probabilidades
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Curso de Pós Graduação em Gestão de Saúde Pública com ênfase em PSFcom ênfase em PSF
BIOESTATÍSTICABIOESTATÍSTICA
Eduardo Arrudas OrnelasBiólogo
Mestre em Medicina Veterinária UFMG
P b bilid dProbabilidade
A teoria das probabilidades nospermite modelar fenômenosaleatórios ou seja, aqueles que estápresente a incerteza É umapresente a incerteza. É umaferramenta fundamental parainferência estatística.inferência estatística.
A probabilidade de um acontecimento ocorrer é definida como o quociente donúmero de eventos desejados pelo total de eventos possíveis (que constitui o espaçoamostral).
Probabilidade = número de eventos desejadosProbabilidade = número de eventos desejados
número de eventos possíveis
Ocorrência de 1 evento
Assim, a probabilidade de ocorrência de um evento é representada como um número l l é lreal no intervalo que contém os limites 0 e 1, pois:
para eventos em que a ocorrência é garantida, dizemos que sua probabilidade é igual ( ) j há t d ê i d t i t a 1 (um), ou seja, há certeza de ocorrência do acontecimento e,
para eventos que nunca ocorrerão a sua probabilidade é avaliada como 0 (zero), pois há impossibilidade da ocorrênciahá impossibilidade da ocorrência
Evidentemente, quanto mais próxima de 1 for a probabilidade de um evento, é mais provável que o evento ocorra. p q
IMPOSSIBILIDADE DA POSSIBILIDADE DE CERTEZA DE OCORRÊNCIA OCORRÊNCIA OCORRÊNCIA
P = 0 PODE ACONTECER P = 1
E i d t lt d l d b bilid d
P = 0 PODE ACONTECER P = 1
E ocorre o inverso quando se toma resultados com valor de probabilidade próximos a zero: eles tem ocorrência mais improvável.
Já se dois eventos forem ditos como igualmente prováveis pode se exprimir a Já, se dois eventos forem ditos como igualmente prováveis, pode‐se exprimir a probabilidade de cada evento como "1 em 2", ou, "50%", ou ainda "1/2".
Exemplo 1
No lançamento de umamoeda não viciada, qual a probabilidade de cair coroa?ç q p
número de eventos desejados = 1(só há uma face coroa)
número de eventos possíveis = 2(há 2 faces na moeda).
Portanto, P = ½
N t ã h d d üi á iNesse caso os eventos são chamados de eqüiprováveis.
Caso idêntico a esse é o sexo de criança esperada após uma gravidez: P(menina) = 1/2 e P(menino) = 1/2.
Exemplo 2
No lançamento de um dado não viciado qual a probabilidade de cair face 4?No lançamento de um dado não viciado, qual a probabilidade de cair face 4?
número de eventos desejados = 1 (só há uma face 4)número de eventos possíveis = 6 (há 6 faces no dado)número de eventos possíveis = 6 (há 6 faces no dado).
Portanto, P = 1/6
Ocorrência de 2 eventosOcorrência de 2 eventos
1. Probabilidade de ocorrência de um OU outro acontecimento
Dois eventos são mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um impede a ocorrência do outro e vice‐versa.
A probabilidade de ocorrerem eventos mutuamente exclusivos é dada pela soma das probabilidades isoladas de ocorrência de cada um dos eventos.
Exemplos
Qual a probabilidade de cair face 3 ou face 6 em um único lançamentode dado?
P(3) = 1/6 P(6) = 1/6P(3 ou 6) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
Qual a probabilidade de se retirar uma dama de um baralhoi t b lh d ?previamente embaralhado?
P (dama copas) = 1/52, P (dama ouro) = 1/52, P (dama espadas) = 1/52 P,(dama paus) 1/52(dama paus) = 1/52
Portanto, P (dama) = 1/52 + 1/52 + 1/52 + 1/52 = 4/52 = 1/13
2. Probabilidade de ocorrência de um E outro acontecimento
Dois eventos são independentes quando a ocorrência de um não influencia aprobabilidade do outro ocorrer.
A probabilidade de ocorrerem eventos independentes é dada pelamultiplicação das probabilidades isoladas de ocorrência de cada um doseventoseventos.
Condição 1: Os acontecimentos são iguais.
ExemploQual a probabilidade de caírem 2 faces 3 no lançamento de 2 dados?dados?
P (3) = 1/6 Logo P (3 e 3) = 1/6 X 1/6 = 1/36 Logo, P (3 e 3) = 1/6 X 1/6 = 1/36
Condição 2: Os acontecimentos são diferentes Condição 2: Os acontecimentos são diferentes.
Neste caso há que se considerar 2 tipos de situação:
2.1.A ordem de ocorrência dos acontecimentos é importante.
ExemplopQual a probabilidade de, em 2 lançamentos, cair face 1 no primeiro e face 2 no segundo?
Quais são os eventos possíveis?EVENTOS POSSÍVEIS = ESPAÇO AMOSTRAL = ( S )Espaço amostral é o conjunto que contém todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
{1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,62,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,63,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 64,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6
5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,66,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6}
P t t P ( ) /6 P( ) /6 ]Portanto: P (3) = 1/6 e P(5) = 1/6 ]P (1 no primeiro dado e 2 no segundo) = P(3,5) = 1/6 x 1/6 = 1/36
2.2.A ordem de ocorrência dos acontecimentos não é importante.Notar que no espaço amostral do exercício anterior (S), há a parcela ( 3,5 ), ouseja, caiu o número 3 no lançamento do primeiro dado e o 5 no outro. Isto nãosatisfazia a questão.
Mas, se a pergunta fosse:
Qual a probabilidade de em 2 lances caírem faces 1 e 2?Qual a probabilidade de, em 2 lances, caírem faces 1 e 2?P ( 3,5 ) = 1/36 P ( 5,3 ) = 1/36
Logo: P ( 3 5 ou 5 3 ) = 1/36 + 1/36 = 2/36 = 1/18Logo: P ( 3,5 ou 5,3 ) 1/36 + 1/36 2/36 1/18
3. Probabilidade condicional
Considerando o lançamento de um dado, qual a probabilidade de em 1jogada resultar em um número ímpar e menor que 3?
Menor que três: 1 e 2 e Ímpar = 1.Portanto, apenas o número 1 satisfaz ambas as condições.Assim, P = 1/6
Portanto, a probabilidade do resultado ser um número ímpar e menor que3 é a interseção desses eventos:
Menor que três: (1, 2) = 2/6Ímpar = (1, 3, 5) = 3/6.
Assim, P = 1/6
Exemplos:
a. De um baralho de 52 cartas (13 de ouro, 13 de espadas, 13 de copas e 13 de paus) qual é a probabilidade de, ao ser retirada uma carta, ser uma dama de copas?
P = 1/52
b. De um baralho de 52 cartas(13 de ouro, 13 de espadas, 13 de copas e 13 de paus)3 , 3 p , 3 p 3 pqual é a probabilidade de, ao ser retirada uma carta, ser uma dama,sabendo‐se que a carta retirada é de copas.
Como há 4 tipos : P = 1/52 x 1/4
Como já se sabe que a carta é de copas, temos apenas 1 dama em umtotal de 13 cartas.A probabilidade é então: P(Q, copas) = 1/13.
