TEMA 2: PRINCIPIOS BÁSICOS DE HIDROSTÁTICANeste tema serão abordados aspectos importantes sobre a água em repouso (hidrostática).

Pressão de fluídosTodos fluídos exercem pressão sobre as superfícies. A pressão é definida como:Pressão = força/áreaQuando aplicada sobre um ponto, tem-se:

P= lim∆ A→0

∆ F∆ A

P=dFdA

Considerando-se a área total

∫ dF=∫ PdA

F=P . A → P=FA

Unidades: Pa (N/m2); kgf/cm2; m.c.a.

Exemplo: Desprezando-se o peso da caixa d’água, calcule a pressão exercida sobre o apoio.

P = F/A

F = peso da água

F=γ .Volume = 9.810 N/m3 . (1,25 m. 1,0 m. 0,8 m) = 9.810 N

Pressão = 9,810 N / 1,25 m2 = 7.878 N/m2 ou Pa

Lei de PascalSegundo esta lei, “em qualquer ponto no interior de um líquido em repouso, a pressão é a mesma em todas as direções”. A dedução é a seguinte:

Considerando um corpo em repouso com formato de cunha e largura unitária:

Px = Fx/dx → Fx = Px . dyPy = Fy/dy → Fy = Py . dxPz = Fz/dz → Fz = Pz . dz

∑ F=0 (na mesma direção)

Fx = Fzx e Fy = Fzy

Decomposição das forças

sen θ = Fzx / Fz → Fzx = Fz . sen θ

Logo:

Fx = Fz . sen θ

Px . dx = Pz . dz . sen θ

De acordo com a figura tipo cunha: sen θ = dy/dz

Px . dy = Pz . dz . (dy/dz)

Px = Pz

Fazendo para o eixo Y

Py = Pz, logo

Px = Pz = Py

Lei de StevinSegundo esta lei “a diferença de pressão entre dois pontos de uma mesma massa

líquida é igual à diferença de profundidade entre eles, multiplicado pelo peso específico do fluído”. A dedução é a seguinte:

Representação da Lei de Stevin

∑ F y=0 (na mesma direção): Lei de Pascal

Força de cima para baixo deve ser igual à de baixo para cimaF1+Peso docilindro=F2, sabendo que P = F/A → F = P . A

P1 . A+Peso docilindro=P2 . A

Pesocilindro=γ .Volume=γ . A .(Z2−Z1), sendo Z2−Z1=hPesocilindro=γ . A .h

P1 . A+γ . A .h=P2 . AP2−P1=γ . h

P2−P1= ρ. g .h, quando:

P2=γ .Z2 ou P2=γ . h ou P2=ρ . g .h

Exemplo 1: Determine a pressão sobre um ponto situado a uma profundidade de 30m (ρ = 1.000 kg/m3; g = 9,81 m/s2 e considere P1 = 0)

Exemplo 2: Um manômetro situado no fundo de um reservatório de água registra uma pressão de 196.200 Pa. Determine a altura da coluna de água no reservatório.

(ρ = 1.000 kg/m3; g = 9,81 m/s2)

A prensa hidráulica segue o seguinte principio:

P1 = P2 → F1/A1 = F2/A2 → F1 . A2 = F2 . A1 ou F1/F2 = A1/A2, onde:

F1 = força aplicada

F2 = força obtida

A1 = seção do êmbolo menor

A2 = seção do êmbolo maior

Escalas de pressãoPara expressar a pressão de um fluído podemos utilizar duas escalas:

Pressão manométrica: Pressão em relação à pressão atmosférica Pressão absoluta: pressão em relação ao vácuo absoluto

Pressão atmosférica padrão: 1 atm = 101.396 Pa = 10.336 kgf/m2 = 1,034 kgf/cm2 = 760 mmHg = 10,33 m.c.a.Obs.: m.c.a. = métro de coluna de água

Na hidráulica são usadas pressões manométricas, pois a Pressão atmosférica atua em todos os pontos a ela expostos, de forma que acabam se anulando.

Atuação da pressão atmosférica

Medidores de pressão (manômetros) Existem vários tipos de medidores de pressão. Os mais utilizados na hidráulica agrícola,

são: piezômetro, tubo em U, manômetro diferencial, manômetro analógicos e digitais.

PiezômetroÉ utilizado para medir a carga hidráulica. No ponto onde se deseja medir a pressão são

inseridos tubos transparentes (plástico ou vidro). A altura da água da água no tubo corresponde à pressão e o líquido indicador é o próprio fluído da tubulação onde está sendo medida a pressão. A limitação do piezômetro é que apenas pode medir baixas pressões quando o fluído for água.

Para calcular a pressão utiliza-se a Lei de StevinPressão no ponto 1: P1=γ . h ou P1=ρ . g .h, em que:P1 = pressão no ponto 1 (Pa ou N/m2)ρ = massa específica (kg/m3)γ = peso específico (N/m3)h = altura da coluna de água (m)

Exemplo: Qual é a pressão máxima que pode ser medida com um manômetro de 2 m de altura instalado numa tubulação conduzindo. Nota: Despreze o diâmetro da tubulação e considere g = 9,81 m/s2

a) Água (ρ = 1.000 kg/m3)

b) Óleo (ρ = 850 kg/m3)

Tubo em UNeste manômetro utiliza um líquido indicador com grande massa específica,

geralmente o mercúrio, que deve ser imiscível com o fluído da tubulação onde será medida a pressão. A pressão na tubulação provoca um deslocamento do fluído indicador. A diferença de altura é usada para calcular a pressão. Um lado do manômetro fica conectado no ponto onde se deseja medir a pressão enquanto que o outro lado fica em contato com a pressão atmosfera, tal como no esquema abaixo.

A Lei de Stevin é utilizada para calcular a pressão:PA=PB

PA=P1+ ρ1 . g . h1PB=ρ2 . g . h2 P1+ρ1 . g . h1=ρ2 . g .h2 → P1=ρ2 . g .h2−ρ1 . g . h1, onde:P1 = pressão no ponto 1 (Pa)ρ1 = massa específica do fluído onde está sendo medida a pressão (kg/m3)ρ2 = massa específica do fluído indicador (kg/m3)h1 = altura do fluído onde está sendo medida a pressão (m)h2 = altura do fluído indicador (m)

Exemplo: O manômetro de tubo em U, esquematizado a seguir, está sendo utilizado para medir a pressão em uma tubulação conduzindo água (ρ = 1.000 kg/m3). O líquido indicador do manômetro é o mercúrio (ρ = 13.600 kg/m3). Determine a pressão no ponto 1 sabendo que h1 = 0,5m e h2 = 0,9m. Dado: g = 9,81 m/s2.

Manômetro diferencialUtilizado para medir a diferença de pressão entre dois pontos. Emprega-se um líquido

com grande massa específica (mercúrio) e imiscível com o fluído da tubulação com o fluido das tubulações onde está sendo avaliada a diferença de pressão. Os dois lados do manômetro estão conectados com os pontos onde se deseja medir a pressão.

ΔP=ρ2 . g .h2+ ρ3. g . h3−ρ1 . g . h1, em que:ΔP=¿diferença de pressão (Pa)ρ1 e ρ3=¿ massa específica do fluído onde está sendo medida a diferença de pressão (kg/m3)ρ2=¿ massa específica do fluído indicador (kg/m3)h1 eh3=¿altura dos fluídos onde está sendo medido o diferencial de pressão (m)h2=¿altura do fluído indicador (m)

Quando o manômetro é utilizado para medir a diferença de pressão entre dois pontos que estão no mesmo nível.

PA=P1+ ρ 1 . g . h2PB=P2+ρ2 . g . h2

PA=PBP1+ρ 1 . g . h2=P2+ρ2 . g . h2P1−P2= ρ2 . g . h2−ρ1 . g . h2

ΔP=( ρ2−ρ1 ) . g . h2

Exemplo: Qual é a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2? O fluído nas duas tubulações é a água e o líquido indicador é o mercúrio. Dados: ρ (água) = 1.000 kg/m3; ρ (mercúrio) = 13.600 kg/m3.

Manômetro metálico tipo BourdonMuito utilizado na agricultura, serve para medir pressões positivas e negativas. São

instalados diretamente no ponto onde se quer medir a pressão. Ocasionalmente, para facilitar a leitura, num ponto próximo ao ponto que se deseja fazer a leitura. Neste caso é preciso levar em consideração a altura do manômetro em relação ao ponto em que se deseja conhecer a pressão.

Figura. Manômetro analógico

Exemplo: Um manômetro metálico está posicionado a 2,5m acima de uma tubulação, que conduz água. A leitura do manômetro é de 14 kgf/cm2. Qual a pressão da tubulação? Dado: ρ água = 1.000 kg/m3 e g = 9,81 m/s2.

Manômetro digitalEste equipamento fornece leitura precisa. As mesmas condições sobre os pontos de

instalação do manômetro analógico servem para o digital.

Figura. Manômetro digital

EmpuxoUm corpo total ou parcialmente imerso num fluído, recebe dele um empuxo igual e de sentido contrário ao peso do fluído deslocado pelo corpo e que se aplica em seu centro de gravidade. A pressão exercida pelo fluído em sua base inferior é maior do que a pressão que o fluído exerce no topo do corpo. Portanto, existe uma resultante das forças verticais, dirigidas de baixo para cima, denominada empuxo (E).

Figura Representação do empuxoE=P2. A−P1 . A → E = A . (P2−P1 )

Pela Lei de Stevin:P2−P1= ρ. g .h, logo:

E=A . ρ. g . h, como V=A .h, tem-se:E=ρ .g .V

Exemplo: Um cilindro metálico, cuja área da base é A = 10 cm2 e cuja altura H = 8 cm, está flutuando em mercúrio, como mostra a figura abaixo. A parte do cilindro mergulhada no líquido tem h = 6 cm (g = 9,81 m/s2 e ρ mercúrio = 13.600 kg/m3).

a) Qual o valor do empuxo sobre o cilindro?

b) Qual o valor do peso do cilindro metálico?

c) Qual o valor da densidade do cilindro metálico?

Força resultante exercida por um líquido em equilíbrio sobre superfícies planas submersas

Consideram-se as forças derivadas à pressão sobre as superfícies planas submersas no dimensionamento de comportas, tanques, etc. É preciso levar em consideração duas condições:

- Superfície plana submersa na horizontal- Superfície plana na posição inclinada

6.1.1) Força resultante e centro de pressão em superfícies planas horizontaisA pressão sobre a superfície plana será a mesma em todos os seus pontos e agirá

perpendicularmente a ela.

Força resultante = Pressão . Área

A força resultante atuará verticalmente no centro de pressão da superfície, que no caso, coincide com o seu centro de gravidade.

Exemplo: Qual a força sobre uma comporta quadrada (1 x 1m) instalada no fundo de um reservatório de água de 2 m de profundidade (ρ água = 1.000 kg/m3).

Força resultante e centro de pressão em superfícies planas inclinadasPara a determinação da força resultante em uma superfície inclinada utiliza-se:Força resultante (F) = pressão (P) . área (A) → F=ρ .g .hcg . A, em que: hcg é a

profundidade do centro de gravidade da superfície imersa.

O que é centro de gravidade e centro de esforço?

A resultante das pressões não se aplica no Centro de Gravidade (CG), mas sim um pouco abaixo, no Centro de Pressão (CP). No CG o peso (superfície) do objeto estaria distribuído. No CP é o ponto onde se distribui os esforços sofridos pelo objeto em dois.

Centro de gravidade e de esforço em objetos inclinados

Figura. Representação do centro de gravidade e pressão

Cálculo do ponto de atuação da força resultante

Y cp=Y cg+I 0

Y cg . A

Onde:

Y cp=hcpsenθ

Y cg=hcgsenθ

I 0 = momento de inércia da área A, dado pela seguinte tabela:

Tabela. Área, momento de inércia da área e posição do centro de gravidade das principais formas geométricas

Figura A (m2) I 0 Dcg (m )a . b a. b3/12 b/2

a . b/2 a . b3/36 2 . b/3

π .r 2 π . r4

4

r

Exemplo: Uma barragem com 20 m de comprimento retém uma lâmina de água de 7m. Determinar a força resultante sobre a barragem e seu centro de aplicação.

EXERCICIOS1) Um tubo vertical, de 30m de comprimento e 25 mm de diâmetro, tem sua

extremidade inferior aberta e nivelada com a superfície interna da tampa de uma caixa de 0,2 m2 de seção e 0,15 m de altura, sendo o fundo horizontal. Desprezando-se o peso do tubo e da caixa, lembrando que ambos estão cheios d’água, calcula:

a) Pressão total (carga hidráulica) sobre o fundo da caixa

b) Peso total sobre o chão em que repousa a caixa

2) Calcular a força P que deve ser aplicada no êmbolo menor de prensa hidráulica da figura, para equilibrar a carga de 4.400 kgf colocada no êmbolo maior. Os cilindros estão cheios de um óleo com densidade relativa 0,75 e as seções dos êmbolos são, respectivamente, 40 e 4.000 cm2.

3) Qual a pressão, em kgf/cm2, no fundo de um reservatório que contém água, com 3m de profundidade? idem, se o reservatório contém gasolina (densidade relativa 0,75)?

4) A pressão de água numa torneira fechada (A) é de 0,28 kgf/cm2. Se a diferença de nível entre (A) e o fundo da caixa é de 2m, calcular:

a) A altura da água (H) na caixab) A pressão no ponto (B), situado a 3m abaixo de (A)

5) Um tubo vertical, de 25 mm de diâmetro e 30 cm de comprimento, aberto na extremidade superior e fechado na inferior, contêm volumes iguais de água e mercúrio. Pergunta-se:a) Qual a pressão manométrica, em kgf/cm2, no fundo do tubo?

b) Qual o peso nele contido?

6) Dada a seguinte figura, pede-se para determinar a pressão no ponto “m” quando o fluido A for água, o fluido B for mercúrio, Z = 380 mm e Y = 750 mm.

7) Um monômetro diferencial de mercúrio (peso específico 13.600 kgf/m3) é utilizado como indicador do nível de uma caixa d’água, conforme ilustra a figura abaixo. Qual o nível de água na caixa (hl) sabendo-se que h2 = 15m e h3 = 1,3m?

8) Qual o peso específico do líquido (B) do esquema abaixo?

9) Dada a figura A, pede-se para calcular a diferença de pressão, sabendo que o fluido A é água, o fluído B é mercúrio, Z = 450 mm e Y = 0,9m. (g = 9,81 m/s2).

10) Dada a comporta esquematizada na figura abaixo, determine:

a) Empuxo (força resultante)

b) O centro de pressão

11) Calcular o empuxo (força resultante) exercido sobre uma comporta de 0,3m de diâmetro, instalada horizontalmente sobre o fundo de um reservatório com 2 m de lâmina d’água.

12) Uma comporta circular vertical, de 0,9m de diâmetro, trabalha sob pressão de melaço (d = 1,5), cuja superfície livre está a 2,4m acima do topo da mesma. Calcular:

a) O empuxo (força resultante)

b) O centro de pressão

13) Uma barragem com 15m de comprimento retém uma lâmina de água de 6m. Determine a força resultante sobre a barragem e seu centro de aplicação.

14) Um cilindro cujo diâmetro na base é D = 4 cm e cuja altura (H) é 10 cm está flutuando em água. A parte do cilindro que está mergulhada tem uma altura de 5 cm.a) Qual é o valor do empuxo do cilindro?

b) Qual é o valor do peso do cilindro?

c) Qual o valor da massa específica do cilindro?