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CONJUNTOS

PROFESSOR RODRIGO MELO

TEORIA DOS CONJUNTOS Um conjunto é apenas uma coleção de entidades, chamadas de elementos.

EXEMPLO:

- Conjuntos dos números pares positivos: p={ 2,4,6,8,10,12,....}.

- -Conjuntos das vogais: { a , e , i, o , u}

- -Conjuntos dos números primos positivos: { 2, 3, 5, 7, 11 , ......}

CLASSIFICAÇÃO DE CONJUNTOS Conjunto vazio

O conjunto que não possui elementos e é representado por 0 ou {}.

Conjunto Unitário

O conjunto que possui apenas um elemento.

Exemplo:

- Conjunto dos números primos pares : { 2 }

Conjunto Universo

O conjunto ao qual pertence todos os envolvidos em um determinado assunto , representado pelo símbolo U.

SUBCONJUNTO

Um conjunto A é um subconjunto de B se , e somente se, todo elemento A pertencente também a B. A notação, A está contido em B, indica que A é subconjunto de B.

Exemplo:

A={ 3,4 }

São subconjuntos de A: 0 , {3} , {4} , { 3,4}

OBSERVAÇÃO:

- Se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2m subconjuntos.

- O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto

RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA

ENTRE ELEMENTO E CONJUNTO

- ∊= “pertence a”

- ∉= “não pertence a” ENTRE CONJUNTO E CONJUNTO

- ⊂= “está contido”

- ⊄=“não está contido”

- ⊅=“contém”

- ⊃=“não contém”

Dado o conjunto Q = { a, b, c} , associe V e F em cada sentença.

i Ø ∊ Q

ii b ∊ Q

iii c ∉ Q

iiii {a} ∊

iiiii {a,b} ⊂ Q

A) FFFFF

B) FFVVF

C) FVFFV

D) FFFFV

E) VVVVF

OPERAÇÃO COM CONJUNTOS - União (U)

É formado pelos os elementos a pelo menos um dos conjuntos A e B. É representado pelo símbolo:

Exemplo:

A = { 0,1,2 }

B = { 2,3,4 }

O conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A e conjunto B

- Interseção (⋂)

É formado pelos que pertencem aos dois conjuntos simultaneamente. É representado pelo símbolo:

Exemplo:

A ={ 0,2,4,5 }

B ={ 4,6,7 }

A⋂B = {0,2,4,5} ⋂ { 4,6,7 } = {4}

- Diferença ( - )

É formado pelos elementos que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo. É representado pelo símbolo: -

Exemplo:

A = { 0,5,9 }

B = { 0,9,3 }

A-B={ 0,5,9} – {0,9,3} = {5}

- Complementar

-É um caso particular da diferença entre dois conjuntos.

Dados dois conjuntos A e B, com a condição de que B ⊂ A, a diferença A – B chama-se , nesse caso, complementar de B em relação a A.

Representação: CBA = A - B

(CESPE) – Numa pesquisa de mercado, foram entrevistados consumidores sobre suas preferências em relação aos produtos A e B. Os resultados da pesquisa indicaram que:

- 310 pessoas compram o produto A;

- 220 pessoas compram o produto B;

- 110 pessoas compram os produtos A e B;

- 510 pessoas não compram nenhum dos dois produtos.

- É correto afirmar que o números de consumidores entrevistados, dividido por 10 é superior a 93

X e Y são dois conjuntos não vazio. O conjunto X possui 64 subconjuntos. O conjunto Y , por sua vez, possui 256 subconjuntos. Sabe-se, também, que o conjunto Z= X ⋂ Y possui dois elementos.

Desse modo , conclui-se que o número de elementos do conjuntos P = Y – X é igual a :

a) 4 b) 6 c)8 d) vazio e) 1

FUNDAMENTOS DA LÓGICA

Professor Rodrigo Melo

Rodrigo Melo

PRIMEIROS CONCEITOS

O primeiro conceito que iremos estudar será a proposição.

• Toda proposição deve:

- ser uma oração, que tenha sujeito e

predicado;

- possuir apenas dois valores lógicos: verdadeiro (V) ou falso (F).

- ser declarativa, ou seja, não pode ser

interrogativas, exclamativas e nem imperativa.

Rodrigo Melo

Exemplo: 1) Qual dos itens abaixo é uma proposição?

• a) “Caramba!” ; “Feliz aniversário!”

• b) “como é o seu nome?”;“o jogo foi de quanto?”

• c) “Estude mais.” ; “Leia aquele livro”.

• d) “Feliz ano novo!”

• e) A Terra é maior que a Lua.

( R: não é proposição, é uma sentença exclamativa)

( R: não é proposição, é uma sentença interrogativa)

( R: não é proposição, é uma sentença imperativa)

( R: não é proposição, é uma sentença exclamativa)

( R: é proposição, pois é uma oração, tem sujeito e predicado)

Rodrigo Melo

Representação • As proposições, geralmente são representadas por

letras minúsculas (p, q, r, s etc).

São outros exemplos de proposições:

Pedro é médico.

5 < 8 (Cinco é menor que oito.)

Luíza foi ao cinema ontem à noite

= p

= q

= r

Rodrigo Melo

LEIS FUNDAMENTAIS DO PENSAMENTO LÓGICO

• PRINCÍPIO DA IDENTIDADE Se uma proposição for verdadeira ela será verdadeira; uma

proposição falsa é falsa. • PRINCÍPIO DA NÃO-CONTRADIÇÃO Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao

mesmo tempo. • PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa: não há

outra possibilidade

Rodrigo Melo

NEGAÇÃO ( ~ ) Dada uma proposição

qualquer “p”, a negação dessa proposição é “não-p”. Representa-se essa negação como: “~”

Se atribuirmos que essa proposição seja verdadeira a negação será falsa. Agora, se atribuirmos que p for falsa a sua negação será verdadeira. Com isso pode-se concluir que

a negação de qualquer proposição atribui o valor lógico oposto.

p ~p

V

F

Equivalências de

Negação

Não é verdade que A.

É falso que A.

F

V

Rodrigo Melo

PROPOSIÇÕES Existem dois tipos de proposições: simples e composta.

• SIMPLES Serão proposições simples ou proposição atômica aquelas que

vêm sozinhas, desacompanhadas de outras orações. Exemplos: Todo homem é mortal. (Só existe uma oração) • COMPOSTA Se duas (ou mais) proposições vêm conectadas entre si, formando

uma só sentença, estaremos diante de uma proposição composta ou proposição molecular.

Rodrigo Melo

Exemplos de proposição composta:

• João é médico e Pedro é dentista.

( 1ª oração: João é médico e 2ª Pedro é dentista)

• Maria vai ao cinema ou Paulo vai ao circo.

• Ou Luís é baiano, ou é paulista.

• Se chover amanhã de manhã, então não irei à praia.

Rodrigo Melo

CONECTIVOS LÓGICOS

Para dizer que uma proposição composta é verdadeira ou falsa, isso dependerá de duas coisas:

1º) do valor lógico das proposições componentes;

2º) do tipo de conectivo que as une.

Tipos de conectivos lógicos que estudaremos:

Rodrigo Melo

PROPOSIÇÃO COMPOSTA

Conjunção Disjunção Disjunção

exclusiva Condicional Bicondicional

p q p ^ q p v q

V V

V F

F V

F F

V

F

F

F

V

V

V

F

F

V

V

F

V

F

V

V

V

F

F

V

Rodrigo Melo

Rodrigo Melo

1) Considere os seguintes enunciados:

16 é múltiplo de 2


8 é número primo

A proposição que apresenta valor lógico verdadeiro é:

a) se 15 é múltiplo de 7 ou 16 é múltiplo de 2 então 8 é número primo.

b) se 16 é múltiplo de 2 ou 8 é número primo então 15 é múltiplo de 7.

c) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo.

d) se 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo então 16 é múltiplo de 2.

e) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 ou 8 é número primo.

V

F

F

F V F

V

ou então

então F

F

EXERCÍCIOS

Rodrigo Melo




8 é número primo


b) se 16 é múltiplo de 2 ou 8 é número primo então 15 é múltiplo de 7.




V

F

F

V F F

V

ou então

então F

F

EXERCÍCIOS

Rodrigo Melo




8 é número primo





V

F

F

V F F

V

então e

então F

F

EXERCÍCIOS

Rodrigo Melo




8 é número primo




V

F

F

F F V

F

e então

então V

V

EXERCÍCIOS

Rodrigo Melo




8 é número primo



V

F

F

V F F

V

então ou

então F

F

EXERCÍCIOS

02. Uma sentença lógica equivalente a

“Se Pedro é economista, então Luisa é solteira.” é:

a) Pedro é economista ou Luisa é solteira.

p q

V V

V F

F V

F F

p q então

~p

F

F

V

V

~q

F

V

F

V V

F

V

V

p q v

p v q Resultado

V V

V F

F V

F F

V

V

V

F Não são equivalentes!!!!!!

Temos que encontrar essa

sequência de valores lógicos

Rodrigo Melo

• b) Pedro é economista ou Luisa não é solteira.

p ~q v

p ~q v

p q

V V

V F

F V

F F

~p

F

F

V

V

~q

F

V

F

V

V

v

F

F

F

V

F

V

Resultado

V

V

F

V

V

F

V

V

São equivalentes????

Não!!!!!!

Rodrigo Melo

• c) Se Luisa é solteira , Pedro é economista.

q p então

q p

p q

V V

V F

F V

F F

~p

F

F

V

V

~q

F

V

F

V

V

F

V

F

V

V

F

F

Resultado

V

V

F

V

V

F

V

V


Não!!!!!!

Rodrigo Melo

• d) Se Pedro não é economista, então Luisa não é solteira.

~p ~q então

~p ~q

p q

V V

V F

F V

F F

~p

F

F

V

V

~q

F

V

F

V

F

F

V

V

F

V

F

V

Resultado

V

V

F

V

V

F

V

V


Não!!!!!!

Rodrigo Melo

• e) Se Luisa não é solteira, então Pedro não é economista.

~q ~p então

~q ~p

p q

V V

V F

F V

F F

~p

F

F

V

V

~q

F

V

F

V

F

V

F

V

F

F

V

V

Resultado

V

F

V

V

V

F

V

V


SIM!!!!!!

Rodrigo Melo

Sentenças abertas com uma variável

TAUTOLOGIA • Uma proposição composta formada por duas ou mais

proposições será dita uma Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições que a compõem.

Exemplo: .

Rodrigo Melo

• CONTRADIÇÃO

Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições será dita uma contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições que a compõem.

Exemplo:

• CONTIGÊNCIA

Uma proposição composta será dita uma contingência sempre que não for uma tautologia nem uma contradição.

Rodrigo Melo

1) Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é: a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo

Rodrigo Melo

a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo

b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo

Rodrigo Melo

c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo

Rodrigo Melo

e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo

Rodrigo Melo

Negação

Rodrigo Melo

Negação de uma proposição composta

CONJUNTIVA: ~(p e q) Para negarmos uma proposição no formato de conjunção (p e q), faremos o seguinte: 1º) Negaremos a primeira (~p); 2º) Negaremos a segunda (~q); 3º) Trocaremos e por ou.

Rodrigo Melo

Negação de uma proposição composta

DISJUNTIVA: ~(p ou q) Para negarmos uma proposição no formato de disjunção (p ou q),

faremos o seguinte: 1º) Negaremos a primeira (~p); 2º) Negaremos a segunda (~q); 3º) Trocaremos ou por e.

Rodrigo Melo

CONDICIONAL: ~(p → q)

1º) Mantém-se a primeira parte ou afirma; e

2º) Nega-se a segunda.

BICONDICIONAL: ~(p ↔ q)

Rodrigo Melo

1) A negação da afirmativa “Me caso ou compro sorvete.” é

a) me caso e não compro sorvete.

b) não me caso ou não compro sorvete.

c) não me caso e não compro sorvete.

d) não me caso ou compro sorvete.

e) se me casar, não compro sorvete.

Rodrigo Melo

2) Negando a sentença “ Se a Nanci está feliz então está alegre e bonita.”

a) Se a Nanci não está feliz então não está alegre e nem bonita.

b) Se a Nanci está alegre e bonita então está feliz.

c) Se a Nanci não está feliz então está alegre e bonita.

d) Se a Nanci não está alegre e nem bonita então está feliz.

e) A Nanci está feliz e não alegre ou não bonita.

Rodrigo Melo

3) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que:

a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto.

b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto.

c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto.

d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto.

e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.

Rodrigo Melo

Rodrigo Melo

1. Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, o mordomo e o jardineiro. Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se, ainda, que: •se o cozinheiro é inocente, então o mordomo é culpado; •ou o jardineiro é culpado ou o mordomo é culpado, mas não os dois; •o jardineiro não é inocente. Logo: a) o mordomo e o jardineiro são os culpados b) o cozinheiro e o jardineiro são os culpados c) somente o mordomo é culpado d) somente o cozinheiro é inocente e) somente o jardineiro é culpado

Rodrigo Melo

2. Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica. Por outro lado, se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. Daí segue-se que, se Artur gosta de Lógica, então: a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil. b) Lógica é fácil e Geografia é difícil. c) Lógica é fácil e Geografia é fácil. d) Lógica é difícil e Geografia é difícil. e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil.

Rodrigo Melo

3. Se A é alegre então B é boa, se B é boa então C é calma. Sabe-se que C não é calma, nestas condições pode-se concluir que: a) A não é boa. b) B não é alegre. c) A não é calma. d) C não é alegre. e) A não é alegre.

Rodrigo Melo

4. Considere as seguintes proposições: p: Eduardo é estudante. q: Carina é bailarina. A proposição composta ~(~p q) em linguagem corrente é a) “Não é verdade que Carina não é bailarina e Eduardo não é estudante”. b) “Carina não é bailarina ou Eduardo é estudante”. c) “Carina não é estudante ou Eduardo é bailarino”. d) “Não é verdade que Carina é bailarina ou Eduardo é estudante”. e) “Carina não é bailarina e Eduardo não é estudante”.

Rodrigo Melo

5. Considere a sentença “Se os juros baixarem, haverá crescimento econômico”. A CONTRAPOSITIVA dessa sentença é a) Se os juros não baixarem, não haverá crescimento econômico. b) Se não houver crescimento econômico, os juros não baixam. c) Se os juros não baixarem, haverá crescimento econômico. d) Se houver crescimento econômico, os juros baixam. e) Se os juros não baixarem, haverá recessão.

Rodrigo Melo

6. A NEGAÇÃO da sentença: “Hortelino saiu sem avisar e foi ao cinema” é a) “Hortelino saiu sem avisar e não foi ao cinema”. b) “Hortelino não saiu sem avisar e não foi ao cinema”. c) “Hortelino não saiu sem avisar ou não foi ao cinema”. d) “Hortelino não saiu sem avisar e foi ao cinema”. e) “Hortelino saiu sem avisar ou não foi ao cinema”.

Rodrigo Melo

7. Sejam as declarações: Se ele me ama então ele casa comigo. Se ele casa comigo então não vou trabalhar. Ora, se vou ter que trabalhar podemos concluir que: a) Ele é pobre mas me ama. b) Ele é rico mas é pão duro. c) Ele não me ama e eu gosto de trabalhar. d) Ele não casa comigo e não vou trabalhar. e) Ele não me ama e não casa comigo.

Rodrigo Melo

8. Sejam as declarações: Se o governo é bom então não há desemprego. Se não há desemprego então não há inflação. Ora, se há inflação podemos concluir que: a) A inflação não afeta o desemprego. b) Pode haver inflação independente do governo. c) O governo é bom e há desemprego. d) O governo é bom e não há desemprego. e) O governo não é bom e há desemprego.

Rodrigo Melo

9. Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado em um teatro. Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a verdade; e Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz: “Tânia é quem está sentada no meio”. A que está sentada no meio diz: “Eu sou Janete”. Finalmente, a que está sentada à direita diz: “Angélica é quem está sentada no meio”. A que está sentada à esquerda, a que está sentada no meio e a que está sentada à direita são, respectivamente: a) Janete, Tânia e Angélica b) Janete, Angélica e Tânia c) Angélica, Janete e Tânia d) Angélica, Tânia e Janete e) Tânia, Angélica e Janete

10. Se Bia briga com Lara, então Lara vai ao teatro. Se Lara vai ao teatro, então Sandra fica em casa. Se Sandra fica em casa, então Bruno briga com Sandra. Ora, Bruno não briga com Sandra. Logo... a) Sandra não fica em casa e Bia não briga com Lara. b) Sandra fica em casa e Lara vai ao teatro. c) Sandra não fica em casa e Lara vai ao teatro. d) Lara vai ao teatro e Bia briga com Lara. e) Lara não vai ao teatro e Bia briga com Lara.

11. Rafael quer ir ao teatro assistir a peça “Noviça Rebelde”, mas não tem certeza se a mesma está sendo exibida. Seus amigos, Luana, Luis e Ivan têm opiniões discordantes sobre se a peça está ou não em cartaz. Se Julia estiver certa, então Ivan está enganado. Se Ivan estiver enganado, então Luis está enganado. Se Luis estiver enganado, então a peça não está sendo exibida. Ora, ou a peça “Noviça Rebelde” está sendo exibida, ou Rafael não ira ao teatro. Verificou-se que Julia está certa. Logo, a) A peça “Noviça Rebelde” está sendo exibida. b) Luis e Ivan não estão enganados. c) Ivan está enganado, mas Luis não. d) Luis está enganado, mas Ivan não. e) Rafael não irá ao teatro.

12. Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade. Se Lauro falou a verdade, há um leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala. Logo, a) Nestor e Júlia disseram a verdade b) Nestor e Lauro mentiram c) Raul e Lauro mentiram d) Raul mentiu ou Lauro disse a verdade e) Raul e Júlia mentiram.

(CESPE) Na lógica sentencial, denomina-se proposição uma frase que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não, como ambas. Assim, frases como “Como está o tempo hoje?” e “Esta frase é falsa” não são proposições porque a primeira é pergunta e a segunda não pode ser nem V nem F. As proposições são representadas simbolicamente por letras maiúsculas do alfabeto — A, B, C etc. Uma proposição da forma “A ou B” é F se A e B forem F, caso contrário é V; e uma proposição da forma “Se A então B” é F se A for V e B for F, caso contrário é V. Um raciocínio lógico considerado correto é formado por uma seqüência de proposições tais que a última proposição é verdadeira sempre que as proposições anteriores na seqüência forem verdadeiras. Considerando as informações contidas no texto acima, julgue os itens subseqüentes.

13) ( ) É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes: Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José será aprovado no concurso. Maria é alta. Portanto José será aprovado no concurso. 14) ( ) É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes: Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um emprego. Ela conseguiu um emprego. Portanto, Célia tem um bom currículo.

Aula 4

Rodrigo Melo

Proposições categóricas

São quatro proposições categóricas possíveis. As proposições categóricas serão classificadas em:

- Universais - Particulares

Rodrigo Melo

As proposições universais são aquelas em que o predicado refere-se à totalidade do conjunto.

Exemplo:

“Todos os homens são inteligentes.”

Na proposição acima observamos que é universal onde englobam todos os homens sem exceção, e que pode ser representado como:

“Todo S é P”

Rodrigo Melo

As proposições particulares são aquelas em que o predicado refere-se apenas a uma parte do conjunto.

Exemplo:

“Alguns homens são inteligentes.”

Já nesta outra proposição acima, não são incluídos todos os homens, só uma parte deles, que pode ser representado como:

“Alguns S é P.”

Rodrigo Melo

Esses tipos de proposições também podem ser classificados em:

- afirmativas (exemplo anterior)

- negativas

No caso da negativa podemos ter:

“Nenhum homem é inteligente”

Na proposição acima ela é universal negativa e simbolizamos por:

“Nenhum S é P.”

- Outro exemplo:

“Alguns homens não são inteligentes.”

Ela é particular e negativa que poder ser representada por:

“Algum S não é P.”

• Com isso podemos resumir essas

Afirmativa Negativa

Universal (A) Todo S é P (E) Nenhum S é P.

Particular (I) Algum S é P (O) Alguns S não é

P.

Rodrigo Melo

Diagrama

(E) Nenhum S é P.

(I) Algum S é P.

(O)Algum S não é P.

(A) Todo S é P.

Rodrigo Melo

Lógica da Argumentação

Argumento

É um conjunto de proposições com uma estrutura lógica que podem ter como conseqüência outra proposição. Ou seja, conjunto de proposições p1, p2, p3, ..., pn que tem como conseqüência outra proposição r.

As proposições p1, p2, p3, ..., pn serão chamados de premissas do argumento, e a proposição r de conclusão do argumento.

Rodrigo Melo

Exemplo:

p1: Se eu passar no concurso então irei trabalhar.

p2: Passei no concurso.

r: Irei trabalhar

Rodrigo Melo

Validade ou Invalidade

Rodrigo Melo

Validade de um argumento Para um argumento ser válido a verdade das premissas

deve garantir a verdade da conclusão do argumento. Significa dizer que jamais deverá ter uma conclusão falsa, independente da validade de suas premissas.

Exemplo: Todos os peixes tem asas. (F) Todos os pássaros são peixes. (F) Todos os pássaros tem asas. (V)

Invalidade de um argumento

Para um argumento inválido, quando há possibilidade de suas premissas serem verdadeiras e sua conclusão falsa, ou seja, a verdade de suas premissas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão.

Exemplos: Todos os cachorros são animais. (V) Todos os gatos animais. (V) Todos os cachorros são gatos. (F)

Rodrigo Melo

Todos os alunos do curso passaram. Daniel não é aluno do curso. Portanto, Daniel não passou.

Rodrigo Melo

ARGUMENTOS DEDUTIVOS E INDUTIVOS

Os argumentos também podem ser classificados em: - dedutivos - indutivo O argumento dedutivo será quando suas premissas

fornecerem prova conclusiva da veracidade da conclusão. Já o argumento indutivo quando possui informações que

ultrapassam as fornecidas nas premissas.

Rodrigo Melo

ARGUMENTOS DEDUTIVOS E INDUTIVOS Exemplos:

Argumento dedutivo Todo ser humano tem pai. Todos os homens são humanos Todos os homens têm pai. Argumento indutivo O Botafogo é um ótimo time de futebol. O Vasco é um ótimo time de futebol. O Fluminense é um ótimo time de futebol. Todos os times brasileiros são ótimos times de futebol.

Rodrigo Melo

ARGUMENTO DEDUTIVO VÁLIDOS Lembrando que argumentos válidos ou inválidos aplica-

se apenas aos argumentos dedutivos, e que a validade depende apenas da forma do argumento e não dos valores das premissas.

Afirmação do antecedente ou Modus ponens Se eu passar no concurso então irei trabalhar. Passei no concurso. Irei trabalhar

Rodrigo Melo

ARGUMENTO DEDUTIVO VÁLIDOS

Negação do conseqüente ou Modus tollens Uma equivalência específica vista anteriormente de

uma condicional é chamada de contra positiva. p→q = ~q→ ~p Exemplo: Se ela me ama, então casa comigo. Não casa comigo. Então ela não me ama.

Rodrigo Melo

Este argumento ocorre quando alguém é forçado a escolher entre duas alternativas indesejáveis.

Exemplo: Maria inscreveu-se no concurso do TRT, porém não gostaria de sair do Rio

de Janeiro, e seus colegas de trabalho estão torcendo por ela. Eis o dilema de Maria: - Se Maria passar no concurso vai ter que ir embora do Rio de Janeiro. - Se Maria não passar no concurso ficará com vergonha diante dos colegas

de trabalho. Portanto: Ou Maria vai embora do Rio de Janeiro ou Maria ficará com

vergonha diante dos colegas de trabalho Podemos reescrever esses argumentos como:

Dilema

ARGUMENTO DEDUTIVO INVÁLIDO É a combinação da verdade com falsidade das premissas de

qualquer maneira com a verdade ou falsidade da conclusão. Lembrando que as premissas não sustentam a conclusão.

Exemplo: Todos os mamíferos são mortais.(V) Todos os cachorros são mortais.(V) Todos os cachorros são mamíferos.(V) Este argumento tem a seguinte forma: Todos os A são B. Todos o C são B. Todos os C são A.

ARGUMENTO DEDUTIVO INVÁLIDO

Podemos observar que é um argumento inválido, pois suas premissas não sustentam a conclusão. Então todos os argumentos inválidos chamaremos de falácias. Para compreender melhor basta substituir: A por humanos, B por mortais e C por cachorros. Logo teremos:

Todos os humanos são mortais.(V) Todos o cachorros são mortais.(V) Todos os cachorros são humanos.(F)

SILOGISMO

É o argumento formado por duas premissas e uma conclusão. No silogismo teremos três termos:

- Termo menor: sujeito da conclusão - Termo médio: é o termo que aparece uma vez em cada

premissa e não aparece na conclusão. - Termo maior: predicado da conclusão Adotaremos a premissa maior a que contém o termo maior

e a premissa menor a que contém o termo menor

SILOGISMO

Exemplo: • Todas as mulheres são bonitas. • Todas as princesas são mulheres. • Todas as princesas são bonitas - Termo menor: as princesas - Termo médio: mulheres - Termo maior: bonitas - Premissa menor: todas as princesas são mulheres - Premissa maior: todas as mulheres são bonitas

Regras para a validade de um Silogismo

1) Todo silogismo deve conter apenas três termos;

2) O termo médio deve ser universal pelo menos uma vez;

3) O termo médio não pode constar na conclusão;

4) Nenhum silogismo que tenha suas premissas negativas é

válido;

5) De duas premissas particulares não poderá ter uma

conclusão;

6) Se há uma premissa particular a conclusão será

particular;

7) Se há uma premissa particular negativa a conclusão será

particular .negativa

1.Verifique a validade das seguintes argumentações. Se ela for válida indique por “v”, se for não válida indique por “nv”.

a) Toda pessoa persistente acaba vencendo. Ora, você certamente vencerá. Logo, você é persistente. nv b) Todo alemão é inteligente. Ora, Fritz é alemão. Logo, ele é inteligente.v

EXERCÍCIOS

c) Todo macaco é animal. Ora, homem é animal. Logo, homem é macaco.nv d) Você é um patinho. Ora, a mãe do patinho é uma pata. Logo, a sua mãe é uma pata.v

2.(CESPE) Considerando que uma argumentação é correta quando, partindo-se de proposições presumidamente verdadeiras, se chega a conclusões também verdadeiras, julgue o próximo item. Suponha-se que as seguintes proposições sejam verdadeiras. I Todo brasileiro é artista. II Joaquim é um artista. Nessa situação, se a conclusão for “Joaquim é brasileiro”, então a argumentação é correta.( E )

3.Se é verdade que “Alguns A são R” e que “Nenhum G é R”, então é necessariamente verdadeiro que: *a) algum A não é G b) algum A é G. c) nenhum A é G d) algum G é A e) nenhum G é A

4.Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se, portanto, necessariamente que a) todo C é B b) todo C é A *c) algum A é C d) nada que não seja C é A e) algum A não é C

5.Todos os médicos são obesos. Nenhum obeso sabe nadar. Segue-se que: a) Algum médico não é obeso b) Algum médico sabe nadar c) Nenhum médico sabe nadar d) Nenhum médico é obeso e) Algum obeso sabe nadar

6.(CESPE) – Das premissas: A: “Nenhum herói é covarde.” B: Alguns soldados são covardes.” Pode-se corretamente concluir que: a) alguns heróis são soldados. b) alguns soldados são heróis. c) nenhum herói é soldado. *d) alguns soldados não são heróis. e) nenhum soldado é herói.

7.Em uma pequena comunidade, sabe-se que: "nenhum filósofo é rico" e que "alguns professores são ricos". Assim, pode-se afirmar, corretamente, que nesta comunidade a) alguns filósofos são professores b) alguns professores são filósofos c) nenhum filósofo é professor *d) alguns professores não são filósofos e) nenhum professor filósofo

8.(CESPE) A forma de uma argumentação lógica consiste de uma seqüência finita de premissas seguida por uma conclusão. Há formas de argumentação lógica consideradas válidas e há formas consideradas inválidas. No quadro abaixo, são apresentadas duas formas de argumentação lógica, uma de cada tipo citada, em que “~” é o símbolo de negação.

A respeito dessa classificação, julgue os itens seguintes. a) A seguinte argumentação é inválida. Premissa 1:Todo funcionário que sabe lidar com orçamento conhece contabilidade. Premissa 2: João é funcionário e não conhece contabilidade. Conclusão: João não sabe lidar com orçamento.E

b) A seguinte argumentação é válida. Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos devidos. Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos. Conclusão: Carlos é uma pessoa honesta.E

9.Se é verdade que “Alguns B são R” e que “Nenhum Z é R”, então é necessariamente verdadeiro que: a) algum B não é Z b) algum B é Z c) nenhum B é Z d) algum Z é B e) nenhum Z é B

10. Se for verdade que “Nenhum hexágono é icoságono” e que “Nenhum eneágono é icoságono”, então é necessariamente verdadeiro que: a) algum hexágono não é eneágono b) algum hexágono é eneágono c) nenhum hexágono é eneágono d) algum eneágono é hexágono e) não se pode tirar conclusão

Aula 5

Rodrigo Melo

Fatorial e o Principio Fundamental da Contagem

Professor Rodrigo Melo

Fatorial

Sendo n um número natural maior que um (1), podemos definir como fatorial de n (n!) o número:

Lembrando que n N (n pertence aos números naturais) e n 1 ( n maior que 1 ). O símbolo n! (lê-se: fatorial de n ou n fatorial.) Exemplos: 7! = 6! = 3! =

Observação:

Por definição, para 0!=1 e 1! = 1

7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040

6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1= 720

3 . 2 . 1 = 6

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Por este meio pode-se determinar quantas vezes, de modo diferente, um acontecimento pode ocorrer. Ou seja, é um princípio combinatório que indica de quantas formas se pode escolher um elemento de cada um de n conjuntos finitos. Se o primeiro conjunto tem k1 elementos, o segundo tem k2 elementos, e assim sucessivamente, então o número total T de escolhas é dado por:

T = k1 . k2 . k3 . ... kn

Princípio da Multiplicação Se uma decisão d1 pode ser tomada de x maneiras e uma decisão

d2 puder ser tomada de y maneiras então as decisões d1 e d2 podem ser tomadas de (x.y) maneiras.

Exemplos:

1) Uma homem possui quatro camisas e três calças. De quantos modos diferentes ele poderá se vestir?

Solução

Escolha de uma calça: 3 possibilidades Escolha de uma camisa: 4 possibilidades Total: 3 x 4 = 12 combinações

A escolha de uma calça poderá ser feita de três maneiras diferentes, onde cada calça poderá ser combinada com as quatro camisas.

Exemplo 2:

Para fazer uma viagem Rio - São Paulo - Rio, posso usar como meio de transporte o trem, o ônibus ou o avião. De quantos modos posso escolher os transportes se não desejo usar na volta o meio de transporte usado na ida?

Solução

Há três modos de escolher o transporte de ida. Depois disso, há duas alternativas para a volta. A resposta é 3 x 2= 6 modos.

Princípio da Adição Se A e B são eventos disjuntos com n1 e n2 possibilidades,

respectivamente, então o número de possibilidades para o evento A ou B é n1 + n2.

Exemplo: 1) Quantos números de quatro dígitos começam com 4 ou 5? Solução

Podemos considerar dois casos disjuntos: - números que começam por 4 =1x10x10x10 possibilidades - números que começam por 5 = 1x10x10x10 possibilidades e

Então temos um total de 2x10x10x10 possibilidades, pois (1x10x10x10) + (1x10x10x10)= 2x10x10x10.

PERMUTAÇÃO

São agrupamentos com n elementos, de forma que os n elementos sejam distintos entre si pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.

Permutação Simples Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos

formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos.

Pn = n!

PERMUTAÇÃO Exemplo: Quantos números de 5 algarismos distintos podemos formar com os

algarismos 1,2,3,4,5? Solução P5=5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 Logo, podemos formar 120 números

Permutação com Repetição

Se entre os n elementos de um conjunto existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos formar é dado por:

Exemplo: Quantos são os anagramas da palavra: a) ELEGER b) CANDIDATA

Permutação Circular

Chamamos de Permutação Circular a disposição dos elementos de um conjunto ao redor de um circulo. Para determinarmos o número de disposições possíveis basta utilizar a expressão abaixo:

Pc = (n-1)!

Exemplo:

1) De quantas formas podemos colocar quatro pessoas em uma mesa circular?

Solução

Pc = (4-1)! = 3! = 3 . 2 . 1 = 6 arrumações possíveis

Arranjo Simples - não há repetição de elementos;

- a ordem dos elementos é considerada um novo agrupamento;

- Lê-se: arranjo de n elementos tomados p a p.

OBS: Todos os problemas de Arranjo Simples também poderão ser resolvidos pelo Princípio Multiplicativo.

)!(

!,

pn

nA pn

Exemplo: Seja o conjunto A ={1,2,3}. Quantos números com 2 algarismos distintos podemos formar com os elementos de A?

Combinação Simples

Cn

n p pn p,

!

( )! !

- não há repetição de elementos;

- a ordem dos elementos não é considerada um novo agrupamento;

- Lê-se: combinação de n elementos tomados p a p.

Exemplo: Quantas duplas distintas podemos formar com 3 pessoas A, B , C?

Arranjo com Repetição - há repetição de elementos;

- a ordem dos elementos é considerada um novo agrupamento;

Exemplo: Seja o conjunto A ={1,2,3}. Quantos números com 2 algarismos distintos podemos formar com os elementos de A admitindo repetições?

Combinação com Repetição - há repetição de elementos;

- a ordem dos elementos não é considerada um novo agrupamento;

Combinação com Repetição

Exemplo: 1) Um menino está em um parque de diversões e resolve comprar dois bilhetes. No parque há 4 tipos de brinquedos: C -- chapéu mexicano F -- trem fantasma M – montanha russa R – roda gigante O menino pode comprar dois bilhetes do mesmo tipo, se ele quiser ir duas vezes no mesmo brinquedo. Nessas condições, qual é o número total de possibilidades de compra dos bilhetes?

O que é probabilidade?

É a chance de um experimento aleatório tem de acontecer

Num experimento aleatório, sendo n(U)

O número de elementos do espaço amostral U e n(A) o número de eventos do elemento A, a probabilidade de que ocorra o evento A, é dada por:

P (A) =

n(U)

n(A)

Espaço Amostral (U)

Espaço Amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer em um experimento aleatório.

Exemplo:

- Lançamento de um dado: E = { 1,2,3,4,5,6} = 6 resultados

- Lançamento de uma moeda: E = { cara , coroa} = 2 resultados

Evento (A) - É o conjunto de todos os resultados que

interessam.

Exemplo:

No lançamento de um dado , o evento obter o número maior ou igual a 4:

A= { 4,5,6} = 3 resultados que interessam do subconjunto de U ={ 1,2,3,4,5,6}.

Propriedades

- Se A = Ø, n(A) = 0 logo, P(A) = 0.

- Se A = U, n (A) = n (U) logo, P (A) = 1.

Observação:

A probabilidade d qualquer evento varia sempre entre 0 e 1 .

0 ≤ P(A) ≤ 1

Probabilidade Complementar

A probabilidade de ocorre um evento mais a probabilidade de ele não ocorrer é sempre igual a 1 , ou seja:

“ A probabilidade de não ocorrer um evento é igual a 1 menos a probabilidade dele ocorrer.”

P (A) + P (Ã) = 1

Adição de Probabilidade

Como já se observou anteriormente, a probabilidade da união dos eventos é semelhante a adição das probabilidade. Outro exemplo de adição das probabilidades é quando não há evento em comum entre os conjuntos. Logo não é preciso retirar sua intercessão .

P(A U B) – P(A) + P(B)

Multiplicação da Probabilidade

Se A é evento de probabilidade p e, em seguida ocorrer o evento B de probabilidade q, então a probabilidade é p.q:

P (A∩ B) = P(A) . P(B) = p.q

Exemplo 1: A probabilidade de sair o número 5 em dois lançamentos sucessivos de um dado, sendo A o evento obter o 5 no primeiro lançamento e B obter 5 no segundo lançamento.

- Exemplo 2: Uma urna possui 3 bolas brancas e 2 pretas; Retirando-se 2 bolas desta urna, determine a probabilidade das duas serem brancas, se as bolas tiverem sido retiradas:

a)Com reposição

b)Sem reposição

- Exemplo 3: Uma urna possui 5 bolas brancas e 4 pretas. Retirando-se 3 bolas desta urna sem reposição, determine a probabilidade de pleo menos uma ser branca.

Observação: *Em probabilidade a ordem importa

*É mais fácil calcular o que não queremos para depois calcularmos o que queremos.

*A expressão “pelo menos um” significa que a única coisa que não interessa é “nenhum”.

Probabilidade Condicional

O cálculo de probabilidades condicionais está relacionado ao cálculo da probabilidade de um evento ocorrer sabendo-se que um outro evento já ocorreu. A probabilidade de ocorrer o evento A sabendo que o evento B com certeza ocorreu é.

P(A/B) = )(

)(

BP

BAP

Considerando-se apenas o primeiro lançamento, qual a probabilidade de João marcar 3 pontos (sair a face 3 do dado), sabendo-se que ele obteve pelo menos um dos dois dados uma face 4?

Progressão Aritmética É toda a sequência de números na qual a diferença a cada termo ( a partir do segundo ) e o termo anterior é constante, essa diferença constante é chamada de razão da progressão.

Exemplo:

(3,6,9,12) é uma PA finita de razão r=3

(2,2,2,2,2,2,2,2,......) é uma PA infinita de razão r=0

(10,8,6,4,......) é uma PA infinita de razão r= -2

Classificação Tipos

-Uma PA pode ser :

a. crescente: (r>0) – ( 2,4,6,8,10...)- r=2

b. decrescente: (r<0) – (7,5,3,1,-1,-3,...)-r=-2

c. constante: (r=0) – ( 9,9,9,9......)

Representação Matemática

(a1,a2,a3,a4,a5,...an-1,an,an+1....)

r= a2 – a3

r= a3 – a2

r= an- an-1

r= an+1 - an

TERMO GERAL DE UMA P.A. (a1,a2,a3,....an-1,na)

a2=a1+r

a3=a2+r=a1+2r

an = a1 + ( n-1)r Observação:

an=termo geral

n =n-ésimo termo

a1 =primeiro termo

r= razão

PROPRIEDADES DE UMA P.A.

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A.

1) Determine o 1º termo de uma P.A., onde se conhecem :

a6= 17 e r=-4

2) Calcule a soma dos elementos da P.A. (-8,-1 ,6,.....,41).

Um estacionamento cobra R$ 1,50 pela primeira hora. A partir da segunda, cujo valor é R$ 1,00 até a décima segunda, cujo valor é R$ 0,40 , os preços caem em progressão aritmética. Se um automóvel ficar estacionado 5 horas nesse local, quanto gastará seu proprietário?

a) R$ 4,58

b) R$ 5,41

c) R$ 5,14

d) R$ 4,85

e) R$ 5,34

Progressão Geométrica

Progressão Geométrica Uma progressão geométrica(P.g. ou P.G.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante. Esta constante é chamada de razão da progressão geométrica. A letra q foi escolhida por ser inicial da palavra quociente.

Exemplo:

(1, 2 ,4 ,8 ,16 ,32 ,64 ,128 ,256 , 512, 1024, 2048,....) onde q=2

( 1,1

2, 1

4 ,1

8 ,1

16, 1

32,

1

64,1

128, 1

256, ..... ) onde q=

1

2

( -3,9,-7,81,243,729, - 2187,......) onde q=-3

( 7,7,7,7,7,7,7,........) onde q= 1

( 3,0,0,0,0, 0, 0 , ....) onde q= 0

Fórmula do termo geral Costuma-se denotar por 𝑎𝑛 n-ésimo termo de uma progressão geométrica.

Assim, a progressão fica totalmente definida pelo valor de seu termo inicial 𝑎1. É fácil demonstrar:

𝑎𝑛 = 𝑎1, n=1 𝑎𝑛=𝑎1 .𝑞𝑛−1

𝑎𝑛 + 1 = q. 𝑎𝑛 , n= 2,3,4....

Soma dos termos de uma P.G. finita

A soma dos termos de uma P.G. , a partir do primeiro , é definida

Sn-a1 + a1 q + ...+ a1 qn-1

q Sn-a1 q + a1 q2 + ...+ a1 qn Sn =

= a1 (

qn −

1 ) 𝑞−1

q Sn – Sn = a1 qn - a1

( q – 1) Sn= a1 ( qn - 1 )

Propriedades de uma P.G. 1) Em toda P.G. , qualquer termo em módulo excetuando-se os

extremos, é média geométrica entre os seus antecedentes e o seu consequente.

Ex.: ( 3,6,12,24......)=== é 6 =

2) Em outra P.G. limitada o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos.

Ex.: ( 1,2,4,8,16,32) === é 2.16 = 1.32

3) Em uma P.G. de número impar de termos, o termo central em módulo é média geométrica entre os extremos

Ex.: ( 1,2,4,8,16) = = = é 4 = √1.16.

1) Uma PG de razão 3, o 7º termo é 1458. Calcule a1 .

2) Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG ( 2, 4, 8,16,....).

3) Na PG de termos positivos ( a,b,c) , termos:

a+b+c= 91

a*c = 441

Assim, (a+c) é superior a 70.

Soma dos infinitos termos de uma P.G. A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada geométrica e está bem definida quando | q |< 1 . Sua soma é :

S∞= 𝑎∞𝑛−0 1 q n =

𝑎1

1 −𝑞

Classificação das progressões geométricas • P.G. ( 1,1,1,1,1,1,1,1,1,...) razão q = 1 constante

• P.G. ( 1, 2,4, 8, 16,32,64,128,256,...) razão q = 2 crescente

• P.G. ( -1,-2,-4,-8,-16,-32,-64,-128,-256,...) razão q = 2 decrescente

• P.G. ( 3,-6,12,-24,48, -96, 192,-384,768....) razão q = -2 oscilante

• P.G. (8,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,....) razão q = 0 quase nula

4) Determine a soma da seguinte P.G. infinita ( 10 , 4 , 8/5, ....).

apresentação do powerpoint - cloud object storage · dados dois conjuntos a e b, com a condição...

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