power point - projeto retas reversas
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Geometria Espacial
Conceitos primitivos
São conceitos primitivos ( e, portanto, aceitos sem definição) na Geometria espacial os conceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente, usamos a seguinte notação:
pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto
retas: letras minúsculas do nosso alfabeto
planos: letras minúsculas do alfabeto grego
Observação: Espaço é o conjunto de todos os pontos.
Por exemplo, da figura a seguir, podemos escrever:
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Axiomas
Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria.
Temos como axioma fundamental:existem infinitos pontos, retas e planos.
Postulados sobre pontos e retas
P1)A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos.
P2)Por um ponto podem ser traçadas infinitas retas.
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P3) Por dois pontos distintos passa uma única reta.
P4) Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas semi-retas.
Postulados sobre o plano e o espaço
P5) Por três pontos não-colineares passa um único plano.
P6) O plano é infinito, isto é, ilimitado.
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P7) Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos.
P8) Toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regiões chamadas semiplanos.
P9) Qualquer plano divide o espaço em duas regiões chamadas semi-espaços.
Posições relativas de duas retas
No espaço, duas retas distintas podem ser concorrentes, paralelas ou reversas:
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Temos que considerar dois casos particulares:
retas perpendiculares:
retas ortogonais:
Postulado de Euclides ou das retas paralelas
P10) Dados uma reta r e um ponto P r, existe uma única reta s, traçada por P, tal que r // s:
Determinação de um plano
Lembrando que, pelo postulado 5, um único plano passa por três pontos não-colineares, um plano também pode ser determinado por:
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uma reta e um ponto não-pertencente a essa reta:
duas retas distintas concorrentes:
duas retas paralelas distintas:
Posições relativas de reta e plano
Vamos considerar as seguintes situações:
a) reta contida no plano
Se uma reta r tem dois pontos distintos num plano , então r está contida nesse plano:
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b) reta concorrente ou incidente ao plano
Dizemos que a reta r "fura" o plano ou que r e são concorrentes em P quando .
Observação: A reta r é reversa a todas as retas do plano que não passam pelo ponto P.
c) reta paralela ao plano
Se uma reta r e um plano não têm ponto em comum, então a reta r é paralela a uma reta t contida no plano ; portanto, r //
Em existem infinitas retas paralelas, reversas ou ortogonais a r.
P11) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua intersecção é dada por uma única reta que passa por esse ponto.
Perpendicularismo entre reta e plano
Uma reta r é perpendicular a um plano se, e somente se, r é perpendicular a todas as retas de que passam pelo ponto de intersecção de r e .
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Note que:
se uma reta r é perpendicular a um plano , então ela é perpendicular ou ortogonal a toda reta de :
para que uma reta r seja perpendicular a um plano , basta ser perpendicular a duas retas concorrentes, contidas em :
Observe, na figura abaixo, por que não basta que r seja perpendicular a uma única reta t de para que seja perpendicular ao plano:
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Posições relativas de dois planos
Consideramos as seguintes situações:
a) planos coincidentes ou iguais
b) planos concorrentes ou secantes
Dois planos, , são concorrentes quando sua intersecção é uma única reta:
c) planos paralelo
Dois planos, , são paralelos quando sua intersecção é vazia:
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Perpendicularismo entre planos
Dois planos, , são perpendiculares se, e somente se, existe uma reta de um deles que é perpendicular ao outro:
Observação: Existem infinitos planos perpendiculares a um plano dado; esses planos podem ser paralelos entre si ou secantes.
Projeção ortogonal
A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano é a intersecção do plano com a reta perpendicular a ele, conduzida pelo ponto P:
A projeção ortogonal de uma figura geométrica F ( qualquer conjunto de pontos) sobre um plano é o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos de F sobre :
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Distâncias
A distância entre um ponto e um plano é a medida do segmento cujos extremos são o ponto e sua projeção ortogonal sobre o plano:
A distância entre uma reta e um plano paralelo é a distância entre um ponto qualquer da reta e o plano:
A distância entre dois planos paralelos é a distância entre um ponto qualquer de um deles e o outro plano:
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A distância entre duas retas reversas, r e s, é a distância entre um ponto qualquer de uma delas e o plano que passa pela outra e é paralelo à primeira reta:
Ângulos
O ângulo entre duas retas reversas é o ângulo agudo que uma delas forma com uma reta paralela à outra:
O ângulo entre uma reta e um plano é o ângulo que a reta forma com sua projeção ortogonal sobre o plano:
Observações:
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Diedros, triedos, poliedros
Diedros
Dois semiplanos não-coplanares, com origem numa mesma reta, determinam uma figura geométrica chamada ângulo diédrico, ou simplesmente diedro:
Triedos
Três semi-retas não-coplanares, com origem num mesmo ponto, determinam três ângulos que formam uma figura geométrica chamada ângulo triédrico, ou simplesmente triedro:
Ângulo poliédrico
Sejam n semi-retas de mesma origem tais que nunca fiquem três num mesmo semiplano. Essas semi-retas determinam n ângulos em que o plano de cada um deixa as outras semi-retas em um mesmo semi-espaço. A figura formada por esses ângulos é o ângulo poliédrico.
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Poliedros
Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos:
Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do poliedro.
Poliedros convexos e côncavos
Observando os poliedros acima, podemos notar que, considerando qualquer uma de suas faces, os poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semi-espaço que essa face determina. Assim, esses poliedros são denominados convexos.
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Isso não acontece no último poliedro, pois, em relação a duas de suas faces, ele não está contido apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é denominado côncavo.
Classificação
Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo:
tetraedro: quatro faces pentaedro: cinco faces hexaedro: seis faces heptaedro: sete faces octaedro: oito faces icosaedro: vinte faces
Poliedros regulares
Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas.
Existem cinco poliedros regulares:
Poliedro Planificação Elementos
Tetraedro
4 faces triangulares
4 vértices
6 arestas
Hexaedro
6 faces quadrangulares
8 vértices
12 arestas
Octaedro
8 faces triangulares
6 vértices
12 arestas
Icosaedro
20 faces triangulares
12 vértices
30 arestas
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Relação de Euler
Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte:
V - A + F = 2
em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces.
Observe os exemplos:
V=8 A=12 F=6
8 - 12 + 6 = 2
V = 12 A = 18 F = 8
12 - 18 + 8 = 2
Se você não escalar a montanha nunca verá a planície
Poliedros platônicos
Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:
a) for convexo;
b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas;
c) toda face tiver o mesmo número de arestas;
d) for válida a relação de Euler.
Assim, nas figuras acima, o primeiro poliedro é platônico e o segundo, não-platônico.
Aplicação
01. (EsPCEx-96) Considere as seguintes proposições:
I - Toda reta paralela a um plano é paralela a qualquer reta desse plano.
II - Uma reta e um ponto determinam sempre um único plano.
III - Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular a esse plano.
Pode-se afirmar que:
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a) Só I é verdadeira. b) Só III é verdadeira. c) Só I e III são verdadeiras. d) Só III é falsa. e) Só I e III são falsas.
02. (EEAR-00) Assinale a afirmativa VERDADEIRA:
a) Dois planos paralelos a uma reta são paralelos entre si.
b) Dois planos perpendiculares a uma reta são perpendiculares entre si.
c) Duas retas perpendiculares a um plano são paralelas entre si.
d) Duas retas paralelas a um plano são paralelas entre si.
03. (AFA-97) Qual das afirmações abaixo é verdadeira?
a) Por uma reta dada pode-se conduzir um plano paralelo a um plano dado.b) Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos.c) Por um ponto qualquer é possível traçar uma reta que intercepta duas retas reversas dadas.d) Se duas retas concorrentes de um plano são, respectivamente, paralelas a duas retas de outro plano, então estes planos são paralelos.
04.(AFA-97) A intersecção de 3 superfícies esféricas distintas pode ser, somente, ou
a) 1 ponto, ou vazia, ou 1 circunferência.
b) 1 ponto, ou vazia, ou 2 circunferências.
c) 1 segmento de reta, ou vazia, ou 1 circunferência.
d) 2 pontos, ou 1 ponto, ou vazia, ou 1 circunferência.
05.(AFA-98) Quatro pontos não-coplanares determinam, exatamente, quantos planos?
a)1 b) 2 c) 3 d) 4
06. (AFA-00) A quantidade de pares de retas reversas que contêm as arestas de um cubo é :
a) 12 b) 24 c) 36 d) 48
07. (AFA-01) O conjunto de soluções de uma única equação
linear é representado por um plano
no sistema de coordenadas retangulares xyz (quando a1,
a2, a3 não são todos iguais a zero). Analise as figuras a seguir.
Assinale a opção verdadeira.
a) A figura I representa um sistema de três equações com uma única solução.
b) A figura III representa um sistema de três equações cujo conjunto solução é vazio.
c) A figura II representa um sistema de três equações com uma infinidade de soluções.
d) As figuras I e III representam um sistema de três equações com soluções iguais.
08.(AFA-01) Considere as proposições a seguir:
I - Se dois planos são paralelos, então toda reta que é paralela a um deles é paralela ou está contida no outro.
II - Se uma reta é paralela a um plano, então é paralela a todas as retas do plano.
III -Se uma reta possui dois pontos distintos num plano, então ela está contida no plano.
IV - Se dois planos são secantes, toda reta de um, sempre intercepta o outro plano.
Pode-se afirmar que as proposições verdadeiras são:
a) I e IV b) II e III c)I e III d)II e IV
09. (AFA-02.Corpo Feminino) Analise as alternativas e marque V (verdadeiro) ou F (falso).
a) Se dois planos e são perpendiculares entre si e um plano é perpendicular a um deles, então, o plano é paralelo ao outro plano.
b) Se um plano é paralelo a uma reta r, então, qualquer reta do plano é reversa à reta r.
c) Três pontos distintos não colineares determinam um único plano.
d) A distância entre um ponto P e um plano é a distância entre esse ponto P e um ponto qualquer do plano .
Assinale a seqüência correta.
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(II) Três planos se cortando num ponto
(I) Três planos se cortando numa reta
(III) Três planos sem interseção
a) F, F, V, F
b) F, F, V, V
c) V, V, F, F
d) V, F, V, F
10.(Esc. Naval-91) Em uma pirâmide quadrangular retangular a altura é 2 e a aresta da base é 8. O cosseno do ângulo diedro entre duas faces laterais adjacentes vale:
(A) 4
1
(C) 2
1
(E) 5
4
(B) 3
1
(D) 4
3
11. (Esc.Naval-93) Um poliedro convexo possui 11 faces. Sabemos que, de um de seus vértices partem 5 arestas, de 5 outros vértices partem 4 arestas e de cada vértice restante partem 3 arestas. O número de arestas do poliedro é:
(A) 20 (B) 25 (C) 30
(D) 37 (E) 41
12. (Esc.Naval-01) Um poliedro convexo de 25 arestas tem faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. O número de faces quadrangulares vale o dobro do número de faces pentagonais e o número de faces triangulares excede o de faces quadrangulares em 4 unidades. Pode-se afirmar que o número de vértices deste poliedro é:
a) 14 b) 13 c) 11 d) 10
13. (EEAR-02) Assinale V (verdadeiro) ou F (falso), considerando a geometria de posição espacial e plana.
( ) A condição r s = é necessário para que as retas r e s sejam paralelas distintas.
( ) Duas retas que formam um ângulo reto são necessariamente perpendiculares.
( ) Se duas retas têm um único ponto em comum, então elas são concorrentes.
( ) A condição r s = é suficiente para que as retas r e s sejam reversas.
A seqüência correta é:
a) V – V – V – V c) F – V – F – V
b) V – F – V – F d) F – F – F – F
14. (AFA-02.Corpo feminino) Um poliedro platônico, cujas faces são triangulares, tem 30 arestas. Determine o número de arestas que concorrem em cada vértice.
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6
15. ( EsPCex -02) Considere as afirmativas abaixo:
I- Se um plano encontra dois planos paralelos , então as intersecções são retas paralelas
II- Uma reta perpendicular a uma reta de um plano e ortogonal a outra reta desse plano é perpendicular ao plano
III- Se a intersecção de uma reta r com um plano é o ponto P, reta essa não perpendicular ao plano, então existe uma única reta s contida nesse plano que é perpendicular à reta r passando por P.
Pode-se afirmar que:
a) todas são verdadeiras
b) Apenas I e II são verdadeiras
c) apenas I e III são verdadeiras
d) apenas II e III são verdadeiras
e) todas são falsas
16.(ITA-98) Um poliedro convexo de 16 arestas é formado por faces triangulares e quadrangulares. Seccionando-o por um plano convenientemente escolhido, dele se destaca um novo poliedro convexo, que possui apenas faces quadrangulares. Este poliedro possui um vértice a menos que o original e uma face a mais que o número de faces quadrangulares do original. Sendo m e n , respectivamente, o número de faces e o número de vértices do poliedro original, então:
(A) 7,9 nm
(B) 9nm (C) 10,8 nm
(D) 8,10 nm
(E) 9,7 nm
17.(ITA-700 Quando a projeção de um ângulo sobre um plano paralelo a um de seus lados é um ângulo reto,podemos afirmar que :
a) 90º < < 180º b) < 90º c) = 90º
d) = 2 rad e) nda
18. (ITA-77) Seja p um plano .Sejam A, B , C e D pontos de p e M um ponto qualquer não pertencente a p . Então:
a) Se C dividir o segmento AB em partes iguais a MA= MB, então o segmento MC é perpendicular a p.
b) Se ABC for um triângulo eqüilátero e D for eqüidistante de A,B e C , então o segmento MD é perpendicular a p.
c) Se ABC for um triângulo eqüilátero e D for eqüidistante de A,B e C , então MA = MB = MC implica que o segmento MD é perpendicular a p.
d) Se ABC for um triângulo eqüilátero e o segmento MD for perpendicular a p, então D é eqüidistante de A , B e C.
e) nda
19. (Esc.Naval-88) Um poliedro convexo é formado por 10 faces triangulares e 10 faces pentagonais . O número de diagonais desse poliedro é:
a) 12 b) 10 c) 8 d) 6 e) 4
20. (UFPE-84) Assinale a alternativa correta , considerando r,s e t como retas no espaço.
a) Se r e s são ambas perpendiculares a t , então r e s são paralelas.
b) e r é perpendicular a s e s é perpendicular a t , então r é perpendicular a t.
c) Se r é perpendicular a s e s é perpendicular a t , então r e s são paralelas .
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d) Se r é perpendicular a s e é um plano que contém s , então r é perpendicular a .
e) Se r e t são perpendiculares a s no mesmo ponto , então existe um pano que contém r e t e é perpendicular a s.
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Prismas
Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, , um polígono convexo R contido em e uma reta r que intercepta
, mas não R:
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Para cada ponto P da região R, vamos considerar o segmento , paralelo à reta r :
Assim, temos:
Chamamos de prisma ou prisma limitado o conjunto de todos os segmentos congruentes paralelos a r.
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Elementos do prisma
Dados o prisma a seguir, consideramos os seguintes elementos:
bases:as regiões poligonais R e S
altura:a distância h entre os planos
arestas das bases:os lados ( dos polígonos)
arestas laterais:os segmentos faces laterais: os paralelogramos AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A
Classificação
Um prisma pode ser:
reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases; oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.
Veja:
prisma reto
prisma oblíquo
Chamamos de prisma regular todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares:
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prisma regular triangular
prisma regular hexagonal
Observação: As faces de um prisma regular são retângulos congruentes.
Secção
Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina nele uma região chamada secção do prisma.
Secção transversal é uma região determinada pela intersecção do prisma com um plano paralelo aos planos das bases ( figura 1). Todas as secções transversais são congruentes ( figura 2).
Áreas
Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície:as faces e as bases. Assim, temos de considerar as seguintes áreas:
a) área de uma face (AF ):área de um dos paralelogramos que constituem as faces;
b) área lateral ( AL ):soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces do prisma.
No prisma regular, temos:
AL = n . AF (n = número de lados do polígono da base)
c) área da base (AB): área de um dos polígonos das bases;
d) área total ( AT): soma da área lateral com a área das bases
AT = AL + 2AB
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Vejamos um exemplo.
Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base a e aresta lateral h, temos:
Paralelepípedo
Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo.Assim, podemos ter:
a) paralelepípedo oblíquo
b) paralelepípedo reto
Se o paralelepípedo reto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedo reto-retângulo,ortoedro ou paralelepípedo retângulo.
Paralelepípedo retângulo
Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da figura:
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Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas de medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas.
Diagonais da base e do paralelepípedo
Considere a figura a seguir:
db = diagonal da basedp = diagonal do paralelepípedo
Na base ABFE, temos:
No triângulo AFD, temos:
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Área lateral
Sendo AL a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos:
AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc =AL = 2(ac + bc)
Área total
Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas:
AT= 2( ab + ac + bc)
Volume
Por definição, unidade de volume é um cubo de aresta 1. Assim, considerando um paralelepípedo de dimensões 4, 2 e 2, podemos decompô-lo em 4 . 2 . 2 cubos de aresta 1:
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Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado por:
V = abc
Como o produto de duas dimensões resulta sempre na área de uma face e como qualquer face pode ser considerada como base, podemos dizer que o volume do paralelepípedo retângulo é o produto da área da base AB pela medida da altura h:
Cubo
Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes ( a= b = c) recebe o nome de cubo. Dessa forma, as seis faces são quadrados.
Diagonais da base e do cubo
Considere a figura a seguir:
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dc=diagonal do cubodb = diagonal da base
Na base ABCD, temos:
No triângulo ACE, temos:
Área lateral
A área lateral AL é dada pela área dos quadrados de lado a:
AL=4a2
Área total
A área total AT é dada pela área dos seis quadrados de lado a:
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AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de aresta a é dado por:
V= a . a . a = a3
Generalização do volume de um prisma
Para obter o volume de um prisma, vamos usar o princípio de Cavalieri ( matemático italiano, 1598 - 1697), que generaliza o conceito de volume para sólidos diversos.
Dados dois sólidos com mesma altura e um plano , se todo plano , paralelo a , intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:
Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V2 = ABh.
Assim, o volume de todo prisma e de todo paralelepípedo é o produto da área da base pela medida da altura:
Vprisma = ABh
Aplicação de prismas / Poliedros Força Aérea brasileira
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Ninho das Águias
01. (AFA-02/ 03) Um poliedro platônico, cujas faces são triangulares, tem 30 arestas. Determine o número de arestas que concorrem em cada vértice.
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6
02. (AFA-02/03.C.Fem) Um prisma quadrangular regular circunscreve um cilindro circular reto, de raio da base R e altura H. A razão entre a área lateral do prisma e o volume do cilindro, nessa ordem, é:
a) RH
b) R2
c) R
8
d) RH
8
03. (AFA.98 / 99) Qual deve ser a medida da altura de um prisma reto, cuja base é um triângulo equilátero de lado a, para que seu volume tenha valor a3?
a) b) c) d)
04. (EEAR.02/ 03) Se uma das dimensões de um paralelepípedo reto-retângulo é 6 cm, a soma das outras duas dimensões é 25 cm e a área total é 600 cm2, então a razão entre as duas dimensões desconhecidas é
a) 3
2
. b) 5
3
. c) 2
1
. d) 5
2
.
05. (EEAR.02/ 03.C.F.T) Uma caixa d’água, com forma de um paralelepípedo retângulo, terá seu volume reduzido à metade do que tinha sido projetado inicialmente. Para isso, o construtor deverá diminuir as dimensões da base dessa caixa de 20% e 50%, respectivamente. Já em relação à medida da altura dessa caixa d’água, o construtor irá
a) aumentá-la de 30%. c) diminuí-la de 30%.
b) aumentá-la de 25%. d) diminuí-la de 25%.
06. (EEAR.02) A figura abaixo é a planificação de um poliedro
convexo FE;DCBA
. O volume desse poliedro, em unidades de volume, é
a) 2
425
b) 3
850
c) 3
425
d) 2
850
07. (EEAR.02.A) A base de um prisma regular é um hexágono inscrito num círculo de raio R. Se o prisma é equivalente ao cubo, cuja base está inscrita no mesmo círculo, então a altura do prisma hexagonal, em cm, é
a) 2R c) 3
6R4
b) 3
6R2
d) 9
6R4
08. (EsPCEx.98 /99) Uma piscina em forma de paralelepípedo retângulo tem largura de 6 metros, diagonal do fundo com 10 metros e diagonal da face que contém o comprimento igual a
54 metros. Para enchê-la com água será utilizado um caminhão tanque com capacidade de 6000 litros. O número de cargas completas, desse mesmo caminhão, necessárias para que a piscina fique completamente cheia é:
(A) 24 (B) 28 (C) 32 (D) 54 (E) 80
09.(EsPCEx.00/01)
30
A
BC
D
E
F
O
1313
13
13 13
25
25
25
25
25
25
25
25
2525
25
25
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Cilindro
Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, , um círculo R contido em e uma reta r que intercepta , mas não R:
Para cada ponto C da região R, vamos considerar o segmento , paralelo à reta r :
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Assim, temos:
Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de todos os segmentos congruentes e paralelos a r.
Elementos do cilindro
Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos:
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bases: os círculos de centro O e O'e raios r
altura: a distância h entre os planos
geratriz: qualquer segmento de extremidades nos pontos das circunferências das bases ( por exemplo, ) e paralelo à reta r
Classificação do Cilindro
Um cilindro pode ser:
circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às bases; circular reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases.
Veja:
O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução, por ser gerado pela rotação completa de um retângulo por um de
seus lados. Assim, a rotação do retângulo ABCD pelo lado gera o cilindro a seguir:
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A reta contém os centros das bases e é o eixo do cilindro.
Secção
Secção transversal é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano paralelo às bases. Todas as secções transversais são congruentes.
Secção meridiana é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano que contém o eixo.
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Áreas
Num cilindro, consideramos as seguintes áreas:
a) área lateral (AL)
Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação:
Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujos raios dos círculos das bases são r é um retângulo de
dimensões :
b) área da base ( AB):área do círculo de raio r
c) área total ( AT): soma da área lateral com as áreas das bases
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Volume
Para obter o volume do cilindro, vamos usar novamente o princípio de Cavalieri.
Dados dois sólidos com mesma altura e um plano , se todo plano , paralelo ao plano , intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:
Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V2 = ABh.
Assim, o volume de todo paralelepípedo retângulo e de todo cilindro é o produto da área da base pela medida de sua altura:
Vcilindro = ABh
No caso do cilindro circular reto, a área da base é a área do círculo de raio r ;
portanto seu volume é:
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Cilindro eqüilátero
Todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado ( altura igual ao diâmetro da base) é chamado cilindro eqüilátero.
:
Cone circular
Dado um círculo C, contido num plano , e um ponto V ( vértice) fora de , chamamos de cone circular o conjunto de todos os
segmentos .
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Elementos do cone circular
Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos:
altura: distância h do vértice V ao plano geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V e outra num ponto da circunferência raio da base: raio R do círculo
eixo de rotação:reta determinada pelo centro do círculo e pelo vértice do cone
Cone reto
Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone reto, também denominado cone de revolução. Ele pode ser gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.
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Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação:
g2 = h2 + R2
Secção meridiana
A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que contém o eixo de rotação é chamada secção meridiana.
Se o triângulo AVB for eqüilátero, o cone também será eqüilátero:
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Áreas
Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular reto, obtemos um setor circular de raio g e comprimento :
Assim, temos de considerar as seguintes áreas:
a) área lateral (AL): área do setor circular
b) área da base (AB):área do circulo do raio R
c) área total (AT):soma da área lateral com a área da base
Volume
Para determinar o volume do cone, vamos ver como calcular volumes de sólidos de revolução. Observe a figura:
d = distância do centro de gravidade (CG) da sua superfície ao eixo e
S=área da superfície
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Sabemos, pelo Teorema de Pappus - Guldin, que, quando uma superfície gira em torno de um eixo e, gera um volume tal que:
Vamos, então, determinar o volume do cone de revolução gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno do cateto h:
O CG do triângulo está a uma distância do eixo de rotação. Logo:
Pirâmides
Dados um polígono convexo R, contido em um plano , e um ponto V ( vértice) fora de , chamamos de pirâmide o conjunto de
todos os segmentos .
Elementos da pirâmide
Dada a pirâmide a seguir, temos os seguintes elementos:
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base: o polígono convexo R
arestas da base: os lados do polígono
arestas laterais: os segmentos faces laterais: os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE, VEA altura: distância h do ponto V ao plano
Classificação
Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro do polígono da base.
Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de pirâmide regular. Ela pode ser triangular, quadrangular, pentagonal etc., conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero, um pentágono etc.
Veja:
Observações:
1ª) Toda pirâmide triangular recebe o nome do tetraedro. Quando o tetraedro possui como faces triângulos eqüiláteros, ele é denominado regular ( todas as faces e todas as arestas são congruentes).
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2ª) A reunião, base com base, de duas pirâmides regulares de bases quadradas resulta num octaedro. Quando as faces das pirâmides são triângulos eqüiláteros, o octaedro é regular.
Secção paralela à base de uma pirâmide
Um plano paralelo à base que intercepte todas as arestas laterais determina uma secção poligonal de modo que:
as arestas laterais e a altura sejam divididas na mesma razão; a secção obtida e a base sejam polígonos semelhantes; as áreas desses polígonos estejam entre si assim como os quadrados de suas distâncias ao vértice.
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Relações entre os elementos de uma pirâmide regular
Vamos considerar uma pirâmide regular hexagonal, de aresta lateral l e aresta da base a:
Assim, temos:
A base da pirâmide é um polígono regular inscritível em um círculo de raio OB = R.
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A face lateral da pirâmide é um triângulo isósceles.
Os triângulos VOB e VOM são retângulos.
Áreas
Numa pirâmide, temos as seguintes áreas:
a) área lateral ( AL): reunião das áreas das faces laterais
b) área da base ( AB): área do polígono convexo ( base da pirâmide)
c) área total (AT): união da área lateral com a área da base
AT = AL +AB
Para uma pirâmide regular, temos:
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em que:
Volume
O princípio de Cavalieri assegura que um cone e uma pirâmide equivalentes possuem volumes iguais:
Troncos
Se um plano interceptar todas as arestas de uma pirâmide ou de um cone, paralelamente às suas bases, o plano dividirá cada um desses sólidos em dois outros: uma nova pirâmide e um tronco de pirâmide; e um novo cone e um tronco de cone.
Vamos estudar os troncos.
Tronco da pirâmide
Dado o tronco de pirâmide regular a seguir, temos:
as bases são polígonos regulares paralelos e semelhantes; as faces laterais são trapézios isósceles congruentes.
Áreas
Temos as seguintes áreas:
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a) área lateral (AL): soma das áreas dos trapézios isósceles congruentes que formam as faces laterais
b) área total (AT): soma da área lateral com a soma das áreas da base menor (Ab) e maior (AB)
AT =AL+AB+Ab
Volume
O volume de um tronco de pirâmide regular é dado por:
Sendo V o volume da pirâmide e V' o volume da pirâmide obtido pela secção é válida a relação:
Tronco do cone
Sendo o tronco do cone circular regular a seguir, temos:
as bases maior e menor são paralelas; a altura do tronco é dada pela distância entre os planos que contém as bases.
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Áreas
Temos:
a) área lateral
b) área total
Volume
Sendo V o volume do cone e V' o volume do cone obtido pela secção são válidas as relações:
Esfera
Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R.
Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior.
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Volume
O volume da esfera de raio R é dado por:
Partes da esfera
Superfície esférica
A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos do es[aço cuja distância ao ponto O é igual ao raio R.
Se considerarmos a rotação completa de uma semicircunferência em torno de seu diâmetro, a superfície esférica é o resultado dessa rotação.
A área da superfície esférica é dada por:
Zona esférica
É a parte da esfera gerada do seguinte modo:
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A área da zona esférica é dada por:
Calota esférica
É a parte da esfera gerada do seguinte modo:
Ä área da calota esférica é dada por:
Fuso esférico
O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semi-circunferência de um ângulo em torno de seu eixo:
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A área do fuso esférico pode ser obtida por uma regra de três simples:
Cunha esférica
Parte da esfera que se obtém ao girar um semicírculo em torno de seu eixo de um ângulo :
O volume da cunha pode ser obtido por uma regra de três simples:
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