arranjo fatorial de tratamentos

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ARRANJO FATORIAL DE TRATAMENTOS Mario Andrade Lira Junior

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Page 1: Arranjo fatorial de tratamentos

ARRANJO FATORIAL DE TRATAMENTOS

Mario Andrade Lira Junior

Page 2: Arranjo fatorial de tratamentos

CARACTERÍSTICAS BÁSICAS

Utilizável em qualquer delineamento experimental

Continua a desdobrar a variação total de acordo com o delineamento

Tratamento é combinação de níveis de fatores, e seu efeito é desdobrado na ANOVA

Ou seja, além da divisão da variação entre tratamento e demais componentes

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.

Page 3: Arranjo fatorial de tratamentos

TERMOS IMPORTANTES

Nível – cada item de um fator

Tratamento – combinação de um nível de cada fator

Efeito principal - cada fator como se fosse um experimento sozinho

Efeito secundário=interação

Como um (ou mais) fator(es) modifica(m) o que acontece com o(s) outro(s)

A variação de dois ou mais fatores que não se deve a qualquer deles isoladamente (ou à interação entre dois dos três, etc)

Número real de repetições – quantas parcelas físicas do experimento têm cada nível do fator

Pode ser diferente para cada fator

Afeta a precisão dos testes F e Tukey para o fator

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Page 4: Arranjo fatorial de tratamentos

VANTAGENS E DESVANTAGENS

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.

Vantagens Desvantagens

Estuda efeitos principais e interações

Pode aumentar demais o número de tratamentos

FlexívelPode ter interpretação difícil,

quando tem muitas interações

Aproxima mais da realidade

Maior número de repetições para efeitos principais

Page 5: Arranjo fatorial de tratamentos

INTERAÇÃO

Se não for significativa, (F não significativo), estudar os efeitos principais Cada fator é avaliado separadamente, ou seja os demais fatores

funcionam como repetições

Se for significativa, não estudar os efeitos principais Como a interação foi significativa, indica que um fator “mexe”

com o outro Não faz sentido ver o que acontece com cada um em separado

O desdobramento é feito avaliando um fator “dentro” do outro Compara todos os níveis do fator 2 considerando o nível X do

fator 1 Depois compara os níveis do fator 1, para cada nível do 2

É a razão de tabelas com letras maiúsculas e minúsculas junto de cada valor

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Page 6: Arranjo fatorial de tratamentos

EXEMPLOS DE APRESENTAÇÃO2

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80

100

120

140

160

180

0 50 100 150 200

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 50 100 150 200

0

20

40

60

80

100

120

140

160

Adubo Nacional Nativa Tropical

Maté

ria S

eca d

e N

ód

ulo

s (

mg

/pla

nta

)

Com P Sem P

Tabela x - Efeito de diferentes

fontes de nitrogênio, na presença

e na ausência de adubação

fosfatada, sobre a nodulação do

feijão caupi

subsequente, Marte, 2050

Fontes de NAdubação fosfatada

Com Sem

Ad. 72Ba 45Ab

Nac. 129Aa 45Ab

Nat. 146Aa 64Ab

Tr. 144Aa 51Ab

Valores em uma mesma coluna,

seguidos de letras maiúsculas

idênticas, ou em uma mesma

linha seguidos por letras

minúsculas idênticas, não se

diferenciaram ao nível de 5% pelo

teste de Tukey

Page 7: Arranjo fatorial de tratamentos

FORMAÇÃO DE TRATAMENTOS

Combina um nível de cada um dos fatores

Exemplo com três fatores Cobertura verde (Cob) – mato (Mato), Mil. (Mil.) ou Muc. (Muc.) Fonte de nitrogênio (N) – Ad. (Ad), inoculante Nac. (Nac), não

inoculado=Nat. (Nat), inoculante Tr. (Trop) Fósforo (P) – com (Com) ou sem (Sem)

Notação comum: 3 x 4 x 2

24 tratamentos

Procedimento Fixa um nível do primeiro fator (Mato) Fixa um nível do segundo fator (Ad) Combina com todos os níveis do terceiro fator (Mato, Ad, Com e

Mato, Ad, Sem) Fixa o próximo nível do segundo fator (Nac) Repetir até acabarem todas as combinações dos fatores 2 e 3 Passar para o próximo nível do fator 1 Repetir até acabar

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Page 8: Arranjo fatorial de tratamentos

ESQUEMA DE FORMAÇÃO DE TRATAMENTOS

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01

3-2

. Tratamento Cobertura Fonte de N P

1 Mato Ad Com

2 Mato Ad Sem

3 Mato Nac Com

4 Mato Nac Sem

5 Mato Nat Com

6 Mato Nat Sem

7 Mato Trop Com

8 Mato Trop Sem

9 Mil. Ad Com

10 Mil. Ad Sem

11 Mil. Nac Com

12 Mil. Nac Sem

13 Mil. Nat Com

14 Mil. Nat Sem

15 Mil. Trop Com

16 Mil. Trop Sem

17 Muc. Ad Com

18 Muc. Ad Sem

19 Muc. Nac Com

20 Muc. Nac Sem

21 Muc. Nat Com

22 Muc. Nat Sem

23 Muc. Trop Com

24 Muc. Trop Sem

Page 9: Arranjo fatorial de tratamentos

DESDOBRAMENTO DO EFEITO DE TRATAMENTOS A variação total desdobra de acordo com o delineamento, do

mesmo jeito de sempre

O efeito dos tratamentos é dividido em:

Efeitos principais

Cobertura, Fonte de N, Fósforo

Interações

Entre dois fatores - Todas as combinações de dois fatores

Cob x N, Cob x P,N x P

Entre três fatores -Todas as combinações entre três fatores

Cob x N x P

O desdobramento segue a lógica normal

Graus de liberdade

Soma de quadrados

Quadrado médio e teste de F

Como de costume

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.

Page 10: Arranjo fatorial de tratamentos

GRAUS DE LIBERDADE

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.

Page 11: Arranjo fatorial de tratamentos

SOMA DE QUADRADOS

Efeito Principal

Mesma lógica de SQT ou SQB

Interação

Mesma lógica do GL, adaptada para SQ na mesma lógica do Efeito Principal

A soma dos SQs dos efeitos=SQT

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Cfatorreaispetições

nívelcadadetotalSQFator

Re

2

2121

22

21

2

11

2

Re

21

FatorFatorCombinação

nxnxx

Combinação

SQSQSQSQ

Ccombinaçãocadaparcelasnúmero

TratTratTratC

combinaçãoreaispetições

ecombinaçãototalSQ

Page 12: Arranjo fatorial de tratamentos

SIMPLIFICAÇÃO DOS CÁLCULOS

Os cálculos das SQ são simplificados com tabelas de dupla entrada

Uma tabela para cada combinação de dois fatores

Os efeitos principais usam os totais

A interação usa a parte central da tabela

O total geral tem de ser igual ao total do experimento

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Fator 1

1 2 3 Total

Fator 2 1

2

3

Total Total

Geral

Page 13: Arranjo fatorial de tratamentos

EXEMPLO

Local – Unidade Acadêmica de Júpiter, 2100

Cultura – Caupi

Delineamento experimental Blocos completos, com três repetições

Fatorial 3x4x2 Cobertura verde (A)

Mato Milheto - Mil. Mucuna - Muc.

Fonte de nitrogênio no caupi (N) Adubo químico – Ad. Inoculação com estirpe recomendada Nacionalmente – Nac. Inoculação com estirpes isoladas de região Tropical – Tr. ausência de inoculação – Nat.

Adubação fosfatada no caupi (P) Com Sem

Variável apresentada Matéria seca de nódulos do caupi (MSN)

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Page 14: Arranjo fatorial de tratamentos

DADOS

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.

BL. A N P MSN BL. A N P MSN BL. A N P MSN

BI Mato Ad. com 60 BII Mato Ad. com 40 BIII mato Ad. com 99

BI Mato Ad. sem 57 BII Mato Ad. sem 35 BIII mato Ad. sem 56

BI Mato Nac. com 137 BII Mato Nac. com 85 BIII mato Nac. com 83

BI Mato Nac. sem 64 BII Mato Nac. sem 69 BIII mato Nac. sem 24

BI Mato Nat. com 182 BII Mato Nat. com 122 BIII mato Nat. com 301

BI Mato Nat. sem 90 BII Mato Nat. sem 50 BIII mato Nat. sem 95

BI Mato Tr. com 229 BII Mato Tr. com 158 BIII mato Tr. com 191

BI Mato Tr. sem 43 BII Mato Tr. sem 59 BIII mato Tr. sem 80

BI Mil. Ad. com 39 BII Mil. Ad. com 94 BIII Mil. Ad. com 30

BI Mil. Ad. sem 38 BII Mil. Ad. sem 60 BIII Mil. Ad. sem 20

BI Mil. Nac. com 128 BII Mil. Nac. com 148 BIII Mil. Nac. com 32

BI Mil. Nac. sem 26 BII Mil. Nac. sem 38 BIII Mil. Nac. sem 35

BI Mil. Nat. com 44 BII Mil. Nat. com 135 BIII Mil. Nat. com 115

BI Mil. Nat. sem 15 BII Mil. Nat. sem 25 BIII Mil. Nat. sem 65

BI Mil. Tr. com 136 BII Mil. Tr. com 57 BIII Mil. Tr. com 96

BI Mil. Tr. sem 71 BII Mil. Tr. sem 27 BIII Mil. Tr. sem 29

BI Muc. Ad. com 150 BII Muc. Ad. com 75 BIII Muc. Ad. com 60

BI Muc. Ad. sem 21 BII Muc. Ad. sem 60 BIII Muc. Ad. sem 55

BI Muc. Nac. com 145 BII Muc. Nac. com 195 BIII Muc. Nac. com 205

BI Muc. Nac. sem 49 BII Muc. Nac. sem 59 BIII Muc. Nac. sem 40

BI Muc. Nat. com 113 BII Muc. Nat. com 131 BIII Muc. Nat. com 175

BI Muc. Nat. sem 57 BII Muc. Nat. sem 60 BIII Muc. Nat. sem 120

BI Muc. Tr. com 115 BII Muc. Tr. com 205 BIII Muc. Tr. com 108

BI Muc. Tr. sem 51 BII Muc. Tr. sem 51 BIII Muc. Tr. sem 52

Page 15: Arranjo fatorial de tratamentos

TABELA PARA CALCULAR EFEITOS GERAIS

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Tratamento BI BII BIII Total

1 Mato Adubo Com 60 40 99 199

2 Mato Adubo Sem 57 35 56 148

3 Mato Nacional Com 137 85 83 305

4 Mato Nacional Sem 64 69 24 157

5 Mato Nativa Com 182 122 301 605

6 Mato Nativa Sem 90 50 95 235

7 Mato Tropical Com 229 158 191 578

8 Mato Tropical Sem 43 59 80 182

9 Milheto Adubo Com 39 94 30 163

10 Milheto Adubo Sem 38 60 20 118

11 Milheto Nacional Com 128 148 32 308

12 Milheto Nacional Sem 26 38 35 99

13 Milheto Nativa Com 44 135 115 294

14 Milheto Nativa Sem 15 25 65 105

15 Milheto Tropical Com 136 57 96 289

16 Milheto Tropical Sem 71 27 29 127

17 Mucuna Adubo Com 150 75 60 285

18 Mucuna Adubo Sem 21 60 55 136

19 Mucuna Nacional Com 145 195 205 545

20 Mucuna Nacional Sem 49 59 40 148

21 Mucuna Nativa Com 113 131 175 419

22 Mucuna Nativa Sem 57 60 120 237

23 Mucuna Tropical Com 115 205 108 428

24 Mucuna Tropical Sem 51 51 52 154

Total 2060 2038 2166 6264

Page 16: Arranjo fatorial de tratamentos

CÁLCULOS DOS EFEITOS GERAIS2

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.

C=(∑X)²/anpb=(60+57+...+52)²/(3x4x2x3)=6264²/72=544968

SQTot=∑x²-c=∑(60²+57+...+52²)-544968=243172,00

SQB=∑B²/anp-c=∑(2060²+2038²+2166²)/24-544968=390,33

SQT=∑T²/B-c=∑(199²+148²+...+154²)/3-544968=177427,33

GLTot=tb-1=anpb-1=(3x4x2x3)-1=71

GLT=t-1=anp-1=(3x4x2)-1=23

GLB=b-1=3-1=2

GLR=GLTot-GLB-GLT=71-2-23=46

SQR=SQTot-SQB-SQT=243172,00-390,33-177427,30=65354,33

Page 17: Arranjo fatorial de tratamentos

DESDOBRAMENTO DOS TRATAMENTOS

Efeitos principais

Cobertura verde (C)

Fonte de N (N)

Fósforo (P)

Interações duplas

C x N, C x P, N x P

Interação tripla

C x N x P

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Page 18: Arranjo fatorial de tratamentos

CÁLCULOS DOS EFEITOS PRINCIPAIS

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3-2

.

Mato Milheto Mucuna Total

Adubo 347 281 421 1049

Nacional 462 407 693 1562

Nativa 840 399 656 1895

Tropical 760 416 582 1758

Total 2409 1503 2352 6264

Page 19: Arranjo fatorial de tratamentos

CONTINUAÇÃO EFEITOS PRINCIPAIS

Fósforo

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.

Mato Milheto Mucuna Total

Com 1687 1054 1677 4418

Sem 722 449 675 1846

Total 2409 1503 2352 6264

Com Sem Total

Adubo 647 402 1049

Nacional 1158 404 1562

Nativa 1318 577 1895

Tropical 1295 463 1758

Total 4418 1846 6264

Page 20: Arranjo fatorial de tratamentos

GRAUS DE LIBERDADES DAS INTERAÇÕES DUPLAS

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.

Page 21: Arranjo fatorial de tratamentos

SOMA DE QUADRADOS DAS INTERAÇÕES DUPLAS

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/1/2

014

21

Ma

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01

3-2

.

Page 22: Arranjo fatorial de tratamentos

INTERAÇÃO TRÍPLICE

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014

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Agric

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01

3-2

.

Page 23: Arranjo fatorial de tratamentos

ANOVA

FV GL SQ QM F PR >F (NS)

A 2 21456,75 10728,38 7,551225 0,001459

N 3 22911,67 7637,222 5,3755 0,002947

P 1 91877,56 91877,56 64,66851 2,57E-10

A x N 6 14075,25 2345,875 1,651157 0,154804

A x P 2 4008,028 2004,014 1,410536 0,254368

N x P 3 12002,78 4000,926 2,816073 0,049473

A x N x P 6 11095,31 1849,218 1,301582 0,275554

Tratamento 23 177427,3

Bloco 2 390,3333

Residuo 46 65354,33 1420,746

Total 71 243172

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3-2

.

Page 24: Arranjo fatorial de tratamentos

TESTE DE TUKEY – EFEITO PRINCIPAL

Cobertura verde

22

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014

24

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Agric

ultu

ra, 2

01

3-2

.

38,26)(3)(2)(4

)46,3%,5(

bxpxN

QMRq

Cobertura Total MédiaMato 2409 100,38 AMilheto 1503 62,62 BMucuna 2352 98,00 A

Tabela 1 - Efeito de diferentes adubos

verdes sobre a nodulação do feijão

caupi subsequente, Marte, 2050

Adubo Verde MSN

Mato 100A

Milheto 63B

Mucuna 98A

Valores em uma mesma coluna,

seguidos de letras idênticas não se

diferenciaram ao nível de 5% pelo

teste de Tukey

Page 25: Arranjo fatorial de tratamentos

TESTE DE TUKEY – INTERAÇÃO N X P2

2/1

/2014

Ma

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Agric

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01

3-2

.

25

N dentro de P

Com Sem

Adubo 71,89 B Adubo 44,67 A

Nacional 128,67 A Nacional 44,89 A

Nativa 146,44 A Nativa 64,11 A

Tropical 143,89 A Tropical 51,44 A

94,21)(3)(3

)46,4%,5(

bxa

QMRq

P dentro de N

04,29)(3)(3

)46,2%,5(

bxa

QMRq

Ad. Nac. Nat. Trop.

C 71,89 a C 128,67 a C 146,44 a C 143,89 a

S 44,67 b S 44,89 b S 64,11 b S 51,44 b

Tabela 2 - Efeito de diferentes fontes de nitrogênio, na presença e na ausência de adubação fosfatada,

sobre a nodulação do feijão caupi subsequente, Marte, 2050

Fontes de NAdubação fosfatada

Com Sem

Adubo 72Ba 45Ab

Nacional 129Aa 45Ab

Nativa 146Aa 64Ab

Tropical 144Aa 51AbValores em uma mesma coluna, seguidos de letras maiúsculas idênticas, ou em uma mesma linha seguidos por letras minúsculas idênticas, não

se diferenciaram ao nível de 5% pelo teste de Tukey

Page 26: Arranjo fatorial de tratamentos

SAS

ProgramaProc GLM data=aula.fatorial;

Class bloco adverde fonteN fosforo;

Model MSN=bloco adverde fonteN fosforo adverde*fontenadverde*fosforo fonten*fosforo adverde*fonte*fosforo;

LSMEANS adverde|fonteN|fosforo /adjust=Tukey pdiff;

Run;

Quit;

Interpretação

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014

26

Ma

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Agric

ultu

ra, 2

01

3-2

.

The SAS System 18:44 Sunday, May 30, 2010 1

The GLM Procedure

Class Level Information

Class Levels Values

BLOCO 3 BI BII BIII

AdVerde 3 Mato Milheto Mucuna

FonteN 4 Adubo Nacional Nativa Tropical

Fosforo 2 Com Sem

Number of observations 72

Page 27: Arranjo fatorial de tratamentos

MODELO E ANOVA2

2/1

/2014

27

Ma

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átic

o E

sta

tístic

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plic

ad

a à

Agric

ultu

ra, 2

01

3-2

.

The SAS System 18:44 Sunday, May 30, 2010 2

The GLM Procedure

Dependent Variable: MSN MSN

Sum of

Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F

Model 25 177817.6667 7112.7067 5.01 <.0001

Error 46 65354.3333 1420.7464

Corrected Total 71 243172.0000

R-Square Coeff Var Root MSE MSN Mean

0.731242 43.32505 37.69279 87.00000

Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F

BLOCO 2 390.33333 195.16667 0.14 0.8720

AdVerde 2 21456.75000 10728.37500 7.55 0.0015

FonteN 3 22911.66667 7637.22222 5.38 0.0029

AdVerde*FonteN 6 14075.25000 2345.87500 1.65 0.1548

Fosforo 1 91877.55556 91877.55556 64.67 <.0001

AdVerde*Fosforo 2 4008.02778 2004.01389 1.41 0.2544

FonteN*Fosforo 3 12002.77778 4000.92593 2.82 0.0495

AdVerd*FonteN*Fosfor 6 11095.30556 1849.21759 1.30 0.2756

Page 28: Arranjo fatorial de tratamentos

TUKEY PARA EFEITO PRINCIPAL DE INTERESSE2

2/1

/2014

28

Ma

teria

l did

átic

o E

sta

tístic

a A

plic

ad

a à

Agric

ultu

ra, 2

01

3-2

.

The SAS System 18:44 Sunday, May 30, 2010 3

The GLM Procedure

Least Squares Means

Adjustment for Multiple Comparisons: Tukey

LSMEAN

AdVerde MSN LSMEAN Number

Mato 100.375000 1

Milheto 62.625000 2

Mucuna 98.000000 3

Least Squares Means for effect AdVerde

Pr > |t| for H0: LSMean(i)=LSMean(j)

Dependent Variable: MSN

i/j 1 2 3

1 0.0032 0.9741

2 0.0032 0.0060

3 0.9741 0.0060

Page 29: Arranjo fatorial de tratamentos

TUKEY PARA INTERAÇÃO SIGNIFICATIVA2

2/1

/2014

29

Ma

teria

l did

átic

o E

sta

tístic

a A

plic

ad

a à

Agric

ultu

ra, 2

01

3-2

.

The SAS System 18:44 Sunday, May 30, 2010 9

The GLM Procedure

Least Squares Means

Adjustment for Multiple Comparisons: Tukey

LSMEAN

FonteN Fosforo MSN LSMEAN Number

Adubo Com 71.888889 1

Adubo Sem 44.666667 2

Nacional Com 128.666667 3

Nacional Sem 44.888889 4

Nativa Com 146.444444 5

Nativa Sem 64.111111 6

Tropical Com 143.888889 7

Tropical Sem 51.444444 8

Least Squares Means for effect FonteN*Fosforo

Pr > |t| for H0: LSMean(i)=LSMean(j)

Dependent Variable: MSN

i/j 1 2 3 4 5 6 7 8

1 0.7863 0.0474 0.7931 0.0029 0.9998 0.0044 0.9415

2 0.7863 0.0005 1.0000 <.0001 0.9548 <.0001 0.9999

3 0.0474 0.0005 0.0006 0.9721 0.0149 0.9884 0.0018

4 0.7931 1.0000 0.0006 <.0001 0.9575 <.0001 0.9999

5 0.0029 <.0001 0.9721 <.0001 0.0007 1.0000 <.0001

6 0.9998 0.9548 0.0149 0.9575 0.0007 0.0012 0.9962

7 0.0044 <.0001 0.9884 <.0001 1.0000 0.0012 0.0001

8 0.9415 0.9999 0.0018 0.9999 <.0001 0.9962 0.0001