1/144 modelagem estatística. 2/144 população e amostra çpopulação: conjunto dos elementos que...

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ModelagemEstatística

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População e Amostra

População: Conjunto dos elementos que se

deseja abranger no estudo considerado.

Amostra: Subconjunto dos elementos da

população.

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População

Finita - Alunos do mestrado, funcionários de

uma empresa, eleitores etc.

Infinita - Nascimentos em um cidade, produção

de uma máquina etc.

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População e Amostra

Censo: Estudo através do exame de todos os

elementos da população.

Amostragem: Estudo por meio do exame de

uma amostra.

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Técnicas de Amostragem

Amostragem probabilística (aleatória) - a probabilidade de um elemento da população ser escolhido é conhecida.

Amostragem não probabilística (não aleatória) - Não se conhece a probabilidade de um elemento da população ser escolhido para participar da amostra.

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Amostragem Aleatória Simples

Faz-se uma lista da população e sorteiam-se os

elementos que farão parte da amostra.

Cada subconjunto da população com o mesmo

nº de elementos tem a mesma chance de ser

incluído na amostra.

pr = n/N

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DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS

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Parâmetro e Estatística

Parâmetro - característica relacionada à

população.

Estatística - característica relacionada à

amostra.

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Parâmetros

Média

Proporção p

Desvio Padrão

etc

10/144

Estatísticas

Média X

Proporção p

Desvio Padrão s

etc

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Distribuições Amostrais

Qualquer característica de uma amostra aleatória (estatística) é uma variável aleatória.

Em outras palavras, se tomarmos várias amostras de forma parecida, os resultados da característica (estatística) que nos interessa variarão por causa da aleatoriedade do sorteio.

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Distribuições Amostrais

Distribuição Amostral - Distribuição de

probabilidades de uma estatística.

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Exemplo

A população de um estudo é composta de 4

pessoas (N=4) e a variável de interesse é a

altura.

X1=1,50m X2=1,60m

X3=1,70m X4=1,80m

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Parâmetros

N=4 X1=1,50m X2=1,60m

X3=1,70m X4=1,80m

Média populacional:= 1,65m

Desvio Padrão: = 0,1118m

15/144

Exemplo

Retira-se uma amostra aleatória simples com 2

elementos (n=2), com reposição.

Qual será a média amostral?

Qual é a distribuição de probabilidades da média

amostral?

16/144

AmostraX3 X1X3 X2X3 X3X3 X4X4 X1X4 X2X4 X3X4 X4

ExemploAmostra

X1 X1X1 X2X1 X3X1 X4X2 X1X2 X2X2 X3X2 X4

17/144

X1,601,651,701,751,651,701,751,80


ExemploX

1,501,551,601,651,551,601,651,70


18/144

X1,501,551,601,651,551,601,651,70

X1,601,651,701,751,651,701,751,80

-

ExemploAmostra

X1 X1X1 X2X1 X3X1 X4X2 X1X2 X2X2 X3X2 X4


Total

Prob.1/161/161/161/161/161/161/161/16

Prob.1/161/161/161/161/161/161/161/16

1

19/144Distribuição Amostral da

Média

0,0625

0,06250,12500,18750,2500

1/162/163/164/163/162/161/16

1

P(X)X1,501,551,601,651,701,751,80Total

P(X)

0,12500,1875

20/144Distribuição Amostral da

Média

1/16 1/16

2/16

3/16

4/16

2/16

3/16

1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80

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Calcular o valor esperado (média) e o desvio

padrão da média amostral.

Distribuição Amostral da

Média

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E(X) = x = (xi.pi)

VAR(X) = x = pi.(xi-x)2

Média eVariância

X P(X)

x1 p1

x2 p2

... ...

xn pn

Total 1

23/144

Distribuição Amostral da Média

0,0625

0,06250,12500,18750,2500

1/162/163/164/163/162/161/16

1

P(X)X1,501,551,601,651,701,751,80Total

P(X)

0,12500,1875

24/144

X = E(X) = 1,65 m

X = 0,0791 m


30/144


Características

= xa)

31/144

Distribuição Amostral da MédiaCaracterísticas

população finita

=nx

N - 1N - n

população infinita oumuito grande ou

amostragem com reposição

=nx

b)

32/144

c) A distribuição da média amostral é normal.


Características

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Exercício

Uma fábrica de pneus alega que a vida média dos pneus é 30.000 Km, com desvio padrão de 2.000 Km. Tomando-se como verdadeiros estes dados, qual é a probabilidade de uma amostra com 40 pneus apresentar vida média menor que 29.500 Km?

34/144

Exercício

n

=x

= 316,22777x =x2000

40

35/144

X3029,5

Exercício

P(X<29500)

36/144

Exercício

-1,58Z

0

0,057053

29500 =

= -1,5829.500 - 30.000

316,23

37/144

Exercício

Um lote com 100 pneus apresenta vida útil média de 30.000 Km, com desvio padrão de 2.000 Km. Qual é a probabilidade de uma amostra aleatória simples com 40 pneus apresentar vida média de menos que 29.500 Km?

38/144

=x2000

40

100 - 40

100 - 1

Exercício

=nx

N - 1N - n

= 246,18298x

39/144

X3029,5

Exercício

P(X<29500)

40/144

Exercício

-2,03Z

0

0,021178

29500 =

= -2,0329.500 - 30.000

246,18

41/144

Exercício 1

Se a vida útil média de uma peça é 5.000 horas, com desvio padrão de 200 horas, qual é a probabilidade de que uma amostra com 25 produtos apresente média superior a 5.100 horas?

0,00621

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Exercício 2

Um banco informa que o saldo médio das 2000 contas de pessoas físicas é $ 500, com desvio padrão de $ 100. Se uma amostra aleatória de 50 correntistas (pessoa física) daquele banco for retirada, qual é a probabilidade do saldo médio ser menor que $ 480?

43/144

Exercício

População finita : Resp = 0,076359

População infinita: Resp = 0,079270

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Modelagem Estatística

Distribuição Amostral

da Proporção

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Distribuição Amostral da Proporção

Plano de amostragem

p - prop. populacional p - prop. amostral

População

p

Amostra

p

46/144

Exemplo

A população de um estudo é composta de 4

pessoas (N=4) e a variável de interesse é a

proporção de pessoas altas (altura > 1,75m).

N=4 X1=1,50m X2=1,60m

X3=1,70m X4=1,80m

47/144

Parâmetro

N=4 X1=1,50m X2=1,60m

X3=1,70m X4=1,80m

Proporção populacional: 1/4 = 0,25

48/144

Exemplo

Retira-se uma amostra aleatória simples com 2

elementos (n=2), com reposição.

Qual será a proporção amostral?

Qual é a distribuição de probabilidades da

proporção amostral?

53/144

proporção = número de pessoas altas

tamanho da amostra

Binomial (n=2 , p=1/4)


65/144


Características

= ppa)

66/144

população finita

população infinita oumuito grande ou

amostra com reposição

b)

=p n

p.(1-p)

=p N - 1N - n

n

p.(1-p)


Características

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c1) A distribuição das proporções amostrais é binomial no caso de população infinita. Quando o tamanho da amostra for grande, esta distribuição pode ser aproximada por uma distribuição normal.

c2) A distribuição das proporções amostrais é hipergeométrica no caso de população finita. Quando o tamanho da amostra for grande, esta distribuição pode ser aproximada por uma distribuição normal.


Características

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Exercício

Uma fábrica de pneus alega que 99% de seus produtos possuem vida útil longa (duram mais que 30.000 Km). Tomando-se como verdadeiros estes dados, qual é a probabilidade de uma amostra com 400 pneus apresentar menos que 2% dos pneus com vida útil menor que 30.000 Km?

69/144

Exercício

= 0,004975p

=p n

p.(1-p)

=p 400

0,01.0,99

70/144

Exercício

P0,01 0,02

P(p<0,02)

71/144

Exercício

Z 0,02 =

= 2,010,02 - 0,01

0,004975

Z0 2,01

0,977784

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Exercício 3

Um banco informa que apenas 10% dos 5000 clientes possuem saldo médio acima de $500. Se uma amostra aleatória de 100 correntistas daquele banco for retirada, qual é a probabilidade de haver mais de 15 clientes na amostra com saldo acima de $500?

77/144

Exercício

População finita : Resp = 0,046479

População infinita: Resp = 0,047460

78/144

Modelagem Estatística

Estimação

79/144

Estimação de Parâmetros

População Amostra

p

2

P

S2

X

80/144

Estimação

PopulaçãoAmostra

P

S2

X

?

Conhecidas as estatísticas

(amostra), estimar quais são os

parâmetros (população).

81/144

Estimação

Pontual Estima-se apenas um valorpara o parâmetro.

Intervalar Estima-se um intervalo de valores onde deve-se encontrar o parâmetro (intervalo de confiança).

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Propriedades Desejáveis de um Estimador

Não-tendenciosidade ou justeza: um

estimador é justo (não tendencioso, não

viesado; não viciado) se sua média (ou valor

esperado) for o próprio parâmetro que se

pretende estimar.

83/144

Tendenciosidade

Ex:Média

X

E( ) =

X X

=Xi

n=

Não-tendencioso

84/144

Tendenciosidade

Ex: Proporção

Não-tendencioso

E( ) =

P pP

=P Xi

n=

85/144

E ( ) = 2 n -1 2

Tendenciosidade

(Xi -X

n

^2=

nTendencioso

86/144

E( ) =

2E ( ) = n -1 2

Tendenciosidade

(Xi -X

n 2

= n

Tendencioso

Não-tendencioso

(Xi -X

n-1 2

= S2 = 2 2E(s2) =

87/144

Consistência

Um estimador é consistente se o aumento do

tamanho da amostra leva a uma redução da

variância.

88/144

Eficiência

Um estimador não-tendencioso (E1) é mais

eficiente que outro estimador não-tendencioso

(E2) se a variância de E1 for menor que a

variância de E2.

2E1

2E2

<

89/144

Eficiência

x x x

x x x

x x x

x x xx x x

x x x

x x xx

x xx x x

x x xx x xx x x

x x x

x x x x

x x

x x x

x x x

x x xx

x x

x x x

x x x

x x x

x x xx x x

x x x

x x xx

x xx x x

x x xx x xx x x

x x x

x x x x

x x

x x x

x x x

x x xx

x x

x x x

x x xx x x

x x xx

x x x x x

x x xx x x

x x x

x x x

x x xx

x x

x x x

x x x

x x x

x x xx x x

x x x

x x x

x x xx x x

x x x

x x xx

x xx x x

x x x

x x x x

x xx x x

x x xx

x xx x x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

Não-tendenciososE1 E2 E3

Tendencioso

E1 é mais eficiente que E2

90/144

Métodos de Estimação

Como selecionar o melhor estimador?

Método da Máxima Verossimilhança

Método dos Mínimos Quadrados

Métodos Bayesianos

...

91/144

Intervalos deConfiança

Problema: Estimar 2 limites, dentro dos quais

deve se encontrar o valor real, com um

determinado nível de confiança.

92/144

Exemplo: Média

População infinita (valor real = ) (desconhecido)

93/144

Exemplo: Média

Amostra: média amostral ( )

E( ) =

X

X

=X

n

94/144

Exemplo

População infinita (valor real = ) (desconhecido)

= 10

95/144

ExemploDistribuição Amostral

Amostra: média amostral ( )

X

=X

10

25= 2

96/144

Exemplo

Qual a probabilidade de ser maior que ?X

97/144

Exemplo

Qual a probabilidade de ser maior que ?X

0,50

98/144

Exemplo

Qual a probabilidade de ser maior que 1,96 vezes o desvio padrão?

Qual a probabilidade da distância entre a média populacional (µ) e a média amostral (X) ser maior do que 1,96 vezes o desvio padrão da distribuição amostral da média?

X -

99/144

Exemplo

Qual a probabilidade da distância entre a média populacional (µ) e a média amostral (X) ser maior do que 3,92?

=X

10

25= 2 1,96 . 2 = 3,92

100/144

Exemplo

Qual a probabilidade de ser maior que

1,96 vezes o desvio padrão?

X -

-1,96 0 1,96

0,025 0,025

Resp: 5%

101/144

Exemplo: Média

Se alguém afirmar que X estará a menos de

1,96 vezes o desvio padrão da média (para

mais ou para menos), terá 95% de

probabilidade de estar certo e 5% de

probabilidade de estar errado.

102/144

Simbologia

Probabilidade de erro admitida

(probabilidade do parâmetro encontrar- se

fora do intervalo a ser criado).

No exemplo,

103/144

Simbologia

Grau de confiança(probabilidade

do parâmetro encontrar-se no

intervalo)

No exemplo,

104/144

Simbologia

Limite do I.C. na distribuição

padronizada.

No exemplo,

105/144

Limites

O intervalo é construído somando-se e

diminuindo-se Z vezes o desvio padrão da média

amostral obtida.

106/144

Limites

+-_X xInt. Conf.:

A média da amostra não se diferenciará da

média populacional em mais que Z vezes o

desvio padrão (da distribuição amostral)

107/144

Limites

nx

= N -1N -n

nx

=

+-_X xInt. Conf.:

População infinita

População finita

108/144

Exemplo

Foi retirada uma amostra com 64 elementos de uma população com desvio padrão igual a 100. A média encontrada foi 300. Construir um intervalo para a média com:

a) 90% de confiança

109/144

Exemplo

0Z0,05

5%

110/144

Xn

Exemplo

+-Lim= 300 1,645 64

100 Linf = 279,4

Lsup = 320,620,5625

111/144

Exemplo

b) 99% de confiança

Linf = 267,8

Lsup = 332,2+-Lim= 300 2,575

64100

32,1875

112/144

Encontrar, na tabela da normal reduzida, os

valores de Z para:

Exemplo

113/144

Encontrar, na tabela da normal reduzida, os

valores de Z para:

Exemplo

114/144

+-_X x

Intervalo de Confiança

Média ( conhecido)

n x

= N -1N -n

n x

=

Int. Conf.:


População finita

115/144

Intervalo de ConfiançaMédia

( desconhecido)

Normalmente, não se conhece o desvio padrão da população cuja média se deseja estimar.

Então, utiliza-se um estimador pontual para o desvio padrão populacional.

116/144

s n-1Xi - X)2

s = Desvio padrão da amostra


( desconhecido)

117/144

Nesta situação, a distribuição correta a ser utilizada é a

distribuição “t” de Student, com (n-1) graus de

liberdade. (supondo que a população seja normal).

Obs: se a amostra for grande, pode utilizar-se a

distribuição normal como aproximação.


( desconhecido)

118/144

0 t

normal


( desconhecido)

t

119/144

+-_X t x

Interv.Conf. Média ( desconhecido)

n x

s= N -1

N -n

n x

s=

Int. Conf.:


População finita

^

^

^

120/144

Limites do Intervalo

t - valor limite da distribuição t, para a

probabilidade de erro , com (n-1) graus de

liberdade.

tabela t.

121/144

Exemplo

Encontrar o valor limite de t/2 para:

a) = 1%, com 19 graus de liberdade (amostra

com 20 elementos)

2,861

122/144



com 20 elementos)

1,729

Exemplo

123/144



com 20 elementos)

2,093

Exemplo

124/144



com 30 elementos)

2,045

Exemplo

125/144


a) = 5%, com graus de liberdade

1,960

Comparar este resultado com Z0,025.

8

Exemplo

126/144

Na construção de um motor, o diâmetro dos cilindros é

de grande importância. Em uma pesquisa feita com 5

blocos com 4 cilindros cada (20 furos), o diâmetro

médio encontrado foi 82 mm e o desvio padrão 0,1 mm.

Construir um intervalo com 95% de confiança para este

parâmetro.

Exemplo

127/144

n = 20 (19 graus de liberdade)

s = 0,1 mm

X = 82 mm

= 5% - da tabela: t19 = 2,093

Exemplo

128/144

IC :

LS = 82,05 mm LI = 81,95 mm

81,95 < < 82,05 com 95% de confiança

ns

tc+-

_X 2,093

200,1+-82

0,05

Exemplo

129/144

Intervalo de confiança para

a proporção

População com proporção p (desconhecida).

Amostra com n elementos e proporção p

conhecidos.

130/144


LI P LS

(1-)p

131/144

Intervalo de Confiança

Limites:

+-_P n

P(1-P)(População infinita)

132/144

Exemplo

Foi retirada uma amostra com 100 itens de um grande lote de peças, sendo encontrados 10 defeituosos. Construa um intervalo de confiança com 3% de erro para a percentagem de defeituosos no lote.

133/144

Exemplo

0Z0,05

1,5%

134/144

Lim= 0,10 2,17 +-100

pn

Exemplo

Linf = 0,035

Lsup = 0,165

0,0651

0,10.0,90

135/144

Tamanho de Amostras

136/144

Z/2 n+-

_X

erro máximo (e)


(população infinita)

137/144

Tamanho de Amostras

Média

n

e = Z/2 (erro máximo ou margem de erro)

n = (População infinita)2

e Z/2 x

138/144

Tamanho de Amostras

Média

n = (População finita)2

Z/2 x x N2

2Z/2 x + e (N-1)

2 2

n = (População infinita)2

e Z/2 x

139/144

Estimação “a priori” do desvio padrão:

Estudos passados

Amostra piloto

Fixando-se um valor teórico

Tamanho de Amostras

140/144

Intervalo de ConfiançaProporção

+-_P n

p(1-p)(População infinita)

erro máximo (e)

141/144

Tamanho de Amostras

Proporção

ne = Z/2

p (1-p)

n = (População infinita)p (1-p)Z/22

e2

142/144

Tamanho de Amostras

Proporção

n = (População infinita)p (1-p)Z/22

e2

x p (1-p) x NZ/22

e (N-1)2x p (1-p) + Z/22

n = (População finita)

143/144

Estimação “a priori” da proporção:

Estudos passados

Amostra piloto

Fixando-se um valor teórico (0,5)

Tamanho de Amostras

144/144

Tamanho de Amostras

Se p = 0,5 máximo tamanho de amostra.

n = x 0,25Z2

e2

n = 0,25 x Z x N2

0,25 x Z + e x (N-1)2 2

(população infinita)

(população finita)

1/144 modelagem estatística. 2/144 população e amostra çpopulação: conjunto dos elementos que...

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