planejamento fatorial

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Como variar tudo ao mesmo tempo Um dos problemas mais comuns, para quem faz experimentos, é determinar a influência de uma ou mais variáveis sobre uma outra variável de interesse. Como o rendimento de uma reação varia com a temperatura e com o catalisador? Resposta: rendimento Fatores: temperatura e catalisador ........... ............ Fator 1 Fator 2 Fator 3 Resposta 1 Resposta 2 Resposta 3 Sistema

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como variar elementos numa analise

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Como a estatstica pode ajudar

Como variar tudo ao mesmo tempoUm dos problemas mais comuns, para quem faz experimentos, determinar a influncia de uma ou mais variveis sobre uma outra varivel de interesse.

Como o rendimento de uma reao varia com a temperatura e com o catalisador?

Resposta: rendimentoFatores: temperatura e catalisador

........... ............Fator 1Fator 2Fator 3Resposta 1Resposta 2Resposta 3SistemaO sistema atua como uma funo (desconhecida, em princpio, seno no precisaramos d experimentos) que opera sobre as variveis de entrada (os fatores) e produz como sada as respostas observadas.

Objetivo principal - descobrir essa funoObs.: ou pelos menos descobrir uma aproximao satisfatria.

Com esse conhecimento, pode-se entender melhor a natureza da reao em estudo, e assim escolher as melhores condies de operao do sistema.Como variar tudo ao mesmo tempoNo planejamento de qualquer experimento, a primeira coisa que deve ser feita decidir quais os fatores e as respostas de interesse.

Os fatores, em geral, so as variveis que se pode controlar. Estes podem ser qualitativos, como o tipo de catalisador, ou quantitativos, como a temperatura.

As respostas so as variveis de sadas do sistema, que se tm interesse. As quais podem ser afetadas por modificaes provocadas nos fatores (manipulaes).

As respostas tambm podem ser qualitativas ou quantitativas. E, dependendo do problema, pode se ter vrias respostas de interesse.Como variar tudo ao mesmo tempoTendo identificado todos os fatores e respostas, o prximo passo definir, com o mximo de clareza, o objetivo que se pretende alcanar, para que se possa escolher o planejamento mais apropriado.

Exerccio 24Pense num experimento, de preferncia numa rea de seu interesse, cuja resposta seja quantitativa. Que fatores voc gostaria de examinar, para determinar a possvel influncia deles sobre a resposta? Que fatores poderiam atuar como confundidores? Que fatores poderiam contribuir para o rudo isto, , a flutuao aleatria nas respostas?Como variar tudo ao mesmo tempoPlanejamento fatorial 22

O incio de um planejamento fatorial marcado pela especificao dos nveis em que cada fator deve ser estudado.

A especificao dos nveis significa estabelecer os valores dos fatores (ou, no caso de serem qualitativos, as classes) que vo ser levados em considerao na execuo dos experimentos.

Para um planejamento fatorial completo deve-se realizar experimentos em todas as possveis combinaes dos nveis dos fatores.Como variar tudo ao mesmo tempoPlanejamento fatorial 22

Cada um dos experimentos a que o sistema submetido a um conjunto de nveis definido um ensaio experimental.

Por exemplo:Suponha que os fatores escolhidos sejam a temperatura e o catalisador. Para a temperatura foram definidos quatro nveis (50, 60, 70 e 80 oC) e para o catalisador foram definidos trs nveis (catalisador A, catalisador B e catalisador C). Um ensaio pode ser definido como a temperatura de 60 oC e o catalisador do tipo A.

Neste exemplo sero necessrios 12 ensaios, pois foi definido quatro nveis para o fator temperatura e trs nveis para o fator catalizador.

Neste caso, o planejamento chamado fatorial 4 x 3.

Como variar tudo ao mesmo tempoPlanejamento fatorial 22

Em geral se houver n1 nveis para o fator 1, n2 nveis para fator 2, ... e nk para o fator k, o planejamento ser um fatorial n1 x n2 x ... x nk.

Isso no significa obrigatoriamente que sero realizados apenas n1 x n2 x ... x nk experimentos.

Este o nmero mnimo de experimentos necessrio para um planejamento fatorial completo. Pode-se querer estimar o erro experimental a partir de ensaios repetidos, e nesse caso sero necessrios mais experimentos.Como variar tudo ao mesmo tempoPlanejamento fatorial 22

Para estudar o efeito de qualquer fator sobre uma dada resposta, necessrio faz-lo variar de nvel, e observar o resultado que essa variao produz sobre a resposta.

Para isso, claro, necessrio que o fator sofra variao em pelo menos dois nveis diferentes.

Conclui-se, ento, que o planejamento fatorial mais simples aquele em que todos os fatores so estudados em apenas dois nveis.

Para k fatores, um planejamento completo com dois nveis exige a realizao de 2 x 2 x ... x k ensaios diferentes, sendo dessa forma chamado de planejamento fatorial 2k.Como variar tudo ao mesmo tempoPlanejamento fatorial 22

ExemploConsidere no exemplo anterior sejam escolhidos os nveis 40 e 60 oC para o fator temperatura e os nveis A e B para o fator catalisador.

Para fazer o planejamento 22, deve-se realizar ensaios e registrar as respostas observadas (nesse caso, os rendimentos) em todas as quatro possibilidades de combinaes possveis:

(40 oC A), (40 oC B), (60 oC A), (60 oC B)

Como variar tudo ao mesmo tempoPlanejamento fatorial 22

A lista dessas combinaes, que chamada de matriz planejamento, representada na tabela abaixo, juntamente com os rendimentos obtidos em cada ensaio.

Observe que todos os ensaios foram obtidos em duplicata produzindo oito respostas no total. S assim pode-se estimar o erro experimental de uma resposta individual.

A extenso desse erro importante para decidir se h ou no efeitos significativos que podem ser atribudos ao dos fatores.Como variar tudo ao mesmo tempo

Exerccio 25

Suponha que alm da temperatura e do catalisador, nos nveis que foram citados, o qumico deseja estudar ao mesmo tempo, por meio de um planejamento fatorial, o efeito de trs valores de presso: 1, 5 e 10 atm. Quantos ensaios no mnimo ele ter de realizar, para um planejamento fatorial completo?Como variar tudo ao mesmo tempoClculo dos efeitos

Considere a tabela do planejamento para os dois nveis de temperatura e os dois nveis de catalisador.

Quando foi usado o catalisador A e a temperatura passou de 40 para 60 oC, o rendimento passou de 59 para 90%. Ocorre, portanto um aumento de 31%; ou seja, essa foi a variao no rendimento.

Quando foi escolhido o catalisador B e se fez variar a temperatura de 40 para 60 oC, o rendimento passou de 54 para 68%. Portanto houve um aumento do rendimento de 14%.

Isto demonstra que o efeito da temperatura depende do nvel em que o catalisador est.Como variar tudo ao mesmo tempoExerccio 26

Tambm pode ser observado que o efeito do catalisador depende do nvel em que se utiliza a temperatura.

Considerando os ensaios temperatura de 40 oC, observa-se que o rendimento diminui em 5%, quando se substitui o catalisador A pelo o catalisador B.

E, considerando-se os ensaios obtidos a 60 oC, observa-se que o rendimento diminui de 22%, quando o catalisador A substitudo pelo catalisador B.

Quando o efeito de uma varivel depende do nvel da outra, como nesse caso, dizemos que as duas variveis interagem. Nesses casos, necessrios calcular o efeito de interao entre as variveis dependentes entre si.

Como variar tudo ao mesmo tempoComo variar tudo ao mesmo tempo

Como variar tudo ao mesmo tempo

Para o catalisador, o nvel superior corresponde aos ensaios 3 e 4 e o inferior aos ensaios 1 e 2. O efeito principal do catalisador ser portanto de

Observe que o efeito negativo.

Quando se faz a troca do catalisador A pelo catalisador B o rendimento cai 13,5% em mdia.

Se no houvesse interao, o efeito da temperatura deveria ser o mesmo com qualquer catalisador.

Mas observa-se que o efeito da temperatura +31% maior quando se usa o catalisador A, mas de apenas + 14% quando se usa o catalisador B.

Considera-se a diferena entre eles como uma medida da interao entre os fatores T e C.

Na verdade por uma questo de consistncia com os outros efeitos, a metade da diferena que , por definio (como ser visto mais tarde), o efeito de interao entre os dois fatores.Como variar tudo ao mesmo tempo

Usando TxC, ou simplesmente, TC, para representar o efeito de interao entre os fatores temperatura e catalisador, pode-se escrever

Note que nessa diferena entre o valor do efeito T correspondente ao nvel inferior do catalisador (que pela conveno adotada o catalisador do tipo A) foi subtrado do valor correspondente ao nvel superior (catalisador do tipo B).

Assim, TC a diferena entre a resposta mdia no nvel superior pela resposta mdia no nvel inferior para T

Cada efeito a diferena entre duas mdias. Metade das observaes contribui para uma das mdias, e a metade restante contribui para a outra mdia.Como variar tudo ao mesmo tempo

Interpretao geomtrica dos efeitos

Pode-se d uma interpretao geomtrica aos efeitos calculados. Para isto, deve-se representar o planejamento experimental num sistema cartesiano, com um eixo para cada fator.

Como foram considerados apenas dois fatores (valor da temperatura e tipo de catalisador), o espao definido para estes ser um plano.

Escolhendo-se apropriadamente as escalas dos eixos, pode-se colocar os quatro ensaios nos vrtices de um quadrado.

Atribuindo-se sinais algbricos aos ensaios de acordo com as equaes dos clculos dos efeitos, conclui-se que os efeitos principais so contrastes, isto , (diferenas mdias) entre valores situados em arestas opostas e perpendiculares ao eixo do fator correspondente.

.Como variar tudo ao mesmo tempo

Interpretao geomtrica dos efeitos num planejamento fatorial 22, os efeitos principais so contrastes entre arestas opostas:Efeito da temperaturaEfeito do catalisador

Interpretao geomtrica dos efeitos

O efeito de interao o contraste entre duas diagonais, considerando-se positiva a diagonal que liga o ensaio (- -) ao ensaio (++).

Por isso se dividiu por dois quando do clculo do efeito TC. Dessa forma, este efeito pode ser interpretado geometricamente como uma diferena mdia.

.

Como variar tudo ao mesmo tempo

Interpretao geomtrica do efeito de interao num planejamento fatorial 22: o efeito de interao o contraste entre duas diagonais.