Potenciao O que preciso saber (passo a passo) Seja:

A(potncia) = a n(expoente) (base) notrio a todos que o expoente nos diz quantas vezes a base ser multiplicada, isto : Ex

Traduzindo: base 2 elevado ao expoente 3 obtemos a potncia 8. Ex 2 ) (-2)3 = (-2) . (-2) .

Traduzindo: base (-2) elevado ao expoente 3 obtemos a potncia 8 Importantssimo: nas prop (-2)2 o mesmo que

Ento fica fcil explicar porque: -22 -1 . 22 = -4 (-2)2 (-1 . 2)2 = (-1) . ( 2 )2 1.4 = 4

-4 4 Exerccio: Ser que a afirmao ( -2 )n = - 2n verdadeira para todo n natural? Concluso 2n -2n se n for par 2

Caso: se n mpar temos: ( -2 )n [( -1 ) . 2 ]n ( -

-2n = -2n Concluso: ( -2 )n = -2n somente se n for mpar

Propriedades da potenciao Facilita e muito a anlise das propriedades se voc escolher nmeros que podem ser represen

a m . a p = a m+p Importantssimo: a recproca desta propriedade verdadeira, isto , sempre que existir uma

Ex: 2n+2 + 2n+3 + 2n+1 2n . 22 + 2n . 23 + 2n . 21 2n( 22 + 23 + 2) 2n( 14 ) Propriedade: f 8 4 25 25 81 9 am = am-p p a

Propriedade: em diviso de potncia de mesma base, conserva-se a base e subtraem-se os expo 1 am Ou : p = p - m a a 25 25 1 1 5-2 3 Ex: 2 = 2 = 2 ou 2 = 2 - 5 = - 3 2 2 2 2

Obs: observe que voc pode conservar a base do numerador ou a base do denominador; indife 2n + 2n +1 + 2n + 2 2n + 2n.21 + 2n.22 2n (1 + 2 + 22 ) 7 = =n3 = 24 2n + 3 + 2n + 4 2n.23

Interessantssimo: voc sabia que a preposio de acompanhada de frao significa multipl

Veja: Quanto 2 de 12? 3 2 . 124 = 8 3 / Soluo: Quanto a metade de um quarto de 250? Soluo: 1 1 50 . .2 24 1 1 50 1 50 . .2 = 3 .2 = 247 24 2

Uma planta aqutica duplica de rea no final de cada dia.Sabe-se que no final de cada dia a A basta dividir toda a equao por 4: 4 210 A = 4 4 (quarta parte da lagoa) quarta parte da rea da lagoa 210 A A = 28 = 2 4 4 2

oitavo dia Resposta: no oitavo dia Interessantssimo: voc sabe o porqu de todo nmero ele

Para voc provar, basta representar uma frao onde o numerador e o denominador sejam iguai 8 Ex: = 1 8 an aplicando a propriedade: p = a n - p a 81 = 1 81-1 = 1 1 8 80 = 1 Concluso: a0 = 1 uma conseqncia da propriedade am = a m -n n a Interessantssimo: voc sabe o porqu disso? 1 = an ? n a

O nmero 1 poder ser sempre ser substitudo pela mesma base em anlise elevada a zero, ist 1 a0 n a 0-n a -n n a a

Ex: 1 a b0 a. n a. n a.b 0 - n a.b - n n b b b 5 5 1 20 2 5. 2 5. 2 5.20 - 2 5.2- 2 4 2 2 2 Calcule: px px-3 = px px . p-3 = 1 p-3 = p3

Propriedade: ( a m )p = a mp O expoente nos diz quantas vezes a base ser multiplicada. Ex:

Importantssimo: sempre que existir produtos de potncias com as bases 2 e 5 podemos ob

212 . 58 = 24 . 28 . 58 = 24( 2 . 5 )8 = 16 . 108 = 1600000000 Concluso: o produto 212 . 5 b ento a n > b n Se a e b R e Propriedade: an pq

Quando entre os expoentes no existir parnteses ento resolva as potncias no sentido de u 23 2 = 29 3 2 22 = 22 8 = 2256

2 =2 =23 =8 Concluso: voc observou que: 32 0 31 (2 ) 26 23 2 23 (3 ) 23 (3 ) 1 28 0 3 3 9 23 0 80 21 Calcule: ( 0,2 )3 + ( 0,04)2 2 4 + 10 100 -1 3 3 2 (2.10 ) + (4.10 ) -2 2 8.10-3 + 16.10-4 Colocando 8 . 10-4 em evidncia: 8.10- 4 10 -1 + 2 ( ) 8.10- 4.12 96.10- 4 96 0,0096 10000

Soluo 1 ( 0,2 )3 + ( 0,04 )2 2 4 + 10 100 1 1 + 5 25 3 2 3 2 Soluo 2 ( 0,2 )3 + ( 0,04 )2 (2.10 ) + (4.10 ) -1 3 -2 2 8.10-3 + 16.10-4 8.10-3 + 1,6.10-3 1 1 5+1 6 + 25 625 625 625 (8 + 1,6 ).10-3 = 9,6.10-3 Soluo 3 ( 0,2 )3 + ( 0,04 )2 2 4 + 10 100 1 1 + 5 25 3 2 3 2 5-3 + 5-4 5-4( 51 + 1 ) 6 . 5-4 = 6 54

Interessantssimo: em fsica e qumica comum as operaes bsicas serem efetuadas atravs

( 0,002 . 100 )4 aumenta diminui 3 casas Deslocando a vrgula direita em 3 casas decimais, o nmero aumenta; em contra partida, o 103.(0,01)-2 Ex2: 0,001 = 1,6 . 10-2 introduzir 100 diminui aumenta 103. 1.10 - 2 103.10 - 4 103 + 3 - 4 10 2 -3 -3 1.10 10 ( )

Importantssimo: voc deve sempre lembrar que os decimais 0,5 ; 0,25 ; 0,125 e 0,0625 trans

0,5 = 1 5 = = 2-1 2 10 1 1 25 = = 2 = 2-2 4 100 2 1 125 1 = = 3 = 2-3 1000 8 2 1 625 1 = = 4 = 2-4 10000 16 2 0,25 = 0,125 = 0,0625 = Calcule: (0,2.10 ) .(0,16.10 ) 03 (0,2 )3 .(0,16 )2 (0,25 )4 25 100 4 02 = (2.10 ) .(16.10 ) -3 3 -2 2 1 4 4 = 23.10- 9. 24.10- 2 (2 ) ( -2 4 ) 2 = 23.10 -9.28.10-4 = 23 . 28 . 28 . 10-9 . 10-4 = 219 . 10-13 -8 2 Exerccios: I-Simplifique as expresses a b 0 a- (a2 . b3)2 . (a3 . b2)3 (a .b ) b(a.b ) 4 23 22

c-[ ( a3 . b2 )2 ]3

(a d2 - b 3 . a 3 .b 4 (a 3 )( 4 .b 2 ) 3 ) 2 II-Calcule: a- 3-1 2 e- 3 -1 b- (-2)-1 - 3 f- 2 -3 c- -3-1 g- ( 0,25 )-3 1 d- -( -3 )-1 h- ( - 0,5 )-3 i2- 3 1 j(0,2)- 2 1 k(0,01)- 2 III-Calcular o valor das expresses: a2 - 1 - (- 2 ) + (- 2 ) 2 -1 22 + 2- 2 2 3 - 1 1 . 2 2 b3 - 1 2 2

IV-Classificar em verdadeiro(V) ou falso(F): a- ( 53 )-2 = 5-6 b- 2-4 = 16

c7 7 -2 -5 = 7-3 d- 1 + 1 = 1 V-Simplificar as expresses: a- a 2n + 1 .a 1 - n .a 3 - n b- a 2n + 3 .a VI-Dos nmeros abaixo, o que est mais prximo de a- 0,625 b- 6,25 c- 62,5 (5.2)4 .(10.3)3 (9.9)2 d- 625 :

VII-Se 28 . 55 = 0,8 . 10n , ento n igual a: a- 6 VIII-Simplifique: a2 n + 4 - 2.2 n 2 b- 5 c- -1 d- 2 e- -3

IX- Para todo n , ( 2n + 2n-1 ) ( 3n 3n-1 ) igual a: a- 6n d- 2n . 3 + 2 . 3n b- 1 e- 2

X-Simplifique: ax -1 + y -1 ( x . y )-1 XI-Efetue: a1 (0,01.0,12) + (0,14 )2 + 0,04 3 1, 5 5 - 2 XII-Seja M = 3 .(0,6 ) -2 . Em que intervalo M est? 1 3 a- M < -5 3 b- -1 < M < 0 c- 0 < M < d1 4 2 XIII-Se 27 . 32 = 6k , o valor de k : a- 15 b- 6 c- 8 d- 0

Comentrio: observe que se a base fosse um valor negativo ao ser elevado ao expoente par, e (- 2)4 = ( -2 )2 + 16 = +4 Lembre-se bem disso: toda raiz de ndice par, sua raiz ensima ser sempre positiva.

2 Caso: n xp = x p n Se n e p tem representao par e a razo x dever ser analisado. Veja: n n = 2k + 1 ( mpar ), ento o domnio de p xp = x xp = x p n onde = x 2k +1 p = 2k + 1 n n p n n x p = x 2 k . x +1

Observe que sendo p um nmero par, ento: xp = + x2k = + Nos restou apenas x1 , onde x so x 6 = - x 3 esta sentena ser verdadeira somente "x RRealmente se atribuirmos valores negativos a x obteremos: ( -2 )6 = +64 -( -2 )3 = -( -8

Radiciao O que preciso saber Seja: n xp Se n mpar, ento: n xp = x 3 p n = "x R ( verdadeiro para todo x pertencente aos reais ) Ex: - 8 = 3 - 1.8 = [(- 1)(2)]3 = [(- 1)3 (2)3 ] = -1.3 = -3

Se n e p tem representao par, ento a raiz ensima de xp sempre ser positiva. O do n x p =x p n somente se obedecer os casos abaixo: n 1 Caso: se p par e n tambm par, sendo p n par, isto , x p = x 2 k , esta sentena verdadeira para todo x pertencente aos reais. "x R p = 2k , ento n Ex: x 4 = x 2 Propriedades da radiciao Seja:

A 0 n A A n raiz radicando ndice

Importantssimo: o primeiro passo a ser feito para aplicarmos as propriedades de radiciao 3 64 64 32 16 8 4 2 1 2 2 2 2 2 2 3 64 = 3 2 6 = 2 6 3 =4 Propriedade: Ex: 36 n a p .b q = a p n .b q n 36 2 18 2 93 33 1 36 = 2 2 .3 2 2 2 .3 2 2 2 =2.3 = 6 Propriedade: seja n a p se p > n e p no divisvel por n , ento procure um mltiplo 5 212 = 5 210 .2 2 = 5 210 .5 2 2 = 2 2 .5 2 2 = 4.7 a 4 7

a 18 = 7 a 14 .a 4 = 7 a 14 .7 a 4 = a 2 .7 a 4

Propriedade: n a n .b n = n (a .b ) = a .b n (a ; b 0)

Comentrio: se os expoentes das bases so iguais ento coloque-o em evidncia; isto nos fac 700 = 7.2 2 .5 2 = 7(2.5 ) = 7.10 2 = 10 7 2 16 24 4 2 2 = = = = 4 81 9 3 3 3 4 2 Propriedade: p.n a + q .n a Coloque n n a em evidncia: a ( p + q) Ex:

8 + 32 + 72 - 50 2 3 + 2 5 + 2 3 .3 2 - 5 2 .2 2 2 .2 + 2 4 .2 + 2.2 2 .3 2 - 5 2 .2 2 2 + 2 4 .2 + 2.2 2 .3 2 2 + 2 2 2 + 2.3 2 - 5 2 2 2 +4 2 +6 2 -5 2 2 (2 + 4 + 6 - 5 ) = 7 2

Importantssimo: quando existir apenas produto e ( ou ) diviso de radicais prefervel tr

Veja: 2 .3 2 2 2 .2 = 1 4 2 24 6+4-3 2 12 1 1 3 =2 1 +1 -1 234 = 7 12 2 = 12 2 7 1 1 1 3 1 1 1 1 -1 4 Ex2 5 .3 6 4 5 .3 2.3 5 4 .2 3 .3 = = 1 1 15 3.5 3 2 .5 2 =5 -3 = 5 4 .5 2 .2 3 .3 3 .3 2 3-6 4 4-6 5 12 .2 12 .3 12 4 -2 12 .2 12 .3 12 5 3 2 12 .3 12 2 4 12 = 12 12 5 3 .12 3 2 np 24 =

16 125.9 Propriedade: a= n. p a a>0 Vamos demonstrar: n 1 1 p1 n a p = a p a= 32 1 1 n =a 1 p.n = np a1 1 1 3 1 Ex1: 5 =6 5 ou 32 1 1 51 = 3 5 2 = 5 2 =5 6 =6 5

Ex2: 3 5 . 5 = 5. 5 = 5 5 6 5 n 1 1 2 .5 5 5+ 6 = 5 30 =5 11 30 = 30 511 Propriedade: seja simplifique-os. Ex: 12 a p se n e p possuem divisores em comum, ento 16 = 12 4 2 4 4 = 3 21

Comentrio: quando o radicando um nmero real positivo a simplificao possvel e imedi 12 a4 = 3 a "a somente se a 0 R+ a4 3 a Se a < 0 = 12

Os domnios so diferentes, isto , para 12 a 4 qualquer que seja aR- ou aR+ a operao 12 a 4 = 3 a somente se aR+

Agora se o ndice mpar a simplificao possvel e imediata,e vlida para todos os valo 15 a 3 = 5 a1 a R Racionalizao

Racionalizar o ato de tornar o expoente do denominador um valor inteiro. Veja: 1 1 =1 3 32 1 2 Se multiplicarmos o denominador e o numerador por 3 1 3 1 2 o resultado ser imediato. . 3 3 1 1 2 2 = 3 1 +1 22 3 1 2 = 3 1 2 31 = 3 3 Comentrio: calculando 1 1 = = 0,577 3 1,732 3 1,732 = = 0,577 3 3 3 = 1,732 Ou seja, 1 3 1 = 3 3 3 = 3. 3 3 o mesmo que 3 3

3=3 Generalizando: 1 n p n a = a n- p a Vamos demonstrar:

n ap 1 1 = 1 a p n . a a 1- p 1- p n n n ap = a p a n- p p -p n n .a 1 .a n ap 1 1 = a p n- p p a a n- p a n ap = Ex1

2 2 2.5 3 5 - 2 2.5 3 3 = = = 5 3 3 9 5 32 3 3 -1 3 3 3.3 3 2 = 3. = = 3 3 3 Ex2 3 3 2 .3 3 1 2 3 =3 1 2 2 .3 3 . 3 - 1 = 3+4-6 36 =3 1 6 =6 3 Importantssimo: se x n = K e n mpar; ento: xn = K x=K 1 n

x=n K K R Se x n = K e n par: xn = K x=K 1 n x=n K onde K R+

Leia-se: a raiz ensima de K o valor modular de x, isto , qualquer valor que atribuirmos x = 25 1 2 x = 25 x=5 ( Seja x = -5 ou x = +5 sempre vamos obter o seu valor modular, que +5 )

Lembrete: para aplicar as propriedades de potenciao com nmeros decimais ou dzima, trans 0,25 = 0, 25 25 11 = = 100 42 1 = 81 4 Ex2: 81 25 = 81100 = 4 81 = 3

Ex3: 0,001 0, 333... 1 = 1000 3 9 1 1 1 = 3 =3 3 = 10 10 10 Curiosidade: n p =q Se p > 1 ento p > q 25 = 5 3 25 > 5 8>2 n 8=2 Mas para p = q onde 0 < p < 1 0,25 = 0,50 3 0,25 > 0,50 0,125 < 0,500 0,125 = 0,500