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Caderno RQ4

Análise Combinatória

Prof. Milton Araujo

2016 INSTITUTO INTEGRAL | www.institutointegralead.com.br

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Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

Sumário

1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 3

2 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM .................................................................................... 4

3 PERMUTAÇÃO SIMPLES ................................................................................................................... 6

4 PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÕES .................................................................................................. 10

5 ARRANJO SIMPLES......................................................................................................................... 14

5.1 CÁLCULO DE ARRANJO SIMPLES SEM FÓRMULA ................................................................................. 14

6 ARRANJO COM REPETIÇÕES .......................................................................................................... 16

7 COMBINAÇÃO SIMPLES ................................................................................................................. 17

7.1 CÁLCULO DE COMBINAÇÃO SIMPLES SEM FÓRMULA ........................................................................... 17

8 COMBINAÇÃO COM REPETIÇÕES .................................................................................................. 19

9 RESUMO ........................................................................................................................................ 21

9.1 PERMUTAÇÃO ........................................................................................................................... 21

9.2 ARRANJO.................................................................................................................................. 21

9.3 COMBINAÇÃO............................................................................................................................ 21

9.4 O TRIÂNGULO DE TARTAGLIA–PASCAL ............................................................................................ 22

9.4.1 Relação de Stifel ................................................................................................................ 22

10 EXERCÍCIOS .................................................................................................................................... 23

11 TESTES ........................................................................................................................................... 25

12 INSTITUTO INTEGRAL EDITORA - CATÁLOGO ................................................................................ 40

13 CURRÍCULO INFORMAL ................................................................................................................. 47

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tanto para a correção de erros, quanto para a inclusão de novos conteúdos

ou questões resolvidas, ou para melhorar as explicações em alguns tópicos.

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1 Introdução

“Só quem constrói o futuro tem o direito de julgar o passado.”

[Nietzsche]

A Análise Combinatória é um tópico pouco apreciado pelos estudantes. Muitos

deixam de estudar o assunto e perdem boas oportunidades de se destacarem dos

demais concorrentes.

Para que o leitor se sinta motivado a aprender o assunto, deixarei aqui algumas

dicas que poderão ajudá-lo a encaminhar, sem grandes sobressaltos, a solução da

maioria das questões.

Primeira: trabalharemos sempre com a ideia de candidatos (n) e de vagas (p).

Segunda: Na Permutação, pretende-se formar agrupamentos que diferem entre si

somente pela ordem de seus elementos. Em outras palavras, na permutação o

número de candidatos (n) é igual ao número de vagas (p) e a solução consiste

apenas em embaralhar os n elementos do conjunto dado.

Terceira: No Arranjo, os agrupamentos formados diferem entre si tanto pelo

número de elementos, quanto pela ordem desses elementos no resultado. Dito de

outra forma, no Arranjo, o número de candidatos (n) é maior do que o número de

vagas (p): e trocando-se a ordem dos elementos forma-se um resultado

diferente.

Quarta: Na Combinação, os agrupamentos formados diferem entre si pelo

número de elementos, não importando a ordem desses elementos no

resultado.Em outras palavras, na Combinação, o número de candidatos (n) é

maior do que o número de vagas (p): e, trocando-se a ordem dos

elementos em cada resultado, forma-se um conjunto igual.

O assunto não é difícil! Como quase tudo na Matemática, só requer paciência e

motivação para ser encarado e vencido.

Então... Vamos começar?

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2 Princípio Fundamental da Contagem

Vamos ilustrar o modo de raciocinar a contagem com um exemplo básico.

Exemplo:

Um prédio de escritórios tem 2 entradas (a, b) e 3 elevadores (c, d, e). De quantas

maneiras uma pessoa consegue entrar no prédio e acessar um dos escritórios?

Solução:

Por meio do diagrama abaixo (também chamado de “árvore das possibilidades”),

pode-se compreender o raciocínio.

A partir do diagrama ao lado, formamos todos os

pares possíveis:

(a, c); (a, d); (a, e); (b, c); (b, d); (b, e)

Se o nosso objetivo for encontrar apenas o total

de possibilidades, basta-nos raciocinar da

seguinte maneira:

Para cada entrada, tem-se 3 elevadores. Em

matemática, a palavra cada significa

multiplicação.

Note que, para cada uma das 2 entradas, há 3

elevadores disponíveis. Logo, 2 × 3 = 6

Resposta: Há 6 maneiras de se entrar no prédio e acessar um dos escritórios.

Este exemplo ilustra um raciocínio que é conhecido como princípio fundamental

da Contagem, enunciado do seguinte modo:

“O número de possibilidades de ocorrer uma sucessão de eventos é dado

pelo produto dos números de possibilidades de ocorrer cada um dos

eventos.”

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Em palavras simples: princípios de contagem são princípios multiplicativos, isto

é, faz-se contagens de arranjos e combinações de maneira rápida por meio de

multiplicações.

Desafio:

Tendo assimilado o conceito acima, o leitor estará apto a responder rapidamente

o seguinte problema:

Um prédio de escritórios tem 2 entradas, 3 elevadores, 4 andares e 5 escritórios

por andar. De quantas maneiras uma pessoa consegue entrar no prédio e acessar

um dos escritórios?

Resposta: 120.

Fatorial de um número Natural n

Símbolo: !

O símbolo "!" ao lado de um número significa fatorial deste número e é calculado

do seguinte modo:

Exemplo:

Por definição: 1! = 1 e 0! = 1

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3 Permutação Simples

Uma Permutação simples de n elementos de um dado conjunto é uma sequência

desses n elementos, de modo que cada mudança na ordem desses elementos

determina uma permutação diferente. Os elementos a serem permutados são

todos distintos, isto é, não há elementos repetidos.

Fórmula:

A simbolização é lida como: “Permutação de n elementos”

Exemplo:

Com as cores azul, verde e vermelha, uma pessoa deseja pintar bandeirinhas com

três listras cada uma. Sem repetir cores, quantas bandeirinhas será possível pintar

com essas três cores?

Solução 1:

Formar os conjuntos manualmente:

Azul Azul Verde Verde Vermelha Vermelha

Verde Vermelha Azul Vermelha Azul Verde

Vermelha Verde Vermelha Azul Verde Azul

Resposta:

Com as três cores disponíveis é possível pintar 6 bandeirinhas com 3 listras cada

uma, sem repetir cores.

Imagine você fazer o esquema acima com 5 cores e 5 listras...

Solução 2:

Usando a fórmula da Permutação, com n = 3:

7


Resposta:

Com as três cores disponíveis é possível pintar 6 bandeirinhas com 3 listras cada

uma, sem repetir cores.

Outro exemplo:

Com as letras da palavra ESCOLA:

a) Quantos anagramas* podemos formar?

[(*) Nota: “anagrama” é um conjunto formado com todas as letras de uma

palavra sob qualquer ordenamento. Exemplo: CSOLEA é um anagrama da

palavra ESCOLA. Veja que um anagrama não precisa formar uma palavra com

significado.]

Solução:

Basta calcularmos a Permutação de n = 6 elementos:

Resposta:

Com as 6 letras da palavra ESCOLA é possível formar 720 anagramas.

b) Quantos anagramas começam com a letra E?

Solução:

Veja que a letra E não participará do embaralhamento, pois permanecerá fixa no

começo da palavra. Assim, restam n = 5 letras:

Resposta:

É possível formar 120 anagramas que começam com a letra E.

8


c) Quantos anagramas começam com a letra E e terminam com a letra A?

Solução:

Agora são as letras E e A que não participarão do embaralhamento. Restam,

portanto, n = 4 letras:

Resposta:

É possível formar 24 anagramas que começam com a letra E e terminam com a

letra A.

d) Em quantos anagramas aparece a sílaba LA?

Solução:

Observe o esquema a seguir:

E S C O LA

Veja que as letras LA devem permanecer juntas e sempre nesta ordem.

Se embaralharmos os cartões acima, teremos o total de anagramas pedido.

Resposta:

É possível formar 120 anagramas que contêm a sílaba LA.

e) Em quantos anagramas aparecem juntas as letras E e S?

Solução:

Observe o esquema a seguir:

ES C O L A

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ou

SE C O L A

Veja que agora as letras E e S devem permanecer juntas, em qualquer ordem.

Podemos raciocinar do seguinte modo:

(1) há um embaralhamento externo, que consiste em se embaralhar os cartões,

sem nos preocuparmos com o conteúdo de cada cartão. O resultado desse

embaralhamento é dado pela permutação de 5:

(2) Há também um embaralhamento interno, que consiste em se observar se há

cartões com letras que podem se apresentar em qualquer ordem. Neste caso, as

letras E e S podem se apresentar como: ES ou SE, ou seja, permutação de 2:

O resultado final é dado por

Resposta:

É possível formar 240 anagramas com as letras E e S juntas.

Desafio:

f) Em quantos anagramas aparecem juntas as letras E, S e L?

Dica: Coloque as letras E, S e L em um único cartão e faça os embaralhamentos

(permutações) externo e interno.

ESL C O A

Resposta: 144.

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4 Permutação com Repetições

Nas permutações com repetições há elementos repetidos, tornando-se necessário

levar em conta que tais elementos não geram novos resultados, e, desse modo,

tais conjuntos devem ser retirados da contagem.

Por exemplo:

Na palavra CLORO, se trocarmos as duas letras O de lugar não teremos uma

palavra diferente.

Fórmula:

onde:

significa "Permutação de n elementos com repetições";

n é o número de elementos a serem permutados;

a, b, ... representam as quantidades de repetições de cada elemento.

Exemplo:

Quantos anagramas tem a palavra CLORO?

Solução:

Como há duas letras O dentre as 5 letras da palavra CLORO, devemos dividir o

fatorial de 5 pelo fatorial de 2.

Resposta:

A palavra CLORO tem 60 anagramas.

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Exercícios Resolvidos:

1) Quantos são os anagramas da palavra BANANA?

Solução:

Há três letras A e duas letras N dentre as 6 letras da palavra BANANA, logo

Resposta:

A palavra BANANA tem 60 anagramas.

2) Dividindo-se o número de anagramas da palavra ITAQUAQUECETUBA pelo

número de anagramas da palavra PINDAMONHANGABA, obtém-se uma fração

equivalente a

a) 1/3.

b) 1/2.

c) 3/5.

d) 2/3.

e) 3/2.

Solução:

ITAQUAQUECETUBA tem 15 letras (n = 15), com as seguintes repetições:

2 letras T, 3 letras A, 2 letras Q, 3 letras U, 2 letras E.

PINDAMONHANGABA tem 15 letras (n = 15), com as seguintes repetições:

3 letras N, 4 letras A.

Dividindo-se um resultado pelo outro (conforme solicita o comando da questão):

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Resposta: Alternativa B.

Retomando-se o exemplo com a palavra ESCOLA, responda:

a) Quantas palavras com 3 letras podemos formar?

b) Quantos conjuntos com 3 letras podemos formar?

Veja que agora

n = 6

p = 3

O número de candidatos (n) é maior do que o número de vagas (p)

Sempre que isto acontecer, é necessário tomar uma decisão entre Arranjo e

Combinação.

Para tomar tal decisão, retire uma possível resposta da questão. Por exemplo, no

item a solicita-se a quantidade de palavras com 3 letras que podem ser formadas

a partir das letras da palavra ESCOLA.

ESC é uma das palavras com 3 letras. Note que quaisquer 3 letras da palavra

ESCOLA formará uma nova palavra com 3 letras. Aqui não é necessário que a

palavra tenha sentido!

Faça uma troca de dois elementos nesta possível resposta:

SEC

Agora, compare os dois resultados: ESC e SEC.

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Veja que as palavras são diferentes! Isto nos informa que a ordem dos elementos

no resultado é relevante, isto é, a troca de dois elementos cria uma resposta

diferente.

Quando isto ocorre, resolve-se a questão por Arranjo.

Faremos a mesma análise com relação ao item

b) Quantos conjuntos com 3 letras podemos formar?

Tomaremos aqui o mesmo grupo de letras que usamos para a análise anterior:

{E, S, C}

Trocando-se a posição de dois elementos no conjunto acima, tem-se: {S, E, C}.

Observe que os conjuntos {E, S, C} e {S, E, C} são o mesmo conjunto, isto é,

não importa a ordem com que os elementos se apresentam dentro do conjunto. O

conjunto é o mesmo!

Isto nos diz que a ordem dos elementos no resultado NÃO É relevante.

Quando isto ocorre, resolve-se a questão por Combinação.

Passaremos agora a ver como calcular Arranjos e Combinações simples, tanto

por meio de fórmulas, quanto seu o uso delas...

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5 Arranjo Simples

Fórmula:

onde:

é lido como "Arranjo de n elementos, tomados p a p."

n é o número de elementos (candidatos) a serem arranjados;

p é o número de vagas nos agrupamentos a serem formados.

Exemplo:

Quantas palavras com 3 letras podemos formar com as letras da palavra

ESCOLA?

Solução:

Já tomamos a decisão de resolver a questão por meio de um Arranjo (leia a

análise feita anteriormente!)

Basta calcularmos o Arranjo das 6 letras da palavra ESCOLA tomando-as 3 a 3,

ou:

Resposta: Com as letras da palavra ESCOLA é possível formar 120 palavras

com 3 letras.

5.1 Cálculo de Arranjo Simples sem fórmula

Para desenvolver o Arranjo de n elementos tomados p a p, sem o uso da fórmula,

proceda do seguinte modo:

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Desenvolva o fatorial de n e pare quando atingir a quantidade p de fatores.

Exemplo:

Note que, acima, o fatorial de 6 foi desenvolvido somente até o terceiro fator,

pois p = 3.

Outro exemplo:

O fatorial de 8 foi desenvolvido somente até o quarto fator, pois p = 4.

Exercícios:

Calcule, sem o uso da fórmula, os seguintes Arranjos:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

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6 Arranjo com Repetições

Exemplo:

Quantas são as possibilidades de se formar placas de veículos automotores com 3

letras e 4 algarismos?

Solução:

Sabe-se que uma placa de carro pode conter tanto letras, quanto algarismos

repetidos, por exemplo: AAQ-7785.

Note que a placa deve conter letras e algarismos.

Faremos a contagem separadamente e multiplicaremos os resultados

encontrados.

Letras:

n = 26

p = 3

Algarismos:

n = 10

p = 4

Resposta:

É possível emplacar 175.760.000 de veículos.

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7 Combinação Simples

Fórmula:

Onde:

é lido como "Combinação de n elementos, tomados p a p."

n é o número de elementos (candidatos) a serem arranjados;

p é o número de vagas nos agrupamentos a serem formados.

Exemplo:

Quantos conjuntos com 3 letras podemos formar com as letras da palavra

ESCOLA?

Solução:

Já tomamos a decisão de resolver a questão por meio de uma Combinação.

Basta calcularmos a Combinação das 6 letras da palavra ESCOLA tomando-as 3

a 3, ou:

Resposta:

Com as letras da palavra ESCOLA é possível formar 20 conjuntos com 3 letras

cada um.

7.1 Cálculo de Combinação Simples sem fórmula

Para desenvolver a Combinação de n elementos tomados p a p, sem o uso da

fórmula, proceda do seguinte modo:

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Desenvolva o fatorial de n e pare quando atingir a quantidade p de fatores. A

seguir, divida pelo fatorial de p.

Exemplo:

Note que, acima, o fatorial de 6 foi desenvolvido somente até o terceiro fator,

pois p = 3. A seguir, dividiu-se pelo fatorial do p.

Outro exemplo:

O fatorial de 8 foi desenvolvido somente até o quarto fator, pois p = 4. A seguir,

dividiu-se pelo fatorial de 4, pois p = 4.

Exercícios:

Calcule, sem o uso da fórmula, as seguintes Combinações:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

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8 Combinação com Repetições

Este tópico raramente é cobrado em Concursos Públicos. No Teste ANPAD não

há notícia da ocorrência de alguma questão nos últimos 14 anos, pelo menos.

Mesmo assim, é válido abordá-lo, tendo em vista que os examinadores mudam

periodicamente...

A combinação de n elementos, tomados p a p, na qual podem ocorrer elementos

repetidos nos respectivos grupos de p elementos, é dada por:

Note que:

Fica mais fácil de entender por meio de um exemplo.

Exemplo:

Dona Carlota tem um salão de beleza e, semanalmente, compra 8 galões de

xampu de 6 marcas diferentes. De quantas formas essa compra pode ser feita?

a) 28.

b) 127.

c) 1.287.

d) 20.160.

e) 40.320. [Fonte: banco de questões do autor.]

Solução:

Montamos um esquema que ajudará a entender melhor o que acontece, por meio

de algumas "simulações" de possíveis resultados:

O esquema a seguir é conhecido como "bola-mais", que consiste em representar

as quantidades por bolas e os espaços entre as colunas são preenchidos com

sinais "+".

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Marca A Marca B Marca C Marca D Marca E Marca F Total

+ + + + + 8

+ + + + + 8

+ + + + + 8

Na primeira situação (quadro acima) simulamos a compra de dois galões da

marca A, um galão da marca B, um galão da marca C, dois galões da marca D,

dois galões da marca E e nenhum galão da marca F.

Na segunda situação simulamos a compra de um galão da marca A, nenhum

galão da marca B, cinco galões da marca C, um galão da marca D, nenhum galão

da marca E e um galão da marca F

Na terceira situação simulamos a compra de nenhum galão da marca A, quatro

galões da marca B, nenhum galão da marca C, um galão da marca D, três galões

da marca E e nenhum galão da marca F

É claro que não é possível continuar a solução da questão por meio de

simulações de possíveis resultados. O esquema mostrado acima serve apenas

para observarmos o raciocínio que será empregado na solução final.

Note que o total de bolas em cada linha é sempre igual a p, que, no caso da

questão em tela, é igual a 8.

Observe que a quantidade de símbolos "+" em cada linha é sempre igual a ,

ou, no caso da questão, igual a 5.

Disto resulta:

Resposta:

Há 1.287 diferentes combinações possíveis para Carlota escolher.

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9 Resumo

9.1 Permutação

Consiste em se formar agrupamentos que diferem entre si somente pela ordem de

seus elementos. Em outras palavras, na permutação o número de candidatos (n) é

igual ao número de vagas (p) e a solução consiste apenas em embaralhar os n

elementos do conjunto dado.

9.2 Arranjo

Os agrupamentos formados diferem entre si tanto pelo número de elementos,

quanto pela ordem desses elementos no resultado. Dito de outra forma, no

Arranjo, o número de candidatos (n) é maior do que o número de vagas (p):

e trocando-se a ordem dos elementos forma-se um resultado diferente.

9.3 Combinação

Os agrupamentos formados diferem entre si pelo número de elementos, não

importando a ordem desses elementos no resultado.Em outras palavras, na

Combinação, o número de candidatos (n) é maior do que o número de vagas (p):

e, trocando-se a ordem dos elementos em cada resultado, forma-se um

conjunto igual.

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9.4 O Triângulo de Tartaglia–Pascal

0 1 2 3 4 5 6 7 8 ...

0 1 ...

1 1 1 ...

2 1 2 1 ...

3 1 3 3 1 ...

4 1 4 6 4 1 ...

5 1 5 10 10 5 1 ...

6 1 6 15 20 15 6 1 ...

7 1 7 21 35 35 21 7 1 ...

8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 ...

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

9.4.1 Relação de Stifel

Cada número do triângulo de Tartaglia-Pascal é igual à soma do número

imediatamente acima e do seu antecessor.

https://pt.wikipedia.org/wiki/Rela%C3%A7%C3%A3o_de_Stifel

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10 Exercícios

1) Um buffet oferece uma variedade de 8 tipos de comidas. Nesse restaurante, os

estudantes pagam metade do preço com a condição de servirem somente 4 tipos

de comida. Quantos pratos com 4 tipos diferentes de comida são possíveis

montar?

Resposta: 70.

2) Em uma gincana estudantil, 5 alunos disputam uma corrida de bicicleta. De

quantas maneiras podemos compor os três primeiros lugares?

Resposta: 60.

3) Numa turma com 10 amigos, serão sorteados 4 ingressos para um show de

rock. De quantas maneiras distintas pode aparecer o resultado do sorteio?

Resposta: 210.

4) Quantos números de três algarismos diferentes podem ser formados com os

algarismos de 1 a 7?

Resposta: 210.

5) Os 20 sócios de um clube querem formar sua diretoria com um presidente, um

secretário e um tesoureiro. De quantas maneiras pode ser formada essa diretoria?

Resposta: 6.840.

6) Em uma cidade as placas dos automóveis são formadas por três letras

diferentes, seguidas de quatro algarismos também diferentes. Quantas são as

placas que podem ser obtidas, utilizando-se os algarismos ímpares e vogais?

Resposta: 7.200.

7) Uma emissora de rádio é composta por 4 narradores e 6 comentaristas. Deseja-

se formar uma comissão com 4 de seus radialistas para fazer a cobertura de um

jogo de futebol. De quantas maneiras distintas é possível organizar essa comissão

sabendo que existem 2 vagas para narradores e 2 para comentaristas?

Resposta: 90.

8) De quantas maneiras distintas podemos organizar 5 pessoas em uma fila?

Resposta: 120.

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9) Uma pessoa tem dez amigos, dos quais dois estão brigados entre si. De

quantas maneiras ela pode convidar cinco amigos para jantar, tendo o cuidado de

não convidar, simultaneamente, os dois amigos brigados?

Resposta: 196.

Solução/Comentários:

Combinando-se todos os 10 amigos cinco a cinco, teremos:

Entre os 252 grupos formados, há alguns em que os dois brigões estarão juntos.

Para excluir os grupos em que os dois desafetos estão presentes, precisamos

contá-los primeiro.

Dos 5 lugares à mesa do jantar, vamos reservar dois para os brigões. Assim,

sobrarão os outros 8 amigos, disputando os 3 lugares restantes à mesa.

Há 56 grupos em que os dois amigos brigados estarão presentes. Esses grupos

precisam ser subtraídos do total de grupos possíveis. Logo,

10) Três irmãs dispõem de 5 diferentes fantasias para, perfiladas (lado a lado),

posarem juntas numa foto. De quantas maneiras distintas podemos compor essa

foto?

Resposta: 360.

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11 Testes

1) O número de anagramas com a palavra UFRGS é

a) 20.

b) 40.

c) 60.

d) 100.

e) 120.

2) O número de anagramas com a palavra ÔNIBUS que começa por vogal é

a) 2160.

b) 120.

c) 240.

d) 720.

e) 360.

3) O número de anagramas da palavra JABOTI que começam por vogal e

terminam por consoante é

a) 120.

b) 216.

c) 540.

d) 720.

e) 750.

4) Quantos números ímpares de três algarismos distintos podemos formar com os

algarismos 1, 2, 3, 5, 7, 9?

a) 100.

b) 120.

c) 150.

d) 180.

e) 210.

5) Com as letras da palavra PROVA podem ser escritos x anagramas que

começam por vogal e y anagramas que começam e terminam por consoante. Os

valores de x e y são, respectivamente,

26


a) 48 e 36.

b) 48 e 72.

c) 72 e 36.

d) 24 e 36.

e) 72 e 24.

6) Quantos são os anagramas da palavra SARARA?

a) 60.

b) 120.

c) 240.

d) 720.

e) 750.

7) Um estudante permutou os 6 dígitos do seu aniversário para compor uma

senha bancária. O número total de possibilidades de senha para este estudante

que nasceu em 01.05.85 é

a) 90.

b) 180.

c) 360.

d) 720.

e) 750.

8) Um trem é constituído de uma locomotiva e seis vagões distintos, sendo um

restaurante. Sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão restaurante

não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o número de modos

diferentes de montar a composição é

a) 20.

b) 320.

c) 500.

d) 600.

e) 720.

9) Quantos números diferentes podemos formar permutando os algarismos do

número 122.223?

27


a) 15.

b) 30.

c) 20.

d) 40.

e) 120.

10) Dividindo-se o número de anagramas da palavra ARARA pelo número de

anagramas da palavra URUBU, obtém-se uma fração equivalente a

a) 1/2.

b) 1/3.

c) 3/2.

d) 2/3.

e) 3/5.

11) ANPAD-2006. A figura ao lado mostra o mapa

imaginário de uma cidade constituída por cinco

bairros. Deseja-se colorir cada bairro com uma das

cores vermelha, azul ou amarela, de maneira que,

dois bairros vizinhos não possuam a mesma cor.

O número de maneiras diferentes segundo as quais o

mapa pode ser pintado

é

a) 6.

b) 12.

c) 24.

d) 48.

e) 120.

12) ANPAD-2003. Durante a sua programação, uma emissora de rádio toca

diariamente sempre as mesmas oito músicas, mas nunca na mesma ordem. Para

esgotar todas as prováveis sequências dessas músicas serão necessários

aproximadamente

a) 100 dias.

b) 1 ano.

c) 10 anos.

d) 1 século.

e) 10 séculos.

28


13) ANPAD-2003. Onze clubes disputaram o campeonato. Cada clube jogou

com cada um dos outros duas partidas, uma em cada turno do campeonato. No

final, dois clubes ficaram empatados e, por isso, houve um jogo para o

desempate. O número total de jogos disputados foi

a) 112.

b) 111.

c) 110.

d) 56.

e) 55.

14) ANPAD-2003. Em uma ilha falam-se apenas quatro idiomas. Cada habitante

fala exatamente dois idiomas e, para cada conjunto de dois idiomas há um único

habitante que fala esses dois idiomas. Então, o número de habitantes da ilha é

igual a

a) 6.

b) 8.

c) 12.

d) 16.

e) 24.

15) ANPAD-2007. Um grupo de sete pessoas é formado por dois irmãos, dois

casais e um padre. Esse grupo deseja tirar uma foto, obedecendo às seguintes

regras:

todos os membros do grupo devem se posicionar lado a lado (perfilados);

o padre deve se posicionar em um extremo, no lado direito ou no lado

esquerdo;

cada casal deve permanecer junto.

Considerando essas regras, quantas fotos distintas podem ser tiradas pelo grupo,

ou seja, quantas combinações de posicionamento dos membros do grupo podem

ser geradas para tirar diferentes fotos?

a) 84.

b) 92.

c) 96.

d) 192.

e) 5040.

29


16) ANPAD-2007. O número de anagramas que podem ser feitos com a palavra

ADMINISTRADOR, de modo que as consoantes sejam mantidas em suas

respectivas posições, é

a) 120.

b) 56.

c) 30.

d) 20.

e) 10.

17) Utilizando-se o teclado do computador, deseja-se atribuir códigos para

algumas funções. Para isso, deverão ser usadas no mínimo duas das três teclas

SHIFT, CTRL e ALT, pressionadas simultaneamente, seguidas de dois

algarismos distintos de 0 a 9. A quantidade de códigos diferentes que pode ser

obtida por esse processo é de

a) 216.

b) 270.

c) 288.

d) 360.

e) 400.

18) ANPAD-2006. Para proteger um arquivo que continha um documento

confidencial, Alberto criou uma senha com uma sequência de 4 algarismos

distintos, na qual o último algarismo é o dobro do primeiro. Para abrir o arquivo,

o número máximo de tentativas diferentes é igual a

a) 90.

b) 112.

c) 168.

d) 224.

e) 280.

19) ANPAD-2006. Uma certa linha de ônibus parte da cidade A e vai até a

cidade E , parando nas cidades B , C e D, onde podem descer ou embarcar

passageiros. Em cada bilhete de passagem, apresentam-se impressos os nomes

das cidades de origem e de chegada. No sentido do percurso acima, quantos tipos

de bilhetes de passagens são necessários para permitir a viagem entre duas

cidades quaisquer?

30


a) 5.

b) 10.

c) 12.

d) 15.

e) 20.

20) ANPAD-2006. Existem sete funcionários aptos a executar quatro tarefas

distintas em uma empresa. Qualquer um deles está habilitado para realizar

qualquer dessas tarefas. Assim, o gerente da empresa pode escolher quaisquer

quatro dentre os sete funcionários e atribuir a cada um deles uma das quatro

atividades. O número de possibilidades distintas para essa atribuição é

a) 840.

b) 625.

c) 365.

d) 35.

e) 24.

21) ANPAD-2005. Quantos números ímpares de quatro algarismos distintos

podem ser formados com os algarismos 2, 3, 5, 6, 7 e 9?

a) 130.

b) 180.

c) 240.

d) 360.

e) 180.

22) ANPAD-2004. Sobre uma circunferência, marcam-se 9 pontos distintos.

Então, a quantidade de triângulos com vértice nesses pontos marcados é

a) 36.

b) 63.

c) 84.

d) 168.

e) 504.

23) ANPAD-2004. O Conselho Desportivo de uma escola é composto por 2

professores e 3 alunos. Candidataram-se para constituir esse Conselho 5

31


professores e 12 alunos. Então, o número de maneiras diferentes que este

Conselho pode ser composto é

a) 360.

b) 1100.

c) 2200.

d) 3260.

e) 6188.

24) ANPAD-2004. Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, a quantidade de

números de 3 algarismos distintos que se podem formar é

a) 120.

b) 180.

c) 210.

d) 216.

e) 343.

25) ANPAD 2009 - Com três advogados, duas secretárias e quatro gerentes, o

número de comissões de cinco pessoas que se pode formar, desde que cada uma

delas tenha pelo menos um advogado, uma secretária e um gerente é igual a

a) 126.

b) 119.

c) 104.

d) 100.

e) 98.

26) ANPAD 2009 - Uma indústria de cosméticos está se preparando para

participar de um evento em que montará um estande e exporá um novo produto

para massagens. Para isso, convocou sete de seus funcionários (sendo três

químicos e quatro vendedores) e contratou cinco massagistas para formar equipes

de cinco pessoas que revezarão durante o evento. Considerando-se que, para

compor cada equipe, são necessários pelo menos dois massagistas, pelo menos

um vendedor e exatamente um químico, então será possível formar

a) 500 equipes distintas.

b) 300 equipes distintas.

c) 200 equipes distintas

32


d) 100 equipes distintas.

e) 60 equipes distintas.

27) ANPAD 2009 - Vitor esqueceu a senha numérica que colocou em um

arquivo. Ele lembra que era formada por quatro algarismos diferentes, sendo que

o primeiro era o triplo do terceiro. Então, o maior número de tentativas diferentes

que Vitor pode fazer para abrir o arquivo é

a) 168.

b) 224.

c) 336.

d) 480.

e) 504.

28) ANPAD 2010 - Para montar uma pizza, os clientes de um restaurante devem

obrigatoriamente escolher:

I. um dentre os tipos de massa: fina, média e grossa;

II. um dentre os tamanhos: médio e grande;

III. um dentre os queijos: mussarela, prato e gorgonzola;

IV. adição ou não de orégano; e

V. de um a três dentre os tipos de recheio: calabresa, frango, presunto,

brócolis e filé, sem possibilidade de repetição em uma mesma pizza.

Dadas essas condições, o número de pizzas distintas que é possível montar é

igual a

a) 3.060.

b) 900.

c) 206.

d) 95.

e) 35.

29) ANPAD 2010 - Uma empresa multinacional é formada por nove sócios, dos

quais nenhum tem dupla nacionalidade, quatro são brasileiros, dois são japoneses

e três são italianos. Decidiu-se que a próxima diretoria seria constituída de quatro

sócios e deveria contemplar todas as três nacionalidades. O número de formas

distintas de se formar essa diretoria é igual a

33


a) 32.

b) 76.

c) 95.

d) 126.

e) 144.

30) ANPAD 2010 - O presidente de uma indústria decidiu formar uma comissão

de três pessoas para, uma vez por semana, fazer uma vistoria no setor produtivo.

Para evitar que a comissão seja sempre a mesma, ele designou quatro mulheres e

três homens devidamente capacitados para tal atividade. Sabendo-se eu foi

exigida a presença de pelo menos uma mulher em cada comissão, o número de

comissões distintas passíveis de serem formadas é igual a

a) 35.

b) 34.

c) 30.

d) 18.

e) 12.

31) ANPAD 2011 - Um professor distribui aos seus alunos

uma folha com a figura ao lado. Os alunos devem colorir

cada quadrado de modo que os dois quadrados adjacentes

(que compartilham uma mesma aresta) não tenham a

mesma cor. assim, de quantas formas distintas a figura pode

ser colorida se o professor só aceita figuras que tenham

exatamente três cores distintas, independentemente de quais

sejam as três cores escolhidas?

a) 6.

b) 9.

c) 10.

d) 12.

e) 15.

32) ANPAD 2011 - Caio comprou presentes distintos para seus cinco sobrinhos:

João, que mora na cidade A; Pedro e Luís, que moram na cidade B e no mesmo

endereço; e José e Antônio, que moram na cidade C e também no mesmo

endereço. Considerando-se que Caio não pode visitar seus parentes no momento

e que os sobrinhos ficariam felizes independentemente do presente recebido,

34


quantas são as maneiras distintas pelas quais Caio pode enviar os presentes, sem

identificação do nome do destinatário, pelos Correios?

a) 20.

b) 30.

c) 40.

d) 60.

e) 120.

33) ANPAD 2011 - A tabela a seguir mostra a distribuição de frequência

conjunta das variáveis setor e grau de instrução referente aos dados dos 36

funcionários de uma empresa

Grau de Instrução

Setor Ensino Médio

Completo

Ensino Superior

Completo

A 7 4

B 8 4

C 5 8

A empresa vai sortear três desses 36 funcionários para fazer parte de uma

comissão. A probabilidade de que a comissão seja formada por dois funcionários

que tenham apenas o ensino médio completo e um funcionário com ensino

superior completo é

a)

.

b)

.

c)

.

d)

.

e)

35


34) ANPAD 2011 - No novo sistema de segurança implantado em uma empresa,

cada funcionário terá uma senha de acesso constituída de quatro caracteres, dos

quais três são necessariamente letras (entre as 26 letras do alfabeto, sem distinção

entre maiúsculas e minúsculas) e um é necessariamente algarismo (de 0 a 9), não

havendo necessariamente uma ordem específica para a combinação entre letras e

algarismos. Sendo assim, qual é o número de senhas que possuem três letras

iguais?

a) 2.080.

b) 1.040.

c) 936.

d) 260.

e) 234.

35) ANPAD 2012 - Na sala da casa da minha avó, há um lustre com 10 lâmpadas

coloridas. Como medida de economia de energia elétrica, há um sistema que

acende, simultaneamente, de quatro a seis lâmpadas aleatoriamente. O número de

maneiras distintas pelas quais as lâmpadas do lustre podem ser acesas, se o

sistema for acionado, é igual a

a) 396.

b) 462.

c) 584.

d) 672.

e) 724.

36) ANPAD 2012 - Três rapazes e três moças vão ao cinema e desejam sentar-se,

os seis, lado a lado, na mesma fileira. O número de maneiras pelas quais eles

podem distribuir-se nos assentos de modo que as três moças fiquem juntas, uma

ao lado da outra, e nas extremidades fiquem apenas rapazes é igual a

a) 3.

b) 6.

c) 36.

d) 72.

e) 108.

37) ANPAD 2012 - Maria tem contas de oito cores diferentes e quer montar

brincos com quatro contas enfileiradas, devendo as cores das contas ser distintas

36


entre si. A última conta deve ser azul, preta, branca ou vermelha, e a primeira não

pode ser vermelha. Assim, o número de brincos diferentes que podem ser

formados é igual a

a) 672.

b) 750.

c) 840.

d) 1.240.

e) 1.568.

38) ANPAD 2012 - Anagramas de uma palavra são as diferentes palavras que

podemos formar permutando-se de todos os modos possíveis as suas letras. O

anagrama de uma palavra não precisa ter significado. Quantos anagramas da

palavra ANPAD não começam nem terminam por vogal?

a) 6.

b) 18.

c) 24.

d) 60.

e) 120.

39) ANPAD 2013 - Utilizando duas letras A, três letras B e (n – 5) letras C,

podemos formar (n – 2) n (n – 1) anagramas diferentes com as n letras.

Determine o valor de n.

a) 4.

b) 5.

c) 6.

d) 7.

e) é a maior raiz positiva da equação n(n – 7) = –6 aumentada de 2 unidades.

40) ANPAD 2013 - Se as expressões

e existirem, então

necessariamente teremos:

a) .

b) .

c) .

d) .

e)

41) ANPAD 2014 - A quantidade de anagramas da palavra ANPAD em que as

letras A aparecem separadas é igual a

37


a) 24.

b) 36.

c) 60.

d) 84.

e) 96.

42) FUNDATEC 2011 – Cada trabalho de iniciação científica de certa

universidade é avaliado por uma banca de cinco professores. Sabendo-se que os

departamentos A, B e C contam, respectivamente, com três, dois e quatro

professores disponíveis para a tarefa, o número de possíveis bancas que se podem

formar, desde que cada uma delas tenha pelo menos um professor de cada

departamento, é igual a

a) 126

b) 119

c) 104

d) 100

e) 98

[Fonte: banco de questões do autor]

43) ANPAD – Um administrador de um fundo de ações dispõe de ações de 12

empresas distintas para venda, dentre as quais encontram-se as empresas A, B e

C. Ele deseja formar carteiras utilizando 8 dessas empresas de modo que as duas

regras abaixo sejam satisfeitas.

A empresa A compõe a carteira se, e somente se, a empresa B também a

compõe.

A empresa C compõe a carteira se, e somente se, a empresa A não a

compõe.

Assim, o número de carteiras distintas que ele pode formar pode ser escrito

como:

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .

38


44) ANPAD – O número de comissões de 5 pessoas que se pode formar com 8

deputados e 3 senadores, de maneira que em cada comissão tenha pelo menos 2

senadores é

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .

Neste link você encontra uma coletânea de provas de Concursos Públicos.

Algumas delas estão resolvidas e comentadas:

https://www.facebook.com/groups/souintegral/809233615794458/


39


Gabarito:

1-E 2-E 3-B 4-A 5-A 6-A 7-B 8-D 9-B 10-A

11-A 12-D 13-B 14-A 15-D 16-C 17-D 18-D 19-B 20-A

21-C 22-C 23-C 24-B 25-E 26-B 27-A 28-B 29-B 30-B

31-D 32-B 33-E 34-B 35-D 36-D 37-B 38-B 39-D 40-A

41-B 42-E 43-B 44-A

Para outras questões sobre esse tópico, consulte o Índice de Questões por

Assunto no livro "500 questões resolvidas" (baixe-o, gratuitamente, aqui:

https://www.facebook.com/groups/souintegral/648787848505703/).

Baixe os cadernos de provas anteriores da ANPAD no Grupo Sou Integral:

(1) Provas de 2009 a 2012:


(2) Provas de 2013 e 2014:


No final deste Caderno há uma lista de links diretos para os arquivos mais

acessados em nossa pasta pública de material didático.

Mantenha o seu material didático sempre atualizado!

Realizamos revisões constantes em nossos materiais didáticos, para a

correção de erros e acréscimos de novos conteúdos.

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40


12 Instituto Integral Editora - Catálogo

1. Raciocínio Lógico Formal

https://www.facebook.com/groups/souintegral/648

226115228543

2. Raciocínio Lógico Informal


478483703306/ 3. Caderno RQ1 - Teoria dos Conjuntos


452690272552/

4. Caderno RQ2 – Proporcionalidade


512393299915/

5. Caderno RQ3 - Matemática Financeira


923325725487/

6. Caderno de Testes ANPAD - Vol. I


788225172332/













41


7. Caderno de Testes ANPAD - Vol. II

http://edu.institutointegral.com.br/cadernodetestesa

npad

8. 500 questões resolvidas


787848505703/ 9. Caderno RQ4 - Análise Combinatória


897222294764/

10. Caderno RQ5 – Probabilidade


11. Caderno RQ6 - Estatística


12. Caderno RQ7 – Funções











42


13. Caderno RQ8 - Sequências e Progressões


14. Caderno RQ9 - Matrizes e Determinantes


15. Caderno RQ10 - Geometria Plana,

Geometria Espacial, Geometria Analítica


16. Caderno RQ11 – Matemática

Básica


17. Caderno RQ12 – Problemas do Primeiro

Grau – 1 ou 2 incógnitas







43


Acompanhe os lançamentos da Série "Cadernos RQx":

http://profmilton.blogspot.com.br/2014/01/livros-digitais-gratuitos-

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15. Caderno RQ10 - Problemas do 1º Grau – com 1 ou 2 incógnitas

16. Caderno RQ11 - Matemática Básica + Dicas, Macetes, Atalhos e Truques

17. Caderno RQ12 – Geometrias Plana, Espacial e Analítica

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44


(Quem vai fazer o curso presencial deverá imprimir os itens destacados)

Onde baixar gratuitamente?

1. No grupo Sou Integral no Facebook (associe-se ao grupo):

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2. Através de nossa Lista Preferencial:


http://iintegral.leadlovers.com/iintegral (Técnicas de Superaprendizagem - Vol 1)

3. Em nossa pasta de material didático no Dropbox:

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Dica para imprimir com baixo custo:


(leia a mensagem até o final!)

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MATERIAL EXCLUSIVO!

Manual do Candidato - Teste ANPAD

O Manual contém, entre outros assuntos:

- O que é Teste ANPAD?

- Provas do Teste ANPAD

- Como se preparar:

- - Material da ANPAD

- - Apostilas e livros

- - Aulas particulares

- - Grupos de estudos

- - Cursos preparatórios

- Roteiro de estudos

- Estratégias para a prova

- Jornada de estudos

- Véspera da prova

- No dia da prova

- Durante a prova

- Ordem de realização das provas

- Escore ANPAD

- Resultado Geral

- Próximas edições

- Edital

E muitas DICAS!

Disponível através da Lista Preferencial do Instituto Integral.

Inscreva-se agora mesmo e receba as instruções para baixar o seu:



O Manual do Candidato Teste ANPAD também pode ser baixado

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46


LANÇAMENTO EXCLUSIVO!

Aprenda Raciocínio Lógico Formal com Flash Cards

Alguns tópicos abordados neste livro:

- O que é um flash card?

- Como confeccionar um flash card?

- Como memorizar o conteúdo de um flash card?

- Uso de flash cards nas operações lógicas

- Aplicações dos flash cards nas operações

lógicas

- - Aplicações dos flash cards no argumento

lógico dedutivo

- Uso dos flash cards nas equivalências lógicas

notáveis

- Uso de flash cards em Tautologias,

Contradições e Contingências

- Uso dos flash cards nas negações:

Leis de De Morgan

Negação da Condição

Negação da bicondição

Negação das proposições categóricas:

todo, nenhum, algum, algum não é

Disponível em:

http://edu.institutointegral.com.br/tecnicas-de-superaprendizagem

Também disponível aqui:


http://edu.institutointegral.com.br/tecnicas-de-superaprendizagem


47


13 Currículo Informal

Sempre tive facilidade em aprender Matemática. Fui fortemente influenciado por

minha mãe, que fazia cálculos de cabeça e com uma velocidade impressionante.

Em 1972, aos 12 anos, fui convidado por uma professora a auxiliar os colegas em

dificuldades com a matéria. Éramos um grupo de 4 e todos passaram por média.

Ali nasceu o gosto por ensinar...

Aos 14 anos, comecei a reunir grupos em casa para estudar Matemática. Minha

mãe dizia que eu estava dando aulas particulares. Eu dizia que os colegas iam lá

para saborear os quitutes que ela fazia. Como descendente de italianos e

espanhóis, minha mãe era especialista em massas, pães, bolos e outros quitutes

deliciosos e irresistíveis.

Quando terminei o (antigo) segundo grau, virei professor particular de

Matemática, Estatística e Matemática Financeira.

Entrei na faculdade de Engenharia Elétrica da UFJF em 1979. Ainda em Juiz de

Fora-MG, ministrei aulas de Matemática no curso VIP (pré-vestibular) de um

professor amigo, durante o ano de 1980.

Em 1981 fui morar em Brasília-DF, e comecei a estudar Raciocínio Lógico

Formal por conta própria, mas tive muita dificuldade em entender as sutilezas

conceituais do assunto. Em 1983 comecei a faculdade de Matemática na Católica

de Brasília-DF. Foi aí que as portas da Lógica Formal se abriram para mim, pois

conheci o Padre Chico.

Antes de prosseguir, preciso contar brevemente a história e a influência que o

Padre Chico teve sobre o meu aprendizado de Lógica Formal.

O Padre Chico

Padre Chico era alemão. “Chico” era só um apelido que ele recebeu por ter um

nome impronunciável em português.

48


Na faculdade, ele lecionava Cultura Religiosa I, mas logo no primeiro dia de

aula, descobri que ele, além de Teólogo, também era Filósofo e mais meia dúzia

de outras formações. Falava 8 idiomas fluentemente. Um gênio!

Na Segunda Guerra, Padre Chico estudava Teologia em um seminário em Berlim

(Alemanha).

Certo dia, ele vinha pela rua com um colega de seminário, quando seu colega foi

jogar um papel dentro da lata de lixo, e, ao levantar a tampa, uma granada

explodiu, matando o seu colega instantaneamente e ferindo o Padre Chico

gravemente. Por consequência, ele mancava de uma perna.

Primeira Lição

Terminada a primeira aula de Cultura Religiosa I, fui conversar com o Padre

Chico a respeito da Lógica Formal.

– “Então o senhor se interessa por Lógica Formal?” perguntou Padre Chico, com

sua peculiar cordialidade.

– “Sim!”, respondi, “mas estou tendo dificuldades para captar as sutilezas

conceituais. Os conceitos parecem extremamente simples, mas, no momento de

aplicá-los, tudo fica muito confuso!”, completei.

– “Pois bem!”, retrucou Padre Chico, “o problema reside no fato de estares

raciocinando como matemático e Lógica Formal não é matemática! É puramente

filosófica... Filosofia é a ciência de todas as ciências. Cuidado com a arrogância

na qual incorrem muitos matemáticos, ao tentarem igualar a Matemática com a

Filosofia. Pior ainda é quando se tenta colocar a Matemática acima da Filosofia.

Acima da Filosofia, só há Deus...”, completou.

“Como bom padre que é, ele está puxando a brasa para o seu churrasco.”,

pensei.

– “Matematizar a Lógica Formal é arrogância!”, continuou Padre Chico,

“Aristóteles, o ‘Pai da Lógica Formal’, era um filósofo grego, discípulo de

Platão, que viveu entre 384 e 322 a.C. Em nenhum momento, ele pensou

matematicamente para propor os conceitos e regras da Lógica Formal. Essa

49


confusão faz com que muitos continuem sem entender Lógica Formal, ou

interpretando erroneamente seus conceitos.”

...

Preciso interromper aqui, senão transformarei essa breve história em livro... Um

dia, pretendo contar essa e outras histórias em um livro.

Em 1984, mudei-me de Brasília-DF para Porto Alegre-RS. Abandonei a

faculdade de Matemática e me concentrei em concluir a Engenharia

Elétrica/Eletrônica na UFRGS. Por motivos de saúde, este curso foi

interrompido, e só foi concluído em 1998.

Entre 2003 e 2005 cursei Mestrado na UFRGS.

De 1985 até 2001, ministrei aulas de Matemática, Raciocínio Lógico,

Matemática Financeira e Estatística em diversos cursos preparatórios para

concursos públicos.

Em 2000 iniciei as atividades do Instituto Integral, com o propósito de preparar

candidatos ao Teste ANPAD (prova de proficiência para quem vai cursar

Mestrado ou Doutorado em Administração de Empresas).

De 2007 a 2012 fui professor universitário na UFRGS, na Decision-FGV, na

Esade e na Unifin.

Fui examinador de concursos públicos de 2007 a 2014 nas Organizadoras

FAURGS, FDRH e FUNDATEC, tendo elaborado mais de 1.000 questões de

Matemática, Raciocínio Lógico, Matemática Financeira e Estatística para

diversos concursos no RS, tais como: Banrisul 2010, SEFAZ-RS (Auditor e

Técnico) 2014, SUSEPE 2014, IGP 2011, SEPLAG 2011, etc.

Também sou ex-funcionário concursado da Petrobrás, do Banrisul e da Caixa

Federal.

Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/4955422465156693

http://lattes.cnpq.br/4955422465156693

50


Instituto Integral Editora - 4 anos

Blog da Editora: http://institutointegraleditora.com.br/blog/

Instituto Integral EaD - 4 anos

Plataforma EaD: http://www.institutointegralead.com.br/

Instituto Integral - 16 anos

Site do curso presencial: http://www.institutointegral.com.br

Agradecemos a preferência pelo nosso material didático!

http://institutointegraleditora.com.br/blog/

http://www.institutointegralead.com.br/

http://www.institutointegral.com.br/

caderno rq4 análise combinatória - mkmouse.com.br rq4-análise-combinatória.pdf · fatorial de...

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