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Prof. Marcus Tadeu Pinheiro Silva

Coordenação. de Eletrônica - CEFET-MG

Telecomunicações I

Unidade I (Conceitos Básicos)

Material didático para acompanhamento das aulas

Prof. Marcus Tadeu Pinheiro Silva

Coordenação de Eletrônica

Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais - CEFET-MG

Maio de 2002

Para qualquer crítica ou comentário sobre este texto envie mensagem

para o autor através do endereço eletrônico [email protected]

SUMÁRIO

1 Conceitos Básicos ............................................................................................... 4

1.1 Introdução ............................................................................................................ 4

1.2 Sistemas de Comunicação .................................................................................. 4

1.3 Quantidade de Informação e Entropia ................................................................. 5

1.4 Sinais Elétricos .................................................................................................. 14

1.4.1 Sinais senoidais .............................................................................................. 15

1.4.2 Expressão matemática para o sinal senoidal ................................................. 20

1.4.3 Comprimento de onda ( λ ) ............................................................................. 24

1.5 Sinais não-senoidais ......................................................................................... 26

1.5.1 Filtros passa-baixa e passa-faixa ideais ......................................................... 27

1.5.2 Decomposição da onda quadrada .................................................................. 30

1.5.3 Equação da onda quadrada ........................................................................... 37

1.5.4 Limitação das freqüências presentes nos sinais informação

(ex. do sinal de voz ......................................................................................... 39

1.6 Canal de Voz ..................................................................................................... 42

1.7 Representação do sinal no domínio da freqüência: O Espectro ....................... 44

1.7.1 Espectro de amplitudes e de fases ................................................................ 47

1.7.2 Espectros de Energia e de Potência .............................................................. 54

1.8 Exercícios .......................................................................................................... 61

APÊNDICE A - Histórico do desenvolvimento das Telecomunicações ............ 65

TELECOMUNICAÇÕES I 4

CEFET-MG

UNIDADE I

CONCEITOS BÁSICOS

1.1 Introdução

Nesta unidade serão apresentados conceitos básicos que são indispen-

sáveis para pavimentar o caminho que seguiremos nas próximas unidades do Cur-

so. Por exemplo, para tratar convenientemente de modulação (uma das próximas

unidades) devemos ter total domínio dos sinais senoidais e cossenoidais, sabendo

interpretar e aplicar equações envolvendo tais sinais. Assim, uma grande parte desta

unidade destina-se a tratar especificamente de sinais senoidais abordando tanto a

representação matemática quanto a interpretação das grandezas que caracterizam

tais sinais. Veremos outros conceitos como a composição de sinais não-senoidais,

quantidade de informação, sistemas de comunicação, e largura de faixa para trans-

missão de um sinal de voz. No apêndice da unidade apresenta-se um histórico re-

sumido com os principais fatos relativos ao desenvolvimento das Telecomunicações

1.2 Sistemas de Comunicação

Em uma perspectiva abrangente sistema de comunicação é todo aquele

que possibilita a transmissão de informação entre uma fonte e um destino. Assim,

tanto a divulgação de informações através de jornais e revistas quanto a transmis-

são de dados em um sistema de reserva de passagens aéreas constituem exemplos

de sistemas de comunicação. Mas no caso de nossa disciplina o enfoque é nos mei-

os eletrônicos de transmissão e recepção de informação, e assim o primeiro exem-

plo foge ao nosso interesse, pois o meio de transmissão da informação é o papel

impresso, ou seja, trata-se de um sistema de comunicação por meios não-

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eletrônicos. Por outro lado, o segundo exemplo está dentro do escopo desta discipli-

na pois toda transmissão da informação ocorre através de sinais elétricos.

Qualquer que seja o sistema de comunicação eletrônico além da fonte de

informação e do destino da informação, podemos identificar no mesmo três partes, a

saber: transmissor, receptor e meio de transmissão. A Fig. 1 apresenta um exemplo

de um sistema de comunicação.

Figura 1 – Sistema de comunicação: exemplo de comunicação de dados entre

computadores.

Na Fig. 1 a comunicação pode ocorrer nos dois sentidos, pois tanto o mi-

crocomputador pode enviar dados para o servidor, quanto o inverso pode ocorrer,

com o servidor enviando dados para o microcomputador. Para facilitar a caracteriza-

ção dos componentes do sistema vamos simplificar a situação estabelecendo que

no exemplo acima a comunicação simultânea nos dois sentidos não é possível, ou

seja, quando o microcomputador está enviando dados o servidor fica na condição

exclusiva de receptor e não envia dados, e quando o servidor envia dados é o mi-

crocomputador que fica na condição de receptor apenas. Considere então um perío-

do de tempo em que os dados fluem da esquerda para a direita na FIG. 1. Nesse

momento o microcomputador e o modem constituem o transmissor do sistema de

comunicação, enquanto o servidor e seu respectivo modem constituem a parte re-

ceptor. Sempre a rede de telefonia constitui o meio de transmissão do sistema.

Quanto a fonte e destino da informação podemos exemplificar considerando a fonte


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um arquivo armazenado no microcomputador, e para destino podemos considerar

um outro arquivo no servidor.

Além das três partes básicas indicadas acima, normalmente nos sistemas

de comunicação a parte receptora e a parte transmissora se subdividem em outras

unidades. Temos o transmissor constituído por circuitos de processamento de si-

nal e por circuitos de modulação e/ou codificação. No receptor temos outros cir-

cuitos de processamento de sinal e circuitos de demodulação e/ou decodifica-

ção.

Na FIG. 1, um exemplo óbvio de processamento de sinal no transmissor é

a serialização dos bits que são transmitidos entre o computador e o modem através

da interface serial. Dentro do computador os bits de informação normalmente fluem

em paralelo, em agrupamentos de 8, 16, 32 ou 64 bits. Todavia, na interligação entre

o computador e periféricos externos à máquina muitas vezes convém enviar a infor-

mação em série, pois isto reduz o número de fios na interligação; imagine o des-

conforto que seria utilizar um mouse com interface paralela, onde o cabo seria gros-

so, pois tal interface necessita de mais de 8 fios. No nosso exemplo esse processa-

mento de sinal (serialização) é revertido na chegada da informação no servidor, ou

seja, no receptor. Na chegada da informação os bits em série vindos do modem são

novamente paralelizados através da interface serial do servidor.

Como exemplo de circuitos de modulação e demodulação temos aqueles

presentes no modem tanto do lado receptor quanto do lado transmissor. A necessi-

dade de processos de modulação é justificada pelo fato da rede convencional de te-

lefonia não ser adequada para a transmissão de sinais digitais. A função dos circui-

tos de modulação no modem do transmissor é exatamente transformar os sinais cor-

respondentes aos bits a serem transferidos em uma forma de onda adequada à linha

telefônica. Novamente, como esperado, no lado receptor temos no modem circuitos

de demodulação que revertem o processo do modem transmissor.


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Na FIG. 1 também é apresentada uma representação do componente in-

desejável em qualquer sistema de comunicação. Tal componente indesejável é o

ruído. Contudo, apesar de indesejável não existe uma forma de eliminar totalmente o

ruído nos sistemas de comunicação. Assim, o que é feito no projeto dos sistemas de

comunicação práticos é uma minimização do ruído dentro de níveis que tornem o

sistema economicamente viável e ao mesmo tempo eficiente na transmissão da in-

formação. O ruído pode ser entendido como um sinal com variações de nível impre-

visíveis e que contém componentes de freqüência tão baixas como 60 Hz a até tão

altas quanto milhares de GHz. O ruído tanto é gerado internamente pelos próprios

componentes utilizados na construção dos equipamentos (semicondutores, conduto-

res, resistores, etc.) quanto por fontes externas (ignição de automóveis, contatos de

motores elétricos, descargas atmosféricas, irradiações do sol e das estrelas, etc.).

Na FIG. 1, representou-se o ruído de uma forma que talvez leve-nos a imaginar que

ele só atua no meio de transmissão, contudo, pelo que foi dito acima, na realidade

não é isto que ocorre, pois o ruído também existirá dentro dos circuitos eletrônicos

dos modens e dos computadores, e estará sendo induzido nos cabos da interface

serial. Mas, sem dúvida, no sistema representado na FIG. 1, e na maioria dos siste-

mas, o ruído mais importante é aquele que atua ao longo do meio de transmissão.

Isto ocorre basicamente porque em geral é no meio de transmissão que os sinais

atingem seus níveis mais baixos de intensidade, podendo com maior facilidade ser

adulterados pelo ruído interno e externo. Além disso, as distâncias envolvidas no

meio de transmissão são muito maiores que aquelas relativas a dimensão do trans-

missor e do receptor, logo, é maior a probabilidade de que o ruído externo afete

mais os sinais no meio de transmissão do que nas outras partes do sistema.

A exposição feita acima quanto aos sistemas de comunicação e o exem-

plo utilizado tem um caráter introdutório. Diversos termos importantes para a área de

Telecomunicações, tais como modulação e demodulação, foram utilizados acima,

mas, no ponto em que estamos a exposição permite que tenhamos apenas uma pe-

quena noção do significado dos mesmos. No restante deste texto e nas próximas

unidades deste Curso faremos o estudo detalhado de tais conceitos, além de outros


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que são fundamentais para qualquer pessoa envolvida com comunicações por mei-

os eletrônicos.

1.3 Quantidade de informação e quantidade média de informação

Um sistema de comunicação só tem sentido na medida em que possibilite

a transmissão de informações entre uma origem (fonte) e um destino. Assim, é con-

veniente que inicialmente tenhamos uma noção do que é informação e de como

quantificar o seu envio através dos sistemas de comunicação.

Em telecomunicações uma informação pode ser entendida como uma

certeza que é passada (transmitida) entre a fonte de informação e o destino da in-

formação do sistema. Antes da entrega da informação temos uma incerteza no des-

tino da informação do sistema, após a entrega da informação tal incerteza é elimina-

da. Por exemplo, suponha um portão de garagem controlado por controle remoto.

Para esse sistema simples a informação consiste de duas possibilidades (informa-

ção binária): abrir ou fechar o portão. Nesse caso o destino da informação pode ser

um único flip-flop na saída do receptor de controle remoto. Com base no conteúdo

desse flip-flop o circuito lógico que controla o motor de acionamento do portão toma

a decisão de abri-lo ou fecha-lo. A incerteza para o exemplo simples do portão con-

siste simplesmente de saber QUANDO abrir ou fechar o portão. Ou seja, se o portão

está fechado com certeza ele só pode ser aberto, a incerteza encontra-se em saber

quando abri-lo, onde tal incerteza só é eliminada quando o usuário pressiona o bo-

tão do transmissor do controle remoto. Raciocínio análogo vale para o caso do por-

tão inicialmente aberto.

Acima vimos o conceito de informação, mas além de tal conceito, em tele-

comunicações também é importante mensurar (medir) a quantidade de informação

que é transmitida pelos diversos sistemas. Em termos qualitativos a grandeza

quantidade de informação, relaciona-se com quão surpreendente é a informação

para o destinatário da mesma. Por exemplo, considere uma pessoa que esta atuali-


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zada com fatos esportivos, e que está trabalhando na Internet. Se esta pessoa car-

regar uma página de notícias e encontrar a manchete “Olimpíadas XXXX, basquete

masculino dos Estados Unidos é derrotado pela Turquia” ela ficará muito mais sur-

preendida do que no caso de encontrar a manchete “Eliminatórias da Copa XXXX,

Brasil vence Venezuela por 3 a 0”. Neste exemplo, a primeira mensagem traz muito

mais informação para o destinatário do que a primeira, basicamente porque a primei-

ra mensagem é surpreendente, enquanto a segunda poderia até ser esperada pelo

destinatário.

Para tratar da grandeza quantidade de informação em valores numéricos,

devemos fazer a restrição de que nossas mensagens se originam de fontes digitais

de informação, ou seja, a mensagem está codificada sob a forma de dígitos que va-

riam em pequenos passos ao longo do tempo. Em uma fonte analógica de informa-

ção a forma de onda relativa à mensagem varia com o tempo de forma contínua,

contudo para este tipo de fonte a formulação matemática para a quantidade de in-

formação é muito mais complexa do que no caso digital. Além disso, pode-se apro-

ximar uma fonte analógica usando uma fonte digital. Assim, considere inicialmente

que várias mensagens diferentes possam ser geradas por uma fonte digital. Quando

tal fonte digital envia a j-ésima mensagem, lembrando que posteriormente a mesma

será recebida por um destinatário do sistema de comunicação, tem-se que esta

mensagem carrega uma quantidade de informação dada por:

jj P

I1

log 2= (bits) Equação. 1

Onde:

Ij = quantidade de informação correspondente a j-ésima mensagem. É um valor me-

dido em bits.

Pj = probabilidade de transmissão da j-ésima mensagem. É um valor sem dimensão

que varia entre 0 e 1. Para entender em linhas gerais que significa probabilida-


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de, imagine uma pessoa que joga cara-coroa várias vezes. Se esta pessoa jogar

a moeda um número cada vez maior de vezes ela verificará, cada vez com mai-

or exatidão, que a cada jogada a chance dela obter cara é a mesma dela obter

coroa, ou seja, 50% (0,5) para cada possibilidade. O valor da probabilidade da

mensagem estabelece de forma quantitativa quão surpreendente ou não é a

mesma, e assim podemos quantificar a informação correspondente a mensa-

gem.

Observação: neste tópico bit representa uma grandeza para medida de

informação, ou seja um bit representa uma unidade de informação, o que pode ser

diferente do uso da palavra bit no âmbito de eletrônica digital.

Como normalmente as calculadoras, mais simples, não vem equipadas

com função para cálculo de logaritmo na base 2, é conveniente obter uma equação

usando logaritmo na base 10, equivalente a EQ. 1, pois o logaritmo na base 10

sempre está presente nas calculadoras científicas. Temos das propriedades dos lo-

garitmos que

2loglog

log10

102

XX =

Aplicando a propriedade acima na EQ. 1 obtemos:

2log

1log1

log10

10

2

== j

jj

P

PI ou seja

2log

1log

10

10

= j

j

PI (bits)

Equação 2

Exemplo 1.1:

Em um sistema de gerenciamento de dados de prontuários médicos, em

uma rede de computadores, o usuário fornece o código numérico correspondente ao

prontuário que deseja consultar, e o sistema responde inicialmente com uma res-

posta entre quatro possibilidades. As possibilidades são: a) prontuário presente mas


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temporariamente não disponível, b) prontuário não existe, c) possível código errado,

verifique e repita a solicitação e d) prontuário presente e disponível. Fazendo a esta-

tística de acesso ao sistema, verificou-se que para cada acesso a possibilidade de

obter a resposta “a” é 2%, a resposta “b” 24%, a “c” 30% e a “d” 44%. Calcule a

quantidade de informação para cada uma das respostas do sistema.

Solução:

Como são 4 possibilidades de resposta do sistema temos que 2 posições

de bit bastam para carregar tal informação. Cada uma destas 4 seqüências de 2 bits

carrega um quantidade de informação diferente da outra, pois cada uma representa

uma ocorrência de probabilidade diferente. Aplicando a EQ. 1 (ou a EQ. 2) para

cada uma das possibilidades indicadas acima temos os seguintes resultados:

Probabilidade resposta “a” = 2% ⇒ Pa = 0,02, logo Ia = log2 (1/0,02),

ou seja, a quantidade de informação da resposta “a” é Ia = 5,64 bits

Probabilidade resposta “b” = 24% ⇒ Pb = 0,24, logo Ib = log2 (1/0,24),

ou seja, a quantidade de informação da resposta “b” é Ia = 2,06 bits

Probabilidade resposta “c” = 30% ⇒ Pc = 0,30, logo Ic = log2 (1/0,30),

ou seja, a quantidade de informação da resposta “c” é Ic = 1,74 bits

Probabilidade resposta “d” = 44% ⇒ Pd = 0,44, logo Id = log2 (1/0,44),

ou seja, a quantidade de informação da resposta “d” é Id = 1,18 bits

Como esperado, os resultados acima mostram que quanto maior a proba-

bilidade de ocorrência de uma mensagem menor a quantidade de informação que a

mesma transporta. Outro ponto de interesse é que podemos tirar a prova quanto a

estatística que define as probabilidades de cada uma das mensagens do sistema de

comunicação. Sempre que temos m possíveis mensagens a soma das probabi-


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lidades das mensagens individuais deve resultar igual a 1. Ou seja, com certeza

(valor 1) somente uma dentre as m possíveis mensagens estará presente na saída

da fonte de informação a cada momento, não existindo a possibilidade de outra

ocorrência na saída. O Exemplo 1.1 também ilustra este aspecto, pois realizando a

operação, 0,44 + 0,02 + 0,30 + 0,24 obtemos como resultado o valor 1.

Via de regra, como no Exemplo 1.1, para cada mensagem gerada pela

fonte digital varia o conteúdo de informação, desde que algumas deverão ser mais

prováveis de ocorrer que outras, ou seja, Pj variará de mensagem para mensagem.

Assim, é importante quantificar também a média de informação gerada (absorvida)

pela fonte (destino) digital. A expressão para esta média de informação gerada (ab-

sorvida) é:

mm IPIPIPIPH ++++= L332211 (bits) Equação 3

Onde:

H é a média de informação por mensagem, sendo denominada Entropia da

fonte de informação.

m é o número máximo de possíveis mensagens.

P1 é a probabilidade de ocorrer a mensagem 1, P2 é a probabilidade de ocorrer a

mensagem 2, e assim por diante.

I1 é a quantidade de informação da mensagem 1, I2 é a quantidade de informação da

mensagem 2, e assim por diante.

Exemplo 1.2:

Em um sistema de comunicação digital, onde a sinalização é em dois ní-

veis, o número máximo de possíveis mensagens que podem ser recebidas no desti-

no é 16. Sendo que para as mensagens 1, 2, 15 e 16 a probabilidade é 2%, para as

mensagens 3, 4, 13 e 14 a probabilidade é 5%, para as mensagens 5, 6, 7, 10, 11,

12 é 8%, e para as mensagens 8 e 9 é 12%. Calcule a média de informação por

mensagem (entropia) do sistema.


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Solução:

Como são 16 possíveis mensagens, sinalizadas em dois níveis, temos

que as mensagens se constituem de seqüências com 4 posições de bit. Além disso,

as várias mensagens se dividem em 4 grupos quanto a probabilidade de ocorrência.

Para calcular a entropia inicialmente obtemos as diferentes quantidades de informa-

ções das mensagens, usando para isto a EQ. 1 (ou a EQ. 2), e, a seguir, aplicamos

a EQ. 3. Os resultados obtidos são:

GRUPO I - Probabilidade das mensagens 1, 2, 15 e 16 é 2% ⇒ P1 = P2 =P15 = P16 =

0,02

Logo I1 = I2 = I15 = I16 = log2 (1/0,02)= 5,64 bits

GRUPO II - Probabilidade das mensagens 3, 4,13 e 14 é 5% ⇒ P3 = P4 =P13 = P14 =

0,05

Logo I3 = I4 = I13 = I14 = log2 (1/0,05)= 4,32 bits

GRUPO III - Probabilidade das mensagens 5, 6, 7, 10, 11, 12 é 8% ⇒ P5 = P6 =P7 =

P10 = P11 = P12 = 0,08

Logo I5 = I6 = I7 = I10 = I11 = I12 = log2 (1/0,08)= 3,64 bits

GRUPO IV - Probabilidade das mensagens 8 e 9 é 12% ⇒ P8 = P9 = 0,12

Logo I8 = I9 = log2 (1/0,12)= 3,06 bits

H = P1I1 + P2I2 + P3I3 + P4I4 + P5I5 + P6I6 P7I7 + P8I8 + P9I9 + P10I10 + P11I11 + P12I12 +

P13I13 + P14I14 + P15I15 + P16I16

H = 4(0,02·5,64) + 4(0,05·4,32) + 6(0,08·3,64) +2(0,12·3,06)

H = 3,8 bits

O exemplo acima mostra um exemplo onde as mensagens são constituí-

das de seqüências com 4 posições de bit. Por outro lado, a quantidade de informa-

ção média em cada mensagem é de 3,8 bits, ou seja, um pouco menor que o núme-


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ro de posições de bit. Essa ocorrência é comum, e decorre das definições de I e H.

Quando as diversas mensagens possuem probabilidades diferentes, H é sempre

menor que o número de posições bit do código das mensagens. Agora, se todas

mensagens tem a mesma probabilidade, H será exatamente igual ao número posi-

ções de bit do código das mensagens.

O propósito desse tópico foi apenas apresentar de forma básica o con-

ceito de informação sob o enfoque que interessa em Telecomunicações. Esse as-

sunto, denominado Teoria da Informação, teve suas bases teóricas lançadas em

1948 por Claude Shannon e seu desenvolvimento completo é bastante complexo. O

leitor interessado em mais detalhes encontrará uma boa introdução à teoria da in-

formação no bom livro “Você e as Telecomunicações” de Ovídio Barradas (1995).

1.4 Sinais Elétricos

Um sinal elétrico constitui-se de uma grandeza elétrica (em geral uma

tensão) que varia com o tempo. Exemplos de sinais elétricos bastantes comuns são

as formas de onda senoidal e quadrada. Na maioria das situações as pessoas utili -

zam em sua comunicação a informação sob a forma de sons (voz, música, tons)

e/ou imagens (gestos, textos, fotografias, vídeo, pinturas, desenhos, etc.). Estas

formas (ondas sonoras e ondas eletromagnéticas visíveis) não podem ser utilizadas

diretamente em sistemas que se baseiam em dispositivos elétricos e eletrônicos, e

assim, os sistemas de comunicações eletrônicos utilizam para a transmissão da in-

formação sinais elétricos, sendo que tais sinais se originam de conversões dos sons

ou imagens que as pessoas utilizam cotidianamente em sua comunicação. Desta

maneira, qualquer sistema de comunicação possui etapas de conversão de uma

forma para outra. Por exemplo, supondo um sistema de comunicação do tipo inter-

comunicador residencial, temos uma etapa no sistema que consiste na conversão da

onda sonora de voz em sinal elétrico, através de um microfone e, posteriormente, no

mesmo sistema, temos uma etapa reversa que consiste na conversão do sinal elétri-


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co relativo à voz de volta em onda sonora, o que é feito por um alto-falante. A FIG. 2

apresenta um exemplo da conversão indicada acima.

Enfatizando a definição dada no início, vemos que, como apresentado, na

FIG. 2, o sinal correspondente à informação é uma tensão que varia seu valor com o

tempo.

Figura 2 – Exemplo de sinal elétrico: atuação do microfone na conversão de

onda sonora de voz em sinal elétrico

1.4.1 Sinais senoidais

Uma das formas de onda mais comuns na área de telecomunicações é a

senoidal. Como será visto algumas aulas à frente, quando transmitimos através do

meio de transmissão, seja este meio uma linha de transmissão ou o espaço livre en-

tre as antenas, muitas vezes utilizamos uma onda senoidal “modificada”, sendo que

a modificação tem origem no sinal correspondente a informação que devemos

transmitir. Além disso, várias vezes no estudo de Telecomunicações fazemos a su-

posição de que o sinal de informação também é senoidal. Esta suposição simplifica

bastante a análise do sinal que transporta a informação através do meio de trans-

missão.


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Tendo em vista sua importância em nossos estudos vamos analisar agora

as características do sinal senoidal.1 Especificamente, verificaremos as característi-

cas de freqüência, amplitude e valor médio. Observe o sinal representado na FIG. 3.

Como apresentado na FIG. 3 em um intervalo de tempo de 250 ms o sinal

varre toda a faixa de valores correspondente a um ciclo de 360 graus da função

seno. Além disso, na representação do gráfico do sinal senoidal nós vemos que ele

se repete, continuamente, em intervalos fixos de 250 ms, ou seja, nos temos um si-

nal periódico. A freqüência ( f ) de um sinal periódico é a característica que nos diz

em cada intervalo de um segundo quantas vezes o sinal se repete, ou seja, freqüên-

cia significa número de ciclos em cada segundo, e assim sua unidade é o inverso do

segundo (1/s), pois o número de ciclos é uma quantidade sem dimensão. Mas, para

a unidade de freqüência foi adotado o nome especial de Hertz (Hz), o qual obvia-

mente correspondente a 1/s (1 Hz = 1/s; 10 Hz = 10/s; ...). Para o exemplo da FIG. 3

temos um sinal de 4 Hz, pois em um segundo o sinal repete 4 ciclos senoidais.

Figura 3 – Sinal senoidal

1 Neste item nos referimos apenas a sinal senoidal, contudo, tudo que for estabelecido para este tipo

de sinal pode ser estendido para o sinal cossenoidal. Lembre-se que seno e cosseno são as funções

trigonométricas estreitamente relacionadas (p. ex. basta acrescentar um ângulo fixo de 90o ao argu-

mento de uma das funções para transformá-la na outra).


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Outra grandeza importante é o tempo necessário para que se desenvolva

um único ciclo completo de variação do sinal periódico, o que é denominado período

( T ) do sinal, sendo o mesmo medido em segundos. Como já foi observado, o sinal

da FIG. 3 gasta 250 ms para fazer a variação completa de 360 graus da função

seno, logo, o sinal tem período de 250 ms. É intuitivo que freqüência e período se-

jam grandezas relacionadas, pois se um sinal se repete “n” vezes por segundo, o

tempo necessário para um único ciclo se desenvolver é 1/n. Logo podemos escre-

ver:

Tf

1=

Finalmente, a amplitude (A) do sinal indica a faixa de valores de tensão

que o sinal varre a medida que se desenvolve. Quando medimos um sinal na tela do

osciloscópio podemos medir sua amplitude em valores de pico-a-pico (Vpp) ou em

valores de pico (Vp), sendo que no osciloscópio é muito mais fácil medir o valor de

pico-a-pico. A maior dificuldade na medida de valor de pico não representa qualquer

problema pois o valor de pico corresponde exatamente a metade do valor de pico-a-

pico (Vp = Vpp/2). Por outro lado, quando tratamos dos sinais senoidais em termos

formais, ou seja, desejamos escrever equações, é apenas o valor de pico que nos

interessa, pois tal valor corresponde exatamente ao valor de A que devemos usar na

equação que descreve o sinal senoidal. Assim, a não ser em caso de observação

em contrário, nesse texto sempre que nos referirmos ao valor de amplitude de um

sinal estaremos nos referindo a seu valor de pico (A = Vp). No caso da FIG. 3 temos

um sinal de amplitude igual a 2 (A = 2).


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Figura 4 – Determinação do valor médio de um sinal.


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Determinar o valor de pico ou amplitude de um sinal senoidal não é tarefa

complicada, mas se deve ter o cuidado de levar em conta o valor médio2 (Vcc) do

sinal nesta determinação, pois tal valor médio representa uma característica do sinal

que se distingue de sua amplitude. Quando um sinal tem valor médio nulo, tal como

na FIG. 3 a amplitude (A) do sinal é simplesmente valor máximo que ele atinge. Po-

demos dizer que, considerando apenas sinais senoidais com valor médio nulo, o

valor de A corresponde ao valor de pico, tal como medido em um osciloscópio na

posição CA (corrente alternada). Reforçando mais, no caso da FIG. 3 temos um sinal

de amplitude igual a 2, pois 2 volts é o valor mais alto (Valormax ) de tensão que ele

atinge e tal sinal apresenta valor médio nulo. Quando o sinal senoidal apresenta va-

lor médio diferente de 0 para definir seu valor de amplitude devemos levar em conta

seu valor médio. No caso de sinal senoidal o valor médio pode ser obtido através da

EQ. 4 e o valor de A pode ser obtido através da EQ. 5. O estabelecimento dessas

relações é intuitivo e você pode aplicá-las agora para verificar os resultados apre-

sentados na FIG. 4.

2minmax ValorValor

VCC

+= (volts) Equação 4

CCVValorA −= max (volts) Equação 4a

2 A definição de valor médio de um sinal, ou valor CC (de corrente contínua), é relação entre a área

resultante em um período e o tempo correspondente ao período. A área resultante é a diferença entre

a área do sinal acima do eixo do 0 (área(+)) e abaixo do eixo do 0 (área(-)). Verifique o conceito de

valor médio de um sinal através do exemplo da FIG. 4.


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1.4.2 Expressão matemática para o sinal senoidal

A seguir obteremos a expressão geral para o sinal senoidal. Para chegar

a este resultado faremos uma análise passo a passo, partindo de uma situação par-

ticular muito simples. Primeiramente, é oportuno recordar a característica básica da

função seno. O seno expressa um valor numérico entre -1 e +1, a medida que se

aplica ao mesmo um ângulo, de acordo com o chamado ciclo trigonométrico. Pen-

sando na função seno por si só, podemos escrever em termos matemáticos

que y (θ) = sen θ, onde θ é o ângulo medido ao longo do ciclo trigonométrico.

Iniciemos agora nosso raciocínio em direção a uma expressão geral para

o sinal senoidal partindo da equação mais simples e que ainda é capaz de descrever

um sinal periódico. Tal equação é:

( ) tte sen= (volts) Equação 5

Traçando um gráfico para este sinal obtemos o resultado da FIG. 5.

É importante enfatizar novamente que o seno é uma função matemática

onde o valor do argumento deve sempre corresponder a um ângulo. Este ângulo

para a função seno pode ser dado em graus ou radianos (rad). Contudo, quando

trabalhamos com sinais não é conveniente expressarmos o ângulo em graus, e as-

sim, para sinais elétricos usamos apenas o valor em radianos. Sendo assim, na EQ.

05 esta implícita uma constante de multiplicação para o tempo, que no caso não é

apresentada pois vale 1. Contudo, esta constante tem uma unidade que é rad/s, ou

seja, uma velocidade angular, de tal forma que para cada valor de tempo, em se-

gundos, aplicado a EQ. 5 obtenhamos um valor de ângulo, em radianos, para a fun-

ção seno. O símbolo para a velocidade angular é a letra grega ω (ômega).


CEFET-MG

Figura 5 – Gráfico para o sinal expresso pela EQ. 5

Com a análise feita acima quanto ao argumento para a função seno po-

demos fazer a primeira generalização, escrevendo a expressão para o sinal da

FIG. 5, na forma:

( ) ( )tte ωsen= Equação 6

Onde fazendo ω = 1 rad/s obteremos a expressão original da EQ. 5.

Observando novamente a FIG. 5 vemos que o sinal representado tem um

período igual 2π segundos, o que significa que sua freqüência é:

Hzπ21

Considerando que o ω indica a velocidade na qual o sinal varre o valores

de ângulo a medida que o tempo passa, e o período é o tempo necessário para que

o sinal faça a variação do ciclo de 360o (2π radianos), chegamos a conclusão que as

duas grandezas estão relacionadas. Quando o t aplicado a EQ. 6 for o período T, o

valor de ω.t deverá equivaler a 2π (ou 360o), ou seja:

πω 2. =T


CEFET-MG

Desta análise obtemos então que:

Tπω 2=

Lembrando que, T

f1= também podemos escrever que

fπω 2=

Nossa expressão geral continua sendo ( ) ( )tte ωsen= , mas agora temos

relacionamentos entre ω e a freqüência do sinal ( )fπω 2= , e entre ω e o período do

sinal ( )T/2πω = , o que nos permite escrever:

( ) ( )tfte π2sen= (volts)

Sendo que para o caso particular do sinal da EQ. 5 π21=f Hz.

O próximo passo no sentido da generalização é considerar um desloca-

mento do sinal da FIG. 5, ao longo do eixo do tempo, resultando no sinal da FIG. 6.

Figura 6 – Sinal senoidal com ângulo inicial


CEFET-MG

Como apresentado, agora para o tempo 0 (zero) nosso sinal tem um valor

que corresponde ao valor da FIG. 5 em um tempo um pouco maior. Para expressar

este deslocamento matematicamente basta acrescentar à ω.t um ângulo constante

correspondente ao ângulo cujo seno resulta no valor de e(t) para t = 0 na FIG. 6, ou

seja:

( ) ( )φπ += tfte 2sen

onde tanto na FIG. 6 quanto na FIG. 5 ω vale 1/(2.π), mas, enquanto na FIG. 5 φ vale

0, na FIG. 6 ele vale π/3 radianos (60o). A unidade para a chamada constante de

fase, φ, é obviamente radianos, pois, relembrando, o seno é uma função onde o va-

lor do argumento entre parênteses deve ser sempre uma medida de ângulo.

Falta apenas o ultimo passo no sentido da generalização. Ele correspon-

de ao fato de que em todas equações anteriores sempre a amplitude máxima de

nosso sinal era 1 volt, pois os valores extremos da função seno são -1 e +1. Para

expressarmos sinais de diferentes amplitudes basta que acrescentemos uma cons-

tante multiplicando a função seno. O valor desta constante dará o valor máximo de

nosso sinal. o qual agora poderá ser menor, igual, ou maior que 1 volt, conforme o

valor dessa constante. Colocando isto matematicamente temos a equação mais ge-

ral para um sinal senoidal:

( ) ( )φπ += tfAte 2sen Equação 7

Tanto no caso da FIG. 5, quanto no da FIG. 6, o valor da constante A é

igual a1 e, assim, ela não foi explicitada.

Enquanto isso, para o sinal da FIG. 3, temos A = 2, enquanto ω vale 8.π e

φ vale 0.


CEFET-MG

1.4.3 Comprimento de Onda ( λλ )

Comprimento de onda ( λ ) é a grandeza que indica em qual extensão fí-

sica do meio de transmissão um ciclo do sinal se “espalha” ao propagar-se pelo

meio. Primeiramente, devemos recordar que um sinal elétrico não se propaga ins-

tantaneamente em um circuito, ou seja, supondo tanto as conexões em uma placa

de circuito impresso quanto uma ligação por cabo entre dois equipamentos, nós te-

mos sempre um tempo maior que 0 (zero) para que o sinal saia de um ponto e che-

gue a outro. Contudo, como a velocidade de propagação do sinal elétrico é muito

alta (da ordem de centenas de milhares de km por segundo), e as distâncias entre

os dispositivos dos sistemas eletrônicos em geral são pequenas, em freqüências

abaixo da faixa de UHF3 normalmente podemos aproximar a velocidade de propaga-

ção considerando-a infinita (propagação instantânea). Mas, em comunicações mui-

tas vezes não devemos ou não poderemos fazer essa aproximação, e o conceito de

comprimento de onda torna-se importante nestes casos. Vamos verificar então em

que consiste exatamente a característica de comprimento de onda.

Sendo finita a velocidade de propagação ( vp ou velp ) do sinal, quando

ele se propagar por grandes distâncias e/ou for de freqüências elevadas, diferentes

pontos do meio de transmissão apresentarão diferentes valores do sinal, tal qual o

sinal se espalhasse ao longo do meio.

Por exemplo, se um sinal senoidal de 300 MHz propaga com velocidade

de 200 mil km/s por um cabo entre a saída de um gerador de sinais senoidais e a

entrada de um osciloscópio, qual comprimento deve ter o cabo de tal forma que na

entrada do osciloscópio a tensão seja igual a tensão na saída do gerador atrasada

de um tempo igual a um período do sinal? Pela definição de comprimento de onda o

que estamos tentando determinar é a extensão de cabo correspondente a um λ do

sinal de 300 MHz .

3 UHF (Ultra High Frequency) é uma das faixas de freqüências em que é dividido o espectro eletro-

magnético. Sinais de UHF tem freqüências entre 300 MHz e 3000 MHz (3 GHz).


CEFET-MG

O tempo de atraso entre a saída do gerador e a entrada do osciloscópio

é:

tatraso = T = 1 / f = ( 1 / 300.106 ) s

A velocidade do sinal em propagação no cabo é:

velp = 200.103 km/s = 200.106 m/s

Logo, a distância entre o gerador e o osciloscópio deve ser:

distância = λ = velp .tatraso = velp .T

distância = 200.106 m/s.(1/300.106) s = 2/3 m = 0,667 m

λ ≈ 0, 67 m = 67 cm

A partir da análise acima podemos expressar o comprimento de onda de

duas formas:

λ = velp .T e, sendo T = 1 / f obtemos:

f

velp=λ Equação 8

Se pudéssemos observar a tensão em cada ponto do cabo em um certo

instante de tempo, t’, obteríamos o gráfico da FIG. 7. Note que o gráfico apresentado

tem no eixo x a distância ao longo do cabo.


CEFET-MG

Figura 7 – Tensão ao longo de um cabo cujo comprimento é igual ao λλ de um

sinal de 300 Mhz, para um instante particular de tempo t = t’, sendo

a amplitude do sinal aplicado a entrada do cabo 5 Vpp e a velocida-

de de propagação igual a 2.108 m/s.

1.5 Sinais não-senoidais.

Sinais não-senoidais são a forma natural em que se apresentam as infor-

mações e grandezas do mundo real quando convertidas em sinais elétricos, e pode-

se ter uma noção disto analisando, por exemplo, as conversões de som e imagem

em sinal elétrico, e sinais de diagnóstico cardíaco e cerebral. Na FIG. 2 você viu um

exemplo de sinal não-senoidal sendo obtido na conversão das ondas sonoras de

voz. Você nota que neste sinal aparentemente não é possível identificar as grande-

zas que usamos para caracterizar o sinal senoidal, ou seja, freqüência, amplitude,

fase. Todavia, como será mostrado mais adiante, em um exemplo simples, pode-se

montar um sinal não-senoidal a partir da soma de vários sinais senoidais de fre-

qüências, amplitudes e fases diferentes. Colocando de outro modo, podemos dizer

que sinais não-senoidais são constituídos de somas de sinais senoidais de diferen-

tes freqüências e amplitudes. Inicialmente, precisamos estabelecer os conceitos de

filtros passa-baixa e passa-faixa, pois tais conceitos são indispensáveis para a se-

guir compreender os testes apresentados no estudo da composição do sinal onda

quadrada.


CEFET-MG

1.5.1 Filtros passa-baixa e passa-faixa ideais

Considere um circuito que é capaz de bloquear totalmente os sinais se-

noidais a partir de uma certa freqüência fc , onde fc é o símbolo para freqüência de

corte. Abaixo desta freqüência fc o circuito não tem qualquer efeito sobre o sinal se-

noidal, ou seja, se o sinal tem freqüência menor que fc e uma amplitude de, por

exemplo, 1 Vpp, na saída do circuito o sinal obtido será uma reprodução fiel daquele

da entrada, possuindo a mesma freqüência e amplitude. Por outro lado, se o sinal

senoidal aplicado ao circuito possuir uma freqüência maior que fc, independente de

sua amplitude, ele será totalmente bloqueado e a saída do circuito será uma tensão

nula. Analisando a situação descrita em termos de ganho de tensão Av,

( )ENTSAÍDAEEA = , podemos dizer que até a freqüência fc o circuito tem ganho 1, e

para freqüências acima de fc o ganho de tensão do circuito é 0 (zero). Toda descri-

ção feita acima quanto ao comportamento do circuito pode ser resumida através de

um gráfico de resposta de freqüência, como apresentado na FIG. 8a, e em concor-

dância com seu comportamento o circuito é denominado filtro passa-baixas ideal. O

termo ideal justifica-se pelo fato do resultado exato descrito pela FIG. 8a não poder

ser obtido na prática, ou seja, não é possível construir um circuito real com o com-

portamento da FIG. 8a, embora seja possível construir circuitos eletrônicos cujo

comportamento aproximam-se bastante do resultado da FIG. 8a.


CEFET-MG

Figura 8 - a) gráfico de resposta de freqüência de um filtro passa-baixas (FPB)

ideal; b) exemplo do comportamento de um FPB quando o sinal de en-

trada “cai” dentro de sua faixa de passagem (abaixo de fc ); c) exemplo

do comportamento de um FPB quando o sinal de entrada “cai” fora de

sua faixa de passagem (acima de fc ).

Um outro tipo de filtro é o passa-faixa, o qual é bastante utilizado em

equipamentos de Telecomunicações. Trataremos aqui apenas do comportamento

ideal de tal filtro. O comportamento do passa-faixa ideal pode ser descrito conside-

rando três faixas de freqüência. Assim: i) o filtro bloqueia totalmente os sinais de fre-

qüência 0 até uma certa freqüência fc1; ii) o filtro bloqueia totalmente os sinais desde

uma freqüência infinita até uma certa freqüência muito menor fc2, sendo que fc2 > fc1;

iii) entre as freqüências fc1 e fc2 o filtro passa a responder aos sinais, permitindo que

eles apareçam na saída da mesma forma como se apresentavam na entrada


CEFET-MG

(Av =1). Todo o comportamento descrito pode ser visualizado como no exemplo da

FIG. 9. Novamente, como no caso do passa-baixas também para o passa-faixa é

possível construir circuitos reais com comportamento próximo do ideal.

Figura 9 - Comportamento de um filtro passa-faixa ideal: a) sinal de entrada

com freqüência abaixo da faixa de passagem; b) sinal de entrada

com freqüência dentro da faixa de passagem; c) sinal de entrada

com freqüência acima da faixa de passagem.


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1.5.2 Decomposição da onda quadrada

A proposta deste tópico é mostrar como um sinal não-senoidal será afeta-

do pelo valor da freqüência de corte de diversos filtros ideais, e para isto utilizaremos

o exemplo de uma onda quadrada de 500 Hz, com amplitude de 1 Vpp sendo apli-

cada a tais filtros. Serão vários filtros com diferentes fc. Faremos a análise do com-

portamento do sinal de saída a medida em que variarmos o valor de fc apenas para

uma situação bem particular, onde o sinal de entrada é a onda quadrada de 500 Hz,

contudo os resultados obtidos serão bastante ilustrativos para que tenhamos uma

percepção da decomposição de qualquer sinal não senoidal. A situação inicial está

apresentada na FIG. 10.

Figura 10 - Onda quadrada de 500 Hz sendo aplicada a um filtro com corte em

250 Hz

O resultado obtido não deve surpreender o leitor, pois tendo o sinal uma

onda quadrada de freqüência de 500 Hz e sendo o corte do filtro em 250 Hz, obvia-

mente a saída é nula. Você já deve saber que se aumentarmos a fc até 500 Hz o

mesmo resultado deve ocorrer, ou seja, a saída será nula para fc até 500 Hz. Mas,

como deve ser a saída quando fc for igual a 501 Hz, ou mais alta? Uma resposta in-

tuitiva talvez nos levasse a supor que a saída passaria a ser a onda quadrada da

entrada. Contudo não é isto que ocorre, como apresenta a FIG. 11.


CEFET-MG

Figura 11- Onda quadrada de 500 Hz sendo aplicada a um filtro com corte em

501 Hz

Por que a onda quadrada de entrada transformou-se em um sinal senoi-

dal com exatamente a mesma freqüência, mas com uma amplitude um pouco maior?

A explicação exata para o resultado obtido na FIG. 12 envolve conhecimentos ma-

temáticos que fogem do nível de nosso curso. Tais conhecimentos seriam relativos a

análise de Fourier. Contudo, mesmo não podendo tratar matematicamente o resul-

tado podemos interpreta-lo qualitativamente. Assim, a explicação é que nossa onda

quadrada contém o sinal senoidal apresentado na FIG. 12, ou seja, o sinal senoidal

de 500 Hz entra na composição da onda quadrada de 500 Hz, e o filtro permitiu

isolar esta componente da onda quadrada. O motivo pelo qual apenas o sinal senoi-

dal de 500 Hz aparece na saída é que os outros componentes devem possuir fre-

qüências acima da fc do filtro, ou seja, acima de 501 Hz. Mesmo com esta explica-

ção neste ponto talvez ainda exista dúvida sobre como pode ter ocorrido uma mu-

dança tão grande, com a onda quadrada mudando para senoidal. O entendimento

melhor disto só pode ser obtido se continuarmos nossa analise através do aumento

da fc do filtro. Então, vamos continuar aumentando a fc do filtro acima de 501 Hz e

observando a saída. O resultado é que a saída não mudará até que a fc do filtro

seja maior do que 1500 Hz, ou seja, fc seja maior que 3 vezes a freqüência da onda

quadrada. Esta nova situação aparece na FIG. 12, onde o filtro agora tem uma fc de

1501 Hz.


CEFET-MG

Figura 12 - Onda quadrada de 500 Hz sendo aplicada a um filtro com corte em

1501 Hz

Comparando as FIG. 12 e FIG. 13 podemos notar que houve uma sens í-

vel melhoria na forma de onda de saída; ela agora aproxima-se da onda quadrada. A

freqüência da forma de onda de saída é exatamente a da onda quadrada de entra-

da, embora a amplitude de pico a pico seja um pouco maior que a da entrada. Ago-

ra, nas partes que correspondem ao topo e base da onda quadrada, temos uma os-

cilação do valor em torno do que seria o valor desejado (0,5 no topo e -0,5 na base).

A conclusão que derivamos dos resultados, é que com o incremento da

faixa de passagem do filtro de 501 até 1501 Hz adicionamos à componente senoidal

da FIG. 11 outro(s) componente(s) de sinal tal que houve uma melhor aproximação

da onda quadrada. Além disso, como a nova saída ainda é apenas uma aproxima-

ção da entrada, podemos dizer que o filtro até 1501 Hz ainda está bloqueando com-

ponentes de freqüência mais alta do nosso sinal de onda quadrada. Continuando a

análise vamos tentar agora separar qual (ou quais) componente foi adicionado a

onda senoidal da FIG. 11 de modo a resultar na onda de saída da FIG. 12. Para isto

basta usar no lugar do filtro passa-baixas um filtro passa-faixa. Como queremos

isolar os novos componentes adicionados desde a situação de saída FIG. 11, deve-

mos eliminar tal sinal fazendo o inicio da faixa de corte inferior do filtro, fc1, igual a

501 Hz. A seguir, diminuiremos progressivamente a faixa de passagem do filtro, e

para isto fc1 será aumentado até chegar ao limite de 1499 Hz. Neste processo pode-


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remos identificar a contribuição de sinal dentro da faixa de freqüência de 501 a 1499

que resultou no novo sinal de saída da FIG. 12. Este novo teste está apresentado na

FIG. 13.

Figura 13 - Identificando o componente de sinal da onda quadrada entre 501 e

1501 Hz através de um filtro passa-faixa onde varia-se fc1 entre os

limites indicados. Obs.: O resultado acima ocorre para fc1 variando

entre 501 e 1499 Hz. Se fc1 for 1500 ou 1501 Hz a saída será nula,

pois o sinal identificado tem 1500 Hz.

O teste da FIG. 13 nos mostra que apenas um novo componente de sinal

contribuiu para a melhoria na forma de onda de saída da FIG. 11 para a FIG.12. Isto

pode ser visualizado através da FIG. 14 que mostra que somando ponto a ponto os

sinais senoidais de 500 Hz da FIG. 11 e o de 1500 Hz da FIG. 13, obtemos exata-

mente a forma de onda da saída da FIG. 12. Ou seja, os sinais senoidais de 500

Hz e 1500 Hz são componentes da onda quadrada. Contudo, devem existir outros

em freqüências mais altas, pois ainda há uma diferença razoável entre o sinal qua-

drado e a forma de onda resultante da soma na FIG. 14.


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Figura 14 - Soma ponto a ponto dos sinais senoidais de 500 e 1500 Hz das FIG.

11 e FIG. 13.

O resultado da FIG. 13, identificando a componente da onda quadrada

entre 501 e 1499 Hz, permite-nos estabelecer novos e importantes conceitos. O si-

nal que contribuiu para a mudança da saída da FIG. 11 para a saída da FIG. 12 é

senoidal com freqüência igual a 3 vezes a da onda quadrada. A amplitude de tal si-

nal é reduzida em relação à daquele identificado na FIG. 11. Assim, temos que a re-

gra para a onda quadrada em questão é de que ela é constituída apenas de sinais

senoidais de diferentes freqüências, sendo tais freqüências apenas múltiplos impa-

res da freqüência original da onda quadrada, ou seja, 1 vez, 3 vezes, 5 vezes e as-

sim por diante. Tais sinais senoidais de freqüência múltipla são denominados

os harmônicos que constituem a onda quadrada . Assim, teríamos que o sinal de

saída da FIG. 11 é o 1o harmônico da onda quadrada, o sinal da FIG. 13 é o 3o, e

assim por diante. Quanto a amplitude dos harmônicos a regra é de que quanto maior


CEFET-MG

a ordem do harmônico menor sua amplitude, ou seja, o 3o harmônico é de amplitude

menor que o 1o, o 5o harmônico é de amplitude menor que o 3o, e assim por diante.

Para concluir a análise temos as FIG. 15 e FIG. 16 que mostram a identificação do

próximo componente da onda quadrada, o 5o. harmônico.

Figura 15- Onda quadrada de 500 Hz sendo aplicada a um filtro com corte em

2501 Hz. Obs.: Compare o resultado para o filtro de 2501 Hz com

aquele do filtro de 1501 Hz (FIG. 12).

Figura 16 - Teste para identificação do componente de sinal da onda quadrada

entre 1501 e 2499 Hz através de um filtro passa-faixa onde varia-se

fc1 entre os limites indicados.

Neste ponto, após todos os testes realizados nas figuras anteriores, e da

interpretação dada para os resultados obtidos, podemos apresentar uma conclusão

geral para a composição do sinal onda quadrada. Apesar não poder ser comprovado


CEFET-MG

neste texto, tais conclusões valem tanto para o sinal que usamos no exemplo visto

como para qualquer onda quadrada, de qualquer freqüência e amplitude.

a) o sinal de onda quadrada, como apresentado nas FIG. 10 a FIG. 16, é

composto apenas de sinais senoidais.

b) o sinal de onda quadrada possui em sua composição apenas os har-

mônicos de ordem impar, ou seja, apenas senoides cuja freqüência é um múltiplo

impar da taxa de repetição (freqüência) da onda quadrada.

c) a medida que a ordem do harmônico aumenta sua amplitude diminui.

Na realidade o que apresentamos nas FIG. 10 a FIG. 16 são testes que

podemos realizar em laboratório. Como já foi dito, existe também a possibilidade de

provar todos os resultados vistos através do uso de ferramentas matemáticas. Con-

tudo, como tais ferramentas são muito avançadas não pudemos fazer esta prova

matemática formal. Além disso, se prosseguíssemos nossos testes de laboratório,

na mesma linha que a apresentada acima, para outros tipos de sinais periódicos

não-senoidais também obteríamos resultados similares. Assim podemos reescrever

as conclusões sob um enfoque mais geral da seguinte forma:

i) qualquer sinal periódico não-senoidal é constituído a partir de somas

de sinais senoidais (e/ou cossenoidais) de diferentes freqüências e amplitudes.

ii) nos casos mais gerais, na composição do sinal podem entrar tanto se-

noides (ou cossenoides) de freqüências múltiplas impares, quantos senoides (ou

cossenoides) de freqüências múltiplas pares. Contudo, para vários tipos de sinais

não existirão, ou os harmônicos impares, ou os harmônicos pares, sendo esta última

possibilidade o caso em que se enquadra a onda quadrada.

iii) a medida que a ordem do harmônico aumenta sua amplitude diminui.


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iv) teoricamente o sinal não-senoidal é constituído por um número infinito

de componentes senoidais (e/ou cossenodais).

Duas observações finais cabem neste momento. A primeira, é de que as

conclusões acima a rigor aplicam-se apenas aos sinais periódicos, ou seja o sinal

deve repetir-se continuamente. Na realidade, se um sinal tem forma de onda não-

senoidal, e não é periódico , as conclusões acima constituem uma aproximação que

deveria ser um pouco modificada para valer para tais tipos de sinais. A outra obser-

vação é quanto a afirmação “iv”. A implicação de “iv” é de que caso quiséssemos

amplificar o sinal onda quadrada sem qualquer distorção o amplificador teria de ser

capaz de amplificar todos harmônicos do sinal, sendo que o número de harmônicos

é infinito. Isto significa um amplificador capaz de trabalhar com qualquer freqüência,

desde as mais baixas, até as mais altas que tenderiam a valor infinito. Obviamente

tal amplificador não existe na prática. Contudo, como vimos nos testes das FIG. 10 a

FIG. 16, a amplitude dos harmônicos reduz-se rapidamente com a ordem dos mes-

mos, e assim, se nosso amplificador responder apenas aos harmônicos de ordem

mais baixa, por exemplo, somente até o 13o (6500 Hz) no caso que estudamos,

existirá alguma distorção no sinal de saída do amplificador, mas tal distorção será

muito pequena e na prática desprezível.

1.5.3 Equação da onda quadrada

Tendo obtido que uma onda quadrada é composta de sinais senoidais,

conforme as conclusões “a”, “b” e “c” do item anterior, podemos escrever a equação

geral da mesma como:

+++= K)2(

5)2(

3)2(

12

)( t5fsenA

t3fsenA

t1fsenA

tq ππππ

Equação 9


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Talvez a primeira vista a EQ. 9 pareça complexa. Mas, na realidade não

é bem isto que ocorre. Tudo que temos na EQ. 9 é uma soma de vários sinais do

tipo senoidal, e este tipo de sinal já foi visto detalhadamente no tópico 1.3, inclusive

quanto a formulação matemática. Se inicialmente observamos a EQ. 9 isolando cada

uma de suas partes constituintes e só depois visualizarmos ela como um todo, o

entendimento da mesma será obtido.

Primeiro, temos que cada seno tem um fator de amplitude comum, o valor

2/π, que multiplica todos os senos entre colchetes. Dentro do colchete vemos que

cada sinal seno tem uma representação “padronizada”. O argumento de cada seno é

da forma (2.π.f.n.t) , ou seja, da forma (ω.n.t), pois 2.π.f = ω. O n vale 1, 3, 5,..., con-

forme a ordem do seno na equação, e será comentado mais adiante.

O “t ” é o tempo pois estamos descrevendo a forma de onda do sinal, o

que constitui uma função do tempo.

“f” corresponde a freqüência da onda quadrada, e assim corresponde a

uma constante relativa a onda quadrada sendo descrita. Por exemplo, se a EQ. 9

descrever a onda quadrada vista nas FIG 10 e FIG. 11, a constante f assume o valor

500.

Para cada seno, multiplicando f temos um diferente índice n, um número

que cresce conforme a ordem do harmônico representado. Assim, no seno mais a

esquerda o índice é 1, significando que temos o 1o harmônico (f. 1), a seguir temos o

índice 3, significando que temos o 3o harmônico, mais a direita temos o índice 5, si-

gnificando que temos o 5o harmônico, e assim por diante. Isto condiz com as obser-

vações já feitas de que a onda quadrada só tem harmônicos impares.

Para finalizar, como vimos nos testes apresentados nas FIG. 10 a

FIG. 16, conforme o índice do harmônico cresce, a amplitude do mesmo diminui. Isto

é facilmente visto na EQ. 9, onde além do termo de amplitude comum (2/π), para

cada harmônico temos um fator de amplitude. Para o 1o harmônico este fator vale


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A/1, para o 3o vale A/3, para o 5o valor A/5, e assim por diante. O valor A correspon-

de ao valor de pico-a-pico da onda quadrada original, o que no caso da onda qua-

drada vista nas FIG. 10 a FIG. 16 significa que A vale 1.

Da discussão acima podemos reescrever a EQ. 9 para o caso particular

da onda quadrada das FIG. 10 a FIG.16, obtendo:

q t t t t( ) ( ) ( ) ( )= + + +

2 11

2 50013

2 150015

2 2500π

π π πsen sen sen K Equação 10

Se o leitor possuir uma calculadora com capacidade para exibir gráficos

(uma HP-XXX, por exemplo), ou um computador pessoal, poderá usando um pro-

grama específico “programar” a EQ. 10 de modo a exibir na tela a forma de onda

quadrada construída a partir de senoides, obtendo resultados similares a aqueles

das FIG. 11 a FIG. 16.

1.5.4 Determinação das freqüências presentes nos sinais informação (exemplo

do sinal de voz)

Após as análises feitas acima, quando voltamos novamente nossa aten-

ção para o sinal de voz da FIG. 2, uma pergunta que surge é se poderemos identifi-

car no mesmo os sinais senoidais que devem ser somados, tal como fizemos no

caso da onda quadrada. Uma outra pergunta, relacionada a primeira, é se podere-

mos obter para tal sinal uma equação que o descreva ao longo do tempo analoga-

mente ao caso da onda quadrada . Na realidade, para o sinal de voz a resposta para

estas perguntas seria sim apenas sob condições extremamente controladas. Ou

seja, em geral não é possível escrever uma equação descrevendo um sinal de voz

ao longo do tempo, nem é possível identificar a qualquer tempo todas as freqüên-

cias (sinais senoidais) que o constituem. Pensando agora apenas no caso da equa-

ção, as condições controladas seriam, por exemplo, que a equação valeria apenas

para uma pessoa especifica, falando uma determinada palavra, sempre usando o


CEFET-MG

mesmo volume na pronúncia. Mesmo assim, a equação será extremamente comple-

xa e se a pessoa repetisse a pronúncia da palavra diversas vezes, de cada vez obte-

ríamos um sinal um pouco diferente do outro, ou seja, na melhor das hipóteses nos-

sa equação será apenas uma aproximação para a média de diversas pronúncias da

palavra escolhida para aquela pessoa em particular. Se mudarmos a palavra esco-

lhida a equação será outra, e, certamente muito diferente da anterior. E, finalmente,

se considerarmos o enorme repertório de palavras de uma língua qualquer, chega-

remos a conclusão que é inviável tentar caracterizar com equações exatas os sinais

de voz.

Embora não seja possível escrever equações para sinais de voz, descre-

vendo exatamente as freqüências que fazem parte do mesmos, pode-se trabalhar

esta questão das freqüências de forma estatística. A idéia é identificar “na média”

quais as freqüências importantes nos sinais de voz. O procedimento para tal identifi-

cação é basicamente o seguinte. Primeiro escolhe-se um grupo representativo de

pessoas. Cada uma destas pessoas, em ambiente de estúdio, geram amostras de

sinais de voz, sendo que tais amostras correspondem a pronúncia dos diferentes fo-

nemas da língua, de forma isolada e em palavras. Cada uma das amostras é pro-

cessada por equipamento eletrônico4 capaz de identificar as freqüências presentes

bem como suas amplitudes. No fim dos testes têm-se uma coleção de dados, que

são as freqüências e suas amplitudes para os diferentes fonemas pronunciados por

diferentes indivíduos. Faz então, uma média dos dados, média que pode inclusive

levar em conta a maior ou menor ocorrência de cada um dos fonemas naquela lín-

gua. No fim de tudo obtêm-se um gráfico tal como aquele da FIG. 17.

4 Tal equipamento é o analisador de espectro. Basicamente o analisador de espectro é um filtro pas-

sa-faixa sintonizável. A faixa de passagem de tal filtro é muito estreita de modo que ele consiga sepa-

rar as senoides que constituem o sinal analisado. Sintonizável significa que fc1 e fc2 do filtro vão cres-

cendo simultaneamente e continuamente, desde um limite inferior até um superior, conforme o sinal

sob analise. Tal processo é similar a aquele nas FIG 13 e FIG. 16, onde foram separados os compo-

nentes senoidais de 1500 e 2500 Hz, respectivamente, da onda quadrada.


CEFET-MG

O que o gráfico da FIG. 17 mostra é que na média a maior parte da ener-

gia no sinal de voz concentra-se nas baixas freqüências, entre 100 Hz e 1500 Hz,

muito embora os testes indicados acima também mostrem que certos fonemas con-

tém sinais reduzidos, mas ainda significativos, em freqüências tão altas como em

12 kHz.

O exemplo da determinação do gráfico da FIG. 17 é representativo, pois

existem várias outras situações em Telecomunicações, onde apesar de ser impossí-

vel descrever o sinal de informação por uma equação, é importante determinar na

média qual (ou quais) a faixa de freqüências de tal sinal contém a principal parte da

energia. Por exemplo, para a televisão foi este tipo de conhecimento em relação ao

sinal de imagem que permitiu a evolução para um sistema colorido compatível com o

sistema preto e branco já existente.

Figura 17 - Gráfico da energia distribuída no sinal de voz em função da fre-

qüência (resultado estatístico).


CEFET-MG

1.6 Canal de Voz

Houve um determinado momento no desenvolvimento das telecomunica-

ções em que foi necessário determinar qual a faixa de freqüências5 seria aceita para

os sinais de voz nos sistemas telefônicos de longa distância (popularmente conheci-

do como chamadas interurbanas). A questão que estava em jogo neste momento

era de que sendo as faixas de freqüências recursos preciosos, se deveria transmitir

nos sistemas telefônicos de longa distância apenas os componentes de freqüência

da voz que fossem importantes para a inteligibilidade do sinal.

O significado disto é que testes estatísticos similares aos indicados no tó-

pico anterior tiveram que ser feitos. Dado que o objetivo dos testes é a inteligibilida-

de dos sinais de voz quando eles são limitados pelo sistema de comunicação a uma

certa faixa, eles incluem além de uma seleção de locutores, também uma seleção de

ouvintes representativos. Tais ouvintes escutavam os sinais de voz de palavras pro-

nunciadas por diversas pessoas, após tais sinais de voz terem passado por filtros

que limitavam as freqüências em sua saída (filtros passa-faixa). Se um sinal de voz

passa por um filtro que elimina várias de suas freqüências ele se torna em alguma

medida distorcido, ficando mais difícil para o ouvinte identificar a palavra pronuncia-

da. O objetivo era encontrar, na média destes ouvintes, qual seria a menor faixa de

freqüência possível, e que ainda permitiria que os ouvintes identificassem correta-

mente as palavras, dentro de uma margem de erro muito baixa. No caso da telefo-

nia, a margem de erro escolhida foi de 1%. Ou seja, se, estatisticamente, em uma

5 Para entender no contexto acima o significado de “faixa de freqüências”, considere o exemplo de um

amplificador para áudio. Se este amplificador responde a sinais senoidais até 18 kHz ele é um ampli-

ficador de áudio de alta qualidade para a amplificação do sinal originário de um acionador de CD de

música, pois a faixa de freqüências que o ouvido humano é capaz de responder vai até aproximada-

mente 18 kHz e os instrumentos musicais geram freqüências de onda sonora desde poucos Hz a até

mais do que 18 kHz. Por outro lado se este amplificador responde a sinais senoidais de freqüências

até 10 kHz, ele já não será de alta qualidade para musica mas para amplificação da voz captada por

um microfone ele será plenamente adequado pois os sinais de voz só possuem componentes senoi-

dais “significativas” em freqüências até os 10 kHz.


CEFET-MG

conversação telefônica onde os componentes senoidais da voz são limitados em

uma faixa de “X” até “Y” Hz, e ainda assim na média 99% das palavras pronunciadas

são entendidas pelo ouvinte, considera-se que têm-se uma inteligibilidade aceitável.

A partir dos testes determinou-se que o valor para entendimento imediato de 99%

das palavras seria a faixa de 300 a 3400 Hz.

Na realidade, nos sistemas telefônicos deixou-se uma margem de segu-

rança tanto baixo do limite inferior quanto acima do limite superior. Isto foi feito por

razões tecnológicas que serão esclarecidas quando estudarmos a multiplexação em

uma outra unidade do curso. Assim, reserva-se nos sistemas telefônicos uma faixa

de 4 kHz para cada sentido da conversação telefônica, onde nos 300 Hz inferiores

da faixa e nos 600 Hz superiores da faixa os sinais de voz são bloqueados (veja a

FIG. 18).

Figura 18 - Canal de voz para telefonia. A área marcada com corresponde a

faixa efetiva para o sinal de voz. As áreas marcadas com cor-

respondem às margens de segurança onde não existe o sinal de

voz.

Observe que embora, o gráfico da FIG. 17 indique que as freqüências de

100 a 1500 Hz contem a maior parte da energia do sinal de voz, isto não foi funda-

mental quando surgiu a necessidade determinar o canal de voz para telefonia, pois o

que era principal era a inteligibilidade, critério este que levou a escolha de uma faixa

que descarta boa parte da energia do sinal de voz.


CEFET-MG

Por último, consideremos a economia em termos de ocupação de fre-

qüências que é feita quando utilizamos canais de voz com 4 kHz e não com 10 kHz,

que é a componente senoidal de mais alta freqüência que na média ainda é rele-

vante no sinal de voz. Se forem 10 conversações telefônicas necessitaremos de 40

kHz para a limitação em 4 kHz, e de 100 kHz para a limitação em 10 kHz, ou seja

uma economia de 60 kHz. Tal economia em termos de uso de freqüências se justifi-

ca plenamente quando consideramos que a limitação em 4 kHz representará uma

redução muito pequena na inteligibilidade (1%) em relação ao caso de 10 kHz.

1.7 Representação do sinal no domínio da freqüência: O Espectro

A expressão no domínio da(o) “xxxxxx” indica qual é a variável em função

da qual estamos representando uma certa grandeza. Assim, quando traçamos um

gráfico de tensão em função do tempo, tal como aquele da FIG. 19a, podemos dizer

que estamos fazendo uma representação de um sinal no domínio do tempo. Em

nossa disciplina tal representação será normalmente denominada forma de onda

(F.O.) do sinal. Por outro lado, como será a descrição deste sinal senoidal da

FIG. 19a em função (no domínio) da freqüência? Primeiro temos que o sinal senoidal

da FIG. 19a contém um única freqüência, que no caso é 100 kHz. Assim tal sinal

não contém qualquer outra freqüência que não seja 100 kHz, e assim para descre-

ve-lo em um gráfico de freqüência devemos simplesmente traçar um eixo horizontal

graduado em Hertz e no ponto correspondente a 100 kHz, marcar uma linha vertical

com altura igual a amplitude do sinal. Isto resulta no gráfico da FIG. 19b.


CEFET-MG

Este resultado da FIG. 19b é a representação no domínio da freqüência

do sinal da FIG. 19a, e tal representação é denominada espectro do sinal6.

Figura 19 - a) Forma de onda de um sinal senoidal; b) Espectro de amplitudes

do sinal da FIG 19a

6 Em alguns casos pode ser conveniente ser mais especifico em relação ao gráfico de forma de onda

ou de espectro, indicando exatamente que grandeza esta sendo avaliada no eixo vertical. Por exem-

plo, podemos ter forma de onda de tensão, ou forma de onda de potencia, ou forma de onda de ener-

gia, da mesma forma que podemos ter espectro de amplitudes da tensão, ou espectro de potência,

ou ainda espectro de energia. Normalmente, em nossa disciplina trataremos apenas de sinais de for-

ma de onda de tensão e assim fica subentendido daqui por diante que se nos referirmos simples-

mente a forma de onda está implícito que trata-se de forma de onda de tensão. O mesmo vale para a

representação em freqüência, onde se nos referirmos apenas a espectro trata-se do espectro de ten-

são.


CEFET-MG

Na realidade, a representação de espectro já havia sido apresentada an-

teriormente nesta unidade. O gráfico da FIG. 17 é uma representação de espectro.

No caso da FIG. 17 trata-se de um espectro de energia para sinais de voz. Como foi

discutido no item 1.5 o gráfico da FIG. 17 foi obtido por um processo de média de

uma enorme quantidade de sinais de voz. O resultado foi um espectro contínuo, ou

seja, um sinal de voz qualquer pode conter todas as freqüências dentro de uma fai-

xa que vai de 60 Hz até 12 kHz. Para contrastar com o espectro contínuo da FIG.

17, podemos agora traçar o espectro para o sinal onda quadrada apresentado nos

testes do item 1.5. O resultado obtido aparece na FIG. 20. Observe que o espectro

para a onda quadrada é do tipo discreto , ou seja, a onda quadrada só contém com-

ponentes senoidais em pontos específicos do eixo da freqüência, sendo nula em to-

dos demais pontos do eixo da freqüência.

Figura 20- Forma de onda da onda quadrada analisada no item 1.5 e seu espec-

tro de amplitudes.

A obtenção do gráfico da FIG. 20 é simples. Basta observar a equação da

onda quadrada decomposta em sinais senoidais (EQ. 10). Para cada senoide, ano-

ta-se no ponto do eixo horizontal correspondente a sua freqüência uma linha vertical.

Esta linha vertical tem a altura proporcional a sua amplitude. Por exemplo, o 1o ter-

mo da equação é 1/1[sen(2.π.500.t)], logo no ponto 500 Hz do eixo horizontal, tra-

çamos uma linha vertical de altura correspondente a (2/π).(1/1). O termo (2/π) é co-


CEFET-MG

mum a todas as amplitudes das senoides e assim aparece na amplitude de todas a

linhas apresentadas. Quando o espectro é discreto, tal como na figura acima, deno-

minamos cada uma das linhas verticais de “raia de freqüência” do espectro, ou sim-

plesmente de “raia” do espectro. Por outro lado, para espectros contínuos, tal como

aquele da FIG. 17, denominamos de “faixa de freqüências” do espectro, ou sim-

plesmente “faixa” do espectro, qualquer extensão continua do espectro de freqüên-

cias.

1.7.1. Espectro de amplitudes e de fases

Na realidade, o conceito de espectro de amplitudes já foi apresentado no

item anterior quando traçamos o espectro do sinal onda quadrada descrito na

EQ. 10. Neste item o que vamos fazer é completar a análise da representação de

um sinal de tensão (ou de corrente) no domínio da freqüência indicando a necessi-

dade e como é obtido o espectro de fases para um sinal. Para chegar nesta novo

espectro vamos antes fazer dois exemplos que justificarão sua necessidade.

Exemplo 1.3

Para a forma de onda apresentada na FIG. 21, foi obtida através da análi-

se de Fourier a EQ. 11. Trace o espectro de amplitudes para o sinal.

Figura 21 – Forma de onda triangular do exemplo 1.3


CEFET-MG

g( t t t t) cos cos cos= + + +

4 11

2 50019

2 1500125

2 25002π

π π π L Equação 11

Solução

Para traçar o espectro de amplitudes basta observar a EQ. 11 e a

FIG. 21. O sinal da FIG. 21 tem freqüência de 500 Hz com amplitude de 1 volt de

pico-a-pico. A EQ. 11 mostra que, de forma similar a onda quadrada, a onda trian-

gular também só possui harmônicos impares (no exemplo 1500 Hz, 2500 Hz, ...).

Traçando o espectro de amplitudes com base na EQ. 11 obtemos o resultado da

FIG. 22.

Figura 22- Espectro de amplitudes para a onda triangular do exemplo 1.2.

Se compararmos o espectro resultante do exemplo 1.3 com aquele que

tinha sido obtido anteriormente para a onda quadrada (FIG. 20b), vemos imediata-

mente que eles têm alguma semelhança, pois as raias do espectro estão nas mes-

mas freqüências. Por outro lado, obviamente as amplitudes de tais componentes de

freqüência são diferentes no caso da onda quadrada e da triangular. Mas o mais im-

portante a observar é que enquanto o espectro da FIG. 22 foi obtido de uma equa-


CEFET-MG

ção de cossenos, o espectro da FIG. 20b foi obtido de uma equação de senos. Ou

seja, a apresentação no espectro apenas das amplitudes de freqüência do sinal, não

permite caracteriza-lo completamente, pois fica faltando indicar se tais componentes

de freqüências referem-se a senos ou cossenos (ou ambos tipos) que entram na

constituição do sinal. O que falta em nossa representação do sinal no domínio da

freqüência é o espectro de fase; é este espectro, junto com o de amplitude, que

permite caracterizar completamente o sinal. Temos a seguir um outro exemplo onde

fica ainda mais clara a necessidade do espectro de fases. Neste exemplo, veremos

então como obter a representação completa (fase e amplitude) do sinal no domínio

da freqüência.

Exemplo 1.4

Para a forma de onda apresentada na FIG. 23 foi obtida através da análi-

se de Fourier a EQ. 12. Trace a representação completa do sinal no domínio da fre-

qüência.

Figura 23 – Forma de onda do exemplo 1.4.

h t t t t

t t t

( ) cos cos cos

sen sen sen

= − + + +

+

+ + +

+

4 11

2 50019

2 1500125

2 2500

2 11

2 50013

2 150015

2 2500

2ππ π π

ππ π π

L

L

Equação 12


CEFET-MG

Solução

Observando a equação vemos que para cada freqüência (500, 1500,

2500, etc.) ela possui um termos em seno e um termo em cosseno, sendo as fre-

qüências harmônicos impares da taxa de repetição do sinal (500 Hz), ou seja, o sinal

da FIG. 23 não contem harmônicos pares. As amplitudes destes harmônicos impa-

res diferem no caso dos senos e dos cossenos de mesma freqüência. Assim, como

poderemos ao traçar apenas o espectro de amplitudes indicar a composição do sinal

em termos de senos e cossenos? A questão é que o espectro só será uma repre-

sentação completa do sinal se permitir que a partir do mesmo obtenhamos nova-

mente a equação da análise de Fourier. A idéia simples de somar as amplitudes de

senos e cossenos de mesma freqüência, e assim traçar a raia do espectro de cada

freqüência presente no sinal, falha pelo fato de que uma vez traçado tal espectro

não poderemos fazer a operação reversa, ou seja, escrever a equação do sinal a

partir do espectro obtido desta forma.

A solução para obter um espectro que descreve completamente o sinal é

dividi-lo em duas partes, uma relativa as amplitudes puras e outra relativa as fases.

O procedimento pode ser entendido da seguinte forma. Seno e cosseno, de uma

mesma freqüência, são funções defasadas no tempo por 90°, assim, consideramos

um sistema de dois eixos defasados de 90°, onde o seno refere-se ao eixo vertical e

o cosseno ao eixo horizontal, veja isto na FIG. 24. Desta forma a amplitude pura, a

distancia Cn, refere-se a composição de An e Bn, segundo o teorema de Pitágoras,

ou seja:

C A Bn n n= +( ) ( )2 2 Equação 13


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Figura 24 - Representação geométrica para as amplitudes de sinais senoidais e

cossenoidais de mesma freqüência.

Em todos os casos o índice n indica o harmônico do sinal para o qual es-

tamos obtendo a composição em termos de amplitude e fase. An é a componente no

eixo do cosseno, e Bn é a componente no eixo do seno. A caracterização do ângulo,

ou fase, relativo a um harmônico n do sinal, é novamente obtida através de um cál-

culo de geometria analítica, ou seja, conforme a FIG. 24 o valor do ângulo vale:

φ φn ajusten

n

arctgB

A= +

Equação 14a

Onde,

An > 0 ⇒ φajuste = 0°

An < 0 ⇒ φajuste = 180°

Ou de outra forma,

φajusten

n

A

A= °⋅ −

90 1 Equação 14b


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Com o procedimento indicado acima podemos agora traçar o espectro

completo do sinal da FIG. 23. obtendo os espectros de amplitudes e fases, apre-

sentados na FIG. 25. O leitor que quiser tirar a prova poderá obter a equação origi-

nal do sinal (EQ. 12), a partir dos espectros da FIG. 25. Para isto basta usar as EQ.

15 e EQ. 16 ( tais equações se justificam por raciocínio geométrico similar aos das

EQ. 13 e EQ. 14)

A Cn n n= cosφ Equação 15

B Cn n n= senφ Equação 16

Figura 25 - Representação completa do espectro para o sinal da FIG. 23. À es-

querda têm-se o espectro de amplitude, e à direita o espectro de

fase.

Tendo estabelecido a necessidade do espectro de fase para permitir a re-

presentação completa do espectro de um sinal, podemos agora complementar a

apresentação anteriormente feita para os casos do sinal quadrado e triangular,

EQ. 10 e EQ.11, respectivamente. Neste dois casos já obtemos os espectros de

amplitudes, e tais espectros estão coerentes com a EQ. 13, bastando observar que:


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i) se para todo n, An = 0, a EQ. 13 se reduz a Cn = Bn;

ii) se para todo para todo n, Bn = 0, a EQ. 13 se torna Cn = An .

Para os espectros de fases os resultados para estes dois sinais são muito

simples. Para o triangular as amplitudes dos senos é nula ( Bn = 0, para todo n ), o

que resulta, através da EQ. 14, que a fase vale 0°, para todas as freqüências pre-

sentes no sinal. Tal resultado aparece na FIG. 26. Para o quadrado todos os cosse-

nos tem amplitude nula (An = 0, para todo n), e assim, a fase para todas freqüências

presentes no sinal é 90°, conforme apresenta a FIG. 27.

Figura 26 - Espectro de fases para o sinal triangular da EQ. 11. O espectro aci-

ma junto com o espectro de amplitudes anteriormente apresentado

(FIG. 23), constitui a representação completa do sinal triangular no

domínio da freqüência


CEFET-MG

Figura 27 - Espectro de fases para o sinal quadrado da EQ. 10. O espectro aci-

ma junto como espectro de amplitudes anteriormente apresentado

(FIG. 22), constitui a representação completa do sinal quadrado no

domínio da freqüência

Como as FIG. 26 e FIG. 27 exemplificam, nos casos em que todos An’s,

ou Bn’s, são nulos o espectro de fases é muito simples. Assim, nestes casos ao in-

vés de traçarmos o espectro de fases em si, podemos indicar no próprio espectro de

amplitudes toda informação contida no espectro de fase. Quando só existem senos

na forma de onda, e todos Bn’s são de mesma polaridade, podemos escrever no es-

pectro de amplitudes, tal como uma legenda, indicando : “apenas +90° “ (coeficien-

tes positivos) ou “apenas -90° “ (coeficientes negativos). No caso onde só existem

cossenos, de forma análoga, poderíamos apresentar apenas o espectro de amplitu-

des indicando no mesmo “apenas 0° “ (coeficientes positivos) ou “apenas 180° “ (co-

eficientes negativos).

1.7.2. Espectros de Energia e de Potência

Além do espectro de amplitude e seu complemento, o espectro de fase,

outros dois tipos de espectros são utilizados na análise de sinais em Telecomunica-

ções: o espectro de Energia e o de Potência. Primeiro recordemos os conceitos de

energia e de potência de um sinal.


CEFET-MG

A energia de um sinal pode ser interpretada como sua capacidade para

realizar trabalho, sendo sua unidade o Joule. Por exemplo, considere o sinal de

FIG. 28 aplicado em um resistor. Assim, o sinal ilustrado irá dissipar energia no re-

sistor, onde esta energia dissipada corresponde a um aquecimento do resistor. Em

termos formais para a análise de sinais em Telecomunicações o espectro de energia

é calculado considerando um intervalo de tempo que vai de - ∞ até + ∞. Desta for-

ma, o espectro de energia de um sinal só poderá ser obtido se tal sinal for do tipo

pulso, ou seja, se o sinal for nulo para qualquer tempo, exceto por um intervalo finito

de tempo. Observando o sinal da FIG. 28, você verifica que o sinal apresentado é

deste tipo. Por outro lado um sinal periódico não pode ter sua energia calculada,

pois este tipo de sinal esta definido para qualquer intervalo de tempo, deste - ∞ até

+ ∞, e ao calcularmos sua energia obteríamos um valor infinito. Para sinais periódi-

cos, tais como as ondas quadrada e senoidal não faz sentido calcular a potência do

sinal.

Figura 28 - Sinal do tipo pulso aplicado a um resistor.

A potência de um sinal é sua energia por unidade de tempo, logo sua uni-

dade de medida é Joules/segundo, unidade esta que recebeu o nome de Watt.

Como indicado acima, para sinais periódicos não faz sentido calcular a energia do

sinal, mas é possível calcular a potência. Para o caso do sinal senoidal puro você já


CEFET-MG

deve ter feito este cálculo de potência diversos vezes ao longo do curso. A FIG. 29

apresenta a determinação da potência desenvolvida por um sinal (cos)senoidal puro

sobre um resistor.

O conceito de espectro de potência origina-se diretamente da decomposi-

ção de um sinal em componentes senoidais e/ou cossenoidais. Por exemplo, se uma

onda quadrada é aplicada a um certo resistor, a partir dos resultados que vimos an-

teriormente quanto a sua composição senoidal, poderemos calcular a potência dissi-

pada por esta onda quadrada se limitarmos os harmônicos da mesma até uma certa

ordem. Mais ainda, poderemos calcular como a potência dissipada por esta onda

quadrada se distribui pelas diversas freqüências presentes na mesma. Esta distri-

buição da potência de um sinal em função da freqüência constitui exatamente o es-

pectro de potência do sinal. Um raciocínio análogo vale para o caso do espectro de

energia, ou seja, tal espectro descreve como a energia dissipada por sinal do tipo

pulso, se distribui em função da freqüência. Como foi dito anteriormente a análise da

composição harmônica de sinais não-periódicos (do tipo pulso) é muito sofisticada, e

por esta razão não será discutida neste texto. Assim, não trataremos mais do es-

pectro de energia, mas relendo o tópico 1.5 e observando a FIG. 18, você pode ter

uma noção do significado de espectro de energia. A seguir vamos fazer um exemplo

relativo ao espectro de potência.


CEFET-MG

Figura 30 - Determinação da potência dissipada por sinal (cos)senoidal.

Exemplo 1.5

Para a forma de onda examinada no exemplo 1.4 obtenha o espectro de

potência considerando que a mesma foi aplicada a um resistor de 100 Ω.


CEFET-MG

Solução

Observando a EQ. 12, que é a equação do sinal do exemplo 1.4, fazemos

o seguinte cálculo para a potência relativa a cada um dos componentes cosseno da

mesma.

( )P

A

R

A

RAn

n eficaz n= =

⋅( )

2 2

2

1

( )P

A

RAnn=

2

2Equação 17

Assim, usando a EQ. 17 obteremos os seguintes resultados de potência

para cada um dos componentes cosseno do sinal da FIG. 23, quando o mesmo for

aplicado a um resistor de 100 Ω:

( ) ( )P

A

RWA1

12 2 2

2

4

2 1008213= =

×=

πµ,

( ) ( )P

A

RWA 3

32 2 2

2

4 9

2 1001014= =

×=

πµ,

( ) ( )P

A

RWA5

52 2 2

2

4 25

2 100131= =

×=

πµ,

E assim por diante para os demais harmônicos cosseno.

Para os componentes seno do sinal, o raciocínio é similar ao visto acima

para os cossenos, pois o valor eficaz de um sinal seno também vale a amplitude de

pico dividida por raiz de dois. Logo, a equação para a potência dos componentes

seno é análoga ao caso anterior dos cossenos, ou seja:

( )P

B

RBnn=

2

2 Equação 18


CEFET-MG

Aplicando a EQ. 18 aos componentes seno do sinal (EQ. 12) obtemos:

( )P

B

RmWB 1

12

22 026= = ,

( )P

B

RWB 2

22

22252= = , µ

( )P

B

RWB 3

32

2811= = , µ

E assim por diante para os demais harmônicos seno.

Figura 30 - Espectro de potência para o sinal da FIG. 23 aplicado em um resis-

tor de 100 ΩΩ .

Finalmente somando as contribuições de potência dos harmônicos seno e

cosseno de mesma freqüência, obtemos o espectro de potência representado na

FIG. 30.


CEFET-MG

Como visto no exemplo 1.5, cabe ressaltar que no caso do espectro de

potência não necessitamos de qualquer espectro adicional relativo as fases, como

ocorreu no caso do espectro de amplitude. O defasamento de 90° entre um sinal se-

noidal e outro cossenoidal, ambos de mesma freqüência, não tem qualquer influên-

cia na potência dissipada pela soma destes dois sinais sobre um resistor. Ou seja, o

espectro de potências é completo por si só, não necessitando de qualquer comple-

mento. Pode-se entender isto na medida em que o espectro de potência não tem o

mesmo compromisso que os espectros de amplitude e fase têm, ou seja, o de des-

crever completamente o sinal no domínio da freqüência, permitindo inclusive obter

novamente a equação do sinal no tempo a partir dos mesmos. A função do espectro

de potência é mostrar como a potência dissipada por um sinal em um resistor se

distribui em função da freqüência. Neste caso pode ocorrer de um mesmo espectro

de potência ser válido para diversos tipos diferentes de sinal. Por outro lado, isto não

ocorre para o par espectro de amplitude-fase, pois cada diferente par só pode ser

relativo a um único sinal em particular.


CEFET-MG

1.8 Exercícios

1. Escreva a equação para o sinal da figura.

2. Calcule o valor médio para o sinal da figura abaixo.

3. Observe esta equação:

( )

++−= −

2105,1sen32 4 π

txte

a) Trace o gráfico do sinal representado pela equação.

b) Obtenha dessa equação os valores para as seguintes grandezas do sinal (indique

os cálculos que se fizerem necessários):

A = ; ω = ; T = ; f = ; Vdc =


CEFET-MG

c) Apenas observando o gráfico obtido no item “a ” você pode dizer que o sinal é

cossenoidal. Todavia, o gráfico foi traçado tendo base em uma equação de fun-

ção seno. Explique como isto ocorre.

4. Qual o comprimento de onda, λ, relativo à energia que é enviada das usinas hi-

droelétricas para os locais de consumo através de L.T’s onde a propagação do si-

nal é na velocidade de 250.000 km/s. (L.T. = linha de transmissão).

5. Qual o comprimento de onda (λ) para um sinal de 1500 MHz propagando na at-

mosfera entre a antena receptora e antena transmissora. Adote como velocidade

de propagação na atmosfera o valor de 300.000 km/s.

6. Um tipo de antena muito simples e que é bastante utilizada na prática é o dipolo,

apresentado na figura abaixo:

Um dipolo é eficiente na irradiação (captação) da OEM (onda eletromagnética) se o

comprimento L é um múltiplo (ou divisor) inteiro do λ/2 da OEM (por exemplos temos

L = λ/2, L = 3λ, L = λ/4, etc.). Supondo dipolos de um quarto de onda (λ/4), calcule o

valor de L da antena para cada um dos seguintes sinais:

a) Sinal de estação FM em 100 MHz.


CEFET-MG

b) Sinal do canal 33 de TV - UHF (590 MHz).

c) Sinal de estação AM em 1 MHz.

d) Sinal de voz (freqüência central de 2 kHz).

7. Uma fonte de informação gera sinal de saída com 4 níveis de tensão distintos

(-1 V, 0 V, +3 V, e +4 V). Considere que a estatística obtida para os níveis de saí-

da da fonte de informação é: 20% para o níveis -1 e 0 V; 30% para os níveis +3 e

+4 V. Calcule a taxa média de informação (entropia) desta fonte.

8. a) Quais as partes de um sistema de comunicação?

b) Em geral em qual parte do sistema o ruído tem maior importância na deterioração

da informação transmitida? Justifique.

9. Para o sinal de onda quadrada das FIG. 10 a FIG.16 (1 Vpp, 500 Hz ) e cuja com-

posição harmônica esta apresentada na Eq. 10, trace o espectro de potência,

dado que este sinal foi aplicado a um resistor de 10 Ω. Apresente todos os cálcu-

los utilizados na resolução da questão.

10. Para o sinal triangular do exemplo 1-3 trace o espectro de potência quando tal

sinal for aplicado a um resistor de 1 Ω. Apresente todos os cálculos utilizados na

resolução da questão.


CEFET-MG

11. Para o sinal da FIG. 34 foi obtida através da análise de Fourier a EQ. 19. Consi-

derando até o 7o harmônico, trace os espectros de amplitude e fase para o sinal.

Figura 34 - Sinal do exercício 11.

s t t t t

t t t t

( )

sen sen sen

cos cos cos

sen

=−

+ + +

+

−+ + + +

2 11

2 50019

2 1500125

2 2500

1 11

2 50012

2 100013

2 150014

2 2000

2ππ π π

ππ π π π

L

L

Equação 19

12. Um requisito para que um amplificador não distorça na saída o sinal aplicado a

sua entrada é que dentro da faixa de freqüência presente no sinal o amplificador

apresente ganho constante, ou seja, o ganho seja igual para todas freqüências

presentes em tal faixa. Além disso, para minimizar os efeitos do ruído e tornar

mais fácil o projeto do equipamento, o amplificador deve apresentar ganho nulo

fora da faixa de freqüências presente nos sinais a serem amplificados.

Suponha que para um certa aplicação o sinal do exercício anterior deva ser am-

plificado por 10. Suponha também que para a aplicação em questão o sinal do

exercício anterior possa ser considerando com distorção desprezível desde que

contenha pelo menos até o 30o harmônico. Trace a curva de resposta de freqüên-

cia para tal amplificador.


CEFET-MG

APÊNDICE A

HISTÓRICO DO DESENVOLVIMENTO DAS TELECOMUNICAÇÕES (RESUMO)

1834 - Gauss e Weber constroem o telégrafo eletromagnético.

1844 - Morse demonstra a linha telegráfica Baltimore-Washington nos EUA (exten-

são 64 Km).

1858 - O primeiro cabo telegráfico transatlântico é instalado (funcionou apenas 26

dias).

1864 - Maxwell prova teoricamente a radiação de ondas eletromagnéticas (OEM).

1876 - Bell desenvolve e patenteia o telefone.

1883 - T. A. Edson descobre a emissão de elétrons no metal aquecido no vácuo,

denominado efeito Edson. 20 anos depois, este efeito constitui a base para o

funcionamento do primeiro dispositivo eletrônico.

1886 - Hertz prova experimentalmente a existência das OEM’s previstas por Maxwell

em 1864.

1889 - Strowger desenvolve o 1o sistema de comutação automática para sistemas

telefônicos.

1897 - Marconi patenteia um sistema telegráfico completo por OEM (sem fios).

1900 - Marconi realiza uma transmissão telegráfica através do Atlântico usando

OEM.

1904 - Fleming desenvolve o primeiro dispositivo eletrônico: a válvula diodo.

1905 - Fessenden transmite voz e música usando OEM. Ou seja, é realizada a 1a

transmissão radiofônica.

1906 - DeForest inventa a válvula tríodo (primeiro dispositivo amplificador eletrôni-

co).

1915 - A concessionária Bell System completa a primeira linha telefônica através de

todo território dos EUA.

1918 - Armstrong desenvolve o circuito receptor superheterodino.


CEFET-MG

1920 - Entra em operação de forma regular a primeira emissora de radiodifusão co-

mercial (KDKA, Pittsburg. EUA).

1928 - Fansworth demonstra o 1o sistema de televisão totalmente eletrônico.

1931 - O serviço de Telex entra em operação (somente em meados da década de

80 este tipo de serviço passou ser substituído através da popularização do

Fax padrão CCITT grupo 3).

1936 - BBC de Londres inicia as primeiras transmissões de TV sob base comerciais.

1945 - ENIAC, o 1o computador digital eletrônico, é desenvolvido na Universidade

da Pensilvânia (EUA).

1947 - O transistor (1o semicondutor amplificador) é inventado em um laboratório de

pesquisa nos EUA.

1948 - Shannon publica seu trabalho de desenvolvimento da teoria da informação.

1950 - Multiplexação por divisão no tempo é aplicada a telefonia

Década de 50 - Enlaces terrestres de microondas são desenvolvidos, sendo aplica-

dos à telefonia de longa distância.

1953 - O primeiro padrão de sistema de TV em cores é definido e adotado (NTSC -

EUA).

Década de 60 - Centrais à programa armazenado (CPA) são introduzidas nos siste-

mas telefônicos.

1961 - São iniciadas as transmissões em estéreo na radiodifusão em FM.

1962 - Telstar 1, 1o satélite de comunicações ativo, retransmite sinais de TV entre a

Europa e os EUA.

1963 - A técnica de discagem por tons é introduzida pela concessionária Bell Sys-

tem. (EUA).

1966 - Kao e Hockham publicam trabalhos demonstrando os princípios da comuni-

cação por fibra óptica.

1968 - Sistemas de TV a cabo começam a ser instalados.


CEFET-MG

1969 - Inicio da Arpanet nos EUA (esta rede de computadores foi o “embrião” que

deu origem a atual Internet).

1971 - Empresa Intel desenvolve o 1o microprocessador (4004 - 4 bits - 41 instru-

ções).

1972 - Empresa Motorola demonstra o telefone celular para o órgão regulador das

telecomunicações nos EUA (FCC).

1976 - Primeiros computadores pessoais são comercializados.

1981 - Computador pessoal IBM-PC é introduzido.

1983 - Primeiros sistemas de telefonia celular começam a operar nos EUA.

1985 - Máquinas de fax tornam-se populares, iniciando concorrência que leva a re-

dução da utilização do telex.

1989 - Telefone celular “de bolso” é introduzido pela Motorola.

1994 - FCC define a especificação do padrão de TV de alta definição (HDTV) nos

EUA.

prof. marcus tadeu pinheiro silva coordenação. de eletrônica - … 1.pdf · 2007-02-24 ·...

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