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Fatorial de umnúmero natural
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Fatorial
Se n é um número natural (n ≥ 2), o produto de todos os naturais de n até 1, é chamado de fatorial de n (símbolo: n!).
3! = 3.2.1 = 6
n! = n(n – 1)(n – 2). ... .3.2. 1
6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
Em geral
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Fatorial - Observação
Num produto, devemos ter pelo menos dois fatores. Por isso, a definição só é válida para n ≥ 2. Os fatorias de 1 e de 0 são definidos assim:
1! = 1 e 0! = 1
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Propriedade do fatorial
O fatorial de um número natural é igual ao produto deste pelo fatorial do seu antecessor.
6! = 6.5.4.3.2.1
10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 10.9.8!
15! = 15.14! = 15.14.13! = 15.14.13.12! = ...
n! = n(n – 1)! = n(n – 1)(n – 2)! = ...
Em geral
= 6.5!
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Exemplos
A propriedade anterior é útil na simplificação do cálculo de expressões que envolvem o fatorial.
15!
13! =
15.14.13!
13!= 15.14 = 210
10! + 8!
8! =
10.9.8! + 8!
8!=
8!(10.9 + 1)
8!= 81
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Exemplos
Resolver a equaçãon!
(n – 2)! = 30
O fatorial só é definido para n – 2 ≥ 0 ⇒ n ≥ 2
n!
(n – 2)! = 30 ⇒
n(n – 1)(n – 2)!
(n – 2)! = 30
⇒ n(n – 1) = 30 ⇒ n = 6
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O fatorial e ocálculo combinatório
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O fatorial e o cálculo combinatório
No cálculo do total de permutações simples, arranjos simples e combinações simples, podemos usar o fatorial.
P5 = 5.4.3.2.1
P8 = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 8!
Pn = n!
Em geral
= 5!
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O fatorial e o cálculo combinatório
A6, 2 = 6.5 =6.5.4!
4!=
6!
4!=
6!
(6 – 2)!
A9, 3 = 9.8.7 =9.8.7.6!
6!=
9!
6!=
9!
(9 – 3)!
Em geral
An, p =n!
(n – p)!
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O fatorial e o cálculo combinatório
Cn, p =An, p
Pp
=n!
(n – p)!. 1
p!
Cn, p =n!
p!(n – p)!
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Exemplos
Resolver a equação A6, p = A5, p+1
6!
(6 – p)!=
5!
(4 – p)!
⇒ 5!.(6 – p)! = 6!.(4 – p)!
⇒ 5!.(6 – p)(5 – p)(4 – p)! = 6.5!.(4 – p)!
⇒ (6 – p)(5 – p) = 6
⇒ 6 – p = 3 e 5 – p = 2 ⇒ p = 3
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Permutações com elementos repetidos
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Permutações com repetição
Vamos analisar o que ocorre com o número de anagramas de uma palavra, quando ela tem letras repetidas.
Quantos anagramas tem a palavra AMO?
AMO
P3 = 3! = 6
AOM MAO MOA OAM OMA
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Permutações com repetição
Vamos analisar o que ocorre com o número de anagramas de uma palavra, quando ela tem letras repetidas.
Quantos anagramas tem a palavra AMA?
3!
2! =
6
2 = 3
AMA AAM MAA
P32 =
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Permutações com repetição
Vamos analisar o que ocorre com o número de anagramas de uma palavra, quando ela tem letras repetidas.
Quantos anagramas tem a palavra AMADA?
5!
3! =
120
6 = 20
AAADM AAAMD AADAM AAAMD AADMA
AAMDA ADAAM AMAAD ADAMA AMADA
ADMAA AMDAA DAAAM MAAAD DAAMA
MAADA DAMAA MADAA DMAAA MDAAA
P53 =
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Permutações com repetição
Vamos analisar o que ocorre com o número de anagramas de uma palavra, quando ela tem letras repetidas.
Quantos anagramas tem a palavra ARARA?
5!
2!3! =
120
2.6 = 10
AAARR AARAR AARRA ARAAR ARARA
ARRAA RAAAR RAARA RARAA RRAAA
P52,3 =
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Permutações com repetição
De maneira geral, o total de permutações de n elementos, se um deles aparece a vezes, outro b vezes, outro c vezes, ... é
n!
a!b!c!... Pn
a, b, c,... =
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Exemplos
Considere todos os anagramas da palavra PARALELA.
a) Qual é o total de anagramas?b) Quantos começam por vogal?
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Exemplos
Considere todos os anagramas da palavra PARALELA.
a) Qual é o total de anagramas?
8!
3!.2! P8
3, 2, 1, 1, 1 = =8.7.6.5.4.3!
2.3! = 3 360
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Exemplos
Considere todos os anagramas da palavra PARALELA.
b) Quantos começam por vogal?
Começando por E
E
7!
3!.2! P7
3, 2, 1, 1 = =7.6.5.4.3!
2.3! = 420
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Exemplos
Considere todos os anagramas da palavra PARALELA.
b) Quantos começam por vogal?
Começando por A
A
7!
2!.2! P7
2, 2, 1, 1 = =7.6.5.4.3.2
4 = 1 260
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Exemplos
Considere todos os anagramas da palavra PARALELA.
b) Quantos começam por vogal?
Começando por E = 420
Começando por A = 1 260
Total = 1 680
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Exemplos
A figura mostra uma superfície azulejada. Uma formiga sai do ponto A e quer chegar ao ponto B, onde há um grão de açúcar. Ela só anda sobre os sulcos entre os azulejos, mas pretende percorrer o menor caminho possível. Quantos trajetos diferente a formiga pode utilizar?
A
B DCDCDCDCDCDD
12!
7!.5! P12
7, 5 =
P127, 5 = 792
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Números Binomiais
Números combinatóriosCoeficientes binomiais
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Números binomiais
O número de combinação simples de n elementos
tomados p a p (Cn,p) também pode ser representado
pelo símbolo:
n
pCn,p = (número combinatório de n sobre p)
Chamamos n de numerador e p de denominador. É claro que n e p devem ser naturais, com n ≥ p.
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Exemplos
6
2 . = C6,2 =
A6,2
2!=
6.5
2.1= 15
8
3 . = C8,3 =
A8,3
3!=
8.7.6
3.2.1= 56
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Exemplos
5
1 . =
A5, 1
1!=
5
1= 5
7
7 . =
A7,7
7!=
7!
7!= 1
9
0 . = C9,0 =
9!
0!(9 – 0)!=
9!
0!.9!=
9!
9!= 1
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Observação
Em geral, de acordo com os 3 exemplos anteriores constatamos que:
n
0= 1
n
1= n
n
n= 1
n e p são números naturais.
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Triângulo de Pascal
Blaise Pascal, conhecido simplismente como Pascal, foi um grande gênio do século XVII. Em sua vida curta, fez descobertas notáveis, principalmente na área de Matemática e Física.
Em 1653, ele publicou um de seus escritos mais famosos. Nele, Pascal fazia considerações sobre um triângulo numérico muito especial, cheio de relações matemáticas importantes.
Os números que formam o triângulo de Pascal são os números combinatórios.
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Triângulo de Pascal
5...
2 3 4
4
3
2
1
0
510
0010203040
11213141
223242
3343
44
np
1
1
1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4 1
50
51
52
53
54
55
...
1 5 10 10 5 1
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Propriedades dosnúmeros binomiais
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Propriedades
Dois números combinatórios de mesmo numerador são iguais, se e somente se:
n
p=
n
q⇔
p = q
ou
p + q = n
→ idênticos
→ complementares
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Propriedades
Somando-se dois números consecutivos de uma linha do triângulo de Pascal encontra-se o resultado na linha seguinte abaixo do segundo número somado.
n
p+
n
p + 1=
n + 1
p + 1
Relação de Stifel.
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Exemplos
Um grupo tem 8 pessoas. Entre elas, o indivíduo A. Deseja-se formar, a partir desse grupo, uma comissão de 5 pessoas.
a) Quantas são as formas de a comissão ser formada?
b) Em quantas delas aparece o indivíduo A?
c) Em quantas delas não aparece o indivíduo A?
d) Que relação existe entre os resultados dos três itens anteriores?
C8,5 = 56
C7,4 = 35
C7,5 = 21
C7,4 + C7,5 = C8,5
7
4+ =
7
5
8
5⇒
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Exemplos
A partir da relação de stifel, resolva as equações.
8
4+ =
8
5
9
pa) ⇒ P = 5 ou p =4.
15
6+ =
15
8
16
p – 2b)
⇒ p – 2 = 7 ou p – 2 = 9
⇒ p = 9 ou p = 11.
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Exemplos
A partir da relação de stifel, resolva as equações.
7
3+ =
7
4
9
pc)
⇒ p = 5 ou p =4.
+8
5
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Exemplos
Calcule a soma dos elementos de cada linha do triângulo de Pascal.
a) O que você observa?
b) Qual será a soma dos elementos da linha n = 8? E da linha n = 10?
c) Genarilize quanto vale
d) Resolva a equação
É uma potência de base 2 e expoente n.
28 = 256 e 210 = 1024.
= 2n
2n = 512 ⇒ n = 9
n
0+ +
n
1
n
2
n
0+ + ... +
n
1
n
n
+ ... +n
n= 512