probabilidade de excedência? análise estatística …mps/hrh/2017_2018/hrh_18_estatistica... ·...

HIDROLOGIA E RECURSOS HÍDRICOS (3ª ano, 2º semestre – 2017/2018) ----- 1

HIDROLOGIA ERECURSOS HÍDRICOS

Análise estatística aplicada à hidrologia (cont.)


AJUSTE DE LEIS ESTATÍSTICAS A AMOSTRAS DE VARIÁVEIS

HIDROLÓGICAS E ESTIMAÇÃO DOS VALORES DESSAS

VARIÁVEIS EM FUNÇÃO DA PROBABILIDADE DE

EXCEDÊNCIA OU DE NÃO-EXCEDÊNCIA

Análise estatística aplicada à Hidrologia

Caudal de ponta de cheia que não é excedido em 90% das ocorrências?

Máxima precipitação em D h com dada probabilidade de excedência?

Variável aleatória: Precipitação ou escoamento anuais; precipitação ou escoamento num dado mês do ano.


… em face de uma dada amostra, identificar a lei estatística com

melhor ajuste de modo a estimar

valores da variável aleatória para

probabilidades de não-excedência, ou seja, para períodos

de retorno adotados como

critérios de projeto.


População(universo)

desconhecida

População(universo)

desconhecida

AmostraAmostra

... uma realização

Tratamento probabilístico

Tratamento estatístico

1 – CONSTITUIÇÃO DA AMOSTRA (técnica de amostragem adequada .. Fiável

SISTEMA NACIONAL DE INFORMAÇÃO DE RECURSOS HÍDRICOS, SNIRH)

1 – CONSTITUIÇÃO DA AMOSTRA

2 – CÁLCULO DAS ESTATÍSTICAS AMOSTRAIS

3 – ADOÇÃO DE LEIS ESTATÍSTICAS

4 – SELEÇÃO DA LEI COM MELHOR AJUSTE

5 – ESTIMATIVA DE VALORES DA VARIÁVEL HIDROLÓGICA

ETA

PA

S



2 – CÁLCULO DAS ESTATÍSTICAS AMOSTRAIS (extrair da amostra...)

n

x

nxxxx

X

n

1ii

ni21=

=+++++

=ΛΛMédia

Variância/desvio-padrão

Coeficiente de variação

Coeficiente de assimetria

1n

n

1i

2)Xix(

1n

2)Xnx(2)Xix(2)X2x(2)X1x(2's−

=

−

=−

−++−++−+−=

ΛΛ

( )

( ) ( ) 3's2n1n

n

1i

3Xixn

aC−−

=

−

=

P

'svC =

Leis log-normal ou de Galton; de Gumbel (Ca = 1,14); de Pearson III; log-Pearson III; de Goodrich ....

3 – POSTULAR LEIS ESTATÍSTICAS que se esperam adequadas pararepresentar a distribuição dos valores da amostra (... no âmbito dosfenómenos extremos leis de extremos ...)



4 – SELEÇÃO DA LEI COM MELHOR AJUSTE, mediante ajuste visual ou poraplicação de outras técnicas, tais como testes não-paramétricos.

Representação dos pontos da amostra (fazendo corresponder a cada ponto arespetiva probabilidade empírica, avaliada pela fórmula de Weibull ou por outrafórmula).

Representação gráficas das leis teóricas em papel de probabilidade da lei normal(arbítrio de sucessivas probabilidades de não-excedência, F, cálculo dos valoresda VA correspondentes a essas probabilidades de acordo com as diferentes leispostuladas)

(K – fator de probabilidade dependenteda lei postulada).

Seleção da lei que conduz ao melhor ajuste visual.

)1N/(iF +=


�� ′


Papel de probabilidade

Seleção da lei com melhor ajuste, mediante

apreciação visual do ajuste

Papel de probabilidade da lei normal



… marcação à mão dos

pontos da amostra atribuindo

a cada ponto a respetiva

probabilidade empírica de

não-excedência, i/(N+1)

(…amostra previamente

ordenada ..)






… traçado da curva

representativa de cada uma das

leis teóricas postuladas …

… papel de probabilidade ….







0

25

50

75

100

-3 -2 -1 0 1 2 3Normal reduzida, Z

(Amostra da variável aleatória)Lei NormalLei de GumbelLei de Pearson III

0.10 0.30 0.50 0.70 0.90 0.99 0.999 F


5 – ESTIMATIVA DE VALORES DA VARIÁVEL HIDROLÓGICA –para as probabilidades de não-excedência pretendidas, ou seja, para osperíodos de retorno adotados como critérios de projeto.

0

3000

6000

9000

12000

-3 -2 -1 0 1 2 3

L. Gumbel

L. Pearson III

L. Log-Pearson III

L. Goodrich

L. Galton

L. Normal

Qima

5 25 50 100 200 500 T (anos)

Valor da normal reduzida



Estimativa, , do valor da variável aleatória, X, para o período de

retorno, T, de acordo com uma dada função de distribuição de

probabilidades postulada, obtida pelo método dos momentos:

média da amostra,

desvio-padrão (com correção do viés),

fator de probabilidade, função do período de retorno, T, e

variável consoante a lei postulada.

Tanto o ajuste visual de leis teóricas como a estimação dos valoresvariável hidrológica para as probabilidades de não-excedência/períodos deretorno adotados como critério de projeto requerem a estimação de valoresda variável aleatória de acordo com dadas funções de distribuição.

'sKXX̂ ++++====

X̂

Xs’

K



32

2

N W001308.0W189269.0W432788.11

W01032.0W802853.0515517.2WZK

++++++++++++

++++++++−−−−======== 2TlnW =

Lei Normal (ca=0)

OU DIRETAMENTE A PARTIR DE UM FUNÇÃO DO EXCELzKN =

… o fator de probabilidade é o valor da normal reduzida para a probabilidade de não-excedência em consideração



FUNÇÕES DO EXCEL

Conhecida a probabilidade de não-excedência, F(z), fornece o valor danormal reduzida, z, com essa probabilidade:

Português – INV.NORMP(F)Inglês – NORMSINV(F)

F(Z)

1.0

0.5

0 Z

INV.NORMP

NORMSINV

DIST.NORMP

NORMSDIST

Conhecido o valor da normal reduzida, z,fornece a correspondente probabilidadede não excedência, F(z):

Português – DIST.NORMP(z)Inglês – NORMSDIST(z)

Fator de probabilidade da lei normal = z (normal reduzida)



32

2

N W001308.0W189269.0W432788.11

W01032.0W802853.0515517.2WZK

++++++++++++

++++++++−−−−======== 2TlnW =

Lei Normal (ca=0)

Lei de Gumbel (ca=1.1396)

++++

ππππ−−−−====

−−−−++++

ππππ−−−−====

F1

lnln577216.06

1TT

lnln577216.06

KG

Diretamente a partir de uma função implementada no ExcelzKN =



32

2

N W001308.0W189269.0W432788.11

W01032.0W802853.0515517.2WZK

++++++++++++

++++++++−−−−======== 2TlnW =

Lei Normal (ca=0)

Lei de Gumbel (ca=1.1396)

Lei de Pearson III (ca variável)

5432232P k

31

kZk)1Z(k)Z6Z(31

k)1Z(ZK ++++++++−−−−−−−−−−−−++++−−−−++++====6

Ck s====

−

+

−≅ 11111111

6666CCCC

6666CCCCzzzz

CCCC2222KKKK

3333ssssssss

ssssPPPP

Transformação de Wilson-Hilferty na qual g=Cs, ou seja, representa o coeficiente de assimetria

++++

ππππ−−−−====

−−−−++++

ππππ−−−−====

F1

lnln577216.06

1TT

lnln577216.06

KG

Diretamente a partir de uma função implementada no ExcelzKN =



Naghettini. M.; Andrade Pinto, E.J., 2007, Hidrologia estatística. Belo Horizonte:

CPRM, 2007 (disponível na internet)HIDROLOGIA E RECURSOS HÍDRICOS (3ª ano, 2º semestre – 2017/2018) ----- 18

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADAS À HIDROLOGIA

Mauro Naghettini

Maria Manuela Portela

DECivil, IST, 2011



Distribuição

(DIST)

Factor de probabilidade

(F

DISTK )

Equação de quantis

( Fx )

Observação

Normal X

F

NormalF sKXx += Z(F) – normal reduzida

log-Normal ou

de Galton

)F(zKFNormal= ( )Y

FNormalF sKYexpx +=

com ( )XlnY = Z(F) – normal reduzida

Gumbel

[ ]{ })F/1(lnln577216.06

KFGumbel +

π−≅

[rigorosamente, F

GumbelK depende da dimensão da

amostra, N, Kite (1988)]

XFGumbelF sKXx += -------

GEV ( ) ( )[ ]{ }( ) ( )κ+Γ−κ+Γ

−−κ+Γ

κ

κ=

κ

121

Fln1K

2

FGEV

XFGEVF sKXx += -------

Z(F) – normal reduzida

Expressões de cálculo dos fatores de probabilidade,

FDISTK

..



Pearson-III

Transformação de Wilson-Hilferty

−

+

−≅ 11

6

g

6

gK

g

2K

3

XXFNormal

X

FPearson

Alternativa

54TNormal

32TNormal

2TNormal

3TNormal

2TNormal

TNormal

FPearson

k3

1kKk)1K(k)K6

K(3

1k)1K(KK

++−−−

−+−+≅

XFPearsonF sKXx +=


Na transformação de Wilson-

Hilferty 2gX < . Para outras

assimetrias consultar Rao e Hamed (2000)

Na equação alternativa

6

gk x=

log-Pearson III

Transformação de Wilson-Hilferty

−

+

−≅ 11

6

g

6

gK

g

2K

3

YYFNormal

Y

FPearson

Alternativa

54TNormal

32TNormal

2TNormal

3TNormal

2TNormal

TNormal

FPearson

k3

1kKk)1K(k)K6

K(3

1k)1K(KK

++−−−

−+−+≅

( )YFPearsonF sKYexpx +=

com ( )XlnY =


Na transformação de Wilson-

Hilferty 2gY < Para outras

assimetrias consultar Rao e

Hamed (2000)

Na equação alternativa

6

gk

y=

Expressões de cálculo dos fatores de probabilidade,





Média MÉDIA AVERAGE

Sem correcção do viés (… população …) DESVPADP STDEVP

Com correcção do viés (… amostra …) DESVPAD STDEV

Coeficiente de assimetria (… com correcção do viés) DISTORÇÃO SKEW

Correlação (… entre duas variáveis …) CORREL CORREL

Covariância (… entre duas variáveis …) COVAR COVAR

Desvio- -padrão

Funções do Excel

F(Z)

1.0

0.5

0 Z

INV.NORMP

NORMSINVDIST.NORMP

NORMSDIST



Ajuste de leis estatísticas. Exemplo de organização dos procedimentos da

análise estatística a uma amostra de uma variável aleatória com 30

elementos….

Ano hidrológico Pi ln P

(mm)123456789101112131415161718192021222324252627282930

Média (mm)Desvio-padrão (mm)

Coeficiente de variaçãoAssimetriaAssimetri/6

1 – Organização da amostra ecálculo das correspondentesestatísticas amostrais. Obtençãodos logaritmos dos valores daamostra tendo em vista aaplicação de leis log (log-Normalou Galton e log-Pearson III).


N. ordem PiProbabilidade

de não excedência, F

Período de retorno

Z

i anos1 0.0323 1.0 -1.84862 0.0645 1.1 -1.51793 0.0968 1.1 -1.30024 0.1290 1.1 -1.13105 0.1613 1.2 -0.98926 0.1935 1.2 -0.86497 0.2258 1.3 -0.75278 0.2581 1.3 -0.64939 0.2903 1.4 -0.5524

10 0.3226 1.5 -0.460511 0.3548 1.6 -0.372312 0.3871 1.6 -0.286913 0.4194 1.7 -0.203514 0.4516 1.8 -0.121615 0.4839 1.9 -0.040416 0.5161 2.1 0.040417 0.5484 2.2 0.121618 0.5806 2.4 0.203519 0.6129 2.6 0.286920 0.6452 2.8 0.372321 0.6774 3.1 0.460522 0.7097 3.4 0.552423 0.7419 3.9 0.649324 0.7742 4.4 0.752725 0.8065 5.2 0.864926 0.8387 6.2 0.989227 0.8710 7.8 1.131028 0.9032 10.3 1.300229 0.9355 15.5 1.517930 0.9677 31.0 1.8486

Ajuste de leis estatísticas. Valores da normal reduzida relativos aos

registos de precipitações diárias máximas anuais

mm

Val

ore

s d

a va

riáv

el h

idro

lóg

ica

ord

enad

as p

or

ord

em c

resc

ente

s1 – Ordenação dos valores daamostra.




Período de retorno

Z

i anos1 0.0323 1.0 -1.84862 0.0645 1.1 -1.51793 0.0968 1.1 -1.30024 0.1290 1.1 -1.13105 0.1613 1.2 -0.98926 0.1935 1.2 -0.86497 0.2258 1.3 -0.75278 0.2581 1.3 -0.64939 0.2903 1.4 -0.5524

10 0.3226 1.5 -0.460511 0.3548 1.6 -0.372312 0.3871 1.6 -0.286913 0.4194 1.7 -0.203514 0.4516 1.8 -0.121615 0.4839 1.9 -0.040416 0.5161 2.1 0.040417 0.5484 2.2 0.121618 0.5806 2.4 0.203519 0.6129 2.6 0.286920 0.6452 2.8 0.372321 0.6774 3.1 0.460522 0.7097 3.4 0.552423 0.7419 3.9 0.649324 0.7742 4.4 0.752725 0.8065 5.2 0.864926 0.8387 6.2 0.989227 0.8710 7.8 1.131028 0.9032 10.3 1.300229 0.9355 15.5 1.517930 0.9677 31.0 1.8486



mm

1 – Ordenação dos valores daamostra.

2 – Atribuição a cada valor daamostra da correspondenteprobabilidade empírica denão excedência – F = i/(N+1)– e respetivo período deretorno – T = 1/(1-F).

Val

ore

s d

a va

riáv

el h

idro

lóg

ica

ord

enad

as p

or

ord

em c

resc

ente

s




Período de retorno

Z

i anos1 0.0323 1.0 -1.84862 0.0645 1.1 -1.51793 0.0968 1.1 -1.30024 0.1290 1.1 -1.13105 0.1613 1.2 -0.98926 0.1935 1.2 -0.86497 0.2258 1.3 -0.75278 0.2581 1.3 -0.64939 0.2903 1.4 -0.5524

10 0.3226 1.5 -0.460511 0.3548 1.6 -0.372312 0.3871 1.6 -0.286913 0.4194 1.7 -0.203514 0.4516 1.8 -0.121615 0.4839 1.9 -0.040416 0.5161 2.1 0.040417 0.5484 2.2 0.121618 0.5806 2.4 0.203519 0.6129 2.6 0.286920 0.6452 2.8 0.372321 0.6774 3.1 0.460522 0.7097 3.4 0.552423 0.7419 3.9 0.649324 0.7742 4.4 0.752725 0.8065 5.2 0.864926 0.8387 6.2 0.989227 0.8710 7.8 1.131028 0.9032 10.3 1.300229 0.9355 15.5 1.517930 0.9677 31.0 1.8486



mm

1 – Ordenação dos valores daamostra.

2 – Atribuição a cada valor daamostra da correspondenteprobabilidade empírica denão excedência – F = i/(N+1)– e respetivo período deretorno – T = 1/(1-F).

3 – Por inversão da lei normal,conhecido F, cálculo docorrespondente valor danormal reduzida, Z

INV.NORMP

NORMSINV

z

F

Val

ore

s d

a va

riáv

el h

idro

lóg

ica

ord

enad

as p

or

ord

em c

resc

ente

s


Ajuste de leis estatísticas. Leis Normal, de Gumbel e

de Pearson III

F T

(anos) KN P (mm) ln P P (mm) KG P (mm) KP P (mm)0.0100 1.0100.0200 1.0200.0300 1.0310.0400 1.0420.0500 1.0530.0600 1.0640.0700 1.0750.0800 1.0870.0900 1.0990.1000 1.1110.1100 1.1240.1200 1.1360.1300 1.1490.1400 1.1630.1500 1.1760.1600 1.1900.1700 1.2050.1800 1.2200.1900 1.235

…. … … … … … … … … ……. … … … … … … … … ……. … … … … … … … … ……. … … … … … … … … …

Lei de GumbelLei Normal Lei de Pearson IIILei log-Normal ou de

Galton

0.8200 5.5560.8300 5.8820.8400 6.2500.8500 6.6670.8600 7.1430.8700 7.6920.8800 8.3330.8900 9.0910.9000 10.0000.9100 11.1110.9200 12.5000.9300 14.2860.9400 16.6670.9500 20.0000.9600 25.0000.9700 33.3330.9800 50.0000.9900 100.0000.9990 1000.0000.9999 10000.000

1 – Arbítrio de probabilidades de nãoexcedência, F, e cálculo dos corres-pondentes períodos de retorno, T(anos) – T=1/(1-F).


F T


…. … … … … … … … … ……. … … … … … … … … ……. … … … … … … … … ……. … … … … … … … … …


Galton

0.8200 5.5560.8300 5.8820.8400 6.2500.8500 6.6670.8600 7.1430.8700 7.6920.8800 8.3330.8900 9.0910.9000 10.0000.9100 11.1110.9200 12.5000.9300 14.2860.9400 16.6670.9500 20.0000.9600 25.0000.9700 33.3330.9800 50.0000.9900 100.0000.9990 1000.0000.9999 10000.000

1 – Arbítrio de probabilidades de nãoexcedência, F, e cálculo dos corres-pondentes períodos de retorno, T(anos) – T=1/(1-F)

3 – Cálculo dos fatores deprobabilidade, K, em função dasprobabilidade de não-excedência e,no caso da Lei de Pearson III, docoeficiente de assimetria.


de Pearson III


Ajuste de leis estatísticas. Leis Normal, de Gumbel e de

Pearson III

FATORES DE PROBABILIDADE DAS LEIS DE GUMBEL E DE PEARSON III

(lei Normal …. função EXCEL)

Lei de Pearson III: FUNÇÃO DO PERÍODO DE RETORNO T, através da normal reduzida, KN=z, E DO COEFICIENTE DE ASSIMETRIA, através de g

F T


…. … … … … … … … … ……. … … … … … … … … ……. … … … … … … … … ……. … … … … … … … … …


Galton

0.8200 5.5560.8300 5.8820.8400 6.2500.8500 6.6670.8600 7.1430.8700 7.6920.8800 8.3330.8900 9.0910.9000 10.0000.9100 11.1110.9200 12.5000.9300 14.2860.9400 16.6670.9500 20.0000.9600 25.0000.9700 33.3330.9800 50.0000.9900 100.0000.9990 1000.0000.9999 10000.000

++++

ππππ−−−−====

−−−−++++

ππππ−−−−====

F1

lnln577216.06

1TT

lnln577216.06

KG

−

+

−≅ 11111111

6666CCCC

6666CCCCzzzz

CCCC2222KKKK

3333ssssssss

ssssPPPP

Lei de Gumbel: FUNÇÃO DO PERÍODO DE RETORNO T pois Cs fixo e aprox. 1.1396 1.14≈



de Pearson III

F T


…. … … … … … … … … ……. … … … … … … … … ……. … … … … … … … … ……. … … … … … … … … …


Galton

0.8200 5.5560.8300 5.8820.8400 6.2500.8500 6.6670.8600 7.1430.8700 7.6920.8800 8.3330.8900 9.0910.9000 10.0000.9100 11.1110.9200 12.5000.9300 14.2860.9400 16.6670.9500 20.0000.9600 25.0000.9700 33.3330.9800 50.0000.9900 100.0000.9990 1000.0000.9999 10000.000

1 – Arbítrio de probabilidades de nãoexcedência, F, e cálculo dos corres-pondentes períodos de retorno, T(anos) – T=1/(1-F)

3 – Cálculo dos fatores deprobabilidade, K, em função dasprobabilidade de não-excedência e,no caso da Lei de Pearson III, docoeficiente de assimetria.

4 – Cálculo dos valores da variávelhidrológica (ou dos respetivos loga-ritmos, no caso da lei Log-Normal ou deGalton) 'sKXX̂ ++++====


0.0

25.0

50.0

75.0

100.0

125.0

150.0

175.0

200.0

-3 -2 -1 0 1 2 3z

Pi (mm)

Lei Normal

Lei de Gumbel

Lei de Pearson III

Pi

Representação da amostra e das leis teóricas e seleção da lei com melhor ajuste (a utilizar na sequente estimação de valores da variável hidrológica)


0

25

50

75

100


(Amostra da variávelaleatória)Lei Normal

Lei de Gumbel

0.10 0.30 0.50 0.70 0.90 0.99 0.999 F

0

25

50

75

100

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Probabilidade de não-excedência, F


Lei de Gumbel

(VA)

Papel de probabilidade da lei normal –escala linear de valores da normal reduzida

Escala linear de probabilidades de não-excedência, F


0

25

50

75

100



Lei de Gumbel

0.10 0.30 0.50 0.70 0.90 0.99 0.999 F

0

25

50

75

100

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Probabilidade de não-excedência, F


Lei de Gumbel

(VA)

Papel de probabilidade da lei normal –escala linear de valores da normal reduzida

Escala linear de probabilidades de não-excedência, F


0

2 5

5 0

7 5

1 0 0

-3 -2 -1 0 1 2 3N o rm a l red u z ida , Z

Le i N o rm a l (c a fixo e igu a l a 0 )

Le i d e G u m b e l (c a fixo d e c e rc a de 1 .14 )

Le i d e P ea rs o n III c om c a = -0 .5

Le i d e P ea rs o n III c om c a = 2

0 .10 0 .30 0 .5 0 0 .70 0 .90 0 .9 9 0 .9 9 9 F



0

2 5

5 0

7 5

10 0

-3 -2 -1 0 1 2 3N o rm al re du z id a , Z

L e i N o rm a l (c a fixo e ig ua l a 0 )

L e i de G u m be l (c a fixo d e c e rc a d e 1 .14 )

L e i de P e ars on III c o m c a = -0 .5

L e i de P e ars on III c o m c a = 2

0.1 0 0 .3 0 0 .5 0 0 .7 0 0 .9 0 0 .9 9 0 .9 9 9 F

Cheias (T superior ou

igual a 100 anos)

Secas


probabilidade de excedência? análise estatística …mps/hrh/2017_2018/hrh_18_estatistica... ·...

Documents