probabilidades 9c2ba-ano-alterado

Probabilidades 9º Ano

Em 1651 o Conde de Méré (viciado no jogo) viajava com Pascal ( homem que estudava religião e Matemática – inventor da máquina de calcular) e colocou-lhe a seguinte questão:

“ Eu e um amigo estávamos a jogar quando uma mensagem urgente nos obrigou a interromper o jogo. Tínhamos colocado em jogo 30 pistolas cada um ( 1 pistola = 2,5 € ). Ganharia as 60 pistolas o primeiro que obtivesse 3 vezes o número que escolheu no lançamento de um dado. Eu tinha escolhido o 6 e quando o jogo foi interrompido já tinha saído o 6 duas vezes. O meu amigo tinha escolhido o 1 que apenas tinha saído uma vez”.

Como dividir as 60 pistolas?


Pascal interessou-se por este problema e iniciou uma correspondência com o seu amigo Fermat para analisar a situação. Essa correspondência marca o início da

Teoria das Probabilidades.

Blaise Pascal

Fermat

Vídeo: É uma banda desenhada canadiana, com legendas em português, e que de uma forma muito interessante explica a área de estudo das Probabilidades.

http://www.youtube.com/watch?v=tJz8sKHHisI

http://www.youtube.com/watch?v=tJz8sKHHisI


Importância do estudo da Teoria das Probabilidades

METEREOLOGIAÉ pouco provável que chova durante esta semana.

SEGUROSPorque é que um condutor com pouco tempo de carta paga mais seguro?

JOGOSPorque é que o totoloto tem 49 números e não 10 ou 20?

Todos os dias somos confrontados com situações, que nos conduzem a utilizar, intuitivamente, a noção de probabilidade:

• Dizemos que existe uma pequena probabilidade de ganhar

o totoloto;

• O político deseja saber qual a sua probabilidade de ganhar

as eleições;

• Dizemos que existe uma grande probabilidade de não

chover num dia de verão;

• O médico interroga-se sobre qual a probabilidade de um

doente, tratado com um novo medicamento sobreviver.

ATIVIDADE 1: A Matemática e os jogos de azar

Considera as seguintes situações:

• O boletim do totoloto que o Vítor preencheu está representado na figura seguinte. Em qual das apostas terá maior probabilidade de ganhar?

• Um árbitro de futebol atirou uma moeda ao ar seis semanas seguidas e obteve sempre face.

Vai atirá-la uma sétima vez. É mais provável sair face comum ou face nacional?

ATIVIDADE 2: Tipos de experiências

Considera as seguintes experiências:Situação 1: Situação 2:

Abrir a mão e largar a moeda Lançar uma moeda e verificar se sai cara

Na primeira experiência já sabemos o que acontece mesmo antes de a realizar – a moeda cai ao chão (trata-se de uma experiência determinista).

Na segunda experiência só é possível conhecer o resultado depois de a realizarmos (trata-se de uma experiência aleatória).

Faz uma pequena reflexão sobre o que poderá acontecer em cada uma das situações.


Termos e conceitosExperiências

• Lançamento de uma moeda• Lançamento de um dado• Totoloto• Estado do tempo para a

semana• Extracção de uma carta • Tempo que uma lâmpada

irá durar

• Furar um balão cheio• Deixar cair um prego

num copo de água• Calcular a área de

quadrado de lado 9 cm

À partida não sabemos o resultado

À partida já conhecemos o resultado


Importância do estudo da Teoria das Probabilidades

A Teoria da Probabilidade prende-se com o estudo de modelos matemáticos especiais, a que chamamos modelos probabilísticos, para descrever fenómenos aleatórios.

Atividade 3:

Para cada uma das situações seguintes indica o cartão que associavas à frase:

i. A próxima semana tem oito dias

ii. O António estudou a matéria e vai tirar Muito Bom no teste.

iii. O Pedro jogou na lotaria e vai ganhar um prémio.

iv. Este ano tem 52 semanas.

v. Ao domingo há jogos de futebol.

Certo ImpossívelProvável

Pouco Provável

ATIVIDADE 4: Jogo do dado

Considera a experiência que consiste em lançar o dado uma vez e anotar o número de pontos da face voltada para cima.

I. Quantos são os casos possíveis? Escreve todos os casos possíveis.

II. Quantos são os casos favoráveis ao acontecimento:

A: Sair número parB: Sair um quadrado perfeito

III. Define e classifica os seguintes acontecimentos:

A: Sair divisor de 10B: Sair um número par e primoC: Sair o número 7D: Sair um número menor do que 7.


Termos e conceitos

Espaço de Resultados

Espaço de resultados é o conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência aleatória.

EXPERIÊNCIA 1: Lançamento de um dado

Espaço de resultados = E = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

EXPERIÊNCIA 2: Jogo de futebol

Espaço de resultados = E = {Vitória, Empate, Derrota }

EXPERIÊNCIA 3: tirar uma bola de Totoloto

Espaço de resultados = E = {1, 2, 3, ... ,47, 48, 49 }


Termos e conceitos

Acontecimento

EXPERIÊNCIA: Lançamento de um rapa

Espaço de resultados = E = { R, T, D, P }

IMPOSSÍVEL CERTO

“ Sair a letra X ” “ Sair uma consoante ”

PROVÁVEL

“ Sair a letra T ”


EXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado

Espaço de resultados = E = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Acontecimento

ELEMENTAR COMPOSTOA: “ Sair o nº 3 ”

A={ 3 }Só tem um elemento

B: “ Sair um nº ímpar ”B={ 1, 3, 5 }

Tem mais do que um elemento

Acontecimento

CERTO IMPOSSÍVELC: “ Sair um nº menor que 7 ”

C={1,2,3,4,5,6 }Coincide com o espaço de resultados

D: “ Sair o nº 8 ”

D={ }


PROBABILIDADE DE UM ACONTECIMENTO

Lei de LAPLACE

1749 - 1827

A primeira definição de probabilidade (definição

clássica de probabilidade) foi enunciada pelo

matemático francês Pierre Simon Laplace (1749-

1827) e publicada num tratado, em 1812, designado

por "Théorie analytique des probabilités" (Teoria

Analítica das Probabilidades) e que unificou na

altura todos os seus trabalhos sobre probabilidades.

ATIVIDADE 5:

Antes de jogares, responde às seguintes questões:

I. Quem pensas que vai ganhar, o A ou o B? Têm ambos as mesmas hipóteses de ganhar?

II. Qual a probabilidade de sair face com número primo?


Lei de LAPLACEEXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado

E = { 1,2,3,4,5,6 }O dado tem 6 faces:

Qual é a probabilidade de sair face com número primo?

possíveis casos de Número

favoráveis casos deNúmero"º" primonsairP

Nº casos favoráveis = 3

Nº casos possíveis = 6

%505,02

1

6

3primo" número " sairP


Cálculo de Probabilidades

Calcula a probabilidade dos seguintes acontecimentos:

%1717,06

1AP

A: “ Sair o número 3 “1)

2) B: “ Sair um número maior que 3 “

%505,02

1BP

A probabilidade de um acontecimento pode ser representada sob a forma de fracção, dízima ou de percentagem.


Propriedades das probabilidades

1) A probabilidade de um acontecimento impossível é 0.

2) A probabilidade de um acontecimento certo é 1.

3) A probabilidade de um acontecimento varia sempre entre 0 e 1.

0"7º " nsairP

1"7 quemenor " númerosairP

1)(0 AP

Acontecimento CertoAcontecimento Impossível

Acontecimento possível mas não certo



4) Acontecimentos que não podem ocorrer em simultâneo.Acontecimentos disjuntos ou mutuamente exclusivos

)()(Bu BpApoAP

Num saco em que existem 70 bolas amarelas, 65 azuis, 75 vermelhas, 65 verdes e 25 cor de rosa, qual a probabilidade, numa extração, sair bola amarela ou verde?



Num saco em que existem 70 bolas amarelas, 65 azuis, 75 vermelhas, 65 verdes e 25 cor de rosa, qual a probabilidade, numa extração, não sair bola vermelha?

5) Acontecimento contrário. Acontecimento complementar

1)( ApAP


Problemas de contagem – Tabelas de Dupla entrada

EXPERIÊNCIA: Lançamento de dois dados

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

I. Quantos são os casos possíveis?II. Qual é a probabilidade de sair dois números maiores que 3?

9 1

36 4P

9º AnoProblemas de contagem– Diagramas de árvores

EXPERIÊNCIA: Ementa de restaurante

· Arroz de frango

· Bife grelhado· Lampreia

Sobremesa:· Fruta da

época· Pudim

Prato:

Entrada:· Sopa·

Canja

1) Quantas refeições diferentes podemos escolher, tendo cada uma, uma entrada, um prato e uma sobremesa?

Entrada Prato Sobremesa Refeição

S

C

A

B

L

A

B

L

FPFPFP

FPFPFP

( S,A,F )( S,A,P )( S,B,F )( S,B,P )

( S,L,P )( S,L,F )

( C,A,F )( C,A,P )( C,B,F )( C,B,P )( C,L,F ) ( C,L,P )

12 refeições diferentes!

2) Escolhida uma refeição ao acaso qual é a probabilidade de comer bife ou fruta?

Cálculo de Probabilidades

9º Ano

9º AnoCálculo de Probabilidades

Entrada Prato Sobremesa Refeição

S

C

A

B

L

A

B

L

FPFPFP

FPFPFP

( S,A,F )( S,A,P )( S,B,F )( S,B,P )

( S,L,P )( S,L,F )

( C,A,F )( C,A,P )( C,B,F )( C,B,P )( C,L,F )( C,L,P )

3

2

12

8P

Escolhida uma refeição ao acaso qual é a probabilidade de comer bife ou fruta?Resposta:


Ténis Xadrez

3

610 6

25 - 3 = 2216 + 12 = 28

Meio: 28 - 22 = 6Só Ténis: 16 - 6 = 10

Só Xadrez: 12 - 6 = 6

Processo de Contagem – Diagrama de Venn

Numa turma de 25 alunos fez-se um inquérito e após a análise dos seus desportos favoritos, registaram-se as seguintes conclusões:

-16 alunos sabem jogar ténis;-12 alunos sabem jogar xadrez;

- 3 não sabem jogar ténis nem xadrez.


c) jogar ténis?

Ténis Xadrez

3

610 6

P = 10 25

b) jogar só ténis?

= 2 5

P = 16 25

Escolhendo um aluno ao acaso qual é a probabilidade de saber:

a) jogar ténis e xadrez?

P = 25

6

FaceFrequência

absolutaFrequência relativa

Frequência


Frequência


Nacional 62 165 244

Comum 38 135 256

100 300 500

62

0,62 62%100

1650,55 55%

300

2440,488 48,8%

500

38

0,38 38%100

135

0,45 45%300

256

0,512 51,2%500

O João realizou 3 experiências ao lançar uma moeda ao ar: 100 vezes na 1ª experiência, 300 vezes na segunda e 500 vezes na terceira experiência.

Experiência 3Experiência 2Experiência 1

À medida que o número de lançamentos aumenta, compara a frequência relativa de cada acontecimento com a sua probabilidade. Que observas?

Frequência Relativa e Probabilidade

Frequência relativa e probabilidade

probabilidades 9c2ba-ano-alterado

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