1(X, x0), basta provar que

(2) f ⇤ e 'x0 f

e

(3) e ⇤ f 'x0 f

para todo f 2 ⌦(X, x0). Notemos que

(f ⇤ e)(s) = f(2s) (0 2s 1),

(f ⇤ e)(s) = x0 (1 2s 2).

Definamos

H(s, t) = f(

2s

1 + t

) (0 2s 1 + t),

H(s, t) = x0 (1 + t 2s 2).


H(s, 0) = (f ⇤ e)(s) (0 s 1),

H(s, 1) = f(s) (0 s 1),

H(0, t) = (f ⇤ e)(0) = f(0) (0 t 1),

H(1, t) = (f ⇤ e)(1) = f(1) (0 t 1).

Isto prova (2). A demonstracao de (3) e analoga.

Dado f 2 ⌦(X, x0), seja f�1 2 ⌦(X, x0) definido por f�1(s) = f(1�s) para

todo s 2 [0, 1]. Para provar que [f�1] e o inverso de [f ] basta provar que

(4) f ⇤ f�1 'x0 e

e

(5) f�1 ⇤ f 'x0 e

Notemos que

(f ⇤ f�1)(s) = f(2s) (0 2s 1),

(f ⇤ f�1)(s) = f(2� 2s) (1 2s 2).

Definamos

100

H(s, t) = f(2s) (0 2s t),

H(s, t) = f(t) (t 2s 2� t),

H(s, t) = f(2� 2s) (2� t 2s 2).


H(s, 0) = f(0) = x0 = e(s) (0 s 1),

H(s, 1) = f ⇤ f�1(s) (0 s 1),

H(0, t) = f(0) = x0 = e(0) = (f ⇤ f�1)(0) (0 t 1),

H(1, t) = f(0) = x0 = e(1) = (f ⇤ f�1)(1) (0 t 1).

Isto prova que e 'x0 f ⇤ f�1

, e portanto (4). A demonstracao de (5) e analoga.

30.3. Proposicao. Seja � : [0, 1] ! X um caminho em X entre x0 e x1.Entao a funcao

�⇤ : [f ] 2 ⇧1(X, x0) ! [��1 ⇤ f ⇤ �] 2 ⇧1(X, x1)

e um isomorfismo de grupos.

Demonstracao. Usando o Exercıcio 29.E segue que, se f1 'x0 f2, entao

��1 ⇤ f1 ⇤ � 'x1 ��1 ⇤ f2 ⇤ �.

Isto prova que �⇤ esta bem definida.

´

E facil ver que �⇤ e um homomorfismo de

grupos, e que (��1)

⇤e seu inverso. Deixamos a demonstracao detalhada como

exercıcio.

30.4. Corolario. Se X e conexo por caminhos, entao todos os grupos⇧1(X, x0), com x0 2 X, sao isomorfos entre si.

30.5. Definicao. Um espaco topologico X e dito simplesmente conexo se

X e conexo por caminhos e o grupo ⇧1(X, x0) e trivial para algum, e portanto,

para todo x0 2 X.

30.6. Exemplo. Cada subconjunto convexo de Rn

e simplesmente co-

nexo.

Com efeito basta provar que f 'x0 g para todo f, g 2 ⌦(X, x0). Seja

H : [0, 1]⇥ [0, 1] ! X definida por

H(s, t) = (1� t)f(s) + tg(s).

Entao

H(s, 0) = f(s) (0 s 1),

H(s, 1) = g(s) (0 s 1),

101

H(0, t) = x0 (0 t 1),

H(1, t) = x0 (0 t 1).

Isto prova que f 'x0 g.

Exercıcios

30.A. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja � : (X, x0) ! (Y, y0) uma

funcao contınua. Prove que a funcao

�⇤ : [f ] 2 ⇧1(X, x0) ! [� � f ] 2 ⇧1(Y, y0)

e um homomorfismo de grupos.

30.B. Se � e a identidade em X, prove que �⇤ e a identidade em ⇧1(X, x0).

30.C. Sejam X, Y e Z espacos topologicos, e sejam � : (X, x0) ! (Y, y0) e

: (Y, y0) ! (Z, z0) funcoes contınuas. Prove que

( � �)⇤ = ⇤ � �⇤.

30.D. Se � : (X, x0) ! (Y, y0) e um homeomorfismo, prove que a funcao

�⇤ : ⇧1(X, x0) ! ⇧1(Y, y0)

e um isomorfismo de grupos.

30.E. Sejam X e Y espacos topologicos, e sejam �, : (X, x0) ! (Y, y0)

funcoes contınuas tais que � ' [{x0}]. Prove que � � f 'y0 � f para todo

f 2 ⌦(X, x0), ou seja �⇤ = ⇤.

30.F. Se (X, x0) e (Y, y0) sao homotopicamente equivalentes, prove que os

grupos ⇧1(X, x0) e ⇧1(Y, y0) sao isomorfos.

30.G. Sejam X e Y espacos topologicos, e sejam x0 2 X e y0 2 Y . Prove

que o grupo ⇧1(X ⇥ Y, (x0, y0)) e isomorfo ao grupo ⇧1(X, x0)⇥⇧1(Y, y0).

102

31. O grupo fundamental do cırculo unitario

Consideremos o cırculo unitario

S1= {(x, y) 2 R2

: x2+ y2

= 1} = {z 2 C : |z| = 1}.

Nesta secao provaremos o teorema seguinte.

31.1. Teorema. O grupo ⇧1(S1, 1) e isomorfo a Z.

Para provar este teorema vamos precisar de dois lemas auxiliares. Antes de

enunciar esses lemas, consideremos a funcao

p : t 2 R! e2⇡ti 2 S1.

´

E claro que:

(a) p e sobrejetiva, contınua e aberta, com p(0) = 1.

(b) A restricao p|(� 12 , 1

2 ) : (� 12 , 1

2 ) ! S1 \ {�1} e um homeomorfismo, com

inversa q.

(c) p(s + t) = p(s)p(t) para todo s, t 2 R.

(d) p(t) = 1 se e so se t 2 Z.

´

E claro que R e um grupo abeliano sob adicao de numeros reais, S1e um

grupo abeliano sob multiplicacao de numeros complexos, e p : R ! S1e um

homomorfismo de grupos cujo nucleo e Z.

31.2. Lema. Seja g um caminho em S1, com g(0) = 1. Entao existe umunico caminho f em R tal que f(0) = 0 e p � f = g.

R

f % # p

[0, 1] �! S1

g

Demonstracao. Como [0, 1] e compacto, a funcao g : [0, 1] ! S1e

uniformemente contınua. Logo existe � > 0 tal que se |s � t| < �, entao

|g(s) � g(t)| < 2. Entao g(s)/g(t) 6= �1 e q(g(s)/g(t)) esta bem definida.

Seja n 2 N tal que 1/n < �, e seja f : [0, 1] ! R definida por

f(t) =

nX

k=1

q

g(

kn t)

g(

k�1n t)

!.

103

Entao f e contınua, f(0) = 0 e

p � f(t) =

nY

k=1

g(

kn t)

g(

k�1n t)

= g(t),

provando existencia. Para provar unicidade, suponhamos que exista uma funcao

contınua f1 : [0, 1] ! R tal que f1(0) = 0 e p � f1 = g. Entao

p � (f1 � f)(t) = 1 (0 t 1),

e portanto

(f1 � f)(t) 2 Z (0 t 1).

Como [0, 1] e conexo, segue que

(f1 � f)(t) = 0 (0 t 1).

31.3. Lema. Sejam g1 e g2 caminhos em S1 tais que g1(0) = g2(0) = 1, esejam f1 e f2 os unicos caminhos em R tais que f1(0) = f2(0) = 0, p � f1 = g1

e p � f2 = g2.(a) Dada uma funcao contınua G : [0, 1] ⇥ [0, 1] ! S1 tal que G(0) = 1,

existe uma unica funcao contınua F : [0, 1] ⇥ [0, 1] ! R tal que F (0) = 0 ep � F = G.

(b) Se G : g1 ' g2[{0, 1}], entao F : f1 ' f2[{0, 1}].

R

F % # p

[0, 1]⇥ [0, 1] �! S1

G

Demonstracao. (a) A demonstracao de (a) e similar a demonstracao do

lema anterior. Como G e uniformemente contınua, existe � > 0 tal que se

|z � w| < �, entao |G(z) � G(w)| < 2, e portanto q(G(z)/G(w)) esta bem

definida. Seja n 2 N tal que 1/n < �, e seja F : [0, 1]⇥ [0, 1] ! R definida por

F (z) =

nX

k=1

q

G(

knz)

G(

k�1n z)

!.

Entao F e contınua, F (0) = 0 e p � F = G. Se existir uma funcao contınua

F1 : [0, 1] ⇥ [0, 1] ! R tal que F1(0) = 0 e p � F1 = G, entao podemos provar

como antes que F1 = F .

104

(b) Suponhamos que G : g1 ' g2[{0, 1}]. Entao

p � F (s, 0) = G(s, 0) = g1(s) = p � f1(s) (0 s 1).

Pela unicidade no lema anterior, segue que

F (s, 0) = f1(s) (0 s 1).

De maneira analoga podemos provar que

F (s, 1) = f2(s) (0 s 1).

Por outro lado temos que

p � F (0, t) = G(0, t) = g1(0) = g2(0) = p � f1(0) = p � f2(0) (0 t 1).

Pela unicidade do lema anterior segue que

F (0, t) = f1(0) = f2(0) (0 t 1).

De maneira analoga podemos provar que

F (1, t) = f1(1) = f2(1) (0 t 1).

Logo F : f1 ' f2[{0, 1}].

Demonstracao do Teorema 31.1. Se g 2 ⌦(S1, 1), entao segue do Lema

31.2 que existe um unico caminho f : [0, 1] ! R tal que f(0) = 0 e p � f(1) =

g(1) = 1. Entao f(1) 2 Z. Definamos

� : [g] 2 ⇧1(S1, 1) ! f(1) 2 Z.

Dados g1, g2 2 ⌦(S1, 1), sejam f1 e f2 os unicos caminhos em R tais que f1(0) =

f2(0) = 0, p � f1 = g1 e p � f2 = g2. Se G : g1 ' g2[{0, 1}], entao segue do Lema

31.3 que F : f1 ' f2[{0, 1}]. Em particular F (1, t) = f1(1) = f2(1). Isto prova

que a funcao � esta bem definida.

Para provar que � e um homomorfismo de grupos, sejam g1, g2 2 ⌦(S1, 1), e

sejam f1 e f2 os unicos caminhos em R tais que f1(0) = f2(0) = 0, p � f1 = g1

e p � f2 = g2. Sejam

n1 = f1(1), n2 = f2(1).

Seja f : [0, 1] ! R definido por

f(s) = n1 + f2(s) (0 s 1).

Entao

f(0) = n1 + f2(0) = n1 = f1(1), f(1) = n1 + f2(1) = n1 + n2,

p(f(s)) = p(n1)p(f2(s) = g2(s) (0 s 1).

105

Segue que

p � (f1 ⇤ f) = (p � f1) ⇤ (p � f) = g1 ⇤ g2,

(f1 ⇤ f)(0) = f1(0) = 0, (f1 ⇤ f)(1) = f(1) = n1 + n2.

Assim f1⇤f e o unico caminho em R tal que (f1⇤f)(0) = 0 e p�(f1⇤f) = g1⇤g2.

Segue que

�([g1] ⇤ [g2]) = �([g1 ⇤ g2]) = (f1 ⇤ f)(1)

= n1 + n2 = f1(1) + f2(1) = �([g1]) + �([g2]).

Isto prova que � e um homomorfismo de grupos.

Para provar que � e sobrejetiva, seja n 2 Z, e sejam f : [0, 1] ! R e

g : [0, 1] ! S1definidos por

f(s) = ns (0 s 1), g = p � f.

Entao f(0) = 0 e g(0) = g(1) = 1, e dai segue que

�([g]) = f(1) = n.

Para provar que � e injetiva, seja g 2 ⌦(S1, 1) tal que �([g]) = 0. Seja f o

unico caminho em R tal que f(0) = 0 e p � f = g. Entao f(1) = �([g]) = 0,

e portanto f 2 ⌦(R, 0). Como R e simplesmente conexo, temos que f '0 0, e

daı segue que

g = p � f '1 p(0) = 1.

Isto completa a demonstracao.

Exercıcios

31.A. Usando o Exercıcio 30.G prove que o grupo ⇧1(S1 ⇥ S1, (1, 1)) e

isomorfo a Z⇥ Z.

31.B. Seja

B2= {(x, y) 2 R2

: x2+ y2 1},

e seja j : S1 ,! B2a inclusao. Usando o Exercıcio 30.C prove que nao existe

uma aplicacao contınua r : B2 ! S1tal que r � j seja a identidade.

31.C. Seja f : B2 ! B2uma funcao contınua. Usando o exercıcio anterior

prove que existe x 2 B2tal que f(x) = x.

Sugestao: Se f(x) 6= x para cada x 2 B2, seja r(x) o ponto onde a reta de

f(x) a x intercepta S1.

31.D. Prove que o homomorfismo de grupos p : R ! S1induz um isomor-

fismo de grupos p : R/Z! S1que e tambem um homeomorfismo.

31.E. Seja G um grupo topologico, ou seja G e um grupo, G e tambem um

espaco topologico, e a aplicacao (x, y) 2 G⇥G ! xy�1 2 G e contınua.

106

(a) Prove que a aplicacao (x, y) 2 G⇥G ! xy 2 G e contınua.

(b) Prove que a aplicacao x 2 G ! x�1 2 G e um homeomorfismo.

(c) Prove que a aplicacao y 2 G ! xy 2 G e um homeomorfismo para cada

x 2 G.

(d) Prove que U e uma vizinhanca aberta de 1 em G se e so se xU e uma

vizinhanca aberta de x em G.

31.F. Seja G um grupo topologico abeliano, e seja H um subgrupo de G.

Prove que a aplicacao quociente ⇡ : G ! G/H e aberta.

31.G. Seja G um grupo topologico abeliano, e seja H um subgrupo discreto

de G. Seja ⇡ : G ! G/H a aplicacao quociente, e seja g : [0, 1] ! G/H um

caminho com g(0) = 1.

(a) Prove que existe uma vizinhanca aberta U de 1 em G tal que ⇡(U) e

uma vizinhanca aberta de 1 em G/H e a restricao ⇡|U : U ! ⇡(U) e um

homeomorfismo.

(b) Adaptando a demonstracao do Lema 31.2 prove que existe um unico

caminho f : [0, 1] ! G tal que f(0) = 1 e ⇡ � f = g.

De maneira analoga podemos adaptar as demonstracoes do Lema 31.3 e do

Teorema 31.1 para provar o teorema seguinte:

Teorema. Seja G um grupo topologico abeliano simplesmente conexo, e sejaH um subgrupo discreto de G. Entao o grupo ⇧1(G/H, 1) e isomorfo a H.

31.H. Sejam E e X espacos topologicos, e seja p : E ! X uma funcao

contınua. Diremos que p : E ! X e um espaco de recobrimento se cada x 2 Xadmite uma vizinhanca aberta V tal que p�1

(V ) e uma uniao disjunta de abertos

Ui tais que a restricao p|Ui : Ui ! V e um homeomorfismo para cada i.Se p(t) = e2⇡ti

para cada t 2 R, prove que p : R ! S1e um espaco de

recobrimento.

31.I. Seja p : E ! X um espaco de recobrimento. Seja G o conjunto de

todos os homeomorfismos � : E ! E tais que p � � = p.

(a) Prove que p e sobrejetiva e aberta, em particular p e uma aplicacao

quociente.

(b) Prove que p�1(x) e um subconjunto discreto de E para cada x 2 X.

(c) Prove que G e um grupo sob composicao, que chamaremos de grupo detransformacoes do recobrimento.

31.J. Prove que o grupo de transformacoes do recobrimento p : R ! S1e

isomorfo a Z.

Adaptando as demonstracoes dos Lemas 31.2 e 31.3 e do Teorema 31.1,

podemos provar o teorema seguinte:

Teorema. Seja p : E ! X um espaco de recobrimento, e seja G o grupode transformacoes do recobrimento. Se E e simplesmente conexo e localmenteconexo por caminhos, entao o grupo ⇧1(X, x0) e isomorfo a G para cada x0 2 X.

107

Bibliografia

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1962.

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notas de topologia geral jorge mujica disciplina ... · 1. teoria de conjuntos dados dois conjuntos...

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