Anlise Combinatria - Princpio Fundamental da Contagem

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes matrias, empilhados de cima para baixo

nesta exata ordem:

Portugus, matemtica, histria e geografia.

Incluindo a ordem atual, de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros nesta carteira?

Vamos pensar sobre o problema.

Na escolha do primeiro livro a ser colocado na carteira temos 4possibilidades, pois ainda no

colocamos nenhum livro nela, temos ento quatro livros a

escolher: Portugus, matemtica, histria egeografia.

Se comearmos a pilha com o livro de portugus, na escolha do prximo livro a ser colocado sobre

ele, temos 3 possibilidades:matemtica, histria e geografia.

Se escolhermos o livro de histria como o segundo livro da pilha, para o terceiro livro

temos 2 possibilidades apenas: matemtica egeografia.

Se colocarmos na pilha o livro de geografia, para o ltimo livro temos

obviamente 1 possibilidade: matemtica.

Veja pela figura ao lado que as 4 possibilidades do primeiro livro podem ser combinadas com cada

uma das 3 possibilidades do segundo livro, que podem ser combinadas com cada uma das 2

possibilidades do terceiro livro, que podem finalmente ser combinadas com 1 possibilidade do

quarto livro. Matematicamente o nmero total de possibilidades seria:

4 . 3 . 2 . 1 = 24

Neste clculo utilizamos o princpio fundamental da contagem.

Princpio Fundamental da Contagem O princpio fundamental da contagem diz que um evento que ocorre em n situaes independentes e

sucessivas, tendo a primeira situao ocorrendo de m1 maneiras, a segunda situao ocorrendo

de m2 maneiras e assim sucessivamente at a n-sima situao ocorrendo de mn maneiras, temos

que o nmero total de ocorrncias ser dado pelo produto:

Exemplos Quantos so os nmeros naturais de dois algarismos que so mltiplos de 5?

Como o zero esquerda de um nmero no significativo, para que tenhamos um nmero natural

com dois algarismos ele deve comear com um dgito de 1 a 9, temos portanto 9 possibilidades.

Para que o nmero seja um mltiplo de 5, o mesmo deve terminar em 0 ou 5, portanto temos

apenas 2 possibilidades.

A multiplicao de 9 por 2 nos dar o resultado desejado.

Logo:

So 18 os nmeros naturais de dois algarismos que so mltiplos de 5.

Eu possuo 4 pares de sapatos e 10 pares de meias. De quantas maneiras poderei me

calar utilizando um par de meias e um de sapatos?

Pelo princpio fundamental da contagem temos que multiplicar 4, que o nmero de elementos do

primeiro conjunto, por 10 que corresponde ao nmero de elementos do segundo conjunto.

Portanto:

Poderei me calar de 40 maneiras diferentes.

De quantas formas podemos dispor as letras da palavra FLUOR de sorte que a ltima letra

seja sempre a letra R?

Para a ltima letra, segundo o enunciado temos apenas uma possibilidade que a letra R.

Para a primeira, segunda, terceira e quarta letras temos respectivamente 4, 3, 2 e 1 possibilidades.

Assim temos:

Note que este exemplo semelhante ao caso dos livros, explicado no incio da pgina, s que neste

caso teramos mais um livro, digamos de cincias, que sempre seria colocado na pilha por ltimo.

Podemos dispor as letras da palavra FLUOR de 24 formas diferentes, tal que a ltima

letra seja sempre a letra R.

Quantos nmeros naturais com 3 algarismos podemos formar que no comecem com 16,

nem com 17?

Neste exemplo iremos fazer o clculo em duas partes. Primeiro iremos calcular quantos so os

nmeros com trs algarismos.

Como neste caso na primeira posio no podemos ter o dgito zero, o nmero de possibilidades para

cada posio respectivamente: 9, 10 e 10.

Portanto temos 900 nmeros naturais com trs dgitos.

Agora vamos calcular quantos deles comeam com 16 ou 17.

Para a primeira posio temos apenas uma possibilidade, o dgito 1. Para a segunda temos 2, pois

servem tanto o dgito 6, quanto o 7.

Para a terceira e ltima posio temos todos os dgitos possveis, ou seja, 10 possibilidades.

Multiplicando tudo temos 20.

Logo, subtraindo 20 de 900 obtemos 880.

Existem 880 nmeros naturais nestas condies.

So quantos os nmeros mpares com trs algarismos, que no possuem dgitos repetidos

e que de trs para frente tambm so mpares?

Os nmeros devem ser mpares, temos ento 5 possibilidades para o ltimo algarismo.

A histria do "de trs para frente", em outras palavras quer dizer que o primeiro algarismo tambm

mpar. Como um dgito mpar j foi utilizado na ltima posio, temos ento apenas 4 disponveis para

a primeira posio.

Para o dgito central temos apenas 8 possibilidades, pois dois dgitos mpares j foram utilizados.

Multiplicando 4 por 8 e por 5 obtemos 160.

Assim sendo:

So 160 os nmeros mpares que satisfazem a todas estas condies.

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Exerccios resolvidos - Anlise Combinatria

Para maiores informaes tericas sobre este assunto veja tambm:Princpio Fundamental da Contagem

1) De um total de 6 pratos base de carboidratos e 4 pratos base de protenas,

pretendo fazer o meu prato com 5 destes itens, itens diferentes, de sorte que contenha ao menos 2 protenas. Qual o nmero mximo de pratos distintos que poderei fazer? Se no houvesse a restrio das duas protenas, o clculo seria simplesmente C10, 5:

Mas como h tal restrio, devemos descontar deste total o nmero de pratos que s contm

carboidratos, que igual a C6, 5:

No podemos nos esquecer de que tambm podemos montar pratos contendo apenas um item de

protena, ento devemos desconsider-los tambm. Estes pratos so o produto de C6, 4, referentes

aos quatro itens de carboidrato, porC4, 1, referentes ao nico item de protena:

Multiplicando as combinaes:

Podemos formar ento 6 pratos sem qualquer item de protena e mais 60 pratos com somente um

item de protena. Ento de 252 que o nmero total de combinaes possveis sem a restrio,

devemos subtrair 66 pratos para obtermos a resposta do exerccio, ou seja, 186.

Poderamos ter resolvido este exerccio de uma outra maneira. Vamos lhe explicar como e vamos lhe

dar o resultado, mas o desenvolvimento em si voc mesmo dever fazer, para que consiga fixar

melhor os conhecimentos adquiridos. Por favor, no deixe de faz-lo.

O produto C6, 3 . C4, 2 = 20 . 6 = 120 nos d o total de pratos contendo 3 itens de carboidrato

e 2 itens de protena.

J o produto C6, 2 . C4, 3 = 15 . 4 = 60 igual ao total de pratos contendo 2 itens de carboidrato

e 3 itens de protena.

Por fim o produto C6, 1 . C4, 4 = 6 . 1 = 6 resulta no total de pratos contendo 1 item de carboidrato

e 4 itens de protena.

Somando 120, 60 e 6, obtemos o mesmo resultado obtido anteriormente.

Portanto:

O nmero mximo de pratos distintos que poderei fazer, contendo ao menos dois itens de

protena, igual a 186 pratos.

2) Em um refeitrio h doces e salgados. Cada pessoa receber um recipiente com 3

doces, dos 8 tipos disponveis e apenas 2 salgados, dos 7 tipos fabricados. Quantas so as diferentes possibilidades de preenchimento do recipiente? Estamos trabalhando com combinao simples, pois no importa a ordem de preenchimento dos

recipientes. No caso dos doces vamos calcular C8, 3:

J no caso dos salgados vamos calcular C7, 2:

O nmero total de combinaes ser ento o produto de 56 por 21:

Logo:

So 1176 as diferentes possibilidades de preenchimento do recipiente.

3) Oito pessoas iro acampar e levaro quatro barracas. Em cada barraca dormiro duas

pessoas. Quantas so as opes de distribuio das pessoas nas barracas? Para a primeira barraca h 8 pessoas disponveis em relao primeira vaga e 7 para a segunda

vaga. Multiplicando um pelo outro obtemos 56, mas como no faz diferena se A vai dormir com B,

ou se B quem vai dormir com A, ento dividimos 56 por 2 que o nmero total de permutaes

entre A e B. Esta diviso resulta em 28.

Restam agora 6 pessoas aguardando por uma vaga em uma barraca. Para as demais barracas

procedemos da mesma forma.

Para a segunda barraca h 6 pessoas disponveis em relao primeira vaga e 5 para a segunda

vaga. A metade do produto disto d 15.

No caso da terceira barraca h somente 4 e 3 pessoas para cada uma das vagas. A metade deste

produto 6.

Finalmente para a quarta barraca h 2 e 1 pessoas para cada uma das vagas. A metade do produto

1.

Multiplicando 28, 15, 6 e 1 obtemos 2520 opes de distribuio.

Veja os clculos detalhados abaixo:

Tambm podemos resolver este exerccio recorrendo formula da combinao simples:

Para exercitar faa os clculos de C8, 2, C6, 2, C4, 2 e C2, 2 e confira.

Desta forma:

So 2520 as opes de distribuio das pessoas nas abarracas.

4) Em uma sapateira irei guardar 3 sapatos, 2 chinelos e 5 tnis. Quantas so as

disposies possveis desde que os calados de mesmo tipo fiquem juntos, lado a lado na sapateira? Como temos trs tipos de calados, a permutao destes trs tipos igual a 6:

P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6

Ou seja, estando todos os calados de um mesmo tipo juntos, o nmero de permutaes igual a 6,

levando-se em considerao apenas o tipo de calado, mas no o calado em si.

Para os sapatos, temos 3 deles, que permutados entre si resulta em 6 permutaes:

P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6

Para os chinelos, temos 2 pares, que permutados entre si resulta em 2 permutaes:

P2 = 2! = 2 . 1 = 2

Finalmente para os tnis, temos 5 pares, que permutados entre si resulta em 120 permutaes:

P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

Multiplicando estes quatro nmeros temos:

P3 . P3 . P2 . P5 = 3! . 3! . 2! . 5! = 6 . 6 . 2 . 120 = 8640

Este o nmero de disposies possveis.

Veja que os trs ltimos fatores (P3, P2 e P5) se referem s permutaes

dos sapatos, chinelos e tnis, respectivamente entre eles mesmos, sem haver mistura de tipos de

calados.

Note, no entanto que o primeiro fator (P3) se refere s permutaes entre os tipos de calados em si,

por exemplo,"sapatos, chinelos, tnis" um agrupamento e "chinelos, tnis, sapatos" um

outro agrupamento, ou seja, embora no haja mistura entre calados de tipos diferentes, os tipos de

calados como um todo permutam entre si.

Portanto:

As disposies possveis so 8640.

5) Grmio (RS), Flamengo (RJ), Internacional (RS) e So Paulo (SP) disputam um

campeonato. Levando-se em conta apenas a unidade da federao de cada um dos clubes, de quantas maneiras diferentes pode terminar o campeonato? Em outras palavras queremos saber o nmero de permutaes possveis entre as unidades da

federao de RS, RJ, RSe SP.

Atravs do clculo de P4 temos:

P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24

No entanto a UF do RS ocorre 2 vezes, devemos portanto eliminar as duas permutaes referentes a

ela, dividindo 24por 2!, quando iremos obter 12 maneiras diferentes de poder terminar o

campeonato.

Podemos tambm solucionar o problema calculando P4(2):

Logo:

O campeonato pode terminar de 12 maneiras diferentes.

6) Um certo nmero de pessoas pode ser agrupado de duas em duas pessoas, no

importando a ordem das mesmas, resultando em 10 diferentes possibilidades de agrupamento. Quantas pessoas fazem parte deste grupo? Como a ordem de posicionamento das pessoas irrelevante, estamos falando de combinao

simples. Ento temos que resolver a equao C10, 2 = 10:

Temos ento que encontrar as razes da equao .

Depois de tratarmos sobre as relaes de Albert Girard, aprendemos que podemos resolver

facilmente esta equao, respondendo seguinte pergunta?

Quais so os dois nmeros cuja soma igual a 1 e cujo produto igual -20?

Rapidamente deduzimos tratar-se dos nmeros -4 e 5.

Como o conceito de fatoriais aplicado somente aos nmeros naturais, a raiz -4 deve ser

descartada, ento temos que n igual a 5.

Assim sendo:

5 pessoas fazem parte deste grupo.

7) Se enfileirarmos 3 dados iguais, obteremos um agrupamento dentre quantos possveis?

Quando temos apenas 1 dado, temos um total de 6 resultados possveis.

Quando temos 2 dados, cada um dos 6 resultados possveis de um dos dados, pode ser combinado

com cada um dos 6resultados possveis do outro dado, resultando ento em 36 resultados possveis.

Como temos 3 dados, as 36 possibilidades combinadas dos outros 2 dados, combinadas

s 6 possibilidades do terceiro dado resultaro em 216 resultados.

Em outras palavras, pelo princpio multiplicativo temos:

6 . 6 . 6 = 216

Logo:

Obteremos um agrupamento dentre os 216 possveis.

8) Em um pequeno galinheiro h 12 aves, dentre um galo, galinhas, frangos e frangas, no

entanto s existe espao para 10 aves no poleiro. De quantas maneiras distintas elas podem ser empoleiradas, sabendo-se que o poleiro sempre ficar lotado? Para a primeira ave a subir no poleiro tem-se 12 possibilidades, para a segunda tem-se 11, para a

terceira tem-se 10e assim por diante, at a dcima ave onde teremos apenas 3 possibilidades, j que

apenas duas ficaro de fora. Multiplicando tudo temos:

12 . 11 . 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 = 239500800

Se no importasse a ordem das aves no poleiro, iramos dividir 239500800 por 10! para anular a

permutao das 10aves no poleiro, mas como a ordem das aves empoleiradas distingue um

agrupamento do outro, no iremos realizar tal diviso, pois estamos na verdade trabalhando

com arranjo simples.

J que estamos a trabalhar com arranjo simples, voc j deve ter percebido que poderamos ter

calculado A12, 10:

Ento:

As aves podem ser empoleiradas de 239500800 formas distintas.

9) Perpendiculares a duas retas paralelas no sobrepostas, foram traadas outras trs

retas paralelas no sobrepostas. Formaram-se ento seis pontos distintos nestes cruzamentos de retas. Quantos tringulos distintos podemos formar interligando trs pontos quaisquer? Em relao s duas retas paralelas iniciais, para que formemos um tringulo, precisamos tomar 2

pontos distintos de uma reta e 1 ponto da outra, j que trs pontos em linha no podem formar um

tringulo.

Um tringulo que tenha os vrtices nos pontos A, B e C, obviamente o mesmo tringulo com os

vrtices nos pontosB, C e A, ou em qualquer uma das suas permutaes. Sabendo disto, precisamos

combinar dois a dois os pontos de uma das retas ( C3, 2 ) e multiplic-la por trs, que o nmero de

pontos na outra reta paralela.

Como vale o mesmo se considerarmos o contrrio, ou seja, tomarmos C3, 2 dos pontos da segunda

reta e multiplicarmos pelos trs pontos da outra reta, ento devemos multipicar tal resultado por dois:

Portanto:

Interligando trs pontos quaisquer, que juntos permitem formar um tringulo, podemos

formar 18 tringulos distintos.

10) Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra CALOUROS, tal que sempre haja a presena da sequncia OURO, nesta ordem, e as letras C e S nunca estejam juntas qualquer que seja a ordem? Trocando a sequncia OURO por *, de CALOUROS passamos a ter CAL*S. Agora temos cinco

caracteres, logo devemos permut-los para obter o nmero de anagramas:

P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

Dos 120 anagramas possveis, temos alguns que possuem ou a sequncia CS, ou a sequncia SC.

Como desconsider-los?

simples, vamos cont-los.

Vamos trocar a sequncia formada pelas letras C e S, em qualquer ordem, por $. Ficamos ento

com $AL*.

Temos ento que calcular P4, mas como C e S so 2 letras que tambm permutam entre si, devemos

multiplicar P4 porP2:

P4 . P2 = 4! . 2! = 4 . 3 . 2 . 1 . 2 . 1 = 48

Atente ao fato de que no caso da sequncia CAL*S calculamos P5, mas no a multiplicamos por nada,

isto porque diferentemente do que ocorre com as letras da sequncia CS, as letras da

sequncia OURO no sofrem permutao entre si. A sequncia sempre a mesma.

Ento, dos 120 anagramas possveis, 48 deles possuem uma das permutaes da sequncia CS.

Vamos portanto descont-los:

120 - 48 = 72

Logo:

Podemos formar 72 anagramas que correspondem s condies do enunciado.

Princpio fundamental da contagem Por Lucas Martins

O princpio fundamental da contagem nos diz que sempre devemos multiplicar os nmeros de opes

entre as escolhas que podemos fazer. Por exemplo, para montar um computador, temos 3 diferentes

tipos de monitores, 4 tipos de teclados, 2 tipos de impressora e 3 tipos de "CPU". Para saber o numero

de diferentes possibilidades de computadores que podem ser montados com essas peas, somente

multiplicamos as opes:

3 x 4 x 2 x 3 = 72

Ento, tm-se 72 possibilidades de configuraes diferentes.

Um problema que ocorre quando aparece a palavra "ou", como na questo:

Quantos pratos diferentes podem ser solicitados por um cliente de restaurante, tendo disponvel 3

tipos de arroz, 2 de feijo, 3 de macarro, 2 tipos de cervejas e 3 tipos de refrigerante, sendo que o

cliente no pode pedir cerveja e refrigerante ao mesmo tempo, e que ele obrigatriamente tenha de

escolher uma opo de cada alimento?

A resoluo simples: 3 x 2 x 3 = 18 , somente pela comida. Como o cliente no pode pedir cerveja e

refrigerantes juntos, no podemos multiplicar as opes de refrigerante pelas opes de cerveja. O

que devemos fazer aqui apenas somar essas possibilidades:

(3 x 2 x 3) x (2 + 3) = 90

Resposta para o problema: existem 90 possibilidades de pratos que podem ser montados com as

comidas e bebidas disponveis.

Outro exemplo:

No sistema brasileiro de placas de carro, cada placa formada por trs letras e quatro algarismos.

Quantas placas onde o nmero formado pelos algarismos seja par, podem ser formadas?

Primeiro, temos de saber que existem 26 letras. Segundo, para que o numero formado seja par,

teremos de limitar o ultimo algarismo um numero par. Depois, basta multiplicar.

26 x 26 x 26 = 17.576 -> parte das letras

10 x 10 x 10 x 5 = 5.000 -> parte dos algarismos, note que na ltima casa temos apenas 5

possibilidades, pois queremos um nmero par (0 , 2 , 4 , 6 , 8).

Agora s multiplicar as partes: 17.576 x 5.000 = 87.880.000

Resposta para a questo: existem 87.880.000 placas onde a parte dos algarismos formem um nmero

par.

Princpio fundamental da contagem

1 Princpio fundamental da contagem Princpio Fundamental da Contagem o mesmo que a Regra do Produto, um princpio combinatrio que indica quantas vezes e as diferentes formas que um acontecimento pode ocorrer. O acontecimento formado por dois estgios caracterizados como sucessivos e independentes: O primeiro estgio pode ocorrer de m modos distintos. O segundo estgio pode ocorrer de n modos distintos. Desse modo, podemos dizer que o nmero de formas diferente que pode ocorrer em um acontecimento igual ao produto m . n. Exemplo: Alice decidiu comprar um carro novo, e inicialmente ela quer se decidir qual a modelo e a cor do seu novo veculo. Na concessionria onde Alice foi h 3 tipos de modelos que so do interesse dela: Siena, Fox e Astra, sendo que para cada carro h 5 opes de cores: preto, vinho, azul, vermelho e prata. Qual o nmero total de opes que Alice poder fazer? Resoluo: Segundo o Principio Fundamental da Contagem, Alice tem 3x5 opes para fazer, ou seja,ela poder optar por 15 carros diferentes. Vamos representar as 15 opes na rvore de possibilidades:

Generalizaes: Um acontecimento formado por k estgios sucessivos e independentes, com n1, n2, n3, ... , nk possibilidades para cada. O total de maneiras distintas de ocorrer este acontecimento n1 . n2 . n3 . ... . nk.

Fonte: http://www.colegioweb.com.br/trabalhos-escolares/matematica/analise-combinatoria/principio-fundamental-da-

contagem.html#ixzz3EFZIBhlR

Princpio Fundamental da Contagem

Princpio da contagem nas placas de automveis

O princpio fundamental da contagem est diretamente ligado s situaes que envolvem as possibilidades de um determinado evento ocorrer, por exemplo, os modos distintos que podemos organizar as pessoas em uma fila, o nmero de placas de automveis que podemos formar com letras e algarismos, as possveis combinaes da Mega Sena, entre outras situaes. O princpio fundamental da contagem a estrutura bsica da Anlise Combinatria, atravs dele desenvolvemos tcnicas e mtodos de contagem na resoluo direta de problemas. Exemplo 1 Vamos supor que uma fbrica produza motos de tamanhos grande, mdio e pequeno, com motores de 125 ou 250 cilindradas de potncia. O cliente ainda pode escolher as seguintes cores: preto, vermelha e prata. Quais so as possibilidades de venda que a empresa pode oferecer? Vamos construir uma rvore de possibilidades:

Possibilidades de venda

Grande 125 cc preta Grande 125 cc vermelha Grande 125 cc prata Grande 250 cc preta Grande 250 cc vermelha Grande 250 cc prata Mdia 125 cc preta Mdia 125 cc vermelha Mdia 125 cc prata Mdia 250 cc preta Mdia 250 cc vermelha Mdia 250 cc prata Pequena 125 cc preta Pequena 125 cc vermelha Pequena 125 cc prata Pequena 250 cc preta Pequena 250 cc vermelha Pequena 250 cc prata O nmero de possibilidades de venda totaliza 18 opes. A fbrica oferece trs tamanhos de moto, e para cada tamanho dois tipos de motores e, ainda, trs opes de cores. Dessa forma, o nmero total de possibilidades resulta da seguinte multiplicao: 3 * 2 * 3 = 18 possibilidades. Esse clculo efetuado de forma direta denominado Regra do Produto. Exemplo 2 De quantas maneiras distintas podemos formar placas de automveis, com 3 letras e 4 algarismos? Considere as letras do alfabeto e os algarismos de 0 a 9. A formatao da placa ser a seguinte:

Considerando as 26 letras do alfabeto e os algarismos de 0 a 9, teremos:

Aplicando a regra do produto, temos: 26 * 26 * 26 * 10 * 10 * 10 * 10 = 175 760 000 placas.

Por Marcos No