Algumas Distribuições de Probabilidade Discretas:Probabilidade Discretas:

Uniforme Discreta

Binomial

Hipergeométrica

Binomial Negativa

Geométrica

Poisson

Distribuição Uniforme Discreta

Exemplo :

Um jogo consiste em lançar um dado e olhar a face de cima:- se a face for de um número ímpar, o jogador ganha o valor da face em reais; - se a face for de um número par, o jogador perde o valor da face em reais. É um jogo justo?

X: valor ganho/perdido pelo jogador P(X=x)=1/6, x=1,-2,3,-4,5,-6.

E(X)=(1/6)(1-2+3-4+5-6) = (9-12) /6 = -3/6 = -1/2 real.

Não é um jogo justo. Seria justo de E(X)=0.

Pedir a uma pessoa para gerar uma sequência de números ao acaso é um bom teste do funcionamento do lobo frontal . Quanto “mais aleatórios” os números, melhor será o funcionamento do córtice frontal.

Exemplo :

Experimentos de Bernouli

Um experimento aleatório de Bernoulli tem as seguintes propriedades:

� Resulta em um de dois eventos excludentes: sucessoou fracasso;

� A probabilidade de sucesso ( p ) (ou a probabilidade de fracasso q =1 – p) é constanteem todas as repetiçõesdo experimento.

Ou seja, as repetições geram resultados independentes.

- Lançamento uma moeda: sucesso = cara, fracasso = coroa;

Exemplos :

- Lançamento de um dado: sucesso = face 6, fracasso=faces 1, 2, 3, 4 ou 5;

- Retirada (com reposição) de uma carta do baralho: sucesso=ás, fracasso=outra;

- Teste de ítens sendo produzidos: sucesso = defeituoso, fracasso = conforme;

- Jogo de futebol: sucesso = se meu time ganhar, fracasso = c.c.

Distribuição Binomial

Um experimento Bernoulli é repetido n vezes.

Exemplo 2 : Um médico alega ter desenvolvido uma técnica de fertilização que aumenta a chance do bebê ser do sexo feminino. Ele baseia sua alegação nos resultados da aplicação da sua técnica em 100 fertilizações, das quais 58 geraram meninas.

X: número de meninas em 100 fertilizações com aplicação da técnica.

p: probabilidade da técnica gerar uma menina.

→ p é constante para todas as fertilizações e estas são independentes.

Então X é uma v.a. Binomial (n=100;p), ou seja,

.,)1()()( 100 , 2, 1, ,0100 100

K=−−⋅⋅

=== xppxxXPxf xx

Estudar a f.m.p. f(x) de X e calcular P(X=58) nas situações em que

p=0.5 e p=0.9.

Situação 1: p=0.5. Situação 2: p=0.9.

Tabela de Valores Acumulados ( F(x)) da Binomial

Exemplo de uso da tabela :

Seja X ~ Binomial (20;0.7). Calcule P(X=10).

P(X = 10) = P(X ≤≤≤≤ 10) – P(X ≤≤≤≤ 9) = 0,0480 - 0,0171 = 0,0309.

Distribuição Hipergeométrica

Exemplo 1 :

Exemplo 2 :Uma peça usada em motores de carros é vendida em lotes de 10 unidades.

A inspeção do lote pelo comprador consiste em escolher aleatoriamente 3 peças etestá-las; se nenhuma dessas 3 peças for defeituosa, o lote é considerado aceitável.Suponha que um lote a ser inspecionado tenha 2 peças defeituosas, ou seja,esse lote não é aceitável .

O comprador sabe que são produzidas algumas peças defeituosas, mas consideraque um lote qualquer é aceitável se tiver, no máximo, uma peça defeituosa.

Qual é a probabilidade da inspeção classificá-lo como aceitável ?

Binomial X Hipergeométrica

Experimentos Binomiais Negativos

Seja um experimento com as mesmas propriedades do experimento binomial

(resulta em sucessoou fracasso; a probabilidade de sucesso é constante, as

repetições são independentes), exceto que o número de repetições não é fixo, pois

o experimento é repetido até que um número fixo de sucessos ocorra.

Ao invés de calcular a probabilidade de x sucessos em n repetições,Ao invés de calcular a probabilidade de x sucessos em n repetições,

calcula-se a probabilidade de que o ko sucesso ocorra na xa repetição.

Assim, o número de sucessos é fixado (em k) e, agora, o número de repetições do experimento (até se obter k sucessos)

passa a ser a variável aleatória de interesse.

Distribuição Binomial Negativa

Um experimento de Bernoulli(p) é repetido até que k sucessos ocorram.

A média e a variância de uma v.a. binomial negativa são

.)1(2

2

p

pkepk −== σµ

Exemplo :

Distribuição Geométrica

Um experimento de Bernoulli(p) é repetido até que o 1º sucesso ocorra.

A distribuição geométrica é um caso especial da binomial negativa, quando k=1:

g(x;p) = bn(x;1;p).

Exemplo :

Distribuição de Poisson

Exemplo : Suponha que possa ser assumido que o número de navios petroleirosque chegam por dia a um porto tenha distribuição de probabilidade dePoisson com média igual a 10 navios-dia.

X: número de navios petroleiros que chegam por dia a um porto,x = 0,1,2,3,...

X ~ Poisson(10), pois λ=10 (navios) e t=1 (dia).

10⋅− x

As instalações do porto podem suportar até 15 navios por dia.

Qual é a probabilidade de que, em um certo dia, navios não consigam aportar ?

K 3, 2, 1, 0,1010

,!

);10( =⋅=−

xexp xx

.0487,09513,01)(1)15(1)15(15

0

=−=−=≤−=> ∑=x

;10xpXPXP

Os livros têm uma tabela com essas somas acumuladas

(veja a seguir).

Tabela de probabilidade acumuladas da Poisson, onde µµµµ ==== λλλλt.

(Ainda no exemplo anterior)

Y: número de navios petroleiros que chegam a um porto por semana, y = 0,1,2,...

Y~ Poisson(70), pois λ=10 (navios/dia) e t=7 (dia).

y−

(a) Qual é a probabilidade de que, em uma certa semana, cheguem pelo menos50 navios ?

Considere agora número de navios petroleiros que chegam ao porto por semana.

K 3, 2, 1, 0,yeyYP yy

=⋅==−

,!

)( 7070

49

0

( 50) 1 ( 50) 1 ( ) 1 0, 0051 0,9949.y

P Y P Y P Y y=

≥ = − < = − = = − =∑

No. de Chamadas (k) 0 1 2 3 4 5 6 7 ≥ 8

Frequência observada 9 38 71 115 125 106 79 50 57

Exemplo: Engenheiros da companhia telefônica estudam se o modelo de Poissoncom média igual a 4,5 pode ser ajustado ao número N de chamadas interestaduaisque chegam, por hora, a uma central telefônica, durante o período noturno.

No modelo Poisson ( λt = 4,5 ), a frequência esperadade ocorrências (intervalos de1h) com k chamadas, k = 0, 1, 2,..., é obtida multiplicando a probabilidade de kchamadas pelo total de observações:

Dados coletados em 650 períodos de uma hora:

chamadas pelo total de observações:

Chamadas 0 1 2 3 4 5 6 7 ≥ 8

Freq. observada 9 38 71 115 125 106 79 50 57

Freq. esperada 7,22 32,50 73,13 109,66 123,37 111,02 83,27 53,56 56,36

Para k =2, por exemplo, espera-se observar, em 650 intervalos t =1 hora,

s.ocorrência13,73!2

5,4)2(65025,4

=⋅==⋅−eNP

As frequências esperadas e observadas são próximas, o que levou os engenheirosà conclusão de o modelo de Poisson parece ser adequado para descrever a v.a. N.